Inyectividad, sobreyectividad y biyectividad
Una función
\[ f:A\to B \]
puede relacionar su dominio y su codominio de maneras muy diferentes. Algunas funciones identifican entradas distintas en una misma salida; otras dejan elementos del codominio sin alcanzar; otras, en cambio, establecen una correspondencia exacta entre ambos conjuntos.
Las nociones de inyectividad, sobreyectividad y biyectividad permiten distinguir rigurosamente estas situaciones.
Intuición
Las tres preguntas fundamentales son:
- Inyectividad: ¿pueden dos entradas distintas producir la misma salida?
- Sobreyectividad: ¿todo elemento del codominio es alcanzado por alguna entrada?
- Biyectividad: ¿cada elemento del codominio es alcanzado por exactamente una entrada?
Inyectividad
Una función
\[ f:A\to B \]
es inyectiva si entradas diferentes siempre producen salidas diferentes.
Formalmente,
\[ f(x_1)=f(x_2) \quad\Longrightarrow\quad x_1=x_2 \]
para todos \(x_1,x_2\in A\).
Equivalentemente,
\[ x_1\ne x_2 \quad\Longrightarrow\quad f(x_1)\ne f(x_2). \]
Definición
Una función es inyectiva cuando cada valor que aparece como salida tiene a lo sumo un antecedente en el dominio.
Ejemplo: una función lineal
Consideremos
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R, \qquad f(x)=2x-3. \]
Para probar que es inyectiva, supongamos
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Entonces
\[ 2x_1-3=2x_2-3. \]
Sumando \(3\) en ambos lados,
\[ 2x_1=2x_2, \]
y dividiendo por \(2\),
\[ x_1=x_2. \]
Por tanto, \(f\) es inyectiva.
Contraejemplo: la función cuadrado
Sea
\[ q:\mathbb R\to\mathbb R, \qquad q(x)=x^2. \]
Tenemos
\[ q(1)=1 \]
y también
\[ q(-1)=1. \]
Como
\[ 1\ne -1 \]
pero
\[ q(1)=q(-1), \]
la función no es inyectiva.
Método para probar inyectividad
Un procedimiento muy frecuente es:
- tomar \(x_1,x_2\) en el dominio;
- suponer que \(f(x_1)=f(x_2)\);
- usar esa igualdad para demostrar que necesariamente \(x_1=x_2\).
Para demostrar que una función no es inyectiva basta encontrar dos entradas distintas con la misma imagen.
Sobreyectividad
Una función
\[ f:A\to B \]
es sobreyectiva si todo elemento del codominio \(B\) es imagen de al menos un elemento del dominio.
Formalmente,
\[ \forall y\in B, \quad \exists x\in A \text{ tal que } f(x)=y. \]
Esto equivale a afirmar que
\[ f(A)=B. \]
Es decir, la imagen de la función coincide con su codominio.
Definición
Una función es sobreyectiva cuando cada elemento del codominio tiene al menos un antecedente en el dominio.
Ejemplo: la misma función lineal
Volvamos a
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R, \qquad f(x)=2x-3. \]
Sea \(y\in\mathbb R\) arbitrario. Queremos saber si existe \(x\in\mathbb R\) tal que
\[ 2x-3=y. \]
Resolviendo para \(x\),
\[ 2x=y+3, \]
\[ x=\frac{y+3}{2}. \]
Como este número es real para todo \(y\in\mathbb R\), cada elemento del codominio tiene un antecedente.
Por tanto, \(f\) es sobreyectiva.
La importancia del codominio
Consideremos otra vez la fórmula
\[ q(x)=x^2. \]
Si declaramos
\[ q:\mathbb R\to\mathbb R, \]
la función no es sobreyectiva, porque ningún número negativo es imagen de un número real:
\[ x^2\ge0 \]
para todo \(x\in\mathbb R\).
Por ejemplo, no existe \(x\in\mathbb R\) tal que
\[ x^2=-1. \]
En cambio, si definimos
\[ q:\mathbb R\to[0,\infty), \qquad q(x)=x^2, \]
entonces sí es sobreyectiva: para cada \(y\ge0\) podemos tomar, por ejemplo,
\[ x=\sqrt y, \]
y obtenemos
\[ q(x)=y. \]
Observación
La sobreyectividad depende esencialmente del codominio declarado.
La misma fórmula y el mismo dominio pueden definir una función sobreyectiva o no sobreyectiva según cuál sea el codominio.
Método para probar sobreyectividad
Para probar que \(f:A\to B\) es sobreyectiva:
- toma un \(y\in B\) arbitrario;
- intenta resolver la ecuación \[ f(x)=y; \]
- verifica que la solución obtenida pertenece al dominio \(A\).
Para demostrar que una función no es sobreyectiva basta encontrar un elemento del codominio que no tenga antecedente.
Biyectividad
Una función es biyectiva si es simultáneamente inyectiva y sobreyectiva.
Por tanto,
\[ \boxed{ \text{biyectiva} \iff \text{inyectiva y sobreyectiva} } \]
Esto significa que cada elemento del codominio tiene exactamente un antecedente.
La función
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R, \qquad f(x)=2x-3 \]
es biyectiva, porque ya demostramos que es inyectiva y sobreyectiva.
Intuición
Una biyección empareja los elementos del dominio y del codominio sin repeticiones ni omisiones:
- ninguna salida recibe dos entradas distintas;
- ninguna salida del codominio queda sin recibir una entrada.
Una misma fórmula puede cambiar de clasificación
La función cuadrado proporciona un ejemplo especialmente instructivo.
Caso 1
\[ q:\mathbb R\to\mathbb R, \qquad q(x)=x^2. \]
No es inyectiva porque
\[ q(1)=q(-1), \]
y no es sobreyectiva porque no alcanza números negativos.
Por tanto, no es biyectiva.
Caso 2
\[ q:\mathbb R\to[0,\infty), \qquad q(x)=x^2. \]
Ahora es sobreyectiva, pero continúa sin ser inyectiva.
Caso 3
Restringimos también el dominio:
\[ r:[0,\infty)\to[0,\infty), \qquad r(x)=x^2. \]
Esta función es sobreyectiva, porque para cada \(y\ge0\) existe
\[ x=\sqrt y\ge0 \]
tal que \(r(x)=y\).
También es inyectiva. Si \(x_1,x_2\ge0\) y
\[ x_1^2=x_2^2, \]
entonces
\[ (x_1-x_2)(x_1+x_2)=0. \]
Como \(x_1+x_2\ge0\), y el único caso en que puede ser \(0\) es \(x_1=x_2=0\), en todos los casos obtenemos
\[ x_1=x_2. \]
Por tanto,
\[ r:[0,\infty)\to[0,\infty) \]
es biyectiva.
Restricción de dominio y codominio
Modificar el dominio o el codominio puede cambiar propiedades estructurales de una función.
En particular, una función no inyectiva puede convertirse en inyectiva al restringir adecuadamente su dominio, y una función no sobreyectiva puede convertirse en sobreyectiva al elegir como codominio su imagen.
Preimágenes y fibras
La definición de preimagen permite expresar las tres nociones de manera muy compacta.
Para \(y\in B\), consideremos
\[ f^{-1}(\{y\}) = \{x\in A:f(x)=y\}. \]
Fibra de una función
Sea
\[ f:A\to B \]
y sea \(y\in B\). La fibra de \(f\) sobre \(y\) es el conjunto
\[ \boxed{ f^{-1}(\{y\}) = \{x\in A:f(x)=y\} }. \]
Es decir, la fibra sobre \(y\) reúne exactamente todos los antecedentes de \(y\) en el dominio.
La idea permite leer inmediatamente las tres propiedades:
- \(f\) es inyectiva si cada fibra tiene a lo sumo un elemento;
- \(f\) es sobreyectiva si cada fibra sobre \(y\in B\) tiene al menos un elemento, es decir, es no vacía;
- \(f\) es biyectiva si cada fibra sobre \(y\in B\) tiene exactamente un elemento.
Podemos resumirlo así:
\[ \begin{array}{c|c} \text{propiedad} & \text{número de elementos de cada fibra sobre }y\in B\\ \hline \text{inyectiva} & \le 1\\ \text{sobreyectiva} & \ge 1\\ \text{biyectiva} & =1 \end{array} \]
Ejemplo: fibras de la función cuadrado
Para
\[ q:\mathbb R\to\mathbb R, \qquad q(x)=x^2, \]
la fibra sobre \(4\) es
\[ q^{-1}(\{4\})=\{-2,2\}. \]
Como esta fibra contiene dos elementos, \(q\) no es inyectiva.
En cambio,
\[ q^{-1}(\{-1\})=\varnothing. \]
La fibra sobre \(-1\) está vacía; como \(-1\) pertenece al codominio declarado, esto muestra que \(q\) no es sobreyectiva.
Si restringimos dominio y codominio y tomamos
\[ r:[0,\infty)\to[0,\infty), \qquad r(x)=x^2, \]
entonces, para cada \(y\ge0\),
\[ r^{-1}(\{y\})=\{\sqrt y\}. \]
Cada fibra tiene exactamente un elemento, lo que expresa directamente que \(r\) es biyectiva.
No confundir preimagen con función inversa
La notación
\[ f^{-1}(\{y\}) \]
tiene sentido para cualquier función: representa la preimagen de un conjunto y, en este caso particular, la fibra sobre \(y\).
Esto no significa que exista una función inversa \(f^{-1}\). La existencia de una función inversa requerirá una condición adicional que estudiaremos después.
Interpretación gráfica
Para una función real cuya gráfica se dibuja en el plano cartesiano, las rectas horizontales proporcionan una interpretación visual útil.
Inyectividad
Una función es inyectiva si ninguna recta horizontal corta su gráfica en más de un punto.
Es el llamado criterio de la recta horizontal.
Sobreyectividad
Si el codominio es \(B\subseteq\mathbb R\), la función es sobreyectiva si, para cada \(y\in B\), la recta horizontal de altura \(y\) corta la gráfica al menos una vez.
Biyectividad
Es biyectiva si cada altura correspondiente a un elemento del codominio corta la gráfica exactamente una vez.
Error frecuente
El criterio gráfico de sobreyectividad siempre debe interpretarse respecto del codominio.
No basta mirar qué valores parece alcanzar una curva sin saber cuál es el conjunto de llegada declarado.
Composición e inyectividad
Sean
\[ f:A\to B, \qquad g:B\to C. \]
Si \(f\) y \(g\) son inyectivas, entonces
\[ g\circ f:A\to C \]
también es inyectiva.
Demostración
Supongamos
\[ (g\circ f)(x_1)=(g\circ f)(x_2). \]
Entonces
\[ g(f(x_1))=g(f(x_2)). \]
Como \(g\) es inyectiva,
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Como \(f\) también es inyectiva,
\[ x_1=x_2. \]
Por tanto, \(g\circ f\) es inyectiva.
Además, existe una implicación parcial importante:
\[ g\circ f\text{ inyectiva} \quad\Longrightarrow\quad f\text{ inyectiva}. \]
En efecto, si \(f(x_1)=f(x_2)\), entonces automáticamente
\[ g(f(x_1))=g(f(x_2)), \]
y la inyectividad de \(g\circ f\) obliga a que \(x_1=x_2\).
Composición y sobreyectividad
Si \(f\) y \(g\) son sobreyectivas, entonces \(g\circ f\) también es sobreyectiva.
Demostración
Sea \(z\in C\). Como \(g\) es sobreyectiva, existe \(y\in B\) tal que
\[ g(y)=z. \]
Como \(f\) es sobreyectiva, existe \(x\in A\) tal que
\[ f(x)=y. \]
Por tanto,
\[ (g\circ f)(x) = g(f(x)) = g(y) = z. \]
Así, todo elemento de \(C\) es alcanzado por \(g\circ f\).
También tenemos la implicación parcial
\[ g\circ f\text{ sobreyectiva} \quad\Longrightarrow\quad g\text{ sobreyectiva}. \]
Composición y biyectividad
Si \(f\) y \(g\) son biyectivas, entonces ambas son inyectivas y sobreyectivas. Por los resultados anteriores,
\[ g\circ f \]
es también inyectiva y sobreyectiva, y por tanto biyectiva.
En símbolos,
\[ \boxed{ f,g\text{ biyectivas} \Longrightarrow g\circ f\text{ biyectiva}} \]
La función identidad proporciona el ejemplo más inmediato:
\[ \operatorname{id}_A:A\to A, \qquad \operatorname{id}_A(x)=x. \]
Cada elemento se envía a sí mismo, de modo que la identidad es biyectiva.
Hacia las funciones inversas
La biyectividad prepara una de las construcciones más importantes de la teoría de funciones.
Si cada \(y\in B\) posee exactamente un antecedente \(x\in A\), podemos intentar invertir la correspondencia:
\[ y\longmapsto x. \]
La existencia y las propiedades de esa función inversa serán el siguiente paso natural.
Comprobación conceptual
Para clasificar una función \(f:A\to B\), conviene formular separadamente estas preguntas:
- ¿puedo encontrar \(x_1\ne x_2\) con \(f(x_1)=f(x_2)\)? Si sí, no es inyectiva.
- ¿existe algún \(y\in B\) que no pueda escribirse como \(f(x)\)? Si sí, no es sobreyectiva.
- si ninguna de estas dos obstrucciones aparece, la función es biyectiva.
Relaciones
- Prerrequisitos: Funciones reales: dominio, codominio, imagen y preimagen (
MA-CON-0007); Composición de funciones e identidad (MA-CON-0008). - Contenidos relacionados: Operaciones con conjuntos reales: unión, intersección, complemento y diferencia (
MA-CON-0006). - Siguiente paso natural: funciones inversas y caracterización de las biyecciones.