Dominio de un radical anidado
Enunciado
Enunciado
Determina el dominio real de la función
\[ f(x)=\sqrt{x+1-\sqrt{4x+1}}. \]
Análisis
La expresión contiene dos raíces cuadradas. Por tanto, no podemos estudiar solamente la raíz exterior: primero debe existir la raíz interior y, una vez garantizada su existencia, el radicando exterior también debe ser no negativo.
La herramienta general es Dominio de funciones reales con radicales (MA-CON-0003).
Intuición
En un radical anidado las restricciones aparecen por capas. La raíz interior determina qué valores de \(x\) permiten siquiera formar la expresión interior; sólo dentro de ese conjunto tiene sentido imponer la condición de la raíz exterior.
1. Condición de la raíz interior
Para que
\[ \sqrt{4x+1} \]
sea real, necesitamos
\[ 4x+1\ge0. \]
Por tanto,
\[ x\ge-\frac14. \]
Llamemos
\[ A=\left[-\frac14,\infty\right). \]
2. Condición de la raíz exterior
El radicando exterior debe satisfacer
\[ x+1-\sqrt{4x+1}\ge0. \]
Equivalentemente,
\[ \sqrt{4x+1}\le x+1. \]
Antes de elevar al cuadrado debemos controlar los signos.
Dentro de la condición interior \(x\ge-\frac14\) tenemos
\[ x+1\ge\frac34>0. \]
Además,
\[ \sqrt{4x+1}\ge0. \]
Por tanto, ambos miembros son no negativos y podemos elevar al cuadrado preservando la equivalencia:
\[ 4x+1\le(x+1)^2. \]
Desarrollando,
\[ 4x+1\le x^2+2x+1, \]
de donde
\[ 0\le x^2-2x. \]
Factorizamos:
\[ x(x-2)\ge0. \]
Usando el análisis de signos estudiado en Desigualdades cuadráticas por factorización (MA-CON-0001), obtenemos
\[ x\le0 \qquad\text{o}\qquad x\ge2. \]
Así, la condición exterior produce
\[ B=(-\infty,0]\cup[2,\infty). \]
3. Intersección de restricciones
El dominio debe satisfacer simultáneamente la condición interior y la exterior:
\[ D_f=A\cap B. \]
Por tanto,
\[ D_f= \left[-\frac14,\infty\right) \cap \left(( -\infty,0]\cup[2,\infty)\right). \]
De aquí resulta
\[ \boxed{ D_f=\left[-\frac14,0\right]\cup[2,\infty) }. \]
Método
La secuencia lógica fue:
\[ \text{raíz interior} \longrightarrow \text{raíz exterior} \longrightarrow \text{control de signos} \longrightarrow \text{cuadrado equivalente} \longrightarrow \text{intersección}. \]
El orden importa: cuadrar antes de garantizar los signos puede introducir soluciones que no satisfacen la desigualdad original.
Solución
La raíz interior exige
\[ x\ge-\frac14. \]
La raíz exterior exige
\[ x+1\ge\sqrt{4x+1}. \]
Como para \(x\ge-\frac14\) ambos miembros son no negativos, esta condición equivale a
\[ (x+1)^2\ge4x+1, \]
es decir,
\[ x(x-2)\ge0. \]
Por tanto,
\[ x\le0 \quad\text{o}\quad x\ge2. \]
Al intersectar con \(x\ge-\frac14\) obtenemos finalmente
\[ \boxed{ D_f=\left[-\frac14,0\right]\cup[2,\infty) }. \]
Comprobación
Conviene revisar los puntos frontera y algunos valores representativos.
Extremo \(x=-\frac14\)
La raíz interior vale
\[ \sqrt{4\left(-\frac14\right)+1}=0. \]
El radicando exterior es
\[ -\frac14+1-0=\frac34>0. \]
Por tanto, \(-\frac14\) pertenece al dominio.
Punto \(x=0\)
Tenemos
\[ 0+1-\sqrt1=0, \]
así que \(0\) pertenece al dominio.
Punto entre \(0\) y \(2\)
Tomemos \(x=1\):
\[ 1+1-\sqrt5=2-\sqrt5<0. \]
La raíz exterior no existe en \(\mathbb R\), de modo que \(1\) queda excluido.
Punto \(x=2\)
Tenemos
\[ 2+1-\sqrt9=0, \]
por lo que \(2\) pertenece al dominio.
Punto mayor que \(2\)
Tomemos \(x=3\):
\[ 3+1-\sqrt{13}=4-\sqrt{13}>0. \]
Así, \(3\) pertenece al dominio.
Comprobación
Los ensayos confirman el patrón obtenido algebraicamente:
- desde \(-\frac14\) hasta \(0\), la función está definida;
- entre \(0\) y \(2\), no lo está;
- desde \(2\) en adelante, vuelve a estar definida.
Esto concuerda con
\[ D_f=\left[-\frac14,0\right]\cup[2,\infty). \]