Tratado de análisis — Capítulo 1: Los números naturales
Capítulo 1 — Los números naturales
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Parte I — Fundamentos y construcción de los números reales
1.0. Propósito y posición deductiva
Este capítulo construye el primer sistema numérico del tratado. No se presupone la existencia de los números naturales: partimos del axioma de infinito, construimos un conjunto canónico \(\omega\), adoptamos \(\mathbb N:=\omega\), demostramos en él las propiedades de Peano y establecemos el teorema de recursión antes de definir suma y producto.
La cadena principal es
\[ \text{infinito}\to\omega\to\text{inducción}\to\text{Peano}\to\text{recursión}\to +\to\cdot\to\leq. \]
Las leyes conmutativas y asociativas serán teoremas. No se utiliza ninguna forma del axioma de elección.
1.1. Conjuntos inductivos y construcción de \(\omega\)
La intuición habitual presenta los naturales como una sucesión que comienza en cero y avanza, paso a paso, mediante la operación de tomar el siguiente número. Aquí esa sucesión todavía no existe: debemos producirla usando únicamente conjuntos.
La idea de von Neumann consiste en comenzar con el vacío y hacer que cada nuevo número contenga a todos sus predecesores. Para formalizar el paso de un estadio al siguiente introduciremos enseguida una operación de sucesor.
El axioma de infinito nos garantizará que existe al menos un conjunto cerrado bajo este proceso. Sin embargo, no queremos declarar natural a cualquier elemento de cualquier conjunto semejante: un conjunto inductivo puede contener objetos adicionales que nada tienen que ver con la sucesión generada desde el cero. Por eso el verdadero problema será aislar la parte forzada por dos exigencias: contener el cero y permanecer cerrada al tomar sucesores.
Notación 1.1.1 — Cero
Glosario: cero
Definimos
\[ \boxed{0:=\varnothing.} \]
Definición 1.1.2 — Sucesor
Glosario: sucesor
Para cualquier conjunto \(x\),
\[ \boxed{S(x):=x\cup\{x\}.} \]
En particular, \(x\in S(x)\).
Definición 1.1.3 — Conjunto inductivo
Glosario: conjunto inductivo
Un conjunto \(I\) es inductivo si
- \(0\in I\);
- \(x\in I\Rightarrow S(x)\in I\).
Proposición 1.1.4 — Existencia de un conjunto inductivo
Existe al menos un conjunto inductivo.
Demostración.
Es el contenido del axioma de infinito, en la forma admitida en el inventario axiomático del Capítulo 0, una vez introducidas las notaciones \(0\) y \(S\). ∎
La existencia de algún conjunto inductivo resuelve sólo la mitad del problema. Falta extraer de él el menor núcleo que no contenga nada salvo lo que todas las construcciones inductivas están obligadas a contener. La definición siguiente realiza precisamente esa intersección de manera interna, por separación, sin formar una colección ilegítima de «todos los conjuntos inductivos».
Definición 1.1.5 — Núcleo inductivo
Glosario: núcleo inductivo
Sea \(I\) inductivo. Definimos
\[ \omega_I:=\{x\in I:\forall J\,[(J\subseteq I\text{ y }J\text{ inductivo})\Rightarrow x\in J]\}. \]
Su existencia se obtiene por separación sobre \(I\); no se forma «el conjunto de todos los conjuntos inductivos».
Proposición 1.1.6 — \(\omega_I\) es inductivo
Demostración.
Todo subconjunto inductivo de \(I\) contiene \(0\), luego \(0\in\omega_I\). Si \(x\in\omega_I\), entonces \(x\in I\) y por inductividad \(S(x)\in I\); además, cada subconjunto inductivo \(J\subseteq I\) que contiene \(x\) contiene también \(S(x)\). Por tanto \(S(x)\in\omega_I\). ∎
Teorema 1.1.7 — Minimalidad
Si \(I\) es inductivo y \(J\) es cualquier conjunto inductivo, entonces
\[ \omega_I\subseteq J. \]
Demostración.
\(I\cap J\) es un subconjunto inductivo de \(I\). Por definición de \(\omega_I\), todo elemento de \(\omega_I\) pertenece a \(I\cap J\), y por tanto a \(J\). ∎
Teorema 1.1.8 — Independencia del conjunto inductivo inicial
Si \(I\) y \(J\) son inductivos, entonces
\[ \omega_I=\omega_J. \]
Demostración.
Como \(\omega_J\) es inductivo, la minimalidad da \(\omega_I\subseteq\omega_J\); intercambiando \(I\) y \(J\), \(\omega_J\subseteq\omega_I\). Aplicamos doble inclusión. ∎
La minimalidad muestra que \(\omega_I\) está contenido en todo conjunto inductivo; la independencia demuestra algo todavía más importante: el resultado no depende del conjunto \(I\) que usamos como ambiente inicial. Hemos obtenido, por tanto, un objeto canónico. Ya podemos retirar el subíndice auxiliar y reconocer en este conjunto el sistema de los naturales.
Notación 1.1.9 — \(\omega\) y \(\mathbb N\)
Glosario: \(\omega\) · números naturales
Denotamos por \(\omega\) el conjunto común \(\omega_I\) y definimos
\[ \boxed{\mathbb N:=\omega.} \]
Así \(0\in\mathbb N\), \(\mathbb N\) es inductivo y está contenido en todo conjunto inductivo.
Teorema 1.1.10 — Principio de inducción
Glosario: principio de inducción
Sea \(A\subseteq\mathbb N\). Si \(0\in A\) y \(n\in A\Rightarrow S(n)\in A\), entonces
\[ A=\mathbb N. \]
Equivalentemente, si una propiedad \(P\) satisface \(P(0)\) y \(P(n)\Rightarrow P(S(n))\), entonces vale para todo \(n\in\mathbb N\).
Demostración.
Las hipótesis hacen de \(A\) un conjunto inductivo. Por minimalidad \(\mathbb N\subseteq A\); junto con \(A\subseteq\mathbb N\), obtenemos igualdad. La versión para \(P\) se aplica a \(\{n\in\mathbb N:P(n)\}\). ∎
Con §1.1 queda construida canónicamente \(\mathbb N=\omega\) y demostrado el principio de inducción. La siguiente entrega será §1.2 — Estructura de los naturales y Peano, donde las propiedades de Peano aparecerán como teoremas de esta construcción, no como axiomas adicionales.
1.2. Estructura de los naturales y Peano
Hemos construido un conjunto; todavía debemos demostrar que se comporta como los números naturales. Ésta es una diferencia metodológica importante: las propiedades de Peano no se postulan aquí como axiomas de un sistema numérico abstracto, sino que deberán aparecer como teoremas de la construcción \(\mathbb N=\omega\).
Antes de reunir esas propiedades necesitamos comprender mejor la forma conjuntista de cada natural. En la representación de von Neumann, un natural contiene precisamente a sus predecesores; la noción de conjunto transitivo captura la estabilidad que hace posible esa interpretación.
Definición 1.2.1 — Conjunto transitivo
Glosario: conjunto transitivo
Un conjunto \(T\) es transitivo si
\[ x\in T\Rightarrow x\subseteq T. \]
Proposición 1.2.2 — Transitividad e irreflexividad
Para todo \(n\in\mathbb N\), \(n\) es transitivo y \(n\notin n\).
Demostración.
Inducimos sobre \(n\). El vacío es transitivo y \(0\notin0\). Supongamos \(n\) transitivo y \(n\notin n\). Si \(x\in S(n)\), entonces \(x\in n\) o \(x=n\); en ambos casos \(x\subseteq S(n)\), luego \(S(n)\) es transitivo. Si \(S(n)\in S(n)\), entonces \(S(n)=n\) o \(S(n)\in n\); en el primer caso \(n\in n\), y en el segundo la transitividad de \(n\) y \(n\in S(n)\) vuelven a dar \(n\in n\). Contradicción. ∎
Proposición 1.2.3 — Clausura por sucesor
Si \(n\in\mathbb N\), entonces \(S(n)\in\mathbb N\).
Demostración.
Es la clausura del conjunto inductivo \(\mathbb N\). ∎
Proposición 1.2.4 — El cero no es sucesor
Para todo \(n\in\mathbb N\), \(S(n)\neq0\).
Demostración.
\(n\in S(n)\), mientras que \(0=\varnothing\) no tiene elementos. ∎
Teorema 1.2.5 — Inyectividad del sucesor
Glosario: inyectividad
Para \(m,n\in\mathbb N\),
\[ S(m)=S(n)\Rightarrow m=n. \]
Demostración.
De \(m\in S(m)=S(n)\) se sigue \(m\in n\) o \(m=n\); simétricamente, \(n\in m\) o \(n=m\). Si \(m\neq n\), tendríamos \(m\in n\) y \(n\in m\). Como \(n\) es transitivo, \(m\subseteq n\), y entonces \(n\in m\) implica \(n\in n\), contradicción. ∎
Con la clausura por sucesor, la exclusión del cero como sucesor, la inyectividad de \(S\) y el principio de inducción ya podemos reunir el resultado estructural buscado. Lo que en una presentación axiomática sería el punto de partida aparece aquí como consecuencia de la construcción.
Teorema 1.2.6 — Propiedades de Peano
Glosario: propiedades de Peano
El sistema \((\mathbb N,0,S)\) satisface: \(0\in\mathbb N\); clausura por sucesor; cero no es sucesor; el sucesor es inyectivo; y el principio de inducción.
Demostración.
Cada una de las cinco afirmaciones ha sido demostrada en los resultados anteriores. ∎
Teorema 1.2.7 — Predecesor de todo natural no nulo
Glosario: predecesor
Para todo \(n\in\mathbb N\), o \(n=0\), o existe un único \(m\in\mathbb N\) tal que \(n=S(m)\).
Demostración.
La propiedad «\(n=0\) o \(n\) es sucesor de algún natural» es inductiva: vale en \(0\) y el sucesor de cualquier natural tiene como predecesor a ese natural. La unicidad se sigue de la inyectividad de \(S\). ∎
Notación 1.2.8 — Unidad natural
Glosario: uno
Definimos
\[ \boxed{1:=S(0).} \]
Con §1.2 las propiedades de Peano han quedado demostradas dentro de la construcción conjuntista de \(\mathbb N\). La siguiente entrega será §1.3 — Teorema de recursión, que justificará las definiciones paso a paso sobre los naturales antes de introducir la suma.
1.3. Teorema de recursión
La inducción permite demostrar propiedades de todos los naturales a partir de un caso inicial y un paso sucesor. La recursión cumple una función distinta y complementaria: permite definir objetos paso a paso a lo largo de \(\mathbb N\).
Antes de introducir las ecuaciones recursivas de la suma debemos justificar que una regla de ese tipo determina realmente una función sobre todos los naturales y que la determina de manera única. No basta, por tanto, con anunciar una receta iterativa.
La estrategia será finitaria en cada etapa:
\[ \text{fragmentos finitos} \longrightarrow \text{extensión} \longrightarrow \text{coherencia} \longrightarrow \text{función global}. \]
Primero construiremos soluciones sobre segmentos finitos \(S(n)\); después veremos que cada una se prolonga al paso siguiente; probaremos que dos aproximaciones coinciden donde sus dominios se solapan; finalmente reuniremos todos esos valores en un único grafo. Esta arquitectura hará visible, además, por qué no necesitamos escoger simultáneamente una aproximación para cada \(n\) y, por tanto, por qué no interviene el axioma de elección.
Definición 1.3.1 — Restricción de una función
Glosario: restricción de una función
Si \(f:A\to B\) y \(C\subseteq A\), la restricción de \(f\) a \(C\) es la aplicación
\[ f\upharpoonright C:C\to B \]
cuyo grafo es \(G_f\cap(C\times B)\).
Proposición 1.3.2 — Existencia y unicidad de la restricción
La regla anterior determina una única función \(f\upharpoonright C:C\to B\).
Demostración.
Para cada \(c\in C\subseteq A\), el grafo de \(f\) contiene un único par \(\langle c,b\rangle\) con \(b\in B\); la intersección con \(C\times B\) conserva exactamente esos pares. La definición de función y el criterio de igualdad de funciones dan existencia y unicidad. ∎
La restricción nos permite comparar una solución más larga con sus etapas anteriores. Introducimos ahora los fragmentos finitos que servirán como piezas de la construcción global.
Definición 1.3.3 — Aproximación finita de una recursión
Glosario: aproximación finita de una recursión
Sean \(X\) un conjunto, \(x_0\in X\), \(g:X\to X\) y \(n\in\mathbb N\). Una \(n\)-aproximación para \((X,x_0,g)\) es una función
\[ h:S(n)\to X \]
tal que
\[ h(0)=x_0 \]
y, para todo \(k\in\mathbb N\) con \(S(k)\in S(n)\),
\[ h(S(k))=g(h(k)). \]
Si \(S(k)\in S(n)\), la transitividad de \(S(n)\) y \(k\in S(k)\) garantizan que \(k\in S(n)\), por lo que \(h(k)\) está definido.
Lema 1.3.4 — Extensión de una aproximación
Si \(h:S(n)\to X\) es una \(n\)-aproximación, existe una única \((S(n))\)-aproximación
\[ h^+:S(S(n))\to X \]
que extiende a \(h\), y necesariamente
\[ h^+(S(n))=g(h(n)). \]
Demostración.
Por la Proposición 1.2.2, \(S(n)\notin S(n)\). Añadimos al grafo de \(h\) el único par nuevo
\[ \langle S(n),g(h(n))\rangle. \]
El resultado es un grafo funcional sobre
\[ S(S(n))=S(n)\cup\{S(n)\}. \]
Si \(S(k)\in S(S(n))\), o bien \(S(k)\in S(n)\) y rige la recursión anterior, o bien \(S(k)=S(n)\); por inyectividad del sucesor, \(k=n\), y rige la nueva igualdad. La unicidad queda forzada por la restricción previa y el valor en \(S(n)\). ∎
Teorema 1.3.5 — Existencia y unicidad de aproximaciones finitas
Para cada \(n\in\mathbb N\) existe una única \(n\)-aproximación para \((X,x_0,g)\).
Demostración.
Inducimos sobre \(n\). Para \(n=0\), \(S(0)=\{0\}\) y existe una única función que envía \(0\) a \(x_0\); la ecuación recursiva es vacía porque ningún sucesor es \(0\). En el paso inductivo, la existencia y unicidad de la extensión vienen del lema anterior. Cualquier otra aproximación en \(S(S(n))\), restringida a \(S(n)\), es la única \(n\)-aproximación y su valor nuevo está forzado por la recursión. ∎
Lema 1.3.6 — Coherencia de las aproximaciones
Sean \(h:S(n)\to X\) y \(q:S(m)\to X\) aproximaciones para los mismos datos. Si
\[ k\in S(n)\cap S(m), \]
entonces \(h(k)=q(k)\).
Demostración.
Inducimos sobre \(k\) la afirmación de que cualesquiera dos aproximaciones cuyos dominios contienen a \(k\) coinciden en \(k\). En \(0\) ambas toman \(x_0\). Si coinciden en \(k\) y ambos dominios contienen \(S(k)\), por transitividad contienen también a \(k\), y
\[ h(S(k))=g(h(k))=g(q(k))=q(S(k)). \]
∎
Ya tenemos las dos propiedades necesarias para ensamblar una función global: para cada longitud existe una única aproximación y todas las aproximaciones son compatibles entre sí. El paso final consiste en reunir los valores que esas aproximaciones asignan a cada natural.
Teorema 1.3.7 — Teorema de recursión sobre \(\mathbb N\)
Glosario: recursión
Sean \(X\) un conjunto, \(x_0\in X\) y \(g:X\to X\). Existe una única función
\[ f:\mathbb N\to X \]
tal que
\[ \boxed{f(0)=x_0} \]
y
\[ \boxed{f(S(n))=g(f(n))} \qquad(n\in\mathbb N). \]
Demostración.
Por existencia del producto cartesiano existe \(\mathbb N\times X\). Definimos por separación \(G\subseteq\mathbb N\times X\) declarando que
\[ \langle k,x\rangle\in G \]
si existe un \(n\in\mathbb N\) y una \(n\)-aproximación \(h:S(n)\to X\) con \(k\in S(n)\) y \(h(k)=x\).
Para cada \(k\), la \(k\)-aproximación existe y su dominio \(S(k)\) contiene a \(k\), de modo que existe un valor. La coherencia garantiza que dos aproximaciones cualesquiera que contengan a \(k\) le asignan el mismo valor. Por tanto \(G\) es el grafo de una función \(f:\mathbb N\to X\).
Toda aproximación toma \(x_0\) en \(0\), luego \(f(0)=x_0\). Para \(n\in\mathbb N\), la aproximación de índice \(S(n)\) contiene a \(n\) y a \(S(n)\), así que por coherencia y por su ecuación recursiva
\[ f(S(n))=g(f(n)). \]
Si \(f,q:\mathbb N\to X\) satisfacen ambas ecuaciones, el conjunto
\[ A=\{n\in\mathbb N:f(n)=q(n)\} \]
contiene \(0\) y es estable por sucesor; por inducción, \(A=\mathbb N\), y \(f=q\).
La construcción de \(G\) es definible por separación y no selecciona simultáneamente una aproximación para cada \(n\). No interviene elección. ∎
Corolario 1.3.8 — Recursión con parámetros
Glosario: recursión con parámetros
Sean \(P,X\) conjuntos, \(b:P\to X\) y \(r:P\times X\to X\). Existe una única función
\[ F:P\times\mathbb N\to X \]
tal que
\[ F(p,0)=b(p) \]
y
\[ F(p,S(n))=r(p,F(p,n)). \]
Demostración.
Para cada parámetro \(p\), el Teorema 1.3.7 da una única función recursiva \(f_p\). El grafo de \(F\) se define por separación en \((P\times\mathbb N)\times X\) mediante la fórmula «\(x\) es el valor en \(n\) de la única función recursiva asociada a \(p\)». La unicidad local garantiza funcionalidad y elimina cualquier necesidad de elección. ∎
Con §1.3 queda justificada rigurosamente la definición por recursión sobre \(\mathbb N\), incluida su versión con parámetros. La siguiente entrega será §1.4 — Suma de números naturales, donde este corolario producirá la operación \(+\colon\mathbb N\times\mathbb N\to\mathbb N\) antes de demostrar sus leyes algebraicas.
1.4. Suma de números naturales
Estamos finalmente en condiciones de definir una operación aritmética. Para un natural fijo \(m\), queremos comenzar en \(m\) y aplicar el sucesor tantas veces como indique el segundo argumento. La recursión produce exactamente esa función.
La definición será deliberadamente asimétrica: recursaremos sobre el segundo argumento. Nada nos autoriza todavía a intercambiar los dos argumentos. La futura conmutatividad será un teorema y no una propiedad introducida de contrabando en la definición.
Definición 1.4.1 — Adición
Glosario: adición natural
Por recursión con parámetros existe una única función
\[ +:\mathbb N\times\mathbb N\to\mathbb N. \]
Escribimos su valor como \(m+n\) y la caracterizamos por
\[ \boxed{m+0=m} \]
y
\[ \boxed{m+S(n)=S(m+n).} \]
La recursión se realiza en el segundo argumento.
Proposición 1.4.2 — Cero neutro por la izquierda
Para todo \(n\in\mathbb N\),
\[ 0+n=n. \]
Demostración.
Inducción: \(0+0=0\); si \(0+n=n\), entonces \(0+S(n)=S(0+n)=S(n)\). ∎
Lema 1.4.3 — Sucesor en el primer argumento
Para \(m,n\in\mathbb N\),
\[ S(m)+n=S(m+n). \]
Demostración.
Inducimos sobre \(n\). Para \(n=0\), \(S(m)+0=S(m)=S(m+0)\). Si \(S(m)+n=S(m+n)\), entonces
\[ S(m)+S(n)=S(S(m)+n)=S(S(m+n))=S(m+S(n)). \]
∎
Teorema 1.4.4 — Asociatividad de la suma
Glosario: asociatividad de la suma
Para \(a,b,c\in\mathbb N\),
\[ (a+b)+c=a+(b+c). \]
Demostración.
Inducción sobre \(c\). El caso \(0\) es la ecuación inicial. Si vale para \(c\),
\[ (a+b)+S(c)=S((a+b)+c)=S(a+(b+c))=a+S(b+c)=a+(b+S(c)). \]
∎
Teorema 1.4.5 — Conmutatividad de la suma
Glosario: conmutatividad de la suma
Para \(a,b\in\mathbb N\),
\[ a+b=b+a. \]
Demostración.
Fijamos \(a\) e inducimos sobre \(b\). Para \(b=0\), \(a+0=a=0+a\). Si \(a+b=b+a\),
\[ a+S(b)=S(a+b)=S(b+a)=S(b)+a, \]
por el Lema 1.4.3. ∎
Proposición 1.4.6 — Cancelación aditiva
Glosario: cancelación aditiva
Si
\[ a+c=b+c, \]
entonces \(a=b\).
Demostración.
Inducción sobre \(c\). Para \(c=0\), \(a+0=b+0\) es exactamente \(a=b\). Para \(S(c)\), la igualdad se convierte en \(S(a+c)=S(b+c)\); la inyectividad del sucesor reduce al caso inductivo. ∎
Proposición 1.4.7 — Suma nula
Glosario: suma nula
Para \(a,b\in\mathbb N\),
\[ a+b=0\iff a=0\text{ y }b=0. \]
Demostración.
Si \(b=S(k)\), entonces \(a+b=S(a+k)\neq0\). Luego \(b=0\); entonces \(a=a+b=0\). La recíproca es inmediata. ∎
1.5. Producto de números naturales
La multiplicación se construye con el mismo principio, pero ahora la etapa sucesora no aplica \(S\) directamente: añade una copia más del primer factor. Así, para \(m\) fijo, el producto por \(n\) se obtiene acumulando \(m\) mediante la suma ya construida.
De nuevo la definición recursiva distingue los dos argumentos. Las leyes de unidad, distributividad, asociatividad y conmutatividad deberán surgir después como consecuencias.
Definición 1.5.1 — Multiplicación
Glosario: multiplicación natural
Por recursión con parámetros existe una única función
\[ \cdot:\mathbb N\times\mathbb N\to\mathbb N. \]
Escribimos \(m\cdot n\) o, cuando no haya ambigüedad, \(mn\), y fijamos
\[ \boxed{m\cdot0=0} \]
y
\[ \boxed{m\cdot S(n)=m\cdot n+m.} \]
La recursión se realiza en el segundo argumento.
Proposición 1.5.2 — El cero absorbe por la izquierda
Para todo \(n\in\mathbb N\),
\[ 0\cdot n=0. \]
Demostración.
Inducción: \(0\cdot0=0\); si \(0\cdot n=0\), entonces \(0\cdot S(n)=0\cdot n+0=0\). ∎
Lema 1.5.3 — Sucesor en el primer argumento del producto
Para \(m,n\in\mathbb N\),
\[ S(m)\cdot n=m\cdot n+n. \]
Demostración.
Inducimos sobre \(n\). Para \(0\) ambos lados son \(0\). Supongamos la igualdad para \(n\). Entonces
\[ S(m)\cdot S(n)=(m\cdot n+n)+S(m). \]
Por asociatividad y conmutatividad de la suma,
\[ (m\cdot n+n)+S(m)=m\cdot n+(n+S(m)). \]
Además
\[ n+S(m)=S(n+m)=S(m+n)=m+S(n). \]
Luego
\[ S(m)\cdot S(n)=m\cdot n+(m+S(n))=(m\cdot n+m)+S(n)=m\cdot S(n)+S(n). \]
∎
Proposición 1.5.4 — Leyes de la unidad
Glosario: unidad multiplicativa
Para todo \(m\in\mathbb N\),
\[ m\cdot1=m, \qquad 1\cdot m=m. \]
Demostración.
Como \(1=S(0)\),
\[ m\cdot1=m\cdot0+m=0+m=m. \]
Y, por el Lema 1.5.3,
\[ 1\cdot m=S(0)\cdot m=0\cdot m+m=0+m=m. \]
∎
Teorema 1.5.5 — Distributividad en el segundo factor
Glosario: distributividad
Para \(m,n,p\in\mathbb N\),
\[ m(n+p)=mn+mp. \]
Demostración.
Inducimos sobre \(p\). Para \(p=0\), \(m(n+0)=mn=mn+0\). Si vale para \(p\),
\[ \begin{aligned} m(n+S(p)) &=mS(n+p)\\ &=m(n+p)+m\\ &=(mn+mp)+m\\ &=mn+(mp+m)\\ &=mn+mS(p). \end{aligned} \]
∎
Teorema 1.5.6 — Asociatividad del producto
Glosario: asociatividad del producto
Para \(a,b,c\in\mathbb N\),
\[ (ab)c=a(bc). \]
Demostración.
Inducción sobre \(c\). Para \(0\) ambos lados son \(0\). Si vale para \(c\),
\[ (ab)S(c)=(ab)c+ab=a(bc)+ab=a(bc+b)=a(bS(c)), \]
usando el Teorema 1.5.5. ∎
Teorema 1.5.7 — Conmutatividad del producto
Glosario: conmutatividad del producto
Para \(a,b\in\mathbb N\),
\[ ab=ba. \]
Demostración.
Inducimos sobre \(b\). Para \(0\), \(a0=0=0a\). Si \(ab=ba\),
\[ aS(b)=ab+a=ba+a=S(b)a, \]
por el Lema 1.5.3. ∎
Corolario 1.5.8 — Distributividad en ambos lados
Para \(a,b,c\in\mathbb N\),
\[ a(b+c)=ab+ac, \qquad (a+b)c=ac+bc. \]
Demostración.
La primera es el Teorema 1.5.5; para la segunda,
\[ (a+b)c=c(a+b)=ca+cb=ac+bc. \]
∎
Proposición 1.5.9 — Producto nulo
Glosario: producto nulo
Para \(a,b\in\mathbb N\),
\[ ab=0\iff a=0\text{ o }b=0. \]
Demostración.
Supongamos \(ab=0\). Si \(b=0\), terminamos. Si \(b=S(k)\), entonces
\[ 0=ab=ak+a, \]
por lo que la Proposición 1.4.7 — Suma nula da \(a=0\). La recíproca se sigue de las dos leyes absorbentes del cero. ∎
1.6. Orden natural
Una vez disponible la suma podemos expresar aritméticamente la idea de que un natural no supera a otro: \(m\) está antes que \(n\) si a \(m\) puede añadírsele algún natural para llegar a \(n\). Esta caracterización tiene la ventaja de no presuponer ningún orden previo sobre \(\mathbb N\).
Definiremos, pues, el orden mediante alcanzabilidad aditiva. Después habrá que demostrar que la relación obtenida es realmente un orden total y, sólo entonces, compararla con la estructura conjuntista de los ordinales de von Neumann.
Definición 1.6.1 — Orden aritmético
Glosario: orden natural · alcanzabilidad aditiva
Para \(m,n\in\mathbb N\), definimos
\[ \boxed{m\leq n\iff\exists k\in\mathbb N\;(n=m+k).} \]
El orden estricto conserva la convención global
\[ m<n\iff(m\leq n\text{ y }m\neq n). \]
Proposición 1.6.2 — Reflexividad y transitividad
La relación \(\leq\) es reflexiva y transitiva.
Demostración.
\(m=m+0\), luego \(m\leq m\). Si \(n=m+a\) y \(p=n+b\), entonces
\[ p=(m+a)+b=m+(a+b), \]
así que \(m\leq p\). ∎
Proposición 1.6.3 — Antisimetría
Si \(m\leq n\) y \(n\leq m\), entonces \(m=n\).
Demostración.
Sean \(n=m+a\) y \(m=n+b\). Entonces
\[ m=m+(a+b)=m+0. \]
Por conmutatividad y cancelación, \(a+b=0\); por la Proposición 1.4.7 — Suma nula, \(a=b=0\), y \(n=m\). ∎
Teorema 1.6.4 — Totalidad
Glosario: totalidad (conexidad)
Para cualesquiera \(m,n\in\mathbb N\),
\[ m\leq n\quad\text{o}\quad n\leq m. \]
Demostración.
Inducimos sobre \(n\) la comparabilidad con todo \(m\). Para \(n=0\), \(m=0+m\), luego \(0\leq m\).
Supongamos la comparabilidad con \(n\). Si \(m\leq n\), \(n=m+k\) y
\[ S(n)=S(m+k)=m+S(k), \]
por lo que \(m\leq S(n)\).
Si \(n\leq m\), escribimos \(m=n+k\). Si \(k=0\), entonces \(m=n\) y \(m\leq S(n)\) porque \(S(n)=n+1\). Si \(k\neq0\), el Teorema 1.2.7 — Predecesor de todo natural no nulo da \(k=S(r)\), y
\[ m=n+S(r)=S(n+r)=S(n)+r, \]
por el Lema 1.4.3 — Sucesor en el primer argumento; así \(S(n)\leq m\). ∎
Teorema 1.6.5 — Orden total
Glosario: orden total
La relación \(\leq\) es un orden total sobre \(\mathbb N\).
Demostración.
La reflexividad y la transitividad son la Proposición 1.6.2; la antisimetría es la Proposición 1.6.3; la totalidad es el Teorema 1.6.4. Son exactamente las condiciones de la definición de orden total establecida en el Capítulo 0. ∎
Proposición 1.6.6 — Compatibilidad con la suma
Si \(a\leq b\), entonces \(a+c\leq b+c\). Si \(a<b\), entonces \(a+c<b+c\).
Demostración.
Si \(b=a+k\), entonces
\[ b+c=(a+k)+c=(a+c)+k. \]
Si además \(a<b\) y \(a+c=b+c\), la Proposición 1.4.6 — Cancelación aditiva daría \(a=b\). ∎
Proposición 1.6.7 — Compatibilidad con el producto
Si \(a\leq b\), entonces \(ac\leq bc\) para todo \(c\). Si \(a<b\) y \(c\neq0\), entonces \(ac<bc\).
Demostración.
Si \(b=a+k\), entonces
\[ bc=(a+k)c=ac+kc, \]
luego \(ac\leq bc\). Si \(a<b\), el testigo \(k\) no es \(0\); si además \(c\neq0\), la Proposición 1.5.9 — Producto nulo garantiza \(kc\neq0\). La igualdad \(ac=bc=ac+kc\) contradice la Proposición 1.4.6 — Cancelación aditiva. ∎
Hasta aquí el orden ha sido puramente aritmético: se definió en términos de suma. Pero cada natural es también un conjunto. Podemos preguntar ahora si ambas estructuras —la aritmética y la conjuntista— están relacionadas. La respuesta será más fuerte que una mera compatibilidad: son dos expresiones del mismo orden.
Proposición 1.6.8 — El orden coincide con la inclusión
Para \(m,n\in\mathbb N\),
\[ \boxed{m\leq n\iff m\subseteq n.} \]
Demostración.
Si \(m\leq n\), escribimos \(n=m+k\) e inducimos sobre \(k\) para demostrar \(m\subseteq m+k\): el caso \(0\) es igualdad y, si \(m\subseteq m+k\), entonces
\[ m\subseteq m+k\subseteq S(m+k)=m+S(k). \]
Recíprocamente, supongamos \(m\subseteq n\). Por totalidad, \(m\leq n\) o \(n\leq m\). En el segundo caso, la implicación ya demostrada da \(n\subseteq m\); por doble inclusión \(m=n\), y entonces \(m\leq n\). ∎
Corolario 1.6.9 — Inclusión propia y orden estricto
Para \(m,n\in\mathbb N\),
\[ m<n\iff m\subsetneq n. \]
Demostración.
Se combinan la definición de \(<\) con la Proposición 1.6.8. ∎
Lema 1.6.10 — Incremento positivo
Para \(m,k\in\mathbb N\),
\[ m\in m+S(k). \]
Demostración.
Inducción sobre \(k\). Para \(0\), \(m+S(0)=S(m)\) contiene a \(m\). Si \(m\in m+S(k)\), entonces también
\[ m\in S(m+S(k))=m+S(S(k)). \]
∎
La inclusión propia traduce ya el orden estricto. En los naturales de von Neumann podemos afinar todavía más: como cada natural es el conjunto de sus predecesores, «ser estrictamente menor» deberá equivaler a pertenecer al otro natural.
Teorema 1.6.11 — Orden estricto y pertenencia
Glosario: orden estricto
Para \(m,n\in\mathbb N\),
\[ \boxed{m<n\iff m\in n.} \]
Demostración.
Si \(m\in n\), la transitividad de \(n\) da \(m\subseteq n\), y \(m\neq n\) porque \(n\notin n\); luego \(m\subsetneq n\) y el Corolario 1.6.9 da \(m<n\).
Si \(m<n\), escribimos \(n=m+k\). Como \(m\neq n\), \(k\neq0\), y por el Teorema 1.2.7 — Predecesor de todo natural no nulo, \(k=S(r)\). Entonces
\[ n=m+S(r), \]
y el Lema 1.6.10 da \(m\in n\). ∎
Interpretación estructural. Hemos llegado a una coincidencia característica de la representación de von Neumann:
\[ m<n\iff m\in n, \qquad m\leq n\iff m\subseteq n. \]
El orden que construimos aritméticamente mediante la suma estaba ya inscrito en la arquitectura conjuntista de \(\omega\). No son dos órdenes diferentes que casualmente sean compatibles: sobre \(\mathbb N\) son la misma estructura vista desde dos lenguajes.
Teorema 1.6.12 — Principio de buen orden
Glosario: buen orden
Todo subconjunto no vacío \(A\subseteq\mathbb N\) tiene un elemento mínimo.
Demostración.
Primero inducimos sobre \(n\) la afirmación: «todo subconjunto no vacío de \(S(n)\) tiene mínimo».
Para \(n=0\), \(S(0)=\{0\}\); su único subconjunto no vacío es \(\{0\}\), cuyo mínimo es \(0\). Supongamos el resultado para \(S(n)\) y sea \(B\subseteq S(S(n))\) no vacío. Si \(B\cap S(n)\) es no vacío, tiene mínimo \(b\) por hipótesis inductiva; cualquier elemento adicional de \(B\) sólo puede ser \(S(n)\), y como \(b\in S(n)\), el Teorema 1.6.11 da \(b<S(n)\). Si \(B\cap S(n)=\varnothing\), necesariamente \(B=\{S(n)\}\).
Ahora sea \(A\subseteq\mathbb N\) no vacío y tome un testigo \(n\in A\). El conjunto \(A\cap S(n)\) es no vacío porque \(n\in S(n)\), y por lo anterior tiene mínimo \(b\). Para \(x\in A\), la totalidad da \(x\leq n\) o \(n\leq x\). En el primer caso \(x\in S(n)\), así \(b\leq x\); en el segundo, \(b\leq n\leq x\). Por tanto \(b\) es mínimo de \(A\). ∎
Corolario 1.6.13 — Inducción fuerte
Glosario: inducción fuerte
Si para todo \(n\in\mathbb N\)
\[ [\forall m<n,\ P(m)]\Rightarrow P(n), \]
entonces \(P(n)\) vale para todo \(n\in\mathbb N\).
Demostración.
Si el conjunto \(C=\{n\in\mathbb N:\neg P(n)\}\) fuera no vacío, tendría un mínimo \(c\). Todo \(m<c\) estaría fuera de \(C\), luego satisfaría \(P(m)\); la hipótesis daría \(P(c)\), contradicción. ∎
1.7. Balance estructural
Quedan construidos y demostrados:
\[ \boxed{\mathbb N=\omega}, \]
junto con los objetos \(0\), \(1\), el sucesor \(S\), la suma, el producto y el orden total bien ordenado de los naturales.
Las operaciones satisfacen las leyes algebraicas fundamentales ya establecidas. En particular,
\[ (a+b)+c=a+(b+c), \qquad a+b=b+a, \]
\[ (ab)c=a(bc), \qquad ab=ba, \]
y
\[ a(b+c)=ab+ac. \]
El orden, construido aritméticamente mediante la suma, admite además las caracterizaciones
\[ \boxed{ m\leq n \iff \exists k\in\mathbb N\;(n=m+k) \iff m\subseteq n } \]
mientras que el orden estricto coincide con la pertenencia:
\[ \boxed{m<n\iff m\in n.} \]
La construcción concreta y su estructura aritmética han quedado separadas con claridad: primero se obtiene el objeto conjuntista; después se demuestran las leyes que permiten tratarlo como sistema numérico.
Este orden de exposición será importante en lo que sigue. Al construir \(\mathbb Z\) ya no podremos identificar sin más un nuevo sistema numérico con un subconjunto previamente disponible. Tendremos que producirlo mediante clases de equivalencia y demostrar otra vez que las operaciones y el orden descienden correctamente al nuevo conjunto. El Capítulo 1 proporciona exactamente la aritmética natural que esa construcción necesitará.
1.8. Notas bibliográficas
Este capítulo no importa ningún teorema externo. Las demostraciones son propias.
- Landau funciona como referencia de disciplina deductiva para la aritmética elemental.
- Tao sirve como contraste para Peano, inducción, recursión y el paso de la recursión a suma y producto.
- Garling permanece como referencia de continuidad entre fundamentos y análisis real.
El tratamiento de Tao explicita que las definiciones recursivas preceden a suma y multiplicación y que las leyes algebraicas deben demostrarse después; nuestro tratado adopta esa disciplina, pero reemplaza su punto de partida axiomático en \(\mathbb N\) por la construcción concreta \(\mathbb N=\omega\) dentro de ZF y desarrolla formalmente la existencia de la recursión.
1.9. Hacia los números enteros
Los naturales ya proporcionan un sistema aritmético suficiente para contar, sumar y multiplicar, pero todavía existe una operación elemental que no siempre puede realizarse dentro de \(\mathbb N\): la sustracción.
El capítulo siguiente resolverá esa limitación sin introducir números negativos por decreto. Representaremos diferencias mediante pares de naturales, identificaremos los pares que expresan una misma diferencia y formaremos el cociente correspondiente. De este modo aparecerá \(\mathbb Z\) como una construcción nueva, junto con una incrustación canónica de \(\mathbb N\) que permitirá reconocer dentro de los enteros la aritmética ya construida.
La transición será, por tanto,
\[ \mathbb N \longrightarrow \mathbb N\times\mathbb N \longrightarrow \text{diferencias formales} \longrightarrow \mathbb Z. \]
Con §1.9 queda completo el Capítulo 1 — Los números naturales. El siguiente capítulo construirá \(\mathbb Z\) a partir de pares de naturales y clases de equivalencia, sin presuponer una operación de resta que todavía no ha sido construida.