Tratado de análisis — Capítulo 11 — Dedekind y Cauchy
Capítulo 11 — Dedekind y Cauchy
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Parte I — Fundamentos y construcción de los números reales
11.1. Del proceso racional a la cortadura
Sea
\[ a=(a_n)_{n\in\mathbb N}\in\mathcal C_{\mathbb Q}. \]
Si \(a\) tuviera un límite \(L\), la cortadura correspondiente debería contener exactamente los racionales \(q\) situados estrictamente por debajo de \(L\). Como no podemos mencionar todavía tal \(L\), sustituiremos la desigualdad \(q<L\) por una condición que pueda leerse directamente sobre la sucesión: \(q\) debe quedar, a partir de cierto índice, separado por un margen racional positivo de todos los términos de \(a\).
Esta condición reproduce exactamente el criterio de orden estricto ya demostrado para las clases de Cauchy, pero se formula primero en el nivel de representantes.
Definición 11.1.1 — Lado inferior asociado a una sucesión racional de Cauchy
Para \(a\in\mathcal C_{\mathbb Q}\) definimos
\[ \boxed{ \mathcal L_C(a) := \left\{ q\in\mathbb Q: \begin{array}{l} \exists\varepsilon\in\mathbb Q\;\exists N\in\mathbb N\;\bigl( 0<\varepsilon\\[1mm] \qquad\land\ \forall n\in\mathbb N\, (N\le n\Rightarrow q+\varepsilon<a_n) \bigr) \end{array} \right\}. } \]
En forma abreviada,
\[ q\in\mathcal L_C(a) \iff \exists\varepsilon>0\;\exists N\in\mathbb N\; \forall n\ge N, \quad q+\varepsilon<a_n. \]
El conjunto \(\mathcal L_C(a)\) existe por Separación sobre \(\mathbb Q\). La fórmula sólo utiliza la aritmética y el orden racionales ya construidos, la sucesión \(a\) y cuantificación sobre \(\mathbb N\).
La presencia del margen \(\varepsilon>0\) es esencial. Exigir simplemente que \(q<a_n\) eventualmente no sería estable frente a perturbaciones nulas: una sucesión puede oscilar alrededor de una frontera sin mantenerse de un solo lado. El margen positivo expresa que \(q\) se encuentra estrictamente por debajo de la posición asintótica representada por \(a\).
Proposición 11.1.2 — Caracterización mediante el orden de \(\mathbb R_C\)
Para todo \(a\in\mathcal C_{\mathbb Q}\) y todo \(q\in\mathbb Q\),
\[ \boxed{ q\in\mathcal L_C(a) \iff \iota_C(q)<_C[a]_C. } \]
Demostración.
Fijemos \(a\in\mathcal C_{\mathbb Q}\) y \(q\in\mathbb Q\). La sucesión constante \(\underline q\) pertenece a \(\mathcal C_{\mathbb Q}\) por Proposición 8.4.4 — Las sucesiones constantes son de Cauchy, y por definición de la incrustación de Cauchy,
\[ \iota_C(q)=[\underline q]_C. \]
Por Proposición 9.8.6 — Criterio de separación eventual para el orden estricto,
\[ [\underline q]_C<_C[a]_C \]
si y sólo si existen \(\varepsilon\in\mathbb Q\) y \(N\in\mathbb N\) tales que
\[ 0<\varepsilon \]
y, para todo \(n\ge N\),
\[ \underline q_n+\varepsilon<a_n. \]
Como \(\underline q_n=q\) para todo \(n\), esta última condición equivale a
\[ \exists\varepsilon>0\;\exists N\in\mathbb N\; \forall n\ge N, \quad q+\varepsilon<a_n, \]
que es exactamente, por Definición 11.1.1 — Lado inferior asociado a una sucesión racional de Cauchy, la afirmación
\[ q\in\mathcal L_C(a). \]
Por tanto,
\[ q\in\mathcal L_C(a) \iff \iota_C(q)<_C[a]_C. \]
∎
Nota conceptual. La proposición no redefine \(\mathcal L_C(a)\) mediante \(\mathbb R_C\). La definición permanece enteramente racional; el resultado demuestra después que esa condición racional coincide con estar por debajo de la clase \([a]_C\) en el cuerpo de Cauchy.
Proposición 11.1.3 — El lado inferior de Cauchy es una cortadura de Dedekind
Para toda sucesión
\[ a\in\mathcal C_{\mathbb Q}, \]
se tiene
\[ \boxed{ \mathcal L_C(a)\in\mathbb R_D. } \]
Demostración.
Fijemos \(a\in\mathcal C_{\mathbb Q}\). Por Teorema 8.6.3 — Toda sucesión racional de Cauchy es acotada, existe \(B\in\mathbb Q\) con
\[ 0_{\mathbb Q}\le B \]
y
\[ |a_n|\le B \qquad(n\in\mathbb N). \]
Por Proposición 4.2.2 — Propiedades elementales del valor absoluto, para todo \(n\),
\[ -B\le a_n\le B. \]
Verificaremos directamente las cuatro condiciones de Definición 5.1.1 — Cortadura de Dedekind para \(\mathcal L_C(a)\).
1. No vaciedad. Definamos
\[ q_-:=-B-1_{\mathbb Q}. \]
Tomemos
\[ \varepsilon:=\frac{1_{\mathbb Q}}{2_{\mathbb Q}}>0. \]
Como \(-B\le a_n\) para todo \(n\),
\[ q_-+\varepsilon = -B-\frac{1_{\mathbb Q}}{2_{\mathbb Q}} < -B \le a_n \]
para todo \(n\). Por Definición 11.1.1 — Lado inferior asociado a una sucesión racional de Cauchy,
\[ q_-\in\mathcal L_C(a). \]
Así \(\mathcal L_C(a)\) está habitada y, en particular,
\[ \mathcal L_C(a)\neq\varnothing. \]
2. Propiedad. Definamos
\[ q_+:=B+1_{\mathbb Q}. \]
Afirmamos que
\[ q_+\notin\mathcal L_C(a). \]
En efecto, si \(q_+\in\mathcal L_C(a)\), existirían \(\varepsilon>0\) y \(N\in\mathbb N\) tales que
\[ q_++\varepsilon<a_n \]
para todo \(n\ge N\). Tomando \(n=N\) y usando \(a_N\le B\),
\[ B+1_{\mathbb Q} < q_++\varepsilon < a_N \le B, \]
contradicción. Luego
\[ q_+\in\mathbb Q\setminus\mathcal L_C(a), \]
y por tanto
\[ \mathcal L_C(a)\neq\mathbb Q. \]
3. Clausura inferior. Sean
\[ r\in\mathcal L_C(a), \qquad s<r. \]
Por Definición 11.1.1 — Lado inferior asociado a una sucesión racional de Cauchy existen \(\varepsilon>0\) y \(N\) tales que
\[ r+\varepsilon<a_n \qquad(n\ge N). \]
Como \(s<r\), la compatibilidad del orden racional con la suma da
\[ s+\varepsilon<r+\varepsilon<a_n \qquad(n\ge N). \]
Por tanto
\[ s\in\mathcal L_C(a). \]
4. Ausencia de máximo. Sea
\[ r\in\mathcal L_C(a). \]
Elijamos testigos locales \(\varepsilon>0\) y \(N\) con
\[ r+\varepsilon<a_n \qquad(n\ge N). \]
Definamos canónicamente
\[ s:=r+\frac{\varepsilon}{2_{\mathbb Q}}. \]
Entonces
\[ r<s \]
y
\[ s+\frac{\varepsilon}{2_{\mathbb Q}} = r+\varepsilon < a_n \qquad(n\ge N). \]
Por Definición 11.1.1 — Lado inferior asociado a una sucesión racional de Cauchy,
\[ s\in\mathcal L_C(a). \]
Así ningún elemento de \(\mathcal L_C(a)\) es máximo.
Se cumplen las cuatro condiciones de una cortadura de Dedekind. Por Definición 5.1.3 — Conjunto subyacente del modelo de Dedekind,
\[ \mathcal L_C(a)\in\mathbb R_D. \]
∎
Nota fundacional. La prueba ya no usa la densidad global de \(\mathbb Q\) en \(\mathbb R_C\). Todo se obtiene directamente de la acotación de la sucesión de Cauchy y de márgenes racionales explícitos. Los testigos utilizados son locales para la sucesión o el racional fijados; no interviene Choice.
Definición 11.1.4 — Aplicación de representantes de Cauchy a cortaduras
Por Proposición 11.1.3 — El lado inferior de Cauchy es una cortadura de Dedekind, para cada \(a\in\mathcal C_{\mathbb Q}\) el conjunto \(\mathcal L_C(a)\) pertenece a \(\mathbb R_D\). Definimos entonces
\[ \boxed{ \Lambda_C: \mathcal C_{\mathbb Q} \longrightarrow \mathbb R_D, \qquad \Lambda_C(a):=\mathcal L_C(a). } \]
Conjuntistamente, su grafo es
\[ G_{\Lambda_C} := \left\{ \langle a,\alpha\rangle \in \mathcal C_{\mathbb Q}\times\mathbb R_D: \alpha=\mathcal L_C(a) \right\}. \]
El producto cartesiano existe, y el subconjunto indicado se obtiene por Separación. Para cada \(a\in\mathcal C_{\mathbb Q}\) existe exactamente una \(\alpha\in\mathbb R_D\) que satisface la condición, pues \(\mathcal L_C(a)\) es un conjunto unívocamente determinado por Definición 11.1.1 — Lado inferior asociado a una sucesión racional de Cauchy y pertenece a \(\mathbb R_D\) por Proposición 11.1.3 — El lado inferior de Cauchy es una cortadura de Dedekind. Por tanto \(G_{\Lambda_C}\) es el grafo de una función.
Todavía no hemos construido una función
\[ \mathbb R_C\to\mathbb R_D. \]
La función \(\Lambda_C\) tiene como dominio las sucesiones representantes, no sus clases. Antes de descenderla al cociente debemos probar la afirmación decisiva:
\[ a\sim_C b \Longrightarrow \Lambda_C(a)=\Lambda_C(b). \]
Éste es exactamente el problema de §11.2.
11.2. Buena definición sobre clases
La función \(\Lambda_C\) fue construida deliberadamente sobre \(\mathcal C_{\mathbb Q}\) y no sobre \(\mathbb R_C\). Por tanto, antes de descenderla al cociente debemos demostrar que su valor no depende de la sucesión racional escogida dentro de una misma clase de Cauchy.
Podríamos intentar probarlo rehaciendo directamente las estimaciones con márgenes racionales de Definición 11.1.1 — Lado inferior asociado a una sucesión racional de Cauchy. Sin embargo, §11.1 ya aisló el contenido exacto de esas estimaciones: por Proposición 11.1.2 — Caracterización mediante el orden de \(\mathbb R_C\), pertenecer a \(\mathcal L_C(a)\) significa que la copia racional correspondiente está estrictamente por debajo de \([a]_C\). Si dos sucesiones son equivalentes, representan el mismo elemento de \(\mathbb R_C\); por tanto deben determinar exactamente el mismo lado inferior racional.
Esta observación no presupone la función \(\Phi\). Utiliza únicamente el cociente de Cauchy, ya construido en el Capítulo 9, y la caracterización de §11.1.
Proposición 11.2.1 — Invariancia del lado inferior bajo equivalencia de Cauchy
Sean
\[ a,b\in\mathcal C_{\mathbb Q}. \]
Si
\[ a\sim_C b, \]
entonces
\[ \boxed{ \mathcal L_C(a)=\mathcal L_C(b). } \]
En consecuencia,
\[ \boxed{ \Lambda_C(a)=\Lambda_C(b). } \]
Demostración.
Supongamos
\[ a\sim_C b. \]
Por el criterio de igualdad de clases de Cauchy, Proposición 9.4.4 — Representantes y criterio de igualdad de clases de Cauchy,
\[ [a]_C=[b]_C. \]
Sea ahora \(q\in\mathbb Q\). Aplicando Proposición 11.1.2 — Caracterización mediante el orden de \(\mathbb R_C\) a \(a\),
\[ q\in\mathcal L_C(a) \iff \iota_C(q)<_C[a]_C. \]
Como \([a]_C=[b]_C\), sustitución de iguales da
\[ \iota_C(q)<_C[a]_C \iff \iota_C(q)<_C[b]_C. \]
Aplicando nuevamente Proposición 11.1.2 — Caracterización mediante el orden de \(\mathbb R_C\), ahora a \(b\),
\[ \iota_C(q)<_C[b]_C \iff q\in\mathcal L_C(b). \]
Por tanto, para todo \(q\in\mathbb Q\),
\[ q\in\mathcal L_C(a) \iff q\in\mathcal L_C(b). \]
Ambos lados son subconjuntos de \(\mathbb Q\). Por extensionalidad, en la forma de Teorema 0.2.4 — Criterio extensional por doble inclusión,
\[ \mathcal L_C(a)=\mathcal L_C(b). \]
Finalmente, Definición 11.1.4 — Aplicación de representantes de Cauchy a cortaduras establece
\[ \Lambda_C(a)=\mathcal L_C(a), \qquad \Lambda_C(b)=\mathcal L_C(b), \]
de modo que
\[ \Lambda_C(a)=\Lambda_C(b). \]
∎
La proposición establece exactamente la condición de compatibilidad exigida para descender una función definida sobre representantes a un cociente. A partir de este punto, \(\Lambda_C\) es constante sobre cada clase de \(\sim_C\).
11.3. Homomorfismo
El encabezado conserva la arquitectura fijada para el capítulo, pero conviene separar dos afirmaciones. En esta sección construiremos la aplicación canónica de las clases de Cauchy a las cortaduras de Dedekind. Que esa aplicación sea un homomorfismo para la suma y el producto será una propiedad demostrada sólo en §11.4.
La situación construida hasta ahora es exactamente la requerida por el principio general de definición sobre clases. Disponemos de la relación de equivalencia
\[ \sim_C \]
sobre \(\mathcal C_{\mathbb Q}\), del cociente
\[ \mathbb R_C=\mathcal C_{\mathbb Q}/{\sim_C}, \]
y de la función
\[ \Lambda_C:\mathcal C_{\mathbb Q}\longrightarrow\mathbb R_D \]
que, por Proposición 11.2.1 — Invariancia del lado inferior bajo equivalencia de Cauchy, toma el mismo valor en sucesiones equivalentes. No necesitamos, por tanto, escoger una sucesión distinguida dentro de cada clase: la función buscada debe obtenerse directamente por factorización a través de la proyección canónica del cociente.
Definición 11.3.1 — Aplicación canónica de Cauchy a Dedekind
Por Proposición 9.3.2 — \(\sim_C\) es una relación de equivalencia, \(\sim_C\) es una relación de equivalencia sobre \(\mathcal C_{\mathbb Q}\), y por Definición 9.4.2 — El conjunto de los reales de Cauchy su cociente es \(\mathbb R_C\). La función \(\Lambda_C\) está definida en Definición 11.1.4 — Aplicación de representantes de Cauchy a cortaduras, y Proposición 11.2.1 — Invariancia del lado inferior bajo equivalencia de Cauchy demuestra que
\[ a\sim_C b \Longrightarrow \Lambda_C(a)=\Lambda_C(b). \]
Aplicando el principio de definición sobre clases, Teorema 0.6.15 — Principio de definición sobre clases, existe una única función
\[ \boxed{ \Phi:\mathbb R_C\longrightarrow\mathbb R_D } \]
tal que
\[ \boxed{ \Phi\circ\pi_{\sim_C}=\Lambda_C, } \]
donde
\[ \pi_{\sim_C}:\mathcal C_{\mathbb Q}\longrightarrow\mathbb R_C \]
es la proyección canónica del cociente.
Definimos \(\Phi\) como esa única función inducida. Para todo \(a\in\mathcal C_{\mathbb Q}\) se tiene entonces
\[ \pi_{\sim_C}(a)=[a]_C, \]
y por tanto
\[ \boxed{ \Phi([a]_C) = \Lambda_C(a) = \mathcal L_C(a). } \]
La fórmula anterior debe leerse con cuidado. No afirma que una clase \([a]_C\) sea una cortadura, ni que \(a\) sea un representante privilegiado. Afirma que la función \(\Phi\) envía la clase completa al único lado inferior racional determinado por cualquiera de sus representantes.
Proposición 11.3.2 — Caracterización universal de \(\Phi\)
Sea
\[ \Psi:\mathbb R_C\longrightarrow\mathbb R_D \]
una función. Entonces
\[ \boxed{ \Psi=\Phi \iff \forall a\in\mathcal C_{\mathbb Q}, \quad \Psi([a]_C)=\mathcal L_C(a). } \]
Demostración.
Si \(\Psi=\Phi\), entonces para todo \(a\in\mathcal C_{\mathbb Q}\),
\[ \Psi([a]_C) = \Phi([a]_C) = \mathcal L_C(a) \]
por Definición 11.3.1 — Aplicación canónica de Cauchy a Dedekind.
Recíprocamente, supongamos que
\[ \forall a\in\mathcal C_{\mathbb Q}, \qquad \Psi([a]_C)=\mathcal L_C(a). \]
Para demostrar \(\Psi=\Phi\), fijemos un elemento arbitrario
\[ x\in\mathbb R_C. \]
Por Proposición 9.4.4 — Representantes y criterio de igualdad de clases de Cauchy, existe una sucesión \(a\in\mathcal C_{\mathbb Q}\) tal que
\[ x=[a]_C. \]
Para este representante local,
\[ \Psi(x) = \Psi([a]_C) = \mathcal L_C(a), \]
mientras que Definición 11.3.1 — Aplicación canónica de Cauchy a Dedekind da
\[ \Phi(x) = \Phi([a]_C) = \mathcal L_C(a). \]
Por consiguiente,
\[ \Psi(x)=\Phi(x). \]
Como \(x\in\mathbb R_C\) era arbitrario, ambas funciones coinciden en todo su dominio. El criterio de igualdad de funciones Proposición 0.6.3 — Criterio de igualdad de funciones proporciona
\[ \Psi=\Phi. \]
∎
La caracterización universal muestra que \(\Phi\) no depende de una presentación particular del cociente. Es la única función \(\mathbb R_C\to\mathbb R_D\) cuyo valor sobre una clase de Cauchy es la cortadura producida por cualquiera de sus representantes.
11.4. Preservación de suma y producto
La aplicación \(\Phi\) ya está definida sobre todo \(\mathbb R_C\), pero hasta aquí sólo sabemos cómo leer su valor a partir de un representante. Antes de comparar operaciones conviene eliminar también esa dependencia expositiva: la cortadura \(\Phi(x)\) puede reconocerse directamente a partir de la posición de \(x\) respecto de la copia racional en \(\mathbb R_C\).
Este criterio será el puente entre las dos aritméticas. Para la suma permitirá traducir la pertenencia a una suma de cortaduras en una desigualdad en \(\mathbb R_C\) y volver de ella mediante densidad racional. Para el producto habrá que respetar una dificultad adicional ya presente en el Capítulo 6: la multiplicación de Dedekind se construyó primero sobre cortaduras estrictamente positivas y sólo después se extendió por signos. Seguiremos exactamente ese orden.
Lema 11.4.1 — Traza racional de \(\Phi(x)\)
Para todo \(x\in\mathbb R_C\) y todo \(q\in\mathbb Q\),
\[ \boxed{ q\in\Phi(x) \iff \iota_C(q)<_C x. } \]
Demostración.
Fijemos \(x\in\mathbb R_C\). Por Proposición 9.4.4 — Representantes y criterio de igualdad de clases de Cauchy existe una sucesión \(a\in\mathcal C_{\mathbb Q}\) tal que
\[ x=[a]_C. \]
Para este representante local, Definición 11.3.1 — Aplicación canónica de Cauchy a Dedekind da
\[ \Phi(x)=\Phi([a]_C)=\mathcal L_C(a). \]
Por Proposición 11.1.2 — Caracterización mediante el orden de \(\mathbb R_C\), para todo \(q\in\mathbb Q\),
\[ q\in\mathcal L_C(a) \iff \iota_C(q)<_C[a]_C. \]
Sustituyendo las dos igualdades anteriores obtenemos
\[ q\in\Phi(x) \iff \iota_C(q)<_C x. \]
∎
El lema muestra que \(\Phi(x)\) es exactamente la traza racional inferior de \(x\) dentro del cuerpo de Cauchy. Esta descripción no identifica los modelos: el miembro izquierdo es pertenencia a una cortadura de \(\mathbb R_D\) y el derecho es una desigualdad en \(\mathbb R_C\).
Proposición 11.4.2 — Preservación de la suma
Para todos \(x,y\in\mathbb R_C\),
\[ \boxed{ \Phi(x+y)=\Phi(x)+_D\Phi(y). } \]
Demostración.
Demostraremos igualdad de cortaduras por extensionalidad. Fijemos \(r\in\mathbb Q\).
Supongamos primero
\[ r\in\Phi(x)+_D\Phi(y). \]
Por Definición 6.1.4 — Adición de Dedekind y Definición 6.1.2 — Conjunto suma de dos cortaduras, existen \(p,q\in\mathbb Q\) tales que
\[ p\in\Phi(x), \qquad q\in\Phi(y), \qquad r=p+q. \]
El lema anterior da
\[ \iota_C(p)<_C x, \qquad \iota_C(q)<_C y. \]
Como \(\mathbb R_C\) es un cuerpo ordenado (Teorema 9.10.3 — \(\mathbb R_C\) es un cuerpo ordenado), la invariancia estricta por traslación permite sumar las desigualdades y obtener
\[ \iota_C(p)+\iota_C(q)<_C x+y. \]
Por Proposición 9.9.3 — Preservación de la aritmética racional, \(\iota_C\) preserva la suma racional, de modo que
\[ \iota_C(r) = \iota_C(p+q) = \iota_C(p)+\iota_C(q) <_C x+y. \]
Aplicando Lema 11.4.1 — Traza racional de \(\Phi(x)\) a \(x+y\),
\[ r\in\Phi(x+y). \]
Así
\[ \Phi(x)+_D\Phi(y)\subseteq\Phi(x+y). \]
Recíprocamente, supongamos
\[ r\in\Phi(x+y). \]
Entonces
\[ \iota_C(r)<_C x+y. \]
Trasladando por \(-y\) en el cuerpo ordenado \(\mathbb R_C\),
\[ \iota_C(r)-y<_C x. \]
La densidad de la copia racional, Corolario 10.6.2 — Densidad de la copia racional en \(\mathbb R_C\), proporciona un racional \(p\in\mathbb Q\) tal que
\[ \iota_C(r)-y <_C \iota_C(p) <_C x. \]
Definimos en \(\mathbb Q\)
\[ q:=r-p. \]
De la primera desigualdad, trasladando términos en \(\mathbb R_C\) y usando la preservación de la aritmética racional por \(\iota_C\), se obtiene
\[ \iota_C(q) = \iota_C(r-p) = \iota_C(r)-\iota_C(p) <_C y. \]
Por Lema 11.4.1 — Traza racional de \(\Phi(x)\),
\[ p\in\Phi(x), \qquad q\in\Phi(y). \]
Además, por construcción,
\[ r=p+q. \]
Por la definición de la suma de Dedekind,
\[ r\in\Phi(x)+_D\Phi(y). \]
Hemos probado ambas inclusiones; Teorema 0.2.4 — Criterio extensional por doble inclusión da la igualdad de cortaduras.
∎
Corolario 11.4.3 — Preservación del cero y del opuesto
Para todo \(x\in\mathbb R_C\),
\[ \boxed{ \Phi(0_C)=0_D } \]
y
\[ \boxed{ \Phi(-x)=-_D\Phi(x). } \]
Demostración.
Para la primera igualdad, sea \(q\in\mathbb Q\). Por Lema 11.4.1 — Traza racional de \(\Phi(x)\),
\[ q\in\Phi(0_C) \iff \iota_C(q)<_C0_C. \]
Como \(\iota_C(0_{\mathbb Q})=0_C\) por Proposición 9.9.3 — Preservación de la aritmética racional y \(\iota_C\) refleja el orden estricto por Proposición 9.9.5 — Preservación y reflexión del orden racional,
\[ \iota_C(q)<_C0_C \iff q<0_{\mathbb Q}. \]
La última condición equivale a \(q\in0_D\) por Definición 6.2.1 — Cero de Dedekind. Por extensionalidad,
\[ \Phi(0_C)=0_D. \]
Para el opuesto, la preservación de la suma da
\[ \Phi(x)+_D\Phi(-x) = \Phi(x+(-x)) = \Phi(0_C) = 0_D. \]
Por otra parte, la definición del opuesto de Dedekind y su ley aditiva dan
\[ \Phi(x)+_D(-_D\Phi(x))=0_D. \]
La cancelación aditiva en \(\mathbb R_D\), Proposición 6.3.11 — Cancelación aditiva en \(\mathbb R_D\), implica
\[ \Phi(-x)=-_D\Phi(x). \]
∎
Este corolario no introduce una comparación general de órdenes entre los dos modelos. Registra únicamente las dos identidades algebraicas que serán necesarias para extender el producto desde el cono positivo a todos los signos.
Lema 11.4.4 — Preservación del producto en el cono positivo
Sean \(x,y\in\mathbb R_C\) tales que
\[ 0_C<_C x, \qquad 0_C<_C y. \]
Entonces
\[ \Phi(x),\Phi(y)\in\mathbb R_D^{>0} \]
y
\[ \boxed{ \Phi(xy)=\Phi(x)\cdot_D^+\Phi(y). } \]
Demostración.
Como \(\iota_C(0_{\mathbb Q})=0_C<_Cx\), Lema 11.4.1 — Traza racional de \(\Phi(x)\) da
\[ 0_{\mathbb Q}\in\Phi(x). \]
Por Lema 6.4.2 — Caracterizaciones de la positividad, esto equivale a
\[ 0_D<_D\Phi(x). \]
Análogamente,
\[ 0_D<_D\Phi(y). \]
Por tanto ambos factores pertenecen a \(\mathbb R_D^{>0}\) y el producto \(\cdot_D^+\) está legítimamente definido.
Probemos ahora la igualdad por extensionalidad. Fijemos \(r\in\mathbb Q\).
Supongamos primero
\[ r\in\Phi(x)\cdot_D^+\Phi(y). \]
Por Definición 6.4.4 — Candidato a producto positivo, existen racionales \(p,q\) tales que
\[ 0<p, \qquad 0<q, \qquad p\in\Phi(x), \qquad q\in\Phi(y), \qquad r<pq. \]
Por Lema 11.4.1 — Traza racional de \(\Phi(x)\),
\[ \iota_C(p)<_Cx, \qquad \iota_C(q)<_Cy. \]
Como \(p,q>0\) y \(\iota_C\) preserva el orden, ambos \(\iota_C(p)\) y \(\iota_C(q)\) son positivos. En el cuerpo ordenado \(\mathbb R_C\) podemos multiplicar sucesivamente por factores positivos:
\[ \iota_C(p)\iota_C(q) <_C x\iota_C(q) <_C xy. \]
Además, de \(r<pq\) y Proposición 9.9.3 — Preservación de la aritmética racional–Proposición 9.9.5 — Preservación y reflexión del orden racional se obtiene
\[ \iota_C(r) <_C \iota_C(pq) = \iota_C(p)\iota_C(q). \]
Por transitividad,
\[ \iota_C(r)<_Cxy, \]
y Lema 11.4.1 — Traza racional de \(\Phi(x)\) da
\[ r\in\Phi(xy). \]
Así
\[ \Phi(x)\cdot_D^+\Phi(y) \subseteq \Phi(xy). \]
Para la inclusión recíproca, sea
\[ r\in\Phi(xy). \]
Entonces
\[ \iota_C(r)<_Cxy. \]
Distinguimos dos casos racionales.
Caso 1: \(r\leq0\). Por densidad de \(\iota_C[\mathbb Q]\) entre \(0_C\) y \(x\), existe \(p\in\mathbb Q\) tal que
\[ 0_C<_C\iota_C(p)<_Cx. \]
De modo análogo existe \(q\in\mathbb Q\) con
\[ 0_C<_C\iota_C(q)<_Cy. \]
La reflexión del orden por \(\iota_C\) da \(p,q>0\). Entonces \(pq>0\), y de \(r\leq0<pq\) se sigue
\[ r<pq. \]
El lema de traza racional da \(p\in\Phi(x)\) y \(q\in\Phi(y)\); por Definición 6.4.4 — Candidato a producto positivo,
\[ r\in\Phi(x)\cdot_D^+\Phi(y). \]
Caso 2: \(0<r\). Como \(y>0_C\), su inverso es positivo por Lema 4.1.3 — Cálculo elemental de signos en un cuerpo ordenado. Multiplicando
\[ \iota_C(r)<_Cxy \]
por \(y^{-1}>0_C\), obtenemos
\[ \iota_C(r)y^{-1}<_Cx. \]
El miembro izquierdo es positivo. Por densidad racional existe \(p\in\mathbb Q\) tal que
\[ \iota_C(r)y^{-1} <_C \iota_C(p) <_C x. \]
En particular \(0_C<_C\iota_C(p)\), luego \(p>0\) por reflexión del orden. Multiplicando la primera desigualdad por \(y>0_C\) y reordenando,
\[ \iota_C(r)<_C\iota_C(p)y. \]
Como \(\iota_C(p)>0_C\), su inverso es positivo, y por tanto
\[ \iota_C(r)\,\iota_C(p)^{-1}<_Cy. \]
El miembro izquierdo vuelve a ser positivo. Una segunda aplicación de la densidad racional proporciona \(q\in\mathbb Q\) con
\[ \iota_C(r)\,\iota_C(p)^{-1} <_C \iota_C(q) <_C y. \]
Así \(q>0\). Multiplicando la primera desigualdad por \(\iota_C(p)>0_C\) obtenemos
\[ \iota_C(r) <_C \iota_C(p)\iota_C(q) = \iota_C(pq). \]
Como \(\iota_C\) refleja el orden,
\[ r<pq. \]
Además, las desigualdades \(\iota_C(p)<_Cx\) y \(\iota_C(q)<_Cy\) implican, por Lema 11.4.1 — Traza racional de \(\Phi(x)\),
\[ p\in\Phi(x), \qquad q\in\Phi(y). \]
Por Definición 6.4.4 — Candidato a producto positivo, nuevamente
\[ r\in\Phi(x)\cdot_D^+\Phi(y). \]
Ambos casos establecen la inclusión recíproca. Por extensionalidad,
\[ \Phi(xy)=\Phi(x)\cdot_D^+\Phi(y). \]
∎
La demostración anterior es la única parte realmente analítica de la compatibilidad multiplicativa: expresa que todo racional situado bajo \(xy\) queda por debajo de algún producto \(pq\) con \(0<p<x\) y \(0<q<y\), donde las comparaciones se entienden a través de \(\iota_C\).
Proposición 11.4.5 — Preservación del producto
Para todos \(x,y\in\mathbb R_C\),
\[ \boxed{ \Phi(xy)=\Phi(x)\cdot_D\Phi(y). } \]
Demostración.
Como \(\mathbb R_C\) es un cuerpo ordenado, cada factor es negativo, nulo o positivo. Distinguimos los casos exigidos por la propia definición signada del producto de Dedekind.
1. Algún factor es nulo. Si, por ejemplo, \(x=0_C\), entonces \(xy=0_C\) y, por Corolario 11.4.3 — Preservación del cero y del opuesto,
\[ \Phi(xy)=0_D=\Phi(x). \]
Como \(\Phi(x)=0_D\), la rama nula de Definición 6.5.4 — Producto signado candidato–Definición 6.5.6 — Multiplicación de Dedekind da
\[ \Phi(x)\cdot_D\Phi(y)=0_D. \]
El caso \(y=0_C\) es idéntico.
2. Ambos factores son positivos. Si \(0_C<_Cx\) y \(0_C<_Cy\), Lema 11.4.4 — Preservación del producto en el cono positivo da
\[ \Phi(xy)=\Phi(x)\cdot_D^+\Phi(y), \]
con \(\Phi(x),\Phi(y)>_D0_D\). En esta rama, Definición 6.5.6 — Multiplicación de Dedekind coincide con el producto positivo, por lo que
\[ \Phi(xy)=\Phi(x)\cdot_D\Phi(y). \]
3. Ambos factores son negativos. Supongamos
\[ x<_C0_C, \qquad y<_C0_C. \]
Por Lema 4.1.3 — Cálculo elemental de signos en un cuerpo ordenado, \(-x\) y \(-y\) son positivos, y Lema 4.1.2 — Identidades algebraicas elementales en un cuerpo da
\[ xy=(-x)(-y). \]
Aplicando el caso positivo y después Corolario 11.4.3 — Preservación del cero y del opuesto,
\[ \begin{aligned} \Phi(xy) &=\Phi((-x)(-y))\\ &=\Phi(-x)\cdot_D^+\Phi(-y)\\ &=(-_D\Phi(x))\cdot_D^+(-_D\Phi(y)). \end{aligned} \]
Además, \(\Phi(-x)\) y \(\Phi(-y)\) son positivas por Lema 11.4.4 — Preservación del producto en el cono positivo; como
\[ \Phi(-x)=-_D\Phi(x), \qquad \Phi(-y)=-_D\Phi(y), \]
Lema 6.5.3 — El opuesto intercambia los signos implica que \(\Phi(x)\) y \(\Phi(y)\) son negativas. La rama «negativo por negativo» de Definición 6.5.4 — Producto signado candidato es precisamente
\[ \Phi(x)\cdot_D\Phi(y) = (-_D\Phi(x))\cdot_D^+(-_D\Phi(y)), \]
por lo que se obtiene la igualdad buscada.
4. Signos opuestos. Supongamos primero
\[ 0_C<_Cx, \qquad y<_C0_C. \]
Entonces \(-y>_C0_C\) y
\[ xy=-\bigl(x(-y)\bigr) \]
por Lema 4.1.2 — Identidades algebraicas elementales en un cuerpo. Utilizando sucesivamente la preservación del opuesto y el caso positivo,
\[ \begin{aligned} \Phi(xy) &=\Phi\bigl(-(x(-y))\bigr)\\ &=-_D\Phi\bigl(x(-y)\bigr)\\ &=-_D\bigl(\Phi(x)\cdot_D^+\Phi(-y)\bigr)\\ &=-_D\bigl(\Phi(x)\cdot_D^+(-_D\Phi(y))\bigr). \end{aligned} \]
Aquí \(\Phi(x)>_D0_D\) y \(\Phi(-y)=-_D\Phi(y)>_D0_D\), de donde Lema 6.5.3 — El opuesto intercambia los signos da \(\Phi(y)<_D0_D\). La expresión final es exactamente la rama «positivo por negativo» de Definición 6.5.4 — Producto signado candidato, y por tanto
\[ \Phi(xy)=\Phi(x)\cdot_D\Phi(y). \]
Supongamos finalmente
\[ x<_C0_C, \qquad 0_C<_Cy. \]
Entonces \(-x>_C0_C\) y
\[ xy=-\bigl((-x)y\bigr). \]
Por Corolario 11.4.3 — Preservación del cero y del opuesto y el caso positivo,
\[ \begin{aligned} \Phi(xy) &=\Phi\bigl(-((-x)y)\bigr)\\ &=-_D\Phi\bigl((-x)y\bigr)\\ &=-_D\bigl(\Phi(-x)\cdot_D^+\Phi(y)\bigr)\\ &=-_D\bigl((-_D\Phi(x))\cdot_D^+\Phi(y)\bigr). \end{aligned} \]
Aquí \(-_D\Phi(x)=\Phi(-x)>_D0_D\) y \(\Phi(y)>_D0_D\); por Lema 6.5.3 — El opuesto intercambia los signos, \(\Phi(x)<_D0_D\). La última expresión es exactamente la rama «negativo por positivo» de Definición 6.5.4 — Producto signado candidato. Por consiguiente,
\[ \Phi(xy)=\Phi(x)\cdot_D\Phi(y). \]
Los casos son exhaustivos por la totalidad del orden de \(\mathbb R_C\). Queda demostrada la preservación del producto para todos \(x,y\).
∎
11.5. Preservación del orden
La aritmética ya ha sido transportada por \(\Phi\), pero la comparación entre los dos modelos no estará estructuralmente completa mientras no sepamos que una desigualdad en \(\mathbb R_C\) se traduce exactamente en la desigualdad correspondiente entre cortaduras.
El lema de traza racional de §11.4 permite demostrarlo sin recurrir a las operaciones. La idea es puramente ordinal: si \(x<_Cy\), todo racional situado bajo \(x\) está también bajo \(y\); y la densidad de la copia racional proporciona además un racional situado estrictamente entre ambos, que pertenece a \(\Phi(y)\) pero no a \(\Phi(x)\). Recíprocamente, si las cortaduras están estrictamente incluidas en el orden contrario al que permitiría \(x\) y \(y\), la totalidad de \(\le_C\) produce una contradicción.
Proposición 11.5.1 — Preservación y reflexión del orden estricto
Para cualesquiera \(x,y\in\mathbb R_C\),
\[ \boxed{ x<_Cy \iff \Phi(x)<_D\Phi(y). } \]
Equivalentemente, puesto que el orden estricto de Dedekind es inclusión propia,
\[ \boxed{ x<_Cy \iff \Phi(x)\subsetneq\Phi(y). } \]
Demostración.
Supongamos primero
\[ x<_Cy. \]
Demostraremos que
\[ \Phi(x)\subsetneq\Phi(y). \]
Sea \(q\in\Phi(x)\). Por Lema 11.4.1 — Traza racional de \(\Phi(x)\),
\[ \iota_C(q)<_Cx. \]
La transitividad del orden estricto, junto con \(x<_Cy\), da
\[ \iota_C(q)<_Cy. \]
Aplicando de nuevo Lema 11.4.1 — Traza racional de \(\Phi(x)\), obtenemos
\[ q\in\Phi(y). \]
Por tanto,
\[ \Phi(x)\subseteq\Phi(y). \]
Falta probar que la inclusión es propia. Como \(x<_Cy\) y la copia racional es densa en \(\mathbb R_C\) por Corolario 10.6.2 — Densidad de la copia racional en \(\mathbb R_C\), existe \(r\in\mathbb Q\) tal que
\[ x<_C\iota_C(r)<_Cy. \]
La segunda desigualdad y Lema 11.4.1 — Traza racional de \(\Phi(x)\) implican
\[ r\in\Phi(y). \]
En cambio,
\[ r\notin\Phi(x). \]
En efecto, si \(r\in\Phi(x)\), el mismo lema daría
\[ \iota_C(r)<_Cx, \]
contradiciendo \(x<_C\iota_C(r)\) por asimetría del orden estricto. Luego
\[ \Phi(x)\subsetneq\Phi(y), \]
y Corolario 5.4.3 — El orden estricto es inclusión propia proporciona
\[ \Phi(x)<_D\Phi(y). \]
Probemos ahora la recíproca. Supongamos
\[ \Phi(x)<_D\Phi(y) \]
y, por contradicción,
\[ \neg(x<_Cy). \]
Como \(\le_C\) es un orden total por Teorema 9.8.5 — \(\le_C\) es un orden total, las propiedades del orden estricto asociado (Proposición 0.7.3 — Propiedades del orden estricto asociado) dan
\[ y\le_Cx. \]
Mostraremos entonces
\[ \Phi(y)\subseteq\Phi(x). \]
Sea \(q\in\Phi(y)\). Por la traza racional,
\[ \iota_C(q)<_Cy. \]
De \(y\le_Cx\) se sigue
\[ \iota_C(q)<_Cx, \]
y una nueva aplicación de Lema 11.4.1 — Traza racional de \(\Phi(x)\) da
\[ q\in\Phi(x). \]
Así,
\[ \Phi(y)\subseteq\Phi(x). \]
Pero la hipótesis \(\Phi(x)<_D\Phi(y)\) equivale por Corolario 5.4.3 — El orden estricto es inclusión propia a
\[ \Phi(x)\subsetneq\Phi(y), \]
de modo que también
\[ \Phi(x)\subseteq\Phi(y). \]
Las dos inclusiones implican por Teorema 0.2.4 — Criterio extensional por doble inclusión
\[ \Phi(x)=\Phi(y), \]
contradiciendo que la primera inclusión fuese propia. Por tanto,
\[ x<_Cy. \]
Queda demostrada la equivalencia.
∎
La proposición anterior es más fuerte que una mera monotonía: \(\Phi\) refleja también el orden estricto. Por tanto ninguna desigualdad estricta puede perderse al pasar de un modelo al otro.
Corolario 11.5.2 — Preservación y reflexión del orden no estricto
Para cualesquiera \(x,y\in\mathbb R_C\),
\[ \boxed{ x\le_Cy \iff \Phi(x)\le_D\Phi(y). } \]
Demostración.
Supongamos primero \(x\le_Cy\). Si \(x=y\), entonces
\[ \Phi(x)=\Phi(y), \]
y por reflexividad
\[ \Phi(x)\le_D\Phi(y). \]
Si \(x\neq y\), la definición del orden estricto asociado da
\[ x<_Cy. \]
Por Proposición 11.5.1 — Preservación y reflexión del orden estricto,
\[ \Phi(x)<_D\Phi(y), \]
y por tanto
\[ \Phi(x)\le_D\Phi(y). \]
Recíprocamente, supongamos
\[ \Phi(x)\le_D\Phi(y) \]
y neguemos \(x\le_Cy\). Como \(\le_C\) es total, se sigue
\[ y<_Cx. \]
La proposición anterior produce entonces
\[ \Phi(y)<_D\Phi(x). \]
En particular,
\[ \Phi(y)\le_D\Phi(x) \]
y
\[ \Phi(y)\neq\Phi(x). \]
Pero, junto con \(\Phi(x)\le_D\Phi(y)\), la antisimetría del orden de Dedekind (Teorema 5.4.2 — La inclusión ordena totalmente las cortaduras) obliga a
\[ \Phi(x)=\Phi(y), \]
contradicción. Luego
\[ x\le_Cy. \]
∎
Es importante mantener todavía separado este resultado de la inyectividad formal. La equivalencia de órdenes contiene ya toda la información necesaria para demostrarla, pero la arquitectura del capítulo reserva esa consecuencia como una unidad propia, de modo que preservación de estructura e inyectividad no queden fusionadas en un único paso.
11.6. Inyectividad
La preservación y reflexión del orden obtenidas en la sección anterior impiden que la aplicación canónica colapse dos elementos distintos de \(\mathbb R_C\) en una misma cortadura. Conviene aislar esta consecuencia como propiedad formal de \(\Phi\), porque constituye la primera mitad de la futura biyectividad.
No introduciremos todavía una función inversa. De acuerdo con la convención general del tratado, la notación \(f^{-1}\) para funciones se reserva a funciones invertibles; para \(\Phi:\mathbb R_C\to\mathbb R_D\) falta aún demostrar que toda cortadura de Dedekind pertenece a su imagen.
Proposición 11.6.1 — Igualdad de imágenes e inyectividad de \(\Phi\)
Para cualesquiera \(x,y\in\mathbb R_C\),
\[ \boxed{ \Phi(x)=\Phi(y) \iff x=y. } \]
En particular,
\[ \boxed{ \Phi:\mathbb R_C\longrightarrow\mathbb R_D \text{ es inyectiva.} } \]
Demostración.
La implicación
\[ x=y\Longrightarrow \Phi(x)=\Phi(y) \]
se sigue inmediatamente de la sustitución de iguales.
Para la implicación recíproca, supongamos
\[ \Phi(x)=\Phi(y). \]
Como \(\le_D\) es reflexivo por la estructura de orden total de \(\mathbb R_D\) (Teorema 5.4.2 — La inclusión ordena totalmente las cortaduras), la igualdad anterior implica simultáneamente
\[ \Phi(x)\le_D\Phi(y) \]
y
\[ \Phi(y)\le_D\Phi(x). \]
La reflexión del orden no estricto demostrada en Corolario 11.5.2 — Preservación y reflexión del orden no estricto proporciona entonces
\[ x\le_C y \]
y
\[ y\le_C x. \]
Puesto que \(\le_C\) es un orden total por Teorema 9.8.5 — \(\le_C\) es un orden total, en particular es antisimétrico. Por tanto,
\[ x=y. \]
Hemos probado
\[ \Phi(x)=\Phi(y) \iff x=y. \]
Por la definición de inyectividad Definición 0.6.6 — Inyectividad, sobreyectividad y biyectividad, \(\Phi\) es inyectiva. ∎
Nota de decidibilidad. La equivalencia \[ \Phi(x)=\Phi(y)\iff x=y \] es un criterio extensional de igualdad y una prueba de inyectividad. No proporciona un algoritmo que decida igualdad ni en \(\mathbb R_C\) ni en \(\mathbb R_D\).
La inyectividad muestra que la traducción de Cauchy a Dedekind no pierde información: dos elementos del cociente de Cauchy determinan la misma cortadura únicamente cuando ya eran el mismo elemento de \(\mathbb R_C\). Todavía no sabemos, sin embargo, si toda cortadura aparece de esta manera.
11.7. Sobreyectividad
La inyectividad demuestra que dos elementos distintos del modelo de Cauchy no pueden producir la misma cortadura. Falta la dirección opuesta: dada una cortadura arbitraria
\[ \alpha\in\mathbb R_D, \]
debemos construir un elemento de \(\mathbb R_C\) cuya imagen por \(\Phi\) sea exactamente \(\alpha\).
Aquí aparece un riesgo fundacional real. El lema de aproximación racional de la frontera (Lema 6.3.1 — Aproximación racional de la frontera) afirma que, para cada precisión racional positiva \(h\), existe algún \(a\in\alpha\) tal que \(a+h\notin\alpha\). Elegir uno de esos \(a\) para cada precisión de una sucesión produciría una familia numerable de elecciones. Aunque cada elección aislada es inocua, efectuar todas simultáneamente sin una regla definible introduciría precisamente la clase de Choice silencioso que el tratado ha evitado.
La solución ya está disponible en nuestra infraestructura: \(e_{\mathbb Q}:\mathbb N\to\mathbb Q\) es una enumeración racional canónica y sobreyectiva. En vez de escoger un aproximante arbitrario, tomaremos el primero según esa enumeración que satisfaga la condición de frontera. El buen orden de \(\mathbb N\) convierte así una existencia en una selección funcional determinada.
Definición 11.7.1 — Selector canónico de frontera de Dedekind
Sean \(\alpha\in\mathbb R_D\) y \(h\in\mathbb Q\) con \(0<h\). Consideremos
\[ K_D(\alpha,h) := \left\{ k\in\mathbb N: e_{\mathbb Q}(k)\in\alpha \ \land\\ e_{\mathbb Q}(k)+h\notin\alpha \right\}. \]
Por Lema 6.3.1 — Aproximación racional de la frontera existe \(a\in\alpha\) tal que \(a+h\notin\alpha\). Como \(e_{\mathbb Q}\) es sobreyectiva por Proposición 10.2.6 — La enumeración racional es sobreyectiva, existe \(k\in\mathbb N\) con
\[ e_{\mathbb Q}(k)=a, \]
de modo que \(k\in K_D(\alpha,h)\). Por el principio de buen orden Teorema 1.6.13 — Principio de buen orden, \(K_D(\alpha,h)\) posee un elemento mínimo, y éste es único por Proposición 0.7.6 — Unicidad de máximo y mínimo. Denotemos localmente ese mínimo por \(m_D(\alpha,h)\).
Definimos entonces
\[ \boxed{ \operatorname{sel}_D(\alpha,h) := e_{\mathbb Q}\bigl(m_D(\alpha,h)\bigr) \qquad(0<h). } \]
Para obtener una función total en la segunda variable, fijamos además
\[ \operatorname{sel}_D(\alpha,h):=0_{\mathbb Q} \qquad(h\le 0_{\mathbb Q}). \]
Así queda determinada una función
\[ \boxed{ \operatorname{sel}_D: \mathbb R_D\times\mathbb Q \longrightarrow \mathbb Q. } \]
Conjuntistamente, los conjuntos \(K_D(\alpha,h)\) se obtienen por Separación dentro de \(\mathbb N\), y el grafo de \(\operatorname{sel}_D\) se obtiene por Separación dentro de \((\mathbb R_D\times\mathbb Q)\times\mathbb Q\). La totalidad del orden racional separa de manera exhaustiva los casos \(0<h\) y \(h\le0\).
La definición no escoge un elemento de cada conjunto \(K_D(\alpha,h)\): el buen orden de \(\mathbb N\) determina un único índice mínimo. Ésta es la diferencia entre una familia de elecciones y un selector definible.
Nota fundacional. La canonicidad anterior es extensional. Para una cortadura arbitraria no está disponible en general una decisión de \[ e_{\mathbb Q}(k)\in\alpha \quad\text{y}\quad e_{\mathbb Q}(k)+h\notin\alpha. \] Por tanto, que exista un índice mínimo único no implica que ese índice sea computablemente localizable. El selector resuelve el problema de Choice, no el de efectividad.
Proposición 11.7.2 — Corrección del selector de frontera
Si \(\alpha\in\mathbb R_D\) y \(h\in\mathbb Q\) satisfacen \(0<h\), entonces
\[ \boxed{ \operatorname{sel}_D(\alpha,h)\in\alpha \qquad\text{y}\qquad \operatorname{sel}_D(\alpha,h)+h\notin\alpha. } \]
Demostración.
Por Definición 11.7.1 — Selector canónico de frontera de Dedekind, el índice \(m_D(\alpha,h)\) pertenece a \(K_D(\alpha,h)\). Desplegando la definición de este conjunto,
\[ e_{\mathbb Q}\bigl(m_D(\alpha,h)\bigr)\in\alpha \]
y
\[ e_{\mathbb Q}\bigl(m_D(\alpha,h)\bigr)+h\notin\alpha. \]
Como
\[ \operatorname{sel}_D(\alpha,h) = e_{\mathbb Q}\bigl(m_D(\alpha,h)\bigr), \]
se obtienen las dos afirmaciones. ∎
Definición 11.7.3 — Sucesión canónica asociada a una cortadura
Para \(n\in\mathbb N\) escribiremos localmente
\[ h_n := \bigl(\nu_{\mathbb N}^{\mathbb Q}(n)+1_{\mathbb Q}\bigr)^{-1}. \]
Es la misma función racional de precisión construida en Definición 10.3.1 — Escala racional canónica; usamos aquí la letra local \(h\) para no reactivar fuera de su alcance la notación \(\lambda_n\) del Capítulo 10.
Para cada \(\alpha\in\mathbb R_D\) definimos la sucesión racional
\[ \boxed{ \operatorname{seq}_D(\alpha) \in\mathbb Q^{\mathbb N}, \qquad \bigl(\operatorname{seq}_D(\alpha)\bigr)_n := \operatorname{sel}_D(\alpha,h_n). } \]
La funcionalidad de \(\operatorname{sel}_D\) determina unívocamente todos los términos. Por tanto la asignación
\[ \boxed{ \operatorname{seq}_D: \mathbb R_D\longrightarrow\mathbb Q^{\mathbb N} } \]
es una función. Su grafo puede obtenerse por Separación dentro de \(\mathbb R_D\times\mathbb Q^{\mathbb N}\).
No se ha elegido una sucesión de aproximantes: cada término es el valor de una función previamente determinada. El grafo se obtiene por Separación dentro del producto ya existente; no se necesita Reemplazo en esta construcción concreta.
Proposición 11.7.4 — La sucesión canónica es de Cauchy
Para toda cortadura \(\alpha\in\mathbb R_D\),
\[ \boxed{ \operatorname{seq}_D(\alpha) \in\mathcal C_{\mathbb Q}. } \]
Demostración.
Fijemos \(\alpha\in\mathbb R_D\) y escribamos
\[ a_n:=\bigl(\operatorname{seq}_D(\alpha)\bigr)_n. \]
La fórmula que define \(h_n\) coincide con la escala de Definición 10.3.1 — Escala racional canónica; por Proposición 10.3.2 — Positividad y nulidad de la escala canónica,
\[ 0<h_n \qquad(n\in\mathbb N) \]
y, para todo \(\varepsilon\in\mathbb Q\) con \(0<\varepsilon\), existe \(N\in\mathbb N\) tal que
\[ N\le n \Longrightarrow h_n<\varepsilon. \]
Por Proposición 11.7.2 — Corrección del selector de frontera, para todo \(n\),
\[ a_n\in\alpha \qquad\text{y}\qquad a_n+h_n\notin\alpha. \]
Sea ahora \(\varepsilon>0\) racional y tomemos \(N\) como arriba. Si \(m,n\ge N\), entonces
\[ h_m<\varepsilon, \qquad h_n<\varepsilon. \]
Como \(a_m\in\alpha\) y \(a_n+h_n\notin\alpha\), el lema Lema 6.1.1 — Todo punto exterior domina una cortadura aplicado al punto exterior \(a_n+h_n\) da
\[ a_m<a_n+h_n, \]
y por tanto
\[ a_m-a_n<h_n<\varepsilon. \]
Intercambiando \(m\) y \(n\) obtenemos también
\[ a_n-a_m<h_m<\varepsilon. \]
Equivalentemente,
\[ -\varepsilon<a_m-a_n<\varepsilon. \]
Por la caracterización epsilon-local de la distancia racional Proposición 8.2.3 — Caracterización \(\varepsilon\)-local de la distancia racional,
\[ d_{\mathbb Q}(a_m,a_n)<\varepsilon. \]
Esto vale para cualesquiera \(m,n\ge N\). Por Definición 8.4.1 — Sucesión racional de Cauchy, \((a_n)\) es de Cauchy, y por Definición 8.4.2 — Conjunto de las sucesiones racionales de Cauchy,
\[ \operatorname{seq}_D(\alpha)\in\mathcal C_{\mathbb Q}. \]
∎
Proposición 11.7.5 — Recuperación exacta de la cortadura
Para toda \(\alpha\in\mathbb R_D\),
\[ \boxed{ \mathcal L_C\bigl(\operatorname{seq}_D(\alpha)\bigr) = \alpha. } \]
Demostración.
Fijemos \(\alpha\in\mathbb R_D\) y pongamos
\[ a_n:=\bigl(\operatorname{seq}_D(\alpha)\bigr)_n. \]
Por Proposición 11.7.4 — La sucesión canónica es de Cauchy, esta sucesión pertenece a \(\mathcal C_{\mathbb Q}\), de modo que Definición 11.1.1 — Lado inferior asociado a una sucesión racional de Cauchy puede aplicarse a ella.
Demostraremos las dos inclusiones.
Primera inclusión: \(\alpha\subseteq\mathcal L_C(\operatorname{seq}_D(\alpha))\). Sea \(q\in\alpha\). Como una cortadura no tiene máximo, Definición 5.1.1 — Cortadura de Dedekind proporciona localmente un racional \(r\in\alpha\) tal que
\[ q<r. \]
Definamos
\[ \varepsilon := \frac{r-q}{2_{\mathbb Q}}. \]
Entonces
\[ 0<\varepsilon \]
y
\[ r-\varepsilon=q+\varepsilon. \]
Por la nulidad de la escala explícita, Proposición 10.3.2 — Positividad y nulidad de la escala canónica proporciona \(N\in\mathbb N\) tal que, para todo \(n\ge N\),
\[ h_n<\varepsilon. \]
Fijemos uno de esos \(n\). Por Proposición 11.7.2 — Corrección del selector de frontera,
\[ a_n+h_n\notin\alpha. \]
Como \(r\in\alpha\), Lema 6.1.1 — Todo punto exterior domina una cortadura aplicado al punto exterior \(a_n+h_n\) da
\[ r<a_n+h_n. \]
Restando \(h_n\) y usando \(h_n<\varepsilon\),
\[ a_n>r-h_n>r-\varepsilon=q+\varepsilon. \]
Por tanto, para todo \(n\ge N\),
\[ q+\varepsilon<a_n. \]
La definición Definición 11.1.1 — Lado inferior asociado a una sucesión racional de Cauchy implica
\[ q\in\mathcal L_C\bigl(\operatorname{seq}_D(\alpha)\bigr). \]
Segunda inclusión: \(\mathcal L_C(\operatorname{seq}_D(\alpha))\subseteq\alpha\). Sea
\[ q\in\mathcal L_C\bigl(\operatorname{seq}_D(\alpha)\bigr). \]
Por Definición 11.1.1 — Lado inferior asociado a una sucesión racional de Cauchy, existen \(\varepsilon>0\) y \(N\in\mathbb N\) tales que
\[ q+\varepsilon<a_n \]
para todo \(n\ge N\). En particular,
\[ q<a_N. \]
Por Proposición 11.7.2 — Corrección del selector de frontera,
\[ a_N\in\alpha. \]
Como \(\alpha\) es cerrada hacia abajo (Definición 5.1.1 — Cortadura de Dedekind),
\[ q<a_N\in\alpha \Longrightarrow q\in\alpha. \]
Así
\[ \mathcal L_C\bigl(\operatorname{seq}_D(\alpha)\bigr) \subseteq \alpha. \]
Por extensionalidad (Teorema 0.2.4 — Criterio extensional por doble inclusión),
\[ \mathcal L_C\bigl(\operatorname{seq}_D(\alpha)\bigr) = \alpha. \]
∎
Nota fundacional. La segunda inclusión ya no se prueba por contrapositiva. Una vez construida la sucesión canónica, la recuperación de la cortadura usa directamente un término interior \(a_N\) y la clausura inferior. La clasicidad de la dirección Dedekind \(\to\) Cauchy permanece concentrada en la construcción previa de Definición 11.7.1 — Selector canónico de frontera de Dedekind, no en esta recuperación.
Teorema 11.7.6 — Sobreyectividad de \(\Phi\)
La aplicación
\[ \Phi:\mathbb R_C\longrightarrow\mathbb R_D \]
es sobreyectiva. Más precisamente, para cada \(\alpha\in\mathbb R_D\) el elemento
\[ \boxed{ x_\alpha := \left[\operatorname{seq}_D(\alpha)\right]_C \in\mathbb R_C } \]
satisface
\[ \boxed{ \Phi(x_\alpha)=\alpha. } \]
Demostración.
Sea \(\alpha\in\mathbb R_D\). Por Proposición 11.7.4 — La sucesión canónica es de Cauchy,
\[ \operatorname{seq}_D(\alpha)\in\mathcal C_{\mathbb Q}, \]
de modo que su clase
\[ x_\alpha = \left[\operatorname{seq}_D(\alpha)\right]_C \]
pertenece a \(\mathbb R_C\).
La fórmula característica de \(\Phi\) sobre clases de Cauchy (Proposición 11.3.2 — Caracterización universal de \(\Phi\)) da
\[ \Phi(x_\alpha) = \mathcal L_C\bigl(\operatorname{seq}_D(\alpha)\bigr). \]
Por Proposición 11.7.5 — Recuperación exacta de la cortadura, el miembro derecho es exactamente \(\alpha\). Por tanto
\[ \Phi(x_\alpha)=\alpha. \]
Como \(\alpha\) era arbitraria, todo elemento de \(\mathbb R_D\) posee una preimagen. Por Definición 0.6.6 — Inyectividad, sobreyectividad y biyectividad, \(\Phi\) es sobreyectiva. ∎
Corolario 11.7.7 — Biyectividad de la aplicación canónica
La aplicación canónica
\[ \boxed{ \Phi:\mathbb R_C\longrightarrow\mathbb R_D \text{ es biyectiva.} } \]
Demostración.
Proposición 11.6.1 — Igualdad de imágenes e inyectividad de \(\Phi\) demuestra que \(\Phi\) es inyectiva y Teorema 11.7.6 — Sobreyectividad de \(\Phi\) demuestra que es sobreyectiva. Por Definición 0.6.6 — Inyectividad, sobreyectividad y biyectividad, es biyectiva. ∎
La comparación ha alcanzado ahora un punto decisivo: \(\Phi\) preserva suma, producto y orden, y además establece una correspondencia uno a uno y sobre entre los dos conjuntos subyacentes. Seguimos sin identificarlos literalmente: una clase de sucesiones de Cauchy continúa siendo un objeto conjuntista distinto de una cortadura de Dedekind.
Aunque la biyectividad ya permitiría considerar la función inversa mediante Teorema 0.6.7 — Caracterización de las funciones invertibles, no necesitaremos todavía activar una notación nueva para ella. Mantendremos Notación 11.9.2 — Inversa de la comparación canónica libre hasta la conclusión estructural del capítulo, donde el isomorfismo completo será empaquetado formalmente.
11.8. Compatibilidad con \(\mathbb Q\)
La biyección \(\Phi\) ya compara globalmente los dos modelos de los reales. Falta comprobar que esa comparación no desplaza la aritmética racional situada dentro de cada uno. Puesto que ambas construcciones partieron del mismo cuerpo \(\mathbb Q\) pero introdujeron sus copias mediante aplicaciones distintas,
\[ \iota_C:\mathbb Q\longrightarrow\mathbb R_C, \qquad \iota_D:\mathbb Q\longrightarrow\mathbb R_D, \]
la afirmación correcta no es una identificación literal de elementos, sino la conmutatividad del triángulo
\[ \mathbb Q \xrightarrow{\ \iota_C\ } \mathbb R_C \xrightarrow{\ \Phi\ } \mathbb R_D, \]
es decir,
\[ \Phi\circ\iota_C=\iota_D. \]
Esta compatibilidad no necesita la sobreyectividad demostrada en §11.7. La traza racional de \(\Phi\) y la reflexión del orden por \(\iota_C\) ya determinan completamente la imagen de cada racional.
Proposición 11.8.1 — Compatibilidad de \(\Phi\) con las copias racionales
Para todo \(q\in\mathbb Q\),
\[ \boxed{ \Phi(\iota_C(q))=\iota_D(q). } \]
En consecuencia,
\[ \boxed{ \Phi\circ\iota_C=\iota_D. } \]
Demostración.
Fijemos \(q\in\mathbb Q\). Los dos miembros
\[ \Phi(\iota_C(q)), \qquad \iota_D(q) \]
son elementos de \(\mathbb R_D\) y, por tanto, subconjuntos de \(\mathbb Q\). Para probar que son la misma cortadura basta comparar sus elementos.
Sea \(r\in\mathbb Q\). Por la traza racional de \(\Phi\), Lema 11.4.1 — Traza racional de \(\Phi(x)\),
\[ r\in\Phi(\iota_C(q)) \iff \iota_C(r)<_C\iota_C(q). \]
La preservación y reflexión del orden racional por \(\iota_C\), Proposición 9.9.5 — Preservación y reflexión del orden racional, transforma esta condición en
\[ \iota_C(r)<_C\iota_C(q) \iff r<q. \]
Por la definición de la cortadura principal \(\delta_q\),
\[ r<q \iff r\in\delta_q, \]
y Definición 5.5.1 — Aplicación canónica de \(\mathbb Q\) en \(\mathbb R_D\) define precisamente
\[ \iota_D(q)=\delta_q. \]
Así, para todo \(r\in\mathbb Q\),
\[ r\in\Phi(\iota_C(q)) \iff r\in\iota_D(q). \]
El criterio extensional Teorema 0.2.4 — Criterio extensional por doble inclusión da entonces
\[ \Phi(\iota_C(q))=\iota_D(q). \]
Como \(q\) era arbitrario, ambas funciones
\[ \Phi\circ\iota_C, \qquad \iota_D \]
tienen dominio \(\mathbb Q\), codominio \(\mathbb R_D\) y coinciden en cada argumento. Por Definición 0.6.4 — Identidad y composición de funciones y el criterio de igualdad de funciones Proposición 0.6.3 — Criterio de igualdad de funciones,
\[ \Phi\circ\iota_C=\iota_D. \]
∎
Independencia lógica de §11.7. La prueba no utiliza Teorema 11.7.6 — Sobreyectividad de \(\Phi\) ni Corolario 11.7.7 — Biyectividad de la aplicación canónica. En particular, la compatibilidad con \(\mathbb Q\) no se obtiene escogiendo preimágenes mediante la sobreyectividad: es una consecuencia directa de la definición de \(\Phi\), de su traza racional y de la manera en que cada modelo incorpora el orden de \(\mathbb Q\).
La correspondencia canónica no sólo preserva ya las operaciones y el orden y es biyectiva; además fija exactamente la base racional desde la cual fueron construidos ambos modelos. Esto prepara el último paso: empaquetar todas esas propiedades en una sola afirmación estructural, sin confundir por ello los conjuntos subyacentes.
11.9. Conclusión
Las secciones anteriores han establecido por separado todas las propiedades que debe poseer la comparación entre los dos modelos. Conviene ahora reunirlas en una única afirmación estructural. Para hacerlo sin introducir terminología implícita, fijaremos primero qué entenderemos por isomorfismo de cuerpos ordenados.
Definición 11.9.1 — Isomorfismo de cuerpos ordenados
Sean \(F\) y \(E\) cuerpos ordenados. Una función
\[ T:F\longrightarrow E \]
es un isomorfismo de cuerpos ordenados si:
- \(T\) es una incrustación de cuerpos ordenados en el sentido de Definición 4.8.1 — Incrustación de cuerpos ordenados;
- \(T\) es biyectiva.
Como una incrustación ya es inyectiva, la segunda condición puede sustituirse equivalentemente por la sobreyectividad de \(T\).
Cuando las estructuras de cuerpo y orden estén fijadas sin ambigüedad, escribiremos
\[ F\cong E \]
para afirmar que existe un isomorfismo de cuerpos ordenados entre \(F\) y \(E\).
El símbolo \(\cong\) expresa equivalencia estructural, no igualdad conjuntista. En particular, de \(F\cong E\) no se sigue que \(F=E\) como conjuntos.
Notación 11.9.2 — Inversa de la comparación canónica
Por Corolario 11.7.7 — Biyectividad de la aplicación canónica,
\[ \Phi:\mathbb R_C\longrightarrow\mathbb R_D \]
es biyectiva. Por la caracterización de las funciones invertibles Teorema 0.6.7 — Caracterización de las funciones invertibles, existe por tanto su función inversa. Activamos desde ahora la notación
\[ \boxed{ \Phi^{-1}:\mathbb R_D\longrightarrow\mathbb R_C. } \]
De acuerdo con Notación 0.6.8 — Función inversa, satisface
\[ \Phi^{-1}\circ\Phi=\operatorname{id}_{\mathbb R_C}, \qquad \Phi\circ\Phi^{-1}=\operatorname{id}_{\mathbb R_D}. \]
No hay aquí elección de preimágenes: la inversa de una biyección está determinada unívocamente por su grafo inverso.
Proposición 11.9.3 — Fórmula explícita para la inversa
Para toda cortadura \(\alpha\in\mathbb R_D\),
\[ \boxed{ \Phi^{-1}(\alpha) = \left[\operatorname{seq}_D(\alpha)\right]_C. } \]
Demostración.
Fijemos \(\alpha\in\mathbb R_D\) y pongamos
\[ x_\alpha := \left[\operatorname{seq}_D(\alpha)\right]_C. \]
La construcción de §11.7 da, por Teorema 11.7.6 — Sobreyectividad de \(\Phi\),
\[ \Phi(x_\alpha)=\alpha. \]
Aplicando \(\Phi^{-1}\) a ambos miembros y usando
\[ \Phi^{-1}\circ\Phi=\operatorname{id}_{\mathbb R_C}, \]
obtenemos
\[ \Phi^{-1}(\alpha) = \Phi^{-1}(\Phi(x_\alpha)) = x_\alpha = \left[\operatorname{seq}_D(\alpha)\right]_C. \]
Esto prueba la fórmula. ∎
Teorema 11.9.4 — Isomorfismo canónico entre las completaciones de Cauchy y Dedekind
La aplicación canónica
\[ \Phi:\mathbb R_C\longrightarrow\mathbb R_D \]
es un isomorfismo de cuerpos ordenados. Además, las dos estructuras son cuerpos ordenados completos y la comparación fija la copia racional en el sentido de que
\[ \boxed{ \Phi\circ\iota_C=\iota_D. } \]
En consecuencia, las dos construcciones son isomorfas como completaciones ordenadas de \(\mathbb Q\):
\[ \boxed{ \mathbb R_C\cong\mathbb R_D } \]
mediante un isomorfismo que fija canónicamente a \(\mathbb Q\).
Demostración.
Por Proposición 10.6.1 — \((\mathbb R_C,\iota_C)\) es una completación ordenada de \(\mathbb Q\), \((\mathbb R_C,\iota_C)\) es una completación ordenada de \(\mathbb Q\); por Proposición 7.5.3 — El modelo de Dedekind es una completación ordenada de \(\mathbb Q\), también lo es \((\mathbb R_D,\iota_D)\). En particular, ambos dominios son cuerpos ordenados completos y ambas aplicaciones racionales son incrustaciones de cuerpos ordenados.
Verifiquemos ahora las condiciones de Definición 4.8.1 — Incrustación de cuerpos ordenados para \(\Phi\).
Inyectividad. Corolario 11.7.7 — Biyectividad de la aplicación canónica afirma incluso que \(\Phi\) es biyectiva.
Cero. Por Corolario 11.4.3 — Preservación del cero y del opuesto,
\[ \Phi(0_C)=0_D. \]
Unidad. La compatibilidad de \(\iota_C\) con la aritmética racional, Proposición 9.9.3 — Preservación de la aritmética racional, da
\[ \iota_C(1_{\mathbb Q})=1_C, \]
mientras que Definición 6.6.1 — Unidad de Dedekind fija
\[ \iota_D(1_{\mathbb Q})=1_D. \]
Aplicando Proposición 11.8.1 — Compatibilidad de \(\Phi\) con las copias racionales al racional \(1_{\mathbb Q}\),
\[ \Phi(1_C) = \Phi(\iota_C(1_{\mathbb Q})) = \iota_D(1_{\mathbb Q}) = 1_D. \]
Suma y producto. Para todos \(x,y\in\mathbb R_C\), Proposición 11.4.2 — Preservación de la suma y Proposición 11.4.5 — Preservación del producto dan
\[ \Phi(x+y)=\Phi(x)+_D\Phi(y), \]
\[ \Phi(xy)=\Phi(x)\cdot_D\Phi(y). \]
Orden. Por Corolario 11.5.2 — Preservación y reflexión del orden no estricto, para todos \(x,y\in\mathbb R_C\),
\[ x\le_Cy \iff \Phi(x)\le_D\Phi(y). \]
Así, \(\Phi\) es una incrustación de cuerpos ordenados. Como además es biyectiva, Definición 11.9.1 — Isomorfismo de cuerpos ordenados implica que \(\Phi\) es un isomorfismo de cuerpos ordenados.
Finalmente, Proposición 11.8.1 — Compatibilidad de \(\Phi\) con las copias racionales ya estableció
\[ \Phi\circ\iota_C=\iota_D. \]
Por tanto el isomorfismo no sólo compara las estructuras completas: identifica estructuralmente las dos copias del mismo cuerpo racional sin identificar los conjuntos subyacentes. ∎
Sobre la palabra «canónico». En este capítulo significa que \(\Phi\) fue construida explícitamente a partir de las dos realizaciones y que conmuta con las incrustaciones racionales. No estamos afirmando todavía un teorema general de unicidad para toda completación ordenada de \(\mathbb Q\); ése será precisamente el objetivo del capítulo siguiente.
Tampoco debe confundirse esta canonicidad estructural con una equivalencia computacional automática de códigos: \[ \boxed{ \text{isomorfía estructural} \neq \text{conversión computable entre presentaciones arbitrarias}. } \] Una equivalencia efectiva entre nombres de Cauchy y cortaduras localizadas requiere datos intensionales adicionales y pertenece a la capa P1.
Cierre del capítulo
Las dos vías de construcción iniciadas después de la incompletitud de \(\mathbb Q\) han convergido finalmente en una misma estructura, pero no en un mismo conjunto.
El modelo de Dedekind representa un real por su lado inferior racional. El modelo de Cauchy lo representa por una clase de procesos racionales de aproximación. El teorema anterior demuestra que ambas codificaciones transportan exactamente la misma aritmética y el mismo orden, y que la correspondencia entre ellas respeta la copia racional desde la cual fueron construidas.
Por ello, a partir de este punto podemos hablar de los números reales estructuralmente sin borrar la historia de sus construcciones. Cuando una afirmación dependa de una realización concreta conservaremos los subíndices \(D\) o \(C\); cuando dependa sólo de la estructura de cuerpo ordenado completo, el capítulo siguiente explicará por qué esa independencia de modelo puede formularse y demostrarse de manera general.
El problema que queda abierto ya no es comparar estas dos construcciones particulares. Es demostrar que cualquier cuerpo ordenado completo que contenga una copia adecuada de \(\mathbb Q\) posee, esencialmente, la misma estructura. Éste será el contenido del Capítulo 12: la caracterización y unicidad estructural de los números reales.