Tratado moderno de Álgebra — Capítulo 16: No trivialidad y divisores de cero
Capítulo 16 — No trivialidad y divisores de cero
16.0. Propósito y convención lateral
La definición general de anillo adoptada en la Definición 14.1.1 admite el caso \(0=1\). Esa amplitud era útil mientras se construían las leyes básicas y el grupo de unidades, pero la teoría de divisores de cero necesita separar explícitamente el caso trivial.
Además, en un anillo no conmutativo las ecuaciones
\[ ab=0 \qquad\text{y}\qquad ba=0 \]
no son intercambiables. Por ello, este tratado distinguirá divisores de cero por la izquierda y por la derecha antes de introducir la terminología sin calificativo en el caso conmutativo.
La convención lateral será literal: un elemento será divisor de cero por la izquierda cuando aparezca como factor izquierdo de un producto nulo con otro factor no nulo; será divisor de cero por la derecha cuando aparezca como factor derecho.
Contraste bibliográfico. La distinción lateral y la teoría general de anillos se controlan principalmente con Lam (
BIB-TALG-0008) y Dummit–Foote (BIB-TALG-0001). Para la especialización conmutativa se usa también Atiyah–Macdonald (BIB-TALG-0007). Las fuentes cumplen funciones de contraste y terminología; las pruebas se desarrollan dentro del tratado.
16.1. Anillos no triviales
Definición 16.1.1 — Anillo no trivial
Sea
\[ \mathcal R=\langle R,+,\cdot\rangle \]
un anillo. Se dice que \(\mathcal R\) es no trivial si
\[ \boxed{0\neq1}. \]
Si \(0=1\), se dice que el anillo es trivial.
La no trivialidad no modifica las operaciones ni añade estructura: es una propiedad del anillo ya construido.
Corolario 16.1.2 — No trivialidad e invertibilidad del cero
Para todo anillo \(\mathcal R\),
\[ \boxed{ \mathcal R\text{ es no trivial} \quad\Longleftrightarrow\quad 0\notin R^\times }. \]
Demostración
Por la Proposición 15.6.1,
\[ 0\in R^\times\quad\Longleftrightarrow\quad0=1. \]
Negando ambos lados y usando la Definición 16.1.1, obtenemos
\[ 0\notin R^\times\quad\Longleftrightarrow\quad0\neq1, \]
que es exactamente la afirmación.
\(\square\)
16.2. Divisores de cero laterales
Definición 16.2.1 — Divisores de cero por la izquierda, por la derecha y bilaterales
Sea \(\mathcal R\) un anillo no trivial y sea \(a\in R\) con \(a\neq0\).
- \(a\) es un divisor de cero por la izquierda si existe \(b\in R\) tal que \[ b\neq0 \qquad\text{y}\qquad ab=0. \]
- \(a\) es un divisor de cero por la derecha si existe \(b\in R\) tal que \[ b\neq0 \qquad\text{y}\qquad ba=0. \]
- \(a\) es un divisor de cero bilateral si es simultáneamente divisor de cero por la izquierda y por la derecha.
En este tratado no se usará sin calificación la expresión “divisor de cero” para un anillo general no conmutativo. La lateralidad forma parte de la información matemática.
Convención. El propio elemento \(a\) se exige no nulo, y el factor testigo \(b\) también. Así, el cero no es divisor de cero por definición.
16.3. Las unidades no son divisores de cero
Proposición 16.3.1 — Una unidad no puede ser divisor de cero lateral
Sea \(\mathcal R\) un anillo no trivial y sea \(u\in R^\times\). Entonces \(u\) no es divisor de cero por la izquierda ni por la derecha.
Demostración
Supongamos que
\[ ub=0 \]
para algún \(b\in R\). Multiplicando por \(u^{-1}\) a la izquierda y usando asociatividad,
\[ u^{-1}(ub)=(u^{-1}u)b=1b=b. \]
Por otro lado, la Proposición 14.3.1 da
\[ u^{-1}0=0. \]
Por tanto \(b=0\). No existe, pues, un \(b\neq0\) con \(ub=0\), y \(u\) no es divisor de cero por la izquierda.
Análogamente, si
\[ bu=0, \]
multiplicando por \(u^{-1}\) a la derecha se obtiene
\[ (bu)u^{-1}=b(uu^{-1})=b1=b, \]
mientras que \(0u^{-1}=0\). Luego \(b=0\), y \(u\) tampoco es divisor de cero por la derecha.
\(\square\)
Importante. No se afirma el recíproco. “No ser divisor de cero” y “ser unidad” son propiedades distintas.
16.4. Divisores de cero y cancelación
Teorema 16.4.1 — Caracterización lateral por cancelación
Sea \(\mathcal R\) un anillo no trivial y sea \(a\in R\) con \(a\neq0\).
Entonces:
- \(a\) no es divisor de cero por la izquierda si y sólo si \[ \forall x,y\in R, \qquad ax=ay\Longrightarrow x=y; \]
- \(a\) no es divisor de cero por la derecha si y sólo si \[ \forall x,y\in R, \qquad xa=ya\Longrightarrow x=y. \]
Demostración
Demostremos primero la afirmación izquierda.
Supongamos que \(a\) no es divisor de cero por la izquierda y que
\[ ax=ay. \]
Por distributividad y por las reglas de signos de la Proposición 14.4.1,
\[ \begin{aligned} a\bigl(x+(-y)\bigr) &=ax+a(-y)\\ &=ax+\bigl(-(ay)\bigr)\\ &=0. \end{aligned} \]
Como \(a\neq0\) y \(a\) no es divisor de cero por la izquierda, si \(x+(-y)\neq0\) entonces \(x+(-y)\) sería un testigo no nulo con producto cero, contradiciendo la Definición 16.2.1. Por tanto,
\[ \neg\neg\bigl(x+(-y)=0\bigr). \]
Aplicando eliminación de doble negación, válida en la lógica clásica fijada por el tratado, obtenemos
\[ x+(-y)=0. \]
En el grupo aditivo de \(R\), esto implica \(x=y\).
Recíprocamente, supongamos que vale la cancelación izquierda y que
\[ ab=0. \]
Por la Proposición 14.3.1, \(a0=0\), luego
\[ ab=a0. \]
La hipótesis de cancelación da \(b=0\). Por consiguiente, no existe un testigo no nulo \(b\) con \(ab=0\), y \(a\) no es divisor de cero por la izquierda.
La afirmación derecha se demuestra de forma simétrica. Si \(xa=ya\), entonces
\[ \bigl(x+(-y)\bigr)a=xa+(-y)a=xa+\bigl(-(ya)\bigr)=0, \]
la ausencia de divisores de cero por la derecha da primero \(\neg\neg(x+(-y)=0)\); por DNE obtenemos \(x+(-y)=0\), y de aquí \(x=y\). En sentido inverso, de \(ba=0=0a\) y la cancelación derecha se deduce \(b=0\).
\(\square\)
Lectura fundacional. La implicación «cancelación \(\Rightarrow\) ausencia de divisor de cero» es constructivamente compatible. La implicación inversa, bajo la definición negativa actual de «no ser divisor de cero», usa estabilidad de la igualdad / eliminación de doble negación.
16.5. El caso conmutativo
Corolario 16.5.1 — Coincidencia de las nociones laterales en un anillo conmutativo
Sea \(\mathcal R\) un anillo conmutativo no trivial y sea \(a\in R\) con \(a\neq0\). Entonces
\[ \boxed{ a\text{ es divisor de cero por la izquierda} \quad\Longleftrightarrow\quad a\text{ es divisor de cero por la derecha} }. \]
Demostración
Si \(a\) es divisor de cero por la izquierda, existe \(b\neq0\) con
\[ ab=0. \]
Como la multiplicación es conmutativa,
\[ ba=ab=0, \]
por lo que \(a\) es divisor de cero por la derecha. La implicación recíproca es idéntica.
\(\square\)
Definición 16.5.2 — Divisor de cero en un anillo conmutativo
Sea \(\mathcal R\) un anillo conmutativo no trivial. Un elemento \(a\in R\) es un divisor de cero si
\[ a\neq0 \]
y existe \(b\in R\) tal que
\[ b\neq0 \qquad\text{y}\qquad ab=0. \]
Por el Corolario 16.5.1, esta definición es equivalente a cualquiera de las dos nociones laterales de la Definición 16.2.1.
Corolario 16.5.3 — Cancelación en el caso conmutativo
Sea \(\mathcal R\) un anillo conmutativo no trivial y sea \(a\in R\) con \(a\neq0\). Entonces
\[ \boxed{ a\text{ no es divisor de cero} \quad\Longleftrightarrow\quad \forall x,y\in R,\; ax=ay\Longrightarrow x=y }. \]
Demostración
En un anillo conmutativo, el Corolario 16.5.1 identifica las nociones izquierda y derecha de divisor de cero, y la Definición 16.5.2 adopta esa noción común. La equivalencia buscada es entonces la primera equivalencia del Teorema 16.4.1.
\(\square\)
16.6. Cierre deductivo
Queda cerrada la cadena
anillo
↓
0 ≠ 1
↓
anillo no trivial
↓
divisor de cero izquierdo / derecho
↓
unidad ⇒ no divisor de cero lateral
↓
ausencia de divisor de cero ↔ cancelación lateral (clásicamente)
↓
conmutatividad
↓
coincidencia izquierda = derecha
↓
divisor de cero (sin calificativo)
↓
ausencia de divisor de cero ↔ cancelación (clásicamente)No se ha utilizado el axioma de elección. Tampoco se ha introducido todavía la noción de dominio íntegro: el capítulo sólo prepara su infraestructura multiplicativa.
El siguiente paso de la Parte III será definir subanillos y después los homomorfismos de anillos, antes de avanzar hacia ideales, cocientes y dominios.
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