Tratado de análisis — Capítulo 9 — El cuerpo de Cauchy
Capítulo 9 — El cuerpo de Cauchy
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Parte I — Fundamentos y construcción de los números reales
9.1. El conjunto de sucesiones racionales de Cauchy
El conjunto de representantes ya fue construido en Definición 8.4.2 — Conjunto de las sucesiones racionales de Cauchy:
\[ \boxed{ \mathcal C_{\mathbb Q} = \{q\in\mathbb Q^{\mathbb N}:q\text{ es de Cauchy}\}. } \]
Por tanto, no introduciremos un segundo conjunto bajo la notación \(\mathcal C(\mathbb Q)\). La forma \(\mathcal C_{\mathbb Q}\) queda conservada como notación canónica.
También sabemos ya dos hechos esenciales:
- \(\mathcal C_{\mathbb Q}\) es no vacío, porque contiene todas las sucesiones constantes (Proposición 8.4.4 — Las sucesiones constantes son de Cauchy);
- todo elemento de \(\mathcal C_{\mathbb Q}\) es una sucesión racional acotada (Teorema 8.6.3 — Toda sucesión racional de Cauchy es acotada).
El segundo hecho será decisivo cuando estudiemos el producto: una perturbación que tienda a cero seguirá tendiendo a cero después de multiplicarla por una sucesión de Cauchy, precisamente porque ésta es acotada.
Antes de usar esa observación debemos aislar formalmente las sucesiones que tienden a cero.
9.2. Sucesiones nulas
Definición 9.2.1 — Sucesión racional nula y conjunto \(\mathcal N_{\mathbb Q}\)
Sea
\[ q=(q_n)_{n\in\mathbb N}\in\mathbb Q^{\mathbb N}. \]
Diremos que \(q\) es una sucesión racional nula si converge racionalmente a \(0_{\mathbb Q}\):
\[ \boxed{ q_n\to_{\mathbb Q}0_{\mathbb Q}. } \]
Definimos el conjunto de las sucesiones racionales nulas por
\[ \boxed{ \mathcal N_{\mathbb Q} := \left\{ q\in\mathbb Q^{\mathbb N}: q_n\to_{\mathbb Q}0_{\mathbb Q} \right\}. } \]
Este conjunto existe por separación dentro de \(\mathbb Q^{\mathbb N}\).
Desplegando Definición 8.3.1 — Convergencia racional, la condición \(q\in\mathcal N_{\mathbb Q}\) significa
\[ \forall\varepsilon\in\mathbb Q\; \Bigl( 0<\varepsilon \Longrightarrow \exists N\in\mathbb N\; \forall n\in\mathbb N\; \bigl( N\le n \Longrightarrow |q_n|<\varepsilon \bigr) \Bigr). \]
No hay aquí una nueva noción de convergencia: «nula» es el caso particular del límite racional igual a cero.
Proposición 9.2.2 — Toda sucesión nula es de Cauchy
Se tiene
\[ \boxed{ \mathcal N_{\mathbb Q} \subseteq \mathcal C_{\mathbb Q}. } \]
Demostración.
Sea \(q\in\mathcal N_{\mathbb Q}\). Por Definición 9.2.1 — Sucesión racional nula y conjunto \(\mathcal N_{\mathbb Q}\),
\[ q_n\to_{\mathbb Q}0_{\mathbb Q}. \]
El teorema Teorema 8.5.1 — Toda sucesión racionalmente convergente es de Cauchy afirma que toda sucesión racionalmente convergente es de Cauchy. Por tanto
\[ q\in\mathcal C_{\mathbb Q}. \]
Como \(q\) era arbitraria,
\[ \mathcal N_{\mathbb Q}\subseteq\mathcal C_{\mathbb Q}. \]
∎
Proposición 9.2.3 — Estabilidad aditiva de las sucesiones nulas
Para \(u,v\in\mathbb Q^{\mathbb N}\):
- la sucesión constante \(\underline{0_{\mathbb Q}}\) pertenece a \(\mathcal N_{\mathbb Q}\);
- si \(u,v\in\mathcal N_{\mathbb Q}\), entonces \(u+v\in\mathcal N_{\mathbb Q}\);
- si \(u\in\mathcal N_{\mathbb Q}\), entonces \(-u\in\mathcal N_{\mathbb Q}\);
- si \(u,v\in\mathcal N_{\mathbb Q}\), entonces \(u-v\in\mathcal N_{\mathbb Q}\).
Demostración.
(1) Por Proposición 8.3.4 — Las sucesiones constantes convergen a su valor, toda sucesión constante converge racionalmente a su valor. En particular,
\[ \underline{0_{\mathbb Q}}{}_n \to_{\mathbb Q} 0_{\mathbb Q}. \]
Luego
\[ \underline{0_{\mathbb Q}}\in\mathcal N_{\mathbb Q}. \]
(2) Supongamos
\[ u,v\in\mathcal N_{\mathbb Q}. \]
Sea \(\varepsilon\in\mathbb Q\) con \(0<\varepsilon\). Pongamos
\[ s:=1_{\mathbb Q}+1_{\mathbb Q} \]
y
\[ \eta:=\frac{\varepsilon}{s}. \]
Por Lema 4.1.3 — Cálculo elemental de signos en un cuerpo ordenado, Proposición 3.6.5 — Ley del inverso multiplicativo y las leyes del cuerpo racional, \(s>0\), \(\eta>0\) y
\[ \eta+\eta=\varepsilon. \]
Como \(u\) es nula, existe \(N_u\in\mathbb N\) tal que
\[ N_u\le n \Longrightarrow |u_n|<\eta. \]
Como \(v\) es nula, existe \(N_v\in\mathbb N\) tal que
\[ N_v\le n \Longrightarrow |v_n|<\eta. \]
El orden natural es total (Teorema 1.6.5 — Orden total). Por tanto
\[ N_u\le N_v \qquad\text{o}\qquad N_v\le N_u. \]
En el primer caso tomamos \(N:=N_v\); en el segundo, \(N:=N_u\). Así
\[ N_u\le N \qquad\text{y}\qquad N_v\le N. \]
Sea \(n\in\mathbb N\) con \(N\le n\). Por transitividad,
\[ |u_n|<\eta, \qquad |v_n|<\eta. \]
La desigualdad triangular del valor absoluto (Teorema 4.2.3 — Desigualdad triangular) da
\[ |u_n+v_n| \le |u_n|+|v_n|. \]
La compatibilidad estricta del orden con la suma produce
\[ |u_n|+|v_n| < \eta+\eta = \varepsilon. \]
Por tanto
\[ |(u+v)_n|<\varepsilon. \]
Hemos demostrado
\[ u+v\in\mathcal N_{\mathbb Q}. \]
(3) Supongamos \(u\in\mathcal N_{\mathbb Q}\). Sea \(\varepsilon>0\). Existe \(N\) tal que para \(n\ge N\),
\[ |u_n|<\varepsilon. \]
Por la invariancia del valor absoluto frente al opuesto (Proposición 4.2.2 — Propiedades elementales del valor absoluto),
\[ |(-u)_n| = |-u_n| = |u_n| < \varepsilon. \]
Así
\[ -u\in\mathcal N_{\mathbb Q}. \]
(4) Si \(u,v\in\mathcal N_{\mathbb Q}\), entonces por \(3\),
\[ -v\in\mathcal N_{\mathbb Q}, \]
y por \(2\),
\[ u+(-v)\in\mathcal N_{\mathbb Q}. \]
Como la sustracción puntual fue definida por
\[ u-v=u+(-v), \]
concluimos
\[ u-v\in\mathcal N_{\mathbb Q}. \]
∎
Lema 9.2.4 — Producto de una sucesión acotada por una sucesión nula
Sean
\[ u=(u_n)_{n\in\mathbb N}, \qquad v=(v_n)_{n\in\mathbb N} \]
sucesiones racionales. Si \(u\) es acotada y \(v\) es nula, entonces la sucesión producto \(uv\) es nula.
Demostración.
Como \(u\) es acotada, existe \(M\in\mathbb Q\) tal que
\[ 0\le M \]
y
\[ |u_n|\le M \qquad \text{para todo }n\in\mathbb N. \]
Definamos
\[ H:=M+1_{\mathbb Q}. \]
Como \(0\le M\) y \(0<1_{\mathbb Q}\),
\[ 0<H \]
y además
\[ M<H. \]
Sea ahora \(\varepsilon\in\mathbb Q\) con \(0<\varepsilon\). Definamos
\[ \delta:=\frac{\varepsilon}{H}. \]
Como \(H>0\), su inverso es positivo y por tanto
\[ 0<\delta. \]
Además,
\[ H\delta = H\frac{\varepsilon}{H} = \varepsilon. \]
Como \(v\) es nula, existe \(N\in\mathbb N\) tal que, para todo \(n\ge N\),
\[ |v_n|<\delta. \]
Sea \(n\ge N\). Por multiplicatividad del valor absoluto,
\[ |(uv)_n| = |u_nv_n| = |u_n|\,|v_n|. \]
Como
\[ |u_n|\le M\le H \]
y \(|v_n|\ge0\), la compatibilidad del orden con el producto da
\[ |u_n|\,|v_n| \le H|v_n|. \]
De
\[ |v_n|<\delta \]
y \(H>0\), la compatibilidad estricta del orden con la multiplicación por un factor positivo produce
\[ H|v_n| < H\delta = \varepsilon. \]
Por transitividad,
\[ |(uv)_n|<\varepsilon. \]
Como \(\varepsilon>0\) era arbitraria,
\[ uv\in\mathcal N_{\mathbb Q}. \]
∎
Nota fundacional. De la acotación se utiliza un único testigo \(M\) para la sucesión fija \(u\), y de la nulidad un único índice para la precisión \(\delta\) construida. No interviene Choice.
Corolario 9.2.5 — Producto de una sucesión de Cauchy por una sucesión nula
Si
\[ u\in\mathcal C_{\mathbb Q} \]
y
\[ v\in\mathcal N_{\mathbb Q}, \]
entonces
\[ \boxed{ uv\in\mathcal N_{\mathbb Q}. } \]
Demostración.
Por Teorema 8.6.3 — Toda sucesión racional de Cauchy es acotada, toda sucesión racional de Cauchy es acotada. Por tanto \(u\) es acotada.
Aplicando Lema 9.2.4 — Producto de una sucesión acotada por una sucesión nula a \(u\) y \(v\) obtenemos
\[ uv\in\mathcal N_{\mathbb Q}. \]
∎
Lo que hemos ganado
Disponemos ahora de dos capas de sucesiones racionales:
\[ \mathcal N_{\mathbb Q} \subseteq \mathcal C_{\mathbb Q} \subseteq \mathbb Q^{\mathbb N}. \]
Las sucesiones nulas son precisamente las perturbaciones que desaparecen asintóticamente. Son estables bajo suma, opuesto y diferencia, y permanecen nulas al multiplicarlas por cualquier sucesión de Cauchy:
\[ u\in\mathcal C_{\mathbb Q}, \quad v\in\mathcal N_{\mathbb Q} \Longrightarrow uv\in\mathcal N_{\mathbb Q}. \]
Con esta infraestructura ya podemos definir rigurosamente cuándo dos sucesiones de Cauchy representan la misma posición asintótica:
\[ a\sim_C b \quad\Longleftrightarrow\quad a-b\in\mathcal N_{\mathbb Q}. \]
Ése será el contenido de §9.3. Todavía no formaremos el cociente hasta haber demostrado que \(\sim_C\) es una relación de equivalencia.
9.3. Relación de equivalencia
Dos sucesiones de Cauchy no deben representar números distintos si su diferencia se hace asintóticamente despreciable. La noción de sucesión nula construida en §9.2 permite expresar esta idea sin invocar ningún número real previamente existente.
Definición 9.3.1 — Equivalencia de Cauchy
Definimos una relación sobre \(\mathcal C_{\mathbb Q}\) por
\[ \boxed{ a\sim_C b \iff a-b\in\mathcal N_{\mathbb Q}. } \]
Conjuntistamente,
\[ \boxed{ \sim_C := \left\{ \langle a,b\rangle \in \mathcal C_{\mathbb Q}\times\mathcal C_{\mathbb Q}: a-b\in\mathcal N_{\mathbb Q} \right\}. } \]
El producto cartesiano \(\mathcal C_{\mathbb Q}\times\mathcal C_{\mathbb Q}\) existe por Proposición 0.3.7 — Existencia del producto cartesiano, y el subconjunto indicado existe por separación. Como \(a,b\in\mathcal C_{\mathbb Q}\subseteq\mathbb Q^{\mathbb N}\), la diferencia puntual \(a-b\) está definida por Definición 8.1.3 — Operaciones puntuales sobre sucesiones racionales. Por tanto \(\sim_C\) es una relación binaria bien formada sobre \(\mathcal C_{\mathbb Q}\).
Desplegando las definiciones, para \(a,b\in\mathcal C_{\mathbb Q}\) tenemos
\[ a\sim_C b \]
si y sólo si
\[ \forall\varepsilon\in\mathbb Q\; \Bigl( 0<\varepsilon \Longrightarrow \exists N\in\mathbb N\; \forall n\in\mathbb N\; \bigl( N\le n \Longrightarrow |a_n-b_n|<\varepsilon \bigr) \Bigr). \]
Equivalentemente, mediante la distancia racional,
\[ \forall\varepsilon>0\; \exists N\in\mathbb N\; \forall n\ge N, \qquad d_{\mathbb Q}(a_n,b_n)<\varepsilon. \]
Así, \(a\sim_C b\) significa exactamente que ambas sucesiones se hacen mutuamente arbitrariamente próximas en sentido racional.
Proposición 9.3.2 — \(\sim_C\) es una relación de equivalencia
La relación \(\sim_C\) es reflexiva, simétrica y transitiva sobre \(\mathcal C_{\mathbb Q}\). En consecuencia, es una relación de equivalencia.
Demostración.
Reflexividad. Sea \(a\in\mathcal C_{\mathbb Q}\). Para todo \(n\in\mathbb N\),
\[ (a-a)_n = a_n-a_n = 0_{\mathbb Q} = \underline{0_{\mathbb Q}}{}_n. \]
Por el criterio término a término Proposición 8.1.2 — Criterio término a término para la igualdad de sucesiones,
\[ a-a=\underline{0_{\mathbb Q}}. \]
La proposición Proposición 9.2.3 — Estabilidad aditiva de las sucesiones nulas (1) da
\[ \underline{0_{\mathbb Q}}\in\mathcal N_{\mathbb Q}. \]
Por tanto
\[ a-a\in\mathcal N_{\mathbb Q}, \]
y, por definición,
\[ a\sim_C a. \]
Simetría. Sean \(a,b\in\mathcal C_{\mathbb Q}\) y supongamos
\[ a\sim_C b. \]
Entonces
\[ a-b\in\mathcal N_{\mathbb Q}. \]
Por la estabilidad bajo opuestos de Proposición 9.2.3 — Estabilidad aditiva de las sucesiones nulas,
\[ -(a-b)\in\mathcal N_{\mathbb Q}. \]
Para cada \(n\in\mathbb N\), las leyes del grupo aditivo racional dan
\[ \bigl(-(a-b)\bigr)_n = -(a_n-b_n) = b_n-a_n = (b-a)_n. \]
Por Proposición 8.1.2 — Criterio término a término para la igualdad de sucesiones,
\[ b-a=-(a-b). \]
Así
\[ b-a\in\mathcal N_{\mathbb Q}, \]
y por tanto
\[ b\sim_C a. \]
Transitividad. Sean \(a,b,c\in\mathcal C_{\mathbb Q}\) y supongamos
\[ a\sim_C b \qquad\text{y}\qquad b\sim_C c. \]
Entonces
\[ a-b\in\mathcal N_{\mathbb Q}, \qquad b-c\in\mathcal N_{\mathbb Q}. \]
Por la estabilidad bajo suma de Proposición 9.2.3 — Estabilidad aditiva de las sucesiones nulas,
\[ (a-b)+(b-c)\in\mathcal N_{\mathbb Q}. \]
Para todo \(n\in\mathbb N\),
\[ \begin{aligned} \bigl((a-b)+(b-c)\bigr)_n &=(a_n-b_n)+(b_n-c_n)\\ &=a_n-c_n\\ &=(a-c)_n, \end{aligned} \]
por las leyes del grupo aditivo racional. El criterio término a término produce
\[ a-c=(a-b)+(b-c). \]
Por consiguiente,
\[ a-c\in\mathcal N_{\mathbb Q}, \]
y entonces
\[ a\sim_C c. \]
Hemos verificado reflexividad, simetría y transitividad. Por Definición 0.4.7 — Relación de equivalencia, \(\sim_C\) es una relación de equivalencia sobre \(\mathcal C_{\mathbb Q}\). ∎
Lo que hemos ganado
Ya no tenemos solamente una colección de sucesiones de Cauchy, sino una noción rigurosa de cuándo dos de ellas describen la misma posición asintótica:
\[ \boxed{ a\sim_C b \iff a-b\in\mathcal N_{\mathbb Q}. } \]
La relación está definida como un conjunto y ha sido demostrada equivalente en el sentido formal de Definición 0.4.7 — Relación de equivalencia. Por tanto, el siguiente objeto está ahora legitimado conjuntistamente:
\[ \mathcal C_{\mathbb Q}/{\sim_C}. \]
Sólo en §9.4 daremos a ese cociente el nombre \(\mathbb R_C\); hasta entonces no identificamos ninguna sucesión con su futura clase de equivalencia.
9.4. Construcción del cociente
La relación de equivalencia ya está construida. Podemos efectuar ahora el paso que convierte los procesos racionales en nuevos objetos: cada nuevo número será una clase completa de sucesiones de Cauchy mutuamente equivalentes, no una sucesión privilegiada.
Esta distinción es estructural. Si \(a\in\mathcal C_{\mathbb Q}\), entonces \(a\) seguirá siendo una función \(\mathbb N\to\mathbb Q\). El nuevo objeto asociado a \(a\) será su clase de equivalencia. No identificaremos ambos niveles.
Proposición 9.4.1 — Existencia del cociente de Cauchy
Existe el conjunto cociente
\[ \boxed{ \mathcal C_{\mathbb Q}/{\sim_C}. } \]
Demostración.
Por Proposición 9.3.2 — \(\sim_C\) es una relación de equivalencia, \(\sim_C\) es una relación de equivalencia sobre \(\mathcal C_{\mathbb Q}\). El resultado general Proposición 0.5.8 — Existencia del cociente garantiza entonces la existencia del conjunto cociente asociado a una relación de equivalencia. Aplicándolo a
\[ A=\mathcal C_{\mathbb Q} \]
y a la relación \(\sim_C\), obtenemos la existencia de
\[ \mathcal C_{\mathbb Q}/{\sim_C}. \]
No se selecciona un representante de cada clase: el cociente es el conjunto de las clases mismas. ∎
Definición 9.4.2 — El conjunto de los reales de Cauchy
Definimos el conjunto de los reales de Cauchy por
\[ \boxed{ \mathbb R_C := \mathcal C_{\mathbb Q}/{\sim_C}. } \]
En este punto \(\mathbb R_C\) es únicamente un conjunto. Todavía no hemos definido en él suma, producto, cero, unidad, opuestos, inversos ni orden, y por tanto no hemos demostrado aún que sea un cuerpo ordenado ni que sea completo.
El subíndice \(C\) se conservará hasta comparar esta construcción con el modelo de Dedekind \(\mathbb R_D\).
Notación 9.4.3 — Clases de Cauchy
Para cada
\[ a\in\mathcal C_{\mathbb Q}, \]
denotaremos su clase de equivalencia respecto de \(\sim_C\) por
\[ \boxed{ [a]_C. } \]
Es decir,
\[ [a]_C:=[a]_{\sim_C}. \]
Por definición del cociente,
\[ [a]_C\in\mathbb R_C. \]
Debe mantenerse permanentemente la distinción de tipos
\[ \boxed{ a\in\mathcal C_{\mathbb Q}, \qquad [a]_C\in\mathbb R_C. } \]
Una sucesión es un representante; una clase es el nuevo objeto numérico. No se escribirá \(a=[a]_C\).
Proposición 9.4.4 — Representantes y criterio de igualdad de clases de Cauchy
Se cumplen las siguientes propiedades:
- para todo \(a\in\mathcal C_{\mathbb Q}\), \[ [a]_C\in\mathbb R_C; \]
- para todo \(x\in\mathbb R_C\), existe \(a\in\mathcal C_{\mathbb Q}\) tal que \[ x=[a]_C; \]
- para cualesquiera \(a,b\in\mathcal C_{\mathbb Q}\), \[ \boxed{ [a]_C=[b]_C \iff a\sim_C b \iff a-b\in\mathcal N_{\mathbb Q}. } \]
Demostración.
Las dos primeras afirmaciones son consecuencias directas de la definición general de cociente Definición 0.5.7 — Conjunto cociente, aplicada a
\[ \mathbb R_C = \mathcal C_{\mathbb Q}/{\sim_C}. \]
En efecto, los elementos del cociente son precisamente las clases \([a]_C\) con \(a\in\mathcal C_{\mathbb Q}\).
Para la tercera afirmación, sean \(a,b\in\mathcal C_{\mathbb Q}\). El lema general de igualdad de clases Lema 0.5.3 — Igualdad de clases da
\[ [a]_C=[b]_C \iff a\sim_C b. \]
Por la definición de la equivalencia de Cauchy Definición 9.3.1 — Equivalencia de Cauchy,
\[ a\sim_C b \iff a-b\in\mathcal N_{\mathbb Q}. \]
Encadenando ambas equivalencias obtenemos
\[ [a]_C=[b]_C \iff a\sim_C b \iff a-b\in\mathcal N_{\mathbb Q}. \]
Esto prueba las tres afirmaciones. ∎
Nota conceptual. La igualdad en \(\mathbb R_C\) no exige que dos representantes coincidan término a término. Exige exactamente que su diferencia sea asintóticamente nula. Ésta es la identificación que permitirá que procesos racionales distintos representen el mismo número.
Nota fundacional. El criterio \[ [a]_C=[b]_C\iff a-b\in\mathcal N_{\mathbb Q} \] caracteriza exactamente la igualdad, pero no la vuelve decidible para representantes arbitrarios: \[ \boxed{\text{igualdad caracterizada}\neq\text{igualdad decidible en }\mathbb R_C.} \]
Lo que hemos ganado
Por primera vez en la construcción de Cauchy disponemos de un conjunto que contiene los futuros números reales:
\[ \boxed{ \mathbb R_C = \mathcal C_{\mathbb Q}/{\sim_C}. } \]
Pero todavía no es legítimo tratarlo como cuerpo. Las operaciones término a término viven en \(\mathcal C_{\mathbb Q}\); para trasladarlas a \(\mathbb R_C\) debemos demostrar que el resultado no depende del representante escogido.
El criterio
\[ [a]_C=[b]_C \iff a-b\in\mathcal N_{\mathbb Q} \]
será precisamente la herramienta de control. El siguiente problema es §9.5: demostrar que suma y producto término a término son compatibles con \(\sim_C\) y, sólo después, hacerlas descender al cociente.
9.5. Suma y producto en el cociente
Las operaciones término a término ya existen sobre todo el espacio de sucesiones racionales Definición 8.1.3 — Operaciones puntuales sobre sucesiones racionales. Sin embargo, no podemos trasladarlas automáticamente al cociente. Hay dos obstáculos distintos que deben resolverse en este orden:
- si \(a,b\in\mathcal C_{\mathbb Q}\), debemos demostrar que \(a+b\) y \(ab\) siguen siendo sucesiones de Cauchy;
- si sustituimos \(a\) y \(b\) por representantes equivalentes, debemos demostrar que las clases de \(a+b\) y \(ab\) no cambian.
Sólo después de resolver ambos problemas será legítimo definir suma y producto en \(\mathbb R_C\).
Proposición 9.5.1 — Estabilidad de \(\mathcal C_{\mathbb Q}\) bajo suma y producto
Sean
\[ a,b\in\mathcal C_{\mathbb Q}. \]
Entonces
\[ \boxed{ a+b\in\mathcal C_{\mathbb Q} } \]
y
\[ \boxed{ ab\in\mathcal C_{\mathbb Q}. } \]
Demostración.
Suma. Sea \(\varepsilon\in\mathbb Q\) con \(0<\varepsilon\). Pongamos
\[ s:=1_{\mathbb Q}+1_{\mathbb Q} \]
y
\[ \eta:=\frac{\varepsilon}{s}. \]
Como \(\mathbb Q\) es un cuerpo ordenado, \(s>0\), \(\eta>0\) y
\[ \eta+\eta=\varepsilon. \]
Como \(a\) es de Cauchy, existe \(N_a\in\mathbb N\) tal que para cualesquiera \(m,n\in\mathbb N\),
\[ N_a\le m, \quad N_a\le n \Longrightarrow |a_n-a_m|<\eta. \]
Como \(b\) es de Cauchy, existe \(N_b\in\mathbb N\) tal que
\[ N_b\le m, \quad N_b\le n \Longrightarrow |b_n-b_m|<\eta. \]
Por totalidad del orden natural, uno de los índices \(N_a,N_b\) es mayor o igual que el otro. Tomamos ese índice como \(N\). Entonces
\[ N_a\le N, \qquad N_b\le N. \]
Sean \(m,n\in\mathbb N\) con \(N\le m\) y \(N\le n\). Por transitividad,
\[ |a_n-a_m|<\eta, \qquad |b_n-b_m|<\eta. \]
Usando la definición término a término de la suma y la desigualdad triangular,
\[ \begin{aligned} |(a+b)_n-(a+b)_m| &=|(a_n+b_n)-(a_m+b_m)|\\ &=|(a_n-a_m)+(b_n-b_m)|\\ &\le |a_n-a_m|+|b_n-b_m|\\ &<\eta+\eta\\ &=\varepsilon. \end{aligned} \]
Por tanto \(a+b\) es de Cauchy, y así
\[ a+b\in\mathcal C_{\mathbb Q}. \]
Producto. Por Teorema 8.6.3 — Toda sucesión racional de Cauchy es acotada, las sucesiones \(a\) y \(b\) son acotadas. Existen por tanto \(A,B\in\mathbb Q\) tales que
\[ 0\le A, \qquad 0\le B, \]
y, para todo \(k\in\mathbb N\),
\[ |a_k|\le A, \qquad |b_k|\le B. \]
Definamos
\[ H:=A+B+1_{\mathbb Q}. \]
Como \(A,B\ge0\) y \(1_{\mathbb Q}>0\),
\[ 0<H \]
y
\[ A+B<H. \]
Sea \(\varepsilon\in\mathbb Q\) con \(0<\varepsilon\) y pongamos
\[ \delta:=\frac{\varepsilon}{H}. \]
Entonces \(\delta>0\) y
\[ H\delta=\varepsilon. \]
Aplicando la condición de Cauchy de \(a\) y de \(b\) con la precisión \(\delta\), existen \(N_a,N_b\in\mathbb N\) tales que, para \(m,n\) suficientemente grandes,
\[ |a_n-a_m|<\delta, \qquad |b_n-b_m|<\delta. \]
Como antes, por totalidad del orden natural tomamos un único \(N\) mayor o igual que ambos índices. Sean \(m,n\ge N\). En el cuerpo racional,
\[ a_nb_n-a_mb_m = a_n(b_n-b_m)+b_m(a_n-a_m). \]
Por la desigualdad triangular y la multiplicatividad del valor absoluto,
\[ \begin{aligned} |a_nb_n-a_mb_m| &\le |a_n|\,|b_n-b_m|+|b_m|\,|a_n-a_m|\\ &\le A|b_n-b_m|+B|a_n-a_m|\\ &\le A\delta+B\delta\\ &=(A+B)\delta\\ &<H\delta\\ &=\varepsilon. \end{aligned} \]
En el tercer paso sólo usamos \(A,B\ge0\); no necesitamos que sean estrictamente positivos. La estricta desigualdad final procede de
\[ A+B<H \]
y \(\delta>0\).
Así \(ab\) satisface la condición de Cauchy y, por consiguiente,
\[ ab\in\mathcal C_{\mathbb Q}. \]
Esto prueba ambas afirmaciones. ∎
Proposición 9.5.2 — Compatibilidad de suma y producto con \(\sim_C\)
Sean
\[ a,a',b,b'\in\mathcal C_{\mathbb Q} \]
tales que
\[ a\sim_C a', \qquad b\sim_C b'. \]
Entonces
\[ \boxed{ a+b\sim_C a'+b' } \]
y
\[ \boxed{ ab\sim_C a'b'. } \]
Demostración.
Por Definición 9.3.1 — Equivalencia de Cauchy, las hipótesis significan
\[ a-a'\in\mathcal N_{\mathbb Q}, \qquad b-b'\in\mathcal N_{\mathbb Q}. \]
Compatibilidad con la suma. Por las leyes del cuerpo racional, aplicadas término a término,
\[ (a+b)-(a'+b') = (a-a')+(b-b'). \]
La igualdad de sucesiones se justifica por Proposición 8.1.2 — Criterio término a término para la igualdad de sucesiones, pues ambas expresiones coinciden en cada índice. Como \(\mathcal N_{\mathbb Q}\) es estable bajo suma (Proposición 9.2.3 — Estabilidad aditiva de las sucesiones nulas), obtenemos
\[ (a+b)-(a'+b')\in\mathcal N_{\mathbb Q}. \]
Además, Proposición 9.5.1 — Estabilidad de \(\mathcal C_{\mathbb Q}\) bajo suma y producto garantiza que \(a+b\) y \(a'+b'\) pertenecen a \(\mathcal C_{\mathbb Q}\). Por definición de \(\sim_C\),
\[ a+b\sim_C a'+b'. \]
Compatibilidad con el producto. En cada índice vale la identidad algebraica
\[ a_nb_n-a'_nb'_n = a_n(b_n-b'_n)+b'_n(a_n-a'_n). \]
Por Proposición 8.1.2 — Criterio término a término para la igualdad de sucesiones, esto da la igualdad de sucesiones
\[ ab-a'b' = a(b-b')+b'(a-a'). \]
Como \(a\in\mathcal C_{\mathbb Q}\) y \(b-b'\in\mathcal N_{\mathbb Q}\), el corolario Corolario 9.2.5 — Producto de una sucesión de Cauchy por una sucesión nula implica
\[ a(b-b')\in\mathcal N_{\mathbb Q}. \]
Análogamente, como \(b'\in\mathcal C_{\mathbb Q}\) y \(a-a'\in\mathcal N_{\mathbb Q}\),
\[ b'(a-a')\in\mathcal N_{\mathbb Q}. \]
La estabilidad aditiva de las sucesiones nulas produce entonces
\[ ab-a'b'\in\mathcal N_{\mathbb Q}. \]
Por Proposición 9.5.1 — Estabilidad de \(\mathcal C_{\mathbb Q}\) bajo suma y producto, tanto \(ab\) como \(a'b'\) pertenecen a \(\mathcal C_{\mathbb Q}\). Por definición de la equivalencia de Cauchy,
\[ ab\sim_C a'b'. \]
Quedan demostradas ambas compatibilidades. ∎
Interpretación. Este resultado es el verdadero criterio de buena definición. No afirma todavía que haya suma o producto en \(\mathbb R_C\); afirma que las operaciones sobre representantes son constantes sobre las clases de equivalencia pertinentes.
Proposición 9.5.3 — Existencia y unicidad de las operaciones inducidas
Existen funciones únicas
\[ S_C:\mathbb R_C\times\mathbb R_C\to\mathbb R_C \]
y
\[ P_C:\mathbb R_C\times\mathbb R_C\to\mathbb R_C \]
tales que, para cualesquiera \(a,b\in\mathcal C_{\mathbb Q}\),
\[ \boxed{ S_C\bigl(\langle[a]_C,[b]_C\rangle\bigr) = [a+b]_C } \]
y
\[ \boxed{ P_C\bigl(\langle[a]_C,[b]_C\rangle\bigr) = [ab]_C. } \]
Demostración.
Construiremos primero la suma. Dentro del conjunto
\[ (\mathbb R_C\times\mathbb R_C)\times\mathbb R_C \]
definimos por separación
\[ \begin{aligned} G_S := \bigl\{ &\langle\langle x,y\rangle,z\rangle \in (\mathbb R_C\times\mathbb R_C)\times\mathbb R_C:\\ &\exists a,b\in\mathcal C_{\mathbb Q}\, \bigl( x=[a]_C \land y=[b]_C \land z=[a+b]_C \bigr) \bigr\}. \end{aligned} \]
Sean \(x,y\in\mathbb R_C\). Por Proposición 9.4.4 — Representantes y criterio de igualdad de clases de Cauchy, existen representantes \(a,b\in\mathcal C_{\mathbb Q}\) tales que
\[ x=[a]_C, \qquad y=[b]_C. \]
Por Proposición 9.5.1 — Estabilidad de \(\mathcal C_{\mathbb Q}\) bajo suma y producto,
\[ a+b\in\mathcal C_{\mathbb Q}, \]
de modo que
\[ [a+b]_C\in\mathbb R_C. \]
Así existe al menos un \(z\in\mathbb R_C\) con
\[ \langle\langle x,y\rangle,z\rangle\in G_S. \]
Veamos la unicidad. Supongamos que otros representantes \(a',b'\in\mathcal C_{\mathbb Q}\) satisfacen
\[ x=[a']_C, \qquad y=[b']_C. \]
Entonces
\[ [a]_C=[a']_C, \qquad [b]_C=[b']_C. \]
Por Proposición 9.4.4 — Representantes y criterio de igualdad de clases de Cauchy,
\[ a\sim_C a', \qquad b\sim_C b'. \]
La compatibilidad demostrada en Proposición 9.5.2 — Compatibilidad de suma y producto con \(\sim_C\) da
\[ a+b\sim_C a'+b'. \]
Aplicando otra vez el criterio de igualdad de clases,
\[ [a+b]_C=[a'+b']_C. \]
Por tanto \(G_S\) es total y univaluado sobre \(\mathbb R_C\times\mathbb R_C\); con codominio \(\mathbb R_C\), es el grafo de una función
\[ S_C:\mathbb R_C\times\mathbb R_C\to\mathbb R_C. \]
La unicidad de esta función se sigue del criterio de igualdad de funciones Proposición 0.6.3 — Criterio de igualdad de funciones: cualquier otra función con la misma regla sobre clases coincide con \(S_C\) en cada par \(\langle x,y\rangle\), porque para ese par podemos tomar representantes locales \(a,b\) y ambos valores quedan forzados a ser \([a+b]_C\).
Para el producto definimos análogamente
\[ \begin{aligned} G_P := \bigl\{ &\langle\langle x,y\rangle,z\rangle \in (\mathbb R_C\times\mathbb R_C)\times\mathbb R_C:\\ &\exists a,b\in\mathcal C_{\mathbb Q}\, \bigl( x=[a]_C \land y=[b]_C \land z=[ab]_C \bigr) \bigr\}. \end{aligned} \]
La existencia del valor para cada par \(\langle x,y\rangle\) usa la clausura \(ab\in\mathcal C_{\mathbb Q}\) de Proposición 9.5.1 — Estabilidad de \(\mathcal C_{\mathbb Q}\) bajo suma y producto; la independencia de los representantes usa la compatibilidad
\[ a\sim_C a', \quad b\sim_C b' \Longrightarrow ab\sim_C a'b' \]
de Proposición 9.5.2 — Compatibilidad de suma y producto con \(\sim_C\). Así \(G_P\) es el grafo de una única función
\[ P_C:\mathbb R_C\times\mathbb R_C\to\mathbb R_C \]
con la propiedad requerida. ∎
Definición 9.5.4 — Suma y producto en \(\mathbb R_C\)
Sean \(+_C\) y \(\cdot_C\) las funciones únicas proporcionadas por Proposición 9.5.3 — Existencia y unicidad de las operaciones inducidas:
\[ +_C:\mathbb R_C\times\mathbb R_C\to\mathbb R_C, \qquad \cdot_C:\mathbb R_C\times\mathbb R_C\to\mathbb R_C. \]
Para \(x,y\in\mathbb R_C\) definimos
\[ x+_Cy := +_C\bigl(\langle x,y\rangle\bigr) \]
y
\[ x\cdot_C y := \cdot_C\bigl(\langle x,y\rangle\bigr). \]
Cuando el tipo de los operandos sea inequívoco, escribiremos simplemente
\[ x+y \qquad\text{y}\qquad xy. \]
En particular, para cualesquiera \(a,b\in\mathcal C_{\mathbb Q}\),
\[ \boxed{ [a]_C+[b]_C=[a+b]_C } \]
y
\[ \boxed{ [a]_C[b]_C=[ab]_C. } \]
Estas fórmulas no son reglas informales sobre representantes: son las ecuaciones que caracterizan las operaciones bien definidas en el cociente.
Decisión de notación. No se consume un nuevo
TA-NOT: los símbolos \(+\) y \(\cdot\) ya están activos y se sobrecargan por tipado, como en las extensiones numéricas anteriores. Los símbolos explícitos \(+_C\) y \(\cdot_C\) quedan disponibles cuando sea necesario distinguir la operación de Cauchy de otras operaciones.
Lo que hemos ganado
El conjunto \(\mathbb R_C\) ya posee dos operaciones binarias internas,
\[ +_C,\cdot_C: \mathbb R_C\times\mathbb R_C\to\mathbb R_C, \]
obtenidas directamente de la suma y el producto término a término de sucesiones racionales. La propiedad decisiva es que ambas operaciones son independientes del representante.
Todavía no hemos probado que estas operaciones satisfagan los axiomas de anillo o de cuerpo. En particular, aún debemos identificar sus elementos neutros, construir el opuesto aditivo, verificar las leyes algebraicas heredadas y, más adelante, resolver el problema sustancial de construir el inverso multiplicativo de una clase no nula.
La construcción continúa sin utilizar completitud de Dedekind, sin identificar \(\mathbb Q\) con un subconjunto de \(\mathbb R_C\) y sin ninguna forma de elección.
9.6. Cero, unidad, opuesto y estructura de anillo
Las operaciones binarias ya han descendido al cociente. El siguiente paso consiste en comprobar que la aritmética racional término a término transmite a las clases la estructura algebraica esperada.
Hay, sin embargo, una precaución que conviene mantener visible. Los símbolos \(0_{\mathbb Q}\) y \(1_{\mathbb Q}\) designan racionales; sus sucesiones constantes \(\underline{0_{\mathbb Q}}\) y \(\underline{1_{\mathbb Q}}\) son elementos de \(\mathcal C_{\mathbb Q}\); y sólo sus clases serán los elementos distinguidos de \(\mathbb R_C\). No identificaremos ninguno de estos tres niveles.
Definición 9.6.1 — Cero y unidad de Cauchy
Por Proposición 8.4.4 — Las sucesiones constantes son de Cauchy, las sucesiones constantes
\[ \underline{0_{\mathbb Q}}, \qquad \underline{1_{\mathbb Q}} \]
pertenecen a \(\mathcal C_{\mathbb Q}\). Por tanto sus clases pertenecen a \(\mathbb R_C\).
Definimos
\[ \boxed{ 0_C := [\underline{0_{\mathbb Q}}]_C } \]
y
\[ \boxed{ 1_C := [\underline{1_{\mathbb Q}}]_C. } \]
Así,
\[ 0_C,1_C\in\mathbb R_C. \]
Estas definiciones no identifican \(0_{\mathbb Q}\) con \(0_C\), ni \(1_{\mathbb Q}\) con \(1_C\). Los primeros son racionales; los segundos son clases de equivalencia de sucesiones racionales de Cauchy.
Proposición 9.6.2 — Leyes del cero y de la unidad
Para todo \(x\in\mathbb R_C\),
\[ \boxed{ x+0_C=0_C+x=x, } \]
\[ \boxed{ x1_C=1_Cx=x, } \]
y
\[ \boxed{ x0_C=0_Cx=0_C. } \]
Demostración.
Sea \(x\in\mathbb R_C\). Por Proposición 9.4.4 — Representantes y criterio de igualdad de clases de Cauchy, existe una sucesión
\[ a\in\mathcal C_{\mathbb Q} \]
tal que
\[ x=[a]_C. \]
Para cada \(n\in\mathbb N\), las leyes del grupo aditivo racional (Proposición 3.3.8 — Leyes del grupo aditivo racional) dan
\[ (a+\underline{0_{\mathbb Q}})_n = a_n+0_{\mathbb Q} = a_n. \]
Por igualdad término a término (Proposición 8.1.2 — Criterio término a término para la igualdad de sucesiones),
\[ a+\underline{0_{\mathbb Q}}=a. \]
Usando Definición 9.5.4 — Suma y producto en \(\mathbb R_C\) y Definición 9.6.1 — Cero y unidad de Cauchy,
\[ \begin{aligned} x+0_C &=[a]_C+[\underline{0_{\mathbb Q}}]_C\\ &=[a+\underline{0_{\mathbb Q}}]_C\\ &=[a]_C\\ &=x. \end{aligned} \]
La identidad \(0_C+x=x\) se demuestra del mismo modo, o bien usando la conmutatividad racional término a término.
Para la unidad, Proposición 3.4.5 — Leyes multiplicativas y distributivas da para todo \(n\),
\[ (a\,\underline{1_{\mathbb Q}})_n = a_n1_{\mathbb Q} = a_n, \]
por lo que
\[ a\,\underline{1_{\mathbb Q}}=a. \]
Así,
\[ x1_C =[a\,\underline{1_{\mathbb Q}}]_C =[a]_C =x, \]
y análogamente \(1_Cx=x\).
Finalmente, derivamos la absorción racional del cero de las leyes ya disponibles. Para cada \(n\), la distributividad de Proposición 3.4.5 — Leyes multiplicativas y distributivas da
\[ a_n0_{\mathbb Q} = a_n(0_{\mathbb Q}+0_{\mathbb Q}) = a_n0_{\mathbb Q}+a_n0_{\mathbb Q}. \]
Cancelando aditivamente \(a_n0_{\mathbb Q}\) mediante las leyes de grupo de Proposición 3.3.8 — Leyes del grupo aditivo racional, obtenemos
\[ a_n0_{\mathbb Q}=0_{\mathbb Q}. \]
Por tanto
\[ (a\,\underline{0_{\mathbb Q}})_n = 0_{\mathbb Q} = \underline{0_{\mathbb Q}}{}_n. \]
Luego
\[ a\,\underline{0_{\mathbb Q}} = \underline{0_{\mathbb Q}}, \]
y por tanto
\[ x0_C=0_C. \]
El caso \(0_Cx=0_C\) es análogo. ∎
Proposición 9.6.3 — El opuesto término a término preserva Cauchy y respeta \(\sim_C\)
Se cumplen las dos afirmaciones siguientes:
- si \(a\in\mathcal C_{\mathbb Q}\), entonces \(-a\in\mathcal C_{\mathbb Q}\);
- si \(a,b\in\mathcal C_{\mathbb Q}\) y \(a\sim_C b\), entonces \[ -a\sim_C-b. \]
Demostración.
(1) Sea \(a\in\mathcal C_{\mathbb Q}\) y sea \(\varepsilon\in\mathbb Q\) con \(0<\varepsilon\). Como \(a\) es de Cauchy, existe \(N\in\mathbb N\) tal que, para cualesquiera \(m,n\ge N\),
\[ |a_m-a_n|<\varepsilon. \]
Para esos mismos \(m,n\), usando las leyes aditivas racionales y la invariancia del valor absoluto frente al opuesto (Proposición 4.2.2 — Propiedades elementales del valor absoluto),
\[ \begin{aligned} |(-a)_m-(-a)_n| &=|-a_m-(-a_n)|\\ &=|-a_m+a_n|\\ &=|-(a_m-a_n)|\\ &=|a_m-a_n|\\ &<\varepsilon. \end{aligned} \]
Por Definición 8.4.1 — Sucesión racional de Cauchy, \(-a\) es de Cauchy; por tanto
\[ -a\in\mathcal C_{\mathbb Q}. \]
(2) Supongamos ahora
\[ a\sim_C b. \]
Por Definición 9.3.1 — Equivalencia de Cauchy,
\[ a-b\in\mathcal N_{\mathbb Q}. \]
La estabilidad de las sucesiones nulas bajo opuesto (Proposición 9.2.3 — Estabilidad aditiva de las sucesiones nulas) da
\[ -(a-b)\in\mathcal N_{\mathbb Q}. \]
Por otro lado, para todo \(n\in\mathbb N\),
\[ \begin{aligned} \bigl((-a)-(-b)\bigr)_n &=(-a_n)-(-b_n)\\ &=-(a_n-b_n)\\ &=\bigl(-(a-b)\bigr)_n. \end{aligned} \]
De Proposición 8.1.2 — Criterio término a término para la igualdad de sucesiones se sigue
\[ (-a)-(-b)=-(a-b). \]
Por consiguiente,
\[ (-a)-(-b)\in\mathcal N_{\mathbb Q}, \]
y entonces, por definición de \(\sim_C\),
\[ -a\sim_C-b. \]
∎
Proposición 9.6.4 — Existencia y unicidad de la operación de opuesto
Existe una única función
\[ \boxed{ \nu_C:\mathbb R_C\to\mathbb R_C } \]
tal que, para todo \(a\in\mathcal C_{\mathbb Q}\),
\[ \boxed{ \nu_C([a]_C)=[-a]_C. } \]
Demostración.
Definimos por separación
\[ G_{\nu} := \left\{ \langle x,y\rangle \in \mathbb R_C\times\mathbb R_C: \exists a\in\mathcal C_{\mathbb Q} \bigl( x=[a]_C \land y=[-a]_C \bigr) \right\}. \]
Sea \(x\in\mathbb R_C\). Por Proposición 9.4.4 — Representantes y criterio de igualdad de clases de Cauchy, existe \(a\in\mathcal C_{\mathbb Q}\) con \(x=[a]_C\). Por Proposición 9.6.3 — El opuesto término a término preserva Cauchy y respeta \(\sim_C\), \(-a\in\mathcal C_{\mathbb Q}\), de modo que
\[ [-a]_C\in\mathbb R_C. \]
Así, \(G_{\nu}\) es total sobre \(\mathbb R_C\).
Para la unicidad del valor, supongamos que también
\[ x=[b]_C \]
con \(b\in\mathcal C_{\mathbb Q}\). Entonces
\[ [a]_C=[b]_C, \]
por lo que Proposición 9.4.4 — Representantes y criterio de igualdad de clases de Cauchy implica
\[ a\sim_C b. \]
La compatibilidad demostrada en Proposición 9.6.3 — El opuesto término a término preserva Cauchy y respeta \(\sim_C\) da
\[ -a\sim_C-b, \]
y nuevamente por Proposición 9.4.4 — Representantes y criterio de igualdad de clases de Cauchy,
\[ [-a]_C=[-b]_C. \]
Por tanto \(G_{\nu}\) es univaluado y constituye el grafo de una función
\[ \nu_C:\mathbb R_C\to\mathbb R_C. \]
La unicidad de la función sigue de Proposición 0.6.3 — Criterio de igualdad de funciones, pues su valor queda forzado en toda clase \([a]_C\). ∎
Definición 9.6.5 — Opuesto y sustracción en \(\mathbb R_C\)
Para \(x\in\mathbb R_C\) definimos su opuesto aditivo por
\[ \boxed{ -x:=\nu_C(x). } \]
En particular, si \(a\in\mathcal C_{\mathbb Q}\),
\[ \boxed{ -[a]_C=[-a]_C. } \]
Para \(x,y\in\mathbb R_C\) definimos además la sustracción por
\[ \boxed{ x-y:=x+(-y). } \]
Por las definiciones de las operaciones inducidas, para cualesquiera \(a,b\in\mathcal C_{\mathbb Q}\) se obtiene
\[ \boxed{ [a]_C-[b]_C=[a-b]_C. } \]
No se introduce una nueva operación primitiva: la sustracción queda definida a partir de la suma y del opuesto, exactamente como en los sistemas numéricos anteriores.
Teorema 9.6.6 — \(\mathbb R_C\) es un anillo conmutativo con identidad
Con las operaciones y elementos distinguidos ya definidos,
\[ \boxed{ (\mathbb R_C,+_C,\cdot_C,0_C,1_C) } \]
es un anillo conmutativo con identidad.
Demostración.
Sean
\[ x,y,z\in\mathbb R_C. \]
Por Proposición 9.4.4 — Representantes y criterio de igualdad de clases de Cauchy, existen representantes locales
\[ a,b,c\in\mathcal C_{\mathbb Q} \]
tales que
\[ x=[a]_C, \qquad y=[b]_C, \qquad z=[c]_C. \]
No necesitamos fijar representantes de ninguna otra clase.
Asociatividad de la suma. Para todo \(n\in\mathbb N\), la asociatividad racional da
\[ ((a+b)+c)_n =(a_n+b_n)+c_n =a_n+(b_n+c_n) =(a+(b+c))_n. \]
Por Proposición 8.1.2 — Criterio término a término para la igualdad de sucesiones,
\[ (a+b)+c=a+(b+c). \]
Por tanto
\[ \begin{aligned} (x+y)+z &=[(a+b)+c]_C\\ &=[a+(b+c)]_C\\ &=x+(y+z). \end{aligned} \]
Conmutatividad de la suma. Del mismo modo,
\[ (a+b)_n=a_n+b_n=b_n+a_n=(b+a)_n, \]
luego
\[ x+y=y+x. \]
Neutro e inversos aditivos. Las leyes del cero ya fueron probadas en Proposición 9.6.2 — Leyes del cero y de la unidad. Además,
\[ \begin{aligned} x+(-x) &=[a]_C+[-a]_C\\ &=[a+(-a)]_C. \end{aligned} \]
Para todo \(n\),
\[ (a+(-a))_n =a_n+(-a_n) =0_{\mathbb Q} = \underline{0_{\mathbb Q}}{}_n. \]
Así
\[ a+(-a)=\underline{0_{\mathbb Q}}, \]
y en consecuencia
\[ x+(-x)=0_C. \]
Por la conmutatividad ya demostrada,
\[ (-x)+x=0_C. \]
Por tanto \((\mathbb R_C,+_C,0_C)\) es un grupo abeliano.
Asociatividad y conmutatividad del producto. Las identidades racionales de Proposición 3.4.5 — Leyes multiplicativas y distributivas dan término a término
\[ (ab)c=a(bc) \]
y
\[ ab=ba. \]
Luego
\[ (xy)z=x(yz) \]
y
\[ xy=yx. \]
La ley de la unidad fue establecida en Proposición 9.6.2 — Leyes del cero y de la unidad.
Distributividad. Para cada \(n\in\mathbb N\),
\[ \begin{aligned} (a(b+c))_n &=a_n(b_n+c_n)\\ &=a_nb_n+a_nc_n\\ &=(ab+ac)_n. \end{aligned} \]
Por tanto
\[ \begin{aligned} x(y+z) &=[a(b+c)]_C\\ &=[ab+ac]_C\\ &=xy+xz. \end{aligned} \]
La distributividad por la derecha se obtiene análogamente —o a partir de la conmutatividad del producto—:
\[ (x+y)z=xz+yz. \]
Hemos probado las leyes de grupo abeliano para la suma, de monoide conmutativo para el producto y las dos leyes distributivas. Según la convención algebraica Convención 2.6.2 — Terminología algebraica, esto demuestra que \(\mathbb R_C\) es un anillo conmutativo con identidad. ∎
Nota estructural. La prueba no «transfiere» informalmente las leyes desde \(\mathbb Q\). Cada igualdad en el cociente se reduce primero a una identidad entre sucesiones representantes y ésta, a su vez, se verifica término a término en \(\mathbb Q\).
Proposición 9.6.7 — Distinción entre cero y unidad
En \(\mathbb R_C\),
\[ \boxed{ 0_C\ne1_C. } \]
Demostración.
Supongamos, para obtener una contradicción, que
\[ 0_C=1_C. \]
Por Definición 9.6.1 — Cero y unidad de Cauchy, esto significa
\[ [\underline{0_{\mathbb Q}}]_C = [\underline{1_{\mathbb Q}}]_C. \]
El criterio de igualdad de clases Proposición 9.4.4 — Representantes y criterio de igualdad de clases de Cauchy implica entonces
\[ \underline{0_{\mathbb Q}} - \underline{1_{\mathbb Q}} \in \mathcal N_{\mathbb Q}. \]
Por la compatibilidad de las sucesiones constantes con la sustracción (Proposición 8.1.5 — Compatibilidad de las sucesiones constantes con las operaciones puntuales),
\[ \underline{0_{\mathbb Q}} - \underline{1_{\mathbb Q}} = \underline{0_{\mathbb Q}-1_{\mathbb Q}}. \]
Pongamos
\[ r:=0_{\mathbb Q}-1_{\mathbb Q}. \]
La pertenencia anterior a \(\mathcal N_{\mathbb Q}\) y Definición 9.2.1 — Sucesión racional nula y conjunto \(\mathcal N_{\mathbb Q}\) muestran que
\[ \underline r_n\to_{\mathbb Q}0_{\mathbb Q}. \]
Pero Proposición 8.3.4 — Las sucesiones constantes convergen a su valor, aplicado a la sucesión constante \(\underline r\), da también
\[ \underline r_n\to_{\mathbb Q}r. \]
Por unicidad del límite racional (Teorema 8.3.5 — Unicidad del límite racional),
\[ r=0_{\mathbb Q}. \]
Así,
\[ 0_{\mathbb Q}-1_{\mathbb Q}=0_{\mathbb Q}. \]
Las leyes del grupo aditivo racional (Proposición 3.3.8 — Leyes del grupo aditivo racional) permiten sumar \(1_{\mathbb Q}\) a ambos miembros y concluir
\[ 0_{\mathbb Q}=1_{\mathbb Q}, \]
contradiciendo Proposición 3.4.6 — Distinción entre cero y uno. Por tanto
\[ 0_C\ne1_C. \]
∎
Lo que hemos ganado
La construcción de Cauchy ha alcanzado ahora una estructura algebraica completa hasta el nivel de anillo:
\[ \boxed{ (\mathbb R_C,+_C,\cdot_C,0_C,1_C) \text{ es un anillo conmutativo no trivial con identidad.} } \]
Además, el opuesto y la sustracción están definidos intrínsecamente en el cociente y satisfacen
\[ -[a]_C=[-a]_C, \qquad [a]_C-[b]_C=[a-b]_C. \]
El único axioma algebraico de cuerpo que todavía falta es la existencia de inverso multiplicativo para todo elemento no nulo. Éste es el primer punto de la construcción de Cauchy en que no basta una operación término a término ingenua: un representante de una clase no nula puede contener ceros en posiciones finitas, y antes de tomar recíprocos debemos demostrar que toda clase no nula admite un control eventual que la separa de cero.
Ese será el siguiente frente. Todavía no definiremos el inverso hasta haber demostrado esa separación eventual y construido, sin Choice, un representante recíproco legítimo.
9.7. Inversos multiplicativos
La estructura obtenida en §9.6 es ya un anillo conmutativo no trivial con identidad. Para convertirla en un cuerpo falta demostrar que todo elemento distinto de \(0_C\) posee inverso multiplicativo.
Aquí aparece una dificultad que no existía para la suma, el producto ni el opuesto. Si \(x=[a]_C\neq0_C\), no podemos definir ingenuamente el inverso término a término mediante \((a_n^{-1})\): un representante no nulo puede contener términos iguales a \(0_{\mathbb Q}\) en posiciones iniciales. Lo que sí debe suceder —y primero debemos probarlo— es que una sucesión de Cauchy que no sea nula quede, a partir de cierto índice, uniformemente separada de cero.
La estrategia será, por tanto,
\[ [a]_C\neq0_C \Longrightarrow a\notin\mathcal N_{\mathbb Q} \Longrightarrow |a_n|>\delta\text{ eventualmente} \Longrightarrow \text{recíproco eventual de }a \Longrightarrow \text{inverso de }[a]_C. \]
No elegiremos simultáneamente representantes para todas las clases. El representante se utilizará sólo como testigo local dentro de una prueba de existencia; la función inversa sobre el cociente se construirá después mediante un grafo definido por la ecuación \(xy=1_C\).
Proposición 9.7.1 — Criterio de nulidad de una clase de Cauchy
Para todo \(a\in\mathcal C_{\mathbb Q}\),
\[ \boxed{ [a]_C=0_C \iff a\in\mathcal N_{\mathbb Q}. } \]
En particular,
\[ \boxed{ [a]_C\neq0_C \iff a\notin\mathcal N_{\mathbb Q}. } \]
Demostración.
Por Definición 9.6.1 — Cero y unidad de Cauchy,
\[ 0_C=[\underline{0_{\mathbb Q}}]_C. \]
El criterio de igualdad de clases Proposición 9.4.4 — Representantes y criterio de igualdad de clases de Cauchy da
\[ [a]_C=0_C \iff a-\underline{0_{\mathbb Q}}\in\mathcal N_{\mathbb Q}. \]
Para todo \(n\in\mathbb N\), las operaciones puntuales y las leyes del grupo aditivo racional producen
\[ \bigl(a-\underline{0_{\mathbb Q}}\bigr)_n =a_n-0_{\mathbb Q} =a_n. \]
Por el criterio término a término Proposición 8.1.2 — Criterio término a término para la igualdad de sucesiones,
\[ a-\underline{0_{\mathbb Q}}=a. \]
Por consiguiente,
\[ [a]_C=0_C \iff a\in\mathcal N_{\mathbb Q}. \]
Negando ambos miembros obtenemos la segunda equivalencia. ∎
Lema 9.7.2 — Separación eventual respecto de cero
Sea
\[ a=(a_n)_{n\in\mathbb N}\in\mathcal C_{\mathbb Q}. \]
Si
\[ a\notin\mathcal N_{\mathbb Q}, \]
entonces existen \(\delta\in\mathbb Q\) y \(N_0\in\mathbb N\) tales que
\[ \boxed{ 0<\delta \qquad\text{y}\qquad N_0\le n\Longrightarrow \delta<|a_n|. } \]
Demostración.
La condición \(a\notin\mathcal N_{\mathbb Q}\) es la negación de
\[ \forall\varepsilon\in\mathbb Q\; \Bigl( 0<\varepsilon \Longrightarrow \exists N\in\mathbb N\; \forall n\in\mathbb N\; \bigl(N\le n\Longrightarrow |a_n|<\varepsilon\bigr) \Bigr). \]
Negando sucesivamente los cuantificadores mediante lógica clásica y usando que, en el orden total racional, la negación de \(x<y\) equivale a \(y\le x\), existe por tanto \(\varepsilon_0\in\mathbb Q\) con \(0<\varepsilon_0\) tal que
\[ \forall N\in\mathbb N\; \exists k\in\mathbb N\; \bigl( N\le k \land |a_k|\ge\varepsilon_0 \bigr). \]
Pongamos
\[ s:=1_{\mathbb Q}+1_{\mathbb Q} \]
y
\[ \delta:=\frac{\varepsilon_0}{s}. \]
Por las leyes del cuerpo ordenado racional, \(s>0\), \(\delta>0\) y
\[ \delta+\delta=\varepsilon_0. \]
Como \(a\) es de Cauchy, la formulación de Proposición 8.4.3 — Formulaciones equivalentes de la condición de Cauchy aplicada a la precisión \(\delta\) proporciona \(N_0\in\mathbb N\) tal que
\[ N_0\le m, \quad N_0\le n \Longrightarrow |a_m-a_n|<\delta. \]
Aplicando ahora la propiedad obtenida de la no nulidad con \(N=N_0\), existe \(k\in\mathbb N\) tal que
\[ N_0\le k \qquad\text{y}\qquad |a_k|\ge\varepsilon_0. \]
Sea \(n\in\mathbb N\) con \(N_0\le n\). Como también \(N_0\le k\),
\[ |a_k-a_n|<\delta. \]
La desigualdad triangular aplicada a
\[ a_k=(a_k-a_n)+a_n \]
da
\[ |a_k| \le |a_k-a_n|+|a_n| < \delta+|a_n|. \]
Por otra parte,
\[ \delta+\delta = \varepsilon_0 \le |a_k|. \]
Por transitividad,
\[ \delta+\delta < \delta+|a_n|. \]
La invariancia estricta del orden bajo traslación (Lema 4.1.3 — Cálculo elemental de signos en un cuerpo ordenado) permite cancelar el primer \(\delta\) y concluir
\[ \delta<|a_n|. \]
Como \(n\ge N_0\) era arbitrario, queda demostrada la separación eventual. ∎
Frontera clásica. El paso desde la información negativa \[ a\notin\mathcal N_{\mathbb Q} \] hasta un margen positivo eventual \(\delta<|a_n|\) usa negación clásica de cuantificadores. En una futura interfaz constructiva, ese margen debe tratarse como apartness positiva dada explícitamente.
Definición 9.7.3 — Recíproco seguro de una sucesión racional
Definimos la función
\[ \boxed{ \rho_0:\mathbb Q^{\mathbb N}\longrightarrow\mathbb Q^{\mathbb N} } \]
por la regla término a término
\[ \boxed{ (\rho_0(a))_n := \begin{cases} a_n^{-1},&a_n\neq0_{\mathbb Q},\\[2mm] 0_{\mathbb Q},&a_n=0_{\mathbb Q}. \end{cases} } \]
La denominaremos función de recíproco seguro. Su finalidad es evitar que los posibles ceros iniciales de una sucesión impidan definir una sucesión racional completa.
Conjuntistamente, para cada \(a\in\mathbb Q^{\mathbb N}\) el grafo correspondiente se obtiene por separación dentro de \(\mathbb N\times\mathbb Q\):
\[ \left\{ \langle n,r\rangle\in\mathbb N\times\mathbb Q: \bigl(a_n\neq0_{\mathbb Q}\land r=a_n^{-1}\bigr) \lor \bigl(a_n=0_{\mathbb Q}\land r=0_{\mathbb Q}\bigr) \right\}. \]
Para cada \(n\) exactamente uno de los dos casos se cumple y determina un único \(r\in\mathbb Q\). Por tanto el conjunto anterior es el grafo de una única sucesión racional. El criterio término a término garantiza unicidad, y separando dentro de
\[ \mathbb Q^{\mathbb N}\times\mathbb Q^{\mathbb N} \]
obtenemos el grafo de la función global \(\rho_0\).
No se ha elegido ningún valor arbitrario: tanto en el caso \(a_n\neq0\) como en el caso \(a_n=0\) la salida está determinada de manera canónica.
Contenido efectivo. Esta definición por casos sí es efectiva sobre nombres racionales, porque la igualdad \(a_n=0_{\mathbb Q}\) es decidible para cada término racional. Aquí “canónico” y “computable” coinciden por una razón adicional explícita: la decidibilidad racional.
Lema 9.7.4 — El recíproco seguro de un representante no nulo es de Cauchy
Sea
\[ a\in\mathcal C_{\mathbb Q} \setminus \mathcal N_{\mathbb Q} \]
y pongamos
\[ b:=\rho_0(a). \]
Entonces:
- \(b\in\mathcal C_{\mathbb Q}\);
- \(ab\sim_C\underline{1_{\mathbb Q}}\).
En particular, la clase \([b]_C\) es un candidato legítimo al inverso de \([a]_C\).
Demostración.
Por Lema 9.7.2 — Separación eventual respecto de cero, existen \(\delta\in\mathbb Q\) y \(N_0\in\mathbb N\) tales que
\[ 0<\delta \]
y
\[ N_0\le n \Longrightarrow \delta<|a_n|. \]
Por tanto, para todo \(n\ge N_0\),
\[ a_n\neq0_{\mathbb Q} \]
y, por definición de \(\rho_0\),
\[ b_n=a_n^{-1}. \]
(1) La sucesión \(b\) es de Cauchy. Sea \(\varepsilon\in\mathbb Q\) con \(0<\varepsilon\). Definamos
\[ \eta:=\varepsilon\delta\delta. \]
Como \(\varepsilon>0\) y \(\delta>0\), las reglas de signos del cuerpo ordenado racional dan
\[ 0<\eta. \]
La condición de Cauchy para \(a\) proporciona \(N_1\in\mathbb N\) tal que
\[ N_1\le m, \quad N_1\le n \Longrightarrow |a_n-a_m|<\eta. \]
Combinamos \(N_0\) y \(N_1\) sin introducir una operación de máximo. Por la totalidad del orden natural (Teorema 1.6.5 — Orden total), o bien \(N_0\le N_1\) o bien \(N_1\le N_0\). Tomamos como \(N\) el mayor de los dos en el caso correspondiente. Entonces
\[ N_0\le N, \qquad N_1\le N. \]
Sean \(m,n\ge N\). Tenemos
\[ b_n=a_n^{-1}, \qquad b_m=a_m^{-1}. \]
En el cuerpo racional,
\[ a_n^{-1}-a_m^{-1} = (a_m-a_n)a_n^{-1}a_m^{-1}. \]
Además, por multiplicatividad del valor absoluto,
\[ |a_n|\,|a_n^{-1}| = |a_na_n^{-1}| = |1_{\mathbb Q}| = 1_{\mathbb Q}. \]
Como \(|a_n|>0\), podemos multiplicar la igualdad anterior por \(|a_n|^{-1}\). Las leyes del cuerpo racional dan entonces
\[ |a_n^{-1}|=|a_n|^{-1}. \]
La desigualdad
\[ 0<\delta<|a_n| \]
y la inversión del orden positivo (Lema 4.1.3 — Cálculo elemental de signos en un cuerpo ordenado) implican
\[ 0<|a_n^{-1}|<\delta^{-1}. \]
Del mismo modo,
\[ 0<|a_m^{-1}|<\delta^{-1}. \]
Por compatibilidad estricta del orden con el producto de factores positivos,
\[ 0<|a_n^{-1}|\,|a_m^{-1}| < \delta^{-1}\delta^{-1}. \]
Como además
\[ 0\le |a_m-a_n|<\eta, \]
obtenemos sucesivamente
\[ |a_m-a_n|\,|a_n^{-1}|\,|a_m^{-1}| < \eta\,|a_n^{-1}|\,|a_m^{-1}| < \eta\,\delta^{-1}\delta^{-1}. \]
Por consiguiente,
\[ \begin{aligned} |b_n-b_m| &=|a_n^{-1}-a_m^{-1}|\\ &=|a_m-a_n|\,|a_n^{-1}|\,|a_m^{-1}|\\ &<\eta\,\delta^{-1}\delta^{-1}\\ &=(\varepsilon\delta\delta)\delta^{-1}\delta^{-1}\\ &=\varepsilon. \end{aligned} \]
Hemos demostrado la condición de Cauchy para \(b\), luego
\[ b\in\mathcal C_{\mathbb Q}. \]
(2) El producto \(ab\) es equivalente a la unidad constante. Como \(a,b\in\mathcal C_{\mathbb Q}\), Proposición 9.5.1 — Estabilidad de \(\mathcal C_{\mathbb Q}\) bajo suma y producto da
\[ ab\in\mathcal C_{\mathbb Q}. \]
Para todo \(n\ge N_0\),
\[ (ab)_n =a_nb_n =a_na_n^{-1} =1_{\mathbb Q}. \]
Sea \(\varepsilon\in\mathbb Q\) con \(0<\varepsilon\). Para todo \(n\ge N_0\),
\[ \left| (ab)_n-\underline{1_{\mathbb Q}}{}_n \right| = |1_{\mathbb Q}-1_{\mathbb Q}| =0_{\mathbb Q} < \varepsilon. \]
Por tanto
\[ ab-\underline{1_{\mathbb Q}} \in \mathcal N_{\mathbb Q}. \]
Como \(\underline{1_{\mathbb Q}}\in\mathcal C_{\mathbb Q}\), la definición de \(\sim_C\) produce
\[ \boxed{ ab\sim_C\underline{1_{\mathbb Q}}. } \]
∎
Nota estructural. Los valores de \(\rho_0(a)\) antes de \(N_0\) son irrelevantes para la clase asintótica. La modificación queda confinada al segmento inicial \(n<N_0\), porque la separación eventual garantiza que, desde \(N_0\) en adelante, ningún término de \(a\) vuelve a ser cero.
Definición 9.7.5 — Reales de Cauchy no nulos
Definimos
\[ \boxed{ \mathbb R_{C,\neq0} := \{x\in\mathbb R_C:x\neq0_C\}. } \]
Este conjunto existe por separación dentro de \(\mathbb R_C\).
Proposición 9.7.6 — Existencia local de inversos multiplicativos
Para todo
\[ x\in\mathbb R_{C,\neq0}, \]
existe
\[ y\in\mathbb R_{C,\neq0} \]
tal que
\[ \boxed{ xy=1_C=yx. } \]
Demostración.
Sea \(x\in\mathbb R_{C,\neq0}\). Por Proposición 9.4.4 — Representantes y criterio de igualdad de clases de Cauchy, para este \(x\) fijo existe \(a\in\mathcal C_{\mathbb Q}\) tal que
\[ x=[a]_C. \]
Como \(x\neq0_C\), Proposición 9.7.1 — Criterio de nulidad de una clase de Cauchy implica
\[ a\notin\mathcal N_{\mathbb Q}. \]
Pongamos
\[ b:=\rho_0(a). \]
El lema Lema 9.7.4 — El recíproco seguro de un representante no nulo es de Cauchy da
\[ b\in\mathcal C_{\mathbb Q} \]
y
\[ ab\sim_C\underline{1_{\mathbb Q}}. \]
Definamos, dentro de esta prueba,
\[ y:=[b]_C. \]
Entonces
\[ \begin{aligned} xy &=[a]_C[b]_C\\ &=[ab]_C\\ &=[\underline{1_{\mathbb Q}}]_C\\ &=1_C. \end{aligned} \]
Debemos verificar que \(y\neq0_C\). Si \(y=0_C\), la ley absorbente de Proposición 9.6.2 — Leyes del cero y de la unidad daría
\[ xy=x0_C=0_C, \]
mientras que acabamos de probar \(xy=1_C\). Esto contradice Proposición 9.6.7 — Distinción entre cero y unidad. Por tanto
\[ y\in\mathbb R_{C,\neq0}. \]
Finalmente, la conmutatividad del producto en \(\mathbb R_C\) da
\[ yx=xy=1_C. \]
∎
Proposición 9.7.7 — Construcción de la función inversa en \(\mathbb R_C\)
Existe una única función
\[ \boxed{ \operatorname{inv}_C: \mathbb R_{C,\neq0} \longrightarrow \mathbb R_{C,\neq0} } \]
tal que, para todo \(x\in\mathbb R_{C,\neq0}\),
\[ x\operatorname{inv}_C(x)=1_C. \]
Demostración.
Consideremos
\[ G_C := \left\{ \langle x,y\rangle \in \mathbb R_{C,\neq0}\times\mathbb R_{C,\neq0}: xy=1_C \right\}. \]
El producto cartesiano existe y \(G_C\) existe por separación.
Por Proposición 9.7.6 — Existencia local de inversos multiplicativos, para cada \(x\in\mathbb R_{C,\neq0}\) existe al menos un \(y\in\mathbb R_{C,\neq0}\) con \(xy=1_C\).
Probemos unicidad. Supongamos
\[ xy=1_C \qquad\text{y}\qquad xz=1_C. \]
Usando las leyes del anillo conmutativo Teorema 9.6.6 — \(\mathbb R_C\) es un anillo conmutativo con identidad,
\[ \begin{aligned} y &=y1_C\\ &=y(xz)\\ &=(yx)z\\ &=(xy)z\\ &=1_Cz\\ &=z. \end{aligned} \]
Así, para cada \(x\) existe exactamente un \(y\) relacionado con él por \(G_C\). Por la definición de función, \(G_C\) es el grafo de una única función
\[ \operatorname{inv}_C: \mathbb R_{C,\neq0}\to\mathbb R_{C,\neq0}. \]
No se ha elegido ningún representante ni ningún inverso entre varias posibilidades: el valor queda determinado de manera única por la ecuación \(xy=1_C\). ∎
Notación 9.7.8 — Recíproco de un real de Cauchy
Para \(x\in\mathbb R_{C,\neq0}\) escribiremos
\[ \boxed{ x^{-1}:=\operatorname{inv}_C(x). } \]
El símbolo \(x^{-1}\) está sobrecargado por tipo: para racionales designa el recíproco definido en Notación 3.6.4 — Recíproco; para reales de Cauchy designa la función anterior. No debe confundirse con \(f^{-1}\), que para funciones denota la función inversa de una biyección.
Proposición 9.7.9 — Ley del inverso multiplicativo en \(\mathbb R_C\)
Para todo \(x\in\mathbb R_{C,\neq0}\),
\[ \boxed{ xx^{-1}=1_C=x^{-1}x. } \]
Demostración.
La primera igualdad es la propiedad definitoria de \(\operatorname{inv}_C\) en Proposición 9.7.7 — Construcción de la función inversa en \(\mathbb R_C\):
\[ xx^{-1}=1_C. \]
La segunda se sigue de la conmutatividad del producto establecida en Teorema 9.6.6 — \(\mathbb R_C\) es un anillo conmutativo con identidad. ∎
Teorema 9.7.10 — \(\mathbb R_C\) es un cuerpo
Con las operaciones ya construidas,
\[ \boxed{ (\mathbb R_C,+_C,\cdot_C,0_C,1_C) \text{ es un cuerpo.} } \]
Demostración.
El teorema Teorema 9.6.6 — \(\mathbb R_C\) es un anillo conmutativo con identidad demuestra que
\[ (\mathbb R_C,+_C,\cdot_C,0_C,1_C) \]
es un anillo conmutativo con identidad. La proposición Proposición 9.6.7 — Distinción entre cero y unidad establece
\[ 0_C\neq1_C. \]
Finalmente, si \(x\neq0_C\), entonces \(x\in\mathbb R_{C,\neq0}\) y Proposición 9.7.9 — Ley del inverso multiplicativo en \(\mathbb R_C\) proporciona \(x^{-1}\in\mathbb R_{C,\neq0}\) con
\[ xx^{-1}=1_C=x^{-1}x. \]
Éstas son exactamente las condiciones de la convención de cuerpo Convención 3.6.7 — Terminología de cuerpo. ∎
Nota fundacional. El anillo de Cauchy se obtiene con argumentos algebraicos robustos; el salto fundacional aparece al construir inversos de clases meramente no nulas, porque la separación cuantitativa respecto de cero se obtiene mediante Lema 9.7.2 — Separación eventual respecto de cero. Por ello: \[ \boxed{\text{no nulidad negativa}\neq\text{apartness positiva}.} \]
Lo que hemos ganado
La construcción por sucesiones ha alcanzado ya el nivel algebraico de cuerpo:
\[ \boxed{ \mathbb R_C\text{ es un cuerpo.} } \]
La dificultad de los ceros iniciales de un representante quedó resuelta sin alterar la clase asintótica y sin recurrir a una selección global. El punto decisivo fue demostrar que un representante de una clase no nula está eventualmente separado de cero; desde ese momento, el recíproco término a término existe en toda la cola relevante.
La función inversa sobre \(\mathbb R_{C,\neq0}\) no se definió escogiendo representantes. Se construyó a partir del grafo de la ecuación
\[ xy=1_C, \]
cuya solución es única. De este modo se conserva el principio fundacional de que las clases son los objetos numéricos y los representantes son sólo instrumentos locales de prueba.
Todavía no hemos definido un orden en \(\mathbb R_C\). El siguiente frente, §9.8, será construirlo directamente a partir de la información eventual de los representantes y demostrar que es independiente de la clase elegida. Sólo después podremos relacionarlo con las sucesiones constantes y completar la estructura de cuerpo ordenado.
9.8. Orden
La estructura de cuerpo no determina por sí sola qué elementos deben considerarse positivos. En la construcción de Cauchy, además, una comparación puntual entre representantes no puede adoptarse sin más como comparación entre clases: una perturbación nula puede cambiar infinitas veces el signo de diferencias muy pequeñas.
Por ejemplo, aunque dos sucesiones representen la misma clase, no hay razón para que una desigualdad como \(a_n\le b_n\) se conserve término a término después de sustituir \(a\) o \(b\) por representantes equivalentes. La comparación correcta debe tolerar errores racionales arbitrariamente pequeños.
La idea será primero comparar representantes mediante una relación asintótica estable bajo perturbaciones nulas y sólo después hacerla descender a \(\mathbb R_C\).
Definición 9.8.1 — Comparación asintótica de representantes
Sean
\[ a=(a_n)_{n\in\mathbb N}, \qquad b=(b_n)_{n\in\mathbb N} \]
elementos de \(\mathcal C_{\mathbb Q}\). Definimos
\[ \boxed{ a\preccurlyeq_C b } \]
si y sólo si
\[ \boxed{ \forall\varepsilon\in\mathbb Q\; \Bigl( 0_{\mathbb Q}<\varepsilon \Longrightarrow \exists N\in\mathbb N\; \forall n\in\mathbb N\; \bigl( N\le n \Longrightarrow a_n<b_n+\varepsilon \bigr) \Bigr). } \]
Conjuntistamente,
\[ \preccurlyeq_C := \left\{ \langle a,b\rangle \in \mathcal C_{\mathbb Q}\times\mathcal C_{\mathbb Q} : a\preccurlyeq_C b \right\}. \]
El producto cartesiano existe y el subconjunto indicado existe por separación. Por tanto \(\preccurlyeq_C\) es una relación bien formada sobre \(\mathcal C_{\mathbb Q}\).
La presencia de toda tolerancia racional positiva es esencial. La condición no dice que \(a_n\le b_n\) para todo índice suficientemente grande; dice que, por pequeña que sea la tolerancia positiva prescrita, la primera sucesión queda finalmente por debajo de la segunda salvo ese error.
Nota fundacional. El preorder asintótico es una relación extensional bien definida, pero su verdad no es decidible en general a partir de representantes arbitrarios.
Proposición 9.8.2 — Propiedades e invariancia de la comparación asintótica
Para \(a,b,c,a',b'\in\mathcal C_{\mathbb Q}\):
- \(a\preccurlyeq_C a\);
- si \(a\preccurlyeq_C b\) y \(b\preccurlyeq_C c\), entonces \(a\preccurlyeq_C c\);
- si \(a\sim_C a'\) y \(b\sim_C b'\), entonces \[ a\preccurlyeq_C b \iff a'\preccurlyeq_C b'; \]
- si \(a\preccurlyeq_C b\) y \(b\preccurlyeq_C a\), entonces \(a\sim_C b\).
En particular, la comparación asintótica depende sólo de las clases de Cauchy.
Demostración.
(1) Reflexividad. Sea \(\varepsilon\in\mathbb Q\) con \(0<\varepsilon\). Para todo \(n\in\mathbb N\),
\[ a_n<a_n+\varepsilon, \]
por invariancia estricta del orden bajo traslación. Podemos tomar \(N=0\). Luego
\[ a\preccurlyeq_C a. \]
(2) Transitividad. Supongamos
\[ a\preccurlyeq_C b, \qquad b\preccurlyeq_C c. \]
Sea \(\varepsilon>0\). Escribamos
\[ s:=1_{\mathbb Q}+1_{\mathbb Q}, \qquad \eta:=\frac{\varepsilon}{s}. \]
Como \(\mathbb Q\) es un cuerpo ordenado, \(s>0\), \(\eta>0\) y
\[ \eta+\eta=\varepsilon. \]
De \(a\preccurlyeq_C b\) existe \(N_1\) tal que, para \(n\ge N_1\),
\[ a_n<b_n+\eta. \]
De \(b\preccurlyeq_C c\) existe \(N_2\) tal que, para \(n\ge N_2\),
\[ b_n<c_n+\eta. \]
Por totalidad del orden natural, uno de \(N_1,N_2\) es mayor o igual que el otro; tomamos ese índice como \(N\). Entonces, para todo \(n\ge N\),
\[ a_n < b_n+\eta < (c_n+\eta)+\eta = c_n+\varepsilon. \]
Por tanto \(a\preccurlyeq_C c\).
(3) Invariancia bajo equivalencia. Supongamos
\[ a\sim_C a', \qquad b\sim_C b', \qquad a\preccurlyeq_C b. \]
Sea \(\varepsilon>0\). Pongamos otra vez
\[ s:=1_{\mathbb Q}+1_{\mathbb Q} \]
y ahora
\[ \eta:=\frac{\varepsilon}{ss}. \]
Como \(s>0\), también \(ss>0\) y \(\eta>0\). Las leyes del cuerpo dan
\[ \eta+\eta+\eta+\eta=\varepsilon. \]
De \(a\sim_C a'\) se sigue que \(a-a'\) es nula. Para la tolerancia \(\eta\) existe \(N_a\) tal que, si \(n\ge N_a\),
\[ |a_n-a'_n|<\eta. \]
Por la caracterización epsilon-local Proposición 8.2.3 — Caracterización \(\varepsilon\)-local de la distancia racional,
\[ a'_n<a_n+\eta. \]
Análogamente, de \(b\sim_C b'\) obtenemos un \(N_b\) tal que, para \(n\ge N_b\),
\[ b_n<b'_n+\eta. \]
Finalmente, de \(a\preccurlyeq_C b\) obtenemos \(N_0\) tal que, para \(n\ge N_0\),
\[ a_n<b_n+\eta. \]
Comparamos primero \(N_a\) y \(N_b\) y conservamos el mayor; después comparamos ese índice con \(N_0\). Así obtenemos, mediante dos aplicaciones finitas de la totalidad de \(\mathbb N\), un índice \(N\) que domina a los tres.
Para \(n\ge N\),
\[ \begin{aligned} a'_n &<a_n+\eta\\ &<b_n+\eta+\eta\\ &<b'_n+\eta+\eta+\eta\\ &<b'_n+\eta+\eta+\eta+\eta\\ &=b'_n+\varepsilon. \end{aligned} \]
En el penúltimo paso usamos \(\eta>0\). Por tanto
\[ a'\preccurlyeq_C b'. \]
La implicación recíproca se obtiene intercambiando \((a,b)\) con \((a',b')\), pues \(\sim_C\) es simétrica.
(4) Antisimetría módulo \(\sim_C\). Supongamos
\[ a\preccurlyeq_C b, \qquad b\preccurlyeq_C a. \]
Sea \(\varepsilon>0\). Existen \(N_1,N_2\) tales que
\[ n\ge N_1 \Longrightarrow a_n<b_n+\varepsilon \]
y
\[ n\ge N_2 \Longrightarrow b_n<a_n+\varepsilon. \]
Tomando, por totalidad, un índice \(N\) que domine a ambos, obtenemos para \(n\ge N\)
\[ b_n-\varepsilon<a_n<b_n+\varepsilon. \]
Por Proposición 8.2.3 — Caracterización \(\varepsilon\)-local de la distancia racional,
\[ |a_n-b_n|<\varepsilon. \]
Como \(\varepsilon>0\) era arbitraria,
\[ a-b\in\mathcal N_{\mathbb Q}, \]
y por Definición 9.3.1 — Equivalencia de Cauchy,
\[ a\sim_C b. \]
∎
Lema 9.8.3 — Dicotomía eventual de signo
Sea
\[ a\in\mathcal C_{\mathbb Q}\setminus\mathcal N_{\mathbb Q}. \]
Entonces existen \(\delta\in\mathbb Q\), \(\delta>0\), y \(N\in\mathbb N\) tales que se cumple exactamente una de las dos alternativas:
\[ \boxed{ \forall n\ge N, \qquad \delta<a_n, } \]
o bien
\[ \boxed{ \forall n\ge N, \qquad a_n<-\delta. } \]
Así, una sucesión racional de Cauchy que no es nula no puede seguir cambiando de signo arbitrariamente cerca de cero: termina situada a una distancia positiva de cero y en un solo lado.
Demostración.
Por Lema 9.7.2 — Separación eventual respecto de cero existen \(\delta>0\) y \(N_0\in\mathbb N\) tales que
\[ n\ge N_0 \Longrightarrow \delta<|a_n|. \]
Como \(a\) es de Cauchy, para la tolerancia positiva \(\delta\) existe \(N_1\in\mathbb N\) tal que
\[ m,n\ge N_1 \Longrightarrow |a_m-a_n|<\delta. \]
Por totalidad de \(\mathbb N\), tomamos \(N\) igual al mayor de \(N_0\) y \(N_1\) mediante la correspondiente comparación de los dos índices.
En particular,
\[ \delta<|a_N|, \]
de modo que \(a_N\neq0_{\mathbb Q}\). Por totalidad del orden racional,
\[ 0<a_N \qquad\text{o}\qquad a_N<0. \]
Supongamos primero \(0<a_N\). Por la definición del valor absoluto,
\[ |a_N|=a_N, \]
y por tanto
\[ \delta<a_N. \]
Sea \(n\ge N\). Ya sabemos \(\delta<|a_n|\). Si \(a_n<0\), entonces
\[ |a_n|=-a_n, \]
y de \(\delta<-a_n\) obtenemos
\[ a_n<-\delta. \]
En consecuencia,
\[ a_N-a_n > \delta+\delta > \delta. \]
Como \(a_N-a_n>0\), su valor absoluto coincide con él, de manera que
\[ |a_N-a_n|>\delta, \]
contradiciendo la elección de \(N_1\). Por tanto \(a_n<0\) es imposible. Debe cumplirse \(0\le a_n\), luego \(|a_n|=a_n\), y así
\[ \delta<a_n. \]
Como \(n\ge N\) era arbitrario, queda establecida la primera alternativa.
Supongamos ahora \(a_N<0\). Entonces
\[ |a_N|=-a_N, \]
y de \(\delta<|a_N|\) obtenemos
\[ a_N<-\delta. \]
Sea \(n\ge N\). Si \(0<a_n\), entonces \(|a_n|=a_n\) y, por la separación ya conocida,
\[ \delta<a_n. \]
Por tanto
\[ a_n-a_N > \delta+\delta > \delta. \]
Como \(a_n-a_N>0\),
\[ |a_n-a_N|=a_n-a_N>\delta, \]
de nuevo en contradicción con la condición de Cauchy en la cola determinada por \(N_1\). Así \(0<a_n\) es imposible. Como además \(a_n\neq0\) por \(\delta<|a_n|\), debe cumplirse
\[ a_n<0. \]
Entonces \(|a_n|=-a_n\), y
\[ \delta<-a_n \]
equivale a
\[ a_n<-\delta. \]
Como \(n\ge N\) era arbitrario, queda establecida la segunda alternativa.
Finalmente, ambas alternativas no pueden cumplirse simultáneamente, ni siquiera con márgenes e índices distintos. Si eventualmente \(\delta<a_n\) y eventualmente \(a_n<-\eta\) con \(\delta,\eta>0\), al pasar a un índice común tendríamos
\[ 0<\delta<a_n<-\eta<0, \]
contradicción. Por tanto exactamente una de las dos alternativas ocurre. ∎
Definición 9.8.4 — Orden de Cauchy
Definimos una relación \(\le_C\) sobre \(\mathbb R_C\) por
\[ \boxed{ x\le_C y } \]
si y sólo si existen \(a,b\in\mathcal C_{\mathbb Q}\) tales que
\[ x=[a]_C, \qquad y=[b]_C, \qquad a\preccurlyeq_C b. \]
Conjuntistamente,
\[ \le_C := \left\{ \langle x,y\rangle \in \mathbb R_C\times\mathbb R_C : \exists a,b\in\mathcal C_{\mathbb Q}\, \bigl( x=[a]_C \land y=[b]_C \land a\preccurlyeq_C b \bigr) \right\}. \]
Este conjunto existe por separación.
La invariancia demostrada en Proposición 9.8.2 — Propiedades e invariancia de la comparación asintótica (3) garantiza que la definición no depende de los representantes. En particular, para cualesquiera \(a,b\in\mathcal C_{\mathbb Q}\),
\[ \boxed{ [a]_C\le_C[b]_C \iff a\preccurlyeq_C b. } \]
Por tanto,
\[ \boxed{ [a]_C\le_C[b]_C \iff \forall\varepsilon>0\; \exists N\in\mathbb N\; \forall n\ge N, \quad a_n<b_n+\varepsilon. } \]
El orden estricto asociado, conforme a Definición 0.7.2 — Orden estricto asociado, se denotará por \(<_C\):
\[ \boxed{ x<_C y \iff x\le_C y \ \land\\ x\neq y. } \]
No se define \(<_C\) de manera independiente: es el orden estricto asociado a \(\le_C\).
Teorema 9.8.5 — \(\le_C\) es un orden total
La relación \(\le_C\) es reflexiva, antisimétrica, transitiva y total sobre \(\mathbb R_C\). En consecuencia,
\[ \boxed{ (\mathbb R_C,\le_C) \text{ es un conjunto totalmente ordenado.} } \]
Demostración.
Reflexividad. Sea \(x\in\mathbb R_C\). Por Proposición 9.4.4 — Representantes y criterio de igualdad de clases de Cauchy, existe \(a\in\mathcal C_{\mathbb Q}\) tal que \(x=[a]_C\). Por Proposición 9.8.2 — Propiedades e invariancia de la comparación asintótica (1),
\[ a\preccurlyeq_C a, \]
luego
\[ x\le_C x. \]
Antisimetría. Supongamos
\[ x\le_C y \qquad\text{y}\qquad y\le_C x. \]
Tomemos representantes locales
\[ x=[a]_C, \qquad y=[b]_C. \]
Por el criterio de representantes de Definición 9.8.4 — Orden de Cauchy,
\[ a\preccurlyeq_C b \qquad\text{y}\qquad b\preccurlyeq_C a. \]
Entonces Proposición 9.8.2 — Propiedades e invariancia de la comparación asintótica (4) da
\[ a\sim_C b, \]
y por Proposición 9.4.4 — Representantes y criterio de igualdad de clases de Cauchy,
\[ x=[a]_C=[b]_C=y. \]
Transitividad. Supongamos
\[ x\le_C y \qquad\text{y}\qquad y\le_C z. \]
Tomemos representantes locales \(a,b,c\) de \(x,y,z\). La independencia de representantes permite escribir
\[ a\preccurlyeq_C b, \qquad b\preccurlyeq_C c. \]
Por Proposición 9.8.2 — Propiedades e invariancia de la comparación asintótica (2),
\[ a\preccurlyeq_C c, \]
de modo que
\[ x\le_C z. \]
Totalidad. Sean \(x,y\in\mathbb R_C\), y tomemos representantes
\[ x=[a]_C, \qquad y=[b]_C. \]
Por lógica clásica,
\[ a\sim_C b \qquad\text{o}\qquad a\not\sim_C b. \]
Si \(a\sim_C b\), entonces \(x=y\) y, por reflexividad, \(x\le_C y\) y \(y\le_C x\).
Supongamos ahora
\[ a\not\sim_C b. \]
La sucesión
\[ c:=b-a \]
pertenece a \(\mathcal C_{\mathbb Q}\): el opuesto de \(a\) es de Cauchy por Proposición 9.6.3 — El opuesto término a término preserva Cauchy y respeta \(\sim_C\) y la suma de dos sucesiones de Cauchy vuelve a ser de Cauchy por Proposición 9.5.1 — Estabilidad de \(\mathcal C_{\mathbb Q}\) bajo suma y producto.
Además \(c\) no es nula. En efecto, si \(b-a\in\mathcal N_{\mathbb Q}\), entonces \(b\sim_C a\), y por simetría de \(\sim_C\) tendríamos \(a\sim_C b\), contradicción.
Aplicamos Lema 9.8.3 — Dicotomía eventual de signo a \(c\). Existen \(\delta>0\) y \(N\) tales que ocurre una de las dos alternativas.
Si
\[ \delta<c_n=b_n-a_n \qquad (n\ge N), \]
entonces
\[ a_n<b_n \]
para todo \(n\ge N\). Dado cualquier \(\varepsilon>0\),
\[ a_n<b_n<b_n+\varepsilon \]
en esa misma cola. Por tanto
\[ a\preccurlyeq_C b, \]
y entonces
\[ x\le_C y. \]
Si, en cambio,
\[ c_n=b_n-a_n<-\delta \qquad (n\ge N), \]
entonces
\[ b_n<a_n \]
en esa cola, de donde
\[ b\preccurlyeq_C a \]
y
\[ y\le_C x. \]
Así, para cualesquiera \(x,y\in\mathbb R_C\),
\[ x\le_C y \qquad\text{o}\qquad y\le_C x. \]
Hemos probado las cuatro propiedades de un orden total. ∎
En particular, \[ \boxed{ \text{preorder asintótico} \neq \text{orden total clásico} \neq \text{comparación decidible}. } \]
Proposición 9.8.6 — Criterio de separación eventual para el orden estricto
Para \(a,b\in\mathcal C_{\mathbb Q}\) son equivalentes:
\[ [a]_C<_C[b]_C; \]
\[ \exists\delta\in\mathbb Q\; \exists N\in\mathbb N\; \Bigl( 0<\delta \ \land\\ \forall n\ge N,\\ \delta<b_n-a_n \Bigr); \]
\[ \exists\delta\in\mathbb Q\; \exists N\in\mathbb N\; \Bigl( 0<\delta \ \land\\ \forall n\ge N,\\ a_n+\delta<b_n \Bigr). \]
En forma compacta,
\[ \boxed{ [a]_C<_C[b]_C \iff \exists\delta>0\; \exists N\in\mathbb N\; \forall n\ge N, \quad a_n+\delta<b_n. } \]
Demostración.
Las dos formulaciones con \(\delta\) son equivalentes por invariancia estricta del orden racional bajo traslación. Demostraremos la equivalencia con \([a]_C<_C[b]_C\).
Supongamos primero
\[ [a]_C<_C[b]_C. \]
Entonces
\[ [a]_C\le_C[b]_C \]
y
\[ [a]_C\neq[b]_C. \]
La sucesión
\[ c:=b-a \]
es de Cauchy por la clausura bajo opuesto y suma. Además no es nula: si \(c\in\mathcal N_{\mathbb Q}\), entonces \(b\sim_C a\) y las clases serían iguales.
Aplicamos Lema 9.8.3 — Dicotomía eventual de signo. Existe \(\delta>0\) y una cola en la que o bien
\[ \delta<c_n, \]
o bien
\[ c_n<-\delta. \]
La segunda alternativa implicaría, como en la prueba de Teorema 9.8.5 — \(\le_C\) es un orden total, que
\[ b\preccurlyeq_C a, \]
y por tanto
\[ [b]_C\le_C[a]_C. \]
Junto con \([a]_C\le_C[b]_C\), la antisimetría de Teorema 9.8.5 — \(\le_C\) es un orden total daría
\[ [a]_C=[b]_C, \]
contradicción. Por tanto sólo puede ocurrir la primera alternativa:
\[ \delta<b_n-a_n \]
eventualmente.
Recíprocamente, supongamos que existen \(\delta>0\) y \(N\) tales que
\[ n\ge N \Longrightarrow \delta<b_n-a_n. \]
Entonces, para \(n\ge N\),
\[ a_n<b_n. \]
Sea \(\varepsilon>0\). Como \(b_n<b_n+\varepsilon\),
\[ a_n<b_n+\varepsilon \]
para todo \(n\ge N\). Por tanto
\[ a\preccurlyeq_C b, \]
y
\[ [a]_C\le_C[b]_C. \]
Falta excluir la igualdad. Si
\[ [a]_C=[b]_C, \]
entonces Proposición 9.4.4 — Representantes y criterio de igualdad de clases de Cauchy daría
\[ b-a\in\mathcal N_{\mathbb Q}. \]
Aplicando la definición de nulidad a la tolerancia positiva \(\delta\), existiría \(N_1\) tal que, para \(n\ge N_1\),
\[ |b_n-a_n|<\delta. \]
Tomamos un índice que domine a \(N\) y \(N_1\). Allí
\[ 0<\delta<b_n-a_n. \]
Como \(b_n-a_n>0\), la definición del valor absoluto da
\[ |b_n-a_n|=b_n-a_n>\delta, \]
contradicción.
Por tanto
\[ [a]_C\neq[b]_C, \]
y de la definición del orden estricto asociado obtenemos
\[ [a]_C<_C[b]_C. \]
∎
Advertencia. La condición meramente puntual «\(a_n<b_n\) eventualmente» no se adopta como definición de \([a]_C<_C[b]_C\): puede perderse al cambiar de representantes mediante una perturbación nula. El margen racional positivo \(\delta\) es precisamente lo que hace estable la comparación estricta.
Nota fundacional. La dirección desde \(x<_Cy\) hacia un margen positivo eventual hereda la clasicidad de Lema 9.8.3 — Dicotomía eventual de signo. La dirección inversa —margen positivo dado \(\Rightarrow x<_Cy\)— es constructivamente robusta. Este margen es el candidato natural para una futura relación de apartness/orden positivo.
Lo que hemos ganado
El cociente de Cauchy posee ahora un orden total definido sin apelar a los reales de Dedekind:
\[ \boxed{ (\mathbb R_C,\le_C) \text{ es totalmente ordenado.} } \]
La comparación no se obtuvo declarando que dos representantes deben estar ordenados término a término. Primero se introdujo la relación tolerante
\[ a\preccurlyeq_C b \iff \forall\varepsilon>0\; \exists N\; \forall n\ge N, \quad a_n<b_n+\varepsilon, \]
se demostró que es invariante bajo \(\sim_C\) y sólo entonces se hizo descender al cociente.
El orden estricto recupera una descripción más fuerte y geométrica:
\[ \boxed{ [a]_C<_C[b]_C \iff \text{la diferencia }b-a \text{ queda eventualmente separada de }0 \text{ por un margen racional positivo}. } \]
La dicotomía eventual de signo muestra además por qué el orden es total: una sucesión de Cauchy no nula no puede oscilar indefinidamente entre ambos lados de cero.
Todavía falta demostrar que este orden es compatible con la estructura de cuerpo. Antes de hacerlo construiremos, en §9.9, la incrustación canónica de \(\mathbb Q\) mediante sucesiones constantes y verificaremos que preserva tanto la aritmética como el orden. Después, en §9.10, podremos cerrar la estructura de cuerpo ordenado.
9.9. La copia canónica de los racionales
El cuerpo de Cauchy fue construido a partir de sucesiones racionales, pero eso no autoriza a identificar un racional con una clase de sucesiones. El objeto
\[ q\in\mathbb Q \]
y la sucesión constante
\[ \underline q\in\mathbb Q^{\mathbb N} \]
son de tipos distintos, y esta última, a su vez, es distinta de su clase
\[ [\underline q]_C\in\mathbb R_C. \]
La relación entre ambos sistemas debe, por tanto, construirse mediante una función. La elección canónica es la que ya sugiere la interpretación de una sucesión constante: representar el racional \(q\) por el proceso que permanece siempre igual a \(q\).
Definición 9.9.1 — Aplicación canónica de \(\mathbb Q\) en \(\mathbb R_C\)
Para cada \(q\in\mathbb Q\), la sucesión constante \(\underline q\) pertenece a \(\mathcal C_{\mathbb Q}\) por Proposición 8.4.4 — Las sucesiones constantes son de Cauchy. Por tanto su clase \([\underline q]_C\) pertenece a \(\mathbb R_C\).
Definimos
\[ \boxed{ \iota_C:\mathbb Q\longrightarrow\mathbb R_C, \qquad \iota_C(q):=[\underline q]_C. } \]
Conjuntistamente, consideramos el grafo
\[ G_{\iota_C} := \left\{ \langle q,x\rangle \in \mathbb Q\times\mathbb R_C: x=[\underline q]_C \right\}. \]
El producto cartesiano existe por Proposición 0.3.7 — Existencia del producto cartesiano y el subconjunto indicado existe por separación. Para cada \(q\in\mathbb Q\) existe exactamente un \(x\in\mathbb R_C\) que satisface la condición, a saber, la clase \([\underline q]_C\). Por la definición de función, \(G_{\iota_C}\) es el grafo de una función con dominio \(\mathbb Q\) y codominio \(\mathbb R_C\).
Nota fundacional. No se selecciona un representante de cada clase de \(\mathbb R_C\). A cada racional fijo se le asigna determinísticamente su propia sucesión constante y luego la clase de esa sucesión. No interviene Choice.
Proposición 9.9.2 — Igualdad de imágenes e inyectividad de \(\iota_C\)
Para cualesquiera \(q,r\in\mathbb Q\),
\[ \boxed{ \iota_C(q)=\iota_C(r) \iff q=r. } \]
En particular, \(\iota_C\) es inyectiva.
Demostración.
Supongamos primero
\[ \iota_C(q)=\iota_C(r). \]
Por definición,
\[ [\underline q]_C=[\underline r]_C. \]
El criterio de igualdad de clases Proposición 9.4.4 — Representantes y criterio de igualdad de clases de Cauchy implica
\[ \underline q-\underline r \in \mathcal N_{\mathbb Q}. \]
Por Proposición 8.1.5 — Compatibilidad de las sucesiones constantes con las operaciones puntuales,
\[ \underline q-\underline r = \underline{q-r}. \]
La pertenencia a \(\mathcal N_{\mathbb Q}\) significa, por definición, que
\[ \underline{q-r}{}_n \to_{\mathbb Q} 0_{\mathbb Q}. \]
Pero toda sucesión constante converge racionalmente a su valor (Proposición 8.3.4 — Las sucesiones constantes convergen a su valor), de modo que también
\[ \underline{q-r}{}_n \to_{\mathbb Q} q-r. \]
La unicidad del límite racional Teorema 8.3.5 — Unicidad del límite racional da
\[ q-r=0_{\mathbb Q}. \]
Por las leyes del grupo aditivo racional,
\[ q=r. \]
Recíprocamente, si \(q=r\), entonces \(\underline q=\underline r\) y, por tanto,
\[ [\underline q]_C=[\underline r]_C, \]
es decir,
\[ \iota_C(q)=\iota_C(r). \]
La equivalencia queda demostrada, y su implicación directa es precisamente la inyectividad de \(\iota_C\). ∎
Consecuencia tipológica. Desde ahora podemos hablar de la copia canónica \(\iota_C[\mathbb Q]\) dentro de \(\mathbb R_C\), pero todavía no escribiremos \(\mathbb Q\subseteq\mathbb R_C\): los racionales y sus imágenes siguen siendo objetos conjuntistas distintos.
Proposición 9.9.3 — Preservación de la aritmética racional
Para todos \(q,r\in\mathbb Q\) se tiene
\[ \boxed{ \iota_C(0_{\mathbb Q})=0_C, \qquad \iota_C(1_{\mathbb Q})=1_C, } \]
\[ \boxed{ \iota_C(q+r) = \iota_C(q)+\iota_C(r), } \]
\[ \boxed{ \iota_C(qr) = \iota_C(q)\,\iota_C(r), } \]
y
\[ \boxed{ \iota_C(-q)=-\iota_C(q). } \]
Demostración.
Las dos primeras identidades son inmediatas de las definiciones:
\[ \iota_C(0_{\mathbb Q}) =[\underline{0_{\mathbb Q}}]_C =0_C, \]
\[ \iota_C(1_{\mathbb Q}) =[\underline{1_{\mathbb Q}}]_C =1_C. \]
Para la suma, Proposición 8.1.5 — Compatibilidad de las sucesiones constantes con las operaciones puntuales da
\[ \underline{q+r} = \underline q+\underline r. \]
Por la definición de la suma en el cociente,
\[ \begin{aligned} \iota_C(q+r) &=[\underline{q+r}]_C\\ &=[\underline q+\underline r]_C\\ &=[\underline q]_C+[\underline r]_C\\ &=\iota_C(q)+\iota_C(r). \end{aligned} \]
Del mismo modo,
\[ \underline{qr} = \underline q\,\underline r, \]
y por tanto
\[ \begin{aligned} \iota_C(qr) &=[\underline{qr}]_C\\ &=[\underline q\,\underline r]_C\\ &=[\underline q]_C[\underline r]_C\\ &=\iota_C(q)\iota_C(r). \end{aligned} \]
Finalmente,
\[ \underline{-q}=-\underline q, \]
de donde
\[ \begin{aligned} \iota_C(-q) &=[\underline{-q}]_C\\ &=[-\underline q]_C\\ &=-[\underline q]_C\\ &=-\iota_C(q). \end{aligned} \]
Todas las identidades provienen de operaciones término a término ya construidas y de sus operaciones inducidas en el cociente. ∎
Corolario 9.9.4 — Compatibilidad con los recíprocos racionales
Si \(q\in\mathbb Q\) y \(q\neq0_{\mathbb Q}\), entonces
\[ \boxed{ \iota_C(q^{-1}) = \iota_C(q)^{-1}. } \]
Demostración.
Sea \(q\neq0_{\mathbb Q}\). Como \(\iota_C(0_{\mathbb Q})=0_C\) y \(\iota_C\) es inyectiva,
\[ \iota_C(q)\neq0_C. \]
Por tanto \(\iota_C(q)^{-1}\) está definido.
La ley del inverso racional da
\[ qq^{-1}=1_{\mathbb Q}. \]
Aplicando la preservación del producto y de la unidad,
\[ \begin{aligned} \iota_C(q)\,\iota_C(q^{-1}) &=\iota_C(qq^{-1})\\ &=\iota_C(1_{\mathbb Q})\\ &=1_C. \end{aligned} \]
Por otro lado, Proposición 9.7.9 — Ley del inverso multiplicativo en \(\mathbb R_C\) da
\[ \iota_C(q)\,\iota_C(q)^{-1}=1_C. \]
Usando asociatividad, conmutatividad y la unidad de Teorema 9.6.6 — \(\mathbb R_C\) es un anillo conmutativo con identidad,
\[ \begin{aligned} \iota_C(q^{-1}) &=1_C\,\iota_C(q^{-1})\\ &=\bigl(\iota_C(q)^{-1}\iota_C(q)\bigr)\iota_C(q^{-1})\\ &=\iota_C(q)^{-1} \bigl(\iota_C(q)\iota_C(q^{-1})\bigr)\\ &=\iota_C(q)^{-1}1_C\\ &=\iota_C(q)^{-1}. \end{aligned} \]
∎
Proposición 9.9.5 — Preservación y reflexión del orden racional
Para cualesquiera \(q,r\in\mathbb Q\),
\[ \boxed{ q<r \iff \iota_C(q)<_C\iota_C(r), } \]
y
\[ \boxed{ q\le r \iff \iota_C(q)\le_C\iota_C(r). } \]
Demostración.
Comenzamos con el orden estricto.
Supongamos
\[ q<r. \]
Definamos explícitamente
\[ \delta:=\frac{r-q}{2_{\mathbb Q}}. \]
Como \(q<r\), tenemos \(0<r-q\) y, por positividad de \(2_{\mathbb Q}^{-1}\),
\[ 0<\delta. \]
Además,
\[ q<q+\delta<r. \]
En particular,
\[ q+\delta<r. \]
Para las sucesiones constantes, esto significa que, para todo \(n\in\mathbb N\),
\[ \underline q_n+\delta < \underline r_n. \]
Tomando \(N=0\), el criterio Proposición 9.8.6 — Criterio de separación eventual para el orden estricto produce
\[ [\underline q]_C <_C [\underline r]_C, \]
es decir,
\[ \iota_C(q)<_C\iota_C(r). \]
Recíprocamente, supongamos
\[ \iota_C(q)<_C\iota_C(r). \]
Por Proposición 9.8.6 — Criterio de separación eventual para el orden estricto, existen \(\delta\in\mathbb Q\) y \(N\in\mathbb N\) tales que
\[ 0<\delta \]
y, para todo \(n\ge N\),
\[ \underline q_n+\delta < \underline r_n. \]
Como \(N\le N\), al tomar \(n=N\) obtenemos
\[ q+\delta<r. \]
De \(0<\delta\), la compatibilidad del orden racional con la suma da
\[ q<q+\delta. \]
Por transitividad,
\[ q<r. \]
Así hemos demostrado
\[ q<r \iff \iota_C(q)<_C\iota_C(r). \]
Pasemos al orden no estricto. Como el orden racional es total y \(<\) es su orden estricto asociado,
\[ q\le r \iff (q<r\ \lor\ q=r). \]
Del mismo modo, por Teorema 9.8.5 — \(\le_C\) es un orden total,
\[ \iota_C(q)\le_C\iota_C(r) \iff \bigl( \iota_C(q)<_C\iota_C(r) \ \lor\\ \iota_C(q)=\iota_C(r) \bigr). \]
La equivalencia estricta recién demostrada y Proposición 9.9.2 — Igualdad de imágenes e inyectividad de \(\iota_C\) transforman miembro a miembro la primera disyunción en la segunda. Por tanto
\[ q\le r \iff \iota_C(q)\le_C\iota_C(r). \]
∎
Lo que hemos ganado
La relación entre el sistema racional ya construido y el nuevo cuerpo de Cauchy está ahora expresada por una función canónica, no por una identificación conjuntista:
\[ \boxed{ \iota_C(q)=[\underline q]_C. } \]
La función es inyectiva, preserva \(0\), \(1\), suma, producto, opuestos y recíprocos cuando éstos existen, y preserva y refleja ambos órdenes:
\[ q\le r \iff \iota_C(q)\le_C\iota_C(r), \]
\[ q<r \iff \iota_C(q)<_C\iota_C(r). \]
Por ello, \(\iota_C[\mathbb Q]\) es ya una copia algebraica y ordenada exacta de los racionales dentro del conjunto \(\mathbb R_C\).
Hay, sin embargo, una última cautela deductiva. La definición general de incrustación de cuerpos ordenados (Definición 4.8.1 — Incrustación de cuerpos ordenados) exige que tanto el dominio como el codominio sean cuerpos ordenados. Ya sabemos que \(\mathbb Q\) lo es y que \(\mathbb R_C\) es un cuerpo provisto de un orden total, pero todavía no hemos demostrado que las operaciones de \(\mathbb R_C\) sean compatibles con \(\le_C\). Por esa razón no aplicaremos todavía formalmente esa denominación a \(\iota_C\).
La tarea de §9.10 queda así aislada con precisión: demostrar la compatibilidad de \(\le_C\) con la suma y con el producto de elementos no negativos. Una vez hecho esto, \(\mathbb R_C\) será un cuerpo ordenado y los resultados de esta sección convertirán inmediatamente a \(\iota_C\) en una incrustación de cuerpos ordenados.
9.10. Compatibilidad del orden con las operaciones
Ya disponemos por separado de las dos estructuras que deben convivir en un cuerpo ordenado:
\[ (\mathbb R_C,+_C,\cdot_C,0_C,1_C) \]
es un cuerpo (Teorema 9.7.10 — \(\mathbb R_C\) es un cuerpo), y
\[ (\mathbb R_C,\le_C) \]
es un conjunto totalmente ordenado (Teorema 9.8.5 — \(\le_C\) es un orden total). Falta verificar exactamente las dos compatibilidades exigidas por la definición abstracta de cuerpo ordenado Definición 4.1.1 — Cuerpo ordenado:
\[ x\le_C y \Longrightarrow x+z\le_C y+z, \]
\[ 0_C\le_C x, \quad 0_C\le_C y \Longrightarrow 0_C\le_C xy. \]
La primera se transmitirá directamente desde la comparación asintótica de representantes. Para la segunda conviene aprovechar el criterio estricto ya obtenido: dos clases estrictamente positivas admiten representantes que, a partir de cierto índice, están separados de cero por márgenes racionales positivos; el producto de esos márgenes vuelve a ser positivo.
Proposición 9.10.1 — Invariancia del orden de Cauchy por traslación
Para cualesquiera \(x,y,z\in\mathbb R_C\),
\[ \boxed{ x\le_C y \Longrightarrow x+z\le_C y+z. } \]
Demostración.
Supongamos
\[ x\le_C y. \]
Por Proposición 9.4.4 — Representantes y criterio de igualdad de clases de Cauchy, tomemos representantes locales
\[ x=[a]_C, \qquad y=[b]_C, \qquad z=[c]_C, \]
con \(a,b,c\in\mathcal C_{\mathbb Q}\).
El criterio de representantes de Definición 9.8.4 — Orden de Cauchy da
\[ a\preccurlyeq_C b. \]
Sea \(\varepsilon\in\mathbb Q\) con \(0<\varepsilon\). Por Definición 9.8.1 — Comparación asintótica de representantes, existe \(N\in\mathbb N\) tal que, para todo \(n\ge N\),
\[ a_n<b_n+\varepsilon. \]
Como \(\mathbb Q\) es un cuerpo ordenado (Proposición 4.1.4 — \(\mathbb Q\) es un cuerpo ordenado), la invariancia estricta por traslación de Lema 4.1.3 — Cálculo elemental de signos en un cuerpo ordenado permite sumar \(c_n\) a ambos miembros:
\[ a_n+c_n < (b_n+\varepsilon)+c_n. \]
Por asociatividad y conmutatividad de la suma racional,
\[ (b_n+\varepsilon)+c_n = (b_n+c_n)+\varepsilon. \]
Luego, para todo \(n\ge N\),
\[ (a+c)_n<(b+c)_n+\varepsilon. \]
Como \(\varepsilon>0\) era arbitraria,
\[ a+c\preccurlyeq_C b+c. \]
Las sucesiones \(a+c\) y \(b+c\) pertenecen a \(\mathcal C_{\mathbb Q}\) por Proposición 9.5.1 — Estabilidad de \(\mathcal C_{\mathbb Q}\) bajo suma y producto, y la definición de la suma en el cociente (Definición 9.5.4 — Suma y producto en \(\mathbb R_C\)) da
\[ x+z=[a+c]_C, \qquad y+z=[b+c]_C. \]
Aplicando nuevamente Definición 9.8.4 — Orden de Cauchy, concluimos
\[ x+z\le_C y+z. \]
∎
Proposición 9.10.2 — El producto de elementos no negativos es no negativo
Para cualesquiera \(x,y\in\mathbb R_C\),
\[ \boxed{ 0_C\le_C x, \quad 0_C\le_C y \Longrightarrow 0_C\le_C xy. } \]
Demostración.
Supongamos
\[ 0_C\le_C x, \qquad 0_C\le_C y. \]
Tomemos representantes locales
\[ x=[a]_C, \qquad y=[b]_C, \]
con \(a,b\in\mathcal C_{\mathbb Q}\). Como \(0_C=[\underline{0_{\mathbb Q}}]_C\), la definición del orden da
\[ \underline{0_{\mathbb Q}}\preccurlyeq_C a, \qquad \underline{0_{\mathbb Q}}\preccurlyeq_C b. \]
Por Teorema 8.6.3 — Toda sucesión racional de Cauchy es acotada, las dos sucesiones son acotadas. Existen racionales no negativos \(B_a,B_b\) tales que
\[ |a_n|\leq B_a, \qquad |b_n|\leq B_b \]
para todo \(n\). Pongamos
\[ B:=B_a+B_b+1_{\mathbb Q}. \]
Entonces \(0<B\) y, para todo \(n\),
\[ |a_n|<B, \qquad |b_n|<B. \]
Sea ahora \(\varepsilon>0\). Definimos
\[ \eta:=\frac{\varepsilon}{B+1_{\mathbb Q}}>0. \]
De \(\underline0\preccurlyeq_C a\) y \(\underline0\preccurlyeq_C b\) existen índices \(N_a,N_b\) tales que
\[ n\geq N_a\Longrightarrow -\eta<a_n, \qquad n\geq N_b\Longrightarrow -\eta<b_n. \]
Por la comparación decidible de naturales tomamos un índice \(N\) que domina a ambos. Fijemos \(n\geq N\). La tricotomía decidible racional permite separar los signos de \(a_n,b_n\).
Si ambos son no negativos, \(0\leq a_nb_n\). Si ambos son negativos, también \(0<a_nb_n\). En los casos de signos opuestos, por ejemplo \(a_n<0\leq b_n\),
\[ -\eta<a_n<0, \qquad 0\leq b_n<B, \]
y por compatibilidad del orden con el producto,
\[ a_nb_n\geq-\eta b_n>-\eta B. \]
El otro caso mixto es simétrico. Como
\[ \eta B = \varepsilon\frac{B}{B+1_{\mathbb Q}} < \varepsilon, \]
en todos los casos obtenemos
\[ -\varepsilon<a_nb_n, \]
equivalentemente,
\[ 0_{\mathbb Q}<a_nb_n+\varepsilon. \]
Esto vale para todo \(n\geq N\), de modo que
\[ \underline{0_{\mathbb Q}}\preccurlyeq_C ab. \]
Por la definición del producto en el cociente,
\[ xy=[ab]_C, \]
y por tanto
\[ 0_C\le_Cxy. \]
∎
apartness de los factores. Sólo usa el preorder asintótico, acotación racional y decisiones de signo para términos racionales individuales. Por ello no hereda la clasicidad de Lema 9.7.2 — Separación eventual respecto de cero ni de la totalidad de \(\mathbb R_C\). Tampoco utiliza Choice.
Teorema 9.10.3 — \(\mathbb R_C\) es un cuerpo ordenado
Con las operaciones y el orden construidos en este capítulo,
\[ \boxed{ (\mathbb R_C,+_C,\cdot_C,0_C,1_C,\le_C) \text{ es un cuerpo ordenado.} } \]
Demostración.
Teorema 9.7.10 — \(\mathbb R_C\) es un cuerpo demuestra que
\[ (\mathbb R_C,+_C,\cdot_C,0_C,1_C) \]
es un cuerpo, y Teorema 9.8.5 — \(\le_C\) es un orden total demuestra que \(\le_C\) es un orden total sobre \(\mathbb R_C\).
La primera compatibilidad exigida por Definición 4.1.1 — Cuerpo ordenado,
\[ x\le_C y \Longrightarrow x+z\le_C y+z, \]
es exactamente Proposición 9.10.1 — Invariancia del orden de Cauchy por traslación.
La segunda,
\[ 0_C\le_C x, \quad 0_C\le_C y \Longrightarrow 0_C\le_C xy, \]
es Proposición 9.10.2 — El producto de elementos no negativos es no negativo.
Se satisfacen, por tanto, todas las condiciones de Definición 4.1.1 — Cuerpo ordenado. ∎
Corolario 9.10.4 — La aplicación racional es una incrustación de cuerpos ordenados
La función
\[ \iota_C:\mathbb Q\to\mathbb R_C, \qquad q\longmapsto[\underline q]_C, \]
es una incrustación de cuerpos ordenados en el sentido de Definición 4.8.1 — Incrustación de cuerpos ordenados.
Demostración.
Por Proposición 4.1.4 — \(\mathbb Q\) es un cuerpo ordenado, \(\mathbb Q\) es un cuerpo ordenado, y por Teorema 9.10.3 — \(\mathbb R_C\) es un cuerpo ordenado, \(\mathbb R_C\) también lo es.
La función \(\iota_C\) fue construida en Definición 9.9.1 — Aplicación canónica de \(\mathbb Q\) en \(\mathbb R_C\). Proposición 9.9.2 — Igualdad de imágenes e inyectividad de \(\iota_C\) demuestra que es inyectiva. Proposición 9.9.3 — Preservación de la aritmética racional establece
\[ \iota_C(0_{\mathbb Q})=0_C, \qquad \iota_C(1_{\mathbb Q})=1_C, \]
\[ \iota_C(q+r)=\iota_C(q)+\iota_C(r), \]
\[ \iota_C(qr)=\iota_C(q)\iota_C(r). \]
Finalmente, Proposición 9.9.5 — Preservación y reflexión del orden racional demuestra, para cualesquiera \(q,r\in\mathbb Q\),
\[ q\le r \iff \iota_C(q)\le_C\iota_C(r). \]
Éstas son exactamente las condiciones de Definición 4.8.1 — Incrustación de cuerpos ordenados. ∎
Lo que hemos ganado
La construcción de Cauchy ya no consiste sólo en un cociente de sucesiones con operaciones y un orden definidos por separado. Las dos estructuras han quedado acopladas:
\[ \boxed{ (\mathbb R_C,+_C,\cdot_C,0_C,1_C,\le_C) \text{ es un cuerpo ordenado.} } \]
Además,
\[ \boxed{ \iota_C:\mathbb Q\to\mathbb R_C } \]
es ahora formalmente una incrustación de cuerpos ordenados. En particular, la copia racional dentro de \(\mathbb R_C\) no es una convención de escritura: es la imagen de una función inyectiva que preserva exactamente la aritmética y el orden.
Desde este punto, todos los resultados abstractos demostrados en el Capítulo 4 para cuerpos ordenados pueden aplicarse legítimamente a \(\mathbb R_C\): reglas de signos, positividad de inversos, invariancia estricta por traslación y multiplicación por factores positivos, valor absoluto y demás infraestructura estructural correspondiente.
No hemos usado para ello ningún hecho de completitud de \(\mathbb R_D\), ni hemos identificado los racionales con un subconjunto literal de \(\mathbb R_C\), ni hemos recurrido a Choice.
Con esto termina la construcción algebraica y ordenada del cuerpo de Cauchy. Lo que todavía falta para convertirlo en una completación ordenada de \(\mathbb Q\) en el sentido de Definición 4.8.2 — Completación ordenada de \(\mathbb Q\) es demostrar su completitud. Ése será el objeto del capítulo siguiente.