Soluciones de microcontroles — Capítulo 1
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Soluciones de microcontroles — Capítulo 1
§1.1. La misma recta, varias estructuras
1. \(x<y\)
La estructura que actúa en primer plano es el orden. La relación \(x<y\) afirma que \(x\) precede a \(y\) en el orden usual de \(\mathbb R\); no especifica cuánto los separa ni exige realizar una operación algebraica entre ellos.
2. «\(y\) está entre \(x\) y \(z\)»
La estructura principal vuelve a ser el orden. Decir que \(y\) está entre \(x\) y \(z\) significa, sin elegir de antemano una orientación,
\[ \min\{x,z\}\le y\le\max\{x,z\}. \]
Más adelante esta relación podrá reconocerse también mediante distancias, pero en este punto del capítulo su contenido primario es posicional: indica dónde está \(y\) respecto de los extremos.
3. «\(x\) y \(y\) están separados por la misma cantidad que \(u\) y \(v\)»
Aquí la estructura relevante es la métrica, porque la afirmación compara separaciones. Cuando introduzcamos formalmente la distancia estándar de la recta, la frase se escribirá como
\[ d(x,y)=d(u,v), \]
es decir,
\[ |x-y|=|u-v|. \]
La orientación de cada par no importa: sólo se compara cuánto separa a sus puntos.
4. \(x+y=z\)
La estructura que aparece en primer plano es la algebraica. La igualdad relaciona los tres números mediante la operación de suma. Por sí sola no afirma cuál es mayor ni menor, ni cuánto separa a un par de puntos en la recta.
5. «Al reflejar una configuración, cambian izquierda y derecha pero no las separaciones»
En esta afirmación intervienen conjuntamente orden y métrica. La reflexión intercambia la orientación: lo que estaba a la izquierda pasa a la derecha y el orden se invierte. Al mismo tiempo, las separaciones permanecen iguales, de modo que la información métrica se conserva.
La propia reflexión puede describirse algebraicamente mediante \(x\mapsto -x\), pero la afirmación que estamos leyendo compara dos efectos distintos: cambio de orientación y conservación de distancias. Ésa es precisamente la distinción estructural que §1.1 quería hacer visible.
§1.2. Orden: izquierda, derecha y estar entre
6. \(x\in(-3,2)\)
La notación de intervalo indica que \(x\) queda estrictamente entre \(-3\) y \(2\). Como ambos extremos aparecen con paréntesis, ninguno pertenece al conjunto. Por tanto,
\[ \boxed{-3<x<2}. \]
7. \(x\in[0,5)\)
El corchete en \(0\) incluye el extremo izquierdo y el paréntesis en \(5\) excluye el derecho. La condición equivalente de orden es
\[ \boxed{0\le x<5}. \]
8. \(-1<x\le4\)
La desigualdad estricta en \(-1\) excluye ese extremo; la desigualdad no estricta en \(4\) lo incluye. En notación de intervalo,
\[ \boxed{x\in(-1,4]}. \]
9. \(x>6\)
La condición selecciona todos los reales situados estrictamente a la derecha de \(6\). El punto \(6\) queda excluido y no existe una frontera real superior. Por tanto,
\[ \boxed{x\in(6,\infty)}. \]
El símbolo \(\infty\) siempre aparece con paréntesis porque no es un número real que pueda pertenecer al intervalo.
10. \(x\le0\)
La condición contiene todos los reales situados a la izquierda de \(0\) y también al propio \(0\). En consecuencia,
\[ \boxed{x\in(-\infty,0]}. \]
De nuevo, \(-\infty\) lleva paréntesis porque no es un punto de \(\mathbb R\); el corchete aparece sólo en el extremo real \(0\), que sí está incluido.
§1.3. Valor absoluto: distancia al origen
11. Si \(|x|=6\), ¿qué sabemos sobre la posición de \(x\)?
La condición dice que \(x\) está exactamente a \(6\) unidades del origen. En la recta hay dos puntos con esa separación, uno a cada lado de \(0\):
\[ \boxed{x=6\quad\text{o}\quad x=-6}. \]
El valor absoluto determina la distancia al origen, pero no la orientación: saber \(|x|=6\) no permite elegir entre derecha e izquierda.
12. Si \(|x|<2\), ¿en qué parte de la recta puede estar \(x\)?
La desigualdad pide los puntos cuya distancia al origen es menor que \(2\). Por tanto, \(x\) debe quedar estrictamente entre los dos puntos situados a distancia \(2\) del origen:
\[ \boxed{-2<x<2}. \]
Equivalentemente,
\[ \boxed{x\in(-2,2)}. \]
Los extremos no pertenecen porque en \(x=\pm2\) la distancia al origen vale exactamente \(2\), no menos que \(2\).
13. ¿Qué diferencia de información hay entre \(x-a\) y \(|x-a|\)?
La cantidad \(x-a\) es un desplazamiento orientado desde \(a\) hasta \(x\): su signo indica de qué lado de \(a\) queda \(x\), y su magnitud indica cuánto se ha desplazado.
En cambio, \(|x-a|\) conserva sólo el tamaño de ese desplazamiento. Es siempre no negativo y representa la separación entre \(x\) y \(a\).
Así, al pasar de \(x-a\) a \(|x-a|\) conservamos cuánto separa a los puntos, pero perdemos la información izquierda–derecha.
14. Si \(|x-a|=0\), ¿qué debe ocurrir?
Una distancia sólo puede ser cero cuando los dos puntos coinciden. Algebraicamente,
\[ |x-a|=0 \iff x-a=0 \iff \boxed{x=a}. \]
Por tanto, el único punto situado a distancia cero del centro \(a\) es el propio \(a\).
§1.4. Distancia entre dos puntos reales
15. ¿Por qué \(d(2,7)=d(7,2)\) aunque \(2-7\) y \(7-2\) tengan signos distintos?
Porque la distancia elimina la orientación mediante el valor absoluto:
\[ d(2,7)=|2-7|=|-5|=5, \]
mientras que
\[ d(7,2)=|7-2|=|5|=5. \]
Las restas tienen signos opuestos, pero el valor absoluto conserva sólo su magnitud. Por eso
\[ \boxed{d(2,7)=d(7,2)}. \]
Ésta es la simetría de la distancia: cambiar el sentido del recorrido no cambia su longitud.
16. Si \(d(x,y)=0\), ¿qué podemos concluir y qué propiedad acabamos de usar?
Podemos concluir que los dos puntos coinciden:
\[ \boxed{x=y}. \]
En efecto,
\[ d(x,y)=0\iff |x-y|=0\iff x-y=0\iff x=y. \]
La propiedad utilizada es la identidad de los puntos a distancia cero: la distancia entre dos puntos vale cero si y sólo si son el mismo punto.
17. ¿Qué afirma en palabras \(d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)\)?
Afirma que ir directamente de \(x\) a \(z\) nunca requiere más longitud que ir de \(x\) a \(z\) pasando primero por \(y\).
La cantidad \(d(x,z)\) mide la ruta directa, mientras que
\[ d(x,y)+d(y,z) \]
suma las longitudes de los dos tramos de la ruta quebrada \(x\to y\to z\). La desigualdad triangular dice, por tanto, que introducir un punto intermedio no puede acortar la distancia directa entre los extremos.
18. ¿Qué controla la desigualdad \(\bigl||x|-|y|\bigr|\le |x-y|\)?
Controla cuánto pueden diferir las distancias de \(x\) e \(y\) al origen. La cantidad
\[ \bigl||x|-|y|\bigr| \]
mide la diferencia entre esas dos distancias, y la desigualdad afirma que esa diferencia nunca supera la separación entre los propios puntos:
\[ \boxed{\bigl||x|-|y|\bigr|\le d(x,y)}. \]
Así, si \(x\) e \(y\) están muy cerca, sus distancias al origen también deben ser cercanas. Éste es el contenido geométrico de la desigualdad triangular inversa.
§1.5. La desigualdad triangular y la geometría de «estar entre»
19. Si \(x=-2\), \(z=5\) y \(y=1\), ¿esperamos igualdad o desigualdad estricta?
Esperamos igualdad, porque \(1\) está entre \(-2\) y \(5\). En efecto,
\[ d(-2,5)=7, \]
y
\[ d(-2,1)+d(1,5)=3+4=7. \]
Por tanto,
\[ \boxed{d(-2,5)=d(-2,1)+d(1,5)}. \]
La ruta que pasa por \(y=1\) no contiene retroceso: recorre exactamente el mismo tramo que la ruta directa.
20. Si \(x=-2\), \(z=5\) y \(y=8\), ¿dónde aparece el recorrido extra?
Aquí \(y=8\) queda a la derecha de \(z=5\). Para pasar por \(8\) desde \(-2\) debemos sobrepasar el destino \(5\) y después regresar desde \(8\) hasta \(5\).
La distancia directa es
\[ d(-2,5)=7, \]
mientras que la ruta forzada mide
\[ d(-2,8)+d(8,5)=10+3=13. \]
El exceso es
\[ 13-7=6=2(8-5). \]
Esos \(6\) corresponden exactamente al tramo de longitud \(3\) entre \(5\) y \(8\), recorrido una vez al sobrepasar \(5\) y otra al regresar. Por eso la desigualdad es estricta.
21. Si \(d(x,z)=d(x,y)+d(y,z)\), ¿qué podemos afirmar sobre la posición de \(y\) sin saber cuál de \(x\) o \(z\) está a la izquierda?
Podemos afirmar que \(y\) está entre \(x\) y \(z\). La formulación que no presupone orientación es
\[ \boxed{\min\{x,z\}\le y\le\max\{x,z\}}. \]
Ésta es precisamente la caracterización del caso de igualdad de la desigualdad triangular en la recta: la ruta \(x\to y\to z\) no añade longitud si y sólo si \(y\) pertenece al tramo cerrado determinado por los extremos.
22. ¿Por qué los casos \(y=x\) y \(y=z\) deben formar parte de la caracterización?
Porque «estar entre» incluye los extremos del tramo cerrado. Si \(y=x\), entonces
\[ d(x,y)=0, \qquad d(y,z)=d(x,z), \]
y por tanto
\[ d(x,z)=d(x,y)+d(y,z). \]
Si \(y=z\), ocurre simétricamente:
\[ d(y,z)=0, \qquad d(x,y)=d(x,z). \]
Así, en ambos extremos sigue habiendo igualdad. Excluir \(y=x\) o \(y=z\) haría falsa la equivalencia correcta
\[ \boxed{ d(x,z)=d(x,y)+d(y,z) \iff \min\{x,z\}\le y\le\max\{x,z\} }. \]
§1.6. Bolas métricas: ventanas alrededor de un punto
23. ¿Qué cambia en \(B(a,r)\) si sustituimos \(a\) por \(a+3\) y mantenemos fijo \(r\)?
La bola original es
\[ B(a,r)=(a-r,a+r). \]
Al cambiar el centro a \(a+3\) obtenemos
\[ B(a+3,r)=((a+3)-r,(a+3)+r). \]
Es decir,
\[ \boxed{B(a+3,r)=(a-r+3,a+r+3)}. \]
Ambos extremos se desplazan \(3\) unidades hacia la derecha. El radio no cambia, de modo que la anchura de la bola permanece igual: sólo se traslada toda la región.
24. ¿Qué cambia si dejamos fijo \(a\) y duplicamos \(r\)?
Con radio \(r\) tenemos
\[ B(a,r)=(a-r,a+r). \]
Al duplicarlo,
\[ \boxed{B(a,2r)=(a-2r,a+2r)}. \]
El centro \(a\) permanece fijo, pero cada frontera queda ahora al doble de distancia del centro. La ventana se ensancha simétricamente en ambas direcciones.
25. ¿Por qué \(a-r\) y \(a+r\) quedan a la misma distancia del centro?
Calculamos sus separaciones respecto de \(a\):
\[ d(a-r,a)=|(a-r)-a|=|-r|=r, \]
y
\[ d(a+r,a)=|(a+r)-a|=|r|=r, \]
porque \(r>0\).
Por tanto,
\[ \boxed{d(a-r,a)=d(a+r,a)=r}. \]
Los dos puntos son simétricos respecto del centro: uno está a la izquierda y el otro a la derecha, pero ambos tienen la misma separación.
26. ¿Por qué esos dos puntos no pertenecen a \(B(a,r)\)?
La definición exige una desigualdad estricta:
\[ x\in B(a,r) \iff d(x,a)<r. \]
Pero para los dos extremos acabamos de obtener
\[ d(a-r,a)=d(a+r,a)=r. \]
Como \(r<r\) es falso,
\[ \boxed{a-r\notin B(a,r)\qquad\text{y}\qquad a+r\notin B(a,r)}. \]
Ésta es precisamente la razón por la que la bola abierta corresponde al intervalo abierto \((a-r,a+r)\).
27. ¿Qué falla si intentamos usar \(r=0\) como radio de una bola abierta?
Si escribiéramos \(B(a,0)\) mediante la misma condición, obtendríamos
\[ B(a,0)=\{x\in\mathbb R:d(x,a)<0\}. \]
Pero toda distancia es no negativa:
\[ d(x,a)\ge0. \]
Por eso ningún punto puede satisfacer \(d(x,a)<0\), ni siquiera el propio centro. Así,
\[ \boxed{B(a,0)=\varnothing} \]
si se extiende formalmente la fórmula a \(r=0\).
Lo que falla no es la lógica de la desigualdad, sino la interpretación que buscamos: un radio nulo no produce una región abierta de cercanía alrededor de \(a\). Por eso en C01 exigimos siempre \(r>0\).
§1.7. Traducir entre orden, distancia y tolerancia
28. Si \(d(x,a)\le r\), ¿qué intervalo describe la condición?
Como
\[ d(x,a)=|x-a|, \]
la desigualdad
\[ d(x,a)\le r \]
significa que \(x\) puede estar a lo sumo a distancia \(r\) del centro \(a\). Por tanto,
\[ a-r\le x\le a+r, \]
y el conjunto correspondiente es
\[ \boxed{x\in[a-r,a+r]}. \]
Los extremos se incluyen porque la comparación es \(\le\).
29. Si \(x\in(a-r,a+r)\), ¿qué desigualdad de distancia satisface \(x\)?
La pertenencia al intervalo abierto equivale a
\[ a-r<x<a+r. \]
Restando \(a\),
\[ -r<x-a<r, \]
lo que equivale a
\[ |x-a|<r. \]
En lenguaje de distancia,
\[ \boxed{d(x,a)<r}. \]
Así, el intervalo abierto alrededor de \(a\) describe exactamente los puntos situados a menos de \(r\) unidades del centro.
30. Si \(x\in(-\infty,a-r)\cup(a+r,\infty)\), ¿qué podemos afirmar sobre \(|x-a|\)?
La unión indica que \(x\) queda fuera de las dos fronteras \(a-r\) y \(a+r\):
\[ x<a-r \qquad\text{o}\qquad x>a+r. \]
En ambos casos, la separación respecto del centro es estrictamente mayor que \(r\). Por tanto,
\[ \boxed{|x-a|>r}. \]
Equivalentemente, \(d(x,a)>r\): el punto está fuera de la región de radio \(r\) alrededor de \(a\).
31. Si \(|x-a|\ge r\), ¿qué ocurre con los puntos \(a-r\) y \(a+r\)?
Ambos puntos satisfacen la condición, porque están exactamente a distancia \(r\) del centro:
\[ |a-r-a|=|-r|=r, \]
y
\[ |a+r-a|=|r|=r. \]
Como la desigualdad permite la igualdad,
\[ \boxed{a-r\text{ y }a+r\text{ pertenecen al conjunto}}. \]
Ésta es la diferencia precisa entre \(|x-a|>r\) y \(|x-a|\ge r\): la segunda incluye las dos fronteras.
32. ¿Qué ocurre al aumentar \(r\) en \(d(x,a)<r\) y en \(d(x,a)>r\)?
Supongamos \(0<r<s\).
Para la condición de cercanía,
\[ d(x,a)<r \Longrightarrow d(x,a)<s, \]
por lo que
\[ \boxed{\{x:d(x,a)<r\}\subseteq\{x:d(x,a)<s\}}. \]
Al aumentar el radio, la región interior crece: admitimos puntos más alejados del centro.
En cambio, para la condición exterior,
\[ d(x,a)>s \Longrightarrow d(x,a)>r, \]
de modo que
\[ \boxed{\{x:d(x,a)>s\}\subseteq\{x:d(x,a)>r\}}. \]
Al aumentar el umbral, la región exterior se contrae: para permanecer fuera hay que estar todavía más lejos de \(a\).
Las dos familias responden de manera opuesta al mismo cambio de parámetro: aumentar \(r\) ensancha la región «más cerca que \(r\)» y reduce la región «más lejos que \(r\)».
§1.8. Qué ve el orden y qué ve la distancia
33. Si trasladamos todos los puntos por \(c\), ¿qué ocurre con el orden y con las distancias?
Ambas estructuras se preservan. Si \(x<y\), entonces
\[ x+c<y+c, \]
de modo que la orientación del orden no cambia. Además,
\[ d(x+c,y+c)=|(x+c)-(y+c)|=|x-y|=d(x,y). \]
Por tanto, una traslación desplaza toda la configuración como un bloque rígido: conserva el orden y conserva exactamente todas las distancias.
34. Si \(\lambda=3\), ¿qué ocurre con una distancia de longitud \(2\)? ¿Y con el orden?
La ley de escala es
\[ d(\lambda x,\lambda y)=|\lambda|d(x,y). \]
Si \(\lambda=3\) y la distancia inicial vale \(2\), la nueva distancia es
\[ 3\cdot2=6. \]
Como \(3>0\), una desigualdad \(x<y\) se transforma en
\[ 3x<3y. \]
Así, las distancias se triplican y el orden se preserva.
35. Si \(\lambda=-3\), ¿qué cambia respecto del caso anterior?
La magnitud del factor de escala sigue siendo \(|-3|=3\), de modo que una distancia de longitud \(2\) vuelve a convertirse en
\[ 3\cdot2=6. \]
Lo que cambia es la orientación. Si \(x<y\), al multiplicar por un número negativo obtenemos
\[ -3x>-3y. \]
Por tanto, las distancias se triplican igual que antes, pero el orden se invierte. La métrica registra \(|\lambda|\); el orden, en cambio, distingue el signo de \(\lambda\).
36. ¿Por qué \(x\mapsto -x\) preserva distancias y, sin embargo, invierte el orden?
Para la distancia,
\[ d(-x,-y)=|-x-(-y)|=|-(x-y)|=|x-y|=d(x,y). \]
Por eso la reflexión es una isometría: no cambia ninguna separación.
Pero si \(x<y\), al multiplicar por \(-1\) la desigualdad cambia de sentido:
\[ -x>-y. \]
La reflexión muestra así que preservar distancias no equivale a preservar orientación: la métrica permanece intacta mientras izquierda y derecha se intercambian.
37. ¿Por qué \(\lambda=0\) no debe clasificarse como una transformación que «invierte» el orden?
Porque invertir el orden exigiría que de \(x<y\) resultara una desigualdad estricta opuesta entre las imágenes. Sin embargo, con \(\lambda=0\) tenemos
\[ x\longmapsto0, \qquad y\longmapsto0. \]
Los dos puntos distintos adquieren la misma imagen. No se cumple ni
\[ 0<0 \]
ni
\[ 0>0. \]
Por tanto, \(\lambda=0\) no invierte el orden: lo colapsa. También todas las distancias pasan a cero, pues
\[ d(0,0)=0. \]
38. ¿Qué información podemos perder aunque conozcamos todas las distancias de una configuración?
Podemos perder la orientación izquierda–derecha. Una configuración y su reflejo respecto del origen tienen exactamente las mismas distancias, porque
\[ d(-x,-y)=d(x,y) \]
para cualquier par de puntos. Sin embargo, toda desigualdad estricta se invierte:
\[ x<y\iff -x>-y. \]
Así, conocer todas las separaciones permite recuperar mucha información métrica —por ejemplo, qué puntos están entre otros mediante igualdades de distancias—, pero no permite distinguir una configuración de su imagen reflejada. La métrica no determina por sí sola una orientación de la recta.