1.11 — Ejercicios

Capítulo 1 de Cálculo para matemáticos: lectura por secciones.

1 Los números reales: axiomas de cuerpo, orden y completitud

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1.11 Ejercicios y soluciones

Llegamos al bloque de práctica sistemática de este capítulo. Hasta aquí las herramientas aparecieron acompañadas por motivación, estrategias modelo y laboratorios guiados. En esta sección disminuye deliberadamente la ayuda: el lector debe decidir qué parte de la estructura de \(\mathbb R\) es pertinente y justificar cada dependencia.

El banco contiene exactamente cuarenta ejercicios, organizados en siete niveles.

Nivel	Función principal	Cantidad
A	reconocimiento estructural, definiciones e intervalos	7
B	aplicación directa: álgebra, desigualdades y estimaciones	7
C	combinación estructural: cuerpo ordenado, cotas y completitud	7
D	hipótesis esenciales, reversibilidad y diagnóstico	6
E	contraejemplos y fronteras de los teoremas	5
F	descubrimiento guiado	5
G	síntesis y desafío	3
Total		40

El banco ha sido depurado con una regla adicional: no pedir como ejercicio la reproducción literal de una demostración que el desarrollo ya resolvió línea por línea. Cuando reaparece una idea conocida, la tarea exige transferencia: combinarla con otra herramienta, generalizarla, diagnosticar una hipótesis, construir un contraejemplo o resolver una variante cuya estrategia no esté escrita de antemano.

Todos los ejercicios pueden resolverse usando los resultados demostrados en este capítulo, el principio de inducción aquí enunciado y el álgebra escolar. No es necesario —ni está permitido en las soluciones canónicas— invocar convergencia de sucesiones, límites, continuidad, teorema del valor intermedio, Bolzano–Weierstrass o resultados posteriores.

Las soluciones siguen también el cambio de régimen pedagógico del capítulo: citan por nombre los resultados ya establecidos y no expanden de nuevo asociatividad, neutros o sustituciones rutinarias, salvo cuando el propio ejercicio sea una auditoría axiomática.

TipCómo trabajar esta sección

Antes de consultar una solución, deja por escrito cuatro cosas:

1. qué se supone y cuál es el dominio;
2. qué debe demostrarse, construirse o calcularse;
3. qué resultado previo parece pertinente;
4. si ese resultado depende directamente de completitud o solo de estructura de cuerpo ordenado.

En una inecuación racional añade una quinta pregunta: ¿qué puntos están excluidos o pueden cambiar la forma algebraica del problema?

Nivel A — Reconocimiento estructural, definiciones e intervalos

Ejercicio 1.1  

Ejercicio A1. Intersección de dos bandas de distancia. Describe el conjunto

\[ S=\{x\in\mathbb R:|x-2|<3\text{ y }|x+1|\le2\} \]

como una desigualdad compuesta y como un intervalo. Indica con cuidado qué extremos pertenecen al conjunto.

Ejercicio 1.2  

Ejercicio A2. Tres transformaciones del mismo orden. Supón

\[ 0<a<b, \qquad c<0. \]

Ordena correctamente, justificando cada caso:

1. \(ac\), \(bc\) y \(0\);
2. \(a/c\), \(b/c\) y \(0\);
3. \(1/a\), \(1/b\) y \(0\).

Ejercicio 1.3  

Ejercicio A3. Dos componentes y cuatro extremos. Sea

\[ A=(-2,1]\cup[3,5). \]

Determina \(\sup A\), \(\inf A\) y decide si \(A\) tiene máximo y mínimo. Justifica la diferencia entre frontera y pertenencia.

Ejercicio 1.4  

Ejercicio A4. Axioma, definición o resultado demostrado. Clasifica cada afirmación en una de las categorías axioma, definición o resultado demostrado. Cuando corresponda, identifica el axioma C1--C9 o el resultado de §1.1 que la respalda.

1. \(a(b+c)=ab+ac\).
2. \(a-b:=a+(-b)\).
3. \(a0=0\).
4. Si \(a\ne0\) y \(ab=ac\), entonces \(b=c\).
5. \(a<b\) significa que \(b-a\) es positivo.

Explica por qué confundir estas categorías puede ocultar una dependencia lógica en una demostración.

Ejercicio 1.5  

Ejercicio A5. Auditar completitud sin calcular el supremo. Para cada conjunto decide si el axioma de completitud garantiza directamente la existencia de un supremo real. En cada caso identifica la hipótesis que se verifica o falla.

1. \(\{x\in\mathbb R:|x-2|<1\}\);
2. \([0,\infty)\);
3. \(\varnothing\);
4. \(\{1/n:n\in\mathbb N_{>0}\}\);
5. \((-\infty,0]\).

No calcules el supremo salvo que sea necesario para justificar una cota.

Ejercicio 1.6  

Ejercicio A6. Dependencia estructural. Clasifica cada hecho según dependa de cuerpo ordenado, completitud directamente o una consecuencia previa de completitud:

1. \(|x+y|\le |x|+|y|\);
2. todo conjunto no vacío acotado superiormente tiene supremo;
3. para todo \(\varepsilon>0\) existe \(n\) con \(1/n<\varepsilon\);
4. entre dos reales distintos hay un racional.

Ejercicio 1.7  

Ejercicio A7. Intervalos encajados. Considera

\[ I_n=\left[1-\frac1{n+1},\,1+\frac1{n+1}\right]. \]

1. Verifica que \(I_{n+1}\subseteq I_n\).
2. Comprueba que \(1\in I_n\) para todo \(n\).
3. Explica por qué el principio de intervalos encajados garantiza una intersección no vacía, sin afirmar todavía que \(1\) sea el único punto común.

Nivel B — Aplicación directa: álgebra, desigualdades y estimaciones

Ejercicio 1.8  

Ejercicio B1. Valor absoluto anidado. Resuelve completamente

\[ \bigl||x-1|-2\bigr|\le1. \]

Entrega el conjunto solución como unión de intervalos cerrados.

Ejercicio 1.9  

Ejercicio B2. Una estimación alrededor de \(2\). Supón que

\[ |x-2|<\frac1{10}. \]

Demuestra, sin usar aproximaciones decimales, que

\[ |x^2-4|<\frac{41}{100}. \]

Ejercicio 1.10  

Ejercicio B3. La diferencia entre dos recíprocos. Sean \(a,b\ne0\).

1. Demuestra que \[ a^{-1}-b^{-1}=\frac{b-a}{ab}. \]
2. Usa esta identidad, junto con las leyes de signo ya demostradas, para recuperar el hecho de que \[ 0<a<b \quad\Longrightarrow\quad \frac1b<\frac1a, \] sin citar directamente la parte 7 de Proposición 1.5.

Ejercicio 1.11  

Ejercicio B4. Una elección arquimediana explícita. Encuentra un natural \(n\) que satisfaga simultáneamente

\[ n>200, \qquad \frac1n<\frac1{137}. \]

Explica por qué tu elección funciona.

Ejercicio 1.12  

Ejercicio B5. Tres pasos de bisección para \(\sqrt{10}\). Comienza con \([3,4]\) y conserva en cada paso la mitad cerrada que contiene \(\sqrt{10}\). Realiza tres bisecciones y entrega un intervalo racional final \([a,b]\) con

\[ a<\sqrt{10}<b. \]

Justifica cada decisión comparando cuadrados.

Ejercicio 1.13  

Ejercicio B6. Regla de signos para un cociente. Sean \(a,b\ne0\). Demuestra, sin hacer una tabla memorizada, que

\[ \frac ab>0 \iff (a>0\text{ y }b>0)\ \text{o}\ (a<0\text{ y }b<0), \]

y que

\[ \frac ab<0 \iff (a>0\text{ y }b<0)\ \text{o}\ (a<0\text{ y }b>0). \]

Debes reducir el problema al signo de \(b^{-1}\) y al teorema del signo de un producto.

Ejercicio 1.14  

Ejercicio B7. Inecuación racional con valor absoluto I. Resuelve completamente

\[ \left|\frac{x-1}{x+2}\right| \le \frac{|x-3|}{2}. \]

Tu solución debe registrar dominio, puntos críticos, transformación algebraica equivalente, análisis de signos y verificación de extremos.

Nivel C — Combinación estructural: cuerpo ordenado, cotas y completitud

Ejercicio 1.15  

Ejercicio C1. Escalar un supremo por un número positivo. Sea \(A\subseteq\mathbb R\) no vacío y acotado superiormente, y sea \(c>0\). Define

\[ cA=\{ca:a\in A\}. \]

Demuestra que

\[ \sup(cA)=c\sup A. \]

Ejercicio 1.16  

Ejercicio C2. El ínfimo como supremo reflejado. Sea \(A\subseteq\mathbb R\) no vacío y acotado inferiormente, y define

\[ -A=\{-a:a\in A\}. \]

Demuestra que

\[ \inf A=-\sup(-A). \]

Ejercicio 1.17  

Ejercicio C3. Alternar racionales e irracionales. Sean \(a<b\) y \(N\in\mathbb N_{>0}\). Demuestra que existen racionales \(q_1,\dots,q_N\) e irracionales \(\xi_1,\dots,\xi_N\) tales que

\[ a<q_1<\xi_1<q_2<\xi_2<\cdots<q_N<\xi_N<b. \]

No basta afirmar que ambos conjuntos son densos: organiza una construcción que garantice simultáneamente todo el orden indicado.

Ejercicio 1.18  

Ejercicio C4. Una ecuación afín completa. Sean \(a,b,c\in F\), donde \(F\) es un cuerpo y \(a\ne0\). Considera

\[ ax+b=c. \]

1. Construye un candidato explícito para \(x\).
2. Verifica que satisface la ecuación.
3. Demuestra que ninguna otra solución es posible.

La solución debe combinar las dos ecuaciones elementales del capítulo; no basta escribir una cadena escolar de «pasar términos».

Ejercicio 1.19  

Ejercicio C5. Producto de raíces cuadradas. Sean \(a,b\ge0\). Utiliza el teorema de existencia y unicidad de raíces cuadradas para demostrar

\[ \sqrt{ab}=\sqrt a\,\sqrt b. \]

Ejercicio 1.20  

Ejercicio C6. Inecuación racional con valor absoluto II. Resuelve completamente

\[ \frac{|x-2|}{|x+1|}\ge\frac{|x|}{2}. \]

Debes identificar el dominio, todos los puntos críticos relevantes y justificar cualquier operación de elevar al cuadrado.

Ejercicio 1.21  

Ejercicio C7. Dos cadenas encajadas que no pueden terminar en puntos distintos. Sean \((I_n)\) y \((J_n)\) dos familias de intervalos cerrados, no vacíos y encajados. Supón que las longitudes de ambas familias pueden hacerse menores que cualquier \(\varepsilon>0\) y que

\[ I_n\cap J_n\ne\varnothing \qquad \text{para todo }n. \]

Demuestra que las dos familias tienen el mismo único punto común.

Nivel D — Hipótesis esenciales, reversibilidad y diagnóstico

Ejercicio 1.22  

Ejercicio D1. Supremo de una unión: diagnosticar una fórmula falsa. Sean \(A,B\subseteq\mathbb R\) no vacíos y acotados superiormente. Un estudiante afirma

\[ \sup(A\cup B)=\sup A+\sup B. \]

1. Da un contraejemplo.
2. Formula la identidad correcta.
3. Demuéstrala a partir de la definición de supremo.

Ejercicio 1.23  

Ejercicio D2. Cancelar puede borrar una solución. Resuelve en un cuerpo ordenado

\[ (x-1)(x+2)=(x-1)(3x-4). \]

Un estudiante cancela inmediatamente el factor \(x-1\) y obtiene una sola solución. Explica por qué ese procedimiento es incompleto y determina todas las soluciones.

Ejercicio 1.24  

Ejercicio D3. ¿Eliminar finitos puntos cambia el supremo? Sea \(A\subseteq\mathbb R\) no vacío y acotado superiormente, sea \(F\subseteq A\) finito y supón \(A\setminus F\ne\varnothing\). Un estudiante afirma:

«Eliminar finitos puntos nunca cambia el supremo».

1. Da un contraejemplo.
2. Demuestra que la afirmación sí es correcta bajo la hipótesis adicional \[ \sup A\notin F. \]

Ejercicio 1.25  

Ejercicio D4. Intervalos racionales encajados alrededor de un punto que no es racional. Parte de \(I_0=[1,2]\) y aplica bisección conservando siempre la mitad cerrada que contiene a \(\sqrt2\).

1. Explica por qué todos los extremos de \(I_n\) son racionales.
2. Demuestra que las longitudes son \(2^{-n}\).
3. Explica por qué \[ \bigcap_n I_n=\{\sqrt2\} \] como subconjuntos de \(\mathbb R\).
4. Concluye que, vistos como intervalos de \(\mathbb Q\), tienen intersección vacía.

Explica por qué este fenómeno muestra que densidad y completitud son propiedades diferentes.

Ejercicio 1.26  

Ejercicio D5. Inecuación racional con valor absoluto III. Resuelve completamente

\[ \frac{|x-2|+|x+1|}{|x-1|}\le3. \]

La solución debe separar todos los casos determinados por los argumentos de los valores absolutos y por el punto excluido del denominador.

Ejercicio 1.27  

Ejercicio D6. Una prueba correcta en otro momento, pero circular aquí. Un estudiante propone demostrar la existencia de \(\sqrt3\) así:

«La función \(x^2\) es continua; como \(1^2<3<2^2\), el teorema del valor intermedio produce un \(c\in(1,2)\) con \(c^2=3\)».

Explica por qué este argumento no es admisible dentro de este capítulo, aunque llegará a ser matemáticamente válido más adelante. Indica cuál es la dependencia correcta en este capítulo.

Nivel E — Contraejemplos y fronteras de los teoremas

Ejercicio 1.28  

Ejercicio E1. Cuatro comportamientos con la misma frontera superior. Construye cuatro subconjuntos no vacíos y acotados de \(\mathbb R\), todos con supremo \(1\), que presenten respectivamente estos comportamientos:

1. tienen máximo y mínimo;
2. no tienen máximo, pero sí mínimo;
3. tienen máximo, pero no mínimo;
4. no tienen ni máximo ni mínimo.

Justifica cada elección.

Ejercicio 1.29  

Ejercicio E2. El mismo supremo con comportamientos inferiores opuestos. Encuentra dos conjuntos \(A,B\subseteq\mathbb R\) tales que

\[ \sup A=\sup B=0, \]

pero \(A\) esté acotado inferiormente y \(B\) no. Determina además si existe \(\inf A\) y explica por qué \(B\) no posee ínfimo real.

Ejercicio 1.30  

Ejercicio E3. La división por cero no es una simplificación pendiente. Un estudiante escribe

\[ 0x=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac00 \quad\Longrightarrow\quad x=1, \]

invocando informalmente la regla \(a/a=1\).

Refuta el argumento de dos maneras complementarias:

1. demuestra que la ecuación \(0x=0\) tiene todos los elementos del cuerpo como soluciones;
2. explica desde la definición de división por qué \(0/0\) no está definido y por qué la identidad \(a/a=1\) exige \(a\ne0\).

Identifica exactamente el primer paso ilegítimo de la cadena.

Ejercicio 1.31  

Ejercicio E4. Cerrados y cada vez más pequeños, pero no encajados. Construye una familia de intervalos cerrados y no vacíos \(I_n\) tal que

1. sus longitudes puedan hacerse menores que cualquier \(\varepsilon>0\);
2. \(\bigcap_n I_n=\varnothing\);
3. la razón del fracaso sea exactamente que la familia no es encajada.

Explica por qué esto no contradice el principio de intervalos encajados.

Ejercicio 1.32  

Ejercicio E5. Transportar el hueco racional. Sea

\[ S_{\mathbb Q}=\{q\in\mathbb Q:q\ge0,\ q^2<2\} \]

y define

\[ T=\{2q+1:q\in S_{\mathbb Q}\}\subseteq\mathbb Q. \]

1. Demuestra que \(T\) es no vacío y está acotado superiormente en \(\mathbb Q\).
2. Demuestra que \(T\) no tiene supremo racional.

La segunda parte debe reducir un supuesto \(\sup_{\mathbb Q}T\) a un supuesto supremo racional de \(S_{\mathbb Q}\).

Nivel F — Descubrimiento guiado

Ejercicio 1.33  

Ejercicio F1. Redescubrir el supremo de una traslación. Sea \(A\subseteq\mathbb R\) no vacío y acotado superiormente, sea

\[ s=\sup A, \]

y fija \(c\in\mathbb R\). Define

\[ A+c=\{a+c:a\in A\}. \]

Utiliza la caracterización aproximativa del supremo —no una fórmula previamente memorizada— para demostrar

\[ \boxed{\sup(A+c)=s+c}. \]

Ejercicio 1.34  

Ejercicio F2. Una sola elección para muchas exigencias. Sean

\[ M_1,\dots,M_r\in\mathbb R \]

y

\[ \varepsilon_1,\dots,\varepsilon_s>0, \]

con \(r,s\ge1\). Demuestra que existe un único natural elegido una sola vez, \(n\in\mathbb N_{>0}\), que satisface simultáneamente

\[ n>M_i\quad(i=1,\dots,r) \]

y

\[ \frac1n<\varepsilon_j\quad(j=1,\dots,s). \]

Ejercicio 1.35  

Ejercicio F3. Densidad racional con control del denominador. Sean \(a<b\) y \(N\in\mathbb N_{>0}\). Demuestra que existen \(m\in\mathbb Z\) y \(n\in\mathbb N_{>0}\) tales que

\[ n>N \]

y

\[ a<\frac mn<b. \]

No basta citar densidad de \(\mathbb Q\): debes adaptar su construcción para imponer además la cota inferior sobre el denominador.

Ejercicio 1.36  

Ejercicio F4. Presupuesto de bisección sin calcular todos los puntos medios. Parte de un intervalo de longitud \(1\) que contiene a \(\sqrt7\) y aplica bisección conservando siempre una mitad que contenga la raíz.

1. Demuestra por inducción que después de \(n\) bisecciones la longitud es \(2^{-n}\).
2. Determina el menor \(n\) que garantiza una longitud estrictamente menor que \(1/100\).
3. Explica qué certificado de localización de \(\sqrt7\) proporciona esa etapa, aunque no calcules sus extremos concretos.

Ejercicio 1.37  

Ejercicio F5. Reconstruir \((-1)a=-a\) sin usar las reglas de signos. Sea \(F\) un cuerpo y \(a\in F\).

Puedes utilizar la unicidad del inverso aditivo y el resultado ya demostrado \(a0=0\), pero no las identidades \((-a)b=-(ab)\) ni \(a(-b)=-(ab)\).

1. Demuestra que \((-1)a\) es un inverso aditivo de \(a\).
2. Concluye que \[ (-1)a=-a. \]
3. Particulariza el resultado para deducir \[ (-1)(-1)=1. \]

Identifica dónde intervienen distributividad, conmutatividad y unicidad.

Nivel G — Síntesis y desafío

Ejercicio 1.38  

Ejercicio G1. Supremo de una suma de conjuntos. Sean \(A,B\subseteq\mathbb R\) no vacíos y acotados superiormente. Define

\[ A+B=\{a+b:a\in A,\ b\in B\}. \]

Demuestra que

\[ \boxed{\sup(A+B)=\sup A+\sup B.} \]

Ejercicio 1.39  

Ejercicio G2. Una propiedad de corte obtenida de completitud. Sean \(L,U\subseteq\mathbb R\) no vacíos, disjuntos, con

\[ L\cup U=\mathbb R, \]

y supón que

\[ \ell<u \qquad \text{para todo }\ell\in L,\ u\in U. \]

1. Demuestra que \(L\) está acotado superiormente.
2. Sea \(c=\sup L\). Demuestra que \[ \ell\le c\le u \] para todo \(\ell\in L\) y \(u\in U\).
3. Como \(c\in L\cup U\), demuestra que ocurre exactamente una de estas dos posibilidades: \(c=\max L\) o \(c=\min U\).

Esta es una forma elemental de propiedad de corte de la recta real.

Ejercicio 1.40  

Ejercicio G3. Construir una raíz cúbica sin continuidad. Sea \(a>0\) y define

\[ S=\{x\in\mathbb R:x\ge0,\ x^3<a\}. \]

1. Demuestra que \(S\) es no vacío y está acotado superiormente.
2. Define \(\alpha=\sup S\).
3. Demuestra, mediante perturbaciones algebraicas explícitas, que ni \(\alpha^3<a\) ni \(\alpha^3>a\) son posibles.
4. Concluye que existe un único \(\alpha>0\) tal que \(\alpha^3=a\).

No utilices continuidad ni el teorema del valor intermedio.

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