Producto nulo y cancelación en un cuerpo
Producto nulo y cancelación en un cuerpo
Enunciado
Sea \(F\) un cuerpo y sean \(a,b,c\in F\).
- Demuestra que \[ ab=0 \quad\Longrightarrow\quad a=0\text{ o }b=0. \]
- Deduce que, si \[ ac=bc \] y \[ c\neq0, \] entonces \[ a=b. \]
- Explica por qué la hipótesis \(c\neq0\) es esencial construyendo un contraejemplo cuando \(c=0\).
Análisis
La primera afirmación contiene una disyunción:
\[ a=0\text{ o }b=0. \]
Una estrategia eficiente es separar dos posibilidades. Si \(a=0\), la conclusión ya está obtenida. Si \(a\neq0\), el axioma de cuerpo nos garantiza que existe \(a^{-1}\), y ese inverso permite extraer \(b\) de la igualdad \(ab=0\).
La segunda parte puede resolverse de dos maneras:
- aplicar directamente el inverso de \(c\);
- o transformar \(ac=bc\) en \[ (a-b)c=0 \] y utilizar la propiedad del producto nulo recién demostrada.
La tercera parte audita la hipótesis. Si \(c=0\), todos los productos \(ac\) y \(bc\) colapsan a cero, de modo que la igualdad deja de contener información sobre \(a\) y \(b\).
Estrategia
Cuando una igualdad multiplicativa contiene un factor no nulo, pregunta si su inverso permite aislar la información que quieres recuperar.
Cuando el factor puede ser cero, la cancelación debe detenerse y hay que separar casos.
Solución
1. Propiedad del producto nulo
Supongamos
\[ ab=0. \]
Si
\[ a=0, \]
ya se cumple una de las alternativas de la conclusión.
Supongamos ahora
\[ a\neq0. \]
Como \(F\) es un cuerpo, existe el inverso multiplicativo \(a^{-1}\). Multiplicamos la igualdad \(ab=0\) por \(a^{-1}\):
\[ a^{-1}(ab)=a^{-1}0. \]
Por asociatividad,
\[ (a^{-1}a)b=a^{-1}0. \]
Usando
\[ a^{-1}a=1 \]
y la identidad \(x0=0\) válida en todo cuerpo,
\[ 1b=0. \]
Por tanto,
\[ b=0. \]
Hemos demostrado que si \(ab=0\), entonces ocurre al menos una de las dos posibilidades:
\[ \boxed{a=0\text{ o }b=0}. \]
2. Cancelación multiplicativa
Supongamos
\[ ac=bc \]
con
\[ c\neq0. \]
Restamos \(bc\) en ambos miembros:
\[ ac-bc=0. \]
Por distributividad,
\[ (a-b)c=0. \]
La propiedad del producto nulo implica
\[ a-b=0 \qquad\text{o}\qquad c=0. \]
Pero la hipótesis dice que
\[ c\neq0. \]
Por tanto, necesariamente
\[ a-b=0, \]
y de aquí
\[ \boxed{a=b}. \]
Solución alternativa de la segunda parte
Como \(c\neq0\), existe \(c^{-1}\). Partimos de
\[ ac=bc \]
y multiplicamos ambos miembros por \(c^{-1}\):
\[ (ac)c^{-1}=(bc)c^{-1}. \]
Por asociatividad,
\[ a(cc^{-1})=b(cc^{-1}), \]
así que
\[ a\cdot1=b\cdot1. \]
Por tanto,
\[ \boxed{a=b}. \]
Esta segunda demostración muestra de manera especialmente directa qué significa cancelar el factor \(c\): multiplicar por su inverso.
3. Por qué \(c\neq0\) es esencial
Tomemos
\[ a=0, \qquad b=1, \qquad c=0. \]
Entonces
\[ ac=0\cdot0=0 \]
y
\[ bc=1\cdot0=0. \]
Por tanto,
\[ ac=bc. \]
Sin embargo,
\[ a\neq b \]
porque
\[ 0\neq1. \]
Así, cuando \(c=0\), la conclusión \(a=b\) puede fallar.
El contraejemplo demuestra que no podemos eliminar la hipótesis
\[ \boxed{c\neq0}. \]
Comprobación
La hipótesis de no nulidad aparece exactamente en el punto donde necesitamos un inverso multiplicativo o, en la primera solución, cuando descartamos la alternativa \(c=0\) producida por el producto nulo.
Sin esa hipótesis,
\[ ac=bc \]
puede reducirse simplemente a
\[ 0=0, \]
que no distingue entre valores diferentes de \(a\) y \(b\).
Auditoría
- La propiedad del producto nulo usa la existencia de \(a^{-1}\) únicamente en el caso \(a\neq0\).
- La cancelación usa \(c\neq0\) de forma esencial.
- El contraejemplo conserva la igualdad \(ac=bc\) y viola solamente la hipótesis \(c\neq0\), como debe hacer un contraejemplo diagnóstico.
Relaciones
- Prerrequisitos: Axiomas de cuerpo y consecuencias algebraicas básicas (
MA-CON-0020). - Contenidos relacionados: Existencia y unicidad en una ecuación lineal con parámetros (
MA-PRB-0005). - Técnicas: uso de inversos, cancelación, control de no nulidad y contraejemplos.