1.8 — Entre dos reales siempre hay más números
1 Los números reales: axiomas de cuerpo, orden y completitud
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1.8 Entre dos reales siempre hay más números
Qué significa que un conjunto sea denso
En §1.7 obtuvimos las herramientas necesarias para fabricar números entre dos reales cualesquiera. Antes de utilizarlas conviene precisar la propiedad que queremos demostrar.
Definición 1.1 Densidad en la recta real. Sea \(D\subseteq\mathbb R\). Diremos que \(D\) es denso en \(\mathbb R\) si, para cualesquiera \(a,b\in\mathbb R\) con \(a<b\), existe \(d\in D\) tal que
\[ a<d<b. \]
Equivalentemente, todo intervalo abierto no vacío contiene algún elemento de \(D\):
\[ \boxed{ \forall a,b\in\mathbb R, \quad a<b \Longrightarrow D\cap(a,b)\ne\varnothing. } \]
Las dos formulaciones expresan la misma condición: encontrar \(d\in D\) con \(a<d<b\) equivale a encontrar un elemento de la intersección \(D\cap(a,b)\).
La palabra denso describe un comportamiento local respecto de los intervalos. Un conjunto denso puede omitir muchos puntos; la definición exige que ninguno de esos puntos ausentes abra un intervalo no vacío completamente separado del conjunto. En símbolos, si \(a<b\), no puede ocurrir
\[ D\cap(a,b)=\varnothing. \]
En esta sección demostraremos dos hechos que conviene mantener simultáneamente:
\[ \mathbb Q\text{ es denso en }\mathbb R \]
y
\[ \mathbb R\setminus\mathbb Q\text{ es denso en }\mathbb R. \]
Así, todo intervalo abierto no vacío contiene racionales e irracionales. La anchura del intervalo puede ser tan pequeña como se quiera mientras sus extremos sigan siendo distintos.
Densidad de los racionales
Teorema 1.1 Densidad de \(\mathbb Q\) en \(\mathbb R\). Si \(a,b\in\mathbb R\) y \(a<b\), entonces existe \(r\in\mathbb Q\) tal que
\[ a<r<b. \]
Buscamos un racional de la forma \(m/n\), con \(m\in\mathbb Z\) y \(n\in\mathbb N_{>0}\). Como \(n>0\),
\[ a<\frac mn<b \iff na<m<nb. \]
La estrategia consiste en elegir \(n\) de modo que el intervalo escalado \((na,nb)\) tenga anchura mayor que \(1\). Por Corolario 1.2 podemos imponer
\[ \frac1n<b-a, \]
lo que equivale a
\[ nb-na>1. \]
Después, Lema 1.1 aplicado a \(na\) produce un entero inmediatamente a su derecha; la desigualdad anterior garantiza que ese entero todavía queda a la izquierda de \(nb\).
Demostración. Sean \(a,b\in\mathbb R\) con \(a<b\). Entonces \(b-a>0\). Por Corolario 1.2 existe \(n\in\mathbb N_{>0}\) tal que
\[ \frac1n<b-a. \]
Como \(n>0\), multiplicando por \(n\) obtenemos
\[ 1<n(b-a)=nb-na, \]
y por tanto
\[ na+1<nb. \]
Apliquemos Lema 1.1 al real \(na\). Existe \(k\in\mathbb Z\) tal que
\[ k\le na<k+1. \]
Definamos
\[ m=k+1. \]
Entonces \(m\in\mathbb Z\) y
\[ na<m=k+1\le na+1<nb. \]
En particular,
\[ na<m<nb. \]
Dividiendo por \(n>0\) conservamos el orden:
\[ a<\frac mn<b. \]
Como \(m\in\mathbb Z\) y \(n\in\mathbb N_{>0}\),
\[ r:=\frac mn\in\mathbb Q. \]
Por consiguiente,
\[ \boxed{a<r<b}. \]
Esto demuestra la densidad de \(\mathbb Q\) en \(\mathbb R\). \(\blacksquare\)
Los extremos \(a\) y \(b\) son reales arbitrarios; no se ha supuesto que sean racionales. La construcción introduce racionalidad únicamente al elegir
\[ r=\frac mn. \]
La prueba puede reconstruirse mediante cuatro movimientos:
- medir el intervalo: \(b-a>0\);
- elegir una escala: \(1/n<b-a\);
- insertar un entero: \(na<m<nb\);
- desescalar: \(a<m/n<b\).
La dependencia estructural también queda localizada. Corolario 1.2 procede de la propiedad arquimediana; Lema 1.1 combina arquimedianidad con la buena ordenación de \(\mathbb N\). En la arquitectura adoptada por este capítulo, la completitud interviene por tanto de manera indirecta, a través de §1.7.
Un ejemplo construido, no adivinado
Ejemplo 1.1 Un racional entre \(\sqrt2\) y \(3/2\). Construyamos un número racional \(r\) que satisfaga
\[ \sqrt2<r<\frac32. \]
Primero necesitamos una escala \(1/n\) menor que el hueco
\[ \frac32-\sqrt2. \]
La elección \(n=12\) funciona porque
\[ \frac1{12}<\frac32-\sqrt2 \]
es equivalente a
\[ \sqrt2<\frac{17}{12}, \]
y esta última desigualdad puede verificarse elevando al cuadrado números positivos:
\[ 2<\frac{289}{144} \]
porque
\[ 288<289. \]
Ahora escalamos el extremo izquierdo:
\[ 12\sqrt2. \]
Sabemos que
\[ 16<12\sqrt2<17, \]
pues
\[ 16^2=256<288=(12\sqrt2)^2<289=17^2. \]
Así, el entero inmediatamente superior a \(12\sqrt2\) es \(17\), y al dividir por \(12\) obtenemos
\[ \boxed{ \sqrt2<\frac{17}{12}<\frac32. } \]
El racional no apareció por ensayo decimal: fue producido por la arquitectura de la demostración.
Densidad de los irracionales
Ahora queremos demostrar algo aparentemente más difícil:
entre dos reales cualesquiera existe un irracional.
Podríamos intentar construirlo directamente dentro del intervalo. Hay una ruta más limpia: ya conocemos un irracional concreto, \(\sqrt2\), y acabamos de demostrar que podemos insertar racionales en cualquier intervalo.
La idea será trasladar el intervalo.
Teorema 1.2 Densidad de los irracionales en \(\mathbb R\). Si \(a,b\in\mathbb R\) y \(a<b\), entonces existe
\[ \xi\in\mathbb R\setminus\mathbb Q \]
tal que
\[ a<\xi<b. \]
Restemos \(\sqrt2\) a ambos extremos. Como
\[ a-\sqrt2<b-\sqrt2, \]
la densidad racional permite escoger
\[ r\in\mathbb Q \]
con
\[ a-\sqrt2<r<b-\sqrt2. \]
Al volver a sumar \(\sqrt2\), el número
\[ \xi=r+\sqrt2 \]
queda dentro de \((a,b)\). Y debe ser irracional: si fuese racional, al restarle el racional \(r\) concluiríamos que \(\sqrt2\) es racional.
Demostración. Sean \(a,b\in\mathbb R\) con \(a<b\).
Restando \(\sqrt2\) a ambos lados,
\[ a-\sqrt2<b-\sqrt2. \]
Por la densidad de \(\mathbb Q\) en \(\mathbb R\), existe \(r\in\mathbb Q\) tal que
\[ a-\sqrt2<r<b-\sqrt2. \]
Sumando \(\sqrt2\) obtenemos
\[ a<r+\sqrt2<b. \]
Definamos
\[ \xi=r+\sqrt2. \]
Solo falta verificar que \(\xi\) es irracional. Supongamos, para obtener una contradicción, que \(\xi\in\mathbb Q\). Como \(r\in\mathbb Q\) y los racionales son cerrados bajo la resta, tendríamos
\[ \sqrt2=\xi-r\in\mathbb Q, \]
contradiciendo el resultado de §1.4.
Por tanto,
\[ \xi\in\mathbb R\setminus\mathbb Q, \]
y además \(a<\xi<b\). \(\blacksquare\)
La densidad irracional no necesitó una nueva aplicación de completitud ni otra versión de la propiedad arquimediana. Una vez obtenida la densidad racional y conocido un irracional, bastó combinar:
\[ \boxed{ \text{traslación del intervalo} +\text{densidad racional} +\text{racional}+\text{irracional}=\text{irracional}. } \]
La última afirmación también ha sido demostrada dentro del argumento: si la suma fuera racional, restar el sumando racional volvería racional al irracional original.
Racionales e irracionales dentro del mismo intervalo
Volvamos al intervalo
\[ \left(\sqrt2,\frac32\right). \]
Ya hemos construido el racional
\[ \frac{17}{12}. \]
También podemos construir inmediatamente un irracional dentro del mismo intervalo. Como ya verificamos que
\[ \frac1{12}<\frac32-\sqrt2, \]
tenemos
\[ \sqrt2<\sqrt2+\frac1{12}<\frac32. \]
Y
\[ \sqrt2+\frac1{12} \]
es irracional, porque la suma de \(\sqrt2\) con un racional no puede ser racional.
Por tanto, dentro del mismo intervalo encontramos simultáneamente números de ambos tipos. Pero pertenecer al mismo intervalo no determina el orden relativo entre los puntos construidos; debemos compararlos.
En efecto,
\[ \frac{17}{12}-\left(\sqrt2+\frac1{12}\right) = \frac43-\sqrt2<0, \]
porque
\[ \left(\frac43\right)^2=\frac{16}{9}<2. \]
Así obtenemos la cadena correcta
\[ \boxed{ \sqrt2 < \frac{17}{12} < \sqrt2+\frac1{12} < \frac32. } \]
Una construcción demuestra pertenencia a un intervalo, pero no autoriza a ordenar entre sí los objetos construidos sin una comparación adicional.
Este tipo de auditoría será especialmente importante cuando trabajemos con varias aproximaciones simultáneas.
Arbitrariamente cerca, sin hablar todavía de límites
La densidad puede reescribirse en un lenguaje que conecta directamente con §1.2.
Sea \(x\in\mathbb R\) y sea \(\varepsilon>0\). El intervalo
\[ (x-\varepsilon,x+\varepsilon) \]
es abierto y no vacío. Por densidad contiene un racional \(q\) y un irracional \(\xi\). Así,
\[ |q-x|<\varepsilon, \qquad |\xi-x|<\varepsilon. \]
Si queremos además que los puntos sean distintos de \(x\), podemos aplicar los teoremas al intervalo \((x,x+\varepsilon)\) y obtener
\[ 0<q-x<\varepsilon, \qquad 0<\xi-x<\varepsilon. \]
Por tanto:
\[ \boxed{ \forall x\in\mathbb R\;\forall\varepsilon>0, \quad \begin{array}{l} \exists q\in\mathbb Q:\ 0<|q-x|<\varepsilon,\\[3pt] \exists \xi\in\mathbb R\setminus\mathbb Q:\ 0<|\xi-x|<\varepsilon. \end{array} } \]
Esto justifica rigurosamente la expresión «hay racionales e irracionales arbitrariamente cerca de todo real».
No estamos afirmando todavía que exista una sucesión de racionales o irracionales que converja a \(x\). Esa reformulación pertenece al capítulo de sucesiones. Aquí solo utilizamos cuantificadores, intervalos y distancia.
Todo intervalo abierto contiene infinitos de ambos tipos
Los teoremas de densidad garantizan al menos un punto de cada tipo. En realidad garantizan mucho más.
Tomemos un intervalo abierto no vacío \((a,b)\). Por densidad racional existe
\[ r_1\in\mathbb Q\cap(a,b). \]
Aplicando otra vez densidad al intervalo \((a,r_1)\) obtenemos un racional distinto \(r_2\). Repitiendo el argumento tantas veces como queramos, para cada \(N\in\mathbb N_{>0}\) podemos producir \(N\) racionales distintos dentro de \((a,b)\).
Por tanto, el intervalo contiene infinitos racionales.
El mismo argumento, usando densidad de los irracionales en cada subintervalo, muestra que contiene infinitos irracionales.
Así:
\[ \boxed{ \text{todo intervalo abierto no vacío contiene infinitos racionales e infinitos irracionales}.} \]
Conviene notar lo que no hemos usado para llegar aquí: ni cardinalidades, ni teoría de conjuntos infinitos más avanzada, ni convergencia. Para descartar que haya solo una cantidad finita, basta poder producir tantos puntos distintos como cualquier número natural prefijado.
Antes de seguir
1. Sea \(D\subseteq\mathbb R\) denso y sean \(\lambda\ne0\), \(c\in\mathbb R\). Demuestra que
\[ \lambda D+c=\{\lambda d+c:d\in D\} \]
también es denso en \(\mathbb R\).
Respuesta. Dados \(a<b\), si \(\lambda>0\) aplicamos densidad de \(D\) al intervalo
\[ \left(\frac{a-c}{\lambda},\frac{b-c}{\lambda}\right). \]
Si \(\lambda<0\), invertimos los extremos. En ambos casos obtenemos \(d\in D\) con \(a<\lambda d+c<b\).
2. Demuestra que
\[ \sqrt2+\mathbb Q = \{\sqrt2+q:q\in\mathbb Q\} \]
es un conjunto denso formado exclusivamente por irracionales.
Respuesta. Es denso por la pregunta anterior, tomando \(D=\mathbb Q\), \(\lambda=1\) y \(c=\sqrt2\). Si \(\sqrt2+q\) fuese racional para algún \(q\in\mathbb Q\), al restar \(q\) concluiríamos que \(\sqrt2\) es racional, contradicción.
Lo que exporta esta sección
Ahora conocemos dos hechos simultáneos:
\[ \boxed{ \mathbb Q\text{ es denso en }\mathbb R, \qquad \mathbb R\setminus\mathbb Q\text{ es denso en }\mathbb R. } \]
Por tanto, la recta no se divide en regiones racionales e irracionales. Ambas clases están entrelazadas a toda escala de intervalo.
La cadena estructural construida en las últimas secciones es ya considerable:
\[ \boxed{ \text{completitud} \to \text{propiedad arquimediana} \to \text{mallas }1/n \to \text{densidad racional} \to \text{densidad irracional}.} \]
En §1.9 volveremos a la completitud desde otra dirección. En lugar de insertar puntos dentro de un intervalo, estudiaremos una familia de intervalos cerrados que se van encajando unos dentro de otros y preguntaremos:
si continuamos estrechando indefinidamente, ¿queda necesariamente algún punto común?
La respuesta será el principio de intervalos encajados, y su prueba volverá a utilizar el supremo.