Capítulo 1 — ¿Qué significa afirmar algo en matemática?
Durante muchos años puede estudiarse matemática sin detenerse a preguntar qué clase de cosas son las frases que escribimos. Calculamos
\[ 2+3=5, \]
resolvemos ecuaciones como
\[ x+3=5, \]
y aprendemos reglas que empiezan con expresiones del tipo «si \(x>0\)» o «para todo número real \(x\)». Mientras el objetivo principal es calcular, esas diferencias parecen secundarias. Sabemos más o menos qué hay que hacer y seguimos adelante.
Pero en cuanto una demostración entra en escena, esa tolerancia deja de ser suficiente.
Una prueba no consiste simplemente en encadenar símbolos correctos. Consiste en establecer que una afirmación se sigue de ciertas condiciones mediante pasos cuyo significado pueda ser revisado por otra persona. Para eso necesitamos aprender a distinguir cosas que en la práctica escolar suelen aparecer mezcladas: una expresión, una afirmación, una frase que depende de una variable, una definición, una hipótesis temporal y una conclusión.
La primera pregunta de este libro será, por tanto,
\[ \boxed{\text{¿qué significa afirmar algo en matemática?}} \]
No comenzaremos con una lista completa de símbolos lógicos. Antes de aprender a manipularlos necesitamos comprender qué pretenden registrar.
1.1. Los símbolos no hablan por sí solos
Comparemos cuatro cadenas:
\[ 2+3, \]
\[ 2+3=5, \]
\[ x+3=5, \]
y la frase
Sea \(n\) un entero par.
Se parecen porque todas pertenecen al lenguaje matemático. Sin embargo, no cumplen la misma función.
La primera,
\[ 2+3, \]
es una expresión. Podemos evaluarla y obtener \(5\), pero la expresión no afirma por sí sola que algo sea verdadero o falso. Del mismo modo,
\[ x^2+1 \]
es una expresión: una vez fijado el valor de \(x\), determina un valor, pero no formula todavía una afirmación.
La segunda cadena,
\[ 2+3=5, \]
sí afirma algo. Bajo la interpretación usual de los números naturales y de los símbolos \(+\) y \(=\), la afirmación es verdadera.
La tercera,
\[ x+3=5, \]
ocupa una posición intermedia. Parece una afirmación, pero su verdad depende de qué sea \(x\). Si \(x=2\), resulta verdadera; si \(x=4\), resulta falsa. Mientras no fijemos, asignemos o cuantifiquemos \(x\), la variable permanece libre.
La cuarta frase tampoco pretende describir un hecho consumado. «Sea \(n\) un entero par» introduce un objeto del que hablaremos a continuación y fija una condición bajo la cual continuará el argumento.
Estas diferencias son pequeñas en apariencia, pero gobiernan la arquitectura de las pruebas.
Expresiones y afirmaciones
Llamaremos expresión matemática a una combinación bien formada de símbolos que, dentro de una interpretación fijada, denota o representa un objeto matemático. Por ejemplo,
\[ 3, \qquad 2+5, \qquad x^2-1, \qquad A\cap B \]
son expresiones en contextos adecuados.
Llamaremos proposición a un enunciado declarativo interpretado para el que se ha fijado un contexto suficiente para determinar un valor de verdad. Ese contexto incluye los significados de los símbolos y, cuando corresponda, los valores de las variables o su cuantificación. No confundiremos la posibilidad de determinar su valor de verdad con el hecho de conocer ya cuál es.
Esta elección terminológica debe manejarse con cuidado. Distintos libros usan «enunciado», «sentencia», «fórmula» y «proposición» con convenciones ligeramente distintas. En este tratado adoptaremos la siguiente convención de trabajo:
- enunciado será el término amplio para una formulación declarativa matemática;
- un enunciado interpretado y cerrado —sin variables libres pendientes de asignación en el contexto— que afirma algo susceptible de ser verdadero o falso será una proposición;
- un enunciado que todavía contiene variables libres será una fórmula abierta; cuando queremos destacar que expresa una propiedad de esas variables, hablaremos también de predicado.
Así,
\[ x+3=5 \]
no será tratado todavía como una proposición mientras \(x\) permanezca libre. En cambio,
\[ \exists x\in\mathbb R\;(x+3=5) \]
sí es una proposición. El discurso «sea \(x\) un real» fija el dominio de \(x\), pero no le asigna automáticamente un valor particular: las afirmaciones posteriores se leerán bajo ese contexto. Al aislar \(x+3=5\) del discurso, sigue siendo una fórmula abierta. La diferencia entre una frase aislada y su uso en una demostración merece atención.
Esta convención no pretende imponer una terminología universal. Su función es mantener una distinción estable a lo largo del libro: algunas cadenas denotan objetos, otras expresan propiedades todavía abiertas y otras afirman algo ya cerrado.
Ante una línea matemática, pregúntate primero:
¿Esta línea nombra o construye un objeto, o está diciendo que algo es el caso?
Esa pregunta elemental evita muchos errores posteriores.
1.2. Una proposición necesita una interpretación
Consideremos
\[ 1+1=2. \]
Solemos decir que es verdadera sin añadir nada. Y en la práctica ordinaria está bien hacerlo: suponemos la aritmética usual. Pero la verdad no está adherida físicamente a los signos impresos. Necesitamos saber qué representan \(1\), \(2\), \(+\) y \(=\).
La interpretación no fija sólo qué objetos representan los símbolos individuales. También fija las operaciones y relaciones. El signo \(+\) puede representar suma de enteros, suma de vectores o suma de funciones; el mismo dibujo tipográfico puede desempeñar papeles distintos en estructuras distintas. Por eso leer una fórmula no consiste únicamente en reconocer sus caracteres: consiste en saber qué estructura les da significado.
Esta observación puede parecer filosófica, pero pronto se vuelve técnica. Consideremos ahora:
Todo elemento no nulo tiene inverso multiplicativo.
¿Es verdadera?
No podemos responder todavía. Si el dominio es \(\mathbb Z\), la afirmación es falsa: \(2\) es un entero no nulo y no existe \(m\in\mathbb Z\) tal que
\[ 2m=1. \]
Si el dominio es \(\mathbb Q\), la afirmación es verdadera: para todo racional \(q\ne0\), el racional \(1/q\) satisface
\[ q\cdot \frac1q=1. \]
La frase no cambió. Cambió el universo en el que la interpretamos.
Dominio
El dominio especifica qué objetos pueden ocupar las variables o entrar en una afirmación. A veces se escribe explícitamente:
\[ \forall x\in\mathbb R, \]
pero otras veces queda implícito en el contexto. Una parte importante de aprender a leer matemática consiste en recuperar esos datos implícitos sin inventarlos.
El dominio no es un detalle tipográfico. Puede cambiar el valor de verdad de una proposición, el sentido de una definición e incluso la legitimidad de una expresión.
Por ejemplo,
\[ x^2\ge 0 \]
es una fórmula abierta natural cuando \(x\in\mathbb R\) y \(\ge\) representa el orden usual. La proposición universal correspondiente es \(\forall x\in\mathbb R,\;x^2\ge0\). No debemos trasladar esa escritura mecánicamente a \(\mathbb C\): allí no estamos trabajando con ese mismo orden.
En matemática elemental muchas hipótesis permanecen invisibles porque todos conocen el escenario. En matemática avanzada los escenarios se multiplican. Una misma palabra —«inverso», «positivo», «continuo», «cerrado»— puede depender de la estructura en la que estamos trabajando.
Leer bien significa aprender a preguntar ¿en qué mundo es verdadera esta frase?
1.3. Variables libres: una frase todavía incompleta
Volvamos a
\[ x^2=4. \]
¿Es verdadera o falsa?
La respuesta correcta, tal como está escrita, es que todavía no tenemos una proposición cerrada: \(x\) permanece libre.
Podemos convertirla en una proposición de varias maneras.
Asignando un valor:
\[ 2^2=4. \]
Cuantificando existencialmente:
\[ \exists x\in\mathbb R\;(x^2=4). \]
O cuantificando universalmente:
\[ \forall x\in\mathbb R\;(x^2=4). \]
Las tres frases se construyen a partir del mismo núcleo \(x^2=4\), pero dicen cosas diferentes. La primera es verdadera, la segunda también y la tercera es falsa.
Esto muestra que una variable no es simplemente un espacio vacío donde «podemos poner cualquier número». Su estatus lógico importa. Una variable puede estar libre, puede haber recibido un valor, puede quedar ligada por un cuantificador o puede haber sido introducida bajo una hipótesis.
En el capítulo 3 estudiaremos esta arquitectura con precisión. Por ahora basta una regla de lectura:
\[ \boxed{\text{si una variable aparece, pregunta quién la controla.}} \]
1.4. Cuatro preguntas que no debemos confundir
Hasta aquí ya podemos separar cuatro preguntas que en la práctica suelen mezclarse:
¿Está bien formada esta escritura?
Es una pregunta acerca de la forma: si los símbolos están combinados de acuerdo con las reglas del lenguaje que estamos usando.¿Qué significa?
Es una pregunta de interpretación: qué representan los símbolos, cuál es el dominio y qué operaciones o relaciones están en juego.¿Es verdadera?
Es una pregunta acerca del valor de verdad de una proposición ya interpretada.¿Por qué es verdadera?
Es una pregunta de justificación: qué definiciones, hipótesis y resultados permiten establecerla.
Consideremos, por ejemplo,
\[ \forall x\in\mathbb R,\qquad x^2+1>0. \]
La fórmula está bien formada; su interpretación usual fija el dominio \(\mathbb R\), la multiplicación, la suma y el orden; la proposición es verdadera; y todavía queda una cuarta tarea: justificarla. Una posible razón es que \(x^2\ge0\) para todo real \(x\), de modo que
\[ x^2+1\ge1>0. \]
Estas cuatro preguntas pertenecen a niveles diferentes. Una demostración puede estar escrita con símbolos perfectamente bien formados y, sin embargo, apoyarse en una interpretación equivocada. Una proposición puede ser verdadera, pero el argumento ofrecido para justificarla puede ser inválido. Y una expresión puede tener un significado perfectamente claro sin afirmar nada que pueda ser verdadero o falso.
Cuando una línea matemática produzca confusión, no preguntes solamente «¿la entiendo?». Descompón el problema:
forma → interpretación → verdad → justificación
Gran parte de la madurez matemática consiste en saber en cuál de estos niveles se encuentra la dificultad.
1.5. Verdad y demostración no son la misma cosa
Supongamos que queremos saber si \(91\) es primo.
Podemos ensayar divisiones y descubrir que
\[ 91=7\cdot13. \]
Por tanto, la proposición
\(91\) es primo
es falsa.
Ahora consideremos
\(97\) es primo.
En este caso aritmético elemental, una vez fijada la interpretación usual, la proposición tiene un valor de verdad independientemente de que nosotros hayamos terminado o no la verificación. Nuestra ignorancia momentánea no altera aquello que la frase afirma. Lo que cambia es nuestro estado de conocimiento y la justificación de la que disponemos.
Más adelante encontraremos situaciones fundacionales más sutiles en las que convendrá distinguir cuidadosamente verdad en una estructura, demostrabilidad desde un sistema de axiomas y conocimiento efectivo de una prueba. No necesitamos todavía esa teoría; basta con no identificar automáticamente estos conceptos.
Esta distinción es crucial:
- la verdad pertenece a aquello que la proposición afirma dentro del contexto matemático fijado;
- una demostración es una justificación que establece esa afirmación a partir de definiciones, hipótesis y resultados admitidos.
No definiremos todavía formalmente qué cuenta como demostración. Lo haremos progresivamente. Pero ya podemos descartar dos confusiones frecuentes.
Primera confusión: «lo comprobé en muchos ejemplos, entonces es verdadero»
Comprobar ejemplos puede sugerir una conjetura. No establece una afirmación universal.
Por ejemplo, para \(n=1,2,3,4,5\) podemos verificar que
\[ n^2+n \]
es par. Cinco casos positivos no demuestran todavía que esto ocurra para todo entero positivo.
La afirmación general requiere un argumento que abarque todos los casos. En este ejemplo existe uno muy breve:
\[ n^2+n=n(n+1). \]
Los enteros \(n\) y \(n+1\) son consecutivos, así que uno de ellos es par; por tanto, su producto es par.
El salto conceptual es importante. La prueba no consiste en revisar más valores de \(n\), sino en encontrar una razón que abarque cualquier \(n\) del dominio.
Segunda confusión: «si es verdadero, debería ser evidente»
Tampoco. Una afirmación puede ser verdadera y requerir una idea profunda para demostrarla. La facilidad con la que reconocemos una verdad no forma parte de su contenido matemático.
1.6. Definir no es afirmar un nuevo teorema
Comparemos:
Un entero \(n\) es par si existe \(k\in\mathbb Z\) tal que \(n=2k\).
con
\(6\) es par.
La primera frase fija el significado que utilizaremos para una palabra. La segunda usa ese significado para afirmar algo acerca de un objeto particular.
Para verificar la segunda, desplegamos la definición. Necesitamos exhibir un entero \(k\) con
\[ 6=2k. \]
Podemos elegir \(k=3\).
Este pequeño ejemplo contiene un mecanismo que aparecerá miles de veces en matemática avanzada:
\[ \boxed{\text{definición} \longrightarrow \text{condición verificable}.} \]
Más adelante, cuando una prueba diga «como \(f\) es continua», «como \(G\) es un grupo» o «como \(A\) es compacto», una de las primeras preguntas estratégicas será: ¿qué me permite escribir exactamente esa definición?
Las definiciones no son adornos introductorios que olvidamos después de leerlas. Son instrumentos de trabajo.
1.7. Negar una afirmación sin deformarla
Si
\(n\) es par
es una proposición en un contexto determinado, su negación es simplemente
\(n\) no es par.
¿Podemos sustituirla por «\(n\) es impar»?
Si sabemos que \(n\in\mathbb Z\) y usamos las definiciones usuales, sí: todo entero es par o impar, y no ambas cosas a la vez.
Pero observa lo que ocurrió. Para pasar de «no par» a «impar» utilizamos información adicional sobre el dominio y una propiedad de los enteros. La negación lógica por sí sola no inventa esa información.
Esta disciplina será especialmente importante cuando aparezcan cuantificadores. Negar una proposición no consiste en escribir una frase que suene contraria; consiste en construir exactamente las condiciones bajo las cuales la proposición original falla.
1.8. Afirmaciones compuestas
Las proposiciones pueden combinarse. Si \(P\) y \(Q\) representan proposiciones, podemos formar, entre otras,
- «\(P\) y \(Q\)»;
- «\(P\) o \(Q\)»;
- «no \(P\)»;
- «si \(P\), entonces \(Q\)»;
- «\(P\) si y sólo si \(Q\)».
Estas construcciones se denominan conectivos lógicos. En los capítulos siguientes estudiaremos con más cuidado qué significan y cómo gobiernan la forma de una prueba.
Por ahora nos interesa una idea previa: cuando combinamos proposiciones, el valor de verdad de la expresión compuesta depende de los valores de verdad de sus componentes y del significado del conectivo.
Por ejemplo, si
\[ P:\quad 8\text{ es par} \]
y
\[ Q:\quad 8\text{ es primo}, \]
entonces \(P\) es verdadera y \(Q\) es falsa. Por tanto,
\(P\) y \(Q\)
es falsa, mientras que
\(P\) o \(Q\)
es verdadera si usamos el «o» inclusivo habitual de la lógica matemática.
Las tablas de verdad sistematizan este tipo de análisis. Serán útiles, pero no deben confundirse con el razonamiento matemático completo. Una tabla de verdad puede analizar una forma proposicional finita; no sustituye una demostración acerca del contenido matemático que aparece dentro de sus componentes.
1.9. Lo explícito y lo implícito
Tomemos la frase
La ecuación \(x^2=1\) tiene exactamente dos soluciones.
Un lector puede reconocer de inmediato las soluciones \(1\) y \(-1\). Pero antes de aceptar la afirmación debe preguntar: ¿soluciones dónde?
Sobre \(\mathbb R\) la afirmación es verdadera. Sobre \(\mathbb Z\) también. Si buscamos soluciones únicamente entre los enteros positivos, sólo encontramos \(1\), de modo que resulta falsa. El problema no está en la frase como español ordinario, sino en que el discurso matemático exige controlar los objetos sobre los que cuantificamos.
Muchas demostraciones incorrectas nacen de un cambio de escenario no declarado. Se empieza con números reales, se divide por una cantidad cuya no nulidad no se justificó, se extrae una raíz con una convención no fijada o se utiliza una propiedad que pertenece a un dominio más rico.
Por eso una prueba madura mantiene un inventario silencioso:
- ¿qué objetos están en juego?;
- ¿en qué conjuntos o estructuras viven?;
- ¿qué operaciones están permitidas?;
- ¿qué propiedades ya han sido establecidas?;
- ¿qué variables están libres y cuáles han sido fijadas?;
- ¿qué se está suponiendo temporalmente?
No siempre escribiremos ese inventario completo. Pero debemos poder reconstruirlo.
1.10. Un primer laboratorio de lectura
Consideremos el siguiente argumento:
Sea \(n\) un entero. Si \(n\) es múltiplo de \(4\), entonces \(n\) es par. Como \(6\) es par, concluimos que \(6\) es múltiplo de \(4\).
Algo ha fallado.
La primera afirmación es verdadera. Si \(n=4k\), entonces
\[ n=2(2k), \]
por lo que \(n\) es par.
También es verdadera la segunda afirmación: \(6\) es par.
Y, sin embargo, la conclusión es falsa.
Este ejemplo será el punto de partida del capítulo 2. Nos obliga a separar dos preguntas:
- ¿son verdaderas las afirmaciones individuales?;
- ¿la conclusión se sigue realmente de las premisas?
La segunda pregunta introduce la noción de validez. Descubriremos que un argumento no se vuelve correcto por estar formado por frases verdaderas, del mismo modo que una frase falsa dentro de un argumento no basta por sí sola para decir que la forma inferencial es inválida.
1.11. Lista de auditoría de una afirmación
Al terminar este primer capítulo, ante una línea nueva conviene entrenar las siguientes preguntas:
- ¿Qué función cumple? ¿Es una expresión, una proposición, una definición, una hipótesis, una instrucción o una conclusión?
- ¿Qué significan sus símbolos?
- ¿Cuál es el dominio?
- ¿Hay variables libres?
- ¿Qué datos están implícitos en el contexto?
- ¿La frase tiene ya un valor de verdad determinado?
- ¿Estoy confundiendo evidencia experimental con demostración?
- ¿Estoy usando una definición como herramienta o sólo reconociendo su nombre?
Estas preguntas no son burocracia lógica. Son una forma de leer más despacio para poder razonar más rápido después.
Este capítulo no ha definido formalmente la consecuencia lógica ni la validez; tampoco ha desarrollado la teoría de cuantificadores ni la noción axiomática de estructura. Hemos preparado el vocabulario que permitirá hacerlo sin manipular símbolos a ciegas.
En particular:
- la validez será el problema del capítulo 2;
- los predicados y cuantificadores, el del capítulo 3;
- las estructuras y definiciones axiomáticas aparecerán progresivamente, con los axiomas de cuerpo como primer laboratorio sostenido en el capítulo 5.
1.12. Ejercicios
Ejercicio 1
Clasifica cada elemento como expresión, proposición, predicado con variable libre o instrucción de trabajo:
- \(3^2+4^2\);
- \(3^2+4^2=5^2\);
- \(x^2+1=0\);
- «Sea \(x\in\mathbb R\) con \(x>0\)»;
- «Todo cuadrado de un número real es no negativo».
Ejercicio 2
Explica por qué «todo elemento no nulo tiene inverso multiplicativo» es falsa en \(\mathbb Z\) y verdadera en \(\mathbb Q\).
Ejercicio 3
Convierte \(x^2=4\) en tres proposiciones distintas: una mediante asignación y dos mediante cuantificadores. Determina sus valores de verdad sobre \(\mathbb R\).
Ejercicio 4
Un estudiante verifica que \(n^2+n\) es par para diez valores consecutivos de \(n\) y afirma que ya ha demostrado el caso general. Explica el error y proporciona una demostración válida.
Ejercicio 5
Niega «\(n\) es par». Explica qué hipótesis permite reemplazar esa negación por «\(n\) es impar».
Ejercicio 6
Analiza qué información falta para interpretar correctamente \(x^2\ge0\). Formula a continuación una proposición universal verdadera que utilice esa misma desigualdad.
Ejercicio 7
Distingue la función de estas dos frases:
- «Un entero \(n\) es par si existe \(k\in\mathbb Z\) tal que \(n=2k\)».
- «\(18\) es par».
Después justifica la segunda usando la primera.
Ejercicio 8
Un compañero dice: «Si todas las premisas de un argumento son verdaderas, entonces la conclusión debe ser verdadera». El argumento sobre \(6\) al final de §1.10 muestra que esta frase necesita una condición adicional. ¿Cuál crees que será esa condición? Formula tu respuesta antes de leer el capítulo 2.
Ejercicio 9
Clasifica cada caso usando la convención terminológica del capítulo: expresión, fórmula abierta/predicado, proposición o instrucción/definición. Justifica cada decisión.
- \(x^2+1\);
- \(x^2+1=0\);
- \(\exists x\in\mathbb R\;(x^2+1=0)\);
- «Definimos \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) mediante \(f(x)=x^2+1\)»;
- «Para todo \(x\in\mathbb R\), \(x^2+1>0\)».
Ejercicio 10
Para la escritura
\[ \frac1x>0, \]
separa las cuatro preguntas de §1.4: forma, interpretación, verdad y justificación. Explica por qué no puede responderse simplemente «es verdadera» o «es falsa» mientras no se complete el contexto.
Ejercicio 11
Un estudiante observa que
\[ 2^2,\qquad4^2,\qquad6^2 \]
son pares y concluye: «el cuadrado de todo entero es par». Encuentra un contraejemplo y formula una afirmación cercana que sí sea verdadera. Demuéstrala desplegando la definición de número par.
Ejercicio 12
Considera la cadena
\[ a+b=b+a. \]
Explica qué información debe fijarse antes de tratarla como una proposición. Luego conviértela en una proposición verdadera sobre \(\mathbb Z\). Para comprobar que no basta especificar el conjunto, define otra operación sobre \(\mathbb Z\) mediante \(a\star b=a\) para cualesquiera \(a,b\in\mathbb Z\): ¿es verdad que \(a\star b=b\star a\) para todos los enteros?
1.13. Soluciones desarrolladas
Solución del ejercicio 1
- \(3^2+4^2\) es una expresión: denota un número.
- \(3^2+4^2=5^2\) es una proposición y es verdadera bajo la aritmética usual.
- \(x^2+1=0\) contiene una variable libre. Su verdad depende del valor y del dominio asignados a \(x\).
- «Sea \(x\in\mathbb R\) con \(x>0\)» funciona como instrucción: introduce un objeto y una hipótesis para el razonamiento posterior; no afirma por sí sola un teorema.
- Es una proposición universal expresada en lenguaje natural; su dominio está explícitamente fijado en los números reales.
Solución del ejercicio 2
En \(\mathbb Z\), toma el elemento \(2\). Si tuviera inverso multiplicativo entero, existiría \(m\in\mathbb Z\) tal que \(2m=1\), lo que es imposible. Por tanto, la afirmación es falsa en \(\mathbb Z\).
En \(\mathbb Q\), sea \(q\ne0\). Entonces \(1/q\in\mathbb Q\) y
\[ q\left(\frac1q\right)=1. \]
Así, todo racional no nulo posee inverso multiplicativo racional.
Solución del ejercicio 3
Una asignación posible es
\[ 2^2=4, \]
que es verdadera. Las cuantificaciones pueden ser
\[ \exists x\in\mathbb R\;(x^2=4), \]
verdadera, y
\[ \forall x\in\mathbb R\;(x^2=4), \]
falsa. El mismo núcleo con variable libre produce afirmaciones distintas cuando cambia la forma de cerrar la variable.
Solución del ejercicio 4
Diez casos sólo muestran que la fórmula funciona en esos diez casos. Para demostrar la afirmación universal, sea \(n\in\mathbb Z\). Entonces
\[ n^2+n=n(n+1). \]
Los enteros consecutivos \(n\) y \(n+1\) no pueden ser ambos impares; uno de ellos es par. Por consiguiente, el producto \(n(n+1)\) es par. Como \(n\) era arbitrario, \(n^2+n\) es par para todo entero \(n\).
Solución del ejercicio 5
La negación estricta es «\(n\) no es par». Si además sabemos que \(n\in\mathbb Z\) y usamos la dicotomía usual de los enteros entre pares e impares, podemos concluir equivalentemente que \(n\) es impar.
Solución del ejercicio 6
Necesitamos especificar al menos el dominio de \(x\) y el significado de la relación \(\ge\). Incluso después de fijar \(x\in\mathbb R\) y el orden usual, la cadena aislada \(x^2\ge0\) conserva una variable libre: es una fórmula abierta, no una proposición cerrada. Una proposición universal verdadera se obtiene al escribir \(\forall x\in\mathbb R,\;x^2\ge0\). En efecto, el cuadrado de un real es no negativo en el orden usual. No debemos suponer que la misma notación tiene automáticamente el mismo sentido en cualquier estructura.
Solución del ejercicio 7
La primera frase es una definición: fija qué significa «par» para enteros. La segunda es una proposición. Para justificarla, basta exhibir un entero \(k\) tal que
\[ 18=2k. \]
Tomando \(k=9\), obtenemos \(18=2\cdot9\), por lo que \(18\) es par.
Solución del ejercicio 8
La condición que falta es que la conclusión se siga válidamente de las premisas. No basta con que las premisas sean verdaderas de hecho. El capítulo siguiente convertirá esta intuición en una noción precisa de argumento y validez.
Solución del ejercicio 9
- \(x^2+1\) es una expresión: representa un objeto una vez interpretados \(x\), la multiplicación y la suma.
- \(x^2+1=0\) es una fórmula abierta o un predicado en la variable \(x\): tiene forma declarativa, pero \(x\) sigue libre.
- \(\exists x\in\mathbb R\;(x^2+1=0)\) es una proposición: la variable está ligada y el dominio está fijado. Sobre \(\mathbb R\) es falsa.
- «Definimos \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) mediante \(f(x)=x^2+1\)» funciona como una instrucción definitoria: especifica dominio, codominio y regla; no es un nuevo teorema.
- «Para todo \(x\in\mathbb R\), \(x^2+1>0\)» es una proposición universal y es verdadera.
La distinción decisiva entre (2) y (3) no está en la ecuación interior, que es la misma, sino en el estatus de la variable.
Solución del ejercicio 10
La escritura \(1/x>0\) puede analizarse así:
- Forma: la cadena tiene la forma sintáctica de una desigualdad construida con división; escribirla no garantiza por sí solo que todos sus términos estén definidos bajo cualquier asignación.
- Interpretación: debemos fijar qué objetos puede tomar \(x\), qué significa la división y qué relación representa \(>\). Además, \(x=0\) debe excluirse para que \(1/x\) esté definido en los contextos numéricos usuales.
- Verdad: mientras \(x\) permanezca libre, no tenemos todavía una proposición única. Sobre \(\mathbb R\), por ejemplo, la fórmula es verdadera para \(x>0\) y falsa para \(x<0\).
- Justificación: sólo después de cerrar la variable —por asignación, hipótesis o cuantificación— tiene sentido pedir una demostración de la proposición resultante.
El ejercicio muestra que una pregunta de verdad puede estar mal planteada porque faltan pasos previos de interpretación y cierre de variables.
Solución del ejercicio 11
La afirmación universal propuesta es falsa. Basta el contraejemplo
\[ 3^2=9, \]
que es impar. Una afirmación cercana y verdadera es:
El cuadrado de todo entero par es par.
Sea \(n\) un entero par. Por definición existe \(k\in\mathbb Z\) tal que \(n=2k\). Entonces
\[ n^2=(2k)^2=4k^2=2(2k^2). \]
Como \(2k^2\in\mathbb Z\), la definición de par implica que \(n^2\) es par. Aquí el paso esencial fue sustituir una colección de ejemplos por una razón que utiliza la definición y vale para un entero par arbitrario.
Solución del ejercicio 12
Tal como aparece, \(a+b=b+a\) contiene variables libres. Además necesitamos saber en qué dominio viven \(a\) y \(b\) y qué operación representa \(+\). Una forma de cerrarla como proposición es
\[ \forall a,b\in\mathbb Z,\qquad a+b=b+a, \]
con \(+\) interpretado como la suma usual de enteros. Esta proposición es verdadera.
La cadena original ocultaba, al menos, tres datos: el dominio, la interpretación de la operación y la cuantificación universal de las variables. La notación familiar hacía que esos datos parecieran innecesarios, pero estaban trabajando silenciosamente.
Para comprobar que la operación importa, definamos \(a\star b=a\) en \(\mathbb Z\). Si \(a=1\) y \(b=2\), entonces \(a\star b=1\), mientras que \(b\star a=2\). Por tanto, \(a\star b=b\star a\) no vale para todos los enteros. Haber conservado el dominio no fue suficiente: cambió la operación.
Hacia la validez
Ya podemos distinguir una expresión de una afirmación, reconocer el papel del dominio, detectar variables libres y separar una definición de una proposición. También hemos visto que la verdad de frases individuales no basta para garantizar que un razonamiento sea correcto.
La pregunta siguiente es inevitable:
\[ \boxed{\text{¿cuándo una conclusión se sigue realmente de las hipótesis?}} \]
Ése será el problema del capítulo 2.