Tratado de análisis — Capítulo 13 — Sucesiones reales
Capítulo 13 — Sucesiones reales
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Parte II — Núcleo del análisis real
13.0. De la construcción de los reales al análisis sobre los reales
La Parte I respondió una pregunta fundacional:
\[ \boxed{\text{¿qué son los números reales y por qué podemos trabajar con ellos?}} \]
Construimos dos realizaciones distintas de la completación de \(\mathbb Q\), demostramos su equivalencia mediante un isomorfismo explícito y probamos finalmente que toda completación ordenada de \(\mathbb Q\) es única hasta único isomorfismo de cuerpos ordenados compatible con la copia racional.
El problema cambia ahora de naturaleza. Ya no necesitamos fabricar nuevos números. Disponemos de un cuerpo ordenado completo y queremos estudiar procesos que evolucionan dentro de él.
El primero de esos procesos será una sucesión.
En el Capítulo 8 las sucesiones aparecieron con una finalidad constructiva: una sucesión racional servía como nombre aproximativo a partir del cual podía construirse el modelo de Cauchy. Aquí la dirección se invierte. Los reales ya están construidos; una sucesión real será un objeto del análisis realizado sobre ellos.
La transición es, por tanto,
\[ \boxed{ \text{sucesiones para construir }\mathbb R \quad\longrightarrow\quad \text{sucesiones dentro de }\mathbb R. } \]
Esta diferencia impide simplemente declarar que el Capítulo 13 es una repetición del Capítulo 8. Una sucesión racional tiene codominio \(\mathbb Q\); una sucesión real tendrá codominio \(\mathbb R\). Además, la completitud que faltaba en el Capítulo 8 está ahora disponible y se convertirá en una herramienta matemática central: permitirá transformar ciertas formas de control —monotonía y acotación, o la condición de Cauchy— en existencia de límites reales.
Conforme a §12.9, durante la Parte II fijamos una realización de trabajo de la completación ordenada de \(\mathbb Q\) y la denotamos por
\[ \mathbb R. \]
Podemos tomar explícitamente como realización el modelo de Dedekind ya construido; ningún argumento de este capítulo utilizará, sin embargo, la codificación de sus elementos como cortaduras. Todo resultado formulado exclusivamente en términos de la estructura de cuerpo ordenado completo se transporta a cualquier otra realización por el único isomorfismo compatible con la copia racional.
Esta fijación no introduce una nueva identificación conjuntista:
\[ \mathbb R_D\neq\mathbb R_C \]
como conjuntos en las realizaciones construidas. La letra \(\mathbb R\) designa desde aquí una realización de la estructura cuya unicidad fue demostrada en Teorema 12.8.1 — Existencia y caracterización única de la completación ordenada de \(\mathbb Q\).
El objetivo del capítulo es construir gradualmente la cadena
\[ \boxed{ \text{sucesión} \longrightarrow \text{convergencia} \longrightarrow \text{monotonía y completitud} \longrightarrow \text{Cauchy} \longrightarrow \text{subsucesiones} \longrightarrow \text{Bolzano--Weierstrass}. } \]
Comenzamos por el objeto más elemental, antes de atribuirle cualquier comportamiento asintótico.
13.1. Sucesiones como funciones
Definición 13.1.1 — Sucesión real
Una sucesión real es una función
\[ \boxed{ a:\mathbb N\longrightarrow\mathbb R. } \]
El conjunto de todas las sucesiones reales es, por tanto,
\[ \boxed{ \mathbb R^{\mathbb N}. } \]
Su existencia como conjunto es una instancia de Proposición 0.6.12 — Existencia de \(B^A\), aplicada a los conjuntos \(\mathbb N\) y \(\mathbb R\).
Como una sucesión es una familia indexada, utilizaremos la notación general ya fijada en Definición 0.6.16 — Familia indexada:
\[ a=(a_n)_{n\in\mathbb N}, \qquad a_n:=a(n). \]
No introducimos una convención notacional nueva. Cuando el conjunto de índices sea inequívoco escribiremos también, de manera abreviada,
\[ (a_n). \]
La definición obliga a distinguir tres objetos:
\[ \boxed{ a, \qquad a_n, \qquad \{a_n:n\in\mathbb N\}. } \]
Aquí \(a\) es una función, \(a_n\) es un número real y \(\{a_n:n\in\mathbb N\}\) es el recorrido de la sucesión. Una sucesión no queda determinada únicamente por su recorrido: el índice forma parte de su estructura. El orden en que aparecen los términos y sus posibles repeticiones son datos matemáticos del objeto.
Lectura conceptual. Una sucesión no es todavía un límite ni una aproximación. La definición sólo organiza una familia numerable de reales. Palabras como «se acerca», «tiende» o «se estabiliza» adquirirán contenido matemático únicamente después de introducir cuantificadores que expresen qué ocurre para índices suficientemente grandes.
Nota fundacional. Al igual que en el Capítulo 8, la sucesión es un objeto extensional. La existencia de una función \(a:\mathbb N\to\mathbb R\) no afirma que exista un algoritmo que calcule \(a_n\) a partir de \(n\). No confundiremos existencia conjuntista, especificación matemática y computabilidad.
Proposición 13.1.2 — Criterio término a término para la igualdad de sucesiones reales
Sean
\[ a=(a_n)_{n\in\mathbb N}, \qquad b=(b_n)_{n\in\mathbb N} \]
sucesiones reales. Entonces
\[ \boxed{ a=b \iff \forall n\in\mathbb N,\;a_n=b_n. } \]
Demostración.
Si \(a=b\), entonces para cada \(n\in\mathbb N\) la sustitución de iguales produce
\[ a(n)=b(n), \]
y por tanto
\[ a_n=b_n. \]
Recíprocamente, supongamos
\[ \forall n\in\mathbb N, \qquad a_n=b_n. \]
Sean \(G_a\) y \(G_b\) los grafos de \(a\) y \(b\). Mostraremos
\[ G_a=G_b. \]
Sea \(p\in G_a\). Puesto que \(a:\mathbb N\to\mathbb R\), existen \(n\in\mathbb N\) y \(x\in\mathbb R\) tales que
\[ p=\langle n,x\rangle \]
y
\[ x=a(n)=a_n. \]
Por hipótesis,
\[ a_n=b_n=b(n), \]
de modo que
\[ \langle n,x\rangle\in G_b. \]
Así \(G_a\subseteq G_b\). Intercambiando \(a\) y \(b\) obtenemos \(G_b\subseteq G_a\); por Teorema 0.2.4 — Criterio extensional por doble inclusión,
\[ G_a=G_b. \]
Las dos funciones tienen además el mismo dominio \(\mathbb N\) y el mismo codominio \(\mathbb R\). El criterio de igualdad de funciones Proposición 0.6.3 — Criterio de igualdad de funciones da entonces
\[ a=b. \]
Queda demostrada la equivalencia. ∎
La proposición anterior será utilizada constantemente. En adelante, para demostrar una igualdad entre sucesiones podremos trabajar término a término, siempre que la igualdad obtenida valga para todo índice natural.
Definición 13.1.3 — Operaciones puntuales sobre sucesiones reales
Sean
\[ a=(a_n)_{n\in\mathbb N}, \qquad b=(b_n)_{n\in\mathbb N} \]
sucesiones reales.
Definimos su suma puntual, su opuesto puntual y su producto puntual mediante
\[ \boxed{ (a+b)_n:=a_n+b_n, } \]
\[ \boxed{ (-a)_n:=-a_n, } \]
\[ \boxed{ (ab)_n:=a_nb_n } \]
para todo \(n\in\mathbb N\). La sustracción se define por
\[ \boxed{ a-b:=a+(-b), } \]
y satisface
\[ \boxed{ (a-b)_n=a_n-b_n. } \]
Debemos verificar que estas fórmulas determinan realmente sucesiones.
Para la suma, fijados \(a,b\in\mathbb R^{\mathbb N}\), consideremos
\[ G_{a+b} := \left\{ \langle n,x\rangle\in\mathbb N\times\mathbb R: x=a_n+b_n \right\}. \]
El conjunto existe por Separación. Para cada \(n\in\mathbb N\), como \(a_n,b_n\in\mathbb R\) y la suma real es una operación
\[ +_{\mathbb R}:\mathbb R\times\mathbb R\longrightarrow\mathbb R, \]
existe un único \(x\in\mathbb R\) tal que \(x=a_n+b_n\). Por Definición 0.6.1 — Función como dominio, codominio y grafo, \(G_{a+b}\) es el grafo de una función
\[ a+b:\mathbb N\longrightarrow\mathbb R. \]
El mismo argumento, usando las operaciones de opuesto y producto del cuerpo real, produce sucesiones \(-a\) y \(ab\).
Estas construcciones determinan operaciones genuinas sobre el conjunto de sucesiones. Para la suma, por ejemplo, el grafo
\[ \mathcal G_+ := \left\{ \left\langle\langle a,b\rangle,c\right\rangle \in \bigl(\mathbb R^{\mathbb N}\times\mathbb R^{\mathbb N}\bigr) \times\mathbb R^{\mathbb N}: \forall n\in\mathbb N,\;c_n=a_n+b_n \right\} \]
existe por Separación. La construcción precedente da existencia para cada par \((a,b)\) y Proposición 13.1.2 — Criterio término a término para la igualdad de sucesiones reales da unicidad. Por tanto determina una función
\[ +_{\mathrm{seq}}: \mathbb R^{\mathbb N}\times\mathbb R^{\mathbb N} \longrightarrow \mathbb R^{\mathbb N}. \]
De igual modo obtenemos
\[ -_{\mathrm{seq}}: \mathbb R^{\mathbb N}\longrightarrow\mathbb R^{\mathbb N} \]
y
\[ \cdot_{\mathrm{seq}}: \mathbb R^{\mathbb N}\times\mathbb R^{\mathbb N} \longrightarrow \mathbb R^{\mathbb N}. \]
Cuando el tipo sea inequívoco omitiremos el subíndice seq.
Principio de lectura. Las operaciones sobre sucesiones se realizan índice por índice. Esto permite heredar identidades algebraicas del cuerpo real, pero no autoriza todavía a intercambiar operaciones con límites: esa será una afirmación matemática posterior que deberá demostrarse.
Definición 13.1.4 — Sucesiones reales constantes
Sea \(c\in\mathbb R\). Definimos la sucesión real constante de valor \(c\) por
\[ \boxed{ \underline c:\mathbb N\longrightarrow\mathbb R, \qquad \underline c_n:=c \quad(n\in\mathbb N). } \]
Su grafo es
\[ G_{\underline c} := \left\{ \langle n,x\rangle\in\mathbb N\times\mathbb R: x=c \right\}, \]
que existe por Separación y determina una función \(\mathbb N\to\mathbb R\).
La asignación
\[ \boxed{ \kappa_{\mathbb R}:\mathbb R\longrightarrow\mathbb R^{\mathbb N}, \qquad \kappa_{\mathbb R}(c):=\underline c } \]
es una función. Su grafo se obtiene por Separación dentro de
\[ \mathbb R\times\mathbb R^{\mathbb N}, \]
y la unicidad de la sucesión cuyos términos son todos iguales a \(c\) se sigue de Proposición 13.1.2 — Criterio término a término para la igualdad de sucesiones reales.
La distinción de tipos seguirá siendo estricta:
\[ \boxed{ c\in\mathbb R, \qquad \underline c\in\mathbb R^{\mathbb N}. } \]
No identificaremos un número real con la sucesión constante que determina.
Proposición 13.1.5 — Compatibilidad de las sucesiones constantes con las operaciones puntuales
Para todos \(c,d\in\mathbb R\) se cumplen
\[ \boxed{ \underline c+\underline d=\underline{c+d}, } \]
\[ \boxed{ -\underline c=\underline{-c}, } \]
\[ \boxed{ \underline c\,\underline d=\underline{cd}. } \]
En consecuencia,
\[ \boxed{ \underline c-\underline d=\underline{c-d}. } \]
Demostración.
Fijemos \(n\in\mathbb N\). Por las definiciones de operación puntual y sucesión constante,
\[ (\underline c+\underline d)_n = \underline c_n+\underline d_n = c+d = \underline{c+d}_n. \]
Como esta igualdad vale para todo \(n\in\mathbb N\), Proposición 13.1.2 — Criterio término a término para la igualdad de sucesiones reales da
\[ \underline c+\underline d=\underline{c+d}. \]
Del mismo modo,
\[ (-\underline c)_n =-\underline c_n =-c = \underline{-c}_n, \]
y
\[ (\underline c\,\underline d)_n = \underline c_n\underline d_n =cd = \underline{cd}_n. \]
Aplicando nuevamente Proposición 13.1.2 — Criterio término a término para la igualdad de sucesiones reales obtenemos las dos identidades restantes. Finalmente,
\[ \underline c-\underline d = \underline c+(-\underline d) = \underline c+\underline{-d} = \underline{c-d}. \]
Esto prueba todas las afirmaciones. ∎
La aplicación \(\kappa_{\mathbb R}\) reproduce así, dentro de las sucesiones, la aritmética del cuerpo real. No necesitamos todavía clasificar esta observación mediante vocabulario algebraico adicional; lo importante para el análisis es que las sucesiones constantes proporcionan el primer modelo de comportamiento asintótico perfectamente estable.
13.2. Colas y propiedades eventuales
La definición de sucesión describe todos sus términos simultáneamente, pero el análisis de convergencia depende de una idea diferente: muchas propiedades no necesitan cumplirse desde el primer índice. Sólo importa que terminen siendo verdaderas de manera permanente.
Esta asimetría entre el comienzo y la parte tardía de una sucesión es esencial. Si queremos estudiar qué ocurre cuando el índice crece, debemos disponer de un lenguaje que permita ignorar un número fijo de términos iniciales sin borrar el orden ni las repeticiones de los términos restantes.
El patrón lógico que aparecerá una y otra vez es
\[ \boxed{ \exists N\in\mathbb N\;\forall n\in\mathbb N, \qquad N\le n\Longrightarrow \mathcal P(n). } \]
Antes de usarlo en la definición de convergencia, lo aislaremos y estudiaremos por sí mismo.
Definición 13.2.1 — Segmento final de los naturales
Sea \(N\in\mathbb N\). Definimos el segmento final de \(\mathbb N\) a partir de \(N\) por
\[ \boxed{ \mathbb N_{\ge N} := \{n\in\mathbb N:N\le n\}. } \]
El conjunto existe por Separación dentro de \(\mathbb N\).
Como \(N\le N\), se tiene
\[ N\in\mathbb N_{\ge N}, \]
de modo que todo segmento final es no vacío.
La expresión «para todo \(n\) suficientemente grande» significará precisamente «para todo \(n\) perteneciente a algún segmento final \(\mathbb N_{\ge N}\)». No introduce una noción métrica de tamaño: sólo utiliza el orden ya construido en \(\mathbb N\).
Proposición 13.2.2 — Monotonía de los segmentos finales
Si \(N,M\in\mathbb N\) y
\[ N\le M, \]
entonces
\[ \boxed{ \mathbb N_{\ge M} \subseteq \mathbb N_{\ge N}. } \]
Demostración.
Sea \(n\in\mathbb N_{\ge M}\). Por Definición 13.2.1 — Segmento final de los naturales,
\[ M\le n. \]
La hipótesis da \(N\le M\), y la transitividad del orden natural de Proposición 1.6.2 — Reflexividad y transitividad produce
\[ N\le n. \]
Por tanto \(n\in\mathbb N_{\ge N}\). Como \(n\) era arbitrario,
\[ \mathbb N_{\ge M}\subseteq\mathbb N_{\ge N}. \]
∎
La dirección de la inclusión merece atención: cuanto mayor es el umbral, menor es el segmento final. Pedir una propiedad desde \(M\) con \(N\le M\) permite descartar al menos tantos términos iniciales como pedirla desde \(N\).
Definición 13.2.3 — Cola reindexada de una sucesión
Sea
\[ a=(a_n)_{n\in\mathbb N} \]
una sucesión real y sea \(N\in\mathbb N\). Definimos la cola reindexada de \(a\) a partir de \(N\) como la sucesión real
\[ \boxed{ a^{\langle N\rangle}:\mathbb N\longrightarrow\mathbb R} \]
dada por
\[ \boxed{ a^{\langle N\rangle}_k:=a_{N+k} \qquad(k\in\mathbb N). } \]
El grafo correspondiente es
\[ G_{a^{\langle N\rangle}} := \left\{ \langle k,x\rangle\in\mathbb N\times\mathbb R: x=a_{N+k} \right\}, \]
que existe por Separación. Para cada \(k\in\mathbb N\), la suma natural \(N+k\) pertenece a \(\mathbb N\), y como \(a:\mathbb N\to\mathbb R\), el valor \(a_{N+k}\) es un único número real. Por tanto el grafo determina una función \(\mathbb N\to\mathbb R\).
La reindexación es deliberada. La familia restringida a \(\mathbb N_{\ge N}\) tendría dominio \(\mathbb N_{\ge N}\), no \(\mathbb N\); en cambio \(a^{\langle N\rangle}\) vuelve a ser una sucesión real en el sentido exacto de Definición 13.1.1 — Sucesión real.
Lectura conceptual. Tomar una cola no significa reemplazar la sucesión por el conjunto de sus valores tardíos. Conservamos el orden de aparición y las repeticiones; únicamente desplazamos el origen de los índices.
Definición 13.2.4 — Conjunto eventual y propiedad eventual
Sea \(E\subseteq\mathbb N\). Diremos que \(E\) es eventual si contiene algún segmento final de los naturales; es decir, si
\[ \boxed{ \exists N\in\mathbb N, \qquad \mathbb N_{\ge N}\subseteq E. } \]
Equivalentemente, si \(\mathcal P(n)\) es una propiedad de números naturales cuyos parámetros permanecen fijos, diremos que
\(\mathcal P(n)\) vale eventualmente
si el conjunto
\[ E_{\mathcal P} := \{n\in\mathbb N:\mathcal P(n)\} \]
es eventual. Por la definición del segmento final, esto equivale exactamente a
\[ \boxed{ \exists N\in\mathbb N\;\forall n\in\mathbb N, \qquad N\le n\Longrightarrow\mathcal P(n). } \]
El número \(N\) es un umbral para la propiedad. No se exige que sea el menor umbral ni que esté determinado de manera única.
Esta definición distingue dos ideas que no deben confundirse:
- que una propiedad vuelva a ocurrir para índices cada vez mayores;
- que, desde algún índice en adelante, no vuelva a fallar.
Sólo la segunda es eventualidad.
Proposición 13.2.5 — Reglas elementales de eventualidad
Sean \(E,F\subseteq\mathbb N\).
- \(\mathbb N\) es eventual.
- Si \(E\) es eventual y \(E\subseteq F\), entonces \(F\) es eventual.
- Si \(E\) y \(F\) son eventuales, entonces \(E\cap F\) es eventual.
En lenguaje de propiedades, si \(\mathcal P(n)\) y \(\mathcal Q(n)\) valen eventualmente, entonces
\[ \boxed{ \mathcal P(n)\land\mathcal Q(n) \quad\text{vale eventualmente}.} \]
Además, si \(\mathcal P(n)\) vale eventualmente y
\[ \forall n\in\mathbb N, \qquad \mathcal P(n)\Longrightarrow\mathcal Q(n), \]
entonces \(\mathcal Q(n)\) vale eventualmente.
Demostración.
Para (1), cualquier segmento final está contenido en \(\mathbb N\); por ejemplo,
\[ \mathbb N_{\ge 0}\subseteq\mathbb N. \]
Luego \(\mathbb N\) es eventual.
Para (2), si \(E\) es eventual, existe \(N\in\mathbb N\) con
\[ \mathbb N_{\ge N}\subseteq E. \]
Si además \(E\subseteq F\), la transitividad de la inclusión da
\[ \mathbb N_{\ge N}\subseteq F, \]
y por tanto \(F\) es eventual.
Para (3), sean \(N,M\in\mathbb N\) umbrales tales que
\[ \mathbb N_{\ge N}\subseteq E, \qquad \mathbb N_{\ge M}\subseteq F. \]
Como el orden de \(\mathbb N\) es total por Teorema 1.6.5 — Orden total, se cumple
\[ N\le M \qquad\text{o}\qquad M\le N. \]
Si \(N\le M\), Proposición 13.2.2 — Monotonía de los segmentos finales da
\[ \mathbb N_{\ge M}\subseteq\mathbb N_{\ge N}\subseteq E, \]
y ya teníamos \(\mathbb N_{\ge M}\subseteq F\). Por tanto
\[ \mathbb N_{\ge M}\subseteq E\cap F. \]
El caso \(M\le N\) es simétrico, tomando \(N\) como umbral común. Así \(E\cap F\) es eventual.
Las dos formulaciones en lenguaje de propiedades son traducciones directas de (2) y (3) mediante los conjuntos de verdad correspondientes. ∎
La tercera regla es el mecanismo que más adelante permitirá combinar varias estimaciones: si una desigualdad vale desde un índice y otra desde quizá otro índice, podemos pasar a un único umbral después del cual ambas son verdaderas.
Definición 13.2.6 — Coincidencia eventual de sucesiones reales
Sobre el conjunto \(\mathbb R^{\mathbb N}\) definimos la relación
\[ \sim_{\mathrm{ev}}\;\subseteq \mathbb R^{\mathbb N}\times\mathbb R^{\mathbb N} \]
por Separación, declarando para \(a,b\in\mathbb R^{\mathbb N}\) que \(a\) y \(b\) coinciden eventualmente, y escribiendo
\[ \boxed{ a\sim_{\mathrm{ev}}b,} \]
si la propiedad
\[ a_n=b_n \]
vale eventualmente. Equivalentemente,
\[ \boxed{ a\sim_{\mathrm{ev}}b \iff \exists N\in\mathbb N\;\forall n\in\mathbb N, \quad N\le n\Longrightarrow a_n=b_n. } \]
La coincidencia eventual es estrictamente más débil que la igualdad de sucesiones. La igualdad exige coincidencia en todo índice; \(a\sim_{\mathrm{ev}}b\) permite discrepancias antes de algún umbral.
Proposición 13.2.7 — La coincidencia eventual es una relación de equivalencia
La relación \(\sim_{\mathrm{ev}}\) es una relación de equivalencia sobre \(\mathbb R^{\mathbb N}\).
Demostración.
Reflexividad. Para toda sucesión \(a\) y todo \(n\in\mathbb N\),
\[ a_n=a_n. \]
Por Proposición 13.2.5 — Reglas elementales de eventualidad (1), la propiedad vale eventualmente. Luego
\[ a\sim_{\mathrm{ev}}a. \]
Simetría. Si \(a\sim_{\mathrm{ev}}b\), entonces \(a_n=b_n\) eventualmente. Por simetría de la igualdad,
\[ b_n=a_n \]
para esos mismos índices. Por tanto
\[ b\sim_{\mathrm{ev}}a. \]
Transitividad. Supongamos
\[ a\sim_{\mathrm{ev}}b, \qquad b\sim_{\mathrm{ev}}c. \]
Las propiedades
\[ a_n=b_n \qquad\text{y}\qquad b_n=c_n \]
valen eventualmente. Por Proposición 13.2.5 — Reglas elementales de eventualidad (3), ambas valen simultáneamente desde algún umbral común. En esos índices, la transitividad de la igualdad da
\[ a_n=c_n. \]
Por Proposición 13.2.5 — Reglas elementales de eventualidad (2), esta última propiedad es eventual. Luego
\[ a\sim_{\mathrm{ev}}c. \]
Se satisfacen las tres condiciones de Definición 0.4.7 — Relación de equivalencia. ∎
Proposición 13.2.8 — Caracterización por igualdad de colas
Sean \(a,b\in\mathbb R^{\mathbb N}\). Entonces
\[ \boxed{ a\sim_{\mathrm{ev}}b \iff \exists N\in\mathbb N, \qquad a^{\langle N\rangle}=b^{\langle N\rangle}. } \]
Demostración.
Supongamos primero
\[ a\sim_{\mathrm{ev}}b. \]
Por Definición 13.2.6 — Coincidencia eventual de sucesiones reales, existe \(N\in\mathbb N\) tal que
\[ N\le n \Longrightarrow a_n=b_n \]
para todo \(n\in\mathbb N\).
Sea \(k\in\mathbb N\). Por la definición del orden natural Definición 1.6.1 — Orden aritmético,
\[ N\le N+k, \]
pues \(k\) es un testigo de
\[ N+k=N+k. \]
En consecuencia,
\[ a_{N+k}=b_{N+k}. \]
Por Definición 13.2.3 — Cola reindexada de una sucesión, esto equivale a
\[ a^{\langle N\rangle}_k = b^{\langle N\rangle}_k. \]
Como vale para todo \(k\in\mathbb N\), el criterio término a término Proposición 13.1.2 — Criterio término a término para la igualdad de sucesiones reales produce
\[ a^{\langle N\rangle}=b^{\langle N\rangle}. \]
Recíprocamente, supongamos que existe \(N\in\mathbb N\) tal que
\[ a^{\langle N\rangle}=b^{\langle N\rangle}. \]
Sea \(n\in\mathbb N\) con \(N\le n\). Por Definición 1.6.1 — Orden aritmético, existe \(k\in\mathbb N\) tal que
\[ N+k=n. \]
Evaluando la igualdad de las colas en ese índice \(k\) obtenemos
\[ a_{N+k}=b_{N+k}, \]
y por tanto
\[ a_n=b_n. \]
Así \(a_n=b_n\) para todo \(n\ge N\), es decir,
\[ a\sim_{\mathrm{ev}}b. \]
∎
La proposición expresa con exactitud la intuición que necesitábamos: dos sucesiones coinciden eventualmente si, después de eliminar un tramo inicial adecuado y reindexar, se vuelven literalmente la misma sucesión.
Prueba de estrés conceptual. «Eventualmente» no significa «para muchos índices», «para infinitos índices» ni «cada vez con mayor frecuencia». Significa que existe un único umbral tras el cual ya no aparecen excepciones. Esta diferencia será decisiva cuando cuantifiquemos sobre tolerancias en la definición de convergencia.
La infraestructura lógica está ahora preparada. En la sección siguiente podremos formular rigurosamente qué significa que los términos de una sucesión real permanezcan eventualmente dentro de cada tolerancia positiva alrededor de un número real, conservando visible el orden de los cuantificadores.
13.3. Convergencia de sucesiones reales
La eventualidad aislada en §13.2 permite formular ahora con precisión la idea intuitiva de que los términos de una sucesión se acercan a un número real.
La dificultad no está en escribir una desigualdad como
\[ |a_n-\ell|<\varepsilon. \]
La dificultad está en quién puede depender de quién. Una precisión \(\varepsilon\) se impone primero; sólo después podemos elegir un umbral \(N\) adaptado a esa precisión; y, una vez fijado ese umbral, la estimación debe valer para todos los índices posteriores.
El patrón lógico fundamental es
\[ \boxed{ \forall \varepsilon>0\; \exists N\in\mathbb N\; \forall n\ge N. } \]
La definición siguiente es uno de los primeros lugares del tratado en que el orden de los cuantificadores forma parte esencial del contenido matemático.
Definición 13.3.1 — Convergencia de una sucesión real
Sea
\[ a=(a_n)_{n\in\mathbb N}\in\mathbb R^{\mathbb N} \]
y sea \(\ell\in\mathbb R\).
Diremos que \(a\) converge a \(\ell\) si, para todo \(\varepsilon\in\mathbb R\) con \(0<\varepsilon\), la propiedad
\[ |a_n-\ell|<\varepsilon \]
vale eventualmente.
Por Definición 13.2.4 — Conjunto eventual y propiedad eventual, esto significa exactamente
\[ \boxed{ \forall\varepsilon\in\mathbb R\; \Bigl( 0<\varepsilon \Longrightarrow \exists N\in\mathbb N\; \forall n\in\mathbb N\; \bigl( N\le n \Longrightarrow |a_n-\ell|<\varepsilon \bigr) \Bigr). } \]
El número \(\ell\) se llama entonces un límite de la sucesión \(a\).
Diremos que \(a\) es convergente si existe algún \(\ell\in\mathbb R\) al cual converge.
La definición contiene tres dependencias lógicas que no deben alterarse:
- \(\varepsilon\) es arbitrario y positivo;
- el umbral \(N\) puede depender de \(\varepsilon\);
- después de fijar \(N\), la desigualdad debe valer para todo \(n\ge N\).
Lectura de cuantificadores. La forma \[ \forall\varepsilon>0\;\exists N\;\forall n\ge N \] no puede reemplazarse por «para cada \(\varepsilon\) aparecen términos arbitrariamente tardíos dentro de la ventana». Esa condición permitiría que la sucesión volviera a alejarse infinitas veces. Convergencia exige permanencia eventual.
Prueba de estrés. Tampoco podemos colocar el cuantificador de \(N\) antes del de \(\varepsilon\): \[ \exists N\;\forall\varepsilon>0\;\forall n\ge N. \] Esa condición es mucho más fuerte: en el marco clásico del tratado obligaría a que todos los términos de una cola fueran exactamente iguales a \(\ell\).
Nota fundacional. La definición no usa Choice. Para cada precisión positiva se afirma la existencia de un umbral; no se presupone una función global \(\varepsilon\mapsto N\). Si más adelante se desea empaquetar umbrales en un módulo de convergencia, eso constituye datos adicionales. Para cada \(\varepsilon>0\) fijo, el conjunto de umbrales que funcionan existe por Separación, es no vacío y posee un menor elemento por Teorema 1.6.13 — Principio de buen orden. Si se empaquetan esos mínimos para todas las precisiones en una función, Replacement basta porque el valor está unívocamente determinado; no se requiere Choice. De ello no se sigue que el módulo sea computable.
Nota estructural. La completitud de \(\mathbb R\) no interviene en la definición. La misma noción tiene sentido en cualquier cuerpo ordenado. La completitud será necesaria después para demostrar que ciertas sucesiones poseen un límite, no para explicar qué significa converger a uno ya dado.
Notación 13.3.2 — Flecha de convergencia real
Cuando \(a=(a_n)\) converge a \(\ell\in\mathbb R\), escribiremos
\[ \boxed{ a_n\to\ell. } \]
También podremos escribir
\[ (a_n)_{n\in\mathbb N}\to\ell \]
cuando convenga hacer visible la sucesión completa.
A diferencia de las notaciones anteriores
\[ q_n\to_{\mathbb Q}\ell \qquad\text{y}\qquad x_n\to_C L, \]
la flecha sin subíndice se reserva desde ahora para la convergencia en el \(\mathbb R\) estructural de la Parte II.
Proposición 13.3.3 — Formulaciones equivalentes de la convergencia
Sea \(a=(a_n)\) una sucesión real y sea \(\ell\in\mathbb R\). Son equivalentes:
- \(a_n\to\ell\);
- para todo \(\varepsilon\in\mathbb R\) con \(0<\varepsilon\), el conjunto \[ E_\varepsilon := \{n\in\mathbb N:|a_n-\ell|<\varepsilon\} \] es eventual;
- para todo \(\varepsilon\in\mathbb R\) con \(0<\varepsilon\), la propiedad \[ \ell-\varepsilon<a_n<\ell+\varepsilon \] vale eventualmente;
- para todo \(\varepsilon\in\mathbb R\) con \(0<\varepsilon\), la propiedad \[ a_n\in(\ell-\varepsilon,\ell+\varepsilon) \] vale eventualmente.
Demostración.
La equivalencia entre (1) y (2) es exactamente la definición de convergencia junto con la definición de propiedad eventual Definición 13.2.4 — Conjunto eventual y propiedad eventual.
Para comparar (2) y (3), fijemos \(\varepsilon>0\) y un índice \(n\). Pondremos
\[ x:=a_n-\ell. \]
Afirmamos que
\[ \boxed{ |x|<\varepsilon \iff -\varepsilon<x<\varepsilon. } \]
Supongamos primero \(|x|<\varepsilon\). Por Proposición 4.2.2 — Propiedades elementales del valor absoluto (4),
\[ -|x|\le x\le|x|. \]
De \(|x|<\varepsilon\) tenemos \(|x|\le\varepsilon\) y \(|x|\ne\varepsilon\). Por Lema 4.1.3 — Cálculo elemental de signos en un cuerpo ordenado (2),
\[ -\varepsilon\le -|x|. \]
La igualdad \(-\varepsilon=-|x|\) implicaría \(\varepsilon=|x|\), contradicción. Por la definición del orden estricto,
\[ -\varepsilon<-|x|. \]
Por transitividad,
\[ -\varepsilon<x<\varepsilon. \]
Recíprocamente, supongamos
\[ -\varepsilon<x<\varepsilon. \]
La totalidad del orden da \(0\le x\) o \(x\le0\).
Si \(0\le x\), por la definición de valor absoluto,
\[ |x|=x<\varepsilon. \]
Si \(x\le0\), entonces \(|x|=-x\). De \(-\varepsilon<x\) se obtiene \(-x\le\varepsilon\) por Lema 4.1.3 — Cálculo elemental de signos en un cuerpo ordenado (2). La igualdad \(-x=\varepsilon\) devolvería \(x=-\varepsilon\), contradiciendo la desigualdad estricta; por tanto
\[ -x<\varepsilon, \]
y nuevamente
\[ |x|<\varepsilon. \]
Así queda probada la equivalencia puntual. Sumando \(\ell\) a las dos desigualdades
\[ -\varepsilon<a_n-\ell<\varepsilon \]
obtenemos, por Lema 4.1.3 — Cálculo elemental de signos en un cuerpo ordenado (8),
\[ \ell-\varepsilon<a_n<\ell+\varepsilon. \]
Por tanto (2) y (3) expresan la misma propiedad eventual para cada \(\varepsilon>0\).
Finalmente, por la definición del intervalo abierto Definición 4.3.1 — Intervalos acotados,
\[ a_n\in(\ell-\varepsilon,\ell+\varepsilon) \iff \ell-\varepsilon<a_n<\ell+\varepsilon. \]
Luego (3) y (4) son equivalentes. ∎
Las cuatro formas describen el mismo fenómeno desde perspectivas distintas:
\[ \boxed{ \text{error absoluto} \;\longleftrightarrow\; \text{conjunto eventual} \;\longleftrightarrow\; \text{ventana alrededor del límite}. } \]
La tercera y la cuarta formulación hacen especialmente visible la geometría de la recta: toda ventana abierta centrada en \(\ell\), por pequeña que sea, contiene finalmente todos los términos de la sucesión.
Proposición 13.3.4 — Las sucesiones constantes convergen a su valor
Para todo \(c\in\mathbb R\),
\[ \boxed{ \underline c_n\to c. } \]
Demostración.
Sea \(\varepsilon\in\mathbb R\) con \(0<\varepsilon\). Para todo \(n\in\mathbb N\),
\[ \underline c_n=c, \]
y por tanto
\[ |\underline c_n-c| = |0| = 0 < \varepsilon. \]
La propiedad vale para todos los índices y, por Proposición 13.2.5 — Reglas elementales de eventualidad (1), vale eventualmente. Como \(\varepsilon>0\) era arbitrario, Definición 13.3.1 — Convergencia de una sucesión real da
\[ \underline c_n\to c. \]
∎
La proposición no identifica \(c\) con \(\underline c\). Afirma que el proceso constante asociado a \(c\) tiene a \(c\) como límite.
Teorema 13.3.5 — Unicidad del límite real
Sea \(a=(a_n)\) una sucesión real. Si
\[ a_n\to\ell \]
y
\[ a_n\to m, \]
con \(\ell,m\in\mathbb R\), entonces
\[ \boxed{ \ell=m. } \]
Demostración.
Supongamos, buscando una contradicción, que
\[ \ell\ne m. \]
Definamos
\[ \delta:=|\ell-m|. \]
Por Proposición 4.2.2 — Propiedades elementales del valor absoluto,
\[ 0\le\delta \]
y
\[ \delta=0 \iff \ell-m=0 \iff \ell=m. \]
La hipótesis \(\ell\ne m\) implica \(\delta\ne0\). Como el orden estricto asociado satisface
\[ 0<\delta \iff 0\le\delta \text{ y } 0\ne\delta, \]
obtenemos
\[ 0<\delta. \]
Pongamos
\[ s:=1+1. \]
Por Lema 4.1.3 — Cálculo elemental de signos en un cuerpo ordenado (3),
\[ 0<1. \]
Usando invariancia estricta por traslación,
\[ 1<1+1=s, \]
y por transitividad,
\[ 0<s. \]
En particular \(s\ne0\), de modo que \(s^{-1}\) está definido y, por Lema 4.1.3 — Cálculo elemental de signos en un cuerpo ordenado (6),
\[ 0<s^{-1}. \]
Sea
\[ \varepsilon:=\delta s^{-1}. \]
Por positividad del producto,
\[ 0<\varepsilon. \]
Las leyes del cuerpo dan
\[ \begin{aligned} \varepsilon+\varepsilon &=\delta s^{-1}+\delta s^{-1}\\ &=\delta(1+1)s^{-1}\\ &=\delta ss^{-1}\\ &=\delta. \end{aligned} \]
Aplicando las dos hipótesis de convergencia a esta misma precisión \(\varepsilon\), las propiedades
\[ |a_n-\ell|<\varepsilon \]
y
\[ |a_n-m|<\varepsilon \]
valen eventualmente.
Por Proposición 13.2.5 — Reglas elementales de eventualidad (3), ambas valen simultáneamente de manera eventual. Existe entonces un umbral \(N\in\mathbb N\) tal que, en particular para \(n=N\),
\[ |a_N-\ell|<\varepsilon, \qquad |a_N-m|<\varepsilon. \]
Por la desigualdad triangular Teorema 4.2.3 — Desigualdad triangular y la simetría del valor absoluto,
\[ \begin{aligned} \delta &=|\ell-m|\\ &=|(\ell-a_N)+(a_N-m)|\\ &\le |\ell-a_N|+|a_N-m|\\ &=|a_N-\ell|+|a_N-m|. \end{aligned} \]
Las dos desigualdades estrictas anteriores implican
\[ |a_N-\ell|+|a_N-m| < \varepsilon+\varepsilon = \delta. \]
Por transitividad obtendríamos
\[ \delta<\delta, \]
contradicción con la irreflexividad del orden estricto.
Hemos demostrado
\[ \neg(\ell\ne m). \]
Como la lógica ambiente del tratado es clásica, la eliminación de la doble negación concluye
\[ \ell=m. \]
∎
La unicidad permite pasar ahora de «un límite» a el límite de una sucesión convergente.
Notación 13.3.6 — Límite de una sucesión convergente
Si \(a=(a_n)\) es convergente, denotaremos por
\[ \boxed{ \lim_{n\to\infty}a_n } \]
su único límite. Por tanto,
\[ \boxed{ \lim_{n\to\infty}a_n=\ell \iff a_n\to\ell. } \]
La expresión \(n\to\infty\) pertenece a la notación de límite; no afirma que \(\infty\) sea un número real ni introduce un nuevo elemento en \(\mathbb R\).
La notación sólo se utilizará cuando la convergencia haya sido establecida o cuando aparezca dentro de una afirmación condicional que la suponga.
Proposición 13.3.7 — Invariancia de la convergencia bajo coincidencia eventual
Sean \(a,b\in\mathbb R^{\mathbb N}\) y supongamos
\[ a\sim_{\mathrm{ev}}b. \]
Entonces, para todo \(\ell\in\mathbb R\),
\[ \boxed{ a_n\to\ell \iff b_n\to\ell. } \]
En particular, \(a\) es convergente si y sólo si \(b\) es convergente y, en ese caso,
\[ \boxed{ \lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}b_n. } \]
Demostración.
Supongamos primero
\[ a_n\to\ell. \]
Sea \(\varepsilon>0\). Por convergencia, la propiedad
\[ |a_n-\ell|<\varepsilon \]
vale eventualmente.
Por \(a\sim_{\mathrm{ev}}b\), también vale eventualmente
\[ a_n=b_n. \]
La regla de intersección Proposición 13.2.5 — Reglas elementales de eventualidad (3) da un tramo final en el que ambas propiedades son verdaderas simultáneamente. En ese tramo,
\[ |b_n-\ell| = |a_n-\ell| < \varepsilon. \]
Por Proposición 13.2.5 — Reglas elementales de eventualidad (2), la propiedad
\[ |b_n-\ell|<\varepsilon \]
es eventual. Como \(\varepsilon>0\) era arbitrario,
\[ b_n\to\ell. \]
La implicación recíproca se obtiene del mismo argumento usando la simetría de \(\sim_{\mathrm{ev}}\), probada en Proposición 13.2.7 — La coincidencia eventual es una relación de equivalencia.
Así, para cada \(\ell\),
\[ a_n\to\ell \iff b_n\to\ell. \]
Si una de las sucesiones es convergente, la otra converge al mismo número real. La última igualdad se sigue entonces de la notación introducida en Notación 13.3.6 — Límite de una sucesión convergente. ∎
Esta proposición formaliza una de las ideas centrales del análisis secuencial:
\[ \boxed{ \text{un número finito de términos iniciales no altera la convergencia ni el límite}. } \]
El paso siguiente será introducir la acotación de sucesiones reales y demostrar que toda sucesión convergente es acotada. Ese resultado proporcionará la infraestructura necesaria para el producto de sucesiones convergentes y para los argumentos de compacidad secuencial posteriores.
13.4. Acotación de sucesiones reales
La convergencia controla los términos de una sucesión cuando el índice es suficientemente grande. La acotación, en cambio, es una propiedad global: exige que todos los términos permanezcan dentro de una misma región limitada de la recta real.
Esta diferencia obliga a separar dos tareas. Primero debemos formular la acotación en términos de la teoría de cotas ya construida para subconjuntos ordenados. Después mostraremos que una cota válida sólo eventualmente puede extenderse a toda la sucesión porque antes del umbral quedan únicamente finitos términos.
Definición 13.4.1 — Sucesiones acotadas superiormente, inferiormente y acotadas
Sea
\[ a=(a_n)_{n\in\mathbb N}\in\mathbb R^{\mathbb N}. \]
Su recorrido es el subconjunto
\[ a[\mathbb N]\subseteq\mathbb R. \]
Decimos que \(a\) está acotada superiormente si \(a[\mathbb N]\) está acotado superiormente en \(\mathbb R\). Equivalentemente,
\[ \boxed{ \exists U\in\mathbb R\;\forall n\in\mathbb N, \qquad a_n\le U. } \]
En ese caso, \(U\) es una cota superior de la sucesión.
Decimos que \(a\) está acotada inferiormente si \(a[\mathbb N]\) está acotado inferiormente. Equivalentemente,
\[ \boxed{ \exists L\in\mathbb R\;\forall n\in\mathbb N, \qquad L\le a_n. } \]
En ese caso, \(L\) es una cota inferior de la sucesión.
Finalmente, \(a\) es acotada si está acotada tanto superior como inferiormente.
Lectura de la definición. La acotación no es una propiedad eventual. Las desigualdades deben controlar también los términos iniciales. Una sucesión puede poseer términos iniciales muy grandes y seguir siendo convergente; esos términos no afectan el límite, pero sí influyen en el tamaño de una cota global.
Nota de tipos. No identificamos la sucesión \(a\) con su recorrido \(a[\mathbb N]\). La definición transporta a la sucesión una propiedad de ese subconjunto, pero ambos objetos siguen siendo distintos: \(a\) es una función y \(a[\mathbb N]\) es un conjunto de números reales.
Proposición 13.4.2 — Caracterización de la acotación mediante el valor absoluto
Sea \(a=(a_n)\) una sucesión real. Son equivalentes:
- \(a\) es acotada;
- existe \(M\in\mathbb R\) tal que \[ 0\le M \] y \[ \boxed{ \forall n\in\mathbb N, \qquad |a_n|\le M. } \]
Demostración.
Supongamos primero que \(a\) es acotada. Existen entonces \(L,U\in\mathbb R\) tales que, para todo \(n\in\mathbb N\),
\[ L\le a_n\le U. \]
Definamos
\[ M:=|L|+|U|. \]
Por Proposición 4.2.2 — Propiedades elementales del valor absoluto (1), ambos sumandos son no negativos, luego
\[ 0\le M. \]
Además, Proposición 4.2.2 — Propiedades elementales del valor absoluto (4) da
\[ -|L|\le L \qquad\text{y}\qquad U\le |U|. \]
Como \(|L|\le M\) y \(|U|\le M\), obtenemos
\[ -M\le -|L|\le L\le a_n\le U\le |U|\le M. \]
Por Proposición 4.2.2 — Propiedades elementales del valor absoluto (6),
\[ |a_n|\le M. \]
Esto vale para todo \(n\in\mathbb N\).
Recíprocamente, supongamos que existe \(M\ge0\) con
\[ |a_n|\le M \]
para todo \(n\). Aplicando nuevamente Proposición 4.2.2 — Propiedades elementales del valor absoluto (6),
\[ -M\le a_n\le M \]
para todo índice. Por tanto \(M\) es una cota superior, \(-M\) es una cota inferior y \(a\) es acotada. ∎
Esta formulación será especialmente útil en estimaciones: en lugar de transportar simultáneamente una cota superior y otra inferior, podremos trabajar con un único número no negativo que controle \(|a_n|\).
Proposición 13.4.3 — Todo prefijo finito de una sucesión real está acotado
Sea \(a=(a_n)\) una sucesión real. Para todo \(N\in\mathbb N\) existe \(B\in\mathbb R\) tal que
\[ 0\le B \]
y
\[ \boxed{ \forall n\in\mathbb N, \qquad n<N\Longrightarrow |a_n|\le B. } \]
Demostración.
Procedemos por inducción sobre \(N\).
Para \(N=0\), tomamos \(B=0\). No existe \(n\in\mathbb N\) con \(n<0\): por Teorema 1.6.12 — Orden estricto y pertenencia, tal desigualdad equivaldría a \(n\in0=\varnothing\). La afirmación queda entonces satisfecha vacíamente.
Supongamos ahora que para cierto \(N\in\mathbb N\) existe \(B\ge0\) tal que
\[ n<N\Longrightarrow |a_n|\le B. \]
Definimos
\[ B':=B+|a_N|. \]
Como \(B\ge0\) y \(|a_N|\ge0\), la compatibilidad del orden con la suma da
\[ 0\le B'. \]
Sea \(n<S(N)\). Por Teorema 1.6.12 — Orden estricto y pertenencia,
\[ n\in S(N)=N\cup\{N\}. \]
Hay dos casos.
Si \(n\in N\), entonces nuevamente por Teorema 1.6.12 — Orden estricto y pertenencia se tiene \(n<N\), y la hipótesis inductiva produce
\[ |a_n|\le B\le B+|a_N|=B'. \]
Si \(n=N\), entonces
\[ |a_n|=|a_N|\le B+|a_N|=B', \]
pues \(B\ge0\).
Así el mismo enunciado vale para \(S(N)\). El principio de inducción Teorema 1.1.10 — Principio de inducción concluye la proposición para todo \(N\in\mathbb N\). ∎
Proposición 13.4.4 — Una cota eventual se extiende a una cota global
Sea \(a=(a_n)\) una sucesión real. Supongamos que existe \(B_0\in\mathbb R\) con
\[ 0\le B_0 \]
tal que la propiedad
\[ |a_n|\le B_0 \]
vale eventualmente. Entonces \(a\) es acotada.
Demostración.
Por eventualidad existe \(N\in\mathbb N\) tal que
\[ N\le n \Longrightarrow |a_n|\le B_0. \]
Por Proposición 13.4.3 — Todo prefijo finito de una sucesión real está acotado, existe \(B_1\ge0\) tal que
\[ n<N \Longrightarrow |a_n|\le B_1. \]
Definimos
\[ M:=B_0+B_1. \]
Como \(B_0,B_1\ge0\), se tiene \(M\ge0\), además de
\[ B_0\le M \qquad\text{y}\qquad B_1\le M. \]
Sea ahora \(n\in\mathbb N\). Por la tricotomía decidible de los naturales Proposición 1.6.7 — Tricotomía decidible de los naturales, exactamente una de las relaciones
\[ n<N, \qquad n=N, \qquad N<n \]
se cumple.
En el primer caso,
\[ |a_n|\le B_1\le M. \]
Si \(n=N\), la reflexividad del orden natural da \(N\le n\), y si \(N<n\), la definición del orden estricto implica también \(N\le n\). En ambos casos la cota eventual produce
\[ |a_n|\le B_0\le M. \]
Así
\[ \forall n\in\mathbb N, \qquad |a_n|\le M. \]
La caracterización Proposición 13.4.2 — Caracterización de la acotación mediante el valor absoluto concluye que \(a\) es acotada. ∎
La proposición anterior formaliza una operación que en análisis se realiza constantemente: absorber un prefijo finito dentro de una cota global.
Teorema 13.4.5 — Toda sucesión real convergente es acotada
Sea \(a=(a_n)\) una sucesión real y sea \(\ell\in\mathbb R\). Si
\[ a_n\to\ell, \]
entonces \(a\) es acotada.
Demostración.
En todo cuerpo ordenado,
\[ 0<1 \]
por Lema 4.1.3 — Cálculo elemental de signos en un cuerpo ordenado (3). Aplicamos la definición de convergencia con
\[ \varepsilon=1. \]
La propiedad
\[ |a_n-\ell|<1 \]
vale eventualmente.
Para todo índice en el que se cumpla esa desigualdad, la desigualdad triangular da
\[ \begin{aligned} |a_n| &=|(a_n-\ell)+\ell|\\ &\le |a_n-\ell|+|\ell|\\ &<1+|\ell|\\ &=|\ell|+1. \end{aligned} \]
En particular, para todo índice en el que vale la propiedad eventual anterior se cumple
\[ |a_n|\le |\ell|+1. \]
Por la regla de estabilidad de la eventualidad bajo implicación Proposición 13.2.5 — Reglas elementales de eventualidad (5), la propiedad
\[ |a_n|\le |\ell|+1 \]
vale eventualmente. Además,
\[ 0\le |\ell|+1 \]
por la no negatividad del valor absoluto y la positividad de \(1\).
Proposición 13.4.4 — Una cota eventual se extiende a una cota global transforma esta cota eventual en una cota global. Por tanto \(a\) es acotada. ∎
Arquitectura de la prueba. La convergencia controla primero una cola de la sucesión. La proposición de prefijos controla después los términos anteriores al umbral. El teorema surge al ensamblar esas dos piezas:
\[ \boxed{ \text{cola controlada} + \text{prefijo finito} \Longrightarrow \text{sucesión globalmente acotada}. } \]
Nota fundacional. No interviene la completitud de \(\mathbb R\), ni Choice, ni una decisión clásica sobre la igualdad real. La prueba usa únicamente la estructura de cuerpo ordenado, el valor absoluto, la inducción natural y la definición de convergencia. En particular, el mismo argumento vale en cualquier cuerpo ordenado una vez formulada allí la correspondiente noción de convergencia secuencial.
La acotación elimina ahora el principal obstáculo para estudiar productos de sucesiones convergentes. Si \(a_n\to a\), ya podemos disponer de una cota uniforme para \(|a_n|\) y utilizarla en estimaciones del término
\[ |a_nb_n-ab|. \]
La siguiente sección desarrollará la álgebra de los límites, comenzando por suma y opuesto y utilizando la acotación precisamente cuando el producto la requiera.
13.5. Álgebra de los límites
La definición de convergencia controla una sucesión mediante desigualdades. Sin embargo, el análisis necesita algo más: debe ser posible calcular con sucesiones convergentes sin abandonar el régimen de convergencia.
Las operaciones puntuales fueron construidas ya en §13.1. Lo que todavía no sabemos es si esas operaciones son compatibles con el paso al límite. Esa compatibilidad no forma parte de la definición de suma o producto de sucesiones; requiere demostraciones.
La diferencia entre suma y producto anticipa una idea metodológica importante. Para la suma basta repartir una tolerancia entre dos errores. Para el producto aparece un factor variable y, por tanto, necesitamos primero saber que una sucesión convergente está acotada. Precisamente por eso §13.4 precede a esta sección.
Proposición 13.5.1 — Límite de una suma
Sean \(x=(x_n)\) e \(y=(y_n)\) sucesiones reales. Si
\[ x_n\to\alpha \qquad\text{y}\qquad y_n\to\beta, \]
entonces
\[ \boxed{ x_n+y_n\to\alpha+\beta. } \]
Equivalentemente,
\[ \boxed{ \lim_{n\to\infty}(x_n+y_n) = \lim_{n\to\infty}x_n + \lim_{n\to\infty}y_n } \]
siempre que los dos límites del segundo miembro existan.
Demostración.
Sea \(\varepsilon>0\). Escribamos
\[ s:=1+1. \]
Como \(0<1\), se tiene \(0<s\). Por Lema 4.1.3 — Cálculo elemental de signos en un cuerpo ordenado (6),
\[ s^{-1}>0. \]
Definimos
\[ \eta:=\varepsilon s^{-1}. \]
Entonces \(\eta>0\) y, por las leyes del cuerpo,
\[ s\eta=\varepsilon. \]
De \(x_n\to\alpha\) obtenemos eventualmente
\[ |x_n-\alpha|<\eta, \]
y de \(y_n\to\beta\) obtenemos eventualmente
\[ |y_n-\beta|<\eta. \]
La regla de intersección de propiedades eventuales Proposición 13.2.5 — Reglas elementales de eventualidad (3) proporciona un mismo tramo final en el que ambas desigualdades valen. Para todo índice de ese tramo,
\[ \begin{aligned} |(x_n+y_n)-(\alpha+\beta)| &=|(x_n-\alpha)+(y_n-\beta)|\\ &\le |x_n-\alpha|+|y_n-\beta|\\ &<\eta+\eta\\ &=s\eta\\ &=\varepsilon. \end{aligned} \]
La desigualdad no estricta es la desigualdad triangular Teorema 4.2.3 — Desigualdad triangular; la estricta se obtiene sumando las dos estimaciones estrictas en el cuerpo ordenado.
Como \(\varepsilon>0\) era arbitrario,
\[ x_n+y_n\to\alpha+\beta. \]
La formulación con \(\lim\) se sigue de Notación 13.3.6 — Límite de una sucesión convergente. ∎
Estrategia. El paso esencial no es la manipulación algebraica, sino la elección de una tolerancia auxiliar que pueda gastarse dos veces:
\[ \eta+\eta=\varepsilon. \]
Una demostración de límite debe diseñar primero el presupuesto de error y sólo después buscar un umbral.
Proposición 13.5.2 — Límite del opuesto y de una diferencia
Sea \(x=(x_n)\) una sucesión real. Si
\[ x_n\to\alpha, \]
entonces
\[ \boxed{ -x_n\to-\alpha. } \]
En consecuencia, si además \(y_n\to\beta\), entonces
\[ \boxed{ x_n-y_n\to\alpha-\beta. } \]
Demostración.
Para todo \(n\in\mathbb N\),
\[ \begin{aligned} |(-x_n)-(-\alpha)| &=|-(x_n-\alpha)|\\ &=|x_n-\alpha| \end{aligned} \]
por Proposición 4.2.2 — Propiedades elementales del valor absoluto (3).
Por tanto, para cada \(\varepsilon>0\), cualquier umbral que sirva para
\[ |x_n-\alpha|<\varepsilon \]
sirve también para
\[ |(-x_n)-(-\alpha)|<\varepsilon. \]
Luego
\[ -x_n\to-\alpha. \]
Si ahora \(y_n\to\beta\), acabamos de probar
\[ -y_n\to-\beta. \]
Aplicando Proposición 13.5.1 — Límite de una suma a \(x\) y \(-y\),
\[ x_n+(-y_n)\to\alpha+(-\beta), \]
es decir,
\[ x_n-y_n\to\alpha-\beta. \]
∎
La resta no exige una nueva estimación: una vez demostrados el opuesto y la suma, aparece como consecuencia estructural de las operaciones ya definidas.
Teorema 13.5.3 — Límite de un producto
Sean \(x=(x_n)\) e \(y=(y_n)\) sucesiones reales. Si
\[ x_n\to\alpha \qquad\text{y}\qquad y_n\to\beta, \]
entonces
\[ \boxed{ x_ny_n\to\alpha\beta. } \]
Por tanto,
\[ \boxed{ \lim_{n\to\infty}(x_ny_n) = \left(\lim_{n\to\infty}x_n\right) \left(\lim_{n\to\infty}y_n\right) } \]
cuando ambos límites existen.
Demostración.
La dificultad es que el error de un producto contiene factores que dependen de \(n\). Partimos de la identidad
\[ x_ny_n-\alpha\beta = x_n(y_n-\beta)+\beta(x_n-\alpha). \]
Como \(x_n\to\alpha\), Teorema 13.4.5 — Toda sucesión real convergente es acotada implica que \(x\) es acotada. Por Proposición 13.4.2 — Caracterización de la acotación mediante el valor absoluto, existe \(M\in\mathbb R\) tal que
\[ 0\le M \]
y
\[ |x_n|\le M \qquad \text{para todo }n\in\mathbb N. \]
Sea ahora \(\varepsilon>0\). Definimos
\[ r:=M+|\beta|+1. \]
La no negatividad de \(M\) y de \(|\beta|\), junto con \(0<1\), da
\[ r>0. \]
Sea
\[ \eta:=\varepsilon r^{-1}. \]
Por Lema 4.1.3 — Cálculo elemental de signos en un cuerpo ordenado (6) y la positividad del producto,
\[ \eta>0, \]
y además
\[ r\eta=\varepsilon. \]
Por convergencia, valen eventualmente las dos propiedades
\[ |x_n-\alpha|<\eta \]
y
\[ |y_n-\beta|<\eta. \]
Tomamos un tramo final común mediante Proposición 13.2.5 — Reglas elementales de eventualidad (3). Para todo índice de ese tramo, usando la desigualdad triangular y la multiplicatividad del valor absoluto,
\[ \begin{aligned} |x_ny_n-\alpha\beta| &= |x_n(y_n-\beta)+\beta(x_n-\alpha)|\\ &\le |x_n|\,|y_n-\beta| + |\beta|\,|x_n-\alpha|\\ &\le M\eta+|\beta|\eta\\ &= (M+|\beta|)\eta. \end{aligned} \]
En el tercer paso usamos dos veces que la multiplicación por un factor no negativo preserva el orden no estricto. Esta propiedad se deriva directamente de Definición 4.1.1 — Cuerpo ordenado: de \(u\le v\) obtenemos \(0\le v-u\) por Lema 4.1.3(1), y si \(0\le w\), entonces \(0\le w(v-u)=wv-wu\), de donde \(wu\le wv\).
De
\[ M+|\beta|<M+|\beta|+1=r \]
y \(\eta>0\), la compatibilidad del orden con la multiplicación por un factor positivo da
\[ (M+|\beta|)\eta<r\eta=\varepsilon. \]
Por consiguiente,
\[ |x_ny_n-\alpha\beta|<\varepsilon \]
eventualmente. Como \(\varepsilon>0\) era arbitrario,
\[ x_ny_n\to\alpha\beta. \]
∎
Por qué la acotación era necesaria. En la suma, los coeficientes de los dos errores son constantes. En el producto aparece
\[ |x_n|\,|y_n-\beta|. \]
La convergencia de \(y_n-\beta\) hacia cero no basta por sí sola para controlar ese producto si no sabemos que \(|x_n|\) permanece uniformemente limitado. Teorema 13.4.5 — Toda sucesión real convergente es acotada aporta exactamente esa información.
Nota fundacional. La extracción de un testigo \(M\) desde la afirmación existencial de acotación ocurre dentro de una única demostración. No se selecciona una familia de cotas para una familia de sucesiones; no interviene Choice. Tampoco se usa completitud de \(\mathbb R\).
Corolario 13.5.4 — Compatibilidad con la multiplicación por una constante
Sea \(c\in\mathbb R\). Si
\[ x_n\to\alpha, \]
entonces
\[ \boxed{ cx_n\to c\alpha. } \]
Demostración.
La sucesión constante \(\underline c\) converge a \(c\) por Proposición 13.3.4 — Las sucesiones constantes convergen a su valor. Aplicando Teorema 13.5.3 — Límite de un producto a \(\underline c\) y \(x\),
\[ \underline c_n x_n\to c\alpha. \]
Como \(\underline c_n=c\) para todo \(n\),
\[ cx_n\to c\alpha. \]
∎
En particular, las combinaciones lineales finitas de sucesiones convergentes pueden tratarse iterando suma y multiplicación por constantes. No afirmamos aquí todavía un teorema para familias finitas arbitrarias: las operaciones binarias ya bastan para las aplicaciones inmediatas.
Proposición 13.5.5 — El valor absoluto preserva límites
Sea \(x=(x_n)\) una sucesión real. La regla
\[ z_n:=|x_n| \]
determina una sucesión real \(z=(z_n)\). Si
\[ x_n\to\alpha, \]
entonces
\[ \boxed{ |x_n|\to|\alpha|. } \]
Demostración.
Primero justificamos que \((|x_n|)\) es efectivamente una sucesión. Dentro de \(\mathbb N\times\mathbb R\) consideramos
\[ G_z := \left\{ \langle n,u\rangle\in\mathbb N\times\mathbb R: u=|x_n| \right\}. \]
El conjunto existe por Separación. Para cada \(n\in\mathbb N\), Definición 4.2.1 — Valor absoluto determina un único real \(|x_n|\); por tanto \(G_z\) es el grafo de una función
\[ z:\mathbb N\to\mathbb R. \]
Ahora la desigualdad triangular inversa Corolario 4.2.4 — Desigualdad triangular inversa da, para todo \(n\),
\[ \bigl||x_n|-|\alpha|\bigr| \le |x_n-\alpha|. \]
Sea \(\varepsilon>0\). Como \(x_n\to\alpha\), la propiedad
\[ |x_n-\alpha|<\varepsilon \]
vale eventualmente. Para todo índice en que se cumple,
\[ \bigl||x_n|-|\alpha|\bigr| < \varepsilon. \]
Por Proposición 13.2.5 — Reglas elementales de eventualidad (5), esta última propiedad también vale eventualmente. Por definición de convergencia,
\[ |x_n|\to|\alpha|. \]
∎
El patrón de la prueba es especialmente reutilizable:
\[ \boxed{ \text{error de la transformación} \le \text{error original}. } \]
Cuando una operación satisface una estimación de este tipo, la convergencia puede transportarse sin modificar siquiera la tolerancia.
Los resultados de esta sección muestran que el paso al límite respeta las operaciones algebraicas que ya están disponibles término a término:
\[ \boxed{ \begin{aligned} x_n\to\alpha,\ y_n\to\beta &\Longrightarrow x_n+y_n\to\alpha+\beta,\\ x_n\to\alpha,\ y_n\to\beta &\Longrightarrow x_n-y_n\to\alpha-\beta,\\ x_n\to\alpha,\ y_n\to\beta &\Longrightarrow x_ny_n\to\alpha\beta. \end{aligned} } \]
y, además,
\[ x_n\to\alpha \Longrightarrow cx_n\to c\alpha \quad\text{y}\quad |x_n|\to|\alpha|. \]
No hemos usado todavía la completitud de \(\mathbb R\). Los cinco resultados de esta sección son compatibles con una lectura constructiva relativa a la estructura fija del cuerpo ordenado real y no emplean Choice. Esto no altera la clasificación ya registrada de Teorema 13.3.5 — Unicidad del límite real: la unicidad del límite conserva su último paso clásico de eliminación de doble negación sobre la igualdad real.
La siguiente sección estudiará cómo la convergencia interactúa con el orden y culminará en el teorema del sándwich. Ese será el puente natural hacia las sucesiones monótonas, donde la completitud empezará finalmente a producir nuevos límites.
13.6. Orden de los límites y teorema del sándwich
Las operaciones algebraicas de la sección anterior permiten combinar límites. El orden plantea una cuestión distinta: si dos sucesiones están ordenadas término a término —al menos desde algún índice—, ¿qué relación puede sobrevivir entre sus límites?
Conviene separar dos direcciones lógicas que a primera vista parecen equivalentes, pero no lo son con la misma fuerza fundacional.
La dirección estricta es positiva: si dos límites satisfacen \(\alpha<\beta\), entonces las sucesiones quedan finalmente separadas en ese mismo orden. La dirección no estricta parte, en cambio, de una desigualdad eventual \(x_n\le y_n\) y concluye \(\alpha\le\beta\); en nuestra interfaz abstracta de orden real, el núcleo negativo de esa prueba es constructivo, pero su conversión final a una desigualdad no estricta utiliza la lógica clásica ambiente.
Esta distinción será visible en las demostraciones.
Proposición 13.6.1 — Límites estrictamente ordenados separan eventualmente las sucesiones
Sean \(x=(x_n)\) e \(y=(y_n)\) sucesiones reales tales que
\[ x_n\to\alpha, \qquad y_n\to\beta. \]
Si
\[ \alpha<\beta, \]
entonces
\[ \boxed{ x_n<y_n \quad\text{eventualmente}. } \]
Demostración.
La desigualdad estricta \(\alpha<\beta\) implica, por invariancia del orden estricto bajo traslación,
\[ 0<\beta-\alpha. \]
Definamos
\[ \delta:=\beta-\alpha. \]
Entonces
\[ 0<\delta. \]
Como en la prueba de unicidad del límite, pongamos
\[ s:=1+1. \]
De \(0<1\) y la invariancia estricta por traslación obtenemos
\[ 0<s. \]
Por tanto \(s^{-1}>0\). Definimos
\[ \eta:=\delta s^{-1}. \]
La positividad del producto da
\[ 0<\eta, \]
y las leyes del cuerpo producen
\[ \eta+\eta=\delta. \]
Aplicando la formulación por ventanas de Proposición 13.3.3 — Formulaciones equivalentes de la convergencia a la convergencia de \(x\) y de \(y\), valen eventualmente
\[ \alpha-\eta<x_n<\alpha+\eta \]
y
\[ \beta-\eta<y_n<\beta+\eta. \]
Por Proposición 13.2.5 — Reglas elementales de eventualidad (3) ambas propiedades valen simultáneamente en un mismo tramo final. Para todo índice de ese tramo,
\[ x_n<\alpha+\eta \]
y
\[ \beta-\eta<y_n. \]
Además,
\[ \begin{aligned} \beta-\eta &=\alpha+\delta-\eta\\ &=\alpha+(\eta+\eta)-\eta\\ &=\alpha+\eta. \end{aligned} \]
Por consiguiente,
\[ x_n<\alpha+\eta =\beta-\eta<y_n. \]
Por transitividad,
\[ x_n<y_n \]
para todo índice suficientemente grande. ∎
Lectura geométrica. Dos límites distintos poseen una separación positiva. Tomando como radio la mitad de esa separación, las ventanas centradas en \(\alpha\) y \(\beta\) dejan de solaparse. La eventualidad convierte esa separación geométrica en una desigualdad entre términos tardíos.
Nota fundacional. No intervienen completitud, Choice ni lógica clásica sustantiva. El inverso \(s^{-1}\) es el inverso ordinario de un real no nulo ya disponible en la estructura de cuerpo; no se está introduciendo todavía el recíproco de una sucesión.
Teorema 13.6.2 — Preservación del orden en el paso al límite
Sean \(x=(x_n)\) e \(y=(y_n)\) sucesiones reales tales que
\[ x_n\to\alpha, \qquad y_n\to\beta. \]
Si
\[ x_n\le y_n \quad\text{eventualmente}, \]
entonces
\[ \boxed{ \alpha\le\beta. } \]
Demostración.
Comencemos por la parte que no necesita lógica clásica. Si se tuviera
\[ \beta<\alpha, \]
la proposición Proposición 13.6.1 — Límites estrictamente ordenados separan eventualmente las sucesiones, aplicada a \(y_n\to\beta\) y \(x_n\to\alpha\), daría
\[ y_n<x_n \quad\text{eventualmente}. \]
Por hipótesis también vale eventualmente
\[ x_n\le y_n. \]
Proposición 13.2.5 — Reglas elementales de eventualidad (3) permite pasar a un tramo final común en el que ambas desigualdades son verdaderas. Allí tendríamos
\[ y_n<x_n\le y_n, \]
lo que contradice la irreflexividad del orden estricto. Hemos demostrado, por tanto, la afirmación constructivamente robusta
\[ \boxed{ \neg(\beta<\alpha). } \]
Falta convertir esta información negativa en la desigualdad no estricta deseada.
Supongamos
\[ \neg(\alpha\le\beta). \]
Como el orden de \(\mathbb R\) es total, debe cumplirse
\[ \beta\le\alpha. \]
Además, \(\beta=\alpha\) implicaría \(\alpha\le\beta\), contradiciendo la suposición anterior. Luego
\[ \beta\ne\alpha, \]
y por la definición del orden estricto,
\[ \beta<\alpha. \]
Esto contradice la conclusión negativa ya obtenida. Así hemos probado
\[ \neg\neg(\alpha\le\beta). \]
La lógica clásica ambiente permite eliminar la doble negación y concluir
\[ \alpha\le\beta. \]
∎
Como casos particulares, si \(x_n\to\alpha\) y \(x_n\le c\) eventualmente, entonces
\[ \alpha\le c; \]
y si \(c\le x_n\) eventualmente, entonces
\[ c\le\alpha, \]
pues la sucesión constante \(\underline c\) converge a \(c\).
La hipótesis no estricta sólo permite una conclusión no estricta: incluso cuando todos los términos satisfacen una cota, el límite puede situarse exactamente sobre ella.
Proposición 13.6.3 — Estabilidad eventual del signo estricto
Sea \(x=(x_n)\) una sucesión real con
\[ x_n\to\alpha. \]
Entonces:
- si \(0<\alpha\), se tiene \[ \boxed{ 0<x_n \quad\text{eventualmente}; } \]
- si \(\alpha<0\), se tiene \[ \boxed{ x_n<0 \quad\text{eventualmente}. } \]
Demostración.
La sucesión constante \(\underline 0\) converge a \(0\) por Proposición 13.3.4 — Las sucesiones constantes convergen a su valor.
Si \(0<\alpha\), aplicamos Proposición 13.6.1 — Límites estrictamente ordenados separan eventualmente las sucesiones a
\[ \underline 0_n\to0 \qquad\text{y}\qquad x_n\to\alpha. \]
Como \(0<\alpha\), obtenemos
\[ \underline 0_n<x_n \]
eventualmente, es decir,
\[ 0<x_n \]
eventualmente.
Si \(\alpha<0\), aplicamos la misma proposición en el orden inverso a
\[ x_n\to\alpha \qquad\text{y}\qquad \underline 0_n\to0. \]
Resulta
\[ x_n<\underline 0_n=0 \]
eventualmente. ∎
Interpretación. Un límite estrictamente positivo no permite que la sucesión siga visitando valores no positivos arbitrariamente lejos; un límite estrictamente negativo impone el comportamiento simétrico. El signo estricto del límite acaba dominando el signo de la cola.
Corolario 13.6.4 — Un límite no nulo fuerza no anulación eventual
Sea \(x=(x_n)\) una sucesión real. Si
\[ x_n\to\alpha \]
y
\[ \alpha\ne0, \]
entonces
\[ \boxed{ x_n\ne0 \quad\text{eventualmente}. } \]
Demostración.
Por totalidad del orden real,
\[ \alpha\le0 \qquad\text{o}\qquad 0\le\alpha. \]
En el primer caso, \(\alpha\ne0\) implica
\[ \alpha<0. \]
Por Proposición 13.6.3 — Estabilidad eventual del signo estricto, la desigualdad
\[ x_n<0 \]
vale eventualmente. Todo término estrictamente negativo es distinto de cero; por estabilidad de la eventualidad bajo implicación, Proposición 13.2.5 — Reglas elementales de eventualidad (5), se sigue que
\[ x_n\ne0 \]
eventualmente.
En el segundo caso, de \(\alpha\ne0\) obtenemos también \(0\ne\alpha\), y por tanto
\[ 0<\alpha. \]
Proposición 13.6.3 — Estabilidad eventual del signo estricto da ahora
\[ 0<x_n \]
eventualmente, lo que nuevamente implica \(x_n\ne0\) eventualmente. ∎
Puente hacia los cocientes. Esta es exactamente la pieza que faltaba al final de §13.5: si el límite del denominador es no nulo, entonces el denominador es no nulo desde algún índice. Todavía no definimos aquí el recíproco de una sucesión; sólo hemos demostrado que, bajo la hipótesis correcta, la cola necesaria para hacerlo existe sin ninguna elección.
Teorema 13.6.5 — Teorema del sándwich
Sean \(x=(x_n)\), \(y=(y_n)\) y \(z=(z_n)\) sucesiones reales. Supongamos que
\[ x_n\to\ell, \qquad z_n\to\ell, \]
y que
\[ x_n\le y_n \]
y
\[ y_n\le z_n \]
valen eventualmente. Entonces
\[ \boxed{ y_n\to\ell. } \]
Demostración.
Sea \(\varepsilon>0\).
De \(x_n\to\ell\) y Proposición 13.3.3 — Formulaciones equivalentes de la convergencia obtenemos que
\[ \ell-\varepsilon<x_n \]
vale eventualmente. De \(z_n\to\ell\) obtenemos que
\[ z_n<\ell+\varepsilon \]
vale eventualmente.
Por hipótesis también son eventuales
\[ x_n\le y_n \]
y
\[ y_n\le z_n. \]
Aplicando repetidamente Proposición 13.2.5 — Reglas elementales de eventualidad (3), existe un único tramo final en el que las cuatro desigualdades valen simultáneamente. En todo índice de ese tramo,
\[ \ell-\varepsilon < x_n \le y_n \le z_n <\ell+\varepsilon. \]
La transitividad del orden, junto con la definición del orden estricto asociado, da
\[ \ell-\varepsilon<y_n<\ell+\varepsilon. \]
Por tanto esa ventana alrededor de \(\ell\) contiene eventualmente a \(y_n\). Como \(\varepsilon>0\) era arbitrario, la equivalencia Proposición 13.3.3 — Formulaciones equivalentes de la convergencia concluye
\[ y_n\to\ell. \]
∎
Arquitectura de la prueba. El teorema no calcula el error de \(y_n\) directamente. Transfiere dos controles unilaterales desde las sucesiones exteriores:
\[ \boxed{ \ell-\varepsilon<x_n\le y_n\le z_n<\ell+\varepsilon. } \]
El límite común de las fronteras comprime así a la sucesión intermedia dentro de toda ventana prescrita.
Nota fundacional. No se usa completitud, Choice ni lógica clásica sustantiva. El teorema del sándwich es una consecuencia directa del significado cuantificado de convergencia y de la transitividad del orden.
Corolario 13.6.6 — Criterio absoluto de sándwich
Sean \(x=(x_n)\) e \(y=(y_n)\) sucesiones reales. Si
\[ x_n\to0 \]
y
\[ |y_n|\le x_n \quad\text{eventualmente}, \]
entonces
\[ \boxed{ y_n\to0. } \]
Demostración.
Por Proposición 4.2.2 — Propiedades elementales del valor absoluto (4), para todo \(n\),
\[ -|y_n|\le y_n\le|y_n|. \]
En todo índice en que
\[ |y_n|\le x_n, \]
la inversión del orden al tomar opuestos da
\[ -x_n\le-|y_n|. \]
Por transitividad,
\[ -x_n\le y_n\le x_n. \]
La propiedad anterior vale eventualmente por Proposición 13.2.5 — Reglas elementales de eventualidad (5).
De \(x_n\to0\), la proposición Proposición 13.5.2 — Límite del opuesto y de una diferencia da
\[ -x_n\to-0=0. \]
Así, \(y_n\) queda eventualmente comprimida entre dos sucesiones que convergen a \(0\):
\[ -x_n\le y_n\le x_n. \]
Aplicando Teorema 13.6.5 — Teorema del sándwich,
\[ y_n\to0. \]
∎
Este corolario será una forma de uso muy frecuente del sándwich: para demostrar que una sucesión tiende a cero basta a menudo dominar su valor absoluto por otra sucesión que ya sabemos que tiende a cero.
La sección ha separado cuatro fenómenos que suelen comprimirse bajo la frase «el límite respeta el orden»:
\[ \boxed{ \begin{array}{c} \alpha<\beta \Longrightarrow x_n<y_n\ \text{eventualmente},\\[4pt] x_n\le y_n\ \text{eventualmente} \Longrightarrow \alpha\le\beta,\\[4pt] \alpha\ne0 \Longrightarrow x_n\ne0\ \text{eventualmente},\\[4pt] x_n\le y_n\le z_n, \quad x_n,z_n\to\ell \Longrightarrow y_n\to\ell. \end{array} } \]
Ninguno de estos resultados utiliza todavía la completitud de \(\mathbb R\). Hasta aquí hemos estudiado qué propiedades debe tener un límite, suponiendo que ya existe.
La situación cambia en la sección siguiente. Introduciremos sucesiones monótonas y preguntaremos cuándo el orden y la acotación bastan para producir un límite. Allí aparecerá por primera vez de manera esencial la completitud de \(\mathbb R\) mediante supremos e ínfimos.
13.7. Sucesiones monótonas y convergencia monótona
Hasta ahora la convergencia ha aparecido siempre como una hipótesis: suponíamos que una sucesión tenía límite y estudiábamos qué consecuencias se seguían de ello. La completitud de \(\mathbb R\) permite invertir por primera vez esa dirección. Bajo condiciones adecuadas de orden y acotación, podremos producir la existencia del límite.
La idea central será sencilla pero profunda. Si una sucesión avanza siempre en una misma dirección y no puede escapar más allá de una cota, el extremo de su recorrido —su supremo o su ínfimo— será el único candidato posible a límite. La completitud garantiza que ese extremo existe; la monotonía obliga después a toda la cola a acercarse a él.
Definición 13.7.1 — Sucesiones monótonas
Sea \(a=(a_n)\) una sucesión real.
Diremos que \(a\) es creciente si
\[ \boxed{ \forall n,m\in\mathbb N, \qquad n\le m\Longrightarrow a_n\le a_m. } \]
Diremos que \(a\) es decreciente si
\[ \boxed{ \forall n,m\in\mathbb N, \qquad n\le m\Longrightarrow a_m\le a_n. } \]
Diremos que \(a\) es monótona si es creciente o decreciente.
Convención terminológica. En este tratado, «creciente» y «decreciente» significan monotonía no estricta. Si más adelante necesitamos las nociones estrictas, escribiremos explícitamente «estrictamente creciente» o «estrictamente decreciente».
Una sucesión constante es simultáneamente creciente y decreciente. La definición, por tanto, describe una dirección de orden, no un cambio obligatorio de valor entre términos consecutivos.
Lectura conceptual. La monotonía es una condición global sobre pares de índices. No afirma todavía que exista límite. Lo que impide a una sucesión creciente escapar hacia arriba no es la monotonía, sino la presencia adicional de una cota superior; dualmente, una sucesión decreciente necesitará una cota inferior.
Proposición 13.7.2 — La acotación pertinente de una sucesión monótona es unilateral
Sea \(a=(a_n)\) una sucesión real.
Si \(a\) es creciente, entonces \[ \boxed{ a\text{ es acotada} \iff a\text{ es acotada superiormente}. } \]
Si \(a\) es decreciente, entonces \[ \boxed{ a\text{ es acotada} \iff a\text{ es acotada inferiormente}. } \]
Demostración.
La implicación desde la acotación global hacia cualquiera de las dos cotas unilaterales es inmediata por Definición 13.4.1 — Sucesiones acotadas superiormente, inferiormente y acotadas.
Supongamos ahora que \(a\) es creciente y está acotada superiormente. Para cada \(n\in\mathbb N\) se cumple
\[ 0\le n. \]
En efecto, por Definición 1.6.1 — Orden aritmético basta exhibir \(k\in\mathbb N\) tal que \(n=0+k\); tomamos \(k=n\) y usamos Proposición 1.4.2 — Cero neutro por la izquierda.
La monotonía da entonces
\[ a_0\le a_n \]
para todo \(n\). Así, \(a_0\) es una cota inferior del recorrido \(a[\mathbb N]\). Junto con la cota superior supuesta, Definición 13.4.1 — Sucesiones acotadas superiormente, inferiormente y acotadas muestra que \(a\) es acotada.
El caso decreciente es dual. De \(0\le n\) y la monotonía se obtiene
\[ a_n\le a_0 \]
para todo \(n\); por tanto \(a_0\) es una cota superior. Si además existe una cota inferior, la sucesión es acotada. ∎
Consecuencia estructural. En presencia de monotonía, una de las dos cotas viene gratis del primer término. El problema auténtico de existencia del límite queda reducido a impedir el escape en la dirección en que la sucesión se mueve.
Teorema 13.7.3 — Teorema de convergencia monótona
Sea \(a=(a_n)\) una sucesión real.
Si \(a\) es creciente y está acotada superiormente, entonces \[ \boxed{ a_n\longrightarrow \sup a[\mathbb N]. } \]
Si \(a\) es decreciente y está acotada inferiormente, entonces \[ \boxed{ a_n\longrightarrow \inf a[\mathbb N]. } \]
Demostración.
Comenzamos por el caso creciente. Sea
\[ A:=a[\mathbb N]. \]
El conjunto \(A\) está habitado: como \(0\in\mathbb N\),
\[ a_0\in A. \]
Por hipótesis, \(A\) está acotado superiormente. Como \(\mathbb R\) es un cuerpo ordenado completo, Definición 4.6.1 — Propiedad del supremo y cuerpo ordenado completo garantiza la existencia de
\[ s:=\sup A. \]
Mostraremos que \(a_n\to s\).
Sea \(\varepsilon>0\). Entonces
\[ s-\varepsilon<s. \]
Por definición de supremo, \(s-\varepsilon\) no puede ser una cota superior de \(A\): si lo fuera, la minimalidad de \(s\) entre las cotas superiores implicaría
\[ s\le s-\varepsilon, \]
contradiciendo \(s-\varepsilon<s\).
Que \(s-\varepsilon\) no sea cota superior significa
\[ \neg\Bigl( \forall x\in A, \;x\le s-\varepsilon \Bigr). \]
Aquí aparece el paso clásico central de la demostración. Por negación clásica de cuantificadores existe \(x\in A\) tal que
\[ \neg(x\le s-\varepsilon). \]
La totalidad del orden real da entonces
\[ s-\varepsilon<x. \]
Como \(x\in A=a[\mathbb N]\), existe \(N\in\mathbb N\) con
\[ x=a_N. \]
Por tanto
\[ s-\varepsilon<a_N. \]
Si \(n\ge N\), la monotonía creciente produce
\[ a_N\le a_n. \]
Además, \(s\) es una cota superior de \(A\), de modo que
\[ a_n\le s. \]
En consecuencia, para todo \(n\ge N\),
\[ s-\varepsilon <a_N \le a_n \le s <s+\varepsilon. \]
Así,
\[ s-\varepsilon<a_n<s+\varepsilon \]
para todo índice suficientemente grande. Por la formulación en ventanas de Proposición 13.3.3 — Formulaciones equivalentes de la convergencia,
\[ a_n\to s. \]
Esto demuestra la primera afirmación.
Consideremos ahora el caso decreciente. Sea nuevamente
\[ A:=a[\mathbb N]. \]
El conjunto está habitado por \(a_0\) y, por hipótesis, está acotado inferiormente. La propiedad del ínfimo disponible en Proposición 4.6.2 — La propiedad del supremo implica la propiedad del ínfimo garantiza la existencia de
\[ i:=\inf A. \]
Sea \(\varepsilon>0\). Entonces
\[ i<i+\varepsilon. \]
El elemento \(i+\varepsilon\) no puede ser una cota inferior de \(A\): si lo fuera, la maximalidad de \(i\) entre las cotas inferiores daría
\[ i+\varepsilon\le i, \]
contradiciendo \(i<i+\varepsilon\).
Por negación clásica de cuantificadores existe, pues, \(x\in A\) tal que
\[ \neg(i+\varepsilon\le x). \]
La totalidad del orden implica
\[ x<i+\varepsilon. \]
Escribiendo \(x=a_N\) para algún \(N\in\mathbb N\), obtenemos
\[ a_N<i+\varepsilon. \]
Si \(n\ge N\), la monotonía decreciente da
\[ a_n\le a_N. \]
Como \(i\) es cota inferior de \(A\),
\[ i\le a_n. \]
Por tanto
\[ i-\varepsilon <i \le a_n \le a_N <i+\varepsilon. \]
De nuevo Proposición 13.3.3 — Formulaciones equivalentes de la convergencia concluye
\[ a_n\to i. \]
Quedan demostradas ambas afirmaciones. ∎
Arquitectura de la prueba. El argumento combina exactamente tres piezas:
\[ \boxed{ \text{cota unilateral} \;\xrightarrow{\text{completitud}}\; \text{supremo/ínfimo} \;\xrightarrow{\text{no extremalidad de }s\mp\varepsilon}\; \text{un término cercano} \;\xrightarrow{\text{monotonía}}\; \text{toda la cola cercana}. } \]
La completitud crea el candidato al límite; la monotonía transforma un solo término suficientemente próximo en control de toda la cola.
Nota fundacional. Éste es el primer resultado del Capítulo 13 que utiliza esencialmente la completitud de \(\mathbb R\). No usa Choice: para cada \(\varepsilon>0\) se demuestra la existencia de algún umbral \(N\), pero no se selecciona simultáneamente una función global \(\varepsilon\mapsto N\). Bajo la interfaz actual de supremo/ínfimo, el paso «no es cota \(\Rightarrow\) existe un elemento que la viola» usa negación clásica de cuantificadores. Tampoco se afirma que \(\sup A\), \(\inf A\) o los umbrales obtenidos sean computables.
Prueba de estrés. La acotación y la monotonía cumplen funciones distintas. La cota produce un extremo dentro de \(\mathbb R\); la monotonía impide que, después de alcanzar una zona próxima a ese extremo, la sucesión vuelva a alejarse de ella. Quitar cualquiera de las dos hipótesis destruye el mecanismo de la prueba.
Corolario 13.7.4 — Criterio de convergencia para sucesiones monótonas
Sea \(a=(a_n)\) una sucesión real monótona. Entonces
\[ \boxed{ a\text{ converge} \iff a\text{ es acotada}. } \]
Demostración.
Si \(a\) converge, entonces es acotada por Teorema 13.4.5 — Toda sucesión real convergente es acotada.
Recíprocamente, supongamos que \(a\) es acotada. Como es monótona, por Definición 13.7.1 — Sucesiones monótonas es creciente o decreciente.
- Si es creciente, la acotación proporciona en particular una cota superior, y Teorema 13.7.3 — Teorema de convergencia monótona (1) garantiza su convergencia.
- Si es decreciente, la acotación proporciona una cota inferior, y Teorema 13.7.3 — Teorema de convergencia monótona (2) garantiza su convergencia.
Por tanto toda sucesión real monótona y acotada converge. ∎
Este corolario resume el papel exacto de la completitud en esta clase de sucesiones:
\[ \boxed{ \text{monotonía} + \text{acotación} \Longleftrightarrow \text{convergencia} \qquad \text{(para sucesiones monótonas reales).} } \]
La equivalencia no sería verdadera en \(\mathbb Q\): allí pueden existir sucesiones racionales monótonas y acotadas cuyo extremo natural no pertenece al cuerpo. La diferencia no está en la definición de sucesión ni en la de monotonía, sino en la completitud del espacio numérico en el que viven sus términos.
La sección ha producido por primera vez un límite sin suponerlo de antemano. El esquema esencial queda fijado como
\[ \boxed{ \text{monotonía} + \text{cota adecuada} + \text{completitud de }\mathbb R \Longrightarrow \text{convergencia}. } \]
El siguiente paso será abandonar la monotonía y buscar una condición interna sobre la propia sucesión que detecte convergencia sin conocer previamente el límite. Esa condición será la condición de Cauchy. En §13.8 definiremos sucesiones de Cauchy en \(\mathbb R\) y demostraremos el criterio de Cauchy usando la completitud ya disponible.
13.8. Sucesiones de Cauchy y criterio de Cauchy
La convergencia compara una sucesión con un real fijo que ya conocemos. La condición de Cauchy elimina esa referencia externa: pregunta únicamente si los términos suficientemente tardíos están arbitrariamente próximos entre sí.
Esta idea ya apareció en el Capítulo 8, pero allí cumplía una función distinta. En \(\mathbb Q\) demostramos que toda sucesión racional convergente es de Cauchy y construimos después una sucesión racional de Cauchy sin límite racional. La condición detectaba una estabilización interna que el sistema racional no siempre podía realizar como un punto de \(\mathbb Q\).
Ahora trabajamos en \(\mathbb R\). La definición tendrá la misma forma lógica, pero la completitud cambia radicalmente su fuerza. El objetivo de esta sección es demostrar
\[ \boxed{ (a_n)\text{ converge en }\mathbb R \iff (a_n)\text{ es de Cauchy}. } \]
La dirección de izquierda a derecha utilizará sólo la desigualdad triangular. La recíproca será el segundo mecanismo fundamental del capítulo en el que la completitud produce existencia de un límite.
Definición 13.8.1 — Sucesión real de Cauchy
Sea \(a=(a_n)\) una sucesión real. Diremos que \(a\) es una sucesión de Cauchy si para todo \(\varepsilon>0\) existe \(N\in\mathbb N\) tal que, para cualesquiera \(m,n\in\mathbb N\),
\[ N\le m \quad\text{y}\quad N\le n \]
implican
\[ \boxed{ |a_m-a_n|<\varepsilon. } \]
Equivalentemente,
\[ \boxed{ \forall\varepsilon\in\mathbb R, \quad 0<\varepsilon \Longrightarrow \exists N\in\mathbb N\; \forall m,n\in\mathbb N, \quad (N\le m\wedge N\le n) \Longrightarrow |a_m-a_n|<\varepsilon. } \]
La definición no menciona ningún candidato a límite. Toda la información es interna a la sucesión.
Lectura lógica. En la convergencia, el patrón es \[ |a_n-\ell|<\varepsilon. \] En la condición de Cauchy, el punto fijo \(\ell\) desaparece y se reemplaza por un segundo término tardío: \[ |a_m-a_n|<\varepsilon. \] La pregunta ya no es «¿cerca de qué punto están los términos?», sino «¿se vuelven mutuamente tan próximos como queramos?».
Nota fundacional. La definición afirma la existencia de un umbral \(N\) para cada precisión positiva. No proporciona por sí sola una función \(\varepsilon\mapsto N\), y mucho menos un procedimiento computable para producirla. Como en el Capítulo 8, un módulo de Cauchy sería información adicional y no forma parte de la definición extensional.
Teorema 13.8.2 — Toda sucesión real convergente es de Cauchy
Sea \(a=(a_n)\) una sucesión real y sea \(\ell\in\mathbb R\). Si
\[ a_n\longrightarrow\ell, \]
entonces \(a\) es de Cauchy.
Demostración.
Sea \(\varepsilon>0\). Pondremos
\[ s:=1+1. \]
Por Lema 4.1.3 — Cálculo elemental de signos en un cuerpo ordenado (3) se tiene \(0<1\); sumando \(1\) obtenemos
\[ 1<s, \]
y por tanto \(0<s\). En particular \(s^{-1}>0\) por Lema 4.1.3 — Cálculo elemental de signos en un cuerpo ordenado (6).
Definamos
\[ \eta:=\varepsilon s^{-1}. \]
Entonces \(\eta>0\) y
\[ \eta+\eta = \varepsilon s^{-1}+\varepsilon s^{-1} = \varepsilon(1+1)s^{-1} = \varepsilon ss^{-1} = \varepsilon. \]
Como \(a_n\to\ell\), existe \(N\in\mathbb N\) tal que
\[ N\le k \Longrightarrow |a_k-\ell|<\eta. \]
Sean ahora \(m,n\ge N\). La desigualdad triangular da
\[ |a_m-a_n| = |(a_m-\ell)+(\ell-a_n)| \le |a_m-\ell|+|\ell-a_n|. \]
Por Proposición 4.2.2 — Propiedades elementales del valor absoluto (3),
\[ |\ell-a_n|=|a_n-\ell|. \]
Por tanto
\[ |a_m-a_n| < \eta+\eta = \varepsilon. \]
Hemos encontrado un mismo umbral \(N\) que sirve simultáneamente para todos los pares \(m,n\ge N\). Por Definición 13.8.1 — Sucesión real de Cauchy, \(a\) es de Cauchy. ∎
Arquitectura de la prueba. La convergencia coloca todos los términos tardíos en una misma ventana de radio \(\eta\), con \(\eta+\eta=\varepsilon\), alrededor de \(\ell\); la desigualdad triangular convierte esa ventana común en proximidad mutua menor que \(\varepsilon\).
Teorema 13.8.3 — Toda sucesión real de Cauchy es acotada
Toda sucesión real de Cauchy es acotada.
Demostración.
Sea \(a=(a_n)\) de Cauchy. Como \(0<1\), aplicamos la definición con
\[ \varepsilon:=1. \]
Existe \(N\in\mathbb N\) tal que, si \(m,n\ge N\), entonces
\[ |a_m-a_n|<1. \]
Fijando \(m=N\), obtenemos para todo \(n\ge N\)
\[ |a_n-a_N|<1. \]
Por la desigualdad triangular,
\[ |a_n| = |(a_n-a_N)+a_N| \le |a_n-a_N|+|a_N| < 1+|a_N|. \]
En particular,
\[ |a_n|\le 1+|a_N| \]
eventualmente. Además,
\[ 0\le 1+|a_N|. \]
La proposición Proposición 13.4.4 — Una cota eventual se extiende a una cota global extiende toda cota eventual de los valores absolutos a una cota global. Por tanto \(a\) es acotada. ∎
Economía deductiva. En el Capítulo 8 fue necesario controlar por separado la cola racional y el prefijo finito. Aquí esa infraestructura ya está encapsulada en Proposición 13.4.4 — Una cota eventual se extiende a una cota global. La idea matemática sigue siendo la misma: \[ \boxed{ \text{Cauchy controla una cola} + \text{el prefijo finito no puede escapar} \Longrightarrow \text{acotación global}. } \]
Definición 13.8.4 — Envolventes inferior y superior de las colas
Sea \(a=(a_n)\) una sucesión real acotada y sea \(N\in\mathbb N\). Definimos el conjunto de valores de la cola desde \(N\) por
\[ \boxed{ T_N(a):=a[\mathbb N_{\ge N}]. } \]
El conjunto \(T_N(a)\) está habitado, pues
\[ N\in\mathbb N_{\ge N} \]
y por tanto
\[ a_N\in T_N(a). \]
Como \(a\) es acotada, toda cota inferior o superior global de \(a[\mathbb N]\) lo es también de \(T_N(a)\). La completitud de \(\mathbb R\) garantiza entonces la existencia de los dos extremos
\[ \inf T_N(a), \qquad \sup T_N(a). \]
Definimos
\[ \boxed{ L_N(a):=\inf T_N(a), \qquad U_N(a):=\sup T_N(a). } \]
Llamaremos a
\[ L(a):=(L_N(a))_{N\in\mathbb N} \]
la envolvente inferior de las colas de \(a\), y a
\[ U(a):=(U_N(a))_{N\in\mathbb N} \]
la envolvente superior de las colas.
Debemos justificar que estas asignaciones son realmente sucesiones reales. Consideremos, por ejemplo,
\[ G_L := \left\{ \langle N,x\rangle\in\mathbb N\times\mathbb R: x=\inf T_N(a) \right\}. \]
El conjunto existe por Separación. Para cada \(N\in\mathbb N\), la existencia del ínfimo está garantizada por la completitud y su unicidad por Proposición 0.7.8 — Unicidad de supremo e ínfimo; por tanto existe un único \(x\in\mathbb R\) con \(\langle N,x\rangle\in G_L\). Así \(G_L\) es el grafo de una función
\[ L(a):\mathbb N\longrightarrow\mathbb R. \]
El mismo argumento produce \(U(a)\).
Contenido efectivo. La existencia extensional de \(L_N(a)\) y \(U_N(a)\) no proporciona algoritmos para calcularlos a partir de una descripción de \(a\). La construcción usa la completitud de orden de \(\mathbb R\) en su sentido clásico actual.
Proposición 13.8.5 — Monotonía y encajamiento de las envolventes de colas
Sea \(a=(a_n)\) una sucesión real acotada. Entonces:
- si \(N\le M\), se tiene \[ \boxed{ T_M(a)\subseteq T_N(a); } \]
- \(L(a)\) es creciente;
- \(U(a)\) es decreciente;
- para todo \(N\in\mathbb N\), \[ \boxed{ L_N(a)\le a_N\le U_N(a); } \]
- si \(A\) es una cota inferior global de \(a\) y \(B\) una cota superior global, entonces \[ \boxed{ A\le L_N(a)\le U_N(a)\le B } \] para todo \(N\).
En particular, \(L(a)\) es creciente y acotada superiormente, mientras que \(U(a)\) es decreciente y acotada inferiormente.
Demostración.
Supongamos \(N\le M\). Por Proposición 13.2.2 — Monotonía de los segmentos finales,
\[ \mathbb N_{\ge M} \subseteq \mathbb N_{\ge N}. \]
Sea \(x\in T_M(a)\). Entonces existe \(k\in\mathbb N_{\ge M}\) con \(x=a_k\). La inclusión anterior da \(k\in\mathbb N_{\ge N}\) y, por tanto, \(x\in T_N(a)\). Así
\[ T_M(a)\subseteq T_N(a). \]
Como \(L_N(a)\) es cota inferior de \(T_N(a)\), también lo es del subconjunto \(T_M(a)\). La maximalidad de \(L_M(a)=\inf T_M(a)\) entre las cotas inferiores da
\[ L_N(a)\le L_M(a). \]
Luego \(L(a)\) es creciente.
Análogamente, \(U_N(a)\) es cota superior de \(T_N(a)\) y, por tanto, de \(T_M(a)\). La minimalidad de \(U_M(a)=\sup T_M(a)\) da
\[ U_M(a)\le U_N(a), \]
de modo que \(U(a)\) es decreciente.
Además,
\[ a_N\in T_N(a), \]
por lo que las propiedades de ínfimo y supremo implican
\[ L_N(a)\le a_N\le U_N(a). \]
Finalmente, si \(A\) y \(B\) son respectivamente cotas inferior y superior globales de \(a\), también lo son de cada \(T_N(a)\). La maximalidad del ínfimo y la minimalidad del supremo producen
\[ A\le L_N(a), \qquad U_N(a)\le B. \]
Junto con \(a_N\in T_N(a)\) obtenemos
\[ A\le L_N(a)\le a_N\le U_N(a)\le B, \]
y en particular la cadena anunciada. ∎
Representación. A medida que \(N\) aumenta, descartamos términos iniciales y las colas se encajan: \[ T_0(a)\supseteq T_1(a)\supseteq T_2(a)\supseteq\cdots. \] Sus ínfimos sólo pueden subir y sus supremos sólo pueden bajar. Las dos envolventes forman así un corredor ordenado que contiene al término \(a_N\).
Lema 13.8.6 — En una sucesión de Cauchy la anchura de las envolventes tiende a cero
Sea \(a=(a_n)\) una sucesión real de Cauchy. Entonces, para sus envolventes de colas,
\[ \boxed{ U_N(a)-L_N(a)\longrightarrow0. } \]
Demostración.
Por Teorema 13.8.3 — Toda sucesión real de Cauchy es acotada, \(a\) es acotada, de modo que \(L(a)\) y \(U(a)\) están definidos.
Sea \(\varepsilon>0\). Como en Teorema 13.8.2 — Toda sucesión real convergente es de Cauchy, pongamos
\[ s:=1+1, \qquad \eta:=\varepsilon s^{-1}. \]
Entonces
\[ 0<\eta, \qquad \eta+\eta=\varepsilon. \]
En particular,
\[ \eta<\varepsilon, \]
pues de \(0<\eta\) y la invariancia estricta del orden por traslación se obtiene
\[ \eta<\eta+\eta=\varepsilon. \]
Como \(a\) es de Cauchy, existe \(N_0\in\mathbb N\) tal que
\[ m,n\ge N_0 \Longrightarrow |a_m-a_n|<\eta. \]
Fijemos \(N\ge N_0\). Sean \(x,y\in T_N(a)\). Existen \(m,n\ge N\) tales que
\[ x=a_m, \qquad y=a_n. \]
Por transitividad del orden natural, \(m,n\ge N_0\), y por tanto
\[ |x-y|<\eta. \]
Como
\[ x-y\le|x-y|, \]
obtenemos
\[ x-y<\eta, \]
y, sumando \(y\),
\[ x<y+\eta. \]
Fijado \(y\in T_N(a)\), esta desigualdad vale para todo \(x\in T_N(a)\). Por tanto \(y+\eta\) es una cota superior de \(T_N(a)\), y la minimalidad del supremo da
\[ U_N(a)\le y+\eta. \]
Equivalentemente,
\[ U_N(a)-\eta\le y. \]
Como esto vale para todo \(y\in T_N(a)\), el número \(U_N(a)-\eta\) es una cota inferior de la cola. La maximalidad del ínfimo produce
\[ U_N(a)-\eta\le L_N(a). \]
Reordenando,
\[ U_N(a)-L_N(a)\le\eta. \]
Por Proposición 13.8.5 — Monotonía y encajamiento de las envolventes de colas,
\[ L_N(a)\le U_N(a), \]
de modo que
\[ 0\le U_N(a)-L_N(a)\le\eta<\varepsilon. \]
Al ser no negativo,
\[ |U_N(a)-L_N(a)|=U_N(a)-L_N(a)<\varepsilon. \]
Hemos demostrado que para todo \(N\ge N_0\) la anchura de la envolvente está a distancia menor que \(\varepsilon\) de \(0\). Por Definición 13.3.1 — Convergencia de una sucesión real,
\[ U_N(a)-L_N(a)\to0. \]
∎
Idea central. La condición de Cauchy no sólo dice que pares concretos de términos están próximos. Obliga a que todo el conjunto de valores de una cola quede encerrado en un intervalo de anchura arbitrariamente pequeña. Los supremos e ínfimos de las colas convierten esa información pareada en una única magnitud: \[ \boxed{ \text{diámetro de la cola} \rightsquigarrow U_N(a)-L_N(a)\to0. } \]
Teorema 13.8.7 — Toda sucesión real de Cauchy converge
Toda sucesión real de Cauchy converge a un número real.
Demostración.
Sea \(a=(a_n)\) una sucesión real de Cauchy. Por Teorema 13.8.3 — Toda sucesión real de Cauchy es acotada, \(a\) es acotada. Consideremos sus envolventes \(L(a)\) y \(U(a)\).
Por Proposición 13.8.5 — Monotonía y encajamiento de las envolventes de colas, la sucesión \(L(a)\) es creciente y acotada superiormente. El teorema de convergencia monótona Teorema 13.7.3 — Teorema de convergencia monótona garantiza, por tanto, la existencia de un real \(\ell\) tal que
\[ L_N(a)\to\ell. \]
Del mismo modo, \(U(a)\) es decreciente y acotada inferiormente, de modo que existe \(u\in\mathbb R\) con
\[ U_N(a)\to u. \]
La proposición Proposición 13.5.2 — Límite del opuesto y de una diferencia sobre diferencias de límites da
\[ U_N(a)-L_N(a) \longrightarrow u-\ell. \]
Pero Lema 13.8.6 — En una sucesión de Cauchy la anchura de las envolventes tiende a cero demuestra también
\[ U_N(a)-L_N(a) \longrightarrow 0. \]
Por unicidad del límite real, Teorema 13.3.5 — Unicidad del límite real,
\[ u-\ell=0. \]
Sumando \(\ell\) a ambos miembros y usando las leyes de cuerpo fijadas en Convención 3.6.7 — Terminología de cuerpo,
\[ u=\ell. \]
Denotemos por
\[ r:=\ell=u \]
este límite común.
Para todo \(N\in\mathbb N\), Proposición 13.8.5 — Monotonía y encajamiento de las envolventes de colas da
\[ L_N(a)\le a_N\le U_N(a). \]
Además,
\[ L_N(a)\to r, \qquad U_N(a)\to r. \]
El teorema del sándwich Teorema 13.6.5 — Teorema del sándwich implica entonces
\[ \boxed{ a_N\to r. } \]
Por tanto \(a\) converge en \(\mathbb R\). ∎
Arquitectura de la prueba. El mecanismo completo es \[ \boxed{ \begin{aligned} \text{Cauchy} &\Longrightarrow \text{acotación}\\ &\Longrightarrow L_N\uparrow,\;U_N\downarrow\\ &\xrightarrow{\text{completitud}} L_N\to\ell,\;U_N\to u\\ &\Longrightarrow U_N-L_N\to u-\ell\\ &\overset{\text{Cauchy}}{\Longrightarrow}u-\ell=0\\ &\Longrightarrow L_N\le a_N\le U_N\to r\\ &\Longrightarrow a_N\to r. \end{aligned} } \]
Dónde entra la completitud. La condición de Cauchy por sí sola sólo estrecha las colas. La completitud de \(\mathbb R\) garantiza que los extremos de esas colas existen y que las dos envolventes monótonas poseen límites reales. Éste es exactamente el paso que falla en \(\mathbb Q\).
Corolario 13.8.8 — Criterio de Cauchy en \(\mathbb R\)
Para toda sucesión real \(a=(a_n)\),
\[ \boxed{ a\text{ converge en }\mathbb R \iff a\text{ es de Cauchy}. } \]
Demostración.
La implicación
\[ a\text{ converge} \Longrightarrow a\text{ es de Cauchy} \]
es Teorema 13.8.2 — Toda sucesión real convergente es de Cauchy. La recíproca
\[ a\text{ es de Cauchy} \Longrightarrow a\text{ converge} \]
es Teorema 13.8.7 — Toda sucesión real de Cauchy converge. ∎
El contraste con los racionales queda ahora completamente identificado:
\[ \boxed{ \begin{array}{c} \text{en }\mathbb Q:\quad \text{convergente}\Longrightarrow\text{Cauchy}, \quad\text{pero no recíprocamente};\\[4pt] \text{en }\mathbb R:\quad \text{convergente}\Longleftrightarrow\text{Cauchy}. \end{array} } \]
No ha cambiado la definición de Cauchy; ha cambiado el sistema numérico en el que vive la sucesión. La completitud convierte una condición interna de coherencia asintótica en existencia formal de un límite real, sin que ello implique computabilidad del límite.
Con §13.8 disponemos ya de dos grandes mecanismos de existencia de límites:
\[ \boxed{ \begin{aligned} \text{monotonía + acotación} &\Longrightarrow \text{convergencia},\\ \text{Cauchy} &\Longrightarrow \text{convergencia}. \end{aligned} } \]
El siguiente paso será estudiar subsucesiones. Dejaremos de exigir que toda la cola posea un único comportamiento y aprenderemos a extraer procesos parciales conservando el orden de los índices. Esta infraestructura permitirá después formular puntos límite secuenciales y preparar el teorema de Bolzano–Weierstrass.
13.9. Subsucesiones
Hasta ahora hemos estudiado el comportamiento de una sucesión mirando su cola completa. Una subsucesión cambia la perspectiva: conserva algunos términos y descarta otros, pero sin alterar el orden en que aparecían.
Esta última condición es esencial. Si escribimos informalmente
\[ a_{n_0},a_{n_1},a_{n_2},\ldots, \]
no basta exigir que cada \(n_k\) sea un natural. Debemos imponer
\[ n_0<n_1<n_2<\cdots. \]
Así, una subsucesión no es un subconjunto del recorrido de la sucesión y tampoco es una reordenación de sus términos. Es un nuevo proceso indexado por \(\mathbb N\) obtenido mediante una selección de índices que avanza siempre hacia adelante.
La construcción posee además una propiedad menos visible pero fundamental: un selector estrictamente creciente no puede quedarse confinado en una región inicial de \(\mathbb N\). Sus valores terminan superando cualquier umbral natural. Precisaremos primero este mecanismo antes de definir formalmente la subsucesión.
Definición 13.9.1 — Selector de índices de subsucesión
Llamaremos selector de índices de subsucesión a una función
\[ \boxed{ \phi:\mathbb N\longrightarrow\mathbb N } \]
que sea estrictamente creciente, es decir,
\[ \boxed{ m<n\Longrightarrow \phi(m)<\phi(n) } \]
para todos \(m,n\in\mathbb N\).
El adjetivo «selector» no significa que estemos escogiendo elementos de una familia mediante Choice. Aquí \(\phi\) es una función concreta que forma parte de los datos. La condición de crecimiento estricto expresa simultáneamente dos restricciones:
- no puede reutilizar un índice ya empleado;
- no puede invertir el orden de dos índices seleccionados.
Puede, en cambio, saltar tantos índices como quiera entre dos selecciones consecutivas.
Prueba de estrés. Una función constante \(\phi(k)=N\) no es un selector: repite siempre el mismo índice. Una permutación que intercambie dos índices tampoco lo es si destruye el orden estricto. En cambio, \(k\mapsto N+k\) sí será un selector y producirá exactamente la cola reindexada introducida en §13.2.
Proposición 13.9.2 — Crecimiento, inyectividad y cofinalidad de los selectores de índices
Sea \(\phi:\mathbb N\to\mathbb N\) un selector de índices. Entonces:
- \(\phi\) es inyectiva;
- para todo \(n\in\mathbb N\), \[ \boxed{n\leq\phi(n)}; \]
- para todos \(N,k\in\mathbb N\), \[ \boxed{ N\leq k\Longrightarrow N\leq\phi(k). } \]
En particular, los valores de \(\phi\) son cofinales en \(\mathbb N\): ningún segmento inicial de los naturales contiene todos los índices seleccionados.
Demostración.
Probemos primero la inyectividad. Supongamos
\[ \phi(m)=\phi(n). \]
La tricotomía decidible Proposición 1.6.7 — Tricotomía decidible de los naturales da exactamente una de las posibilidades
\[ m<n, \qquad m=n, \qquad n<m. \]
Si \(m<n\), el crecimiento estricto del selector produciría
\[ \phi(m)<\phi(n), \]
contradiciendo la igualdad. El caso \(n<m\) es simétrico. Luego necesariamente
\[ m=n, \]
y \(\phi\) es inyectiva en el sentido de Definición 0.6.6 — Inyectividad, sobreyectividad y biyectividad.
Demostraremos ahora
\[ n\leq\phi(n) \]
por inducción sobre \(n\).
Para \(n=0\), Proposición 1.4.2 — Cero neutro por la izquierda da
\[ \phi(0)=0+\phi(0), \]
de modo que la definición aritmética del orden Definición 1.6.1 — Orden aritmético implica
\[ 0\leq\phi(0). \]
Supongamos como hipótesis inductiva
\[ n\leq\phi(n). \]
Como \(n\in S(n)\), Teorema 1.6.12 — Orden estricto y pertenencia da
\[ n<S(n). \]
El crecimiento estricto de \(\phi\) implica entonces
\[ \phi(n)<\phi(S(n)). \]
Usaremos el siguiente hecho elemental sobre los naturales:
\[ \boxed{ p<q\Longrightarrow S(p)\leq q.} \]
En efecto, \(p<q\) implica \(p\leq q\), así que existe \(r\in\mathbb N\) con
\[ q=p+r. \]
Como \(p\neq q\), necesariamente \(r\neq0\). Por Teorema 1.2.7 — Predecesor de todo natural no nulo, existe \(s\in\mathbb N\) tal que
\[ r=S(s). \]
Por la definición recursiva de la suma y Lema 1.4.3 — Sucesor en el primer argumento,
\[ q=p+S(s)=S(p+s)=S(p)+s. \]
Por Definición 1.6.1 — Orden aritmético, esto significa
\[ S(p)\leq q. \]
Aplicando este hecho a
\[ \phi(n)<\phi(S(n)), \]
obtenemos
\[ S(\phi(n))\leq\phi(S(n)). \]
Por otra parte, la compatibilidad del orden natural con la suma Proposición 1.6.6 — Compatibilidad con la suma, aplicada a la hipótesis inductiva con el sumando \(1=S(0)\), da
\[ n+1\leq\phi(n)+1. \]
La definición recursiva de la suma identifica ambos miembros con sucesores:
\[ S(n)\leq S(\phi(n)). \]
Por transitividad de \(\leq\) (Proposición 1.6.2 — Reflexividad y transitividad),
\[ S(n)\leq\phi(S(n)). \]
La inducción queda cerrada.
Finalmente, si \(N\leq k\), el resultado recién probado da
\[ k\leq\phi(k). \]
Otra aplicación de la transitividad produce
\[ N\leq\phi(k). \]
Esto demuestra \(3\). ∎
Lectura conceptual. La desigualdad \(n\leq\phi(n)\) es más importante de lo que parece. Nos dice que la extracción puede acelerar el recorrido de los índices, pero nunca retrasarlo indefinidamente. Por eso cualquier propiedad que ya vale después de un umbral \(N\) seguirá siendo accesible desde una subsucesión: basta tomar índices de la nueva sucesión a partir de \(N\).
Definición 13.9.3 — Subsucesión de una sucesión real
Sean
\[ a=(a_n)_{n\in\mathbb N}, \qquad b=(b_k)_{k\in\mathbb N} \]
sucesiones reales. Diremos que \(b\) es una subsucesión de \(a\) si existe un selector de índices
\[ \phi:\mathbb N\to\mathbb N \]
tal que
\[ \boxed{ b=a\circ\phi.} \]
Equivalentemente, para todo \(k\in\mathbb N\),
\[ \boxed{ b_k=a_{\phi(k)}.} \]
La equivalencia entre ambas escrituras es sólo la definición de composición y evaluación; Proposición 13.1.2 — Criterio término a término para la igualdad de sucesiones reales permite recuperar la igualdad de sucesiones a partir de la igualdad término a término.
Distinción de tipos. El selector \(\phi\) actúa sobre índices, \[ \phi:\mathbb N\to\mathbb N, \] mientras que \(a\) actúa sobre esos índices y devuelve valores reales, \[ a:\mathbb N\to\mathbb R. \] La subsucesión es la composición de ambos niveles.
Nota fundacional. La definición es existencial: para afirmar que una sucesión concreta \(b\) es subsucesión de \(a\) debe existir un selector que la testimonie. No se escoge simultáneamente un selector para todas las posibles subsucesiones y no interviene Choice.
Proposición 13.9.4 — Las colas son subsucesiones y las subsucesiones se componen
Sea \(a\) una sucesión real.
- Para todo \(N\in\mathbb N\), la cola reindexada \(a^{\langle N\rangle}\) es una subsucesión de \(a\).
- Si \(b\) es una subsucesión de \(a\) y \(c\) es una subsucesión de \(b\), entonces \(c\) es una subsucesión de \(a\).
Demostración.
Fijemos \(N\in\mathbb N\). La regla
\[ \phi_N(k):=N+k \]
determina una función \(\phi_N:\mathbb N\to\mathbb N\): su grafo puede obtenerse por Separación dentro de \(\mathbb N\times\mathbb N\), y para cada \(k\) el valor \(N+k\) está determinado de manera única por la suma natural ya construida.
Si \(k<\ell\), Proposición 1.6.6 — Compatibilidad con la suma da
\[ k+N<\ell+N. \]
Por conmutatividad de la suma,
\[ N+k<N+\ell. \]
Así \(\phi_N\) es un selector de índices. Por Definición 13.2.3 — Cola reindexada de una sucesión,
\[ a^{\langle N\rangle}_k=a_{N+k}=a_{\phi_N(k)}, \]
y Definición 13.9.3 — Subsucesión de una sucesión real muestra que \(a^{\langle N\rangle}\) es una subsucesión de \(a\).
Probemos ahora \(2\). Como \(b\) es subsucesión de \(a\), existe un selector \(\phi\) tal que
\[ b=a\circ\phi. \]
Como \(c\) es subsucesión de \(b\), existe un selector \(\psi\) tal que
\[ c=b\circ\psi. \]
Definimos
\[ \theta:=\phi\circ\psi:\mathbb N\to\mathbb N. \]
Si \(k<\ell\), entonces
\[ \psi(k)<\psi(\ell) \]
y, aplicando el crecimiento estricto de \(\phi\),
\[ \theta(k)=\phi(\psi(k)) < \phi(\psi(\ell))=\theta(\ell). \]
Por tanto \(\theta\) es un selector. La asociatividad de la composición de funciones Proposición 0.6.5 — Asociatividad y leyes de identidad da
\[ \begin{aligned} c &=b\circ\psi\\ &=(a\circ\phi)\circ\psi\\ &=a\circ(\phi\circ\psi)\\ &=a\circ\theta. \end{aligned} \]
Luego \(c\) es una subsucesión de \(a\). ∎
La segunda parte muestra que «extraer de una extracción» no produce una noción nueva: dos etapas de selección pueden comprimirse en un único selector estrictamente creciente.
Teorema 13.9.5 — Toda subsucesión de una sucesión convergente converge al mismo límite
Sea \(a=(a_n)\) una sucesión real y sea \(b=(b_k)\) una subsucesión de \(a\). Si
\[ a_n\to\ell, \]
entonces
\[ \boxed{b_k\to\ell.} \]
Demostración.
Por definición de subsucesión existe un selector \(\phi:\mathbb N\to\mathbb N\) tal que
\[ b_k=a_{\phi(k)}. \]
Sea \(\varepsilon>0\). Como \(a_n\to\ell\), existe \(N\in\mathbb N\) tal que
\[ n\geq N \Longrightarrow |a_n-\ell|<\varepsilon. \]
Tomemos ahora \(k\geq N\). Proposición 13.9.2 — Crecimiento, inyectividad y cofinalidad de los selectores de índices da
\[ k\leq\phi(k). \]
Como además \(N\leq k\), Proposición 13.9.2 — Crecimiento, inyectividad y cofinalidad de los selectores de índices (3) produce directamente
\[ N\leq\phi(k). \]
Por la elección del umbral \(N\),
\[ |b_k-\ell| = |a_{\phi(k)}-\ell| <\varepsilon. \]
Así
\[ \forall\varepsilon>0\;\exists N\;\forall k\geq N, \qquad |b_k-\ell|<\varepsilon, \]
y por Definición 13.3.1 — Convergencia de una sucesión real,
\[ b_k\to\ell. \]
∎
Arquitectura de la prueba. No necesitamos conocer una fórmula explícita para \(\phi(k)\). Toda la demostración se reduce a transportar el umbral \(N\) mediante \[ N\leq k\leq\phi(k). \] Ésta es la razón estructural por la que una subsucesión de una sucesión convergente no puede escapar de su límite.
Proposición 13.9.6 — Acotación y condición de Cauchy pasan a las subsucesiones
Sea \(b\) una subsucesión de una sucesión real \(a\).
- Si \(a\) es acotada, entonces \(b\) es acotada.
- Si \(a\) es de Cauchy, entonces \(b\) es de Cauchy.
Demostración.
Sea \(\phi\) un selector que testimonia
\[ b_k=a_{\phi(k)}. \]
Supongamos primero que \(a\) es acotada. Por Proposición 13.4.2 — Caracterización de la acotación mediante el valor absoluto existe \(M\geq0\) tal que
\[ |a_n|\leq M \]
para todo \(n\in\mathbb N\). Entonces, para todo \(k\),
\[ |b_k| = |a_{\phi(k)}| \leq M. \]
Otra aplicación de Proposición 13.4.2 — Caracterización de la acotación mediante el valor absoluto muestra que \(b\) es acotada.
Supongamos ahora que \(a\) es de Cauchy y sea \(\varepsilon>0\). Existe \(N\in\mathbb N\) tal que
\[ m,n\geq N \Longrightarrow |a_m-a_n|<\varepsilon. \]
Sean \(k,j\geq N\). Por Proposición 13.9.2 — Crecimiento, inyectividad y cofinalidad de los selectores de índices (3),
\[ \phi(k)\geq N, \qquad \phi(j)\geq N. \]
Por tanto
\[ |b_k-b_j| = |a_{\phi(k)}-a_{\phi(j)}| <\varepsilon. \]
Esto es exactamente la condición de Cauchy para \(b\). ∎
Observación. La segunda afirmación se ha probado directamente. Aunque en \(\mathbb R\) podríamos deducirla de \[ \text{Cauchy}\Rightarrow\text{convergente}\Rightarrow \text{subsucesión convergente}\Rightarrow\text{Cauchy}, \] esa ruta escondería innecesariamente la simplicidad del argumento y haría intervenir completitud donde no hace falta.
Corolario 13.9.7 — Caracterización de la convergencia mediante subsucesiones
Para una sucesión real \(a=(a_n)\) y un real \(\ell\), son equivalentes:
- \(a_n\to\ell\);
- toda subsucesión de \(a\) converge a \(\ell\).
Demostración.
La implicación \(1\Rightarrow2\) es Teorema 13.9.5 — Toda subsucesión de una sucesión convergente converge al mismo límite.
Para la recíproca, la identidad
\[ \operatorname{id}_{\mathbb N}:\mathbb N\to\mathbb N \]
es estrictamente creciente, pues
\[ m<n\Longrightarrow \operatorname{id}_{\mathbb N}(m)=m<n= \operatorname{id}_{\mathbb N}(n). \]
Así es un selector de índices. Por la ley de identidad para la composición Proposición 0.6.5 — Asociatividad y leyes de identidad,
\[ a\circ\operatorname{id}_{\mathbb N}=a. \]
Luego \(a\) es una subsucesión de sí misma. Si toda subsucesión de \(a\) converge a \(\ell\), en particular
\[ a_n\to\ell. \]
∎
Una consecuencia inmediata, combinando Teorema 13.9.5 — Toda subsucesión de una sucesión convergente converge al mismo límite con la unicidad del límite Teorema 13.3.5 — Unicidad del límite real, es la siguiente rigidez: si \(a_n\to\ell\), ninguna subsucesión de \(a\) puede converger a un real distinto de \(\ell\).
Esta observación señala exactamente el concepto siguiente. Una sucesión que no converge puede contener, sin embargo, subsucesiones convergentes; diferentes extracciones pueden incluso revelar comportamientos asintóticos distintos. El próximo paso será convertir esos límites obtenidos por extracción en objetos de estudio propios: los puntos límite secuenciales de una sucesión.
13.10. Puntos límite secuenciales
La convergencia ordinaria exige que todos los términos suficientemente tardíos queden cerca de un mismo real. Una subsucesión permite una exigencia diferente: quizá la sucesión completa no converja, pero podamos conservar una cadena indefinidamente creciente de índices cuyos valores sí converjan. Los límites así obtenidos se estudiarán sin introducir todavía vecindades topológicas ni puntos de acumulación de conjuntos.
Debemos distinguir dos afirmaciones:
\[ \underbrace{a_n\to x}_{\text{converge la sucesión entera}} \qquad\text{y}\qquad \underbrace{a_{\phi(k)}\to x}_{\text{converge una extracción}}. \]
La primera implica la segunda para cualquier selector, por Teorema 13.9.5 — Toda subsucesión de una sucesión convergente converge al mismo límite; la recíproca no está autorizada. Precisaremos ahora qué reales pueden alcanzarse por una extracción y cómo reconocerlos sin adivinar previamente el selector.
Definición 13.10.1 — Punto límite secuencial
Sea \(a=(a_n)_{n\in\mathbb N}\) una sucesión real. Un real \(x\) es un punto límite secuencial de \(a\) si existe un selector estrictamente creciente \(\phi:\mathbb N\to\mathbb N\) tal que
\[ \boxed{a_{\phi(k)}\longrightarrow x.} \]
Equivalentemente, \(x\) es el límite de alguna subsucesión de \(a\). El cuantificador existencial se refiere a un selector que testimonia una extracción concreta; no presupone una elección simultánea de selectores para distintos reales.
Lectura de la definición. El real \(x\) no necesita aparecer como término de \(a\): puede ser sólo el destino de valores extraídos. Recíprocamente, que \(x=a_j\) para algún índice aislado no lo convierte en punto límite; la extracción debe contener términos con índices estrictamente crecientes y, por tanto, arbitrariamente tardíos.
Para caracterizar la definición necesitamos una escala positiva que tienda a cero. No identificaremos el natural \(n\) con su numeral real: utilizaremos la aplicación \(\nu_{\mathbb R}:\mathbb N\to\mathbb R\) de Definición 4.1.5 — Aplicación de numerales naturales en un cuerpo ordenado.
Lema 13.10.2 — Los recíprocos de los numerales positivos tienden a cero
Para cada \(k\in\mathbb N\), sea
\[ \boxed{r_k:=\nu_{\mathbb R}(S(k))^{-1}.} \]
Entonces \(r=(r_k)\) es una sucesión real, \(r_k>0\) para todo \(k\), y
\[ \boxed{r_k\longrightarrow0.} \]
Demostración.
Como \(0<S(k)\) en el orden natural, Proposición 4.1.6 — Aritmética y orden de los numerales naturales implica
\[ 0=\nu_{\mathbb R}(0)<\nu_{\mathbb R}(S(k)). \]
Cada numeral posee, pues, recíproco positivo por Lema 4.1.3 — Cálculo elemental de signos en un cuerpo ordenado (6). Los valores están determinados unívocamente por operaciones de \(\mathbb R\); su grafo se obtiene por Separación dentro de \(\mathbb N\times\mathbb R\). Esto define la sucesión \(r\) sin elección.
Sea \(\varepsilon>0\). Como \(\mathbb R\) es completo, Teorema 4.6.3 — Todo cuerpo ordenado completo es arquimediano garantiza que es arquimediano. La caracterización Proposición 4.4.2 — Caracterización por recíprocos pequeños proporciona un natural \(N\ne0\) tal que
\[ 0<\nu_{\mathbb R}(N)^{-1}<\varepsilon. \]
Si \(k\ge N\), entonces \(N\le k<S(k)\); por Proposición 4.1.6 — Aritmética y orden de los numerales naturales,
\[ 0<\nu_{\mathbb R}(N)<\nu_{\mathbb R}(S(k)). \]
Al invertir el orden entre positivos mediante Lema 4.1.3 — Cálculo elemental de signos en un cuerpo ordenado (7),
\[ 0<r_k =\nu_{\mathbb R}(S(k))^{-1} <\nu_{\mathbb R}(N)^{-1} <\varepsilon. \]
Por la definición de convergencia, \(r_k\to0\). ∎
Control fundacional. La escala se define mediante numerales reales, no por una identificación conjuntista \(\mathbb N\subseteq\mathbb R\). La prueba no usa Choice; sí hereda la lógica clásica con la que Teorema 4.6.3 — Todo cuerpo ordenado completo es arquimediano dedujo la arquimedianidad de la completitud. No se afirma que los umbrales obtenidos sean calculables para una presentación arbitraria de los reales.
Proposición 13.10.3 — Criterio de visitas arbitrariamente tardías
Sea \(a=(a_n)\) una sucesión real y sea \(x\in\mathbb R\). Son equivalentes:
- \(x\) es un punto límite secuencial de \(a\).
- Para todo \(\varepsilon>0\) y todo \(N\in\mathbb N\) existe \(n\in\mathbb N\) tal que \[ \boxed{N\le n\quad\text{y}\quad |a_n-x|<\varepsilon.} \]
La segunda condición significa que cada intervalo de precisión alrededor de \(x\) recibe términos de la sucesión después de cualquier umbral natural.
Demostración.
\(1\Rightarrow2\). Sea \(\phi\) un selector tal que \(a_{\phi(k)}\to x\). Fijemos \(\varepsilon>0\) y \(N\in\mathbb N\). Por convergencia existe \(K\) tal que
\[ k\ge K\Longrightarrow |a_{\phi(k)}-x|<\varepsilon. \]
Por totalidad del orden natural, uno de \(K,N\) es mayor o igual que el otro. Tomemos \(k\) igual al mayor; así \(k\ge K,N\). Según Proposición 13.9.2 — Crecimiento, inyectividad y cofinalidad de los selectores de índices,
\[ \phi(k)\ge k\ge N. \]
El índice \(n:=\phi(k)\) satisface las dos condiciones requeridas.
\(2\Rightarrow1\). Aquí no basta repetir el cuantificador existencial para cada precisión: necesitamos construir una sola función de índices estrictamente creciente.
Utilicemos la sucesión \(r_k>0\) del lema anterior. Fijados \(k,t\in\mathbb N\), consideremos el conjunto
\[ A_{k,t}:= \{n\in\mathbb N:S(t)\le n\ \text{y}\ |a_n-x|<r_{S(k)}\}. \]
Existe por Separación dentro de \(\mathbb N\). Aplicando la hipótesis \(2\) a la precisión positiva \(r_{S(k)}\) y al umbral \(S(t)\), obtenemos un elemento de \(A_{k,t}\): el conjunto es no vacío. Por el buen orden Teorema 1.6.13 — Principio de buen orden posee un único elemento mínimo, que denotamos \(H(k,t)\). La regla \(H:\mathbb N\times\mathbb N\to\mathbb N\) determina una función genuina: su grafo se obtiene por Separación dentro de \((\mathbb N\times\mathbb N)\times\mathbb N\), exigiendo pertenencia a \(A_{k,t}\) y minimalidad. No elegimos mínimos arbitrariamente; están unívocamente determinados.
De manera semejante, el conjunto
\[ A_0:=\{n\in\mathbb N:|a_n-x|<r_0\} \]
es no vacío al aplicar \(2\) con umbral \(0\), y posee un mínimo único \(p_0\).
Aplicaremos el teorema de recursión Teorema 1.3.7 — Teorema de recursión sobre \(\mathbb N\) al conjunto \(X=\mathbb N\times\mathbb N\), con estado inicial y transición
\[ s_0:=\langle0,p_0\rangle, \qquad G(\langle k,t\rangle):=\langle S(k),H(k,t)\rangle. \]
La función \(G:X\to X\) está bien definida por la funcionalidad de \(H\). La recursión produce una única sucesión de estados \(s:\mathbb N\to X\) con \(s(0)=s_0\) y \(s(S(k))=G(s(k))\). Por inducción, cada estado tiene la forma
\[ s(k)=\langle k,\phi(k)\rangle \]
para una función \(\phi:\mathbb N\to\mathbb N\) determinada por la segunda coordenada; su grafo también se obtiene por Separación. Las ecuaciones recursivas son
\[ \phi(0)=p_0, \qquad \phi(S(k))=H(k,\phi(k)). \]
Por definición de \(H\),
\[ S(\phi(k))\le\phi(S(k)), \]
por lo que \(\phi(k)<\phi(S(k))\). Por inducción en \(n\) verificamos ahora que todo \(m<n\) satisface \(\phi(m)<\phi(n)\): en el paso sucesor, \(m<S(n)\) implica \(m<n\) o \(m=n\); en el primer caso aplicamos la hipótesis inductiva seguida de \(\phi(n)<\phi(S(n))\), y en el segundo usamos directamente esta última desigualdad. Por tanto \(\phi\) es un selector.
Además, el caso inicial y las condiciones que definen los conjuntos \(A_{k,t}\) dan, por inducción,
\[ \boxed{|a_{\phi(k)}-x|<r_k\quad(k\in\mathbb N).} \]
En efecto, vale para \(k=0\) por \(p_0\in A_0\); si pasamos al sucesor, \(H(k,\phi(k))\in A_{k,\phi(k)}\) impone la cota \(r_{S(k)}\) para el nuevo índice.
Finalmente, dado \(\varepsilon>0\), Lema 13.10.2 — Los recíprocos de los numerales positivos tienden a cero proporciona \(K\) tal que \(k\ge K\) implica \(0<r_k<\varepsilon\). Por la estimación anterior,
\[ k\ge K \Longrightarrow |a_{\phi(k)}-x|<r_k<\varepsilon. \]
Así \(a_{\phi(k)}\to x\), y \(x\) es un punto límite secuencial. ∎
Arquitectura de la extracción. Visitas tardías para cada par \((\varepsilon,N)\) \(\to\) conjuntos no vacíos de índices admisibles \(\to\) mínimo único de cada conjunto \(\to\) recursión de un selector estrictamente creciente \(\to\) convergencia por \(r_k\to0\).
Definición 13.10.4 — Conjunto de puntos límite secuenciales
Para toda sucesión real \(a\), definimos
\[ \boxed{ \operatorname{LimSub}(a) :=\{x\in\mathbb R:x\text{ es punto límite secuencial de }a\}. } \]
El conjunto existe por Separación dentro de \(\mathbb R\): la propiedad cuantifica sobre funciones y límites previamente definidos. No presupone que exista algún punto límite, por lo que \(\operatorname{LimSub}(a)\) puede ser vacío. Esta notación designa un conjunto de reales, no una sucesión y tampoco el límite de \(a\).
La condición equivalente de Proposición 13.10.3 — Criterio de visitas arbitrariamente tardías permite leer
\[ x\in\operatorname{LimSub}(a) \iff \forall\varepsilon>0\;\forall N\in\mathbb N\; \exists n\ge N:\ |a_n-x|<\varepsilon. \]
Distinción editorial. \(\operatorname{LimSub}(a)\) no redefine las envolventes \(L_N(a),U_N(a)\) de §13.8 ni introduce todavía \(\liminf\) o \(\limsup\), que serán números determinados por otras definiciones cuando corresponda.
Proposición 13.10.5 — Puntos límite de una sucesión convergente
Si \(a_n\to\ell\), entonces
\[ \boxed{\operatorname{LimSub}(a)=\{\ell\}.} \]
Demostración.
La sucesión \(a\) es subsucesión de sí misma, como se probó en Corolario 13.9.7 — Caracterización de la convergencia mediante subsucesiones mediante el selector identidad. Su convergencia a \(\ell\) muestra que \(\ell\in\operatorname{LimSub}(a)\).
Recíprocamente, sea \(x\in\operatorname{LimSub}(a)\). Existe una subsucesión \(b\) con \(b_k\to x\). Por Teorema 13.9.5 — Toda subsucesión de una sucesión convergente converge al mismo límite, la convergencia original también implica \(b_k\to\ell\). La unicidad Teorema 13.3.5 — Unicidad del límite real da \(x=\ell\). Ambas inclusiones y el criterio extensional Teorema 0.2.4 — Criterio extensional por doble inclusión prueban la igualdad. ∎
El resultado es unidireccional. La afirmación de que tener un solo punto límite basta para converger no se ha demostrado y no se utilizará como recíproca.
Proposición 13.10.6 — Invariancia frente a cambios iniciales finitos
Si las sucesiones reales \(a\) y \(b\) coinciden eventualmente, entonces
\[ \boxed{\operatorname{LimSub}(a)=\operatorname{LimSub}(b).} \]
Demostración.
Existe \(T\in\mathbb N\) tal que \(a_n=b_n\) para \(n\ge T\). Sea \(x\in\operatorname{LimSub}(a)\), y fijemos \(\varepsilon>0\), \(N\in\mathbb N\). Por la tricotomía natural, tomemos como umbral \(M\) el mayor de \(N\) y \(T\). El criterio Proposición 13.10.3 — Criterio de visitas arbitrariamente tardías proporciona \(n\ge M\) con
\[ |a_n-x|<\varepsilon. \]
Como \(n\ge T\), \(a_n=b_n\); y como \(n\ge N\), ese mismo índice muestra que \(b\) satisface la condición de visitas tardías. Aplicando nuevamente el criterio, \(x\in\operatorname{LimSub}(b)\). Intercambiando \(a\) y \(b\) obtenemos la inclusión opuesta. La extensionalidad concluye la igualdad. ∎
No se confunde aquí un término inicial excepcional con un comportamiento que puede seguir observándose arbitrariamente tarde.
Ejemplos para contrastar. Si \(a_0=100\) y \(a_n=0\) para \(n\ge1\), entonces \(a\) coincide eventualmente con la sucesión constante nula; por la proposición y Proposición 13.10.5 — Puntos límite de una sucesión convergente, su único punto límite secuencial es \(0\), no \(100\). Por otra parte, definamos recursivamente \(c_0=0\) y \(c_{S(n)}=1-c_n\). Por inducción, \(c_{k+k}=0\) y \(c_{S(k+k)}=1\); los selectores \(k\mapsto k+k\) y \(k\mapsto S(k+k)\) dan subsucesiones constantes de límites distintos. La sucesión \(c\) no converge, pues la unicidad del límite y Teorema 13.9.5 — Toda subsucesión de una sucesión convergente converge al mismo límite impedirían esos dos límites. Así, una sucesión puede admitir varios puntos límite aunque carezca de límite ordinario.
Proposición 13.10.7 — Los puntos límite de una sucesión acotada están acotados
Si \(a\) es una sucesión real acotada, existe \(M\in\mathbb R\), \(M\ge0\), tal que
\[ \boxed{\operatorname{LimSub}(a)\subseteq[-M,M].} \]
Demostración.
Por Proposición 13.4.2 — Caracterización de la acotación mediante el valor absoluto, la acotación de \(a\) proporciona \(M\ge0\) con \(|a_n|\le M\) para todo \(n\). Sea \(x\in\operatorname{LimSub}(a)\) y tomemos una subsucesión \(b\) convergente a \(x\). Por Proposición 13.9.6 — Acotación y condición de Cauchy pasan a las subsucesiones, y directamente por la fórmula \(b_k=a_{\phi(k)}\),
\[ -M\le b_k\le M \qquad(k\in\mathbb N). \]
Las sucesiones constantes de valores \(-M\) y \(M\) convergen a esos valores por Proposición 13.3.4 — Las sucesiones constantes convergen a su valor. Aplicando dos veces el teorema de orden de los límites Teorema 13.6.2 — Preservación del orden en el paso al límite obtenemos
\[ -M\le x\le M. \]
Por la definición de intervalo cerrado, \(x\in[-M,M]\). Como \(x\) era arbitrario, se sigue la inclusión. ∎
Precisión importante. Hemos demostrado que, si hay puntos límite, no pueden escapar de las cotas de la sucesión. Todavía no hemos demostrado que una sucesión acotada posea alguno. La existencia es justamente el contenido del siguiente teorema.
La posibilidad de vacío es real: para \(a_n=\nu_{\mathbb R}(n)\), todo selector satisface \(\phi(k)\ge k\). Por arquimedianidad, dado \(x\in\mathbb R\) existe \(K\) con \(\nu_{\mathbb R}(K)>x+1\); para \(k\ge K\), la preservación del orden de los numerales da \(a_{\phi(k)}>x+1\). Ninguna subsucesión converge a \(x\): la condición de convergencia falla para \(\varepsilon=1\). Por tanto \(\operatorname{LimSub}(a)=\varnothing\). La acotación en Bolzano–Weierstrass no es ornamental.
La lectura conjunta de esta sección identifica el problema que queda pendiente:
\[ \boxed{ \text{sucesión acotada} \quad\overset{?}{\Longrightarrow}\quad \operatorname{LimSub}(a)\ne\varnothing. } \]
La respuesta exigirá construir una extracción convergente usando la completitud de la recta; será el teorema de Bolzano–Weierstrass de §13.11. Hasta entonces no debemos invocarlo, ni utilizar formulaciones generales de compacidad o topología aún no desarrolladas.
13.11. Teorema de Bolzano–Weierstrass
En §13.10 aprendimos a reconocer un punto límite secuencial y comprobamos que los puntos límite de una sucesión acotada, si existen, respetan sus cotas. Todavía falta demostrar que existe al menos uno. El problema no se resuelve eligiendo un término de cada cola: tales términos podrían oscilar sin aproximarse a ningún número. Debemos seleccionar simultáneamente una región cada vez más estrecha y unos índices que continúen avanzando.
La estrategia consiste en partir de un intervalo cerrado que contenga toda la sucesión y bisecarlo sucesivamente. Conservar una mitad no exige que contenga todos los términos restantes: basta que siga recibiendo términos después de cualquier umbral. La regla «izquierda si sirve; derecha en caso contrario» fija la elección de la mitad. Una vez construidos los intervalos, el buen orden de \(\mathbb N\) permitirá seleccionar el menor índice admisible en cada etapa. Esta separación entre reducir el espacio de valores y hacer crecer los índices es el mecanismo fundamental de la prueba.
Definición 13.11.1 — Intervalo recurrente para una sucesión
Sea \(a=(a_n)\) una sucesión real y sean \(p,q\in\mathbb R\) con \(p\le q\). Diremos que el intervalo cerrado \([p,q]\) es recurrente para \(a\) si
\[ \boxed{ \forall N\in\mathbb N\;\exists n\in\mathbb N, \qquad N\le n\ \text{y}\ p\le a_n\le q. } \]
Equivalentemente, el conjunto de índices
\[ E_a[p,q]:=\{n\in\mathbb N:p\le a_n\le q\} \]
corta todos los segmentos finales \(\mathbb N_{\ge N}\). Existe por Separación dentro de \(\mathbb N\). La expresión \(E_a[p,q]\) es una abreviatura local para la demostración siguiente, no una nueva noción topológica.
Dos cuantificadores que no deben intercambiarse. La recurrencia es \(\forall N\,\exists n\ge N\); la pertenencia eventual al intervalo sería \(\exists N\,\forall n\ge N\). Un intervalo puede ser recurrente sin contener toda la cola. Por ejemplo, la sucesión alternante de ceros y unos visita \([0,0]\) arbitrariamente tarde, pero no pertenece eventualmente a ese intervalo.
Lema 13.11.2 — Una mitad de un intervalo recurrente sigue siendo recurrente
Sea \([p,q]\) recurrente para \(a\). Definamos
\[ \boxed{h:=(1+1)^{-1},\qquad m:=(p+q)h.} \]
Entonces \(h>0\), \(h+h=1\), \(p\le m\le q\), y al menos uno de los intervalos
\[ [p,m],\qquad[m,q] \]
es recurrente para \(a\). En particular, la regla
\[ \boxed{ \begin{cases} [p,m],&\text{si }[p,m]\text{ es recurrente},\\ [m,q],&\text{en caso contrario} \end{cases} } \]
determina un único intervalo recurrente contenido en \([p,q]\), cuya anchura es la mitad de \(q-p\).
Demostración.
Por Lema 4.1.3 — Cálculo elemental de signos en un cuerpo ordenado (3), \(1>0\). Al sumar \(1\) resulta \(1<1+1\); por tanto \(s:=1+1>0\) y su inverso \(h=s^{-1}\) es positivo por Lema 4.1.3 — Cálculo elemental de signos en un cuerpo ordenado (6). Como \(sh=1\) y la distributividad da \(sh=h+h\), se tiene \(h+h=1\). De \(p\le q\), la compatibilidad multiplicativa por \(h>0\) y la invariancia del orden bajo traslación implican
\[ 0\le(q-p)h, \qquad p\le p+(q-p)h=(p+q)h=m. \]
Análogamente \(0\le(q-p)h=q-m\), luego \(m\le q\). Las identidades anteriores muestran también
\[ \boxed{m-p=h(q-p)=q-m.} \]
Las dos mitades cubren el intervalo original:
\[ \boxed{[p,q]=[p,m]\cup[m,q].} \]
En efecto, cualquier \(x\in[p,q]\) satisface \(x\le m\) o \(m\le x\) por totalidad del orden, y pertenece respectivamente a la primera o a la segunda mitad. La inclusión contraria es inmediata de \(p\le m\le q\).
Si \([p,m]\) es recurrente, ya tenemos la mitad requerida. Supongamos, en cambio, que no es recurrente. Negando clásicamente los cuantificadores de Definición 13.11.1 — Intervalo recurrente para una sucesión, existe un umbral \(N_0\in\mathbb N\) tal que
\[ n\ge N_0\Longrightarrow a_n\notin[p,m]. \]
Fijemos un umbral arbitrario \(N\). Por totalidad del orden natural, el mayor de \(N\) y \(N_0\) es un natural \(K\). Como \([p,q]\) es recurrente, existe \(n\ge K\) con \(a_n\in[p,q]\). En particular, \(n\ge N_0\); por tanto \(a_n\notin[p,m]\). La igualdad de unión recién demostrada obliga a que
\[ a_n\in[m,q]. \]
Además \(n\ge N\). Como \(N\) era arbitrario, \([m,q]\) es recurrente. La alternativa clásica «la mitad izquierda es recurrente o no lo es» fija cuál de las dos mitades se toma; no selecciona un elemento arbitrario de ninguna familia. La anchura de la mitad seleccionada es, en ambos casos, \(h(q-p)\). ∎
Proposición 13.11.3 — Bisección recursiva canónica
Sea \(a=(a_n)\) una sucesión real acotada. Fijemos \(M\ge0\) tal que \(|a_n|\le M\) para todo \(n\), y conservemos \(h=(1+1)^{-1}\). Existen sucesiones reales
\[ l=(l_k)_{k\in\mathbb N}, \qquad u=(u_k)_{k\in\mathbb N} \]
unívocamente determinadas por la regla de bisección del lema anterior, que cumplen:
- \(l_0=-M\) y \(u_0=M\);
- cada intervalo \(I_k:=[l_k,u_k]\) es recurrente para \(a\);
- \(I_{k+1}\subseteq I_k\) para todo \(k\);
- si \(w_k:=u_k-l_k\) es su anchura, entonces \[ \boxed{w_k\ge0,\qquad w_{k+1}=h\,w_k.} \]
Demostración.
La acotación y Proposición 13.4.2 — Caracterización de la acotación mediante el valor absoluto proporcionan el número \(M\) del enunciado. Por Proposición 4.2.2 — Propiedades elementales del valor absoluto (6),
\[ -M\le a_n\le M \qquad(n\in\mathbb N). \]
Así \(I_0=[-M,M]\) es recurrente: para cada umbral \(N\), el índice determinado \(n=N\) pertenece a él. El par \(\langle-M,M\rangle\) pertenece al producto cartesiano \(\mathbb R\times\mathbb R\).
Construyamos explícitamente el conjunto de estados permitidos:
\[ X:=\left\{ \langle p,q\rangle\in\mathbb R\times\mathbb R: -M\le p\le q\le M \text{ y }[p,q]\text{ es recurrente para }a \right\}. \]
Existe por Separación dentro de \(\mathbb R\times\mathbb R\) y contiene \(\langle-M,M\rangle\). Fijemos un estado \(\langle p,q\rangle\in X\) y su punto medio \(m=(p+q)h\). El lema Lema 13.11.2 — Una mitad de un intervalo recurrente sigue siendo recurrente garantiza que ambas mitades quedan dentro de \([-M,M]\) y que la regla «izquierda si recurrente; derecha si no» produce exactamente un par de \(X\). Designémoslo por \(F(\langle p,q\rangle)\).
El grafo de \(F\) se obtiene por Separación dentro de \(X\times X\), imponiendo la igualdad con \(\langle p,m\rangle\) cuando la mitad izquierda es recurrente, y con \(\langle m,q\rangle\) en caso contrario. La exclusión mutua de ambos casos y la unicidad del punto medio prueban que
\[ F:X\longrightarrow X \]
es una función total, no una correspondencia multivaluada. El teorema de recursión Teorema 1.3.7 — Teorema de recursión sobre \(\mathbb N\), con estado inicial \(s(0)=\langle-M,M\rangle\), determina una única función \(s:\mathbb N\to X\) tal que
\[ \boxed{s(S(k))=F(s(k)).} \]
Por la definición de par ordenado, cada \(s(k)\) tiene componentes únicas \(l_k,u_k\in\mathbb R\). Los grafos de las dos proyecciones se obtienen por Separación dentro de \(\mathbb N\times\mathbb R\), de modo que \(l\) y \(u\) son sucesiones reales definidas unívocamente como objetos conjuntistas, sin seleccionar pares de manera arbitraria.
La pertenencia \(s(k)\in X\) asegura que \(l_k\le u_k\) y que \(I_k\) es recurrente. La propia regla de \(F\) asegura \(I_{S(k)}\subseteq I_k\) y, por la última identidad de Lema 13.11.2 — Una mitad de un intervalo recurrente sigue siendo recurrente,
\[ u_{S(k)}-l_{S(k)}=h(u_k-l_k). \]
Esto es \(w_{k+1}=hw_k\) si escribimos \(k+1=S(k)\), y \(w_k\ge0\) resulta de \(l_k\le u_k\). Las condiciones iniciales proceden de \(s(0)\); la función \(s\) es única por recursión y determina también unívocamente ambas sucesiones de extremos. ∎
Estructura de la construcción. La prueba no postula una sucesión de intervalos preexistente. Construye el conjunto de estados, demuestra que la transición es una función total y sólo entonces aplica recursión. En cada etapa se conserva el predicado de recurrencia, no se escoge «una mitad cualquiera».
Lema 13.11.4 — Las anchuras de la bisección tienden a cero
Para las anchuras \(w_k=u_k-l_k\) de Proposición 13.11.3 — Bisección recursiva canónica se cumple
\[ \boxed{w_k\longrightarrow0.} \]
Demostración.
La diferencia puntual de las sucesiones \(u\) y \(l\) existe por Definición 13.1.3 — Operaciones puntuales sobre sucesiones reales, por lo que \(w=(w_k)\) es una sucesión real. De Proposición 13.11.3 — Bisección recursiva canónica sabemos que
\[ 0\le w_k, \qquad w_{S(k)}=hw_k. \]
Como \(0<1<1+1\), la regla de inversos de Lema 4.1.3 — Cálculo elemental de signos en un cuerpo ordenado (7) da
\[ \boxed{0<h<1.} \]
Por tanto \(0<1-h\). El producto de los números no negativos \(1-h\) y \(w_k\) es no negativo, de donde
\[ w_k-hw_k=(1-h)w_k\ge0. \]
Así \(w_{S(k)}=hw_k\le w_k\). Por transitividad e inducción, \(w\) es decreciente en el sentido de Definición 13.7.1 — Sucesiones monótonas. Está acotada inferiormente por \(0\), y el teorema de convergencia monótona Teorema 13.7.3 — Teorema de convergencia monótona proporciona un real \(d\) con
\[ w_k\longrightarrow d. \]
La cola reindexada \(w^{\langle1\rangle}\) es una subsucesión de \(w\) por Proposición 13.9.4 — Las colas son subsucesiones y las subsucesiones se componen; sus términos son \(w_{1+k}=w_{S(k)}\). El teorema Teorema 13.9.5 — Toda subsucesión de una sucesión convergente converge al mismo límite implica entonces
\[ w_{S(k)}\longrightarrow d. \]
Por la compatibilidad de los límites con un factor constante Corolario 13.5.4 — Compatibilidad con la multiplicación por una constante, también
\[ hw_k\longrightarrow hd. \]
Como \(w_{S(k)}=hw_k\) para todo \(k\), la unicidad del límite Teorema 13.3.5 — Unicidad del límite real obliga a que \(d=hd\). Restando \(hd\) obtenemos
\[ (1-h)d=0. \]
El factor \(1-h\) es positivo y, en particular, no nulo. Multiplicando por su inverso, concluimos \(d=0\). ∎
Por qué no utilizamos potencias prematuras. La identidad \(w_{k+1}=hw_k\) sugiere escribir \(w_k=h^kw_0\), pero el tratado ha introducido hasta aquí el cuadrado, no las potencias naturales generales. No necesitamos anticiparlas: la convergencia monótona y la ecuación satisfecha por el límite prueban que las anchuras se anulan asintóticamente.
Teorema 13.11.5 — Bolzano–Weierstrass para sucesiones reales
Toda sucesión real acotada admite una subsucesión convergente. Precisamente, si \(a=(a_n)\) es acotada, existen un selector estrictamente creciente \(\phi:\mathbb N\to\mathbb N\) y un real \(x\) tales que
\[ \boxed{a_{\phi(k)}\longrightarrow x.} \]
Si \(|a_n|\le M\) para todo \(n\), el límite puede obtenerse dentro de \([-M,M]\).
Demostración.
Primera etapa: intervalos encajados. Sea \(M\) una cota absoluta dada por Proposición 13.4.2 — Caracterización de la acotación mediante el valor absoluto. La proposición Proposición 13.11.3 — Bisección recursiva canónica construye dos sucesiones de extremos \(l_k,u_k\) cuyos intervalos
\[ I_k=[l_k,u_k] \]
son recurrentes, satisfacen \(I_0=[-M,M]\) y \(I_{S(k)}\subseteq I_k\). Por inducción, si \(i\le j\) entonces \(I_j\subseteq I_i\).
Para aplicar el principio de intersección de intervalos de Definición 4.7.3 — Principio de intersección de intervalos cerrados, debemos verificar su hipótesis cruzada. Sean \(i,j\in\mathbb N\). Por totalidad natural, \(i\le j\) o \(j\le i\). En el primer caso,
\[ l_i\le l_j\le u_j; \]
en el segundo,
\[ l_i\le u_i\le u_j. \]
Luego \(l_i\le u_j\) para todos \(i,j\). Como el conjunto de índices \(\mathbb N\) está habitado por \(0\) y \(\mathbb R\) es completo, Teorema 4.7.4 — Equivalencia con el principio de intersección de intervalos proporciona un real \(x\) tal que
\[ \boxed{l_k\le x\le u_k\qquad(k\in\mathbb N).} \]
En particular \(x\in I_0=[-M,M]\).
La intersección contiene, además, un único real. En efecto, si \(x,y\) pertenecen a todos los \(I_k\), entonces para cada \(k\),
\[ -w_k\le x-y\le w_k, \qquad |x-y|\le w_k \]
por Proposición 4.2.2 — Propiedades elementales del valor absoluto (6). Si \(x\ne y\), la positividad de \(|x-y|\) proporciona \(\delta:=|x-y|>0\). Pero Lema 13.11.4 — Las anchuras de la bisección tienden a cero da algún \(k\) con \(0\le w_k<\delta\), contradiciendo \(\delta\le w_k\). Así la intersección es exactamente \(\{x\}\). La unicidad no afirma que podamos calcular \(x\).
Segunda etapa: una extracción genuina, sin Choice. Que cada \(I_k\) sea recurrente asegura que contiene términos arbitrariamente tardíos. Necesitamos convertir esa afirmación en una sola función creciente de índices, no en una colección sin relación de testigos existenciales.
Para \(k,t\in\mathbb N\) definamos
\[ B_{k,t}:= \{n\in\mathbb N:S(t)\le n\ \text{y}\ l_{S(k)}\le a_n\le u_{S(k)}\}. \]
Existe por Separación. La recurrencia de \(I_{S(k)}\) aplicada al umbral \(S(t)\) muestra que \(B_{k,t}\) está habitado. El principio de buen orden Teorema 1.6.13 — Principio de buen orden da su mínimo único \(H(k,t)\). El grafo de la asignación \((k,t)\mapsto H(k,t)\) se obtiene por Separación dentro de \((\mathbb N\times\mathbb N)\times\mathbb N\), imponiendo pertenencia y minimalidad; por ello \(H\) es una función, sin elecciones arbitrarias.
Aplicamos ahora Teorema 1.3.7 — Teorema de recursión sobre \(\mathbb N\) al espacio de estados \(\mathbb N\times\mathbb N\), con inicio \(\langle0,0\rangle\) y transición
\[ G(\langle k,t\rangle):=\langle S(k),H(k,t)\rangle. \]
La recursión determina unívocamente una función \(\phi:\mathbb N\to\mathbb N\) mediante su segunda coordenada:
\[ \boxed{ \phi(0)=0, \qquad \phi(S(k))=H(k,\phi(k)). } \]
Los grafos de la sucesión de estados y de \(\phi\) existen por la construcción recursiva y por Separación. La condición definitoria de \(H\) implica
\[ S(\phi(k))\le\phi(S(k)), \]
de modo que \(\phi(k)<\phi(S(k))\). Una inducción, utilizando la transitividad del orden natural, extiende esta desigualdad adyacente a
\[ i<j\Longrightarrow\phi(i)<\phi(j). \]
Por Definición 13.9.1 — Selector de índices de subsucesión, \(\phi\) es un selector de subsucesión. Además,
\[ \boxed{a_{\phi(k)}\in I_k\qquad(k\in\mathbb N).} \]
Para \(k=0\) esto se sigue de \(\phi(0)=0\) y de que \(I_0\) contiene todos los términos de \(a\); en el paso sucesor se sigue directamente de \(\phi(S(k))\in B_{k,\phi(k)}\).
Tercera etapa: convergencia. Como tanto \(x\) como \(a_{\phi(k)}\) pertenecen al intervalo \([l_k,u_k]\),
\[ \boxed{|a_{\phi(k)}-x|\le u_k-l_k=w_k.} \]
Sea \(\varepsilon>0\). Por Lema 13.11.4 — Las anchuras de la bisección tienden a cero, existe \(K\) tal que, para \(k\ge K\),
\[ 0\le w_k<\varepsilon. \]
En consecuencia,
\[ k\ge K \Longrightarrow |a_{\phi(k)}-x|\le w_k<\varepsilon. \]
Por Definición 13.3.1 — Convergencia de una sucesión real, \(a_{\phi(k)}\to x\). La función \(a\circ\phi\) es una subsucesión por Definición 13.9.3 — Subsucesión de una sucesión real y converge en \(\mathbb R\), como se quería. ∎
Reconstrucción de la prueba. Acotación \(\Rightarrow\) intervalo inicial recurrente \(\Rightarrow\) bisecciones recurrentes y encajadas \(\Rightarrow\) anchuras que tienden a cero \(\Rightarrow\) un único punto real en la intersección (completitud) \(\Rightarrow\) índices mínimos estrictamente crecientes \(\Rightarrow\) convergencia de la extracción. La recurrencia garantiza que nunca nos quedamos sin índices; la disminución de anchuras garantiza que los valores seleccionados se aproximan al mismo real.
Dónde se utiliza cada hipótesis. La acotación proporciona \(I_0\); sin ella no disponemos en general de un intervalo cerrado y acotado inicial que contenga todos los términos. La completitud se utiliza para asegurar la intersección no vacía y, mediante el teorema de convergencia monótona, para probar \(w_k\to0\). El crecimiento de los índices procede del buen orden de \(\mathbb N\) y de la restricción \(n\ge S(t)\), no de la completitud.
Corolario 13.11.6 — Existencia de puntos límite secuenciales para sucesiones acotadas
Si \(a\) es una sucesión real acotada, entonces
\[ \boxed{\operatorname{LimSub}(a)\ne\varnothing.} \]
Demostración.
Por Teorema 13.11.5 — Bolzano–Weierstrass para sucesiones reales existen un selector \(\phi\) y un real \(x\) con \(a_{\phi(k)}\to x\). La definición Definición 13.10.1 — Punto límite secuencial dice exactamente que \(x\) es un punto límite secuencial; por Definición 13.10.4 — Conjunto de puntos límite secuenciales, \(x\in\operatorname{LimSub}(a)\). ∎
Prueba de estrés. La conclusión no afirma que la sucesión completa converja: la sucesión alternante de §13.10 es acotada y tiene al menos dos puntos límite. Tampoco admite la conversa «tener un punto límite implica estar acotada»: si \(c\) es la alternante de §13.10 y definimos \(d_n:=\nu_{\mathbb R}(n)c_n\), entonces \(d_{k+k}=0\) y \(d_{S(k+k)}=\nu_{\mathbb R}(S(k+k))\). La primera extracción es constante nula, mientras que la segunda no está acotada por arquimedianidad. Así \(d\) tiene un punto límite sin estar acotada. Bolzano–Weierstrass asegura una extracción convergente a partir de acotación global, nada más.
Hemos obtenido la afirmación que permanecía abierta desde §13.10:
\[ \boxed{ \text{acotación de }a \Longrightarrow \operatorname{LimSub}(a)\ne\varnothing. } \]
La infraestructura de §13.8 permite ahora afinar esta existencia: sus envolventes \(L_N(a)\) y \(U_N(a)\) convergen por monotonía y completitud. La sección siguiente estudiará los límites inferior y superior, establecerá su relación exacta con \(\operatorname{LimSub}(a)\) y fijará la notación \(\liminf\) y \(\limsup\) sólo después de justificar la existencia de los números que denotan.
13.12. Límites inferior y superior
Una sucesión acotada puede no converger y, sin embargo, conservar una estructura asintótica precisa. Bolzano–Weierstrass garantiza que alguna subsucesión converge, pero no identifica los extremos del conjunto de todos esos límites. Para hacerlo no basta observar el supremo y el ínfimo del recorrido completo: un único término inicial excepcional podría alterarlos. Debemos examinar los valores que sobreviven en cada cola.
En §13.8 construimos, para una sucesión acotada \(a\), los conjuntos no vacíos \(T_N(a)\) y las envolventes reales
\[ L_N(a)=\inf T_N(a),\qquad U_N(a)=\sup T_N(a). \]
Se probó también que \(L(a)\) es creciente y acotada superiormente, que \(U(a)\) es decreciente y acotada inferiormente, y que
\[ \boxed{L_N(a)\le a_N\le U_N(a).} \]
La completitud permite obtener dos límites; la cuestión esencial de esta sección es qué significan.
Teorema 13.12.1 — Convergencia de las envolventes de colas
Sea \(a=(a_n)\) una sucesión real acotada. Existen únicos \(\alpha,\beta\in\mathbb R\) tales que
\[ \boxed{L_N(a)\longrightarrow\alpha,\qquad U_N(a)\longrightarrow\beta.} \]
Además, si \(L(a)[\mathbb N]\) y \(U(a)[\mathbb N]\) denotan los recorridos de las respectivas envolventes,
\[ \boxed{ \alpha=\sup L(a)[\mathbb N], \qquad \beta=\inf U(a)[\mathbb N]. } \]
Demostración.
Por Definición 13.8.4 — Envolventes inferior y superior de las colas, \(L(a)\) y \(U(a)\) son sucesiones reales. Sus recorridos existen como imágenes de funciones y son no vacíos, pues \(0\in\mathbb N\). La proposición Proposición 13.8.5 — Monotonía y encajamiento de las envolventes de colas establece que \(L(a)\) es creciente y está acotada superiormente, mientras que \(U(a)\) es decreciente y está acotada inferiormente. Aplicando a cada una el teorema de convergencia monótona Teorema 13.7.3 — Teorema de convergencia monótona, obtenemos respectivamente
\[ L_N(a)\to\sup L(a)[\mathbb N], \qquad U_N(a)\to\inf U(a)[\mathbb N]. \]
Ambos extremos son reales porque los recorridos son no vacíos y están acotados en la dirección correspondiente. La unicidad de cada límite se sigue de Teorema 13.3.5 — Unicidad del límite real. Denominándolos \(\alpha\) y \(\beta\), se obtienen exactamente las afirmaciones. ∎
Dependencia decisiva. La existencia de los extremos de cada cola y la convergencia de sus envolventes son dos intervenciones diferenciadas de la completitud. No se deduce que exista un procedimiento para calcular ninguno de esos extremos.
Definición 13.12.2 — Límite inferior y límite superior
Sea \(a=(a_n)\) una sucesión real acotada. Definimos su límite inferior y su límite superior por
\[ \boxed{ \liminf_{n\to\infty}a_n :=\lim_{N\to\infty}L_N(a) =\sup L(a)[\mathbb N], } \]
\[ \boxed{ \limsup_{n\to\infty}a_n :=\lim_{N\to\infty}U_N(a) =\inf U(a)[\mathbb N]. } \]
Son dos números reales, no valores de un nuevo conjunto numérico. La escritura habitual equivalente es
\[ \boxed{ \liminf_{n\to\infty}a_n =\sup_{N\in\mathbb N}\inf T_N(a), \qquad \limsup_{n\to\infty}a_n =\inf_{N\in\mathbb N}\sup T_N(a). } \]
En estas expresiones, el supremo y el ínfimo exteriores se aplican a los conjuntos de valores de las envolventes, cuya existencia se acaba de demostrar. El índice \(N\) de la envolvente y el índice \(n\) de la sucesión original cumplen papeles distintos.
Lectura de los cuantificadores. El ínfimo de una cola es su frontera inferior; al descartar progresivamente los primeros términos, esas fronteras pueden subir. Su supremo registra la frontera inferior asintótica. Dualmente, el supremo de una cola es su frontera superior; al descartar términos, esas fronteras pueden bajar. Su ínfimo registra la frontera superior asintótica.
Restricción de dominio. No definimos todavía \(\liminf\) o \(\limsup\) para sucesiones reales no acotadas: podrían requerir límites infinitos y los reales extendidos, que no forman parte de la infraestructura actual. La acotación garantiza aquí que ambas expresiones denotan reales finitos.
Lema 13.12.3 — Aproximación de los extremos de cada cola por valores de la cola
Sean \(a\) una sucesión real acotada, \(N\in\mathbb N\) y \(\eta>0\). Existen índices \(m,n\in\mathbb N\), ambos mayores o iguales que \(N\), tales que
\[ \boxed{ L_N(a)\le a_m<L_N(a)+\eta, } \]
\[ \boxed{ U_N(a)-\eta<a_n\le U_N(a). } \]
Demostración.
Fijemos \(N\) y \(\eta>0\). Como \(L_N(a)\) es una cota inferior de \(T_N(a)\), todo \(y\in T_N(a)\) verifica \(L_N(a)\le y\). Si no existiera ningún \(y\in T_N(a)\) con \(y<L_N(a)+\eta\), la totalidad del orden daría
\[ L_N(a)+\eta\le y \qquad(y\in T_N(a)). \]
Entonces \(L_N(a)+\eta\) sería una cota inferior de \(T_N(a)\) estrictamente mayor que su ínfimo \(L_N(a)\), en contradicción con la maximalidad de este último. Existe, pues, \(y\in T_N(a)\) con
\[ L_N(a)\le y<L_N(a)+\eta. \]
La definición de imagen \(T_N(a)=a[\mathbb N_{\ge N}]\) proporciona un índice \(m\ge N\) con \(a_m=y\).
De modo dual, \(U_N(a)\) es cota superior de \(T_N(a)\). Si ningún \(y\in T_N(a)\) satisficiera \(U_N(a)-\eta<y\), entonces todos cumplirían \(y\le U_N(a)-\eta\). Este último número sería una cota superior estrictamente menor que el supremo \(U_N(a)\), contradicción. Existe \(y\in T_N(a)\) con \(U_N(a)-\eta<y\le U_N(a)\) y, por ser valor de la cola, existe \(n\ge N\) con \(a_n=y\). ∎
Qué se obtiene realmente. Para cada par fijo \((N,\eta)\) se demuestra la existencia de índices de aproximación. No se ha elegido una familia simultánea de índices para todos los pares. Este lema no afirma que el supremo o ínfimo de la cola deban alcanzarse: sólo exige valores arbitrariamente próximos por el lado apropiado.
Proposición 13.12.4 — Orden de los límites extremos y confinamiento de los puntos límite
Sea \(a\) una sucesión real acotada. Escribamos
\[ \alpha:=\liminf_{n\to\infty}a_n, \qquad \beta:=\limsup_{n\to\infty}a_n. \]
Entonces
\[ \boxed{\alpha\le\beta,} \]
y todo punto límite secuencial \(x\in\operatorname{LimSub}(a)\) satisface
\[ \boxed{\alpha\le x\le\beta.} \]
Demostración.
Por Proposición 13.8.5 — Monotonía y encajamiento de las envolventes de colas, para cada \(N\) tenemos \(L_N(a)\le U_N(a)\). Como ambas envolventes convergen por Teorema 13.12.1 — Convergencia de las envolventes de colas, el teorema de conservación de orden Teorema 13.6.2 — Preservación del orden en el paso al límite implica
\[ \alpha\le\beta. \]
Fijemos ahora \(x\in\operatorname{LimSub}(a)\). Por las definiciones Definición 13.10.1 — Punto límite secuencial y Definición 13.10.4 — Conjunto de puntos límite secuenciales, existe un selector estrictamente creciente \(\phi:\mathbb N\to\mathbb N\) tal que la subsucesión
\[ b_k:=a_{\phi(k)} \]
converge a \(x\). Fijemos un \(N\in\mathbb N\) cualquiera. Por la cofinalidad de los selectores (Proposición 13.9.2 — Crecimiento, inyectividad y cofinalidad de los selectores de índices), existe \(K\) tal que \(\phi(k)\ge N\) para todo \(k\ge K\). Así \(b_k\in T_N(a)\) y
\[ L_N(a)\le b_k\le U_N(a) \qquad(k\ge K). \]
Las sucesiones constantes de valores \(L_N(a)\) y \(U_N(a)\) convergen respectivamente a esos valores por Proposición 13.3.4 — Las sucesiones constantes convergen a su valor. Aplicando dos veces Teorema 13.6.2 — Preservación del orden en el paso al límite a las desigualdades eventuales, deducimos
\[ L_N(a)\le x\le U_N(a). \]
Como \(N\) era arbitrario, estas desigualdades valen para todo \(N\). Aplicamos otra vez la conservación de orden a las sucesiones \(L(a)\), constante \(\underline x\) y \(U(a)\), que convergen respectivamente a \(\alpha,x,\beta\). Obtenemos
\[ \alpha\le x\le\beta. \]
Quedan probadas ambas afirmaciones. ∎
Precaución lógica. El resultado no afirma que todo real entre \(\alpha\) y \(\beta\) sea punto límite. Sólo dice que ninguno puede quedar fuera del intervalo cerrado determinado por ambos extremos.
Teorema 13.12.5 — Los límites inferior y superior son puntos límite secuenciales
Para toda sucesión real acotada \(a\),
\[ \boxed{ \liminf_{n\to\infty}a_n\in\operatorname{LimSub}(a), \qquad \limsup_{n\to\infty}a_n\in\operatorname{LimSub}(a). } \]
Demostración.
Denotemos por \(\alpha\) y \(\beta\) los dos límites de Teorema 13.12.1 — Convergencia de las envolventes de colas. Aplicaremos el criterio de visitas arbitrariamente tardías Proposición 13.10.3 — Criterio de visitas arbitrariamente tardías: basta demostrar, para un real candidato \(z\), que
\[ \forall\varepsilon>0\;\forall N\in\mathbb N\; \exists n\ge N:\ |a_n-z|<\varepsilon. \]
El extremo inferior. Fijemos \(\varepsilon>0\) y \(N\in\mathbb N\). Definamos \(s:=1+1>0\) y \(\eta:=\varepsilon s^{-1}>0\), de manera que \(\eta+\eta=\varepsilon\). Como \(L_K(a)\to\alpha\), existe \(K_0\in\mathbb N\) tal que para todo \(K\ge K_0\),
\[ \alpha-\eta<L_K(a)<\alpha+\eta. \]
Fijamos un índice \(K\) mayor o igual que \(K_0\) y que \(N\); por ejemplo, tomamos \(K_0\) si \(N\le K_0\) y \(N\) en caso contrario. Esta es una definición por casos sobre dos naturales, no una elección entre infinitos candidatos.
Por Lema 13.12.3 — Aproximación de los extremos de cada cola por valores de la cola, existe \(n\ge K\) tal que
\[ L_K(a)\le a_n<L_K(a)+\eta. \]
Combinando las desigualdades,
\[ \alpha-\eta<a_n<\alpha+\eta+\eta =\alpha+\varepsilon. \]
Puesto que \(\eta<\varepsilon\), también \(\alpha-\varepsilon<a_n\). Así
\[ \alpha-\varepsilon<a_n<\alpha+\varepsilon, \qquad n\ge N, \]
lo que equivale a \(|a_n-\alpha|<\varepsilon\). El criterio de visitas prueba \(\alpha\in\operatorname{LimSub}(a)\).
El extremo superior. Con los mismos \(\varepsilon,N,s,\eta\), ahora de \(U_K(a)\to\beta\) obtenemos un umbral \(K_0\) tal que \(|U_K(a)-\beta|<\eta\) para todo \(K\ge K_0\). Tomamos de nuevo \(K\ge K_0,N\). El lema Lema 13.12.3 — Aproximación de los extremos de cada cola por valores de la cola proporciona \(n\ge K\) con
\[ U_K(a)-\eta<a_n\le U_K(a). \]
Se sigue que
\[ \beta-\varepsilon =\beta-\eta-\eta<a_n<\beta+\eta<\beta+\varepsilon. \]
Por tanto \(|a_n-\beta|<\varepsilon\) para algún \(n\ge N\). Como \(\varepsilon,N\) eran arbitrarios, Proposición 13.10.3 — Criterio de visitas arbitrariamente tardías da \(\beta\in\operatorname{LimSub}(a)\). ∎
Arquitectura de la prueba. Primero hacemos que el extremo de una cola quede cerca de su límite; después usamos la propiedad característica de ínfimo o supremo para encontrar un término de esa misma cola próximo al extremo. El criterio de visitas ya cerrado convierte esas aproximaciones en una subsucesión convergente usando mínimos naturales. No hemos escogido de forma arbitraria una sucesión de testigos.
Corolario 13.12.6 — Extremos del conjunto de puntos límite
Para toda sucesión real acotada \(a\), el conjunto \(\operatorname{LimSub}(a)\) tiene mínimo y máximo, y
\[ \boxed{ \min\operatorname{LimSub}(a) =\liminf_{n\to\infty}a_n, \qquad \max\operatorname{LimSub}(a) =\limsup_{n\to\infty}a_n. } \]
Demostración.
Sean \(\alpha=\liminf a_n\) y \(\beta=\limsup a_n\). Teorema 13.12.5 — Los límites inferior y superior son puntos límite secuenciales establece que ambos pertenecen a \(\operatorname{LimSub}(a)\); en particular, el conjunto no es vacío. Por Proposición 13.12.4 — Orden de los límites extremos y confinamiento de los puntos límite, todo \(x\) en él verifica \(\alpha\le x\le\beta\). Así \(\alpha\) pertenece al conjunto y es menor o igual que cualquiera de sus elementos, por lo que es su mínimo. Dualmente, \(\beta\) es su máximo. ∎
La palabra «extremo» adquiere ahora su sentido exacto: los límites inferior y superior no son sólo cotas abstractas de los límites de subsucesiones; son límites de subsucesiones y constituyen los extremos de todos ellos.
Teorema 13.12.7 — Criterio de convergencia mediante los límites extremos
Sea \(a=(a_n)\) una sucesión real acotada. Son equivalentes:
- \(a\) converge en \(\mathbb R\);
- \(\displaystyle\liminf_{n\to\infty}a_n=\limsup_{n\to\infty}a_n\);
- \(\operatorname{LimSub}(a)\) consta de un único elemento.
Cuando se cumplen estas condiciones, los tres valores —límite ordinario, límite inferior y límite superior— son iguales al único punto límite secuencial.
Demostración.
Supongamos primero que \(a_n\to\ell\). Por Proposición 13.10.5 — Puntos límite de una sucesión convergente,
\[ \operatorname{LimSub}(a)=\{\ell\}, \]
luego se cumple la condición 3.
Si el conjunto de puntos límite es \(\{\ell\}\), su mínimo y su máximo coinciden con \(\ell\). Por Corolario 13.12.6 — Extremos del conjunto de puntos límite, el límite inferior y el superior son iguales. Así 3 implica 2.
Supongamos finalmente 2 y escribamos \(r\) para ese valor común. Por Teorema 13.12.1 — Convergencia de las envolventes de colas,
\[ L_N(a)\to r, \qquad U_N(a)\to r. \]
Por Proposición 13.8.5 — Monotonía y encajamiento de las envolventes de colas, para cada \(N\) se tiene
\[ L_N(a)\le a_N\le U_N(a). \]
El teorema del sándwich Teorema 13.6.5 — Teorema del sándwich demuestra entonces \(a_N\to r\). Así 2 implica 1. La unicidad del límite ordinario (Teorema 13.3.5 — Unicidad del límite real) y el corolario de extremos identifican todos los valores indicados. ∎
Dónde es indispensable la hipótesis. Para una sucesión no acotada no están definidos aquí los límites extremos, y la condición «un único punto límite» no bastaría por sí sola para concluir convergencia. El ejemplo de §13.11 que alterna ceros con numerales reales crecientes tiene \(0\) como único límite de subsucesiones convergentes, pero no converge como sucesión completa. La acotación impide precisamente que una porción de la sucesión escape sin dejar puntos límite adicionales.
Proposición 13.12.8 — Invariancia de los límites extremos bajo coincidencia eventual
Sean \(a,b\) sucesiones reales acotadas que coinciden eventualmente. Entonces
\[ \boxed{ \liminf_{n\to\infty}a_n=\liminf_{n\to\infty}b_n, \qquad \limsup_{n\to\infty}a_n=\limsup_{n\to\infty}b_n. } \]
Demostración.
Por coincidencia eventual existe \(N_0\) tal que \(a_n=b_n\) para todo \(n\ge N_0\). Para cada \(N\ge N_0\), las dos sucesiones tienen exactamente el mismo conjunto de valores en la cola:
\[ T_N(a)=T_N(b). \]
En efecto, todo elemento del conjunto de la izquierda tiene la forma \(a_n\) con \(n\ge N\), y entonces \(a_n=b_n\); la inclusión inversa es simétrica. Por unicidad de supremos e ínfimos,
\[ L_N(a)=L_N(b), \qquad U_N(a)=U_N(b) \qquad(N\ge N_0). \]
Así \(L(a)\) y \(L(b)\) coinciden eventualmente, lo mismo que \(U(a)\) y \(U(b)\). Sus cuatro límites existen por Teorema 13.12.1 — Convergencia de las envolventes de colas. La estabilidad de la convergencia bajo coincidencia eventual Proposición 13.3.7 — Invariancia de la convergencia bajo coincidencia eventual y la unicidad Teorema 13.3.5 — Unicidad del límite real igualan cada par de límites. Por Definición 13.12.2 — Límite inferior y límite superior, son precisamente las dos identidades buscadas. ∎
Ejemplos y pruebas de estrés. En la sucesión alternante \(0,1,0,1,\ldots\) de §13.10, cada cola contiene ambos valores. En consecuencia, \(L_N=0\) y \(U_N=1\) para todo \(N\); su límite inferior es \(0\), su límite superior es \(1\) y el conjunto de puntos límite es exactamente \(\{0,1\}\). No todos los números del intervalo \([0,1]\) son puntos límite: por ejemplo, \(1/2\) no lo es. En cambio, si \(a_0=100\) y \(a_n=0\) para \(n\ge1\), el supremo del recorrido total es \(100\), pero las envolventes de toda cola con \(N\ge1\) valen \(0\); de aquí \(\liminf a_n=\limsup a_n=0\), y la sucesión converge a \(0\). Los límites extremos registran el comportamiento persistente, no los accidentes de un prefijo finito.
Hemos cerrado así la cadena
\[ \boxed{ \text{envolventes de colas} \longrightarrow \liminf,\limsup \longrightarrow \min\operatorname{LimSub}(a),\max\operatorname{LimSub}(a) \longrightarrow \text{criterio de convergencia}. } \]
La teoría anterior se ha desarrollado exclusivamente para sucesiones reales acotadas. Con ella queda cerrado el primer capítulo propiamente analítico de la Parte II: la completitud de \(\mathbb R\) se ha convertido en una teoría operativa de convergencia, Cauchy, subsucesiones, puntos límite y extremos asintóticos.
El paso siguiente cambia el objeto sin cambiar todavía la noción de convergencia: una serie numérica será estudiada mediante la sucesión de sus sumas parciales. El Capítulo 14 comenzará, por tanto, reutilizando íntegramente la infraestructura secuencial construida aquí.