Igualdad de conjuntos por doble inclusión
Enunciado
Sean \(A\), \(B\) y \(C\) conjuntos. Demuestra que
\[ A\cap(B\setminus C) = (A\cap B)\setminus C. \]
Análisis
Una igualdad de conjuntos no se demuestra comparando dibujos ni enumerando algunos elementos. Debemos probar que ambos lados contienen exactamente los mismos objetos.
La técnica estándar es la doble inclusión:
\[ A\cap(B\setminus C) \subseteq (A\cap B)\setminus C \]
y después la inclusión recíproca.
Usaremos las definiciones de intersección y diferencia desarrolladas en Operaciones con conjuntos reales (MA-CON-0006).
Solución
Primera inclusión
Sea
\[ x\in A\cap(B\setminus C). \]
Entonces simultáneamente
\[ x\in A \]
y
\[ x\in B\setminus C. \]
La segunda pertenencia significa
\[ x\in B \qquad\text{y}\qquad x\notin C. \]
Por tanto,
\[ x\in A\cap B \]
y además \(x\notin C\). Esto equivale a
\[ x\in(A\cap B)\setminus C. \]
Hemos probado
\[ A\cap(B\setminus C) \subseteq (A\cap B)\setminus C. \]
Segunda inclusión
Ahora sea
\[ x\in(A\cap B)\setminus C. \]
Entonces
\[ x\in A\cap B \qquad\text{y}\qquad x\notin C. \]
De \(x\in A\cap B\) obtenemos
\[ x\in A \qquad\text{y}\qquad x\in B. \]
Como además \(x\notin C\), se sigue que
\[ x\in B\setminus C. \]
Por consiguiente,
\[ x\in A\cap(B\setminus C). \]
Así,
\[ (A\cap B)\setminus C \subseteq A\cap(B\setminus C). \]
Las dos inclusiones implican
\[ \boxed{ A\cap(B\setminus C) = (A\cap B)\setminus C. } \]
Comprobación
Ambos lados describen la misma condición lógica sobre un elemento \(x\):
\[ x\in A, \qquad x\in B, \qquad x\notin C. \]
Esta lectura elemento a elemento proporciona un control independiente de la demostración.
Técnica reutilizable
Las identidades de conjuntos suelen hacerse transparentes cuando cada operación se traduce a condiciones de pertenencia. La doble inclusión permite transformar una igualdad global en dos implicaciones sobre un elemento arbitrario.
Relaciones
- Concepto: Operaciones con conjuntos reales (
MA-CON-0006). - Capítulo: Leer y escribir matemáticas (
MA-BCH-0001). - Técnica principal: doble inclusión.