Capítulo 2 — ¿Cuándo una conclusión se sigue realmente de las hipótesis?

Fundamentos para matemáticos: capítulo 2, con ejercicios y soluciones desarrolladas.

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En el capítulo anterior aprendimos a distinguir lo que una expresión representa de lo que un enunciado afirma. También vimos que una afirmación puede ser verdadera y, sin embargo, estar acompañada por una justificación incorrecta. Éste es el problema que debemos resolver ahora: no basta examinar una por una las frases de un argumento. Tenemos que estudiar la relación que permite pasar de unas a otra.

Supongamos que un estudiante escribe:

Todo múltiplo de \(4\) es par. El número \(6\) es par. Por tanto, \(6\) es múltiplo de \(4\).

No ha escrito una frase sin sentido. La primera premisa es verdadera; la segunda también. Ha cometido un error más interesante: las premisas no autorizan la conclusión. Para comprender por qué, necesitamos distinguir el contenido particular de las frases y la estructura del razonamiento.

La pregunta rectora del capítulo será

\[ \boxed{\text{¿cuándo una conclusión se sigue realmente de las hipótesis?}} \]

2.1. La verdad de las frases no basta

Definamos provisionalmente dos enunciados sobre un entero particular \(n\):

\[ P:\quad n\text{ es múltiplo de }4,\qquad Q:\quad n\text{ es par}. \]

Una vez fijado \(n\), podemos examinar sus valores de verdad. La primera premisa del argumento dice «si \(P\), entonces \(Q\)»; la segunda afirma \(Q\); la conclusión pretende afirmar \(P\). Su forma es

\[ \begin{array}{l} P\to Q,\\ Q,\\ \hline P. \end{array} \]

El símbolo \(\to\) de este esquema representa aquí el condicional que aparece dentro de una premisa, y la raya horizontal separa las premisas de la conclusión. Más adelante distinguiremos expresamente ese condicional de la relación «se sigue de».

Tomemos \(n=6\). Entonces \(P\) es falsa y \(Q\) es verdadera. La premisa condicional sigue siendo verdadera: afirma que ser múltiplo de \(4\) basta para ser par; no afirma que el \(6\) sea múltiplo de \(4\). Por tanto, tenemos premisas verdaderas y conclusión falsa.

Podríamos cambiar el ejemplo y tomar \(n=8\). En ese caso ambas premisas y la conclusión serían verdaderas. ¿Habremos reparado la inferencia? No. Su conclusión acertaría en ese caso, pero el procedimiento usado para obtenerla sería el mismo. Una inferencia no queda justificada por acertar ocasionalmente.

El contraste entre \(6\) y \(8\) deja una primera lección: la verdad efectiva de la conclusión y la corrección del camino que conduce a ella son dos cuestiones distintas.

2.2. Argumento, premisas y conclusión

Un argumento consta de premisas y de una conclusión que se propone obtener a partir de ellas. Por ahora trabajaremos con listas finitas de premisas formuladas mediante proposiciones \(P,Q,R,\ldots\) y conectivos, no de la formalización completa de predicados y cuantificadores.

Podemos representar un argumento de dos premisas mediante

\[ \begin{array}{l} P_1,\\ P_2,\\ \hline C. \end{array} \]

Las letras no indican, por sí solas, que las premisas sean verdaderas ni que la conclusión sea falsa o verdadera. Representan lugares que pueden ser ocupados por proposiciones. Lo que queremos saber es si existe alguna combinación admisible de valores de verdad en la que las premisas sean todas verdaderas y la conclusión sea falsa.

ImportanteValidez proposicional

Un argumento proposicional es válido si no existe ninguna asignación de valores de verdad a sus proposiciones componentes que haga verdaderas todas las premisas y falsa la conclusión.

Equivalente: en toda asignación que hace verdaderas las premisas, también es verdadera la conclusión.

Esta definición no dice que las premisas sean efectivamente verdaderas. Dice que no podemos conservarlas todas como verdaderas y negar la conclusión al mismo tiempo. Por eso una prueba de validez estudia posibilidades, no sólo lo que sucede en el ejemplo elegido.

Consideremos ahora la forma

\[ \begin{array}{l} P\to Q,\\ P,\\ \hline Q. \end{array} \]

Si ambas premisas son verdaderas, \(P\) es verdadera; como el condicional \(P\to Q\) también lo es, \(Q\) no puede ser falsa. Ésta es una inferencia válida, tradicionalmente llamada modus ponens.

Para contrastarla con el argumento de los múltiplos de \(4\), basta examinar el siguiente caso:

\(P\)	\(Q\)	\(P\to Q\)	Premisas \(P\to Q\) y \(Q\)	Conclusión \(P\)
F	V	V	V y V	F

La fila muestra que la forma del argumento inicial no es válida. No necesitamos revisar infinitos ejemplos: una sola asignación con premisas verdaderas y conclusión falsa refuta la supuesta validez.

NotaQué cuenta como contraejemplo

Cuando queremos refutar una afirmación matemática universal, buscamos un objeto del dominio que no cumpla la propiedad. Cuando queremos refutar la validez de una forma proposicional, buscamos una asignación de valores que haga verdaderas todas sus premisas y falsa su conclusión. Ambos procedimientos comparten una idea, pero sus objetos de prueba no son idénticos.

2.3. El condicional no es la inferencia

Conviene detenerse en dos escrituras que suelen confundirse. Una es la proposición condicional

\[ P\to Q. \]

La otra es el juicio de consecuencia

\[ P\models Q. \]

En el primer caso construimos una proposición a partir de \(P\) y \(Q\): «si \(P\), entonces \(Q\)». En el segundo afirmamos, desde nuestro discurso sobre el argumento, que toda asignación que hace verdadera \(P\) también hace verdadera \(Q\). El signo \(\models\) no es un conectivo dentro de la misma proposición: expresa una relación semántica entre premisas y conclusión.

En lógica proposicional clásica, \(P\to Q\) es falsa precisamente cuando \(P\) es verdadera y \(Q\) es falsa. En las otras tres posibilidades es verdadera. Esta convención recoge una condición muy concreta: para refutar «si \(P\), entonces \(Q\)», debemos encontrar un caso en que \(P\) se cumpla y \(Q\) falle.

\(P\)	\(Q\)	\(P\to Q\)
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Que el condicional sea verdadero cuando su antecedente es falso no demuestra el antecedente ni el consecuente. Solamente significa que no se ha producido la situación que refutaría ese condicional.

Si escribimos, por ejemplo,

Si un entero es múltiplo de \(4\), entonces es par,

estamos formulando, en el lenguaje matemático ordinario, una afirmación general sobre enteros. Para analizarla con rigor debemos recordar el dominio y la cuantificación implícitos: para todo entero \(n\), si \(n\) es múltiplo de \(4\), entonces \(n\) es par. El capítulo 3 formalizará la cuantificación; aquí basta reconocer que la afirmación matemática concreta requiere algo más que la tabla de verdad de un par de letras.

Justificación matemática. Sea \(n\) un entero múltiplo de \(4\). Por definición, existe un entero \(k\) tal que \(n=4k\). Entonces

\[ n=4k=2(2k). \]

Como \(2k\) es entero, \(n\) es par. Esta prueba establece el contenido aritmético de la afirmación general; la tabla de verdad sólo explica la forma lógica del condicional utilizado en ella.

2.4. De un esquema correcto a una prueba correcta

Tenemos ahora dos niveles de control. Primero debemos verificar que el paso inferencial utilizado conserve la verdad de las premisas. Después, para demostrar un resultado matemático, debemos justificar las premisas matemáticas de las que partimos o indicar explícitamente que son hipótesis, axiomas o resultados establecidos.

Regresemos a

\[ P\to Q,\qquad P\quad\therefore\quad Q. \]

La forma es válida, pero eso no convierte automáticamente a \(Q\) en una verdad matemática establecida. Si alguien introduce como premisa un enunciado falso, puede utilizar una regla de inferencia válida y obtener una conclusión que no queda justificada a partir de verdades aceptadas.

En nuestro trabajo ordinario llamaremos argumento sólido, para este nivel introductorio, a un argumento válido cuyas premisas son verdaderas en la interpretación considerada. Cuando las premisas son hipótesis provisionales, no afirmamos que sean verdaderas de hecho: demostramos que si se cumplen, la conclusión queda garantizada. Esta última distinción permite trabajar rigurosamente con teoremas condicionales sin fingir que sus hipótesis se cumplen en todos los objetos.

Considera la diferencia entre las dos frases siguientes: «\(6\) es múltiplo de \(4\)» y «supongamos que \(n\) es múltiplo de \(4\)». La primera es una afirmación concreta falsa. La segunda abre una situación hipotética con un entero \(n\) restringido por una condición; podemos extraer consecuencias dentro de ella sin afirmar que todos los enteros satisfagan la condición. Una demostración debe indicar cuándo se abre y cuándo se cierra ese contexto.

La distinción entre validez, verdad de las premisas y verdad de la conclusión será nuestra herramienta para estudiar a continuación las recíprocas, las contrapositivas y las condiciones necesarias y suficientes. Antes de elegir una técnica de prueba, debemos saber exactamente qué afirmación necesita justificarse y qué nos autorizan a concluir las hipótesis.

2.5. Recíproca, contrapositiva y equivalencia

Hemos demostrado que todo múltiplo de \(4\) es par y hemos visto que la afirmación inversa falla para \(6\). Este ejemplo permite distinguir operaciones sobre un condicional que se parecen en el lenguaje ordinario, pero tienen comportamientos lógicos muy diferentes. Antes de intentar demostrar «si \(P\), entonces \(Q\)», necesitamos saber qué enunciado estamos leyendo y qué cambios conservan realmente su significado.

La recíproca cambia lo que se afirma

Consideremos dos proposiciones \(P\) y \(Q\). A partir del condicional

\[ P\to Q \]

podemos formar su recíproca:

\[ Q\to P. \]

La recíproca intercambia antecedente y consecuente. No es una reformulación automática de la proposición original: puede tener otro valor de verdad.

Tomemos un entero arbitrario \(n\) y escribamos, para ese entero,

\[ P(n):\quad 4\mid n,\qquad Q(n):\quad 2\mid n. \]

La notación \(d\mid n\) significa que \(n\) es múltiplo de \(d\). La afirmación original dice que, para todo entero \(n\), si \(4\mid n\), entonces \(2\mid n\). Su recíproca diría que, para todo entero \(n\), si \(2\mid n\), entonces \(4\mid n\). Esta última es falsa: \(n=6\) satisface el antecedente, pero no el consecuente. Hemos refutado la recíproca sin refutar la afirmación original.

Sin embargo, la recíproca no tiene por qué ser falsa: podría ser verdadera por razones adicionales. Lo que debemos evitar es concluirla únicamente a partir del condicional original. Una afirmación puede dar origen a una recíproca verdadera, pero su verdad requiere una comprobación o una demostración propia.

La contrapositiva conserva el valor de verdad

Otra transformación consiste en negar ambas proposiciones e intercambiar sus posiciones. Obtenemos la contrapositiva de \(P\to Q\):

\[ \neg Q\to\neg P. \]

Leída en palabras: «si no ocurre \(Q\), entonces no ocurre \(P\)». En nuestro ejemplo: «si un entero no es par, entonces no es múltiplo de \(4\)». A diferencia de la recíproca, la contrapositiva expresa una condición lógicamente equivalente al condicional original.

Proposición. En lógica proposicional clásica, los condicionales \(P\to Q\) y \(\neg Q\to\neg P\) tienen el mismo valor de verdad para toda asignación de valores a \(P\) y \(Q\).

Demostración. Basta examinar las cuatro asignaciones posibles. Incluimos la recíproca para que la diferencia sea visible:

\(P\)	\(Q\)	\(P\to Q\)	\(Q\to P\)	\(\neg Q\to\neg P\)
V	V	V	V	V
V	F	F	V	F
F	V	V	F	V
F	F	V	V	V

La tercera y la quinta columnas coinciden en las cuatro filas. Por definición de equivalencia proposicional, los dos condicionales son equivalentes. En cambio, la tercera y la cuarta columnas difieren, de modo que el condicional y su recíproca no son equivalentes en general. \(\square\)

Después de la prueba. La tabla establece una propiedad de las formas lógicas: cualquier sustitución de \(P\) y \(Q\) por proposiciones conserva la equivalencia con la contrapositiva. No establece por sí sola que una afirmación aritmética particular sea verdadera. Para ello debemos justificar su contenido matemático, como hicimos con la divisibilidad por \(4\).

La equivalencia nos proporciona una opción de trabajo. Si necesitamos demostrar \(P\to Q\), podemos intentar establecer directamente que \(P\) conduce a \(Q\), o demostrar que \(\neg Q\) conduce a \(\neg P\). El segundo camino no constituye una nueva tesis: es otra manera de demostrar la misma implicación. Volveremos sobre esta estrategia, con su forma completa de escritura, en el capítulo dedicado a los métodos de demostración.

AdvertenciaTres transformaciones que no deben confundirse

Para una implicación \(P\to Q\):

• recíproca: \(Q\to P\);
• contrapositiva: \(\neg Q\to\neg P\);
• inversa: \(\neg P\to\neg Q\).

La original equivale a su contrapositiva. La recíproca equivale a la inversa, pero ninguna de estas últimas se deduce en general de la original. En particular, negar el antecedente no autoriza a negar el consecuente.

Un ejemplo en que la contrapositiva ayuda a descubrir la prueba

Vamos a examinar la afirmación siguiente:

Si el cuadrado de un entero es par, entonces el entero es par.

Para un entero arbitrario \(n\), podemos representarla mediante

\[ n^2\text{ es par}\quad\longrightarrow\quad n\text{ es par}. \]

La hipótesis habla de \(n^2\), pero la conclusión habla de \(n\). Desplegar directamente la definición de par en la hipótesis nos daría \(n^2=2k\) para algún entero \(k\); no resulta inmediato obtener de ahí \(n=2m\). Probemos con la contrapositiva:

\[ n\text{ no es par}\quad\longrightarrow\quad n^2\text{ no es par}. \]

Como estamos trabajando con enteros y utilizamos la clasificación usual en pares e impares, esto equivale a mostrar que el cuadrado de un entero impar es impar.

Demostración. Sea \(n\) un entero impar. Entonces existe \(k\in\mathbb Z\) tal que \(n=2k+1\). Por tanto,

\[ \begin{aligned} n^2&=(2k+1)^2\\ &=4k^2+4k+1\\ &=2(2k^2+2k)+1. \end{aligned} \]

El número \(2k^2+2k\) es un entero. La expresión obtenida tiene la forma \(2m+1\), de modo que \(n^2\) es impar. Hemos probado la contrapositiva y, por su equivalencia con la implicación original, queda demostrado que si \(n^2\) es par, entonces \(n\) es par. \(\square\)

Idea de la prueba. La hipótesis original se refería a un cuadrado cuya paridad no sabíamos cómo trasladar al número de partida. Al negar la conclusión, obtuvimos una descripción explícita de ese número, \(n=2k+1\), que podía elevarse al cuadrado. La decisión de cambiar de forma no fue una maniobra simbólica arbitraria: hizo disponible una definición útil.

Después de la prueba. Hemos demostrado la implicación para un entero arbitrario; por eso el resultado vale para todos los enteros. Su validez no depende de haber probado casos particulares como \(n=2\), \(n=4\) o \(n=6\). Tampoco hemos usado el hecho de que una implicación y su recíproca sean equivalentes: no lo son en general. Usamos solamente la equivalencia con la contrapositiva.

Cuándo dos condiciones son equivalentes

Podemos preguntar ahora si también vale el sentido contrario:

Si un entero es par, entonces su cuadrado es par.

En este caso tenemos una prueba directa breve. Sea \(n=2k\) con \(k\in\mathbb Z\). Entonces

\[ n^2=(2k)^2=2(2k^2), \]

y \(2k^2\) es entero. Por tanto, \(n^2\) es par.

Junto con la implicación demostrada antes, hemos establecido ambas direcciones. Podemos reunirlas en un único teorema:

ImportanteTeorema: paridad de un cuadrado

Para todo entero \(n\),

\[ n\text{ es par}\quad\Longleftrightarrow\quad n^2\text{ es par}. \]

El símbolo \(\Longleftrightarrow\) expresa aquí una equivalencia entre las dos propiedades de un entero arbitrario. Si \(P\) y \(Q\) son proposiciones, el bicondicional \(P\leftrightarrow Q\) significa que se cumplen los dos condicionales:

\[ P\leftrightarrow Q \quad\equiv\quad (P\to Q)\land(Q\to P). \]

Así, una demostración de «\(P\) si y sólo si \(Q\)» requiere justificar los dos sentidos. A veces la segunda dirección se obtiene repitiendo un argumento con los papeles intercambiados; otras veces necesita una idea distinta. Aquí una dirección se probó mediante la definición de entero par, y la otra mediante la contrapositiva y la definición de entero impar.

Conviene contrastar este resultado con nuestra afirmación inicial. «Todo múltiplo de \(4\) es par» no admite el bicondicional correspondiente, porque \(6\) es par y no es múltiplo de \(4\). Una implicación probada es suficiente para afirmar un sentido, no para añadir el otro.

Auditoría de lectura

Al encontrar un teorema escrito con «si», «sólo si» o «si y sólo si», separaremos las dos propiedades y comprobaremos qué dirección está efectivamente afirmada. Después distinguiremos si el argumento propuesto demuestra la implicación original, una contrapositiva equivalente o una recíproca que exige prueba adicional. Esta disciplina nos conducirá a la siguiente pregunta: ¿qué significa que una condición sea necesaria, suficiente o ambas cosas?

2.6. Condiciones necesarias y suficientes

Sabemos ya que una implicación y su recíproca son afirmaciones diferentes. Esa distinción tiene una consecuencia para la lectura: en matemática es frecuente expresar las implicaciones sin escribir «si… entonces». Decimos, por ejemplo, que una propiedad es necesaria o suficiente para otra. Estas palabras no añaden un nuevo conectivo; indican la dirección en la que una condición permite concluir otra.

Regresemos a los enteros. Ser múltiplo de \(4\) garantiza ser par. Pero ser par no garantiza ser múltiplo de \(4\): el número \(6\) vuelve a proporcionarnos un contraejemplo. Podemos describir exactamente la misma relación de dos maneras:

Ser múltiplo de \(4\) es suficiente para ser par.

Ser par es necesario para ser múltiplo de \(4\).

La primera frase dice que basta conocer la divisibilidad por \(4\) para concluir la paridad. La segunda dice que ningún múltiplo de \(4\) puede dejar de ser par. Ambas expresan una sola implicación; no son dos resultados distintos.

Definición y dirección de la flecha

Fijemos un dominio \(D\) y dos propiedades \(P(x)\) y \(Q(x)\) de sus elementos. Trabajaremos con las proposiciones que resultan de considerarlas para cada elemento de \(D\); el capítulo 3 precisará el papel de la cuantificación. Diremos que:

• \(P\) es una condición suficiente para \(Q\) si, para todo \(x\in D\), de \(P(x)\) se sigue \(Q(x)\);
• \(P\) es una condición necesaria para \(Q\) si, para todo \(x\in D\), de \(Q(x)\) se sigue \(P(x)\).

En notación abreviada:

\[ \begin{aligned} P\text{ es suficiente para }Q &\quad\Longleftrightarrow\quad \forall x\in D\;(P(x)\to Q(x)),\\ P\text{ es necesaria para }Q &\quad\Longleftrightarrow\quad \forall x\in D\;(Q(x)\to P(x)). \end{aligned} \]

En estas líneas las flechas representan los condicionales correspondientes a un objeto fijado; al hablar de propiedades del dominio entendemos que la implicación vale para todos sus elementos. La definición permite leer una misma flecha en ambas direcciones lingüísticas:

\[ \boxed{P\to Q: \quad P\text{ es suficiente para }Q; \quad Q\text{ es necesaria para }P.} \]

La asimetría es decisiva. Suficiente señala qué dato nos basta para obtener una conclusión; necesaria señala qué requisito no puede faltar si se cumple la otra propiedad. Ninguna de las dos palabras, por sí sola, autoriza a invertir la flecha.

Lo necesario no tiene por qué ser suficiente

Sea \(n\in\mathbb Z\). Consideremos otra vez

\[ P(n):\quad 4\mid n, \qquad Q(n):\quad 2\mid n. \]

Hemos demostrado que \(P(n)\to Q(n)\) para todo entero. Por consiguiente, \(Q\) es necesaria para \(P\): si \(n\) fuera múltiplo de \(4\) y no fuera par, contradiríamos el resultado demostrado.

¿Es también suficiente la paridad para la divisibilidad por \(4\)? Para afirmarlo necesitaríamos \(Q(n)\to P(n)\) para todo entero. Pero \(n=6\) cumple \(Q(6)\) y no cumple \(P(6)\). Luego la paridad es necesaria, pero no suficiente, para que un entero sea múltiplo de \(4\).

El mismo contraejemplo permite ver la otra cara: ser múltiplo de \(4\) es suficiente, pero no necesario, para ser par. El entero \(6\) es par sin satisfacer aquella condición suficiente. Una condición suficiente puede garantizar una propiedad sin ser la única manera de obtenerla.

NotaNo confundir necesidad con garantía

Que \(Q\) sea necesaria para \(P\) significa: «sin \(Q\), no puede darse \(P\)». No significa: «si se da \(Q\), entonces se da \(P\)». Esa última frase sería la recíproca y requiere otra demostración.

Leer «si», «sólo si» y «si y sólo si»

Las formas verbales exigen especial cuidado. Para dos propiedades \(P\) y \(Q\):

Escritura	Dirección que afirma
«\(P\) si \(Q\)»	\(Q\to P\)
«\(P\) sólo si \(Q\)»	\(P\to Q\)
«\(P\) si y sólo si \(Q\)»	\((P\to Q)\land(Q\to P)\)

La palabra «sólo» introduce un requisito que debe cumplirse cuando se cumple lo anterior. Así, «un entero es múltiplo de \(4\) sólo si es par» es verdadero; «un entero es múltiplo de \(4\) si es par» es falso. Cambiar «sólo si» por «si» cambia la tesis matemática.

Una lectura segura consiste en sustituir siempre la frase por un condicional inequívoco antes de intentar demostrarla: si se cumple el antecedente, entonces se cumple el consecuente. En un bicondicional habrá que escribir dos frases y probarlas por separado, salvo que se disponga ya de una equivalencia establecida.

Cuando una condición es necesaria y suficiente

Diremos que \(P\) es necesaria y suficiente para \(Q\) cuando ambas implicaciones son verdaderas:

\[ P\to Q \qquad\text{y}\qquad Q\to P. \]

Es exactamente el bicondicional estudiado en §2.5. No estamos introduciendo una tercera relación independiente. En particular, el teorema de paridad del cuadrado permite afirmar, para todo \(n\in\mathbb Z\):

Ser par es una condición necesaria y suficiente para que el cuadrado sea par.

La suficiencia se estableció escribiendo \(n=2k\) y comprobando que \(n^2=2(2k^2)\). La necesidad se estableció demostrando la contrapositiva: si \(n\) es impar, entonces \(n^2\) es impar. Cada dirección tiene una justificación matemática identificable.

Este ejemplo señala un límite pedagógico importante: aprender a traducir «necesaria y suficiente» a un bicondicional nos dice qué tenemos que demostrar, pero no produce por sí mismo la demostración. Para pasar del lenguaje a una prueba necesitamos además desplegar definiciones y elegir argumentos adecuados.

Encadenar condiciones sin invertirlas

Las condiciones también pueden formar cadenas. Consideremos tres proposiciones \(P\), \(Q\) y \(R\).

Proposición. La siguiente forma de argumento es válida:

\[ P\to Q,\qquad Q\to R \quad\therefore\quad P\to R. \]

Demostración. Supongamos verdaderas las dos premisas. Para establecer \(P\to R\), admitamos provisionalmente \(P\). De \(P\to Q\) y \(P\) obtenemos \(Q\); de \(Q\to R\) y \(Q\) obtenemos \(R\). Por tanto, cuando \(P\) es verdadera, también lo es \(R\), tal como exige el condicional \(P\to R\). \(\square\)

Idea de la prueba. En lugar de buscar todas las asignaciones posibles, abrimos el supuesto \(P\) y aplicamos dos veces el paso válido estudiado en §2.2. No hemos supuesto que \(P\) sea verdadera de hecho: la usamos dentro de una demostración condicional.

Ejemplo aritmético. Para todo entero \(n\),

\[ 8\mid n\quad\Longrightarrow\quad4\mid n \quad\Longrightarrow\quad2\mid n. \]

La primera implicación se justifica porque, si \(n=8k\) con \(k\in\mathbb Z\), entonces \(n=4(2k)\). La segunda ya fue demostrada. Podemos concluir que \(8\mid n\) es una condición suficiente para \(2\mid n\), y que \(2\mid n\) es una condición necesaria para \(8\mid n\). En cambio, nada en esta cadena autoriza a concluir que todo número par sea múltiplo de \(8\).

Después de la prueba. La transitividad permite reutilizar resultados: si una propiedad garantiza una segunda y ésta garantiza una tercera, la primera garantiza la tercera. El orden de la cadena no es decorativo; invertirla sin nuevas premisas es repetir el error que inició el capítulo.

Una lectura antes de continuar

Ante cualquier afirmación que emplee «necesario», «suficiente» o «sólo si», el lector ya puede reconstruir un procedimiento: fijar el dominio, identificar las dos propiedades, escribir la flecha en el sentido afirmado y preguntar por qué esa implicación es verdadera para todos los elementos del dominio. Si el texto afirma que una condición es necesaria y suficiente, debe encontrar dos direcciones justificadas.

En la sección de ejercicios reuniremos estos criterios con los anteriores: distinguir la verdad de una conclusión de la validez de una inferencia, construir contraasignaciones, reconocer recíprocas y contrapositivas, y traducir condiciones sin alterar su sentido.

2.7. Ejercicios progresivos

Los ejercicios recorren tres niveles: identificar una forma de inferencia, traducir correctamente una afirmación y construir o revisar una justificación matemática. Cuando se pida refutar la validez de un esquema, proporciona una asignación de valores de verdad con todas las premisas verdaderas y la conclusión falsa. Cuando se pida refutar una afirmación universal sobre enteros, proporciona un entero concreto y comprueba las propiedades implicadas. No son exactamente la misma tarea.

Ejercicio 1. Cuatro formas de inferencia

Determina cuáles de los siguientes esquemas son válidos. Justifica cada respuesta: mediante un razonamiento que descarte las contraasignaciones, si es válido; mediante una contraasignación, si no lo es.

1. \(P\to Q,\ P\ \therefore\ Q\).
2. \(P\to Q,\ Q\ \therefore\ P\).
3. \(P\to Q,\ \neg Q\ \therefore\ \neg P\).
4. \(P\to Q,\ \neg P\ \therefore\ \neg Q\).

Ejercicio 2. Una conclusión verdadera obtenida incorrectamente

Para un entero fijado \(n\), escribe \(P\): «\(4\mid n\)» y \(Q\): «\(2\mid n\)». Un estudiante emplea \(P\to Q\) y \(Q\) para concluir \(P\).

1. Examina por separado las premisas y la conclusión cuando \(n=8\).
2. Repite el examen cuando \(n=6\).
3. Explica por qué la primera elección no valida el procedimiento y cuál de las dos constituye un contraejemplo a la inferencia.

Ejercicio 3. Lo que permite una disyunción

Recuerda que \(P\lor Q\) utiliza el «o» inclusivo. Decide si son válidos los argumentos siguientes y demuestra o refuta cada uno:

1. \(P\lor Q,\ \neg P\ \therefore\ Q\).
2. \(P\lor Q,\ P\ \therefore\ \neg Q\).

Para el segundo, no basta indicar que la conclusión «podría ser falsa»: exhibe valores concretos de \(P\) y \(Q\).

Ejercicio 4. Un conectivo frente a una relación de consecuencia

Considera \(P\) y \(Q\) como letras proposicionales independientes. Decide si son correctas las afirmaciones siguientes y justifícalas mediante la definición de §2.2 o una asignación de valores:

1. \(P\models Q\).
2. \(\{P,\ P\to Q\}\models Q\).
3. \(P\to Q\) es una tautología.
4. \(\{P\to Q,\ \neg Q\}\models\neg P\).

Explica en una oración por qué las expresiones de los apartados 2 y 3 no dicen lo mismo.

Ejercicio 5. Transformar una afirmación sin cambiarla inadvertidamente

Trabaja sobre el dominio \(\mathbb Z\). Considera la proposición general: «Si un entero es múltiplo de \(9\), entonces es múltiplo de \(3\)».

1. Escribe su recíproca, su contrapositiva y su inversa, conservando la cuantificación sobre todos los enteros.
2. Demuestra la afirmación original a partir de la definición de divisibilidad.
3. Determina el valor de verdad de la recíproca e inversa. Si son falsas, da un contraejemplo.
4. Justifica la contrapositiva sin volver a efectuar una prueba aritmética desde cero.

Ejercicio 6. Leer «si» y «sólo si»

Sean, para \(n\in\mathbb Z\), \(A(n)\): «\(12\mid n\)» y \(B(n)\): «\(6\mid n\)». Traduce cada frase a una implicación cuantificada, decide si es verdadera y justifica tu decisión:

1. «\(A\) si \(B\)».
2. «\(A\) sólo si \(B\)».
3. «\(B\) si \(A\)».
4. «\(B\) sólo si \(A\)».

Ejercicio 7. La importancia del dominio

Sea \(x\in\mathbb R\) y consideremos \(P(x)\): «\(x>0\)» y \(Q(x)\): «\(x^2>0\)».

1. ¿Es \(P\) suficiente para \(Q\)? Demuéstralo.
2. ¿Es \(P\) necesaria para \(Q\)? Justifica la respuesta.
3. Encuentra una condición necesaria y suficiente para \(Q\) entre las propiedades elementales de los números reales y demuestra las dos direcciones.
4. Explica por qué no se puede trasladar sin examen esta formulación a un dominio donde \(>\) no esté definido.

Ejercicio 8. Una equivalencia nueva a partir de definiciones

Demuestra que, para todo entero \(n\),

\[ n\text{ es par}\quad\Longleftrightarrow\quad n^3\text{ es par}. \]

Separa las dos direcciones. En una de ellas, utiliza la contrapositiva y escribe de manera explícita un entero que certifique la paridad o imparidad correspondiente. No basta verificar varios valores de \(n\).

Ejercicio 9. Encadenar la divisibilidad

Demuestra para todo \(n\in\mathbb Z\) que

\[ 12\mid n\ \Longrightarrow\ 6\mid n\ \Longrightarrow\ 3\mid n. \]

Concluye qué condición es suficiente para cuál y cuál es necesaria para cuál. Decide si \(3\mid n\to12\mid n\) es verdadera para todo entero; justifica la respuesta.

Ejercicio 10. Diagnóstico y reparación de una prueba

Un estudiante propone la siguiente demostración: «Todo múltiplo de \(6\) es múltiplo de \(3\). Como \(9\) es múltiplo de \(3\), se sigue que \(9\) es múltiplo de \(6\)».

1. Identifica las dos propiedades y escribe el esquema de inferencia empleado.
2. Señala el paso no autorizado y demuestra, mediante un entero concreto, que la conclusión propuesta es falsa.
3. Reescribe un resultado verdadero que sí se desprenda de la primera afirmación y proporciona su justificación aritmética.

Ejercicio 11. Validez no significa solidez

Considera el esquema \(P\to Q,\ P\ \therefore\ Q\).

1. Demuestra que es válido.
2. Interprétalo con \(P\): «\(6\) es múltiplo de \(4\)» y \(Q\): «\(6\) es par». Calcula el valor de verdad de cada premisa y de la conclusión.
3. ¿Es sólido el argumento así interpretado? Explica por qué el valor de verdad de la conclusión no altera tu respuesta.

Ejercicio 12. Una cadena que parece poder recorrerse hacia atrás

Para un entero arbitrario \(n\), sea

\[ P(n):\ 12\mid n,\qquad Q(n):\ 6\mid n,\qquad R(n):\ 3\mid n. \]

Un estudiante razona: «\(P\) implica \(Q\) y \(Q\) implica \(R\). Como \(R\) se cumple, entonces \(P\) se cumple».

1. Traduce el razonamiento a un esquema proposicional con tres premisas y una conclusión.
2. Refuta su validez mediante una asignación de valores de verdad.
3. Da un entero que realice esas mismas condiciones aritméticas y refute la conclusión universal pretendida.
4. Sustituye la conclusión por una consecuencia que sí se siga de las dos implicaciones, y demuéstrala sin suponer que \(P\) sea verdadera de hecho.

2.8. Soluciones desarrolladas

Solución del ejercicio 1

1. Válido. Si \(P\) y \(P\to Q\) son verdaderas, \(Q\) no puede ser falsa, porque ésa es precisamente la única situación que haría falso el condicional. Es modus ponens.
2. Inválido. Asigna \(P=\mathrm F\) y \(Q=\mathrm V\). El condicional es verdadero y la segunda premisa también, pero la conclusión \(P\) es falsa. Es la afirmación del consecuente.
3. Válido. Si \(\neg Q\) es verdadera, \(Q\) es falsa. Si además \(P\to Q\) es verdadero, \(P\) tiene que ser falsa: de otro modo el condicional tendría antecedente verdadero y consecuente falso. Por tanto, \(\neg P\) es verdadera. Este esquema es modus tollens.
4. Inválido. Asigna \(P=\mathrm F\) y \(Q=\mathrm V\). Entonces \(P\to Q\) y \(\neg P\) son verdaderas, pero \(\neg Q\) es falsa. Es la negación del antecedente.

La comparación importante no es el nombre de cada forma, sino qué datos permiten descartar una conclusión falsa.

Solución del ejercicio 2

Para \(n=8\), tenemos \(P=\mathrm V\) y \(Q=\mathrm V\): \(8\) es múltiplo de \(4\) y es par. Por eso son verdaderos \(P\to Q\), \(Q\) y también la conclusión \(P\).

Para \(n=6\), en cambio, \(P=\mathrm F\) y \(Q=\mathrm V\): el \(6\) es par, pero \(4\nmid6\). El condicional \(P\to Q\) es verdadero, al igual que \(Q\), y la conclusión \(P\) es falsa.

La elección de \(8\) sólo muestra que la conclusión puede ser verdadera en un caso. No establece que esté garantizada por las premisas. La elección de \(6\) sí muestra, con premisas verdaderas y conclusión falsa, que el esquema no es válido.

Solución del ejercicio 3

1. Válido. Si \(\neg P\) es verdadera, \(P\) es falsa. Como la disyunción inclusiva \(P\lor Q\) es verdadera, su segundo componente \(Q\) debe ser verdadero.
2. Inválido. Elige \(P=\mathrm V\) y \(Q=\mathrm V\). Tanto \(P\lor Q\) como \(P\) son verdaderas, pero la conclusión \(\neg Q\) es falsa. En la disyunción inclusiva, que una alternativa ocurra no excluye que ocurra la otra.

En el primer caso la negación de una alternativa sí permite recuperar la otra; en el segundo, afirmar una alternativa no permite negar la restante.

Solución del ejercicio 4

1. Incorrecta. Con \(P=\mathrm V\) y \(Q=\mathrm F\), la premisa \(P\) es verdadera y la conclusión \(Q\) es falsa. Por tanto, \(P\not\models Q\).
2. Correcta. Si ambas premisas \(P\) y \(P\to Q\) son verdaderas, \(Q\) debe ser verdadera. No existe contraasignación; así, \(\{P,P\to Q\}\models Q\).
3. Incorrecta. \(P\to Q\) es falsa cuando \(P=\mathrm V\) y \(Q=\mathrm F\); por eso no es una tautología.
4. Correcta. Si \(\neg Q\) es verdadera, \(Q\) es falsa. Con \(P\to Q\) verdadera, necesariamente \(P\) es falsa y \(\neg P\) verdadera. No hay contraasignación.

El apartado 2 expresa una relación de consecuencia entre premisas y conclusión; el apartado 3 pregunta si una sola fórmula es verdadera en todas las asignaciones. No deben confundirse, aunque en lógica proposicional clásica las dos nociones puedan relacionarse mediante transformaciones justificadas.

Solución del ejercicio 5

Para todo \(n\in\mathbb Z\), la afirmación original es \(9\mid n\to3\mid n\). Las transformaciones cuantificadas son:

• Recíproca: si \(3\mid n\), entonces \(9\mid n\).
• Contrapositiva: si \(3\nmid n\), entonces \(9\nmid n\).
• Inversa: si \(9\nmid n\), entonces \(3\nmid n\).

Para probar la original, supongamos \(9\mid n\). Existe \(k\in\mathbb Z\) con \(n=9k=3(3k)\); como \(3k\) es entero, \(3\mid n\).

La recíproca es falsa: \(n=3\) es múltiplo de \(3\) y no de \(9\). La inversa también es falsa: el mismo \(n=3\) no es múltiplo de \(9\), pero sí es múltiplo de \(3\). La contrapositiva es verdadera porque §2.5 demostró que toda implicación es lógicamente equivalente a su contrapositiva. Al aplicar esa equivalencia a cada entero obtenemos la afirmación general correspondiente.

Solución del ejercicio 6

Recordemos primero que \(A(n)\) significa \(12\mid n\) y \(B(n)\) significa \(6\mid n\).

1. «\(A\) si \(B\)» significa \(B(n)\to A(n)\) para todo entero. Falsa: \(n=6\) es múltiplo de \(6\), pero no de \(12\).
2. «\(A\) sólo si \(B\)» significa \(A(n)\to B(n)\) para todo entero. Verdadera: si \(n=12k\), entonces \(n=6(2k)\), y \(2k\in\mathbb Z\).
3. «\(B\) si \(A\)» significa \(A(n)\to B(n)\) para todo entero. Verdadera, por el mismo argumento del apartado 2.
4. «\(B\) sólo si \(A\)» significa \(B(n)\to A(n)\) para todo entero. Falsa, de nuevo con \(n=6\).

Los apartados 2 y 3 son dos formulaciones verbales de la misma implicación; los apartados 1 y 4 formulan su recíproca. El ejercicio se resuelve identificando las flechas antes de mirar los ejemplos.

Solución del ejercicio 7

1. Sí. Para todo real \(x\), si \(x>0\), entonces el producto de dos números positivos es positivo; en particular, \(x^2>0\). Por tanto, \(P\) es suficiente para \(Q\).
2. No. El real \(x=-1\) satisface \(x^2=1>0\), pero no \(x>0\). Como \(Q(-1)\) es verdadera y \(P(-1)\) falsa, \(Q\to P\) no vale universalmente; \(P\) no es necesaria para \(Q\).
3. La condición \(x\ne0\) es necesaria y suficiente para \(x^2>0\) en \(\mathbb R\). Si \(x\ne0\), o bien \(x>0\) o bien \(x<0\), y en cualquiera de los dos casos \(x^2>0\). Recíprocamente, si \(x^2>0\), no puede ocurrir \(x=0\), pues entonces \(x^2=0\). Hemos justificado ambas direcciones.
4. La escritura usa la relación \(>\) y propiedades del orden usual de \(\mathbb R\). En un dominio sin tal relación especificada, la frase no conserva automáticamente el mismo significado. Antes de discutir su verdad hay que precisar la interpretación.

Solución del ejercicio 8

Primera dirección. Supongamos que \(n\) es par. Existe \(k\in\mathbb Z\) con \(n=2k\); entonces

\[ n^3=(2k)^3=2(4k^3). \]

El número \(4k^3\) es entero; por definición, \(n^3\) es par.

Segunda dirección. Demostraremos por contraposición que si \(n\) es impar, entonces \(n^3\) es impar. Sea \(n=2k+1\) con \(k\in\mathbb Z\). Calculamos

\[ \begin{aligned} n^3&=(2k+1)^3\\ &=8k^3+12k^2+6k+1\\ &=2(4k^3+6k^2+3k)+1. \end{aligned} \]

Como \(4k^3+6k^2+3k\) es entero, \(n^3\) tiene la forma de un entero impar. Por equivalencia entre un condicional y su contrapositiva, si \(n^3\) es par, entonces \(n\) es par. Las dos direcciones establecen el bicondicional. \(\square\)

Idea de la prueba. La definición de par produce inmediatamente una factorización útil para el cubo. Para la dirección restante, negar la paridad de \(n\) permite escribir \(n=2k+1\) y reconocer la forma de su cubo.

Solución del ejercicio 9

Supongamos \(12\mid n\). Por definición, \(n=12k\) para algún \(k\in\mathbb Z\). Como \(n=6(2k)\), tenemos \(6\mid n\). Si ahora \(6\mid n\), escribimos \(n=6m=3(2m)\) para cierto \(m\in\mathbb Z\), de donde \(3\mid n\). Quedan demostradas ambas implicaciones y, por transitividad, \(12\mid n\to3\mid n\).

Ser múltiplo de \(12\) es suficiente para ser múltiplo de \(3\), y ser múltiplo de \(3\) es necesario para ser múltiplo de \(12\). La implicación recíproca es falsa: \(n=3\) es múltiplo de \(3\), pero no de \(12\). Una cadena de implicaciones no puede invertirse sin demostrar las recíprocas.

Solución del ejercicio 10

Denotemos por \(P\) la propiedad «ser múltiplo de \(6\)» y por \(Q\) la propiedad «ser múltiplo de \(3\)». El estudiante utiliza \(P\to Q\) y \(Q\) para concluir \(P\), forma inválida de afirmación del consecuente.

La conclusión concreta también es falsa: \(9=3\cdot3\), por lo que \(3\mid9\); sin embargo, no existe un entero \(k\) con \(9=6k\), pues ello exigiría \(k=3/2\notin\mathbb Z\). La verdad de «\(9\) es múltiplo de \(3\)» no fuerza la divisibilidad por \(6\).

Un resultado correcto es: todo múltiplo de \(6\) es múltiplo de \(3\). Si \(n=6k\) con \(k\in\mathbb Z\), entonces \(n=3(2k)\) y \(2k\in\mathbb Z\). La corrección no consiste en hacer verdadera una conclusión arbitraria, sino en escribir y demostrar la dirección que autorizan las hipótesis.

Solución del ejercicio 11

1. Si \(P\) y \(P\to Q\) son verdaderas, la falsedad de \(Q\) haría falso el condicional. Por tanto, \(Q\) debe ser verdadera: la forma es válida.
2. En la interpretación dada, \(P\) es falsa y \(Q\) verdadera. El condicional \(P\to Q\) es verdadero porque su antecedente es falso; la otra premisa, \(P\), es falsa; la conclusión, \(Q\), es verdadera.
3. El argumento interpretado no es sólido, pues la solidez requiere validez y verdad de todas las premisas, y \(P\) es falsa. Que \(Q\) resulte verdadera no convierte en verdadera la premisa falsa ni repara el argumento. Esta distinción impide confundir acertar con justificar.

Solución del ejercicio 12

1. El esquema utilizado es

\[ P\to Q,\qquad Q\to R,\qquad R \quad\therefore\quad P. \]

2. Asigna \(P=\mathrm F\), \(Q=\mathrm F\) y \(R=\mathrm V\). Los dos condicionales son verdaderos porque sus antecedentes son falsos; la tercera premisa \(R\) es verdadera; la conclusión \(P\) es falsa. La asignación refuta la validez.
3. La asignación tiene una realización aritmética con \(n=3\): \(12\nmid3\), \(6\nmid3\) y \(3\mid3\). Las dos implicaciones universales de divisibilidad son verdaderas, y también lo es \(R(3)\), pero \(P(3)\) es falsa.
4. Una consecuencia correcta de las dos implicaciones es \(P\to R\). Para demostrarla, suponemos provisionalmente \(P\); de \(P\to Q\) obtenemos \(Q\), y de \(Q\to R\) obtenemos \(R\). Al cerrar la hipótesis provisional concluimos \(P\to R\), sin afirmar que \(P\) se cumpla para el entero considerado. La condición final \(R\) no autoriza recorrer la cadena hacia atrás. \(\square\)

2.9. Hacia las variables y los cuantificadores

En los ejemplos de divisibilidad hemos repetido «para todo entero \(n\)», mientras que los esquemas proposicionales se examinaban mediante letras como \(P\) y \(Q\). Sabemos que ambos niveles deben coordinarse, pero todavía no hemos descrito con detalle qué hace un cuantificador, qué variables liga y cómo cambia el significado de una negación cuando interviene «para todo» o «existe». Ésa será la pregunta del capítulo siguiente. Con lo aprendido hasta aquí, ya sabemos qué exige una inferencia proposicional; el capítulo 3 precisará cómo formular y negar afirmaciones que dependen de variables.

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