Tratado moderno de Álgebra — Capítulo 9: Núcleo e imagen de homomorfismos de grupos
9.0. Propósito y posición deductiva
Un homomorfismo de grupos
\[ f:G\to H \]
puede estudiarse desde dos subconjuntos canónicos asociados a él:
- los elementos del dominio que son enviados al neutro del grupo destino;
- los elementos del codominio que son alcanzados por la función.
El primero será el núcleo y el segundo la imagen. Ambos se construirán como subconjuntos mediante Separación, sin importar todavía la infraestructura general de imágenes y preimágenes de TA-0003.
La secuencia deductiva será
\[ \text{homomorfismo de grupos} \longrightarrow \ker f,\ \operatorname{im}f \longrightarrow \text{subgrupos} \longrightarrow \text{inyectividad y sobreyectividad caracterizadas algebraicamente}. \]
La normalidad del núcleo y los cocientes se posponen hasta introducir formalmente los subgrupos normales.
9.1. Núcleo de un homomorfismo
Definición 9.1.1 — Núcleo de un homomorfismo de grupos
Sean
\[ \mathcal G=\langle G,\star\rangle, \qquad \mathcal H=\langle H,\diamond\rangle \]
grupos y sea
\[ f:G\to H \]
un homomorfismo de grupos. Definimos el núcleo de \(f\) como el subconjunto de \(G\)
\[ \{x\in G:f(x)=e_{\mathcal H}\}. \]
Este conjunto existe por Separación aplicada a \(G\).
La definición depende del homomorfismo completo, incluido su codominio: el neutro utilizado es el de la estructura destino \(\mathcal H\).
Notación 9.1.2 — Núcleo
En la situación anterior escribiremos
\[ \ker f := \{x\in G:f(x)=e_{\mathcal H}\}. \]
Por construcción,
\[ \ker f\subseteq G. \]
La notación \(\ker f\) no se utilizará para una función arbitraria: en este tratado queda introducida inicialmente para homomorfismos de grupos.
Proposición 9.1.3 — El núcleo es un subgrupo
Sea
\[ f:G\to H \]
un homomorfismo de grupos. Entonces \(\ker f\) determina un subgrupo de \(\mathcal G\).
Demostración
Aplicaremos el Lema 6.4.4 al subconjunto \(\ker f\subseteq G\).
Por la Proposición 7.4.2,
\[ f(e_{\mathcal G})=e_{\mathcal H}, \]
por lo que
\[ e_{\mathcal G}\in\ker f. \]
En particular, \(\ker f\) está habitado, con testigo explícito \(e_{\mathcal G}\).
Sean ahora \(a,b\in\ker f\). Entonces
\[ f(a)=e_{\mathcal H} \qquad\text{y}\qquad f(b)=e_{\mathcal H}. \]
Por la Proposición 7.4.3,
\[ f(b^{-1})=f(b)^{-1}=e_{\mathcal H}^{-1}. \]
El elemento \(e_{\mathcal H}\) es un inverso bilateral de sí mismo, pues
\[ e_{\mathcal H}\diamond e_{\mathcal H}=e_{\mathcal H}. \]
Por unicidad del inverso (Proposición 4.1.2),
\[ e_{\mathcal H}^{-1}=e_{\mathcal H}. \]
Como \(f\) es homomorfismo,
\[ \begin{aligned} f(a\star b^{-1}) &=f(a)\diamond f(b^{-1})\\ &=e_{\mathcal H}\diamond e_{\mathcal H}\\ &=e_{\mathcal H}. \end{aligned} \]
Por la definición del núcleo,
\[ a\star b^{-1}\in\ker f. \]
El Lema 6.4.4 implica que \(\ker f\) determina un subgrupo de \(\mathcal G\). \(\square\)
9.2. Imagen de un homomorfismo
Definición 9.2.1 — Imagen de un homomorfismo de grupos
Sean
\[ \mathcal G=\langle G,\star\rangle, \qquad \mathcal H=\langle H,\diamond\rangle \]
grupos y sea
\[ f:G\to H \]
un homomorfismo de grupos. Definimos la imagen de \(f\) como el subconjunto de \(H\)
\[ \{y\in H:\exists x\in G,\ f(x)=y\}. \]
Este conjunto existe por Separación aplicada a \(H\).
No se necesita aquí importar la operación general de imagen de subconjuntos desde TA-0003: la construcción anterior es suficiente y mantiene mínima la interfaz intertratados.
Notación 9.2.2 — Imagen
En la situación anterior escribiremos
\[ \operatorname{im}f := \{y\in H:\exists x\in G,\ f(x)=y\}. \]
Por construcción,
\[ \operatorname{im}f\subseteq H. \]
Proposición 9.2.3 — La imagen es un subgrupo
Sea
\[ f:G\to H \]
un homomorfismo de grupos. Entonces \(\operatorname{im}f\) determina un subgrupo de \(\mathcal H\).
Demostración
Aplicaremos el Lema 6.4.4 al subconjunto \(\operatorname{im}f\subseteq H\).
Por la Proposición 7.4.2,
\[ f(e_{\mathcal G})=e_{\mathcal H}, \]
luego
\[ e_{\mathcal H}\in\operatorname{im}f. \]
Así, \(\operatorname{im}f\) está habitada, con testigo explícito \(e_{\mathcal H}=f(e_{\mathcal G})\).
Sean \(u,v\in\operatorname{im}f\). Por definición de imagen, existen \(a,b\in G\) tales que
\[ f(a)=u, \qquad f(b)=v. \]
Por la Proposición 7.4.3,
\[ f(b^{-1})=f(b)^{-1}=v^{-1}. \]
Por preservación de la operación,
\[ \begin{aligned} u\diamond v^{-1} &=f(a)\diamond f(b^{-1})\\ &=f(a\star b^{-1}). \end{aligned} \]
Como \(a\star b^{-1}\in G\), la última igualdad muestra que
\[ u\diamond v^{-1}\in\operatorname{im}f. \]
Por el Lema 6.4.4, \(\operatorname{im}f\) determina un subgrupo de \(\mathcal H\). \(\square\)
9.3. Caracterizaciones funcionales
Teorema 9.3.1 — Inyectividad y núcleo trivial
Sea
\[ f:G\to H \]
un homomorfismo de grupos. Son equivalentes:
- \(f\) es inyectiva;
- \(\ker f=\{e_{\mathcal G}\}\).
Cuando se cumple la segunda condición diremos que \(f\) tiene núcleo trivial.
Demostración
\((1)\Rightarrow(2)\). Supongamos que \(f\) es inyectiva. Por la Proposición 7.4.2,
\[ f(e_{\mathcal G})=e_{\mathcal H}, \]
así que
\[ e_{\mathcal G}\in\ker f. \]
Sea \(x\in\ker f\). Entonces
\[ f(x)=e_{\mathcal H}=f(e_{\mathcal G}). \]
Por inyectividad,
\[ x=e_{\mathcal G}. \]
De
\[ e_{\mathcal G}\in\ker f \]
se sigue
\[ \{e_{\mathcal G}\}\subseteq\ker f. \]
Por otra parte, como \(x\in\ker f\) era arbitrario y hemos demostrado \(x=e_{\mathcal G}\),
\[ \ker f\subseteq\{e_{\mathcal G}\}. \]
Las dos inclusiones y Extensionalidad dan
\[ \ker f=\{e_{\mathcal G}\}. \]
\((2)\Rightarrow(1)\). Supongamos ahora
\[ \ker f=\{e_{\mathcal G}\}. \]
Sean \(x,y\in G\) tales que
\[ f(x)=f(y). \]
Por la Proposición 7.4.3,
\[ f(y^{-1})=f(y)^{-1}. \]
Entonces
\[ \begin{aligned} f(x\star y^{-1}) &=f(x)\diamond f(y^{-1})\\ &=f(y)\diamond f(y)^{-1}\\ &=e_{\mathcal H}. \end{aligned} \]
Por la Definición 9.1.1 del núcleo, la igualdad
\[ f(x\star y^{-1})=e_{\mathcal H} \]
equivale a
\[ x\star y^{-1}\in\ker f. \]
Usando la hipótesis
\[ \ker f=\{e_{\mathcal G}\}, \]
obtenemos
\[ x\star y^{-1}\in\{e_{\mathcal G}\}. \]
Por la definición de conjunto unitario,
\[ x\star y^{-1}=e_{\mathcal G}. \]
Multiplicando a la derecha por \(y\) y usando asociatividad, inversos y neutro en \(\mathcal G\),
\[ \begin{aligned} x &=x\star e_{\mathcal G}\\ &=x\star(y^{-1}\star y)\\ &=(x\star y^{-1})\star y\\ &=e_{\mathcal G}\star y\\ &=y. \end{aligned} \]
Así, \(f(x)=f(y)\) implica \(x=y\). Por la definición de inyectividad importada mediante TALG-IMP-00002, \(f\) es inyectiva. \(\square\)
Proposición 9.3.2 — Sobreyectividad e imagen total
Sea
\[ f:G\to H \]
un homomorfismo de grupos. Son equivalentes:
- \(f\) es sobreyectiva;
- \(\operatorname{im}f=H\).
Demostración
\((1)\Rightarrow(2)\). Por definición,
\[ \operatorname{im}f\subseteq H. \]
Si \(f\) es sobreyectiva y \(h\in H\), existe \(g\in G\) tal que
\[ f(g)=h. \]
Entonces \(h\in\operatorname{im}f\). Por tanto,
\[ H\subseteq\operatorname{im}f. \]
Por Extensionalidad,
\[ \operatorname{im}f=H. \]
\((2)\Rightarrow(1)\). Supongamos
\[ \operatorname{im}f=H. \]
Sea \(h\in H\). Entonces \(h\in\operatorname{im}f\), y por definición de imagen existe \(g\in G\) tal que
\[ f(g)=h. \]
Esto es exactamente la sobreyectividad de \(f\) según TALG-IMP-00002. \(\square\)
9.4. Lectura estructural
El núcleo y la imagen miden dos aspectos diferentes de un homomorfismo:
\[ \ker f \quad\text{mide la pérdida de distinción en el dominio,} \]
mientras que
\[ \operatorname{im}f \quad\text{mide la porción del codominio alcanzada por la función.} \]
Los resultados anteriores convierten estas intuiciones en equivalencias exactas:
\[ f\text{ inyectiva} \iff \ker f=\{e_{\mathcal G}\}, \]
\[ f\text{ sobreyectiva} \iff \operatorname{im}f=H. \]
Además, la Proposición 9.1.3 y la Proposición 9.2.3 muestran que ambos subconjuntos son algebraicamente estables: no son subconjuntos accidentales, sino subgrupos canónicos asociados a \(f\).
El siguiente paso será distinguir una propiedad especial del núcleo que todavía no ha sido definida: la normalidad. Sólo después se construirán cocientes de grupos y los teoremas de isomorfía.
← Capítulo 8 — Isomorfismos · Capítulo 10 — Subgrupos normales →