Operaciones con conjuntos reales: unión, intersección, complemento y diferencia
Los intervalos permiten describir muchos subconjuntos de la recta real. Pero, en cuanto aparecen varias condiciones, necesitamos además un lenguaje para combinar conjuntos.
Por ejemplo, si una condición admite los números de un conjunto \(A\) y otra admite los de un conjunto \(B\), podemos preguntar:
- ¿qué números cumplen ambas condiciones?;
- ¿qué números cumplen al menos una?;
- ¿qué números están en \(A\) pero no en \(B\)?;
- ¿qué números quedan fuera de \(A\)?
Estas preguntas corresponden, respectivamente, a la intersección, la unión, la diferencia y el complemento.
Intuición
Las operaciones entre conjuntos son una traducción directa de operaciones lógicas:
\[ \begin{aligned} A\cap B &\longleftrightarrow \text{«$A$ y $B$»},\\ A\cup B &\longleftrightarrow \text{«$A$ o $B$»},\\ A^c &\longleftrightarrow \text{«no $A$»}. \end{aligned} \]
Por eso aparecen de manera natural al resolver desigualdades, describir dominios y combinar restricciones.
Conjuntos, pertenencia y subconjuntos
Si \(A\) es un conjunto, escribimos
\[ x\in A \]
cuando \(x\) pertenece a \(A\), y
\[ x\notin A \]
cuando no pertenece.
También podemos comparar conjuntos completos. Decimos que \(A\) es un subconjunto de \(B\) y escribimos
\[ A\subseteq B \]
si todo elemento de \(A\) pertenece también a \(B\).
En símbolos,
\[ A\subseteq B \quad\Longleftrightarrow\quad \forall x\,(x\in A\Rightarrow x\in B). \]
Por ejemplo,
\[ [0,1]\subseteq[-2,3]. \]
Dos conjuntos son iguales cuando contienen exactamente los mismos elementos. Una forma especialmente útil de demostrarlo es probar las dos inclusiones:
\[ A=B \quad\Longleftrightarrow\quad A\subseteq B\text{ y }B\subseteq A. \]
El universo de referencia
Para hablar de complemento debemos saber dentro de qué conjunto estamos trabajando. Ese conjunto se llama universo o universo de referencia.
En esta página trabajaremos normalmente con
\[ U=\mathbb{R}. \]
Por tanto, salvo que se indique otra cosa, el complemento de un conjunto \(A\subseteq\mathbb{R}\) estará formado por los números reales que no pertenecen a \(A\).
Observación
El complemento depende del universo.
Si
\[ A=[0,1], \]
su complemento dentro de \(\mathbb{R}\) no es el mismo que su complemento dentro de \([0,2]\).
Intersección: cumplir ambas condiciones
La intersección de \(A\) y \(B\) es
\[ A\cap B = \{x:x\in A\text{ y }x\in B\}. \]
Un elemento pertenece a \(A\cap B\) únicamente cuando pertenece a los dos conjuntos simultáneamente.
Consideremos
\[ A=[-2,4], \qquad B=(1,6). \]
Los números comunes a ambos conjuntos son los que satisfacen
\[ 1<x\le4. \]
Por tanto,
\[ \boxed{A\cap B=(1,4]}. \]
La intersección puede ser vacía. Por ejemplo,
\[ [-3,-1]\cap(0,4)=\varnothing. \]
Unión: cumplir al menos una condición
La unión de \(A\) y \(B\) es
\[ A\cup B = \{x:x\in A\text{ o }x\in B\}. \]
Aquí «o» es inclusivo: un elemento puede pertenecer a \(A\), a \(B\) o a ambos.
Con
\[ A=[-2,4], \qquad B=(1,6), \]
los dos conjuntos se superponen y juntos cubren todos los reales desde \(-2\) hasta \(6\), incluyendo \(-2\) pero no \(6\). Así,
\[ \boxed{A\cup B=[-2,6)}. \]
Error frecuente
No confundas
\[ A\cap B \]
con
\[ A\cup B. \]
La intersección exige simultaneidad; la unión admite alternativas.
Diferencia: estar en un conjunto pero no en otro
La diferencia de \(A\) menos \(B\) se define por
\[ A\setminus B = \{x:x\in A\text{ y }x\notin B\}. \]
La operación no es simétrica: en general,
\[ A\setminus B\ne B\setminus A. \]
Para
\[ A=[-2,4], \qquad B=(1,6), \]
tenemos
\[ \boxed{A\setminus B=[-2,1]}, \]
porque \(1\in A\) pero \(1\notin B\).
En cambio,
\[ \boxed{B\setminus A=(4,6)}. \]
El punto \(4\) no aparece porque pertenece a ambos conjuntos.
Complemento: todo lo que queda fuera
Sea \(A\subseteq U\). El complemento de \(A\) respecto de \(U\) es
\[ A^c=U\setminus A. \]
Cuando \(U=\mathbb{R}\) y
\[ A=[-2,4], \]
obtenemos
\[ A^c = \mathbb{R}\setminus[-2,4] = (-\infty,-2)\cup(4,\infty). \]
Los extremos \(-2\) y \(4\) no aparecen en el complemento porque pertenecen a \(A\).
Si, en cambio,
\[ B=(1,6), \]
entonces
\[ B^c = (-\infty,1]\cup[6,\infty). \]
Ahora los extremos sí pertenecen al complemento porque no pertenecen a \(B\).
Método
Para complementar un intervalo en \(\mathbb{R}\):
- identifica qué regiones de la recta quedan fuera del conjunto;
- conserva esas regiones;
- invierte la inclusión de cada frontera: un extremo incluido en el conjunto queda excluido del complemento, y viceversa.
Diferencia como intersección con un complemento
La diferencia puede reescribirse usando las dos operaciones anteriores:
\[ \boxed{A\setminus B=A\cap B^c}. \]
En efecto, afirmar que
\[ x\in A\setminus B \]
significa exactamente que
\[ x\in A \qquad\text{y}\qquad x\notin B. \]
Pero \(x\notin B\) equivale a \(x\in B^c\). Por tanto,
\[ x\in A\cap B^c. \]
Esta identidad es especialmente útil cuando una condición describe qué valores están permitidos y otra describe cuáles deben excluirse.
Identidades básicas
Las operaciones de unión e intersección satisfacen varias identidades fundamentales.
Conmutatividad
\[ A\cup B=B\cup A, \]
\[ A\cap B=B\cap A. \]
Asociatividad
\[ (A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C), \]
\[ (A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C). \]
Esto permite escribir sin ambigüedad expresiones como
\[ A\cap B\cap C. \]
Idempotencia
\[ A\cup A=A, \]
\[ A\cap A=A. \]
Con el conjunto vacío y el universo
\[ A\cup\varnothing=A, \qquad A\cap\varnothing=\varnothing, \]
\[ A\cup U=U, \qquad A\cap U=A. \]
Distributividad
\[ A\cap(B\cup C) = (A\cap B)\cup(A\cap C), \]
\[ A\cup(B\cap C) = (A\cup B)\cap(A\cup C). \]
Estas fórmulas son análogas a las leyes distributivas de la lógica entre «y» y «o».
Leyes de De Morgan
El complemento transforma uniones en intersecciones e intersecciones en uniones:
\[ \boxed{(A\cup B)^c=A^c\cap B^c}, \]
\[ \boxed{(A\cap B)^c=A^c\cup B^c}. \]
Estas identidades se llaman leyes de De Morgan.
Primera ley
Un número pertenece a \((A\cup B)^c\) cuando no pertenece a la unión. Eso significa que no está ni en \(A\) ni en \(B\):
\[ x\notin A \qquad\text{y}\qquad x\notin B. \]
Equivalentemente,
\[ x\in A^c\cap B^c. \]
Por tanto,
\[ (A\cup B)^c=A^c\cap B^c. \]
Segunda ley
Un número pertenece a \((A\cap B)^c\) cuando no pertenece simultáneamente a ambos conjuntos. Es decir, falla al menos una de las dos pertenencias:
\[ x\notin A \qquad\text{o}\qquad x\notin B. \]
Por tanto,
\[ x\in A^c\cup B^c, \]
y así
\[ (A\cap B)^c=A^c\cup B^c. \]
Intuición lógica
Las leyes de De Morgan dicen:
\[ \neg(P\lor Q) \Longleftrightarrow (\neg P)\land(\neg Q), \]
\[ \neg(P\land Q) \Longleftrightarrow (\neg P)\lor(\neg Q). \]
El cálculo con conjuntos y el cálculo lógico expresan aquí la misma estructura.
Negar desigualdades mediante complementos
Las operaciones conjuntistas permiten controlar con precisión la negación de condiciones sobre números reales.
Por ejemplo,
\[ A=[a,b] = \{x\in\mathbb{R}:a\le x\le b\}. \]
Entonces
\[ A^c = (-\infty,a)\cup(b,\infty), \]
lo cual equivale a
\[ \boxed{\neg(a\le x\le b) \Longleftrightarrow x<a\text{ o }x>b}. \]
Del mismo modo, si \(a<b\),
\[ (-\infty,a]\cup[b,\infty) \]
representa
\[ x\le a\text{ o }x\ge b. \]
Su complemento es
\[ (a,b), \]
de modo que
\[ \boxed{ \neg(x\le a\text{ o }x\ge b) \Longleftrightarrow a<x<b}. \]
Aplicación: dominios con valores excluidos
Consideremos
\[ f(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{x-1}. \]
La raíz exige
\[ x+2\ge0, \]
es decir,
\[ x\in[-2,\infty). \]
El denominador exige
\[ x\ne1. \]
Por tanto, debemos quitar el punto \(1\) del conjunto permitido por la raíz:
\[ D_f = [-2,\infty)\setminus\{1\}. \]
Equivalentemente,
\[ \boxed{D_f=[-2,1)\cup(1,\infty)}. \]
Dominio
Tres patrones aparecen continuamente:
- restricciones simultáneas \(\longrightarrow\) intersección;
- alternativas válidas \(\longrightarrow\) unión;
- valores prohibidos \(\longrightarrow\) complemento o diferencia.
Un ejemplo completo
Sean
\[ A=[-3,2), \qquad B=[0,5]. \]
Entonces:
\[ A\cap B=[0,2), \]
porque ésos son los números que pertenecen a ambos conjuntos.
Además,
\[ A\cup B=[-3,5], \]
porque los intervalos se superponen y juntos forman una sola región continua.
La diferencia es
\[ A\setminus B=[-3,0), \]
mientras que
\[ B\setminus A=[2,5]. \]
Finalmente, respecto de \(\mathbb{R}\),
\[ A^c=(-\infty,-3)\cup[2,\infty), \]
\[ B^c=(-\infty,0)\cup(5,\infty). \]
Podemos comprobar la primera ley de De Morgan:
\[ (A\cup B)^c = [-3,5]^c = (-\infty,-3)\cup(5,\infty). \]
Por otro lado,
\[ A^c\cap B^c = \bigl(( -\infty,-3)\cup[2,\infty)\bigr) \cap \bigl(( -\infty,0)\cup(5,\infty)\bigr), \]
que también da
\[ (-\infty,-3)\cup(5,\infty). \]
Qué conviene reconocer de inmediato
Cuando leas una condición o un conjunto, intenta identificar esta correspondencia:
\[ \begin{array}{ccl} \text{«y»} &\longleftrightarrow& \cap,\\[4pt] \text{«o»} &\longleftrightarrow& \cup,\\[4pt] \text{«no»} &\longleftrightarrow& {}^c,\\[4pt] \text{«en $A$ pero no en $B$»} &\longleftrightarrow& A\setminus B. \end{array} \]
Esta traducción evita tratar las operaciones como símbolos aislados y permite razonar con ellas.
Conexiones
Este concepto amplía Intervalos e intersección de conjuntos reales (MA-CON-0004), donde se introdujo el lenguaje de intervalos y las primeras combinaciones de restricciones.
También se conecta con Valor absoluto y desigualdades básicas (MA-CON-0002), porque muchas desigualdades con valor absoluto producen uniones o intervalos complementarios; con Dominio de funciones reales con radicales (MA-CON-0003), porque los dominios combinan conjuntos de restricciones; y con Propiedades del orden en ℝ y manipulación de desigualdades (MA-CON-0005), que permite transformar las desigualdades antes de expresar sus soluciones como conjuntos.