Dominio de una función radical cuadrática
Enunciado
Determina el dominio real de la función
\[ f(x)=\sqrt{(x+4)(3-x)}. \]
Análisis
Para que la raíz cuadrada represente un número real, el radicando debe ser no negativo. Por tanto, necesitamos resolver
\[ (x+4)(3-x)\ge 0. \]
La herramienta central es Desigualdades cuadráticas por factorización (MA-CON-0001).
Como
\[ 3-x=-(x-3), \]
podemos escribir
\[ (x+4)(3-x)=-(x+4)(x-3). \]
Así, la condición sobre el radicando equivale a
\[ -(x+4)(x-3)\ge 0. \]
Al multiplicar por \(-1\), el sentido de la desigualdad se invierte:
\[ (x+4)(x-3)\le 0. \]
Las raíces son
\[ -4<3. \]
Por la regla de signos para dos factores lineales, el producto es no positivo entre las raíces, incluyéndolas.
Solución
Tenemos
\[ (x+4)(x-3)\le 0 \quad\Longleftrightarrow\quad -4\le x\le 3. \]
Por tanto, el dominio real de \(f\) es
\[ \boxed{D_f=[-4,3]}. \]
Los extremos pertenecen al dominio porque en \(x=-4\) y \(x=3\) el radicando vale cero y \(\sqrt{0}\) está definida en los reales.
Segunda resolución: completación de cuadrados
También podemos desarrollar el radicando:
\[ (x+4)(3-x)=12-x-x^2. \]
Completando cuadrados,
\[ 12-x-x^2 = \frac{49}{4}-\left(x+\frac12\right)^2. \]
La condición de dominio es entonces
\[ \frac{49}{4}-\left(x+\frac12\right)^2\ge0, \]
o equivalentemente,
\[ \left(x+\frac12\right)^2\le\frac{49}{4}. \]
Esto implica
\[ \left|x+\frac12\right|\le\frac72. \]
Usamos aquí la equivalencia estudiada en Valor absoluto y desigualdades básicas (MA-CON-0002), válida para \(c\ge0\):
\[ |u|\le c \quad\Longleftrightarrow\quad -c\le u\le c. \]
Tomando \(u=x+\frac12\) y \(c=\frac72\), obtenemos
\[ -\frac72\le x+\frac12\le\frac72. \]
Restando \(\frac12\) en los tres miembros obtenemos
\[ -4\le x\le3. \]
Llegamos nuevamente a
\[ \boxed{D_f=[-4,3]}. \]
Comprobación
Podemos verificar el resultado en puntos representativos:
- en \(x=-4\), el radicando vale \(0\);
- en \(x=0\), el radicando vale \(12>0\);
- en \(x=3\), el radicando vale \(0\);
- en \(x=4\), el radicando vale \(-8<0\);
- en \(x=-5\), el radicando vale \(-8<0\).
Los valores dentro de \([-4,3]\) producen radicando no negativo, los extremos producen cero y valores inmediatamente fuera del intervalo producen radicando negativo. Esto concuerda con el dominio obtenido.