Tratado de análisis — Capítulo 12 — Unicidad
Capítulo 12 — Unicidad
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Parte I — Fundamentos y construcción de los números reales
12.0. De dos modelos concretos a la unicidad general
El capítulo anterior terminó con un isomorfismo explícito
\[ \Phi:\mathbb R_C\longrightarrow\mathbb R_D \]
que preserva las operaciones y el orden y satisface
\[ \Phi\circ\iota_C=\iota_D. \]
Ese resultado resuelve la comparación entre dos construcciones concretas. Queda, sin embargo, una cuestión más fuerte. Si
\[ (E,\iota_E) \qquad\text{y}\qquad (F,\iota_F) \]
son dos completaciones ordenadas de \(\mathbb Q\) en el sentido de Definición 4.8.2 — Completación ordenada de \(\mathbb Q\), ¿existe necesariamente un isomorfismo de cuerpos ordenados
\[ T:E\longrightarrow F \]
que haga conmutar las copias racionales,
\[ T\circ\iota_E=\iota_F, \]
y, en caso afirmativo, está determinado de manera única?
La demostración no debe depender de que los elementos de \(E\) sean cortaduras, clases de Cauchy o cualquier otra codificación. Debe utilizar únicamente la estructura abstracta ya aislada: cuerpo ordenado, completitud y copia racional.
La arquitectura del argumento será
\[ \text{subcuerpo primo} \longrightarrow \text{copia canónica de }\mathbb Q \longrightarrow \text{densidad racional} \longrightarrow \text{cortes racionales} \longrightarrow \text{isomorfismo} \longrightarrow \text{unicidad}. \]
Hay una primera precaución. El subcuerpo primo no se redefinirá aquí. Ya fue construido en Definición 4.1.8 — Subcuerpo primo como
\[ P_F=\bigcap\{K\subseteq F:K\text{ es subcuerpo de }F\}, \]
Proposición 4.1.9 — Minimalidad del subcuerpo primo probó su minimalidad y Corolario 4.1.10 — Los numerales naturales pertenecen al subcuerpo primo demostró que contiene todos los numerales \(\nu_F(n)\). La tarea de §12.1 es completar la parte que entonces no necesitábamos: identificar dentro de un cuerpo ordenado la copia canónica de los enteros generada por esos numerales. Sólo después podremos pasar, mediante inversos, a la copia canónica de \(\mathbb Q\).
12.1. Subcuerpo primo de un cuerpo ordenado
Fijemos durante toda la sección un cuerpo ordenado
\[ F=(F,+,\cdot,0_F,1_F,\le_F). \]
La aplicación de numerales
\[ \nu_F:\mathbb N\to F \]
ya está disponible por Definición 4.1.5 — Aplicación de numerales naturales en un cuerpo ordenado. Para prolongarla a los enteros no podemos escribir simplemente \(m-n\) dentro de \(\mathbb N\): debemos respetar la construcción de \(\mathbb Z\) como cociente de pares de naturales. Por ello comenzamos en el nivel de representantes.
Definición 12.1.1 — Evaluación de diferencias formales en un cuerpo ordenado
Definimos
\[ \boxed{ \theta_F:\mathbb N\times\mathbb N\longrightarrow F, \qquad \theta_F(m,n):=\nu_F(m)-\nu_F(n). } \]
Aquí la resta se interpreta en el grupo aditivo subyacente al cuerpo \(F\):
\[ \nu_F(m)-\nu_F(n) = \nu_F(m)+(-\nu_F(n)). \]
El grafo de \(\theta_F\) se obtiene por Separación dentro de
\[ (\mathbb N\times\mathbb N)\times F, \]
pues para cada par \((m,n)\) el término \(\nu_F(m)-\nu_F(n)\) determina un único elemento de \(F\).
La función \(\theta_F\) todavía vive sobre pares de naturales. Para obtener una función definida sobre \(\mathbb Z\) debemos demostrar que dos pares equivalentes producen el mismo valor.
Proposición 12.1.2 — Invariancia bajo la equivalencia entera
Si
\[ (m,n)\sim_{\mathbb Z}(p,q), \]
entonces
\[ \boxed{ \theta_F(m,n)=\theta_F(p,q). } \]
Demostración.
Por Definición 2.1.1 — Relación de equivalencia entera, la hipótesis significa
\[ m+q=n+p. \]
Aplicando \(\nu_F\) a ambos miembros y usando la compatibilidad con la suma de Proposición 4.1.6 — Aritmética y orden de los numerales naturales, obtenemos
\[ \nu_F(m)+\nu_F(q) = \nu_F(n)+\nu_F(p). \]
Sumemos a ambos lados \(-\nu_F(n)-\nu_F(q)\). Las leyes del grupo aditivo de \(F\) dan
\[ \nu_F(m)-\nu_F(n) = \nu_F(p)-\nu_F(q). \]
Por Definición 12.1.1 — Evaluación de diferencias formales en un cuerpo ordenado, esto es exactamente
\[ \theta_F(m,n)=\theta_F(p,q). \]
Por tanto \(\theta_F\) es constante sobre cada clase de la equivalencia que define a \(\mathbb Z\). ∎
Definición 12.1.3 — Copia canónica de los enteros en un cuerpo ordenado
Como
\[ \mathbb Z=(\mathbb N\times\mathbb N)/{\sim_{\mathbb Z}} \]
y Proposición 12.1.2 — Invariancia bajo la equivalencia entera demuestra que \(\theta_F\) es constante sobre las clases, el principio de definición sobre clases Teorema 0.6.15 — Principio de definición sobre clases produce una única función
\[ \boxed{ \jmath_{\mathbb Z}^{F}:\mathbb Z\longrightarrow F } \]
tal que, para todo \(m,n\in\mathbb N\),
\[ \boxed{ \jmath_{\mathbb Z}^{F}\bigl([(m,n)]_{\mathbb Z}\bigr) = \nu_F(m)-\nu_F(n). } \]
Llamaremos a \(\jmath_{\mathbb Z}^{F}\) la copia canónica de los enteros en \(F\).
No se ha escogido un representante de cada entero. La función inducida existe porque una función ya definida sobre todos los representantes es constante en cada clase; el descenso al cociente es funcional y canónico.
Proposición 12.1.4 — Compatibilidad aritmética de la copia entera
Para todos \(x,y\in\mathbb Z\) y todo \(n\in\mathbb N\) se cumplen:
\[ \boxed{ \jmath_{\mathbb Z}^{F}(0_{\mathbb Z})=0_F, \qquad \jmath_{\mathbb Z}^{F}(1_{\mathbb Z})=1_F, } \]
\[ \boxed{ \jmath_{\mathbb Z}^{F}(x+y) = \jmath_{\mathbb Z}^{F}(x)+\jmath_{\mathbb Z}^{F}(y), } \]
\[ \boxed{ \jmath_{\mathbb Z}^{F}(-x) = -\jmath_{\mathbb Z}^{F}(x), } \]
\[ \boxed{ \jmath_{\mathbb Z}^{F}(xy) = \jmath_{\mathbb Z}^{F}(x)\jmath_{\mathbb Z}^{F}(y), } \]
y
\[ \boxed{ \jmath_{\mathbb Z}^{F}\bigl(\iota_{\mathbb N}^{\mathbb Z}(n)\bigr) = \nu_F(n). } \]
Demostración.
Fijemos representantes
\[ x=[(a,b)]_{\mathbb Z}, \qquad y=[(c,d)]_{\mathbb Z}. \]
La fórmula de Definición 12.1.3 — Copia canónica de los enteros en un cuerpo ordenado permite calcular sobre estos representantes sin que el resultado dependa de la elección realizada.
Para el cero y la unidad,
\[ \jmath_{\mathbb Z}^{F}(0_{\mathbb Z}) = \jmath_{\mathbb Z}^{F}([(0,0)]_{\mathbb Z}) = \nu_F(0)-\nu_F(0) = 0_F, \]
mientras que
\[ \jmath_{\mathbb Z}^{F}(1_{\mathbb Z}) = \jmath_{\mathbb Z}^{F}([(1,0)]_{\mathbb Z}) = \nu_F(1)-\nu_F(0) = 1_F \]
por Proposición 4.1.6 — Aritmética y orden de los numerales naturales.
La suma entera satisface
\[ x+y=[(a+c,b+d)]_{\mathbb Z}. \]
Por tanto,
\[ \begin{aligned} \jmath_{\mathbb Z}^{F}(x+y) &=\nu_F(a+c)-\nu_F(b+d)\\ &=(\nu_F(a)+\nu_F(c))-(\nu_F(b)+\nu_F(d))\\ &=(\nu_F(a)-\nu_F(b))+(\nu_F(c)-\nu_F(d))\\ &=\jmath_{\mathbb Z}^{F}(x)+\jmath_{\mathbb Z}^{F}(y). \end{aligned} \]
Por Proposición 2.4.3 — Buena definición del opuesto,
\[ -x=[(b,a)]_{\mathbb Z}, \]
luego
\[ \jmath_{\mathbb Z}^{F}(-x) = \nu_F(b)-\nu_F(a) = -(\nu_F(a)-\nu_F(b)) = -\jmath_{\mathbb Z}^{F}(x). \]
Para el producto, Definición 2.5.3 — Multiplicación en \(\mathbb Z\) da
\[ xy = [(ac+bd,ad+bc)]_{\mathbb Z}. \]
Usando las compatibilidades aditiva y multiplicativa de \(\nu_F\),
\[ \begin{aligned} \jmath_{\mathbb Z}^{F}(xy) &=\nu_F(ac+bd)-\nu_F(ad+bc)\\ &=\nu_F(a)\nu_F(c)+\nu_F(b)\nu_F(d) -\nu_F(a)\nu_F(d)-\nu_F(b)\nu_F(c)\\ &=(\nu_F(a)-\nu_F(b))(\nu_F(c)-\nu_F(d))\\ &=\jmath_{\mathbb Z}^{F}(x)\jmath_{\mathbb Z}^{F}(y). \end{aligned} \]
Finalmente, por Definición 2.7.1 — Incrustación natural en los enteros,
\[ \iota_{\mathbb N}^{\mathbb Z}(n)=[(n,0)]_{\mathbb Z}, \]
y por consiguiente
\[ \jmath_{\mathbb Z}^{F}\bigl(\iota_{\mathbb N}^{\mathbb Z}(n)\bigr) = \nu_F(n)-\nu_F(0) = \nu_F(n). \]
Quedan verificadas todas las identidades. ∎
Teorema 12.1.5 — La copia entera es una incrustación ordenada
La función
\[ \jmath_{\mathbb Z}^{F}:\mathbb Z\to F \]
es inyectiva y, para todos \(x,y\in\mathbb Z\),
\[ \boxed{ x\le_{\mathbb Z}y \iff \jmath_{\mathbb Z}^{F}(x) \le_F \jmath_{\mathbb Z}^{F}(y). } \]
En particular, también preserva y refleja el orden estricto.
Demostración.
Comenzamos por la inyectividad. Supongamos
\[ \jmath_{\mathbb Z}^{F}(z)=0_F. \]
Por la forma normal con signo Teorema 2.8.1 — Forma normal con signo, existe \(n\in\mathbb N\) tal que
\[ z=\iota_{\mathbb N}^{\mathbb Z}(n) \]
o bien
\[ z=-\iota_{\mathbb N}^{\mathbb Z}(n). \]
En el primer caso, Proposición 12.1.4 — Compatibilidad aritmética de la copia entera da
\[ 0_F = \jmath_{\mathbb Z}^{F}(z) = \nu_F(n). \]
Como \(\nu_F(0)=0_F\) y \(\nu_F\) es inyectiva por Proposición 4.1.6 — Aritmética y orden de los numerales naturales, resulta \(n=0\). Luego \(z=0_{\mathbb Z}\). En el segundo caso,
\[ 0_F = -\nu_F(n) \]
implica igualmente \(\nu_F(n)=0_F\), de modo que \(n=0\) y otra vez \(z=0_{\mathbb Z}\).
Hemos probado
\[ \jmath_{\mathbb Z}^{F}(z)=0_F \Longrightarrow z=0_{\mathbb Z}. \]
Si ahora
\[ \jmath_{\mathbb Z}^{F}(x) = \jmath_{\mathbb Z}^{F}(y), \]
la compatibilidad con suma y opuesto de Proposición 12.1.4 — Compatibilidad aritmética de la copia entera produce
\[ \jmath_{\mathbb Z}^{F}(x-y)=0_F. \]
Por lo anterior, \(x-y=0_{\mathbb Z}\), y las leyes del grupo aditivo entero dan \(x=y\). Así \(\jmath_{\mathbb Z}^{F}\) es inyectiva.
Probemos ahora la preservación del orden. Si
\[ x\le_{\mathbb Z}y, \]
por Definición 2.9.1 — Relación de orden entera existe \(n\in\mathbb N\) tal que
\[ y=x+\iota_{\mathbb N}^{\mathbb Z}(n). \]
Aplicando Proposición 12.1.4 — Compatibilidad aritmética de la copia entera,
\[ \jmath_{\mathbb Z}^{F}(y) = \jmath_{\mathbb Z}^{F}(x)+\nu_F(n). \]
Como \(0\le n\) en \(\mathbb N\) y Proposición 4.1.6 — Aritmética y orden de los numerales naturales preserva el orden, \(0_F\le_F\nu_F(n)\); por tanto la compatibilidad del orden con la suma en el cuerpo ordenado \(F\) implica
\[ \jmath_{\mathbb Z}^{F}(x) \le_F \jmath_{\mathbb Z}^{F}(y). \]
Para la reflexión, supongamos
\[ \jmath_{\mathbb Z}^{F}(x) \le_F \jmath_{\mathbb Z}^{F}(y). \]
Por la tricotomía decidible de Corolario 2.9.6 — Tricotomía decidible en \(\mathbb Z\), la comparación de \(x\) e \(y\) se resuelve constructivamente; en particular, se cumple \(x\le_{\mathbb Z}y\) o \(y\le_{\mathbb Z}x\). En el primer caso terminamos. En el segundo, la preservación ya demostrada da
\[ \jmath_{\mathbb Z}^{F}(y) \le_F \jmath_{\mathbb Z}^{F}(x). \]
La antisimetría en \(F\) produce igualdad de las dos imágenes; por inyectividad, \(x=y\). En particular \(x\le_{\mathbb Z}y\).
Queda demostrada la equivalencia de órdenes. Como el orden estricto es el asociado al orden no estricto y la función es inyectiva, también
\[ x<_{\mathbb Z}y \iff \jmath_{\mathbb Z}^{F}(x) <_F \jmath_{\mathbb Z}^{F}(y). \]
∎
El teorema contiene un hecho estructural importante: todo cuerpo ordenado tiene característica cero en el sentido relevante para este tratado. Los enteros construidos en el Capítulo 2 aparecen en él de una manera canónica e inyectiva; no pueden colapsar dos enteros distintos.
Corolario 12.1.6 — La copia entera está contenida en el subcuerpo primo
Para todo cuerpo ordenado \(F\),
\[ \boxed{ \jmath_{\mathbb Z}^{F}[\mathbb Z] \subseteq P_F. } \]
Demostración.
Sea \(z\in\mathbb Z\). Por Teorema 2.8.1 — Forma normal con signo existe \(n\in\mathbb N\) tal que
\[ z=\iota_{\mathbb N}^{\mathbb Z}(n) \]
o
\[ z=-\iota_{\mathbb N}^{\mathbb Z}(n). \]
En el primer caso, Proposición 12.1.4 — Compatibilidad aritmética de la copia entera da
\[ \jmath_{\mathbb Z}^{F}(z)=\nu_F(n), \]
y Corolario 4.1.10 — Los numerales naturales pertenecen al subcuerpo primo asegura que \(\nu_F(n)\in P_F\).
En el segundo caso,
\[ \jmath_{\mathbb Z}^{F}(z)=-\nu_F(n). \]
Por Proposición 4.1.9 — Minimalidad del subcuerpo primo, \(P_F\) es un subcuerpo; por tanto es cerrado bajo opuestos. De nuevo
\[ \jmath_{\mathbb Z}^{F}(z)\in P_F. \]
Como \(z\) era arbitrario, la imagen entera está contenida en \(P_F\). ∎
El corolario no afirma que la imagen de \(\mathbb Z\) sea ya todo \(P_F\). En general no lo es: el subcuerpo primo debe ser también cerrado bajo el inverso de cada elemento no nulo. La etapa que falta consiste precisamente en añadir a la copia entera todas las fracciones determinadas por esos inversos.
Así, la siguiente sección no construirá un nuevo sistema racional. Utilizará el \(\mathbb Q\) ya construido en el Capítulo 3 para demostrar que todo cuerpo ordenado contiene una única copia canónica de \(\mathbb Q\), y que su imagen es exactamente \(P_F\).
12.2. Copia canónica de \(\mathbb Q\)
La sección anterior prolongó los numerales naturales hasta una incrustación ordenada
\[ \jmath_{\mathbb Z}^{F}:\mathbb Z\longrightarrow F. \]
Para llegar a los racionales debemos incorporar inversos multiplicativos. Sin embargo, tampoco aquí podemos definir una función sobre \(\mathbb Q\) diciendo simplemente «escojamos una fracción que represente a \(q\)». El conjunto \(\mathbb Q\) fue construido como cociente, y la definición debe respetar esa construcción.
Recordemos que
\[ D_{\mathbb Q}=\mathbb Z\times\mathbb Z_{\neq0} \]
y que
\[ (a,b)\sim_{\mathbb Q}(c,d)\iff ad=bc. \]
Procederemos, por tanto, exactamente como en las construcciones anteriores: primero evaluaremos todos los representantes racionales en \(F\), después probaremos invariancia sobre las clases y sólo entonces descenderemos al cociente.
Definición 12.2.1 — Evaluación de representantes racionales en un cuerpo ordenado
Para \((a,b)\in D_{\mathbb Q}\) definimos
\[ \boxed{ \psi_F(a,b):= \jmath_{\mathbb Z}^{F}(a) \bigl(\jmath_{\mathbb Z}^{F}(b)\bigr)^{-1}. } \]
Así obtenemos una función
\[ \boxed{\psi_F:D_{\mathbb Q}\longrightarrow F.} \]
La expresión está bien tipada. En efecto, si \((a,b)\in D_{\mathbb Q}\), entonces \(b\neq0_{\mathbb Z}\). Como Teorema 12.1.5 — La copia entera es una incrustación ordenada demuestra que \(\jmath_{\mathbb Z}^{F}\) es inyectiva y Proposición 12.1.4 — Compatibilidad aritmética de la copia entera da
\[ \jmath_{\mathbb Z}^{F}(0_{\mathbb Z})=0_F, \]
se sigue que
\[ \jmath_{\mathbb Z}^{F}(b)\neq0_F. \]
Por tanto su inverso multiplicativo existe en el cuerpo \(F\).
Conjuntistamente, el grafo de \(\psi_F\) se obtiene por Separación dentro de
\[ D_{\mathbb Q}\times F, \]
pues para cada \((a,b)\in D_{\mathbb Q}\) la fórmula anterior determina un único elemento de \(F\).
La función \(\psi_F\) vive todavía en el nivel de representantes. El paso decisivo es demostrar que la equivalencia racional no altera su valor.
Proposición 12.2.2 — Invariancia bajo la equivalencia racional
Si
\[ (a,b)\sim_{\mathbb Q}(c,d), \]
entonces
\[ \boxed{\psi_F(a,b)=\psi_F(c,d).} \]
Demostración.
Por Definición 3.2.1 — Relación de equivalencia racional, la hipótesis equivale a
\[ ad=bc \]
en \(\mathbb Z\). Aplicando la compatibilidad multiplicativa de Proposición 12.1.4 — Compatibilidad aritmética de la copia entera, obtenemos
\[ \jmath_{\mathbb Z}^{F}(a)\jmath_{\mathbb Z}^{F}(d) = \jmath_{\mathbb Z}^{F}(b)\jmath_{\mathbb Z}^{F}(c). \]
Como \(b,d\neq0_{\mathbb Z}\) y \(\jmath_{\mathbb Z}^{F}\) es inyectiva, ambos elementos \(\jmath_{\mathbb Z}^{F}(b)\) y \(\jmath_{\mathbb Z}^{F}(d)\) son no nulos. Multiplicando la igualdad anterior por
\[ \bigl(\jmath_{\mathbb Z}^{F}(b)\bigr)^{-1} \bigl(\jmath_{\mathbb Z}^{F}(d)\bigr)^{-1} \]
y usando asociatividad y conmutatividad del producto en \(F\), resulta
\[ \jmath_{\mathbb Z}^{F}(a) \bigl(\jmath_{\mathbb Z}^{F}(b)\bigr)^{-1} = \jmath_{\mathbb Z}^{F}(c) \bigl(\jmath_{\mathbb Z}^{F}(d)\bigr)^{-1}. \]
Por Definición 12.2.1 — Evaluación de representantes racionales en un cuerpo ordenado, los dos miembros son respectivamente \(\psi_F(a,b)\) y \(\psi_F(c,d)\). ∎
Definición 12.2.3 — Copia canónica de los racionales en un cuerpo ordenado
Como
\[ \mathbb Q=D_{\mathbb Q}/{\sim_{\mathbb Q}} \]
y Proposición 12.2.2 — Invariancia bajo la equivalencia racional demuestra que \(\psi_F\) es constante sobre las clases de \(\sim_{\mathbb Q}\), el principio de definición sobre clases Teorema 0.6.15 — Principio de definición sobre clases produce una única función
\[ \boxed{\jmath_{\mathbb Q}^{F}:\mathbb Q\longrightarrow F} \]
tal que, para todos \(a,b\in\mathbb Z\) con \(b\neq0_{\mathbb Z}\),
\[ \boxed{ \jmath_{\mathbb Q}^{F}\left(\frac ab\right) = \jmath_{\mathbb Z}^{F}(a) \bigl(\jmath_{\mathbb Z}^{F}(b)\bigr)^{-1}. } \]
Llamaremos a \(\jmath_{\mathbb Q}^{F}\) la copia canónica de los racionales en \(F\).
La fórmula no depende de una selección de representantes: la independencia ya fue demostrada antes de definir la función sobre el cociente. En particular, seguimos sin identificar literalmente \(\mathbb Q\) con un subconjunto de \(F\).
Proposición 12.2.4 — Compatibilidad algebraica de la copia racional
Para todos \(q,r\in\mathbb Q\) y todo \(a\in\mathbb Z\) se cumplen:
\[ \boxed{ \jmath_{\mathbb Q}^{F}(0_{\mathbb Q})=0_F, \qquad \jmath_{\mathbb Q}^{F}(1_{\mathbb Q})=1_F, } \]
\[ \boxed{ \jmath_{\mathbb Q}^{F}(q+r) = \jmath_{\mathbb Q}^{F}(q)+\jmath_{\mathbb Q}^{F}(r), } \]
\[ \boxed{ \jmath_{\mathbb Q}^{F}(qr) = \jmath_{\mathbb Q}^{F}(q)\jmath_{\mathbb Q}^{F}(r), } \]
\[ \boxed{ \jmath_{\mathbb Q}^{F}(-q) = -\jmath_{\mathbb Q}^{F}(q), } \]
y
\[ \boxed{ \jmath_{\mathbb Q}^{F} \bigl(\jmath_{\mathbb Z}^{\mathbb Q}(a)\bigr) = \jmath_{\mathbb Z}^{F}(a). } \]
Además, si \(q\neq0_{\mathbb Q}\), entonces
\[ \boxed{ \jmath_{\mathbb Q}^{F}(q^{-1}) = \bigl(\jmath_{\mathbb Q}^{F}(q)\bigr)^{-1}. } \]
Demostración.
Como todo racional es una clase del cociente Definición 3.2.4 — Conjunto de los números racionales, para los racionales fijos \(q\) y \(r\) podemos tomar representantes
\[ q=\frac ab, \qquad r=\frac cd, \]
con \(a,c\in\mathbb Z\) y \(b,d\in\mathbb Z_{\neq0}\). No se está definiendo una selección simultánea de representantes para todos los racionales.
Para el cero y la unidad usamos las representaciones
\[ 0_{\mathbb Q}=\frac{0_{\mathbb Z}}{1_{\mathbb Z}}, \qquad 1_{\mathbb Q}=\frac{1_{\mathbb Z}}{1_{\mathbb Z}}. \]
Por Proposición 12.1.4 — Compatibilidad aritmética de la copia entera,
\[ \jmath_{\mathbb Z}^{F}(0_{\mathbb Z})=0_F, \qquad \jmath_{\mathbb Z}^{F}(1_{\mathbb Z})=1_F, \]
y por tanto Definición 12.2.3 — Copia canónica de los racionales en un cuerpo ordenado da las dos primeras identidades.
La suma racional satisface
\[ q+r=\frac{ad+bc}{bd}. \]
En consecuencia,
\[ \begin{aligned} \jmath_{\mathbb Q}^{F}(q+r) &=\jmath_{\mathbb Z}^{F}(ad+bc) \bigl(\jmath_{\mathbb Z}^{F}(bd)\bigr)^{-1}\\ &=\bigl( \jmath_{\mathbb Z}^{F}(a)\jmath_{\mathbb Z}^{F}(d) +\jmath_{\mathbb Z}^{F}(b)\jmath_{\mathbb Z}^{F}(c) \bigr) \bigl( \jmath_{\mathbb Z}^{F}(b)\jmath_{\mathbb Z}^{F}(d) \bigr)^{-1}\\ &=\jmath_{\mathbb Z}^{F}(a) \bigl(\jmath_{\mathbb Z}^{F}(b)\bigr)^{-1} +\jmath_{\mathbb Z}^{F}(c) \bigl(\jmath_{\mathbb Z}^{F}(d)\bigr)^{-1}\\ &=\jmath_{\mathbb Q}^{F}(q)+\jmath_{\mathbb Q}^{F}(r). \end{aligned} \]
En el tercer paso usamos únicamente las leyes de cuerpo y el hecho de que las imágenes de \(b\) y \(d\) son no nulas.
Para el producto,
\[ qr=\frac{ac}{bd}, \]
de modo que
\[ \begin{aligned} \jmath_{\mathbb Q}^{F}(qr) &=\jmath_{\mathbb Z}^{F}(ac) \bigl(\jmath_{\mathbb Z}^{F}(bd)\bigr)^{-1}\\ &=\jmath_{\mathbb Z}^{F}(a)\jmath_{\mathbb Z}^{F}(c) \bigl( \jmath_{\mathbb Z}^{F}(b)\jmath_{\mathbb Z}^{F}(d) \bigr)^{-1}\\ &=\jmath_{\mathbb Q}^{F}(q)\jmath_{\mathbb Q}^{F}(r). \end{aligned} \]
La compatibilidad con el opuesto se obtiene de
\[ -q=\frac{-a}{b} \]
y de Proposición 12.1.4 — Compatibilidad aritmética de la copia entera:
\[ \begin{aligned} \jmath_{\mathbb Q}^{F}(-q) &=\jmath_{\mathbb Z}^{F}(-a) \bigl(\jmath_{\mathbb Z}^{F}(b)\bigr)^{-1}\\ &=-\jmath_{\mathbb Z}^{F}(a) \bigl(\jmath_{\mathbb Z}^{F}(b)\bigr)^{-1}\\ &=-\jmath_{\mathbb Q}^{F}(q). \end{aligned} \]
Para la extensión de la copia entera, Definición 3.5.1 — Incrustación entera en los racionales da
\[ \jmath_{\mathbb Z}^{\mathbb Q}(a)=\frac{a}{1_{\mathbb Z}}. \]
Entonces
\[ \begin{aligned} \jmath_{\mathbb Q}^{F} \bigl(\jmath_{\mathbb Z}^{\mathbb Q}(a)\bigr) &=\jmath_{\mathbb Z}^{F}(a) \bigl(\jmath_{\mathbb Z}^{F}(1_{\mathbb Z})\bigr)^{-1}\\ &=\jmath_{\mathbb Z}^{F}(a)1_F^{-1}\\ &=\jmath_{\mathbb Z}^{F}(a). \end{aligned} \]
Finalmente, sea \(q\neq0_{\mathbb Q}\). Como
\[ qq^{-1}=1_{\mathbb Q}, \]
la compatibilidad multiplicativa ya demostrada da
\[ \jmath_{\mathbb Q}^{F}(q) \jmath_{\mathbb Q}^{F}(q^{-1})=1_F. \]
En particular \(\jmath_{\mathbb Q}^{F}(q)\neq0_F\), pues \(0_F\) no puede multiplicarse por ningún elemento y producir \(1_F\). Por unicidad del inverso multiplicativo,
\[ \jmath_{\mathbb Q}^{F}(q^{-1}) = \bigl(\jmath_{\mathbb Q}^{F}(q)\bigr)^{-1}. \]
Todas las compatibilidades quedan demostradas. ∎
Teorema 12.2.5 — La copia racional es una incrustación de cuerpos ordenados
La función
\[ \jmath_{\mathbb Q}^{F}:\mathbb Q\longrightarrow F \]
es una incrustación de cuerpos ordenados. En particular, para todos \(q,r\in\mathbb Q\),
\[ \boxed{ q\le_{\mathbb Q}r \iff \jmath_{\mathbb Q}^{F}(q)\le_F\jmath_{\mathbb Q}^{F}(r), } \]
y
\[ \boxed{ q<_{\mathbb Q}r \iff \jmath_{\mathbb Q}^{F}(q)<_F\jmath_{\mathbb Q}^{F}(r). } \]
Demostración.
La preservación de \(0\), \(1\), suma y producto ya fue demostrada en Proposición 12.2.4 — Compatibilidad algebraica de la copia racional. Falta establecer la comparación de órdenes y la inyectividad.
Fijemos \(q,r\in\mathbb Q\). Por el lema de denominador positivo Lema 3.7.1 — Representante con denominador positivo existen representantes
\[ q=\frac ab, \qquad r=\frac cd, \]
con
\[ b>_{\mathbb Z}0_{\mathbb Z}, \qquad d>_{\mathbb Z}0_{\mathbb Z}. \]
Por Corolario 3.7.7 — Criterio estricto de comparación cruzada,
\[ q<_{\mathbb Q}r\iff ad<_{\mathbb Z}bc. \]
Como Teorema 12.1.5 — La copia entera es una incrustación ordenada preserva y refleja el orden estricto entero, y Proposición 12.1.4 — Compatibilidad aritmética de la copia entera preserva el producto,
\[ ad<_{\mathbb Z}bc \iff \jmath_{\mathbb Z}^{F}(a)\jmath_{\mathbb Z}^{F}(d) <_F \jmath_{\mathbb Z}^{F}(b)\jmath_{\mathbb Z}^{F}(c). \]
Además,
\[ 0_F<\jmath_{\mathbb Z}^{F}(b), \qquad 0_F<\jmath_{\mathbb Z}^{F}(d). \]
Por Lema 4.1.3 — Cálculo elemental de signos en un cuerpo ordenado, su producto es positivo. Apliquemos ahora Lema 4.1.3 — Cálculo elemental de signos en un cuerpo ordenado (9) con el factor
\[ R:=\jmath_{\mathbb Z}^{F}(b)\jmath_{\mathbb Z}^{F}(d)>0_F. \]
Si escribimos
\[ X:=\jmath_{\mathbb Z}^{F}(a) \bigl(\jmath_{\mathbb Z}^{F}(b)\bigr)^{-1}, \qquad Y:=\jmath_{\mathbb Z}^{F}(c) \bigl(\jmath_{\mathbb Z}^{F}(d)\bigr)^{-1}, \]
entonces
\[ XR=\jmath_{\mathbb Z}^{F}(a)\jmath_{\mathbb Z}^{F}(d), \qquad YR=\jmath_{\mathbb Z}^{F}(c)\jmath_{\mathbb Z}^{F}(b). \]
Como el producto es conmutativo,
\[ YR=\jmath_{\mathbb Z}^{F}(b)\jmath_{\mathbb Z}^{F}(c). \]
Por tanto Lema 4.1.3 — Cálculo elemental de signos en un cuerpo ordenado (9) da exactamente
\[ \jmath_{\mathbb Z}^{F}(a)\jmath_{\mathbb Z}^{F}(d) <_F \jmath_{\mathbb Z}^{F}(b)\jmath_{\mathbb Z}^{F}(c) \]
si y sólo si
\[ \jmath_{\mathbb Z}^{F}(a) \bigl(\jmath_{\mathbb Z}^{F}(b)\bigr)^{-1} <_F \jmath_{\mathbb Z}^{F}(c) \bigl(\jmath_{\mathbb Z}^{F}(d)\bigr)^{-1}. \]
Por Definición 12.2.3 — Copia canónica de los racionales en un cuerpo ordenado, concluimos
\[ q<_{\mathbb Q}r \iff \jmath_{\mathbb Q}^{F}(q)<_F\jmath_{\mathbb Q}^{F}(r). \]
Esta equivalencia estricta implica inyectividad. En efecto, si las imágenes de \(q\) y \(r\) fueran iguales con \(q\neq r\), la tricotomía decidible de Proposición 3.7.6 — Tricotomía decidible de los racionales daría \(q<r\) o \(r<q\), y la equivalencia anterior produciría una desigualdad estricta entre elementos iguales de \(F\), contradicción.
Finalmente, la misma tricotomía decidible racional permite descomponer el orden no estricto como
\[ x\le y\iff(x<y\ \text{o}\ x=y). \]
La equivalencia estricta y la inyectividad recién demostradas producen entonces
\[ q\le_{\mathbb Q}r \iff \jmath_{\mathbb Q}^{F}(q)\le_F\jmath_{\mathbb Q}^{F}(r). \]
Se satisfacen todas las condiciones de Definición 4.8.1 — Incrustación de cuerpos ordenados; por tanto \(\jmath_{\mathbb Q}^{F}\) es una incrustación de cuerpos ordenados. ∎
Lema 12.2.6 — La imagen de la copia racional es un subcuerpo
El subconjunto
\[ \boxed{\jmath_{\mathbb Q}^{F}[\mathbb Q]\subseteq F} \]
es un subcuerpo de \(F\).
Demostración.
Por Proposición 12.2.4 — Compatibilidad algebraica de la copia racional,
\[ 0_F=\jmath_{\mathbb Q}^{F}(0_{\mathbb Q}), \qquad 1_F=\jmath_{\mathbb Q}^{F}(1_{\mathbb Q}), \]
de modo que ambos elementos pertenecen a la imagen.
Sean
\[ x=\jmath_{\mathbb Q}^{F}(q), \qquad y=\jmath_{\mathbb Q}^{F}(r) \]
dos elementos de la imagen. Entonces
\[ x+y=\jmath_{\mathbb Q}^{F}(q+r), \qquad xy=\jmath_{\mathbb Q}^{F}(qr), \]
y
\[ -x=\jmath_{\mathbb Q}^{F}(-q), \]
por Proposición 12.2.4 — Compatibilidad algebraica de la copia racional. Por tanto la imagen es cerrada bajo suma, producto y opuesto.
Supongamos además \(x\neq0_F\). Si \(q=0_{\mathbb Q}\), la preservación del cero daría \(x=0_F\), contradicción; luego \(q\neq0_{\mathbb Q}\). El último apartado de Proposición 12.2.4 — Compatibilidad algebraica de la copia racional da
\[ x^{-1} = \bigl(\jmath_{\mathbb Q}^{F}(q)\bigr)^{-1} = \jmath_{\mathbb Q}^{F}(q^{-1}), \]
que pertenece de nuevo a la imagen.
Se satisfacen las cuatro condiciones de Definición 4.1.7 — Subcuerpo. ∎
Corolario 12.2.7 — La copia racional es exactamente el subcuerpo primo
Para todo cuerpo ordenado \(F\),
\[ \boxed{ \jmath_{\mathbb Q}^{F}[\mathbb Q]=P_F. } \]
Demostración.
Por Lema 12.2.6 — La imagen de la copia racional es un subcuerpo, la imagen \(\jmath_{\mathbb Q}^{F}[\mathbb Q]\) es un subcuerpo de \(F\). La minimalidad de \(P_F\) (Proposición 4.1.9 — Minimalidad del subcuerpo primo) implica entonces
\[ P_F\subseteq\jmath_{\mathbb Q}^{F}[\mathbb Q]. \]
Para la inclusión recíproca, sea
\[ x\in\jmath_{\mathbb Q}^{F}[\mathbb Q]. \]
Existe \(q\in\mathbb Q\) tal que
\[ x=\jmath_{\mathbb Q}^{F}(q). \]
Como \(q\) es una clase racional, para este \(q\) fijo existen \(a,b\in\mathbb Z\), con \(b\neq0_{\mathbb Z}\), tales que
\[ q=\frac ab. \]
Por Corolario 12.1.6 — La copia entera está contenida en el subcuerpo primo,
\[ \jmath_{\mathbb Z}^{F}(a), \jmath_{\mathbb Z}^{F}(b) \in P_F. \]
Además \(\jmath_{\mathbb Z}^{F}(b)\neq0_F\) por la inyectividad de Teorema 12.1.5 — La copia entera es una incrustación ordenada. Como Proposición 4.1.9 — Minimalidad del subcuerpo primo demuestra que \(P_F\) es un subcuerpo, también
\[ \bigl(\jmath_{\mathbb Z}^{F}(b)\bigr)^{-1}\in P_F \]
y, por clausura multiplicativa,
\[ \jmath_{\mathbb Z}^{F}(a) \bigl(\jmath_{\mathbb Z}^{F}(b)\bigr)^{-1} \in P_F. \]
Por Definición 12.2.3 — Copia canónica de los racionales en un cuerpo ordenado, este último elemento es \(\jmath_{\mathbb Q}^{F}(q)=x\). Así
\[ \jmath_{\mathbb Q}^{F}[\mathbb Q]\subseteq P_F. \]
Las dos inclusiones dan la igualdad. ∎
Interpretación. El subcuerpo primo abstracto construido en el Capítulo 4 ha quedado ahora identificado estructuralmente: en todo cuerpo ordenado es exactamente la imagen de la copia canónica de los racionales. Esto no significa que \(P_F\) sea literalmente el mismo conjunto que \(\mathbb Q\); significa que \(\jmath_{\mathbb Q}^{F}\) proporciona un isomorfismo de \(\mathbb Q\) sobre \(P_F\) con las operaciones y el orden heredados.
Teorema 12.2.8 — Unicidad de la incrustación racional
Sea \(F\) un cuerpo ordenado. Si
\[ \iota:\mathbb Q\longrightarrow F \]
es una incrustación de cuerpos ordenados, entonces
\[ \boxed{\iota=\jmath_{\mathbb Q}^{F}.} \]
En particular, existe una única incrustación de cuerpos ordenados de \(\mathbb Q\) en \(F\).
Demostración.
Por Definición 4.8.1 — Incrustación de cuerpos ordenados, \(\iota\) preserva \(0\), \(1\), suma y producto.
Consideremos primero la aplicación de numerales de \(\mathbb Q\). Por Proposición 4.4.3 — La formulación abstracta coincide con la arquimedianidad ya probada en \(\mathbb Q\), la aplicación abstracta \(\nu_{\mathbb Q}:\mathbb N\to\mathbb Q\) coincide con la incrustación \(\nu_{\mathbb N}^{\mathbb Q}\) de Definición 3.8.1 — Incrustación canónica de \(\mathbb N\) en \(\mathbb Q\). La composición
\[ \iota\circ\nu_{\mathbb Q}:\mathbb N\longrightarrow F \]
satisface
\[ (\iota\circ\nu_{\mathbb Q})(0) =\iota(0_{\mathbb Q})=0_F \]
y
\[ \begin{aligned} (\iota\circ\nu_{\mathbb Q})(S(n)) &=\iota\bigl(\nu_{\mathbb Q}(n)+1_{\mathbb Q}\bigr)\\ &=\iota(\nu_{\mathbb Q}(n))+1_F. \end{aligned} \]
Por la unicidad de la aplicación de numerales en Definición 4.1.5 — Aplicación de numerales naturales en un cuerpo ordenado,
\[ \boxed{ \iota\bigl(\nu_{\mathbb N}^{\mathbb Q}(n)\bigr)=\nu_F(n) } \]
para todo \(n\in\mathbb N\).
Ahora fijemos \(z\in\mathbb Z\). Por la forma normal con signo Teorema 2.8.1 — Forma normal con signo existe \(n\in\mathbb N\) tal que
\[ z=\iota_{\mathbb N}^{\mathbb Z}(n) \]
o bien
\[ z=-\iota_{\mathbb N}^{\mathbb Z}(n). \]
Como
\[ \nu_{\mathbb N}^{\mathbb Q} = \jmath_{\mathbb Z}^{\mathbb Q}\circ\iota_{\mathbb N}^{\mathbb Z}, \]
el primer caso da
\[ \iota\bigl(\jmath_{\mathbb Z}^{\mathbb Q}(z)\bigr) =\nu_F(n) =\jmath_{\mathbb Z}^{F}(z) \]
por Proposición 12.1.4 — Compatibilidad aritmética de la copia entera.
En el segundo caso necesitamos únicamente observar que toda aplicación que preserva suma y cero preserva opuestos. En efecto,
\[ \iota(u)+\iota(-u) =\iota(u+(-u)) =\iota(0_{\mathbb Q}) =0_F, \]
por lo que \(\iota(-u)=-\iota(u)\). Aplicando esto a
\[ u=\jmath_{\mathbb Z}^{\mathbb Q} \bigl(\iota_{\mathbb N}^{\mathbb Z}(n)\bigr), \]
y usando que Proposición 3.5.2 — La incrustación preserva la aritmética y Proposición 12.1.4 — Compatibilidad aritmética de la copia entera preservan opuestos, tenemos
\[ \jmath_{\mathbb Z}^{\mathbb Q}(z)=-u, \qquad \jmath_{\mathbb Z}^{F}(z)=-\nu_F(n). \]
Por consiguiente obtenemos nuevamente
\[ \boxed{ \iota\bigl(\jmath_{\mathbb Z}^{\mathbb Q}(z)\bigr) =\jmath_{\mathbb Z}^{F}(z) } \]
para todo \(z\in\mathbb Z\).
Sea finalmente \(q\in\mathbb Q\). Para este racional fijo tomemos una representación
\[ q=\frac ab, \qquad b\neq0_{\mathbb Z}. \]
Por Definición 3.6.6 — División racional,
\[ q = \jmath_{\mathbb Z}^{\mathbb Q}(a) \bigl(\jmath_{\mathbb Z}^{\mathbb Q}(b)\bigr)^{-1}. \]
Una aplicación que preserva producto y unidad preserva también inversos de elementos no nulos: si \(y\neq0\), entonces
\[ \iota(y)\iota(y^{-1}) =\iota(yy^{-1}) =1_F, \]
luego \(\iota(y^{-1})=\iota(y)^{-1}\). Además \(\jmath_{\mathbb Z}^{\mathbb Q}(b)\neq0_{\mathbb Q}\) por la inyectividad de Proposición 3.5.2 — La incrustación preserva la aritmética. Por consiguiente,
\[ \begin{aligned} \iota(q) &=\iota\bigl(\jmath_{\mathbb Z}^{\mathbb Q}(a)\bigr) \left( \iota\bigl(\jmath_{\mathbb Z}^{\mathbb Q}(b)\bigr) \right)^{-1}\\ &=\jmath_{\mathbb Z}^{F}(a) \bigl(\jmath_{\mathbb Z}^{F}(b)\bigr)^{-1}\\ &=\jmath_{\mathbb Q}^{F}(q). \end{aligned} \]
Como \(q\) era arbitrario, ambas funciones \(\mathbb Q\to F\) tienen los mismos valores en todos los argumentos. Por el criterio de igualdad de funciones Proposición 0.6.3 — Criterio de igualdad de funciones,
\[ \iota=\jmath_{\mathbb Q}^{F}. \]
La existencia de una incrustación está dada por Teorema 12.2.5 — La copia racional es una incrustación de cuerpos ordenados, y acabamos de probar que cualquier otra coincide con ella. ∎
Consecuencia estructural. La palabra «canónica» ya no significa sólo que poseemos una fórmula preferida. La copia racional es canónica en sentido fuerte: está determinada de manera única por la estructura de cuerpo ordenado.
Corolario 12.2.9 — La copia racional de toda completación es la copia canónica
Sea \((E,\iota_E)\) una completación ordenada de \(\mathbb Q\). Entonces
\[ \boxed{\iota_E=\jmath_{\mathbb Q}^{E}} \]
y
\[ \boxed{\iota_E[\mathbb Q]=P_E.} \]
Demostración.
Por Definición 4.8.2 — Completación ordenada de \(\mathbb Q\), \(\iota_E:\mathbb Q\to E\) es una incrustación de cuerpos ordenados. Teorema 12.2.8 — Unicidad de la incrustación racional implica entonces
\[ \iota_E=\jmath_{\mathbb Q}^{E}. \]
Sustituyendo esta igualdad en Corolario 12.2.7 — La copia racional es exactamente el subcuerpo primo, obtenemos
\[ \iota_E[\mathbb Q] =\jmath_{\mathbb Q}^{E}[\mathbb Q] =P_E. \]
∎
La sección ha eliminado una ambigüedad que permanecía abierta desde el Capítulo 4. En un cuerpo ordenado no hay varias maneras estructuralmente distintas de insertar los racionales: la copia está forzada por \(0\), \(1\) y las operaciones del cuerpo. En una completación, por tanto, la incrustación racional que forma parte de los datos no añade libertad adicional.
El siguiente problema es de orden. Para comparar dos completaciones necesitaremos que esa copia racional única sea suficientemente rica dentro del cuerpo: entre dos elementos distintos deberá aparecer un racional. Esa densidad será el objeto de §12.3.
12.3. Densidad de la copia racional canónica
La sección anterior identificó de manera exacta la relación entre el subcuerpo primo de un cuerpo ordenado y el sistema racional ya construido:
\[ \jmath_{\mathbb Q}^{F}[\mathbb Q]=P_F. \]
Por otra parte, el Capítulo 4 ya demostró un hecho de orden independiente de toda construcción concreta de los reales: si \(F\) es arquimediano, entonces \(P_F\) es denso en \(F\). No debemos repetir aquí aquella demostración. Lo que faltaba entonces era saber que los elementos de \(P_F\) son precisamente las imágenes de racionales bajo una aplicación canónica y única.
La densidad racional puede ahora formularse en el lenguaje que necesitaremos para comparar completaciones.
Teorema 12.3.1 — Densidad de la copia racional canónica en un cuerpo arquimediano
Sea \(F\) un cuerpo ordenado arquimediano. Para cualesquiera \(x,y\in F\) con
\[ x<y, \]
existe \(q\in\mathbb Q\) tal que
\[ \boxed{ x<\jmath_{\mathbb Q}^{F}(q)<y. } \]
Equivalente y más concisamente, la imagen
\[ \jmath_{\mathbb Q}^{F}[\mathbb Q] \]
es densa en \(F\).
Demostración.
Como \(F\) es arquimediano, Teorema 4.5.1 — Densidad del subcuerpo primo en un cuerpo arquimediano proporciona un elemento
\[ r\in P_F \]
tal que
\[ x<r<y. \]
Pero Corolario 12.2.7 — La copia racional es exactamente el subcuerpo primo establece
\[ P_F=\jmath_{\mathbb Q}^{F}[\mathbb Q]. \]
Por tanto
\[ r\in\jmath_{\mathbb Q}^{F}[\mathbb Q]. \]
Por la definición de imagen directa, existe \(q\in\mathbb Q\) tal que
\[ r=\jmath_{\mathbb Q}^{F}(q). \]
Sustituyendo en la desigualdad anterior obtenemos
\[ x<\jmath_{\mathbb Q}^{F}(q)<y, \]
como se quería. ∎
Nota fundacional. La dependencia clásica está heredada de Teorema 4.5.1 — Densidad del subcuerpo primo en un cuerpo arquimediano, cuya prueba localiza un mínimo en un subconjunto arbitrario de \(\mathbb N\). La extracción posterior de un racional para este intervalo fijo es local y no constituye Choice.
Corolario 12.3.2 — Densidad racional en todo cuerpo ordenado completo
Sea \(F\) un cuerpo ordenado completo. Entonces, para todos \(x,y\in F\) con \(x<y\), existe \(q\in\mathbb Q\) tal que
\[ \boxed{ x<\jmath_{\mathbb Q}^{F}(q)<y. } \]
Demostración.
Por Teorema 4.6.3 — Todo cuerpo ordenado completo es arquimediano, todo cuerpo ordenado completo es arquimediano. Aplicamos entonces Teorema 12.3.1 — Densidad de la copia racional canónica en un cuerpo arquimediano. ∎
La conclusión contiene exactamente la densidad que utilizaremos a partir de ahora. Si \((E,\iota_E)\) es una completación ordenada de \(\mathbb Q\), Corolario 12.2.9 — La copia racional de toda completación es la copia canónica ya demostró
\[ \iota_E=\jmath_{\mathbb Q}^{E}. \]
Así, Corolario 12.3.2 — Densidad racional en todo cuerpo ordenado completo puede escribirse en la forma familiar
\[ x<y \Longrightarrow \exists q\in\mathbb Q\; \bigl(x<\iota_E(q)<y\bigr), \]
que coincide con la densidad de la imagen racional probada anteriormente en Proposición 4.8.3 — La imagen racional de una completación es densa, pero ahora sabemos además que la incrustación que aparece allí no es un dato arbitrario: es la única copia racional posible en \(E\).
Este punto es decisivo para la siguiente construcción. Dado \(x\in E\), podremos considerar el conjunto de todos los racionales cuya imagen canónica queda estrictamente por debajo de \(x\). La densidad recién establecida garantizará que ese conjunto codifica con suficiente precisión la posición de \(x\) dentro del orden. Ése será el punto de partida de §12.4.
12.4. Construcción del transporte por cortes racionales
Sean
\[ (E,\iota_E) \qquad\text{y}\qquad (F,\iota_F) \]
dos completaciones ordenadas de \(\mathbb Q\). Por Corolario 12.2.9 — La copia racional de toda completación es la copia canónica, las incrustaciones que forman parte de esos datos coinciden necesariamente con las copias racionales canónicas:
\[ \iota_E=\jmath_{\mathbb Q}^{E}, \qquad \iota_F=\jmath_{\mathbb Q}^{F}. \]
No identificaremos por ello \(\mathbb Q\) con un subconjunto literal de \(E\) o de \(F\). La comparación se realizará siempre a través de esas funciones.
La idea es asociar a cada elemento de un cuerpo ordenado la totalidad de los racionales que quedan estrictamente por debajo de él. En un cuerpo arquimediano, esa información forma una cortadura de Dedekind. Si después trasladamos la misma cortadura a otro cuerpo completo, su imagen racional tendrá un supremo. Ese supremo será el elemento correspondiente.
Definición 12.4.1 — Traza racional inferior de un elemento
Sea \(E\) un cuerpo ordenado. Para cada \(x\in E\) definimos su traza racional inferior por
\[ \boxed{ L_E(x) := \{q\in\mathbb Q:\jmath_{\mathbb Q}^{E}(q)<x\}. } \]
Así obtenemos una función
\[ \boxed{ L_E:E\longrightarrow\mathcal P(\mathbb Q). } \]
Para cada \(x\in E\), el conjunto \(L_E(x)\) existe por Separación dentro de \(\mathbb Q\). Como ese subconjunto está determinado de manera única por la fórmula anterior, el grafo
\[ \{\langle x,\alpha\rangle\in E\times\mathcal P(\mathbb Q): \alpha=L_E(x)\} \]
define una función. No se selecciona ningún racional asociado a \(x\).
La definición tiene sentido en cualquier cuerpo ordenado. Para que \(L_E(x)\) sea una cortadura necesitaremos además que la copia racional sea densa.
Nota fundacional. La traza es un subconjunto extensional perfectamente definido de \(\mathbb Q\), pero eso no implica que su pertenencia sea decidible. En general, \[ \boxed{ \text{traza extensional} \neq \text{membresía decidible}. } \] Decidir \(q\in L_E(x)\) equivale a decidir la comparación estricta \(\jmath_{\mathbb Q}^{E}(q)<x\), algo que no está disponible uniformemente en un cuerpo ordenado completo arbitrario.
Proposición 12.4.2 — La traza racional de un cuerpo arquimediano es una cortadura
Sea \(E\) un cuerpo ordenado arquimediano y sea \(x\in E\). Entonces
\[ \boxed{L_E(x)\in\mathbb R_D.} \]
Es decir, \(L_E(x)\) es una cortadura de Dedekind de \(\mathbb Q\).
Demostración.
Verificamos las cuatro condiciones de Definición 5.1.1 — Cortadura de Dedekind.
No vaciedad. En todo cuerpo ordenado,
\[ 0_E<1_E, \]
de modo que
\[ x-1_E<x. \]
Por Teorema 12.3.1 — Densidad de la copia racional canónica en un cuerpo arquimediano, existe \(q_-\in\mathbb Q\) tal que
\[ x-1_E < \jmath_{\mathbb Q}^{E}(q_-) < x. \]
Por definición, \(q_-\in L_E(x)\). Luego
\[ L_E(x)\neq\varnothing. \]
Propiedad. De nuevo,
\[ x<x+1_E. \]
La densidad racional proporciona \(q_+\in\mathbb Q\) con
\[ x < \jmath_{\mathbb Q}^{E}(q_+) < x+1_E. \]
Por tanto
\[ q_+\notin L_E(x), \]
y así
\[ L_E(x)\neq\mathbb Q. \]
Clausura inferior. Sean \(r\in L_E(x)\) y \(s\in\mathbb Q\) con \(s<r\). Entonces
\[ \jmath_{\mathbb Q}^{E}(r)<x. \]
Como Teorema 12.2.5 — La copia racional es una incrustación de cuerpos ordenados afirma que \(\jmath_{\mathbb Q}^{E}\) preserva el orden estricto,
\[ \jmath_{\mathbb Q}^{E}(s) < \jmath_{\mathbb Q}^{E}(r) < x. \]
Luego \(s\in L_E(x)\).
Ausencia de máximo. Sea \(r\in L_E(x)\). Entonces
\[ \jmath_{\mathbb Q}^{E}(r)<x. \]
Aplicando otra vez Teorema 12.3.1 — Densidad de la copia racional canónica en un cuerpo arquimediano al intervalo abierto entre esos dos elementos, existe \(s\in\mathbb Q\) tal que
\[ \jmath_{\mathbb Q}^{E}(r) < \jmath_{\mathbb Q}^{E}(s) < x. \]
La segunda desigualdad da \(s\in L_E(x)\), y la reflexión del orden estricto de Teorema 12.2.5 — La copia racional es una incrustación de cuerpos ordenados da
\[ r<s. \]
Por tanto \(L_E(x)\) no posee máximo.
Se cumplen las cuatro condiciones de cortadura y, por Definición 5.1.3 — Conjunto subyacente del modelo de Dedekind,
\[ L_E(x)\in\mathbb R_D. \]
∎
Lema 12.4.3 — La imagen transportada de una traza es no vacía y acotada
Sean \((E,\iota_E)\) y \((F,\iota_F)\) completaciones ordenadas de \(\mathbb Q\), y sea \(x\in E\). Entonces el subconjunto de \(F\)
\[ \boxed{ \jmath_{\mathbb Q}^{F}[L_E(x)] } \]
es no vacío y está acotado superiormente en \(F\).
Demostración.
Como \(E\) es una completación ordenada, Corolario 12.3.2 — Densidad racional en todo cuerpo ordenado completo proporciona densidad de la copia racional canónica en \(E\).
Por los axiomas de cuerpo ordenado,
\[ x-1_E<x<x+1_E. \]
Aplicando la densidad al intervalo \((x-1_E,x)\), existe \(r\in\mathbb Q\) tal que
\[ x-1_E < \jmath_{\mathbb Q}^{E}(r) < x. \]
Por Definición 12.4.1 — Traza racional inferior de un elemento,
\[ r\in L_E(x). \]
Luego
\[ \jmath_{\mathbb Q}^{F}(r) \in \jmath_{\mathbb Q}^{F}[L_E(x)], \]
y la imagen está habitada; en particular, es no vacía.
Para construir una cota superior, aplicamos de nuevo la densidad, ahora al intervalo \((x,x+1_E)\). Existe \(u\in\mathbb Q\) con
\[ x < \jmath_{\mathbb Q}^{E}(u) < x+1_E. \]
Sea \(s\in L_E(x)\). Entonces
\[ \jmath_{\mathbb Q}^{E}(s)<x<\jmath_{\mathbb Q}^{E}(u). \]
Como Teorema 12.2.5 — La copia racional es una incrustación de cuerpos ordenados refleja el orden estricto racional,
\[ s<u. \]
Aplicando la preservación del orden por la copia racional de \(F\),
\[ \jmath_{\mathbb Q}^{F}(s) < \jmath_{\mathbb Q}^{F}(u). \]
Por tanto
\[ \boxed{ \jmath_{\mathbb Q}^{F}(u) } \]
es una cota superior de
\[ \jmath_{\mathbb Q}^{F}[L_E(x)]. \]
∎
Nota fundacional. La prueba usa testigos positivos producidos directamente por densidad para el elemento fijo \(x\); ya no convierte las afirmaciones negativas \[ L_E(x)\neq\varnothing, \qquad L_E(x)\neq\mathbb Q \] en testigos. La clasicidad permanece exactamente donde corresponde: en la densidad abstracta heredada de Corolario 12.3.2 — Densidad racional en todo cuerpo ordenado completo.
Definición 12.4.4 — Transporte canónico determinado por cortes racionales
Sean \((E,\iota_E)\) y \((F,\iota_F)\) completaciones ordenadas de \(\mathbb Q\). Para cada \(x\in E\), Lema 12.4.3 — La imagen transportada de una traza es no vacía y acotada demuestra que
\[ \jmath_{\mathbb Q}^{F}[L_E(x)] \]
es no vacío y está acotado superiormente. Como \(F\) es completo, posee un supremo en \(F\).
Definimos
\[ \boxed{ \Psi_{E,F}:E\longrightarrow F } \]
por
\[ \boxed{ \Psi_{E,F}(x) := \sup\bigl(\jmath_{\mathbb Q}^{F}[L_E(x)]\bigr). } \]
La notación \(\sup\) es legítima por Corolario 0.7.9 — Notación legítima para supremo e ínfimo, y su valor es único por Proposición 0.7.8 — Unicidad de supremo e ínfimo. Por tanto, para cada \(x\in E\) existe un único \(y\in F\) que satisface la fórmula anterior. El grafo de \(\Psi_{E,F}\) se obtiene entonces por Separación dentro de \(E\times F\).
La definición no escoge un elemento de \(F\) entre varios candidatos. El valor está determinado de manera única como un supremo.
Nota fundacional. Aquí «canónico» significa únicamente determinado por la estructura. La propiedad del supremo garantiza existencia y unicidad extensional, pero no proporciona un procedimiento uniforme para calcular el supremo a partir de una presentación arbitraria de la traza. Por tanto, \[ \boxed{ \text{canónico por unicidad} \neq \text{computable}. } \]
Teorema 12.4.5 — El transporte reconstruye exactamente la misma traza racional
Sean \((E,\iota_E)\) y \((F,\iota_F)\) completaciones ordenadas de \(\mathbb Q\). Entonces, para todo \(x\in E\),
\[ \boxed{ L_F\bigl(\Psi_{E,F}(x)\bigr) = L_E(x). } \]
Demostración.
Fijemos \(x\in E\) y escribamos, sólo dentro de esta demostración,
\[ A:=\jmath_{\mathbb Q}^{F}[L_E(x)]. \]
Por definición,
\[ \Psi_{E,F}(x)=\sup A. \]
Demostraremos la igualdad de las dos trazas por doble inclusión.
Sea primero \(q\in L_E(x)\). Como \(L_E(x)\) es una cortadura, no posee máximo. Existe por tanto \(r\in L_E(x)\) tal que
\[ q<r. \]
La preservación estricta del orden por \(\jmath_{\mathbb Q}^{F}\) da
\[ \jmath_{\mathbb Q}^{F}(q) < \jmath_{\mathbb Q}^{F}(r). \]
Además,
\[ \jmath_{\mathbb Q}^{F}(r)\in A, \]
y todo elemento de \(A\) es menor o igual que su supremo. Luego
\[ \jmath_{\mathbb Q}^{F}(q) < \jmath_{\mathbb Q}^{F}(r) \le \sup A = \Psi_{E,F}(x). \]
Por Definición 12.4.1 — Traza racional inferior de un elemento, esto significa
\[ q\in L_F\bigl(\Psi_{E,F}(x)\bigr). \]
Así,
\[ L_E(x) \subseteq L_F\bigl(\Psi_{E,F}(x)\bigr). \]
Para la inclusión inversa, sea \(q\in\mathbb Q\) y supongamos
\[ q\notin L_E(x). \]
Si \(r\in L_E(x)\), entonces necesariamente \(r<q\): de lo contrario la totalidad del orden racional daría \(q\le r\), y la igualdad o la clausura inferior de la cortadura implicarían \(q\in L_E(x)\), contradicción.
Por consiguiente,
\[ \jmath_{\mathbb Q}^{F}(r) < \jmath_{\mathbb Q}^{F}(q) \]
para todo \(r\in L_E(x)\). Así \(\jmath_{\mathbb Q}^{F}(q)\) es una cota superior de \(A\). Por la propiedad definitoria del supremo,
\[ \Psi_{E,F}(x) = \sup A \le \jmath_{\mathbb Q}^{F}(q). \]
En particular no puede ocurrir
\[ \jmath_{\mathbb Q}^{F}(q) < \Psi_{E,F}(x). \]
Por Definición 12.4.1 — Traza racional inferior de un elemento,
\[ q\notin L_F\bigl(\Psi_{E,F}(x)\bigr). \]
Hemos demostrado
\[ q\notin L_E(x) \Longrightarrow q\notin L_F\bigl(\Psi_{E,F}(x)\bigr), \]
y por contrapositiva,
\[ L_F\bigl(\Psi_{E,F}(x)\bigr) \subseteq L_E(x). \]
Las dos inclusiones y Teorema 0.2.4 — Criterio extensional por doble inclusión dan
\[ L_F\bigl(\Psi_{E,F}(x)\bigr) = L_E(x). \]
∎
Nota fundacional. La segunda inclusión es una frontera clásica real, no sólo una elección estilística de prueba. Una demostración positiva a partir de \[ \jmath_{\mathbb Q}^{F}(q)<\sup A \] necesitaría producir algún \(a\in A\) con \(\jmath_{\mathbb Q}^{F}(q)<a\). La completitud clásica garantiza el supremo, pero no incorpora ese testigo de aproximación desde abajo. La prueba actual evita esa extracción trabajando por contrapositiva; obtener el testigo directamente requeriría información positiva adicional sobre la completitud o una negación clásica de cuantificadores.
El teorema expresa el núcleo de la construcción. El elemento \(\Psi_{E,F}(x)\) no se ha obtenido intentando copiar la codificación conjuntista de \(x\); se ha reconstruido exclusivamente a partir de su posición racional. La completitud del cuerpo de llegada interviene exactamente una vez: garantiza que esa posición racional tiene una frontera interna.
Todavía no hemos demostrado que \(\Psi_{E,F}\) preserve el orden, sea biyectiva o respete las operaciones. El paso siguiente será mostrar que en un cuerpo completo la traza racional inferior determina completamente el orden de sus elementos. La identidad de trazas recién probada convertirá entonces a \(\Psi_{E,F}\) en un isomorfismo de órdenes. Ése será el contenido de §12.5.
12.5. Preservación del orden
La construcción de §12.4 produjo, para dos completaciones ordenadas \((E,\iota_E)\) y \((F,\iota_F)\), una función
\[ \Psi_{E,F}:E\longrightarrow F \]
que reconstruye exactamente la misma traza racional:
\[ L_F\bigl(\Psi_{E,F}(x)\bigr)=L_E(x). \]
Para convertir esta identidad en una afirmación sobre el orden debemos demostrar primero que la traza racional inferior determina por completo la posición de un elemento. El hecho decisivo vuelve a ser la densidad de la copia racional: si dos elementos están ordenados de manera distinta, algún racional canónico queda entre ellos y detecta esa diferencia en sus trazas.
Proposición 12.5.1 — La inclusión de trazas racionales caracteriza el orden
Sea \(E\) un cuerpo ordenado arquimediano. Para todos \(x,y\in E\),
\[ \boxed{ x\le y \iff L_E(x)\subseteq L_E(y). } \]
Además,
\[ \boxed{ x<y \iff L_E(x)\subsetneq L_E(y). } \]
Demostración.
Supongamos primero
\[ x\le y. \]
Sea \(q\in L_E(x)\). Por Definición 12.4.1 — Traza racional inferior de un elemento,
\[ \jmath_{\mathbb Q}^{E}(q)<x. \]
Como \(x\le y\), la transitividad mixta del orden da
\[ \jmath_{\mathbb Q}^{E}(q)<y. \]
Por tanto \(q\in L_E(y)\). Hemos probado
\[ L_E(x)\subseteq L_E(y). \]
Para la implicación inversa, supongamos
\[ L_E(x)\subseteq L_E(y) \]
y neguemos \(x\le y\). Como el orden de \(E\) es total, resulta
\[ y<x. \]
Por la densidad de la copia racional canónica Teorema 12.3.1 — Densidad de la copia racional canónica en un cuerpo arquimediano, existe \(q\in\mathbb Q\) tal que
\[ y < \jmath_{\mathbb Q}^{E}(q) < x. \]
La desigualdad de la derecha implica
\[ q\in L_E(x), \]
y, por la inclusión supuesta,
\[ q\in L_E(y). \]
Pero esta última pertenencia significa
\[ \jmath_{\mathbb Q}^{E}(q)<y, \]
lo cual contradice \(y<\jmath_{\mathbb Q}^{E}(q)\). Luego necesariamente
\[ x\le y. \]
Queda la equivalencia estricta. Supongamos \(x<y\). La equivalencia no estricta ya probada da
\[ L_E(x)\subseteq L_E(y). \]
Aplicando de nuevo Teorema 12.3.1 — Densidad de la copia racional canónica en un cuerpo arquimediano, existe \(q\in\mathbb Q\) con
\[ x < \jmath_{\mathbb Q}^{E}(q) < y. \]
Entonces
\[ q\in L_E(y). \]
En cambio \(q\notin L_E(x)\): si perteneciera, tendríamos
\[ \jmath_{\mathbb Q}^{E}(q)<x, \]
contradiciendo \(x<\jmath_{\mathbb Q}^{E}(q)\). Así,
\[ L_E(x)\subsetneq L_E(y). \]
Recíprocamente, si
\[ L_E(x)\subsetneq L_E(y), \]
entonces la primera equivalencia da \(x\le y\). Además \(x\neq y\), pues de \(x=y\) se seguiría inmediatamente
\[ L_E(x)=L_E(y), \]
contradiciendo la inclusión propia. Por la definición del orden estricto asociado,
\[ x<y. \]
Quedan demostradas ambas equivalencias. ∎
La proposición permite leer el orden del cuerpo directamente en \(\mathcal P(\mathbb Q)\). Dos elementos tienen la misma posición ordenada exactamente cuando sus lados racionales inferiores coinciden; y avanzar estrictamente en el cuerpo equivale a ampliar estrictamente la traza.
Teorema 12.5.2 — El transporte preserva y refleja el orden
Sean \((E,\iota_E)\) y \((F,\iota_F)\) completaciones ordenadas de \(\mathbb Q\). Para todos \(x,y\in E\),
\[ \boxed{ x\le y \iff \Psi_{E,F}(x)\le\Psi_{E,F}(y). } \]
Asimismo,
\[ \boxed{ x<y \iff \Psi_{E,F}(x)<\Psi_{E,F}(y). } \]
En particular, \(\Psi_{E,F}\) es inyectiva.
Demostración.
Como \(E\) y \(F\) son completos, Teorema 4.6.3 — Todo cuerpo ordenado completo es arquimediano implica que ambos son arquimedianos. Podemos aplicar Proposición 12.5.1 — La inclusión de trazas racionales caracteriza el orden en los dos cuerpos.
Para el orden no estricto,
\[ \begin{aligned} x\le y &\iff L_E(x)\subseteq L_E(y)\\ &\iff L_F\bigl(\Psi_{E,F}(x)\bigr) \subseteq L_F\bigl(\Psi_{E,F}(y)\bigr)\\ &\iff \Psi_{E,F}(x)\le\Psi_{E,F}(y). \end{aligned} \]
La equivalencia central utiliza dos veces Teorema 12.4.5 — El transporte reconstruye exactamente la misma traza racional.
Del mismo modo, para el orden estricto,
\[ \begin{aligned} x<y &\iff L_E(x)\subsetneq L_E(y)\\ &\iff L_F\bigl(\Psi_{E,F}(x)\bigr) \subsetneq L_F\bigl(\Psi_{E,F}(y)\bigr)\\ &\iff \Psi_{E,F}(x)<\Psi_{E,F}(y). \end{aligned} \]
Resta la inyectividad. Supongamos
\[ \Psi_{E,F}(x)=\Psi_{E,F}(y). \]
Entonces, en particular,
\[ \Psi_{E,F}(x)\le\Psi_{E,F}(y) \qquad\text{y}\qquad \Psi_{E,F}(y)\le\Psi_{E,F}(x). \]
Reflejando ambas desigualdades mediante la equivalencia ya probada,
\[ x\le y \qquad\text{y}\qquad y\le x. \]
La antisimetría del orden de \(E\) da \(x=y\). Por tanto \(\Psi_{E,F}\) es inyectiva. ∎
El teorema ya muestra que \(\Psi_{E,F}\) no deforma la recta ordenada: preserva y refleja exactamente todas las comparaciones. Falta comprobar que ningún elemento de \(F\) queda fuera de su imagen. Para ello no necesitaremos buscar una preimagen; la construcción realizada con los cuerpos intercambiados proporciona una función canónica en sentido contrario.
Corolario 12.5.3 — Los transportes simétricos son inversos
Sean \((E,\iota_E)\) y \((F,\iota_F)\) completaciones ordenadas de \(\mathbb Q\). Entonces, para todo \(x\in E\) y todo \(y\in F\),
\[ \boxed{ \Psi_{F,E}\bigl(\Psi_{E,F}(x)\bigr)=x, } \]
\[ \boxed{ \Psi_{E,F}\bigl(\Psi_{F,E}(y)\bigr)=y. } \]
En consecuencia,
\[ \boxed{ \Psi_{E,F}:E\longrightarrow F \text{ es biyectiva}, } \]
y su función inversa es exactamente
\[ \boxed{ \Psi_{E,F}^{-1}=\Psi_{F,E}. } \]
Demostración.
Fijemos \(x\in E\). Aplicando Teorema 12.4.5 — El transporte reconstruye exactamente la misma traza racional primero al transporte de \(F\) hacia \(E\) y después al transporte de \(E\) hacia \(F\), obtenemos
\[ \begin{aligned} L_E\!\left( \Psi_{F,E}\bigl(\Psi_{E,F}(x)\bigr) \right) &= L_F\bigl(\Psi_{E,F}(x)\bigr)\\ &= L_E(x). \end{aligned} \]
Como \(E\) es completo, Teorema 4.6.3 — Todo cuerpo ordenado completo es arquimediano lo hace arquimediano. La igualdad de trazas implica ambas inclusiones y Proposición 12.5.1 — La inclusión de trazas racionales caracteriza el orden las traduce en
\[ \Psi_{F,E}\bigl(\Psi_{E,F}(x)\bigr)\le x \]
y
\[ x\le\Psi_{F,E}\bigl(\Psi_{E,F}(x)\bigr). \]
Por antisimetría,
\[ \Psi_{F,E}\bigl(\Psi_{E,F}(x)\bigr)=x. \]
El mismo argumento, intercambiando \(E\) y \(F\), da para todo \(y\in F\)
\[ \Psi_{E,F}\bigl(\Psi_{F,E}(y)\bigr)=y. \]
Así \(\Psi_{F,E}\) es simultáneamente inversa por la izquierda y por la derecha de \(\Psi_{E,F}\). Por Teorema 0.6.7 — Caracterización de las funciones invertibles, \(\Psi_{E,F}\) es biyectiva, y la notación de función inversa activada en Notación 0.6.8 — Función inversa permite escribir
\[ \Psi_{E,F}^{-1}=\Psi_{F,E}. \]
∎
Con esto, \(\Psi_{E,F}\) es ya un isomorfismo de órdenes entre las dos completaciones. La construcción depende únicamente de sus trazas racionales y la función inversa no requiere una definición adicional: es el mismo transporte con los cuerpos intercambiados.
Aún no hemos demostrado que este isomorfismo de órdenes sea un isomorfismo de cuerpos. Ése será el trabajo de §12.6: probar que el transporte respeta primero la suma y los elementos distinguidos, y después el producto y los inversos, utilizando la caracterización racional de cada operación.
12.6. Preservación de las operaciones
La sección anterior estableció que
\[ \Psi_{E,F}:E\longrightarrow F \]
es una biyección que preserva y refleja exactamente el orden. Falta demostrar que la reconstrucción por trazas racionales conserva también la estructura algebraica.
No introduciremos una segunda construcción del transporte ni apelaremos a la unicidad que corresponde a §12.7. La idea será más interna. Las operaciones de un cuerpo ordenado completo pueden leerse a partir de la posición de sus resultados respecto de la copia racional densa. Si dos elementos poseen la misma traza racional inferior, §12.5 ya nos permite concluir que son iguales.
Comenzaremos verificando que el transporte fija la copia racional canónica. Después describiremos la traza de una suma exclusivamente mediante las trazas de los sumandos. Para el producto será necesario aislar primero el cono no negativo, donde la multiplicación es monótona; los signos permitirán extender luego el resultado a todo el cuerpo.
Lema 12.6.1 — Traza de un racional canónico
Sea \(G\) un cuerpo ordenado y sea \(q\in\mathbb Q\). Entonces
\[ \boxed{ L_G\bigl(\jmath_{\mathbb Q}^{G}(q)\bigr)=\delta_q. } \]
Demostración.
Sea \(r\in\mathbb Q\). Por Definición 12.4.1 — Traza racional inferior de un elemento,
\[ r\in L_G\bigl(\jmath_{\mathbb Q}^{G}(q)\bigr) \iff \jmath_{\mathbb Q}^{G}(r) < \jmath_{\mathbb Q}^{G}(q). \]
Como Teorema 12.2.5 — La copia racional es una incrustación de cuerpos ordenados afirma que la copia racional preserva y refleja el orden estricto,
\[ \jmath_{\mathbb Q}^{G}(r) < \jmath_{\mathbb Q}^{G}(q) \iff r<q. \]
Finalmente, por Definición 5.2.1 — Sección inferior determinada por un racional,
\[ r<q \iff r\in\delta_q. \]
Así ambos subconjuntos de \(\mathbb Q\) poseen exactamente los mismos elementos. Por extensionalidad (Teorema 0.2.4 — Criterio extensional por doble inclusión),
\[ L_G\bigl(\jmath_{\mathbb Q}^{G}(q)\bigr)=\delta_q. \]
∎
El lema identifica la traza, no los objetos. El racional \(q\), su imagen \(\jmath_{\mathbb Q}^{G}(q)\) y la cortadura \(\delta_q\) siguen perteneciendo a tipos distintos.
Proposición 12.6.2 — El transporte fija la copia racional canónica
Sean \((E,\iota_E)\) y \((F,\iota_F)\) completaciones ordenadas de \(\mathbb Q\). Para todo \(q\in\mathbb Q\),
\[ \boxed{ \Psi_{E,F}\bigl(\jmath_{\mathbb Q}^{E}(q)\bigr) = \jmath_{\mathbb Q}^{F}(q). } \]
Equivalentemente,
\[ \boxed{ \Psi_{E,F}\circ\iota_E=\iota_F. } \]
Demostración.
Fijemos \(q\in\mathbb Q\). Por Teorema 12.4.5 — El transporte reconstruye exactamente la misma traza racional,
\[ L_F\!\left( \Psi_{E,F}\bigl(\jmath_{\mathbb Q}^{E}(q)\bigr) \right) = L_E\bigl(\jmath_{\mathbb Q}^{E}(q)\bigr). \]
Aplicando Lema 12.6.1 — Traza de un racional canónico primero en \(E\) y después en \(F\),
\[ L_E\bigl(\jmath_{\mathbb Q}^{E}(q)\bigr) = \delta_q = L_F\bigl(\jmath_{\mathbb Q}^{F}(q)\bigr). \]
Por tanto,
\[ L_F\!\left( \Psi_{E,F}\bigl(\jmath_{\mathbb Q}^{E}(q)\bigr) \right) = L_F\bigl(\jmath_{\mathbb Q}^{F}(q)\bigr). \]
Como \(F\) es completo, Teorema 4.6.3 — Todo cuerpo ordenado completo es arquimediano implica que es arquimediano. La igualdad de trazas da las dos inclusiones, y Proposición 12.5.1 — La inclusión de trazas racionales caracteriza el orden las convierte en las dos desigualdades opuestas entre los elementos de \(F\). Por antisimetría,
\[ \Psi_{E,F}\bigl(\jmath_{\mathbb Q}^{E}(q)\bigr) = \jmath_{\mathbb Q}^{F}(q). \]
Finalmente, Corolario 12.2.9 — La copia racional de toda completación es la copia canónica identifica las incrustaciones que forman parte de las completaciones con las copias canónicas:
\[ \iota_E=\jmath_{\mathbb Q}^{E}, \qquad \iota_F=\jmath_{\mathbb Q}^{F}. \]
La igualdad anterior es entonces exactamente
\[ \Psi_{E,F}\circ\iota_E=\iota_F. \]
∎
No se ha identificado \(\mathbb Q\) con un subconjunto literal de ninguno de los dos cuerpos. El transporte conmuta con dos funciones explícitamente construidas.
Lema 12.6.3 — Caracterización racional de la suma
Sea \(G\) un cuerpo ordenado arquimediano y sean \(x,y\in G\). Para todo \(q\in\mathbb Q\),
\[ \boxed{ q\in L_G(x+y) \iff \exists r,s\in\mathbb Q\; \bigl( r\in L_G(x) \land s\in L_G(y) \land q<r+s \bigr). } \]
Demostración.
Supongamos primero
\[ q\in L_G(x+y). \]
Por definición,
\[ \jmath_{\mathbb Q}^{G}(q)<x+y. \]
Trasladando términos en el grupo aditivo de \(G\),
\[ \jmath_{\mathbb Q}^{G}(q)-y<x. \]
Como \(G\) es arquimediano, Teorema 12.3.1 — Densidad de la copia racional canónica en un cuerpo arquimediano proporciona un racional \(r\) tal que
\[ \jmath_{\mathbb Q}^{G}(q)-y < \jmath_{\mathbb Q}^{G}(r) < x. \]
La segunda desigualdad significa
\[ r\in L_G(x). \]
De la primera, trasladando de nuevo,
\[ \jmath_{\mathbb Q}^{G}(q) - \jmath_{\mathbb Q}^{G}(r) < y. \]
Aplicamos otra vez la densidad racional. Existe \(s\in\mathbb Q\) con
\[ \jmath_{\mathbb Q}^{G}(q) - \jmath_{\mathbb Q}^{G}(r) < \jmath_{\mathbb Q}^{G}(s) < y. \]
Así \(s\in L_G(y)\) y
\[ \jmath_{\mathbb Q}^{G}(q) < \jmath_{\mathbb Q}^{G}(r) + \jmath_{\mathbb Q}^{G}(s). \]
Por la compatibilidad aditiva de Proposición 12.2.4 — Compatibilidad algebraica de la copia racional, el miembro derecho es
\[ \jmath_{\mathbb Q}^{G}(r+s). \]
Reflejando el orden mediante Teorema 12.2.5 — La copia racional es una incrustación de cuerpos ordenados, obtenemos
\[ q<r+s. \]
Esto prueba la implicación directa.
Recíprocamente, supongamos que existen \(r,s\in\mathbb Q\) tales que
\[ r\in L_G(x), \qquad s\in L_G(y), \qquad q<r+s. \]
Entonces
\[ \jmath_{\mathbb Q}^{G}(r)<x, \qquad \jmath_{\mathbb Q}^{G}(s)<y. \]
La compatibilidad del orden con la suma da
\[ \jmath_{\mathbb Q}^{G}(r) + \jmath_{\mathbb Q}^{G}(s) < x+y. \]
Además, \(q<r+s\) y Teorema 12.2.5 — La copia racional es una incrustación de cuerpos ordenados implican
\[ \jmath_{\mathbb Q}^{G}(q) < \jmath_{\mathbb Q}^{G}(r+s) = \jmath_{\mathbb Q}^{G}(r) + \jmath_{\mathbb Q}^{G}(s). \]
Por transitividad,
\[ \jmath_{\mathbb Q}^{G}(q)<x+y, \]
es decir,
\[ q\in L_G(x+y). \]
∎
Teorema 12.6.4 — El transporte preserva la suma
Sean \((E,\iota_E)\) y \((F,\iota_F)\) completaciones ordenadas de \(\mathbb Q\). Para todos \(x,y\in E\),
\[ \boxed{ \Psi_{E,F}(x+y) = \Psi_{E,F}(x)+\Psi_{E,F}(y). } \]
Demostración.
Como \(E\) y \(F\) son completos, Teorema 4.6.3 — Todo cuerpo ordenado completo es arquimediano implica que ambos son arquimedianos. Fijemos \(x,y\in E\).
Por Teorema 12.4.5 — El transporte reconstruye exactamente la misma traza racional,
\[ L_F\bigl(\Psi_{E,F}(x)\bigr)=L_E(x), \qquad L_F\bigl(\Psi_{E,F}(y)\bigr)=L_E(y), \]
y también
\[ L_F\bigl(\Psi_{E,F}(x+y)\bigr)=L_E(x+y). \]
Sea \(q\in\mathbb Q\). Aplicando Lema 12.6.3 — Caracterización racional de la suma en \(E\),
\[ \begin{aligned} q\in L_E(x+y) \iff{}& \exists r,s\in\mathbb Q\;( r\in L_E(x)\land s\in L_E(y)\land q<r+s). \end{aligned} \]
Sustituyendo las dos identidades de trazas,
\[ \begin{aligned} q\in L_E(x+y) \iff{}& \exists r,s\in\mathbb Q\;( r\in L_F(\Psi_{E,F}(x))\land\\ &\hspace{33mm} s\in L_F(\Psi_{E,F}(y))\land q<r+s). \end{aligned} \]
Aplicando ahora Lema 12.6.3 — Caracterización racional de la suma en \(F\), el miembro derecho equivale a
\[ q\in L_F\bigl( \Psi_{E,F}(x)+\Psi_{E,F}(y) \bigr). \]
Por tanto, para todo \(q\in\mathbb Q\),
\[ q\in L_F\bigl(\Psi_{E,F}(x+y)\bigr) \iff q\in L_F\bigl( \Psi_{E,F}(x)+\Psi_{E,F}(y) \bigr). \]
La extensionalidad da igualdad de las dos trazas. Como \(F\) es arquimediano, Proposición 12.5.1 — La inclusión de trazas racionales caracteriza el orden transforma esa igualdad en las dos desigualdades opuestas entre los elementos correspondientes; por antisimetría,
\[ \Psi_{E,F}(x+y) = \Psi_{E,F}(x)+\Psi_{E,F}(y). \]
∎
Corolario 12.6.5 — Cero, opuesto y sustracción
Para toda pareja de completaciones ordenadas \((E,\iota_E)\) y \((F,\iota_F)\) y todo \(x,y\in E\),
\[ \boxed{ \Psi_{E,F}(0_E)=0_F, } \]
\[ \boxed{ \Psi_{E,F}(-x)=-\Psi_{E,F}(x), } \]
y
\[ \boxed{ \Psi_{E,F}(x-y) = \Psi_{E,F}(x)-\Psi_{E,F}(y). } \]
Demostración.
Por Proposición 12.6.2 — El transporte fija la copia racional canónica aplicado a \(0_{\mathbb Q}\),
\[ \Psi_{E,F}\bigl(\jmath_{\mathbb Q}^{E}(0_{\mathbb Q})\bigr) = \jmath_{\mathbb Q}^{F}(0_{\mathbb Q}). \]
Proposición 12.2.4 — Compatibilidad algebraica de la copia racional identifica los dos miembros con \(\Psi_{E,F}(0_E)\) y \(0_F\), respectivamente. Luego
\[ \Psi_{E,F}(0_E)=0_F. \]
Para el opuesto, Teorema 12.6.4 — El transporte preserva la suma da
\[ \begin{aligned} 0_F &=\Psi_{E,F}(0_E)\\ &=\Psi_{E,F}(x+(-x))\\ &=\Psi_{E,F}(x)+\Psi_{E,F}(-x). \end{aligned} \]
Por unicidad del inverso aditivo en el cuerpo \(F\),
\[ \Psi_{E,F}(-x)=-\Psi_{E,F}(x). \]
Finalmente,
\[ \begin{aligned} \Psi_{E,F}(x-y) &=\Psi_{E,F}(x+(-y))\\ &=\Psi_{E,F}(x)+\Psi_{E,F}(-y)\\ &=\Psi_{E,F}(x)-\Psi_{E,F}(y). \end{aligned} \]
∎
Lema 12.6.6 — Caracterización racional del producto no negativo
Sea \(G\) un cuerpo ordenado arquimediano y sean \(x,y\in G\) tales que
\[ 0_G\le x, \qquad 0_G\le y. \]
Para todo \(q\in\mathbb Q\),
\[ \boxed{ \begin{aligned} q\in L_G(xy) \iff{}& q<0_{\mathbb Q}\\ &\text{o bien existe }r,s\in\mathbb Q\text{ tales que}\\ &0_{\mathbb Q}<r, \quad 0_{\mathbb Q}<s, \quad r\in L_G(x), \quad s\in L_G(y), \quad q<rs. \end{aligned} } \]
Demostración.
Supongamos primero
\[ q\in L_G(xy), \]
es decir,
\[ \jmath_{\mathbb Q}^{G}(q)<xy. \]
Si \(q<0_{\mathbb Q}\), estamos en la primera alternativa.
Supongamos entonces
\[ 0_{\mathbb Q}\le q. \]
Teorema 12.2.5 — La copia racional es una incrustación de cuerpos ordenados implica
\[ 0_G \le \jmath_{\mathbb Q}^{G}(q) <xy, \]
de modo que \(xy>0_G\). Como \(x,y\ge0_G\), ninguno de los dos puede ser cero; por totalidad,
\[ 0_G<x, \qquad 0_G<y. \]
El inverso de \(y\) es positivo por Lema 4.1.3 — Cálculo elemental de signos en un cuerpo ordenado. Multiplicando
\[ \jmath_{\mathbb Q}^{G}(q)<xy \]
por \(y^{-1}>0_G\), obtenemos
\[ \jmath_{\mathbb Q}^{G}(q)y^{-1}<x. \]
Además,
\[ 0_G\le \jmath_{\mathbb Q}^{G}(q)y^{-1}. \]
La densidad racional Teorema 12.3.1 — Densidad de la copia racional canónica en un cuerpo arquimediano proporciona \(r\in\mathbb Q\) tal que
\[ \jmath_{\mathbb Q}^{G}(q)y^{-1} < \jmath_{\mathbb Q}^{G}(r) < x. \]
Como el extremo izquierdo es no negativo,
\[ 0_G<\jmath_{\mathbb Q}^{G}(r), \]
y Teorema 12.2.5 — La copia racional es una incrustación de cuerpos ordenados refleja esto como
\[ 0_{\mathbb Q}<r. \]
Además \(r\in L_G(x)\). Multiplicando la primera desigualdad por \(y>0_G\),
\[ \jmath_{\mathbb Q}^{G}(q) < \jmath_{\mathbb Q}^{G}(r)y. \]
Como \(\jmath_{\mathbb Q}^{G}(r)>0_G\), su inverso es positivo. Multiplicando por él,
\[ \jmath_{\mathbb Q}^{G}(q) \bigl(\jmath_{\mathbb Q}^{G}(r)\bigr)^{-1} < y. \]
El miembro izquierdo es no negativo. Aplicamos de nuevo la densidad racional y obtenemos \(s\in\mathbb Q\) con
\[ \jmath_{\mathbb Q}^{G}(q) \bigl(\jmath_{\mathbb Q}^{G}(r)\bigr)^{-1} < \jmath_{\mathbb Q}^{G}(s) < y. \]
Entonces
\[ 0_{\mathbb Q}<s, \qquad s\in L_G(y). \]
Multiplicando la primera desigualdad por \(\jmath_{\mathbb Q}^{G}(r)>0_G\),
\[ \jmath_{\mathbb Q}^{G}(q) < \jmath_{\mathbb Q}^{G}(r) \jmath_{\mathbb Q}^{G}(s). \]
Por Proposición 12.2.4 — Compatibilidad algebraica de la copia racional,
\[ \jmath_{\mathbb Q}^{G}(r) \jmath_{\mathbb Q}^{G}(s) = \jmath_{\mathbb Q}^{G}(rs). \]
La reflexión del orden de Teorema 12.2.5 — La copia racional es una incrustación de cuerpos ordenados da
\[ q<rs. \]
Hemos obtenido la segunda alternativa.
Recíprocamente, supongamos primero \(q<0_{\mathbb Q}\). Como \(x,y\ge0_G\), el cálculo de signos de Lema 4.1.3 — Cálculo elemental de signos en un cuerpo ordenado da
\[ 0_G\le xy. \]
Por Teorema 12.2.5 — La copia racional es una incrustación de cuerpos ordenados,
\[ \jmath_{\mathbb Q}^{G}(q)<0_G\le xy, \]
y por tanto \(q\in L_G(xy)\).
Queda la segunda alternativa. Supongamos que existen \(r,s\in\mathbb Q\) tales que
\[ 0_{\mathbb Q}<r, \quad 0_{\mathbb Q}<s, \quad r\in L_G(x), \quad s\in L_G(y), \quad q<rs. \]
Entonces
\[ 0_G<\jmath_{\mathbb Q}^{G}(r)<x, \qquad 0_G<\jmath_{\mathbb Q}^{G}(s)<y. \]
Como \(0_G<\jmath_{\mathbb Q}^{G}(s)\) y \(\jmath_{\mathbb Q}^{G}(r)<x\),
\[ \jmath_{\mathbb Q}^{G}(r) \jmath_{\mathbb Q}^{G}(s) < x\jmath_{\mathbb Q}^{G}(s). \]
Además \(x>0_G\) y \(\jmath_{\mathbb Q}^{G}(s)<y\), luego
\[ x\jmath_{\mathbb Q}^{G}(s)<xy. \]
Por transitividad,
\[ \jmath_{\mathbb Q}^{G}(r) \jmath_{\mathbb Q}^{G}(s) <xy. \]
Por otra parte,
\[ q<rs \]
implica
\[ \jmath_{\mathbb Q}^{G}(q) < \jmath_{\mathbb Q}^{G}(rs) = \jmath_{\mathbb Q}^{G}(r) \jmath_{\mathbb Q}^{G}(s). \]
Por transitividad,
\[ \jmath_{\mathbb Q}^{G}(q)<xy, \]
es decir,
\[ q\in L_G(xy). \]
∎
Teorema 12.6.7 — El transporte preserva el producto
Sean \((E,\iota_E)\) y \((F,\iota_F)\) completaciones ordenadas de \(\mathbb Q\). Para todos \(x,y\in E\),
\[ \boxed{ \Psi_{E,F}(xy) = \Psi_{E,F}(x)\Psi_{E,F}(y). } \]
Demostración.
Como \(E\) y \(F\) son completos, ambos son arquimedianos por Teorema 4.6.3 — Todo cuerpo ordenado completo es arquimediano.
Comenzamos por el caso
\[ 0_E\le x, \qquad 0_E\le y. \]
Por Corolario 12.6.5 — Cero, opuesto y sustracción y la preservación del orden de Teorema 12.5.2 — El transporte preserva y refleja el orden,
\[ 0_F\le\Psi_{E,F}(x), \qquad 0_F\le\Psi_{E,F}(y). \]
Sea \(q\in\mathbb Q\). El criterio de Lema 12.6.6 — Caracterización racional del producto no negativo aplicado en \(E\) expresa la pertenencia
\[ q\in L_E(xy) \]
exclusivamente mediante la relación \(q<0_{\mathbb Q}\) y la existencia de racionales positivos \(r,s\) pertenecientes respectivamente a \(L_E(x)\) y \(L_E(y)\) con \(q<rs\).
Pero Teorema 12.4.5 — El transporte reconstruye exactamente la misma traza racional da
\[ L_E(x)=L_F\bigl(\Psi_{E,F}(x)\bigr), \qquad L_E(y)=L_F\bigl(\Psi_{E,F}(y)\bigr). \]
Por tanto el mismo criterio, ahora aplicado en \(F\), muestra que
\[ q\in L_E(xy) \iff q\in L_F\bigl( \Psi_{E,F}(x)\Psi_{E,F}(y) \bigr). \]
Además,
\[ L_F\bigl(\Psi_{E,F}(xy)\bigr)=L_E(xy) \]
por Teorema 12.4.5 — El transporte reconstruye exactamente la misma traza racional. Como la equivalencia vale para todo racional \(q\), la extensionalidad da
\[ L_F\bigl(\Psi_{E,F}(xy)\bigr) = L_F\bigl( \Psi_{E,F}(x)\Psi_{E,F}(y) \bigr). \]
La igualdad de trazas y Proposición 12.5.1 — La inclusión de trazas racionales caracteriza el orden implican, por antisimetría,
\[ \Psi_{E,F}(xy) = \Psi_{E,F}(x)\Psi_{E,F}(y). \]
Así el producto queda preservado cuando ambos factores son no negativos.
Extendamos ahora el resultado a signos arbitrarios. Por totalidad del orden, para cada elemento vale \(0\le x\) o \(x<0\), y análogamente para \(y\).
Si \(x<0\) y \(0\le y\), entonces \(0<-x\). Usando las identidades elementales de cuerpo, Corolario 12.6.5 — Cero, opuesto y sustracción y el caso no negativo ya probado,
\[ \begin{aligned} \Psi_{E,F}(xy) &=\Psi_{E,F}\bigl(-((-x)y)\bigr)\\ &=-\Psi_{E,F}((-x)y)\\ &=-\bigl(\Psi_{E,F}(-x)\Psi_{E,F}(y)\bigr)\\ &=-\bigl((-\Psi_{E,F}(x))\Psi_{E,F}(y)\bigr)\\ &=\Psi_{E,F}(x)\Psi_{E,F}(y). \end{aligned} \]
El caso \(0\le x\) y \(y<0\) es simétrico.
Finalmente, si \(x<0\) y \(y<0\), entonces \(-x>0\) y \(-y>0\), mientras que
\[ xy=(-x)(-y). \]
Por el caso no negativo,
\[ \begin{aligned} \Psi_{E,F}(xy) &=\Psi_{E,F}((-x)(-y))\\ &=\Psi_{E,F}(-x)\Psi_{E,F}(-y)\\ &=(-\Psi_{E,F}(x))(-\Psi_{E,F}(y))\\ &=\Psi_{E,F}(x)\Psi_{E,F}(y). \end{aligned} \]
Los cuatro casos cubren todas las posibilidades. ∎
Teorema 12.6.8 — El transporte es un isomorfismo de cuerpos ordenados
Sean \((E,\iota_E)\) y \((F,\iota_F)\) completaciones ordenadas de \(\mathbb Q\). Entonces
\[ \boxed{ \Psi_{E,F}:E\longrightarrow F } \]
es un isomorfismo de cuerpos ordenados. En particular, para todos \(x,y\in E\),
\[ \boxed{ \Psi_{E,F}(0_E)=0_F, \qquad \Psi_{E,F}(1_E)=1_F, } \]
\[ \boxed{ \Psi_{E,F}(x+y) = \Psi_{E,F}(x)+\Psi_{E,F}(y), } \]
\[ \boxed{ \Psi_{E,F}(xy) = \Psi_{E,F}(x)\Psi_{E,F}(y), } \]
y
\[ \boxed{ x\le y \iff \Psi_{E,F}(x)\le\Psi_{E,F}(y). } \]
La función es biyectiva y satisface además
\[ \boxed{ \Psi_{E,F}\circ\iota_E=\iota_F. } \]
Si \(x\neq0_E\), entonces
\[ \boxed{ \Psi_{E,F}(x^{-1}) = \bigl(\Psi_{E,F}(x)\bigr)^{-1}. } \]
Demostración.
La biyectividad fue demostrada en Corolario 12.5.3 — Los transportes simétricos son inversos; la preservación y reflexión del orden, en Teorema 12.5.2 — El transporte preserva y refleja el orden; la suma, en Teorema 12.6.4 — El transporte preserva la suma; el cero y el opuesto, en Corolario 12.6.5 — Cero, opuesto y sustracción; y el producto, en Teorema 12.6.7 — El transporte preserva el producto.
La unidad se obtiene de Proposición 12.6.2 — El transporte fija la copia racional canónica aplicada a \(1_{\mathbb Q}\). En efecto,
\[ \Psi_{E,F}\bigl(\jmath_{\mathbb Q}^{E}(1_{\mathbb Q})\bigr) = \jmath_{\mathbb Q}^{F}(1_{\mathbb Q}), \]
y Proposición 12.2.4 — Compatibilidad algebraica de la copia racional convierte esta igualdad en
\[ \Psi_{E,F}(1_E)=1_F. \]
La compatibilidad con las incrustaciones racionales es exactamente la segunda afirmación de Proposición 12.6.2 — El transporte fija la copia racional canónica.
Resta el recíproco. Sea \(x\neq0_E\). Como \(\Psi_{E,F}\) es inyectiva y preserva el cero,
\[ \Psi_{E,F}(x)\neq0_F. \]
Además,
\[ xx^{-1}=1_E. \]
Aplicando la preservación del producto y de la unidad,
\[ \Psi_{E,F}(x) \Psi_{E,F}(x^{-1}) = 1_F. \]
Por unicidad del inverso multiplicativo en \(F\),
\[ \Psi_{E,F}(x^{-1}) = \bigl(\Psi_{E,F}(x)\bigr)^{-1}. \]
Así \(\Psi_{E,F}\) conserva toda la estructura de cuerpo y toda la estructura de orden, y es biyectiva. Por tanto es un isomorfismo de cuerpos ordenados. ∎
La existencia del isomorfismo abstracto entre dos completaciones queda ya establecida. A diferencia del isomorfismo concreto del Capítulo 11, aquí no hemos usado ninguna codificación particular de los elementos: toda la construcción depende únicamente de la copia racional densa, el orden y la completitud.
Falta todavía una cuestión lógica esencial. Podría existir, en principio, otro isomorfismo de cuerpos ordenados \(T:E\to F\) que también satisfaga
\[ T\circ\iota_E=\iota_F. \]
§12.7 demostrará que esto es imposible: cualquier aplicación con esas propiedades debe preservar todas las trazas racionales y, por tanto, coincidir punto por punto con \(\Psi_{E,F}\).
12.7. Unicidad
La existencia ya está resuelta: Teorema 12.6.8 — El transporte es un isomorfismo de cuerpos ordenados construyó un isomorfismo de cuerpos ordenados
\[ \Psi_{E,F}:E\longrightarrow F \]
que hace conmutar las copias racionales. Queda demostrar que esa construcción no dejó ninguna libertad residual.
El argumento de unicidad es más austero que la construcción de \(\Psi_{E,F}\). No necesitaremos volver a usar la suma, el producto ni los supremos. Bastará observar que una aplicación que preserve y refleje el orden y que envíe cada racional canónico en su correspondiente racional canónico debe conservar, para cada elemento, exactamente el mismo conjunto de racionales situados por debajo de él. Como §12.5 demostró que esa traza determina al elemento, la aplicación queda forzada punto por punto.
Proposición 12.7.1 — Una aplicación ordenada que fija los racionales preserva las trazas
Sean \(E\) y \(F\) cuerpos ordenados y sea
\[ T:E\longrightarrow F \]
una función tal que, para todos \(u,v\in E\),
\[ \boxed{ u<v\iff T(u)<T(v), } \]
y, para todo \(q\in\mathbb Q\),
\[ \boxed{ T\bigl(\jmath_{\mathbb Q}^{E}(q)\bigr) = \jmath_{\mathbb Q}^{F}(q). } \]
Entonces, para todo \(x\in E\),
\[ \boxed{ L_F(T(x))=L_E(x). } \]
Demostración.
Fijemos \(x\in E\) y \(q\in\mathbb Q\). Por la definición de traza racional inferior Definición 12.4.1 — Traza racional inferior de un elemento,
\[ q\in L_E(x) \iff \jmath_{\mathbb Q}^{E}(q)<x. \]
Como \(T\) preserva y refleja el orden estricto,
\[ \jmath_{\mathbb Q}^{E}(q)<x \iff T\bigl(\jmath_{\mathbb Q}^{E}(q)\bigr)<T(x). \]
La segunda hipótesis transforma el miembro izquierdo de la última desigualdad:
\[ T\bigl(\jmath_{\mathbb Q}^{E}(q)\bigr) = \jmath_{\mathbb Q}^{F}(q). \]
Por tanto
\[ q\in L_E(x) \iff \jmath_{\mathbb Q}^{F}(q)<T(x) \iff q\in L_F(T(x)). \]
La equivalencia vale para todo \(q\in\mathbb Q\). Por extensionalidad,
\[ L_E(x)=L_F(T(x)). \]
Esto es exactamente la afirmación. ∎
Teorema 12.7.2 — Unicidad del isomorfismo entre completaciones ordenadas
Sean
\[ (E,\iota_E) \qquad\text{y}\qquad (F,\iota_F) \]
dos completaciones ordenadas de \(\mathbb Q\). Existe un único isomorfismo de cuerpos ordenados
\[ T:E\longrightarrow F \]
que satisface
\[ \boxed{ T\circ\iota_E=\iota_F. } \]
Ese isomorfismo es precisamente
\[ \boxed{ T=\Psi_{E,F}. } \]
Aquí «isomorfismo de cuerpos ordenados» significa, de acuerdo con la infraestructura ya fijada, una incrustación de cuerpos ordenados en el sentido de Definición 4.8.1 — Incrustación de cuerpos ordenados que además es biyectiva.
Demostración.
La existencia está dada por Teorema 12.6.8 — El transporte es un isomorfismo de cuerpos ordenados: la función
\[ \Psi_{E,F}:E\to F \]
es un isomorfismo de cuerpos ordenados y satisface
\[ \Psi_{E,F}\circ\iota_E=\iota_F. \]
Probemos la unicidad. Sea
\[ T:E\longrightarrow F \]
cualquier otro isomorfismo de cuerpos ordenados tal que
\[ T\circ\iota_E=\iota_F. \]
Por Corolario 12.2.9 — La copia racional de toda completación es la copia canónica, las incrustaciones que forman parte de las completaciones coinciden con las copias racionales canónicas:
\[ \iota_E=\jmath_{\mathbb Q}^{E}, \qquad \iota_F=\jmath_{\mathbb Q}^{F}. \]
En consecuencia, para todo \(q\in\mathbb Q\),
\[ T\bigl(\jmath_{\mathbb Q}^{E}(q)\bigr) = \jmath_{\mathbb Q}^{F}(q). \]
Además, por Definición 4.8.1 — Incrustación de cuerpos ordenados, toda incrustación de cuerpos ordenados preserva y refleja el orden no estricto. Como es inyectiva, la definición del orden estricto asociado implica también, para todos \(u,v\in E\),
\[ u<v \iff T(u)<T(v). \]
Podemos aplicar Proposición 12.7.1 — Una aplicación ordenada que fija los racionales preserva las trazas. Para cada \(x\in E\) obtenemos
\[ \boxed{ L_F(T(x))=L_E(x). } \]
Por otra parte, la propiedad característica del transporte canónico Teorema 12.4.5 — El transporte reconstruye exactamente la misma traza racional da
\[ \boxed{ L_F\bigl(\Psi_{E,F}(x)\bigr)=L_E(x). } \]
Luego
\[ L_F(T(x)) = L_F\bigl(\Psi_{E,F}(x)\bigr). \]
Como \(F\) es completo, Teorema 4.6.3 — Todo cuerpo ordenado completo es arquimediano implica que es arquimediano. Podemos aplicar Proposición 12.5.1 — La inclusión de trazas racionales caracteriza el orden en \(F\). La igualdad de trazas contiene ambas inclusiones, por lo que obtenemos simultáneamente
\[ T(x)\le \Psi_{E,F}(x) \]
y
\[ \Psi_{E,F}(x)\le T(x). \]
La antisimetría del orden de \(F\) da
\[ T(x)=\Psi_{E,F}(x). \]
Esto vale para todo \(x\in E\). Como \(T\) y \(\Psi_{E,F}\) tienen el mismo dominio y el mismo codominio, el criterio de igualdad de funciones Proposición 0.6.3 — Criterio de igualdad de funciones produce
\[ \boxed{ T=\Psi_{E,F}. } \]
Por tanto existe exactamente un isomorfismo de cuerpos ordenados entre las dos completaciones que hace conmutar las copias de \(\mathbb Q\). ∎
Rigidez sobre \(\mathbb Q\). Tomando \(E=F\), el mismo argumento da inmediatamente: \[ \boxed{ T:E\to E,\quad T\circ\iota_E=\iota_E \Longrightarrow T=\operatorname{id}_E. } \] Es decir, una completación ordenada no posee automorfismos ordenados no triviales que fijen su copia racional canónica. Esta rigidez expresa una forma especialmente fuerte de canonicidad estructural; no afirma decidibilidad ni computabilidad del transporte.
El resultado completa la parte de unicidad prometida por el capítulo. La palabra «los reales» ya no designa una codificación privilegiada: cualquier completación ordenada de \(\mathbb Q\) posee exactamente la misma estructura, hasta el único isomorfismo compatible con la copia racional.
Todavía falta formular esta conclusión como un teorema de caracterización autónomo. §12.8 reunirá existencia y unicidad en una forma abstracta que permita reconocer a los números reales sin mencionar ni cortaduras de Dedekind ni sucesiones de Cauchy.
12.8. Teorema de caracterización
La construcción abstracta está terminada. Ya no queda por fabricar ninguna operación, ningún orden ni ningún transporte nuevo. Lo que resta es reunir en una sola afirmación las dos partes lógicamente distintas del problema:
- existencia: hay al menos una completación ordenada de \(\mathbb Q\);
- unicidad estructural: cualesquiera dos completaciones están unidas por un único isomorfismo de cuerpos ordenados compatible con sus copias racionales.
La primera parte fue obtenida concretamente mediante el modelo de Dedekind. La segunda es exactamente el contenido de §12.7. Su combinación permite formular por fin la caracterización que estaba detrás de toda la Parte I.
Teorema 12.8.1 — Existencia y caracterización única de la completación ordenada de \(\mathbb Q\)
Existe una completación ordenada de \(\mathbb Q\). Más precisamente,
\[ \boxed{ (\mathbb R_D,\iota_D) \text{ es una completación ordenada de }\mathbb Q. } \]
Además, si \((E,\iota_E)\) es cualquier completación ordenada de \(\mathbb Q\), existe un único isomorfismo de cuerpos ordenados
\[ \Theta_E:E\longrightarrow\mathbb R_D \]
que satisface
\[ \boxed{ \Theta_E\circ\iota_E=\iota_D. } \]
Ese único isomorfismo es el transporte canónico construido a partir de las trazas racionales:
\[ \boxed{ \Theta_E=\Psi_{E,\mathbb R_D}. } \]
Equivalentemente: la clase de las completaciones ordenadas de \(\mathbb Q\) es no vacía y cualesquiera dos de sus miembros son isomorfos mediante un único isomorfismo de cuerpos ordenados que hace conmutar las correspondientes incrustaciones de \(\mathbb Q\).
Demostración.
La existencia ya fue demostrada en Proposición 7.5.3 — El modelo de Dedekind es una completación ordenada de \(\mathbb Q\), que establece que
\[ (\mathbb R_D,\iota_D) \]
es una completación ordenada de \(\mathbb Q\) en el sentido de Definición 4.8.2 — Completación ordenada de \(\mathbb Q\).
Sea ahora \((E,\iota_E)\) una completación ordenada arbitraria. Podemos aplicar Teorema 12.7.2 — Unicidad del isomorfismo entre completaciones ordenadas a las dos completaciones
\[ (E,\iota_E) \qquad\text{y}\qquad (\mathbb R_D,\iota_D). \]
El teorema produce un único isomorfismo de cuerpos ordenados
\[ \Theta_E:E\longrightarrow\mathbb R_D \]
tal que
\[ \Theta_E\circ\iota_E=\iota_D, \]
y afirma además que ese isomorfismo coincide con el transporte canónico:
\[ \Theta_E=\Psi_{E,\mathbb R_D}. \]
Como \(E\) era arbitrario, toda completación ordenada es estructuralmente idéntica al modelo de Dedekind en el sentido preciso de un único isomorfismo compatible con \(\mathbb Q\).
La formulación equivalente para dos completaciones arbitrarias es precisamente Teorema 12.7.2 — Unicidad del isomorfismo entre completaciones ordenadas. ∎
El teorema anterior caracteriza primero una completación de \(\mathbb Q\). Pero la arquitectura inicial del tratado formulaba la meta de manera ligeramente distinta, hablando de un cuerpo ordenado completo arquimediano. A esta altura podemos eliminar esa redundancia.
Corolario 12.8.2 — Todo cuerpo ordenado completo realiza la completación única
Sea \(E\) un cuerpo ordenado completo. Entonces su copia racional canónica
\[ \jmath_{\mathbb Q}^{E}:\mathbb Q\longrightarrow E \]
convierte a
\[ \boxed{ (E,\jmath_{\mathbb Q}^{E}) } \]
en una completación ordenada de \(\mathbb Q\). En consecuencia, existe un único isomorfismo de cuerpos ordenados
\[ \boxed{ \Theta_E:E\longrightarrow\mathbb R_D } \]
que satisface
\[ \boxed{ \Theta_E\circ\jmath_{\mathbb Q}^{E}=\iota_D. } \]
Además, \(E\) es arquimediano. Por tanto, la arquimedianidad no necesita imponerse como hipótesis independiente en el teorema de caracterización: se sigue de la completitud.
Demostración.
Como \(E\) es un cuerpo ordenado, Teorema 12.2.5 — La copia racional es una incrustación de cuerpos ordenados garantiza que
\[ \jmath_{\mathbb Q}^{E}:\mathbb Q\to E \]
es una incrustación de cuerpos ordenados. Por hipótesis, \(E\) es completo. En virtud de Definición 4.8.2 — Completación ordenada de \(\mathbb Q\), el par
\[ (E,\jmath_{\mathbb Q}^{E}) \]
es entonces una completación ordenada de \(\mathbb Q\).
Aplicando Teorema 12.8.1 — Existencia y caracterización única de la completación ordenada de \(\mathbb Q\), existe un único isomorfismo de cuerpos ordenados
\[ \Theta_E:E\to\mathbb R_D \]
con
\[ \Theta_E\circ\jmath_{\mathbb Q}^{E}=\iota_D. \]
Finalmente, Teorema 4.6.3 — Todo cuerpo ordenado completo es arquimediano afirma que todo cuerpo ordenado completo es arquimediano. No es, pues, necesario añadir la arquimedianidad como una tercera hipótesis independiente. ∎
Este corolario da la forma intrínseca de la caracterización: una vez fijadas las operaciones, el orden total compatible y la propiedad del supremo, no queda libertad estructural. La copia de \(\mathbb Q\) tampoco es un dato adicional arbitrario, pues §12.2 demostró que es canónica.
Corolario 12.8.3 — El isomorfismo concreto de Cauchy–Dedekind es el transporte canónico
El isomorfismo
\[ \Phi:\mathbb R_C\longrightarrow\mathbb R_D \]
construido explícitamente en el Capítulo 11 coincide con el transporte abstracto determinado por trazas racionales:
\[ \boxed{ \Phi=\Psi_{\mathbb R_C,\mathbb R_D}. } \]
Demostración.
Proposición 10.6.1 — \((\mathbb R_C,\iota_C)\) es una completación ordenada de \(\mathbb Q\) y Proposición 7.5.3 — El modelo de Dedekind es una completación ordenada de \(\mathbb Q\) muestran respectivamente que
\[ (\mathbb R_C,\iota_C) \qquad\text{y}\qquad (\mathbb R_D,\iota_D) \]
son completaciones ordenadas de \(\mathbb Q\).
Por Teorema 11.9.4 — Isomorfismo canónico entre las completaciones de Cauchy y Dedekind, la función \(\Phi\) es un isomorfismo de cuerpos ordenados y satisface
\[ \Phi\circ\iota_C=\iota_D. \]
Pero Teorema 12.7.2 — Unicidad del isomorfismo entre completaciones ordenadas afirma que entre esas dos completaciones existe exactamente un isomorfismo con esa propiedad, y que dicho isomorfismo es
\[ \Psi_{\mathbb R_C,\mathbb R_D}. \]
Por unicidad,
\[ \Phi=\Psi_{\mathbb R_C,\mathbb R_D}. \]
∎
El corolario cierra el círculo entre los dos niveles del tratado. El Capítulo 11 produjo un isomorfismo mediante las codificaciones concretas de Cauchy y Dedekind; el Capítulo 12 demuestra que, una vez olvidadas esas codificaciones, ese isomorfismo no podía ser otro.
El problema de existencia y unicidad está, por tanto, resuelto. Podemos fijar ahora la convención estructural que cerrará la Parte I.
12.9. Qué significa \(\mathbb R\) a partir de ahora
Las construcciones de Dedekind y Cauchy dieron dos conjuntos distintos,
\[ \mathbb R_D \qquad\text{y}\qquad \mathbb R_C, \]
y el Capítulo 11 construyó entre ellos un isomorfismo explícito. El presente capítulo ha demostrado algo más fuerte: cualquier completación ordenada de \(\mathbb Q\) está unida a cualquier otra por un único isomorfismo de cuerpos ordenados compatible con la copia racional.
Por tanto no escribiremos
\[ \mathbb R_D=\mathbb R_C. \]
Esa igualdad conjuntista es falsa en las realizaciones construidas.
La conclusión correcta es estructural:
\[ \boxed{ (\mathbb R_D,\iota_D) \cong (\mathbb R_C,\iota_C) } \]
y, más generalmente,
\[ \boxed{ \text{toda completación ordenada de }\mathbb Q \text{ es única hasta único isomorfismo sobre }\mathbb Q. } \]
Desde este punto, el símbolo
\[ \boxed{\mathbb R} \]
podrá utilizarse para hablar de la estructura de cuerpo ordenado completo que completa a \(\mathbb Q\), sin comprometer el argumento con una codificación particular. Cuando una construcción o una afirmación dependa del conjunto subyacente, de representantes concretos o de la forma de codificación, mantendremos las notaciones
\[ \mathbb R_D, \qquad \mathbb R_C. \]
En los desarrollos estructurales posteriores podremos fijar una realización de \(\mathbb R\) y transportar resultados a cualquier otra mediante el único isomorfismo compatible con \(\mathbb Q\).
Esta convención no identifica cuatro nociones diferentes:
\[ \boxed{ \text{igualdad conjuntista} \neq \text{isomorfía} \neq \text{único isomorfismo sobre }\mathbb Q \neq \text{equivalencia computable de presentaciones}. } \]
La tercera afirmación es la que hemos demostrado en este capítulo. La cuarta pertenece a una capa adicional: para convertir efectivamente nombres de Cauchy, cortaduras localizadas u otras representaciones se necesitan datos intensionales y teoremas de computabilidad específicos.
Del mismo modo,
\[ \boxed{ \text{canónico por unicidad} \neq \text{computable}. } \]
El transporte
\[ \Psi_{E,F} \]
está matemáticamente determinado de manera única, pero su definición mediante trazas y supremos no constituye, por sí sola, un algoritmo uniforme sobre presentaciones arbitrarias de \(E\) y \(F\).
Cierre fundacional. Toda la Parte I se desarrolla en ZF con lógica clásica. Ninguna de las construcciones de los reales, de sus operaciones, de las comparaciones Dedekind–Cauchy o del teorema de unicidad estructural ha requerido AC, \(AC_\omega\), DC o Zorn. La ausencia de Choice no se confunde con constructividad: los usos clásicos relevantes han quedado registrados en los nodos donde realmente intervienen.
Podemos condensar el resultado de toda la Parte I en la cadena
\[ \boxed{ \mathbb Q \longrightarrow \begin{cases} \mathbb R_D,\\ \mathbb R_C, \end{cases} \longrightarrow \text{cuerpo ordenado completo} \longrightarrow \text{unicidad hasta único isomorfismo sobre }\mathbb Q. } \]
La construcción conjuntista ha terminado. A partir de aquí, el tratado puede estudiar análisis real sobre \(\mathbb R\) distinguiendo, cuando sea necesario, la estructura matemática del modo concreto de representar sus elementos.
\[ \boxed{ \text{FIN DE LA PARTE I — FUNDAMENTOS Y CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES} } \]