Capítulo 9 — ¿Cómo sabemos que una afirmación universal es falsa?
En los capítulos anteriores aprendimos a reconocer qué exige una afirmación matemática y a construir argumentos capaces de satisfacer esa exigencia. C06 organizó varias arquitecturas de demostración. C07 distinguió entre conocer la forma de una prueba y descubrir el contenido matemático que permite completarla. C08 añadió principios específicos para razonar sobre los números naturales.
Pero hay otra posibilidad que no debe quedar en segundo plano:
la afirmación que estamos intentando demostrar puede ser falsa.
En ese caso, insistir en encontrar una demostración no sólo será difícil. Será imposible.
La dificultad consiste entonces en cambiar correctamente de tarea.
No debemos pasar de
«todavía no encontré una prueba»
al juicio
«por tanto, el enunciado es falso».
Un intento fallido sólo demuestra que ese intento no funcionó. No demuestra todavía nada sobre el valor de verdad del enunciado.
Para establecer falsedad necesitamos un argumento.
Cuando la afirmación es universal, ese argumento puede ser extraordinariamente pequeño: un solo objeto puede bastar. Pero ese objeto debe cumplir exactamente las condiciones que la afirmación promete cubrir.
Ésta será la tensión central del capítulo:
\[ \boxed{\text{muchos casos favorables no prueban una universal}} \]
mientras que
\[ \boxed{\text{un contraejemplo válido basta para refutarla}}. \]
La palabra válido será decisiva.
Un número elegido fuera del dominio no es un contraejemplo. Un objeto que no cumple las hipótesis tampoco lo es. Y un caso que sólo parece extraño, pero no hace falsa la conclusión pertinente, tampoco refuta nada.
C09 estudiará por eso tres tareas relacionadas pero distintas:
\[ \boxed{\text{refutar}} \qquad \boxed{\text{diagnosticar}} \qquad \boxed{\text{reparar}}. \]
Refutar será demostrar que un enunciado es falso.
Diagnosticar será localizar la primera inferencia que deja de estar justificada dentro de un argumento.
Reparar será modificar el enunciado o el argumento sólo en la medida necesaria para eliminar el fallo.
Comenzaremos por la forma más elemental y más importante de refutación: la de una afirmación universal.
9.1. ¿Qué significa refutar una afirmación universal?
Supongamos que tenemos una afirmación de la forma
\[ \forall x\in D,\quad P(x). \]
Esta expresión promete algo muy fuerte.
Afirma que cada objeto del dominio \(D\) satisface la propiedad \(P\).
No afirma que la mayoría lo haga.
No afirma que los primeros cien casos que revisemos lo hagan.
No afirma que no hayamos encontrado todavía una excepción.
Afirma que no existe ninguna excepción dentro de \(D\).
Por eso, para refutarla, debemos demostrar exactamente lo contrario.
La negación de una universal es existencial
Desde C03 sabemos que
\[ \neg\left(\forall x\in D,\quad P(x)\right) \]
es equivalente a
\[ \exists x\in D,\quad \neg P(x). \]
Esta equivalencia determina la arquitectura completa de la refutación.
Para demostrar que
\[ \forall x\in D,\quad P(x) \]
es falsa, basta encontrar un objeto
\[ a\in D \]
para el cual
\[ \neg P(a) \]
sea verdadera.
Ese objeto \(a\) recibe el nombre de contraejemplo.
Así, un contraejemplo no es simplemente un caso que “no encaja bien” con nuestra intuición.
Es un testigo de una negación existencial.
La estructura lógica es
\[ \boxed{\forall x\in D\;P(x)} \]
\[ \Downarrow\ \text{negamos} \]
\[ \boxed{\exists x\in D\;\neg P(x)}. \]
Y la refutación consiste en exhibir y verificar ese testigo.
Primer ejemplo: una universal falsa
Consideremos la afirmación
\[ \forall x\in\mathbb R,\quad x^2\ge x. \]
Para refutarla buscamos un real \(a\) tal que
\[ a^2<a. \]
Tomemos
\[ a=\frac12. \]
Primero comprobamos el dominio:
\[ \frac12\in\mathbb R. \]
Después evaluamos la propiedad:
\[ \left(\frac12\right)^2=\frac14. \]
Y tenemos
\[ \frac14<\frac12. \]
Por tanto,
\[ \neg\left(\left(\frac12\right)^2\ge\frac12\right). \]
Así,
\[ \boxed{\frac12\text{ es un contraejemplo}}. \]
La afirmación universal queda refutada.
Obsérvese que no hemos demostrado que la desigualdad falle “muchas veces”.
No lo necesitamos.
La afirmación prometía que funcionaría para todo real. Un solo real que rompa la promesa es suficiente.
Nombrar un objeto no basta
Una refutación completa no termina con una frase como
«un contraejemplo es \(1/2\)».
Todavía debemos mostrar por qué ese objeto constituye efectivamente un contraejemplo.
En el ejemplo anterior hubo dos verificaciones explícitas:
- \(1/2\) pertenece al dominio anunciado;
- la propiedad universal falla cuando \(x=1/2\).
Esta segunda comprobación fue
\[ \frac14<\frac12. \]
Sin ella sólo habríamos propuesto un candidato.
Un contraejemplo debe ser verificado, no únicamente declarado.
El dominio forma parte de la refutación
Consideremos ahora la afirmación
\[ \forall n\in\mathbb Z,\quad n^2\ge n. \]
Alguien podría observar que
\[ x=\frac12 \]
satisface
\[ \left(\frac12\right)^2<\frac12 \]
y concluir que ha refutado el enunciado.
Pero no lo ha hecho.
El dominio anunciado es
\[ \mathbb Z, \]
y
\[ \frac12\notin\mathbb Z. \]
Por tanto, \(1/2\) no pertenece al conjunto de objetos sobre los que la afirmación hizo una promesa.
El cálculo puede ser correcto y, sin embargo, ser irrelevante para la refutación.
Esto produce una regla que utilizaremos durante todo C09:
\[ \boxed{\text{un objeto fuera del dominio no puede ser contraejemplo}}. \]
La pertenencia al dominio no es una formalidad previa al verdadero argumento.
Es parte del argumento.
Cuando la universal contiene una implicación
Muchas afirmaciones universales tienen una estructura ligeramente más rica:
\[ \forall x\in D, \qquad H(x)\Rightarrow C(x). \]
Aquí \(H(x)\) representa las hipótesis que debe satisfacer un objeto y \(C(x)\) la conclusión prometida para esos objetos.
La negación es
\[ \exists x\in D, \qquad H(x)\land\neg C(x). \]
Por tanto, un contraejemplo a una implicación universal debe satisfacer simultáneamente tres condiciones:
\[ \boxed{x\in D} \]
\[ \boxed{H(x)} \]
\[ \boxed{\neg C(x)}. \]
No basta con hacer falsa la conclusión.
También debemos mantener verdaderas las hipótesis bajo las cuales esa conclusión fue prometida.
Ejemplo: refutar una implicación
Consideremos
\[ \forall x\in\mathbb R, \qquad x^2=1\Rightarrow x=1. \]
Para construir un contraejemplo necesitamos un real \(a\) tal que
\[ a^2=1 \]
y, al mismo tiempo,
\[ a\neq1. \]
Tomemos
\[ a=-1. \]
Verificamos el dominio:
\[ -1\in\mathbb R. \]
Verificamos la hipótesis:
\[ (-1)^2=1. \]
Y verificamos el fallo de la conclusión:
\[ -1\neq1. \]
Por tanto,
\[ \boxed{-1\text{ es un contraejemplo}}. \]
Hemos demostrado que la implicación universal es falsa.
Una conclusión falsa no basta si la hipótesis también falla
Consideremos ahora el enunciado verdadero
\[ \forall x\in\mathbb R, \qquad x>0\Rightarrow x+1>1. \]
Supongamos que alguien propone
\[ x=-2 \]
como contraejemplo porque
\[ -2+1=-1 \]
y
\[ -1\not>1. \]
La conclusión efectivamente es falsa para \(x=-2\).
Pero la hipótesis también es falsa:
\[ -2\not>0. \]
Por tanto, ese objeto no refuta la implicación.
El enunciado sólo prometía
\[ x+1>1 \]
para los reales que satisfacen
\[ x>0. \]
Como \(-2\) no pertenece a esa subclase, el caso no ataca la promesa realizada.
Esta distinción puede resumirse así:
\[ \boxed{\neg C(a)} \]
no basta para refutar
\[ H(x)\Rightarrow C(x). \]
Necesitamos
\[ \boxed{H(a)\land\neg C(a)}. \]
Tres controles para validar un contraejemplo
A partir de los ejemplos anteriores podemos formular un protocolo mínimo.
Ante una afirmación universal, un supuesto contraejemplo \(a\) debe pasar tres controles.
Control 1 — dominio.
¿Se cumple
\[ a\in D? \]
Control 2 — hipótesis.
Si el enunciado contiene condiciones adicionales, ¿las satisface \(a\)?
Control 3 — fallo.
¿La conclusión que el teorema promete es efectivamente falsa para \(a\)?
Sólo después de estas tres verificaciones podemos afirmar que el objeto refuta el enunciado.
Para refutar
\[ \forall x\in D,\quad P(x), \]
hay que verificar un objeto \(a\) tal que
\[ a\in D \qquad\text{y}\qquad \neg P(a). \]
Si la universal tiene la forma
\[ \forall x\in D, \qquad H(x)\Rightarrow C(x), \]
el contraejemplo debe satisfacer
\[ \boxed{a\in D, \qquad H(a), \qquad \neg C(a)}. \]
Un candidato fuera del dominio, un objeto que viola las hipótesis o un caso cuya conclusión no falla no refuta el enunciado.
La asimetría entre casos favorables y desfavorables
La lógica de la cuantificación universal produce una asimetría importante.
Supongamos que consideramos
\[ P(n):\quad n<100 \]
para \(n\in\mathbb N\).
Podemos verificar
\[ P(0),P(1),\ldots,P(99). \]
Tenemos cien casos favorables.
Sin embargo, eso no demuestra
\[ \forall n\in\mathbb N,\quad P(n). \]
El caso
\[ n=100 \]
satisface
\[ 100\in\mathbb N \]
pero
\[ 100\not<100. \]
Por tanto, \(100\) es un contraejemplo y la universal es falsa.
La diferencia lógica es profunda:
\[ \boxed{P(a_1),\ldots,P(a_{100})} \]
sólo habla de cien objetos concretos.
En cambio,
\[ \boxed{\forall n\in\mathbb N\;P(n)} \]
habla de todos los naturales.
Pero para negar esa universal basta demostrar
\[ \boxed{\exists n\in\mathbb N\;\neg P(n)}. \]
Por eso una sola excepción decide la cuestión.
Refutar no es lo mismo que fracasar al demostrar
Hay otra distinción que deberá permanecer visible durante todo el capítulo.
Supongamos que intentamos demostrar
\[ \forall x\in D,\quad P(x) \]
y nuestro argumento se atasca.
De ese fracaso no podemos concluir
\[ \exists x\in D,\quad\neg P(x). \]
Sólo hemos aprendido que una cierta estrategia no produjo una prueba.
Puede ocurrir que:
- la afirmación sea verdadera y necesitemos otra idea;
- la afirmación sea verdadera pero falte una hipótesis intermedia en nuestro argumento;
- la afirmación sea falsa y todavía no hayamos encontrado el contraejemplo;
- el enunciado necesite reformulación.
C07 estudió el diagnóstico de estrategias que no cierran una prueba. C09 añadirá una exigencia nueva: si sospechamos falsedad, debemos certificarla mediante un argumento apropiado.
Contraejemplo real y “menor contraejemplo” no son lo mismo
En C08 utilizamos la expresión menor contraejemplo dentro de una prueba por buen orden.
Allí suponíamos provisionalmente que existía algún fallo y elegíamos el primero para demostrar que tal fallo era imposible.
El objetivo era concluir que el conjunto de fallos era vacío.
En C09 la situación es distinta.
Un contraejemplo real es un objeto que hemos encontrado y verificado y que demuestra que el conjunto de fallos es no vacío.
Podemos representar el contraste así:
\[ \begin{array}{ccl} \text{C08} &:& \text{“supongamos que existe un primer fallo”}\to\text{ contradicción},\\[2mm] \text{C09} &:& \text{“aquí hay un fallo concreto”}\to\text{ refutación}. \end{array} \]
La semejanza terminológica no debe ocultar que las funciones lógicas son opuestas.
El contraejemplo debe atacar exactamente el enunciado
Una buena refutación puede ser muy breve, pero no es imprecisa.
Debe quedar claro:
- qué afirmación se está refutando;
- qué objeto se propone;
- por qué pertenece al dominio;
- qué hipótesis satisface;
- qué conclusión hace falsa.
Una refutación de una línea puede ser completa si contiene todo eso.
Una página entera de cálculos puede ser irrelevante si el objeto elegido no pertenece al dominio o no satisface el antecedente de la implicación.
La longitud no decide la validez.
La correspondencia exacta entre el objeto y la negación lógica sí.
Comprobación
Examina los tres candidatos siguientes.
A. Se quiere refutar
\[ \forall x\in\mathbb R, \qquad x^2+2x+2>1. \]
Se propone
\[ x=-1. \]
B. Se quiere refutar
\[ \forall n\in\mathbb Z, \qquad n^2\ge n. \]
Se propone
\[ n=\frac12. \]
C. Se quiere refutar
\[ \forall x\in\mathbb R, \qquad x>0\Rightarrow x+1>1. \]
Se propone
\[ x=-2. \]
¿Cuáles de los tres son contraejemplos válidos? Justifica cada respuesta utilizando explícitamente dominio, hipótesis y conclusión.
Respuesta razonada.
En A, el candidato sí es un contraejemplo.
Primero,
\[ -1\in\mathbb R. \]
Después,
\[ (-1)^2+2(-1)+2 =1-2+2 =1. \]
La afirmación exigía
\[ 1>1, \]
lo cual es falso.
Por tanto,
\[ \boxed{x=-1\text{ refuta A}}. \]
En B, el cálculo podría sugerir una falla porque
\[ \left(\frac12\right)^2 = \frac14 < \frac12. \]
Pero el dominio es
\[ \mathbb Z, \]
y
\[ \frac12\notin\mathbb Z. \]
Así, el candidato no pertenece al dominio anunciado y no puede refutar la afirmación.
Por tanto,
\[ \boxed{n=\frac12\text{ no es contraejemplo a B}}. \]
En C, el candidato pertenece al dominio:
\[ -2\in\mathbb R. \]
Además, la conclusión
\[ x+1>1 \]
es falsa en \(x=-2\), pues
\[ -1\not>1. \]
Sin embargo, la hipótesis
\[ x>0 \]
es también falsa.
Tenemos
\[ -2\not>0. \]
Por tanto, el caso no satisface las condiciones bajo las cuales la implicación promete su conclusión.
Así,
\[ \boxed{x=-2\text{ no es contraejemplo a C}}. \]
Sólo el candidato A supera los controles necesarios.
La pregunta que queda abierta
Ya sabemos qué forma lógica debe tener un contraejemplo.
Para una universal simple buscamos
\[ a\in D \qquad\text{con}\qquad \neg P(a). \]
Para una implicación universal buscamos
\[ a\in D, \qquad H(a), \qquad \neg C(a). \]
Pero saber qué necesitamos encontrar no nos dice todavía dónde buscarlo.
En problemas sencillos el caso puede saltar a la vista. En otros, el dominio es grande y hay demasiadas posibilidades.
La siguiente sección estudia precisamente esa tarea:
¿cómo elegir casos de prueba que tengan una probabilidad razonable de revelar el fallo, sin confundir la búsqueda heurística con la refutación ya demostrada?
Ése será el contenido de §9.2.
9.2. Cómo buscar un contraejemplo
En §9.1 resolvimos una cuestión lógica: ya sabemos qué debe verificar un contraejemplo.
Si la afirmación es
\[ \forall x\in D,\quad P(x), \]
buscamos un elemento
\[ a\in D \]
para el cual
\[ \neg P(a). \]
Y si la afirmación tiene forma condicional,
\[ \forall x\in D,\quad H(x)\Rightarrow C(x), \]
necesitamos un caso que satisfaga simultáneamente
\[ H(a) \]
y
\[ \neg C(a). \]
Pero esta descripción todavía deja abierto un problema práctico.
Si el dominio contiene miles, millones o infinitos objetos, ¿por dónde conviene empezar?
No existe un algoritmo universal que produzca un contraejemplo cada vez que una afirmación es falsa. Si existiera una receta mecánica de ese tipo para toda situación matemática, gran parte del trabajo de descubrimiento desaparecería.
Sí existen, en cambio, sondas de búsqueda que suelen revelar rápidamente dónde una afirmación es demasiado fuerte.
La regla será:
buscar de manera dirigida, pero validar de manera lógica.
Una sonda puede sugerir un candidato. Sólo las verificaciones de §9.1 convierten ese candidato en un contraejemplo.
Primero escribimos qué tendría que fallar
Antes de probar valores conviene traducir el enunciado a la forma exacta de su negación.
Supongamos que queremos examinar la afirmación
\[ \forall x\in D,\quad H(x)\Rightarrow C(x). \]
La búsqueda no consiste simplemente en preguntar:
«¿para qué \(x\) es falsa \(C(x)\)?»
La pregunta correcta es más exigente:
«¿para qué \(x\in D\) se cumple \(H(x)\) y falla \(C(x)\)?»
Podemos escribir una pequeña ficha de búsqueda:
\[ \begin{array}{ccl} \text{dominio} &:& a\in D,\\[1mm] \text{debe cumplirse} &:& H(a),\\[1mm] \text{debe fallar} &:& C(a). \end{array} \]
Esta ficha evita perder tiempo con candidatos que jamás podrían refutar el enunciado.
Un valor para el cual \(C(a)\) sea falsa pero también lo sea \(H(a)\) no sirve. Un valor que satisfaga todo lo deseado pero quede fuera de \(D\) tampoco sirve.
La búsqueda comienza, por tanto, antes del cálculo: comienza leyendo la obligación lógica.
Casos simples: cero, uno e identidades
Los objetos más simples del dominio suelen ser buenos lugares donde mirar.
En contextos numéricos aparecen con frecuencia
\[ 0,\quad 1,\quad -1. \]
En contextos conjuntistas pueden aparecer
\[ \varnothing \]
o conjuntos con uno o dos elementos.
En contextos funcionales puede ser útil probar funciones constantes, la identidad o transformaciones especialmente sencillas.
¿Por qué?
Porque una afirmación universal debe sobrevivir también a los casos de baja complejidad. Si su formulación ha olvidado una excepción elemental, esos casos tienden a exponerla con poco cálculo.
Pero no debemos convertir esto en una superstición.
Que \(0\) sea un buen primer lugar donde mirar no significa que toda afirmación falsa falle en \(0\).
El procedimiento correcto es:
\[ \boxed{\text{elegir una sonda simple}} \longrightarrow \boxed{\text{comprobar las condiciones}} \longrightarrow \boxed{\text{decidir si realmente refuta}}. \]
Casos de frontera
Cuando el dominio posee una restricción como
\[ x\ge0, \]
\[ |x|\le1, \]
o
\[ a\le x\le b, \]
los puntos de frontera merecen atención especial.
Las afirmaciones con desigualdades estrictas son particularmente sensibles a ellos.
Consideremos, por ejemplo, la afirmación
\[ \forall x\in[0,1],\quad x^2<x. \]
Los valores interiores como
\[ x=\frac12 \]
satisfacen
\[ \left(\frac12\right)^2 = \frac14 < \frac12. \]
Pero eso no demuestra la universal.
El dominio incluye también sus extremos. Probemos
\[ x=0. \]
Tenemos
\[ 0\in[0,1] \]
y
\[ 0^2=0. \]
La conclusión exigiría
\[ 0<0, \]
que es falsa.
Por tanto,
\[ \boxed{x=0\text{ es un contraejemplo}}. \]
La búsqueda en la frontera no fue una prueba por sí misma. Fue una buena elección de candidato que después quedó certificada.
Signos y regiones cualitativamente distintas
Otra sonda poderosa consiste en preguntar si el comportamiento cambia cuando cambia el tipo cualitativo del objeto.
En números reales puede ser relevante separar:
\[ x<0,\qquad x=0,\qquad x>0. \]
Consideremos la afirmación
\[ \forall x,y\in\mathbb R, \qquad x<y\Rightarrow x^2<y^2. \]
Si sólo ensayamos números positivos, la afirmación parece plausible:
\[ 1<2 \quad\text{y}\quad 1^2<2^2. \]
Pero el cuadrado no conserva de la misma manera el orden en la región negativa.
Probemos
\[ x=-2, \qquad y=-1. \]
Primero,
\[ -2<-1, \]
así que la hipótesis se cumple.
Sin embargo,
\[ (-2)^2=4 \]
y
\[ (-1)^2=1, \]
de modo que
\[ 4<1 \]
es falso.
Así,
\[ \boxed{(x,y)=(-2,-1)\text{ refuta la afirmación}}. \]
El punto estratégico no fue «probar números negativos porque sí».
Fue advertir que la operación central,
\[ x\longmapsto x^2, \]
se comporta de manera diferente en regiones de signo distintas.
Casos mínimos y primeros casos no triviales
En dominios discretos conviene examinar a menudo los primeros objetos que realmente satisfacen las hipótesis.
La palabra mínimo se usa aquí en un sentido heurístico: buscamos un caso pequeño o el primer caso no trivial que pueda poner a prueba el enunciado.
No estamos aplicando todavía el argumento de menor contraejemplo de C08.
Por ejemplo, supongamos que queremos examinar
\[ \forall n\in\mathbb Z, \qquad 4\mid n^2\Rightarrow4\mid n. \]
La ficha lógica dice que un contraejemplo tendría que cumplir
\[ 4\mid n^2 \]
y
\[ 4\nmid n. \]
Probemos valores pequeños.
El caso
\[ n=0 \]
satisface la hipótesis, pero también la conclusión, de modo que no refuta nada.
Los valores
\[ n=1,-1 \]
ni siquiera satisfacen la hipótesis.
El siguiente candidato natural es
\[ n=2. \]
Tenemos
\[ 2^2=4, \]
por lo que
\[ 4\mid2^2. \]
Pero
\[ 4\nmid2. \]
Entonces
\[ \boxed{n=2\text{ es un contraejemplo}}. \]
Aquí el examen de casos pequeños fue eficiente porque estuvo filtrado por la hipótesis. No enumeramos enteros sin criterio: buscamos los primeros que podían satisfacer la condición relevante.
Casos degenerados
Un caso degenerado es un objeto permitido por las definiciones pero que se encuentra en una situación límite de complejidad: un conjunto vacío, un conjunto unitario, una función constante, dos objetos que coinciden, una longitud nula cuando el dominio la permite, entre otros ejemplos.
Estos casos son útiles porque una afirmación puede haber sido formulada pensando sólo en situaciones «genéricas» y olvidar que sus cuantificadores abarcan también configuraciones límite.
El criterio sigue siendo el mismo:
- confirmar que el caso degenerado está realmente permitido;
- comprobar todas las hipótesis;
- verificar si la conclusión falla.
Si la definición excluye el caso degenerado, utilizarlo no produce un contraejemplo: produce un objeto fuera del problema.
Romper una simetría aparente
Algunas afirmaciones parecen plausibles porque dos objetos desempeñan papeles visualmente parecidos.
Una buena sonda consiste en construir un caso donde esa simetría se rompa.
Consideremos la afirmación:
Si dos conjuntos \(A\) y \(B\) tienen intersección no vacía, entonces uno de ellos está contenido en el otro.
En símbolos:
\[ A\cap B\neq\varnothing \quad\Longrightarrow\quad A\subseteq B\ \text{o}\ B\subseteq A. \]
En lugar de probar conjuntos al azar, traduzcamos directamente qué necesitaríamos para refutarla.
Queremos simultáneamente:
\[ A\cap B\neq\varnothing, \]
\[ A\nsubseteq B, \]
y
\[ B\nsubseteq A. \]
Estas tres condiciones prácticamente construyen el ejemplo por nosotros.
Para lograr una intersección no vacía necesitamos un elemento común; llamémoslo \(c\).
Para conseguir
\[ A\nsubseteq B, \]
necesitamos un elemento \(a\) que esté en \(A\) pero no en \(B\).
Para conseguir
\[ B\nsubseteq A, \]
necesitamos un elemento \(b\) que esté en \(B\) pero no en \(A\).
Tomemos entonces
\[ A=\{a,c\}, \qquad B=\{b,c\}, \]
con \(a,b,c\) distintos.
Ahora verificamos.
Como
\[ c\in A\cap B, \]
tenemos
\[ A\cap B\neq\varnothing. \]
Pero
\[ a\in A \qquad\text{y}\qquad a\notin B, \]
así que
\[ A\nsubseteq B. \]
Del mismo modo,
\[ b\in B \qquad\text{y}\qquad b\notin A, \]
por lo que
\[ B\nsubseteq A. \]
Por tanto la conclusión es falsa y hemos construido un contraejemplo.
Este ejemplo muestra una estrategia más potente que la enumeración:
\[ \boxed{\text{descomponer la negación en requisitos}} \longrightarrow \boxed{\text{construir un objeto que los satisfaga}}. \]
Buscar no siempre significa enumerar
La palabra «buscar» puede sugerir una lista:
\[ a_1,a_2,a_3,\ldots \]
hasta que algo falle.
A veces esa exploración es útil, especialmente en dominios pequeños. Pero en matemáticas la búsqueda de un contraejemplo suele ser más conceptual.
Podemos preguntarnos:
- ¿qué condición de la conclusión parece más frágil?;
- ¿qué operación cambia de comportamiento según el signo?;
- ¿hay un extremo incluido en el dominio?;
- ¿qué ocurre en el primer caso no trivial?;
- ¿la afirmación presupone implícitamente que dos objetos son distintos?;
- ¿podemos forzar directamente la negación de la conclusión?;
- ¿qué información exige la hipótesis y cómo podemos conservarla mientras rompemos la conclusión?
Estas preguntas convierten la búsqueda en una exploración dirigida por la estructura del enunciado.
Una sonda fallida no demuestra el teorema
Supongamos que probamos
\[ 0,1,-1,2,-2 \]
y todos los casos satisfacen la afirmación.
¿Qué hemos demostrado?
Sólo esas cinco instancias.
No podemos concluir automáticamente que la universal es verdadera.
Tampoco podemos concluir que nuestra estrategia de búsqueda fue mala. Quizá el primer fallo esté lejos, quizá necesite una estructura distinta o quizá la afirmación sí sea verdadera.
Ésta es una disciplina importante:
\[ \boxed{\text{no encontrar un contraejemplo}} \neq \boxed{\text{demostrar que no existe}}. \]
El fracaso de una búsqueda modifica nuestro estado de información, pero no decide por sí solo el valor de verdad de la universal.
En §9.8 volveremos sobre esta asimetría al estudiar tablas numéricas y figuras.
Para buscar un contraejemplo puede ser útil examinar:
- casos simples y elementos neutros;
- puntos de frontera;
- regiones de signo o comportamiento diferente;
- primeros casos no triviales;
- configuraciones degeneradas permitidas;
- situaciones que rompen una simetría aparente;
- objetos construidos directamente desde la negación.
Estas son heurísticas de búsqueda.
Después de encontrar un candidato todavía debemos certificar:
\[ \boxed{\text{dominio}} \qquad+ \qquad \boxed{\text{hipótesis}} \qquad+ \qquad \boxed{\text{fallo de la conclusión}}. \]
Si no encontramos ningún candidato, no hemos demostrado todavía la afirmación universal.
Comprobación
Considera la afirmación
\[ \forall n\in\mathbb Z, \qquad 12\mid n^2\Rightarrow12\mid n. \]
Un estudiante decide probar, en orden,
\[ 0,1,2,3,4,5,6,7,\ldots \]
sin distinguir qué valores satisfacen la hipótesis.
- Reescribe primero la condición exacta que debe cumplir un contraejemplo.
- Explica cómo esa condición permite descartar candidatos sin hacer todos los cálculos posibles.
- Encuentra un contraejemplo pequeño y verifícalo completamente.
- Explica por qué el hecho de haber encontrado un contraejemplo pequeño no convierte «probar valores pequeños» en un método infalible para toda afirmación universal falsa.
Respuesta razonada.
La afirmación tiene forma condicional. Un contraejemplo debe satisfacer simultáneamente
\[ 12\mid n^2 \]
y
\[ 12\nmid n. \]
Por tanto, cualquier valor para el cual
\[ 12\nmid n^2 \]
puede descartarse de inmediato: no satisface la hipótesis y no puede refutar la implicación.
Los valores
\[ n=1,2,3,4,5 \]
no proporcionan todavía un contraejemplo. Pero para
\[ n=6 \]
tenemos
\[ 6^2=36 \]
y
\[ 12\mid36. \]
La hipótesis se cumple.
En cambio,
\[ 12\nmid6. \]
La conclusión es falsa.
Así,
\[ \boxed{n=6\text{ es un contraejemplo}}. \]
La búsqueda fue eficiente porque no tratamos cada número como igualmente informativo: nos interesaban especialmente aquellos cuyo cuadrado podía ser múltiplo de \(12\) sin que el propio número lo fuera.
Pero nada de esto convierte la inspección de valores pequeños en una regla universal. Una afirmación falsa puede tener su primer contraejemplo muy lejos de los casos iniciales, o requerir una estructura cualitativamente distinta de la que estamos probando.
Lo que decide la refutación no es que el testigo sea pequeño, sino que satisfaga exactamente
\[ 12\mid n^2 \qquad\text{y}\qquad 12\nmid n. \]
Los casos pequeños fueron una estrategia de descubrimiento; la verificación de esas dos condiciones es la refutación.
Hacia los condicionales
Hasta aquí hemos tratado la forma condicional como parte de la validación de candidatos, pero todavía no hemos estudiado un error especialmente frecuente.
De
\[ P\Rightarrow Q \]
no se sigue en general
\[ Q\Rightarrow P. \]
El recíproco puede parecer muy cercano al teorema original y, precisamente por eso, resultar engañoso.
La siguiente sección estudiará cómo refutar recíprocos falsos y cómo distinguirlos de la contraposición legítima.
Ése será el contenido de §9.3.
9.3. Recíprocos falsos y condicionales
En §9.1 vimos que una implicación universal
\[ \forall x\in D,\qquad P(x)\Rightarrow Q(x) \]
se refuta mediante un objeto (aD) para el cual
\[ P(a) \]
sea verdadera y
\[ Q(a) \]
sea falsa.
Ahora necesitamos afinar esa lectura, porque alrededor de una misma implicación aparecen varias afirmaciones formalmente parecidas que no cumplen la misma función lógica.
Partiremos de
\[ P\Rightarrow Q. \]
A su alrededor aparecen, entre otras, estas tres expresiones:
\[ Q\Rightarrow P, \]
\[ \neg Q\Rightarrow\neg P, \]
y
\[ P\land\neg Q. \]
Conviene aprender a identificarlas sin depender de la semejanza visual.
El recíproco cambia la dirección
El recíproco de
\[ P\Rightarrow Q \]
es
\[ Q\Rightarrow P. \]
La operación parece pequeña: sólo intercambiamos antecedente y consecuente.
Pero ese intercambio puede cambiar el valor de verdad.
Consideremos, para (nZ), la afirmación
\[ 8\mid n\Rightarrow4\mid n. \]
Esta implicación es verdadera. Si
\[ 8\mid n, \]
entonces existe (kZ) tal que
\[ n=8k. \]
Pero
\[ n=8k=4(2k), \]
y como (2kZ),
\[ 4\mid n. \]
Ahora escribamos el recíproco:
\[ 4\mid n\Rightarrow8\mid n. \]
Para decidir si también es verdadero no podemos invocar automáticamente el resultado anterior. Debemos examinar esta nueva implicación.
Su negación exige un entero (n) tal que
\[ 4\mid n \]
y
\[ 8\nmid n. \]
El caso
\[ n=4 \]
sirve:
\[ 4\mid4 \]
pero
\[ 8\nmid4. \]
Por tanto,
\[ \boxed{4\mid n\Rightarrow8\mid n\text{ es falso}}. \]
Hemos demostrado simultáneamente dos cosas distintas:
\[ \boxed{8\mid n\Rightarrow4\mid n} \]
es verdadera, mientras que
\[ \boxed{4\mid n\Rightarrow8\mid n} \]
es falsa.
El recíproco no viene incluido en el teorema original.
Refutar el recíproco no refuta la implicación original
El ejemplo anterior permite eliminar otra confusión.
El número
\[ n=4 \]
es un contraejemplo al recíproco porque satisface
\[ 4\mid4 \]
y
\[ 8\nmid4. \]
Pero no es un contraejemplo a la implicación original.
Para refutar
\[ 8\mid n\Rightarrow4\mid n \]
necesitaríamos exactamente lo contrario:
\[ 8\mid n \]
y
\[ 4\nmid n. \]
El valor (4) ni siquiera satisface el antecedente original.
Por tanto,
\[ \boxed{\text{contraejemplo al recíproco}} \neq \boxed{\text{contraejemplo al enunciado original}}. \]
Cada condicional debe auditarse con sus propias posiciones de antecedente y consecuente.
La contraposición no es el recíproco
La contraposición de
\[ P\Rightarrow Q \]
es
\[ \neg Q\Rightarrow\neg P. \]
A diferencia del recíproco, la contraposición es lógicamente equivalente a la implicación original:
\[ \boxed{ P\Rightarrow Q \Longleftrightarrow \neg Q\Rightarrow\neg P }. \]
Volvamos al ejemplo:
\[ 8\mid n\Rightarrow4\mid n. \]
Su contraposición es
\[ 4\nmid n\Rightarrow8\nmid n. \]
Esto tiene exactamente el mismo contenido lógico.
Si un número no es divisible por (4), entonces no puede ser divisible por (8), porque toda divisibilidad por (8) produciría automáticamente divisibilidad por (4).
Compárese con el recíproco:
\[ 4\mid n\Rightarrow8\mid n. \]
Las dos afirmaciones comienzan hablando de (4), pero una dice
\[ 4\nmid n \]
y la otra
\[ 4\mid n. \]
No son variantes intercambiables.
La negación tampoco es el recíproco
Para refutar
\[ P\Rightarrow Q \]
no demostramos su recíproco.
Demostramos su negación.
Sabemos que
\[ \neg(P\Rightarrow Q) \]
es equivalente a
\[ P\land\neg Q. \]
En una afirmación universal,
\[ \forall x\in D,\qquad P(x)\Rightarrow Q(x), \]
la negación completa es
\[ \exists x\in D,\qquad P(x)\land\neg Q(x). \]
Por tanto, alrededor de un condicional conviene mantener separadas cuatro formas:
\[ \begin{array}{ccl} \text{original} &:& P\Rightarrow Q,\\[1mm] \text{recíproco} &:& Q\Rightarrow P,\\[1mm] \text{contraposición} &:& \neg Q\Rightarrow\neg P,\\[1mm] \text{negación} &:& P\land\neg Q. \end{array} \]
Sólo la tercera es equivalente al original.
La cuarta describe exactamente el tipo de caso que lo refuta.
Un mismo objeto puede refutar una dirección y ser irrelevante para otra
Consideremos ahora la afirmación sobre números reales
\[ x=3\Rightarrow x^2=9. \]
Es verdadera.
Su recíproco es
\[ x^2=9\Rightarrow x=3. \]
Probemos
\[ x=-3. \]
Tenemos
\[ (-3)^2=9, \]
así que el antecedente del recíproco es verdadero.
Pero
\[ -3\neq3. \]
Por tanto,
\[ \boxed{x=-3\text{ refuta el recíproco}}. \]
¿Qué ocurre con la contraposición del enunciado original?
Es
\[ x^2\neq9\Rightarrow x\neq3. \]
El valor (x=-3) no la refuta, porque su antecedente
\[ (-3)^2\neq9 \]
es falso.
Y tampoco refuta el enunciado original, porque allí el antecedente
\[ x=3 \]
es falso.
Este ejemplo muestra por qué no basta decir que un objeto «hace algo raro» respecto de una familia de fórmulas.
Hay que preguntar siempre:
¿qué condicional concreto estoy tratando de refutar, y cuál es su antecedente?
El recíproco puede ser verdadero, pero debe demostrarse aparte
Que el recíproco no se siga automáticamente del original no significa que siempre sea falso.
Consideremos
\[ x=0\Rightarrow x^2=0. \]
Su recíproco es
\[ x^2=0\Rightarrow x=0. \]
Sobre (R), ambas afirmaciones son verdaderas.
En ese caso podemos reunirlas en un bicondicional:
\[ x=0 \Longleftrightarrow x^2=0. \]
Pero la segunda dirección no es verdadera porque la primera lo sea.
Necesita su propia justificación.
Ésta es precisamente la estructura de una equivalencia:
\[ \boxed{P\Longleftrightarrow Q} \]
significa que debemos tener
\[ P\Rightarrow Q \]
y también
\[ Q\Rightarrow P. \]
Un contraejemplo a cualquiera de las dos direcciones basta para refutar el bicondicional completo.
Una forma práctica de auditar direcciones
Cuando aparezcan varias versiones cercanas de un condicional, conviene escribir una tabla conceptual antes de probar casos:
\[ \begin{array}{c|c|c} \text{afirmación} & \text{debe ser verdadero} & \text{debe ser falso para refutar}\\ \hline P\Rightarrow Q & P & Q\\ Q\Rightarrow P & Q & P\\ \neg Q\Rightarrow\neg P & \neg Q & \neg P \end{array} \]
La tabla no demuestra ninguna de las afirmaciones.
Su función es impedir que busquemos el tipo equivocado de testigo.
Por ejemplo, para refutar el recíproco
\[ Q\Rightarrow P \]
debemos buscar
\[ Q\land\neg P. \]
No debemos buscar
\[ P\land\neg Q, \]
porque eso refutaría el condicional original.
Un error de razonamiento relacionado
Supongamos que sabemos que
\[ P\Rightarrow Q \]
es verdadera y, en un caso concreto, observamos que
\[ Q \]
también es verdadera.
¿Podemos concluir (P)?
No.
Eso equivaldría a utilizar el recíproco
\[ Q\Rightarrow P \]
sin haberlo demostrado.
En §9.7 estudiaremos este tipo de inferencia defectuosa dentro de argumentos completos. Por ahora basta identificar la dependencia:
\[ P\Rightarrow Q \]
autoriza avanzar de (P) a (Q), pero no regresar de (Q) a (P) sin una razón adicional.
A partir de
\[ P\Rightarrow Q \]
podemos obtener legítimamente su contraposición:
\[ \neg Q\Rightarrow\neg P. \]
No obtenemos automáticamente su recíproco:
\[ Q\Rightarrow P. \]
Y para refutar el original buscamos
\[ P\land\neg Q, \]
mientras que para refutar el recíproco buscamos
\[ Q\land\neg P. \]
Cambiar la dirección cambia también el tipo exacto de contraejemplo que necesitamos.
Comprobación
Considera el enunciado
\[ \forall n\in\mathbb Z,\qquad 10\mid n\Rightarrow5\mid n. \]
Responde:
- escribe su recíproco;
- escribe su contraposición;
- escribe la condición exacta que debería satisfacer un contraejemplo al enunciado original;
- escribe la condición exacta que debería satisfacer un contraejemplo al recíproco;
- decide qué afirmación refuta (n=5), si refuta alguna.
Respuesta razonada.
El enunciado original es
\[ 10\mid n\Rightarrow5\mid n. \]
Su recíproco es
\[ 5\mid n\Rightarrow10\mid n. \]
Su contraposición es
\[ 5\nmid n\Rightarrow10\nmid n. \]
Para refutar el enunciado original necesitaríamos un entero (n) tal que
\[ 10\mid n \]
y
\[ 5\nmid n. \]
El valor (n=5) no cumple la primera condición:
\[ 10\nmid5. \]
Por tanto, no refuta el enunciado original.
Para refutar el recíproco, en cambio, necesitamos
\[ 5\mid n \]
y
\[ 10\nmid n. \]
El valor (n=5) satisface exactamente ambas condiciones:
\[ 5\mid5 \]
y
\[ 10\nmid5. \]
Así,
\[ \boxed{n=5\text{ refuta el recíproco}}. \]
No refuta la contraposición, que es equivalente al enunciado original.
La diferencia no depende de que hayamos cambiado poco los símbolos. Depende de qué condición funciona como antecedente y cuál como conclusión en cada afirmación.
Hacia los cuantificadores
Los condicionales no son el único lugar donde dos enunciados muy parecidos pueden tener fuerzas lógicas distintas.
También ocurre con
\[ \forall x\,\exists y\,P(x,y) \]
y
\[ \exists y\,\forall x\,P(x,y). \]
El orden de los cuantificadores cambia qué puede depender de qué.
La siguiente sección estudiará cómo detectar y refutar intercambios ilegítimos de cuantificadores y cómo controlar la dependencia de los testigos.
Ése será el contenido de §9.4.
9.4. Cuantificadores intercambiados y testigos
En §9.3 vimos que cambiar la dirección de un condicional cambia la obligación lógica. Con los cuantificadores ocurre algo semejante: cambiar su orden puede transformar completamente lo que una afirmación exige.
Comparemos
\[ \forall x\in D\;\exists y\in E,\quad P(x,y) \]
y
\[ \exists y\in E\;\forall x\in D,\quad P(x,y). \]
Las dos fórmulas contienen las mismas variables, los mismos dominios, los mismos cuantificadores y el mismo predicado. Sin embargo, en general no dicen lo mismo.
La diferencia está en cuándo debe elegirse el testigo existencial.
Testigo dependiente y testigo uniforme
En
\[ \forall x\in D\;\exists y\in E,\quad P(x,y), \]
primero se fija un objeto arbitrario \(x\). Después podemos elegir un \(y\) adecuado para ese \(x\).
Por eso el testigo puede depender de la entrada:
\[ y=y(x). \]
En cambio, en
\[ \exists y\in E\;\forall x\in D,\quad P(x,y), \]
el testigo \(y\) debe elegirse antes de recorrer todos los \(x\).
Ese mismo valor debe funcionar simultáneamente para cada objeto del dominio.
Podemos resumir la diferencia así:
\[ \boxed{\forall x\,\exists y:\ \text{puede variar el testigo con }x} \]
mientras que
\[ \boxed{\exists y\,\forall x:\ \text{un solo testigo debe servir para todos los }x}. \]
Esta distinción es una cuestión de dependencia lógica, no de notación superficial.
Un ejemplo donde el orden cambia la verdad
Consideremos enteros \(n\) y \(m\) y la propiedad
\[ P(n,m):\quad n+m\text{ es par}. \]
Primero estudiemos
\[ \forall n\in\mathbb Z\;\exists m\in\mathbb Z, \qquad n+m\text{ es par}. \]
Esta afirmación es verdadera.
Dado cualquier entero \(n\), podemos elegir
\[ m=n. \]
Entonces
\[ n+m=n+n=2n, \]
que es par.
El testigo utilizado fue
\[ m=n, \]
y por tanto dependió del valor de \(n\).
Ahora intercambiemos los cuantificadores:
\[ \exists m\in\mathbb Z\;\forall n\in\mathbb Z, \qquad n+m\text{ es par}. \]
Esta afirmación exige mucho más.
Afirma que existe un entero fijo \(m\) que, una vez elegido, hace par a \(n+m\) para todo entero \(n\).
No existe tal \(m\).
En efecto, tomemos cualquier entero \(m\). Si elegimos
\[ n=m+1, \]
entonces
\[ n+m=(m+1)+m=2m+1, \]
que es impar.
Por tanto, para cada candidato \(m\) podemos construir un entero \(n\) que lo derrota.
Así,
\[ \boxed{\forall n\,\exists m\;P(n,m)} \]
es verdadera, mientras que
\[ \boxed{\exists m\,\forall n\;P(n,m)} \]
es falsa.
El testigo uniforme es una exigencia más fuerte
Si sabemos que
\[ \exists y\in E\;\forall x\in D,\quad P(x,y), \]
entonces existe un mismo \(y_0\in E\) tal que
\[ P(x,y_0) \]
para todo \(x\in D\).
En particular, cuando se fija cualquier \(x\), podemos reutilizar ese mismo \(y_0\) y concluir
\[ \exists y\in E,\quad P(x,y). \]
Por tanto,
\[ \boxed{ \exists y\in E\;\forall x\in D\;P(x,y) \Longrightarrow \forall x\in D\;\exists y\in E\;P(x,y) }. \]
La implicación inversa no vale en general, como mostró el ejemplo de la paridad.
La razón es conceptual: saber resolver el problema por separado para cada \(x\) no produce automáticamente una única solución que funcione simultáneamente para todos.
Cómo se niega una alternancia de cuantificadores
Para refutar correctamente estas afirmaciones necesitamos negar la fórmula completa.
Partamos de
\[ \forall x\in D\;\exists y\in E,\quad P(x,y). \]
Su negación es
\[ \exists x\in D\;\forall y\in E,\quad \neg P(x,y). \]
Por tanto, para refutar una afirmación de tipo
\[ \forall x\exists y, \]
no basta encontrar un par concreto \((a,b)\) para el cual \(P(a,b)\) falle.
Necesitamos un \(a\) tal que ningún \(y\) permitido funcione:
\[ \boxed{ \exists a\in D\;\forall y\in E,\quad \neg P(a,y) }. \]
Ahora partamos de
\[ \exists y\in E\;\forall x\in D,\quad P(x,y). \]
Su negación es
\[ \forall y\in E\;\exists x\in D,\quad \neg P(x,y). \]
Por tanto, para refutar una afirmación de tipo
\[ \exists y\forall x, \]
no alcanza con encontrar un único par fallido.
Debemos mostrar que todo candidato a testigo uniforme puede ser derrotado por algún \(x\):
\[ \boxed{ \forall y\in E\;\exists x\in D,\quad \neg P(x,y) }. \]
Ésta fue exactamente la estructura usada en el ejemplo anterior: dado cualquier \(m\), elegimos \(n=m+1\) y obtenemos una suma impar.
Un par que falla puede no refutar nada
Volvamos a la afirmación verdadera
\[ \forall n\in\mathbb Z\;\exists m\in\mathbb Z, \qquad n+m\text{ es par}. \]
Consideremos el par
\[ (n,m)=(1,0). \]
Tenemos
\[ 1+0=1, \]
que es impar.
Así,
\[ P(1,0) \]
es falsa.
¿Hemos refutado la afirmación universal-existencial?
No.
Para \(n=1\) sólo se prometía que existiría algún entero \(m\) que funcionara.
Y efectivamente podemos elegir
\[ m=1, \]
pues
\[ 1+1=2 \]
es par.
El fracaso de un testigo concreto no demuestra la inexistencia de todos los testigos.
Por tanto:
\[ \boxed{\neg P(a,b)} \]
no basta para refutar
\[ \forall x\exists y\;P(x,y). \]
Necesitamos
\[ \boxed{\forall y\;\neg P(a,y)} \]
para algún \(a\).
Refutar una universal-existencial
Consideremos ahora la afirmación
\[ \forall n\in\mathbb Z\;\exists m\in\mathbb Z, \qquad n=2m. \]
Esta fórmula dice que todo entero es el doble de algún entero.
Para refutarla negamos:
\[ \exists n\in\mathbb Z\;\forall m\in\mathbb Z, \qquad n\neq2m. \]
Elijamos
\[ n=1. \]
Debemos demostrar ahora que ningún entero \(m\) satisface
\[ 1=2m. \]
Pero \(2m\) es par para todo \(m\in\mathbb Z\), mientras que \(1\) es impar.
Así,
\[ \forall m\in\mathbb Z, \qquad 1\neq2m. \]
Por tanto,
\[ \boxed{n=1\text{ refuta la afirmación}} \]
en el sentido correcto: hemos encontrado un valor del cuantificador universal para el cual todos los posibles testigos existenciales fallan.
Refutar una existencial-universal
Consideremos la afirmación
\[ \exists m\in\mathbb Z\;\forall n\in\mathbb Z, \qquad n-m\text{ es múltiplo de }3. \]
La fórmula afirma que existe un entero fijo \(m\) congruente con todos los enteros módulo \(3\).
Su negación es
\[ \forall m\in\mathbb Z\;\exists n\in\mathbb Z, \qquad n-m\text{ no es múltiplo de }3. \]
Tomemos un candidato arbitrario \(m\).
Elegimos
\[ n=m+1. \]
Entonces
\[ n-m=1, \]
que no es múltiplo de \(3\).
Como esta construcción funciona para cualquier \(m\), hemos demostrado
\[ \forall m\in\mathbb Z\;\exists n\in\mathbb Z, \qquad 3\nmid(n-m). \]
Por tanto, no existe ningún testigo uniforme y la afirmación original queda refutada.
Aquí no hubo un único contraejemplo numérico aislado. El certificado de falsedad fue una regla que derrota a cada candidato existencial.
Los dominios también participan en la dependencia
En una fórmula como
\[ \forall x\in D\;\exists y\in E,\quad P(x,y), \]
el testigo debe pertenecer a \(E\).
No basta encontrar un objeto fuera de ese conjunto que haga verdadera la relación.
Del mismo modo, al refutar
\[ \exists y\in E\;\forall x\in D,\quad P(x,y), \]
cada candidato \(y\) que debemos derrotar es un elemento de \(E\), y el objeto \(x\) utilizado para derrotarlo debe pertenecer a \(D\).
El control de dominio de §9.1 no desaparece cuando aparecen varios cuantificadores. Se vuelve más importante, porque cada variable puede tener restricciones diferentes.
No todos los intercambios son problemáticos
La advertencia sobre el orden se refiere especialmente a cuantificadores de distinto tipo.
En condiciones ordinarias,
\[ \forall x\;\forall y\;P(x,y) \]
y
\[ \forall y\;\forall x\;P(x,y) \]
expresan la misma exigencia.
Del mismo modo,
\[ \exists x\;\exists y\;P(x,y) \]
y
\[ \exists y\;\exists x\;P(x,y) \]
son equivalentes.
La dificultad aparece cuando alternamos
\[ \forall\quad\text{y}\quad\exists. \]
Entonces el orden controla la dependencia del testigo.
En
\[ \forall x\in D\;\exists y\in E\;P(x,y), \]
el testigo \(y\) puede depender de \(x\).
En
\[ \exists y\in E\;\forall x\in D\;P(x,y), \]
el mismo \(y\) debe funcionar para todos los \(x\).
Para refutar la primera forma buscamos
\[ \exists x\in D\;\forall y\in E\;\neg P(x,y). \]
Para refutar la segunda buscamos
\[ \forall y\in E\;\exists x\in D\;\neg P(x,y). \]
Un único par \((x,y)\) donde \(P(x,y)\) falle puede ser insuficiente en ambos casos.
Comprobación
Considera las dos afirmaciones siguientes:
\[ A:\qquad \forall n\in\mathbb Z\;\exists m\in\mathbb Z, \qquad n+m\text{ es impar}, \]
y
\[ B:\qquad \exists m\in\mathbb Z\;\forall n\in\mathbb Z, \qquad n+m\text{ es impar}. \]
Responde:
- decide si \(A\) es verdadera y, si lo es, exhibe una regla para escoger \(m\) a partir de \(n\);
- decide si \(B\) es verdadera;
- si \(B\) es falsa, escribe primero su negación y luego demuestra esa negación;
- explica por qué el par \((n,m)=(0,0)\), aunque produce una suma par, no refuta por sí solo \(A\).
Respuesta razonada.
La afirmación \(A\) es verdadera.
Dado cualquier \(n\in\mathbb Z\), elegimos
\[ m=n+1. \]
Entonces
\[ n+m=n+(n+1)=2n+1, \]
que es impar.
Por tanto,
\[ \boxed{A\text{ es verdadera}}. \]
El testigo depende de \(n\).
La afirmación \(B\) exige, en cambio, un único entero \(m\) que produzca una suma impar con todo entero \(n\).
Su negación es
\[ \forall m\in\mathbb Z\;\exists n\in\mathbb Z, \qquad n+m\text{ es par}. \]
Sea \(m\) arbitrario. Elegimos
\[ n=m. \]
Entonces
\[ n+m=2m, \]
que es par.
Así hemos demostrado la negación de \(B\), y por tanto
\[ \boxed{B\text{ es falsa}}. \]
Finalmente, el par \((0,0)\) produce
\[ 0+0=0, \]
que es par y por ello no satisface la propiedad pedida en \(A\).
Sin embargo, \(A\) no afirmaba que todo \(m\) funcionara para \(n=0\); afirmaba que existía algún \(m\).
Para \(n=0\) podemos elegir, por ejemplo,
\[ m=1, \]
pues
\[ 0+1=1 \]
es impar.
Por eso un testigo fallido no refuta una afirmación existencial.
Hacia el dominio de las operaciones
Hasta aquí los errores que hemos diagnosticado eran lógicos: cambiar una dirección o alterar la dependencia de un testigo.
La siguiente familia de fallos aparece cuando una transformación algebraica se usa fuera de las condiciones que la hacen legítima.
Dividir por una cantidad que puede ser cero, cancelar sin conocer que el factor es no nulo o evaluar una expresión fuera de su dominio no son simples descuidos de notación: cambian qué inferencias están autorizadas.
Ése será el contenido de §9.5.
9.5. Dominio, operaciones ilegítimas y casos excluidos
Hasta aquí hemos diagnosticado errores producidos por la forma lógica de los enunciados: invertir una implicación, confundir su negación o alterar la dependencia de un testigo.
Ahora aparece otra fuente de fallos.
Una cadena algebraica puede parecer impecable línea por línea y, sin embargo, contener una operación que sólo era válida bajo una condición que nunca fue comprobada.
El ejemplo más conocido es dividir por cero, pero el principio es más general.
Toda operación tiene un dominio de legitimidad.
No basta con reconocer el símbolo de una transformación. Debemos comprobar que las condiciones que autorizan esa transformación se cumplen en el caso que estamos estudiando.
El dominio no es información decorativa
Consideremos la expresión
\[ \frac{x^2-1}{x-1}. \]
Factorizando el numerador obtenemos
\[ \frac{(x-1)(x+1)}{x-1}. \]
Cuando
\[ x\neq1, \]
podemos cancelar el factor \(x-1\) y concluir
\[ \frac{x^2-1}{x-1}=x+1. \]
Pero la igualdad correcta es
\[ \boxed{ \frac{x^2-1}{x-1}=x+1 \qquad\text{para }x\neq1 }. \]
En \(x=1\) la expresión original contiene
\[ \frac{0}{0}, \]
que no está definida.
En cambio, la expresión simplificada
\[ x+1 \]
sí está definida en \(x=1\).
Por tanto, la simplificación no autoriza a olvidar la restricción original.
Hemos obtenido dos expresiones que coinciden en el dominio donde la primera está definida, pero no dos funciones con el mismo dominio si una se considera sobre todos los reales.
Ésta es una forma elemental de un fenómeno que reaparecerá muchas veces:
\[ \boxed{ \text{simplificar una expresión no autoriza a ampliar silenciosamente su dominio} }. \]
Dividir exige un divisor no nulo
En un cuerpo como \(\mathbb R\), de
\[ a=b \]
podemos obtener, para \(c\neq0\),
\[ \frac{a}{c}=\frac{b}{c}. \]
Pero si \(c=0\), la expresión
\[ \frac{a}{c} \]
no está definida.
Así, una línea como
\[ ac=bc \quad\Longrightarrow\quad a=b \]
no es válida sin una condición adicional.
La inferencia correcta es
\[ \boxed{ c\neq0\ \text{ y }\ ac=bc \quad\Longrightarrow\quad a=b}. \]
La hipótesis \(c\neq0\) no es un detalle técnico agregado después del razonamiento. Es exactamente lo que permite utilizar la cancelación.
Una cancelación que destruye un caso decisivo
Consideremos la afirmación
\[ \forall x\in\mathbb R, \qquad (x-2)(x+3)=(x-2)(2x+1) \Rightarrow x+3=2x+1. \]
Un argumento apresurado podría decir:
\[ (x-2)(x+3)=(x-2)(2x+1), \]
por lo tanto cancelamos \(x-2\) y obtenemos
\[ x+3=2x+1. \]
El problema está exactamente en la palabra cancelamos.
No sabemos todavía que
\[ x-2\neq0. \]
Probemos el caso excluido por esa cancelación:
\[ x=2. \]
Entonces la hipótesis se convierte en
\[ 0\cdot5=0\cdot5, \]
que es verdadera.
Pero la conclusión exige
\[ 5=5, \]
que en este caso también es verdadera.
Este valor, por tanto, no refuta el enunciado; sólo muestra que el paso de cancelación no estaba justificado en ese punto.
Esto es importante: una operación ilegítima puede invalidar un argumento sin que el enunciado que intentábamos probar sea necesariamente falso.
Para decidir el valor de verdad del enunciado debemos continuar el análisis por separado.
En este caso, si \(x\neq2\) la cancelación es legítima y obtenemos
\[ x+3=2x+1, \]
es decir,
\[ x=2, \]
lo que contradice \(x\neq2\).
Por tanto, ningún valor con \(x\neq2\) satisface la hipótesis. El único caso que puede satisfacerla es \(x=2\), y allí la conclusión también es verdadera.
Así, la afirmación es verdadera, pero la supuesta demostración por cancelación era incompleta.
Este ejemplo separa dos diagnósticos:
\[ \boxed{\text{la prueba contiene un paso inválido}} \]
no implica automáticamente
\[ \boxed{\text{el enunciado es falso}}. \]
Un paso inválido puede ocultar una afirmación falsa
Modifiquemos ligeramente el ejemplo:
\[ \forall x\in\mathbb R, \qquad (x-2)(x+3)=(x-2)(2x+4) \Rightarrow x+3=2x+4. \]
De nuevo, cancelar \(x-2\) sin comprobar que sea no nulo es ilegítimo.
Ahora probemos precisamente el caso problemático:
\[ x=2. \]
La hipótesis es
\[ 0\cdot5=0\cdot8, \]
por tanto
\[ 0=0, \]
que es verdadera.
La conclusión exige
\[ 5=8, \]
que es falsa.
Así,
\[ \boxed{x=2\text{ es un contraejemplo}}. \]
Aquí el caso excluido por la cancelación no sólo revela un fallo en el argumento: revela además que el propio enunciado es falso.
La moraleja no es «si una cancelación es dudosa, el teorema es falso».
La moraleja es:
cuando una operación excluye un caso, ese caso debe quedar controlado por separado.
Puede resultar irrelevante, puede necesitar una prueba independiente o puede contener exactamente el contraejemplo que buscamos.
Un mal argumento no vuelve falso un teorema verdadero
Consideremos el resultado elemental
\[ xy=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0\ \text{o}\ y=0, \]
para \(x,y\in\mathbb R\).
Alguien podría escribir:
\[ xy=0. \]
Dividimos por \(x\) y obtenemos
\[ y=0. \]
Por tanto,
\[ x=0\ \text{o}\ y=0. \]
La conclusión es correcta, pero el argumento no lo es.
La división por \(x\) sólo está autorizada si
\[ x\neq0. \]
La prueba correcta separa los casos.
Si
\[ x=0, \]
la disyunción ya es verdadera.
Si
\[ x\neq0, \]
entonces sí podemos dividir
\[ xy=0 \]
por \(x\) y obtener
\[ y=0. \]
Por tanto, en ambos casos,
\[ x=0\ \text{o}\ y=0. \]
Este ejemplo refuerza una distinción que será esencial en §9.7:
\[ \boxed{\text{argumento defectuoso}} \neq \boxed{\text{enunciado falso}}. \]
Para demostrar que el enunciado es falso necesitamos un contraejemplo o alguna otra demostración de su negación. Localizar un error sólo establece que esa prueba no funciona.
Cancelar es una inferencia condicional
Podemos formular la regla de cancelación de manera que su hipótesis quede visible.
En \(\mathbb R\),
\[ c a=c b \]
y
\[ c\neq0 \]
permiten concluir
\[ a=b. \]
Si omitimos \(c\neq0\), la inferencia falla.
Por ejemplo,
\[ 0\cdot7=0\cdot13 \]
es verdadera, pero
\[ 7=13 \]
es falsa.
Por eso, cada vez que veamos una cancelación conviene preguntar:
¿qué garantiza que el factor cancelado no es cero?
Si la respuesta no aparece en las hipótesis ni se ha demostrado antes, el paso necesita reparación.
Expresiones parcialmente definidas
El mismo problema aparece sin ninguna división explícita dentro de la cadena de prueba.
Consideremos la función real
\[ f(x)=\sqrt{x-4}. \]
Para que \(f(x)\) sea un número real necesitamos
\[ x-4\ge0, \]
es decir,
\[ x\ge4. \]
Por tanto, si trabajamos en los reales, la expresión
\[ \sqrt{x-4} \]
no puede evaluarse en \(x=1\).
Un cálculo que sustituya \(x=1\) y continúe manipulando
\[ \sqrt{-3} \]
como si fuera un número real ha abandonado el dominio del problema.
Esto no produce un contraejemplo a una afirmación sobre valores permitidos. Produce una expresión fuera del marco declarado.
De forma semejante, si
\[ g(x)=\frac1{x+5}, \]
entonces \(g\) no está definida en
\[ x=-5. \]
No podemos utilizar \(x=-5\) como si fuera una entrada ordinaria de esa función real.
Las hipótesis excluyen casos de manera deliberada
Supongamos que se afirma:
Para todos \(x,y,z\in\mathbb R\), si \(x\neq0\) y \(xy=xz\), entonces \(y=z\).
La forma simbólica es
\[ \forall x,y,z\in\mathbb R, \qquad \bigl(x\neq0\land xy=xz\bigr) \Rightarrow y=z. \]
El caso
\[ x=0, \qquad y=2, \qquad z=7 \]
satisface
\[ xy=xz, \]
pues ambos lados valen \(0\).
Además,
\[ y\neq z. \]
Sin embargo, no es un contraejemplo al teorema, porque viola la hipótesis
\[ x\neq0. \]
El teorema nunca prometió cancelación cuando \(x=0\).
Esto conecta directamente con el protocolo de §9.1:
\[ \boxed{\text{un caso excluido por las hipótesis no puede refutar la conclusión condicional}}. \]
Los casos excluidos sí son útiles para comprender por qué la hipótesis está allí. A menudo muestran qué saldría mal si intentáramos eliminarla.
Cambiar una fórmula puede cambiar el problema
Volvamos a
\[ \frac{x^2-1}{x-1}=x+1. \]
La factorización demuestra que ambas expresiones tienen el mismo valor cuando
\[ x\neq1. \]
Pero si reemplazamos la expresión racional por \(x+1\) y después tratamos \(x=1\) como si siempre hubiera estado permitido, hemos cambiado el problema.
Esto puede ocurrir de varias maneras:
- cancelar un factor y olvidar el cero que anulaba ese factor;
- simplificar una fracción y olvidar los ceros del denominador original;
- introducir una raíz sin controlar dónde existe en el dominio elegido;
- usar una función fuera de su dominio declarado;
- aplicar una regla de cancelación sin la hipótesis de no nulidad.
En todos los casos, el error comparte la misma estructura:
\[ \boxed{ \text{se aplica una transformación más allá del conjunto donde está justificada} }. \]
Un protocolo para auditar operaciones
Cuando una línea de cálculo parezca sospechosa, conviene detenerse antes de continuar y responder cuatro preguntas.
1. ¿Qué operación se realizó?
¿División, cancelación, raíz, evaluación de una función, inversión, sustitución?
2. ¿Qué condición hace válida esa operación?
Por ejemplo:
\[ \text{dividir por }c \quad\Longrightarrow\quad c\neq0. \]
3. ¿Esa condición está en las hipótesis o fue demostrada?
Si no, el paso todavía no está autorizado.
4. ¿Qué casos quedaron excluidos por la operación?
Esos casos deben analizarse por separado. Pueden ser inofensivos o contener precisamente el fallo del enunciado.
Este protocolo transforma una sospecha vaga —«aquí algo no me convence»— en un diagnóstico matemático concreto.
Una transformación algebraica no se justifica sólo porque sea familiar.
Antes de dividir o cancelar por una expresión \(E\), hay que saber que
\[ E\neq0. \]
Antes de evaluar una función, hay que comprobar que la entrada pertenece a su dominio.
Antes de simplificar una expresión racional, hay que conservar las restricciones heredadas de los denominadores originales.
Cuando una operación excluye ciertos casos, esos casos deben quedar controlados por separado.
Y recordar siempre:
\[ \boxed{\text{fallo de una prueba}\neq\text{falsedad del enunciado}}. \]
Comprobación
Analiza los tres razonamientos siguientes.
A. Se afirma, para \(x\in\mathbb R\):
\[ (x-3)(x+2)=(x-3)(2x+1) \Rightarrow x+2=2x+1. \]
Un estudiante cancela \(x-3\) en ambos lados.
B. Se escribe
\[ \frac{x^2-4}{x-2}=x+2 \]
«para todo \(x\in\mathbb R\)».
C. Se supone
\[ x\neq0 \]
y
\[ xy=xz, \]
y se cancela \(x\) para concluir
\[ y=z. \]
Para cada caso:
- identifica la operación relevante;
- indica la condición que la hace legítima;
- decide si esa condición está disponible;
- determina qué puede concluirse realmente.
Respuesta razonada.
En A, la operación es cancelar el factor
\[ x-3. \]
Para que la cancelación sea válida necesitamos
\[ x-3\neq0, \]
es decir,
\[ x\neq3. \]
Pero esa hipótesis no aparece en el enunciado.
Por tanto, la cancelación no puede aplicarse uniformemente a todos los casos.
Además, el caso excluido debe revisarse.
Si
\[ x=3, \]
la hipótesis vale porque
\[ 0\cdot5=0\cdot7=0. \]
La conclusión, en cambio, exige
\[ 5=7, \]
que es falsa.
Así,
\[ \boxed{x=3\text{ es un contraejemplo a A}}. \]
El mismo valor revela tanto la operación ilegítima como la falsedad del enunciado.
En B, la cancelación de \(x-2\) es válida sólo cuando
\[ x\neq2. \]
En efecto,
\[ \frac{x^2-4}{x-2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} =x+2 \]
para
\[ x\neq2. \]
Pero en \(x=2\) la expresión original no está definida.
Por tanto, la formulación «para todo \(x\in\mathbb R\)» no conserva el dominio correcto. La igualdad debe entenderse con la restricción
\[ \boxed{x\in\mathbb R\setminus\{2\}}. \]
En C, la condición necesaria para cancelar \(x\) es precisamente
\[ x\neq0, \]
y esa hipótesis está disponible desde el comienzo.
Por tanto, la cancelación es legítima y podemos concluir
\[ \boxed{y=z}. \]
Los tres ejemplos contienen una operación visualmente parecida. Lo que cambia es si la condición que la autoriza está o no demostrada.
Hacia los pasos irreversibles
Hasta ahora el problema fue que una operación se usó fuera de su dominio de legitimidad.
Hay otra dificultad distinta.
Una transformación puede estar perfectamente definida y ser válida en una dirección, pero no conservar equivalencia en la dirección inversa.
Elevar al cuadrado, por ejemplo, puede transformar una ecuación en otra que admite candidatos adicionales.
Entonces no hay división por cero ni expresión fuera de dominio: el problema es que una flecha lógica fue tratada como si fuera una equivalencia.
Ése será el contenido de §9.6.
9.6. Pasos irreversibles y soluciones espurias
En §9.5 estudiamos operaciones que se utilizaban fuera de las condiciones que las autorizaban. Dividir por una cantidad que podía ser cero o evaluar una expresión fuera de su dominio hacía que el paso mismo fuese ilegítimo.
Ahora estudiaremos un problema diferente.
Una transformación puede ser completamente válida y, sin embargo, conservar sólo una dirección lógica.
Es decir, podemos tener
\[ A(x)\Rightarrow B(x) \]
sin tener
\[ B(x)\Rightarrow A(x). \]
En ese caso, pasar de \(A\) a \(B\) es correcto. El error aparece cuando después tratamos la transformación como si hubiese sido una equivalencia.
Éste es el mecanismo básico por el que surgen muchas soluciones espurias.
Implicación no significa equivalencia
Supongamos que
\[ a=b. \]
Entonces podemos elevar ambos miembros al cuadrado y obtener
\[ a^2=b^2. \]
Por tanto,
\[ \boxed{a=b\Rightarrow a^2=b^2}. \]
El paso es perfectamente legítimo.
Pero el recíproco no vale en general.
Por ejemplo,
\[ 2^2=(-2)^2, \]
aunque
\[ 2\neq-2. \]
Así,
\[ a^2=b^2 \]
no permite concluir automáticamente
\[ a=b. \]
La información del signo se ha perdido.
Por eso no debemos reemplazar sin justificación
\[ a=b\Rightarrow a^2=b^2 \]
por
\[ a=b\Longleftrightarrow a^2=b^2. \]
La primera fórmula expresa una transformación válida.
La segunda afirma además que podemos regresar desde el resultado cuadrado hasta la igualdad original.
Eso exige información adicional.
Aplicar una función puede perder información
El fenómeno anterior puede formularse de manera más general.
Si
\[ a=b, \]
entonces, para cualquier función \(f\) definida en ambos valores,
\[ f(a)=f(b). \]
Por tanto,
\[ a=b\Rightarrow f(a)=f(b). \]
Pero para invertir esa inferencia necesitamos que \(f\) distinga los valores relevantes.
En términos de C04, necesitamos una condición de inyectividad sobre el dominio que estamos utilizando.
Si \(f\) no es inyectiva, distintos valores pueden producir la misma salida.
El ejemplo
\[ f(x)=x^2 \]
sobre \(\mathbb R\) lo muestra inmediatamente:
\[ f(2)=f(-2)=4. \]
Así, cuando una transformación aplica una función no inyectiva a ambos lados de una ecuación, puede comprimir información.
La igualdad transformada puede tener más soluciones que la original.
Ver las soluciones como conjuntos
Sea
\[ S_A=\{x\in D:A(x)\} \]
el conjunto de soluciones de una condición \(A(x)\), y sea
\[ S_B=\{x\in D:B(x)\} \]
el conjunto de soluciones de una condición \(B(x)\).
Si hemos demostrado
\[ A(x)\Rightarrow B(x) \]
para todo \(x\in D\), entonces
\[ \boxed{S_A\subseteq S_B}. \]
Toda solución original sigue siendo solución del problema transformado.
Pero pueden aparecer elementos nuevos en
\[ S_B\setminus S_A. \]
Esos elementos son exactamente los candidatos espurios creados por la pérdida de equivalencia.
En cambio, si tenemos
\[ A(x)\Longleftrightarrow B(x), \]
entonces
\[ \boxed{S_A=S_B}. \]
Esta interpretación conjuntista ofrece una regla muy útil:
una implicación hacia adelante puede ampliar el conjunto de candidatos; una equivalencia conserva exactamente el conjunto de soluciones.
Primer ejemplo: elevar al cuadrado
Consideremos la ecuación real
\[ x+2=\sqrt{4x+13}. \]
Si \(x\) satisface la ecuación, podemos elevar ambos miembros al cuadrado:
\[ (x+2)^2=4x+13. \]
Desarrollando,
\[ x^2+4x+4=4x+13, \]
de donde
\[ x^2=9. \]
Por tanto,
\[ x=3 \qquad\text{o}\qquad x=-3. \]
Hasta aquí hemos obtenido candidatos.
No hemos demostrado todavía que ambos resuelvan la ecuación original.
Comprobemos.
Para
\[ x=3, \]
tenemos
\[ x+2=5 \]
y
\[ \sqrt{4x+13} = \sqrt{25} = 5. \]
Por tanto,
\[ x=3 \]
sí es solución.
Ahora probemos
\[ x=-3. \]
Entonces
\[ x+2=-1, \]
mientras que
\[ \sqrt{4x+13} = \sqrt{1} = 1. \]
Así,
\[ -1\neq1. \]
Por tanto,
\[ \boxed{x=-3\text{ es una solución espuria}}. \]
La ecuación cuadrada admitió un candidato que no satisface la ecuación original.
El paso correcto fue
\[ x+2=\sqrt{4x+13} \Rightarrow (x+2)^2=4x+13. \]
No teníamos todavía derecho a escribir
\[ x+2=\sqrt{4x+13} \Longleftrightarrow (x+2)^2=4x+13. \]
Por qué apareció la solución espuria
La raíz cuadrada real satisface
\[ \sqrt{4x+13}\ge0. \]
Por tanto, cualquier solución de la ecuación original debe cumplir también
\[ x+2\ge0. \]
Es decir,
\[ x\ge-2. \]
Al elevar al cuadrado, esa información de signo dejó de estar visible.
La ecuación
\[ (x+2)^2=4x+13 \]
acepta tanto
\[ x=3 \]
como
\[ x=-3, \]
porque sólo compara cuadrados.
Pero la ecuación original comparaba una raíz cuadrada —que es no negativa— con \(x+2\).
El candidato \(-3\) viola precisamente esa información perdida.
Esto muestra que una solución espuria no aparece «por magia». Suele indicar qué información dejó de conservar la transformación.
Multiplicar también puede ser irreversible
En §9.5 vimos que dividir por una expresión exige comprobar que no sea cero.
Multiplicar, en cambio, siempre está definido en \(\mathbb R\).
Pero eso no significa que la multiplicación sea siempre reversible.
Consideremos la ecuación
\[ x-4=0. \]
Si multiplicamos ambos lados por \(x-2\), obtenemos legítimamente
\[ (x-2)(x-4)=0. \]
Así,
\[ x-4=0 \Rightarrow (x-2)(x-4)=0. \]
Pero la ecuación transformada tiene dos soluciones:
\[ x=2 \qquad\text{o}\qquad x=4. \]
El valor
\[ x=2 \]
no satisface la ecuación original.
Es otro candidato espurio.
¿Por qué?
Porque multiplicar por \(x-2\) puede convertir una expresión no nula en cero cuando
\[ x-2=0. \]
La transformación es válida hacia adelante, pero no puede invertirse uniformemente.
Para recuperar la dirección inversa necesitaríamos saber que
\[ x-2\neq0. \]
Entonces sí podríamos cancelar el factor y volver a
\[ x-4=0. \]
Así, una misma condición de no nulidad puede aparecer en dos papeles distintos:
- en §9.5, para autorizar una división o cancelación;
- en §9.6, para hacer reversible una multiplicación que de otro modo puede añadir soluciones.
No toda transformación que cambia la forma pierde equivalencia
También debemos evitar el error opuesto.
Muchas transformaciones sí son reversibles.
Por ejemplo,
\[ x+7=12 \]
es equivalente a
\[ x=5, \]
porque sumar o restar la misma cantidad en ambos lados puede invertirse sin restricciones adicionales.
Podemos escribir legítimamente
\[ x+7=12 \Longleftrightarrow x=5. \]
Del mismo modo,
\[ 3x=12 \Longleftrightarrow x=4, \]
porque dividir por el número fijo \(3\) es legítimo y reversible.
La pregunta no es, por tanto,
«¿estoy haciendo álgebra?»
sino
«¿esta transformación conserva exactamente el mismo conjunto de soluciones?»
Si la respuesta es sí, podemos usar una equivalencia.
Si sólo sabemos que toda solución anterior produce una solución nueva, debemos usar una implicación.
La notación de las flechas importa
Consideremos una cadena
\[ A_0,\quad A_1,\quad A_2,\quad A_3. \]
Si cada paso es reversible, podemos escribir
\[ A_0 \Longleftrightarrow A_1 \Longleftrightarrow A_2 \Longleftrightarrow A_3. \]
Entonces cualquiera de las cuatro condiciones tiene exactamente las mismas soluciones.
Pero si sólo sabemos
\[ A_0\Rightarrow A_1 \]
y después
\[ A_1\Longleftrightarrow A_2 \Longleftrightarrow A_3, \]
lo único garantizado es
\[ A_0\Rightarrow A_3. \]
Resolver \(A_3\) produce un conjunto que contiene todas las soluciones de \(A_0\), pero puede contener más.
No podemos recorrer la cadena de regreso sin revisar el primer paso.
Por eso escribir símbolos de equivalencia como decoración es peligroso.
Cada
\[ \Longleftrightarrow \]
afirma dos inferencias.
Resolver después de un paso irreversible
Un paso irreversible no vuelve inútil una resolución.
Puede utilizarse de forma perfectamente rigurosa si controlamos la dirección.
Supongamos que queremos resolver
\[ A(x). \]
Realizamos una transformación válida
\[ A(x)\Rightarrow B(x), \]
y conseguimos resolver completamente \(B(x)\).
Obtenemos una lista de candidatos
\[ c_1,\ldots,c_k. \]
Como toda solución de \(A\) debe satisfacer \(B\), no hemos perdido soluciones originales.
Ahora verificamos cada candidato en \(A\).
Los que satisfacen \(A\) son soluciones reales.
Los que no satisfacen \(A\) son espurios.
El procedimiento es:
\[ \boxed{\text{ecuación original}} \Rightarrow \boxed{\text{ecuación más débil}} \longrightarrow \boxed{\text{candidatos}} \longrightarrow \boxed{\text{recontrol en la original}}. \]
El último paso no es opcional.
Es lo que restaura la información que la transformación pudo haber perdido.
Una condición adicional puede recuperar la equivalencia
Volvamos a los cuadrados.
En general,
\[ a^2=b^2 \]
no implica
\[ a=b. \]
Pero si sabemos además que
\[ a\ge0 \qquad\text{y}\qquad b\ge0, \]
entonces sí podemos concluir
\[ a=b. \]
Sobre los reales no negativos, la función
\[ x\longmapsto x^2 \]
es inyectiva.
Por tanto, bajo esas restricciones,
\[ \boxed{ a,b\ge0 \quad\Longrightarrow\quad \bigl(a=b\Longleftrightarrow a^2=b^2\bigr) }. \]
Esto sugiere una forma de reparar cadenas que parecen casi equivalentes:
identificar qué información adicional hace reversible el paso.
A veces será una condición de signo.
Otras veces será una condición de no nulidad o una restricción del dominio.
En §9.9 convertiremos esta observación en una estrategia general de reparación.
Solución espuria no significa error de cálculo
Es importante distinguir dos diagnósticos.
Podemos hacer todos los cálculos correctamente y obtener una solución espuria.
En el ejemplo
\[ x+2=\sqrt{4x+13}, \]
la expansión
\[ (x+2)^2=x^2+4x+4 \]
fue correcta.
La resolución
\[ x^2=9 \Rightarrow x=\pm3 \]
también fue correcta.
El problema no fue un error aritmético.
El problema fue lógico:
\[ \text{ecuación original} \Rightarrow \text{ecuación cuadrada} \]
no era una equivalencia sin condiciones adicionales.
Por eso conviene separar:
\[ \boxed{\text{cálculo correcto}} \]
de
\[ \boxed{\text{dirección lógica correcta}}. \]
Una cadena puede estar algebraicamente bien ejecutada y, sin embargo, justificar menos de lo que afirma.
Perder soluciones y añadir soluciones son problemas distintos
Si realmente tenemos
\[ A(x)\Rightarrow B(x), \]
entonces toda solución de \(A\) pertenece al conjunto de soluciones de \(B\).
Por tanto, esa transformación no pierde soluciones originales: puede añadir candidatos.
Pero si la supuesta transformación hacia adelante no era válida —por ejemplo, porque dividimos por cero—, ya no podemos asegurar ni siquiera esa inclusión.
Ésa es la frontera entre §§9.5 y 9.6:
\[ \begin{array}{ccl} \text{§9.5} &:& \text{el paso puede no estar autorizado},\\[1mm] \text{§9.6} &:& \text{el paso está autorizado, pero puede no ser reversible}. \end{array} \]
La diferencia es pequeña en apariencia y decisiva en el diagnóstico.
Un protocolo para auditar una cadena de equivalencias
Cuando una resolución usa varias transformaciones, conviene auditar cada flecha.
1. ¿El paso hacia adelante es válido?
Si no lo es, estamos ante un problema del tipo estudiado en §9.5.
2. ¿El paso inverso también es válido?
Si sí, podemos escribir
\[ \Longleftrightarrow. \]
Si no, debemos conservar sólo
\[ \Rightarrow. \]
3. ¿Qué información se pierde?
¿Signo, no nulidad, orden, pertenencia a un dominio, distinción entre valores?
4. ¿Puede esa pérdida generar candidatos adicionales?
Si puede, las soluciones de la expresión transformada son sólo candidatos.
5. ¿Se verificaron esos candidatos en la condición original?
Sin esta comprobación, la resolución queda incompleta.
De
\[ A(x)\Rightarrow B(x) \]
sólo podemos concluir
\[ S_A\subseteq S_B. \]
Resolver \(B\) puede producir candidatos que no pertenecen a \(S_A\).
Para escribir
\[ A(x)\Longleftrightarrow B(x) \]
debemos justificar también
\[ B(x)\Rightarrow A(x). \]
Si esa dirección no está disponible, hay que recontrolar cada candidato en el problema original.
Una solución espuria es precisamente un elemento de
\[ S_B\setminus S_A. \]
Comprobación
Analiza las tres situaciones siguientes.
A. Se quiere resolver, en \(\mathbb R\),
\[ x+2=\sqrt{4x+13}. \]
Se elevan ambos lados al cuadrado y se obtienen los candidatos
\[ x=3,\qquad x=-3. \]
B. A partir de
\[ x-4=0 \]
se multiplica por \(x-2\) y se obtiene
\[ (x-2)(x-4)=0. \]
C. Sean \(a,b\in\mathbb R\) con
\[ a\ge0,\qquad b\ge0. \]
Se sabe que
\[ a^2=b^2. \]
Para cada caso:
- indica si el paso utilizado es válido hacia adelante;
- decide si es reversible bajo las hipótesis disponibles;
- identifica los candidatos espurios, si existen;
- escribe la relación lógica correcta usando \(\Rightarrow\) o \(\Longleftrightarrow\).
Respuesta razonada.
En A, elevar al cuadrado es válido hacia adelante:
\[ x+2=\sqrt{4x+13} \Rightarrow (x+2)^2=4x+13. \]
La ecuación transformada produce
\[ x^2=9, \]
y por tanto los candidatos
\[ x=3,\qquad x=-3. \]
Al recontrolarlos en la ecuación original, \(x=3\) funciona y \(x=-3\) no.
Por tanto,
\[ \boxed{x=-3\text{ es espurio}}, \]
y la solución original es
\[ \boxed{x=3}. \]
No podemos reemplazar la flecha por una equivalencia sin añadir la información de signo necesaria.
En B, multiplicar por \(x-2\) es siempre una operación válida:
\[ x-4=0 \Rightarrow (x-2)(x-4)=0. \]
Pero el paso inverso no es válido para todos los reales.
La ecuación transformada tiene soluciones
\[ x=2 \qquad\text{y}\qquad x=4. \]
El valor \(x=2\) no satisface
\[ x-4=0. \]
Así,
\[ \boxed{x=2\text{ es un candidato espurio}}. \]
La relación correcta sigue siendo una implicación.
En C, la situación cambia porque las hipótesis
\[ a\ge0,\qquad b\ge0 \]
hacen inyectiva a la operación de elevar al cuadrado sobre los valores considerados.
De
\[ a^2=b^2 \]
podemos concluir
\[ a=b. \]
Y, naturalmente,
\[ a=b \Rightarrow a^2=b^2. \]
Por tanto, bajo esas hipótesis,
\[ \boxed{ a=b \Longleftrightarrow a^2=b^2 }. \]
No aparecen soluciones espurias.
Los tres casos muestran que la pregunta correcta no es sólo si una transformación puede ejecutarse, sino si preserva exactamente la información necesaria para regresar.
Hacia los argumentos que se prueban a sí mismos
Ya podemos diagnosticar dos grandes familias de fallos.
En §9.5 vimos operaciones utilizadas sin cumplir sus hipótesis.
En §9.6 vimos operaciones legítimas tratadas como si fueran reversibles cuando no lo eran.
Queda una tercera familia: argumentos cuyo problema no está en una operación algebraica particular, sino en su estructura lógica global.
Puede ocurrir que la conclusión se use, directa o indirectamente, para justificar un paso del que luego se pretende derivar esa misma conclusión.
También pueden aparecer inferencias como afirmar el consecuente o negar el antecedente dentro de una cadena aparentemente plausible.
Ése será el contenido de §9.7.
9.7. Circularidad y “nonproofs”
En §§9.5 y 9.6 aprendimos a auditar transformaciones algebraicas.
Primero vimos operaciones que sólo eran legítimas bajo ciertas condiciones. Después vimos transformaciones perfectamente válidas hacia adelante que no podían recorrerse automáticamente en sentido inverso.
Ahora el foco cambia.
Un argumento puede no contener ninguna división por cero, ninguna raíz fuera de dominio y ningún cálculo incorrecto y, sin embargo, no constituir una demostración.
El fallo puede estar en la estructura de dependencia entre sus afirmaciones.
Una línea puede apoyarse en algo que todavía no ha sido demostrado. Una conclusión puede reaparecer disfrazada como premisa intermedia. O una regla de inferencia puede utilizarse en una dirección que no autoriza.
Para estos casos utilizaremos de manera amplia la expresión “nonproof”: un texto que tiene apariencia de demostración, quizá contiene pasos correctos e incluso puede terminar en una conclusión verdadera, pero no establece todavía esa conclusión mediante una cadena justificada de inferencias.
La tarea no será simplemente ponerle una etiqueta.
Será localizar el primer punto donde se rompe la dependencia lógica.
Un teorema verdadero puede tener una prueba inválida
Ésta es la primera distinción que debemos conservar.
Supongamos que una afirmación \(T\) es verdadera.
De eso no se sigue que cualquier argumento que termine escribiendo \(T\) sea una prueba de \(T\).
Del mismo modo, si encontramos un error dentro de una demostración propuesta, sólo hemos establecido que ese argumento no demuestra el resultado.
No hemos demostrado todavía que el resultado sea falso.
Podemos resumirlo así:
\[ \boxed{\text{conclusión verdadera}} \not\Rightarrow \boxed{\text{argumento válido}} \]
y
\[ \boxed{\text{argumento inválido}} \not\Rightarrow \boxed{\text{conclusión falsa}}. \]
Esta separación ya apareció en §9.5, pero ahora se vuelve el centro del diagnóstico.
Para refutar un enunciado necesitamos demostrar su negación: por ejemplo, mediante un contraejemplo válido cuando se trata de una universal.
Para refutar una prueba propuesta basta encontrar una inferencia que no esté justificada.
Son tareas distintas.
Circularidad: usar la conclusión antes de haberla obtenido
La forma más directa de circularidad aparece cuando una prueba utiliza precisamente aquello que pretende demostrar.
Supongamos que queremos probar una afirmación \(C\) a partir de ciertas hipótesis \(H\).
Una demostración debe construir una dependencia del tipo
\[ H \Longrightarrow A_1 \Longrightarrow A_2 \Longrightarrow \cdots \Longrightarrow C. \]
Pero si en algún momento utilizamos \(C\) para justificar uno de los pasos intermedios, la estructura cambia:
\[ H \quad+ \boxed{C} \Longrightarrow A_1 \Longrightarrow \cdots \Longrightarrow C. \]
El argumento puede terminar correctamente en \(C\), pero sólo porque \(C\) ya había sido introducida como información disponible.
No hemos construido una prueba de la conclusión.
La hemos supuesto.
Un ejemplo de circularidad directa
Consideremos el enunciado verdadero
\[ \forall n\in\mathbb Z, \qquad 8\mid n\Rightarrow4\mid n. \]
Una demostración defectuosa podría escribirse así:
Supongamos que \(8\mid n\). Como todo múltiplo de \(8\) es múltiplo de \(4\), podemos escribir \(n=4m\) para algún \(m\in\mathbb Z\). Por tanto, \(4\mid n\).
La conclusión es verdadera.
Sin embargo, examinemos la frase
«como todo múltiplo de \(8\) es múltiplo de \(4\)».
Eso es exactamente lo que se quería demostrar.
El argumento ha utilizado la conclusión universal para justificar la representación
\[ n=4m. \]
Por tanto, la primera dependencia defectuosa aparece antes del último renglón.
El problema no es que
\[ n=4m \]
sea una expresión incorrecta para los múltiplos de \(4\).
El problema es que todavía no teníamos derecho a afirmar que el \(n\) considerado era un múltiplo de \(4\).
La prueba correcta debe extraer esa información de la hipótesis disponible:
si
\[ 8\mid n, \]
entonces existe \(k\in\mathbb Z\) tal que
\[ n=8k. \]
Pero
\[ n=8k=4(2k), \]
y como \(2k\in\mathbb Z\), concluimos
\[ 4\mid n. \]
La conclusión no cambió.
Cambió la fuente de la que dependía.
La circularidad puede quedar escondida en un lema
No siempre aparece una frase tan evidente como «por lo que queremos demostrar».
Supongamos que queremos demostrar un teorema \(T\) y escribimos:
\[ H\Rightarrow L\Rightarrow T, \]
donde \(L\) es un lema auxiliar.
A primera vista la dependencia parece correcta.
Pero si la demostración de \(L\) utiliza a su vez el teorema \(T\), tenemos en realidad
\[ T\Rightarrow L\Rightarrow T. \]
El círculo puede quedar repartido entre páginas, secciones o resultados con nombres diferentes.
Por eso una auditoría seria no pregunta sólo
«¿cada línea parece razonable?»
sino también
«¿de qué resultados depende esta línea, y estaban ya disponibles sin utilizar el teorema actual?»
Una prueba matemática no es sólo una lista de proposiciones verdaderas.
Es una red de dependencias que debe estar orientada desde lo conocido hacia lo que se quiere establecer.
Afirmar el consecuente
Otra inferencia defectuosa frecuente aparece alrededor de un condicional.
Supongamos que sabemos
\[ P\Rightarrow Q. \]
Y en un caso concreto sabemos además que
\[ Q \]
es verdadera.
De estas dos informaciones no podemos concluir en general
\[ P. \]
El patrón inválido es
\[ \boxed{ P\Rightarrow Q, \qquad Q, \qquad \therefore P }. \]
Esta inferencia se llama afirmación del consecuente.
El problema puede verse inmediatamente con divisibilidad.
Sabemos que, para todo \(n\in\mathbb Z\),
\[ 6\mid n\Rightarrow3\mid n. \]
Tomemos
\[ n=3. \]
El consecuente es verdadero:
\[ 3\mid3. \]
Pero el antecedente es falso:
\[ 6\nmid3. \]
Por tanto, de
\[ 6\mid n\Rightarrow3\mid n \]
y
\[ 3\mid n \]
no podemos regresar automáticamente a
\[ 6\mid n. \]
Eso equivaldría a utilizar el recíproco
\[ 3\mid n\Rightarrow6\mid n, \]
que §9.3 nos enseñó a distinguir del condicional original.
Una conclusión accidentalmente verdadera no valida la inferencia
La afirmación del consecuente puede resultar especialmente engañosa cuando, para el objeto concreto que estamos estudiando, la conclusión obtenida por la inferencia inválida es casualmente verdadera.
Tomemos
\[ n=12. \]
Tenemos
\[ 6\mid12\Rightarrow3\mid12, \]
y también
\[ 3\mid12. \]
Si alguien concluye
\[ 6\mid12, \]
ha llegado a una afirmación verdadera.
Pero la regla utilizada sigue siendo inválida.
El caso \(n=3\) muestra que el patrón no preserva verdad en general.
Esto ilustra una idea fundamental:
la validez de una inferencia no se decide comprobando que acertó una vez.
Una inferencia debe estar autorizada por su forma y sus hipótesis, no por el hecho de que en un ejemplo particular haya producido una conclusión verdadera.
Negar el antecedente
Existe un error simétrico.
De
\[ P\Rightarrow Q \]
y
\[ \neg P \]
no se sigue en general
\[ \neg Q. \]
El patrón inválido es
\[ \boxed{ P\Rightarrow Q, \qquad \neg P, \qquad \therefore\neg Q }. \]
Esta inferencia se llama negación del antecedente.
Volvamos a
\[ 6\mid n\Rightarrow3\mid n. \]
Tomemos ahora
\[ n=9. \]
Tenemos
\[ 6\nmid9, \]
pero también
\[ 3\mid9. \]
Por tanto,
\[ 6\nmid n \]
no autoriza a concluir
\[ 3\nmid n. \]
El condicional sólo dice qué ocurre si se cumple el antecedente.
No afirma que el consecuente pueda ocurrir únicamente de esa manera.
No confundir negación del antecedente con contraposición
La cercanía simbólica puede ocultar la diferencia.
De
\[ P\Rightarrow Q \]
sí podemos obtener legítimamente
\[ \neg Q\Rightarrow\neg P. \]
Ésta es la contraposición.
Pero no podemos sustituirla por
\[ \neg P\Rightarrow\neg Q. \]
Compárese:
\[ \begin{array}{ccl} \text{contraposición válida} &:& \neg Q\Rightarrow\neg P,\\[1mm] \text{negación del antecedente} &:& \neg P\Rightarrow\neg Q. \end{array} \]
El orden de las negaciones importa tanto como el orden del condicional original.
Demostrar algo verdadero pero demasiado débil
No todos los “nonproofs” contienen una inferencia formalmente inválida del tipo anterior.
A veces cada paso escrito es correcto, pero el argumento termina demostrando menos de lo que el objetivo exigía.
Supongamos que queremos demostrar
\[ 12\mid n\Rightarrow6\mid n. \]
Partimos de
\[ 12\mid n. \]
Entonces existe \(k\in\mathbb Z\) tal que
\[ n=12k. \]
Podemos escribir correctamente
\[ n=12k=2(6k), \]
y concluir
\[ 2\mid n. \]
Todo lo escrito hasta aquí es verdadero.
Pero el objetivo era
\[ 6\mid n. \]
Hemos obtenido una consecuencia más débil.
El argumento todavía no termina la demostración.
Para cerrar el objetivo necesitamos, por ejemplo, observar que
\[ n=12k=6(2k) \]
y que
\[ 2k\in\mathbb Z. \]
Entonces sí obtenemos
\[ 6\mid n. \]
La falla del primer argumento no era una falsedad intermedia.
Era un desajuste entre lo demostrado y lo requerido.
Podemos expresarlo así:
\[ H\Rightarrow R \]
no demuestra automáticamente
\[ H\Rightarrow C \]
cuando \(R\) es sólo una consecuencia más débil que \(C\).
Debemos justificar además
\[ R\Rightarrow C \]
o encontrar otra ruta hasta \(C\).
Una línea puede ser verdadera y aun así estar injustificada
En una demostración no basta preguntar si cada oración es verdadera en algún sentido general.
Debemos preguntar si se sigue de lo que estaba disponible en ese punto.
Supongamos que durante una prueba aparece una afirmación \(R\) que sabemos, por conocimiento externo, que es verdadera.
Si la demostración actual no ha establecido \(R\), ni lo tiene como hipótesis, ni puede invocar legítimamente un resultado anterior que lo garantice, entonces \(R\) constituye una laguna.
La pregunta correcta es
\[ \boxed{\text{¿por qué puedo afirmar esto aquí?}} \]
no simplemente
\[ \boxed{\text{¿esto es verdadero?}}. \]
Esta distinción es especialmente importante en argumentos largos, donde una proposición conocida puede introducirse sin registrar la dependencia que la hace utilizable.
El primer paso inválido importa más que el último
Cuando una conclusión es absurda o claramente falsa, existe la tentación de revisar sólo las últimas líneas.
Pero el error puede haber ocurrido mucho antes.
Supongamos una cadena
\[ A_0\Rightarrow A_1\Rightarrow A_2\Rightarrow A_3\Rightarrow A_4. \]
Si el paso
\[ A_1\Rightarrow A_2 \]
no está justificado, todo lo que venga después puede ser algebraicamente impecable y seguir sin reparar la prueba.
Por eso el diagnóstico debe localizar la primera ruptura.
Esa localización tiene dos ventajas.
Primero, evita atribuir el problema a pasos posteriores que quizá sean perfectamente correctos bajo las nuevas premisas.
Segundo, revela qué información faltaba exactamente cuando se produjo el salto.
Protocolo de diagnóstico de un “nonproof”
Ante una demostración sospechosa, podemos trabajar línea por línea.
1. ¿Qué estaba disponible antes del paso?
Registrar las hipótesis, definiciones desplegadas y resultados ya demostrados.
2. ¿Qué se afirmó después?
Escribir con precisión la nueva conclusión introducida por esa línea.
3. ¿Qué regla permitiría pasar de una a otra?
¿Es una equivalencia, una implicación conocida, una definición, una operación algebraica, una regla lógica?
4. ¿Están presentes todas las hipótesis de esa regla?
Si falta alguna, la inferencia todavía no está autorizada.
5. ¿La línea utiliza directa o indirectamente lo que se quiere demostrar?
Si lo hace, aparece circularidad.
6. ¿Se está utilizando un condicional en la dirección correcta?
Comprobar que no aparezca afirmación del consecuente, negación del antecedente o un recíproco no demostrado.
7. ¿Lo obtenido es realmente el objetivo?
Una consecuencia relacionada pero más débil no cierra la prueba.
Este protocolo convierte la lectura crítica en una tarea localizable.
No buscamos una impresión general de que «algo está raro».
Buscamos una dependencia concreta que pueda escribirse y auditarse.
Un mapa de dependencias puede revelar el círculo
En argumentos breves basta seguir las líneas.
En argumentos más largos puede ser útil representar las dependencias como un pequeño grafo.
Supongamos que el objetivo es \(T\) y el argumento usa dos resultados auxiliares:
\[ H\Rightarrow L_1, \]
\[ L_1\Rightarrow L_2, \]
\[ L_2\Rightarrow T. \]
Esta estructura es legítima si \(L_1\) y \(L_2\) se obtienen sin depender de \(T\).
Pero si descubrimos que
\[ T\Rightarrow L_1, \]
entonces el grafo contiene un ciclo:
\[ T\Rightarrow L_1\Rightarrow L_2\Rightarrow T. \]
El nombre de «lema» no elimina la circularidad.
Lo que importa es la dirección real de dependencia.
Un “nonproof” puede enseñar dónde está la hipótesis ausente
Diagnosticar un argumento defectuoso no es sólo una actividad negativa.
El punto exacto donde la inferencia falla suele indicar qué falta.
Si intentamos pasar de
\[ Q \]
a
\[ P \]
usando sólo
\[ P\Rightarrow Q, \]
el diagnóstico muestra que necesitaríamos justificar además el recíproco
\[ Q\Rightarrow P \]
o sustituir la estrategia.
Si una cadena termina en una propiedad demasiado débil, el diagnóstico muestra qué tramo adicional falta hasta el objetivo.
Si un lema depende del teorema que debía sostener, necesitamos una prueba independiente del lema o una reorganización de dependencias.
En §9.9 estudiaremos sistemáticamente esas reparaciones.
Aquí nos detenemos un paso antes:
primero hay que saber exactamente qué se rompió.
Fallo local y falsedad global
Conviene reunir ahora las distinciones de las secciones anteriores.
Un argumento puede fracasar porque:
- una operación no estaba autorizada (§9.5);
- una transformación válida fue tratada como reversible (§9.6);
- una dependencia lógica es circular o utiliza un condicional incorrectamente (§9.7);
- se demuestra una consecuencia que no alcanza el objetivo.
Ninguno de estos diagnósticos, por sí solo, demuestra que el teorema sea falso.
Para concluir falsedad necesitamos una prueba de la negación correspondiente.
En una universal condicional, por ejemplo, debemos volver a la forma
\[ \exists x\in D, \qquad H(x)\land\neg C(x). \]
Así mantenemos separadas dos preguntas:
\[ \boxed{\text{¿esta prueba funciona?}} \]
y
\[ \boxed{\text{¿este enunciado es verdadero?}} \]
La respuesta a la primera puede ser «no» mientras la respuesta a la segunda sea «sí».
Un error lógico no se corrige con más cálculo
Cuando el problema es estructural, continuar manipulando expresiones rara vez lo resuelve.
Si hemos afirmado el consecuente, diez líneas adicionales de álgebra no vuelven válida esa inferencia.
Si el argumento es circular, desarrollar más consecuencias de la conclusión supuesta no rompe el círculo.
Si sólo demostramos una propiedad más débil, repetir esa propiedad con otra notación no alcanza el objetivo.
La reparación debe actuar precisamente sobre la dependencia defectuosa.
Esto explica por qué el diagnóstico precede a la reparación.
Sin identificar qué tipo de obligación falló, podemos modificar muchas líneas sin tocar el problema real.
Ante un argumento defectuoso, no basta escribir «circular», «falacia» o «no demuestra nada».
Hay que localizar la primera inferencia no justificada y describirla:
\[ \boxed{\text{información disponible}} \not\Rightarrow \boxed{\text{afirmación introducida}}. \]
Preguntamos:
- ¿se utilizó la conclusión antes de demostrarla?;
- ¿se afirmó el consecuente?;
- ¿se negó el antecedente?;
- ¿se invocó un recíproco no demostrado?;
- ¿se obtuvo sólo una consecuencia más débil que el objetivo?;
- ¿un lema depende circularmente del resultado que debía sostener?
Y mantenemos separadas dos tareas:
\[ \boxed{\text{invalidar una prueba}} \neq \boxed{\text{refutar un enunciado}}. \]
Comprobación
Analiza los tres argumentos siguientes.
A. Se quiere demostrar, para \(n\in\mathbb Z\),
\[ 8\mid n\Rightarrow4\mid n. \]
Se escribe:
Como todo múltiplo de \(8\) es múltiplo de \(4\), tenemos \(n=4m\) para algún entero \(m\). Por tanto, \(4\mid n\).
B. Se sabe que
\[ 6\mid n\Rightarrow3\mid n. \]
Para cierto entero \(n\) se verifica
\[ 3\mid n. \]
Se concluye
\[ 6\mid n. \]
C. Se quiere demostrar
\[ 12\mid n\Rightarrow6\mid n. \]
A partir de \(12\mid n\) se escribe
\[ n=12k=2(6k), \]
por lo que
\[ 2\mid n. \]
El argumento termina allí.
Para cada caso:
- identifica la primera obligación que no ha sido satisfecha;
- decide si el problema es circularidad, uso inválido de un condicional o conclusión insuficiente;
- explica si el fallo demuestra que el enunciado es falso;
- indica qué información faltaría para convertir el argumento en una prueba.
Respuesta razonada.
En A, la dificultad aparece en la primera frase.
El argumento afirma
\[ 8\mid n\Rightarrow4\mid n \]
como justificación para escribir
\[ n=4m. \]
Pero ésa es precisamente la implicación que se quería demostrar.
Por tanto, el argumento es circular.
El enunciado no queda refutado; de hecho, puede demostrarse directamente.
De
\[ 8\mid n \]
obtenemos
\[ n=8k=4(2k) \]
para algún \(k\in\mathbb Z\), y por tanto
\[ 4\mid n. \]
En B, la forma disponible es
\[ P\Rightarrow Q \]
con
\[ P:\ 6\mid n \]
y
\[ Q:\ 3\mid n. \]
Saber \(Q\) y concluir \(P\) es afirmar el consecuente.
La inferencia no es válida.
El valor
\[ n=3 \]
lo muestra:
\[ 3\mid3 \]
pero
\[ 6\nmid3. \]
Este caso refuta el recíproco
\[ 3\mid n\Rightarrow6\mid n, \]
no el enunciado original.
En C, todos los pasos escritos son correctos.
De
\[ 12\mid n \]
sí se sigue
\[ 2\mid n. \]
Pero el objetivo era
\[ 6\mid n. \]
La prueba termina con una consecuencia demasiado débil.
No hay todavía una inferencia que conecte lo demostrado con la conclusión requerida.
Podemos completar el argumento observando directamente que
\[ n=12k=6(2k), \]
y, como \(2k\in\mathbb Z\),
\[ 6\mid n. \]
Así, los tres argumentos fallan por razones distintas:
\[ \begin{array}{ccl} A &:& \text{circularidad},\\[1mm] B &:& \text{afirmación del consecuente},\\[1mm] C &:& \text{conclusión insuficiente}. \end{array} \]
En ninguno de los tres casos el mero fallo de la prueba demuestra por sí solo que el enunciado correspondiente sea falso.
Hacia la evidencia numérica y visual
Hasta ahora hemos analizado argumentos que pretenden ser deductivos.
Pero en la práctica matemática también encontramos tablas, cálculos experimentales, diagramas y figuras que sugieren fuertemente que una afirmación es verdadera o falsa.
Esa evidencia puede ser extremadamente útil para descubrir patrones y para localizar contraejemplos.
La dificultad consiste en no atribuirle automáticamente una fuerza lógica que no posee.
La siguiente sección distinguirá entre
\[ \boxed{\text{exploración}}, \qquad \boxed{\text{evidencia}}, \qquad \boxed{\text{contraejemplo}} \qquad\text{y}\qquad \boxed{\text{demostración}}. \]
Ése será el contenido de §9.8.
9.8. Evidencia numérica y figuras
En §9.7 analizamos argumentos que pretendían ser demostraciones y aprendimos a localizar la primera inferencia que dejaba de estar justificada.
Pero no todo lo que hacemos al trabajar en matemática pretende ser una demostración.
Antes de encontrar una prueba podemos calcular ejemplos, construir tablas, dibujar figuras, representar funciones, probar casos con una computadora o examinar patrones que parecen repetirse.
Todo eso puede ser matemáticamente valioso.
La dificultad aparece cuando confundimos el valor heurístico de esa información con su fuerza deductiva.
Una tabla puede sugerir una regularidad.
Una figura puede hacer visible una relación que antes no habíamos notado.
Una colección grande de casos favorables puede aumentar nuestra confianza en una conjetura.
Pero una afirmación universal exige algo más: debemos justificar que la propiedad vale para todos los objetos cubiertos por el enunciado.
La pregunta de esta sección será, por tanto:
¿qué nos autoriza realmente a concluir la evidencia que tenemos delante?
Cinco funciones que conviene separar
En la práctica aparecen cinco niveles que a veces se mezclan en una sola frase.
Exploración.
Probamos objetos, hacemos cálculos, dibujamos, buscamos regularidades o sometemos una afirmación a casos difíciles.
La exploración tiene una función de descubrimiento.
Todavía no exige que hayamos formulado una afirmación definitiva.
Evidencia.
Llamaremos evidencia a los resultados observados durante esa exploración: valores de una tabla, casos comprobados, configuraciones representadas o patrones repetidos.
La evidencia puede ser exacta o aproximada, abundante o escasa, favorable o desfavorable.
Conjetura.
Una conjetura es una afirmación que proponemos porque la evidencia y la estructura del problema la hacen plausible, pero que todavía no hemos demostrado.
Por ejemplo, después de observar muchos casos en los que se cumple una propiedad \(P(n)\), podemos conjeturar
\[ \forall n\in\mathbb N,\quad P(n). \]
Contraejemplo.
Si la conjetura es universal y encontramos un objeto válido para el cual la propiedad falla, ese objeto no es simplemente nueva evidencia: es una refutación completa.
Un contraejemplo verificado demuestra
\[ \exists x\in D,\quad \neg P(x), \]
y por tanto decide la falsedad de
\[ \forall x\in D,\quad P(x). \]
Demostración.
Una demostración proporciona una cadena de inferencias que cubre exactamente la obligación lógica del enunciado.
Si queremos establecer una universal, la prueba debe justificar por qué un objeto arbitrario del dominio satisface la propiedad, o utilizar alguna arquitectura equivalente que cubra todos los casos.
Podemos resumir las funciones así:
\[ \boxed{\text{explorar}}\longrightarrow \boxed{\text{obtener evidencia}}\longrightarrow \boxed{\text{formular una conjetura}} \]
pero después la conjetura debe someterse a una de dos pruebas decisivas:
\[ \boxed{\text{demostración}} \qquad\text{o}\qquad \boxed{\text{contraejemplo}}. \]
La primera establece verdad.
El segundo establece falsedad cuando la afirmación es universal.
Una tabla puede hacer una conjetura muy plausible
Consideremos la expresión
\[ p(n)=n^2+n+17 \]
para \(n\in\mathbb N\).
Calculemos algunos valores:
| \(n\) | \(p(n)\) |
|---|---|
| \(0\) | \(17\) |
| \(1\) | \(19\) |
| \(2\) | \(23\) |
| \(3\) | \(29\) |
| \(4\) | \(37\) |
| \(5\) | \(47\) |
| \(6\) | \(59\) |
| \(7\) | \(73\) |
| \(8\) | \(89\) |
| \(9\) | \(107\) |
| \(10\) | \(127\) |
| \(11\) | \(149\) |
| \(12\) | \(173\) |
| \(13\) | \(199\) |
| \(14\) | \(227\) |
| \(15\) | \(257\) |
Todos esos números son primos.
La tabla proporciona una regularidad notable.
Sería razonable formular la conjetura
\[ \forall n\in\mathbb N,\qquad n^2+n+17\text{ es primo}. \]
Pero la tabla no demuestra esa universal.
Sólo ha establecido las dieciséis instancias
\[ P(0),P(1),\ldots,P(15). \]
La afirmación universal exige infinitas instancias.
El salto desde
\[ P(0)\land P(1)\land\cdots\land P(15) \]
hasta
\[ \forall n\in\mathbb N,\quad P(n) \]
no está justificado por la cantidad de casos favorables.
Un solo caso desfavorable cambia completamente la situación
Probemos ahora el siguiente valor:
\[ n=16. \]
Tenemos
\[ 16^2+16+17 =256+16+17 =289 =17^2. \]
Por tanto,
\[ 289 \]
no es primo.
Así,
\[ \boxed{n=16\text{ es un contraejemplo}}. \]
Los dieciséis casos favorables anteriores eran evidencia a favor de una conjetura.
El caso \(n=16\), en cambio, es lógicamente decisivo.
Esto recupera la asimetría central de C09:
\[ \boxed{\text{muchos casos favorables}\not\Rightarrow\text{universal verdadera}} \]
mientras que
\[ \boxed{\text{un contraejemplo válido}\Rightarrow\text{universal falsa}}. \]
No se trata de que el contraejemplo tenga «más peso estadístico» que los demás casos.
Su fuerza procede de la forma lógica de la negación de una universal.
La cantidad de evidencia no cambia su tipo lógico
Supongamos que una computadora verifica una propiedad para
\[ 10, \quad 10^3, \quad 10^6 \]
casos distintos.
Si el dominio continúa siendo infinito y no hemos demostrado que esos casos agotan alguna clasificación completa, seguimos teniendo evidencia finita.
Aumentar el número de comprobaciones puede ser muy útil para:
- descubrir regularidades;
- localizar excepciones;
- descartar conjeturas falsas;
- comparar formulaciones posibles;
- orientar la búsqueda de una demostración.
Pero no aparece automáticamente una inferencia nueva del tipo
\[ \text{“muchos casos”}\Rightarrow\text{“todos los casos”}. \]
La dificultad no está en decidir cuántos casos son «suficientes».
Para una universal infinita, ningún número fijo de casos favorables es suficiente por sí solo.
La pregunta correcta es otra:
¿qué argumento conecta los casos observados con todos los objetos del dominio?
Si no hay tal argumento, todavía no hay demostración universal.
Cuando una tabla sí puede ser una demostración
La advertencia anterior no significa que una tabla nunca pueda formar parte de una prueba.
La diferencia está en si los casos mostrados constituyen una muestra o una clasificación exhaustiva.
Consideremos la afirmación
para todo entero \(n\), el resto de \(n^2\) al dividir por \(4\) es \(0\) o \(1\).
Todo entero pertenece exactamente a una de las cuatro clases módulo \(4\):
\[ n\equiv0,1,2,3\pmod4. \]
Podemos examinar esas cuatro posibilidades:
| \(n\pmod4\) | \(n^2\pmod4\) |
|---|---|
| \(0\) | \(0\) |
| \(1\) | \(1\) |
| \(2\) | \(0\) |
| \(3\) | \(1\) |
Esta tabla tiene una función diferente de la anterior.
No hemos elegido cuatro enteros representativos entre infinitos.
Hemos demostrado que todo entero cae en una de cuatro clases y hemos verificado la propiedad en cada clase.
Por tanto, los cuatro casos son exhaustivos respecto de la información relevante.
La estructura lógica es
\[ \boxed{\text{todos los objetos caen en una lista finita de casos}} \]
seguida de
\[ \boxed{\text{la propiedad se verifica en cada caso}}. \]
Eso es una prueba por casos, no una extrapolación experimental.
Así, debemos distinguir:
\[ \boxed{\text{tabla de muestra}} \neq \boxed{\text{tabla exhaustiva}}. \]
La primera produce evidencia.
La segunda puede contener una demostración si la exhaustividad y cada cálculo están justificados.
Una gráfica también depende de qué puntos estamos mirando
La misma dificultad aparece al representar funciones.
Consideremos
\[ f(x)=(x-1)(x-2) \]
sobre \(\mathbb R\).
Supongamos que sólo evaluamos valores enteros cercanos:
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| \(-1\) | \(6\) |
| \(0\) | \(2\) |
| \(1\) | \(0\) |
| \(2\) | \(0\) |
| \(3\) | \(2\) |
| \(4\) | \(6\) |
Todos los valores de la tabla satisfacen
\[ f(x)\ge0. \]
Si representáramos únicamente esos puntos, podríamos sentirnos tentados a conjeturar
\[ \forall x\in\mathbb R,\qquad f(x)\ge0. \]
Pero el dominio no son los enteros muestreados.
Incluye también los reales situados entre ellos.
Tomemos
\[ x=\frac32. \]
Entonces
\[ f\left(\frac32\right) = \left(\frac12\right) \left(-\frac12\right) =-\frac14<0. \]
Por tanto,
\[ \boxed{x=\frac32\text{ refuta la conjetura}}. \]
El problema no fue que los cálculos de la tabla estuvieran equivocados.
Todos eran correctos.
El problema fue confundir una colección de puntos del dominio con el dominio completo.
Una representación gráfica con resolución insuficiente puede producir exactamente el mismo efecto: un rasgo importante puede quedar oculto entre los puntos dibujados o por debajo de la escala utilizada.
Una figura puede sugerir un teorema sin demostrarlo
Los diagramas geométricos cumplen una función especialmente poderosa en descubrimiento.
Supongamos que dibujamos un triángulo y trazamos sus tres medianas.
En una figura bien construida parece que las tres rectas concurren en un mismo punto.
La imagen puede sugerir la conjetura:
las tres medianas de todo triángulo son concurrentes.
La conjetura es verdadera.
Pero la apariencia de una figura particular no demuestra todavía la palabra todo.
El dibujo representa un triángulo concreto, o a lo sumo una familia limitada por la forma en que lo hemos construido.
Una demostración deberá mostrar que la concurrencia se sigue de las definiciones y propiedades pertinentes para un triángulo arbitrario.
La figura puede ayudar a descubrir esa demostración:
- muestra qué objetos auxiliares conviene considerar;
- permite reconocer simetrías;
- sugiere relaciones entre segmentos;
- hace visible qué punto debería caracterizarse.
Pero la frase
«se ve en el dibujo»
no sustituye la inferencia que falta.
Una figura especial puede introducir hipótesis que nunca fueron dadas
Existe otro peligro.
Queremos estudiar una afirmación sobre un cuadrilátero arbitrario, pero dibujamos sin querer una figura casi rectangular o casi simétrica.
El dibujo puede sugerir propiedades que proceden de esa configuración especial, no de la definición de cuadrilátero.
Por ejemplo, en un paralelogramo las diagonales se bisecan mutuamente.
Si nuestro dibujo de un «cuadrilátero cualquiera» parece un paralelogramo, podríamos concluir visualmente que las diagonales siempre se bisecan.
Pero esa universal es falsa.
La figura ha introducido, de manera silenciosa, una estructura adicional.
Por eso, al usar un diagrama debemos preguntar:
- ¿qué propiedades pertenecen realmente a las hipótesis?;
- ¿qué propiedades proceden sólo de cómo quedó dibujada la figura?;
- ¿estamos usando una relación demostrada o sólo una apariencia de igualdad, perpendicularidad, colinealidad o simetría?
Éste es el análogo visual de un error de dominio: la representación puede hacernos trabajar con un caso más especial que el problema original.
Medir un dibujo no es lo mismo que demostrar una relación
Supongamos que una figura parece mostrar que dos segmentos tienen la misma longitud.
Podemos medirlos en la pantalla y obtener, por ejemplo,
\[ 4.02\text{ cm} \]
y
\[ 4.01\text{ cm}. \]
Ese resultado puede sugerir que la diferencia se debe al redondeo o a la precisión del dibujo.
Pero no demuestra igualdad exacta.
Del mismo modo, si una medición produce
\[ 89.9^\circ, \]
no hemos demostrado que el ángulo sea recto.
La medición es información aproximada sobre una representación.
Una afirmación matemática exacta como
\[ AB=CD \]
o
\[ \angle ABC=90^\circ \]
requiere una justificación que no dependa sólo de la resolución del instrumento.
Esto no vuelve inútil la medición.
Puede revelar qué relación conviene intentar demostrar.
La función cambia de
\[ \boxed{\text{certificar}} \]
a
\[ \boxed{\text{orientar}}. \]
Una figura puede participar en una prueba si sus relaciones están justificadas
Tampoco debemos adoptar la regla opuesta de que «las figuras nunca prueban nada».
Una figura puede ser parte legítima de una demostración cuando cada relación utilizada está respaldada por las hipótesis, por una construcción definida o por resultados ya demostrados.
Por ejemplo, si construimos un punto como intersección de dos rectas y después usamos esa incidencia, no estamos concluyendo que las rectas se cortan porque «parece» que se cortan.
La intersección forma parte de la construcción.
Del mismo modo, un diagrama puede organizar una demostración mostrando qué segmentos, ángulos o regiones corresponden a cada paso deductivo.
La frontera correcta no es
\[ \text{figura}\quad\text{contra}\quad\text{prueba}. \]
La frontera es
\[ \boxed{\text{relación justificada}} \qquad\text{frente a}\qquad \boxed{\text{relación inferida sólo por apariencia}}. \]
Evidencia favorable y evidencia refutatoria no son simétricas
Volvamos a una universal
\[ \forall x\in D,\quad P(x). \]
Si una tabla, una figura o un cálculo produce un caso \(a\in D\) para el cual
\[ P(a) \]
es verdadera, hemos confirmado una instancia.
Si produce cien casos favorables, hemos confirmado cien instancias.
En cambio, si produce un candidato \(b\in D\) para el cual parece ocurrir
\[ \neg P(b), \]
la situación es diferente.
Ese candidato puede convertirse en una refutación completa si verificamos rigurosamente:
\[ \boxed{b\in D} \qquad\text{y}\qquad \boxed{\neg P(b)}. \]
Así, una exploración puede tener dos desenlaces muy distintos:
\[ \begin{array}{ccl} \text{caso favorable} &\longrightarrow& \text{evidencia favorable},\\[1mm] \text{caso desfavorable verificado} &\longrightarrow& \text{contraejemplo}. \end{array} \]
La primera línea no cierra una universal.
La segunda sí la cierra, pero negativamente.
La computadora no cambia la lógica
Las herramientas computacionales pueden ampliar enormemente nuestra capacidad de exploración.
Podemos probar millones de casos, dibujar gráficos con gran resolución o buscar configuraciones que sería tedioso examinar a mano.
Pero el hecho de que una verificación sea automática no cambia por sí solo qué se ha demostrado.
Si el programa examina una muestra finita de un dominio infinito, sigue siendo una muestra finita.
Si encuentra un posible contraejemplo, todavía debemos comprobar que:
- corresponde realmente al dominio anunciado;
- las hipótesis se satisfacen;
- el supuesto fallo no procede de redondeo, tolerancias o errores de representación;
- el cálculo relevante es suficientemente exacto para la conclusión que queremos extraer.
Hay contextos en los que una verificación computacional exhaustiva de un dominio finito puede constituir parte de una demostración.
Pero entonces debemos justificar también la exhaustividad y la corrección del procedimiento utilizado.
C09 no desarrollará teoría de pruebas asistidas por computadora. Aquí basta conservar la disciplina lógica:
la herramienta cambia cuánto podemos explorar; no cambia qué significa cubrir todos los casos.
Un protocolo para leer evidencia sin sobreinterpretarla
Cuando una tabla, figura, gráfica o cálculo parezca apoyar una afirmación, conviene responder cinco preguntas.
1. ¿Cuál es exactamente el enunciado que estamos considerando?
¿Es universal, existencial, condicional, finito, infinito?
2. ¿Qué objetos fueron realmente examinados?
¿Todo el dominio, una clasificación exhaustiva o sólo una muestra?
3. ¿La información es exacta o aproximada?
¿Estamos usando igualdades demostradas o mediciones y redondeos?
4. ¿La evidencia favorable cubre la obligación lógica completa?
Si no, produce apoyo para una conjetura, no una demostración.
5. ¿Apareció un caso desfavorable?
Si apareció, debemos volver al protocolo de §9.1 y verificar dominio, hipótesis y fallo de la conclusión.
Este protocolo permite utilizar evidencia de manera fuerte sin atribuirle más de lo que realmente contiene.
Una tabla, una figura o una gráfica pueden:
- sugerir una conjetura;
- revelar una estructura útil;
- orientar la búsqueda de una prueba;
- producir candidatos a contraejemplo.
Muchos casos favorables no demuestran por sí solos una universal infinita.
Pero un caso desfavorable, después de ser verificado rigurosamente, sí puede convertirse en un contraejemplo y refutarla.
Una tabla finita puede constituir una prueba sólo cuando se ha demostrado que sus casos son exhaustivos respecto del dominio o de una clasificación completa.
Comprobación
Considera las tres situaciones siguientes.
A. Para \(n=0,1,\ldots,15\) se verifica que
\[ n^2+n+17 \]
es primo. Se concluye que la expresión es prima para todo \(n\in\mathbb N\).
B. Para demostrar que todo cuadrado entero deja resto \(0\) o \(1\) módulo \(4\), se examinan las cuatro clases
\[ 0,1,2,3\pmod4 \]
y se calcula el cuadrado de cada una.
C. En un dibujo de un cuadrilátero, sus diagonales parecen cortarse en sus puntos medios. Se concluye que las diagonales de todo cuadrilátero se bisecan mutuamente.
Para cada caso:
- decide si estamos ante exploración, evidencia, conjetura o demostración;
- explica qué obligación lógica está o no cubierta;
- si la conclusión no está justificada, indica cómo podría ponerse a prueba;
- identifica cualquier diferencia entre una muestra favorable y una clasificación exhaustiva.
Respuesta razonada.
En A, tenemos evidencia favorable muy fuerte, pero no una demostración universal.
Los cálculos sólo cubren
\[ n=0,1,\ldots,15. \]
La conclusión habla de todos los naturales.
Por tanto, el paso
\[ \text{“dieciséis casos favorables”} \Rightarrow \text{“todos los casos”} \]
no está justificado.
De hecho, el siguiente caso produce
\[ 16^2+16+17=289=17^2, \]
por lo que
\[ \boxed{n=16\text{ es un contraejemplo}}. \]
En B, la situación es distinta.
Todo entero tiene exactamente uno de los cuatro restos
\[ 0,1,2,3 \]
módulo \(4\).
La tabla no es una muestra elegida entre infinitos enteros: representa una clasificación exhaustiva de los casos relevantes.
Al comprobar los cuatro cuadrados obtenemos únicamente los restos
\[ 0\quad\text{o}\quad1. \]
Por tanto, el argumento sí constituye una demostración por casos.
En C, la figura proporciona evidencia visual sobre un cuadrilátero concreto, y quizá ni siquiera exacta si sólo estamos juzgando por apariencia.
No hay ninguna razón para que ese dibujo represente todas las formas posibles de cuadrilátero.
Además, puede haber introducido accidentalmente una estructura especial, como la de un paralelogramo.
La conclusión universal no está justificada.
Para ponerla a prueba conviene intentar romper la simetría del dibujo y construir un cuadrilátero que no sea paralelogramo.
Si encontramos uno cuyas diagonales no se bisecan mutuamente, tendremos un contraejemplo a la universal.
Los tres casos muestran tres funciones diferentes de una colección de ejemplos:
\[ \begin{array}{ccl} A &:& \text{muestra favorable que sugiere una conjetura},\\[1mm] B &:& \text{clasificación exhaustiva que permite una prueba},\\[1mm] C &:& \text{figura especial cuya apariencia no cubre la universal}. \end{array} \]
Hacia la reparación
Después de refutar una afirmación o detectar que un argumento no demuestra lo que pretendía, queda una pregunta constructiva.
¿Qué hacemos con el fallo encontrado?
A veces el contraejemplo revela que el dominio era demasiado amplio.
Otras veces muestra que falta una hipótesis, que la conclusión es demasiado fuerte o que un paso necesita reemplazarse por una inferencia legítima.
La reparación no consiste en cambiar arbitrariamente el problema hasta volverlo verdadero.
Debe responder exactamente al defecto que hemos diagnosticado.
La siguiente sección estudiará cómo restringir un dominio, fortalecer una hipótesis, debilitar una conclusión o sustituir un paso inválido sin modificar más de lo necesario.
Ése será el contenido de §9.9.
9.9. Reparar una afirmación o un argumento falso
Hasta ahora hemos trabajado principalmente en modo diagnóstico.
Un contraejemplo nos permitió demostrar que una afirmación era falsa. Una auditoría de dominio mostró cuándo una operación no estaba autorizada. El control de las flechas reveló pasos irreversibles. Los “nonproofs” nos obligaron a localizar la primera dependencia no justificada. Y la evidencia numérica o visual nos enseñó a separar exploración de demostración.
Pero el trabajo matemático no siempre termina cuando encontramos el fallo.
A menudo comienza una segunda tarea:
¿qué modificación exacta convierte el enunciado o el argumento defectuoso en uno correcto?
Ésta es la tarea de reparación.
Reparar no significa sustituir el problema por otro cualquiera que sepamos resolver. Tampoco significa añadir hipótesis hasta que la conclusión resulte trivial.
Una buena reparación debe responder al defecto que hemos identificado y modificar sólo lo necesario para eliminarlo.
Diagnóstico antes de reparación
La regla fundamental es simple:
\[ \boxed{\text{no reparar antes de saber qué se rompió}}. \]
Supongamos que tenemos una afirmación condicional
\[ \forall x\in D, \qquad H(x)\Rightarrow C(x). \]
Puede ocurrir que el enunciado sea falso. Entonces existe algún
\[ a\in D \]
para el cual
\[ H(a) \]
es verdadera y
\[ C(a) \]
es falsa.
Ese contraejemplo no nos dice automáticamente cuál es la reparación correcta, pero sí impone una condición sobre cualquier versión reparada.
Si sustituimos el dominio \(D\) por \(D'\), la hipótesis \(H\) por \(H'\) o la conclusión \(C\) por \(C'\), el mismo objeto \(a\) no puede seguir satisfaciendo simultáneamente
\[ a\in D', \qquad H'(a), \qquad \neg C'(a). \]
De lo contrario, seguiría siendo un contraejemplo.
Por tanto, una reparación del enunciado debe hacer al menos una de estas tres cosas:
\[ \boxed{a\notin D'} \]
\[ \boxed{\neg H'(a)} \]
\[ \boxed{C'(a)}. \]
Esto conduce a tres mecanismos naturales:
- restringir el dominio;
- fortalecer las hipótesis;
- debilitar la conclusión.
Cuando el enunciado es verdadero pero la prueba es defectuosa, aparece un cuarto mecanismo:
- sustituir el paso inválido por una inferencia legítima.
Estas cuatro operaciones organizan la sección.
Restringir el dominio
Volvamos a una afirmación que apareció al comienzo del capítulo:
\[ \forall x\in\mathbb R, \qquad x^2\ge x. \]
Sabemos que es falsa. Por ejemplo,
\[ x=\frac12 \]
satisface
\[ \left(\frac12\right)^2 = \frac14 < \frac12. \]
El contraejemplo nos obliga a abandonar la afirmación sobre todos los reales si queremos conservar exactamente la misma conclusión.
Preguntemos entonces para qué reales sí se cumple
\[ x^2\ge x. \]
Reescribimos:
\[ x^2-x\ge0, \]
es decir,
\[ x(x-1)\ge0. \]
El producto es no negativo exactamente cuando
\[ x\le0 \]
o
\[ x\ge1. \]
Por tanto podemos reemplazar el dominio por
\[ D'=(-\infty,0]\cup[1,\infty). \]
La afirmación reparada es
\[ \boxed{ \forall x\in(-\infty,0]\cup[1,\infty), \qquad x^2\ge x }. \]
Aquí no hemos añadido una condición arbitraria.
Hemos identificado exactamente la región donde la desigualdad es verdadera.
El contraejemplo \(1/2\) queda excluido porque
\[ \frac12\notin D'. \]
Y la nueva afirmación se demuestra mediante la factorización anterior.
Una restricción puede ser correcta y, sin embargo, excesiva
Podríamos haber reparado la afirmación escribiendo simplemente
\[ \forall x\ge10, \qquad x^2\ge x. \]
Este enunciado es verdadero.
Pero como reparación del problema original es pobre: elimina una parte enorme de los casos donde la conclusión también era válida.
Esto muestra que la palabra mínima debe usarse con cuidado.
No siempre existe una única reparación mínima en un sentido absoluto. Distintas modificaciones pueden ser incomparables.
Pero sí podemos exigir una disciplina:
no imponer una restricción más fuerte de lo que nuestra justificación necesita.
En el ejemplo anterior, el conjunto
\[ (-\infty,0]\cup[1,\infty) \]
no sólo produce un teorema verdadero: describe exactamente el conjunto de reales para los que la desigualdad original se cumple.
Fortalecer una hipótesis
Consideremos ahora el enunciado falso
\[ \forall x\in\mathbb R, \qquad x^2=1\Rightarrow x=1. \]
El contraejemplo es
\[ x=-1. \]
Tenemos
\[ (-1)^2=1 \]
pero
\[ -1\neq1. \]
Una posible reparación consiste en conservar el dominio y la conclusión, pero añadir información que elimine la rama negativa:
\[ \boxed{ \forall x\in\mathbb R, \qquad \bigl(x^2=1\land x\ge0\bigr) \Rightarrow x=1 }. \]
La nueva hipótesis es más fuerte que la anterior.
En efecto,
\[ x^2=1\land x\ge0 \]
implica naturalmente
\[ x^2=1, \]
pero añade una restricción de signo.
Ahora el antiguo contraejemplo queda excluido porque
\[ -1\not\ge0. \]
Y la reparación puede demostrarse: de
\[ x^2=1 \]
obtenemos
\[ x=1 \qquad\text{o}\qquad x=-1, \]
y la hipótesis \(x\ge0\) elimina la segunda posibilidad.
Fortalecer no significa esconder la conclusión dentro de la hipótesis
Hay una forma trivial de “reparar” casi cualquier condicional falso.
Podríamos escribir
\[ \bigl(H(x)\land C(x)\bigr) \Rightarrow C(x). \]
Este enunciado es verdadero, pero la conclusión ya fue introducida como hipótesis.
No hemos aprendido nada sobre la relación que queríamos estudiar.
Por eso una reparación mediante hipótesis debe responder al mecanismo del fallo, no limitarse a insertar la conclusión en el antecedente.
En el ejemplo anterior, \(x\ge0\) tiene una función matemática clara: recupera la información de signo que faltaba para distinguir \(1\) de \(-1\).
Debilitar la conclusión
El mismo enunciado falso admite otra reparación.
De
\[ x^2=1 \]
no podemos concluir siempre
\[ x=1, \]
pero sí podemos concluir
\[ |x|=1. \]
Por tanto otra versión correcta es
\[ \boxed{ \forall x\in\mathbb R, \qquad x^2=1\Rightarrow |x|=1 }. \]
Aquí no hemos excluido al contraejemplo \(x=-1\).
Lo hemos conservado dentro del dominio y de la hipótesis, pero hemos reemplazado la conclusión por una afirmación que también es verdadera para él.
En términos lógicos, hemos pasado de una conclusión \(C\) a una conclusión \(C'\) más débil, de modo que
\[ C\Rightarrow C'. \]
En este caso,
\[ x=1 \Rightarrow |x|=1, \]
pero el recíproco no vale para todos los reales.
La conclusión nueva exige menos.
Una reparación puede no ser única
Las dos modificaciones anteriores reparan la misma afirmación falsa de maneras diferentes:
\[ \begin{array}{ccl} \text{fortalecer hipótesis} &:& (x^2=1\land x\ge0)\Rightarrow x=1,\\[2mm] \text{debilitar conclusión} &:& x^2=1\Rightarrow |x|=1. \end{array} \]
Ambas son verdaderas.
Pero responden a preguntas distintas.
La primera conserva la conclusión original y reduce los casos a los que se aplica.
La segunda conserva todos los casos de la hipótesis original y afirma menos sobre ellos.
Por tanto, la reparación correcta depende de qué parte del problema queramos preservar.
No debemos preguntar simplemente
«¿cómo hago que esto sea verdadero?»
sino
«¿qué parte del enunciado quiero conservar y qué modificación explica mejor el contraejemplo?»
Reparar una conclusión usando el contraejemplo
Volvamos a otro ejemplo del capítulo:
\[ \forall n\in\mathbb Z, \qquad 12\mid n^2\Rightarrow12\mid n. \]
Sabemos que es falso porque
\[ n=6 \]
satisface
\[ 12\mid36 \]
pero
\[ 12\nmid6. \]
¿Qué propiedad sí está forzada por la hipótesis?
Si
\[ 12\mid n^2, \]
entonces en particular
\[ 4\mid n^2 \]
y
\[ 3\mid n^2. \]
De \(4\mid n^2\) se sigue que \(n\) es par. En efecto, si \(n\) fuera impar, entonces \(n^2\) sería impar.
De \(3\mid n^2\) se sigue que \(3\mid n\). Para comprobarlo elementalmente, basta separar los tres restos posibles módulo \(3\): si \(n\equiv1\) o \(2\pmod3\), entonces
\[ n^2\equiv1\pmod3, \]
por lo que \(3\) no dividiría a \(n^2\).
Así,
\[ 2\mid n \qquad\text{y}\qquad 3\mid n. \]
Como \(3\mid n\), existe \(k\in\mathbb Z\) tal que
\[ n=3k. \]
Además, \(2\mid n\), de modo que \(3k\) es par. Como \(3\) es impar, \(k\) debe ser par; por tanto existe \(r\in\mathbb Z\) con
\[ k=2r. \]
Así,
\[ n=3k=6r, \]
y concluimos
\[ 6\mid n. \]
Obtenemos la reparación
\[ \boxed{ \forall n\in\mathbb Z, \qquad 12\mid n^2\Rightarrow6\mid n }. \]
El antiguo contraejemplo \(n=6\) ya no rompe la conclusión:
\[ 6\mid6. \]
Pero la reparación no se acepta sólo porque el contraejemplo haya desaparecido.
La demostración anterior debe cubrir todos los enteros que satisfacen la hipótesis.
El contraejemplo guía, pero no prueba la reparación
Ésta es una precaución esencial.
Supongamos que una afirmación falsa tiene un contraejemplo \(a\).
Modificamos el enunciado de manera que \(a\) deje de ser contraejemplo.
¿Qué hemos conseguido?
Sólo hemos eliminado ese fallo.
Todavía puede existir otro objeto
\[ b\neq a \]
que refute la nueva versión.
Por tanto,
\[ \boxed{\text{eliminar el contraejemplo conocido}} \neq \boxed{\text{demostrar el enunciado reparado}}. \]
Una reparación necesita dos fases:
\[ \boxed{\text{modificar a partir del diagnóstico}} \longrightarrow \boxed{\text{demostrar la nueva afirmación}}. \]
Reparar una prueba sin cambiar el teorema
Hasta ahora hemos modificado enunciados falsos.
Pero a veces el teorema es verdadero y lo defectuoso es sólo el argumento.
Consideremos
\[ \forall n\in\mathbb Z, \qquad 15\mid n\Rightarrow5\mid n. \]
Supongamos que alguien escribe:
Como todo múltiplo de \(15\) es múltiplo de \(5\), podemos concluir que \(5\mid n\).
La frase utilizada como justificación es exactamente el resultado que se quiere probar.
El problema es circularidad.
No necesitamos cambiar el teorema.
Necesitamos reemplazar la dependencia defectuosa.
Si
\[ 15\mid n, \]
entonces existe \(k\in\mathbb Z\) tal que
\[ n=15k. \]
Pero
\[ n=15k=5(3k), \]
y
\[ 3k\in\mathbb Z. \]
Por tanto,
\[ 5\mid n. \]
La reparación fue local:
\[ \boxed{\text{conclusión supuesta}} \quad\rightsquigarrow\quad \boxed{\text{definición de divisibilidad aplicada a la hipótesis}}. \]
El enunciado permaneció intacto.
Reparar una prueba incompleta por casos
En §9.5 vimos que, a partir de
\[ xy=0, \]
no podemos dividir inmediatamente por \(x\), porque quizá
\[ x=0. \]
El teorema
\[ xy=0 \Rightarrow x=0\ \text{o}\ y=0 \]
sobre \(\mathbb R\) es verdadero.
La reparación correcta no consiste en añadir la hipótesis \(x\neq0\), porque eso cambiaría innecesariamente el teorema.
La estructura adecuada es separar los casos que la operación problemática confundía.
Si
\[ x=0, \]
la conclusión ya se cumple.
Si
\[ x\neq0, \]
entonces la división por \(x\) sí está autorizada y de
\[ xy=0 \]
obtenemos
\[ y=0. \]
Así, en ambos casos,
\[ x=0\ \text{o}\ y=0. \]
Este ejemplo muestra una idea importante:
si el fallo de una prueba proviene de una operación válida sólo bajo cierta condición, puede ser mejor separar casos que modificar el enunciado.
Reparar un paso irreversible
Supongamos que una resolución contiene
\[ A(x)\Rightarrow B(x) \]
pero luego trata la flecha como si fuera
\[ A(x)\Longleftrightarrow B(x). \]
Hay al menos dos maneras de reparar el argumento.
Primera opción: conservar la implicación y verificar candidatos.
Resolvemos \(B(x)\), obtenemos candidatos y los recontrolamos en \(A(x)\).
Segunda opción: añadir una condición que haga reversible el paso.
Por ejemplo, para reales no negativos,
\[ a^2=b^2 \Rightarrow a=b, \]
porque la función \(x\mapsto x^2\) es inyectiva en \([0,\infty)\).
La elección entre ambas reparaciones depende del problema.
Si podemos verificar fácilmente los candidatos, no siempre hace falta modificar las hipótesis.
Si la condición de reversibilidad es parte natural del contexto, explicitarla puede producir una cadena de equivalencias limpia.
Reparar una dependencia circular
En argumentos largos, la reparación puede exigir reorganizar resultados auxiliares.
Supongamos que pretendíamos demostrar
\[ H\Rightarrow L\Rightarrow T, \]
pero descubrimos que la prueba del lema \(L\) utilizaba a su vez \(T\).
La dependencia real era
\[ T\Rightarrow L\Rightarrow T. \]
Tenemos varias posibilidades:
- demostrar \(L\) directamente a partir de resultados anteriores;
- sustituir \(L\) por un lema más débil que sí pueda probarse sin \(T\);
- abandonar esa ruta y demostrar \(T\) por otra arquitectura;
- si \(T\) y \(L\) son realmente equivalentes, demostrar ambas direcciones desde una base independiente en lugar de utilizar una para justificar circularmente la otra.
La reparación no consiste en ocultar la referencia a \(T\).
Debe romper la dependencia circular.
Reparar demasiado puede destruir el problema
Consideremos una afirmación falsa
\[ \forall x\in D, \qquad H(x)\Rightarrow C(x). \]
Podemos hacerla verdadera mediante una hipótesis exagerada, por ejemplo
\[ H(x)\land C(x). \]
También podríamos restringir el dominio al conjunto de objetos que ya sabemos que satisfacen la conclusión:
\[ D'=\{x\in D:C(x)\}. \]
Formalmente, estas modificaciones producen afirmaciones verdaderas.
Pero no constituyen necesariamente reparaciones matemáticamente informativas.
Han incorporado en la formulación aquello que queríamos explicar.
Por eso conviene distinguir:
\[ \boxed{\text{hacer verdadero un enunciado}} \]
no es siempre lo mismo que
\[ \boxed{\text{reparar el problema de forma informativa}}. \]
Una buena reparación conserva tanta estructura del problema original como sea razonable y hace visible qué hipótesis, dominio o conclusión era responsable del fallo.
Comparar reparaciones
Cuando varias reparaciones parecen posibles, podemos evaluarlas con cuatro preguntas.
1. ¿Elimina exactamente el fallo diagnosticado?
El contraejemplo conocido debe dejar de refutar la nueva afirmación, o el paso inválido debe desaparecer de la prueba.
2. ¿La nueva afirmación está realmente demostrada?
No basta con que parezca plausible después de excluir el caso problemático.
3. ¿Preserva el mayor contenido relevante del problema original?
Una hipótesis innecesariamente fuerte o una conclusión demasiado débil pueden volver correcto el enunciado a costa de vaciarlo.
4. ¿La modificación puede explicarse matemáticamente?
Debemos poder decir por qué esa condición aparece: signo, no nulidad, pertenencia a un dominio, dependencia de testigos, dirección de una implicación, entre otras posibilidades.
Estas preguntas no producen siempre una única respuesta, pero permiten comparar reparaciones con criterio.
Un protocolo completo de reparación
Podemos reunir el trabajo de C09 en un procedimiento de seis pasos.
1. Localizar el fallo.
¿Tenemos un contraejemplo al enunciado o sólo una inferencia defectuosa en la prueba?
2. Clasificar el defecto.
¿Dominio demasiado amplio? ¿Hipótesis insuficiente? ¿Conclusión excesiva? ¿Operación ilegítima? ¿Paso irreversible? ¿Circularidad? ¿Consecuencia demasiado débil?
3. Elegir la intervención correspondiente.
- restringir dominio;
- fortalecer hipótesis;
- debilitar conclusión;
- sustituir o completar el paso inválido.
4. Recontrolar el caso que reveló el problema.
El contraejemplo o la inferencia defectuosa deben quedar efectivamente neutralizados.
5. Demostrar la versión reparada.
La reparación no se certifica por intuición ni por ausencia del fallo conocido.
6. Auditar la fuerza de la modificación.
Preguntar si hemos cambiado más de lo necesario o si hemos introducido la conclusión dentro de las hipótesis.
Podemos representar el flujo así:
\[ \boxed{\text{diagnóstico}} \longrightarrow \boxed{\text{intervención local}} \longrightarrow \boxed{\text{nueva demostración}} \longrightarrow \boxed{\text{control de minimalidad}}. \]
Ante un enunciado falso de la forma
\[ \forall x\in D, \qquad H(x)\Rightarrow C(x), \]
una reparación puede:
- reemplazar \(D\) por un dominio más apropiado;
- fortalecer \(H\) con una hipótesis que elimine el mecanismo del contraejemplo;
- debilitar \(C\) hasta una conclusión realmente forzada por las hipótesis.
Ante un teorema verdadero con una prueba defectuosa, la primera opción debe ser reparar la inferencia, no cambiar innecesariamente el enunciado.
Y en todos los casos:
\[ \boxed{\text{eliminar un fallo conocido}} \neq \boxed{\text{haber demostrado la reparación}}. \]
Comprobación
Analiza las cuatro situaciones siguientes.
A. Se afirma
\[ \forall x\in\mathbb R, \qquad x^2\ge x. \]
Se conoce el contraejemplo \(x=1/2\).
B. Se afirma
\[ \forall x\in\mathbb R, \qquad x^2=1\Rightarrow x=1. \]
Se conoce el contraejemplo \(x=-1\).
C. Se quiere demostrar
\[ 15\mid n\Rightarrow5\mid n, \]
pero la prueba dice «todo múltiplo de \(15\) es múltiplo de \(5\)» como justificación principal.
D. Se quiere demostrar
\[ xy=0\Rightarrow x=0\ \text{o}\ y=0 \]
para reales \(x,y\), y el argumento divide inmediatamente por \(x\).
Para cada caso:
- decide si debe repararse el enunciado, la prueba o ambos;
- identifica el defecto exacto;
- propone una reparación controlada;
- justifica que la reparación elimina el fallo;
- explica por qué la modificación no es meramente arbitraria.
Respuesta razonada.
En A, el problema está en el enunciado.
La universal sobre todos los reales es falsa.
Resolver
\[ x^2\ge x \]
equivale a resolver
\[ x(x-1)\ge0, \]
lo que produce
\[ x\le0 \qquad\text{o}\qquad x\ge1. \]
Por tanto una reparación exacta del dominio es
\[ \boxed{ \forall x\in(-\infty,0]\cup[1,\infty), \qquad x^2\ge x }. \]
El valor \(1/2\) queda excluido y la factorización demuestra la nueva versión.
En B, el enunciado también es falso, pero admite más de una reparación razonable.
Si queremos conservar la conclusión \(x=1\), podemos fortalecer la hipótesis:
\[ \boxed{ (x^2=1\land x\ge0)\Rightarrow x=1 }. \]
La condición \(x\ge0\) elimina exactamente la rama \(x=-1\).
Si queremos conservar todos los casos de \(x^2=1\), podemos debilitar la conclusión:
\[ \boxed{ x^2=1\Rightarrow|x|=1}. \]
Las dos reparaciones son correctas, pero preservan partes distintas del enunciado original.
En C, el teorema es verdadero y no necesita modificarse.
El fallo es circular: la justificación utilizada coincide con lo que se quiere demostrar.
La reparación consiste en volver a la hipótesis
\[ 15\mid n. \]
Existe \(k\in\mathbb Z\) tal que
\[ n=15k=5(3k), \]
y por tanto
\[ 5\mid n. \]
Hemos sustituido la dependencia circular por una aplicación directa de la definición de divisibilidad.
En D, el teorema también es verdadero.
La división por \(x\) sólo está autorizada cuando
\[ x\neq0. \]
No conviene añadir \(x\neq0\) al teorema, porque perderíamos innecesariamente el caso \(x=0\).
La reparación natural es separar casos.
Si \(x=0\), la conclusión ya se cumple.
Si \(x\neq0\), dividimos legítimamente \(xy=0\) por \(x\) y obtenemos \(y=0\).
Por tanto,
\[ x=0\ \text{o}\ y=0. \]
Los cuatro ejemplos resumen las cuatro intervenciones principales:
\[ \begin{array}{ccl} A &:& \text{restringir dominio},\\[1mm] B &:& \text{fortalecer hipótesis o debilitar conclusión},\\[1mm] C &:& \text{sustituir una dependencia circular},\\[1mm] D &:& \text{completar la prueba mediante una separación de casos}. \end{array} \]
Hacia los ejercicios integrados
Ya disponemos de las herramientas conceptuales centrales de C09.
Podemos:
- construir y verificar contraejemplos;
- buscar casos de manera dirigida;
- distinguir recíproco, contraposición y negación;
- controlar cuantificadores y dependencia de testigos;
- auditar dominios y operaciones;
- reconocer pasos irreversibles;
- localizar circularidad e inferencias no autorizadas;
- separar evidencia de demostración;
- reparar enunciados y argumentos sin cambiar más de lo necesario.
La última sección del capítulo reunirá estas habilidades en problemas donde no siempre estará anunciado de antemano si el enunciado es verdadero, falso o simplemente está acompañado por una prueba defectuosa.
Ése será el contenido de §9.10.
9.10. Ejercicios y soluciones desarrolladas
Esta sección reúne las habilidades del capítulo en una secuencia donde la estrategia no siempre viene anunciada de antemano. Los ejercicios están organizados en tres familias:
- reconocimiento y búsqueda guiada: leer la obligación lógica exacta, validar contraejemplos, controlar recíprocos, cuantificadores, dominios y evidencia;
- diagnóstico y reparación: localizar la primera dependencia defectuosa, distinguir enunciado falso de prueba inválida y producir reparaciones matemáticamente justificadas;
- integración y transferencia: decidir si conviene demostrar, refutar, reformular o reparar, y explicar por qué la intervención elegida resuelve exactamente el problema detectado.
En varios ejercicios no se indica de antemano si la afirmación es verdadera o falsa. Parte de la tarea consiste precisamente en decidir qué clase de trabajo exige el enunciado.
Ejercicios
E1. Un contraejemplo debe satisfacer la negación completa
Considera la afirmación
\[ \forall n\in\mathbb Z, \qquad 18\mid n^2\Rightarrow18\mid n. \]
- Escribe la negación completa del enunciado.
- Decide si \(n=6\) es un contraejemplo válido.
- Verifica por separado dominio, hipótesis y fallo de la conclusión.
- Explica por qué \(n=3\) no sirve, aunque \(18\nmid3\).
E2. Original, recíproco, contraposición y negación
Considera
\[ \forall n\in\mathbb Z, \qquad 14\mid n\Rightarrow7\mid n. \]
- Escribe el recíproco.
- Escribe la contraposición.
- Escribe la negación del enunciado original.
- Decide si el recíproco es verdadero o falso.
- Explica qué afirmación refuta \(n=7\) y cuál no refuta.
E3. Testigo dependiente y testigo uniforme
Compara las afirmaciones
\[ A:\qquad \forall n\in\mathbb Z\;\exists m\in\mathbb Z, \qquad n+m=0, \]
y
\[ B:\qquad \exists m\in\mathbb Z\;\forall n\in\mathbb Z, \qquad n+m=0. \]
- Decide si \(A\) es verdadera y exhibe una regla para escoger \(m\).
- Decide si \(B\) es verdadera.
- Si \(B\) es falsa, escribe y demuestra su negación.
- Explica por qué el par \((n,m)=(1,0)\) no refuta por sí solo \(A\).
E4. Cancelación ilegítima y caso decisivo
Se afirma, para \(x\in\mathbb R\),
\[ (x-2)(x+1)=0 \Rightarrow x=-1. \]
Un estudiante escribe:
Como \((x-2)(x+1)=0\), cancelamos \(x-2\) y obtenemos \(x+1=0\). Por tanto, \(x=-1\).
- Localiza la primera operación no justificada.
- Indica qué condición permitiría realizar esa cancelación.
- Decide si el enunciado original es verdadero o falso.
- Si es falso, exhibe un contraejemplo.
- Propón una reparación mínima del enunciado y demuéstrala.
E5. Muestra finita frente a clasificación exhaustiva
Una computadora verifica para
\[ n=0,1,2,\ldots,100 \]
que
\[ n^2+n \]
es par.
- Explica por qué esos 101 casos no constituyen por sí solos una demostración de \[ \forall n\in\mathbb Z, \qquad n^2+n\text{ es par}. \]
- Demuestra la afirmación para todo entero.
- Reescribe tu prueba como una clasificación exhaustiva en los dos casos \(n\) par / \(n\) impar.
- Explica por qué esa clasificación sí cubre la obligación universal completa.
E6. Un paso válido que introduce una solución espuria
Resuelve en \(\mathbb R\) la ecuación
\[ \sqrt{x+6}=x. \]
- Determina las restricciones que debe satisfacer toda solución antes de elevar al cuadrado.
- Eleva al cuadrado y encuentra todos los candidatos.
- Recontrola los candidatos en la ecuación original.
- Identifica cualquier solución espuria.
- Escribe correctamente la relación lógica entre la ecuación original y la ecuación cuadrada usando \(\Rightarrow\) o \(\Longleftrightarrow\).
E7. Afirmar el consecuente y reparar la inferencia
Sabemos que, para todo \(n\in\mathbb Z\),
\[ 10\mid n\Rightarrow5\mid n. \]
Un argumento dice:
Como \(5\mid n\), concluimos que \(10\mid n\).
- Identifica la inferencia inválida.
- Da un contraejemplo a esa inferencia.
- Explica por qué el contraejemplo no refuta el enunciado original.
- Repara el enunciado añadiendo una hipótesis elemental sobre paridad que haga verdadera la conclusión \(10\mid n\).
- Demuestra la versión reparada.
E8. Una prueba que se detiene demasiado pronto
Se quiere demostrar
\[ \forall n\in\mathbb Z, \qquad 20\mid n\Rightarrow5\mid n. \]
Un estudiante parte de \(20\mid n\) y concluye correctamente
\[ 2\mid n. \]
Después da la prueba por terminada.
- Explica por qué todos los pasos escritos pueden ser correctos y, sin embargo, la prueba estar incompleta.
- Identifica el desajuste entre lo demostrado y lo requerido.
- Completa la demostración de la forma más directa posible.
E9. Circularidad escondida en una igualdad de conjuntos
Se quiere demostrar:
Si \(A\subseteq B\), entonces \(A\cap B=A\).
Se propone el argumento:
Como \(A\cap B=A\), todo elemento de \(A\) pertenece a \(A\cap B\). Además, todo elemento de \(A\cap B\) pertenece a \(A\). Por tanto, \(A\cap B=A\).
- Localiza la circularidad.
- Explica por qué la segunda inclusión del argumento sí puede justificarse sin circularidad.
- Reescribe una prueba completa mediante doble inclusión.
- Indica exactamente dónde se utiliza la hipótesis \(A\subseteq B\).
E10. Dos reparaciones distintas de una misma afirmación falsa
Considera
\[ \forall x\in\mathbb R, \qquad x^2+1>2x. \]
- Decide si la afirmación es verdadera o falsa.
- Si es falsa, encuentra un contraejemplo.
- Produce una reparación debilitando la conclusión.
- Produce otra reparación restringiendo el dominio sin cambiar el signo estricto \(>\).
- Demuestra ambas versiones reparadas y compara qué cambió en cada una.
E11. Elegir entre demostración, contraejemplo y clasificación exhaustiva
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa. Si es verdadera, demuéstrala. Si es falsa, refútala con un contraejemplo.
A.
\[ \forall n\in\mathbb Z, \qquad 10\mid n^2\Rightarrow10\mid n. \]
B.
\[ \forall n\in\mathbb Z, \qquad 8\mid n^2\Rightarrow8\mid n. \]
C.
\[ \forall n\in\mathbb Z, \qquad 9\mid n^2\Rightarrow3\mid n. \]
En las afirmaciones verdaderas puedes utilizar clases de residuos finitas, siempre que justifiques que la clasificación es exhaustiva.
E12. Una afirmación \(\forall\exists\) y otra \(\exists\forall\)
Considera
\[ A:\qquad \forall x\in\mathbb R\;\exists y\in\mathbb R, \qquad y>x, \]
y
\[ B:\qquad \exists y\in\mathbb R\;\forall x\in\mathbb R, \qquad y>x. \]
- Decide el valor de verdad de \(A\) y \(B\).
- Para la afirmación verdadera, da una regla explícita para el testigo.
- Para la afirmación falsa, escribe su negación y demuéstrala.
- Explica qué cambia en la dependencia del testigo cuando se intercambian los cuantificadores.
E13. Una gráfica muestreada puede ocultar el contraejemplo
Sea
\[ f(x)=\left(x-\frac12\right)^2-\frac1{16}, \qquad x\in\mathbb R. \]
Un programa evalúa \(f(k)\) para muchos enteros \(k\) y encuentra siempre valores positivos. A partir de ello se conjetura
\[ \forall x\in\mathbb R, \qquad f(x)\ge0. \]
- Explica qué tipo de evidencia proporcionan los valores enteros.
- Busca un contraejemplo real que no sea entero.
- Verifica rigurosamente el contraejemplo.
- Explica por qué una gráfica dibujada sólo a partir de puntos enteros podría ocultar el fallo.
- Determina exactamente para qué valores de \(x\) se cumple \(f(x)<0\).
E14. Del diagnóstico a la reparación mínima
Considera la afirmación
\[ \forall a,b,c\in\mathbb R, \qquad ca=cb\Rightarrow a=b. \]
- Decide si es verdadera o falsa.
- Si es falsa, da un contraejemplo que haga visible la condición ausente.
- Explica por qué cancelar \(c\) no está autorizado en general.
- Formula una reparación mínima mediante una hipótesis adicional.
- Demuestra la versión reparada.
- Explica por qué una reparación como «supongamos además que \(a=b\)» sería matemáticamente inútil aunque volviera verdadero el enunciado.
E15. Integración final: refutar, diagnosticar y reparar
Se propone la afirmación
\[ \forall x,y\in\mathbb R, \qquad xy=1\Rightarrow x+y\ge2. \]
- Examina algunos casos simples y formula una sospecha razonable sobre su valor de verdad.
- Decide finalmente si la afirmación es verdadera o falsa y justifica tu respuesta.
- Si es falsa, identifica qué rasgo del contraejemplo revela el fallo de la formulación.
- Repara la afirmación fortaleciendo las hipótesis, sin cambiar la conclusión \(x+y\ge2\), y demuéstrala.
- Produce una segunda reparación que conserve el dominio completo \(\mathbb R\) y la hipótesis \(xy=1\), pero modifique la conclusión.
- Demuestra también esta segunda reparación.
- Compara las dos reparaciones y explica por qué ninguna de ellas es simplemente «borrar el contraejemplo».
Soluciones desarrolladas
Solución E1
El enunciado es
\[ \forall n\in\mathbb Z, \qquad 18\mid n^2\Rightarrow18\mid n. \]
La negación de una universal condicional es
\[ \exists n\in\mathbb Z, \qquad 18\mid n^2 \quad\text{y}\quad 18\nmid n. \]
Probemos \(n=6\).
Primero,
\[ 6\in\mathbb Z. \]
Después,
\[ 6^2=36 \]
y
\[ 18\mid36. \]
Por tanto, la hipótesis del condicional se cumple.
En cambio,
\[ 18\nmid6. \]
Así,
\[ \boxed{n=6\text{ es un contraejemplo válido}}. \]
El valor \(n=3\) no sirve. Es cierto que
\[ 18\nmid3, \]
pero también
\[ 3^2=9 \]
y
\[ 18\nmid9. \]
Por tanto, \(n=3\) no satisface el antecedente del condicional. Un contraejemplo debe hacer verdadero el antecedente y falsa la conclusión.
Solución E2
El enunciado original es
\[ 14\mid n\Rightarrow7\mid n. \]
Su recíproco es
\[ 7\mid n\Rightarrow14\mid n. \]
Su contraposición es
\[ 7\nmid n\Rightarrow14\nmid n. \]
Y la negación del enunciado original es
\[ 14\mid n \quad\text{y}\quad 7\nmid n \]
para algún \(n\in\mathbb Z\).
El recíproco es falso. Tomemos
\[ n=7. \]
Entonces
\[ 7\mid7, \]
pero
\[ 14\nmid7. \]
Así,
\[ \boxed{n=7\text{ refuta el recíproco}}. \]
No refuta el enunciado original, porque allí el antecedente exige
\[ 14\mid n, \]
y ese antecedente es falso para \(n=7\).
El original sí es verdadero: si \(14\mid n\), existe \(k\in\mathbb Z\) con
\[ n=14k=7(2k), \]
y por tanto \(7\mid n\).
La contraposición tiene el mismo valor de verdad que el original.
Solución E3
La afirmación
\[ A:\quad \forall n\in\mathbb Z\;\exists m\in\mathbb Z, \quad n+m=0 \]
es verdadera.
Dado un entero arbitrario \(n\), elegimos
\[ m=-n. \]
Entonces \(m\in\mathbb Z\) y
\[ n+m=n-n=0. \]
El testigo depende de \(n\).
La afirmación
\[ B:\quad \exists m\in\mathbb Z\;\forall n\in\mathbb Z, \quad n+m=0 \]
es falsa.
Su negación es
\[ \forall m\in\mathbb Z\;\exists n\in\mathbb Z, \qquad n+m\neq0. \]
Sea \(m\in\mathbb Z\) arbitrario. Elegimos
\[ n=1-m. \]
Entonces
\[ n+m=(1-m)+m=1\neq0. \]
Por tanto, todo candidato a testigo uniforme \(m\) puede ser derrotado por algún \(n\).
Finalmente, el par \((1,0)\) satisface
\[ 1+0\neq0, \]
pero eso no refuta \(A\). Para \(n=1\) sólo se exigía que existiera algún \(m\) adecuado. El valor
\[ m=-1 \]
sí funciona.
Solución E4
La operación problemática es la cancelación del factor
\[ x-2. \]
De
\[ (x-2)(x+1)=0 \]
podemos escribir
\[ (x-2)(x+1)=(x-2)\cdot0. \]
Cancelar \(x-2\) requiere
\[ x-2\neq0, \]
es decir,
\[ x\neq2. \]
Esa hipótesis no aparece en el enunciado original.
Probemos precisamente el caso excluido:
\[ x=2. \]
Entonces
\[ (x-2)(x+1)=0\cdot3=0, \]
así que la hipótesis se cumple.
Pero la conclusión exige
\[ 2=-1, \]
que es falsa.
Por tanto,
\[ \boxed{x=2\text{ es un contraejemplo}}, \]
y el enunciado original es falso.
Una reparación mínima consiste en afirmar:
\[ \forall x\in\mathbb R, \qquad \bigl(x\neq2\land (x-2)(x+1)=0\bigr) \Rightarrow x=-1. \]
Ahora sí, como \(x\neq2\), tenemos \(x-2\neq0\) y podemos cancelar:
\[ (x-2)(x+1)=(x-2)\cdot0 \Rightarrow x+1=0. \]
Por tanto,
\[ \boxed{x=-1}. \]
La reparación añade exactamente la hipótesis que faltaba para autorizar la inferencia.
Solución E5
Verificar los valores
\[ 0,1,\ldots,100 \]
sólo demuestra 101 instancias.
La afirmación
\[ \forall n\in\mathbb Z, \qquad n^2+n\text{ es par} \]
habla de infinitos enteros. No existe una inferencia automática
\[ \text{“101 casos favorables”} \Rightarrow \text{“todos los enteros”}. \]
La afirmación sí es verdadera. Observemos que
\[ n^2+n=n(n+1). \]
Los enteros \(n\) y \(n+1\) son consecutivos, y entre dos enteros consecutivos uno es par. Por tanto, el producto
\[ n(n+1) \]
es par.
Así,
\[ \boxed{n^2+n\text{ es par para todo }n\in\mathbb Z}. \]
Podemos expresar la misma prueba mediante una clasificación exhaustiva.
Si \(n\) es par, existe \(k\in\mathbb Z\) tal que
\[ n=2k. \]
Entonces
\[ n^2+n=2k(2k+1), \]
que es par.
Si \(n\) es impar, existe \(k\in\mathbb Z\) tal que
\[ n=2k+1. \]
Entonces
\[ \begin{aligned} n^2+n &=(2k+1)^2+(2k+1)\\ &=4k^2+6k+2\\ &=2(2k^2+3k+1), \end{aligned} \]
que también es par.
La diferencia con la muestra computacional es que todo entero es par o impar. Los dos casos agotan el dominio y, por tanto, la clasificación es exhaustiva.
Solución E6
Partimos de
\[ \sqrt{x+6}=x. \]
Para que la raíz esté definida en \(\mathbb R\) necesitamos
\[ x+6\ge0. \]
Además, como una raíz cuadrada real es no negativa, toda solución debe satisfacer
\[ x\ge0. \]
Esta segunda condición es más fuerte que \(x\ge-6\).
Ahora elevamos al cuadrado. Toda solución original satisface
\[ x+6=x^2. \]
Así,
\[ x^2-x-6=0, \]
y factorizando,
\[ (x-3)(x+2)=0. \]
Los candidatos son
\[ x=3 \qquad\text{o}\qquad x=-2. \]
Revisemos la ecuación original.
Para \(x=3\),
\[ \sqrt{3+6}=\sqrt9=3, \]
por lo que \(3\) sí es solución.
Para \(x=-2\),
\[ \sqrt{-2+6}=\sqrt4=2\neq-2. \]
Por tanto,
\[ \boxed{x=-2\text{ es una solución espuria}}. \]
La única solución es
\[ \boxed{x=3}. \]
La relación lógica correcta es
\[ \sqrt{x+6}=x \Rightarrow x+6=x^2. \]
Sin incorporar la condición \(x\ge0\), no debemos reemplazar esa flecha por una equivalencia.
Solución E7
La forma disponible es
\[ 10\mid n\Rightarrow5\mid n. \]
El argumento toma el consecuente
\[ 5\mid n \]
y concluye el antecedente
\[ 10\mid n. \]
Eso es afirmar el consecuente, o equivalentemente utilizar el recíproco sin haberlo demostrado.
El valor
\[ n=5 \]
es un contraejemplo a esa inferencia:
\[ 5\mid5, \]
pero
\[ 10\nmid5. \]
No refuta el enunciado original porque \(10\nmid5\) hace falso el antecedente original.
Una reparación natural es
\[ \forall n\in\mathbb Z, \qquad \bigl(5\mid n\land 2\mid n\bigr) \Rightarrow 10\mid n. \]
Demostrémosla. Supongamos
\[ 5\mid n \]
y
\[ 2\mid n. \]
De \(5\mid n\) existe \(k\in\mathbb Z\) tal que
\[ n=5k. \]
Como \(n\) es par y \(5\) es impar, \(k\) debe ser par: si \(k\) fuese impar, el producto \(5k\) sería impar.
Por tanto existe \(r\in\mathbb Z\) tal que
\[ k=2r. \]
Entonces
\[ n=5k=5(2r)=10r. \]
Así,
\[ \boxed{10\mid n}. \]
La reparación no declara verdadero el recíproco original; añade exactamente la información de paridad que faltaba.
Solución E8
De
\[ 20\mid n \]
se sigue ciertamente que
\[ 2\mid n. \]
Por ejemplo, si
\[ n=20k, \]
entonces
\[ n=2(10k). \]
Así, el razonamiento puede ser correcto hasta ese punto.
Pero el objetivo era
\[ 5\mid n, \]
no
\[ 2\mid n. \]
El problema es una conclusión insuficiente: se demostró una consecuencia verdadera de la hipótesis, pero no la consecuencia pedida.
La demostración directa se completa inmediatamente. De
\[ 20\mid n \]
existe \(k\in\mathbb Z\) tal que
\[ n=20k. \]
Como
\[ 20k=5(4k) \]
y \(4k\in\mathbb Z\), obtenemos
\[ \boxed{5\mid n}. \]
No había que corregir un cálculo; había que completar la dependencia hasta el objetivo correcto.
Solución E9
El argumento comienza diciendo
como \(A\cap B=A\).
Pero ésa es precisamente la igualdad que se quiere demostrar.
Por tanto, la prueba usa la conclusión como premisa y es circular.
La inclusión
\[ A\cap B\subseteq A \]
sí puede demostrarse sin circularidad. Si
\[ x\in A\cap B, \]
por definición de intersección tenemos
\[ x\in A \]
y
\[ x\in B. \]
En particular, \(x\in A\).
Para la inclusión inversa, sea ahora
\[ x\in A. \]
Como
\[ A\subseteq B, \]
se sigue que
\[ x\in B. \]
Así,
\[ x\in A \quad\text{y}\quad x\in B, \]
por lo que
\[ x\in A\cap B. \]
Hemos demostrado
\[ A\subseteq A\cap B. \]
Combinando ambas inclusiones,
\[ \boxed{A\cap B=A}. \]
La hipótesis \(A\subseteq B\) sólo es necesaria en la segunda dirección, cuando partimos de \(x\in A\) y necesitamos obtener además \(x\in B\).
Solución E10
La afirmación
\[ \forall x\in\mathbb R, \qquad x^2+1>2x \]
es falsa.
Tomemos
\[ x=1. \]
Entonces
\[ 1^2+1=2=2\cdot1. \]
Por tanto, la desigualdad estricta falla y
\[ \boxed{x=1\text{ es un contraejemplo}}. \]
Una primera reparación consiste en debilitar la conclusión:
\[ \forall x\in\mathbb R, \qquad x^2+1\ge2x. \]
En efecto,
\[ (x-1)^2\ge0 \]
para todo real \(x\). Al desarrollar,
\[ x^2-2x+1\ge0, \]
es decir,
\[ \boxed{x^2+1\ge2x}. \]
Una segunda reparación conserva la desigualdad estricta pero restringe el dominio:
\[ \forall x\in\mathbb R\setminus\{1\}, \qquad x^2+1>2x. \]
Si \(x\neq1\), entonces
\[ (x-1)^2>0. \]
Por tanto,
\[ x^2-2x+1>0, \]
y así
\[ \boxed{x^2+1>2x}. \]
Las dos reparaciones responden al mismo diagnóstico, pero intervienen en lugares distintos: una cambia la conclusión de \(>\) a \(\ge\); la otra conserva la conclusión y excluye exactamente el caso de igualdad.
Solución E11
A. La afirmación
\[ 10\mid n^2\Rightarrow10\mid n \]
es verdadera.
Podemos demostrarla mediante una clasificación exhaustiva módulo \(10\).
Todo entero satisface exactamente una de las congruencias
\[ n\equiv0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\pmod{10}. \]
Los cuadrados correspondientes módulo \(10\) son
\[ 0,1,4,9,6,5,6,9,4,1. \]
El único resto cuyo cuadrado es congruente con \(0\) módulo \(10\) es \(0\).
Por tanto, si
\[ 10\mid n^2, \]
entonces
\[ n\equiv0\pmod{10}, \]
y por consiguiente
\[ \boxed{10\mid n}. \]
La lista de diez casos no es una muestra: es exhaustiva respecto de las clases módulo \(10\).
B. La afirmación
\[ 8\mid n^2\Rightarrow8\mid n \]
es falsa.
Tomemos
\[ n=4. \]
Entonces
\[ n^2=16 \]
y
\[ 8\mid16, \]
pero
\[ 8\nmid4. \]
Así,
\[ \boxed{n=4\text{ es un contraejemplo}}. \]
C. La afirmación
\[ 9\mid n^2\Rightarrow3\mid n \]
es verdadera.
Todo entero cae en una de las tres clases módulo \(3\):
\[ n\equiv0,1,2\pmod3. \]
Sus cuadrados son congruentes con
\[ 0,1,1\pmod3. \]
Si
\[ 9\mid n^2, \]
entonces en particular
\[ 3\mid n^2, \]
por lo que
\[ n^2\equiv0\pmod3. \]
La clasificación anterior obliga a
\[ n\equiv0\pmod3. \]
Así,
\[ \boxed{3\mid n}. \]
Los tres apartados muestran tres usos distintos: prueba exhaustiva finita, contraejemplo y prueba exhaustiva sobre una clasificación más pequeña.
Solución E12
La afirmación
\[ A:\quad \forall x\in\mathbb R\;\exists y\in\mathbb R, \quad y>x \]
es verdadera.
Dado cualquier real \(x\), elegimos
\[ y=x+1. \]
Entonces
\[ y>x. \]
El testigo depende de \(x\).
La afirmación
\[ B:\quad \exists y\in\mathbb R\;\forall x\in\mathbb R, \quad y>x \]
es falsa.
Su negación es
\[ \forall y\in\mathbb R\;\exists x\in\mathbb R, \qquad y\le x. \]
Sea \(y\) arbitrario. Elegimos simplemente
\[ x=y. \]
Entonces
\[ y\le x \]
porque \(y=x\).
Por tanto, ningún real puede ser mayor que todos los reales.
La diferencia lógica es ésta:
\[ \forall x\exists y \]
permite que \(y\) dependa de \(x\), mientras que
\[ \exists y\forall x \]
exige elegir un único \(y\) antes de recorrer todos los valores de \(x\).
Solución E13
Los valores enteros proporcionan evidencia sobre una muestra discreta del dominio real.
No cubren los puntos situados entre enteros.
Consideremos
\[ x=\frac12. \]
Entonces
\[ \begin{aligned} f\left(\frac12\right) &=\left(\frac12-\frac12\right)^2-\frac1{16}\\ &=0-\frac1{16}\\ &=-\frac1{16}<0. \end{aligned} \]
Por tanto,
\[ \boxed{x=\frac12\text{ es un contraejemplo}}. \]
La conjetura universal es falsa.
Una gráfica construida sólo a partir de valores enteros puede unir visualmente puntos positivos o simplemente no muestrear la región donde la función desciende bajo cero. El problema no está en los valores calculados, sino en confundir los puntos observados con todo el dominio.
Para determinar exactamente dónde \(f(x)<0\), resolvemos
\[ \left(x-\frac12\right)^2-\frac1{16}<0. \]
Esto equivale a
\[ \left(x-\frac12\right)^2<\frac1{16}. \]
Por tanto,
\[ \left|x-\frac12\right|<\frac14. \]
Así,
\[ -\frac14<x-\frac12<\frac14, \]
y sumando \(1/2\),
\[ \boxed{\frac14<x<\frac34}. \]
Precisamente entre \(1/4\) y \(3/4\) la función es negativa.
Solución E14
La afirmación
\[ ca=cb\Rightarrow a=b \]
para todos los reales \(a,b,c\) es falsa.
Tomemos
\[ c=0, \qquad a=1, \qquad b=2. \]
Entonces
\[ ca=0=cb, \]
pero
\[ a\neq b. \]
Por tanto,
\[ \boxed{(a,b,c)=(1,2,0)\text{ es un contraejemplo}}. \]
El contraejemplo revela exactamente la condición ausente: no podemos cancelar \(c\) cuando
\[ c=0. \]
La reparación mínima es
\[ \forall a,b,c\in\mathbb R, \qquad \bigl(c\neq0\land ca=cb\bigr) \Rightarrow a=b. \]
Ahora, como \(c\neq0\), existe \(1/c\) y podemos multiplicar ambos lados de
\[ ca=cb \]
por \(1/c\):
\[ \frac1c(ca)=\frac1c(cb). \]
Así,
\[ \boxed{a=b}. \]
Añadir como hipótesis directamente
\[ a=b \]
haría trivialmente verdadera la conclusión, pero destruiría el problema: la supuesta reparación ya contendría exactamente lo que se pretendía deducir.
Una reparación controlada debe aportar la condición que hace válida la inferencia faltante, no asumir la conclusión.
Solución E15
La afirmación es
\[ \forall x,y\in\mathbb R, \qquad xy=1\Rightarrow x+y\ge2. \]
Los casos positivos pueden hacerla parecer plausible. Por ejemplo,
\[ 1\cdot1=1 \]
y
\[ 1+1=2, \]
mientras que
\[ 2\cdot\frac12=1 \]
y
\[ 2+\frac12>2. \]
Pero la hipótesis
\[ xy=1 \]
no obliga a \(x\) e \(y\) a ser positivos. También puede cumplirse con ambos negativos.
Tomemos
\[ x=y=-1. \]
Entonces
\[ xy=(-1)(-1)=1, \]
pero
\[ x+y=-2<2. \]
Por tanto,
\[ \boxed{(x,y)=(-1,-1)\text{ es un contraejemplo}}. \]
El fallo de la formulación es una hipótesis de signo ausente.
Una primera reparación consiste en fortalecer las hipótesis:
\[ \forall x,y\in\mathbb R, \qquad \bigl(xy=1\land x>0\bigr) \Rightarrow x+y\ge2. \]
Si \(xy=1\) y \(x>0\), entonces
\[ y=\frac1x>0. \]
Además,
\[ (x-1)^2\ge0. \]
Desarrollando,
\[ x^2-2x+1\ge0. \]
Como \(x>0\), podemos dividir por \(x\) sin cambiar el sentido de la desigualdad:
\[ x-2+\frac1x\ge0. \]
Por tanto,
\[ x+\frac1x\ge2. \]
Como \(y=1/x\),
\[ \boxed{x+y\ge2}. \]
Una segunda reparación conserva el dominio completo y la única hipótesis \(xy=1\), pero cambia la conclusión:
\[ \forall x,y\in\mathbb R, \qquad xy=1\Rightarrow |x+y|\ge2. \]
Para demostrarla, partimos de
\[ (x-y)^2\ge0. \]
Entonces
\[ x^2-2xy+y^2\ge0. \]
Sumando \(4xy\) a ambos lados,
\[ x^2+2xy+y^2\ge4xy. \]
Como \(xy=1\),
\[ (x+y)^2\ge4. \]
Por tanto,
\[ \boxed{|x+y|\ge2}. \]
Las dos reparaciones actúan en lugares diferentes.
La primera conserva la conclusión original pero restringe los casos permitidos mediante una hipótesis de signo.
La segunda conserva todos los pares reales con \(xy=1\), pero debilita la conclusión de una desigualdad orientada
\[ x+y\ge2 \]
a una desigualdad simétrica en signo
\[ |x+y|\ge2. \]
En ambos casos el contraejemplo no fue simplemente eliminado por decreto: reveló qué información faltaba, y la nueva afirmación fue después demostrada para todos los casos que conserva.
Cierre del capítulo
C09 comenzó con una pregunta aparentemente sencilla: ¿cómo sabemos que una afirmación universal es falsa?
La respuesta completa resultó exigir una disciplina más amplia.
Aprendimos a traducir la negación de una universal y a verificar contraejemplos; a buscar casos de manera dirigida sin confundir exploración con prueba; a distinguir recíprocos, contraposiciones y negaciones; a controlar la dependencia de testigos; a tratar el dominio como parte de la inferencia; a separar operaciones ilegítimas de pasos legítimos pero irreversibles; a localizar circularidad y otras dependencias defectuosas; a valorar tablas, gráficas y figuras sin atribuirles una fuerza lógica que no tienen; y a reparar enunciados o argumentos sin modificar más de lo necesario.
Estas tareas pueden resumirse en tres movimientos:
\[ \boxed{\text{refutar}} \qquad \boxed{\text{diagnosticar}} \qquad \boxed{\text{reparar}}. \]
Refutar exige una prueba de falsedad.
Diagnosticar exige localizar exactamente qué obligación dejó de cumplirse.
Reparar exige producir una nueva afirmación o una nueva dependencia que pueda demostrarse, no sólo una formulación que sobreviva al ejemplo que reveló el fallo.
El capítulo siguiente cambiará de foco una vez más. Su problema no será descubrir si una prueba existe o si un argumento falla, sino cómo escribir una demostración válida de manera que otro matemático pueda leerla, reconstruirla y verificarla sin tener que adivinar sus dependencias.
Ése será el problema de C10.
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