Funciones reales: dominio, codominio, imagen y preimagen
Una de las ideas centrales de toda la matemática moderna es la de función. En cálculo, álgebra, análisis, probabilidad y muchas otras áreas, una función permite describir cómo un dato de entrada determina un dato de salida.
Pero para trabajar con precisión necesitamos distinguir varias nociones que a menudo se confunden:
- la regla de asignación;
- el dominio;
- el codominio;
- la imagen;
- la preimagen.
Intuición
Una función no es solamente una fórmula. Es una asignación que parte de un conjunto determinado y llega a otro conjunto determinado.
La expresión
\[ x^2 \]
por sí sola no especifica todavía toda la información de una función.
Definición de función
Sean \(A\) y \(B\) conjuntos. Una función
\[ f:A\to B \]
es una regla que asigna a cada elemento \(x\in A\) un único elemento de \(B\), que denotamos por
\[ f(x). \]
El conjunto \(A\) se llama dominio de \(f\) y el conjunto \(B\) se llama codominio.
La condición decisiva es la unicidad:
\[ \boxed{ \text{cada entrada del dominio tiene exactamente una salida} } \]
Puede ocurrir que dos entradas distintas tengan la misma salida. Lo que no puede ocurrir es que una misma entrada tenga dos salidas diferentes.
Ejemplo
Consideremos
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R, \qquad f(x)=x^2. \]
Entonces
\[ f(2)=4, \qquad f(-2)=4. \]
No hay ningún problema en que
\[ f(2)=f(-2). \]
La definición de función no exige que entradas distintas produzcan salidas distintas.
Dominio y codominio
En
\[ f:A\to B, \]
el dominio es el conjunto de entradas permitidas:
\[ \operatorname{Dom}(f)=A. \]
El codominio es el conjunto que se declara como espacio de llegada:
\[ B. \]
Estos conjuntos forman parte de la definición de la función.
Error frecuente
No debemos identificar automáticamente una función con la expresión que aparece a la derecha de \(f(x)=\).
Por ejemplo,
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R, \qquad f(x)=x^2, \]
y
\[ g:[0,\infty)\to[0,\infty), \qquad g(x)=x^2, \]
usan la misma fórmula, pero no tienen el mismo dominio ni el mismo codominio. Por tanto, son funciones diferentes.
Imagen de una función
La imagen de \(f:A\to B\) es el conjunto de valores que la función alcanza realmente:
\[ f(A) = \{f(x):x\in A\}. \]
También puede escribirse
\[ \operatorname{Im}(f) = \{y\in B:\text{existe }x\in A\text{ tal que }f(x)=y\}. \]
Siempre se cumple
\[ \operatorname{Im}(f)\subseteq B. \]
La inclusión puede ser estricta.
Ejemplo: imagen distinta del codominio
Para
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R, \qquad f(x)=x^2, \]
ningún número negativo puede ser salida de la función. Por tanto,
\[ \operatorname{Im}(f)=[0,\infty). \]
El codominio, sin embargo, sigue siendo
\[ \mathbb R. \]
Así,
\[ [0,\infty)\subsetneq\mathbb R. \]
Codominio e imagen no son sinónimos
- Codominio: conjunto de llegada especificado al definir la función.
- Imagen: valores del codominio que la función alcanza efectivamente.
Imagen de un subconjunto
No sólo podemos considerar la imagen de todo el dominio. Si
\[ S\subseteq A, \]
definimos la imagen de \(S\) mediante
\[ f(S) = \{f(x):x\in S\}. \]
Por ejemplo, para
\[ f(x)=x^2 \]
y
\[ S=[-2,1], \]
tenemos
\[ f(S)=[0,4]. \]
Obsérvese que no basta con elevar solamente los extremos al cuadrado y conservar su orden. Debemos pensar qué valores toma la función en todo el conjunto.
Preimagen de un conjunto
Sea
\[ f:A\to B \]
y sea
\[ C\subseteq B. \]
La preimagen de \(C\) es el conjunto de entradas cuya salida pertenece a \(C\):
\[ f^{-1}(C) = \{x\in A:f(x)\in C\}. \]
La preimagen es, por tanto, un subconjunto del dominio:
\[ f^{-1}(C)\subseteq A. \]
Intuición
La imagen pregunta:
¿adónde llegan estos puntos?
La preimagen pregunta:
¿qué puntos del dominio llegan a este conjunto?
Ejemplo
Tomemos nuevamente
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R, \qquad f(x)=x^2, \]
y consideremos
\[ C=[1,4]. \]
Buscamos los números reales tales que
\[ 1\le x^2\le4. \]
Esto ocurre exactamente cuando
\[ 1\le |x|\le2. \]
Por tanto,
\[ \boxed{ f^{-1}([1,4])=[-2,-1]\cup[1,2] }. \]
Aquí aparecen naturalmente las operaciones con intervalos y conjuntos estudiadas anteriormente.
La notación \(f^{-1}\) no implica necesariamente función inversa
La expresión
\[ f^{-1}(C) \]
para la preimagen de un conjunto está definida para cualquier función \(f:A\to B\) y cualquier conjunto \(C\subseteq B\).
Esto no significa que exista una función inversa
\[ f^{-1}:B\to A. \]
Por ejemplo,
\[ f(x)=x^2 \]
sobre todo \(\mathbb R\) no tiene una función inversa global \(\mathbb R\to\mathbb R\), porque
\[ f(2)=f(-2). \]
Sin embargo, la preimagen
\[ f^{-1}(C) \]
de cualquier conjunto \(C\subseteq\mathbb R\) sigue teniendo sentido.
Error frecuente
No confundas
\[ f^{-1}(C) \]
con
\[ \frac{1}{f(C)}. \]
El símbolo \(^{-1}\) en la notación de preimagen no significa «tomar el recíproco».
Preimagen de un punto
Si \(y\in B\), podemos considerar el conjunto de todas las entradas que producen ese valor:
\[ f^{-1}(\{y\}) = \{x\in A:f(x)=y\}. \]
Para
\[ f(x)=x^2, \]
tenemos
\[ f^{-1}(\{4\})=\{-2,2\}, \]
mientras que
\[ f^{-1}(\{-1\})=\varnothing. \]
Esto muestra otra vez que una salida puede tener varias preimágenes o ninguna.
Gráfica de una función
La gráfica de una función \(f:A\to B\) es el conjunto de pares ordenados
\[ \operatorname{Gr}(f) = \{(x,f(x)):x\in A\}. \]
Si \(A\) y \(B\) son subconjuntos de \(\mathbb R\), podemos representar esos pares como puntos del plano cartesiano.
La condición de unicidad de una función significa que para cada \(x\in A\) existe exactamente un punto de la gráfica cuya primera coordenada es \(x\).
Geométricamente, esto está relacionado con el conocido criterio de la recta vertical: una recta vertical no puede cortar la gráfica de una función real en dos puntos diferentes.
Una fórmula y su dominio natural
En muchos ejercicios se da solamente una expresión como
\[ f(x)=\frac{\sqrt{2-x}}{x-1} \]
y se pregunta por su dominio real.
En este contexto se entiende normalmente que buscamos el dominio real máximo para el cual la expresión está definida.
Tenemos dos restricciones:
- la raíz cuadrada exige
\[ 2-x\ge0, \]
es decir,
\[ x\le2; \]
- el denominador exige
\[ x-1\ne0, \]
es decir,
\[ x\ne1. \]
Por tanto,
\[ \operatorname{Dom}(f) = (-\infty,2]\setminus\{1\} \]
y, equivalentemente,
\[ \boxed{ \operatorname{Dom}(f)=(-\infty,1)\cup(1,2] }. \]
Dominio
Determinar el dominio de una expresión consiste en identificar todas las condiciones necesarias para que la salida tenga sentido y combinar después esas condiciones mediante operaciones de conjuntos.
La misma fórmula puede dar funciones distintas
Consideremos
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R, \qquad f(x)=x^2, \]
y
\[ g:\mathbb R\to[0,\infty), \qquad g(x)=x^2. \]
Ambas tienen el mismo dominio y la misma regla, pero distinto codominio.
Además,
\[ \operatorname{Im}(f)=\operatorname{Im}(g)=[0,\infty). \]
Para \(g\), la imagen coincide con el codominio. Para \(f\), no.
Esto muestra por qué el codominio no es información decorativa: forma parte de la estructura de la función.
Cómo interactúan las funciones con unión e intersección
Sean \(S,T\subseteq A\). Para las imágenes se cumple siempre
\[ f(S\cup T)=f(S)\cup f(T). \]
Para la intersección sólo podemos garantizar
\[ f(S\cap T)\subseteq f(S)\cap f(T). \]
La igualdad puede fallar porque dos entradas diferentes pueden producir la misma salida.
Ejemplo de inclusión estricta
Sea
\[ f(x)=x^2, \]
con
\[ S=\{-1\}, \qquad T=\{1\}. \]
Entonces
\[ S\cap T=\varnothing, \]
de modo que
\[ f(S\cap T)=\varnothing. \]
Pero
\[ f(S)=f(T)=\{1\}, \]
y por tanto
\[ f(S)\cap f(T)=\{1\}. \]
Así,
\[ f(S\cap T)\subsetneq f(S)\cap f(T). \]
Las preimágenes preservan las operaciones de conjuntos
Las preimágenes tienen un comportamiento especialmente limpio. Si \(C,D\subseteq B\), entonces
\[ f^{-1}(C\cup D) = f^{-1}(C)\cup f^{-1}(D), \]
\[ f^{-1}(C\cap D) = f^{-1}(C)\cap f^{-1}(D). \]
Además, tomando complementos respecto del codominio \(B\) y del dominio \(A\),
\[ f^{-1}(B\setminus C) = A\setminus f^{-1}(C). \]
Estas identidades no son coincidencias: traducen directamente las palabras lógicas «o», «y» y «no».
Por ejemplo,
\[ x\in f^{-1}(C\cap D) \]
significa
\[ f(x)\in C\cap D, \]
es decir,
\[ f(x)\in C \quad\text{y}\quad f(x)\in D. \]
Por tanto,
\[ x\in f^{-1}(C) \quad\text{y}\quad x\in f^{-1}(D), \]
que equivale a
\[ x\in f^{-1}(C)\cap f^{-1}(D). \]
Resumen operativo
Para una función
\[ f:A\to B, \]
conviene separar siempre cuatro preguntas:
- Dominio: ¿qué entradas están permitidas?
- Codominio: ¿qué conjunto se declara como espacio de llegada?
- Imagen: ¿qué valores alcanza realmente la función?
- Preimagen: ¿qué entradas llevan a un conjunto dado del codominio?
En símbolos:
\[ \operatorname{Dom}(f)=A, \]
\[ \operatorname{Im}(f)=f(A)\subseteq B, \]
\[ f^{-1}(C)=\{x\in A:f(x)\in C\}. \]
Comprobación
Cuando trabajes con una función, verifica siempre:
- que cada entrada del dominio tenga una única salida;
- que los valores obtenidos pertenezcan al codominio declarado;
- que no confundas codominio con imagen;
- que una preimagen es un conjunto de entradas;
- que las restricciones de una fórmula se traduzcan finalmente en un conjunto bien definido.
Conexiones
Este concepto utiliza directamente:
- Intervalos e intersección de conjuntos reales (
MA-CON-0004); - Operaciones con conjuntos reales (
MA-CON-0006).
Se conecta especialmente con:
- Dominio de funciones reales con radicales (
MA-CON-0003); - Dominio de una función radical cuadrática (
MA-PRB-0001); - Dominio de un radical anidado (
MA-PRB-0002).
La distinción entre dominio, imagen y preimagen será fundamental más adelante para estudiar composición, funciones inversas, límites, continuidad y derivadas.