Tratado de análisis — Capítulo 24 — Series de potencias

Capítulo 24 — Series de potencias en el desarrollo progresivo del Tratado de análisis.

Capítulo 24 — Series de potencias

← Volver al Tratado de análisis · Capítulo anterior

Parte II — Núcleo del análisis real

24.0. De las series de funciones a las series de potencias

Una serie de funciones, tal como fue construida en el Capítulo 23, comienza con una sucesión de funciones reales sobre un dominio común. Sus sumas parciales constituyen otra sucesión de funciones; la convergencia puntual o uniforme no se deduce de que cada suma finita esté bien definida. En este capítulo examinaremos una familia especial, determinada por un centro real \(c\) y por una sucesión real fija \((a_n)_{n\in\mathbb N}\):

\[ \sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-c)^n. \tag{24.0.1} \]

La forma algebraica de sus términos impone relaciones entre las evaluaciones en puntos distintos. En efecto, si \(y\ne c\), la expresión \(x-c\) puede compararse con \(y-c\) mediante el cociente \((x-c)/(y-c)\); elevarlo a una potencia natural producirá un factor geométrico. Esta relación no existe para una sucesión arbitraria de funciones y será el fundamento del comportamiento espacial de la convergencia.

El primer problema no consiste en sumar (24.0.1) para todo real ni en asignarle anticipadamente una función global. Consiste en determinar en qué puntos converge la sucesión numérica de sus sumas parciales. Sólo una vez construido ese conjunto podremos hablar de su función suma con dominio exacto y, después de demostrar propiedades adicionales, de un radio de convergencia y de operaciones término a término. Ni el criterio \(M\) de Weierstrass ni los teoremas de intercambio del capítulo precedente autorizan esas operaciones sin verificar sus hipótesis.

Conservaremos los índices naturales desde \(0\): la suma parcial de índice \(N\) contiene exactamente los términos \(0,\ldots,N\). Las potencias son las construidas por recursión en «Potencias naturales de un número real», incluida la convención \(r^0=1\) para todo \(r\in\mathbb R\) y, en particular, \(0^0=1\). Todas las funciones introducidas a continuación se consideran con dominio y codominio expresos.

---

24.1. Series centradas y conjunto de convergencia

Definición 24.1.1 — Serie de potencias real centrada

Sean un centro \(c\in\mathbb R\) y una sucesión de coeficientes dada \(a:\mathbb N\to\mathbb R\), \(n\mapsto a_n\). Para \(n\in\mathbb N\) y \(x\in\mathbb R\) escribimos

\[ \boxed{p_n^{a,c}(x):=a_n(x-c)^n.} \tag{24.1.1} \]

Llamamos serie de potencias real centrada en \(c\) y con coeficientes \(a\) a la serie de funciones asociada a la familia \((p_n^{a,c})_{n\in\mathbb N}\) en el sentido del Capítulo 23. Su notación es

\[ \boxed{\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-c)^n.} \tag{24.1.2} \]

La escritura (24.1.2) designa inicialmente un proceso de sumación, no una igualdad con un número real ni una función suma definida sobre toda \(\mathbb R\). El índice \(n\), el centro y los coeficientes son datos diferenciados: cambiar \(c\) o la sucesión \(a\) cambia, en general, la serie considerada.

Proposición 24.1.2 — Construcción tipada de los términos y las sumas parciales

Para todo \(c\in\mathbb R\) y toda \(a:\mathbb N\to\mathbb R\) existen una única sucesión de funciones

\[ \mathbf p^{a,c}:\mathbb N\longrightarrow\mathbb R^{\mathbb R}, \qquad n\longmapsto p_n^{a,c}, \tag{24.1.3} \]

cuyos términos tienen dominio exacto \(\mathbb R\), codominio \(\mathbb R\) y satisfacen (24.1.1), y una única sucesión de sumas parciales

\[ \mathbf S^{a,c}:=\operatorname{PS}_{\mathbb R}(\mathbf p^{a,c}): \mathbb N\longrightarrow\mathbb R^{\mathbb R} \tag{24.1.4} \]

para la cual, para todo \(N\in\mathbb N\) y \(x\in\mathbb R\),

\[ \boxed{S_N^{a,c}(x)=\sum_{n=0}^{N}a_n(x-c)^n.} \tag{24.1.5} \]

Estas funciones están definidas en toda la recta aunque la serie infinita pueda divergir en algunos puntos.

Demostración. Fijemos \(n\in\mathbb N\). La sucesión \(a\) proporciona un único real \(a_n\). Para cualquier \(x\in\mathbb R\), la resta \(x-c\), su potencia natural y el producto por \(a_n\) son valores reales únicos por la estructura de cuerpo y por «Potencias naturales de un número real». Por tanto, Separación en el producto existente \(\mathbb R\times\mathbb R\) define

\[ G_n:=\{\langle x,r\rangle\in\mathbb R\times\mathbb R: r=a_n(x-c)^n\}. \]

Este conjunto es el grafo de una función de dominio \(\mathbb R\) y codominio \(\mathbb R\). La igualdad tipada de funciones («Criterio de igualdad de funciones») asegura su unicidad; la existencia de \(\mathbb R^{\mathbb R}\) («Existencia de \(B^A\)») permite considerarla elemento de ese conjunto. Separación en \(\mathbb N\times\mathbb R^{\mathbb R}\) forma entonces el grafo

\[ G_{\mathbf p}:=\{\langle n,f\rangle\in \mathbb N\times\mathbb R^{\mathbb R}: \forall x\in\mathbb R,\ f(x)=a_n(x-c)^n\}. \]

Para cada \(n\) existe exactamente un \(f\) que satisface la condición, a saber, la función de grafo \(G_n\). Así obtenemos una sola función \(\mathbf p^{a,c}\) del tipo (24.1.3), sin escoger separadamente funciones para una infinidad de índices. Aplicamos ahora la operación de sumas parciales de funciones ya construida en «Sucesión de sumas parciales de funciones» para el dominio \(E=\mathbb R\). Produce la sucesión única (24.1.4). Al evaluar en un \(x\) arbitrario, su construcción coincide con la sucesión de sumas parciales numéricas de los valores \(p_n^{a,c}(x)\) («Evaluación en un punto y sucesión real inducida» y «Sucesión de sumas parciales y serie numérica»), de donde resulta (24.1.5). \(\square\)

Precisión. No hemos demostrado que \(\mathbf S^{a,c}\) tenga límite puntual en toda la recta. La existencia de cada función \(S_N^{a,c}\), que implica únicamente una suma finita, no contiene esa afirmación.

Definición 24.1.3 — Conjunto de convergencia

Para los datos fijos \(a\) y \(c\), definimos el conjunto de convergencia de la serie de potencias como

\[ \boxed{C(a,c):=\Bigl\{x\in\mathbb R: \exists L\in\mathbb R\ \forall\varepsilon>0\ \exists N_0\in\mathbb N\ \forall N\in\mathbb N\, \bigl(N\ge N_0\Rightarrow |S_N^{a,c}(x)-L|<\varepsilon\bigr) \Bigr\}.} \tag{24.1.6} \]

Es un conjunto: se obtiene por Separación sobre \(\mathbb R\) a partir del predicado de convergencia de la sucesión real \(N\mapsto S_N^{a,c}(x)\), equivalente a la convergencia de la serie numérica de términos \(n\mapsto a_n(x-c)^n\) («Convergencia, divergencia y suma de una serie»). No se trata de una comprensión irrestricta. Tampoco hemos escogido simultáneamente un límite para cada \(x\): la definición sólo determina los puntos que satisfacen una propiedad.

Para \(x\notin C(a,c)\) la serie no tiene suma real en ese punto; la expresión (24.1.2) puede seguir nombrando el proceso formal, pero no se evaluará como si fuera una función suma allí. La pertenencia \(x\in C(a,c)\) no se declara decidible ni efectivamente comprobable para una sucesión arbitraria de coeficientes.

Proposición 24.1.4 — El centro siempre pertenece al conjunto de convergencia

Para toda sucesión real \(a\) y todo centro \(c\in\mathbb R\),

\[ \boxed{c\in C(a,c),\qquad \sum_{n=0}^{\infty}a_n(c-c)^n=a_0.} \tag{24.1.7} \]

La segunda igualdad se entiende como convergencia de la serie numérica en el punto \(c\) hacia \(a_0\).

Demostración. Al evaluar en \(x=c\), tenemos \(x-c=0\). La cláusula inicial de las potencias da \(0^0=1\); por tanto, el término de índice cero es \(a_0\), y no cero ni una expresión indefinida. Para \(n\ge1\), la recursión de potencias da \(0^n=0\), lo que se verifica por inducción a partir de \(0^1=0^0\cdot0=0\). En consecuencia,

\[ p_0^{a,c}(c)=a_0, \qquad p_n^{a,c}(c)=0\quad(n\ge1). \]

La recursión de sumas parciales comienza con \(S_0^{a,c}(c)=a_0\) y en cada etapa posterior suma cero. Una segunda inducción produce

\[ S_N^{a,c}(c)=a_0\qquad\text{para todo }N\in\mathbb N. \]

La sucesión constante converge a \(a_0\): para cualquier \(\varepsilon>0\) basta el índice explícito \(N_0=0\), pues \(|S_N^{a,c}(c)-a_0|=0<\varepsilon\) para todo \(N\). La definición (24.1.6) demuestra \(c\in C(a,c)\) y establece (24.1.7). \(\square\)

Lectura. Ninguna condición sobre el crecimiento de \((a_n)\) fue necesaria: en el centro desaparecen todos los términos de índice positivo. Esto demuestra que \(C(a,c)\) no es vacío, pero aún no determina su extensión fuera del centro.

Proposición 24.1.5 — Existencia y unicidad de la función suma sobre su dominio exacto

Existe una única función

\[ \boxed{F_{a,c}:C(a,c)\longrightarrow\mathbb R} \tag{24.1.8} \]

que, para cada \(x\in C(a,c)\), satisface

\[ \boxed{F_{a,c}(x)=\lim_{N\to\infty}S_N^{a,c}(x) =\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-c)^n.} \tag{24.1.9} \]

No se atribuye a \(F_{a,c}\) ningún valor fuera de su dominio \(C(a,c)\).

Demostración. Por (24.1.6), fijado \(x\in C(a,c)\) existe al menos un real \(L\) límite de la sucesión numérica \(N\mapsto S_N^{a,c}(x)\). El teorema de unicidad del límite «Unicidad del límite real» prueba que es uno solo. El conjunto \(C(a,c)\times\mathbb R\) existe; Separación determina

\[ G_F:=\{\langle x,L\rangle\in C(a,c)\times\mathbb R: S_N^{a,c}(x)\longrightarrow L\}. \]

La existencia y unicidad verificadas para cada \(x\) hacen de \(G_F\) el grafo de una función de dominio exacto \(C(a,c)\) y codominio \(\mathbb R\). Otra función del mismo tipo con (24.1.9) tendría idénticos valores y, por «Criterio de igualdad de funciones», sería igual a ésta. Por la proposición anterior, además, \(F_{a,c}(c)=a_0\). En lugar de una elección simultánea de límites, hemos utilizado una definición relacional de valor único y Separación. \(\square\)

Lema 24.1.6 — Acotación de los términos al converger una serie numérica

Sea \(b:\mathbb N\to\mathbb R\) una sucesión cuya serie numérica \(\sum_{n=0}^{\infty}b_n\) converge. Entonces existe un real \(M>0\) tal que

\[ \boxed{|b_n|\le M\qquad(n\in\mathbb N).} \tag{24.1.10} \]

Demostración. La condición necesaria de convergencia de una serie («Condición necesaria de convergencia: el término general tiende a cero») da \(b_n\to0\). Por «Toda sucesión real convergente es acotada», toda sucesión real convergente es acotada. Por consiguiente existe \(B\in\mathbb R\) con \(|b_n|\le B\) para todo natural \(n\). Podemos poner \(M:=B+1\), que es estrictamente positivo porque \(B\ge|b_0|\ge0\); así obtenemos (24.1.10). Esta prueba no escoge un índice o una cota para cada \(n\): extrae una sola cota de un resultado previo. \(\square\)

Teorema 24.1.7 — Convergencia absoluta hacia el interior

Sean \(c\in\mathbb R\), \(a:\mathbb N\to\mathbb R\) y \(y\in C(a,c)\) con \(y\ne c\). Entonces, para todo \(x\in\mathbb R\) tal que

\[ \boxed{|x-c|<|y-c|,} \tag{24.1.11} \]

la serie de potencias \(\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-c)^n\) converge absolutamente. En particular, \(x\in C(a,c)\).

Demostración. Fijemos los datos y un punto \(x\) que cumpla (24.1.11). Puesto que \(y\in C(a,c)\), por definición converge la serie numérica de términos

\[ b_n:=a_n(y-c)^n\qquad(n\in\mathbb N). \]

El lema anterior proporciona un mismo real \(M>0\) tal que

\[ |a_n(y-c)^n|\le M\qquad(n\in\mathbb N). \tag{24.1.12} \]

La hipótesis \(y\ne c\) legitima la división por \(y-c\). Definamos los reales

\[ t:=\frac{x-c}{y-c},\qquad q:=|t|= \frac{|x-c|}{|y-c|}. \]

Como \(|y-c|>0\), la desigualdad estricta (24.1.11) implica \(0\le q<1\). Tenemos \(x-c=(y-c)t\). Demostremos, sin importar silenciosamente una ley de exponentes, que

\[ \bigl((y-c)t\bigr)^n=(y-c)^nt^n\qquad(n\in\mathbb N). \tag{24.1.13} \]

En \(n=0\), ambos miembros valen \(1\) por la convención de potencias naturales, incluso si \(x=c\) y \(t=0\). Si la igualdad vale en \(n\), la recursión de potencias, la hipótesis inductiva y la asociatividad y conmutatividad del producto real dan

\[ \begin{aligned} \bigl((y-c)t\bigr)^{n+1} &=\bigl((y-c)t\bigr)^n((y-c)t)\\ &=(y-c)^nt^n(y-c)t\\ &=(y-c)^{n+1}t^{n+1}. \end{aligned} \]

Así, (24.1.13) se sigue por inducción. Aplicando la multiplicatividad del valor absoluto y «El valor absoluto conmuta con las potencias naturales», obtenemos, para cada \(n\),

\[ \begin{aligned} |a_n(x-c)^n| &=|a_n(y-c)^nt^n|\\ &=|a_n(y-c)^n|\,|t|^n\\ &\le Mq^n. \end{aligned} \tag{24.1.14} \]

Aquí \(q^n\ge0\); por eso es legítima la última desigualdad. La serie geométrica \(\sum_{n=0}^{\infty}q^n\) converge por «Convergencia y suma de la serie geométrica para $». Como \(M>0\), «Multiplicación de una serie por un escalar no nulo» autoriza multiplicar la serie numérica convergente por el escalar no nulo \(M\); sus sumas parciales son precisamente \(M\) veces las sumas parciales geométricas. En consecuencia, \(\sum_{n=0}^{\infty}Mq^n\) converge. El criterio de comparación directa «Criterio de comparación directa», aplicado a (24.1.14), muestra que

\[ \sum_{n=0}^{\infty}|a_n(x-c)^n| \quad\text{converge}. \]

Esto es convergencia absoluta según «Serie de valores absolutos; convergencia absoluta y condicional». Por «La convergencia absoluta implica convergencia ordinaria» implica convergencia ordinaria y, por (24.1.6), \(x\in C(a,c)\). No se eligió una sucesión de testigos ni se intercambiaron límites: se usó una cota numérica común y una sola comparación geométrica. \(\square\)

Consecuencia geométrica inmediata. Si \(y\in C(a,c)\) y \(y\ne c\), poniendo \(d:=|y-c|>0\) obtenemos

\[ \boxed{(c-d,c+d)\subseteq C(a,c),} \tag{24.1.15} \]

y la convergencia es absoluta en cada punto de ese intervalo. En efecto, \(c-d<x<c+d\) equivale a \(|x-c|<d\); aplicamos el teorema. La conclusión es puntual, todavía no una afirmación de uniformidad en todo ese intervalo abierto ni sobre sus extremos.

Frontera y transición. El conjunto de convergencia está bien definido, contiene siempre el centro y posee la propiedad de inclusión hacia distancias estrictamente menores que cualquier distancia donde ya se conozca convergencia. El paso siguiente será construir el conjunto de distancias admitidas, demostrar las condiciones de existencia de su supremo —separando el caso no acotado— y sólo entonces definir el radio de convergencia. La pertenencia de los puntos a distancia exactamente igual al radio requerirá análisis independiente. La continuidad, integración y derivación de \(F_{a,c}\) no se afirman aún.

24.2. Distancias admitidas y radio de convergencia

El teorema anterior afirma que la convergencia en un punto distinto del centro impone convergencia absoluta a distancias estrictamente menores. Para transformar esta propiedad en una frontera numérica necesitamos aislar las distancias admitidas; tomar directamente el supremo del conjunto de convergencia sería incorrecto, porque éste contiene puntos a ambos lados de \(c\) y puede ser no acotado. Tampoco podemos escribir un supremo real sin verificar antes que el conjunto correspondiente es no vacío y está acotado superiormente.

Definición 24.2.1 — Conjunto de distancias admitidas

Para \(a:\mathbb N\to\mathbb R\) y \(c\in\mathbb R\) dados, definimos

\[ \boxed{D(a,c):=\{d\in\mathbb R: d\ge0\ \land\ \exists x\in C(a,c)\ (d=|x-c|)\}.} \tag{24.2.1} \]

Separación sobre \(\mathbb R\) demuestra que \(D(a,c)\) es un conjunto. Es exactamente el conjunto de las distancias al centro de los puntos de convergencia; la fórmula no pide seleccionar un punto para cada distancia. La proposición «El centro siempre pertenece al conjunto de convergencia» proporciona el testigo explícito \(x=c\), de modo que

\[ \boxed{0\in D(a,c)\subseteq\{d\in\mathbb R:d\ge0\}.} \tag{24.2.2} \]

Proposición 24.2.2 — Herencia de las distancias menores

Si \(d\in D(a,c)\) y \(t\in\mathbb R\) satisface \(0\le t\le d\), entonces \(t\in D(a,c)\). Más precisamente, cuando \(0\le t<d\), las series evaluadas en ambos puntos \(c+t\) y \(c-t\) convergen absolutamente.

Demostración. La pertenencia \(d\in D(a,c)\) entrega un punto \(y\in C(a,c)\) con \(|y-c|=d\). Si \(t=d\), la conclusión \(t\in D(a,c)\) ya está dada. Si \(0\le t<d\), necesariamente \(d>0\) y \(y\ne c\). Los puntos explícitos \(x_+:=c+t\) y \(x_-:=c-t\) satisfacen

\[ |x_+-c|=|x_--c|=t<d=|y-c|. \]

El teorema «Convergencia absoluta hacia el interior», aplicado por separado a estos dos puntos, demuestra su convergencia absoluta. Por definición pertenecen a \(C(a,c)\), y cualquiera de ellos testimonia que \(t\in D(a,c)\). No fue necesario elegir una función de testigos indexada por las distancias. \(\square\)

Interpretación. \(D(a,c)\) es un segmento inicial de los reales no negativos: una distancia admitida no puede estar precedida por una distancia inadmisible. Esto no afirma todavía que la distancia frontera pertenezca a \(D(a,c)\).

Definición 24.2.3 — Radio finito y radio infinito

Distinguimos dos casos excluyentes para el conjunto no vacío \(D(a,c)\):

1. Caso acotado. Si existe \(B\in\mathbb R\) que acota superiormente a \(D(a,c)\), la propiedad del supremo de \(\mathbb R\) («Propiedad del supremo y cuerpo ordenado completo», disponible estructuralmente por «Existencia y caracterización única de la completación ordenada de \(\mathbb Q\)») y su unicidad («Unicidad de supremo e ínfimo») proporcionan un único real \[ \boxed{R(a,c):=\sup D(a,c)\in\mathbb R,\qquad R(a,c)\ge0.} \tag{24.2.3} \] Lo llamamos radio finito de convergencia; incluye el caso \(R(a,c)=0\).
2. Caso no acotado superiormente. Decimos que el radio es infinito y escribimos, por convenio, \[ \boxed{R(a,c)=+\infty.} \tag{24.2.4} \] Aquí \(+\infty\) es una marca formal de caso, distinta de cualquier número real. (24.2.4) no define un supremo real de un conjunto no acotado ni introduce operaciones con infinitos.

La lógica clásica garantiza que exactamente uno de los casos ocurre. En el caso acotado las condiciones de existencia del supremo se verificaron antes de utilizarlo: \(0\in D(a,c)\) asegura no vacuidad; el acotamiento es la hipótesis expresa de ese caso. En el otro caso no escribimos \(\sup D(a,c)\) como si fuese un elemento de \(\mathbb R\).

Teorema 24.2.4 — Clasificación por el radio y convergencia interior

Para cualquier serie real de potencias centrada en \(c\) vale exactamente una de las siguientes alternativas.

(i) Radio cero. Si \(R(a,c)=0\), entonces \(C(a,c)=\{c\}\).

(ii) Radio finito positivo. Si \(R:=R(a,c)\in\mathbb R\) y \(R>0\), entonces

\[ \boxed{|x-c|<R\ \Longrightarrow\ \sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-c)^n\text{ converge absolutamente},} \tag{24.2.5} \]

\[ \boxed{|x-c|>R\ \Longrightarrow\ \sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-c)^n\text{ diverge}.} \tag{24.2.6} \]

(iii) Radio infinito. Si \(R(a,c)=+\infty\), la serie converge absolutamente para todo \(x\in\mathbb R\) y \(C(a,c)=\mathbb R\).

Demostración. Caso (i). Si \(R=\sup D=0\), todo \(d\in D\) cumple \(0\le d\le0\), de modo que \(D=\{0\}\). Para \(x\in C(a,c)\), \(|x-c|\in D\); luego \(|x-c|=0\) y \(x=c\). La inclusión inversa \(c\in C(a,c)\) es «El centro siempre pertenece al conjunto de convergencia».

Caso (ii): interior. Sea \(x\in\mathbb R\) con \(d:=|x-c|<R\). Por definición, \(R\) es la menor cota superior de \(D\). Por tanto \(d\) no puede ser cota superior: en caso contrario \(R\le d\), contra \(d<R\). Existe, pues, \(e\in D\) con \(e>d\). Tomemos el testigo de esa pertenencia, un punto \(y\in C(a,c)\) con \(|y-c|=e\). Como \(e>d\ge0\), se tiene \(e>0\) y \(y\ne c\). Aplicando «Convergencia absoluta hacia el interior» a \(|x-c|=d<e=|y-c|\) obtenemos convergencia absoluta en \(x\). La demostración vale también para \(x=c\), sin efectuar ninguna división por \(x-c\).

Caso (ii): exterior. Si \(d:=|x-c|>R\) y la serie convergiese en \(x\), entonces \(x\in C(a,c)\), por lo que \(d\in D(a,c)\). Pero \(R=\sup D\) es una cota superior y obligaría a \(d\le R\), contradicción. La serie diverge por la definición de convergencia numérica.

Caso (iii). Fijemos un real \(x\) y pongamos \(d:=|x-c|\). La falta de cota superior de \(D\) implica que existe \(e\in D\) con \(e>d\). Como antes, un punto \(y\in C(a,c)\) a distancia \(e>0\) permite aplicar «Convergencia absoluta hacia el interior» y concluir convergencia absoluta en \(x\). Puesto que \(x\) era arbitrario, \(C(a,c)=\mathbb R\).

Por último, el caso finito se separa exhaustivamente en \(R=0\) y \(R>0\), pues \(R\ge0\); el caso no acotado es excluyente del caso finito. Ninguna etapa emplea un conjunto de testigos escogidos de manera simultánea. \(\square\)

Advertencia decisiva. Las dos desigualdades de (24.2.5)–(24.2.6) son estrictas. El teorema no resuelve el caso \(|x-c|=R\) y no permite reemplazar \(<\) por \(\le\) en la afirmación de convergencia.

Corolario 24.2.5 — Forma exacta del conjunto de convergencia salvo los extremos

Si el radio \(R:=R(a,c)\) es un real estrictamente positivo, entonces existe el conjunto explícito

\[ E_{a,c}:=C(a,c)\cap\{c-R,c+R\}\subseteq\{c-R,c+R\} \]

y se cumple la igualdad de conjuntos

\[ \boxed{C(a,c)=(c-R,c+R)\cup E_{a,c}.} \tag{24.2.7} \]

Si el radio es cero, \(C(a,c)=\{c\}\); si es infinito, \(C(a,c)=\mathbb R\).

Demostración. Sea \(R>0\) finito. El teorema anterior demuestra que todos los puntos con \(|x-c|<R\) pertenecen a \(C(a,c)\) y que ninguno con \(|x-c|>R\) pertenece. La primera condición equivale a \(c-R<x<c+R\); la única posibilidad restante para un punto convergente es \(|x-c|=R\), equivalente a \(x=c-R\) o \(x=c+R\). Intersectar el conjunto existente \(C(a,c)\) con ese par existente produce \(E_{a,c}\) sin seleccionar extremos. Así se prueban ambas inclusiones de (24.2.7). Los otros dos casos son las conclusiones (i) y (iii) de «Clasificación por el radio y convergencia interior». \(\square\)

El conjunto \(E_{a,c}\) puede ser vacío, tener un elemento o contener ambos extremos; aquí no se afirma que cada posibilidad esté realizada. Se investigará con ejemplos y criterios separados, sin trasladar automáticamente la convergencia de un extremo al otro.

Proposición 24.2.6 — Realización de los tres tipos de radio

Para cualquier centro real \(c\) hay series de potencias con radio cero y con radio infinito. Además, para cada real dado \(r>0\) hay una serie centrada en \(c\) cuyo radio es exactamente \(r\).

Demostración. Radio infinito. Tomemos \(a_0=1\) y \(a_n=0\) para \(n\ge1\). Para cualquier real \(x\), la sucesión de sumas parciales es constantemente \(1\), por lo que converge absolutamente. Así \(C(a,c)=\mathbb R\), las distancias admitidas son todos los reales no negativos (para \(d\ge0\), basta \(x=c+d\)) y son no acotadas por la arquimedianidad. El radio es infinito.

Radio finito prescrito. Fijemos \(r>0\) y tomemos \(a_n=(1/r)^n\) para todo \(n\in\mathbb N\). La serie en \(x\) es exactamente la serie geométrica de razón \((x-c)/r\), pues la regla de potencias de un producto se demuestra por la misma inducción de (24.1.13). Según la clasificación cerrada «Clasificación completa de la convergencia de la serie geométrica», converge precisamente cuando \(|(x-c)/r|<1\), o equivalentemente \(|x-c|<r\). Por tanto \(D(a,c)=[0,r)\): si \(0\le d<r\), el punto explícito \(c+d\) converge; y ninguna distancia \(d\ge r\) lo hace. El conjunto es no vacío y está acotado, y su supremo es \(r\): \(r\) es cota superior y, si \(b<r\), el punto medio entre \(\max\{b,0\}\) y \(r\) pertenece a \(D\) y supera a \(b\). Luego \(R(a,c)=r\).

Radio cero. Para cada \(n\in\mathbb N\) fijemos el coeficiente \(a_n=\nu_{\mathbb R}(n)^n\), con \(0^0=1\) conforme a «Potencias naturales de un número real». Esto define una única sucesión de coeficientes por Separación sobre \(\mathbb N\times\mathbb R\). En el centro la serie converge, como siempre. Si \(x\ne c\), ponemos \(h:=|x-c|>0\). La propiedad arquimediana «Todo cuerpo ordenado completo es arquimediano» da un natural \(N\ge1\) tal que \(\nu_{\mathbb R}(N)h\ge1\). Como los numerales reales preservan el orden natural, para todo \(n\ge N\) se tiene \(\nu_{\mathbb R}(n)h\ge1\); por inducción sobre el exponente,

\[ |a_n(x-c)^n|=\bigl(\nu_{\mathbb R}(n)h\bigr)^n\ge1. \]

El término general no tiende a cero, de modo que la serie diverge por «Condición necesaria de convergencia: el término general tiende a cero». En consecuencia \(C(a,c)=\{c\}\), \(D(a,c)=\{0\}\) y \(R(a,c)=0\). Todos los coeficientes fueron definidos mediante operaciones únicas sobre objetos dados; no se invocó elección. \(\square\)

Transición. Hemos obtenido la frontera del conjunto de convergencia sin una fórmula para calcular el radio a partir de los coeficientes. Antes de abordar el criterio de Cauchy–Hadamard y la convergencia uniforme interior, corresponde examinar las dos evaluaciones \(x=c-R\) y \(x=c+R\) cuando \(R\) es finito y positivo: la convergencia de una no autoriza por sí sola inferir la de la otra y tampoco puede decidirse su comportamiento por las desigualdades estrictas anteriores.

---

24.3. Los extremos: convergencia absoluta e independencia de la convergencia ordinaria

El radio determina completamente la convergencia a distancias estrictamente menores o mayores que él, pero no decide qué sucede en su frontera. Supondremos en toda esta sección que el radio de la serie considerada es un real \(R>0\); su finitud significa que \(R\in\mathbb R\), no que efectuemos operaciones con la marca \(+\infty\). Los dos puntos fronterizos son \(c-R\) y \(c+R\), ya legitimados por la clasificación de §24.2.

Proposición 24.3.1 — Reducción de los extremos a series numéricas y simetría de la convergencia absoluta

Sea \(R=R(a,c)>0\) un radio real finito. Escribamos \(b_n:=a_nR^n\) para todo \(n\in\mathbb N\). Entonces

\[ \boxed{c+R\in C(a,c)\iff\sum_{n=0}^{\infty}b_n\text{ converge},} \tag{24.3.1} \]

\[ \boxed{c-R\in C(a,c)\iff\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nb_n\text{ converge}.} \tag{24.3.2} \]

La serie de potencias converge absolutamente en \(c+R\) si y sólo si converge absolutamente en \(c-R\). En caso afirmativo ambos extremos pertenecen a \(C(a,c)\). Si alguno de los extremos presenta convergencia condicional, ninguno puede presentar convergencia absoluta.

Demostración. Por las evaluaciones tipadas de «Construcción tipada de los términos y las sumas parciales», los términos en el extremo derecho son \(a_n((c+R)-c)^n=a_nR^n=b_n\). En el izquierdo son \(a_n(-R)^n=(-1)^na_nR^n=(-1)^nb_n\). La segunda identidad se demuestra por inducción sobre \(n\) usando \((-R)=(-1)R\), la recursión de potencias y las leyes del cuerpo; para \(n=0\) ambos miembros valen \(1\). Las equivalencias (24.3.1)–(24.3.2) siguen exactamente de «Conjunto de convergencia» y «Convergencia, divergencia y suma de una serie».

Por la multiplicatividad del valor absoluto, \(|(-1)^n|=1\) y \(R>0\), para todo \(n\) se tiene

\[ \boxed{|(-1)^nb_n|=|b_n|=|a_n|R^n.} \tag{24.3.3} \]

Las dos series de magnitudes tienen, pues, la misma sucesión de términos y las mismas sumas parciales, y convergen simultáneamente o divergen simultáneamente. La convergencia absoluta implica convergencia ordinaria por «La convergencia absoluta implica convergencia ordinaria». En cambio, una serie numérica que converge sólo condicionalmente posee serie de magnitudes divergente («Serie de valores absolutos; convergencia absoluta y condicional»), y (24.3.3) impide que el otro extremo sea absolutamente convergente. \(\square\)

Límite de la simetría. Cambiar \(R\) por \(-R\) introduce el factor \((-1)^n\), no una permutación de los índices ni una simple multiplicación de toda la suma por \(-1\). Las sumas parciales de las dos series ordinarias no tienen por qué comportarse del mismo modo.

Lema 24.3.2 — Una progresión geométrica supera a un denominador cuadrático

Para todo real \(q>1\), la sucesión positiva

\[ \boxed{u_n:=\frac{q^n}{(n+1)(n+2)}\qquad(n\in\mathbb N)} \tag{24.3.4} \]

no tiende a cero. Los naturales que aparecen en el denominador se entienden mediante su imagen canónica \(\nu_{\mathbb R}\) en los reales, omitiendo la imagen sólo para facilitar la lectura.

Demostración. Definamos \(t:=(q+1)/2\), de modo que \(1<t<q\). La propiedad arquimediana «Todo cuerpo ordenado completo es arquimediano» aplicada al real positivo \(q-t\) permite fijar un natural \(N\) tal que

\[ (q-t)(N+1)\ge 2t. \tag{24.3.5} \]

Para \(n\ge N\), la monotonía de los numerales da \((q-t)(n+1)\ge2t\), equivalente a \(q(n+1)\ge t(n+3)\). Todos los denominadores son positivos, así que

\[ \frac{u_{n+1}}{u_n} =q\frac{n+1}{n+3}\ge t>1 \qquad(n\ge N). \tag{24.3.6} \]

Por inducción en \(k\), \(u_{N+k}\ge t^ku_N\ge u_N>0\); la última desigualdad utiliza \(t>1\) y la recursión de potencias. Todo natural \(n\ge N\) se escribe \(N+k\), de modo que todos los términos de esa cola están acotados inferiormente por el mismo real positivo \(u_N\). Con la tolerancia \(\varepsilon=u_N/2\), ninguno de ellos puede satisfacer \(|u_n-0|<\varepsilon\). Por «Convergencia de una sucesión real», \(u_n\) no converge a cero. La construcción toma una base \(q\) fija y un solo índice \(N\); no postula una elección simultánea para todas las bases. \(\square\)

La cota es deliberadamente suficiente para nuestros ejemplos: si los términos de otra sucesión tienen magnitud al menos \(u_n\) eventualmente, esa sucesión tampoco puede tender a cero.

Proposición 24.3.3 — Realización de los cuatro comportamientos de los extremos

Para cada centro \(c\in\mathbb R\) y cada real prescrito \(r>0\) existen series de potencias de radio exactamente \(r\) cuyos conjuntos de extremos convergentes son, respectivamente,

\[ \boxed{\varnothing,\quad\{c-r\},\quad\{c+r\},\quad\{c-r,c+r\}.} \tag{24.3.7} \]

Los cuatro ejemplos pueden elegirse mediante las sucesiones explícitas de coeficientes de la tabla; en ella \(h:=1/r>0\) y todas las expresiones se interpretan en \(\mathbb R\):

Coeficientes \(a_n\)	Extremo izquierdo \(c-r\)	Extremo derecho \(c+r\)
\(h^n\)	diverge	diverge
\(h^n/(n+1)\)	converge condicionalmente	diverge
\((-1)^nh^n/(n+1)\)	diverge	converge condicionalmente
\(h^n/((n+1)(n+2))\)	converge absolutamente	converge absolutamente

Demostración. 1. Existencia de las sucesiones y convergencia interior. Cada coeficiente está dado por operaciones reales únicas, potencias naturales e índices naturales de denominador estrictamente positivo. La Separación sobre el conjunto existente \(\mathbb N\times\mathbb R\) determina un grafo funcional total para cada una de las cuatro sucesiones; no se escoge una familia arbitraria de coeficientes. Fijemos un punto \(x\) y pongamos \(z:=(x-c)/r\). La identidad de potencias de productos demostrada en (24.1.13) transforma los términos en \(z^n\), \(z^n/(n+1)\), \((-1)^nz^n/(n+1)\) y \(z^n/((n+1)(n+2))\), respectivamente. Si \(|z|<1\), sus magnitudes están acotadas por \(|z|^n\), pues todos los denominadores son al menos \(1\). La serie geométrica converge por «Convergencia y suma de la serie geométrica para $»; el criterio de comparación «Criterio de comparación directa» y «La convergencia absoluta implica convergencia ordinaria» dan convergencia absoluta en los cuatro casos.

2. Divergencia exterior y radio exacto. Si \(|z|=:q>1\), las magnitudes de los cuatro términos son, respectivamente,

\[ q^n,\qquad\frac{q^n}{n+1},\qquad \frac{q^n}{n+1},\qquad\frac{q^n}{(n+1)(n+2)}. \]

Todas son mayores o iguales que \(u_n=q^n/((n+1)(n+2))>0\). Según «Una progresión geométrica supera a un denominador cuadrático», existe una cola sobre la cual \(u_n\ge\delta\) para un real fijo \(\delta>0\). Ninguna de las cuatro sucesiones de términos puede tender a cero. Por la condición necesaria «Condición necesaria de convergencia: el término general tiende a cero», las cuatro series divergen en todo punto con \(|x-c|>r\).

Ya sabemos que los cuatro conjuntos de distancias admitidas contienen todo \(d<r\), porque los puntos \(c+d\) convergen absolutamente, y no contienen distancia alguna \(d>r\). Por tanto son conjuntos no vacíos y acotados, y su supremo es \(r\): si \(b<r\) fuese cota superior, el punto medio de \(\max\{b,0\}\) y \(r\) sería una distancia admitida superior a \(b\). La definición «Radio finito y radio infinito» prueba, para cada plantilla, \(R(a,c)=r\), independientemente de lo que suceda en \(d=r\). Así evitamos deducir circularmente el radio a partir de los ejemplos fronterizos.

3. Evaluación de los extremos. Por «Reducción de los extremos a series numéricas y simetría de la convergencia absoluta», basta estudiar la serie de los valores \(b_n=a_nr^n\) y su versión alternada.

• Ninguno. Para \(a_n=h^n\) tenemos \(b_n=1\) y \((-1)^nb_n=(-1)^n\). Los términos de ambas series no tienden a cero; ambas divergen por «Condición necesaria de convergencia: el término general tiende a cero».

• Sólo el izquierdo. Para \(a_n=h^n/(n+1)\) tenemos \(b_n=1/(n+1)\) y la serie armónica diverge por «La condición \(a_n\to0\) no es suficiente: la serie armónica». En el extremo izquierdo aparece la armónica alternada \(\sum(-1)^n/(n+1)\), que converge condicionalmente por «La serie armónica alternada converge condicionalmente».

• Sólo el derecho. Para \(a_n=(-1)^nh^n/(n+1)\), en el extremo derecho aparece la armónica alternada y en el izquierdo \((-1)^{2n}/(n+1)=1/(n+1)\), por inducción elemental de paridad de potencias. El primero converge condicionalmente y el segundo diverge por los mismos resultados cerrados.

• Ambos. Para \(a_n=h^n/((n+1)(n+2))\) tenemos \(b_n=1/((n+1)(n+2))\) y la identidad algebraica

  \[ \frac1{(n+1)(n+2)}=\frac1{n+1}-\frac1{n+2}. \tag{24.3.8} \]

  Una inducción finita sobre \(N\) demuestra que las sumas parciales son \(1-1/(N+2)\). Por «Los recíprocos de los numerales positivos tienden a cero», \(1/(N+2)\to0\) (es una cola de los recíprocos de numerales positivos); así la serie no negativa converge a \(1\). Su convergencia en \(c+r\) es absoluta. La igualdad de las series de magnitudes (24.3.3) prueba inmediatamente la convergencia absoluta también en \(c-r\); no se afirma que sus sumas ordinarias sean iguales.

Quedan construidas las cuatro posibilidades (24.3.7) con radio prescrito \(r\), mediante pruebas internas y sin recurrir a elección. \(\square\)

Ejemplo adicional: convergencia condicional en ambos extremos. La presencia de los dos extremos no exige convergencia absoluta. Fijemos \(r>0\), \(h=1/r\), y definamos por paridad

\[ a_{2k}=\frac{(-1)^kh^{2k}}{k+1},\qquad a_{2k+1}=0 \quad(k\in\mathbb N). \tag{24.3.9} \]

La descomposición par/impar y estas fórmulas dan una sucesión única por Separación. Para \(|x-c|<r\), la magnitud del término de índice \(n\) está acotada por \(q^n\) con \(q=|x-c|/r<1\); la comparación geométrica da convergencia absoluta. Para \(q>1\), los términos de índice par tienen magnitud \(q^{2k}/(k+1)\ge u_{2k}\), donde \(u_n\) es la sucesión del lema anterior; como \(u_n\) queda eventualmente por encima de un real positivo, los términos pares no tienden a cero. El radio es \(r\) por el mismo argumento de supremo del paso 2. En \(x=c\pm r\), los términos impares son cero y los pares valen \((-1)^k/(k+1)\), porque \((-1)^{2k}=1\). Las sumas parciales de índices \(2K\) y \(2K+1\) coinciden con la suma parcial de índice \(K\) de la armónica alternada: ambas convergen por «La serie armónica alternada converge condicionalmente». Sus series de magnitudes tienen, en esos índices, exactamente las sumas parciales armónicas, que divergen por «La condición \(a_n\to0\) no es suficiente: la serie armónica». Por tanto los dos extremos son condicionalmente convergentes. Esta construcción refina el cuarto patrón sin alterar el conjunto de extremos.

Corolario 24.3.4 — Clasificación exhaustiva de los conjuntos de convergencia de radio finito positivo

Si una serie de potencias tiene radio real \(R>0\), su conjunto de convergencia es exactamente uno de los cuatro conjuntos

\[ \boxed{ \begin{aligned} &(c-R,c+R),\\ &[c-R,c+R),\\ &(c-R,c+R],\\ &[c-R,c+R]. \end{aligned}} \tag{24.3.10} \]

Para cualquier centro dado y cualquier radio positivo prescrito existen series que realizan cada una de esas cuatro formas.

Demostración. Por «Forma exacta del conjunto de convergencia salvo los extremos», \(C(a,c)=(c-R,c+R)\cup E_{a,c}\) y \(E_{a,c}\) es un subconjunto del par \(\{c-R,c+R\}\). La lógica clásica aplicada a la pertenencia de cada uno de sus dos elementos arroja únicamente las cuatro posibilidades de (24.3.10). Son distintas porque \(R>0\) implica \(c-R<c+R\). La proposición anterior construyó, para cualquier \(c\) y \(r>0\), una serie de cada tipo. \(\square\)

Conclusión y transición. El radio gobierna las distancias estrictas y la convergencia absoluta interior; los dos extremos se resuelven mediante series numéricas específicas, no mediante una regla universal de pertenencia. La convergencia absoluta es simultánea en ambos extremos, mientras que la ordinaria puede ocurrir en ninguno, uno o los dos. A continuación investigaremos cómo calcular el radio a partir de los coeficientes mediante límites superiores y cómo obtener, con una cota geométrica uniforme, convergencia en intervalos cerrados estrictamente interiores. Todavía no se afirma convergencia uniforme en el intervalo abierto completo ni se autoriza diferenciación o integración término a término.

24.4. El radio desde los coeficientes: criterio de Cauchy–Hadamard

Hasta ahora, \(R(a,c)\) se construyó a partir de los puntos donde converge la serie. Queremos invertir la perspectiva: partir de la sucesión de coeficientes \(a\) y determinar esa frontera sin conocer de antemano el conjunto \(C(a,c)\). La cantidad relevante no es \(|a_n|\) aislada, sino su raíz de índice \(n\), porque el término en un punto a distancia \(d\) tiene magnitud \(|a_n|d^n\).

Reutilizaremos estrictamente la infraestructura del Capítulo 14. Para evitar la colisión gráfica entre su operador de raíces \(R(a)\) («Sucesión de raíces asociada a una serie») y el radio \(R(a,c)\) («Radio finito y radio infinito»), llamaremos localmente \(\rho:=R(a)\) a la primera sucesión:

\[ \boxed{\rho_0=0,\qquad \rho_n=\sqrt[n]{|a_n|}\quad(n\ge1).} \tag{24.4.1} \]

La raíz de índice cero no está definida y el valor \(\rho_0=0\) es una totalización convencional, no la raíz de \(|a_0|\). El límite superior de «Límite inferior y límite superior» se utilizará sólo si \(\rho\) es acotada. En caso contrario trabajaremos directamente con la falta de cotas; no postularemos un límite superior real infinito.

Proposición 24.4.1 — Raíces de los términos evaluados

Dados \(c,x\in\mathbb R\), \(a:\mathbb N\to\mathbb R\) y \(d:=|x-c|\), para cada \(n\ge1\) se cumple

\[ \boxed{|a_n(x-c)^n|=d^n\rho_n^{\,n}=(d\rho_n)^n, \qquad \sqrt[n]{|a_n(x-c)^n|}=d\rho_n.} \tag{24.4.2} \]

Demostración. La multiplicatividad del valor absoluto («El valor absoluto conmuta con las potencias naturales») y una inducción en la definición de potencia natural dan \(|(x-c)^n|=|x-c|^n=d^n\). Como \(\rho_n\) es la única raíz no negativa de \(|a_n|\), se cumple \(\rho_n^n=|a_n|\). La identidad \((uv)^n=u^nv^n\), ya probada en «Las raíces enésimas de una constante positiva tienden a uno», entrega la primera igualdad de (24.4.2). El producto \(d\rho_n\) es no negativo incluso si \(d=0\) o \(a_n=0\), y su potencia \(n\)-ésima es el radicando. La unicidad de la raíz de índice positivo («Existencia y unicidad de la raíz no negativa de índice positivo») prueba la última igualdad. No se toma ninguna raíz con índice cero; el término \(a_0\) permanece finito y separado. \(\square\)

Lema 24.4.2 — Una sucesión no acotada supera cualquier umbral en toda cola

Sea \(u:\mathbb N\to\mathbb R\) una sucesión no acotada superiormente. Para todo \(T\in\mathbb R\) y todo \(N\in\mathbb N\) existe \(n\ge\max\{N,1\}\) con \(u_n>T\).

Demostración. Fijemos \(N,T\) y sea \(K:=\max\{N,1\}\ge1\). Si ningún \(n\ge K\) satisficiera \(u_n>T\), entonces \(T\) acotaría superiormente toda la cola. El prefijo finito \(\{u_0,\ldots,u_{K-1}\}\) posee una cota superior real \(B\): para construirla basta comenzar por \(u_0\) y tomar sucesivamente el máximo de cada nuevo valor y la cota anterior, mediante una inducción de longitud \(K\). Entonces \(\max\{B,T\}\) acotaría todos los términos de \(u\), contradicción. No construimos una subsucesión de índices elegidos para los diferentes valores de \(N\); sólo eliminamos un cuantificador existencial para \(N,T\) fijos. \(\square\)

Teorema 24.4.3 — Fórmula de Cauchy–Hadamard con todos los casos de dominio

Sea \(a:\mathbb N\to\mathbb R\), \(c\in\mathbb R\) y \(\rho\) la sucesión no negativa de (24.4.1). El radio \(R(a,c)\), cuya existencia ya fue establecida en §24.2, queda determinado por los coeficientes mediante tres casos excluyentes y exhaustivos:

\[ \boxed{ \begin{array}{c|c} \text{condición sobre }\rho & R(a,c)\\ \hline \rho\text{ acotada y }L:=\limsup_{n\to\infty}\rho_n=0 & +\infty\\ \rho\text{ acotada y }L:=\limsup_{n\to\infty}\rho_n>0 & 1/L\\ \rho\text{ no acotada superiormente} & 0 \end{array}} \tag{24.4.3} \]

En la fila intermedia, \(L\) es un real finito. En particular, la fórmula convencional \(R=1/\limsup\sqrt[n]{|a_n|}\) es únicamente una abreviatura de (24.4.3): no efectúa divisiones por cero o por un símbolo infinito.

Demostración. Paso 1. Sucesión de raíces acotada. Como \(\rho_n\ge0\), si \(\rho\) es acotada existe su límite superior real finito \(L\ge0\) por «Límite inferior y límite superior» y «Convergencia de las envolventes de colas». Para cada natural \(N\), la envolvente \(U_N(\rho)\) es el supremo de la cola \(\{\rho_n:n\ge N\}\); las envolventes convergen a \(L\) y éste es el ínfimo de todas ellas. Fijemos una distancia real \(d>0\).

Si \(dL<1\), podemos escoger un solo número

\[ q:=\frac{L+1/d}{2},\qquad L<q<1/d. \tag{24.4.4} \]

La convergencia \(U_N(\rho)\to L\) proporciona un índice \(N_0\ge1\) tal que \(U_{N_0}(\rho)<q\). Por ser esa envolvente cota superior de toda su cola, para cada \(n\ge N_0\) se tiene \(\rho_n\le U_{N_0}(\rho)<q\). Aplicamos (24.4.2):

\[ 0\le |a_n(x-c)^n|=(d\rho_n)^n\le(dq)^n, \qquad |x-c|=d, \tag{24.4.5} \]

con \(0<dq<1\). La serie geométrica \(\sum(dq)^n\) converge («Convergencia y suma de la serie geométrica para $»); la dominación eventual de «Dominación absoluta eventual» prueba la convergencia absoluta en todo punto de esa distancia. Los términos anteriores a \(N_0\) son finitos y no se descarta ninguno sin justificar el criterio de colas.

Si \(dL>1\), elijamos, también para esta distancia fija,

\[ q:=\frac{L+1/d}{2},\qquad 1/d<q<L. \tag{24.4.6} \]

Para todo \(N\ge1\), \(U_N(\rho)\ge L>q\). Si todos los términos de esa cola fuesen menores o iguales que \(q\), su supremo sería a lo sumo \(q\), contradicción. Por tanto

\[ \forall N\ge1\quad\exists n\ge N:\quad\rho_n>q. \tag{24.4.7} \]

En cada índice así encontrado, (24.4.2) da

\[ |a_n(x-c)^n|=(d\rho_n)^n>(dq)^n\ge1, \tag{24.4.8} \]

pues \(dq>1\) y \(n\ge1\). Los términos no tienden a cero: la tolerancia \(1\) incumple la condición eventual de convergencia. Por «Criterio de divergencia por el término general», la serie diverge en cualquier punto a esa distancia. La proposición (24.4.7) sólo afirma la existencia de un índice en cada cola; no elige simultáneamente una subsucesión.

Paso 2. Si \(L=0\), el radio es infinito. Dado cualquier \(x\ne c\), su distancia \(d=|x-c|>0\) satisface \(dL=0<1\), y el paso 1 proporciona convergencia absoluta. En \(x=c\) la convergencia absoluta es inmediata: el término inicial tiene magnitud \(|a_0|\) y todos los posteriores son cero («El centro siempre pertenece al conjunto de convergencia»). Así \(C(a,c)=\mathbb R\). Sus distancias admitidas son todos los reales no negativos, porque cada \(d\ge0\) está realizada por \(x=c+d\); ese conjunto no está acotado superiormente por la propiedad arquimediana. La definición «Radio finito y radio infinito» asigna el radio formal \(+\infty\).

Paso 3. Si \(0<L\) es finito, el radio es \(1/L\). El inverso \(r:=1/L>0\) existe en el cuerpo real. Para todo \(0\le d<r\) se tiene \(dL<1\) cuando \(d>0\), por lo que el paso 1 prueba convergencia absoluta en \(c+d\); si \(d=0\), se aplica «El centro siempre pertenece al conjunto de convergencia». Así \([0,r)\subseteq D(a,c)\). Por otra parte, si \(d>r\), entonces \(dL>1\) y el paso 1 prueba divergencia de la serie en cualquier punto situado a distancia \(d\), de modo que ningún elemento de \(D(a,c)\) excede \(r\). En consecuencia, \(D(a,c)\) es no vacío y está acotado superiormente por \(r\); su supremo existe.

Verifiquemos que ese supremo es exactamente \(r\): si \(b<r\) fuese cota superior, el real \(d:=(\max\{b,0\}+r)/2\) cumpliría \(0\le d<r\) y \(d>b\). Como \(d\in D(a,c)\), contradice la supuesta cota \(b\). Por unicidad del supremo, \(\sup D(a,c)=r\), es decir, \(R(a,c)=1/L\). El argumento no pregunta si converge la serie para \(d=r\).

Paso 4. Sucesión de raíces no acotada. Para todo punto \(x\ne c\), sea \(d:=|x-c|>0\) y fijemos el umbral \(T:=1/d\). El lema «Una sucesión no acotada supera cualquier umbral en toda cola» demuestra que, para cada \(N\), existe \(n\ge\max\{N,1\}\) con \(\rho_n>T\). Por (24.4.2), esos términos satisfacen

\[ |a_n(x-c)^n|=(d\rho_n)^n>1. \tag{24.4.9} \]

La sucesión de términos no tiende a cero, así que la serie diverge fuera del centro. Puesto que en el centro sí converge, \(C(a,c)=\{c\}\), \(D(a,c)=\{0\}\) y, por la definición previa del radio, \(R(a,c)=0\). No se ha asignado un valor numérico a un supuesto \(\limsup\rho_n\) no definido.

La lógica clásica separa acotación y no acotación. Cuando hay acotación, \(L\ge0\) es un real y se distingue exhaustivamente entre \(L=0\) y \(L>0\). Los cuatro pasos prueban las tres filas de (24.4.3) sin adoptar Choice. \(\square\)

Lectura de la fórmula. Raíces eventualmente pequeñas fuerzan convergencia por comparación geométrica; raíces suficientemente grandes en todas las colas impiden que el término general tienda a cero. La igualdad \(dL=1\) queda deliberadamente indecidida por esta prueba: los ejemplos de §24.3 muestran por qué ninguna conclusión uniforme sobre los extremos es correcta.

Ejemplo: la raíz no necesita tener límite ordinario. Definamos \(a_0=0\) y, para \(n\ge1\),

\[ a_n:=\begin{cases}2^n,&n\text{ par},\\(1/2)^n,&n\text{ impar}.\end{cases} \tag{24.4.10} \]

Las dos clases de paridad («Dicotomía de paridad») determinan un único grafo por Separación en \(\mathbb N\times\mathbb R\). Por unicidad de la raíz no negativa, \(\rho_n=2\) en los índices pares positivos y \(\rho_n=1/2\) en los impares; \(\rho_0=0\). No existe límite ordinario, pues las subsecuencias explícitas de índices \(2k+2\) y \(2k+1\) son constantes con valores distintos. Toda cola contiene un índice par positivo y todos sus valores son menores o iguales que \(2\), por lo que \(U_N(\rho)=2\) para todo \(N\). Así \(L=2\) y el teorema demuestra \(R(a,c)=1/2\) para cualquier centro. No se obtiene este resultado aplicando un criterio que exija la existencia del límite ordinario de las raíces.

Corolario 24.4.4 — Independencia del centro e invariancia bajo cambios finitos

Para una misma sucesión de coeficientes \(a\), el radio no depende del centro: si \(c,c'\in\mathbb R\), entonces \(R(a,c)=R(a,c')\), entendiendo la igualdad de dos radios infinitos como igualdad de las marcas formales de caso. Además, si \(a,b:\mathbb N\to\mathbb R\) coinciden a partir de algún índice, para todo centro \(c\) vale \(R(a,c)=R(b,c)\). Esta invariancia del radio no afirma igualdad de las funciones suma ni de los conjuntos de convergencia como subconjuntos de \(\mathbb R\) cuando cambian los centros.

Demostración. En (24.4.3), las condiciones de las tres filas dependen exclusivamente de \(\rho_n=\sqrt[n]{|a_n|}\) para \(n\ge1\) y, por tanto, exclusivamente de \(a\), nunca del centro. Esto demuestra la primera afirmación.

Para la segunda, supongamos \(a_n=b_n\) cuando \(n\ge N_0\). Sus sucesiones de raíces coinciden entonces para todos esos índices positivos. Ambas son acotadas a la vez: si una lo es, su cota en la cola es también cota para la otra, y el prefijo finito restante tiene un máximo obtenido mediante inducción; la recíproca es idéntica. Si son no acotadas, la tercera fila de (24.4.3) les asigna radio cero. Si son acotadas, «Invariancia de los límites extremos bajo coincidencia eventual» garantiza que sus límites superiores finitos coinciden, por igualdad eventual; se aplica la misma fila primera o segunda del teorema. De este modo sus radios coinciden en todos los casos. \(\square\)

Transición. La fórmula calcula el radio pero no suministra por sí sola una cota común para todos los puntos de un intervalo interior. En §24.5 fijaremos \(0\le r<R\) cuando el radio sea real positivo (o cualquier \(r\ge0\) cuando sea infinito), encontraremos una distancia admitida estrictamente mayor que \(r\) y construiremos un mayorante geométrico independiente de \(x\in[c-r,c+r]\). Sólo después aplicaremos el criterio \(M\) de Weierstrass y los teoremas de continuidad e intercambio del Capítulo 23. No se ha abierto un nuevo checkpoint Lean.

24.5. Convergencia uniforme en los intervalos interiores y continuidad de la suma

La convergencia absoluta obtenida en §24.2 es una propiedad de cada evaluación por separado. Para pasar a convergencia uniforme fijaremos primero un conjunto de puntos, encontraremos una sola evaluación convergente a distancia mayor que todas las distancias de ese conjunto y construiremos una sucesión mayorante que no dependa del punto variable. Esta estrategia reutiliza el criterio \(M\) del Capítulo 23: no se invoca una supuesta regla automática «convergencia puntual implica uniforme».

Teorema 24.5.1 — Convergencia absoluta uniforme y cota geométrica del resto

Sean \(a:\mathbb N\to\mathbb R\) y \(c\in\mathbb R\), con radio \(R:=R(a,c)\). Supongamos una de estas condiciones: (i) \(R\in\mathbb R\) y \(R>0\), con \(0\le r<R\); o (ii) \(R=+\infty\) (marca formal), con un real arbitrario \(r\ge0\). Sea

\[ K_r:=[c-r,c+r]\subseteq\mathbb R. \tag{24.5.1} \]

La serie de restricciones \(p_n^{a,c}\upharpoonright K_r:K_r\to\mathbb R\) converge absoluta y uniformemente sobre \(K_r\) a la restricción \(F_{a,c}\upharpoonright K_r\). Más precisamente, existen reales \(M>0\) y \(q\) con \(0\le q<1\), independientes de \(n\) y de \(x\in K_r\), tales que

\[ \boxed{|a_n(x-c)^n|\le Mq^n \qquad(n\in\mathbb N,\ x\in K_r).} \tag{24.5.2} \]

Para toda suma parcial de índice \(N\in\mathbb N\), la función suma satisface la cota uniforme de error

\[ \boxed{\forall x\in K_r:\quad |F_{a,c}(x)-S_N^{a,c}(x)|\le \frac{Mq^{N+1}}{1-q}.} \tag{24.5.3} \]

La expresión \(q^0\) conserva la convención \(0^0=1\); en (24.5.3) el exponente \(N+1\ge1\), por lo que, si \(q=0\), el lado derecho es cero.

Demostración. 1. Una distancia convergente mayor que \(r\). En el caso de radio finito positivo, \(r<R=\sup D(a,c)\) no es cota superior de \(D(a,c)\); existe por tanto \(d\in D(a,c)\) con \(d>r\). Si el radio es infinito, \(D(a,c)\) no está acotado superiormente por definición y obtenemos igualmente \(d\in D(a,c)\) con \(d>r\). En cualquiera de los casos, la definición de \(D(a,c)\) proporciona un solo punto \(y\in C(a,c)\) con \(|y-c|=d>r\ge0\). Por consiguiente \(y\ne c\) y \(d>0\). No hemos seleccionado testigos simultáneamente para todos los radios.

2. Mayoración válida en todos los puntos. Como la serie numérica \(\sum a_n(y-c)^n\) converge, «Acotación de los términos al converger una serie numérica» proporciona un único \(M>0\) tal que \(|a_n(y-c)^n|\le M\) para todo \(n\). Fijemos

\[ q:=\frac r d,\qquad 0\le q<1. \tag{24.5.4} \]

Si \(x\in K_r\), entonces \(|x-c|\le r\). La identidad de potencias (24.1.13), la multiplicatividad del valor absoluto y \(d>0\) permiten escribir, para cada natural \(n\),

\[ \begin{aligned} |a_n(x-c)^n| &=|a_n(y-c)^n|\left|\frac{x-c}{y-c}\right|^n\\ &\le M\left(\frac{|x-c|}{d}\right)^n \le Mq^n. \end{aligned} \tag{24.5.5} \]

La última desigualdad se obtiene por inducción en \(n\) de la monotonía de las potencias de bases no negativas; también vale para \(n=0\), cuando ambas potencias son \(1\). Los dos parámetros \(M\) y \(q\) se fijaron antes de cuantificar sobre los puntos \(x\in K_r\).

3. Aplicación del criterio \(M\) y reconocimiento del límite. La sucesión de funciones restringidas está unívocamente determinada por sus grafos y tiene dominio común exacto \(K_r\). Definimos la sucesión numérica mayorante \(m_n:=Mq^n\); su grafo en \(\mathbb N\times\mathbb R\) queda determinado por Separación, sin elecciones. La serie geométrica converge por «Convergencia y suma de la serie geométrica para $», y su producto por \(M\) converge con suma \(B=M/(1-q)\). La hipótesis del criterio \(M\) «Criterio \(M\) de Weierstrass y estimación del resto» es precisamente (24.5.2); por tanto la serie restringida converge absoluta y uniformemente hacia una única función \(G:K_r\to\mathbb R\). Para cada \(x\in K_r\) su serie numérica converge y tiene límite \(G(x)\). La construcción previa de \(F_{a,c}\) («Existencia y unicidad de la función suma sobre su dominio exacto») y la unicidad del límite real («Unicidad del límite real») implican \(G(x)=F_{a,c}(x)\): \(K_r\subseteq C(a,c)\) y las dos funciones coinciden en todos sus valores. Por igualdad de grafos tipados, \(G=F_{a,c}\upharpoonright K_r\).

4. Error explícito. Sean \(U_N:=\sum_{n=0}^{N}m_n\). La estimación del resto incluida en «Criterio \(M\) de Weierstrass y estimación del resto» proporciona, para todos los \(x\in K_r\),

\[ |F_{a,c}(x)-S_N^{a,c}(x)|\le B-U_N. \]

La identidad finita geométrica, válida también para \(q=0\), da \(U_N=M(1-q^{N+1})/(1-q)\). Restando esta expresión de \(B=M/(1-q)\) resulta exactamente (24.5.3). Como \(q^{N+1}\to0\) por «Convergencia y suma de la serie geométrica para $» y la condición necesaria «Condición necesaria de convergencia: el término general tiende a cero» y \(M/(1-q)\) es un real fijo, el error mayorante tiende a cero independientemente de \(x\). \(\square\)

Caso degenerado separado. Si \(R(a,c)=0\), sólo converge la serie en \(\{c\}\) («Clasificación por el radio y convergencia interior»). En ese singleton las sumas parciales son idénticamente \(a_0\) por «El centro siempre pertenece al conjunto de convergencia»; por eso hay convergencia uniforme trivial en \(\{c\}\). No se le atribuye un intervalo interior de longitud positiva ni se inventa un número \(r\) con \(0<r<R\).

Corolario 24.5.2 — Uniformidad en conjuntos de distancia uniformemente interior

Bajo las hipótesis sobre el radio del teorema precedente, sea \(E\subseteq\mathbb R\) cualquier conjunto tal que exista un solo real admisible \(r\ge0\) con

\[ \forall x\in E:\quad |x-c|\le r, \qquad r<R\ \text{si }R\in\mathbb R. \tag{24.5.6} \]

La serie de potencias restringida a \(E\) converge absoluta y uniformemente a \(F_{a,c}\upharpoonright E\). Para ese mismo \(r\) se conserva la estimación (24.5.3), con \(x\in E\).

Demostración. La condición equivale a la inclusión \(E\subseteq K_r=[c-r,c+r]\). Fijamos el testigo \(r\) una vez. Restringir a \(E\) las funciones del teorema y la función límite conserva (24.5.2) y (24.5.3) con los mismos \(M,q\), porque toda afirmación para cada \(x\in K_r\) vale para cada \(x\in E\). El criterio \(M\) o directamente la definición de convergencia uniforme suministra el mismo índice para todos los puntos de \(E\). Las restricciones poseen grafos únicos; no hay una selección de funciones ni de radios. Si \(E=\varnothing\), las desigualdades y la uniformidad se cumplen vacuamente, como permiten las definiciones del Capítulo 23. \(\square\)

Precisión sobre los compactos. La forma de (24.5.6) es la hipótesis empleada en la demostración y no presupone que \(E\) sea compacto. Todo compacto no vacío contenido en el intervalo abierto interior satisface esa condición por el teorema del valor extremo «Teorema del valor extremo: Weierstrass» aplicado a \(x\mapsto|x-c|\); en el caso de radio infinito basta que el compacto sea acotado. Esta observación no sustituye la prueba de la uniformidad por la mera palabra «compacto».

Teorema 24.5.3 — Continuidad de la función suma en el interior

Definamos el dominio interior \(I\) de la serie por casos: si \(R:=R(a,c)\) es real positivo, \(I:=(c-R,c+R)\); si \(R=+\infty\) como marca formal, \(I:=\mathbb R\). Entonces \(I\subseteq C(a,c)\) y la función

\[ \boxed{F_{a,c}\upharpoonright I:I\longrightarrow\mathbb R} \tag{24.5.7} \]

es continua en todos los puntos de \(I\) (en el sentido usual, puesto que \(I\) es abierto). En el caso de radio cero el conjunto de convergencia es \(\{c\}\), pero no se afirma que éste sea un dominio abierto ni una continuidad de función definida en un entorno real.

Demostración. El teorema de clasificación por el radio «Clasificación por el radio y convergencia interior» garantiza \(I\subseteq C(a,c)\). La función restringida de (24.5.7) existe por el grafo de \(F_{a,c}\) y la restricción de dominio, sin definir valores en puntos divergentes. Fijemos ahora \(x_0\in I\). Pondremos \(d_0:=|x_0-c|\). Si \(R\) es finito y positivo, tomemos explícitamente \(r:=(d_0+R)/2\), de modo que \(d_0<r<R\). Si \(R=+\infty\), tomemos \(r:=d_0+1\), de modo que \(0\le d_0<r<\infty\); la última desigualdad significa simplemente que \(r\) es un real, no una comparación en un cuerpo de reales extendidos.

En ambos casos \(K_r=[c-r,c+r]\subseteq I\). El teorema «Convergencia absoluta uniforme y cota geométrica del resto» proporciona convergencia uniforme de \(S_N^{a,c}\upharpoonright K_r\) a \(F_{a,c}\upharpoonright K_r\). Elegimos el radio local explícito

\[ \delta:=\frac{r-d_0}{2}>0, \qquad V:=I\cap(x_0-\delta,x_0+\delta). \tag{24.5.8} \]

Para \(x\in V\), la desigualdad triangular da \(|x-c|\le|x-x_0|+d_0<\delta+d_0<r\). Así \(V\subseteq K_r\) y las mismas sumas parciales restringidas a \(V\) convergen uniformemente a \(F_{a,c}\upharpoonright V\).

Cada término \(x\mapsto a_n(x-c)^n\) es continuo en toda la recta: la traslación \(x\mapsto x-c\) es continua, las potencias naturales lo son por inducción mediante el producto y la constante \(a_n\) preserva continuidad. Todas las sumas parciales \(S_N^{a,c}\) son continuas por inducción y la estabilidad de las sumas y productos de funciones continuas («Estabilidad de la continuidad bajo operaciones algebraicas y valor absoluto», en consonancia con «Todo polinomio real es continuo en la recta» sobre polinomios). Sus restricciones a \(I\) son continuas relativamente a \(I\). Aplicamos entonces «Basta la convergencia uniforme cerca del punto» al dominio original \(E=I\), al punto \(x_0\) y al entorno \(V\) de (24.5.8): la uniformidad local y la continuidad de las sumas parciales prueban la continuidad de \(F_{a,c}\upharpoonright I\) en \(x_0\) relativamente a \(I\). Como \(x_0\) era arbitrario e \(I\) es abierto, la conclusión es la continuidad ordinaria en todo \(I\). No se eligió una familia simultánea de radios ni se obtuvo continuidad en los extremos \(|x-c|=R\). \(\square\)

Proposición 24.5.4 — La uniformidad no se extiende necesariamente al intervalo abierto completo

Existe una serie de potencias con radio positivo finito que converge absolutamente en cada punto de su intervalo abierto interior y absoluta y uniformemente en todos sus subintervalos cerrados estrictamente interiores, pero no converge uniformemente en el intervalo abierto completo.

Demostración. Tomemos la serie geométrica \(\sum_{n=0}^{\infty}x^n\), esto es, \(c=0\) y \(a_n=1\) para todo \(n\). «Realización de los tres tipos de radio» ya establece que su radio es \(R=1\); «Clasificación completa de la convergencia de la serie geométrica» determina su conjunto de convergencia \(C(a,0)=(-1,1)\). Por el teorema 24.5.1, la serie converge absoluta y uniformemente sobre \([-r,r]\) para cada \(0\le r<1\).

Si la serie convergiera uniformemente en todo \(E:=(-1,1)\), el resultado cerrado «La convergencia uniforme de una serie obliga a la anulación uniforme de sus términos» obligaría a que la sucesión de términos \(p_n(x)=x^n\) tendiera a cero uniformemente en \(E\). Pero para cualquier natural fijo \(n\ge1\) existe el real único

\[ x_n:=\sqrt[n]{3/4},\qquad 0<x_n<1, \qquad |p_n(x_n)|=x_n^n=3/4>1/2. \tag{24.5.9} \]

La existencia, unicidad y desigualdades del radicando positivo y su raíz positiva provienen de «Existencia y unicidad de la raíz no negativa de índice positivo» y la monotonía de las potencias; se trata de una fórmula explícita, no de escoger puntos arbitrarios. Dada la tolerancia \(\varepsilon=1/2\), ningún umbral \(N\) puede conseguir \(|p_n(x)|<\varepsilon\) para todos \(n\ge N\) y todos \(x\in E\): basta fijar \(n\ge\max\{N,1\}\) y evaluar en \(x_n\). Esto contradice la anulación uniforme necesaria; por tanto no hay convergencia uniforme en \((-1,1)\). \(\square\)

Conclusión y transición. Los intervalos interiores poseen control geométrico uniforme con un radio y una cota fijados antes de variar el punto; de ahí se obtiene la continuidad de la suma en su dominio abierto interior. El ejemplo geométrico impide generalizar esa uniformidad al intervalo abierto completo sin hipótesis nuevas. Tampoco hemos probado continuidad hasta los extremos convergentes, ni intercambio de derivada e integral con la serie: deberán justificarse en unidades posteriores. La siguiente unidad estudiará la integración término a término sobre intervalos cerrados interiores a partir de «Integración término a término de una serie dominada» y la derivación tras establecer una cota uniforme para la serie derivada; ninguna de esas conclusiones se presupone aquí.

24.6. Integración término a término en el interior del radio

La uniformidad demostrada en §24.5 permite integrar una serie de potencias sobre intervalos cerrados estrictamente interiores. Debemos separar tres operaciones que no son intercambiables por definición: la integración de cada monomio, el paso al límite de las sumas parciales y la construcción de una primitiva de la función suma. En particular, el tratado sólo define hasta aquí la integral de Riemann con extremos ordenados. En toda esta sección \(I\) denota el dominio abierto interior de «Continuidad de la función suma en el interior»: \((c-R,c+R)\) para \(0<R\in\mathbb R\), y \(\mathbb R\) para radio formal infinito. Si \(R=0\), no se afirma un resultado de integración sobre un intervalo interior de longitud positiva.

Lema 24.6.1 — Integral de cada monomio centrado sobre un intervalo ordenado

Fijemos \(a:\mathbb N\to\mathbb R\), \(c\in\mathbb R\), \(n\in\mathbb N\) y reales \(u\le v\). La restricción \(p_n^{a,c}\upharpoonright[u,v]:[u,v]\to\mathbb R\) es integrable y

\[ \boxed{\int_u^v\bigl(p_n^{a,c}\upharpoonright[u,v]\bigr) =\frac{a_n}{n+1}\bigl((v-c)^{n+1}-(u-c)^{n+1}\bigr).} \tag{24.6.1} \]

Cuando \(n+1\) interviene en una operación real, designa su imagen canónica \(\nu_{\mathbb R}(n+1)\), que es estrictamente positiva porque \(n+1\ge1\); se invierte esa imagen real, sin identificar literalmente los dos conjuntos numéricos. Cuando \(u=v\) se usa la integral del singleton, no un teorema formulado sólo para intervalos no degenerados.

Demostración. Primero verificamos la identidad diferencial para potencias naturales, sin presuponer la regla general. Sea \(z(x)=x-c\) en \(\mathbb R\). La derivada de \(z\) es \(1\), pues es afín («Primeros cálculos: funciones afines y función cuadrática»). Por inducción, para cada \(k\ge1\) la función \(z^k\) es derivable y \((z^k)'=kz^{k-1}\): el caso \(k=1\) es la derivada de \(z\); si vale en \(k\), la regla del producto «Regla de derivación del producto» aplicada a \(z^{k+1}=z^kz\) entrega

\[ (z^{k+1})'=kz^{k-1}z+z^k\cdot1=(k+1)z^k. \tag{24.6.2} \]

La identidad \(z^{k-1}z=z^k\) procede de la recursión de potencias. En particular, con \(k=n+1\), la función explícita

\[ H_n:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad H_n(x):=\frac{a_n}{n+1}(x-c)^{n+1} \tag{24.6.3} \]

es derivable con \(H_n'=a_n(x-c)^n=p_n^{a,c}\) por la regla de escalar «Multiplicación por escalares, opuestos y diferencias»; las dos funciones son continuas por «Todo polinomio real es continuo en la recta» y estabilidad algebraica. Si \(u<v\), la restricción del monomio al cerrado es integrable por «Toda función continua en un intervalo cerrado es integrable», y la restricción de \(H_n\) es continua en el cerrado y derivable en el abierto, con derivada igual al monomio restringido. Por tanto satisface la definición de primitiva «Primitiva sobre un intervalo cerrado», y Newton–Leibniz «Regla de Newton–Leibniz para integrandas integrables que admiten primitiva» da \(H_n(v)-H_n(u)\), exactamente (24.6.1). Si \(u=v\), «Integración en un intervalo degenerado» asigna cero a la integral del singleton, mientras que \(H_n(v)-H_n(u)=0\). Las funciones se definieron mediante fórmulas únicas y sus restricciones mediante grafos, sin seleccionar primitivas para una familia de índices. \(\square\)

Teorema 24.6.2 — Integración término a término y convergencia absoluta de las integrales

Supongamos que el radio \(R(a,c)\) es finito positivo o infinito en el sentido de «Radio finito y radio infinito». Sean extremos ordenados \(u,v\in I\) con \(u\le v\). La restricción de la función suma \(F_{a,c}\upharpoonright[u,v]\) es integrable, la serie real de las integrales de los términos converge absolutamente, y vale

\[ \boxed{ \int_u^v\bigl(F_{a,c}\upharpoonright[u,v]\bigr) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1} \bigl((v-c)^{n+1}-(u-c)^{n+1}\bigr).} \tag{24.6.4} \]

La suma de la derecha denota un número real sólo tras verificar su convergencia. Más precisamente, para \(r:=\max\{|u-c|,|v-c|\}\), existen \(M>0\) y \(0\le q<1\) tales que, para cada \(N\in\mathbb N\),

\[ \boxed{\left|\int_u^v(F_{a,c}\upharpoonright[u,v]) -\sum_{n=0}^{N}\frac{a_n}{n+1} \bigl((v-c)^{n+1}-(u-c)^{n+1}\bigr)\right| \le(v-u)\frac{Mq^{N+1}}{1-q}.} \tag{24.6.5} \]

Demostración. 1. Dominio común. El real \(r\ge0\) está bien definido por un máximo finito. Si \(R\in\mathbb R\) y \(R>0\), las hipótesis \(u,v\in(c-R,c+R)\) dan \(r<R\); si \(R=+\infty\), \(r\) es un real no negativo admisible sin efectuar comparación aritmética con \(+\infty\). Todo \(x\in[u,v]\) satisface \(|x-c|\le r\), por análisis de los casos \(x\ge c\) y \(x\le c\) o por convexidad elemental del intervalo; por tanto \([u,v]\subseteq K_r=[c-r,c+r]\subseteq I\). La pertenencia de \(u,v\) a \(I\) garantiza que sus restricciones de \(F_{a,c}\) y de los términos tienen dominio exacto \([u,v]\).

2. Hipótesis del intercambio. «Convergencia absoluta uniforme y cota geométrica del resto», aplicado una sola vez a \(K_r\), suministra números \(M>0\), \(0\le q<1\) tales que \(|p_n^{a,c}(x)|\le Mq^n\) simultáneamente para todo \(n\) y todo \(x\in K_r\). La misma cota sirve para todos los puntos de \([u,v]\), y \(\sum Mq^n\) converge por «Convergencia y suma de la serie geométrica para $». Cada monomio restringido es continuo e integrable por el lema 24.6.1; por ello se cumplen todas las hipótesis de «Integración término a término de una serie dominada», incluida la dominación de Weierstrass. Este corolario demuestra primero la integrabilidad de la suma restringida, luego la convergencia de la serie numérica de integrales y finalmente el intercambio

\[ \int_u^v(F_{a,c}\upharpoonright[u,v]) =\sum_{n=0}^{\infty}\int_u^v(p_n^{a,c}\upharpoonright[u,v]). \tag{24.6.6} \]

En el caso \(u=v\) el corolario utiliza la convención integral del singleton, de modo que ambas partes son cero.

3. Evaluación y convergencia absoluta. El lema anterior proporciona la fórmula explícita (24.6.1) para cada sumando de (24.6.6), lo cual prueba (24.6.4). Como \(-Mq^n\le p_n^{a,c}(x)\le Mq^n\) para cada \(x\in[u,v]\), la estimación de integrales por cotas constantes «Positividad y estimaciones por cotas constantes» asegura

\[ \left|\int_u^v(p_n^{a,c}\upharpoonright[u,v])\right| \le(v-u)Mq^n. \tag{24.6.7} \]

Si \(u=v\), ambos lados valen cero por definición; si \(u<v\), se usa el resultado de cotas ordinario. La serie geométrica multiplicada por el real no negativo \(v-u\) converge, también cuando ese factor es cero. El criterio de comparación «Criterio de comparación directa» demuestra convergencia de la serie de magnitudes de las integrales y, por «Serie de valores absolutos; convergencia absoluta y condicional», convergencia absoluta.

4. Control de error. Por linealidad finita de la integral, ya incorporada en «Integración término a término de una serie dominada», la suma de las primeras \(N+1\) integrales es \(\int_u^v(S_N^{a,c}\upharpoonright[u,v])\). En el cerrado \(K_r\) la cota (24.5.3) da \(|F_{a,c}(x)-S_N^{a,c}(x)|\le Mq^{N+1}/(1-q)\) para todos los puntos del intervalo de integración. Ambas funciones son integrables; su diferencia lo es por linealidad, y «Positividad y estimaciones por cotas constantes» acota su integral por la longitud \(v-u\) multiplicada por esa constante. Esto prueba (24.6.5); \(1-q>0\) hace legítimo el denominador y el resto geométrico tiende a cero. No se ha usado linealidad infinita como premisa ni se han elegido integrales simultáneamente: cada valor tiene unicidad y la sucesión es su grafo funcional. \(\square\)

Alcance de los extremos. En (24.6.4) no se integra hasta \(c\pm R\) cuando \(R\) es finito. Aunque la serie pueda converger en alguno de esos puntos, §24.5 no aseguró convergencia uniforme en un cerrado que toque la frontera. Tal ampliación requeriría hipótesis y una prueba adicionales.

Corolario 24.6.3 — Serie de primitivas centrada y estimación uniforme

Bajo las hipótesis de radio del teorema anterior existe una única función \(H_{a,c}:I\to\mathbb R\) determinada por

\[ \boxed{H_{a,c}(x):=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}(x-c)^{n+1},\qquad x\in I.} \tag{24.6.8} \]

La serie converge absoluta y uniformemente sobre cada \(K_r\) admisible de §24.5. Satisface \(H_{a,c}(c)=0\) y, para cada \(x\in I\), puede expresarse solamente por integrales con extremos ordenados:

\[ \boxed{H_{a,c}(x)= \begin{cases} \displaystyle\int_c^x(F_{a,c}\upharpoonright[c,x]),&x\ge c,\\[4pt] \displaystyle-\int_x^c(F_{a,c}\upharpoonright[x,c]),&x<c. \end{cases}} \tag{24.6.9} \]

Para los parámetros \(M,q\) de «Convergencia absoluta uniforme y cota geométrica del resto» asociados a \(K_r\) y para \(x\in K_r\) se tiene

\[ \boxed{\left|H_{a,c}(x)-\sum_{n=0}^{N}\frac{a_n}{n+1}(x-c)^{n+1}\right| \le r\frac{Mq^{N+1}}{1-q}.} \tag{24.6.10} \]

Demostración. Sea \(x\in I\). Existe un real \(r\ge|x-c|\) que satisface las condiciones de §24.5: si el radio es finito positivo, tomamos \(r:=(|x-c|+R)/2<R\); si es infinito, \(r:=|x-c|+1\). Al aplicar «Convergencia absoluta uniforme y cota geométrica del resto» a \(K_r\), obtenemos una sola pareja \(M,q\) con \(|a_n(t-c)^n|\le Mq^n\) para \(t\in K_r\). Para todo \(t\in K_r\) y \(n\ge0\),

\[ \left|\frac{a_n}{n+1}(t-c)^{n+1}\right| =\frac{|t-c|}{n+1}|a_n(t-c)^n| \le rMq^n, \tag{24.6.11} \]

ya que \(n+1\ge1\). La comparación geométrica y el criterio \(M\) «Criterio \(M\) de Weierstrass y estimación del resto» demuestran convergencia absoluta y uniforme de la serie de (24.6.8) en \(K_r\); en particular, existe un límite real único para el \(x\) fijado. Como \(x\) es arbitrario y los límites son únicos, la Separación en \(I\times\mathbb R\) construye el grafo de \(H_{a,c}\) con dominio exacto \(I\), sin una elección numerable de valores. Si \(x=c\), cada sumando es cero porque su exponente es \(n+1\ge1\), de donde \(H_{a,c}(c)=0\).

Para \(x\ge c\), el intervalo \([c,x]\) está contenido en \(I\); «Integración término a término y convergencia absoluta de las integrales», con \(u=c\) y \(v=x\), prueba que su integral es la serie de (24.6.8), ya que \((c-c)^{n+1}=0\). Para \(x<c\), se aplica ese mismo teorema a los extremos ordenados \(x\le c\): la integral \(\int_x^c\) vale \(-\sum a_n(x-c)^{n+1}/(n+1)\), y su opuesto es \(H_{a,c}(x)\). Finalmente, volvamos a la única cota común (24.6.11), obtenida antes de variar \(x\): para todo \(t\in K_r\) y todo \(n\), el valor absoluto del término integrado es a lo sumo \(rMq^n\). El criterio \(M\) «Criterio \(M\) de Weierstrass y estimación del resto», aplicado a esta misma sucesión mayorante, acota la cola tras el índice \(N\) por \(\sum_{n=N+1}^{\infty}rMq^n=rMq^{N+1}/(1-q)\), simultáneamente para todos los \(t\in K_r\). Ésta es exactamente (24.6.10), con los mismos \(M,q\) para todo el cerrado; no se transfieren indebidamente parámetros existenciales de las integrales de intervalos variables. La coincidencia entre las expresiones puntuales y la uniformidad en \(K_r\) no exige uniformidad sobre todo \(I\). \(\square\)

Teorema 24.6.4 — La serie integrada es una primitiva normalizada de la función suma

Bajo las hipótesis de radio de esta sección, \(H_{a,c}:I\to\mathbb R\) es derivable en todo punto de \(I\) y

\[ \boxed{H_{a,c}'(x)=F_{a,c}(x)\quad(x\in I),\qquad H_{a,c}(c)=0.} \tag{24.6.12} \]

Por consiguiente es la única primitiva de \(F_{a,c}\upharpoonright I\) que se anula en \(c\), entre las funciones derivables sobre \(I\). Esta afirmación no deriva término a término la serie de potencias inicial: deriva la función suma de la serie integrada mediante el teorema fundamental del cálculo.

Demostración. Fijemos \(x_0\in I\). Escojamos el radio real explícito \(r:=(|x_0-c|+R)/2\) si \(0<R\in\mathbb R\), o \(r:=|x_0-c|+1\) si el radio es infinito. Entonces \(|x_0-c|<r\), \(c\in K_r\) y \(x_0\) es interior de \(K_r=[c-r,c+r]\subseteq I\). La función \(f:=F_{a,c}\upharpoonright K_r\) es continua en todo \(K_r\) por «Continuidad de la función suma en el interior», luego integrable por «Toda función continua en un intervalo cerrado es integrable». Su acumulada ordinaria, con origen \(\alpha:=c-r\), es la función tipada \(A:=F_{f,\alpha}:K_r\to\mathbb R\) de «Función integral acumulada». La primera parte del teorema fundamental («Integranda continua sobre todo el intervalo») da

\[ A'(x_0)=f(x_0)=F_{a,c}(x_0). \tag{24.6.13} \]

Para todo \(x\in K_r\), «Valores extremos e identidad exacta de los incrementos» proporciona, cuando \(x\ge c\), la identidad \(A(x)-A(c)=\int_c^x(f\upharpoonright[c,x])\); cuando \(x<c\) proporciona \(A(c)-A(x)=\int_x^c(f\upharpoonright[x,c])\). Las restricciones de \(f\) coinciden con las de \(F_{a,c}\) por igualdad tipada. La fórmula ordenada (24.6.9) implica entonces, en ambos casos,

\[ H_{a,c}(x)=A(x)-A(c)\qquad(x\in K_r). \tag{24.6.14} \]

Restar una constante no altera la derivada («Multiplicación por escalares, opuestos y diferencias»); como \(x_0\) es interior de \(K_r\) y la función global \(H_{a,c}\) coincide con \(A-A(c)\) en un entorno de \(x_0\), los cocientes incrementales coinciden allí, y (24.6.13) prueba \(H_{a,c}'(x_0)=F_{a,c}(x_0)\). El punto era arbitrario, así que (24.6.12) vale en todo \(I\); el valor en \(c\) ya se estableció en el corolario anterior.

Para la unicidad, sea \(G:I\to\mathbb R\) otra función derivable con \(G'=F_{a,c}\) y \(G(c)=0\). Fijemos \(x\in I\) y un cerrado \(K_r\) que contenga \(c\) y \(x\) estrictamente en su interior, como antes. La función \(G-H_{a,c}\) es continua en \(K_r\) y derivable en su interior, con derivada idénticamente cero; por el corolario de constancia del teorema del valor medio «Derivada idénticamente nula si y sólo si la función es constante», su restricción es constante. Al evaluar en \(c\) su valor es \(0\), por lo que \(G(x)=H_{a,c}(x)\). Como \(x\) era arbitrario, la igualdad de grafos tipados «Criterio de igualdad de funciones» da \(G=H_{a,c}\). No se ha escogido una familia de primitivas: la función \(H_{a,c}\) se construyó explícitamente a partir de una serie con límite único. \(\square\)

Balance y transición. La integración término a término está autorizada únicamente en cerrados interiores; la serie integrada proporciona una primitiva normalizada sobre \(I\) y dispone de un resto uniforme calculable a partir de \(M,q\). El paso inverso —derivar la serie original término a término— no se obtiene intercambiando informalmente derivada y límite: deberá demostrarse antes que la serie de funciones derivadas posee control uniforme en cada cerrado interior y que conserva el radio apropiado. Esa será la materia de §24.7. No se abre un checkpoint Lean adicional.

---

24.7. Radio de la serie derivada y derivación término a término

En §24.6 construimos una primitiva mediante la integración de la serie original; ese hecho no autoriza a derivar una sucesión de sumas parciales e intercambiar derivada con límite. El Capítulo 23 exige controlar uniformemente las funciones derivadas y verificar un anclaje. En esta sección probaremos primero que la serie derivada posee el mismo radio que la serie inicial, después construiremos su límite uniforme en cerrados interiores y, sólo al final, aplicaremos el teorema de diferenciación bajo límite uniforme de derivadas. La marca formal \(+\infty\) seguirá tratándose por casos, sin operaciones con infinitos.

Definición 24.7.1 — Coeficientes de la serie derivada formal

Dados \(a:\mathbb N\to\mathbb R\) y \(c\in\mathbb R\), definimos una nueva sucesión real \(b=\partial a:\mathbb N\to\mathbb R\) por

\[ \boxed{b_n:=(n+1)a_{n+1}\quad(n\in\mathbb N).} \tag{24.7.1} \]

Todos los numerales en productos con reales designan su imagen canónica en \(\mathbb R\). El grafo \(\{\langle n,t\rangle\in\mathbb N\times\mathbb R:t=(n+1)a_{n+1}\}\) existe por Separación y tiene un valor real único por índice; no se eligen coeficientes. La serie derivada formal, considerada inicialmente como otra serie de potencias según «Serie de potencias real centrada», es

\[ \boxed{\sum_{n=0}^{\infty}b_n(x-c)^n =\sum_{n=1}^{\infty}n a_n(x-c)^{n-1}.} \tag{24.7.2} \]

La segunda expresión es una reindexación de sumas parciales: el índice \(n=0\) de la primera corresponde al índice \(1\) de la segunda. Todavía no se afirma ni convergencia ni igualdad con \(F_{a,c}'\); el símbolo \(\partial\) designa una transformación algebraica de coeficientes, no una derivada funcional ya legitimada.

Lema 24.7.2 — Absorción del factor lineal por una razón geométrica mayor

Sean reales \(0\le q<s<1\). Entonces existe una cota explícita \(B>0\) tal que, para todo natural \(n\),

\[ \boxed{(n+1)q^n\le B s^n, \qquad B:=\frac{1}{1-q/s}.} \tag{24.7.3} \]

Demostración. Como \(s>0\), el cociente \(t:=q/s\) está definido y satisface \(0\le t<1\). Por la monotonía de las potencias de una base en \([0,1)\) respecto del exponente, para \(0\le k\le n\) tenemos \(t^n\le t^k\); la afirmación comprende \(t=0\) y \(n=0\) mediante \(0^0=1\). Sumando \(n+1\) desigualdades finitas se obtiene

\[ (n+1)t^n\le\sum_{k=0}^{n}t^k =\frac{1-t^{n+1}}{1-t}\le\frac1{1-t}. \tag{24.7.4} \]

La fórmula finita es la identidad geométrica de «Convergencia y suma de la serie geométrica para $», y la última desigualdad utiliza \(t^{n+1}\ge0\) y \(1-t>0\). Al multiplicar por \(s^n\ge0\) resulta \((n+1)q^n\le s^n/(1-q/s)\). El número \(B\) propuesto es un real positivo independiente de \(n\); no se ha derivado la serie geométrica para construirlo. \(\square\)

Teorema 24.7.3 — Igualdad exacta de los radios de la serie y su derivada formal

Para toda sucesión real \(a\) y todo centro \(c\), si \(b=\partial a\), los radios definidos mediante «Radio finito y radio infinito» satisfacen

\[ \boxed{R(b,c)=R(a,c).} \tag{24.7.5} \]

La igualdad incluye por separado los casos \(R=0\), \(0<R\in\mathbb R\) y \(R=+\infty\); en este último caso significa igualdad de marcas formales, no una operación aritmética. No se afirma igualdad de los conjuntos completos de convergencia en los extremos.

Demostración. 1. De la convergencia original a la de la serie derivada, estrictamente hacia dentro. Sea \(y\in C(a,c)\) con distancia \(d:=|y-c|>0\). El lema «Acotación de los términos al converger una serie numérica» aplicado a la serie numérica convergente en \(y\) proporciona un solo \(M>0\) con \(|a_k|d^k\le M\) para todo natural \(k\). Fijemos \(x\) con \(h:=|x-c|<d\) y pongamos \(q:=h/d\in[0,1)\). Para cada \(n\ge0\), la identidad (24.7.1) y la cota en \(k=n+1\) dan

\[ \begin{aligned} |b_n(x-c)^n| &=(n+1)|a_{n+1}|h^n\\ &\le\frac{M}{d}(n+1)q^n. \end{aligned} \tag{24.7.6} \]

No se ha dividido por \(h\), por lo que \(x=c\) está incluido. Escojamos explícitamente \(s:=(1+q)/2\), de modo que \(0\le q<s<1\). Por «Absorción del factor lineal por una razón geométrica mayor» el lado derecho está dominado por \([M/(d(1-q/s))]s^n\). La serie de esta última expresión converge por la serie geométrica y la regla de multiplicación por un escalar. El criterio de comparación «Criterio de comparación directa» y la convergencia absoluta «La convergencia absoluta implica convergencia ordinaria» demuestran

\[ \boxed{y\in C(a,c),\ d>0,\ |x-c|<d \ \Longrightarrow\ x\in C(b,c).} \tag{24.7.7} \]

2. De la serie derivada a la original, estrictamente hacia dentro. Recíprocamente, sea \(y\in C(b,c)\) con \(d:=|y-c|>0\). Ahora «Acotación de los términos al converger una serie numérica» da \(M>0\) con

\[ |(n+1)a_{n+1}|d^n\le M\qquad(n\in\mathbb N). \tag{24.7.8} \]

Para un punto \(x\) con \(h:=|x-c|<d\), y \(q=h/d\in[0,1)\), el término inicial \(a_0\) es finito, mientras que para todo \(n\ge0\),

\[ \begin{aligned} |a_{n+1}(x-c)^{n+1}| &=|(n+1)a_{n+1}(y-c)^n|\, \frac{h}{n+1}q^n\\ &\le Mhq^n. \end{aligned} \tag{24.7.9} \]

En la igualdad se usan únicamente denominadores \(d^n\) y \(n+1\), ambos no nulos en los lugares correspondientes; para \(n=0\), \(d^0=1\). Si \(h=0\), el lado derecho es cero y todos los términos originales de índice positivo se anulan. Para \(0<h<d\), la serie geométrica mayorante converge. Incorporar el único término inicial \(a_0\) no altera la convergencia absoluta. En ambos casos

\[ \boxed{y\in C(b,c),\ d>0,\ |x-c|<d \ \Longrightarrow\ x\in C(a,c).} \tag{24.7.10} \]

3. Comparación de los radios, sin dividir por infinitos. Escribamos \(D_a:=D(a,c)\) y \(D_b:=D(b,c)\). Las implicaciones (24.7.7) y (24.7.10) establecen: para cada \(d>0\) de cualquiera de los dos conjuntos de distancias, toda distancia \(0\le h<d\) pertenece al otro. En efecto, basta tomar el punto explícito \(x=c+h\); la existencia del punto \(y\) para el \(d\) fijo está incluida en la definición de \(D\). Ambos conjuntos contienen cero por «El centro siempre pertenece al conjunto de convergencia».

Si \(D_a\) es no acotado superiormente, para un umbral real arbitrario \(T\) existe \(d\in D_a\) con \(d>\max\{T,0\}+2\). El real explícito \(h:=(d+\max\{T,0\})/2\) satisface \(0<h<d\) y \(h>T\); luego \(h\in D_b\). Por tanto \(D_b\) tampoco está acotado. La implicación contraria se demuestra intercambiando \(a\) y \(b\). Por definición, ambos radios son infinitos simultáneamente.

Queda el caso en que los dos conjuntos están acotados. Sean \(A:=\sup D_a\) y \(B:=\sup D_b\), reales no negativos, cuyas existencias ya están justificadas. Si \(A<B\), el número \(A\) no es cota superior de \(D_b\), de modo que existe \(d\in D_b\) con \(d>A\). Entonces \(h:=(A+d)/2\) satisface \(A<h<d\) y, por (24.7.10), \(h\in D_a\), en contradicción con que \(A\) sea cota superior. Si \(B<A\), se usa simétricamente (24.7.7) y se contradice la propiedad de cota superior de \(B\). Por tricotomía \(A=B\), incluso cuando ambos valen cero. Ésta es exactamente (24.7.5). Los argumentos sólo instancian existenciales para umbrales fijados; no introducen una sucesión de testigos ni Choice. \(\square\)

Teorema 24.7.4 — Convergencia absoluta uniforme de la serie derivada en cada cerrado interior

Supongamos \(R:=R(a,c)>0\) finito o \(R(a,c)=+\infty\) como marca formal. Sea \(I\) el dominio abierto interior definido en «Continuidad de la función suma en el interior» y sea \(b=\partial a\). Entonces existe la función suma restringida de la serie derivada

\[ \boxed{G_{a,c}:=F_{b,c}\upharpoonright I:I\longrightarrow\mathbb R, \qquad G_{a,c}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}b_n(x-c)^n.} \tag{24.7.11} \]

Para cada \(r\ge0\) con \(r<R\) si \(R\) es real positivo, o arbitrario si el radio es infinito, la serie derivada converge absoluta y uniformemente en \(K_r=[c-r,c+r]\) a \(G_{a,c}\upharpoonright K_r\). Más precisamente, existen reales \(B>0\) y \(0<s<1\), independientes de \(x\in K_r\) y de \(n\), con

\[ \boxed{|b_n(x-c)^n|\le Bs^n \quad(n\in\mathbb N,\ x\in K_r),} \tag{24.7.12} \]

lo que proporciona, para cada \(N\), una estimación uniforme del resto de la serie derivada:

\[ \boxed{\forall x\in K_r:\quad \left|G_{a,c}(x)-\sum_{n=0}^{N}b_n(x-c)^n\right| \le\frac{Bs^{N+1}}{1-s}.} \tag{24.7.13} \]

Demostración. Por el teorema anterior, \(R(b,c)=R(a,c)\) en los tres casos de radio. La clasificación «Clasificación por el radio y convergencia interior» garantiza, bajo las hipótesis actuales, \(I\subseteq C(b,c)\); por «Existencia y unicidad de la función suma sobre su dominio exacto» está por tanto bien definida la restricción (24.7.11), con dominio y codominio exactos.

Fijemos una sola vez el real \(r\) del enunciado. Como en el paso 1 de «Convergencia absoluta uniforme y cota geométrica del resto», hay una distancia \(d\in D(a,c)\) con \(d>r\): en el caso finito, \(r<\sup D(a,c)\) y no puede ser cota superior; en el infinito, \(D(a,c)\) es no acotado. La pertenencia de \(d\) suministra un solo \(y\in C(a,c)\) con \(|y-c|=d>0\). El lema «Acotación de los términos al converger una serie numérica» da \(M>0\) con \(|a_k|d^k\le M\) para todo \(k\). Definamos explícitamente

\[ q:=r/d,\qquad s:=(1+q)/2, \qquad B:=\frac{M}{d(1-q/s)}. \tag{24.7.14} \]

Se tiene \(0\le q<s<1\) y \(B>0\). Para todos \(n\in\mathbb N\) y \(x\in K_r\) simultáneamente, \(|x-c|\le r\) y, por el paso 1 de (24.7.6) y el lema 24.7.2,

\[ |b_n(x-c)^n|\le\frac{M}{d}(n+1)q^n \le Bs^n. \tag{24.7.15} \]

Para \(r=0\) la convención \(0^0=1\) asegura también la desigualdad en \(n=0\); los demás términos se anulan en el centro. La serie de números positivos \(\sum Bs^n\) converge. El criterio \(M\) «Criterio \(M\) de Weierstrass y estimación del resto» prueba convergencia absoluta y uniforme de la serie restringida y da el resto (24.7.13), mediante la suma geométrica \(Bs^{N+1}/(1-s)\). El límite único es la restricción de \(F_{b,c}\), pues coincide con ella punto por punto por la definición de suma y la unicidad del límite real. Ninguna cota depende de \(x\); ningún valor se definió fuera del dominio probado. \(\square\)

Teorema 24.7.5 — Derivación término a término en el interior del radio

Si el radio \(R(a,c)\) es finito positivo o infinito, la función \(F_{a,c}\upharpoonright I:I\to\mathbb R\) es derivable en cada punto interior \(x\in I\) y satisface

\[ \boxed{\left(F_{a,c}\upharpoonright I\right)'(x) =\sum_{n=1}^{\infty}n a_n(x-c)^{n-1} =G_{a,c}(x).} \tag{24.7.16} \]

La serie de derivadas converge absoluta y uniformemente en cada \(K_r\) interior, como se probó antes; no se afirma derivabilidad en los extremos del radio finito, aunque alguno pertenezca al conjunto de convergencia. Si \(R(a,c)=0\), \(F_{a,c}\) tiene sólo el dominio \(\{c\}\) y el enunciado no le atribuye una derivada bilateral.

Demostración. Fijemos \(x_0\in I\) y definamos \(d_0:=|x_0-c|\). Si el radio es finito positivo, tomemos \(r:=(d_0+R)/2\); si es infinito, \(r:=d_0+1\). En ambos casos \(r>d_0\ge0\), luego \(r>0\), y \(x_0,c\in(c-r,c+r)\); además \(K_r=[c-r,c+r]\subseteq I\). El uso de un \(r\) estrictamente positivo permite aplicar el teorema del Capítulo 23, que exige un intervalo cerrado no degenerado.

Consideremos, sobre el dominio fijo \(K_r\), las funciones polinómicas

\[ f_N:=S_{N+1}^{a,c}\upharpoonright K_r, \qquad N\in\mathbb N. \tag{24.7.17} \]

Las \(f_N\) son continuas en todo \(K_r\) («Todo polinomio real es continuo en la recta») y derivables en su interior. El lema «Integral de cada monomio centrado sobre un intervalo ordenado» ya demostró la fórmula de derivación de cada potencia centrada; por linealidad finita de la derivada («Multiplicación por escalares, opuestos y diferencias») y derivada nula de la constante, para todo \(t\in(c-r,c+r)\),

\[ \begin{aligned} f_N'(t) &=\sum_{k=1}^{N+1}k a_k(t-c)^{k-1}\\ &=\sum_{n=0}^{N}(n+1)a_{n+1}(t-c)^n =\sum_{n=0}^{N}b_n(t-c)^n. \end{aligned} \tag{24.7.18} \]

El desplazamiento \(N\mapsto N+1\) evita perder el primer término derivado: \(f_N'\) coincide con la suma parcial de índice \(N\) de la serie derivada. Sus grafos y el grafo de la sucesión de derivadas interiores provienen de fórmulas de valor único; cumplen el tipado de «Sucesión de derivadas interiores de una sucesión dada» sin selección.

Por «Convergencia absoluta uniforme de la serie derivada en cada cerrado interior», las derivadas \(f_N'\) convergen uniformemente a \(G_{a,c}\upharpoonright(c-r,c+r)\): la convergencia en todo \(K_r\) implica la uniformidad en su subconjunto interior. Para el anclaje tomamos el mismo punto \(c\) para todos los índices; la proposición «El centro siempre pertenece al conjunto de convergencia» da

\[ f_N(c)=S_{N+1}^{a,c}(c)=a_0\qquad(N\in\mathbb N), \tag{24.7.19} \]

una sucesión constante convergente. Todas las hipótesis de «El anclaje y las derivadas uniformemente convergentes producen un límite uniforme» y «Diferenciación bajo límite uniforme de derivadas» quedan así verificadas en el intervalo cerrado no degenerado \(K_r\), cuyo interior es \((c-r,c+r)\). Esos teoremas proporcionan una función límite uniforme \(f:K_r\to\mathbb R\), derivable en el interior, con \(f'=G_{a,c}\) allí.

Identifiquemos el límite sin presuponer la conclusión: por «Convergencia absoluta uniforme y cota geométrica del resto», las sumas parciales \(S_N^{a,c}\upharpoonright K_r\) convergen uniformemente a \(F_{a,c}\upharpoonright K_r\); su cola \(S_{N+1}^{a,c}\) tiene el mismo límite. Por unicidad puntual y de funciones tipadas, el \(f\) construido por el capítulo 23 coincide con \(F_{a,c}\upharpoonright K_r\). En particular,

\[ \bigl(F_{a,c}\upharpoonright K_r\bigr)'(x_0) =G_{a,c}(x_0). \tag{24.7.20} \]

Puesto que \(x_0\) es interior de \(K_r\) y éste está contenido en \(I\), la restricción de \(F_{a,c}\) a \(K_r\) y su restricción a \(I\) tienen idénticos cocientes incrementales para todo argumento suficientemente cercano a \(x_0\); la igualdad (24.7.20) es por ello la derivada de \(F_{a,c}\upharpoonright I\) en \(x_0\). Como \(x_0\) era arbitrario, obtenemos la primera igualdad de (24.7.16); la segunda es la definición de \(G_{a,c}\) y la reindexación demostrada en (24.7.2). La única convergencia de derivadas utilizada es la que acabamos de establecer por mayoración geométrica; no se intercambiaron límites formalmente ni se usó Choice. \(\square\)

Ejemplo de frontera: los radios coinciden, pero los extremos convergentes pueden cambiar. Para \(c=0\), tomemos la sucesión explícita \(a_n=1/((n+1)(n+2))\). En §24.3 quedó probado que la serie \(\sum a_nx^n\) tiene radio \(1\) y converge absolutamente en los dos extremos. En el extremo derecho, sin embargo, los términos de su serie derivada son, para \(n\ge1\),

\[ \frac{n}{(n+1)(n+2)} =\frac1{n+1}\frac{n}{n+2} \ge\frac1{3(n+1)}. \tag{24.7.21} \]

La serie armónica diverge («La condición \(a_n\to0\) no es suficiente: la serie armónica»); si la serie no negativa de derivadas convergiera, la comparación forzaría la convergencia de un tercio de la armónica, contradicción. Por tanto la serie original converge en \(x=1\) mientras que su serie derivada diverge allí, aunque ambos radios son iguales por el teorema 24.7.3. Este ejemplo no determina por sí solo si la función suma admite alguna derivada unilateral en \(1\): los teoremas de esta sección sólo operan en el abierto interior.

Balance y transición. La serie derivada quedó construida con coeficientes y dominio explícitos, su radio coincide con el original y converge absoluta y uniformemente en cada cerrado interior. El anclaje \(S_{N+1}^{a,c}(c)=a_0\) permite aplicar el teorema cerrado de §23.5 y obtener la derivación término a término, sin circularidad con la primitiva construida en §24.6. El siguiente paso será la unicidad de los coeficientes y las derivadas sucesivas, preparando la teoría de las series de Taylor y la distinción entre suavidad y analiticidad. No se abre un nuevo checkpoint Lean.

---

24.8. Derivadas sucesivas, recuperación y unicidad de los coeficientes

La derivación término a término de §24.7 se demostró para una serie de potencias de radio positivo o infinito. Para reiterarla no basta afirmar informalmente que «podemos seguir derivando»: debemos construir la sucesión de coeficientes correspondiente a cada orden, comprobar que ninguna iteración reduce el radio y preservar el dominio común de las funciones derivadas. Después identificaremos los datos que la función suma determina en su centro y distinguiremos rigurosamente la igualdad en un entorno de la coincidencia en un único punto. Usaremos la notación factorial ya construida en §20.8: \(k!\in\mathbb N\) y \(\eta_k:=\nu_{\mathbb R}(k!)>0\) es su imagen real. Los cocientes con \(\eta_k\) no identifican literalmente los naturales con números reales.

Definición 24.8.1 — Iteración canónica de la transformación de coeficientes

Sea \(a:\mathbb N\to\mathbb R\) una sucesión dada. La operación \(\partial\) de «Coeficientes de la serie derivada formal» envía cada sucesión real \(u\) a la única sucesión definida por \((\partial u)_n=\nu_{\mathbb R}(n+1)u_{n+1}\). Por «Existencia de \(B^A\)» existe el conjunto \(\mathbb R^{\mathbb N}\) de sucesiones reales y, mediante Separación en \(\mathbb R^{\mathbb N}\times\mathbb R^{\mathbb N}\), esa fórmula determina el grafo de una función total \(\partial:\mathbb R^{\mathbb N}\to\mathbb R^{\mathbb N}\).

La recursión natural «Teorema de recursión sobre \(\mathbb N\)», aplicada a esta función total y al dato \(a\), produce una única sucesión de sucesiones

\[ \boxed{\mathbf a:\mathbb N\longrightarrow\mathbb R^{\mathbb N},\qquad \mathbf a(0)=a,\qquad \mathbf a(k+1)=\partial\bigl(\mathbf a(k)\bigr).} \tag{24.8.1} \]

Escribiremos localmente \(a^{[k]}:=\mathbf a(k)\) y \(a^{[k]}_n:=\mathbf a(k)(n)\). Los corchetes distinguen la iteración algebraica de coeficientes de las potencias de números y de la derivada de una función. En particular, \(a^{[0]}=a\) y \(a^{[1]}=\partial a\); los términos existen para todos los pares \((k,n)\), incluso si la serie de potencias de radio cero carece de un intervalo abierto de convergencia. No se ha elegido una sucesión independiente en cada etapa: la recursión sobre una operación total determina la familia completa de manera única.

Lema 24.8.2 — Fórmula factorial de los coeficientes iterados

Para todos \(k,n\in\mathbb N\) se tiene la identidad entre números reales

\[ \boxed{a^{[k]}_n=\frac{\eta_{n+k}}{\eta_n}\,a_{n+k}.} \tag{24.8.2} \]

En particular,

\[ \boxed{a^{[k]}_0=\eta_k a_k.} \tag{24.8.3} \]

Demostración. Inducimos sobre \(k\) demostrando una proposición para todos los índices \(n\) en cada paso. Para \(k=0\), la definición da \(a^{[0]}_n=a_n\); el cociente \(\eta_n/\eta_n=1\) es válido porque \(\eta_n>0\) («Positividad y recurrencia de los factoriales»). Supongamos ahora que (24.8.2) vale para el orden \(k\) y todo \(n\). Por la recurrencia (24.8.1), la definición de \(\partial\) y la hipótesis inductiva evaluada en \(n+1\),

\[ \begin{aligned} a^{[k+1]}_n &=\nu_{\mathbb R}(n+1)\,a^{[k]}_{n+1}\\ &=\nu_{\mathbb R}(n+1)\, \frac{\eta_{n+1+k}}{\eta_{n+1}}a_{n+1+k}\\ &=\frac{\eta_{n+(k+1)}}{\eta_n}a_{n+(k+1)}. \end{aligned} \tag{24.8.4} \]

La última igualdad utiliza la recurrencia real de los factoriales \(\eta_{n+1}=\nu_{\mathbb R}(n+1)\eta_n\), la asociatividad de la adición natural y la cancelación de un factor estrictamente positivo. Concluye la inducción para todos los pares \((k,n)\). Tomar \(n=0\) y usar \(\eta_0=1\) da (24.8.3). No aparece un cociente con factorial nulo ni una selección numerable. \(\square\)

Teorema 24.8.3 — Derivadas de todo orden y conservación del radio

Sea \(a:\mathbb N\to\mathbb R\), \(c\in\mathbb R\) y supongamos que el radio \(R(a,c)\) es un real estrictamente positivo o la marca formal \(+\infty\). Sea \(I=(c-R,c+R)\) en el caso finito positivo e \(I=\mathbb R\) en el infinito, como en «Continuidad de la función suma en el interior». Entonces, para todo \(k\in\mathbb N\):

1. La serie de potencias con coeficientes \(a^{[k]}\) tiene exactamente el mismo radio que la original, incluidos los casos de radio finito positivo e infinito.
2. Su función suma restringida \[ F_k:=F_{a^{[k]},c}\upharpoonright I:I\longrightarrow\mathbb R \tag{24.8.5} \] existe, y su serie converge absoluta y uniformemente en cada \(K_r=[c-r,c+r]\) estrictamente interior; la cota uniforme puede depender de \(k\) y de \(r\).
3. \(F_0=F_{a,c}\upharpoonright I\) y \(F_k\) es derivable en todos los puntos de \(I\), con \(F_k'=F_{k+1}\) allí. Por tanto \(F_0\) posee derivadas de todo orden en \(I\) y, usando la definición recursiva \(F_0^{(0)}:=F_0\), \(F_0^{(k+1)}:=(F_0^{(k)})'\), se cumple \[ \boxed{F_0^{(k)}(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\eta_{n+k}}{\eta_n}a_{n+k}(x-c)^n \qquad(k\in\mathbb N,\ x\in I).} \tag{24.8.6} \]

La iteración funcional \(F_0^{(k)}\) sólo se entiende sobre \(I\), donde quedará verificada su existencia. La cuantificación \(\forall k\,\forall r\) de la convergencia uniforme no afirma la existencia de una cota única válida para todos los órdenes simultáneamente. Si el radio es cero, la familia algebraica (24.8.1) continúa definida, pero este teorema no atribuye derivadas a la función con dominio singleton \(\{c\}\).

Demostración. 1. Radios por inducción. Para \(k=0\) la igualdad \(R(a^{[0]},c)=R(a,c)\) es inmediata. Si vale para \(k\), la identidad \(a^{[k+1]}=\partial(a^{[k]})\) y «Igualdad exacta de los radios de la serie y su derivada formal» demuestran

\[ R(a^{[k+1]},c)=R(a^{[k]},c)=R(a,c). \tag{24.8.7} \]

La inducción vale igualmente cuando ambos radios son la marca formal infinita, pues sólo se establece igualdad de casos y no se opera con \(+\infty\). Bajo la hipótesis de radio positivo/infinito, la clasificación «Clasificación por el radio y convergencia interior» da \(I\subseteq C(a^{[k]},c)\) para cada \(k\).

2. Funciones tipadas y convergencia. La función suma \(F_{a^{[k]},c}\) existe con dominio exacto \(C(a^{[k]},c)\) por «Existencia y unicidad de la función suma sobre su dominio exacto». Su restricción \(F_k\) tiene dominio exacto \(I\) y codominio \(\mathbb R\); la igualdad (24.8.5) no identifica indebidamente los conjuntos de convergencia en los extremos. Para un \(k\) arbitrario y fijo y cualquier radio \(r\) admisible, aplicamos «Convergencia absoluta uniforme y cota geométrica del resto» a la serie \(a^{[k]}\): proporciona la convergencia absoluta uniforme en \(K_r\) y un resto geométrico para ese par de parámetros. Los testigos \(M,q\) de esa aplicación no se ensamblan en una función \((k,r)\mapsto(M,q)\) y no se usa Choice. Como cada \(F_k\) está caracterizada por el límite único en cada \(x\), su grafo se obtiene por Separación en \(I\times\mathbb R\); el grafo de \(k\mapsto F_k\) se obtiene dentro de \(\mathbb N\times\mathbb R^I\), porque para cada \(k\) hay exactamente una función del tipo indicado.

3. Relación entre derivadas. Fijemos de nuevo \(k\). El teorema de derivación término a término «Derivación término a término en el interior del radio» se aplica a la serie de coeficientes \(a^{[k]}\), cuyo radio acabamos de comprobar que es positivo o infinito. Su serie derivada tiene coeficientes \(\partial(a^{[k]})=a^{[k+1]}\) y su intervalo abierto es el mismo \(I\). En consecuencia, sin cambiar de dominio,

\[ \boxed{F_k'(x)=F_{k+1}(x)\qquad(x\in I).} \tag{24.8.8} \]

Para \(k=0\), (24.8.5) coincide con \(F_{a,c}\upharpoonright I\). Induciendo sobre \(k\) en (24.8.8), las derivadas funcionales sucesivas de \(F_0\) existen en todo \(I\) y coinciden con la función ya construida \(F_k\). Finalmente la serie que define \(F_k\) tiene coeficientes \(a^{[k]}_n\), cuya expresión factorial es (24.8.2); sustituirla prueba (24.8.6). En particular, para cada orden, se aplica un teorema ya probado a datos dados, y nunca se deriva una serie por un intercambio ilimitado de límites. \(\square\)

Lectura matemática. Hemos probado más que la existencia de \(F_0'\): todas las derivadas existen, son continuas en \(I\) (cada una es suma de una serie de potencias con radio positivo) y tienen una expansión explícita. Este hecho no afirma todavía que una función real cualquiera con derivadas de todos los órdenes coincida con su serie de Taylor.

Corolario 24.8.4 — Recuperación de cada coeficiente mediante la derivada en el centro

Bajo las hipótesis de «Derivadas de todo orden y conservación del radio», todos los coeficientes de la serie original están determinados por la función suma en un entorno del centro:

\[ \boxed{F_0^{(k)}(c)=\eta_k a_k, \qquad a_k=\frac{F_0^{(k)}(c)}{\eta_k} \quad(k\in\mathbb N).} \tag{24.8.9} \]

Demostración. El centro \(c\) pertenece al abierto \(I\). Por el teorema anterior, \(F_0^{(k)}=F_k\) en ese dominio; por la evaluación en el centro de una serie de potencias («El centro siempre pertenece al conjunto de convergencia»), \(F_k(c)=a^{[k]}_0\). La fórmula factorial (24.8.3) da \(a^{[k]}_0=\eta_k a_k\). El denominador \(\eta_k\) es estrictamente positivo por «Positividad y recurrencia de los factoriales», de modo que dividir por él es legítimo y produce la segunda igualdad. Para \(k=0\), \(\eta_0=1\), y se recupera \(F_0(c)=a_0\). \(\square\)

Teorema 24.8.5 — Unicidad de una expansión en potencias alrededor del mismo centro

Sean \(a,b:\mathbb N\to\mathbb R\) sucesiones reales y \(c\in\mathbb R\) un centro común. Supongamos que ambas series poseen radio estrictamente positivo o infinito y que existe un real \(\delta>0\) tal que el intervalo \(U:=(c-\delta,c+\delta)\) está contenido en los dos interiores radiales y

\[ F_{a,c}(x)=F_{b,c}(x)\qquad(x\in U). \tag{24.8.10} \]

Entonces los coeficientes coinciden en todos los índices:

\[ \boxed{a=b:\mathbb N\longrightarrow\mathbb R,\qquad a_k=b_k\ (k\in\mathbb N).} \tag{24.8.11} \]

La conclusión exige identidad de centro y coincidencia en un entorno abierto; no exige que los radios o los conjuntos de convergencia completos sean idénticos a priori. Recíprocamente, si \(a=b\) y el centro es el mismo, las sumas parciales son idénticas en toda \(\mathbb R\), y las funciones suma coinciden en su dominio exacto común.

Demostración. Sean \(I_a,I_b\) los interiores radiales; \(U\) es un abierto contenido en ambos y contiene \(c\). Definamos las restricciones tipadas \(f:=F_{a,c}\upharpoonright U\) y \(g:=F_{b,c}\upharpoonright U\). La hipótesis (24.8.10) y «Criterio de igualdad de funciones» dan \(f=g\) como funciones con dominio y codominio comunes. Por «Derivadas de todo orden y conservación del radio», tanto \(f\) como \(g\) son derivables de todo orden en \(U\): para cada punto de \(U\) existe un entorno contenido en \(U\) en que sus cocientes incrementales coinciden con los de las funciones sumas sobre \(I_a\) e \(I_b\); por inducción, la misma observación vale para las derivadas sucesivas. Derivar la igualdad \(f=g\) produce, por unicidad del límite de cada cociente incremental, \(f'=g'\); la inducción da

\[ f^{(k)}(x)=g^{(k)}(x) \qquad(k\in\mathbb N,\ x\in U). \tag{24.8.12} \]

En el centro \(c\in U\) esas derivadas coinciden con las de las sumas sobre sus interiores respectivos. El corolario anterior aplicado a cada serie da \(\eta_k a_k=f^{(k)}(c)=g^{(k)}(c)=\eta_k b_k\). Como \(\eta_k>0\), cancelar el mismo factor implica \(a_k=b_k\). El índice \(k\) era arbitrario, por lo que las sucesiones coinciden punto por punto y, al compartir dominio \(\mathbb N\) y codominio \(\mathbb R\), son la misma función. Para la recíproca, cada sumando y cada suma parcial coinciden por igualdad de los datos; por definición también coinciden los predicados de convergencia y, cuando ésta ocurre, el único límite. No se compara una derivada en extremos ni se importa el principio de identidad de funciones analíticas complejas. \(\square\)

Por qué importa el entorno. Una coincidencia sólo en \(x=c\) no determina más que \(a_0=b_0\): las series con coeficientes \(a_n=0\) para todo \(n\) y \(b_0=0\), \(b_1=1\), \(b_n=0\) para \(n\ge2\) representan respectivamente las funciones \(0\) y \(x-c\); ambas tienen radio infinito y ambas valen cero en \(c\), pero \(a_1\ne b_1\). La unicidad anterior tampoco compara coeficientes de desarrollos centrados en puntos diferentes.

Proposición 24.8.6 — Los polinomios de Taylor finitos de una suma de potencias son sus sumas parciales

Supongamos, como en el teorema 24.8.3, que la serie tiene radio positivo o infinito. Para cada \(N\in\mathbb N\), el polinomio de Taylor finito de orden \(N\) de \(F_0\) en el centro \(c\), en el sentido de «Polinomio de Taylor finito en un centro», está bien definido sobre cualquier cerrado interior \(K_r\) no degenerado y coincide, como función polinómica sobre \(\mathbb R\), con la suma parcial original:

\[ \boxed{P_{N,c}(x)=\sum_{k=0}^{N}\frac{F_0^{(k)}(c)}{\eta_k}(x-c)^k =\sum_{k=0}^{N}a_k(x-c)^k=S_N^{a,c}(x).} \tag{24.8.13} \]

Demostración. Como el radio es positivo o infinito, existe un \(r>0\) admisible: en el caso finito \(r:=R(a,c)/2\); en el infinito, \(r:=1\). Entonces \(K_r=[c-r,c+r]\subseteq I\), es un intervalo cerrado no degenerado y contiene \(c\). Para cada \(0\le k\le N\) restringimos la función ya determinada \(F_k\) del teorema 24.8.3 a \(K_r\). Es continua en todo \(K_r\) por «Continuidad de la función suma en el interior» aplicado a la serie \(a^{[k]}\), y satisface \(F_k'=F_{k+1}\) en su interior por (24.8.8) cuando \(k<N\). Las restricciones \(F_0\upharpoonright K_r,\ldots,F_N\upharpoonright K_r\) forman una cadena diferencial finita de orden \(N\) en el sentido de «Cadena diferencial finita sobre un intervalo cerrado»; se define por restricción única para un conjunto finito de índices, sin elegir funciones.

Por «Polinomio de Taylor finito en un centro», su polinomio de Taylor es la primera suma de (24.8.13). La recuperación (24.8.9) prueba que cada coeficiente de esa suma es exactamente \(a_k\). La construcción de las sumas parciales en «Construcción tipada de los términos y las sumas parciales» identifica el resultado con \(S_N^{a,c}\) sobre toda la recta, pues ambas expresiones polinómicas definen el mismo valor para cada real. Hemos establecido una igualdad finita; la identificación de la serie de Taylor infinita con una función arbitraria deberá justificarse con el comportamiento de los restos, no sólo mediante la existencia de las derivadas. \(\square\)

Balance y transición. Los coeficientes iterados están construidos mediante recursión única; para todo orden la serie correspondiente conserva el radio y representa la derivada funcional legítima en el interior. Los datos diferenciales en el centro recuperan los coeficientes de manera inequívoca, y dos series centradas en el mismo punto no pueden representar una misma función en un entorno abierto con coeficientes distintos. En el caso de una función ya representada por una serie de potencias, sus polinomios de Taylor finitos son las sumas parciales; resta distinguir este hecho de la pregunta inversa: ¿cuándo una función \(C^{\infty}\) dada coincide con la serie construida a partir de sus derivadas? Ésta será la materia de §24.9, mediante restos y un contraejemplo pertinente. La parte fundacional sigue en ZF + lógica clásica, sin Choice; no se abre un nuevo checkpoint Lean.

---

24.9. Series de Taylor, resto y analiticidad real

El resultado de §24.8 tiene una dirección precisa: si una función está representada por una serie de potencias en un entorno de su centro, entonces sus coeficientes se recuperan mediante las derivadas en ese centro. La implicación inversa necesita una hipótesis más fuerte que la existencia de todas las derivadas. La investigaremos mediante las sumas finitas de Taylor y su resto; después construiremos dentro del tratado una función suave cuyo desarrollo de Taylor no la representa.

Definición 24.9.1 — Serie y restos de Taylor de una función infinitamente derivable

Sea \(J\subseteq\mathbb R\) un intervalo abierto no vacío, \(f:J\to\mathbb R\) una función y \(c\in J\). Diremos aquí que \(f\) es infinitamente derivable en \(J\), o \(C^\infty\) en \(J\), si existe la sucesión de funciones \(f^{(k)}:J\to\mathbb R\) determinada por \(f^{(0)}=f\) y por la condición \(f^{(k+1)}=(f^{(k)})'\) en todos los puntos de \(J\), para cada \(k\in\mathbb N\). La notación designa derivadas sobre el dominio abierto \(J\), no extensiones a sus puntos frontera. La existencia de cada derivada asegura su unicidad; el grafo de la familia completa se obtiene por Separación sobre \(\mathbb N\times\mathbb R^J\) y no por una elección de funciones.

Cuando \(f\) satisface esa condición, definimos su sucesión de coeficientes de Taylor en \(c\), \(t^{f,c}:\mathbb N\to\mathbb R\), por

\[ \boxed{t^{f,c}_k:=\frac{f^{(k)}(c)}{\eta_k},\qquad \eta_k:=\nu_{\mathbb R}(k!)>0.} \tag{24.9.1} \]

La positividad del factorial real está probada en «Positividad y recurrencia de los factoriales»; jamás se divide por un factorial natural como si fuera literalmente un real. Formamos el polinomio tipado \(T_N[f,c]:\mathbb R\to\mathbb R\) y la función resto \(E_N[f,c]:J\to\mathbb R\) mediante

\[ \boxed{T_N[f,c](x):=\sum_{k=0}^{N}t^{f,c}_k(x-c)^k, \qquad E_N[f,c](x):=f(x)-T_N[f,c](x)\quad(x\in J).} \tag{24.9.2} \]

La serie de Taylor es, por ahora formalmente, la serie de potencias \(\sum_{k=0}^{\infty}t^{f,c}_k(x-c)^k\) de «Serie de potencias real centrada». Sus sumas parciales son \(T_N[f,c]\) y su suma \(F_{t^{f,c},c}\) sólo está definida sobre \(C(t^{f,c},c)\); no se le atribuyen valores fuera de ese conjunto. Para todo \(N\), \(T_N[f,c](c)=f(c)\) y \(E_N[f,c](c)=0\), pues \(\eta_0=1\) y todas las potencias de exponente positivo se anulan en el centro.

Precisión de alcance. La fórmula (24.9.2) coincide con el polinomio finito de «Polinomio de Taylor finito en un centro» al restringir una cadena diferencial de longitud \(N\) a un cerrado no degenerado alrededor de \(c\) contenido en \(J\). La existencia de la familia completa de derivadas no presupone que su serie infinita converja, ni mucho menos que su suma sea \(f\).

Proposición 24.9.2 — Criterio puntual y uniforme mediante el resto

Con las hipótesis y notación anteriores, para cualquier \(x\in J\) son equivalentes las tres afirmaciones siguientes:

\[ \boxed{E_N[f,c](x)\longrightarrow0 \quad\Longleftrightarrow\quad T_N[f,c](x)\longrightarrow f(x) \quad\Longleftrightarrow\quad \bigl[x\in C(t^{f,c},c)\ \text{y}\ F_{t^{f,c},c}(x)=f(x)\bigr].} \tag{24.9.3} \]

Además, para cualquier conjunto dado \(A\subseteq J\), los restos \(E_N[f,c]\upharpoonright A\) convergen uniformemente a cero si y sólo si los polinomios \(T_N[f,c]\upharpoonright A\) convergen uniformemente a \(f\upharpoonright A\). Esta equivalencia no exige que \(A\) sea compacto; para \(A=\varnothing\) ambos predicados uniformes son vacuos.

Demostración. Para un punto fijo \(x\in J\) y todo \(N\), la definición proporciona la identidad exacta \(E_N[f,c](x)=f(x)-T_N[f,c](x)\) y, por tanto,

\[ |E_N[f,c](x)|=|T_N[f,c](x)-f(x)|. \tag{24.9.4} \]

Dado \(\varepsilon>0\), el mismo índice \(N_0\) verifica la desigualdad \(|E_N[f,c](x)|<\varepsilon\) para todos los \(N\ge N_0\) si y sólo si verifica \(|T_N[f,c](x)-f(x)|<\varepsilon\) para ellos. Ésta es la primera equivalencia. Las sumas parciales de la serie de Taylor son precisamente \(T_N[f,c](x)\) por «Construcción tipada de los términos y las sumas parciales»; la definición de \(C\) y la unicidad de la función suma «Existencia y unicidad de la función suma sobre su dominio exacto» identifican su convergencia hacia \(f(x)\) con la tercera afirmación. Para el caso uniforme basta cuantificar (24.9.4) simultáneamente sobre todos los \(x\in A\): los mismos \(\varepsilon\) y \(N_0\) funcionan en ambas direcciones. Las restricciones tienen dominio y codominio comunes y no se selecciona un índice diferente para cada punto. \(\square\)

Consecuencia lógica. Una serie de Taylor puede converger en un punto y hacerlo hacia un valor distinto de \(f(x)\). Conocer sólo la convergencia de los coeficientes no permite suprimir el resto de (24.9.3).

Definición 24.9.3 — Función real analítica en un centro

Sean \(J\subseteq\mathbb R\) un intervalo abierto y \(f:J\to\mathbb R\). Diremos que \(f\) es real analítica en \(c\in J\) si existen una sucesión real \(a:\mathbb N\to\mathbb R\) y un \(\delta>0\) tales que el radio \(R(a,c)\) es positivo o la marca formal \(+\infty\), y

\[ \boxed{U:=(c-\delta,c+\delta)\subseteq J\cap I_{a,c}, \qquad f(x)=F_{a,c}(x)\quad(x\in U),} \tag{24.9.5} \]

siendo \(I_{a,c}\) el intervalo abierto interior al radio de la serie \(a\), igual a \(\mathbb R\) cuando el radio es infinito. La igualdad es entre restricciones con dominio \(U\) y codominio \(\mathbb R\). Se dice que \(f\) es analítica en \(J\) cuando lo es en cada punto de \(J\); el cuantificador \(\forall c\in J\,\exists(a,\delta)\) no se convierte en la elección de una familia \(c\mapsto a^c\). Una representación local hace automáticamente derivable de todos los órdenes a \(f\) en ese entorno, por «Derivadas de todo orden y conservación del radio», pero la definición no supone de antemano suavidad global en un dominio más amplio.

Teorema 24.9.4 — Caracterización de la analiticidad por el resto de Taylor

Sea \(J\subseteq\mathbb R\) un intervalo abierto no vacío, \(f:J\to\mathbb R\) infinitamente derivable en \(J\) y \(c\in J\). Entonces son equivalentes:

1. \(f\) es analítica en \(c\) en el sentido de «Función real analítica en un centro».
2. Existe \(\delta>0\) con \(U=(c-\delta,c+\delta)\subseteq J\) tal que, para cada \(x\in U\), \(E_N[f,c](x)\to0\).

En ese caso los coeficientes de toda representación local centrada en \(c\) son necesariamente \(t_k^{f,c}=f^{(k)}(c)/\eta_k\), y el resto converge uniformemente a cero sobre cada cerrado \(K_r=[c-r,c+r]\) contenido estrictamente en un entorno de representación e interior a su radio.

Demostración. De 1 a 2. Tomemos una sucesión \(a\) y \(\delta>0\) que cumplan (24.9.5). Sobre el abierto \(U\), las funciones \(f\) y \(F_{a,c}\) coinciden. Por «Derivadas de todo orden y conservación del radio» sus derivadas de todo orden coinciden en el centro: los cocientes incrementales de las restricciones son iguales cerca de \(c\), y esto se repite inductivamente para cada derivada. El corolario «Recuperación de cada coeficiente mediante la derivada en el centro» da

\[ f^{(k)}(c)=\eta_k a_k, \qquad t_k^{f,c}=a_k\quad(k\in\mathbb N). \tag{24.9.6} \]

La serie de Taylor tiene, pues, las mismas sumas parciales que la serie \(a\). Como \(U\subseteq I_{a,c}\), «Clasificación por el radio y convergencia interior» asegura su convergencia en todo \(U\) y la identidad con \(f\) está dada por hipótesis. «Criterio puntual y uniforme mediante el resto» prueba \(E_N[f,c](x)\to0\) para cada \(x\in U\). Si \(r>0\) se fija con \(K_r\subseteq U\) y \(r<R(a,c)\) en el caso finito (sin comparar números reales con la marca infinita), «Convergencia absoluta uniforme y cota geométrica del resto» da convergencia uniforme de esas mismas sumas parciales hacia \(f\) sobre \(K_r\); el criterio uniforme de 24.9.2 proporciona uniformidad de los restos. No se ha seleccionado una sucesión de radios.

De 2 a 1. Sean \(\delta>0\) y \(U\) como en 2, y pongamos \(t:=t^{f,c}\). Por el criterio puntual 24.9.2, para todo \(x\in U\) la serie con coeficientes \(t\) converge hacia \(f(x)\). En particular, el punto explícito \(y:=c+\delta/2\) pertenece a \(U\subseteq C(t,c)\) y su distancia positiva al centro es \(d:=\delta/2\). Así \(d\in D(t,c)\) y el radio de la serie \(t\) es al menos \(d\) si es finito, o infinito. Definamos \(\rho:=d/2=\delta/4>0\). Para \(|x-c|<\rho\), tenemos \(x\in U\subseteq J\) y \(|x-c|<\rho<d\le R(t,c)\) en el caso finito; en el infinito el interior radial es toda \(\mathbb R\). En ambos casos, \((c-\rho,c+\rho)\subseteq J\cap I_{t,c}\) y la suma de la serie allí coincide con \(f\) por el criterio puntual. La propia sucesión \(t\) y el radio explícito \(\rho\) verifican «Función real analítica en un centro». Se ha usado un solo punto elegido por fórmula a partir de \(\delta\), no Choice. \(\square\)

Lectura del criterio. El resto no es un adorno en una igualdad formal: su límite nulo es exactamente la hipótesis que convierte una aproximación polinómica de orden creciente en una representación efectiva por serie de potencias. La convergencia de la serie sin esa identificación no basta.

Corolario 24.9.5 — Una condición suficiente sobre el crecimiento de las derivadas

Sea \(f:J\to\mathbb R\) infinitamente derivable en un intervalo abierto \(J\) y \(c\in J\). Supongamos que existen \(d,M,A\in\mathbb R\) estrictamente positivos, con \(K_d=[c-d,c+d]\subseteq J\), tales que

\[ \boxed{|f^{(n)}(t)|\le M\eta_n A^n \qquad(n\ge1,\ t\in K_d).} \tag{24.9.7} \]

Entonces \(f\) es real analítica en \(c\). Más precisamente, para

\[ \rho:=\min\{d/2,\,1/(2A)\}>0 \tag{24.9.8} \]

los restos satisfacen, para todos los \(x\in K_\rho\) y \(N\in\mathbb N\),

\[ \boxed{|E_N[f,c](x)|\le M(A|x-c|)^{N+1} \le M2^{-(N+1)}.} \tag{24.9.9} \]

Demostración. Fijemos \(N\). Las restricciones \(f^{(0)}\upharpoonright K_d,\ldots,f^{(N)}\upharpoonright K_d\) son continuas en \(K_d\), pues son derivables en el abierto \(J\), y forman la cadena diferencial finita de «Cadena diferencial finita sobre un intervalo cerrado» en su interior. La función final tiene derivada interior \(f^{(N+1)}\), cuya magnitud está acotada por \(M\eta_{N+1}A^{N+1}\) para todos los puntos del interior por (24.9.7). El corolario cerrado de Taylor–Lagrange «Cota uniforme para el resto de Taylor», aplicado con origen \(c\) y extremo \(x\in K_d\), da

\[ |f(x)-T_N[f,c](x)|\le \frac{M\eta_{N+1}A^{N+1}}{\eta_{N+1}}|x-c|^{N+1} =M(A|x-c|)^{N+1}. \tag{24.9.10} \]

La cancelación es legítima porque \(\eta_{N+1}>0\). Por (24.9.8), \(0<\rho\le d/2<d\) y \(A\rho\le1/2\); de ahí (24.9.9) simultáneamente para todo \(x\in K_\rho\). La geométrica de razón \(1/2\) converge («Convergencia y suma de la serie geométrica para $»), así que los restos tienden uniformemente a cero en \(K_\rho\); en particular, puntualmente en el abierto \((c-\rho,c+\rho)\). El teorema anterior prueba la analiticidad en \(c\). La cota factorial uniforme (24.9.7) es una condición suficiente adicional, no una propiedad atribuida a toda función suave. \(\square\)

Lema 24.9.6 — Construcción interna de una serie auxiliar entera

Definamos explícitamente \(e:\mathbb N\to\mathbb R\) por \(e_n:=1/\eta_n\), y su serie centrada en cero. La función suma, que denotaremos únicamente como auxiliar local a este desarrollo, satisface

\[ \boxed{\mathcal E:\mathbb R\to\mathbb R, \quad\mathcal E(t)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^n}{\eta_n}, \quad\mathcal E'(t)=\mathcal E(t)\quad(t\in\mathbb R).} \tag{24.9.11} \]

Su radio es la marca formal infinita. Para todo \(t\ge0\) y todo \(m\in\mathbb N\),

\[ \boxed{\mathcal E(t)\ge1, \qquad \mathcal E(t)\ge\frac{t^m}{\eta_m}>0\ \text{si }t>0.} \tag{24.9.12} \]

Estas afirmaciones se demostrarán sin importar funciones exponenciales, identidades de adición ni soluciones previamente supuestas de ecuaciones diferenciales.

Demostración. La recurrencia \(\eta_{n+1}=(n+1)\eta_n\) y su positividad son «Positividad y recurrencia de los factoriales». Así cada \(e_n\) es un real único; Separación en \(\mathbb N\times\mathbb R\) define la sucesión completa. Fijemos un real \(t\) y pongamos \(T:=|t|\). Si \(T=0\), la serie es la suma del término inicial \(1\) y todos los posteriores son cero. Si \(T>0\), definamos \(u_n:=T^n/\eta_n>0\). Por la propiedad arquimediana «Todo cuerpo ordenado completo es arquimediano» existe un índice que fijamos para este argumento \(N\in\mathbb N\) suficientemente grande para que \(n+1\ge2T\) cuando \(n\ge N\). Entonces

\[ \frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{T}{n+1}\le\frac12 \qquad(n\ge N). \tag{24.9.13} \]

La inducción sobre \(j\) da \(u_{N+j}\le u_N2^{-j}\) para todos los naturales \(j\). La serie geométrica de razón \(1/2\) converge y una comparación de las sumas de esta cola, junto con los \(N\) términos anteriores, prueba \(\sum_n u_n<\infty\). Por tanto la serie original converge absolutamente en el real arbitrario \(t\) («Criterio de comparación directa», «La convergencia absoluta implica convergencia ordinaria»), de modo que \(C(e,0)=\mathbb R\) y su radio es infinito por «Radio finito y radio infinito» o «Clasificación por el radio y convergencia interior». La función \(\mathcal E:=F_{e,0}:\mathbb R\to\mathbb R\) existe por «Existencia y unicidad de la función suma sobre su dominio exacto».

El coeficiente de la derivada formal es \((n+1)e_{n+1}=(n+1)/\eta_{n+1}=1/\eta_n=e_n\). La derivación término a término «Derivación término a término en el interior del radio» aplica en todo \(\mathbb R\) por radio infinito y da \(\mathcal E'=\mathcal E\). Si \(t\ge0\), los sumandos \(t^n/\eta_n\) son no negativos. Cada suma parcial es al menos el primer término, igual a \(1\); asimismo, para \(N\ge m\), es al menos el término \(t^m/\eta_m\). Pasando a sus límites reales, la preservación del orden prueba ambas cotas de (24.9.12). Para \(t>0\) el segundo término es positivo. Todos los pasos proceden de aritmética, comparación y convergencia ya construidas, sin importar la función exponencial bajo otro nombre como hipótesis. \(\square\)

Teorema 24.9.7 — Existencia de una función suave que no es analítica

Existe una función \(\phi:\mathbb R\to\mathbb R\) infinitamente derivable en toda la recta para la cual

\[ \boxed{\phi^{(k)}(0)=0\quad(k\in\mathbb N), \qquad\phi(x)>0\quad(x>0).} \tag{24.9.14} \]

Por consiguiente, su serie de Taylor en el centro cero tiene radio infinito y suma la función nula, pero no representa a \(\phi\) en ningún entorno abierto del centro. En particular, una función \(C^\infty\) no tiene por qué ser real analítica.

Demostración. 1. Una función tipada y positiva a la derecha. Utilicemos la función \(\mathcal E\) que acaba de construirse, no una función trascendental importada. Por (24.9.12), \(\mathcal E(x^{-2})\ge1\) para todo \(x>0\), por lo que la división siguiente es legítima. La regla por casos determina un único grafo en \(\mathbb R\times\mathbb R\) mediante Separación:

\[ \boxed{\phi(x):=\begin{cases} 0,&x\le0,\\ \bigl[\mathcal E(x^{-2})\bigr]^{-1},&x>0. \end{cases}} \tag{24.9.15} \]

Tenemos \(\phi(0)=0\) y \(0<\phi(x)\le1\) para \(x>0\). La función es idénticamente cero en el semieje negativo, pero estrictamente positiva en el positivo.

2. Cota de desaparición más rápida que cualquier potencia. Para un entero natural arbitrario \(m\) y \(x>0\), apliquemos la segunda cota de (24.9.12) al argumento positivo \(x^{-2}\). Obtenemos

\[ \mathcal E(x^{-2})\ge\frac{x^{-2m}}{\eta_m}>0, \qquad 0<\phi(x)\le\eta_m x^{2m}. \tag{24.9.16} \]

La segunda desigualdad resulta de invertir dos reales estrictamente positivos; no introduce el límite de ninguna función exponencial. Para cada \(m\) se dispone de una cota explícita válida para todo \(x>0\).

3. Forma de las derivadas en el semieje positivo. En \(x>0\) escribamos \(z:=x^{-1}\). Las reglas de derivación del recíproco y de la composición («Regla de derivación del recíproco» y «Regla de la cadena en el dominio efectivo»), la fórmula de la derivada de \(z^2\) y \(\mathcal E'=\mathcal E\) dan

\[ \phi'(x)=\frac{-\mathcal E'(x^{-2})(-2x^{-3})}{\mathcal E(x^{-2})^2} =2x^{-3}\phi(x)=2z^3\phi(x). \tag{24.9.17} \]

Construyamos ahora recursivamente los polinomios reales \(P_k\) por \(P_0(z)=1\) y

\[ \boxed{P_{k+1}(z):=-z^2P_k'(z)+2z^3P_k(z).} \tag{24.9.18} \]

Para precisar el conjunto de estados de la recursión, consideremos el subconjunto de \(\mathbb R^{\mathbb N}\) de las sucesiones de coeficientes con soporte finito: consta de las \(p\) para las que existe \(d\in\mathbb N\) tal que \(p_j=0\) para todo \(j>d\), y existe por Separación en el conjunto de funciones ya construido. Cada sucesión de ese tipo determina un único polinomio real. La derivada de un polinomio es la suma finita de las derivadas de sus monomios, según «Derivación de las piezas polinómicas finitas» y las reglas de §19; multiplicarla por \(-z^2\) o por \(2z^3\), y sumar los resultados, vuelve a producir un polinomio de soporte finito. La fórmula (24.9.18) define así una operación total de valor único sobre ese conjunto de coeficientes. Con estado inicial \(P_0=1\), la recursión natural de «Teorema de recursión sobre \(\mathbb N\)» construye la sucesión \(k\mapsto P_k\), cuyos grafos polinómicos se obtienen por las fórmulas únicas, sin escoger polinomios. Por inducción, usando \(z'=-z^2\), la regla de producto y (24.9.17), obtenemos

\[ \boxed{\phi^{(k)}(x)=\phi(x)P_k(x^{-1}) \qquad(x>0,\ k\in\mathbb N).} \tag{24.9.19} \]

En efecto, para \(k=0\) esto es \(P_0=1\); si vale a orden \(k\), la derivada de su miembro derecho es \(\phi(x)[2z^3P_k(z)-z^2P_k'(z)]\), exactamente la recurrencia propuesta.

4. Derivabilidad de todos los órdenes en el centro. Fijemos, sin elección simultánea para distintos órdenes, un \(k\in\mathbb N\). Escribamos \(P_k(z)=\sum_{j=0}^{d_k}p_{k,j}z^j\) con un grado finito \(d_k\ge0\) que podemos tomar igual a cero para el polinomio nulo; pongamos \(C_k:=1+\sum_{j=0}^{d_k}|p_{k,j}|>0\). Para \(0<x\le1\), la desigualdad \(x^{-j}\le x^{-d_k}\) si \(j\le d_k\) proporciona

\[ |P_k(x^{-1})|\le C_kx^{-d_k}. \tag{24.9.20} \]

Combinemos (24.9.16) y (24.9.20) con el índice explícito \(m:=d_k+2\). Resulta, para \(0<x\le1\),

\[ \boxed{|\phi(x)P_k(x^{-1})|\le C_k\eta_m x^{2m-d_k}, \quad\left|\frac{\phi(x)P_k(x^{-1})}{x}\right| \le C_k\eta_m x^{2m-d_k-1}.} \tag{24.9.21} \]

Los exponentes naturales \(2m-d_k=d_k+4\) y \(2m-d_k-1=d_k+3\) son estrictamente positivos; ambas cotas tienden a cero cuando \(x\downarrow0\). En efecto, si \(\varepsilon>0\), los exponentes son al menos uno y basta \(0<x<\min\{1,\varepsilon/(C_k\eta_m)\}\) para que ambas magnitudes sean menores que \(\varepsilon\). No se ha escogido \(m\) a partir de infinitas desigualdades: su fórmula depende sólo del grado del polinomio ya determinado \(P_k\).

Para cada \(k\) definamos la función total \(D_k:\mathbb R\to\mathbb R\) mediante \(D_k(x)=0\) si \(x\le0\) y \(D_k(x)=\phi(x)P_k(x^{-1})\) si \(x>0\). Se tiene \(D_0=\phi\). En cada punto \(x<0\), \(D_k\) es localmente cero y su derivada vale cero. En \(x>0\), el paso 3 y la recurrencia dan \(D_k'(x)=D_{k+1}(x)\). En \(x=0\), \(D_k(0)=0\) y, para \(h<0\), su cociente incremental es cero; para \(0<h\le1\), el segundo límite en (24.9.21) da \(D_k(h)/h\to0\). La derivada bilateral en cero existe, vale \(0=D_{k+1}(0)\) y está justificada por la definición relativa en \(\mathbb R\). Por tanto, para todo \(k\),

\[ D_k'=D_{k+1}\text{ en }\mathbb R, \qquad D_k(0)=0. \tag{24.9.22} \]

Por inducción, \(D_k=\phi^{(k)}\) para todos los órdenes. Cada \(D_k\) es continua: es derivable en toda la recta según acabamos de probar (también puede verificarse directamente con la primera cota). Así \(\phi\in C^\infty(\mathbb R)\) y todas sus derivadas en cero se anulan.

5. La serie converge, pero no representa la función. De (24.9.14), la sucesión de Taylor de \(\phi\) en cero es idénticamente nula: \(t_k^{\phi,0}=0/\eta_k=0\) para todo \(k\). Cada polinomio \(T_N[\phi,0]\) es la función nula y su serie de potencias converge con radio infinito a cero sobre \(\mathbb R\). Sin embargo, si \(\delta>0\) es arbitrario, el punto explícito \(x:=\delta/2\) satisface \(0<x<\delta\) y \(\phi(x)>0\). En ese punto,

\[ E_N[\phi,0](x)=\phi(x)>0\qquad\text{para todo }N, \tag{24.9.23} \]

por lo que el resto no tiende a cero. El criterio «Caracterización de la analiticidad por el resto de Taylor» descarta la analiticidad de \(\phi\) en cero, a pesar de su suavidad y de la convergencia global de la serie de Taylor. La dificultad no es una serie divergente, sino la falta de igualdad con la función dada. \(\square\)

Síntesis. Una serie de potencias construye su función suma únicamente en el conjunto donde convergen sus sumas parciales. En el interior del radio, las mayoraciones geométricas justifican la continuidad y los intercambios con integración y derivación; las derivadas recuperan unívocamente los coeficientes. Para una función suave dada, en cambio, los coeficientes de Taylor no garantizan la igualdad con la función: ésta exige que el resto tienda a cero. La función \(\phi\) muestra que incluso una serie de Taylor de radio infinito puede tener una suma diferente de la función que la originó. Así se cierra el puente entre convergencia funcional, cálculo diferencial e integral y analiticidad real, sin atribuir a las fronteras del radio propiedades que no han sido demostradas.