Valor absoluto y desigualdades básicas
El valor absoluto de un número real mide su distancia al cero. Para \(x\in\mathbb{R}\),
\[ |x|= \begin{cases} x, & x\ge0,\\ -x, & x<0. \end{cases} \]
Por eso \(|x|\) nunca es negativo:
\[ |x|\ge0 \]
para todo \(x\in\mathbb{R}\).
La misma idea permite interpretar expresiones como \(|x-a|\) sin depender únicamente de la definición por casos.
Valor absoluto como distancia
La cantidad
\[ |x-a| \]
es la distancia entre los puntos \(x\) y \(a\) en la recta real.
Por ejemplo,
\[ |x-3|\le2 \]
significa que la distancia entre \(x\) y \(3\) es como máximo \(2\). Por tanto, \(x\) debe estar entre \(1\) y \(5\):
\[ |x-3|\le2 \quad\Longleftrightarrow\quad 1\le x\le5. \]
Esta interpretación geométrica conduce directamente a las reglas fundamentales.
Regla para estar dentro de una distancia
Sean \(a\in\mathbb{R}\) y \(r\ge0\). Entonces
\[ |x-a|\le r \quad\Longleftrightarrow\quad a-r\le x\le a+r. \]
En lenguaje de intervalos,
\[ |x-a|\le r \quad\Longleftrightarrow\quad x\in[a-r,a+r]. \]
Si la desigualdad es estricta,
\[ |x-a|<r \quad\Longleftrightarrow\quad a-r<x<a+r, \]
es decir,
\[ x\in(a-r,a+r). \]
La diferencia entre \(\le\) y \(<\) está solamente en la inclusión o exclusión de los puntos situados exactamente a distancia \(r\) de \(a\).
Regla para estar fuera de una distancia
También podemos preguntar cuándo \(x\) está a una distancia de \(a\) mayor o igual que \(r\).
Para \(r\ge0\),
\[ |x-a|\ge r \quad\Longleftrightarrow\quad x\le a-r \;\text{o}\; x\ge a+r. \]
Y para la desigualdad estricta,
\[ |x-a|>r \quad\Longleftrightarrow\quad x<a-r \;\text{o}\; x>a+r. \]
Aquí la solución queda fuera del intervalo centrado en \(a\) y de radio \(r\).
Forma general \(|u|\le c\)
La misma regla puede escribirse sin que el interior del valor absoluto sea necesariamente \(x-a\).
Si \(c\ge0\), entonces
\[ |u|\le c \quad\Longleftrightarrow\quad -c\le u\le c. \]
Análogamente,
\[ |u|<c \quad\Longleftrightarrow\quad -c<u<c, \]
\[ |u|\ge c \quad\Longleftrightarrow\quad u\le-c \;\text{o}\; u\ge c, \]
\[ |u|>c \quad\Longleftrightarrow\quad u<-c \;\text{o}\; u>c. \]
Estas equivalencias son especialmente útiles cuando \(u\) es una expresión algebraica.
Por qué funcionan estas equivalencias
Supongamos primero que \(c\ge0\) y estudiemos
\[ |u|\le c. \]
Si \(u\ge0\), entonces \(|u|=u\), así que la condición equivale a
\[ 0\le u\le c. \]
Si \(u<0\), entonces \(|u|=-u\). En ese caso,
\[ |u|\le c \quad\Longleftrightarrow\quad -u\le c \quad\Longleftrightarrow\quad u\ge-c. \]
Junto con \(u<0\), esto da
\[ -c\le u<0. \]
Uniendo ambos casos obtenemos exactamente
\[ |u|\le c \quad\Longleftrightarrow\quad -c\le u\le c. \]
El mismo análisis, sustituyendo desigualdades no estrictas por estrictas, produce
\[ |u|<c \quad\Longleftrightarrow\quad -c<u<c. \]
Las reglas exteriores se obtienen tomando complementos en \(\mathbb{R}\). Como
\[ |u|\ge c \]
es la negación de \(|u|<c\), resulta
\[ |u|\ge c \quad\Longleftrightarrow\quad u\le-c \;\text{o}\; u\ge c. \]
Del mismo modo, \(|u|>c\) es la negación de \(|u|\le c\), y por tanto
\[ |u|>c \quad\Longleftrightarrow\quad u<-c \;\text{o}\; u>c. \]
Así quedan justificadas algebraicamente las cuatro reglas fundamentales.
Ejemplo
Resolvamos
\[ |2x-1|\le5. \]
Como \(5\ge0\), usamos
\[ |u|\le c \quad\Longleftrightarrow\quad -c\le u\le c. \]
Tomando \(u=2x-1\) y \(c=5\),
\[ -5\le2x-1\le5. \]
Sumamos \(1\) en los tres miembros:
\[ -4\le2x\le6. \]
Dividimos todo por \(2>0\), por lo que el sentido de las desigualdades no cambia:
\[ -2\le x\le3. \]
Así,
\[ \boxed{x\in[-2,3]}. \]
Casos límite
Las hipótesis sobre el número del lado derecho importan porque el valor absoluto nunca es negativo.
Si \(r=0\),
\[ |x-a|\le0 \quad\Longleftrightarrow\quad x=a. \]
En cambio,
\[ |x-a|<0 \]
no tiene solución real.
Si \(r<0\), entonces ninguna distancia puede ser menor o igual que \(r\), de modo que
\[ |x-a|\le r \]
y
\[ |x-a|<r \]
no tienen solución real.
Por otro lado, si \(r<0\), toda distancia real satisface
\[ |x-a|\ge r \]
y
\[ |x-a|>r. \]
Por tanto, en esos dos casos la solución es todo \(\mathbb{R}\).
Conexión con otros contenidos
En Dominio de una función radical cuadrática (MA-PRB-0001) aparece, en la segunda resolución, la condición
\[ \left|x+\frac12\right|\le\frac72. \]
Aplicando la regla general,
\[ -\frac72\le x+\frac12\le\frac72, \]
y de ahí se obtiene nuevamente
\[ -4\le x\le3. \]
La relación con Desigualdades cuadráticas por factorización (MA-CON-0001) es conceptual: ambos métodos convierten una condición algebraica en una descripción explícita de intervalos de la recta real.