Capítulo 7 — ¿Cómo se descubre una demostración que todavía no conocemos?
En el capítulo anterior aprendimos a reconocer varias formas recurrentes de demostración. Ante una implicación sabemos qué significa demostrarla directamente; ante una equivalencia sabemos que aparecen dos direcciones; ante una afirmación existencial sabemos que necesitamos justificar un testigo; ante una igualdad de conjuntos podemos pensar en dos inclusiones.
Todo eso responde a una pregunta fundamental:
¿Qué tendría que quedar demostrado para que la prueba estuviera completa?
Pero todavía queda otra pregunta, distinta y más difícil:
¿Cómo encontramos las ideas matemáticas que permiten demostrarlo?
Conocer la arquitectura de una prueba no significa conocer ya la prueba.
Podemos saber perfectamente dónde empezar y qué conclusión necesitamos alcanzar y, sin embargo, no ver todavía qué debe ocurrir entre ambos extremos.
Este capítulo estudia precisamente ese espacio intermedio.
7.1. Cuando conocer la arquitectura no basta
Consideremos la afirmación siguiente:
Sean \(x,y\in\mathbb R\). Si
\[ x+y=1, \]
entonces
\[ xy\le \frac14. \]
La forma lógica no ofrece ninguna dificultad especial. Tenemos una implicación:
\[ x+y=1 \quad\Longrightarrow\quad xy\le\frac14. \]
Por tanto, una prueba directa debería comenzar suponiendo
\[ x+y=1 \]
y terminar demostrando
\[ xy\le\frac14. \]
La arquitectura está completamente determinada.
Pero eso no nos dice qué hacer.
De la hipótesis podemos despejar, por ejemplo,
\[ y=1-x. \]
Al sustituir,
\[ xy=x(1-x). \]
Ahora queremos demostrar
\[ x(1-x)\le\frac14. \]
El problema ha cambiado de forma, pero todavía puede no ser evidente por qué la desigualdad es verdadera.
Podemos expandir:
\[ x-x^2\le\frac14. \]
Podemos mover todos los términos:
\[ x^2-x+\frac14\ge0. \]
Y entonces aparece una estructura reconocible:
\[ x^2-x+\frac14 = \left(x-\frac12\right)^2. \]
Como todo cuadrado real es no negativo,
\[ \left(x-\frac12\right)^2\ge0. \]
De ahí obtenemos
\[ x^2-x+\frac14\ge0, \]
y por tanto
\[ x-x^2\le\frac14. \]
Así,
\[ xy\le\frac14. \]
La prueba es breve. El descubrimiento de la prueba puede no haberlo sido.
La arquitectura y el puente
Podemos representar la situación inicial así:
\[ \boxed{x+y=1} \qquad\longrightarrow\qquad ? \qquad\longrightarrow\qquad \boxed{xy\le\frac14}. \]
La forma lógica nos dice que debemos construir una cadena desde la hipótesis hasta la conclusión.
No nos proporciona automáticamente el puente.
En este ejemplo, una forma especialmente útil de ese puente es observar que, usando \(x+y=1\),
\[ \frac14-xy = \frac{(x+y)^2}{4}-xy = \frac{(x-y)^2}{4}. \]
El término de la derecha es no negativo. Eso es contenido matemático: no procede solamente de saber que estamos ante una prueba directa.
Dos problemas pueden tener exactamente la misma arquitectura lógica y requerir ideas completamente diferentes.
Por ejemplo, las afirmaciones
\[ P\Rightarrow Q \]
y
\[ R\Rightarrow S \]
comparten forma lógica. Pero conocer cómo demostrar la primera puede no ofrecer ninguna información sobre qué objeto auxiliar, identidad, definición o teorema necesitamos para la segunda.
Ésta será una distinción central:
\[ \boxed{\text{forma de la obligación}} \neq \boxed{\text{idea que permite satisfacerla}}. \]
Saber qué falta ya es progreso
Cuando una prueba no aparece inmediatamente, es fácil sentir que no sabemos por dónde avanzar. Pero normalmente conocemos al menos los dos extremos del problema.
En el ejemplo anterior tenemos:
Datos disponibles
\[ x,y\in\mathbb R, \qquad x+y=1. \]
Objetivo
\[ xy\le\frac14. \]
La dificultad consiste en que todavía no conocemos una cadena que conecte esos dos estados.
Podemos pensar provisionalmente:
\[ \text{datos} \longrightarrow \boxed{\text{hueco}} \longrightarrow \text{objetivo}. \]
Nombrar ese hueco cambia la naturaleza del problema.
Ya no preguntamos vagamente
«¿Cómo demuestro esto?»
sino preguntas más precisas:
- ¿qué puedo obtener de la hipótesis?;
- ¿qué bastaría para alcanzar la conclusión?;
- ¿hay una definición que vuelva más explícito alguno de los extremos?;
- ¿puedo representar el objetivo de otra forma?;
- ¿necesito construir un objeto intermedio?;
- ¿hay alguna hipótesis que todavía no he utilizado?;
- ¿puedo formular una afirmación intermedia que conecte las dos partes?
No responderemos todas estas preguntas en esta sección. Cada una abrirá una técnica que estudiaremos más adelante.
Por ahora importa comprender que descubrir una prueba significa trabajar sobre el hueco.
El orden en que encontramos una prueba puede ser distinto del orden en que la escribimos
Volvamos al ejemplo.
Durante la búsqueda podríamos partir del objetivo
\[ xy\le\frac14 \]
y preguntarnos qué forma equivalente o qué condición suficiente haría evidente la desigualdad. Por ejemplo:
\[ xy\le\frac14 \]
sugiere estudiar
\[ \frac14-xy\ge0. \]
Como \(x+y=1\), podemos explorar
\[ \frac14-xy = \frac{(x+y)^2}{4}-xy = \frac{x^2-2xy+y^2}{4} = \frac{(x-y)^2}{4}. \]
Ahora la no negatividad es inmediata.
El razonamiento de descubrimiento ha comenzado, en cierto sentido, desde la conclusión: hemos preguntado qué forma sería suficiente para reconocer por qué debe cumplirse.
Sin embargo, la prueba final puede escribirse en el sentido de las dependencias justificadas:
Demostración. Sean \(x,y\in\mathbb R\) y supongamos que
\[ x+y=1. \]
Como
\[ (x-y)^2\ge0, \]
tenemos
\[ x^2-2xy+y^2\ge0. \]
Sumando \(4xy\) a ambos lados,
\[ x^2+2xy+y^2\ge4xy. \]
Por tanto,
\[ (x+y)^2\ge4xy. \]
Usando la hipótesis \(x+y=1\),
\[ 1\ge4xy. \]
Finalmente,
\[ xy\le\frac14. \]
\(\square\)
Ahora cada afirmación aparece después de algo que la justifica.
La prueba final no necesita reproducir toda la búsqueda que permitió encontrarla.
El borrador de descubrimiento
Mientras buscamos una demostración podemos:
- despejar una variable;
- probar una representación alternativa;
- comenzar desde la conclusión;
- escribir condiciones que serían suficientes;
- ensayar ejemplos;
- introducir una cantidad auxiliar;
- abandonar un cálculo;
- volver a una definición;
- preguntarnos qué hipótesis todavía no hemos usado.
Ese trabajo puede ser no lineal.
Una hoja de exploración podría contener algo como:
\[ x+y=1 \]
\[ xy\le\frac14 \quad ? \]
\[ 4xy\le1 \]
\[ 4xy\le(x+y)^2 \]
\[ 0\le x^2-2xy+y^2 \]
\[ 0\le(x-y)^2. \]
Esta secuencia es informativa para quien está descubriendo la prueba.
Pero debemos observar cuidadosamente lo que ha ocurrido. Comenzamos con el objetivo y lo transformamos hasta llegar a una afirmación que sabemos justificar. Durante la exploración todavía debemos comprobar si esas transformaciones permiten regresar legítimamente al objetivo.
No podemos asumir que toda cadena escrita hacia atrás es automáticamente reversible.
La prueba final y el borrador no son el mismo objeto
Conviene distinguir entonces:
\[ \boxed{\text{borrador de descubrimiento}} \qquad\text{y}\qquad \boxed{\text{prueba final}}. \]
El borrador puede contener flechas en ambos sentidos, ejemplos, cálculos incompletos, intentos descartados y condiciones provisionales.
La prueba final debe reconstruirse según dependencias legítimas.
Esta diferencia explica algo que puede resultar desconcertante cuando se leen buenos textos matemáticos: una demostración publicada puede ocupar diez líneas aunque encontrarla haya requerido mucho más trabajo.
La brevedad de la versión final no es evidencia de que el camino de descubrimiento haya sido igualmente breve.
Descubrir no significa adivinar
La diferencia entre descubrimiento y justificación tampoco significa que encontrar una prueba sea un acto misterioso reservado a una intuición inexplicable.
No existe, en general, un algoritmo que garantice encontrar cualquier demostración. Pero entre una receta automática y una adivinación sin método hay un territorio muy amplio de decisiones que pueden aprenderse.
Podemos entrenarnos para:
\[ \text{extraer consecuencias}, \]
\[ \text{examinar el objetivo}, \]
\[ \text{cambiar de representación}, \]
\[ \text{buscar una condición intermedia}, \]
\[ \text{formular un lema}, \]
\[ \text{examinar por qué un intento se atasca}. \]
Cada uno de esos movimientos pertenece al espacio de descubrimiento. Todos deberán someterse después al control lógico de una demostración válida.
La exploración puede ser flexible; la prueba final no puede ser arbitraria.
Una misma prueba tiene dos historias
Podemos distinguir dos historias diferentes.
La primera es la historia de cómo encontramos la demostración:
\[ \text{intento} \to \text{reformulación} \to \text{callejón} \to \text{nueva representación} \to \text{idea}. \]
La segunda es la historia matemática que finalmente justifica el resultado:
\[ \text{hipótesis} \to \text{inferencias válidas} \to \text{conclusión}. \]
La primera puede contener retrocesos.
La segunda debe poder auditarse paso por paso.
Confundirlas produce dos errores opuestos.
Uno consiste en pensar que, como la prueba final es corta, encontrarla debía ser igualmente inmediato.
El otro consiste en escribir todo el proceso de tanteo como si cada paso exploratorio perteneciera a la demostración.
Ninguna de las dos conclusiones es correcta.
Al comenzar una prueba debemos distinguir:
- qué tendría que demostrarse para completar el argumento;
- cómo encontrar el contenido matemático que permite demostrarlo.
C06 estudió principalmente la primera tarea.
C07 estudiará la segunda.
Comprobación
Supón que debes demostrar una afirmación de la forma
\[ P\Rightarrow Q. \]
Sabes ya que una prueba directa puede comenzar suponiendo \(P\) y debe terminar estableciendo \(Q\).
¿Significa esto que ya sabes cómo demostrar la afirmación?
Respuesta razonada.
No.
La forma
\[ P\Rightarrow Q \]
determina una obligación lógica: bajo la hipótesis \(P\), debemos justificar \(Q\).
Pero no determina qué consecuencias de \(P\) serán relevantes, qué definiciones conviene desplegar, qué objetos auxiliares pueden necesitarse ni qué resultado intermedio permitirá alcanzar \(Q\).
Por tanto,
\[ \text{conocer la arquitectura} \]
es una condición importante para organizar la prueba, pero no equivale a
\[ \text{conocer el puente matemático}. \]
El resto del capítulo estudiará cómo buscar ese puente de manera controlada.
Lo que cambia a partir de ahora
Hasta aquí hemos preguntado principalmente:
«Dada una demostración, ¿qué obligaciones debe cumplir?»
A partir de la siguiente sección añadiremos otra pregunta:
«Dadas las hipótesis y el objetivo, ¿qué información conviene producir primero?»
Comenzaremos por uno de los movimientos más naturales: trabajar hacia adelante desde las hipótesis, pero no acumulando consecuencias al azar. La cuestión será aprender a distinguir una consecuencia disponible de una consecuencia que realmente acerca la prueba a su objetivo.
7.2. Trabajar hacia adelante desde las hipótesis
Una de las maneras más naturales de comenzar una búsqueda consiste en preguntar:
¿Qué puedo obtener ya, de manera legítima, a partir de los datos que tengo?
Éste es el sentido básico de trabajar hacia adelante.
Partimos de las hipótesis y producimos consecuencias cuya justificación conocemos. Si una hipótesis dice
\[ P, \]
y sabemos que
\[ P\Rightarrow R, \]
podemos añadir
\[ R \]
a nuestro conjunto de información disponible.
Después quizá podamos usar \(R\) junto con otro dato para obtener una consecuencia nueva.
La imagen más sencilla es
\[ \text{hipótesis} \longrightarrow \text{consecuencia} \longrightarrow \text{consecuencia} \longrightarrow \cdots \]
Pero hay una dificultad inmediata: de unas mismas hipótesis suelen seguir muchísimas cosas.
Por eso trabajar hacia adelante no significa deducir todo lo que podamos. Significa producir consecuencias que tengan alguna posibilidad de acercarnos al objetivo.
Un primer ejemplo: hacer avanzar un dato
Sean \(A,B,C\) conjuntos y supongamos
\[ A\subseteq B, \]
\[ B\cap C=\varnothing, \]
y
\[ x\in A. \]
Queremos demostrar
\[ x\notin C. \]
La hipótesis
\[ x\in A \]
puede combinarse inmediatamente con
\[ A\subseteq B. \]
Por definición de inclusión,
\[ x\in A \quad\Longrightarrow\quad x\in B. \]
Ya hemos producido una consecuencia nueva:
\[ \boxed{x\in B}. \]
Ahora la segunda hipótesis adquiere utilidad. La igualdad
\[ B\cap C=\varnothing \]
nos dice que ningún elemento puede pertenecer simultáneamente a \(B\) y a \(C\).
Como ya sabemos que
\[ x\in B, \]
si también tuviéramos
\[ x\in C, \]
entonces
\[ x\in B\cap C, \]
lo cual sería imposible.
Por tanto,
\[ x\notin C. \]
La cadena útil ha sido
\[ \boxed{x\in A} \overset{A\subseteq B}{\longrightarrow} \boxed{x\in B} \overset{B\cap C=\varnothing}{\longrightarrow} \boxed{x\notin C}. \]
Cada flecha tiene una procedencia identificable.
Ésta es una característica importante del trabajo hacia adelante: no basta con escribir una lista de afirmaciones verdaderas. Debemos poder responder, para cada paso,
«¿De qué dato anterior proviene esta nueva información?»
Consecuencias disponibles y consecuencias útiles
De las mismas hipótesis podríamos obtener muchas otras afirmaciones verdaderas.
Por ejemplo, de
\[ x\in A \]
podemos concluir
\[ x\in A\cup C. \]
También, de
\[ A\subseteq B, \]
podemos obtener
\[ A\cup C\subseteq B\cup C. \]
Y de
\[ B\cap C=\varnothing \]
se sigue, entre otras cosas, que
\[ C\subseteq B^c \]
si estamos trabajando dentro de un universo donde ese complemento está definido.
Todas estas consecuencias pueden ser correctas.
Pero para demostrar
\[ x\notin C, \]
no todas tienen el mismo valor estratégico.
La distinción que necesitamos es
\[ \boxed{\text{consecuencia disponible}} \qquad\text{frente a}\qquad \boxed{\text{consecuencia útil para este objetivo}}. \]
Una consecuencia es estratégicamente útil cuando reduce de algún modo la distancia entre lo que ya sabemos y lo que necesitamos demostrar.
En nuestro ejemplo,
\[ x\in B \]
es útil porque permite activar precisamente la información contenida en
\[ B\cap C=\varnothing. \]
En cambio,
\[ x\in A\cup C \]
es verdadera pero no hace visible ningún camino inmediato hacia
\[ x\notin C. \]
Las hipótesis no son una lista decorativa
Cuando un problema ofrece varias hipótesis conviene tratarlas como recursos potenciales.
Supongamos que tenemos
\[ H_1, H_2, H_3 \]
y queremos demostrar \(Q\).
Una búsqueda hacia adelante puede preguntar:
- ¿qué produce \(H_1\) por sí sola?;
- ¿qué produce \(H_2\)?;
- ¿puedo combinar \(H_1\) y \(H_3\)?;
- ¿alguna consecuencia obtenida permite utilizar una hipótesis que antes parecía inerte?;
- ¿qué dato todavía no he usado?
La última pregunta es especialmente valiosa.
Una hipótesis sin usar puede indicar varias cosas distintas:
- todavía no hemos encontrado el punto donde se vuelve necesaria;
- hemos tomado una ruta que no aprovecha la estructura completa del problema;
- la hipótesis es redundante y el resultado es en realidad más fuerte de lo que se anunció.
No debemos decidir demasiado pronto cuál de estas posibilidades ocurre.
Una hipótesis puede resultar innecesaria
Sea
\[ f:A\to B \]
una función inyectiva y sean
\[ X\subseteq Y\subseteq A. \]
Queremos demostrar
\[ f(X)\subseteq f(Y). \]
Tomemos
\[ z\in f(X). \]
Por definición de imagen, existe \(x\in X\) tal que
\[ f(x)=z. \]
Como
\[ X\subseteq Y, \]
obtenemos
\[ x\in Y. \]
Por tanto,
\[ f(x)\in f(Y), \]
y como \(f(x)=z\),
\[ z\in f(Y). \]
Así,
\[ f(X)\subseteq f(Y). \]
¿Dónde utilizamos que \(f\) era inyectiva?
En ninguna parte.
Esto no invalida la prueba. Revela algo mejor: la afirmación sigue siendo verdadera sin esa hipótesis.
Podemos fortalecer el resultado:
Para cualquier función \(f:A\to B\), si \(X\subseteq Y\subseteq A\), entonces
\[ f(X)\subseteq f(Y). \]
Por eso una hipótesis no utilizada merece atención, pero no autoriza por sí sola a declarar que la prueba está equivocada.
Puede ser una señal de que todavía falta una idea; también puede revelar redundancia en el enunciado.
Mantener la trazabilidad
Durante una búsqueda algo más larga conviene conservar la procedencia de las afirmaciones importantes.
Por ejemplo, si sabemos
\[ H_1:\, x\in A, \]
\[ H_2:\, A\subseteq B, \]
\[ H_3:\, B\subseteq D, \]
podemos registrar mentalmente —o en el borrador—
\[ x\in A \overset{H_2}{\Longrightarrow} x\in B \overset{H_3}{\Longrightarrow} x\in D. \]
Las etiquetas no son necesarias en la prueba final, pero durante la exploración cumplen una función: evitan que una consecuencia aparezca desligada de sus premisas.
Esto es especialmente importante cuando intervienen varios objetos o varias hipótesis parecidas. Una afirmación obtenida legítimamente puede dejar de ser utilizable si olvidamos bajo qué condiciones fue obtenida.
La búsqueda debe permitir siempre reconstruir una cadena de dependencias.
Avanzar no es manipular símbolos sin dirección
Volvamos por un momento a la relación
\[ x+y=1. \]
A partir de ella podemos producir indefinidamente expresiones equivalentes:
\[ y=1-x, \]
\[ x=1-y, \]
\[ 2x+2y=2, \]
\[ x+y-1=0, \]
\[ (x+y)^2=1, \]
\[ x^2+2xy+y^2=1, \]
y muchas más.
Todas proceden legítimamente de la hipótesis.
Pero una lista cada vez más larga no constituye necesariamente progreso.
Si nuestro objetivo fuese
\[ x^2+2xy+y^2=1, \]
entonces elevar al cuadrado sería decisivo.
Si el objetivo fuese
\[ y=1-x, \]
bastaría despejar.
Si buscamos una cota para \(xy\), quizá la expansión
\[ x^2+2xy+y^2=1 \]
resulte útil sólo cuando podamos relacionar los términos cuadrados con alguna cantidad no negativa.
La misma hipótesis admite muchas transformaciones. El objetivo es lo que permite valorar su pertinencia.
Por eso el trabajo hacia adelante tiene siempre dos componentes:
\[ \boxed{\text{corrección}} \qquad\text{y}\qquad \boxed{\text{dirección}}. \]
Una consecuencia debe ser legítima, pero además queremos saber por qué la estamos produciendo.
Consecuencias inmediatas antes de consecuencias sofisticadas
Cuando una prueba se resiste, es tentador buscar enseguida un teorema potente o una transformación ingeniosa.
Antes conviene agotar las consecuencias inmediatas de las hipótesis que parecen estructuralmente relevantes.
Si sabemos
\[ x\in A\cap B, \]
extraemos
\[ x\in A \qquad\text{y}\qquad x\in B. \]
Si sabemos que \(f\) es inyectiva, conservamos disponible la regla
\[ f(u)=f(v) \Longrightarrow u=v. \]
Si sabemos
\[ a<b, \]
podemos preguntarnos qué operaciones preservan esa desigualdad bajo las condiciones presentes.
Si una hipótesis es una existencia,
\[ \exists x\in A\;P(x), \]
podemos introducir un testigo del que sabemos
\[ x\in A \qquad\text{y}\qquad P(x). \]
Estas operaciones no son espectaculares. Precisamente por eso son fáciles de omitir.
Muchas pruebas se bloquean no porque falte una idea profunda, sino porque una hipótesis todavía no ha sido desempaquetada hasta la forma en que puede interactuar con las demás.
Un mapa de información
Podemos representar el trabajo hacia adelante no como una única cadena, sino como una pequeña red:
\[ \begin{array}{ccccc} H_1 & \longrightarrow & R_1 & \longrightarrow & R_3\\ & & \uparrow & & \\ H_2 & \longrightarrow & R_2 & & \\ \\[-0.5em] H_3 & \longrightarrow & R_4. & & \end{array} \]
Algunas ramas se conectarán.
Otras terminarán sin utilidad.
La tarea no consiste en desarrollar todas las ramas hasta el infinito, sino en reconocer cuál de ellas parece aproximarse a la región donde vive el objetivo.
Esta imagen también explica por qué un intento fallido puede ser informativo: quizá una rama produzca consecuencias correctas pero nunca interactúe con el resto de los datos. En §7.7 aprenderemos a utilizar ese fracaso como diagnóstico.
¿Cuándo conviene dejar de avanzar?
Trabajar hacia adelante tiene un límite práctico.
Si hemos obtenido varias consecuencias correctas pero ninguna parece reducir el hueco hacia el objetivo, seguir produciendo fórmulas puede convertirse en actividad sin estrategia.
Una señal de detención es:
sé cada vez más cosas, pero no sé mejor por qué la conclusión debería seguirse.
En ese momento no debemos concluir que el teorema sea falso ni que la prueba sea imposible.
Puede ser necesario cambiar de pregunta.
En lugar de seguir preguntando
«¿qué más puedo obtener de las hipótesis?»,
podemos preguntar
«¿qué tendría que obtener para que el objetivo quedara demostrado?»
Ese cambio de dirección será el tema de la sección siguiente.
Trabajar hacia adelante significa extraer consecuencias justificadas de las hipótesis y conservar su procedencia.
Pero una consecuencia verdadera no es automáticamente una consecuencia útil. El objetivo funciona como criterio de selección: buscamos información que pueda reducir el hueco entre los datos y lo que todavía falta demostrar.
Comprobación
Supón que
\[ A\subseteq B, \qquad B\subseteq C, \qquad x\in A. \]
Quieres demostrar
\[ x\in C. \]
¿Qué cadena hacia adelante es la más directa y qué papel cumple cada hipótesis?
Respuesta razonada.
De
\[ x\in A \]
y
\[ A\subseteq B \]
obtenemos
\[ x\in B. \]
Esta nueva información activa la segunda inclusión:
\[ x\in B \qquad\text{y}\qquad B\subseteq C \]
implican
\[ x\in C. \]
Por tanto, la cadena es
\[ \boxed{x\in A} \overset{A\subseteq B}{\Longrightarrow} \boxed{x\in B} \overset{B\subseteq C}{\Longrightarrow} \boxed{x\in C}. \]
La primera inclusión permite abandonar \(A\) y entrar en \(B\); la segunda permite pasar de \(B\) a \(C\). Ninguna de las dos inclusiones produce por sí sola la conclusión: la cadena aparece al combinar los datos en el orden adecuado.
Del avance a la pregunta inversa
Trabajar hacia adelante nos enseña a explotar lo que ya tenemos.
Pero puede ocurrir que, después de varias consecuencias razonables, todavía no sepamos cuál de ellas necesitamos.
Entonces el objetivo debe participar de manera más activa en la búsqueda.
En §7.3 aprenderemos a trabajar hacia atrás desde lo que queremos demostrar: no para invertir ilegítimamente las implicaciones, sino para identificar condiciones suficientes que, si logramos alcanzarlas desde las hipótesis, cerrarían el argumento.
7.3. Trabajar hacia atrás desde el objetivo
En la sección anterior comenzamos por las hipótesis y preguntamos qué consecuencias podían producir. Ahora cambiaremos el punto de vista.
Supongamos que el objetivo es una afirmación \(Q\) y que todavía no vemos cómo alcanzarla. En vez de seguir generando consecuencias desde los datos, podemos preguntar:
¿Qué me bastaría demostrar para que \(Q\) quedara establecido?
Si encontramos una condición \(R\) tal que
\[ R\Rightarrow Q, \]
podemos convertir provisionalmente el problema en otro:
\[ \boxed{\text{demostrar }R}. \]
Eso es trabajar hacia atrás.
No hemos demostrado todavía \(Q\). Hemos identificado una condición suficiente para obtenerla.
Cambiar el problema de búsqueda
La operación central puede representarse así:
\[ \boxed{Q} \quad\Longleftarrow\quad \boxed{R}. \]
La flecha apunta hacia \(Q\) porque lo que sabemos es
\[ R\Rightarrow Q. \]
Durante la búsqueda, sin embargo, nuestra atención se desplaza en sentido contrario: partimos visualmente de \(Q\) y buscamos una afirmación \(R\) que sería suficiente.
Por eso conviene distinguir dos direcciones:
\[ \text{dirección de búsqueda:} \qquad Q\rightsquigarrow R, \]
\[ \text{dirección de justificación:} \qquad R\Rightarrow Q. \]
La primera flecha no representa una inferencia lógica. Representa una decisión estratégica.
Esta distinción evita uno de los errores más peligrosos del trabajo hacia atrás: escribir el razonamiento de descubrimiento como si ya fuera una demostración.
Un ejemplo: descubrir una desigualdad
Sea \(x>0\). Queremos demostrar
\[ x+\frac1x\ge2. \]
Supongamos que la idea no es inmediata.
Podemos comenzar desde el objetivo y preguntar qué desigualdad equivalente aparecería si elimináramos el denominador. Como \(x>0\), multiplicar por \(x\) conserva el sentido de la desigualdad. Así,
\[ x+\frac1x\ge2 \]
es equivalente a
\[ x^2+1\ge2x. \]
Reordenando,
\[ x^2-2x+1\ge0, \]
es decir,
\[ (x-1)^2\ge0. \]
Ahora hemos llegado a una afirmación que conocemos.
El borrador de descubrimiento puede verse como
\[ \boxed{x+\frac1x\ge2} \Longleftarrow \boxed{x^2+1\ge2x} \Longleftarrow \boxed{(x-1)^2\ge0}. \]
En este caso cada transformación es reversible bajo la hipótesis \(x>0\). Pero la prueba final conviene escribirla en la dirección justificativa:
Demostración. Como \(x\in\mathbb R\),
\[ (x-1)^2\ge0. \]
Por tanto,
\[ x^2-2x+1\ge0, \]
de donde
\[ x^2+1\ge2x. \]
Como \(x>0\), podemos dividir por \(x\) sin cambiar el sentido de la desigualdad. Obtenemos
\[ x+\frac1x\ge2. \]
\(\square\)
El trabajo hacia atrás descubrió el punto de partida útil. La prueba final no necesitó fingir que habíamos inferido \((x-1)^2\ge0\) desde la conclusión.
No toda transformación hacia atrás es reversible
El ejemplo anterior puede producir una falsa sensación de seguridad porque todas las transformaciones resultaron equivalentes.
En general, al trabajar hacia atrás sólo necesitamos una condición suficiente.
Supongamos que queremos demostrar \(Q\) y descubrimos
\[ R\Rightarrow Q. \]
Entonces demostrar \(R\) basta, aunque \(Q\) no implique \(R\).
Por ejemplo, si queremos demostrar que un entero \(n\) es par, sería suficiente demostrar que \(n\) es múltiplo de \(4\):
\[ 4\mid n \Rightarrow 2\mid n. \]
Pero la condición es más fuerte de lo necesario. Un entero puede ser par sin ser múltiplo de \(4\).
Esto introduce una consideración estratégica: una condición suficiente puede ser correcta y, sin embargo, resultar demasiado difícil de alcanzar desde las hipótesis.
Trabajar hacia atrás no consiste sólo en encontrar alguna condición suficiente, sino en encontrar una que tenga posibilidades razonables de conectarse con los datos disponibles.
Una flecha en el sentido incorrecto
Hay una diferencia esencial entre encontrar una condición suficiente para el objetivo y encontrar simplemente una consecuencia del objetivo.
Supongamos que queremos demostrar
\[ x=y. \]
Es cierto que
\[ x=y \Rightarrow x^2=y^2. \]
Pero de aquí no podemos concluir que bastaría demostrar
\[ x^2=y^2. \]
En los reales,
\[ x^2=y^2 \]
permite también
\[ x=-y. \]
La relación disponible tiene la orientación
\[ Q\Rightarrow R, \]
cuando para trabajar hacia atrás necesitamos
\[ R\Rightarrow Q. \]
Por tanto, ante cada paso regresivo debemos preguntar:
Si logro demostrar esta nueva meta, ¿la meta anterior se sigue realmente de ella?
Esta pregunta controla la dirección lógica del procedimiento.
Equivalencia, suficiencia y mera consecuencia
Cuando reformulamos un objetivo \(Q\) durante la búsqueda pueden darse tres situaciones distintas.
Primera situación: equivalencia.
\[ R\Longleftrightarrow Q. \]
Podemos reemplazar el objetivo por \(R\) sin perder ni ganar casos.
Segunda situación: condición suficiente.
\[ R\Rightarrow Q. \]
Demostrar \(R\) bastará, aunque quizá estemos imponiendo una condición más fuerte de la necesaria.
Tercera situación: sólo una consecuencia del objetivo.
\[ Q\Rightarrow R. \]
Demostrar \(R\) no basta en general para recuperar \(Q\). Esta transformación no es válida como sustitución regresiva del objetivo.
Distinguir estas tres posibilidades es una disciplina básica del trabajo hacia atrás.
Trabajar hacia atrás con una meta de conjuntos
La técnica no pertenece sólo al álgebra.
Supongamos que queremos demostrar
\[ X\cup Z\subseteq Y\cup Z \]
bajo la hipótesis
\[ X\subseteq Y. \]
La arquitectura de inclusión nos lleva a tomar
\[ u\in X\cup Z \]
y fijar como objetivo
\[ u\in Y\cup Z. \]
Ahora podemos mirar el objetivo desde atrás.
Para demostrar
\[ u\in Y\cup Z, \]
sería suficiente demostrar una de las dos condiciones
\[ u\in Y \qquad\text{o}\qquad u\in Z. \]
Esto nos indica qué información debemos buscar en la hipótesis
\[ u\in X\cup Z. \]
Al desplegarla aparecen justamente dos posibilidades:
\[ u\in X \qquad\text{o}\qquad u\in Z. \]
Si \(u\in X\), la inclusión \(X\subseteq Y\) produce \(u\in Y\). Si \(u\in Z\), ya tenemos directamente la segunda condición suficiente.
El análisis del objetivo no hizo la prueba por sí solo. Nos dijo qué clase de información sería útil encontrar.
Metas intermedias encadenadas
A veces una única transformación regresiva no basta.
Podemos construir una cadena de condiciones suficientes:
\[ Q \Longleftarrow R \Longleftarrow S \Longleftarrow T. \]
Lo que esta escritura significa es
\[ T\Rightarrow S, \qquad S\Rightarrow R, \qquad R\Rightarrow Q. \]
Si finalmente logramos obtener \(T\) desde las hipótesis, la prueba podrá recorrer la cadena en el sentido legítimo:
\[ T\Rightarrow S\Rightarrow R\Rightarrow Q. \]
La exploración puede, por tanto, avanzar visualmente de derecha a izquierda mientras la justificación final avanza de izquierda a derecha.
Esta inversión aparente no es un problema siempre que mantengamos clara la orientación de cada implicación.
Una nueva meta puede ser peor que la anterior
El trabajo hacia atrás tampoco garantiza progreso.
Podemos reemplazar un objetivo por una condición suficiente que sea:
- demasiado fuerte;
- más complicada que el objetivo original;
- desconectada de las hipótesis;
- o dependiente de un resultado que todavía no tenemos.
Por ejemplo, para demostrar que un entero \(n\) es par podríamos proponernos demostrar
\[ n=0. \]
La condición es suficiente:
\[ n=0\Rightarrow 2\mid n. \]
Pero salvo que las hipótesis apunten realmente a \(n=0\), esta sustitución probablemente ha empeorado el problema.
Una buena meta intermedia no sólo debe implicar el objetivo. También debe ser alcanzable desde la información disponible.
Todavía no estudiaremos sistemáticamente cómo reconocer esa conexión. Ésa será precisamente la función de §7.4.
Mantener visibles las obligaciones
Durante un borrador puede ser útil registrar las metas regresivas con una notación que no las confunda con afirmaciones ya demostradas.
Por ejemplo:
\[ \text{OBJETIVO: }Q \]
\[ \text{bastaría: }R \]
\[ \text{bastaría para }R:\ S. \]
Eso es muy distinto de escribir sin más
\[ Q\Rightarrow R\Rightarrow S, \]
porque esa cadena podría afirmar implicaciones que no poseemos.
El borrador debe permitir distinguir al menos tres estados:
\[ \boxed{\text{dato disponible}}, \qquad \boxed{\text{meta pendiente}}, \qquad \boxed{\text{relación demostrada entre ambas}}. \]
Esta separación será especialmente importante cuando combinemos trabajo hacia adelante y hacia atrás.
Trabajar hacia atrás no significa inferir las causas desde las consecuencias.
Significa buscar una condición \(R\) cuya verdad sea suficiente para el objetivo \(Q\):
\[ R\Rightarrow Q. \]
Durante el descubrimiento podemos mover nuestra atención de \(Q\) hacia \(R\). La prueba final deberá justificar la dirección contraria, desde aquello que realmente sabemos hasta la conclusión.
Comprobación
Quieres demostrar una afirmación \(Q\). Consideras tres posibles metas auxiliares \(R,S,T\) y sabes que
\[ Q\Rightarrow R, \]
\[ S\Rightarrow Q, \]
\[ T\Longleftrightarrow Q. \]
¿Cuáles pueden sustituir legítimamente a \(Q\) como metas durante un trabajo hacia atrás?
Respuesta razonada.
La condición \(S\) puede utilizarse porque
\[ S\Rightarrow Q. \]
Si conseguimos demostrar \(S\), el objetivo original queda demostrado.
También podemos reemplazar \(Q\) por \(T\), porque
\[ T\Longleftrightarrow Q \]
incluye en particular
\[ T\Rightarrow Q. \]
En cambio, conocer sólo
\[ Q\Rightarrow R \]
no permite reemplazar el objetivo por \(R\). \(R\) puede ser una consecuencia necesaria de \(Q\) y, sin embargo, ser demasiado débil para recuperarlo.
Por tanto, las sustituciones regresivas válidas son
\[ Q\Longleftarrow S \]
y
\[ Q\Longleftrightarrow T. \]
La dirección de la implicación decide si la nueva meta realmente basta.
Dos frentes todavía separados
Ahora disponemos de dos movimientos complementarios.
Desde las hipótesis podemos avanzar:
\[ \text{datos} \longrightarrow \text{consecuencias disponibles}. \]
Desde el objetivo podemos retroceder en la búsqueda:
\[ \text{condiciones suficientes} \longrightarrow \text{objetivo}. \]
Pero todavía pueden quedar separados:
\[ \text{datos} \longrightarrow \boxed{\text{lo que sabemos obtener}} \qquad\Big|\qquad \boxed{\text{lo que necesitaríamos}} \longrightarrow \text{objetivo}. \]
La siguiente sección estudiará el momento central del descubrimiento: hacer que esos dos frentes se encuentren.
7.4. Hacer que los dos extremos se encuentren
En las dos secciones anteriores hemos aprendido a movernos desde extremos opuestos del problema.
Desde las hipótesis podemos avanzar:
\[ \text{datos} \longrightarrow \text{consecuencias disponibles}. \]
Desde el objetivo podemos trabajar hacia atrás y preguntar qué condiciones serían suficientes:
\[ \text{condiciones suficientes} \longrightarrow \text{objetivo}. \]
El momento decisivo aparece cuando esas dos búsquedas dejan de ser independientes.
Supongamos que hacia adelante hemos llegado a una afirmación \(R\) y que, al trabajar desde el objetivo \(Q\), descubrimos que sería suficiente demostrar una afirmación \(S\):
\[ \text{hipótesis} \longrightarrow R \qquad\Big|\qquad S \longrightarrow Q. \]
La pregunta estratégica ya no es simplemente
«¿qué más puedo deducir?»
ni tampoco
«¿qué otra condición bastaría?».
Ahora podemos preguntar algo mucho más preciso:
¿cómo conecto \(R\) con \(S\)?
Éste es el hueco intermedio de la prueba.
Descubrir una demostración consiste muchas veces en reducir un problema amplio a esta pregunta local.
Un ejemplo central: localizar el punto de encuentro
Sean \(u,v,w\in\mathbb R\) y supongamos
\[ u\le v \]
y
\[ w\ge0. \]
Queremos demostrar
\[ uw\le vw. \]
Sabemos desde C06 qué arquitectura tiene el argumento: partimos de las dos hipótesis y debemos justificar la desigualdad final.
Pero examinemos el problema desde ambos extremos.
Hacia adelante
De
\[ u\le v \]
obtenemos
\[ v-u\ge0. \]
Como además
\[ w\ge0, \]
el producto de dos reales no negativos es no negativo. Por tanto,
\[ w(v-u)\ge0. \]
Nuestro frente hacia adelante ha llegado a
\[ \boxed{w(v-u)\ge0}. \]
Hacia atrás
Ahora miremos el objetivo:
\[ uw\le vw. \]
Sería suficiente demostrar
\[ 0\le vw-uw. \]
Factorizando,
\[ vw-uw=w(v-u). \]
Por tanto, una condición suficiente para el objetivo es precisamente
\[ \boxed{w(v-u)\ge0}. \]
Los dos frentes han llegado a la misma afirmación:
\[ \begin{aligned} &u\le v,\ &w\ge0 \end{aligned} \quad\longrightarrow\quad \boxed{w(v-u)\ge0} \quad\longrightarrow\quad uw\le vw. \]
El hueco ha desaparecido.
La prueba final puede escribirse ahora linealmente:
Demostración. De \(u\le v\) se sigue
\[ v-u\ge0. \]
Como \(w\ge0\), tenemos
\[ w(v-u)\ge0. \]
Por distributividad,
\[ vw-uw\ge0, \]
y por tanto
\[ uw\le vw. \]
\(\square\)
La idea importante no es la desigualdad. Es que la búsqueda produjo una afirmación intermedia que era simultáneamente
- una consecuencia alcanzable desde las hipótesis;
- y una condición suficiente para el objetivo.
Eso es un punto de encuentro.
El puente puede ser una afirmación exacta
En el ejemplo anterior ambos frentes llegaron literalmente a la misma expresión:
\[ w(v-u)\ge0. \]
Éste es el caso más limpio:
\[ \text{datos} \longrightarrow \boxed{M} \longrightarrow \text{objetivo}. \]
Una vez que \(M\) está justificado desde los datos y sabemos que \(M\) implica el objetivo, la búsqueda principal ha terminado.
Queda todavía revisar que cada paso sea válido y reconstruir la prueba final, pero ya no existe un hueco conceptual entre los extremos.
El puente también puede ser una implicación corta
No siempre los dos frentes llegan a la misma oración.
Puede ocurrir que hacia adelante obtengamos \(R\) y hacia atrás descubramos que necesitamos \(S\):
\[ \text{datos} \longrightarrow R \qquad\Big|\qquad S \longrightarrow Q. \]
Si encontramos una razón para afirmar
\[ R\Rightarrow S, \]
la conexión queda cerrada:
\[ \text{datos} \longrightarrow R \longrightarrow S \longrightarrow Q. \]
En este caso el puente no es una afirmación común, sino una inferencia entre dos estados intermedios.
Por eso conviene distinguir
\[ \boxed{\text{lo que ya sabemos obtener}} \]
de
\[ \boxed{\text{lo que todavía necesitamos}}. \]
La diferencia entre ambos puede ser mucho menor que la diferencia entre las hipótesis originales y el objetivo original.
Reducir el problema hasta que el hueco sea local
Esta reducción es una de las ventajas principales de trabajar con dos frentes.
Al comienzo podemos tener una pregunta amplia:
«¿Cómo demuestro \(Q\) a partir de todas estas hipótesis?»
Después de avanzar y retroceder de manera controlada, la pregunta puede convertirse en algo mucho más específico:
«Sé demostrar \(R\). Para terminar me bastaría \(S\). ¿Puedo obtener \(S\) a partir de \(R\)?»
El problema global se ha convertido en un problema local.
Podemos representarlo así:
\[ \underbrace{ \text{hipótesis} \longrightarrow \cdots \longrightarrow R }_{\text{parte ya accesible}} \qquad \boxed{?} \qquad \underbrace{ S \longrightarrow \cdots \longrightarrow \text{objetivo} }_{\text{parte ya comprendida}}. \]
La caja central concentra ahora la búsqueda.
Este principio será importante más adelante: cuando una prueba parece difícil, no siempre necesitamos inventar una cadena completa de una sola vez. Puede bastar con identificar exactamente qué enlace falta.
Un ejemplo con funciones
Sea
\[ f:A\to B \]
y supongamos que \(g:B\to C\) es una función tal que la composición
\[ g\circ f:A\to C \]
es sobreyectiva.
Queremos demostrar que \(g\) es sobreyectiva.
La conclusión significa que debemos tomar un elemento arbitrario
\[ c\in C \]
y encontrar un elemento
\[ b\in B \]
tal que
\[ g(b)=c. \]
Éste es nuestro frente desde el objetivo:
\[ \boxed{\text{necesitamos un }b\in B\text{ con }g(b)=c}. \]
Ahora avancemos desde la hipótesis. Como \(g\circ f\) es sobreyectiva, para ese mismo \(c\in C\) existe
\[ a\in A \]
tal que
\[ (g\circ f)(a)=c. \]
Es decir,
\[ g(f(a))=c. \]
Nuestro frente hacia adelante ha producido
\[ \boxed{g(f(a))=c}. \]
La conexión se vuelve visible en cuanto comparamos ambas expresiones.
Necesitamos un \(b\in B\) cuya imagen por \(g\) sea \(c\), y ya disponemos del objeto
\[ f(a)\in B \]
con precisamente esa propiedad.
Por tanto elegimos
\[ b=f(a). \]
Aquí el puente no fue una nueva identidad complicada. Fue reconocer que un objeto producido por el frente hacia adelante tiene exactamente el tipo que pedía el frente construido desde el objetivo.
Este ejemplo muestra que el encuentro puede ocurrir no sólo entre fórmulas, sino también entre objetos requeridos y objetos disponibles.
Comparar el tipo de información
Cuando los dos frentes parecen cercanos conviene comparar no sólo las expresiones, sino también qué clase de información contienen.
Podemos preguntar:
- ¿necesito una igualdad y ya tengo otra igualdad con los mismos objetos?;
- ¿necesito una desigualdad y he obtenido una cantidad no negativa relacionada?;
- ¿necesito un elemento de cierto conjunto y ya he construido un candidato?;
- ¿necesito una existencia y dispongo de otra existencia cuyo testigo puede reutilizarse?;
- ¿necesito demostrar que dos objetos coinciden y he obtenido una hipótesis que activa una condición de unicidad o inyectividad?;
- ¿necesito una pertenencia y ya tengo una cadena de inclusiones que puede transportarla?
Estas preguntas no son recetas independientes. Son maneras de comprobar si ambos lados del hueco están expresados en formas compatibles.
A veces los extremos casi se encuentran
Puede ocurrir que obtengamos
\[ R \]
y necesitemos
\[ S, \]
pero que la relación entre ambas no sea visible en la representación actual.
Por ejemplo, un lado puede estar escrito mediante una definición y el otro mediante una expresión equivalente; o un lado puede hablar de un objeto mientras el otro habla de sus componentes.
En ese caso la situación puede parecer
\[ R \qquad\Big|\qquad S, \]
cuando en realidad una reescritura adecuada revelaría
\[ R\Longleftrightarrow S \]
o al menos
\[ R\Rightarrow S. \]
Ésta será la función de la sección siguiente: estudiar cuándo conviene desplegar una definición, cambiar de representación o introducir un objeto auxiliar para volver visible una conexión que ya está cerca.
No forzar un encuentro inexistente
La búsqueda de un puente también puede inducir errores.
Supongamos que desde las hipótesis obtenemos \(R\) y desde el objetivo descubrimos que \(S\) sería suficiente. No podemos declarar que la prueba está prácticamente terminada sólo porque \(R\) y \(S\) «se parecen».
Necesitamos una relación demostrable:
\[ R\Rightarrow S, \]
o alguna cadena intermedia que produzca esa implicación.
La semejanza notacional no es una inferencia.
Tampoco debemos modificar ilegítimamente uno de los frentes para hacerlos coincidir. Si para conectar \(R\) con \(S\) necesitamos suponer precisamente lo que intentamos demostrar, hemos introducido circularidad.
Por tanto, el encuentro debe ser verificable, no sólo visualmente convincente.
El hueco más pequeño es el problema actual
Durante la búsqueda puede ser útil formular de manera explícita:
¿Cuál es el hueco más pequeño que todavía no sé cerrar?
Al principio podría ser
\[ \text{hipótesis} \quad\Big|\quad \text{objetivo}. \]
Después de varias transformaciones quizá sea
\[ R_3 \quad\Big|\quad S_2. \]
Ese cambio representa progreso, aunque la demostración todavía no esté completa.
Hemos reemplazado una pregunta global por una obligación intermedia más precisa.
Más adelante podremos descubrir que el hueco se cierra desplegando una definición, cambiando la representación, formulando un lema o abandonando una ruta inadecuada.
Pero antes de hacer cualquiera de esas cosas necesitamos saber qué enlace estamos intentando construir.
Del mapa de búsqueda a la cadena de prueba
Supongamos que el borrador ha producido finalmente
\[ H \Rightarrow R_1 \Rightarrow R_2, \]
y, desde el objetivo,
\[ S_2 \Rightarrow S_1 \Rightarrow Q. \]
Si encontramos el puente
\[ R_2\Rightarrow S_2, \]
entonces ya podemos leer toda la estructura en una sola dirección:
\[ H \Rightarrow R_1 \Rightarrow R_2 \Rightarrow S_2 \Rightarrow S_1 \Rightarrow Q. \]
Ésta es la cadena que deberá sobrevivir en la demostración final.
El borrador puede haber descubierto sus piezas en otro orden. La prueba debe conservar sólo las dependencias que realmente han quedado justificadas.
El trabajo hacia adelante produce información alcanzable desde los datos.
El trabajo hacia atrás identifica información suficiente para alcanzar el objetivo.
La búsqueda se concentra en conectar ambos frentes:
\[ \text{datos} \longrightarrow \boxed{R} \qquad\Big|\qquad \boxed{S} \longrightarrow \text{objetivo}. \]
Si demostramos \(R\Rightarrow S\), o descubrimos que \(R\) y \(S\) son dos formas de la misma información, el hueco queda cerrado.
Comprobación
Supón que, durante una búsqueda, has obtenido desde las hipótesis
\[ H\Rightarrow R, \]
y al trabajar hacia atrás desde el objetivo \(Q\) has comprobado
\[ S\Rightarrow Q. \]
¿Qué falta exactamente para completar una ruta de prueba a través de esas dos afirmaciones?
Respuesta razonada.
Falta conectar la información disponible \(R\) con la condición suficiente \(S\).
La forma más directa sería demostrar
\[ R\Rightarrow S. \]
Entonces podríamos componer las implicaciones:
\[ H\Rightarrow R\Rightarrow S\Rightarrow Q, \]
y por tanto
\[ H\Rightarrow Q. \]
También podría ocurrir que descubramos
\[ R\Longleftrightarrow S, \]
o que ambos sean expresiones diferentes de una misma afirmación; eso también proporcionaría el enlace necesario.
En cambio, conocer sólo
\[ S\Rightarrow R \]
no cerraría el hueco en general, porque la prueba necesita avanzar desde lo que ya sabemos, \(R\), hacia lo que basta para terminar, \(S\).
La orientación del puente sigue siendo parte de la prueba.
Cuando el puente todavía está oculto
Después de identificar el hueco puede ocurrir que no sepamos todavía cómo cerrarlo.
Eso no nos devuelve al punto de partida. Ahora conocemos con precisión qué relación falta.
La siguiente pregunta será:
«¿Están \(R\) y \(S\) escritos de la forma adecuada para reconocer su conexión?»
En §7.5 estudiaremos cómo las definiciones, las representaciones y los objetos auxiliares pueden hacer visible un puente que la formulación actual mantiene oculto.
7.5. Definiciones, representaciones y objetos auxiliares
En la sección anterior redujimos la búsqueda a un problema local. Desde las hipótesis sabemos llegar hasta cierta información \(R\); desde el objetivo sabemos que cierta información \(S\) bastaría para terminar. El hueco es entonces
\[ R \qquad\Big|\qquad S. \]
A veces el puente no aparece porque falte un teorema nuevo. Puede estar oculto porque \(R\) y \(S\) están escritos en lenguajes distintos.
Una afirmación puede presentarse como pertenencia a un conjunto, como igualdad, como existencia de un objeto, como propiedad definida o como relación entre varios objetos. Cambiar de una de esas representaciones a otra puede revelar una conexión que antes no era visible.
Por eso, cuando el hueco ya está localizado, conviene preguntar:
¿Qué forma debería tener la información para que ambos lados pudieran interactuar?
Esta pregunta conduce a tres movimientos muy frecuentes:
- desplegar una definición;
- cambiar de representación;
- introducir un objeto auxiliar.
Los tres pueden ser muy eficaces. También pueden producir ruido si se aplican sin un problema concreto que resolver.
Desplegar una definición en el momento adecuado
En el capítulo 5 aprendimos que una definición transforma una expresión matemática en condiciones operativas.
Aquí la pregunta es distinta.
No preguntamos simplemente
«¿Qué significa esta definición?»
sino
«¿Me conviene desplegarla ahora para cerrar el hueco que tengo delante?»
Consideremos un ejemplo.
Sea
\[ f:A\to B \]
una función inyectiva, y sean
\[ X,Y\subseteq A \]
tales que
\[ X\cap Y=\varnothing. \]
Queremos demostrar
\[ f(X)\cap f(Y)=\varnothing. \]
La conclusión habla de una intersección de imágenes. Si intentamos manipular directamente los nombres de los conjuntos, el puente puede no ser evidente.
La definición de igualdad con el vacío sugiere que no debe existir ningún elemento en esa intersección. Supongamos entonces que un elemento
\[ z\in f(X)\cap f(Y) \]
estuviera disponible.
Desplegar la intersección produce dos datos:
\[ z\in f(X) \qquad\text{y}\qquad z\in f(Y). \]
Ahora conviene desplegar la definición de imagen. De la primera pertenencia obtenemos que existe
\[ x\in X \]
tal que
\[ f(x)=z. \]
De la segunda obtenemos que existe
\[ y\in Y \]
tal que
\[ f(y)=z. \]
Por tanto,
\[ f(x)=f(y). \]
La inyectividad, que en la representación inicial parecía separada de la intersección de imágenes, se vuelve ahora utilizable:
\[ x=y. \]
Pero entonces ese mismo elemento pertenece a \(X\) y a \(Y\), de modo que
\[ x\in X\cap Y, \]
contradiciendo
\[ X\cap Y=\varnothing. \]
La prueba no apareció porque repitiéramos todas las definiciones disponibles. Apareció porque desplegamos las definiciones que convertían el hueco en información capaz de interactuar con la inyectividad.
Podemos resumir el cambio así:
\[ f(X)\cap f(Y) \quad\leadsto\quad z\in f(X),\ z\in f(Y) \quad\leadsto\quad f(x)=f(y) \quad\leadsto\quad x=y. \]
La definición actuó como instrumento de traducción.
No desplegar todo al mismo tiempo
El ejemplo anterior podría inducir otra mala costumbre: ante cualquier problema, expandir inmediatamente todas las definiciones.
Eso suele empeorar la búsqueda.
Supongamos que un enunciado contiene simultáneamente:
- una función inyectiva;
- dos imágenes de conjuntos;
- una intersección;
- una inclusión;
- una igualdad de conjuntos.
Cada una de esas expresiones admite un despliegue detallado. Si lo hacemos todo de una vez, podemos transformar una pregunta legible en una masa de cuantificadores y variables.
La selección debe responder al hueco actual.
Si necesitamos activar la inyectividad, probablemente buscaremos una igualdad
\[ f(x)=f(y). \]
Si necesitamos demostrar una inclusión, quizá convenga introducir un elemento arbitrario.
Si necesitamos utilizar una existencia, quizá debamos extraer un testigo.
La pregunta estratégica es:
¿Qué definición produce el tipo de información que necesito en el siguiente enlace?
Cambiar de representación
A veces el problema no contiene una definición especialmente oculta. El obstáculo consiste en que una misma información puede escribirse de varias maneras y sólo una de ellas hace visible la conexión.
Supongamos que queremos demostrar, para \(a,b\in\mathbb R\),
\[ a^2+b^2\ge 2ab. \]
En la forma original aparecen tres términos cuadráticos o bilineales. Podemos mover todo a un lado:
\[ a^2-2ab+b^2\ge0. \]
Ahora reconocemos
\[ a^2-2ab+b^2=(a-b)^2. \]
La desigualdad se convierte en
\[ (a-b)^2\ge0, \]
que es inmediata.
No hemos cambiado el problema. Hemos cambiado su representación hasta hacer visible una propiedad disponible: la no negatividad de los cuadrados reales.
El movimiento puede esquematizarse como
\[ \boxed{a^2+b^2\ge2ab} \quad\longleftrightarrow\quad \boxed{(a-b)^2\ge0}. \]
En otros problemas el cambio de representación puede consistir en:
- pasar de una igualdad de conjuntos a dos inclusiones;
- pasar de una pertenencia a una preimagen a una condición sobre la imagen del elemento;
- escribir una divisibilidad como existencia de un entero multiplicador;
- transformar una igualdad de funciones en una igualdad punto a punto;
- expresar una afirmación verbal mediante cuantificadores;
- sustituir una expresión por otra equivalente que haga visible una hipótesis.
El objetivo no es preferir siempre una representación «más algebraica» o «más simbólica». Es encontrar una representación en la que las dependencias relevantes se vuelvan operativas.
Controlar qué se conserva al cambiar de forma
Un cambio de representación sólo sirve si sabemos qué relación mantiene con la formulación original.
A veces tenemos equivalencia:
\[ R\Longleftrightarrow S. \]
Entonces podemos movernos entre ambas formas sin perder información.
Otras veces sólo tenemos una implicación:
\[ R\Rightarrow S. \]
En ese caso el cambio puede ser útil en una dirección y peligroso en la otra.
Por ejemplo,
\[ x=y \Rightarrow x^2=y^2, \]
pero no podemos reemplazar libremente una meta \(x=y\) por \(x^2=y^2\).
Así, cambiar de representación no suspende las reglas del capítulo anterior. Cada reescritura debe conservar la orientación lógica que realmente poseemos.
Introducir un objeto auxiliar
A veces los dos lados del hueco no se conectan porque falta un objeto que permita transportar la información.
Consideremos funciones
\[ f:A\to B, \qquad g,h:B\to C, \]
y supongamos que \(f\) es sobreyectiva y que
\[ g\circ f=h\circ f. \]
Queremos demostrar
\[ g=h. \]
La igualdad de funciones nos pide probar que para todo
\[ b\in B \]
se cumple
\[ g(b)=h(b). \]
Fijemos entonces un \(b\in B\) arbitrario.
Nuestro objetivo local es
\[ g(b)=h(b). \]
La hipótesis disponible, sin embargo, habla de valores de la forma
\[ g(f(a)) \qquad\text{y}\qquad h(f(a)). \]
El hueco está claro:
\[ b \qquad\Big|\qquad f(a). \]
Aquí la sobreyectividad indica exactamente qué objeto auxiliar necesitamos. Como \(f\) es sobreyectiva, existe
\[ a\in A \]
tal que
\[ f(a)=b. \]
Ese \(a\) no aparece en la conclusión del teorema. Su función es permitirnos llevar \(b\) al lenguaje en que actúa la hipótesis de composición.
Ahora,
\[ g(b) = g(f(a)) = h(f(a)) = h(b). \]
Por tanto,
\[ g(b)=h(b). \]
Como \(b\) era arbitrario,
\[ g=h. \]
El objeto auxiliar \(a\) fue un puente. No era parte del objetivo final; fue introducido porque resolvía una incompatibilidad concreta entre las formas disponibles de la información.
Un objeto auxiliar debe tener una función
Durante la exploración es legítimo introducir nombres, puntos, conjuntos, variables o expresiones nuevas.
Pero cada introducción aumenta la complejidad del problema.
Por eso conviene poder responder:
¿Qué relación espero volver posible gracias a este objeto?
En el ejemplo anterior, la respuesta era precisa:
necesito representar el elemento arbitrario \(b\in B\) como \(f(a)\) para poder aplicar la igualdad \(g\circ f=h\circ f\).
Sin una función identificable, introducir objetos adicionales puede generar nuevas obligaciones sin reducir el hueco original.
Un buen objeto auxiliar suele cumplir al menos una de estas tareas:
- convierte un objeto dado en uno al que puede aplicarse una hipótesis;
- reúne varias cantidades en una sola expresión;
- proporciona un testigo para una existencia;
- permite comparar dos objetos mediante una propiedad de unicidad;
- traduce una configuración a una representación más manejable.
Definición, representación y auxiliar pueden actuar juntos
Los tres movimientos no son independientes.
En el ejemplo de las imágenes de conjuntos:
- desplegamos la definición de pertenencia a una imagen;
- esa definición produjo objetos auxiliares \(x\) e \(y\);
- la igualdad de sus imágenes puso el problema en la representación exacta que necesitaba la inyectividad.
La secuencia fue
\[ \text{intersección de imágenes} \longrightarrow \text{existencia de preimágenes} \longrightarrow \text{igualdad de valores} \longrightarrow \text{igualdad de entradas}. \]
Una estrategia real puede combinar varios cambios de lenguaje antes de que aparezca el puente.
Elegir la representación que reduce el hueco
Podemos reformular el principio general de esta sección.
Supongamos que el trabajo previo nos ha dejado
\[ R \qquad\Big|\qquad S. \]
Antes de buscar una idea completamente nueva podemos intentar transformar uno o ambos lados:
\[ R \longrightarrow R' \qquad\Big|\qquad S' \longrightarrow S. \]
La transformación es útil si el nuevo hueco
\[ R' \qquad\Big|\qquad S' \]
es más fácil de cerrar que el anterior.
Éste es el criterio relevante.
No importa cuántas reescrituras hagamos, sino si la nueva forma produce una relación que podamos justificar.
Una definición, una representación alternativa o un objeto auxiliar son útiles cuando convierten el hueco actual en uno más pequeño o más explícito.
No desplegamos definiciones por rutina ni introducimos objetos por decoración. Cada cambio debe responder a una pregunta concreta:
¿qué conexión se vuelve visible en esta nueva forma?
Comprobación
Sean
\[ f:A\to B, \qquad g,h:B\to C, \]
con \(f\) sobreyectiva, y supón
\[ g\circ f=h\circ f. \]
Quieres demostrar \(g=h\).
¿Por qué, para un \(b\in B\) arbitrario, introducir un \(a\in A\) tal que \(f(a)=b\) es una decisión estratégica y no una variable añadida sin propósito?
Respuesta razonada.
La meta local es
\[ g(b)=h(b), \]
mientras que la hipótesis de composición proporciona información sobre expresiones de la forma
\[ g(f(a)) \qquad\text{y}\qquad h(f(a)). \]
Por tanto, las dos partes del problema están escritas inicialmente en formas incompatibles.
La sobreyectividad de \(f\) permite elegir \(a\in A\) con
\[ f(a)=b. \]
Así podemos reescribir el objetivo como
\[ g(f(a))=h(f(a)), \]
que es precisamente la información suministrada por
\[ g\circ f=h\circ f. \]
El objeto auxiliar \(a\) tiene, entonces, una función identificable: transforma el elemento \(b\) del objetivo en un argumento al que puede aplicarse la hipótesis disponible.
Cuando la nueva representación todavía no basta
Puede ocurrir que, después de desplegar las definiciones pertinentes, cambiar de representación e introducir los objetos naturales, el hueco siga abierto.
Entonces quizá no falte otra reescritura, sino una afirmación matemática intermedia que todavía no hemos demostrado.
En ese caso la pregunta cambia de nuevo:
«¿Qué resultado intermedio resolvería exactamente este obstáculo?»
Esa pregunta conduce al siguiente paso: construir un lema auxiliar.
7.6. Construir un lema auxiliar
A veces el hueco ya está bien localizado y, sin embargo, ninguna reescritura elemental consigue cerrarlo.
Sabemos obtener una afirmación \(R\) desde las hipótesis. También sabemos que una afirmación \(S\) bastaría para alcanzar el objetivo. Pero todavía falta justificar
\[ R\Rightarrow S. \]
En ese momento puede ser útil aislar esa obligación y convertirla en un problema propio.
Eso es, en esencia, construir un lema auxiliar.
La idea no consiste en añadir un resultado porque parezca interesante. Consiste en formular una afirmación intermedia cuya función dentro de la prueba pueda explicarse con precisión.
Podemos representar la situación así:
\[ \text{hipótesis} \longrightarrow R \qquad\Big|\qquad S \longrightarrow \text{objetivo}. \]
Si el obstáculo es pasar de \(R\) a \(S\), un lema útil debería producir precisamente ese enlace o uno suficientemente cercano:
\[ \boxed{R\Rightarrow S}. \]
Antes de intentar demostrarlo conviene poder responder cuatro preguntas:
- ¿qué obstáculo resuelve?;
- ¿qué conclusión necesita producir?;
- ¿sus hipótesis son alcanzables desde los datos disponibles?;
- ¿realmente simplifica el problema principal?
Estas preguntas distinguen un lema estratégico de una afirmación lateral que sólo aumenta la cantidad de trabajo.
Del obstáculo a la formulación
Consideremos tres funciones
\[ f:A\to B, \qquad g:B\to C, \qquad h:C\to D, \]
y supongamos que las tres son inyectivas.
Queremos demostrar que
\[ h\circ g\circ f \]
es inyectiva.
Podemos atacar directamente la composición completa. Sean \(x,y\in A\) y supongamos
\[ (h\circ g\circ f)(x) = (h\circ g\circ f)(y). \]
Entonces, usando sucesivamente la inyectividad de \(h\), de \(g\) y de \(f\), obtendríamos
\[ g(f(x))=g(f(y)), \]
luego
\[ f(x)=f(y), \]
y finalmente
\[ x=y. \]
La prueba funciona. Pero contiene un patrón que merece aislarse: la composición de dos funciones inyectivas vuelve a ser inyectiva.
Ese patrón puede formularse como un lema.
Lema. Sean
\[ p:X\to Y \qquad\text{y}\qquad q:Y\to Z. \]
Si \(p\) y \(q\) son inyectivas, entonces
\[ q\circ p:X\to Z \]
es inyectiva.
¿Por qué esta afirmación tiene la forma adecuada?
Porque sus hipótesis son exactamente propiedades que ya poseemos para las funciones de la prueba principal, y su conclusión produce exactamente el tipo de objeto que necesitamos volver a utilizar.
Demostrar el lema
Sean \(u,v\in X\) y supongamos
\[ (q\circ p)(u)=(q\circ p)(v). \]
Entonces
\[ q(p(u))=q(p(v)). \]
Como \(q\) es inyectiva,
\[ p(u)=p(v). \]
Como \(p\) es inyectiva,
\[ u=v. \]
Por tanto,
\[ q\circ p \]
es inyectiva.
\(\square\)
El lema ya está disponible como una pieza independiente.
Volver al problema principal
Ahora podemos utilizarlo dos veces.
Como \(f\) y \(g\) son inyectivas, el lema implica que
\[ g\circ f:A\to C \]
es inyectiva.
Como \(g\circ f\) es inyectiva y \(h\) también lo es, una segunda aplicación del lema nos da que
\[ h\circ(g\circ f):A\to D \]
es inyectiva.
Por asociatividad de la composición,
\[ h\circ(g\circ f) = (h\circ g)\circ f, \]
y escribimos simplemente
\[ h\circ g\circ f. \]
La prueba principal se ha reducido a dos aplicaciones de una afirmación intermedia ya demostrada.
El lema no introdujo una idea ajena al problema. Aisló una estructura que estaba presente dentro de él.
Un lema debe atacar el hueco correcto
Supongamos que nuestro problema tiene la forma
\[ H \Rightarrow R \qquad\Big|\qquad S \Rightarrow Q. \]
Un lema que demuestre
\[ R\Rightarrow T \]
puede ser matemáticamente correcto y, sin embargo, no servir de mucho si \(T\) no nos acerca a \(S\).
De manera semejante, un resultado muy potente puede ser innecesario si el hueco concreto requiere algo mucho más pequeño.
Por eso, antes de formular un lema, conviene completar la frase:
«Si pudiera demostrar que __________, entonces el problema principal quedaría reducido a __________».
La primera parte debe describir el resultado intermedio. La segunda debe mostrar su función.
Si no podemos completar esa frase con claridad, quizá todavía no hayamos identificado bien el obstáculo.
Hipótesis alcanzables
Un lema puede tener una conclusión perfecta y aun así ser inútil si sus hipótesis no pueden obtenerse desde los datos del problema.
Imaginemos que para cerrar un hueco necesitaríamos demostrar \(S\) y proponemos el lema
\[ P\land T\Rightarrow S. \]
Antes de celebrarlo debemos preguntar:
\[ \text{¿puedo obtener }P\text{ y }T\text{ desde las hipótesis originales?} \]
Si sólo disponemos de \(P\) y no existe ninguna ruta hacia \(T\), hemos desplazado el hueco, no lo hemos reducido.
El nuevo esquema sería
\[ \text{datos} \longrightarrow P \qquad\Big|\qquad P\land T \longrightarrow S \longrightarrow Q. \]
Ahora el problema es producir \(T\).
Eso puede ser progreso si \(T\) es más concreto o más accesible que el obstáculo original. Pero no debemos confundir un cambio de nombre con una solución.
Un buen lema crea obligaciones que podamos imaginar cómo satisfacer.
La generalidad adecuada
Al descubrir un lema aparece otra decisión: ¿cuánto debemos generalizarlo?
En el ejemplo anterior podríamos haber formulado únicamente:
Si \(f\) y \(g\) son inyectivas, entonces \(g\circ f\) es inyectiva.
Eso habría bastado para la primera aplicación, pero el mismo razonamiento habría tenido que repetirse después con \(g\circ f\) y \(h\).
En cambio, escribir el lema con funciones arbitrarias
\[ p:X\to Y, \qquad q:Y\to Z \]
captura exactamente el patrón reutilizable.
Pero también podríamos intentar una generalización mucho mayor:
toda composición finita de funciones inyectivas es inyectiva.
La afirmación es natural, pero demostrarla en toda generalidad introduciría cuestiones adicionales que no necesitamos todavía —por ejemplo, una formulación indexada y una prueba inductiva— y anticiparía contenido del capítulo 8.
La regla práctica es:
generalizar lo suficiente para capturar el patrón, pero no tanto como para crear un problema nuevo más difícil que el original.
La generalidad también es una decisión estratégica.
Lemas locales y lemas reutilizables
No todo resultado intermedio necesita recibir un nombre solemne ni convertirse en una pieza permanente del texto.
A veces basta con una afirmación local:
«Necesitamos comprobar primero que \(R\) implica \(S\)».
Se demuestra esa pequeña afirmación y se continúa con la prueba principal.
En otros casos conviene separarla formalmente como lema porque:
- se utilizará más de una vez;
- encapsula un argumento que distraería dentro de la prueba principal;
- expresa un patrón que probablemente volverá a aparecer;
- o permite que la dependencia de la prueba quede más clara.
La diferencia no es matemática sino arquitectónica.
Un lema formal es útil cuando mejora la estructura de dependencias.
El lema como interfaz
Podemos pensar un lema como una pequeña interfaz entre dos partes de la prueba.
Tiene entradas:
\[ H_1,H_2,\ldots,H_k, \]
y produce una salida:
\[ L. \]
Una vez demostrado,
\[ H_1\land\cdots\land H_k \Rightarrow L, \]
la prueba principal puede utilizar \(L\) sin repetir toda la derivación interna.
Esto permite separar dos preguntas:
- ¿por qué el lema es verdadero?;
- ¿cómo utiliza la prueba principal la conclusión del lema?
Mantenerlas separadas puede reducir considerablemente la complejidad de una demostración larga.
Evitar la circularidad
La formulación de un lema también puede ocultar un error serio: utilizar, dentro de su demostración, precisamente el resultado principal que el lema debía ayudar a probar.
Supongamos que queremos demostrar un teorema \(T\) y proponemos un lema \(L\) porque
\[ L\Rightarrow T. \]
Si al intentar demostrar \(L\) utilizamos \(T\), obtenemos
\[ T\Rightarrow L\Rightarrow T. \]
No hemos construido una prueba de \(T\) desde las hipótesis originales. Hemos creado un círculo.
Por eso debemos vigilar el grafo de dependencias:
\[ \text{hipótesis} \longrightarrow L \longrightarrow T \]
es legítimo;
\[ T \longrightarrow L \longrightarrow T \]
no establece \(T\) a menos que dispongamos de otra razón independiente para iniciar la cadena.
Un lema auxiliar debe reducir la dependencia del teorema principal, no esconderla.
Un lema que falla también informa
Supongamos que hemos identificado cuidadosamente un lema candidato, pero no conseguimos demostrarlo.
Esto puede significar varias cosas:
- el lema es falso;
- sus hipótesis son insuficientes;
- lo hemos formulado con demasiada generalidad;
- su conclusión es más fuerte de lo necesario;
- necesitamos otra representación;
- o el camino principal que lo motivó no es el adecuado.
Por tanto, fallar al demostrar un lema no nos devuelve necesariamente al comienzo.
Puede localizar con mayor precisión el cuello de botella.
Por ejemplo, si el lema que necesitamos tiene forma
\[ P\Rightarrow S \]
pero todos nuestros intentos parecen requerir además una hipótesis \(T\), conviene preguntar si
\[ P\land T\Rightarrow S \]
es la afirmación correcta y si \(T\) está disponible en el problema principal.
El fracaso puede revelar qué dato falta.
Del lema a una prueba modular
Cuando el lema funciona, la estructura de la demostración cambia.
En lugar de una única cadena difícil de leer,
\[ H \Rightarrow \cdots \Rightarrow Q, \]
podemos tener dos módulos:
\[ \boxed{H\Rightarrow L} \]
y
\[ \boxed{L\Rightarrow Q}. \]
Cada módulo puede examinarse por separado.
Éste es uno de los motivos por los que los lemas son tan importantes en matemática: no sólo prueban afirmaciones verdaderas; también organizan la dependencia de las ideas.
Un lema auxiliar debe responder a un obstáculo identificado.
Antes de formularlo, pregunta:
- ¿qué hueco pretende cerrar?;
- ¿qué salida necesita producir?;
- ¿puedo satisfacer sus hipótesis con los datos disponibles?;
- ¿reduce realmente la dificultad de la prueba principal?
Un lema útil no desplaza el problema de manera arbitraria: transforma un hueco amplio en una obligación más pequeña y verificable.
Comprobación
Quieres demostrar un teorema de la forma
\[ H\Rightarrow Q. \]
Durante la búsqueda has obtenido
\[ H\Rightarrow R, \]
y sabes que
\[ S\Rightarrow Q. \]
Propones como lema
\[ R\land T\Rightarrow S. \]
¿Qué debes verificar antes de considerar que ese lema realmente mejora la situación?
Respuesta razonada.
Primero debemos comprobar que la conclusión del lema es útil. En este caso lo es, porque produce \(S\), y ya sabemos
\[ S\Rightarrow Q. \]
Pero eso no basta.
El lema exige dos hipótesis:
\[ R \qquad\text{y}\qquad T. \]
La primera ya es alcanzable desde \(H\), pues tenemos
\[ H\Rightarrow R. \]
Todavía debemos comprobar que \(T\) también puede obtenerse desde las hipótesis originales o desde consecuencias ya disponibles.
Si podemos demostrar
\[ H\Rightarrow T, \]
entonces la cadena puede completarse:
\[ H \Rightarrow R\land T \Rightarrow S \Rightarrow Q. \]
Si no tenemos ninguna ruta hacia \(T\), el lema no ha cerrado el hueco: sólo lo ha trasladado a una nueva obligación.
Por tanto, un lema mejora la búsqueda cuando su conclusión ataca el obstáculo correcto y sus hipótesis son efectivamente accesibles.
Cuando el lema revela el verdadero obstáculo
Después de formular un lema podemos descubrir que la dificultad principal no estaba donde creíamos.
Tal vez el resultado intermedio sea fácil, pero una de sus hipótesis no pueda justificarse. Tal vez la formulación sea demasiado fuerte. Tal vez una rama de la búsqueda no interactúe nunca con el objetivo.
En ese momento ya no conviene seguir añadiendo consecuencias o lemas sin control.
La pregunta siguiente será diagnóstica:
¿Cuál es exactamente el cuello de botella y qué nos dice el fracaso de los intentos anteriores?
Ése será el tema de §7.7.
7.7. Detectar el cuello de botella y abandonar callejones
Una búsqueda puede producir muchas afirmaciones correctas y, sin embargo, no acercarse a una demostración.
En ese momento la pregunta útil ya no es
«¿qué otra cosa puedo intentar?»
sino
«¿dónde se detiene exactamente la cadena que necesito y qué impide continuar?»
Ese punto es el cuello de botella de la prueba.
No tiene por qué coincidir con la parte más larga del cálculo ni con la expresión más complicada. Es simplemente la obligación mínima que todavía no sabemos justificar y de la que depende el resto del argumento.
Si el mapa de búsqueda tiene la forma
\[ H \Rightarrow R_1 \Rightarrow R_2 \qquad\Big|\qquad S_2 \Rightarrow S_1 \Rightarrow Q, \]
entonces el problema actual no es ya demostrar \(Q\) «desde cero». El problema es comprender por qué debería existir un puente entre
\[ R_2 \qquad\text{y}\qquad S_2. \]
Localizar ese punto evita seguir trabajando en partes de la demostración que ya están resueltas.
Un ejemplo: el lugar exacto donde actúa una hipótesis
Sean
\[ f,g:A\to B \]
y
\[ h:B\to C \]
funciones. Supongamos que \(h\) es inyectiva y que
\[ h\circ f=h\circ g. \]
Queremos demostrar
\[ f=g. \]
La igualdad de funciones nos indica que debemos fijar un elemento arbitrario
\[ a\in A \]
y demostrar
\[ f(a)=g(a). \]
De la hipótesis
\[ h\circ f=h\circ g \]
obtenemos, evaluando en \(a\),
\[ h(f(a))=h(g(a)). \]
Ahora la búsqueda queda reducida a
\[ \boxed{h(f(a))=h(g(a))} \qquad\Big|\qquad \boxed{f(a)=g(a)}. \]
Éste es el cuello de botella.
No necesitamos seguir manipulando la composición ni introducir nuevas variables. Necesitamos una regla que permita pasar de la igualdad de los valores de \(h\) a la igualdad de sus argumentos.
La hipótesis de inyectividad tiene exactamente esa función:
\[ h(u)=h(v) \Rightarrow u=v. \]
Aplicándola con
\[ u=f(a), \qquad v=g(a), \]
obtenemos
\[ f(a)=g(a). \]
Como \(a\) era arbitrario,
\[ f=g. \]
La prueba es breve porque, una vez localizado el cuello de botella, la hipótesis decisiva se vuelve visible.
Una hipótesis no utilizada puede señalar el cuello de botella
En una búsqueda larga es frecuente haber usado varias hipótesis y dejar una aparentemente desconectada.
Eso merece una inspección especial.
En el ejemplo anterior, si hubiéramos llegado hasta
\[ h(f(a))=h(g(a)) \]
sin utilizar todavía la inyectividad de \(h\), la pregunta
«¿qué hipótesis no he usado?»
habría señalado precisamente el recurso que faltaba.
Esto no significa que toda hipótesis deba utilizarse necesariamente. Ya vimos en §7.2 que algunas pueden ser redundantes.
Pero cuando la prueba se detiene en un punto concreto y existe una hipótesis todavía inactiva, conviene comparar la forma de esa hipótesis con la forma del obstáculo.
La coincidencia puede revelar la función para la cual fue incluida.
Un intento fallido no es todavía un diagnóstico
Supongamos que intentamos una ruta y no obtenemos la conclusión.
Decir
«esto no funcionó»
contiene poca información.
En cambio, afirmar
«la ruta llega hasta \(R\), pero para continuar necesitaría \(S\), y sólo he conseguido demostrar \(S\Rightarrow R\)»
localiza un problema lógico preciso.
O afirmar
«el lema produciría la conclusión correcta, pero exige una hipótesis \(T\) que no puedo obtener de los datos»
identifica una obligación nueva.
El fracaso se vuelve matemáticamente útil cuando podemos describir qué enlace falta.
Podemos registrar un intento mediante cuatro preguntas:
- ¿hasta dónde llegué legítimamente?;
- ¿qué necesitaba a continuación?;
- ¿qué paso concreto no pude justificar?;
- ¿qué información nueva revela ese bloqueo?
Ésta es una forma de convertir un callejón sin salida en información sobre la estructura del problema.
Cinco diagnósticos frecuentes
Cuando una ruta se atasca, el bloqueo suele adoptar alguna de estas formas.
1. Falta activar una hipótesis disponible
Tenemos la información necesaria, pero todavía no está escrita en la forma en que puede utilizarse.
Por ejemplo, disponemos de inyectividad pero aún no hemos producido una igualdad de imágenes a la cual aplicarla.
La respuesta puede ser desplegar una definición o cambiar de representación.
2. La meta intermedia es demasiado fuerte
Al trabajar hacia atrás hemos elegido una condición suficiente \(R\) para el objetivo \(Q\):
\[ R\Rightarrow Q. \]
Pero \(R\) exige mucho más de lo necesario y no parece accesible desde las hipótesis.
En ese caso conviene buscar otra condición suficiente, quizá más débil:
\[ S\Rightarrow Q, \]
con \(S\) más cercana a la información disponible.
La suficiencia lógica no garantiza utilidad estratégica.
3. La representación mantiene oculto el puente
Hemos obtenido \(R\) y necesitamos \(S\), pero ambos describen esencialmente la misma estructura en lenguajes distintos.
Antes de buscar un teorema nuevo puede bastar con volver a §7.5 y preguntar si una definición o reescritura convierte
\[ R\qquad\Big|\qquad S \]
en una relación explícita.
4. La flecha apunta en el sentido incorrecto
Durante la búsqueda encontramos
\[ S\Rightarrow R, \]
cuando lo que la prueba necesita es
\[ R\Rightarrow S. \]
No hay progreso sólo porque dos afirmaciones estén relacionadas.
La orientación debe coincidir con la cadena final de dependencias.
5. Hemos introducido circularidad
Queremos demostrar \(Q\) y proponemos un resultado intermedio \(L\) tal que
\[ L\Rightarrow Q. \]
Pero al demostrar \(L\) utilizamos \(Q\).
El esquema real es
\[ Q\Rightarrow L\Rightarrow Q, \]
que no establece \(Q\) desde las hipótesis originales.
La circularidad puede esconderse dentro de un lema, una definición equivalente utilizada sin control o una frase como «por el resultado que queremos probar» formulada de manera menos evidente.
Por eso conviene revisar no sólo las afirmaciones, sino su grafo de dependencias.
Abandonar una ruta con una razón
Una estrategia improductiva no debe conservarse indefinidamente sólo porque ya hemos invertido trabajo en ella.
Podemos abandonar una rama cuando identificamos una razón estructural suficiente, por ejemplo:
- termina en información que no interactúa con el objetivo;
- exige una hipótesis que no está disponible;
- sustituye el objetivo por una condición mucho más fuerte sin ruta hacia ella;
- depende de invertir una implicación no reversible;
- entra en un ciclo de dependencias;
- repite transformaciones que no reducen el hueco.
Abandonar una ruta en estas condiciones no significa afirmar que el teorema sea falso.
Significa únicamente:
esta estrategia concreta no proporciona una cadena justificable desde los datos hasta el objetivo.
La distinción es esencial.
Un método puede fracasar aunque el teorema sea verdadero.
Fracaso de una estrategia frente a falsedad del enunciado
Supongamos que todos nuestros intentos de demostrar una afirmación parecen requerir una hipótesis adicional \(T\).
Eso puede sugerir preguntas importantes:
- ¿hemos pasado por alto una forma de obtener \(T\)?;
- ¿existe otra ruta que no necesite \(T\)?;
- ¿el enunciado fue formulado con hipótesis insuficientes?;
- ¿podría ser falso sin \(T\)?
Estas preguntas son legítimas.
Pero el hecho de que nuestra ruta necesite \(T\) no demuestra que el teorema necesite \(T\).
Para concluir que una afirmación universal es falsa hace falta algo diferente: producir y verificar un caso que realmente la contradiga, o disponer de otra demostración de su falsedad.
La búsqueda sistemática de esos casos pertenece al capítulo 9.
Aquí nos interesa una etapa anterior: utilizar el punto de fallo para comprender qué parte de la estructura todavía no controlamos.
No seguir trabajando donde ya no está el problema
Una fuente frecuente de ineficiencia consiste en rehacer partes ya resueltas.
Si tenemos
\[ H\Rightarrow R \]
y sabemos también
\[ S\Rightarrow Q, \]
pero desconocemos
\[ R\Rightarrow S, \]
no tiene sentido seguir produciendo cinco pruebas distintas de \(H\Rightarrow R\) salvo que alguna cambie la información disponible en el punto de encuentro.
El cuello de botella sigue siendo
\[ R\qquad\Big|\qquad S. \]
La búsqueda debe concentrarse allí.
Esto puede parecer obvio cuando se escribe simbólicamente, pero en problemas largos es fácil perderlo de vista porque las partes conocidas también contienen cálculos y decisiones.
Una disciplina útil es marcar provisionalmente:
\[ \boxed{\text{RESUELTO}} \qquad \boxed{\text{BLOQUEO ACTUAL}} \qquad \boxed{\text{RESUELTO DESDE EL OBJETIVO}}. \]
El borrador deja así de ser una acumulación cronológica de intentos y se convierte en un mapa del estado actual de la prueba.
El callejón puede revelar una hipótesis suficiente
Consideremos una variante del ejemplo inicial.
Supongamos que sólo sabemos
\[ h\circ f=h\circ g \]
y queremos demostrar
\[ f=g, \]
pero no se nos ha dicho que \(h\) sea inyectiva.
El mismo intento produce
\[ h(f(a))=h(g(a)), \]
pero se detiene antes de
\[ f(a)=g(a). \]
El bloqueo identifica con precisión una propiedad que sería suficiente:
\[ h(u)=h(v)\Rightarrow u=v. \]
Es decir, la inyectividad de \(h\) cerraría la ruta.
Esto no prueba todavía que la inyectividad sea necesaria para el enunciado ni que, sin ella, la afirmación sea falsa en todos los casos.
Lo que sí hemos aprendido es algo concreto:
esta prueba necesita una forma de cancelar \(h\), y la inyectividad proporciona exactamente esa cancelación.
El intento fallido ha producido información estructural.
Cambiar de estrategia sin perder lo aprendido
Abandonar una ruta no obliga a descartar todo lo obtenido en ella.
Podemos conservar:
- consecuencias válidas de las hipótesis;
- definiciones que resultaron pertinentes;
- objetos auxiliares bien motivados;
- lemas ya demostrados;
- el lugar exacto donde apareció una obligación imposible de justificar.
Lo que se abandona es la pretensión de que esa secuencia concreta cerrará la prueba.
Después podemos cambiar de representación, buscar una meta intermedia distinta o explorar ejemplos sencillos para descubrir qué comportamiento debería esperarse.
Por eso un buen borrador no borra simplemente los intentos fallidos. Conserva, al menos durante la búsqueda, la razón de su descarte.
Un registro mínimo de diagnóstico
Cuando una prueba se bloquea, puede ser útil escribir sólo cuatro líneas:
\[ \begin{aligned} \text{DISPONIBLE:}&\quad R,\\ \text{NECESITO:}&\quad S,\\ \text{BLOQUEO:}&\quad \text{no sé justificar }R\Rightarrow S,\\ \text{SIGUIENTE PREGUNTA:}&\quad \text{¿qué haría visible o demostrable ese enlace?} \end{aligned} \]
Este registro impide que la dificultad vuelva a convertirse en la pregunta vaga
«¿cómo se demuestra todo esto?»
La búsqueda permanece localizada.
Un callejón sin salida es informativo sólo cuando podemos identificar el punto exacto donde la cadena deja de estar justificada.
Antes de intentar otra estrategia, pregunta:
- ¿qué parte ya está resuelta?;
- ¿cuál es la obligación mínima pendiente?;
- ¿qué hipótesis, representación o dirección lógica interviene en ese bloqueo?;
- ¿la ruta puede repararse o conviene abandonarla?
No confundas el fracaso de una estrategia con la falsedad del teorema.
Comprobación
Quieres demostrar
\[ H\Rightarrow Q. \]
Ya has obtenido
\[ H\Rightarrow R, \]
y sabes que
\[ S\Rightarrow Q. \]
Consideras tres rutas:
- demostrar \(R\Rightarrow T\), pero no conoces ninguna relación entre \(T\) y \(S\);
- demostrar \(R\Rightarrow S\) utilizando \(Q\) como paso intermedio;
- demostrar primero \(R\Rightarrow U\) y después \(U\Rightarrow S\).
¿Qué diagnóstico corresponde a cada ruta?
Respuesta razonada.
La primera ruta puede producir una consecuencia verdadera, pero mientras \(T\) no tenga conexión con \(S\) no ataca el cuello de botella actual. Es una rama que, por ahora, no reduce el hueco.
La segunda ruta tiene la forma
\[ R\Rightarrow Q\Rightarrow S \]
para intentar justificar precisamente el enlace que permitiría llegar a \(Q\). Si \(Q\) no estaba disponible por una razón independiente, la ruta es circular y debe rechazarse como prueba.
La tercera ruta sí puede ser una descomposición legítima del cuello de botella, siempre que podamos demostrar independientemente
\[ R\Rightarrow U \]
y
\[ U\Rightarrow S. \]
En ese caso el puente se refina como
\[ R\Rightarrow U\Rightarrow S, \]
y la cadena completa queda
\[ H\Rightarrow R\Rightarrow U\Rightarrow S\Rightarrow Q. \]
Por tanto, el criterio no es cuántos pasos contiene una ruta, sino si cada paso reduce o resuelve la obligación pendiente sin introducir dependencias ilegítimas.
Del diagnóstico a la exploración controlada
Una vez localizado el cuello de botella podemos necesitar información que las manipulaciones formales todavía no revelan.
Una posibilidad es estudiar casos pequeños, ejemplos concretos o configuraciones extremas para observar qué estructura parece estar actuando.
Ese recurso puede ser muy productivo, pero introduce un nuevo riesgo: confundir lo que un ejemplo sugiere con lo que una demostración establece.
La siguiente sección estudiará precisamente cómo explorar con ejemplos sin convertir evidencia local en prueba universal.
7.8. Explorar con ejemplos sin confundirlos con pruebas
Cuando una prueba se bloquea, a veces lo que falta no es otra manipulación formal sino una pista sobre qué estructura conviene buscar.
En ese momento los ejemplos concretos pueden ser muy útiles.
Podemos probar valores sencillos, estudiar un caso simétrico, examinar una configuración límite o construir una instancia pequeña del problema. El objetivo de estas exploraciones no es reemplazar la demostración, sino hacer visible una regularidad que todavía no sabemos formular.
Conviene distinguir desde el comienzo tres tareas:
\[ \boxed{\text{explorar}} \quad\longrightarrow\quad \boxed{\text{conjeturar}} \quad\longrightarrow\quad \boxed{\text{demostrar}}. \]
Una exploración produce información local.
Una conjetura propone qué afirmación general podría explicar esa información.
Una demostración justifica la afirmación para todos los casos cubiertos por sus hipótesis.
Los tres momentos pueden estar relacionados, pero no son intercambiables.
Un ejemplo puede revelar qué deberíamos intentar demostrar
Volvamos a una desigualdad que apareció al comienzo del capítulo.
Sean \(x,y\in\mathbb R\) tales que
\[ x+y=1. \]
Queremos comprender por qué parece razonable esperar una cota para
\[ xy. \]
Antes de conocer la prueba podemos mirar algunos casos:
\[ \begin{array}{c|c|c} x & y & xy\\ \hline 0 & 1 & 0\\ \frac14 & \frac34 & \frac{3}{16}\\ \frac12 & \frac12 & \frac14\\ \frac34 & \frac14 & \frac{3}{16}\\ 1 & 0 & 0 \end{array} \]
La tabla no demuestra nada acerca de todos los pares reales cuya suma es \(1\).
Pero hace visible algo interesante: el producto parece aumentar cuando los dos números se aproximan y alcanza, al menos en los casos examinados, su mayor valor cuando
\[ x=y=\frac12. \]
Esto sugiere la conjetura
\[ xy\le\frac14. \]
Más importante todavía, el caso simétrico sugiere mirar la diferencia entre \(x\) e \(y\).
Si la igualdad ocurre cuando
\[ x-y=0, \]
quizá la distancia entre el producto y la cota esté relacionada con
\[ (x-y)^2. \]
Y, en efecto, usando \(x+y=1\),
\[ \begin{aligned} \frac14-xy &=\frac{(x+y)^2}{4}-xy\\ &=\frac{x^2-2xy+y^2}{4}\\ &=\frac{(x-y)^2}{4}. \end{aligned} \]
Ahora sí tenemos una demostración, porque
\[ (x-y)^2\ge0. \]
La exploración no probó la desigualdad. Ayudó a descubrir qué expresión podía probarla.
Podemos distinguir claramente los tres momentos:
\[ \begin{aligned} \text{exploración:}&\quad \text{calcular algunos productos};\\ \text{conjetura:}&\quad xy\le\frac14;\\ \text{demostración:}&\quad \frac14-xy=\frac{(x-y)^2}{4}\ge0. \end{aligned} \]
Esta separación será útil cada vez que un patrón observado sugiera una idea general.
Los ejemplos pueden ayudar a construir un testigo
Los ejemplos no sirven sólo para adivinar fórmulas o desigualdades. También pueden sugerir qué objeto construir cuando el objetivo es existencial.
Supongamos que
\[ a,b\in\mathbb R, \qquad a<b, \]
y queremos demostrar que existe un real \(c\) tal que
\[ a<c<b. \]
La arquitectura es existencial: necesitamos construir un testigo.
Pero quizá no sepamos inmediatamente cuál.
Probemos algunos casos.
Si
\[ a=2, \qquad b=8, \]
un candidato natural es
\[ c=5. \]
Si
\[ a=-4, \qquad b=2, \]
podemos elegir
\[ c=-1. \]
En ambos casos hemos tomado el punto medio.
Esto sugiere
\[ c=\frac{a+b}{2}. \]
Los dos ejemplos no demuestran que este candidato funcione para todo par \(a<b\). Su función fue revelar una construcción uniforme.
Ahora debemos verificarla.
De
\[ a<b \]
obtenemos, sumando \(a\),
\[ 2a<a+b. \]
Dividiendo por \(2>0\),
\[ a<\frac{a+b}{2}. \]
De manera análoga, sumando \(b\) a \(a<b\),
\[ a+b<2b, \]
y por tanto
\[ \frac{a+b}{2}<b. \]
Así,
\[ a<\frac{a+b}{2}<b. \]
La exploración concreta descubrió el candidato; la demostración general verificó que funciona.
Este esquema aparece con frecuencia:
\[ \text{casos concretos} \longrightarrow \text{candidato} \longrightarrow \text{verificación general}. \]
Elegir ejemplos que respondan una pregunta
No todos los ejemplos son igualmente informativos.
Si elegimos valores al azar sin saber qué estamos buscando, podemos acumular datos sin reducir el cuello de botella.
Un ejemplo es más útil cuando responde a una pregunta concreta.
Podemos buscar, por ejemplo:
- un caso donde varias hipótesis se vuelvan especialmente simples;
- una configuración simétrica;
- un caso en que dos objetos coincidan;
- un valor cero o identidad que elimine términos;
- una situación límite donde esperemos igualdad;
- un ejemplo pequeño en el que podamos enumerar todos los objetos relevantes;
- dos ejemplos que difieran sólo en una característica que queremos comprender.
La elección del ejemplo forma parte del razonamiento.
No preguntamos simplemente
«¿qué pasa si pongo números?»
sino
«¿qué aspecto del problema quiero aislar con este ejemplo?»
Esta pregunta evita que la experimentación se convierta en una colección de cálculos desconectados.
Casos simétricos y configuraciones límite
Las configuraciones especialmente simples pueden señalar dónde buscar una igualdad o qué condición podría ser decisiva.
En la desigualdad
\[ xy\le\frac14 \]
bajo la restricción
\[ x+y=1, \]
el caso
\[ x=y \]
no fue elegido al azar.
La expresión \(xy\) es simétrica en \(x\) e \(y\): intercambiarlos no modifica el producto ni la restricción. Por ello es natural examinar qué ocurre cuando ambos tienen el mismo valor.
La condición
\[ x=y, \qquad x+y=1 \]
obliga a
\[ x=y=\frac12. \]
Ese caso sugiere tanto la constante
\[ \frac14 \]
como la condición de igualdad.
Una configuración especial puede, por tanto, proporcionar dos pistas distintas:
- qué afirmación general podría ser cierta;
- qué mecanismo podría explicar el caso de igualdad.
Ninguna de las dos pistas constituye todavía una prueba.
Probar una conjetura contra casos exigentes
Una vez que aparece una conjetura, no conviene buscar solamente ejemplos que la confirmen.
También podemos preguntarnos qué casos serían especialmente difíciles para ella.
Supongamos que, observando algunos pares con suma \(1\), formulamos demasiado deprisa la conjetura
\[ xy<\frac14. \]
El caso simétrico
\[ x=y=\frac12 \]
produce
\[ xy=\frac14. \]
Así descubrimos inmediatamente que la desigualdad estricta no puede ser la formulación correcta.
La versión compatible con ese caso es
\[ xy\le\frac14. \]
Aquí un ejemplo ha servido para corregir una conjetura antes de invertir trabajo en demostrarla.
Este uso es importante, pero debemos mantener la frontera conceptual.
En este capítulo nos interesa el ejemplo como instrumento de exploración y diagnóstico. La búsqueda sistemática de casos que refutan afirmaciones universales, y el diseño deliberado de contraejemplos, se estudiarán en el capítulo 9.
La asimetría entre confirmar y refutar
Hay una diferencia lógica que conviene mantener siempre visible.
Si una afirmación dice
\[ \forall x\in A\;P(x), \]
comprobar que
\[ P(a_1),\ P(a_2),\ldots,\ P(a_{100}) \]
para cien elementos concretos no demuestra la universal.
Sólo sabemos que esos cien casos funcionan.
En cambio, si encontramos un elemento
\[ a\in A \]
para el cual
\[ \neg P(a), \]
la afirmación universal queda refutada.
Esta asimetría ya apareció al estudiar contraejemplos en C06.
Para el trabajo de descubrimiento significa lo siguiente:
- muchos ejemplos favorables pueden aumentar nuestra confianza o revelar un patrón, pero no sustituyen la prueba;
- un caso contrario obliga a revisar inmediatamente la conjetura universal.
La función de la experimentación debe interpretarse de acuerdo con la forma lógica del enunciado.
Una tabla puede revelar una regularidad, no su causa
Supongamos que observamos una secuencia de casos y todos cumplen la misma propiedad.
Podemos registrar
\[ \begin{array}{c|c} \text{caso} & \text{resultado}\\ \hline 1 & \text{funciona}\\ 2 & \text{funciona}\\ 3 & \text{funciona}\\ 4 & \text{funciona} \end{array} \]
La regularidad puede ser valiosa porque nos permite preguntar:
«¿qué tienen en común estos casos que pueda expresarse de manera general?»
Pero la tabla no responde esa pregunta.
La demostración debe identificar un mecanismo que no dependa de haber enumerado los ejemplos.
Por eso el paso decisivo después de detectar un patrón es dejar de preguntar
«¿sigue funcionando en el siguiente caso?»
para preguntar
«¿qué propiedad compartida por todos los casos explicaría por qué funciona?»
Éste es el movimiento que transforma observación en matemática demostrativa.
Variar una característica a la vez
Los ejemplos también pueden utilizarse comparativamente.
Supongamos que una afirmación depende de varias hipótesis:
\[ H_1, \qquad H_2, \qquad H_3. \]
Si queremos comprender qué papel cumple \(H_2\), puede ser útil comparar dos situaciones que mantengan aproximadamente fija la estructura relevante y difieran precisamente en esa condición.
El objetivo no es todavía demostrar que \(H_2\) sea necesaria.
Queremos observar si el comportamiento del problema cambia cuando esa característica desaparece.
Este tipo de comparación puede sugerir:
- qué hipótesis activa cierto paso;
- cuál puede ser redundante;
- dónde buscar una construcción;
- qué formulación de un lema sería razonable.
Después habrá que justificar cualquiera de esas conclusiones por medios generales.
Ejemplos pequeños para comprender definiciones abstractas
En problemas con conjuntos, funciones o relaciones, una instancia finita puede permitir ver toda la estructura de una sola vez.
Supongamos que estamos estudiando una función
\[ f:A\to B \]
y una afirmación que relaciona imágenes y preimágenes.
Elegir conjuntos pequeños, por ejemplo
\[ A=\{1,2,3\}, \qquad B=\{p,q\}, \]
y dibujar una función concreta puede ayudarnos a distinguir:
- qué información conserva una imagen;
- qué elementos pueden compartir valor;
- dónde interviene la inyectividad;
- qué produce realmente una preimagen.
El diagrama concreto puede revelar qué definición conviene desplegar en la prueba general.
Pero una vez identificada esa estructura, la prueba debe regresar a elementos arbitrarios y a las definiciones pertinentes.
La instancia finita funciona como modelo de exploración, no como sustituto del argumento general.
Del ejemplo a la conjetura: formular exactamente qué creemos haber visto
Una exploración es más útil cuando termina en una afirmación explícita.
En vez de escribir simplemente
«parece que funciona»,
conviene formular:
\[ \boxed{\text{CONJETURA: }C}. \]
Después debemos preguntar:
- ¿cuál es el dominio exacto de \(C\)?;
- ¿qué hipótesis necesita?;
- ¿es universal, existencial o una equivalencia?;
- ¿qué ejemplos la motivaron?;
- ¿qué tendría que demostrarse para convertirla en teorema?
Formular la conjetura con precisión impide que la evidencia empírica permanezca en una zona ambigua entre observación y resultado.
Del ejemplo al lema
A veces los casos concretos no sugieren directamente el teorema final, sino una pieza intermedia.
Podemos observar que en varios ejemplos el mismo paso resuelve el cuello de botella.
Entonces la pregunta apropiada puede ser:
«¿Puedo formular ese paso como un lema independiente?»
El proceso es
\[ \text{ejemplos} \longrightarrow \text{patrón intermedio} \longrightarrow \text{lema candidato} \longrightarrow \text{demostración del lema}. \]
Esto conecta la exploración con §7.6.
Un lema descubierto experimentalmente sólo se convierte en una pieza legítima de la prueba después de haber sido demostrado con las hipótesis correctas.
Saber cuándo dejar de experimentar
Los ejemplos son especialmente útiles cuando todavía no vemos la estructura.
Pero llega un momento en que seguir calculando casos deja de aportar información nueva.
Una señal clara es que ya podemos formular:
- una conjetura precisa;
- un candidato para el objeto que necesitamos;
- una identidad que parece explicar los casos;
- un lema cuya demostración cerraría el hueco.
En ese momento debemos cambiar de tarea.
La pregunta deja de ser
«¿qué ocurre en más ejemplos?»
para convertirse en
«¿por qué tiene que ocurrir esto en general?»
Ese cambio marca el paso de la exploración a la demostración.
El borrador puede contener evidencia que la prueba final eliminará
Durante la búsqueda podemos conservar tablas, dibujos, cálculos numéricos y casos particulares porque documentan cómo apareció una idea.
Pero la prueba final no necesita incluirlos si no cumplen una función justificativa.
Por ejemplo, la demostración de
\[ xy\le\frac14 \]
bajo \(x+y=1\) no necesita enumerar los cinco pares que nos ayudaron a adivinar la constante.
Basta con la identidad general
\[ \frac14-xy=\frac{(x-y)^2}{4}\ge0. \]
Esto vuelve a mostrar la diferencia entre
\[ \text{historia del descubrimiento} \]
y
\[ \text{estructura de la justificación}. \]
Los ejemplos pueden pertenecer plenamente a la primera sin aparecer en la segunda.
Un ejemplo concreto puede revelar un patrón, sugerir un testigo, indicar un caso de igualdad o poner a prueba una conjetura.
Pero los ejemplos favorables no establecen por sí solos una afirmación universal.
Después de explorar, formula con precisión qué crees haber descubierto y cambia de pregunta:
¿qué mecanismo general explica todos estos casos?
La respuesta a esa pregunta debe convertirse en una demostración.
Comprobación
Quieres demostrar una afirmación universal
\[ \forall x\in A\;P(x). \]
Has comprobado \(P(x)\) en numerosos ejemplos y, al observarlos, descubres una identidad general \(I(x)\) que parece explicar todos los casos. ¿Qué parte del trabajo es evidencia exploratoria y qué tendría que ocurrir para obtener una demostración?
Respuesta razonada.
Los ejemplos concretos son evidencia exploratoria. Pueden justificar que formulemos una conjetura o que prestemos atención a la identidad \(I(x)\), pero no permiten concluir
\[ \forall x\in A\;P(x). \]
Para obtener una demostración debemos trabajar con un elemento arbitrario
\[ x\in A \]
y justificar una cadena general que conecte la información disponible con \(P(x)\).
Si la identidad descubierta permite demostrar
\[ I(x) \Rightarrow P(x), \]
y además podemos establecer \(I(x)\) para todo \(x\in A\) bajo las hipótesis del problema, entonces tendremos una ruta válida:
\[ x\in A \longrightarrow I(x) \longrightarrow P(x). \]
Lo que los ejemplos aportaron fue la idea candidata \(I\).
Lo que falta es demostrar que esa idea funciona para un elemento arbitrario y, por tanto, para todo el dominio.
De la exploración a la reconstrucción
Con esta sección ya disponemos de casi todos los movimientos elementales del espacio de descubrimiento:
\[ \begin{aligned} &\text{avanzar desde las hipótesis},\\ &\text{trabajar hacia atrás desde el objetivo},\\ &\text{hacer coincidir ambos frentes},\\ &\text{cambiar de representación},\\ &\text{introducir objetos auxiliares},\\ &\text{formular lemas},\\ &\text{diagnosticar callejones},\\ &\text{explorar ejemplos para descubrir estructura}. \end{aligned} \]
El resultado de este trabajo puede ser un borrador lleno de flechas, notas, cálculos, casos descartados y afirmaciones descubiertas en un orden muy distinto del lógico.
Todavía queda una tarea decisiva:
convertir ese borrador de descubrimiento en una prueba final cuya dependencia pueda verificarse de principio a fin.
Ése será el objetivo de §7.9.
7.9. Del borrador de descubrimiento a la prueba final
Cuando una búsqueda ha tenido éxito, todavía no necesariamente tenemos una demostración lista para presentar.
Podemos tener una hoja de trabajo en la que aparecen:
- consecuencias obtenidas desde las hipótesis;
- metas auxiliares descubiertas trabajando hacia atrás;
- ejemplos que sugirieron una identidad;
- objetos introducidos provisionalmente;
- lemas que finalmente resultaron útiles;
- cálculos abandonados;
- flechas escritas en direcciones distintas;
- observaciones que fueron importantes para descubrir la idea pero que ya no justifican ningún paso.
Ese material puede ser excelente como borrador de descubrimiento y, al mismo tiempo, ser inadecuado como prueba final.
La tarea de esta sección es aprender a reconstruirlo.
La pregunta ya no es
«¿cómo encuentro una idea?»
sino
«¿qué partes de lo encontrado forman realmente una cadena justificable desde las hipótesis hasta la conclusión?»
La prueba final no es la crónica del descubrimiento
Supongamos que durante la búsqueda fuimos encontrando piezas en este orden:
\[ Q \rightsquigarrow S_1 \rightsquigarrow S_2, \]
luego, desde las hipótesis,
\[ H \Rightarrow R_1 \Rightarrow R_2, \]
y finalmente descubrimos el puente
\[ R_2\Rightarrow S_2. \]
Cronológicamente, quizá pensamos primero en \(Q\), después en \(S_1\), más tarde volvimos a \(H\) y sólo al final apareció \(R_2\Rightarrow S_2\).
Pero la dependencia matemática es
\[ H \Rightarrow R_1 \Rightarrow R_2 \Rightarrow S_2 \Rightarrow S_1 \Rightarrow Q. \]
Éste es el orden que debe controlar la prueba final.
La demostración no tiene obligación de reproducir el orden en que ocurrió nuestra búsqueda.
Debe reproducir el orden en que las afirmaciones quedan justificadas.
Un borrador deliberadamente desordenado
Consideremos una función inyectiva
\[ f:A\to B \]
y dos subconjuntos
\[ X,Y\subseteq A. \]
Supongamos que
\[ f(X)\subseteq f(Y). \]
Queremos demostrar
\[ X\subseteq Y. \]
Una hoja de descubrimiento podría contener notas como éstas:
\[ \text{OBJETIVO: }X\subseteq Y. \]
\[ \text{Tomar }x\in X. \]
\[ \text{Necesito }x\in Y. \]
\[ \text{Si encontrara }y\in Y\text{ con }f(x)=f(y), \]
\[ \text{la inyectividad daría }x=y. \]
\[ \text{¿Cómo obtener ese }y? \]
\[ f(x)\in f(Y) \quad\Longrightarrow\quad \exists y\in Y\; f(y)=f(x). \]
\[ \text{¿Tengo }f(x)\in f(Y)? \]
Como \(x\in X\),
\[ f(x)\in f(X), \]
y como
\[ f(X)\subseteq f(Y), \]
entonces sí:
\[ f(x)\in f(Y). \]
El borrador ha sido útil. Hemos trabajado desde el objetivo, hemos identificado qué forma de igualdad activaría la inyectividad y después hemos vuelto a las hipótesis para producirla.
Pero no conviene copiar estas notas, en este orden, como demostración.
La prueba debe reconstruirse según las dependencias.
Extraer la cadena que sobrevivirá
Del borrador anterior podemos conservar la secuencia siguiente:
\[ x\in X \Longrightarrow f(x)\in f(X) \Longrightarrow f(x)\in f(Y) \Longrightarrow \exists y\in Y\; f(y)=f(x) \Longrightarrow x=y \Longrightarrow x\in Y. \]
Ahora cada paso tiene una justificación disponible:
- \(x\in X\) implica \(f(x)\in f(X)\) por definición de imagen;
- \(f(x)\in f(X)\) y \(f(X)\subseteq f(Y)\) implican \(f(x)\in f(Y)\);
- \(f(x)\in f(Y)\) proporciona un \(y\in Y\) con \(f(y)=f(x)\);
- la inyectividad de \(f\) implica \(y=x\);
- como \(y\in Y\) y \(x=y\), obtenemos \(x\in Y\).
La prueba final puede escribirse entonces de manera lineal.
Demostración. Sea
\[ x\in X. \]
Entonces
\[ f(x)\in f(X). \]
Como
\[ f(X)\subseteq f(Y), \]
se sigue que
\[ f(x)\in f(Y). \]
Por definición de imagen, existe
\[ y\in Y \]
tal que
\[ f(y)=f(x). \]
Como \(f\) es inyectiva,
\[ y=x. \]
Por tanto,
\[ x\in Y. \]
Como \(x\in X\) era arbitrario,
\[ X\subseteq Y. \]
\(\square\)
La idea que permitió descubrir la prueba fue regresiva: preguntamos qué necesitaríamos para obtener \(x\in Y\).
La demostración final, en cambio, avanza sólo por dependencias justificadas.
Revertir el trabajo hacia atrás
Éste es uno de los controles más importantes al pasar del borrador a la prueba.
Durante la búsqueda podemos escribir
\[ Q \Longleftarrow R \Longleftarrow S, \]
porque hemos descubierto
\[ R\Rightarrow Q \]
y
\[ S\Rightarrow R. \]
Si después conseguimos demostrar \(S\) desde las hipótesis, la prueba final deberá recorrer
\[ S\Rightarrow R\Rightarrow Q. \]
No copiamos simplemente las flechas del borrador.
Primero verificamos qué relación expresaba cada una y luego las orientamos según la justificación real.
Esto es especialmente importante cuando durante la exploración hubo pasos equivalentes mezclados con condiciones solamente suficientes.
Una cadena regresiva puede haber sido útil aunque no todas sus transformaciones fueran reversibles.
La prueba final debe utilizar sólo la dirección que verdaderamente está demostrada.
Un candidato descubierto debe reaparecer como una elección justificada
El mismo principio vale para objetos y testigos.
Durante la búsqueda de una afirmación existencial podemos experimentar con varios candidatos antes de encontrar el adecuado.
Supongamos que el borrador contiene
\[ c_1\quad\text{no funciona}, \]
\[ c_2\quad\text{parece funcionar}, \]
\[ c_3\quad\text{produce la identidad que necesito}. \]
La prueba final no necesita narrar obligatoriamente esos tres intentos.
Puede comenzar directamente:
Elegimos \(c=c_3\).
Pero esa elección debe quedar acompañada por una verificación que muestre por qué \(c_3\) satisface las condiciones exigidas.
La historia del descubrimiento responde
«¿cómo se nos ocurrió \(c_3\)?»
La prueba responde
«¿por qué \(c_3\) funciona?»
Son preguntas distintas.
Eliminar ramas que ya no sostienen la conclusión
Un borrador puede contener afirmaciones verdaderas que no pertenecen a la cadena final.
Supongamos que, intentando demostrar \(Q\), encontramos dos ramas:
\[ H\Rightarrow R_1\Rightarrow R_2\Rightarrow Q \]
y
\[ H\Rightarrow T_1\Rightarrow T_2. \]
Si la segunda rama no interviene en la justificación de \(Q\), no tiene por qué aparecer en la prueba final.
Esto no significa que haya sido inútil durante la búsqueda.
Tal vez permitió descubrir una definición, descartar una conjetura o reconocer qué hipótesis era irrelevante.
Pero una vez reconstruida la dependencia, podemos distinguir
\[ \boxed{\text{material de descubrimiento}} \]
de
\[ \boxed{\text{material justificativo}}. \]
La prueba final conserva el segundo.
No eliminar una justificación necesaria por parecer obvia después
La limpieza del borrador tiene también un riesgo opuesto.
Después de haber trabajado mucho tiempo en un problema, algunas transiciones pueden parecernos tan familiares que olvidamos que siguen necesitando una razón.
Supongamos que la cadena final contiene
\[ R\Rightarrow S\Rightarrow Q. \]
Podemos eliminar cálculos exploratorios que rodeaban el paso \(R\Rightarrow S\), pero no podemos eliminar la justificación de \(R\Rightarrow S\) si no es realmente inmediata en el contexto.
Por eso reconstruir no significa simplemente acortar.
Significa conservar una cadena suficiente para que cada dependencia matemática quede disponible.
El control estilístico fino de cuánto detalle conviene escribir pertenecerá al capítulo 10. Aquí nos interesa una exigencia previa:
ningún paso esencial puede sobrevivir en la versión final sin una razón identificable.
Recuperar las hipótesis exactas que usa cada paso
Durante la búsqueda es frecuente trabajar mentalmente con todas las hipótesis a la vez.
Al reconstruir la prueba conviene preguntar, para cada paso importante:
¿qué información anterior utiliza exactamente?
Supongamos que disponemos de
\[ H_1, \qquad H_2, \qquad H_3 \]
y obtenemos
\[ R. \]
Quizá en realidad
\[ H_1\land H_3\Rightarrow R, \]
mientras que \(H_2\) no interviene.
Registrar esto puede revelar dos cosas distintas:
- que \(H_2\) será necesaria más adelante;
- o que \(H_2\) es redundante para toda la demostración.
En ambos casos la reconstrucción mejora nuestra comprensión de la prueba.
También permite detectar dependencias ocultas: si un paso usa una condición que nunca fue establecida, el argumento todavía está incompleto aunque el resultado parezca plausible.
El borrador como grafo; la prueba como un orden compatible con sus dependencias
Podemos pensar el borrador de descubrimiento como una red.
Una afirmación puede depender de varias anteriores:
\[ R_1, \qquad R_2 \quad\Longrightarrow\quad S. \]
Un lema puede alimentar dos partes distintas de la prueba.
Una rama puede terminar sin llegar al objetivo.
La versión final selecciona la parte de esa red que realmente sostiene la conclusión y la presenta en un orden compatible con las dependencias.
Esquemáticamente, el borrador podría contener
\[ \begin{array}{ccccc} H_1 & \longrightarrow & R_1 & \longrightarrow & S\\ H_2 & \longrightarrow & R_2 & \nearrow & \\ H_3 & \longrightarrow & T_1 & \longrightarrow & T_2 \end{array} \]
siendo la rama \(T_1\to T_2\) finalmente irrelevante.
La prueba conserva
\[ H_1, H_2 \longrightarrow R_1, R_2 \longrightarrow S \longrightarrow Q, \]
si ésa es la dependencia efectiva.
No es necesario conservar la topología visual del borrador; sí es necesario conservar su estructura lógica válida.
Reconstruir un lema en el lugar donde se necesita
Si durante la búsqueda demostramos un lema auxiliar \(L\), la prueba final debe dejar clara su posición en la dependencia.
Podemos tener
\[ H \Rightarrow L \Rightarrow Q. \]
Hay dos posibilidades legítimas.
Podemos demostrar primero \(L\) y después usarlo.
O, si \(L\) ya fue establecido anteriormente como resultado independiente, podemos invocarlo directamente verificando que sus hipótesis se cumplen.
Lo que no podemos hacer es usar \(L\) y justificarlo sólo después mediante argumentos que dependen de la propia conclusión \(Q\).
La separación modular introducida en §7.6 debe sobrevivir a la reconstrucción sin crear ciclos.
Auditar la cadena final
Antes de considerar que el borrador ya se ha convertido en prueba conviene recorrer la demostración desde el principio y preguntar, en cada línea significativa:
- ¿esta afirmación ya estaba dada o acaba de ser demostrada?;
- si acaba de ser demostrada, ¿qué hechos anteriores la justifican?;
- ¿la implicación se está utilizando en la dirección correcta?;
- ¿algún objeto fue introducido sin justificar su existencia?;
- ¿algún caso particular o cálculo experimental está actuando como si fuera una prueba general?;
- ¿algún lema depende circularmente del resultado principal?;
- ¿la conclusión final se sigue realmente de lo anterior?
Este recorrido transforma la prueba en una cadena auditable.
No estamos todavía corrigiendo estilo, puntuación o elegancia. Estamos comprobando integridad de dependencias.
Una reconstrucción puede revelar que la prueba todavía no está terminada
A veces el intento parece completo mientras permanece en forma de borrador.
Sólo al ordenarlo descubrimos una laguna.
Por ejemplo, nuestras notas pueden contener
\[ H\Rightarrow R, \]
\[ S\Rightarrow Q, \]
y una línea informal
\[ R\approx S. \]
Mientras explorábamos, la semejanza podía parecernos suficiente para continuar.
Al reconstruir necesitamos reemplazarla por una relación matemática precisa:
\[ R\Rightarrow S, \]
\[ R\Longleftrightarrow S, \]
o una cadena intermedia explícita.
Si no podemos hacerlo, la prueba no está terminada.
Ésta es una de las ventajas de reconstruir: obliga a transformar intuiciones de conexión en obligaciones verificables.
Qué puede desaparecer y qué debe permanecer
Podemos resumir la transición mediante dos columnas conceptuales.
Puede desaparecer de la prueba final:
- ejemplos que sólo sirvieron para adivinar;
- cálculos exploratorios abandonados;
- candidatos que resultaron inútiles;
- ramas verdaderas pero irrelevantes;
- preguntas que guiaron la búsqueda una vez que ya conocemos la respuesta;
- repeticiones destinadas únicamente a orientarnos durante el trabajo.
Debe permanecer, de una forma u otra:
- las hipótesis efectivamente utilizadas;
- las definiciones necesarias para activar esas hipótesis;
- la existencia y propiedades de los objetos auxiliares relevantes;
- los lemas de los que depende la conclusión;
- las transiciones que conectan cada afirmación con las anteriores;
- la cadena que finalmente alcanza el objetivo.
La diferencia no es entre «largo» y «corto».
Es entre descubrimiento histórico y dependencia justificativa.
Una prueba final no es una copia limpia del borrador de descubrimiento.
Es una reconstrucción de sus dependencias válidas.
El procedimiento básico es:
- identificar la cadena que realmente llega a la conclusión;
- reorientar correctamente los pasos descubiertos hacia atrás;
- justificar los candidatos y objetos que sobrevivieron;
- eliminar ramas exploratorias que ya no sostienen el argumento;
- comprobar que cada afirmación aparece después de aquello de lo que depende.
Comprobación
Un borrador para demostrar
\[ H\Rightarrow Q \]
contiene las notas siguientes, escritas en el orden en que fueron descubiertas:
\[ Q\Longleftarrow S, \]
\[ T\text{ parece relacionado con }Q, \]
\[ H\Rightarrow R, \]
\[ R\Rightarrow S, \]
\[ H\Rightarrow T. \]
¿Qué cadena mínima debería controlar la prueba final y qué información puede quedar fuera si no cumple otra función justificativa?
Respuesta razonada.
La relación
\[ Q\Longleftarrow S \]
significa que disponemos de
\[ S\Rightarrow Q. \]
Además sabemos
\[ H\Rightarrow R \]
y
\[ R\Rightarrow S. \]
Por tanto, la cadena justificativa completa es
\[ H\Rightarrow R\Rightarrow S\Rightarrow Q. \]
Ésa es la dependencia mínima que debe controlar la prueba final.
La rama
\[ H\Rightarrow T \]
puede haber sido útil durante la exploración, pero mientras sólo sepamos que \(T\) «parece relacionado» con \(Q\) y no dispongamos de una inferencia necesaria para la conclusión, esa rama no pertenece a la justificación final.
Puede eliminarse de la prueba sin pérdida lógica.
La reconstrucción no conserva todo lo que descubrimos: conserva todo lo que demuestra.
Del argumento reconstruido a la práctica autónoma
Con §7.9 queda cerrado el recorrido conceptual principal del capítulo.
Ya hemos pasado por el ciclo completo:
\[ \text{leer el problema} \longrightarrow \text{explorar} \longrightarrow \text{localizar el hueco} \longrightarrow \text{construir un puente} \longrightarrow \text{reconstruir la prueba}. \]
La última sección trasladará este ciclo a ejercicios graduados.
No se pedirá únicamente «demuestre». También habrá que identificar obligaciones, comparar estrategias, diagnosticar bloqueos, formular lemas y reconstruir demostraciones a partir de notas de trabajo.
El objetivo será comprobar que las herramientas de descubrimiento pueden transferirse entre distintos microcontextos sin convertirse en recetas ligadas a un único tipo de problema.
7.10. Ejercicios y soluciones desarrolladas
Los ejercicios finales no están organizados por «tipo de prueba», sino por el grado de autonomía que exige la búsqueda. En los primeros se indica con bastante precisión qué parte del proceso conviene observar. En los siguientes hay que diagnosticar el bloqueo o construir una pieza intermedia. En los últimos se retira casi todo el andamiaje y se pide reconstruir una estrategia completa.
La meta no es acumular trucos. Es practicar el ciclo desarrollado a lo largo del capítulo:
\[ \text{datos} \longrightarrow \text{exploración} \longrightarrow \text{hueco identificado} \longrightarrow \text{puente} \longrightarrow \text{prueba reconstruida}. \]
Familia I. Búsqueda guiada
Ejercicio 1. Avanzar con dos hipótesis. Sean \(a,b,c,d\in\mathbb R\) tales que
\[ a\le b \qquad\text{y}\qquad c\le d. \]
Queremos demostrar
\[ a+c\le b+d. \]
- Obtén una consecuencia útil de \(a\le b\) manteniendo \(c\) fijo.
- Obtén una consecuencia útil de \(c\le d\) manteniendo \(b\) fijo.
- Haz que ambas consecuencias se encuentren y reconstruye la prueba final.
Ejercicio 2. Elegir una meta regresiva útil. Para \(x\in\mathbb R\) queremos demostrar
\[ x^2+9\ge6x. \]
Considera las siguientes metas auxiliares:
\[ A:\ (x-3)^2\ge0, \]
\[ B:\ x=3, \]
\[ C:\ x^2\ge6x. \]
- Decide cuáles son condiciones suficientes para el objetivo.
- Distingue entre «suficiente» y «estratégicamente útil para todo \(x\in\mathbb R\)».
- Elige la mejor meta auxiliar y escribe una demostración válida en el sentido de las dependencias.
Ejercicio 3. Localizar el punto de encuentro. Sean \(A,B,C,D\) conjuntos tales que
\[ A\subseteq B, \qquad C\subseteq D, \qquad B\cap D=\varnothing. \]
Demuestra
\[ A\cap C=\varnothing. \]
Antes de escribir la prueba final, identifica explícitamente:
- qué información produces desde \(x\in A\cap C\);
- qué condición sería incompatible con \(B\cap D=\varnothing\);
- cuál es el puente exacto entre ambos frentes.
Ejercicio 4. Desplegar sólo las definiciones necesarias. Sea
\[ f:A\to B \]
una función inyectiva, y sean \(X,Y\subseteq A\). Supón que
\[ f(X)=f(Y). \]
Demuestra
\[ X=Y. \]
No expandas todas las definiciones al comienzo. Para una sola de las inclusiones, indica qué definición conviene desplegar primero y en qué momento exacto se vuelve útil la inyectividad.
Ejercicio 5. Construir objetos auxiliares. Sean
\[ f:A\to B, \qquad g:B\to C. \]
Supón que \(f\) es sobreyectiva y que
\[ g\circ f \]
es inyectiva. Demuestra que \(g\) es inyectiva.
La prueba deberá explicar por qué, dados \(b_1,b_2\in B\), la sobreyectividad de \(f\) sugiere introducir dos objetos auxiliares en \(A\).
Familia II. Diagnóstico y construcción intermedia
Ejercicio 6. Formular un lema que pueda reutilizarse. Sean
\[ p:X\to Y, \qquad q:Y\to Z, \qquad r:Z\to W \]
funciones sobreyectivas.
- Formula y demuestra un lema general sobre la composición de dos funciones sobreyectivas.
- Utiliza ese lema para demostrar que \[ r\circ q\circ p:X\to W \] es sobreyectiva.
- Explica por qué el lema es más útil que repetir desde cero una prueba para las tres funciones.
Ejercicio 7. Diagnosticar una cancelación bloqueada. Sea \(F\) un cuerpo y supón
\[ ac=bc \]
para ciertos \(a,b,c\in F\).
Un intento de prueba escribe inmediatamente
\[ a=b. \]
- Localiza la obligación que falta justificar.
- Identifica una hipótesis adicional suficiente para que esa ruta funcione.
- Bajo esa hipótesis adicional, completa la demostración.
- Explica por qué el fracaso de la cancelación, por sí solo, no autoriza a concluir que cualquier enunciado relacionado sea falso.
Ejercicio 8. Un ciclo escondido. Quieres demostrar
\[ H\Rightarrow Q. \]
Durante la búsqueda propones un lema \(L\) tal que
\[ L\Rightarrow Q. \]
Para «demostrar» \(L\), escribes:
Supongamos \(Q\). A partir de \(Q\) obtenemos \(L\).
- Dibuja el grafo de dependencias que realmente has construido.
- Explica por qué todavía no existe una prueba de \(Q\) desde \(H\).
- Indica qué clase de enlace independiente tendría que añadirse para reparar la estrategia.
Ejercicio 9. Del experimento a una identidad. Considera
\[ p(x)=x^2-4x+5. \]
- Calcula \(p(x)\) para \(x=0,1,2,3,4\).
- Formula una conjetura sobre una cota inferior para \(p(x)\) y sobre el caso de igualdad.
- Busca una representación de \(p(x)\) que explique el patrón observado.
- Demuestra la conjetura para todo \(x\in\mathbb R\).
- Separa explícitamente qué parte fue exploración y qué parte fue demostración.
Ejercicio 10. Reconstruir una igualdad de preimágenes. Sea
\[ f:A\to B \]
y sean \(U,V\subseteq B\). Queremos demostrar
\[ f^{-1}(U\cap V) = f^{-1}(U)\cap f^{-1}(V). \]
Un borrador contiene, desordenadas, las siguientes notas para un \(x\in A\):
\[ x\in f^{-1}(U\cap V), \]
\[ f(x)\in U\cap V, \]
\[ f(x)\in U\ \text{y}\ f(x)\in V, \]
\[ x\in f^{-1}(U)\ \text{y}\ x\in f^{-1}(V), \]
\[ x\in f^{-1}(U)\cap f^{-1}(V). \]
- Ordena las notas según sus dependencias.
- Decide cuáles de los pasos son equivalencias.
- Reconstruye una demostración de la igualdad para elementos arbitrarios.
Familia III. Transferencia y descubrimiento autónomo limitado
Ejercicio 11. Comparar dos estrategias. Sea \(f:A\to B\) y sean \(U,V\subseteq B\). Demuestra
\[ f^{-1}(U\setminus V) = f^{-1}(U)\setminus f^{-1}(V). \]
Antes de cerrar la prueba, compara estas dos estrategias:
- demostrar dos inclusiones por separado;
- tomar \(x\in A\) y encadenar equivalencias de pertenencia.
Ambas son legítimas. Explica cuál hace más visible en este caso el puente entre las definiciones y por qué.
Ejercicio 12. Combinar hipótesis para descubrir el candidato. Sean \(s,d\in\mathbb R\). Demuestra que existe un único par \((x,y)\in\mathbb R^2\) que satisface
\[ x+y=s \]
y
\[ x-y=d. \]
No comiences anunciando las fórmulas de \(x\) e \(y\). Explica primero qué combinaciones de las dos ecuaciones permiten descubrirlas. Después reconstruye una prueba de existencia y unicidad.
Ejercicio 13. Reutilizar resultados intermedios. Sean
\[ f:A\to B, \qquad g:B\to C. \]
Supón que \(f\) es sobreyectiva y que
\[ g\circ f:A\to C \]
es biyectiva. Demuestra que tanto \(f\) como \(g\) son biyectivas.
Antes de escribir la prueba final, separa el problema en cuatro obligaciones:
- inyectividad de \(f\);
- sobreyectividad de \(f\);
- inyectividad de \(g\);
- sobreyectividad de \(g\).
Identifica qué obligaciones ya están dadas, cuáles siguen inmediatamente de la composición y cuál necesita introducir preimágenes mediante la sobreyectividad de \(f\).
Ejercicio 14. Descubrir y verificar un testigo único. Sean \(a,b,c\in\mathbb R\) con
\[ a\ne0. \]
Demuestra que existe un único \(x\in\mathbb R\) tal que
\[ ax+b=c. \]
Incluye, antes de la prueba final, una línea de descubrimiento que muestre cómo el objetivo sugiere el candidato. Después verifica existencia y unicidad sin utilizar como argumento la mera apariencia de la fórmula.
Ejercicio 15. Reconstruir desde notas no lineales. Sean \(x,y,s,t\in\mathbb R\) y supón
\[ x+y=s \]
y
\[ x^2+y^2=t. \]
Queremos obtener una fórmula para \(xy\). Un borrador contiene:
\[ \text{OBJETIVO: }xy=? \]
\[ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2, \]
\[ s^2=t+2xy, \]
\[ (x-y)^2\ge0\quad\text{¿sirve?}, \]
\[ 2xy=s^2-t, \]
\[ xy=\frac{s^2-t}{2}. \]
- Reconstruye la cadena justificativa mínima.
- Identifica qué nota puede eliminarse sin pérdida lógica.
- Explica por qué elevar al cuadrado la hipótesis \(x+y=s\) es una transformación estratégicamente dirigida al objetivo y no una manipulación arbitraria.
Soluciones desarrolladas
Solución 1. Avanzar con dos hipótesis
De
\[ a\le b \]
podemos sumar \(c\) a ambos lados:
\[ a+c\le b+c. \]
Ésta es una consecuencia útil porque introduce el mismo término \(b\) que aparecerá en el extremo derecho del objetivo.
De
\[ c\le d \]
podemos sumar \(b\):
\[ b+c\le b+d. \]
Ahora los dos frentes se encuentran en
\[ b+c. \]
Por transitividad del orden,
\[ a+c\le b+c\le b+d. \]
Por tanto,
\[ a+c\le b+d. \]
La prueba no exigió producir todas las consecuencias posibles de las dos desigualdades. Bastó encontrar dos consecuencias compatibles cuya composición alcanzara el objetivo.
Solución 2. Elegir una meta regresiva útil
El objetivo es
\[ x^2+9\ge6x. \]
La condición \(A\) es
\[ (x-3)^2\ge0. \]
Al expandir,
\[ x^2-6x+9\ge0, \]
que es equivalente a
\[ x^2+9\ge6x. \]
Por tanto, \(A\) no sólo es suficiente: es equivalente al objetivo.
La condición \(B\), \(x=3\), también es suficiente para el objetivo, porque si \(x=3\) entonces ambos lados valen \(18\). Pero no podemos esperar demostrar \(x=3\) para un real arbitrario. Es una condición demasiado fuerte para esta búsqueda.
La condición \(C\),
\[ x^2\ge6x, \]
es suficiente, pues al sumar \(9\) obtenemos
\[ x^2+9\ge6x+9\ge6x. \]
Sin embargo, tampoco es una propiedad válida para todo real. Por ejemplo, no podemos convertirla en una meta universal alcanzable sin información adicional.
La mejor meta auxiliar es \(A\).
Demostración. Para todo \(x\in\mathbb R\),
\[ (x-3)^2\ge0. \]
Por tanto,
\[ x^2-6x+9\ge0, \]
y reordenando,
\[ x^2+9\ge6x. \]
La comparación muestra la diferencia entre una condición meramente suficiente y una condición suficiente que además es alcanzable desde los datos disponibles.
Solución 3. Localizar el punto de encuentro
Para demostrar
\[ A\cap C=\varnothing, \]
supongamos que existe
\[ x\in A\cap C. \]
Entonces
\[ x\in A \qquad\text{y}\qquad x\in C. \]
Como
\[ A\subseteq B, \]
obtenemos
\[ x\in B. \]
Como
\[ C\subseteq D, \]
obtenemos
\[ x\in D. \]
Así,
\[ x\in B\cap D. \]
Pero
\[ B\cap D=\varnothing, \]
lo cual es imposible.
Por tanto,
\[ A\cap C=\varnothing. \]
El punto de encuentro es la pertenencia
\[ x\in B\cap D. \]
Desde \(x\in A\cap C\) podemos producirla; desde la hipótesis \(B\cap D=\varnothing\) sabemos que esa pertenencia es imposible. El hueco queda reducido a una contradicción local perfectamente identificada.
Solución 4. Desplegar sólo las definiciones necesarias
Demostraremos primero
\[ X\subseteq Y. \]
Sea
\[ x\in X. \]
Por definición de imagen,
\[ f(x)\in f(X). \]
Como
\[ f(X)=f(Y), \]
se sigue que
\[ f(x)\in f(Y). \]
Ahora sí conviene desplegar la definición de imagen de \(Y\): existe
\[ y\in Y \]
tal que
\[ f(y)=f(x). \]
En este punto aparece exactamente la forma que activa la inyectividad. Como \(f\) es inyectiva,
\[ y=x. \]
Puesto que \(y\in Y\),
\[ x\in Y. \]
Así,
\[ X\subseteq Y. \]
Intercambiando los papeles de \(X\) e \(Y\) y usando de nuevo
\[ f(Y)=f(X), \]
obtenemos
\[ Y\subseteq X. \]
Por doble inclusión,
\[ X=Y. \]
La inyectividad no era utilizable en la formulación inicial \(f(X)=f(Y)\). Se volvió operativa sólo después de producir una igualdad entre dos valores de la función.
Solución 5. Construir objetos auxiliares
Queremos demostrar que \(g\) es inyectiva. Sean
\[ b_1,b_2\in B \]
y supongamos
\[ g(b_1)=g(b_2). \]
La hipótesis de inyectividad disponible no habla de \(g\) sola, sino de
\[ g\circ f. \]
Por eso necesitamos representar \(b_1\) y \(b_2\) como valores de \(f\).
Como \(f\) es sobreyectiva, existen
\[ a_1,a_2\in A \]
tales que
\[ f(a_1)=b_1 \qquad\text{y}\qquad f(a_2)=b_2. \]
Entonces
\[ g(f(a_1))=g(b_1)=g(b_2)=g(f(a_2)). \]
Por tanto,
\[ (g\circ f)(a_1)=(g\circ f)(a_2). \]
Como \(g\circ f\) es inyectiva,
\[ a_1=a_2. \]
Aplicando \(f\),
\[ b_1=f(a_1)=f(a_2)=b_2. \]
Así \(g\) es inyectiva.
Los objetos auxiliares \(a_1\) y \(a_2\) tienen una función precisa: trasladan el problema desde \(B\), donde queremos comparar \(g(b_1)\) y \(g(b_2)\), hacia \(A\), donde podemos utilizar la inyectividad de la composición.
Solución 6. Formular un lema que pueda reutilizarse
Formulamos el resultado intermedio:
Lema. Si \[ u:M\to N \qquad\text{y}\qquad v:N\to P \] son sobreyectivas, entonces \[ v\circ u:M\to P \] es sobreyectiva.
Demostración del lema. Sea
\[ p\in P. \]
Como \(v\) es sobreyectiva, existe
\[ n\in N \]
tal que
\[ v(n)=p. \]
Como \(u\) es sobreyectiva, existe
\[ m\in M \]
tal que
\[ u(m)=n. \]
Entonces
\[ (v\circ u)(m)=v(u(m))=v(n)=p. \]
Por tanto, \(v\circ u\) es sobreyectiva.
\(\square\)
Aplicamos ahora el lema a \(p\) y \(q\). Como ambas son sobreyectivas,
\[ q\circ p:X\to Z \]
es sobreyectiva.
Aplicamos nuevamente el lema a \(q\circ p\) y \(r\). Obtenemos que
\[ r\circ(q\circ p):X\to W \]
es sobreyectiva.
Por asociatividad de la composición,
\[ r\circ(q\circ p)=r\circ q\circ p. \]
Por tanto,
\[ r\circ q\circ p \]
es sobreyectiva.
El lema aísla el mecanismo que se repite. En vez de reconstruir una prueba especial para tres funciones, demostramos una interfaz reutilizable y luego la aplicamos dos veces.
Solución 7. Diagnosticar una cancelación bloqueada
De
\[ ac=bc \]
no podemos pasar automáticamente a
\[ a=b. \]
La cancelación multiplicativa necesita que el factor cancelado sea no nulo.
El cuello de botella puede escribirse como
\[ ac=bc \qquad\Big|\qquad a=b. \]
Una hipótesis suficiente para cerrar el hueco es
\[ c\ne0. \]
Bajo esa condición, \(c\) tiene inverso multiplicativo \(c^{-1}\). Multiplicamos ambos lados de
\[ ac=bc \]
por \(c^{-1}\):
\[ (ac)c^{-1}=(bc)c^{-1}. \]
Por asociatividad,
\[ a(cc^{-1})=b(cc^{-1}), \]
y por tanto
\[ a=b. \]
El intento inicial nos ha enseñado qué propiedad faltaba para esa estrategia: la posibilidad de cancelar \(c\).
Que esa ruta no funcione sin \(c\ne0\) no demuestra, por sí solo, la falsedad de cualquier afirmación que estemos investigando. Sólo muestra que esta inferencia concreta necesita una condición que todavía no está disponible.
Solución 8. Un ciclo escondido
Disponemos de
\[ L\Rightarrow Q. \]
Pero la propuesta para demostrar \(L\) consiste en suponer \(Q\) y obtener \(L\):
\[ Q\Rightarrow L. \]
El grafo construido es entonces
\[ Q\Rightarrow L\Rightarrow Q. \]
No hay ninguna flecha que entre en ese ciclo desde \(H\).
Por tanto, aunque hayamos mostrado una relación entre \(Q\) y \(L\), todavía no hemos demostrado
\[ H\Rightarrow Q. \]
La estrategia se repararía si pudiéramos obtener \(L\) de manera independiente desde las hipótesis, por ejemplo mediante una cadena
\[ H\Rightarrow R\Rightarrow L. \]
Entonces sí tendríamos
\[ H\Rightarrow R\Rightarrow L\Rightarrow Q. \]
La circularidad no depende de la longitud del argumento. Depende de que la conclusión aparezca como presupuesto necesario para producir aquello que debía demostrarla.
Solución 9. Del experimento a una identidad
Calculamos:
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&0&1&2&3&4\\ \hline p(x)&5&2&1&2&5 \end{array} \]
Los valores sugieren que
\[ p(x)\ge1 \]
y que la igualdad ocurre cuando
\[ x=2. \]
Para explicar el patrón, reescribimos:
\[ \begin{aligned} p(x) &=x^2-4x+5\\ &=x^2-4x+4+1\\ &=(x-2)^2+1. \end{aligned} \]
Como
\[ (x-2)^2\ge0, \]
se sigue que
\[ p(x)\ge1 \]
para todo \(x\in\mathbb R\).
Además,
\[ p(x)=1 \]
si y sólo si
\[ (x-2)^2=0, \]
es decir, si y sólo si
\[ x=2. \]
La tabla fue exploratoria: sugirió la cota y el caso de igualdad. La identidad
\[ p(x)=(x-2)^2+1 \]
es la pieza justificativa que convierte esa sospecha en demostración general.
Solución 10. Reconstruir una igualdad de preimágenes
Sea \(x\in A\). La cadena correcta es
\[ \begin{aligned} x\in f^{-1}(U\cap V) &\Longleftrightarrow f(x)\in U\cap V\\ &\Longleftrightarrow \bigl(f(x)\in U\text{ y }f(x)\in V\bigr)\\ &\Longleftrightarrow \bigl(x\in f^{-1}(U)\text{ y }x\in f^{-1}(V)\bigr)\\ &\Longleftrightarrow x\in f^{-1}(U)\cap f^{-1}(V). \end{aligned} \]
Cada paso es una equivalencia:
- la primera y la tercera usan la definición de preimagen;
- la segunda usa la definición de intersección;
- la última vuelve a usar la definición de intersección.
Como para todo \(x\in A\) tenemos
\[ x\in f^{-1}(U\cap V) \Longleftrightarrow x\in f^{-1}(U)\cap f^{-1}(V), \]
los conjuntos tienen exactamente los mismos elementos. Por tanto,
\[ f^{-1}(U\cap V) = f^{-1}(U)\cap f^{-1}(V). \]
El borrador podía contener las piezas en cualquier orden. La prueba final las organiza como una cadena de equivalencias cuya dependencia es transparente.
Solución 11. Comparar dos estrategias
Tomemos \(x\in A\). Entonces
\[ \begin{aligned} x\in f^{-1}(U\setminus V) &\Longleftrightarrow f(x)\in U\setminus V\\ &\Longleftrightarrow \bigl(f(x)\in U\text{ y }f(x)\notin V\bigr)\\ &\Longleftrightarrow \bigl(x\in f^{-1}(U)\text{ y }x\notin f^{-1}(V)\bigr)\\ &\Longleftrightarrow x\in f^{-1}(U)\setminus f^{-1}(V). \end{aligned} \]
Así,
\[ f^{-1}(U\setminus V) = f^{-1}(U)\setminus f^{-1}(V). \]
También podríamos demostrar dos inclusiones. Esa estrategia sería correcta: tomaríamos primero un elemento del lado izquierdo y después uno del lado derecho, repitiendo en ambos sentidos las mismas definiciones.
En este problema la cadena de equivalencias hace más visible el puente porque todas las transformaciones relevantes son reversibles y consisten precisamente en desplegar definiciones de pertenencia a preimagen y diferencia de conjuntos.
La comparación no establece una regla universal de estilo. Muestra que la representación elegida puede hacer más o menos visible la dependencia matemática.
Solución 12. Combinar hipótesis para descubrir el candidato
Partimos de
\[ x+y=s \]
y
\[ x-y=d. \]
Si sumamos ambas ecuaciones, desaparece \(y\):
\[ 2x=s+d. \]
Esto sugiere
\[ x=\frac{s+d}{2}. \]
Si restamos la segunda ecuación de la primera, desaparece \(x\):
\[ 2y=s-d, \]
y obtenemos
\[ y=\frac{s-d}{2}. \]
Estas fórmulas fueron descubiertas combinando las hipótesis con un propósito: aislar una variable cada vez.
Existencia. Definimos
\[ x_0=\frac{s+d}{2}, \qquad y_0=\frac{s-d}{2}. \]
Entonces
\[ \begin{aligned} x_0+y_0 &=\frac{s+d+s-d}{2} =s, \end{aligned} \]
y
\[ \begin{aligned} x_0-y_0 &=\frac{s+d-(s-d)}{2} =d. \end{aligned} \]
Por tanto, existe una solución.
Unicidad. Supongamos que \((x,y)\) es cualquier solución. Sumando las dos ecuaciones obtenemos necesariamente
\[ 2x=s+d, \]
de modo que
\[ x=\frac{s+d}{2}=x_0. \]
Restándolas obtenemos
\[ 2y=s-d, \]
y por tanto
\[ y=\frac{s-d}{2}=y_0. \]
Así la solución es única.
Solución 13. Reutilizar resultados intermedios
La sobreyectividad de \(f\) ya está dada. Falta demostrar su inyectividad.
Supongamos
\[ f(a_1)=f(a_2). \]
Aplicando \(g\),
\[ (g\circ f)(a_1)=(g\circ f)(a_2). \]
Como \(g\circ f\) es biyectiva, en particular es inyectiva. Luego
\[ a_1=a_2. \]
Así \(f\) es inyectiva. Como ya era sobreyectiva, \(f\) es biyectiva.
Ahora estudiemos \(g\).
Como \(g\circ f\) es biyectiva, es sobreyectiva. Sea
\[ c\in C. \]
Existe \(a\in A\) tal que
\[ g(f(a))=c. \]
Tomando
\[ b=f(a)\in B, \]
obtenemos
\[ g(b)=c. \]
Por tanto, \(g\) es sobreyectiva.
Para la inyectividad, sean \(b_1,b_2\in B\) y supongamos
\[ g(b_1)=g(b_2). \]
Como \(f\) es sobreyectiva, existen \(a_1,a_2\in A\) tales que
\[ f(a_1)=b_1, \qquad f(a_2)=b_2. \]
Entonces
\[ (g\circ f)(a_1)=g(b_1)=g(b_2)=(g\circ f)(a_2). \]
La inyectividad de \(g\circ f\) implica
\[ a_1=a_2, \]
y por tanto
\[ b_1=f(a_1)=f(a_2)=b_2. \]
Así \(g\) es inyectiva y, junto con su sobreyectividad, biyectiva.
La arquitectura global se volvió manejable al separar cuatro obligaciones y observar que cada una utiliza una parte distinta de la información disponible.
Solución 14. Descubrir y verificar un testigo único
Queremos resolver
\[ ax+b=c. \]
Durante la búsqueda podemos trabajar hacia atrás algebraicamente:
\[ ax=c-b, \]
y, como \(a\ne0\),
\[ x=\frac{c-b}{a}. \]
Esto descubre el candidato. Todavía debemos verificarlo.
Existencia. Definimos
\[ x_0=\frac{c-b}{a}. \]
Entonces
\[ \begin{aligned} ax_0+b &=a\frac{c-b}{a}+b\\ &=c-b+b\\ &=c. \end{aligned} \]
Así existe al menos una solución.
Unicidad. Supongamos que \(x\) e \(y\) satisfacen
\[ ax+b=c \]
y
\[ ay+b=c. \]
Entonces
\[ ax+b=ay+b. \]
Cancelando \(b\),
\[ ax=ay. \]
Como \(a\ne0\), podemos cancelar \(a\) y obtenemos
\[ x=y. \]
Por tanto, la solución es única.
La manipulación regresiva produjo el candidato; la prueba final justificó por separado que existe y que ningún otro puede funcionar.
Solución 15. Reconstruir desde notas no lineales
El objetivo es expresar \(xy\) usando \(s\) y \(t\).
La hipótesis
\[ x+y=s \]
contiene una suma, mientras que el objetivo contiene el producto \(xy\). Elevar al cuadrado es útil porque la identidad
\[ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2 \]
hace aparecer precisamente el término \(xy\) y, al mismo tiempo, contiene la segunda cantidad conocida
\[ x^2+y^2=t. \]
La cadena justificativa mínima es:
\[ x+y=s \Longrightarrow (x+y)^2=s^2. \]
Por la identidad algebraica,
\[ x^2+2xy+y^2=s^2. \]
Usando
\[ x^2+y^2=t, \]
obtenemos
\[ t+2xy=s^2. \]
Por tanto,
\[ 2xy=s^2-t, \]
y finalmente
\[ \boxed{xy=\frac{s^2-t}{2}}. \]
La nota
\[ (x-y)^2\ge0 \]
puede eliminarse sin pérdida lógica. Podría conducir a una desigualdad relacionada, pero no interviene en la derivación de la fórmula exacta.
El paso de elevar al cuadrado no fue una manipulación arbitraria: fue elegido porque transforma una hipótesis sobre \(x+y\) en una expresión que contiene simultáneamente el producto buscado y la suma de cuadrados ya conocida.
Cierre del capítulo
Los ejercicios recorren el mismo ciclo en contextos diferentes: orden, conjuntos, funciones y álgebra elemental. La superficie matemática cambia, pero las preguntas estratégicas permanecen:
- ¿qué puedo obtener legítimamente de los datos?;
- ¿qué me bastaría para alcanzar el objetivo?;
- ¿dónde está el hueco mínimo?;
- ¿qué definición, representación, objeto o lema puede cerrarlo?;
- ¿qué me enseña un intento que se atasca?;
- ¿qué parte del borrador pertenece realmente a la demostración final?
Ésa es la competencia que este capítulo quería hacer visible. Una prueba no se descubre únicamente reconociendo su arquitectura ni se justifica simplemente narrando cómo apareció la idea. Entre ambas tareas hay un trabajo controlado de transformación, diagnóstico y reconstrucción.
El capítulo siguiente introducirá otra familia de herramientas fundamentales —inducción, recursión y buen orden— que ampliará el repertorio disponible para razonar sobre los números naturales y estructuras construidas paso a paso.
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