V. El cubo perdido: testimonio sin mecanismo conservado
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El caso cúbico presenta una situación documental mucho más incómoda.
En 1659 Fermat afirma que no puede existir un cubo divisible en dos cubos y añade que la manera de practicar allí el descenso es tout à fait diverse des précédentes.1 Tenemos, pues, un testimonio directo de que Fermat consideraba el caso cúbico demostrable por descenso.
Lo que no tenemos es la prueba.
Esta diferencia obliga a trabajar en dos planos separados.
En el plano histórico podemos afirmar la existencia reivindicada del descenso.
En el plano reconstructivo podemos preguntar qué cadena matemática compatible con el repertorio de Fermat conduce efectivamente a un descenso.
No debemos identificar ambas cosas.
1. Hasta dónde podemos llegar con aritmética elemental
Supongamos una solución cúbica primitiva y no nula. Es conveniente escribirla, después de orientar signos, como
\[ x^3+y^3+z^3=0. \]
Podemos elegir la variable par y realizar el cambio simétrico
\[ x=a+b,\qquad z=a-b. \]
Entonces
\[ (a+b)^3+(a-b)^3=-y^3, \]
y por expansión:
\[ 2a(a^2+3b^2)=-y^3. \]
La expresión decisiva es
\[ \boxed{ 2a(a^2+3b^2)=\text{cubo} } \]
hasta signo.
El máximo común divisor de los dos factores está fuertemente restringido. Bajo las condiciones primitivas y de paridad, cualquier divisor común de \(2a\) y \(a^2+3b^2\) sólo puede aportar el primo excepcional \(3\).
Aparecen entonces dos ramas.
Si el gcd es \(1\), la separación de factores coprimos de un cubo conduce a una ecuación de la forma
\[ P^2+3Q^2=S^3. \]
Si el gcd es \(3\), se extrae primero ese factor excepcional y, después de normalizar, se llega otra vez a una ecuación del mismo tipo:
\[ \boxed{ P^2+3Q^2=S^3, \qquad \gcd(P,Q)=1. } \]
Hasta aquí no necesitamos una teoría algebraica posterior. Paridad, gcd, factorización y extracción de potencias entre factores coprimos bastan para llegar al objeto auxiliar.
Y precisamente aquí aparece la diferencia con \(n=4\).
2. El puente inverso
Para cerrar el descenso necesitamos saber cómo se comportan los enteros coprimos \(P,Q\) cuando
\[ P^2+3Q^2=S^3. \]
Una parametrización utilizada en reconstrucciones modernas tiene la forma
\[ P=u(u^2-9v^2), \qquad Q=3v(u^2-v^2), \qquad S=u^2+3v^2. \]
La identidad directa es fácil de comprobar:
\[ [u(u^2-9v^2)]^2 + 3[3v(u^2-v^2)]^2 = (u^2+3v^2)^3. \]
Pero una identidad directa no es el problema.
El paso difícil es el converso:
\[ P^2+3Q^2=S^3 \quad\Longrightarrow\quad \text{una parametrización suficientemente controlada de }P,Q. \]
Ésta es exactamente la clase de inferencia que no puede obtenerse de la mera identidad de composición
\[ (a^2+3b^2)(c^2+3d^2) = (ac-3bd)^2+3(ad+bc)^2. \]
La composición permite construir representaciones de productos. El descenso necesita algo mucho más fuerte: recuperar una representación adecuada de una raíz y controlar su orientación de manera que el argumento vuelva a cerrarse.
No conservamos en Fermat un texto que suministre ese converso.
3. Por qué la reconstrucción no es arbitraria
La ausencia del puente no vuelve caprichosa la ruta.
En 1654 Fermat documenta resultados de representación por2
\[ x^2+3y^2. \]
En 1659 afirma un descenso cúbico y subraya que es diferente de los precedentes. Una reconstrucción que haga aparecer precisamente esta forma cuadrática es, por ello, históricamente mejor motivada que una construcción basada en una teoría que sólo nacerá después.
Además, concedido el converso apropiado, la cadena moderna sí puede cerrarse.
Los factores producidos por la parametrización pueden separarse, bajo las condiciones de coprimalidad pertinentes, en cubos. Se obtienen relaciones del tipo
\[ 2u=N^3, \qquad u-3v=L^3, \qquad u+3v=M^3, \]
y entonces
\[ L^3+M^3=N^3. \]
Aparece una nueva solución cúbica. Una auditoría moderna permite verificar también la disminución estricta.
Matemáticamente, por tanto, existe una cadena coherente:
\[ \text{solución cúbica} \longrightarrow P^2+3Q^2=S^3 \longrightarrow \text{parametrización} \longrightarrow \text{nueva solución cúbica menor}. \]
Históricamente, la cadena se rompe en el lugar decisivo: no conservamos la transición inversa ni el reensamblaje exacto de Fermat.
4. La diferencia esencial entre los casos \(4\) y \(3\)
En \(n=4\), el paso técnico central consiste en separar cuadrados entre factores enteros coprimos. Todo ocurre dentro de una aritmética relativamente elemental y el mecanismo descendente está transmitido.
En \(n=3\), el objeto auxiliar
\[ P^2+3Q^2=S^3 \]
introduce una dificultad distinta. Ya no basta saber que ciertos factores son coprimos. Hay que controlar representaciones por una forma cuadrática y resolver un problema inverso de composición.
Esta diferencia encaja notablemente con la frase de Fermat según la cual la práctica del descenso cúbico era completamente distinta de las anteriores.
Pero «encaja» no significa «demuestra identidad».
La conclusión responsable es más sobria:
\[ \boxed{ \text{Fermat afirma el descenso cúbico;} \quad \text{su mecanismo exacto no se conserva.} } \]
La reconstrucción moderna muestra una manera matemáticamente viable de llenar el hueco. No autoriza a decir que ésa fuera la demostración de Fermat.
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Notas
Relation de 1659. La frase tout à fait diverse des précédentes es el testimonio rector para no exigir identidad de mecanismo entre el descenso cúbico y los precedentes.↩︎
Fermat a Pascal, 25 de septiembre de 1654. El proyecto utiliza este documento como contexto para \(x^2+3y^2\), no como prueba del converso cúbico requerido por la reconstrucción.↩︎