Tratado moderno de Álgebra — Capítulo 14: Anillos
14.0. Propósito y convención estructural
La teoría de grupos estudia una sola operación. Un anillo introduce dos operaciones sobre el mismo conjunto y, por primera vez en el tratado, exige leyes que relacionan estructuras ya construidas de manera independiente.
La decisión de arquitectura es explícita: en este tratado la palabra anillo significará anillo asociativo con unidad multiplicativa, sin exigir conmutatividad de la multiplicación. La conmutatividad será una condición adicional. Tampoco se incorporará en la definición básica la desigualdad entre los neutros aditivo y multiplicativo; la no trivialidad se impondrá sólo en las estructuras posteriores que realmente la necesiten.
Esta elección permite reutilizar exactamente la jerarquía ya cerrada:
\[ \text{grupo abeliano aditivo} \quad+\quad \text{monoide multiplicativo} \quad+\quad \text{distributividad}. \]
La escritura
\[ \langle R,+,\cdot\rangle \]
se entenderá como abreviatura tipográfica de la codificación conjuntista anidada
\[ \langle R,\langle +,\cdot\rangle\rangle. \]
No se introduce, por tanto, un nuevo tipo primitivo de objeto estructural.
Contraste bibliográfico. La literatura no usa una única convención para la palabra ring. Nuestra convención separa dos cuestiones: adopta unidad multiplicativa desde el nivel básico, como en tratamientos modernos de teoría de anillos, pero no incorpora conmutatividad, que se definirá aparte. Para el bloque conmutativo se incorpora Atiyah–Macdonald (
BIB-TALG-0007) y para el bloque general no conmutativo, Lam (BIB-TALG-0008). Estas fuentes funcionan como contraste de convención y arquitectura, no como fundamento deductivo.
14.1. Definición de anillo
Definición 14.1.1 — Anillo
Un anillo es una estructura
\[ \mathcal R=\langle R,+,\cdot\rangle \]
tal que:
\(\langle R,+\rangle\) es un grupo abeliano;
\(\langle R,\cdot\rangle\) es un monoide;
la multiplicación es distributiva por la izquierda respecto de la suma:
\[ a\cdot(b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c) \qquad(a,b,c\in R); \]
la multiplicación es distributiva por la derecha respecto de la suma:
\[ (a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c) \qquad(a,b,c\in R). \]
No se supone que
\[ a\cdot b=b\cdot a, \]
y no se exige en esta definición ninguna desigualdad entre los dos elementos neutros.
La no vacuidad de \(R\) no es un axioma adicional: ya forma parte de la estructura de grupo aditivo y del monoide multiplicativo.
14.2. Notación aditiva y multiplicativa
Notación 14.2.1 — Cero, uno y opuesto aditivo
Sea
\[ \mathcal R=\langle R,+,\cdot\rangle \]
un anillo.
El único neutro del grupo aditivo \(\langle R,+\rangle\) se denota
\[ 0_{\mathcal R}, \]
o simplemente \(0\) cuando el anillo ambiente es inequívoco.
El único neutro del monoide multiplicativo \(\langle R,\cdot\rangle\) se denota
\[ 1_{\mathcal R}, \]
o simplemente \(1\) cuando el contexto determina el anillo.
Para \(a\in R\), el inverso de \(a\) en el grupo aditivo se escribe
\[ -a. \]
Así,
\[ a+(-a)=(-a)+a=0_{\mathcal R}. \]
La notación \(a^{-1}\) seguirá reservada al inverso respecto de una operación multiplicativa cuando éste exista; no todo elemento de un anillo posee inverso multiplicativo.
14.3. El cero es absorbente para la multiplicación
Proposición 14.3.1 — Absorción del cero
Sea \(\mathcal R=\langle R,+,\cdot\rangle\) un anillo. Para todo \(a\in R\),
\[ \boxed{ a\cdot0=0=0\cdot a }. \]
Demostración
Como \(0+0=0\), la distributividad por la izquierda da
\[ \begin{aligned} a\cdot0 &=a\cdot(0+0)\\ &=(a\cdot0)+(a\cdot0). \end{aligned} \]
Sumemos el opuesto aditivo de \(a\cdot0\) a ambos miembros. Usando asociatividad, inverso aditivo y neutro,
\[ \begin{aligned} 0 &=-(a\cdot0)+(a\cdot0)\\ &=-(a\cdot0)+\bigl((a\cdot0)+(a\cdot0)\bigr)\\ &=\bigl(-(a\cdot0)+(a\cdot0)\bigr)+(a\cdot0)\\ &=0+(a\cdot0)\\ &=a\cdot0. \end{aligned} \]
Por tanto \(a\cdot0=0\).
Para demostrar la absorción por la izquierda, partimos de la misma identidad aditiva
\[ 0+0=0. \]
Esta vez usamos la distributividad por la derecha de la Definición 14.1.1. Sustituyendo \(0\) por \(0+0\) en el primer factor,
\[ \begin{aligned} 0\cdot a &=(0+0)\cdot a\\ &=(0\cdot a)+(0\cdot a). \end{aligned} \]
Ahora sumamos el opuesto aditivo de \(0\cdot a\) a ambos miembros. Por compatibilidad de la igualdad con la suma,
\[ -(0\cdot a)+(0\cdot a) = -(0\cdot a)+\bigl((0\cdot a)+(0\cdot a)\bigr). \]
El miembro izquierdo es \(0\). En el miembro derecho, la asociatividad de la suma permite reagrupar:
\[ \begin{aligned} 0 &=-(0\cdot a)+\bigl((0\cdot a)+(0\cdot a)\bigr)\\ &=\bigl(-(0\cdot a)+(0\cdot a)\bigr)+(0\cdot a)\\ &=0+(0\cdot a)\\ &=0\cdot a. \end{aligned} \]
Por tanto,
\[ 0\cdot a=0. \]
\(\square\)
Punto lógico. La absorción del cero no forma parte de la definición de anillo. Se deduce de distributividad y de la estructura de grupo aditivo.
14.4. Compatibilidad con los opuestos aditivos
Proposición 14.4.1 — Reglas de signos
Sea \(\mathcal R=\langle R,+,\cdot\rangle\) un anillo. Para cualesquiera \(a,b\in R\),
\[ \boxed{ (-a)\cdot b=-(a\cdot b), \qquad a\cdot(-b)=-(a\cdot b), \qquad (-a)\cdot(-b)=a\cdot b }. \]
Demostración
Por distributividad por la derecha,
\[ \begin{aligned} ((-a)+a)\cdot b &=(-a)\cdot b+a\cdot b. \end{aligned} \]
El miembro izquierdo es \(0\cdot b=0\) por la Proposición 14.3.1. Luego
\[ (-a)\cdot b+a\cdot b=0. \]
Así, \((-a)\cdot b\) es un inverso aditivo de \(a\cdot b\). Por la unicidad del inverso (Proposición 4.1.2) en el grupo aditivo,
\[ (-a)\cdot b=-(a\cdot b). \]
Para la segunda identidad partimos de la igualdad
\[ (-b)+b=0, \]
que vale porque \(-b\) es el inverso aditivo de \(b\) en el grupo abeliano \(\langle R,+\rangle\). Aplicando la distributividad por la izquierda de la Definición 14.1.1, obtenemos
\[ \begin{aligned} a\cdot\bigl((-b)+b\bigr) &=a\cdot(-b)+a\cdot b. \end{aligned} \]
Por la Proposición 14.3.1, el miembro izquierdo es
\[ a\cdot0=0. \]
Por tanto,
\[ a\cdot(-b)+a\cdot b=0. \]
Esta igualdad muestra que \(a\cdot(-b)\) es un inverso aditivo de \(a\cdot b\). Como el inverso en un grupo es único por la Proposición 4.1.2,
\[ a\cdot(-b)=-(a\cdot b). \]
Queda demostrada la segunda identidad sin apelar a una simetría informal de la primera.
Para la tercera identidad, observemos primero que \(-a\in R\). Podemos, por tanto, aplicar la segunda identidad ya demostrada al elemento \(-a\) en lugar de \(a\):
\[ (-a)\cdot(-b)=-\bigl((-a)\cdot b\bigr). \]
La primera identidad, aplicada a \(a\) y \(b\), da
\[ (-a)\cdot b=-(a\cdot b). \]
Sustituyendo esta igualdad en la anterior,
\[ (-a)\cdot(-b)=-\bigl(-(a\cdot b)\bigr). \]
Ahora \(a\cdot b\) es un inverso aditivo de \(-(a\cdot b)\), pues
\[ -(a\cdot b)+(a\cdot b)=0 \]
y, por conmutatividad de la suma, también
\[ (a\cdot b)+(-(a\cdot b))=0. \]
Por la unicidad del inverso aditivo de la Proposición 4.1.2,
\[ -\bigl(-(a\cdot b)\bigr)=a\cdot b. \]
En consecuencia,
\[ (-a)\cdot(-b)=a\cdot b. \]
\(\square\)
14.5. Anillos conmutativos
Definición 14.5.1 — Anillo conmutativo
Un anillo conmutativo es un anillo
\[ \mathcal R=\langle R,+,\cdot\rangle \]
cuya multiplicación es conmutativa:
\[ a\cdot b=b\cdot a \qquad(a,b\in R). \]
La suma ya es conmutativa por la definición de anillo, pues \(\langle R,+\rangle\) es un grupo abeliano. Por tanto, el adjetivo conmutativo aplicado a un anillo se refiere exclusivamente a la multiplicación.
14.6. Cierre deductivo
Queda cerrada la primera interfaz de la Parte III:
grupo abeliano aditivo
+
monoide multiplicativo
+
distributividad bilateral
↓
anillo unitario
↓
0, 1, opuesto aditivo
↓
absorción del cero
↓
reglas de signos
↓
anillo conmutativoNo se ha utilizado el axioma de elección.
El siguiente paso natural será distinguir los elementos multiplicativamente invertibles del anillo y estudiar su relación con el monoide multiplicativo antes de introducir divisores de cero y dominios.
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