1.9 — Intervalos encajados y bisección
1 Los números reales: axiomas de cuerpo, orden y completitud
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1.9 Intervalos encajados y bisección
Una pregunta distinta sobre los «huecos» de la recta
En las secciones anteriores utilizamos la completitud para producir fronteras, raíces y escalas cada vez más finas. Ahora la usaremos de otra manera.
Imaginemos una familia de intervalos cerrados
\[ I_0\supseteq I_1\supseteq I_2\supseteq\cdots \]
en la que cada intervalo queda contenido en el anterior. Podemos pensar que cada etapa conserva solamente una región más pequeña de la recta.
La pregunta es:
si continuamos encajando intervalos cerrados indefinidamente, ¿queda necesariamente algún número real que pertenezca a todos ellos?
La intuición geométrica sugiere que sí, pero la afirmación no es una consecuencia puramente visual. Para demostrarla necesitaremos volver al axioma de completitud.
Qué significa que los intervalos estén encajados
Escribamos
\[ I_n=[a_n,b_n], \qquad n\in\mathbb N, \]
y supongamos
\[ I_{n+1}\subseteq I_n \]
para todo \(n\).
La inclusión impone dos movimientos simultáneos:
\[ a_n\le a_{n+1}, \qquad b_{n+1}\le b_n. \]
Los extremos izquierdos pueden desplazarse hacia la derecha, mientras que los extremos derechos pueden desplazarse hacia la izquierda.
Pero hay una condición adicional que nunca se pierde:
\[ a_n\le b_n. \]
Cada intervalo sigue siendo no vacío.
Podemos representar la situación esquemáticamente como
\[ [a_0,\;\underbrace{a_1,\;\underbrace{a_2,\ldots,b_2}_{I_2}\;,b_1}_{I_1}\;,b_0]. \]
El punto decisivo será considerar todos los extremos izquierdos a la vez.
Teorema 1.1 Principio de intervalos encajados. Sea
\[ I_n=[a_n,b_n], \qquad n\in\mathbb N, \]
una familia de intervalos cerrados y acotados no vacíos tal que
\[ I_{n+1}\subseteq I_n \]
para todo \(n\in\mathbb N\). Entonces
\[ \boxed{ \bigcap_{n\in\mathbb N} I_n\ne\varnothing. } \]
Queremos fabricar un único número que quede simultáneamente a la derecha de todos los extremos izquierdos y a la izquierda de todos los extremos derechos.
La completitud sugiere considerar
\[ A=\{a_n:n\in\mathbb N\} \]
y tomar su supremo.
Para que esto funcione debemos verificar dos cosas:
- \(A\) es no vacío y está acotado superiormente;
- si \(x=\sup A\), entonces \(x\le b_n\) para cada \(n\).
La segunda parte es donde el encajamiento hace el trabajo decisivo.
Demostración. Consideremos
\[ A=\{a_n:n\in\mathbb N\}. \]
El conjunto \(A\) es no vacío porque, por ejemplo, \(a_0\in A\).
Veamos que está acotado superiormente. De hecho, afirmamos algo más fuerte: cada extremo derecho \(b_n\) es una cota superior de \(A\).
Fijemos \(n\in\mathbb N\) y tomemos cualquier \(a_m\in A\).
Si \(m\ge n\), entonces
\[ I_m\subseteq I_n. \]
Como \(a_m\in I_m\), también \(a_m\in I_n=[a_n,b_n]\), y por tanto
\[ a_m\le b_n. \]
Si \(m<n\), entonces el encajamiento da
\[ I_n\subseteq I_m, \]
y en particular
\[ a_m\le a_n\le b_n. \]
Así, en todos los casos,
\[ a_m\le b_n. \]
Por consiguiente, \(b_n\) es una cota superior de \(A\) para todo \(n\).
Como \(A\) es no vacío y está acotado superiormente, el axioma de completitud garantiza que existe
\[ x=\sup A. \]
Ahora fijemos nuevamente \(n\).
Como \(a_n\in A\) y \(x\) es cota superior de \(A\),
\[ a_n\le x. \]
Por otra parte, acabamos de demostrar que \(b_n\) es una cota superior de \(A\). Como \(x\) es la menor cota superior,
\[ x\le b_n. \]
Por tanto,
\[ a_n\le x\le b_n, \]
de modo que
\[ x\in I_n. \]
Como \(n\) era arbitrario,
\[ x\in I_n \]
para todo \(n\in\mathbb N\). Así,
\[ x\in\bigcap_{n\in\mathbb N}I_n, \]
y la intersección es no vacía. \(\blacksquare\)
La completitud se utilizó una sola vez:
\[ A\text{ no vacío y acotado} \Longrightarrow \sup A\text{ existe}. \]
Todo el resto de la demostración consiste en mostrar que esa frontera pertenece a cada intervalo.
También conviene observar que el teorema garantiza existencia, pero no unicidad. Si
\[ I_n=[0,1] \]
para todo \(n\), entonces
\[ \bigcap_{n\in\mathbb N}I_n=[0,1], \]
que contiene infinitos puntos.
Por qué importa que los intervalos sean cerrados
El teorema anterior no dice simplemente que «los intervalos encajados tienen un punto común». La palabra cerrados es esencial.
Ejemplo 1.1 Intervalos abiertos encajados con intersección vacía. Para \(n\in\mathbb N\), definamos
\[ J_n=\left(0,\frac1{n+1}\right). \]
Entonces
\[ J_{n+1}\subseteq J_n \]
para todo \(n\), pero
\[ \boxed{ \bigcap_{n\in\mathbb N}J_n=\varnothing. } \]
Demostración. Supongamos que existe
\[ x\in\bigcap_{n\in\mathbb N}J_n. \]
Como \(x\in J_0=(0,1)\), tenemos \(x>0\).
Por la propiedad arquimediana, existe \(m\in\mathbb N_{>0}\) tal que
\[ \frac1m<x. \]
Tomando \(n=m\), tenemos
\[ \frac1{n+1}<\frac1n=\frac1m<x. \]
Pero pertenecer a \(J_n\) exigiría
\[ x<\frac1{n+1}, \]
una contradicción. Luego la intersección es vacía. \(\blacksquare\)
¿Qué ocurrió geométricamente? Los intervalos se estrechan hacia \(0\), pero \(0\) fue excluido de todos ellos. En los intervalos cerrados
\[ \left[0,\frac1{n+1}\right] \]
el punto \(0\) sí permanece disponible y pertenece a toda la familia.
Tampoco basta decir simplemente «cerrados» si permitimos intervalos no acotados.
Por ejemplo,
\[ K_n=[n,\infty) \]
son cerrados y encajados, pero
\[ \bigcap_{n\in\mathbb N}K_n=\varnothing \]
por la propiedad arquimediana.
En #thm-t1-0006 trabajamos con intervalos de la forma \([a_n,b_n]\): son cerrados y acotados. Esa acotación permite que los extremos izquierdos tengan cotas superiores y hace posible aplicar completitud.
Bisección: conservar siempre una mitad
El principio de intervalos encajados se vuelve especialmente concreto en el procedimiento de bisección.
Comencemos con un intervalo cerrado
\[ I_0=[a_0,b_0]. \]
Su punto medio es
\[ c_0=\frac{a_0+b_0}{2}. \]
El intervalo queda dividido en dos mitades cerradas:
\[ [a_0,c_0] \qquad\text{y}\qquad [c_0,b_0]. \]
Elegimos una de ellas y la llamamos \(I_1\). Después repetimos el mismo procedimiento con \(I_1\), obteniendo \(I_2\), y así sucesivamente.
No importa todavía qué regla decide cuál de las dos mitades conservamos. Lo único necesario para la estructura es que en cada etapa escojamos una mitad cerrada del intervalo anterior.
Entonces
\[ I_{n+1}\subseteq I_n \]
y, si escribimos
\[ I_n=[a_n,b_n], \]
su longitud satisface
\[ \boxed{ b_n-a_n=\frac{b_0-a_0}{2^n}. } \]
Esta fórmula se demuestra inmediatamente por inducción: cada paso divide la longitud anterior por \(2\).
Existencia y unicidad son dos preguntas distintas
Por #thm-t1-0006, toda cadena de bisecciones cerradas posee al menos un punto común.
Pero ahora tenemos información adicional: sus longitudes pueden hacerse tan pequeñas como queramos. Esa pequeñez forzará que no puedan sobrevivir dos puntos distintos.
Corolario 1.1 Unicidad en una cadena de bisecciones. Sea
\[ I_0\supseteq I_1\supseteq I_2\supseteq\cdots \]
una familia obtenida por bisecciones sucesivas de un intervalo cerrado y acotado \(I_0=[a_0,b_0]\). Entonces existe un único número real \(x\) tal que
\[ x\in I_n \]
para todo \(n\in\mathbb N\).
La existencia ya está resuelta por el principio de intervalos encajados.
Para la unicidad, supongamos que dos puntos distintos \(x<y\) sobrevivieran a todas las etapas. Como la distancia
\[ y-x>0 \]
es fija, basta encontrar una etapa cuya longitud sea menor que esa distancia. Entonces \(x\) e \(y\) no podrían caber simultáneamente dentro del mismo intervalo.
La propiedad arquimediana y la desigualdad
\[ 2^n\ge n+1 \]
que demostraremos enseguida mediante inducción nos permitirán encontrar esa etapa sin usar límites.
Lema auxiliar. Para todo \(n\in\mathbb N\), se tiene \(2^n\ge n+1\). La demostración es por inducción. En \(n=0\), \(2^0=1=0+1\). Si \(2^n\ge n+1\), entonces
\[ 2^{n+1}=2\cdot 2^n\ge 2(n+1)\ge n+2, \]
pues \(2(n+1)-(n+2)=n\ge0\). Así queda establecido el paso inductivo.
Demostración. La existencia de al menos un punto común se sigue de #thm-t1-0006.
Para demostrar unicidad, supongamos que existen dos puntos distintos
\[ x<y \]
que pertenecen a todos los \(I_n\).
Sea
\[ L=b_0-a_0. \]
Si \(L=0\), entonces \(I_0\) ya contiene un solo punto y la unicidad es inmediata. Supongamos, pues, \(L>0\).
Como
\[ y-x>0, \]
la propiedad arquimediana permite elegir \(N\in\mathbb N\) tan grande que
\[ N+1>\frac{L}{y-x}. \]
Por el lema auxiliar que acabamos de probar,
\[ 2^N\ge N+1. \]
Por tanto,
\[ 2^N>\frac{L}{y-x}, \]
y, como todas las cantidades son positivas,
\[ \frac{L}{2^N}<y-x. \]
Pero \(x,y\in I_N=[a_N,b_N]\), así que
\[ y-x\le b_N-a_N. \]
Por la construcción por bisección,
\[ b_N-a_N=\frac{L}{2^N}. \]
Llegamos entonces a
\[ y-x\le\frac{L}{2^N}<y-x, \]
una contradicción.
No pueden existir dos puntos comunes distintos. Como ya sabemos que existe al menos uno, el punto común es único. \(\blacksquare\)
El criterio general detrás de la bisección
La prueba anterior revela que la potencia \(2^n\) no es lo esencial.
Lo que realmente utilizamos fue esta propiedad:
para toda distancia positiva \(\varepsilon\), existe alguna etapa \(N\) cuya longitud satisface \[ b_N-a_N<\varepsilon. \]
Si una familia de intervalos cerrados y encajados tiene longitudes arbitrariamente pequeñas, el principio de intervalos encajados garantiza existencia y el argumento de distancia garantiza unicidad.
Todavía no expresamos esta condición diciendo que
\[ b_n-a_n\to0, \]
porque la noción de convergencia de sucesiones pertenece a T1-C04. La formulación cuantificada anterior contiene exactamente la información que necesitamos sin adelantar esa teoría.
Un ejemplo: bisección alrededor de \(\sqrt2\)
Ejemplo 1.2 Encajonando \(\sqrt2\) por bisección. Partimos de
\[ I_0=[1,2]. \]
Como
\[ 1^2<2<2^2, \]
sabemos que \(\sqrt2\in I_0\).
En cada etapa tomamos el punto medio \(c_n\) de \(I_n\):
- si \(c_n^2<2\), conservamos la mitad derecha \([c_n,b_n]\);
- si \(c_n^2>2\), conservamos la mitad izquierda \([a_n,c_n]\);
- si \(c_n^2=2\), hemos encontrado exactamente \(\sqrt2\): podemos detener el procedimiento o, si queremos mantener la cadena de bisecciones, conservar cualquiera de las dos mitades cerradas, que contienen \(c_n\).
En todos los casos el intervalo conservado sigue conteniendo \(\sqrt2\).
Las primeras etapas son:
\[ I_0=[1,2]. \]
El punto medio es
\[ \frac32, \]
y
\[ \left(\frac32\right)^2=\frac94>2, \]
por lo que
\[ I_1=\left[1,\frac32\right]. \]
El nuevo punto medio es
\[ \frac54, \]
y
\[ \left(\frac54\right)^2=\frac{25}{16}<2, \]
así que
\[ I_2=\left[\frac54,\frac32\right]. \]
El siguiente punto medio es
\[ \frac{11}{8}, \]
y
\[ \left(\frac{11}{8}\right)^2=\frac{121}{64}<2, \]
por lo que
\[ I_3=\left[\frac{11}{8},\frac32\right]. \]
Después aparece
\[ \frac{23}{16}, \]
y
\[ \left(\frac{23}{16}\right)^2=\frac{529}{256}>2, \]
de modo que
\[ I_4=\left[\frac{11}{8},\frac{23}{16}\right]. \]
Cada intervalo de esta cadena contiene a \(\sqrt2\) y tiene la mitad de la longitud del anterior. En caso de encontrar la raíz exactamente y optar por continuar, conservar una de las dos mitades mantiene esta regla de longitud. El corolario de unicidad garantiza que ningún otro real puede permanecer en todos los intervalos.
Así la bisección produce una caracterización progresivamente más precisa de un número cuya existencia ya conocemos:
\[ \boxed{ \{\sqrt2\}=\bigcap_{n\in\mathbb N}I_n. } \]
No estamos diciendo todavía que la sucesión de extremos o la sucesión de puntos medios «converja». Esa lectura será demostrada más adelante. Aquí hemos obtenido la afirmación de intersección directamente mediante completitud y arquimedianidad.
Existencia, unicidad y algoritmo
Conviene separar tres afirmaciones que suelen mezclarse cuando se habla de bisección.
1. Existencia. Los intervalos cerrados encajados tienen algún punto común. Esto proviene de completitud.
2. Unicidad. Si además las longitudes pueden hacerse arbitrariamente pequeñas, no caben dos puntos distintos en todos ellos.
3. Procedimiento. La bisección ofrece una regla concreta para construir intervalos cada vez más estrechos.
La tercera afirmación es algorítmica; las dos primeras son teoremas matemáticos que justifican qué puede concluirse del procedimiento.
Esta separación será importante más adelante. En análisis numérico es fácil producir una lista de aproximaciones; en cálculo debemos justificar qué objeto determina esa lista y por qué.
Antes de seguir
1. Determina exactamente la intersección de
\[ I_n= \left[-\frac1{n+1},\frac2{n+1}\right], \qquad n\in\mathbb N. \]
Respuesta. El número \(0\) pertenece a todos los intervalos. Si \(x>0\), la propiedad arquimediana permite elegir \(n\) con \(2/(n+1)<x\), por lo que \(x\notin I_n\). Si \(x<0\), elegimos \(n\) con \(1/(n+1)<-x\), y entonces \(x<-1/(n+1)\), de modo que tampoco pertenece a todos los intervalos. Por tanto,
\[ \boxed{\bigcap_{n\in\mathbb N}I_n=\{0\}}. \]
2. Da una familia de intervalos cerrados y encajados cuya intersección no sea un único punto y explica qué hipótesis adicional de unicidad falla.
Respuesta. La familia constante
\[ I_n=[0,1] \]
es cerrada y encajada, pero
\[ \bigcap_n I_n=[0,1]. \]
Falla la condición de que las longitudes puedan hacerse menores que cualquier \(\varepsilon>0\).
Lo que exporta esta sección
Hemos obtenido una nueva manifestación de la completitud:
\[ \boxed{ I_0\supseteq I_1\supseteq I_2\supseteq\cdots, \quad I_n\text{ cerrado y acotado} \Longrightarrow \bigcap_{n\in\mathbb N}I_n\ne\varnothing. } \]
Y, para una cadena de bisecciones,
\[ \boxed{ \text{existencia por completitud} + \text{longitudes arbitrariamente pequeñas} \Longrightarrow \text{un único punto común}. } \]
El capítulo dispone ya de casi toda su maquinaria estructural. En §1.10 la utilizaremos en un laboratorio de completitud: en lugar de aprender una nueva definición, tendremos que reconocer qué combinación de supremo, arquimedianidad, densidad, valor absoluto o intervalos encajados resuelve cada problema y, sobre todo, localizar exactamente dónde interviene la completitud.