Tratado de análisis — Capítulo 10 — Completitud del cuerpo de Cauchy
Capítulo 10 — Completitud del cuerpo de Cauchy
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Parte I — Fundamentos y construcción de los números reales
10.1. Sucesiones de Cauchy en \(\mathbb R_C\)
Como \(\mathbb R_C\) es un conjunto, el conjunto de funciones
\[ \mathbb R_C^{\mathbb N} \]
existe por la construcción general de conjuntos de funciones. Sus elementos serán las sucesiones de reales de Cauchy. Además, Teorema 9.10.3 — \(\mathbb R_C\) es un cuerpo ordenado permite aplicar a \(\mathbb R_C\) la definición general de valor absoluto de un cuerpo ordenado (Definición 4.2.1 — Valor absoluto).
Definición 10.1.1 — Sucesión de Cauchy en \(\mathbb R_C\)
Sea
\[ x=(x_n)_{n\in\mathbb N}\in\mathbb R_C^{\mathbb N}. \]
Diremos que \(x\) es una sucesión de Cauchy en \(\mathbb R_C\) si
\[ \boxed{ \forall\varepsilon\in\mathbb R_C\; \Bigl( 0_C<_C\varepsilon \Longrightarrow \exists N\in\mathbb N\; \forall m,n\in\mathbb N\; \bigl( N\le m\land N\le n \Longrightarrow |x_m-x_n|<_C\varepsilon \bigr) \Bigr). } \]
La definición es enteramente interna al cuerpo ordenado \(\mathbb R_C\). En particular, no se ha escogido ninguna sucesión racional representante de ninguno de los términos \(x_n\).
Conviene observar también que la tolerancia \(\varepsilon\) pertenece aquí a \(\mathbb R_C\). Todavía no hemos demostrado completitud ni densidad de la copia racional; por tanto, no sustituiremos esa cuantificación por una cuantificación racional sin una prueba previa.
Lema 10.1.2 — Escalas racionales positivas dentro de toda escala positiva de \(\mathbb R_C\)
Para todo \(\varepsilon\in\mathbb R_C\) con
\[ 0_C<_C\varepsilon, \]
existe \(q\in\mathbb Q\) tal que
\[ \boxed{ 0<q \qquad\text{y}\qquad 0_C<_C\iota_C(q)<_C\varepsilon. } \]
Demostración.
Fijemos \(\varepsilon\in\mathbb R_C\) con \(0_C<_C\varepsilon\). Por Proposición 9.4.4 — Representantes y criterio de igualdad de clases de Cauchy, existe un representante
\[ a\in\mathcal C_{\mathbb Q} \]
tal que
\[ \varepsilon=[a]_C. \]
Esta elección es local: corresponde a un único elemento \(\varepsilon\) ya fijado.
Por Definición 9.6.1 — Cero y unidad de Cauchy,
\[ 0_C=[\underline{0_{\mathbb Q}}]_C. \]
Aplicamos Proposición 9.8.6 — Criterio de separación eventual para el orden estricto a
\[ [\underline{0_{\mathbb Q}}]_C <_C [a]_C. \]
Existen entonces \(\delta\in\mathbb Q\) y \(N\in\mathbb N\) tales que
\[ 0<\delta \]
y, para todo \(n\ge N\),
\[ 0_{\mathbb Q}+\delta<a_n. \]
Por la ley del cero,
\[ \delta<a_n \qquad(n\ge N). \]
Pongamos
\[ s:=1_{\mathbb Q}+1_{\mathbb Q} \]
y definamos
\[ q:=\frac{\delta}{s}. \]
Como \(0<1_{\mathbb Q}\), se tiene \(0<s\). La positividad del inverso y del producto en el cuerpo ordenado racional implica
\[ 0<q. \]
Además, por las leyes del cuerpo racional y la ley del inverso,
\[ q+q=\delta. \]
La sucesión constante \(\underline q\) pertenece a \(\mathcal C_{\mathbb Q}\) por Proposición 8.4.4 — Las sucesiones constantes son de Cauchy. Para todo \(n\ge N\) tenemos
\[ \underline q_n+q =q+q =\delta <a_n. \]
Como \(q>0\), otra aplicación de Proposición 9.8.6 — Criterio de separación eventual para el orden estricto produce
\[ [\underline q]_C<_C[a]_C. \]
Por la definición de \(\iota_C\),
\[ [\underline q]_C=\iota_C(q), \]
y por tanto
\[ \iota_C(q)<_C\varepsilon. \]
Finalmente, Proposición 9.9.5 — Preservación y reflexión del orden racional preserva el orden estricto racional. Como
\[ 0_{\mathbb Q}<q, \]
se obtiene
\[ \iota_C(0_{\mathbb Q})<_C\iota_C(q). \]
Por Proposición 9.9.3 — Preservación de la aritmética racional,
\[ \iota_C(0_{\mathbb Q})=0_C. \]
Luego
\[ 0_C<_C\iota_C(q)<_C\varepsilon. \]
∎
El lema no afirma todavía que \(\iota_C[\mathbb Q]\) sea denso en todo \(\mathbb R_C\). Afirma exactamente lo que necesitamos en este punto: los racionales positivos incrustados forman una familia de escalas suficientemente pequeñas alrededor de cero.
Proposición 10.1.3 — Criterio racional para las sucesiones de Cauchy en \(\mathbb R_C\)
Sea
\[ x=(x_n)_{n\in\mathbb N}\in\mathbb R_C^{\mathbb N}. \]
Son equivalentes:
- \(x\) es una sucesión de Cauchy en \(\mathbb R_C\);
- para todo \(q\in\mathbb Q\) con \(0<q\), existe \(N\in\mathbb N\) tal que, para todos \(m,n\in\mathbb N\),
\[ N\le m\land N\le n \Longrightarrow |x_m-x_n|<_C\iota_C(q). \]
En forma compacta,
\[ \boxed{ x\text{ es de Cauchy en }\mathbb R_C \iff \forall q\in\mathbb Q\; \Bigl( 0<q \Longrightarrow \exists N\in\mathbb N\; \forall m,n\ge N, \ |x_m-x_n|<_C\iota_C(q) \Bigr). } \]
Demostración.
Supongamos primero que \(x\) es de Cauchy en \(\mathbb R_C\). Sea \(q\in\mathbb Q\) con \(0<q\). Por Proposición 9.9.5 — Preservación y reflexión del orden racional y Proposición 9.9.3 — Preservación de la aritmética racional,
\[ 0_C<_C\iota_C(q). \]
Aplicando Definición 10.1.1 — Sucesión de Cauchy en \(\mathbb R_C\) a la tolerancia
\[ \varepsilon:=\iota_C(q), \]
obtenemos \(N\in\mathbb N\) tal que
\[ N\le m\land N\le n \Longrightarrow |x_m-x_n|<_C\iota_C(q). \]
Esto prueba \(2\).
Recíprocamente, supongamos \(2\). Sea \(\varepsilon\in\mathbb R_C\) con
\[ 0_C<_C\varepsilon. \]
Por Lema 10.1.2 — Escalas racionales positivas dentro de toda escala positiva de \(\mathbb R_C\), existe \(q\in\mathbb Q\) con
\[ 0<q \]
y
\[ 0_C<_C\iota_C(q)<_C\varepsilon. \]
Aplicando \(2\) a este \(q\), existe \(N\in\mathbb N\) tal que, para \(m,n\ge N\),
\[ |x_m-x_n|<_C\iota_C(q). \]
Por transitividad del orden estricto,
\[ |x_m-x_n|<_C\varepsilon. \]
Como \(\varepsilon>_C0_C\) era arbitraria, Definición 10.1.1 — Sucesión de Cauchy en \(\mathbb R_C\) muestra que \(x\) es de Cauchy en \(\mathbb R_C\).
∎
La proposición permite trabajar desde ahora con tolerancias racionales positivas sin modificar la noción intrínseca de Cauchy en \(\mathbb R_C\). Éste es el puente exacto que necesitaremos para la construcción de aproximantes racionales.
10.2. Aproximantes racionales y política de elección
La equivalencia de §10.1 permite medir la condición de Cauchy mediante escalas racionales, pero todavía no nos entrega una sucesión racional concreta que pueda diagonalizarse.
Hay una dificultad fundacional que no debemos ocultar. Para cada término
\[ x_n\in\mathbb R_C \]
podríamos afirmar que existe una sucesión racional de Cauchy que lo representa. Sin embargo, escoger simultáneamente un representante para cada \(x_n\) sería una elección numerable de elementos de clases de equivalencia. El argumento usual de manual suele efectuar esa selección sin comentarla; aquí no lo haremos.
La estrategia será distinta:
- construir una enumeración fija y definible de \(\mathbb Q\);
- demostrar que todo \(x\in\mathbb R_C\) admite racionales arbitrariamente próximos;
- entre todos los racionales suficientemente próximos, escoger el primero que aparece en la enumeración fijada.
El buen orden de \(\mathbb N\) convertirá así una existencia local en una función canónica, sin utilizar ningún principio de elección.
Definición 10.2.1 — Código natural de pares
Definimos
\[ \kappa_2: \mathbb N\times\mathbb N \longrightarrow \mathbb N \]
por
\[ \boxed{ \kappa_2(a,b) = (a+b)(a+b)+a. } \]
No pretendemos que \(\kappa_2\) recorra consecutivamente todos los naturales. Sólo necesitamos que pares distintos reciban códigos distintos.
Lema 10.2.2 — Inyectividad del código de pares
La función \(\kappa_2\) es inyectiva.
Demostración.
Supongamos
\[ \kappa_2(a,b)=\kappa_2(c,d). \]
Pongamos
\[ s:=a+b, \qquad t:=c+d. \]
Como \(a\le s\), la compatibilidad del orden natural con la suma da
\[ s\cdot s+a\le s\cdot s+s. \]
Análogamente,
\[ t\cdot t\le t\cdot t+c. \]
Afirmamos que \(s<t\) implicaría
\[ \kappa_2(a,b)<\kappa_2(c,d). \]
En efecto, la caracterización aritmética del orden natural, junto con la existencia de predecesor para todo natural no nulo, da
\[ s<t \Longrightarrow S(s)\le t. \]
Por compatibilidad del orden con el producto,
\[ S(s)\cdot S(s)\le t\cdot t. \]
Por las leyes de sucesor, producto y suma,
\[ s\cdot s+s<S(s)\cdot S(s). \]
Por tanto
\[ \kappa_2(a,b) = s\cdot s+a \le s\cdot s+s < S(s)\cdot S(s) \le t\cdot t \le t\cdot t+c = \kappa_2(c,d), \]
contradicción con la igualdad supuesta.
El caso \(t<s\) produce simétricamente la contradicción opuesta. Como el orden de \(\mathbb N\) es total,
\[ s=t. \]
La igualdad de códigos se reduce entonces a
\[ s\cdot s+a=s\cdot s+c. \]
Por cancelación aditiva,
\[ a=c. \]
Finalmente,
\[ a+b=c+d \]
y \(a=c\), de modo que una segunda cancelación da
\[ b=d. \]
Luego
\[ (a,b)=(c,d), \]
y \(\kappa_2\) es inyectiva. ∎
Definición 10.2.3 — Decodificador canónico de pares
Definimos
\[ d_2: \mathbb N \longrightarrow \mathbb N\times\mathbb N \]
por la regla
\[ \boxed{ d_2(n) = \begin{cases} (a,b), & \text{si existe }(a,b)\in\mathbb N\times\mathbb N \text{ con }\kappa_2(a,b)=n, \\[1mm] (0,0), & \text{si no existe tal par}. \end{cases} } \]
La primera rama determina a lo sumo un par por Lema 10.2.2 — Inyectividad del código de pares; la segunda determina explícitamente el valor cuando \(n\) no es código de ningún par. El grafo de \(d_2\) se obtiene por separación, de modo que \(d_2\) es una función total y definible.
Proposición 10.2.4 — Sobreyectividad del decodificador
La función
\[ d_2:\mathbb N\to\mathbb N\times\mathbb N \]
es sobreyectiva.
Demostración.
Sea \((a,b)\in\mathbb N\times\mathbb N\). Consideremos el natural
\[ n:=\kappa_2(a,b). \]
Por definición, existe un par cuyo código es \(n\), a saber \((a,b)\). La primera rama de Definición 10.2.3 — Decodificador canónico de pares se aplica, y la unicidad garantizada por Lema 10.2.2 — Inyectividad del código de pares da
\[ d_2(n)=(a,b). \]
Todo par natural aparece, por tanto, como valor de \(d_2\). ∎
Nota. \(d_2\) puede repetir el par \((0,0)\) en los naturales que no son códigos. Esto es irrelevante: lo que necesitaremos es sobreyectividad, no biyectividad.
Definición 10.2.5 — Enumeración racional canónica
A partir de \(d_2\) construiremos una función fija
\[ e_{\mathbb Q}:\mathbb N\to\mathbb Q. \]
Primero definimos una enumeración auxiliar de los enteros. Si
\[ d_2(n)=(a,b), \]
ponemos
\[ \zeta(n):=[(a,b)]_{\mathbb Z}. \]
Definimos además un denominador seguro
\[ \widehat\zeta(n) := \begin{cases} \zeta(n),&\text{si }\zeta(n)\neq0_{\mathbb Z}, \\ 1_{\mathbb Z},&\text{si }\zeta(n)=0_{\mathbb Z}. \end{cases} \]
Como \(d_2\) es una función y cada par determina una única clase entera, \(\zeta\) es una función \(\mathbb N\to\mathbb Z\). Por Proposición 2.8.2 — \(0_{\mathbb Z}\neq1_{\mathbb Z}\),
\[ 1_{\mathbb Z}\neq0_{\mathbb Z}, \]
así que
\[ \widehat\zeta(n)\in\mathbb Z_{\neq0} \]
para todo \(n\).
Finalmente, si
\[ d_2(n)=(i,j), \]
definimos
\[ \boxed{ e_{\mathbb Q}(n) := \frac{\zeta(i)}{\widehat\zeta(j)}. } \]
La fracción de la derecha es una clase racional legítima porque su denominador entero es no nulo.
Esta función queda fijada desde ahora para todo el tratado. La palabra enumeración se usa en el sentido de aplicación sobreyectiva; no se exige ausencia de repeticiones.
Proposición 10.2.6 — La enumeración racional es sobreyectiva
La función
\[ e_{\mathbb Q}:\mathbb N\to\mathbb Q \]
es sobreyectiva.
Demostración.
Primero observemos que
\[ \zeta:\mathbb N\to\mathbb Z \]
es sobreyectiva. Sea \(z\in\mathbb Z\). Por definición de \(\mathbb Z\) como cociente existe \((a,b)\in\mathbb N\times\mathbb N\) tal que
\[ z=[(a,b)]_{\mathbb Z}. \]
Por Proposición 10.2.4 — Sobreyectividad del decodificador, existe \(i\in\mathbb N\) con
\[ d_2(i)=(a,b). \]
Entonces
\[ \zeta(i)=z. \]
Sea ahora \(q\in\mathbb Q\). Como
\[ \mathbb Q = D_{\mathbb Q}/{\sim_{\mathbb Q}}, \]
existe un representante
\[ (z,w)\in D_{\mathbb Q} = \mathbb Z\times\mathbb Z_{\neq0} \]
tal que
\[ q=\frac zw. \]
Por la sobreyectividad de \(\zeta\) existen \(i,j\in\mathbb N\) con
\[ \zeta(i)=z, \qquad \zeta(j)=w. \]
Como \(w\neq0_{\mathbb Z}\),
\[ \widehat\zeta(j)=w. \]
Por la sobreyectividad de \(d_2\), existe \(n\in\mathbb N\) tal que
\[ d_2(n)=(i,j). \]
Por definición de \(e_{\mathbb Q}\),
\[ e_{\mathbb Q}(n) = \frac{\zeta(i)}{\widehat\zeta(j)} = \frac zw = q. \]
Así todo racional aparece en la enumeración. ∎
Proposición 10.2.7 — Aproximación racional de todo real de Cauchy
Para todo \(x\in\mathbb R_C\) y todo \(\eta\in\mathbb Q\) con \(0<\eta\), existe \(q\in\mathbb Q\) tal que
\[ \boxed{ |x-\iota_C(q)| <_C \iota_C(\eta). } \]
Demostración.
Fijemos \(x\in\mathbb R_C\) y \(\eta\in\mathbb Q\) con \(0<\eta\).
Por Proposición 9.4.4 — Representantes y criterio de igualdad de clases de Cauchy, existe un representante
\[ a=(a_n)_{n\in\mathbb N}\in\mathcal C_{\mathbb Q} \]
tal que
\[ x=[a]_C. \]
Esta elección es local y sólo se usa para demostrar existencia.
Pongamos
\[ s:=1_{\mathbb Q}+1_{\mathbb Q}, \]
\[ \rho:=\frac{\eta}{s}, \qquad \delta:=\frac{\rho}{s}. \]
Por las propiedades del cuerpo ordenado racional,
\[ 0<\delta<\rho<\eta \]
y
\[ \rho+\rho=\eta. \]
Como \(a\) es de Cauchy, aplicando Proposición 8.4.3 — Formulaciones equivalentes de la condición de Cauchy a la tolerancia \(\rho\) existe \(N\in\mathbb N\) tal que, para todo \(n\ge N\),
\[ |a_n-a_N|<\rho. \]
Definamos
\[ q:=a_N\in\mathbb Q. \]
Sea
\[ y:=x-\iota_C(q). \]
Las operaciones inducidas y la definición de \(\iota_C\) dan
\[ y=[a-\underline q]_C. \]
Para \(n\ge N\), Proposición 8.2.3 — Caracterización \(\varepsilon\)-local de la distancia racional transforma
\[ |a_n-q|<\rho \]
en
\[ -\rho<a_n-q<\rho. \]
Como \(\delta<\rho\) y \(\rho+\rho=\eta\),
\[ \rho+\delta < \rho+\rho = \eta. \]
Por tanto, para todo \(n\ge N\),
\[ (a_n-q)+\delta < \rho+\delta < \eta. \]
El criterio de separación eventual Proposición 9.8.6 — Criterio de separación eventual para el orden estricto, aplicado a los representantes \(a-\underline q\) y \(\underline\eta\), produce
\[ y<_C\iota_C(\eta). \]
Del otro lado, usando nuevamente \(\delta<\rho\) y \(\eta=\rho+\rho\),
\[ -\eta+\delta = -(\rho+\rho)+\delta < -(\rho+\rho)+\rho = -\rho. \]
Por tanto,
\[ -\eta+\delta<-\rho<a_n-q \]
para todo \(n\ge N\). Aplicando nuevamente Proposición 9.8.6 — Criterio de separación eventual para el orden estricto, ahora a \(\underline{-\eta}\) y \(a-\underline q\), obtenemos
\[ \iota_C(-\eta)<_C y. \]
Por preservación de opuestos,
\[ \iota_C(-\eta) = -\iota_C(\eta). \]
En consecuencia,
\[ -\iota_C(\eta) <_C y <_C \iota_C(\eta). \]
Además,
\[ 0_C<_C\iota_C(\eta) \]
por Proposición 9.9.5 — Preservación y reflexión del orden racional. Si \(0_C\le_C y\), la definición del valor absoluto da \(|y|=y\); si \(y<_C0_C\), entonces \(|y|=-y\), y la desigualdad izquierda anterior, al tomar opuestos, da nuevamente \(|y|<_C\iota_C(\eta)\).
Así, en ambos casos,
\[ |y|<_C\iota_C(\eta), \]
es decir,
\[ |x-\iota_C(q)| <_C \iota_C(\eta). \]
∎
El resultado anterior establece la densidad que necesitamos en forma operativa. La siguiente definición es la que elimina el posible uso de elección cuando debamos aproximar una sucesión entera de reales de Cauchy.
Definición 10.2.8 — Selector canónico de aproximantes racionales
Para \(x\in\mathbb R_C\) y \(\eta\in\mathbb Q\) definimos
\[ I(x,\eta) := \left\{ n\in\mathbb N: 0<\eta \ \land\\ \left| x-\iota_C(e_{\mathbb Q}(n)) \right| <_C \iota_C(\eta) \right\}. \]
Si \(0<\eta\), Proposición 10.2.7 — Aproximación racional de todo real de Cauchy proporciona algún racional suficientemente próximo a \(x\), y Proposición 10.2.6 — La enumeración racional es sobreyectiva garantiza que ese racional aparece como \(e_{\mathbb Q}(n)\) para algún \(n\). Por tanto,
\[ I(x,\eta)\neq\varnothing. \]
El principio de buen orden Teorema 1.6.13 — Principio de buen orden proporciona entonces un único mínimo
\[ \mu(x,\eta):=\min I(x,\eta). \]
Definimos la función
\[ A_C: \mathbb R_C\times\mathbb Q \longrightarrow \mathbb Q \]
por
\[ \boxed{ A_C(x,\eta) = \begin{cases} e_{\mathbb Q}(\mu(x,\eta)), & \text{si }0<\eta, \\[1mm] 0_{\mathbb Q}, & \text{si }\eta\le0. \end{cases} } \]
La segunda rama sólo hace total la función. En todas las aplicaciones analíticas posteriores la tolerancia será positiva.
La importancia fundacional de esta definición es que \(A_C(x,\eta)\) no es «un racional escogido» entre muchos: es el racional determinado por el menor índice natural que satisface la condición de aproximación.
Advertencia fundacional. La unicidad del mínimo elimina cualquier uso de Choice, pero el predicado \(n\in I(x,\eta)\) no es decidible para un real de Cauchy extensional arbitrario. Por tanto, \[ \boxed{ \text{selector canónico} \neq \text{selector computable en general}. } \] \(A_C\) resuelve el problema de selección simultánea en ZF clásico; no convierte una clase de Cauchy arbitraria en un objeto algorítmico.
Proposición 10.2.9 — Corrección y selección simultánea sin Choice
Se cumplen las siguientes propiedades.
Si \(x\in\mathbb R_C\) y \(\eta\in\mathbb Q\) con \(0<\eta\), entonces
\[ \boxed{ \left| x-\iota_C(A_C(x,\eta)) \right| <_C \iota_C(\eta). } \]
Si
\[ x:\mathbb N\to\mathbb R_C \]
y
\[ \eta:\mathbb N\to\mathbb Q \]
satisfacen
\[ 0<\eta_n \qquad \text{para todo }n\in\mathbb N, \]
entonces la fórmula
\[ \boxed{ q_n:=A_C(x_n,\eta_n) } \]
determina una función
\[ q:\mathbb N\to\mathbb Q \]
y, para todo \(n\),
\[ \left| x_n-\iota_C(q_n) \right| <_C \iota_C(\eta_n). \]
Demostración.
Sea primero \(0<\eta\). Por definición,
\[ \mu(x,\eta)\in I(x,\eta). \]
Por la propia condición que define \(I(x,\eta)\),
\[ \left| x-\iota_C(e_{\mathbb Q}(\mu(x,\eta))) \right| <_C \iota_C(\eta). \]
Como
\[ A_C(x,\eta) = e_{\mathbb Q}(\mu(x,\eta)), \]
queda probada \(1\).
Para \(2\), \(A_C\) es una función ya definida sobre todo
\[ \mathbb R_C\times\mathbb Q. \]
Por tanto, para cada \(n\) existe un único valor
\[ A_C(x_n,\eta_n)\in\mathbb Q. \]
Por separación en \(\mathbb N\times\mathbb Q\), la condición \(r=A_C(x_n,\eta_n)\) determina directamente el grafo de una función
\[ q:\mathbb N\to\mathbb Q. \]
No hay que escoger uno de varios posibles valores en cada índice: el valor ya es único por definición de \(A_C\).
Como \(0<\eta_n\) para todo \(n\), la parte \(1\), aplicada índice por índice, da
\[ \left| x_n-\iota_C(q_n) \right| <_C \iota_C(\eta_n). \]
∎
10.3. Construcción diagonal
La política de selección de §10.2 elimina el problema fundacional de escoger representantes. Falta ahora controlar la precisión con la que aproximaremos el término exterior \(x_n\).
No basta elegir una tolerancia positiva fija. Para que una sucesión racional reconstruya el comportamiento asintótico de una sucesión de Cauchy en \(\mathbb R_C\), el error permitido debe tender a cero. Fijaremos por ello una escala racional canónica, independiente de la sucesión que queramos aproximar.
Definición 10.3.1 — Escala racional canónica
Para \(n\in\mathbb N\) definimos
\[ \boxed{ \lambda_n := \bigl(\nu_{\mathbb N}^{\mathbb Q}(n)+1_{\mathbb Q}\bigr)^{-1}. } \]
Esta fórmula determina una función
\[ \lambda:\mathbb N\longrightarrow\mathbb Q. \]
La definición está bien tipada. En efecto, \(0\le n\) en \(\mathbb N\); como \(\nu_{\mathbb N}^{\mathbb Q}\) preserva el orden,
\[ 0_{\mathbb Q} \le \nu_{\mathbb N}^{\mathbb Q}(n). \]
Además \(0_{\mathbb Q}<1_{\mathbb Q}\), de modo que
\[ 0_{\mathbb Q} < \nu_{\mathbb N}^{\mathbb Q}(n)+1_{\mathbb Q}. \]
El denominador es, por tanto, no nulo y su recíproco racional está definido.
La elección de esta escala tiene una ventaja técnica importante: no requiere introducir potencias naturales. Es simplemente la sucesión racional correspondiente a
\[ 1,\ \frac12,\ \frac13,\ \ldots \]
expresada mediante la copia canónica de \(\mathbb N\) en \(\mathbb Q\).
Proposición 10.3.2 — Positividad y nulidad de la escala canónica
Para todo \(n\in\mathbb N\),
\[ \boxed{0<\lambda_n,} \]
y además
\[ \boxed{ \lambda_n\to_{\mathbb Q}0_{\mathbb Q}. } \]
Demostración.
La positividad ya está contenida en la verificación tipológica de la definición: el racional
\[ \nu_{\mathbb N}^{\mathbb Q}(n)+1_{\mathbb Q} \]
es positivo, y el recíproco de un elemento positivo de un cuerpo ordenado es positivo.
Probemos la convergencia a cero. Sea \(\varepsilon\in\mathbb Q\) con
\[ 0<\varepsilon. \]
Entonces \(\varepsilon^{-1}>0\). Como \(\mathbb Q\) es arquimediano (Teorema 3.8.5 — \(\mathbb Q\) es arquimediano), existe \(N\in\mathbb N\) tal que
\[ \varepsilon^{-1} < \nu_{\mathbb N}^{\mathbb Q}(N). \]
Sea ahora \(n\ge N\). La preservación del orden por \(\nu_{\mathbb N}^{\mathbb Q}\) da
\[ \nu_{\mathbb N}^{\mathbb Q}(N) \le \nu_{\mathbb N}^{\mathbb Q}(n). \]
Como \(0<1_{\mathbb Q}\),
\[ \nu_{\mathbb N}^{\mathbb Q}(n) < \nu_{\mathbb N}^{\mathbb Q}(n)+1_{\mathbb Q}. \]
Por transitividad,
\[ 0 < \varepsilon^{-1} < \nu_{\mathbb N}^{\mathbb Q}(n)+1_{\mathbb Q}. \]
La inversión revierte el orden entre positivos. Por tanto,
\[ 0 < \bigl(\nu_{\mathbb N}^{\mathbb Q}(n)+1_{\mathbb Q}\bigr)^{-1} < (\varepsilon^{-1})^{-1}. \]
Las leyes del inverso en el cuerpo racional dan
\[ (\varepsilon^{-1})^{-1}=\varepsilon. \]
Así, para todo \(n\ge N\),
\[ 0<\lambda_n<\varepsilon. \]
Como \(\lambda_n>0\),
\[ |\lambda_n-0_{\mathbb Q}|=\lambda_n, \]
y la caracterización de la convergencia racional de Proposición 8.3.3 — Formulaciones equivalentes de la convergencia racional concluye
\[ \lambda_n\to_{\mathbb Q}0_{\mathbb Q}. \]
∎
Lema 10.3.3 — La incrustación racional preserva el valor absoluto
Para todo \(r\in\mathbb Q\),
\[ \boxed{ \left|\iota_C(r)\right| = \iota_C(|r|). } \]
Demostración.
Distinguimos los dos casos de la definición de valor absoluto.
Si \(0\le r\), la preservación del orden por \(\iota_C\) y la identidad \(\iota_C(0_{\mathbb Q})=0_C\) dan
\[ 0_C\le_C\iota_C(r). \]
Por tanto,
\[ |\iota_C(r)| = \iota_C(r) = \iota_C(|r|). \]
Si \(r<0\), la preservación del orden estricto da
\[ \iota_C(r)<_C0_C. \]
Entonces
\[ |\iota_C(r)| = -\iota_C(r). \]
Como \(\iota_C\) preserva opuestos,
\[ -\iota_C(r) = \iota_C(-r). \]
Y, puesto que \(|r|=-r\) en este caso,
\[ |\iota_C(r)| = \iota_C(|r|). \]
∎
Definición 10.3.4 — Operador diagonal de aproximación
Sea
\[ x=(x_n)_{n\in\mathbb N} \in \mathbb R_C^{\mathbb N}. \]
Definimos su diagonal racional canónica por
\[ \boxed{ \bigl(\operatorname{diag}_C(x)\bigr)_n := A_C(x_n,\lambda_n). } \]
Como \(A_C\) y \(\lambda\) son funciones ya construidas, esta fórmula determina término a término un único elemento de \(\mathbb Q\). Por separación en el producto correspondiente se obtiene una función
\[ \operatorname{diag}_C(x): \mathbb N\longrightarrow\mathbb Q. \]
De este modo queda definida una aplicación
\[ \boxed{ \operatorname{diag}_C: \mathbb R_C^{\mathbb N} \longrightarrow \mathbb Q^{\mathbb N}. } \]
La definición existe para toda sucesión en \(\mathbb R_C\); sólo cuando la sucesión exterior sea de Cauchy demostraremos que su diagonal pertenece a \(\mathcal C_{\mathbb Q}\).
Nota fundacional. «Diagonal canónica» significa aquí canónica en sentido extensional: cada término queda determinado por funciones ya construidas. No significa que, dada una sucesión arbitraria de clases, exista un algoritmo que calcule la diagonal: \[ \boxed{ \text{diagonal canónica extensional} \neq \text{algoritmo general}. } \] Bajo nombres uniformemente computables y un procedimiento efectivo de aproximación racional, puede construirse una diagonal efectiva sin exigir el mínimo clásico usado por \(A_C\).
Teorema 10.3.5 — La diagonal de una sucesión de Cauchy es racionalmente de Cauchy
Sea
\[ x=(x_n)_{n\in\mathbb N} \in \mathbb R_C^{\mathbb N} \]
una sucesión de Cauchy en \(\mathbb R_C\), y escribamos
\[ q:=\operatorname{diag}_C(x). \]
Entonces
\[ \boxed{ q\in\mathcal C_{\mathbb Q}. } \]
Además, para todo \(n\in\mathbb N\),
\[ \boxed{ |x_n-\iota_C(q_n)| <_C \iota_C(\lambda_n). } \]
Demostración.
Por Proposición 10.3.2 — Positividad y nulidad de la escala canónica, \(\lambda_n>0\) para todo \(n\). La definición de \(q\) y Proposición 10.2.9 — Corrección y selección simultánea sin Choice dan inmediatamente
\[ |x_n-\iota_C(q_n)| <_C \iota_C(\lambda_n) \qquad(n\in\mathbb N). \]
Resta demostrar que \(q\) es de Cauchy en \(\mathbb Q\).
Sea \(\varepsilon\in\mathbb Q\) con \(0<\varepsilon\). Pongamos
\[ s := (1_{\mathbb Q}+1_{\mathbb Q})+1_{\mathbb Q} \]
y
\[ \theta := \frac{\varepsilon}{s}. \]
Como \(0<1_{\mathbb Q}\), dos aplicaciones de la invariancia estricta por traslación muestran que \(0<s\). Por positividad de inversos y productos,
\[ 0<\theta. \]
Además, por distributividad y la ley del inverso,
\[ \boxed{ \theta+\theta+\theta=\varepsilon. } \]
Como \(\lambda_n\to_{\mathbb Q}0_{\mathbb Q}\), existe \(N_0\in\mathbb N\) tal que
\[ n\ge N_0 \Longrightarrow \lambda_n<\theta. \]
Por otro lado, como \(x\) es de Cauchy en \(\mathbb R_C\), el criterio racional Proposición 10.1.3 — Criterio racional para las sucesiones de Cauchy en \(\mathbb R_C\), aplicado a \(\theta>0\), proporciona \(N_1\in\mathbb N\) tal que
\[ m,n\ge N_1 \Longrightarrow |x_m-x_n| <_C \iota_C(\theta). \]
Por totalidad del orden natural, uno de \(N_0,N_1\) es mayor o igual que el otro. Tomamos como \(N\) ese mayor. Ésta es una comparación finita entre dos índices, no una elección de una familia.
Sean \(m,n\ge N\). Entonces \(m,n\ge N_0\) y \(m,n\ge N_1\). De la estimación diagonal y de la preservación del orden por \(\iota_C\) obtenemos
\[ |x_m-\iota_C(q_m)| <_C \iota_C(\lambda_m) <_C \iota_C(\theta), \]
y análogamente
\[ |x_n-\iota_C(q_n)| <_C \iota_C(\theta). \]
En el cuerpo ordenado \(\mathbb R_C\), la desigualdad triangular aplicada dos veces da
\[ \begin{aligned} |\iota_C(q_m)-\iota_C(q_n)| &= |\,(\iota_C(q_m)-x_m)+(x_m-x_n)+(x_n-\iota_C(q_n))\,|\\ &\le_C |\iota_C(q_m)-x_m| + |x_m-x_n| + |x_n-\iota_C(q_n)|. \end{aligned} \]
Por \(|-y|=|y|\),
\[ |\iota_C(q_m)-x_m| = |x_m-\iota_C(q_m)|. \]
Cada uno de los tres sumandos anteriores es estrictamente menor que \(\iota_C(\theta)\). La compatibilidad estricta del orden con la suma produce entonces
\[ |\iota_C(q_m)-\iota_C(q_n)| <_C \iota_C(\theta) + \iota_C(\theta) + \iota_C(\theta). \]
Como \(\iota_C\) preserva la suma y \(\theta+\theta+\theta=\varepsilon\),
\[ |\iota_C(q_m)-\iota_C(q_n)| <_C \iota_C(\varepsilon). \]
Ahora, Proposición 9.9.3 — Preservación de la aritmética racional y Lema 10.3.3 — La incrustación racional preserva el valor absoluto dan
\[ \begin{aligned} |\iota_C(q_m)-\iota_C(q_n)| &= |\iota_C(q_m-q_n)|\\ &= \iota_C(|q_m-q_n|). \end{aligned} \]
La reflexión del orden estricto por \(\iota_C\) implica
\[ |q_m-q_n|<\varepsilon. \]
Por la definición de \(d_{\mathbb Q}\),
\[ d_{\mathbb Q}(q_m,q_n)<\varepsilon. \]
Como \(\varepsilon>0\) era arbitraria, \(q\) satisface Definición 8.4.1 — Sucesión racional de Cauchy; por Definición 8.4.2 — Conjunto de las sucesiones racionales de Cauchy,
\[ q\in\mathcal C_{\mathbb Q}. \]
∎
El teorema produce ya un elemento legítimo de \(\mathbb R_C\):
\[ \boxed{ [\operatorname{diag}_C(x)]_C \in \mathbb R_C. } \]
Éste será el candidato a límite de la sucesión exterior \(x\).
10.4. Convergencia y completitud secuencial
La construcción diagonal de §10.3 ha producido, para cada sucesión de Cauchy
\[ x=(x_n)_{n\in\mathbb N} \]
en \(\mathbb R_C\), una sucesión racional de Cauchy
\[ q=\operatorname{diag}_C(x) \]
y, por tanto, una clase legítima
\[ [q]_C\in\mathbb R_C. \]
Falta demostrar que esa clase realiza efectivamente la aproximación que motivó su construcción. Antes de hacerlo debemos formular la convergencia en \(\mathbb R_C\) sin apelar a ningún modelo externo de los reales.
Definición 10.4.1 — Convergencia en \(\mathbb R_C\)
Sean
\[ x=(x_n)_{n\in\mathbb N}\in\mathbb R_C^{\mathbb N} \]
y \(L\in\mathbb R_C\). Diremos que \(x\) converge a \(L\) en \(\mathbb R_C\) si
\[ \boxed{ \forall\varepsilon\in\mathbb R_C\; \Bigl( 0_C<_C\varepsilon \Longrightarrow \exists N\in\mathbb N\; \forall n\in\mathbb N\; \bigl( N\le n \Longrightarrow |x_n-L|<_C\varepsilon \bigr) \Bigr). } \]
La definición utiliza únicamente la estructura de cuerpo ordenado ya construida en \(\mathbb R_C\). No presupone completitud y no menciona \(\mathbb R_D\).
Notación 10.4.2 — Convergencia en el modelo de Cauchy
Cuando se cumpla Definición 10.4.1 — Convergencia en \(\mathbb R_C\) escribiremos
\[ \boxed{ x_n\to_C L. } \]
El subíndice \(C\) recuerda que la convergencia se está formulando dentro del cuerpo \(\mathbb R_C\). No introducimos todavía la notación \(\lim\), que permanece reservada para una etapa posterior.
Proposición 10.4.3 — Criterio racional para la convergencia en \(\mathbb R_C\)
Sean \(x=(x_n)\in\mathbb R_C^{\mathbb N}\) y \(L\in\mathbb R_C\). Son equivalentes:
- \(x_n\to_C L\);
- para todo \(r\in\mathbb Q\) con \(0<r\), existe \(N\in\mathbb N\) tal que
\[ n\ge N \Longrightarrow |x_n-L|<_C\iota_C(r). \]
En forma compacta,
\[ \boxed{ x_n\to_C L \iff \forall r\in\mathbb Q\; \Bigl( 0<r \Longrightarrow \exists N\in\mathbb N\; \forall n\ge N, \ |x_n-L|<_C\iota_C(r) \Bigr). } \]
Demostración.
Supongamos primero \(x_n\to_C L\). Sea \(r\in\mathbb Q\) con \(0<r\). Como \(\iota_C\) preserva el orden y el cero,
\[ 0_C<_C\iota_C(r). \]
Aplicando Definición 10.4.1 — Convergencia en \(\mathbb R_C\) a la tolerancia \(\iota_C(r)\) obtenemos \(N\in\mathbb N\) tal que
\[ n\ge N \Longrightarrow |x_n-L|<_C\iota_C(r). \]
Recíprocamente, supongamos la condición racional y sea \(\varepsilon\in\mathbb R_C\) con
\[ 0_C<_C\varepsilon. \]
Por Lema 10.1.2 — Escalas racionales positivas dentro de toda escala positiva de \(\mathbb R_C\) existe \(r\in\mathbb Q\) tal que
\[ 0<r \qquad\text{y}\qquad 0_C<_C\iota_C(r)<_C\varepsilon. \]
La hipótesis proporciona \(N\in\mathbb N\) con
\[ n\ge N \Longrightarrow |x_n-L|<_C\iota_C(r). \]
Por transitividad del orden estricto,
\[ |x_n-L|<_C\varepsilon \qquad(n\ge N). \]
Así \(x_n\to_C L\). ∎
Teorema 10.4.4 — Unicidad del límite en \(\mathbb R_C\)
Si una sucesión \(x=(x_n)\in\mathbb R_C^{\mathbb N}\) satisface
\[ x_n\to_C L \qquad\text{y}\qquad x_n\to_C M, \]
entonces
\[ \boxed{L=M.} \]
Demostración.
Supongamos, para obtener una contradicción, que \(L\neq M\). Entonces
\[ \delta:=|L-M| \]
es no nulo por Proposición 4.2.2 — Propiedades elementales del valor absoluto (2) y no negativo por Proposición 4.2.2 — Propiedades elementales del valor absoluto (1). Por tanto
\[ 0_C<_C\delta. \]
Pongamos
\[ s:=1_C+1_C. \]
Como \(0_C<_C1_C\), la invariancia estricta por traslación da
\[ 1_C<_Cs, \]
y en particular \(0_C<_Cs\). Por tanto \(s^{-1}\) existe y es positivo. Definimos
\[ \eta:=\delta s^{-1}. \]
Entonces \(0_C<_C\eta\) y, por distributividad y la ley del inverso en el cuerpo \(\mathbb R_C\),
\[ \boxed{\eta+\eta=\delta.} \]
Aplicando la convergencia a \(L\) con tolerancia \(\eta\), existe \(N_0\in\mathbb N\) tal que
\[ n\ge N_0 \Longrightarrow |x_n-L|<_C\eta. \]
De manera análoga, existe \(N_1\in\mathbb N\) tal que
\[ n\ge N_1 \Longrightarrow |x_n-M|<_C\eta. \]
Por totalidad del orden natural, uno de \(N_0,N_1\) domina al otro. Sea \(N\) el mayor de ambos y tomemos \(n=N\). Entonces
\[ |L-x_n|=|x_n-L|<_C\eta \]
y
\[ |x_n-M|<_C\eta. \]
La desigualdad triangular produce
\[ \begin{aligned} \delta &=|L-M|\\ &=|(L-x_n)+(x_n-M)|\\ &\le_C|L-x_n|+|x_n-M|\\ &<_C\eta+\eta\\ &=\delta, \end{aligned} \]
contradicción con la irreflexividad del orden estricto. Luego \(L=M\). ∎
Nota lógica. La prueba parte de \(L\neq M\) y, tras obtener contradicción, concluye \(L=M\). Como la igualdad en \(\mathbb R_C\) no es decidible en general, este cierre se clasifica como reductio/DNE clásico. No hay, sin embargo, ningún uso de Choice.
Lema 10.4.5 — Un representante de Cauchy converge a su propia clase
Sea
\[ q=(q_n)_{n\in\mathbb N}\in\mathcal C_{\mathbb Q} \]
y sea
\[ L:=[q]_C\in\mathbb R_C. \]
Entonces la sucesión \(\iota_C\circ q:\mathbb N\to\mathbb R_C\) satisface
\[ \boxed{ \iota_C(q_n)\to_C[q]_C. } \]
Demostración.
Aplicaremos el criterio racional Proposición 10.4.3 — Criterio racional para la convergencia en \(\mathbb R_C\). Fijemos \(\varepsilon\in\mathbb Q\) con \(0<\varepsilon\). Pongamos
\[ s:=1_{\mathbb Q}+1_{\mathbb Q} \]
y
\[ \theta:=\frac{\varepsilon}{s}. \]
Como \(0<s\), se tiene \(0<\theta\) y
\[ \boxed{\theta+\theta=\varepsilon.} \]
La condición de Cauchy de \(q\) proporciona \(N\in\mathbb N\) tal que, para cualesquiera \(k,n\ge N\),
\[ d_{\mathbb Q}(q_k,q_n)<\theta. \]
Por Proposición 8.2.3 — Caracterización \(\varepsilon\)-local de la distancia racional, esto equivale a
\[ -\theta<q_k-q_n<\theta. \]
Fijemos ahora \(n\ge N\). Como \(q\in\mathcal C_{\mathbb Q}\) y las sucesiones constantes son de Cauchy, también
\[ q-\underline{q_n}\in\mathcal C_{\mathbb Q}. \]
Además,
\[ L-\iota_C(q_n) = [q-\underline{q_n}]_C. \]
Para todo \(k\ge N\), de \(q_k-q_n<\theta\) se sigue
\[ (q_k-q_n)+\theta < \theta+\theta = \varepsilon. \]
El criterio de separación eventual Proposición 9.8.6 — Criterio de separación eventual para el orden estricto, aplicado a \(q-\underline{q_n}\) y \(\underline\varepsilon\) con margen \(\theta>0\), da
\[ L-\iota_C(q_n) <_C \iota_C(\varepsilon). \]
Por otra parte, de \(-\theta<q_k-q_n\) y \(\varepsilon=\theta+\theta\) obtenemos
\[ -\varepsilon+\theta = -\theta < q_k-q_n. \]
Aplicando de nuevo Proposición 9.8.6 — Criterio de separación eventual para el orden estricto, ahora a \(\underline{-\varepsilon}\) y \(q-\underline{q_n}\), obtenemos
\[ -\iota_C(\varepsilon) <_C L-\iota_C(q_n). \]
Hemos demostrado
\[ -\iota_C(\varepsilon) <_C L-\iota_C(q_n) <_C \iota_C(\varepsilon). \]
Pongamos
\[ y:=L-\iota_C(q_n). \]
Hemos probado
\[ -\iota_C(\varepsilon)<_Cy<_C\iota_C(\varepsilon). \]
La desigualdad izquierda, al tomar opuestos, da
\[ -y<_C\iota_C(\varepsilon), \]
mientras que la derecha da directamente \(y<_C\iota_C(\varepsilon)\). Como, tras P0-C,
\[ |y|=\max\{y,-y\}, \]
la caracterización del máximo implica sin decidir el signo de \(y\) que
\[ |L-\iota_C(q_n)| =|y| <_C \iota_C(\varepsilon). \]
Finalmente,
\[ |\iota_C(q_n)-L| = |-(L-\iota_C(q_n))| = |L-\iota_C(q_n)|, \]
por lo que, para todo \(n\ge N\),
\[ |\iota_C(q_n)-L| <_C \iota_C(\varepsilon). \]
El criterio racional de convergencia concluye
\[ \iota_C(q_n)\to_C L. \]
∎
Teorema 10.4.6 — Convergencia al elemento diagonal canónico
Sea
\[ x=(x_n)_{n\in\mathbb N}\in\mathbb R_C^{\mathbb N} \]
una sucesión de Cauchy y definamos
\[ q:=\operatorname{diag}_C(x), \qquad L:=[q]_C. \]
Entonces
\[ \boxed{ x_n\to_C L.} \]
Además, \(L\) es el único elemento de \(\mathbb R_C\) con esta propiedad.
Demostración.
Por Teorema 10.3.5 — La diagonal de una sucesión de Cauchy es racionalmente de Cauchy,
\[ q\in\mathcal C_{\mathbb Q} \]
y, para todo \(n\),
\[ |x_n-\iota_C(q_n)| <_C \iota_C(\lambda_n). \]
El mismo teorema legitima por tanto la clase \(L=[q]_C\). Por Lema 10.4.5 — Un representante de Cauchy converge a su propia clase,
\[ \iota_C(q_n)\to_C L. \]
Demostraremos \(x_n\to_C L\) mediante Proposición 10.4.3 — Criterio racional para la convergencia en \(\mathbb R_C\). Sea \(\varepsilon\in\mathbb Q\) con \(0<\varepsilon\). Definamos
\[ s:=1_{\mathbb Q}+1_{\mathbb Q}, \qquad \theta:=\frac{\varepsilon}{s}. \]
Entonces \(0<\theta\) y
\[ \theta+\theta=\varepsilon. \]
Como \(\lambda_n\to_{\mathbb Q}0_{\mathbb Q}\) y \(\lambda_n>0\), existe \(N_0\in\mathbb N\) tal que
\[ n\ge N_0 \Longrightarrow \lambda_n<\theta. \]
Por la convergencia \(\iota_C(q_n)\to_C L\) y el criterio racional Proposición 10.4.3 — Criterio racional para la convergencia en \(\mathbb R_C\), existe \(N_1\in\mathbb N\) tal que
\[ n\ge N_1 \Longrightarrow |\iota_C(q_n)-L| <_C \iota_C(\theta). \]
Sea \(N\) el mayor de \(N_0\) y \(N_1\), obtenido por una comparación en el orden total de \(\mathbb N\). Para \(n\ge N\), la preservación del orden por \(\iota_C\) da
\[ |x_n-\iota_C(q_n)| <_C \iota_C(\lambda_n) <_C \iota_C(\theta). \]
La desigualdad triangular en \(\mathbb R_C\) produce
\[ \begin{aligned} |x_n-L| &\le_C |x_n-\iota_C(q_n)| + |\iota_C(q_n)-L|\\ &<_C \iota_C(\theta)+\iota_C(\theta)\\ &= \iota_C(\varepsilon). \end{aligned} \]
Así, para toda tolerancia racional positiva \(\varepsilon\), existe una cola en la que
\[ |x_n-L|<_C\iota_C(\varepsilon). \]
Por Proposición 10.4.3 — Criterio racional para la convergencia en \(\mathbb R_C\),
\[ x_n\to_C L. \]
La unicidad se sigue de Teorema 10.4.4 — Unicidad del límite en \(\mathbb R_C\). ∎
Definición 10.4.7 — Completitud secuencial de \(\mathbb R_C\)
Diremos que \(\mathbb R_C\) es secuencialmente completo si toda sucesión de Cauchy
\[ x=(x_n)_{n\in\mathbb N}\in\mathbb R_C^{\mathbb N} \]
posee algún \(L\in\mathbb R_C\) tal que
\[ x_n\to_C L. \]
Esta definición es el análogo, dentro del modelo de Cauchy, de Definición 8.7.1 — Completitud secuencial de \(\mathbb Q\) para \(\mathbb Q\).
Corolario 10.4.8 — \(\mathbb R_C\) es secuencialmente completo
El cuerpo ordenado \(\mathbb R_C\) es secuencialmente completo.
Demostración.
Sea \(x\) una sucesión de Cauchy en \(\mathbb R_C\). El teorema Teorema 10.4.6 — Convergencia al elemento diagonal canónico construye el elemento canónico
\[ L = [\operatorname{diag}_C(x)]_C \in\mathbb R_C \]
y demuestra
\[ x_n\to_C L. \]
Esto verifica exactamente Definición 10.4.7 — Completitud secuencial de \(\mathbb R_C\). ∎
Conclusión de la sección. La insuficiencia secuencial detectada en \(\mathbb Q\) ha desaparecido en \(\mathbb R_C\): todo proceso de Cauchy de elementos del nuevo cuerpo posee un límite en el propio cuerpo. La demostración no eligió una familia de representantes; el límite se obtuvo mediante la diagonal canónica construida en §§10.2–10.3.
Nota fundacional. Ésta es una completitud secuencial clásica sin \(AC_\omega\). El límite queda canónicamente determinado por la diagonal, pero la diagonal usa el selector clásico Definición 10.2.8 — Selector canónico de aproximantes racionales; por ello la conclusión no debe leerse como un algoritmo general de límite. Bajo nombres uniformemente computables y un módulo computable de Cauchy exterior, la misma estrategia admite una versión efectiva paralela.
10.5. De la completitud secuencial a la propiedad del supremo
La completitud secuencial obtenida en §10.4 todavía no es, por sí sola, la completitud de orden definida en Definición 4.6.1 — Propiedad del supremo y cuerpo ordenado completo. Debemos demostrar que todo subconjunto no vacío y acotado superiormente de \(\mathbb R_C\) posee una menor cota superior.
El paso no será una apelación abstracta a una equivalencia conocida. En el tratado todavía no hemos demostrado que, en cualquier cuerpo ordenado, la completitud secuencial implique la propiedad del supremo; además, esa afirmación necesita una hipótesis arquimediana o una condición equivalente. Construiremos aquí el argumento necesario para el cuerpo concreto \(\mathbb R_C\).
La estrategia tiene cuatro etapas:
- demostrar que la copia racional hace a \(\mathbb R_C\) arquimediano;
- encerrar cualquier conjunto no vacío y acotado entre un extremo que no sea cota superior y otro que sí lo sea;
- bisecar ese intervalo de manera determinista en sentido extensional, manteniendo ambos invariantes y haciendo tender su anchura a cero;
- usar la completitud secuencial para obtener un límite común y demostrar que ese límite es exactamente el supremo.
La construcción es deliberadamente funcional. En cada etapa de bisección la pregunta «¿es el punto medio una cota superior?» tiene una respuesta lógica determinada; no escogeremos un elemento de \(A\) en cada paso ni construiremos una familia de elecciones.
Lema 10.5.1 — Compatibilidad de los numerales naturales con \(\iota_C\)
Sea
\[ \nu_{\mathbb R_C}:\mathbb N\longrightarrow\mathbb R_C \]
la aplicación canónica de numerales naturales de Definición 4.1.5 — Aplicación de numerales naturales en un cuerpo ordenado, especializada al cuerpo ordenado \(\mathbb R_C\). Entonces, para todo \(n\in\mathbb N\),
\[ \boxed{ \nu_{\mathbb R_C}(n) = \iota_C\!\left(\nu_{\mathbb N}^{\mathbb Q}(n)\right). } \]
Demostración.
Por Proposición 4.4.3 — La formulación abstracta coincide con la arquimedianidad ya probada en \(\mathbb Q\), la aplicación de numerales de \(\mathbb Q\) coincide con \(\nu_{\mathbb N}^{\mathbb Q}\). Demostraremos la igualdad por inducción sobre \(n\).
Para \(n=0\),
\[ \nu_{\mathbb R_C}(0) =0_C = \iota_C(0_{\mathbb Q}) = \iota_C\!\left(\nu_{\mathbb N}^{\mathbb Q}(0)\right), \]
usando la preservación del cero de Proposición 9.9.3 — Preservación de la aritmética racional.
Supongamos
\[ \nu_{\mathbb R_C}(n) = \iota_C\!\left(\nu_{\mathbb N}^{\mathbb Q}(n)\right). \]
Por la recursión que define los numerales y por la preservación de suma y unidad de \(\iota_C\),
\[ \begin{aligned} \nu_{\mathbb R_C}(S(n)) &=\nu_{\mathbb R_C}(n)+1_C\\ &=\iota_C\!\left(\nu_{\mathbb N}^{\mathbb Q}(n)\right) +\iota_C(1_{\mathbb Q})\\ &=\iota_C\!\left(\nu_{\mathbb N}^{\mathbb Q}(n)+1_{\mathbb Q}\right)\\ &=\iota_C\!\left(\nu_{\mathbb N}^{\mathbb Q}(S(n))\right). \end{aligned} \]
La inducción concluye la afirmación. ∎
Consecuencia tipológica. Esta igualdad no identifica \(\mathbb N\), \(\mathbb Q\) y \(\mathbb R_C\). Expresa la compatibilidad de las dos aplicaciones canónicas que conectan esos sistemas.
Proposición 10.5.2 — El cuerpo de Cauchy es arquimediano
El cuerpo ordenado \(\mathbb R_C\) es arquimediano.
Demostración.
Usaremos la caracterización por recíprocos pequeños de Proposición 4.4.2 — Caracterización por recíprocos pequeños. Sea
\[ \varepsilon\in\mathbb R_C, \qquad 0_C<_C\varepsilon. \]
Por Lema 10.1.2 — Escalas racionales positivas dentro de toda escala positiva de \(\mathbb R_C\) existe \(q\in\mathbb Q\) tal que
\[ 0<q \qquad\text{y}\qquad 0_C<_C\iota_C(q)<_C\varepsilon. \]
El cuerpo racional es arquimediano por Proposición 4.4.3 — La formulación abstracta coincide con la arquimedianidad ya probada en \(\mathbb Q\). Aplicando Proposición 4.4.2 — Caracterización por recíprocos pequeños dentro de \(\mathbb Q\) a la tolerancia \(q\), existe \(n\in\mathbb N\), \(n\neq0\), tal que
\[ 0_{\mathbb Q} < \nu_{\mathbb N}^{\mathbb Q}(n)^{-1} <q. \]
La preservación del orden estricto por Proposición 9.9.5 — Preservación y reflexión del orden racional produce
\[ 0_C <_C \iota_C\!\left(\nu_{\mathbb N}^{\mathbb Q}(n)^{-1}\right) <_C \iota_C(q). \]
Como \(n\neq0\), Proposición 4.1.6 — Aritmética y orden de los numerales naturales aplicado a \(\mathbb Q\) muestra que \(\nu_{\mathbb N}^{\mathbb Q}(n)\neq0_{\mathbb Q}\). La compatibilidad de \(\iota_C\) con recíprocos (Corolario 9.9.4 — Compatibilidad con los recíprocos racionales) y Lema 10.5.1 — Compatibilidad de los numerales naturales con \(\iota_C\) dan
\[ \iota_C\!\left(\nu_{\mathbb N}^{\mathbb Q}(n)^{-1}\right) = \iota_C\!\left(\nu_{\mathbb N}^{\mathbb Q}(n)\right)^{-1} = \nu_{\mathbb R_C}(n)^{-1}. \]
Por tanto
\[ 0_C <_C \nu_{\mathbb R_C}(n)^{-1} <_C \iota_C(q) <_C \varepsilon. \]
Hemos verificado la condición de recíprocos positivos arbitrariamente pequeños. Por la implicación recíproca de Proposición 4.4.2 — Caracterización por recíprocos pequeños, \(\mathbb R_C\) es arquimediano. ∎
La arquimedianidad es la pieza que permite hacer cuantitativamente pequeña una bisección. Ahora fijaremos el mecanismo de bisección sin seleccionar puntos del conjunto en cada etapa.
Definición 10.5.3 — Operador de bisección respecto de las cotas superiores
Fijemos un subconjunto
\[ A\subseteq\mathbb R_C. \]
Pongamos
\[ s_C:=1_C+1_C. \]
Como \(0_C<_C1_C\), se tiene \(0_C<_Cs_C\), de modo que \(s_C^{-1}\) existe y es positivo. Para \(\ell,r\in\mathbb R_C\) definimos su punto medio por
\[ m(\ell,r) :=(\ell+r)s_C^{-1}. \]
Definimos entonces
\[ \boxed{ \beta_A:\mathbb R_C\times\mathbb R_C \longrightarrow \mathbb R_C\times\mathbb R_C } \]
mediante
\[ \boxed{ \beta_A(\ell,r) = \begin{cases} (\ell,m(\ell,r)), &\text{si }m(\ell,r)\text{ es cota superior de }A,\\[1mm] (m(\ell,r),r), &\text{si }m(\ell,r)\text{ no es cota superior de }A. \end{cases} } \]
La condición «\(m\) es cota superior de \(A\)» abrevia, conforme a Definición 0.7.4 — Cotas superiores e inferiores,
\[ \forall x\in A,\qquad x\le_C m. \]
El grafo de \(\beta_A\) existe por separación dentro de
\[ (\mathbb R_C\times\mathbb R_C) \times (\mathbb R_C\times\mathbb R_C). \]
La lógica clásica garantiza que exactamente una de las dos ramas se aplica y cada rama determina un único par. Por tanto \(\beta_A\) es una función total.
Nota fundacional. No se escoge un elemento de \(A\) cuando el punto medio deja de ser cota superior. La función es determinista en sentido extensional: LEM fija cuál de las dos proposiciones vale y cada rama tiene salida única. Pero el predicado \[ \forall x\in A,\quad x\le_Cm \] no es decidible para un subconjunto arbitrario \(A\). Por tanto, \[ \boxed{ \text{determinista extensionalmente} \neq \text{computable}. } \]
Proposición 10.5.4 — Sucesiones de encajamiento asociadas a \(A\)
Sean \(A\subseteq\mathbb R_C\), \(a\in A\) y \(u\in\mathbb R_C\) una cota superior de \(A\). Existen sucesiones únicas
\[ (\ell_n)_{n\in\mathbb N}, \qquad (r_n)_{n\in\mathbb N} \]
de elementos de \(\mathbb R_C\) tales que
\[ \boxed{ \ell_0=a-1_C, \qquad r_0=u, } \]
y
\[ \boxed{ (\ell_{S(n)},r_{S(n)}) = \beta_A(\ell_n,r_n) \qquad(n\in\mathbb N). } \]
Demostración.
Consideremos el conjunto de estados
\[ X:=\mathbb R_C\times\mathbb R_C \]
y el estado inicial
\[ p_0:=(a-1_C,u)\in X. \]
La definición anterior proporciona una función
\[ \beta_A:X\longrightarrow X. \]
El teorema de recursión sobre \(\mathbb N\), Teorema 1.3.7 — Teorema de recursión sobre \(\mathbb N\), produce una única función
\[ p:\mathbb N\longrightarrow X \]
tal que
\[ p(0)=p_0, \qquad p(S(n))=\beta_A(p(n)). \]
Para cada \(n\), el valor \(p(n)\) es un único par de elementos de \(\mathbb R_C\). Definimos \(\ell_n\) y \(r_n\) como su primera y segunda coordenada, respectivamente. Los grafos de ambas sucesiones se obtienen por separación y la unicidad de \(p\) implica la unicidad de las dos coordenadas en cada índice.
Las condiciones inicial y recursiva son exactamente las anunciadas. ∎
Lema 10.5.5 — Invariantes del encajamiento
En la situación de Proposición 10.5.4 — Sucesiones de encajamiento asociadas a \(A\), para todo \(n\in\mathbb N\) se cumplen:
- \(\ell_n\) no es cota superior de \(A\);
- \(r_n\) es cota superior de \(A\);
- \(\ell_n<_Cr_n\);
- el paso es encajado: \[ \ell_n\le_C\ell_{S(n)}<_Cr_{S(n)}\le_Cr_n; \]
- si \[ \delta_n:=r_n-\ell_n, \] entonces \[ 0_C<_C\delta_n \] y \[ \boxed{ \delta_{S(n)}=\delta_n s_C^{-1}. } \]
Además, si \(m\le n\), entonces
\[ \boxed{ \ell_m\le_C\ell_n<_Cr_n\le_Cr_m. } \]
Demostración.
Comenzamos por el índice \(0\). Como \(0_C<_C1_C\), la invariancia estricta por traslación da
\[ a-1_C<_Ca. \]
Si \(\ell_0=a-1_C\) fuera cota superior de \(A\), de \(a\in A\) obtendríamos \(a\le_Ca-1_C\), contradicción. Por tanto \(\ell_0\) no es cota superior. El elemento
\[ r_0=u \]
sí lo es por hipótesis. Además
\[ \ell_0<_Ca\le_Cu=r_0, \]
de modo que \(\ell_0<_Cr_0\).
Supongamos ahora que para un índice \(n\) tenemos
\[ \ell_n<_Cr_n, \]
con \(\ell_n\) no cota superior y \(r_n\) cota superior. El teorema del punto medio Teorema 4.1.11 — Todo cuerpo ordenado es densamente ordenado aplicado al cuerpo ordenado \(\mathbb R_C\) afirma que
\[ \ell_n<_Cm_n<_Cr_n, \qquad m_n:=m(\ell_n,r_n). \]
Hay dos casos.
Si \(m_n\) es cota superior de \(A\), la definición de \(\beta_A\) da
\[ \ell_{S(n)}=\ell_n, \qquad r_{S(n)}=m_n. \]
Así el extremo izquierdo sigue sin ser cota superior, el derecho sigue siendo cota superior y
\[ \ell_n = \ell_{S(n)} <_C r_{S(n)} <_C r_n. \]
Si \(m_n\) no es cota superior, entonces
\[ \ell_{S(n)}=m_n, \qquad r_{S(n)}=r_n, \]
y obtenemos
\[ \ell_n <_C \ell_{S(n)} <_C r_{S(n)} = r_n. \]
En ambos casos se preservan los tres primeros invariantes y se obtiene el encajamiento de un paso. Por inducción valen para todo \(n\).
Para la anchura, en cualquiera de las dos ramas uno de los extremos es el punto medio. Usando
\[ m_n=(\ell_n+r_n)s_C^{-1} \]
y
\[ s_C=1_C+1_C, \]
las leyes del cuerpo dan, tanto si conservamos la mitad izquierda como si conservamos la derecha,
\[ \delta_{S(n)} = (r_n-\ell_n)s_C^{-1} = \delta_n s_C^{-1}. \]
Como \(\ell_n<_Cr_n\), tenemos \(0_C<_C\delta_n\).
Falta justificar la forma global del encajamiento. Fijemos \(m\). Por inducción sobre \(k\in\mathbb N\), el encajamiento de un paso implica
\[ \ell_m\le_C\ell_{m+k} \qquad\text{y}\qquad r_{m+k}\le_Cr_m. \]
El caso \(k=0\) es inmediato. Si vale para \(k\), entonces
\[ \ell_{m+k}\le_C\ell_{S(m+k)}, \qquad r_{S(m+k)}\le_Cr_{m+k}, \]
y, como \(m+S(k)=S(m+k)\), la transitividad cierra el paso inductivo.
Si \(m\le n\), la definición del orden natural proporciona \(k\in\mathbb N\) tal que \(n=m+k\). Por tanto
\[ \ell_m\le_C\ell_n, \qquad r_n\le_Cr_m. \]
Junto con \(\ell_n<_Cr_n\) obtenemos la última fórmula. ∎
Lema 10.5.6 — Las anchuras se hacen arbitrariamente pequeñas
Con la notación
\[ \delta_n:=r_n-\ell_n \]
de Lema 10.5.5 — Invariantes del encajamiento, para todo \(\varepsilon\in\mathbb R_C\) con \(0_C<_C\varepsilon\), existe \(N\in\mathbb N\) tal que, para todo \(n\ge N\),
\[ \boxed{ 0_C<_C\delta_n<_C\varepsilon. } \]
Demostración.
La prueba generaliza el argumento utilizado para las anchuras racionales en Lema 8.7.5 — Las anchuras se hacen arbitrariamente pequeñas, pero ahora se realiza enteramente en \(\mathbb R_C\).
Primero probaremos
\[ \boxed{ n\neq0 \Longrightarrow \nu_{\mathbb R_C}(n)\delta_n\le_C\delta_0. } \]
Es suficiente demostrar por inducción que
\[ \nu_{\mathbb R_C}(S(k))\delta_{S(k)} \le_C \delta_0 \qquad(k\in\mathbb N). \]
Para \(k=0\), Proposición 4.1.6 — Aritmética y orden de los numerales naturales da \(\nu_{\mathbb R_C}(1)=1_C\), y Lema 10.5.5 — Invariantes del encajamiento da
\[ \delta_1=\delta_0s_C^{-1}. \]
Como
\[ 1_C<_Cs_C=1_C+1_C, \]
la inversión del orden entre positivos produce
\[ 0_C<_Cs_C^{-1}<_C1_C. \]
Multiplicando por \(\delta_0>_C0_C\),
\[ \nu_{\mathbb R_C}(1)\delta_1 = \delta_0s_C^{-1} <_C \delta_0. \]
Supongamos ahora
\[ \nu_{\mathbb R_C}(r)\delta_r\le_C\delta_0 \]
para \(r=S(k)\). Por Proposición 1.4.2 — Cero neutro por la izquierda, \(0+k=k\); usando Definición 1.6.1 — Orden aritmético con testigo \(k\) obtenemos
\[ 0\le k. \]
Como Proposición 4.1.6 — Aritmética y orden de los numerales naturales preserva el orden natural,
\[ 0_C \le_C \nu_{\mathbb R_C}(k). \]
Sumando \(1_C\) y usando la recursión de los numerales,
\[ 1_C \le_C \nu_{\mathbb R_C}(k)+1_C = \nu_{\mathbb R_C}(S(k)) = \nu_{\mathbb R_C}(r). \]
Por tanto
\[ \begin{aligned} \nu_{\mathbb R_C}(S(r)) &=\nu_{\mathbb R_C}(r)+1_C\\ &\le_C\nu_{\mathbb R_C}(r)+\nu_{\mathbb R_C}(r). \end{aligned} \]
La cantidad \(\delta_{S(r)}=\delta_rs_C^{-1}\) es positiva. Multiplicando la desigualdad anterior por ella,
\[ \begin{aligned} \nu_{\mathbb R_C}(S(r))\delta_{S(r)} &\le_C \bigl(\nu_{\mathbb R_C}(r)+\nu_{\mathbb R_C}(r)\bigr) \delta_rs_C^{-1}\\ &= \nu_{\mathbb R_C}(r)\delta_r\\ &\le_C \delta_0. \end{aligned} \]
La inducción queda cerrada, y Teorema 1.2.7 — Predecesor de todo natural no nulo extiende la estimación a todo natural no nulo.
Sea ahora \(\varepsilon>_C0_C\). Como \(\delta_0>_C0_C\) y \(\varepsilon^{-1}>_C0_C\),
\[ 0_C<_C\delta_0\varepsilon^{-1}. \]
La arquimedianidad de \(\mathbb R_C\), Proposición 10.5.2 — El cuerpo de Cauchy es arquimediano, proporciona \(N\in\mathbb N\) tal que
\[ \delta_0\varepsilon^{-1} <_C \nu_{\mathbb R_C}(N). \]
El miembro izquierdo es positivo, luego \(N\neq0\). Por la estimación anterior,
\[ \nu_{\mathbb R_C}(N)\delta_N \le_C \delta_0. \]
Multiplicando la desigualdad arquimediana por \(\varepsilon>_C0_C\),
\[ \delta_0 <_C \varepsilon\nu_{\mathbb R_C}(N). \]
Así
\[ \nu_{\mathbb R_C}(N)\delta_N <_C \varepsilon\nu_{\mathbb R_C}(N). \]
Como \(N\neq0\), Proposición 4.1.6 — Aritmética y orden de los numerales naturales da
\[ 0_C<_C\nu_{\mathbb R_C}(N), \]
y el escalamiento estricto por un factor positivo permite cancelarlo:
\[ \delta_N<_C\varepsilon. \]
Finalmente, si \(N\le n\), el encajamiento global de Lema 10.5.5 — Invariantes del encajamiento da
\[ \ell_N\le_C\ell_n<_Cr_n\le_Cr_N. \]
Restando extremos,
\[ 0_C<_C\delta_n \le_C \delta_N <_C \varepsilon. \]
Esto prueba la afirmación. ∎
Teorema 10.5.7 — Los extremos encajados convergen a una frontera común
En la situación de Proposición 10.5.4 — Sucesiones de encajamiento asociadas a \(A\), manteniendo \(\delta_n:=r_n-\ell_n\), existe un elemento \(L\in\mathbb R_C\) tal que
\[ \boxed{ \ell_n\to_C L \qquad\text{y}\qquad r_n\to_C L. } \]
Demostración.
Demostraremos primero que \((\ell_n)\) es una sucesión de Cauchy en \(\mathbb R_C\). Sea \(\varepsilon>_C0_C\). Por Lema 10.5.6 — Las anchuras se hacen arbitrariamente pequeñas existe \(N\) tal que
\[ \delta_N<_C\varepsilon. \]
Sean \(m,n\ge N\). El orden natural es total; supongamos, sin pérdida de generalidad, \(m\le n\). El encajamiento global da
\[ \ell_N \le_C \ell_m \le_C \ell_n <_C r_N. \]
Por tanto
\[ 0_C \le_C \ell_n-\ell_m \le_C r_N-\ell_N = \delta_N. \]
Como \(\ell_m\le_C\ell_n\), la definición del valor absoluto da
\[ |\ell_m-\ell_n| = \ell_n-\ell_m \le_C \delta_N <_C \varepsilon. \]
El caso \(n\le m\) es simétrico. Así \((\ell_n)\) es de Cauchy.
Por la completitud secuencial Corolario 10.4.8 — \(\mathbb R_C\) es secuencialmente completo, existe \(L\in\mathbb R_C\) tal que
\[ \ell_n\to_C L. \]
Mostremos que el extremo derecho converge al mismo \(L\). Sea \(\varepsilon>_C0_C\) y definamos
\[ \theta:=\varepsilon s_C^{-1}. \]
Como \(s_C>_C0_C\),
\[ 0_C<_C\theta \]
y
\[ \theta+\theta=\varepsilon. \]
Por Lema 10.5.6 — Las anchuras se hacen arbitrariamente pequeñas, existe \(N_0\) tal que
\[ n\ge N_0 \Longrightarrow \delta_n<_C\theta. \]
Como \(\ell_n\to_C L\), existe \(N_1\) tal que
\[ n\ge N_1 \Longrightarrow |\ell_n-L|<_C\theta. \]
Tomemos como \(N\) el mayor de \(N_0\) y \(N_1\), obtenido por una comparación finita en \(\mathbb N\). Para \(n\ge N\), la desigualdad triangular da
\[ \begin{aligned} |r_n-L| &\le_C |r_n-\ell_n|+|\ell_n-L|\\ &= \delta_n+|\ell_n-L|\\ &<_C \theta+\theta\\ &= \varepsilon. \end{aligned} \]
Por Definición 10.4.1 — Convergencia en \(\mathbb R_C\),
\[ r_n\to_C L. \]
Ambas sucesiones convergen, por tanto, a la misma frontera. ∎
Teorema 10.5.8 — Propiedad del supremo de \(\mathbb R_C\)
Sea
\[ A\subseteq\mathbb R_C \]
no vacío y acotado superiormente. Entonces existe \(L\in\mathbb R_C\) tal que
\[ \boxed{L=\sup A.} \]
En consecuencia, \(\mathbb R_C\) tiene la propiedad del supremo.
Demostración.
Como \(A\) es no vacío, fijemos un único elemento
\[ a\in A. \]
Como \(A\) está acotado superiormente, fijemos una única cota superior
\[ u\in\mathbb R_C. \]
Nota lógica. En la interfaz clásica vigente, «\(A\) no vacío» y «\(A\) acotado superiormente» permiten instanciar localmente los testigos \(a\) y \(u\). Esto no es una elección de una familia, pero debe distinguirse de recibir esos testigos positivamente como parte de los datos de entrada.
Aplicamos Proposición 10.5.4 — Sucesiones de encajamiento asociadas a \(A\) a \(A,a,u\). Obtenemos las sucesiones \((\ell_n)\) y \((r_n)\), y Lema 10.5.5 — Invariantes del encajamiento asegura para todo \(n\) que
\[ \ell_n\text{ no es cota superior de }A, \]
mientras que
\[ r_n\text{ sí es cota superior de }A. \]
Por Teorema 10.5.7 — Los extremos encajados convergen a una frontera común existe \(L\in\mathbb R_C\) con
\[ \ell_n\to_C L, \qquad r_n\to_C L. \]
Demostraremos que \(L\) es la menor cota superior de \(A\).
Primero, \(L\) es cota superior. Sea \(x\in A\). Supongamos, por contradicción,
\[ L<_Cx. \]
Entonces
\[ \varepsilon:=x-L \]
es positivo. Como \(r_n\to_C L\), existe \(N\) tal que
\[ |r_N-L|<_Cx-L. \]
Por Proposición 4.2.2 — Propiedades elementales del valor absoluto,
\[ r_N-L \le_C |r_N-L| <_C x-L. \]
La invariancia del orden por traslación da
\[ r_N<_Cx. \]
Pero \(r_N\) es cota superior de \(A\) y \(x\in A\), luego
\[ x\le_Cr_N, \]
contradicción. Por totalidad del orden, necesariamente
\[ x\le_CL. \]
Como \(x\in A\) era arbitrario, \(L\) es cota superior de \(A\).
Segundo, \(L\) es menor o igual que toda cota superior. Sea \(c\) una cota superior cualquiera de \(A\). Supongamos, por contradicción,
\[ c<_CL. \]
Entonces
\[ \varepsilon:=L-c>_C0_C. \]
Como \(\ell_n\to_C L\), existe \(N\) tal que
\[ |\ell_N-L|<_CL-c. \]
Por simetría del valor absoluto y Proposición 4.2.2 — Propiedades elementales del valor absoluto,
\[ L-\ell_N \le_C |L-\ell_N| = |\ell_N-L| <_C L-c. \]
Trasladando la desigualdad obtenemos
\[ c<_C\ell_N. \]
Ahora bien, \(\ell_N\) no es cota superior de \(A\). Por definición de cota superior,
\[ \neg\forall y\in A\;(y\le_C\ell_N). \]
Por lógica clásica existe \(y\in A\) tal que
\[ \neg(y\le_C\ell_N). \]
Como el orden es total,
\[ \ell_N<_Cy. \]
Pero \(c\) es cota superior y \(y\in A\), por lo que
\[ y\le_Cc. \]
Hemos obtenido
\[ c<_C\ell_N<_Cy\le_Cc, \]
contradicción. Por tanto
\[ L\le_Cc \]
para toda cota superior \(c\) de \(A\).
Hemos demostrado exactamente las dos condiciones de Definición 0.7.7 — Supremo e ínfimo: \(L\) es cota superior de \(A\) y no excede a ninguna otra cota superior. Luego
\[ L=\sup A. \]
∎
Nota fundacional. El teorema establece existencia y unicidad extensional del supremo para cada conjunto que satisface las hipótesis. No construye un operador computable uniforme \[ A\longmapsto\sup A. \] En particular, \[ \boxed{ \text{propiedad del supremo} \neq \text{algoritmo de supremo}. } \]
Corolario 10.5.9 — \(\mathbb R_C\) es un cuerpo ordenado completo
Se tiene
\[ \boxed{ (\mathbb R_C,+_C,\cdot_C,\le_C) \text{ es un cuerpo ordenado completo}. } \]
Demostración.
Teorema 9.10.3 — \(\mathbb R_C\) es un cuerpo ordenado demuestra que \(\mathbb R_C\) es un cuerpo ordenado. Teorema 10.5.8 — Propiedad del supremo de \(\mathbb R_C\) demuestra que todo subconjunto no vacío y acotado superiormente de \(\mathbb R_C\) posee supremo. Ésta es exactamente la propiedad exigida por Definición 4.6.1 — Propiedad del supremo y cuerpo ordenado completo para ser un cuerpo ordenado completo. ∎
Conclusión de la sección. La construcción por Cauchy ha alcanzado ahora la misma propiedad estructural que se exigió abstractamente en el capítulo 4: \(\mathbb R_C\) no sólo absorbe todas sus sucesiones de Cauchy, sino que tampoco contiene huecos de orden. La prueba se obtuvo desde su propia completitud secuencial y su propia estructura ordenada, sin utilizar cortaduras de Dedekind.
10.6. Conclusión: la completación de Cauchy de \(\mathbb Q\)
La construcción iniciada en el capítulo 8 tenía un objetivo preciso. No bastaba con fabricar un cuerpo que contuviera una copia ordenada de \(\mathbb Q\); había que demostrar que el nuevo sistema eliminaba efectivamente la insuficiencia que motivó su introducción.
El camino recorrido ha establecido dos formas de completitud. Primero, Corolario 10.4.8 — \(\mathbb R_C\) es secuencialmente completo mostró que toda sucesión de Cauchy en \(\mathbb R_C\) converge. Después, Teorema 10.5.8 — Propiedad del supremo de \(\mathbb R_C\) y Corolario 10.5.9 — \(\mathbb R_C\) es un cuerpo ordenado completo demostraron que todo subconjunto no vacío y acotado superiormente posee supremo. Por tanto, la construcción secuencial ha recuperado exactamente la noción de cuerpo ordenado completo fijada abstractamente en el capítulo 4.
Falta únicamente reunir esa estructura con la incrustación racional ya construida.
Proposición 10.6.1 — \((\mathbb R_C,\iota_C)\) es una completación ordenada de \(\mathbb Q\)
Se tiene
\[ \boxed{ (\mathbb R_C,\iota_C) \text{ es una completación ordenada de }\mathbb Q. } \]
Demostración.
La definición Definición 4.8.2 — Completación ordenada de \(\mathbb Q\) exige exactamente dos condiciones.
La primera es que el cuerpo ambiente sea un cuerpo ordenado completo. Esto es Corolario 10.5.9 — \(\mathbb R_C\) es un cuerpo ordenado completo:
\[ (\mathbb R_C,+_C,\cdot_C,\le_C) \text{ es un cuerpo ordenado completo}. \]
La segunda es que la aplicación estructural
\[ \iota_C:\mathbb Q\longrightarrow\mathbb R_C \]
sea una incrustación de cuerpos ordenados. Esto es precisamente Corolario 9.10.4 — La aplicación racional es una incrustación de cuerpos ordenados.
Se satisfacen, por tanto, las dos cláusulas de Definición 4.8.2 — Completación ordenada de \(\mathbb Q\), y concluimos que
\[ (\mathbb R_C,\iota_C) \]
es una completación ordenada de \(\mathbb Q\). ∎
Corolario 10.6.2 — Densidad de la copia racional en \(\mathbb R_C\)
Si
\[ x,y\in\mathbb R_C \qquad\text{y}\qquad x<_Cy, \]
entonces existe \(q\in\mathbb Q\) tal que
\[ \boxed{ x<_C\iota_C(q)<_Cy. } \]
Demostración.
Por Proposición 10.6.1 — \((\mathbb R_C,\iota_C)\) es una completación ordenada de \(\mathbb Q\), el par \((\mathbb R_C,\iota_C)\) es una completación ordenada de \(\mathbb Q\). La proposición general Proposición 4.8.3 — La imagen racional de una completación es densa afirma que la imagen racional de toda completación ordenada es densa. Aplicándola a esta completación obtenemos un racional \(q\) con
\[ x<_C\iota_C(q)<_Cy. \]
∎
Nota conceptual. En §10.1 sólo habíamos demostrado que dentro de toda escala positiva de \(\mathbb R_C\) cabe una escala racional positiva. Ahora obtenemos la densidad global de la copia racional entre dos elementos arbitrarios del cuerpo. No es una hipótesis añadida a la construcción: es una consecuencia de haber alcanzado la estructura de completación ordenada.
Cierre del capítulo
La segunda construcción de los números reales queda concluida.
Partimos de la falla secuencial de \(\mathbb Q\) y formamos el conjunto de sus sucesiones de Cauchy. Identificamos después dos procesos cuando su diferencia es nula,
\[ a\sim_C b \iff a-b\in\mathcal N_{\mathbb Q}, \]
y obtuvimos el cociente
\[ \mathbb R_C = \mathcal C_{\mathbb Q}/{\sim_C}. \]
Sobre ese cociente construimos suma, producto, opuestos, inversos y orden; demostramos que constituye un cuerpo ordenado; incorporamos a \(\mathbb Q\) mediante
\[ \iota_C(q)=[\underline q]_C; \]
construimos después, sin selección numerable de representantes, un límite canónico para toda sucesión de Cauchy de elementos de \(\mathbb R_C\); y finalmente dedujimos de esa completitud secuencial la propiedad del supremo.
La cadena estructural obtenida puede resumirse así:
\[ \boxed{ \mathbb Q \xrightarrow{\ \iota_C\ } \mathbb R_C \quad\text{con}\quad \mathbb R_C \text{ cuerpo ordenado completo} } \]
y, más precisamente,
\[ \boxed{ (\mathbb R_C,\iota_C) \text{ es una completación ordenada de }\mathbb Q. } \]
Toda esta construcción se ha desarrollado sin utilizar la completitud de \(\mathbb R_D\), sin convertir una cortadura en un número de Cauchy y sin identificar los dos modelos.
Disponemos ahora de dos objetos construidos independientemente,
\[ (\mathbb R_D,\iota_D) \qquad\text{y}\qquad (\mathbb R_C,\iota_C), \]
cada uno de los cuales realiza una completación ordenada de \(\mathbb Q\). El problema siguiente ya no es construir números reales, sino comparar las dos realizaciones y demostrar rigurosamente en qué sentido representan una misma estructura.
Ése será el objeto del Capítulo 11 — Dedekind y Cauchy.