Capítulo 3 — Funciones
Referencia: Michael Spivak, Calculus, 4.ª ed., capítulo 3, problemas pp. 48–53. Enunciados reducidos al contenido matemático necesario; soluciones propias de Matemática Abierta.
Salvo cuando se determina otro dominio, las funciones consideradas son reales y están definidas en \(\mathbb R\). La suma, el producto y el cuadrado de funciones son operaciones punto a punto. En una composición se conservan todas las restricciones de las funciones originales.
Estado editorial: capítulo completo: 28/28 problemas y 90/90 unidades. Revisión matemática y editorial interna concluida el 2026-10-14. Cotejo secundario disponible para 63/90 unidades. Las dependencias de completitud y elección se declaran en las soluciones correspondientes. El apéndice «Pares ordenados», pp. 54–55, no contiene problemas adicionales.
Ejercicio 1 — SPV4-C03-E001
Referencia: capítulo 3, ejercicio 1, p. 48.
Problema
Sea \(f(x)=1/(1+x)\). Calcule (i) \(f(f(x))\), (ii) \(f(1/x)\), (iii) \(f(cx)\), (iv) \(f(x+y)\), (v) \(f(x)+f(y)\); determine (vi) para qué \(c\) existe un \(x\) con \(f(cx)=f(x)\) y (vii) para qué \(c\) existen dos valores distintos de \(x\) con esa igualdad.
Solución
El dominio de \(f\) es \(\mathbb R\setminus\{-1\}\).
| Inciso | Resultado | Condiciones |
|---|---|---|
| (i) | \((1+x)/(2+x)\) | \(x\ne-1,-2\) |
| (ii) | \(x/(x+1)\) | \(x\ne0,-1\) |
| (iii) | \(1/(1+cx)\) | \(cx\ne-1\) |
| (iv) | \(1/(1+x+y)\) | \(x+y\ne-1\) |
| (v) | \((2+x+y)/((1+x)(1+y))\) | \(x,y\ne-1\) |
En (i), primero debe existir \(f(x)\) y luego debe ser \(f(x)\ne-1\). Esto excluye respectivamente \(x=-1\) y \(x=-2\). En (ii), \(1/x\) debe existir, lo que excluye \(0\), y no puede valer \(-1\), lo que excluye \(-1\). Las otras fórmulas se obtienen sustituyendo o sumando fracciones con denominadores no nulos.
(vi) Todo real \(c\) sirve: tomando \(x=0\), ambos miembros valen \(1\).
(vii) En los puntos donde existen ambos miembros,
\[ \frac1{1+cx}=\frac1{1+x} \quad\Longleftrightarrow\quad(c-1)x=0. \]
Si \(c\ne1\), el único valor posible es \(x=0\). Si \(c=1\), sirven todos los \(x\ne-1\), y podemos elegir, por ejemplo, \(0\) y \(1\). La condición exacta es \(c=1\).
Ejercicio 2 — SPV4-C03-E002
Referencia: capítulo 3, ejercicio 2, p. 48.
Problema
Sean \(g(x)=x^2\) y \(h(x)=0\) para \(x\) racional, \(h(x)=1\) para \(x\) irracional. Determine (i) los \(y\) con \(h(y)\le y\); (ii) los \(y\) con \(h(y)\le g(y)\); (iii) \(g(h(z))-h(z)\); (iv) los \(w\) con \(g(w)\le w\); (v) los \(\varepsilon\) con \(g(g(\varepsilon))=g(\varepsilon)\).
Solución
(i) Si \(y\) es racional, la condición es \(0\le y\); si es irracional, es \(1\le y\). El conjunto es
\[ (\mathbb Q\cap[0,\infty))\cup((\mathbb R\setminus\mathbb Q)\cap(1,\infty)). \]
El extremo \(1\) ya es racional y está incluido en la primera parte.
(ii) Para los racionales siempre se cumple \(0\le y^2\). Para los irracionales se exige \(y^2\ge1\), equivalente a \(|y|\ge1\). Como \(\pm1\) son racionales, podemos escribir el conjunto como
\[ \mathbb Q\cup\{y\notin\mathbb Q:|y|>1\}. \]
(iii) \(h(z)\) es \(0\) o \(1\), cuyos cuadrados son ellos mismos. Por tanto \(g(h(z))-h(z)=0\).
(iv) \(w^2\le w\) equivale a \(w(w-1)\le0\), que se cumple exactamente para \(w\in[0,1]\).
(v) La igualdad es \(\varepsilon^4=\varepsilon^2\), o \(\varepsilon^2(\varepsilon^2-1)=0\). Sus soluciones son \(-1,0,1\).
Ejercicio 3 — SPV4-C03-E003
Referencia: capítulo 3, ejercicio 3, p. 48.
Problema
Determine los dominios reales de (i) \(\sqrt{1-x^2}\); (ii) \(\sqrt{1-\sqrt{1-x^2}}\); (iii) \(1/(x-1)+1/(x-2)\); (iv) \(\sqrt{1-x^2}+\sqrt{x^2-1}\); (v) \(\sqrt{1-x}+\sqrt{x-2}\).
Solución
(i) Se necesita \(1-x^2\ge0\), así que el dominio es \([-1,1]\).
(ii) La raíz interior exige \(|x|\le1\). En ese intervalo, \(0\le1-x^2\le1\), por lo que \(0\le\sqrt{1-x^2}\le1\) y la raíz exterior también existe. El dominio sigue siendo \([-1,1]\).
(iii) Ambos denominadores deben ser no nulos: \(\mathbb R\setminus\{1,2\}\).
(iv) Se requieren simultáneamente \(x^2\le1\) y \(x^2\ge1\). Por tanto \(x=\pm1\).
(v) Se requieren \(x\le1\) y \(x\ge2\), condiciones incompatibles. El dominio es vacío. Esto define la función vacía, sin valores reales que evaluar.
Ejercicio 4 — SPV4-C03-E004
Referencia: capítulo 3, ejercicio 4, p. 48.
Problema
Sean \(S(x)=x^2\), \(P(x)=2^x\), \(s(x)=\sin x\). Calcule (i) \((S\circ P)(y)\); (ii) \((S\circ s)(y)\); (iii) \((S\circ P\circ s)(t)+(s\circ P)(t)\); (iv) \(s(t^3)\).
Solución
Se aplica primero la función situada más a la derecha.
(i) \((2^y)^2=2^{2y}\).
(ii) \((\sin y)^2=\sin^2y\).
(iii) El primer término es \((2^{\sin t})^2=2^{2\sin t}\) y el segundo es \(\sin(2^t)\). El resultado es
\[ 2^{2\sin t}+\sin(2^t). \]
(iv) \(\sin(t^3)\): el cubo afecta al argumento, no al valor del seno.
Ejercicio 5 — SPV4-C03-E005
Referencia: capítulo 3, ejercicio 5, pp. 48–49.
Problema
Con \(S,P,s\) de E004, exprese mediante \(+\), producto y composición:
| Inciso | Función |
|---|---|
| (i) | \(2^{\sin x}\) |
| (ii) | \(\sin(2^x)\) |
| (iii) | \(\sin(x^2)\) |
| (iv) | \((\sin x)^2\) |
| (v) | \(2^{2^x}\) |
| (vi) | \(\sin(2^x+2^{x^2})\) |
| (vii) | \(\sin(\sin(\sin(2^{\,2^{\,2^{\sin x}}})))\) |
| (viii) | \(2^{(\sin x)^2}+\sin(x^2)+2^{\sin(x^2+\sin x)}\) |
Solución
| Inciso | Expresión de la función |
|---|---|
| (i) | \(P\circ s\) |
| (ii) | \(s\circ P\) |
| (iii) | \(s\circ S\) |
| (iv) | \(S\circ s\) |
| (v) | \(P\circ P\) |
| (vi) | \(s\circ(P+P\circ S)\) |
| (vii) | \(s\circ s\circ s\circ P\circ P\circ P\circ s\) |
| (viii) | \(P\circ S\circ s+s\circ S+P\circ s\circ(S+s)\) |
Cada igualdad se comprueba evaluándola en \(x\) desde la derecha. En (vii), las tres apariciones de \(P\) producen una torre de tres bases \(2\); los tres senos exteriores se aplican después. En (viii), \(S+s\) significa la función \(x\mapsto x^2+\sin x\).
Ejercicio 6 — SPV4-C03-E006
Referencia: capítulo 3, ejercicio 6, p. 49.
Problema
Sean \(x_1,\dots,x_n\) distintos.
(a) Construya un polinomio \(L_i\) de grado \(n-1\) que valga \(1\) en \(x_i\) y \(0\) en los demás \(x_j\).
(b) Para datos reales \(a_1,\dots,a_n\), construya un polinomio de grado a lo sumo \(n-1\) con \(f(x_i)=a_i\).
Solución
(a) El producto \(\prod_{j\ne i}(x-x_j)\) se anula en los nodos que queremos excluir. En \(x_i\) vale el producto no nulo \(\prod_{j\ne i}(x_i-x_j)\). Por tanto,
\[ L_i(x)=\prod_{j\ne i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}. \]
Tiene \(n-1\) factores lineales y coeficiente principal no nulo, así que su grado es exactamente \(n-1\). Para \(n=1\), el producto vacío vale \(1\) y el grado es \(0\).
(b) Tomamos
\[ f(x)=\sum_{i=1}^n a_iL_i(x). \]
Al evaluar en \(x_k\), solo sobrevive el término \(a_kL_k(x_k)=a_k\). Como sumamos polinomios de grado \(n-1\), el resultado tiene grado a lo sumo \(n-1\).
Observación
El original dice «grado \(n-1\)» también en (b); con datos arbitrarios, eso debe entenderse como «a lo sumo». Por ejemplo, datos todos iguales producen un interpolante constante. E007 demuestra además la unicidad dentro de los polinomios de grado a lo sumo \(n-1\): la diferencia de dos interpolantes tendría \(n\) raíces y grado menor que \(n\).
Ejercicio 7 — SPV4-C03-E007
Referencia: capítulo 3, ejercicio 7, pp. 49–50.
Problema
(a) Pruebe que, para un polinomio \(f\) y un real \(a\), existen un polinomio \(g\) y una constante \(b\) con \(f(x)=(x-a)g(x)+b\).
(b) Si \(f(a)=0\), pruebe que \(x-a\) es factor de \(f\).
(c) Un polinomio no nulo de grado \(n\) tiene a lo sumo \(n\) raíces distintas.
(d) Construya un polinomio de grado \(n\) con \(n\) raíces; para grado par, uno sin raíces, y para grado impar, uno con una sola raíz.
Solución
(a) Para \(k\ge1\), la identidad de diferencia de potencias da
\[ x^k-a^k=(x-a)\sum_{j=0}^{k-1}x^{k-1-j}a^j. \]
Si \(f(x)=\sum_{k=0}^n c_kx^k\), entonces
\[ f(x)-f(a) =(x-a)\sum_{k=1}^n c_k\sum_{j=0}^{k-1}x^{k-1-j}a^j. \]
El segundo factor es un polinomio \(g\) y podemos tomar \(b=f(a)\). Para un polinomio constante basta \(g=0\).
(b) Cuando \(f(a)=0\), la fórmula anterior es \(f(x)=(x-a)g(x)\). La recíproca resulta al evaluar en \(a\).
(c) Inducimos sobre el grado. Un polinomio constante no nulo no tiene raíces. Si \(f\) de grado \(n\ge1\) tiene una raíz \(a\), por (b) se factoriza como \((x-a)g(x)\) con \(g\) de grado \(n-1\). Toda otra raíz \(r\ne a\) debe ser raíz de \(g\), porque \(r-a\ne0\). Por la hipótesis, hay a lo sumo \(n-1\) de ellas; contando \(a\), a lo sumo \(n\). Si no hay raíz, la cota se cumple directamente. El polinomio cero se excluye porque se anula en todos los puntos.
(d) Para \(n\ge1\), \(\prod_{j=1}^n(x-j)\) tiene exactamente las raíces \(1,\dots,n\). Si \(n=2m\), \((x^2+1)^m\) nunca es cero. Si \(n=2m+1\), \(x(x^2+1)^m\) tiene como única raíz \(0\). Para \(n=0\), una constante no nula cubre el caso sin raíces.
Ejercicio 8 — SPV4-C03-E008
Referencia: capítulo 3, ejercicio 8, p. 50.
Problema
Determine los parámetros reales de \(f(x)=(ax+b)/(cx+d)\) para los cuales \(f(f(x))=x\) en todos los puntos donde la composición existe.
Solución
Primero tratamos el caso en que la composición tiene dominio no vacío. Sea \(\Delta=ad-bc\).
Si \(c=d=0\), \(f\) no tiene dominio. En lo sucesivo supongamos \((c,d)\ne(0,0)\).
Si \(\Delta=0\), \(f\) es constante en su dominio: para \(c\ne0\), vale \(a/c\), pues \(b=ad/c\); para \(c=0,d\ne0\), necesariamente \(a=0\) y vale \(b/d\). Si esa constante pertenece al dominio de \(f\), la composición es constante en un dominio infinito y no puede ser la identidad. Si no pertenece, la composición tiene dominio vacío.
Supongamos \(\Delta\ne0\). Entonces el dominio de \(f\circ f\) excluye a lo sumo dos puntos y es infinito. En él,
\[ f(f(x))= \frac{(a^2+bc)x+b(a+d)}{c(a+d)x+bc+d^2}. \]
La igualdad con \(x\) exige que se anule, en todos esos puntos, el polinomio
\[ c(a+d)x^2+(d^2-a^2)x-b(a+d). \]
Por E007(c), sus coeficientes deben ser cero. Si \(a+d=0\), esto ocurre automáticamente. Si \(a+d\ne0\), debemos tener \(b=c=0\) y \(a=d\ne0\); en ese caso \(f\) es la identidad.
Por tanto, las soluciones con dominio de composición no vacío son exactamente
\[ \boxed{\Delta\ne0\quad\text{y}\quad \bigl[a+d=0\ \text{o}\ (b=c=0,\ a=d)\bigr].} \]
Estas condiciones bastan: en el primer caso la fórmula compuesta tiene numerador \(-\Delta x\) y denominador \(-\Delta\), y en el segundo \(f(x)=x\).
Observación
La lectura literal «donde la composición existe» incluye casos vacíos, en los que no hay puntos que comprobar. Son \(c=d=0\), o bien \(c\ne0\), \(\Delta=0\) y \(a+d=0\). En este último caso \(f\) es la constante \(-d/c\), justamente el punto excluido de su dominio. Conviene distinguir estas satisfacciones vacías de las involuciones efectivas clasificadas arriba.
Ejercicio 9 — SPV4-C03-E009
Referencia: capítulo 3, ejercicio 9, p. 50.
Problema
Sea \(C_A(x)=1\) para \(x\in A\) y \(0\) para \(x\notin A\).
(a) Exprese \(C_{A\cap B},C_{A\cup B},C_{\mathbb R\setminus A}\) mediante \(C_A,C_B\).
(b) Si \(f\) solo toma valores \(0,1\), demuestre que es una función característica.
(c) Pruebe que \(f=f^2\) equivale a que \(f\) sea característica.
Solución
(a) Punto a punto,
\[ C_{A\cap B}=C_AC_B,\qquad C_{A\cup B}=C_A+C_B-C_AC_B,\qquad C_{\mathbb R\setminus A}=1-C_A. \]
La primera expresión vale \(1\) exactamente cuando ambos factores valen \(1\). En la segunda, los pares de valores \((0,0),(1,0),(0,1),(1,1)\) producen \(0,1,1,1\). La tercera intercambia \(0\) y \(1\).
(b) Defina \(A=\{x:f(x)=1\}\). Dentro de \(A\) vale \(1\) y fuera, necesariamente \(0\); luego \(f=C_A\).
(c) La igualdad equivale a \(f(x)(f(x)-1)=0\) en cada punto, por lo que cada valor es \(0\) o \(1\). Se aplica (b). Recíprocamente, esos dos valores son iguales a sus cuadrados.
Ejercicio 10 — SPV4-C03-E010
Referencia: capítulo 3, ejercicio 10, p. 50. Estrellas del original en (c) y (d).
Problema
Determine (a) cuándo existe \(g\) con \(f=g^2\); (b) cuándo existe \(g\) con \(f=1/g\); (c)* cuándo existen soluciones de \(x(t)^2+b(t)x(t)+c(t)=0\) para todos los \(t\); (d)* cuándo existen soluciones de \(a(t)x(t)+b(t)=0\) y cuántas.
Solución
(a) Es necesario que \(f(t)\ge0\) para todo \(t\). Es suficiente: defina \(g(t)=\sqrt{f(t)}\). No se impone continuidad ni otra condición adicional a \(g\).
(b) Es necesario que \(f\) nunca se anule. Si eso ocurre, \(g=1/f\) satisface la ecuación y también es no nula. La solución es única.
(c)* Completando el cuadrado,
\[ \left(x(t)+\frac{b(t)}2\right)^2=\frac{b(t)^2-4c(t)}4. \]
Existe solución real en todos los puntos exactamente cuando \(b(t)^2-4c(t)\ge0\) para cada \(t\). Una elección explícita es
\[ x(t)=\frac{-b(t)+\sqrt{b(t)^2-4c(t)}}2. \]
Todas las soluciones eligen, en cada punto, una de las dos raíces; cuando el discriminante es cero ambas coinciden.
(d)* En los puntos con \(a(t)\ne0\), el valor está obligado: \(x(t)=-b(t)/a(t)\). Si \(a(t)=0\), debe cumplirse \(b(t)=0\); de lo contrario, no hay solución.
Así, la condición necesaria y suficiente es \(a(t)=0\Rightarrow b(t)=0\). Cumplida esa condición, sobre \(Z=\{t:a(t)=0\}\) los valores de \(x\) son arbitrarios, y fuera de \(Z\) están determinados. Hay exactamente una solución si \(Z\) es vacío; si no, hay infinitas, parametrizadas por todas las funciones \(Z\to\mathbb R\). Esta descripción también da el número de soluciones cuando \(Z\) es infinito, sin reducirlo a un conteo finito de raíces.
Ejercicio 11 — SPV4-C03-E011
Referencia: capítulo 3, ejercicio 11, pp. 50–51. Estrellas del original en (d), (e).
Problema
(a) Si \(H(H(y))=y\), calcule la iteración de \(H\) ochenta veces en \(y\).
(b) Haga lo mismo para ochenta y una veces.
(c) Responda ambas preguntas si \(H(H(y))=H(y)\).
(d)* Construya una función idempotente, \(H\circ H=H\), con \(H(1)=36\), \(H(2)=\pi/3\), \(H(13)=47\) y que fije \(36,\pi/3,47\).
(e)* Construya otra idempotente con \(H(1)=7\), \(H(17)=18\).
Solución
(a)–(b) Las iteraciones alternan: \(y,H(y),y,H(y),\dots\). Por inducción, cada iteración par devuelve \(y\) y cada impar devuelve \(H(y)\). Las respuestas son \(y\) y \(H(y)\), respectivamente.
(c) Después de la primera aplicación, el valor \(H(y)\) ya es fijo: \(H(H(y))=H(y)\). Todas las iteraciones positivas valen \(H(y)\), incluidas las dos solicitadas.
(d)* Defina \(H(1)=36\), \(H(2)=\pi/3\), \(H(13)=47\) y \(H(x)=x\) para todos los demás reales. Los tres valores de llegada son distintos de los puntos \(1,2,13\), así que quedan fijos. Cualquier otro punto también queda fijo y se cumple \(H(H(x))=H(x)\) en todos los casos.
(e)* Defina \(H(1)=7\), \(H(17)=18\) y \(H(x)=x\) en los demás puntos. Los dos valores de llegada están fijos, lo que verifica de nuevo la idempotencia.
Ejercicio 12 — SPV4-C03-E012
Referencia: capítulo 3, ejercicio 12, p. 51.
Problema
Una función es par si \(f(-x)=f(x)\) e impar si \(f(-x)=-f(x)\). Para las cuatro combinaciones de paridad de \(f,g\), clasifique (a) \(f+g\); (b) \(fg\); (c) \(f\circ g\). (d) Pruebe que una función par puede escribirse como \(f(x)=g(|x|)\) de infinitas maneras.
Solución
Las filas indican la paridad de \(f\) y las columnas la de \(g\).
(a)
| \(f\backslash g\) | Par | Impar |
|---|---|---|
| Par | Par | Sin paridad obligatoria |
| Impar | Sin paridad obligatoria | Impar |
Para dos pares, la sustitución de \(x\) por \(-x\) no cambia ninguno de los sumandos. Para dos impares, cambia el signo de ambos. En los casos mixtos, \(f(x)=1\) y \(g(x)=x\) dan \(1+x\), que no es par ni impar. Las funciones especiales, como la función cero, pueden pertenecer a ambas clases; la tabla expresa lo que está garantizado.
(b)
| \(f\backslash g\) | Par | Impar |
|---|---|---|
| Par | Par | Impar |
| Impar | Impar | Par |
En \(f(-x)g(-x)\), cada factor impar aporta un cambio de signo. Dos cambios se cancelan; uno solo permanece.
(c)
| \(f\backslash g\) | Par | Impar |
|---|---|---|
| Par | Par | Par |
| Impar | Par | Impar |
Si \(g\) es par, \(g(-x)=g(x)\) y la composición es par cualquiera que sea \(f\). Si \(g\) es impar, su argumento cambia de signo y la paridad de la composición es la de la función exterior \(f\).
(d) Para \(t\ge0\), defina \(g(t)=f(t)\); para \(t<0\), elija valores arbitrarios. Entonces \(g(|x|)=f(|x|)=f(x)\), por la paridad de \(f\). Por ejemplo, dar a \(g\) un valor constante \(c\) en todos los negativos produce funciones diferentes para los infinitos reales \(c\). Los valores negativos de \(g\) nunca se consultan al evaluar \(g(|x|)\).
Ejercicio 13* — SPV4-C03-E013
Referencia: capítulo 3, ejercicio 13*, p. 51.
Problema
(a) Pruebe que toda función real \(f\) en \(\mathbb R\) se escribe como \(f=E+O\), con \(E\) par y \(O\) impar. (b) Pruebe la unicidad.
Solución
(a) Defina
\[ E(x)=\frac{f(x)+f(-x)}2,\qquad O(x)=\frac{f(x)-f(-x)}2. \]
La suma es \(f(x)\). Sustituyendo \(-x\), se obtiene \(E(-x)=E(x)\) y \(O(-x)=-O(x)\).
(b) Si \(f=E_1+O_1\) también satisface esas paridades, entonces
\[ f(x)=E_1(x)+O_1(x),\qquad f(-x)=E_1(x)-O_1(x). \]
Sumar y restar las igualdades obliga a las dos fórmulas anteriores. Por tanto la descomposición es única. En particular, la parte impar vale cero en el origen.
Ejercicio 14 — SPV4-C03-E014
Referencia: capítulo 3, ejercicio 14, p. 51.
Problema
Exprese el máximo y el mínimo punto a punto de \(f,g\) mediante el valor absoluto.
Solución
\[ \max(f,g)=\frac{f+g+|f-g|}{2},\qquad \min(f,g)=\frac{f+g-|f-g|}{2}. \]
Si \(f(x)\ge g(x)\), el valor absoluto es \(f(x)-g(x)\) y las fórmulas dan \(f(x)\) y \(g(x)\). Si \(f(x)\le g(x)\), dan \(g(x)\) y \(f(x)\). Los empates quedan incluidos.
Ejercicio 15 — SPV4-C03-E015
Referencia: capítulo 3, ejercicio 15, p. 51.
Problema
(a) Pruebe \(f=\max(f,0)+\min(f,0)\). (b) Exprese \(f=g-h\) con \(g,h\) no negativas de infinitas maneras.
Solución
(a) Si \(f(x)\ge0\), los dos términos valen \(f(x)\) y \(0\); si \(f(x)\le0\), valen \(0\) y \(f(x)\). La identidad se cumple en ambos casos.
(b) Para cualquier función no negativa \(u\), tomemos
\[ g=\max(f,0)+u,\qquad h=-\min(f,0)+u. \]
Ambas son no negativas y su diferencia es \(f\), por (a). Basta elegir las infinitas funciones constantes \(u=c\ge0\) para obtener infinitos pares distintos.
La «parte negativa» \(\min(f,0)\) de (a) es no positiva; en la diferencia de (b) se usa su opuesto.
Ejercicio 16* — SPV4-C03-E016
Referencia: capítulo 3, ejercicio 16*, pp. 51–52.
Problema
Suponga \(f(x+y)=f(x)+f(y)\) para todos los reales.
(a) Pruebe \(f(x_1+\cdots+x_n)=\sum f(x_i)\).
(b) Pruebe que existe \(c\) con \(f(r)=cr\) para todo racional \(r\).
Solución
(a) Para un sumando la igualdad es inmediata. Si vale para \(n\), aplicar la hipótesis a la suma de los primeros \(n\) términos y al último da
\[ f(x_1+\cdots+x_{n+1})=\sum_{i=1}^n f(x_i)+f(x_{n+1}). \]
Así queda demostrada por inducción.
(b) Primero \(f(0)=f(0)+f(0)\), luego \(f(0)=0\). También \(0=f(x)+f(-x)\), así que \(f(-x)=-f(x)\).
Sea \(c=f(1)\). Por (a), \(f(n)=nc\) para naturales; el origen y los opuestos extienden la fórmula a todos los enteros. Para \(q\in\mathbb N\),
\[ c=f(1)=f(q\cdot(1/q))=qf(1/q), \]
de donde \(f(1/q)=c/q\). Para cualquier entero \(p\), la suma repetida y la regla de los opuestos dan
\[ f(p/q)=p\,f(1/q)=cp/q. \]
Todo racional tiene esa forma. La prueba no establece linealidad en los irracionales: sin hipótesis adicionales, la aditividad sola no basta para esa conclusión.
Ejercicio 17* — SPV4-C03-E017
Referencia: capítulo 3, ejercicio 17*, p. 52.
Problema
Sea \(f\) no idénticamente cero, aditiva y multiplicativa: \(f(x+y)=f(x)+f(y)\), \(f(xy)=f(x)f(y)\). Pruebe (a) \(f(1)=1\); (b) \(f(r)=r\) para racionales; (c) \(f(x)>0\) si \(x>0\); (d) \(f(x)>f(y)\) si \(x>y\); (e) \(f(x)=x\) para todo real.
Solución
(a) Elija \(t\) con \(f(t)\ne0\). La multiplicatividad da \(f(t)=f(t)f(1)\); al cancelar \(f(t)\), queda \(f(1)=1\).
(b) E016(b) se aplica con \(c=1\), luego \(f(r)=r\) en \(\mathbb Q\).
(c) Para \(x>0\), existe \(u=\sqrt x>0\). Además,
\[ f(u)f(1/u)=f(1)=1, \]
así que \(f(u)\ne0\). Por multiplicatividad, \(f(x)=f(u)^2>0\). La existencia de la raíz se apoya en la completitud de \(\mathbb R\), no en la aditividad.
(d) Si \(x>y\), entonces \(x-y>0\). Por (c), \(f(x-y)>0\), y por aditividad y opuestos, \(f(x)-f(y)>0\).
(e) Usamos la densidad de los racionales, cuyo fundamento conviene precisar. La completitud implica que los naturales no están acotados: si tuvieran supremo \(s\), existiría un natural \(n>s-1\) y su sucesor excedería \(s\). Dados \(a<b\), elija \(N\) natural con \(N(b-a)>1\). Existe un menor entero \(m>Na\): los enteros son no acotados por arriba y ese conjunto está acotado por abajo; trasladarlo por un entero lo convierte en un subconjunto de naturales al que se aplica el buen orden. La minimalidad da \(m-1\le Na\), y por tanto
\[ Na<m\le Na+1<Nb. \]
Así \(a<m/N<b\).
Si \(f(x)>x\), elija un racional \(r\) entre \(x\) y \(f(x)\). Por (d), \(f(x)<f(r)=r\), contrario a \(r<f(x)\). Si \(f(x)<x\), elija un racional \(r\) entre ambos; de \(r<x\) se obtiene \(r=f(r)<f(x)\), otra contradicción. Por tanto \(f(x)=x\).
Ejercicio 18* — SPV4-C03-E018
Referencia: capítulo 3, ejercicio 18*, p. 52.
Problema
Clasifique las funciones \(f,g,h,k\) para las que \(f(x)g(y)=h(x)k(y)\) para todos los reales \(x,y\).
Solución
Si \(f\) o \(g\) es idénticamente cero, el miembro izquierdo siempre es cero. El derecho lo es exactamente cuando \(h\) o \(k\) es idénticamente cero: si ambos tuviesen algún valor no nulo, podríamos elegir esos dos puntos y producir un producto no nulo.
Supongamos ahora que \(f\) y \(g\) no son idénticamente cero. Elija \(x_0,y_0\) con \(f(x_0)g(y_0)\ne0\). La igualdad obliga a que \(h(x_0),k(y_0)\) sean no nulos. Fijando \(y=y_0\),
\[ h(x)=\lambda f(x),\qquad \lambda=\frac{g(y_0)}{k(y_0)}\ne0. \]
Fijando después \(x=x_0\) y cancelando \(f(x_0)\),
\[ k(y)=\lambda^{-1}g(y). \]
Recíprocamente, estas dos relaciones garantizan la igualdad. Esta es la clasificación completa: productos idénticamente nulos en ambos miembros, o proporciones recíprocas con una constante no nula.
Ejercicio 19* — SPV4-C03-E019
Referencia: capítulo 3, ejercicio 19*, p. 52.
Problema
(a)(i) Pruebe que no existen \(f,g\) con \(f(x)+g(y)=xy\) para todos los reales. (a)(ii) Haga lo mismo para \(f(x)g(y)=x+y\).
(b) Encuentre \(f,g\) con \(f(x+y)=g(xy)\) para todos los reales.
Solución
(a)(i) Al poner \(y=0\), obtenemos \(f(x)=-g(0)\) para todo \(x\): \(f\) es constante. Al poner \(x=0\), resulta que \(g\) también es constante. El miembro izquierdo vale entonces siempre \(f(0)+g(0)=0\), pero para \(x=y=1\) el derecho vale \(1\). Contradicción.
(a)(ii) Con \(x=0,y=1\), \(f(0)g(1)=1\), luego \(f(0)\ne0\). Al poner \(y=0\), \(f(0)g(0)=0\), así que \(g(0)=0\). Pero \(x=1,y=0\) exige \(f(1)g(0)=1\), contradicción.
(b) Las funciones constantes iguales \(f=g=c\) sirven. Son, además, todas las soluciones: poniendo \(y=0\), se obtiene \(f(x)=g(0)=c\) para todo \(x\); como cualquier real es un producto \(1\cdot y\), queda \(g(y)=c\).
Ejercicio 20* — SPV4-C03-E020
Referencia: capítulo 3, ejercicio 20*, p. 52.
Problema
(a) Encuentre una función no constante con \(|f(y)-f(x)|\le|y-x|\). (b) Si \(f(y)-f(x)\le(y-x)^2\) para todos los reales, pruebe que \(f\) es constante.
Solución
(a) \(f(x)=x\) sirve y hay igualdad para cualquier par.
(b) Intercambiando \(x,y\), también \(f(x)-f(y)\le(y-x)^2\). Por tanto \(|f(y)-f(x)|\le(y-x)^2\).
Dividamos el segmento entre \(x\) e \(y\) en \(n\) partes iguales: \(t_j=x+j(y-x)/n\). La desigualdad triangular y la hipótesis dan
\[ |f(y)-f(x)| \le\sum_{j=1}^n|f(t_j)-f(t_{j-1})| \le n\left(\frac{y-x}{n}\right)^2 =\frac{(y-x)^2}{n}. \]
Si el miembro izquierdo fuera un número \(\delta>0\), la propiedad arquimediana justificada en E017 permitiría elegir \(n>(y-x)^2/\delta\), contradiciendo la cota. Luego \(f(y)=f(x)\) para todos los pares y \(f\) es constante. No se requiere derivabilidad ni se presupone continuidad.
Ejercicio 21 — SPV4-C03-E021
Referencia: capítulo 3, ejercicio 21, p. 52.
Problema
Pruebe o refute (a) \(f\circ(g+h)=f\circ g+f\circ h\); (b) \((g+h)\circ f=g\circ f+h\circ f\); (c) \(1/(f\circ g)=(1/f)\circ g\); (d) \(1/(f\circ g)=f\circ(1/g)\).
Solución
(a) Es falsa en general. Tome \(f(t)=t^2\) y \(g=h=1\) constantes. El miembro izquierdo vale \(4\) y el derecho \(2\) en todos los puntos.
(b) Es verdadera: evaluando en \(x\),
\[ (g+h)(f(x))=g(f(x))+h(f(x)). \]
Los dominios también coinciden: se requiere que \(x\) esté en el dominio de \(f\) y que \(f(x)\) pertenezca a los de \(g\) y \(h\).
(c) Es verdadera en el dominio común \(g(x)\in\operatorname{dom}f\), \(f(g(x))\ne0\): ambos miembros valen \(1/f(g(x))\). La restricción de no anulación forma parte de las dos expresiones.
(d) Es falsa. Tome \(f(t)=t+1\) y \(g=1\) constante. Todos los valores necesarios existen, pero el izquierdo vale \(1/2\) y el derecho \(f(1)=2\).
Ejercicio 22 — SPV4-C03-E022
Referencia: capítulo 3, ejercicio 22, p. 52.
Problema
(a) Si \(g=h\circ f\), pruebe que \(f(x)=f(y)\) implica \(g(x)=g(y)\). (b) Pruebe la recíproca: si \(g\) tiene el mismo valor en cada fibra de \(f\), existe \(h\) con \(g=h\circ f\).
Solución
(a) Aplicando \(h\) a la igualdad,
\[ g(x)=h(f(x))=h(f(y))=g(y). \]
(b) Para \(z\) en la imagen de \(f\), defina \(h(z)=g(x)\) donde \(f(x)=z\). No depende de cuál preimagen se use: si también \(f(y)=z\), la hipótesis asegura \(g(y)=g(x)\). Así se define un único valor de \(h\) en cada punto de la imagen, sin elegir un representante para poder especificar ese valor.
En los reales que no pertenecen a la imagen de \(f\), podemos definir \(h(z)=0\). Para todo \(x\), el punto \(f(x)\) está en la imagen y la definición da \(h(f(x))=g(x)\). Por tanto \(g=h\circ f\).
Ejercicio 23 — SPV4-C03-E023
Referencia: capítulo 3, ejercicio 23, p. 53.
Problema
Si \(f\circ g=I\), con \(I(x)=x\), pruebe (a) que \(g\) es inyectiva; (b) que \(f\) es sobreyectiva.
Solución
(a) Si \(g(x)=g(y)\), al aplicar \(f\) obtenemos \(x=f(g(x))=f(g(y))=y\). Equivalentemente, \(x\ne y\) implica \(g(x)\ne g(y)\).
(b) Para cualquier real \(b\), tome \(a=g(b)\). Entonces \(f(a)=f(g(b))=b\), por lo que todos los reales están en la imagen de \(f\).
Ejercicio 24* — SPV4-C03-E024
Referencia: capítulo 3, ejercicio 24*, p. 53.
Problema
(a) Si \(g:\mathbb R\to\mathbb R\) es inyectiva, construya \(f\) con \(f\circ g=I\). (b) Si \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) es sobreyectiva, pruebe que existe \(g\) con \(f\circ g=I\).
Solución
(a) Para \(z\) en la imagen de \(g\), existe un único real \(x\) con \(g(x)=z\). Defina \(f(z)=x\). Fuera de la imagen, defina \(f(z)=0\). La unicidad de la preimagen hace que la definición sea inequívoca y \(f(g(x))=x\) para todo \(x\).
(b) Cada fibra \(f^{-1}(\{b\})\) es no vacía. Usando el principio de elección para esta familia de conjuntos, seleccionamos un elemento \(g(b)\) de cada fibra. Entonces \(f(g(b))=b\) para todo real \(b\), que es la igualdad pedida.
Observación
En (a), las preimágenes son únicas y no hay una elección simultánea entre varias posibilidades. En (b), una función arbitraria puede tener fibras sin elemento distinguido; la selección de una preimagen para cada real utiliza una hipótesis de elección. Se declara aquí como fundamento adicional. La sobreyectividad garantiza la no vaciedad de las fibras, pero no suministra por sí misma una fórmula que seleccione sus elementos.
Ejercicio 25* — SPV4-C03-E025
Referencia: capítulo 3, ejercicio 25*, p. 53.
Problema
Construya \(f\) que tenga una inversa por la izquierda, \(g\circ f=I\), pero ninguna inversa por la derecha, \(f\circ h=I\).
Solución
Tomemos
\[ f(x)= \begin{cases} x,&x<0,\\ x+1,&x\ge0. \end{cases} \]
Su imagen es \((-\infty,0)\cup[1,\infty)\) y es inyectiva. Definimos
\[ g(y)= \begin{cases} y,&y<0,\\ 0,&0\le y<1,\\ y-1,&y\ge1. \end{cases} \]
Si \(x<0\), \(g(f(x))=x\); si \(x\ge0\), \(g(f(x))=g(x+1)=x\). Así \(g\circ f=I\).
No puede existir \(h\) con \(f\circ h=I\), pues \(f(h(1/2))\) tendría que valer \(1/2\), número que no está en la imagen de \(f\).
Ejercicio 26* — SPV4-C03-E026
Referencia: capítulo 3, ejercicio 26*, p. 53.
Problema
Si \(f\circ g=I\) y \(h\circ f=I\), pruebe que \(g=h\).
Solución
Por asociatividad de la composición,
\[ h=h\circ I=h\circ(f\circ g) =(h\circ f)\circ g=I\circ g=g. \]
Las dos identidades dadas son necesarias: una inversa por un solo lado no fuerza por sí misma la existencia de una inversa por el otro, como muestra E025.
Ejercicio 27 — SPV4-C03-E027
Referencia: capítulo 3, ejercicio 27, p. 53.
Problema
(a) Si \(f(x)=x+1\), encuentre funciones \(g\) que conmuten con \(f\). (b) Si \(f=c\) es constante, determine las \(g\) que conmuten con \(f\). (c) Si \(f\) conmuta con todas las funciones reales, pruebe \(f=I\).
Solución
(a) La igualdad de composiciones equivale a
\[ g(x)+1=g(x+1). \]
Por ejemplo, sirve cualquier \(g(x)=x+c\). La descripción completa es \(g(x)=x+p(x)\), donde \(p\) tiene período \(1\): al sustituir, la igualdad se reduce a \(p(x+1)=p(x)\). Recíprocamente, si \(g\) conmuta, la función \(p(x)=g(x)-x\) satisface esa periodicidad.
(b) \(f(g(x))=c\) y \(g(f(x))=g(c)\). Conmutan exactamente cuando \(g(c)=c\).
(c) Para cada real \(c\), elija como \(g\) la función constante de valor \(c\). Entonces \(f\circ g\) es la constante \(f(c)\) y \(g\circ f\) es la constante \(c\). La hipótesis obliga a \(f(c)=c\) para todo \(c\), así que \(f=I\).
Ejercicio 28 — SPV4-C03-E028
Referencia: capítulo 3, ejercicio 28, p. 53. Estrella del original en (c).
Problema
Sea \(F\) el conjunto de funciones \(\mathbb R\to\mathbb R\) con suma y producto punto a punto.
(a) Verifique P1–P9 salvo P7, interpretando \(0,1\) como funciones constantes. (b) Pruebe que P7 falla. (c)* Pruebe que ningún conjunto de funciones positivas puede satisfacer P10–P12. (d) Para \(f<g\) definido por \(f(x)<g(x)\) en todos los puntos, determine cuáles de P′10–P′13 valen. (e) Si \(f<g\), examine \(h\circ f<h\circ g\) y \(f\circ h<g\circ h\).
Solución
(a) Dos funciones son iguales cuando sus valores coinciden en cada punto. Por tanto, basta aplicar las propiedades de los reales a los valores \(f(x),g(x),h(x)\):
| Propiedad | Identidad funcional |
|---|---|
| P1 | \((f+g)+h=f+(g+h)\) |
| P2 | \(f+0=f\) |
| P3 | \(f+(-f)=0\), con \((-f)(x)=-f(x)\) |
| P4 | \(f+g=g+f\) |
| P5 | \((fg)h=f(gh)\) |
| P6 | \(f1=f\) |
| P8 | \(fg=gf\) |
| P9 | \(f(g+h)=fg+fh\) |
Las operaciones conservan el dominio \(\mathbb R\), las funciones constantes pertenecen a \(F\) y \(0\ne1\).
(b) P7 exige inverso multiplicativo para cada elemento distinto de cero. La función \(f(x)=x\) no es la función cero, pero ningún \(g\in F\) puede satisfacer \(fg=1\): en \(x=0\) el producto siempre vale cero. Una función de \(F\) tiene inverso en \(F\) exactamente cuando nunca se anula.
(c)* Elija dos puntos distintos \(x_0,x_1\) y sus funciones características \(u=C_{\{x_0\}}\), \(v=C_{\{x_1\}}\). Ambas son distintas de cero y \(uv=0\). La tricotomía de signos de P10 obligaría a elegir uno de \(u,-u\) y uno de \(v,-v\) como positivos. Por P12 su producto sería positivo, pero ese producto es siempre la función cero, que P10 excluye de los positivos. Contradicción. Ni siquiera hace falta usar P11.
(d) P′10, la tricotomía, falla: con \(f(x)=x\) y \(g(x)=0\), no se cumple \(f=g\), ni \(f<g\), ni \(g<f\).
P′11, transitividad, sí vale, porque \(f(x)<g(x)<h(x)\) implica \(f(x)<h(x)\) en cada punto. P′12, invariancia al sumar, vale por la misma razón. P′13, conservación al multiplicar por una función estrictamente positiva, también vale: si \(f<g\) y \(0<h\), entonces \(f(x)h(x)<g(x)h(x)\) para todo \(x\).
(e) La composición por la izquierda no conserva siempre el orden. Tome \(f=0\), \(g=1\) y \(h(t)=-t\): tenemos \(f<g\), pero \(h\circ f=0>-1=h\circ g\). Sí lo conservaría una función exterior estrictamente creciente.
La composición por la derecha siempre conserva esta desigualdad: para cada \(x\), la hipótesis aplicada en el punto \(h(x)\) da \(f(h(x))<g(h(x))\). Por tanto \(f\circ h<g\circ h\).
Soluciones originales de Alevi Peña · Matemática Abierta. Licencia GFDL 1.3 o posterior.