IV. Qué significa descender: el caso biquadrático
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La palabra «descenso» puede sugerir simplemente la producción de números más pequeños. Eso no basta.
Un descenso infinito exige algo más rígido: debemos comenzar con una clase de objetos cuya existencia queremos negar, suponer que al menos uno existe y construir, a partir de cualquiera de ellos, otro objeto de la misma clase pero estrictamente menor. Si la medida elegida toma valores enteros positivos, la repetición es imposible.
El caso biquadrático es el mejor lugar para ver esta lógica porque aquí conservamos un descenso atribuido a Fermat. En la Observatio XLV de la edición de 1670 aparece la afirmación de que el área de un triángulo rectángulo «en números» no puede ser un cuadrado.1 Fermat vincula esa imposibilidad con la existencia de dos biquadrados cuya diferencia sea cuadrada y, después, con dos cuadrados cuya suma y diferencia sean cuadrados. El texto concluye construyendo un nuevo par menor de la misma naturaleza.
La Relation de 1659 presenta el mismo núcleo en una representación geométrica: si existiera un triángulo rectángulo entero cuya área fuese cuadrada, existiría otro triángulo menor con la misma propiedad.
Las dos presentaciones permiten ver una primera característica del método: el objeto puede cambiar de representación durante el descenso.
\[ \text{triángulo} \longleftrightarrow \text{biquadrados} \longleftrightarrow \text{par de cuadrados}. \]
La unidad no está en permanecer siempre dentro de la misma fórmula. Está en regresar, después de varias transformaciones, a una obstrucción que puede repetirse y cuya medida ha disminuido.
1. Una formulación moderna completa
Para mostrar exactamente dónde reside el descenso, expandamos en lenguaje moderno el argumento geométrico. Esta expansión no pretende reproducir línea por línea la notación de Fermat; explicita los pasos aritméticos que el texto histórico comprime.
Supongamos que existe un triángulo rectángulo de lados enteros positivos
\[ a,b,c, \qquad a^2+b^2=c^2, \]
cuya área es un cuadrado:
\[ \frac{ab}{2}=S^2. \]
Entre todos esos triángulos elijamos uno cuya hipotenusa \(c\) sea mínima.
El triángulo debe ser primitivo. Si un entero \(d>1\) dividiera simultáneamente \(a,b,c\), al dividir los tres lados por \(d\) obtendríamos otro triángulo rectángulo entero. Como el área se divide por \(d^2\), seguiría siendo cuadrada, mientras que la hipotenusa disminuiría. Esto contradice la elección mínima.
Podemos, por tanto, parametrizar la terna pitagórica primitiva. Tras intercambiar los catetos si es necesario,
\[ a=2pq,\qquad b=p^2-q^2,\qquad c=p^2+q^2, \]
con
\[ p>q>0,\qquad \gcd(p,q)=1, \]
y \(p,q\) de paridad opuesta.
La condición sobre el área se convierte en
\[ S^2 = \frac{(2pq)(p^2-q^2)}{2} = pq(p+q)(p-q). \]
Ahora aparece el corazón aritmético de la prueba.
Los cuatro enteros
\[ p,\qquad q,\qquad p+q,\qquad p-q \]
son coprimos dos a dos. La coprimalidad de \(p\) y \(q\) ya está dada. Si un divisor común divide \(p\) y \(p+q\), divide también \(q\); lo mismo resuelve los pares \(p,p-q\), \(q,p+q\) y \(q,p-q\). Finalmente, un divisor común de \(p+q\) y \(p-q\) divide \(2p\) y \(2q\), de modo que sólo podría aportar un factor \(2\); pero \(p\pm q\) son impares porque \(p\) y \(q\) tienen paridad opuesta.
Así, el producto de cuatro enteros positivos coprimos dos a dos es un cuadrado:
\[ S^2=pq(p+q)(p-q). \]
Por factorización prima, cada factor debe ser un cuadrado. Existen enteros positivos \(x,y,u,v\) tales que
\[ p=x^2,\qquad q=y^2,\qquad p+q=u^2,\qquad p-q=v^2. \]
Restando las dos últimas relaciones:
\[ u^2-v^2=2y^2. \]
Como \(u,v\) son impares, definimos
\[ A=\frac{u+v}{2}, \qquad B=\frac{u-v}{2}. \]
Entonces
\[ y^2=2AB. \]
Además,
\[ \gcd(A,B)=1, \]
y exactamente uno de \(A,B\) es par. Intercambiando los papeles si hace falta, podemos escribir
\[ A=r^2,\qquad B=2s^2 \]
para ciertos \(r,s>0\). De aquí
\[ u=r^2+2s^2, \qquad v=r^2-2s^2. \]
Pero también
\[ u^2+v^2 = 2p = 2x^2. \]
Sustituyendo las expresiones de \(u,v\),
\[ 2x^2 = (r^2+2s^2)^2+(r^2-2s^2)^2 = 2r^4+8s^4. \]
Por tanto,
\[ x^2=r^4+4s^4, \]
es decir,
\[ (r^2)^2+(2s^2)^2=x^2. \]
Hemos construido otro triángulo rectángulo entero:
\[ r^2,\qquad 2s^2,\qquad x. \]
Su área es
\[ \frac{r^2(2s^2)}2=(rs)^2, \]
también un cuadrado.
Falta el punto que distingue un descenso de una mera transformación: el nuevo triángulo es estrictamente menor. La hipotenusa original era
\[ c=p^2+q^2, \]
mientras que \(p=x^2\). Como \(q>0\),
\[ c>p=x^2\ge x. \]
Luego
\[ 0<x<c. \]
Del triángulo mínimo hemos producido otro triángulo entero de área cuadrada con hipotenusa menor. La contradicción es inmediata.
Por tanto, ningún triángulo rectángulo entero puede tener área cuadrada.
2. Del teorema geométrico a \(n=4\)
La conexión con el Último Teorema es directa.
Si existieran enteros positivos \(X,Y,Z\) con
\[ X^4+Y^4=Z^4, \]
entonces
\[ Z^4-Y^4=X^4=(X^2)^2. \]
Tendríamos, por tanto, dos biquadrados cuya diferencia es un cuadrado, precisamente una de las configuraciones excluidas por el descenso fermatiano.
También puede verse de manera completamente explícita. Una solución biquadrática primitiva permite construir un triángulo rectángulo entero de lados
\[ b^2,\qquad 2a^2,\qquad z \]
para ciertos enteros positivos \(a,b\), cuya área es
\[ (ab)^2. \]
Eso contradice el teorema del área cuadrada.
Así,
\[ \boxed{ x^4+y^4=z^4 \quad\text{no tiene soluciones enteras no nulas}. } \]
3. Qué parte de esta prueba es históricamente segura
La expansión anterior utiliza lenguaje moderno: mínimo, funciones de tamaño, parametrización pitagórica escrita simbólicamente, gcd y separación explícita de factores.
El texto de Fermat es más comprimido.
Lo históricamente decisivo, sin embargo, sí está presente:
- se supone un objeto imposible;
- se traduce a otra configuración aritmética;
- se obtiene un objeto de la misma naturaleza;
- el nuevo objeto es menor;
- la construcción puede reiterarse;
- una disminución indefinida de enteros positivos es imposible.
Éste será nuestro patrón de control.
Un descenso no queda probado porque una ecuación se simplifique. Tampoco porque aparezca una representación elegante. Deben verificarse simultáneamente tres cosas:
\[ \boxed{ \text{preservación de la obstrucción} + \text{cierre} + \text{disminución estricta}. } \]
El caso \(n=4\) satisface las tres.
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Notas
Observatio XLV, edición de 1670; controlada además en la edición Tannery–Henry. La expansión algebraica completa del capítulo IV es moderna y explicita pasos que el texto de Fermat comprime.↩︎