Tratado de análisis — Capítulo 16 — Límites de funciones

Capítulo 16 — Límites de funciones en el desarrollo progresivo del Tratado de análisis.

Capítulo 16 — Límites de funciones

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Parte II — Núcleo del análisis real

16.0. Del acercamiento de puntos al comportamiento de sus imágenes

En el Capítulo 13 definimos la convergencia de una sucesión: el índice natural avanza y los términos se aproximan a un número real. En el Capítulo 15 describimos la proximidad entre puntos de la recta sin recurrir necesariamente a sucesiones. Ahora estudiaremos otra situación: una función \(f\) asigna un valor \(f(x)\) a cada \(x\) de su dominio y preguntamos qué ocurre con esos valores cuando \(x\) se aproxima a un punto \(a\).

La pregunta no presupone que \(f\) esté definida en \(a\). Tampoco presupone que el valor \(f(a)\), si existe, coincida con el número al que se aproximan las imágenes. Por ello distinguiremos tres datos: el dominio \(D\), el punto de aproximación \(a\) y el posible límite \(L\).

La condición sobre el dominio es esencial. Si \(a\) estuviera aislado de todos los otros puntos de \(D\), no existirían argumentos de \(f\) arbitrariamente próximos a \(a\) y distintos de él. Una fórmula que sólo examinara tales argumentos sería verdadera para cualquier candidato \(L\) por vacuidad. Exigiremos, antes de hablar de límite finito, que \(a\) sea un punto de acumulación del dominio, noción construida en §15.5.

Este capítulo trabajará primero con funciones \(f:D\to\mathbb R\), donde \(D\subseteq\mathbb R\). La convergencia de sucesiones reales y las bolas abiertas ya están disponibles. Todavía no introduciremos continuidad, que pertenece al Capítulo 17, ni utilizaremos \(+\infty\) o \(-\infty\) como si fueran elementos del cuerpo real. Después de establecer la definición y su unicidad, estudiaremos los criterios secuenciales con una auditoría explícita de las hipótesis de elección.

16.1. Dominio, definición del límite y unicidad

La noción de acumulación proporciona exactamente la disponibilidad de puntos que necesitaremos. Conviene expresarla primero sin conjuntos perforados, mediante una desigualdad.

Lema 16.1.1 — Acumulación y aproximación perforada

Sean \(D\subseteq\mathbb R\) y \(a\in\mathbb R\). Entonces

\[ \boxed{a\in\operatorname{Acc}(D) \iff \forall r\in\mathbb R\,(r>0\Rightarrow \exists x\in D:\ 0<|x-a|<r).} \]

Demostración. Por Definición §15.5.1 — Punto de acumulación y Definición §15.5.2 — Conjunto derivado o conjunto de puntos de acumulación, \(a\in\operatorname{Acc}(D)\) significa que para cada \(r>0\) existe un elemento de \((B_r(a)\setminus\{a\})\cap D\). Por la definición de bola (Definición §15.1.1 — Bola abierta en la recta), pertenecer a \(B_r(a)\) equivale a \(|x-a|<r\). Por la caracterización del valor absoluto (Proposición §4.2.2 — Propiedades elementales del valor absoluto), \(x\ne a\) equivale a \(|x-a|>0\). Por tanto, dicho elemento satisface simultáneamente \(x\in D\) y \(0<|x-a|<r\). A la inversa, un punto que cumple estas dos condiciones pertenece a la intersección perforada correspondiente. Ambas implicaciones valen para cada \(r>0\), lo que prueba la equivalencia. ∎

Lectura de cuantificadores. El lema afirma \(\forall r>0\,\exists x\in D\); no construye ni necesita una sucesión \(x_0,x_1,\ldots\) elegida simultáneamente. Para cada radio de una prueba concreta basta obtener un punto.

Definición 16.1.2 — Límite real finito de una función

Sean \(D\subseteq\mathbb R\), una función \(f:D\to\mathbb R\), un punto \(a\in\operatorname{Acc}(D)\) y un número \(L\in\mathbb R\). Diremos que \(f\) tiene límite finito \(L\) cuando \(x\) tiende a \(a\) a través del dominio \(D\) si

\[ \boxed{ \forall\varepsilon\in\mathbb R\ \bigl(\varepsilon>0\Rightarrow \exists\delta\in\mathbb R\,[\delta>0\ \land \forall x\in D\,(0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon)]\bigr). } \]

Cuando esta relación se cumple escribiremos

\[ \boxed{\lim_{\substack{x\to a\\x\in D}} f(x)=L.} \]

Si el dominio de la función ya es inequívoco, podremos abreviar la expresión como \(\lim_{x\to a}f(x)=L\). El límite es aquí una relación entre datos tipados y un candidato \(L\); la unicidad necesaria para hablar sin ambigüedad de el límite se demostrará en el Teorema 16.1.4. La notación sólo se utilizará cuando \(a\in\operatorname{Acc}(D)\); si no lo está, no asignaremos un límite por la veracidad vacía de las implicaciones.

La primera desigualdad, \(0<|x-a|\), elimina precisamente \(x=a\). No exigimos \(a\in D\) y, cuando sí pertenezca, no utilizamos \(f(a)\) en la condición. Además, \(\delta\) puede depender de \(\varepsilon\), de la función y de los puntos y valores fijados, pero no puede depender del \(x\) que aparece bajo el cuantificador universal.

Traducción lógica. Para cualquier tolerancia positiva propuesta para la salida, debe existir un margen positivo de entrada tal que todos los argumentos del dominio situados dentro de ese margen, excepto el centro, produzcan imágenes dentro de la tolerancia. No basta encontrar un argumento favorable ni se exige un único \(\delta\) que sirva para todas las tolerancias.

Proposición 16.1.3 — Criterio mediante imágenes de bolas perforadas

Sean \(f:D\to\mathbb R\) y \(a\in\operatorname{Acc}(D)\), con \(L\in\mathbb R\). La relación \(\lim_{\substack{x\to a\\x\in D}} f(x)=L\) equivale a

\[ \boxed{\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0:\quad f\!\left[D\cap\bigl(B_\delta(a)\setminus\{a\}\bigr)\right] \subseteq B_\varepsilon(L).} \]

Demostración. Supongamos la condición \(\varepsilon\)–\(\delta\) y fijemos \(\varepsilon>0\). Existe \(\delta>0\) con la implicación definitoria para todo \(x\in D\). Si \(y\) pertenece a la imagen indicada, por la definición de imagen directa Definición §0.6.9 — Imagen y preimagen existe \(x\in D\cap(B_\delta(a)\setminus\{a\})\) con \(y=f(x)\). La pertenencia al conjunto perforado da \(0<|x-a|<\delta\), y la condición del límite da \(|y-L|<\varepsilon\), esto es, \(y\in B_\varepsilon(L)\). Se obtiene la inclusión.

Recíprocamente, supongamos las inclusiones de imágenes. Dado \(\varepsilon>0\), tomemos el \(\delta>0\) suministrado por la hipótesis. Si \(x\in D\) y \(0<|x-a|<\delta\), entonces \(x\in D\cap(B_\delta(a)\setminus\{a\})\) y su imagen pertenece a \(B_\varepsilon(L)\). Esto significa \(|f(x)-L|<\varepsilon\), exactamente la condición de la definición. ∎

La caracterización no introduce una topología de subespacios: la intersección con \(D\) aparece dentro de cada fórmula y las dos bolas son las ya definidas en la recta real.

Teorema 16.1.4 — Unicidad del límite finito

Sean \(f:D\to\mathbb R\) y \(a\in\operatorname{Acc}(D)\). Si \(L,M\in\mathbb R\) satisfacen

\[ \lim_{\substack{x\to a\\x\in D}}f(x)=L \qquad\text{y}\qquad \lim_{\substack{x\to a\\x\in D}}f(x)=M, \]

entonces \(L=M\). Así, un límite real finito, cuando existe, está determinado de manera única.

Demostración. Supongamos que \(L\ne M\). La propiedad del valor absoluto Proposición §4.2.2 — Propiedades elementales del valor absoluto implica que \(d:=|L-M|>0\). Definamos \(\varepsilon:=d/(1+1+1)>0\), donde los unos y las operaciones corresponden al cuerpo real, sin identificar conjuntos numéricos por inclusión literal.

La hipótesis de límite \(L\) proporciona \(\delta_L>0\) tal que

\[ x\in D,\quad 0<|x-a|<\delta_L \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\varepsilon. \]

Análogamente, el límite \(M\) proporciona \(\delta_M>0\) con la desigualdad correspondiente para \(M\). Tomemos \(r:=\min\{\delta_L,\delta_M\}>0\). Como \(a\) es punto de acumulación de \(D\), el Lema 16.1.1 proporciona un punto \(x\in D\) tal que \(0<|x-a|<r\). Ambas estimaciones se aplican a ese mismo punto. Por la desigualdad triangular Teorema §4.2.3 — Desigualdad triangular,

\[ \begin{aligned} d=|L-M| &\le |L-f(x)|+|f(x)-M|\\ &<2\varepsilon=\frac{2}{3}d<d, \end{aligned} \]

una contradicción. Por tanto \(L=M\). Los dos radios y el único punto utilizado se obtienen mediante eliminación de existenciales finitos; no se ha construido una sucesión de elecciones. ∎

Por qué importa la acumulación. Si \(D=\{a\}\), la implicación de la definición, sin la hipótesis de acumulación, sería verdadera para todo \(L\): ningún \(x\in D\) cumple \(0<|x-a|\). En tal caso la demostración anterior fallaría precisamente donde necesita obtener un \(x\) cercano y distinto de \(a\). La hipótesis no es ornamental: evita una definición vacía y hace posible la unicidad.

Proposición 16.1.5 — Carácter local y libertad del valor puntual

Sean \(f,g:D\to\mathbb R\) dos funciones con el mismo dominio y sea \(a\in\operatorname{Acc}(D)\). Supongamos que existe \(r>0\) tal que

\[ \forall x\in D:\quad 0<|x-a|<r\ \Longrightarrow\ f(x)=g(x). \]

Entonces, para cada \(L\in\mathbb R\),

\[ \boxed{\lim_{\substack{x\to a\\x\in D}}f(x)=L \iff \lim_{\substack{x\to a\\x\in D}}g(x)=L.} \]

En particular, si \(a\in D\), modificar exclusivamente el valor asignado en \(a\) no modifica ningún límite finito de la función en dicho punto.

Demostración. Supongamos que el límite de \(f\) es \(L\) y fijemos \(\varepsilon>0\). Existe \(\delta_f>0\) tal que \(x\in D\) y \(0<|x-a|<\delta_f\) implican \(|f(x)-L|<\varepsilon\). Definamos \(\delta:=\min\{\delta_f,r\}>0\). Para \(x\in D\) con \(0<|x-a|<\delta\) se cumplen simultáneamente \(|x-a|<\delta_f\) y \(|x-a|<r\). Por la hipótesis, \(g(x)=f(x)\), de donde

\[ |g(x)-L|=|f(x)-L|<\varepsilon. \]

Esto demuestra que \(g\) tiene límite \(L\). La implicación inversa se obtiene con idéntico argumento intercambiando \(f\) y \(g\), ya que la igualdad puntual es simétrica. Si ambas funciones difieren a lo sumo en \(a\), coinciden automáticamente para todo \(x\in D\) con \(x\ne a\) y, en particular, cumplen la hipótesis con cualquier \(r>0\). ∎

Ejemplo de lectura. Sea \(D=\mathbb R\) y definamos \(g:D\to\mathbb R\) por \(g(0)=1\) y \(g(x)=0\) para \(x\ne0\). La función está bien definida por una regla funcional por casos, y \(0\in\operatorname{Acc}(\mathbb R)\): dado \(r>0\), el punto \(r/(1+1)\) es real, distinto de cero y de valor absoluto menor que \(r\). Para cualquier \(\varepsilon>0\), podemos tomar \(\delta=1\), pues \(0<|x|<\delta\) implica \(|g(x)-0|=0<\varepsilon\). Por consiguiente,

\[ \boxed{\lim_{x\to0}g(x)=0\quad\text{mientras que}\quad g(0)=1.} \]

La misma comprobación vale para la función constante cero: los valores cercanos, y no el valor en el centro, deciden el límite.

Hemos construido el límite como una relación local no vacía, probado una caracterización con bolas y demostrado su unicidad. En la siguiente sección investigaremos qué pueden detectar las sucesiones del dominio. La implicación «límite funcional \(\Rightarrow\) mismo límite a lo largo de cualquier sucesión del dominio que tienda a \(a\) sin alcanzarlo» utiliza únicamente la definición; una recíproca universal para dominios arbitrarios requiere una revisión separada de los posibles selectores de puntos. No adoptaremos tácitamente CC(\mathbb R).

16.2. Criterio secuencial y alcance fundacional

Una sucesión convierte la aproximación a \(a\) en una lista indexada por los naturales. Si se dispone de esa lista, la definición \(\varepsilon\)–\(\delta\) controla todas sus imágenes suficientemente avanzadas. El problema lógico surge al invertir el razonamiento: que exista algún punto infractor para cada radio no significa que esté dada una función que elija simultáneamente todos esos puntos. Mantendremos separadas ambas operaciones.

En toda la sección, \(D\subseteq\mathbb R\), \(f:D\to\mathbb R\), \(a\in\operatorname{Acc}(D)\) y \(L\in\mathbb R\). Una sucesión real \(s=(s_n)_{n\in\mathbb N}\) será admisible para aproximarse a \(a\) a través de \(D\) cuando

\[ \forall n\in\mathbb N\ (s_n\in D\setminus\{a\}) \quad\text{y}\quad s_n\to a. \]

Es una descripción local, no un nuevo tipo de límite: garantiza que \(f(s_n)\) está definido y que nunca se utiliza el valor puntual \(f(a)\). Para una sucesión así, el grafo de \(s:\mathbb N\to\mathbb R\) tiene su recorrido contenido en \(D\). Conservando ese grafo y declarando el codominio \(D\), obtenemos una función bien tipada \(s_D:\mathbb N\to D\). La composición \(f\circ s_D:\mathbb N\to\mathbb R\) tiene por términos exactamente \(f(s_n)\); no requiere elegir valores ni confunde funciones con distintos codominios.

Proposición 16.2.1 — El límite funcional controla toda sucesión admisible

Si

\[ \lim_{\substack{x\to a\\x\in D}}f(x)=L, \]

entonces, para toda sucesión real \((s_n)\) tal que \(s_n\in D\setminus\{a\}\) para cada \(n\) y \(s_n\to a\), se tiene

\[ \boxed{f(s_n)\to L.} \]

Demostración. Fijemos una sucesión admisible \(s\) y un \(\varepsilon>0\). Por la hipótesis funcional existe \(\delta>0\) tal que, para cada \(x\in D\),

\[ 0<|x-a|<\delta\quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\varepsilon. \]

Como \(s_n\to a\), la definición secuencial Definición §13.3.1 — Convergencia de una sucesión real proporciona \(N\in\mathbb N\) con \(|s_n-a|<\delta\) para todo \(n\ge N\). Además, \(s_n\in D\) y \(s_n\ne a\) para todos los índices, así que \(0<|s_n-a|<\delta\) si \(n\ge N\). Sustituir \(x=s_n\) en la implicación funcional da \(|f(s_n)-L|<\varepsilon\) para toda esa cola. Ésta es exactamente la definición de \(f(s_n)\to L\). La sucesión de imágenes existe por la composición tipada \(f\circ s_D\) y ningún argumento ha seleccionado una nueva sucesión. ∎

Hipótesis indispensable. Si permitiésemos \(s_n=a\) y \(a\in D\), la sucesión constante \(s_n=a\) pondría a prueba \(f(a)\), que la definición de límite excluye. La restricción \(s_n\ne a\) no puede omitirse sin imponer una condición adicional acerca del valor puntual.

Lema 16.2.2 — La falla del límite produce conjuntos de infractores, no automáticamente una sucesión

Utilicemos la escala positiva \(\eta_n=(\nu_{\mathbb R}(S(n)))^{-1}\) de Lema §15.8.1 — Una escala numerable cofinal de radios positivos. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. \(L\) no es límite de \(f\) en \(a\) a través de \(D\).

2. Existe \(\varepsilon_0>0\) tal que, para cada \(n\in\mathbb N\), el conjunto

   \[ E_n:=\{x\in D:0<|x-a|<\eta_n\ \land\ |f(x)-L|\ge\varepsilon_0\} \]

   es no vacío.

Para cada \(\varepsilon_0\) fijado, \((E_n)_{n\in\mathbb N}\) es una familia determinada por una fórmula y tiene valores en \(\mathcal P(\mathbb R)\).

Demostración. Negar la relación cuantificada de Definición §16.1.2 — Límite real finito de una función relativo a su dominio, manteniendo \(a\in\operatorname{Acc}(D)\), equivale en la lógica clásica admitida a

\[ \exists\varepsilon_0>0\ \forall\delta>0\ \exists x\in D: 0<|x-a|<\delta\ \land\ |f(x)-L|\ge\varepsilon_0. \]

En efecto, negamos sucesivamente \(\forall\varepsilon\), \(\exists\delta\) y la implicación universal; la negación de \(|f(x)-L|<\varepsilon_0\) es \(|f(x)-L|\ge\varepsilon_0\) en el orden total real. Dado ese \(\varepsilon_0\), cada \(\eta_n\) es positivo, por lo que basta instanciar \(\delta=\eta_n\) para concluir \(E_n\ne\varnothing\).

Inversamente, supongamos que un \(\varepsilon_0>0\) hace no vacíos todos los \(E_n\). Fijado cualquier \(\delta>0\), Lema §15.8.1 — Una escala numerable cofinal de radios positivos proporciona \(n\) con \(0<\eta_n<\delta\). La no vaciedad de este único \(E_n\) entrega un \(x\in D\) tal que

\[ 0<|x-a|<\eta_n<\delta, \qquad |f(x)-L|\ge\varepsilon_0. \]

Por tanto ningún \(\delta\) sirve para la tolerancia \(\varepsilon_0\); \(L\) no es límite. Los conjuntos \(E_n\) existen por Separación sobre \(D\); una regla funcional única \(n\mapsto E_n\) se obtiene por Separación dentro de \(\mathbb N\times\mathcal P(\mathbb R)\). No hemos afirmado que exista una función \(n\mapsto x_n\) con \(x_n\in E_n\): ése es el paso adicional que se examinará ahora. ∎

Comparación lógica. El lema construye una familia de conjuntos no vacíos, \(\forall n\ (E_n\ne\varnothing)\). Para contradecir un criterio secuencial necesitamos una sucesión de sus elementos, \(\exists s\ \forall n\ (s_n\in E_n)\). La segunda afirmación no se obtiene por mera reordenación de cuantificadores.

Teorema 16.2.3 — Criterio secuencial con enumeración del dominio

Supongamos dada una sobreyección \(e:\mathbb N\to D\). Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

\[ \boxed{\lim_{\substack{x\to a\\x\in D}}f(x)=L} \]

y

\[ \boxed{\begin{gathered} \text{para toda sucesión }s\in\mathbb R^{\mathbb N}\text{ con}\\ \forall n\ (s_n\in D\setminus\{a\})\text{ y }s_n\to a,\\ f(s_n)\to L. \end{gathered}} \]

La enumeración \(e\) es un dato del enunciado; no se supone que cualquier subconjunto de \(\mathbb R\) tenga una.

Demostración. La primera condición implica la segunda por Proposición §16.2.1 — El límite funcional controla toda sucesión admisible sin utilizar \(e\). Para la recíproca razonaremos por contradicción. Si \(L\) no fuese límite, Lema §16.2.2 — La falla del límite produce conjuntos de infractores, no automáticamente una sucesión suministraría \(\varepsilon_0>0\) y conjuntos no vacíos \(E_n\). Para cada \(n\) formemos

\[ I_n:=\{k\in\mathbb N:e(k)\in E_n\}. \]

Como \(E_n\subseteq D\) es no vacío y \(e\) es sobreyectiva, \(I_n\ne\varnothing\). Por el buen orden de los naturales Teorema §1.6.13 — Principio de buen orden existe un mínimo único \(k_n:=\min I_n\). La fórmula

\[ k=k_n\iff k\in I_n\ \land\ \forall j\in I_n\ (k\le j) \]

define funcionalmente los \(k_n\); su grafo es un conjunto por Separación dentro de \(\mathbb N\times\mathbb N\). Así, \(s_n:=e(k_n)\) constituye una sucesión real con

\[ s_n\in D\setminus\{a\},\qquad |s_n-a|<\eta_n,\qquad |f(s_n)-L|\ge\varepsilon_0 \quad(n\in\mathbb N). \]

Por el carácter cofinal de la escala \(\eta_n\) (Lema §15.8.1 — Una escala numerable cofinal de radios positivos), \(s_n\to a\): para cada \(r>0\), finalmente \(|s_n-a|<\eta_n<r\). Sin embargo, \(f(s_n)\) no converge a \(L\), porque la tolerancia \(\varepsilon_0>0\) es infringida en todos sus términos. Hemos construido una sucesión admisible que contradice la segunda condición. Luego \(L\) es el límite funcional. ∎

La prueba no exige una enumeración computable. Requiere una función matemática sobreyectiva ya proporcionada: el mínimo se toma en \(\mathbb N\) y no en un subconjunto arbitrario de reales. La existencia de \(a\in\operatorname{Acc}(D)\) asegura que el dominio es no vacío, pero por sí sola no proporciona \(e\).

Teorema 16.2.4 — Criterio secuencial universal bajo una hipótesis explícita

Supongamos, sólo para este teorema, el principio \(\mathrm{CC}(\mathbb R)\) formulado en Teorema §15.8.9 — Formulaciones habituales bajo una hipótesis de elección explícita: toda sucesión de subconjuntos no vacíos de \(\mathbb R\) admite una función que selecciona un elemento de cada uno. Entonces, para cualquier \(D\subseteq\mathbb R\) y los datos \(f,a,L\) fijados al comienzo de la sección, son equivalentes el límite funcional \(L\) y la condición de convergencia de imágenes a lo largo de todas las sucesiones admisibles del Teorema 16.2.3.

Demostración condicional. La implicación desde el límite funcional es Proposición §16.2.1 — El límite funcional controla toda sucesión admisible y no necesita la hipótesis adicional. Supongamos la condición secuencial y neguemos que \(L\) sea el límite. El Lema 16.2.2 produce \(\varepsilon_0>0\) y una función \(n\mapsto E_n\) con \(E_n\subseteq\mathbb R\) no vacío para cada \(n\). En este punto exacto aplicamos \(\mathrm{CC}(\mathbb R)\) a la familia \((E_n)\): obtenemos \(s:\mathbb N\to\mathbb R\) con \(s_n\in E_n\) para todo \(n\). Las propias desigualdades que definen \(E_n\) prueban \(s_n\in D\setminus\{a\}\), \(s_n\to a\) y \(|f(s_n)-L|\ge\varepsilon_0\) para cada \(n\). La última desigualdad impide \(f(s_n)\to L\), en contradicción con la hipótesis secuencial. Concluimos que el límite funcional es \(L\). ∎

Estatuto fundacional. El teorema está demostrado en la forma \(\mathrm{CC}(\mathbb R)\Rightarrow\text{criterio secuencial universal}\). Su premisa adicional no se incorpora al contrato ZF. Tampoco se sustituye por la premisa «\(D\) es abierto»: los conjuntos de infractores \(E_n\) pueden ser arbitrarios cuando no se ha supuesto ninguna regularidad sobre \(f\).

Corolario 16.2.5 — Criterio incondicional sobre la copia racional canónica

Sea \(D_{\mathbb Q}:=\jmath_{\mathbb Q}^{\mathbb R}[\mathbb Q]\) la imagen racional canónica. Para toda función \(f:D_{\mathbb Q}\to\mathbb R\), todo \(a\in\operatorname{Acc}(D_{\mathbb Q})\) y todo \(L\in\mathbb R\) vale, en ZF sin elección, la equivalencia entre \(\lim_{\substack{x\to a\\x\in D_{\mathbb Q}}}f(x)=L\) y la convergencia \(f(s_n)\to L\) para cada sucesión \(s_n\in D_{\mathbb Q}\setminus\{a\}\) con \(s_n\to a\).

Demostración. La enumeración racional canónica \(e_{\mathbb Q}:\mathbb N\to\mathbb Q\) es sobreyectiva por Proposición §10.2.6 — Sobreyectividad de la enumeración racional canónica. La composición \(h:=\jmath_{\mathbb Q}^{\mathbb R}\circ e_{\mathbb Q}:\mathbb N\to\mathbb R\) tiene recorrido exactamente \(D_{\mathbb Q}\): cada punto de la imagen racional tiene alguna preimagen racional y ésta aparece en \(e_{\mathbb Q}\). Conservando el grafo de \(h\) y reduciendo explícitamente su codominio a \(D_{\mathbb Q}\) obtenemos una sobreyección \(e:\mathbb N\to D_{\mathbb Q}\). Aplicamos Teorema §16.2.3 — Criterio secuencial con enumeración del dominio a \(e\). No se ha identificado \(\mathbb Q\) con un subconjunto literal de \(\mathbb R\) ni se ha utilizado elección. ∎

Ejemplo de contraste. En el dominio \(D_{\mathbb Q}\), la función que toma el valor \(1\) para \(x>0\) y \(-1\) para \(x\le0\) no tiene límite en \(a=0\). Para cada \(\delta>0\), la densidad racional proporciona puntos de ambos signos en la bola perforada de radio \(\delta\). Si existiese un límite \(L\), con \(\varepsilon=1\) se exigirían simultáneamente \(|1-L|<1\) y \(|-1-L|<1\), lo cual contradice \(2=|1-(-1)|\le |1-L|+|L+1|<2\). La enumeración del dominio permite convertir las infracciones en una sucesión admisible por el mínimo índice, sin escoger arbitrariamente infinitos puntos. Este ejemplo sólo utiliza los valores reales \(\pm1\) y la copia racional tipada.

El criterio secuencial queda así disponible en tres niveles: una dirección incondicional para toda función; una equivalencia en dominios provistos de enumeración (en particular la imagen racional canónica); y una equivalencia universal únicamente bajo la hipótesis declarada \(\mathrm{CC}(\mathbb R)\). En la siguiente unidad estudiaremos las reglas algebraicas de los límites directamente mediante desigualdades \(\varepsilon\)–\(\delta\), sin depender de la recíproca secuencial condicional.

16.3. Álgebra y orden de límites finitos

Hasta ahora hemos caracterizado el límite de una función mediante la proximidad de sus valores y hemos precisado el alcance del criterio secuencial. Queremos saber qué ocurre si combinamos dos funciones que tienen límite en el mismo punto. La respuesta se basará directamente en la definición \(\varepsilon\)–\(\delta\): no necesitamos deducir límites funcionales de condiciones secuenciales y, por tanto, no necesitamos ningún principio de elección.

En esta sección fijaremos \(D\subseteq\mathbb R\), un punto \(a\in\operatorname{Acc}(D)\) y funciones \(f,g:D\to\mathbb R\) con límites finitos respectivos \(L,M\in\mathbb R\) en \(a\), salvo que un enunciado especifique otras hipótesis. Todos los límites son relativos a su dominio declarado. El punto \(a\) puede no pertenecer a \(D\).

Lema 16.3.1 — Acotación local perforada de una función con límite

Si \(\lim_{\substack{x\to a\\x\in D}}f(x)=L\), existen \(r>0\) y \(K>0\) tales que

\[ \forall x\in D:\quad 0<|x-a|<r\ \Longrightarrow\ |f(x)|<K. \]

Demostración. Apliquemos la definición con la tolerancia real \(1>0\). Obtenemos \(r>0\) tal que \(0<|x-a|<r\), \(x\in D\), implica \(|f(x)-L|<1\). Por la desigualdad triangular,

\[ |f(x)|\le |f(x)-L|+|L|<1+|L|. \]

El número \(K:=1+|L|\) es positivo. Estos \(r,K\) satisfacen la conclusión. No se afirma que \(f\) esté acotada en todo \(D\), ni se toma su valor en \(a\). ∎

La acotación local será necesaria para el producto: dos errores pequeños se multiplican por valores de funciones que deben permanecer controlados.

Proposición 16.3.2 — Existencia y tipado de las operaciones puntuales

Para \(f,g:D\to\mathbb R\) y \(c\in\mathbb R\) están determinadas unívocamente las funciones

\[ \begin{aligned} f+g &:D\to\mathbb R, &(f+g)(x)&=f(x)+g(x),\\ f-g &:D\to\mathbb R, &(f-g)(x)&=f(x)-g(x),\\ cf &:D\to\mathbb R, &(cf)(x)&=c\,f(x),\\ fg &:D\to\mathbb R, &(fg)(x)&=f(x)g(x),\\ |f| &:D\to\mathbb R, &|f|(x)&=|f(x)|. \end{aligned} \]

Sea \(D_g:=\{x\in D:g(x)\ne0\}\). También están determinadas las funciones

\[ \frac1g:D_g\to\mathbb R,\qquad \frac fg:D_g\to\mathbb R, \]

por los valores \(g(x)^{-1}\) y \(f(x)g(x)^{-1}\), respectivamente. El cociente no se declara función sobre todo \(D\) cuando \(g\) puede anularse.

Demostración. Para cualquiera de las primeras cinco expresiones, definamos su grafo por Separación dentro de \(D\times\mathbb R\): un par \(\langle x,y\rangle\) pertenece al grafo precisamente si \(y\) es la correspondiente expresión algebraica en \(f(x)\) y \(g(x)\), o en \(f(x)\) únicamente. Como las operaciones y el valor absoluto están definidos en el cuerpo real y dan un único real para cada \(x\in D\), el grafo es funcional y total en \(D\). Declarar dominio \(D\) y codominio \(\mathbb R\) completa cada función en el sentido de Definición §0.6.1 — Función como dominio, codominio y grafo.

El conjunto \(D_g\) existe por Separación sobre \(D\). Si \(x\in D_g\), la estructura de cuerpo garantiza que \(g(x)^{-1}\) existe y es único. La misma construcción por grafo, ahora dentro de \(D_g\times\mathbb R\), da \(1/g\) y \(f/g\) con los codominios y dominios anunciados. Si \(D_g=\varnothing\), los grafos vacíos siguen definiendo funciones, pero aún no se les puede atribuir límite en \(a\). Ninguna construcción escoge representantes o valores arbitrarios. ∎

Teorema 16.3.3 — Suma, resta y multiplicación por escalares

Si \(f\to L\) y \(g\to M\) cuando \(x\to a\) a través de \(D\), entonces, para todo \(c\in\mathbb R\),

\[ \boxed{\lim_{x\to a}(f+g)(x)=L+M,\qquad \lim_{x\to a}(f-g)(x)=L-M,\qquad \lim_{x\to a}(cf)(x)=cL.} \]

Estas tres relaciones usan el mismo dominio \(D\).

Demostración. Suma. Dado \(\varepsilon>0\), apliquemos el límite de \(f\) con \(\varepsilon/2\) y el de \(g\) con la misma tolerancia. Obtenemos radios positivos \(\delta_f,\delta_g\). Para \(\delta:=\min\{\delta_f,\delta_g\}>0\), todo \(x\in D\) que cumpla \(0<|x-a|<\delta\) satisface

\[ \begin{aligned} |(f+g)(x)-(L+M)| &=|(f(x)-L)+(g(x)-M)|\\ &\le |f(x)-L|+|g(x)-M|\\ &<\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon. \end{aligned} \]

Multiplicación escalar. Si \(c=0\), la función \(cf\) es idénticamente cero y la desigualdad requerida es \(0<\varepsilon\), para cualquier radio positivo. Si \(c\ne0\), utilicemos para \(f\) la tolerancia \(\varepsilon/|c|>0\). El radio obtenido satisface

\[ |cf(x)-cL|=|c|\,|f(x)-L|<\varepsilon. \]

Resta. La regla escalar con \(c=-1\) demuestra que \(-g\) tiene límite \(-M\). La regla de la suma aplicada a \(f\) y \(-g\) concluye que \(f-g\) tiene límite \(L-M\). Todos los radios combinados son finitos en número: ninguna selección numerable interviene. ∎

Teorema 16.3.4 — Producto y valor absoluto

Bajo las hipótesis iniciales,

\[ \boxed{\lim_{x\to a}(fg)(x)=LM, \qquad \lim_{x\to a}|f|(x)=|L|.} \]

Demostración. Producto. Por Lema §16.3.1 — Acotación local perforada de una función con límite, existen \(r>0\) y \(K>0\) tales que \(|g(x)|<K\) para \(x\in D\) con \(0<|x-a|<r\); podemos, concretamente, tomar \(K=|M|+1\). Fijemos \(\varepsilon>0\). El límite de \(f\) proporciona \(\delta_f>0\) para la tolerancia \(\varepsilon/(2K)>0\), y el de \(g\) proporciona \(\delta_g>0\) para \(\varepsilon/(2(|L|+1))>0\). Con

\[ \delta:=\min\{r,\delta_f,\delta_g\}>0 \]

obtenemos, para cada \(x\in D\) que cumpla \(0<|x-a|<\delta\),

\[ \begin{aligned} |f(x)g(x)-LM| &=|(f(x)-L)g(x)+L(g(x)-M)|\\ &\le |f(x)-L|\,|g(x)|+|L|\,|g(x)-M|\\ &<\frac{\varepsilon}{2K}K+ \frac{\varepsilon}{2(|L|+1)}|L| \le\varepsilon. \end{aligned} \]

La primera desigualdad es estricta por las estimaciones de ambos límites; en consecuencia, el resultado final es \(|f(x)g(x)-LM|<\varepsilon\), como exige la definición.

Valor absoluto. La desigualdad triangular inversa, ya demostrada en Corolario §4.2.4 — Desigualdad triangular inversa, da

\[ \bigl||f(x)|-|L|\bigr|\le |f(x)-L|. \]

El radio del límite de \(f\) correspondiente a \(\varepsilon\) sirve sin modificación. No se ha presupuesto ningún teorema de continuidad para el valor absoluto. ∎

Por qué no basta invocar el álgebra secuencial. El resultado Teorema §13.5.3 — Límite de un producto del Capítulo 13 establece el producto de sucesiones convergentes. Convertirlo en límite de funciones usando la recíproca del criterio secuencial exigiría hipótesis adicionales sobre el dominio; la demostración anterior evita enteramente ese desvío.

Lema 16.3.5 — Separación local de un denominador con límite no nulo

Si \(\lim_{\substack{x\to a\\x\in D}}g(x)=M\) y \(M\ne0\), existe \(r>0\) tal que

\[ \forall x\in D:\quad 0<|x-a|<r\Longrightarrow |g(x)|>\frac{|M|}{2}>0. \]

En particular, \(g(x)\ne0\) en esa vecindad perforada, y el conjunto \(D_g=\{x\in D:g(x)\ne0\}\) coincide allí con \(D\).

Demostración. Como \(M\ne0\), \(|M|/2>0\). Apliquemos el límite de \(g\) con tolerancia \(|M|/2\) y llamemos \(r>0\) al radio obtenido. Para los puntos especificados se cumple \(|g(x)-M|<|M|/2\). La desigualdad triangular inversa implica

\[ |g(x)|\ge |M|-|g(x)-M|>|M|/2>0. \]

Por la caracterización del valor absoluto, \(g(x)\ne0\). El conjunto \(D_g\) existe por Separación y contiene todos los puntos perforados de \(D\) dentro del radio \(r\). La inclusión contraria \(D_g\subseteq D\) es definitoria. ∎

Teorema 16.3.6 — Recíproco y cociente: precisión del dominio

Supongamos \(M\ne0\) y definamos \(D_g=\{x\in D:g(x)\ne0\}\). Entonces:

1. \(a\in\operatorname{Acc}(D_g)\);
2. las funciones \(1/g\) y \(f/g\) tienen dominio \(D_g\) y límites finitos

\[ \boxed{ \lim_{\substack{x\to a\\x\in D_g}}\frac1{g(x)}=\frac1M, \qquad \lim_{\substack{x\to a\\x\in D_g}}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac LM.} \]

El límite de \(f\) relativo a \(D\) también es límite de su restricción a \(D_g\), pues una implicación válida para todos los puntos próximos de \(D\) sigue siendo válida en el subconjunto \(D_g\).

Demostración. El lema anterior proporciona \(r>0\) con \(D\cap(B_r(a)\setminus\{a\})\subseteq D_g\). Dado \(\rho>0\), por \(a\in\operatorname{Acc}(D)\) y Lema §16.1.1 — Acumulación y aproximación perforada existe un solo punto \(x\in D\) tal que \(0<|x-a|<\min\{r,\rho\}\). Este \(x\) también pertenece a \(D_g\); aplicar de nuevo el criterio de acumulación demuestra \(a\in\operatorname{Acc}(D_g)\). No se ha seleccionado una familia de puntos.

Fijemos ahora \(\varepsilon>0\). Por \(g\to M\), existe \(\delta_g>0\) que fuerza

\[ |g(x)-M|<\frac{\varepsilon|M|^2}{2} \]

cuando \(x\in D\) y \(0<|x-a|<\delta_g\). Sea \(\delta:=\min\{r,\delta_g\}>0\). Para \(x\in D_g\) en esa vecindad perforada, el lema da \(|g(x)|>|M|/2\) y, por tanto,

\[ \left|\frac1{g(x)}-\frac1M\right| =\frac{|g(x)-M|}{|g(x)|\,|M|} \le\frac{2|g(x)-M|}{|M|^2} <\varepsilon. \]

Hemos demostrado el límite del recíproco con su dominio exacto. La función restringida \(f\upharpoonright D_g:D_g\to\mathbb R\) conserva el límite \(L\) porque \(D_g\subseteq D\) y acabamos de verificar la acumulación necesaria. En \(D_g\) el producto de esa restricción por \(1/g\) coincide, como función con dominio y codominio, con \(f/g\). Aplicar Teorema §16.3.4 — Producto y valor absoluto sobre \(D_g\) produce el límite \(L\,(1/M)=L/M\). ∎

No se divide por un límite cero. Si \(M=0\), ninguna estimación anterior proporciona una cota inferior positiva para \(|g(x)|\); además, \(1/M\) no está definido en el cuerpo real. La existencia del cociente como función sobre \(D_g\) por sí sola no asegura la existencia de un límite finito.

Teorema 16.3.7 — Orden y separación estricta

Sean \(f,g:D\to\mathbb R\) con límites \(L,M\) en \(a\). Se cumplen las siguientes afirmaciones:

(i) Si existen \(r>0\) y la desigualdad \(f(x)\le g(x)\) para todo \(x\in D\) con \(0<|x-a|<r\), entonces \(L\le M\).

(ii) Si \(L<M\), existe \(r>0\) tal que \(f(x)<g(x)\) para todo \(x\in D\) con \(0<|x-a|<r\).

En general, de \(f(x)<g(x)\) para todos los puntos suficientemente próximos no se sigue \(L<M\).

Demostración. (i) Supongamos por contradicción \(L>M\). Sea \(\varepsilon:=(L-M)/3>0\). Existen radios \(\delta_f,\delta_g>0\) tales que, en sus respectivas vecindades perforadas,

\[ f(x)>L-\varepsilon, \qquad g(x)<M+\varepsilon. \]

Tomemos \(\rho=\min\{r,\delta_f,\delta_g\}>0\). Por acumulación, Lema §16.1.1 — Acumulación y aproximación perforada proporciona un \(x\in D\) con \(0<|x-a|<\rho\). Entonces

\[ f(x)>L-\varepsilon>M+\varepsilon>g(x), \]

porque \(L-M=3\varepsilon>2\varepsilon\). Esto contradice \(f(x)\le g(x)\) y prueba \(L\le M\).

(ii) Sea \(\varepsilon:=(M-L)/3>0\). Tomemos los radios de los límites de \(f\) y \(g\) correspondientes a \(\varepsilon\) y su mínimo \(r>0\). En todo punto perforado de \(D\) bajo ese radio,

\[ f(x)<L+\varepsilon<M-\varepsilon<g(x), \]

lo que establece la separación estricta.

Advertencia sobre el signo estricto. En \(D=\mathbb R\), \(a=0\), \(f(x)=0\) y \(g(x)=|x|\), para todo \(x\ne0\) se cumple \(f(x)<g(x)\). Sin embargo, ambos límites son cero: para \(f\) cualquier radio sirve y para \(g\) basta \(\delta=\varepsilon\), pues \(||x|-0|=|x|<\varepsilon\). Se cumple \(L=M=0\), no \(L<M\). ∎

Corolario 16.3.8 — Teorema del sándwich para límites de funciones

Sean \(f,h,g:D\to\mathbb R\), \(a\in\operatorname{Acc}(D)\), y supongamos que, para cierto \(r>0\),

\[ \forall x\in D:\quad 0<|x-a|<r\Longrightarrow f(x)\le h(x)\le g(x). \]

Si \(f\) y \(g\) tienen el mismo límite finito \(L\) en \(a\), entonces también

\[ \boxed{\lim_{\substack{x\to a\\x\in D}}h(x)=L.} \]

Demostración. Fijemos \(\varepsilon>0\). Los límites de \(f\) y \(g\) suministran radios positivos \(\delta_f\) y \(\delta_g\) tales que \(|f(x)-L|<\varepsilon\) y \(|g(x)-L|<\varepsilon\) en sus respectivas vecindades perforadas. Sea \(\delta:=\min\{r,\delta_f,\delta_g\}>0\). Para cualquier \(x\in D\) con \(0<|x-a|<\delta\) se obtiene

\[ L-\varepsilon<f(x)\le h(x)\le g(x)<L+\varepsilon. \]

Esta doble desigualdad equivale a \(|h(x)-L|<\varepsilon\), exactamente la definición de límite para \(h\). No se ha empleado el criterio secuencial. ∎

Ejercicio de control de hipótesis. En la regla del producto no se exige \(L\) ni \(M\) distinto de cero. En el cociente sí se exige \(M\ne0\); el dominio efectivo de la función cociente se reduce a \(D_g\). En la preservación del orden, una desigualdad estricta de valores puede producir igualdad de límites. En el sándwich, las funciones extremas deben tener el mismo límite.

Los límites finitos admiten las operaciones algebraicas y las comparaciones demostradas, siempre con los dominios y la acumulación adecuados. La siguiente sección estudiará la composición \(g\circ f\): allí habrá que asegurar que las imágenes de los puntos cercanos pertenecen al dominio de la función exterior y atender especialmente al caso en que \(f(x)\) alcanza exactamente su valor límite.

16.4. Composición de funciones y el valor en el punto intermedio

La regla informal «el límite de una composición es la composición de los límites» necesita dos precauciones diferentes. Primero, la función exterior sólo puede evaluarse donde está definida. Segundo, la aproximación \(f(x)\to b\) permite que \(f(x)=b\) ocurra incluso para argumentos \(x\ne a\); en cambio, la definición de \(\lim_{y\to b}g(y)\) sólo examina \(y\ne b\). Por ello construiremos primero el dominio efectivo y después separaremos los dos modos legítimos de controlar el punto intermedio.

Proposición 16.4.1 — Dominio efectivo y tipado de la composición

Sean \(D,E\subseteq\mathbb R\), \(f:D\to\mathbb R\) y \(g:E\to\mathbb R\). Existe el conjunto

\[ T:=\{x\in D:f(x)\in E\}=f^{-1}[E]. \]

Conservando el grafo de \(f\upharpoonright T\) y declarando el codominio \(E\), obtenemos una función \(f_T:T\to E\). Está entonces bien definida, con dominio exacto \(T\) y codominio \(\mathbb R\), la composición

\[ h:=g\circ f_T:T\longrightarrow\mathbb R, \qquad h(x)=g(f(x)). \]

La condición \(a\in\operatorname{Acc}(D)\), incluso junto con \(\lim_{\substack{x\to a\\x\in D}}f(x)=b\) y \(b\in\operatorname{Acc}(E)\), no garantiza \(a\in\operatorname{Acc}(T)\). Esta última acumulación deberá verificarse o darse como hipótesis antes de atribuir un límite a \(h\).

Demostración. La preimagen \(T\) existe por Definición §0.6.9 — Imagen y preimagen o, directamente, por Separación en \(D\); por definición \(T\subseteq D\) y \(f[T]\subseteq E\). La restricción \(f\upharpoonright T\) tiene dominio \(T\) y codominio \(\mathbb R\); al conservar su grafo y sustituir ese codominio por \(E\), la totalidad y unicidad de los valores permanecen intactas. Por Definición §0.6.4 — Identidad y composición de funciones, \(g\circ f_T\) es una función \(T\to\mathbb R\) y satisface la ecuación indicada.

Para comprobar la advertencia, tomemos \(D=\mathbb R\), \(E=\mathbb R\setminus\{0\}\), \(a=b=0\) y \(f(x)=0\) para todo \(x\in D\). El cero es de acumulación tanto de \(D\) como de \(E\): dado \(r>0\), el real \(r/2\) es un testigo perforado. Además, \(f\) tiene límite \(0\) en \(0\) por la definición, pero \(T=\varnothing\). No puede afirmarse \(0\in\operatorname{Acc}(T)\), ni escribirse un límite de la composición en ese punto. ∎

En los resultados que siguen fijaremos precisamente \(D,E,f,g,T,f_T,h\) como arriba y supondremos

\[ \boxed{\begin{gathered} a\in\operatorname{Acc}(T),\qquad b\in\operatorname{Acc}(E),\\ \lim_{\substack{x\to a\\x\in T}}f_T(x)=b,\qquad \lim_{\substack{y\to b\\y\in E}}g(y)=M. \end{gathered}} \]

Estas condiciones no exigen \(a\in T\) ni \(b\in E\). Cuando se da desde el principio \(f:D\to E\), el dominio efectivo es \(T=D\); entonces \(f_T\) es la misma función tipada y basta asumir \(a\in\operatorname{Acc}(D)\).

Lema 16.4.2 — Control del límite exterior con o sin el centro

Bajo la hipótesis exterior \(g:E\to\mathbb R\), \(b\in\operatorname{Acc}(E)\) y \(\lim_{\substack{y\to b\\y\in E}}g(y)=M\), son equivalentes:

(i) \(b\notin E\), o bien \(b\in E\) y \(g(b)=M\).

(ii) Para todo \(\varepsilon>0\) existe \(\eta>0\) tal que

\[ \forall y\in E:\quad |y-b|<\eta \Longrightarrow |g(y)-M|<\varepsilon. \]

La diferencia con la definición de límite es que en (ii) se admite \(y=b\) si éste pertenece a \(E\).

Demostración. (i) \(\Rightarrow\) (ii). Fijemos \(\varepsilon>0\) y tomemos el radio \(\eta>0\) que entrega el límite exterior. Si \(y\in E\) y \(|y-b|<\eta\), hay dos casos. Si \(y\ne b\), entonces \(0<|y-b|<\eta\), por lo que \(|g(y)-M|<\varepsilon\). Si \(y=b\), necesariamente \(b\in E\), y la primera condición impone \(g(b)=M\); por ello \(|g(y)-M|=0<\varepsilon\). El mismo radio sirve para todos los puntos, sin excluir el centro.

(ii) \(\Rightarrow\) (i). Si \(b\notin E\), se cumple la primera alternativa. Si \(b\in E\), supongamos \(g(b)\ne M\) y definamos \(d:=|g(b)-M|>0\). Apliquemos (ii) con \(\varepsilon=d/2\). Para el radio correspondiente, el elemento \(y=b\) pertenece a \(E\) y satisface \(|b-b|=0<\eta\), de modo que \(d=|g(b)-M|<d/2\), contradicción. Así \(g(b)=M\). ∎

No hemos definido aquí «continuidad». El lema es una afirmación sobre la desigualdad concreta requerida para componer límites; la teoría general de la continuidad pertenece al Capítulo 17.

Teorema 16.4.3 — Composición cuando la función interior evita su límite

Supongamos las hipótesis comunes. Si existe \(r>0\) tal que

\[ \forall x\in T:\quad 0<|x-a|<r\Longrightarrow f_T(x)\ne b, \]

entonces

\[ \boxed{\lim_{\substack{x\to a\\x\in T}}(g\circ f_T)(x)=M.} \]

Demostración. Fijemos una tolerancia \(\varepsilon>0\). El límite exterior proporciona \(\eta>0\) tal que

\[ y\in E,\quad 0<|y-b|<\eta \quad\Longrightarrow\quad |g(y)-M|<\varepsilon. \]

Apliquemos el límite interior con tolerancia \(\eta\): existe \(\delta_f>0\) tal que, para \(x\in T\) y \(0<|x-a|<\delta_f\), se tiene \(|f_T(x)-b|<\eta\). Tomemos \(\delta:=\min\{r,\delta_f\}>0\). Si \(x\in T\) y \(0<|x-a|<\delta\), el tipado \(f_T:T\to E\) da \(f_T(x)\in E\) y la hipótesis adicional asegura \(f_T(x)\ne b\). Por tanto

\[ 0<|f_T(x)-b|<\eta, \qquad |g(f_T(x))-M|<\varepsilon. \]

Ésta es la condición \(\varepsilon\)–\(\delta\) para \(h:T\to\mathbb R\); la acumulación de \(T\) ya figura en las hipótesis comunes. Sólo se eligen dos radios y se calcula su mínimo. ∎

En particular, si \(b\notin E\), la exclusión es automática: ningún \(f_T(x)\in E\) puede ser igual a \(b\).

Teorema 16.4.4 — Composición cuando el valor exterior coincide con su límite

Supongamos las hipótesis comunes y, además,

\[ b\in E,\qquad g(b)=M. \]

Entonces, sin ninguna restricción sobre la frecuencia con que \(f_T(x)=b\),

\[ \boxed{\lim_{\substack{x\to a\\x\in T}}(g\circ f_T)(x)=M.} \]

Demostración. Sea \(\varepsilon>0\). El Lema 16.4.2, aplicado a las hipótesis exteriores y a \(g(b)=M\), proporciona \(\eta>0\) tal que todo \(y\in E\) con \(|y-b|<\eta\) verifica \(|g(y)-M|<\varepsilon\), incluido el eventual valor \(y=b\). Por el límite de \(f_T\) existe \(\delta>0\) tal que, para \(x\in T\) con \(0<|x-a|<\delta\), se cumple \(|f_T(x)-b|<\eta\). Como \(f_T(x)\in E\), podemos sustituir \(y=f_T(x)\) en la estimación inclusiva: \(|h(x)-M|<\varepsilon\). No se ha supuesto ni deducido que \(f_T(x)\ne b\). ∎

Teorema 16.4.5 — Necesidad de evitar el centro cuando el valor exterior difiere

Supongamos las hipótesis comunes y que \(b\in E\) pero \(g(b)\ne M\). Entonces las condiciones siguientes son equivalentes:

\[ \boxed{\lim_{\substack{x\to a\\x\in T}}h(x)=M} \]

y

\[ \boxed{\exists r>0\ \forall x\in T:\quad 0<|x-a|<r\Longrightarrow f_T(x)\ne b.} \]

Demostración. La segunda condición implica la primera por el Teorema 16.4.3. Recíprocamente, supongamos \(h\to M\). Como \(g(b)\ne M\), el número \(d:=|g(b)-M|\) es positivo. La definición del límite de \(h\) aplicada a \(\varepsilon:=d/2\) proporciona \(r>0\) tal que

\[ x\in T,\quad0<|x-a|<r \quad\Longrightarrow\quad|g(f_T(x))-M|<d/2. \]

Ninguno de esos puntos puede satisfacer \(f_T(x)=b\), pues entonces la última desigualdad sería \(d=|g(b)-M|<d/2\), imposible. Así, el mismo radio \(r\) asegura la segunda condición. La necesidad se prueba examinando un punto arbitrario de la vecindad, sin elegir una sucesión de puntos infractores. ∎

Contraejemplo a la regla sin hipótesis. Pongamos \(D=E=\mathbb R\), \(a=b=M=0\), \(f(x)=0\) para todo \(x\), y

\[ g(y)=\begin{cases}1,&y=0,\\0,&y\ne0.\end{cases} \]

Ambos centros son puntos de acumulación. La función \(f\) tiene límite \(0\) en \(0\), y también \(g(y)\to0\) cuando \(y\to0\): en la vecindad perforada \(g\) es idénticamente cero, como comprobamos en §16.1.5. Sin embargo \(g(f(x))=g(0)=1\) para todo \(x\), por lo que la composición tiene límite \(1\) y no \(0\), según la unicidad Teorema §16.1.4 — Unicidad del límite finito. El defecto no es de tipado ni de acumulación: únicamente falta controlar \(g(b)\) o evitar que la función interior tome el valor \(b\).

Corolario 16.4.6 — Criterio exacto de composición de límites finitos

Bajo las hipótesis comunes de esta sección, el límite de la composición es \(M\) si y sólo si ocurre al menos una de estas dos circunstancias:

\[ \boxed{\begin{aligned} &\exists r>0\ \forall x\in T: \bigl(0<|x-a|<r\Longrightarrow f_T(x)\ne b\bigr);\\[2pt] &\text{o bien }\ b\in E\ \text{y}\ g(b)=M. \end{aligned}} \]

En particular, para funciones dadas directamente como \(f:D\to E\) y \(g:E\to\mathbb R\), basta sustituir \(T=D\) y exigir \(a\in\operatorname{Acc}(D)\); el límite de \(f\) se interpreta entonces a través de \(D\).

Demostración. Si se cumple la primera circunstancia, aplica Teorema §16.4.3 — Composición cuando la función interior evita su límite; si se cumple la segunda, aplica Teorema §16.4.4 — Composición cuando el valor exterior coincide con su límite. Para la necesidad supongamos \(h\to M\). Si \(b\notin E\), la primera circunstancia se cumple con cualquier \(r>0\), porque el recorrido de \(f_T\) está contenido en \(E\). Si \(b\in E\), separamos los casos \(g(b)=M\) y \(g(b)\ne M\). En el primero se cumple la segunda circunstancia; en el segundo, Teorema §16.4.5 — Necesidad de evitar el centro cuando el valor exterior difiere proporciona el radio de exclusión de la primera. Éstos agotan los casos en la lógica clásica del tratado. ∎

Lectura conceptual. Una función exterior puede tener un límite perfectamente determinado y, aun así, asignar un valor diferente en el punto intermedio. La composición sólo falla por ese valor cuando la función interior lo alcanza arbitrariamente cerca del punto inicial. El criterio precedente identifica exactamente esa obstrucción, además de hacer explícito el dominio efectivo. No presupone continuidad ni usa la recíproca secuencial condicional.

El dominio y el punto intermedio están ya controlados para la composición. La siguiente unidad examinará límites laterales, para los que la procedencia izquierda o derecha de los argumentos debe incorporarse al dominio sin redefinir el orden real ni atribuir un límite a un conjunto sin puntos de acumulación en el lado elegido.

16.5. Límites laterales y reconstrucción del límite bilateral

La proximidad expresada por \(|x-a|<\delta\) no distingue de qué lado llega el argumento. Sin embargo, el orden real permite separar sin ambigüedad los puntos menores y mayores que \(a\). Un límite lateral no será una fórmula vacía aplicada a cualquier dominio: primero verificaremos que hay puntos del lado elegido arbitrariamente próximos a \(a\). Tampoco añadiremos \(-\infty\) o \(+\infty\) al cuerpo real; los lados se definirán por desigualdades entre números reales ordinarios.

Definición 16.5.1 — Dominios laterales de aproximación

Para \(D\subseteq\mathbb R\) y \(a\in\mathbb R\), definimos los dominios laterales

\[ \boxed{D_a^-:=\{x\in D:x<a\},\qquad D_a^+:=\{x\in D:a<x\}.} \]

Ambos existen por Separación sobre \(D\) y satisfacen \(D_a^-\subseteq D\), \(D_a^+\subseteq D\) y \(a\notin D_a^-\cup D_a^+\). Para \(f:D\to\mathbb R\), las restricciones \(f\upharpoonright D_a^-\) y \(f\upharpoonright D_a^+\) existen como funciones de sus respectivos dominios a \(\mathbb R\) (Definición §1.3.1 — Restricción de una función). Estos superíndices designan lados del dominio, no un opuesto, un inverso funcional ni un número infinito.

El orden total da la descomposición puntual

\[ \boxed{D\setminus\{a\}=D_a^-\cup D_a^+,\qquad D_a^-\cap D_a^+=\varnothing.} \]

En efecto, un \(x\in D\) distinto de \(a\) cumple exactamente una de \(x<a\) o \(a<x\), y cada una implica \(x\ne a\). Las igualdades son identidades de conjuntos obtenidas por doble inclusión; no suponen que \(a\in D\).

Lema 16.5.2 — La acumulación procede de al menos un lado

Para todo \(D\subseteq\mathbb R\) y todo \(a\in\mathbb R\),

\[ \boxed{a\in\operatorname{Acc}(D) \iff a\in\operatorname{Acc}(D_a^-) \ \lor\ a\in\operatorname{Acc}(D_a^+).} \]

Demostración. Si \(a\) es punto de acumulación de uno de los dos dominios laterales, cada radio \(r>0\) contiene un punto de ese dominio distinto de \(a\) por Lema §16.1.1 — Acumulación y aproximación perforada. Puesto que ambos están contenidos en \(D\), el mismo punto acredita \(a\in\operatorname{Acc}(D)\).

Para la implicación restante, supongamos \(a\in\operatorname{Acc}(D)\) y, por contradicción, que \(a\) no es punto de acumulación de ninguno de los dos dominios. La negación clásica del criterio Lema §16.1.1 — Acumulación y aproximación perforada proporciona radios \(r_->0\) y \(r_+>0\) tales que

\[ \begin{aligned} &\nexists x\in D_a^-:\ 0<|x-a|<r_-,\\ &\nexists x\in D_a^+:\ 0<|x-a|<r_+. \end{aligned} \]

Sea \(r:=\min\{r_-,r_+\}>0\). La acumulación de \(D\) entrega un \(x\in D\) con \(0<|x-a|<r\). Como \(x\ne a\), la descomposición de la definición anterior obliga a \(x\in D_a^-\) o \(x\in D_a^+\). Cualquiera de los dos casos contradice la exclusión que corresponde a su lado. Por tanto, al menos un dominio lateral acumula en \(a\). Sólo hemos combinado dos radios: no se ha escogido una sucesión de puntos. ∎

Importante. El lema no afirma que haya acumulación por ambos lados. Un dominio como \(D=\{x\in\mathbb R:x\ge a\}\) tiene acumulación en \(a\) únicamente por la derecha: para cualquier \(r>0\), \(a+r/2\) es un testigo derecho, mientras que \(D_a^-=\varnothing\).

Definición 16.5.3 — Límites finitos por la izquierda y por la derecha

Sea \(f:D\to\mathbb R\) y \(a,L\in\mathbb R\). Cuando \(a\in\operatorname{Acc}(D_a^-)\), diremos que \(f\) tiene límite por la izquierda igual a \(L\) si

\[ \boxed{\lim_{\substack{x\to a^-\\x\in D}}f(x)=L \quad:\Longleftrightarrow\quad \lim_{\substack{x\to a\\x\in D_a^-}} (f\upharpoonright D_a^-)(x)=L.} \]

Cuando \(a\in\operatorname{Acc}(D_a^+)\), definimos análogamente

\[ \boxed{\lim_{\substack{x\to a^+\\x\in D}}f(x)=L \quad:\Longleftrightarrow\quad \lim_{\substack{x\to a\\x\in D_a^+}} (f\upharpoonright D_a^+)(x)=L.} \]

La definición reutiliza el límite finito Definición §16.1.2 — Límite real finito de una función relativo a su dominio; no redefine la noción mediante el valor \(f(a)\) ni autoriza escribir un límite lateral cuando el lado elegido carece de puntos de acumulación. La unicidad para cada lado se hereda de Teorema §16.1.4 — Unicidad del límite finito. El superíndice \(-\) o \(+\) unido a \(a\) designa la dirección de aproximación, no una operación aritmética sobre \(a\).

Proposición 16.5.4 — Caracterizaciones unilaterales \(\varepsilon\)–\(\delta\)

Supongamos \(a\in\operatorname{Acc}(D_a^-)\) y \(L\in\mathbb R\). Entonces

\[ \boxed{\lim_{\substack{x\to a^-\\x\in D}}f(x)=L \iff\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0\ \forall x\in D:\ \bigl(0<a-x<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon\bigr).} \]

Si \(a\in\operatorname{Acc}(D_a^+)\), la caracterización derecha es

\[ \boxed{\lim_{\substack{x\to a^+\\x\in D}}f(x)=L \iff\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0\ \forall x\in D:\ \bigl(0<x-a<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon\bigr).} \]

En cada caso, cuando existe, el límite lateral es único.

Demostración. Para \(x\in D\), la desigualdad \(0<a-x<\delta\) equivale a \(x<a\) y \(0<|x-a|<\delta\): si \(x<a\), entonces \(|x-a|=a-x\). Así, cuantificar sobre \(x\in D\) bajo \(0<a-x<\delta\) equivale exactamente a cuantificar sobre \(x\in D_a^-\) bajo la condición perforada de Definición §16.1.2 — Límite real finito de una función relativo a su dominio. En \(D_a^-\) la restricción coincide punto por punto con \(f\), y la hipótesis de acumulación garantiza que la notación del límite no es vacua. Esto prueba la equivalencia izquierda. Para la derecha usamos \(|x-a|=x-a\) cuando \(x>a\) y repetimos las dos implicaciones. La unicidad se deduce aplicando Teorema §16.1.4 — Unicidad del límite finito a cada función restringida sobre su dominio lateral, cuya acumulación se exigió expresamente. ∎

La escritura \(x\to a^-\) no indica una sucesión particular. El criterio contiene un cuantificador universal sobre todos los argumentos admisibles del lado respectivo y no invoca la recíproca secuencial condicional de §16.2.

Teorema 16.5.5 — Reconstrucción bilateral cuando ambos lados acumulan

Sean \(f:D\to\mathbb R\), \(a,L\in\mathbb R\) y supongamos

\[ a\in\operatorname{Acc}(D_a^-) \quad\text{y}\quad a\in\operatorname{Acc}(D_a^+). \]

Entonces las condiciones siguientes son equivalentes:

\[ \boxed{\lim_{\substack{x\to a\\x\in D}}f(x)=L} \]

y

\[ \boxed{\lim_{\substack{x\to a^-\\x\in D}}f(x)=L \quad\text{y}\quad \lim_{\substack{x\to a^+\\x\in D}}f(x)=L.} \]

Demostración. La acumulación bilateral requerida para hablar del límite ordinario se sigue de cualquiera de las dos hipótesis por Lema §16.5.2 — La acumulación procede de al menos un lado.

Bilateral \(\Rightarrow\) laterales. Supongamos que el límite bilateral es \(L\) y fijemos \(\varepsilon>0\). Sea \(\delta>0\) un radio que controla todos los \(x\in D\) con \(0<|x-a|<\delta\). Toda entrada que cumpla \(0<a-x<\delta\) es uno de esos puntos; por tanto satisface \(|f(x)-L|<\varepsilon\). El mismo argumento se aplica a \(0<x-a<\delta\). Por las caracterizaciones de Proposición §16.5.4 — Caracterizaciones unilaterales \(\varepsilon\)–\(\delta\), ambos límites laterales valen \(L\).

Laterales \(\Rightarrow\) bilateral. Supongamos ambos límites laterales iguales a \(L\) y fijemos \(\varepsilon>0\). Obtenemos radios \(\delta_->0\) y \(\delta_+>0\) correspondientes a las dos caracterizaciones. Tomemos \(\delta:=\min\{\delta_-,\delta_+\}>0\). Si \(x\in D\) y \(0<|x-a|<\delta\), entonces \(x\ne a\) y se cumple exactamente una alternativa. Si \(x<a\), tenemos \(0<a-x<\delta_-\) y la estimación izquierda da \(|f(x)-L|<\varepsilon\). Si \(x>a\), se aplica la derecha. Como el punto \(x\) fue arbitrario, la misma \(\delta\) verifica la definición bilateral. ∎

Consecuencia inmediata. Si existen ambos límites laterales pero sus valores son distintos, el límite bilateral no existe: de existir, el teorema lo identificaría con cada uno y la unicidad lateral obligaría a que coincidieran.

Teorema 16.5.6 — Criterio completo para dominios de uno o dos lados

Sean \(f:D\to\mathbb R\), \(a\in\operatorname{Acc}(D)\) y \(L\in\mathbb R\). El límite bilateral de \(f\) en \(a\) vale \(L\) si y sólo si cada lado que efectivamente acumula en \(a\) tiene límite lateral \(L\). De manera exhaustiva, distinguimos tres casos; cada expresión de límite lateral se escribe únicamente bajo la hipótesis de acumulación del lado correspondiente:

\[ \begin{aligned} &\text{Si ambos lados acumulan:} && \lim_{\substack{x\to a\\x\in D}}f(x)=L \iff \left(\lim_{\substack{x\to a^-\\x\in D}}f(x)=L \;\land\; \lim_{\substack{x\to a^+\\x\in D}}f(x)=L\right);\\[4pt] &\text{Si sólo acumula el izquierdo:} && \lim_{\substack{x\to a\\x\in D}}f(x)=L \iff \lim_{\substack{x\to a^-\\x\in D}}f(x)=L;\\[4pt] &\text{Si sólo acumula el derecho:} && \lim_{\substack{x\to a\\x\in D}}f(x)=L \iff \lim_{\substack{x\to a^+\\x\in D}}f(x)=L. \end{aligned} \]

No hay un cuarto caso: Lema §16.5.2 — La acumulación procede de al menos un lado asegura que al menos uno de los lados acumula. Esta presentación por casos evita incluir en una fórmula una expresión de límite lateral cuyo dominio no acumula y para la cual la notación aún no está definida.

Demostración. Si el límite bilateral vale \(L\), el argumento de restricción empleado en Teorema §16.5.5 — Reconstrucción bilateral cuando ambos lados acumulan da el límite \(L\) en cualquier lado que acumule; no se intenta definir límite en los otros lados.

Recíprocamente, supongamos la condición derecha. Según Lema §16.5.2 — La acumulación procede de al menos un lado existe al menos un lado activo. Si ambos acumulan, Teorema §16.5.5 — Reconstrucción bilateral cuando ambos lados acumulan concluye inmediatamente. Supongamos entonces que el izquierdo acumula y el derecho no. Dado \(\varepsilon>0\), el límite izquierdo suministra \(\delta_->0\) tal que \(0<a-x<\delta_-\), con \(x\in D\), implica \(|f(x)-L|<\varepsilon\). Como \(a\notin\operatorname{Acc}(D_a^+)\), la negación clásica de Lema §16.1.1 — Acumulación y aproximación perforada da \(r_+>0\) tal que no hay \(x\in D_a^+\) con \(0<|x-a|<r_+\). Definamos \(\delta:=\min\{\delta_-,r_+\}>0\). Para cualquier \(x\in D\) con \(0<|x-a|<\delta\), la alternativa \(x>a\) contradiría la exclusión de puntos derechos. Luego \(x<a\) y se aplica la estimación izquierda. Esto demuestra el límite bilateral \(L\). Si sólo acumula el lado derecho, intercambiamos \(+\) y \(-\) y repetimos el argumento con su radio de exclusión izquierdo. Ninguna demostración selecciona puntos de infinitas vecindades: sólo requiere elegir un número finito de radios y tomar su mínimo. ∎

Advertencia sobre el lenguaje. «Límite bilateral» aquí designa el límite definido en §16.1 sobre todo el dominio, incluso si el dominio sólo posee puntos próximos por un lado. No debe inferirse que el calificativo implique, como hipótesis adicional, presencia de puntos por ambos lados. El teorema muestra exactamente cuándo es legítimo hablar del límite de \(f\) en el sentido ya definido.

Corolario 16.5.7 — Funciones dadas por dos ramas y límites laterales incompatibles

Sea \(f:D\to\mathbb R\) y sea \(a\) un punto de acumulación de ambos dominios laterales. Supongamos que los límites de las dos restricciones existen, con valores \(L_-\) y \(L_+\), respectivamente. Entonces

\[ \boxed{\text{$f$ tiene límite finito en $a$} \iff L_-=L_+.} \]

Cuando coinciden, el límite común es el bilateral. Esta afirmación vale aunque \(a\notin D\) y, cuando \(a\in D\), independientemente de \(f(a)\).

Demostración. Si existe un límite bilateral \(L\), Teorema §16.5.5 — Reconstrucción bilateral cuando ambos lados acumulan proporciona los dos límites laterales iguales a \(L\). La unicidad lateral de Proposición §16.5.4 — Caracterizaciones unilaterales \(\varepsilon\)–\(\delta\) implica \(L_-=L=L_+\). Inversamente, si \(L_-=L_+=L\), aplicamos la otra implicación de Teorema §16.5.5 — Reconstrucción bilateral cuando ambos lados acumulan y obtenemos el límite bilateral \(L\). Todas las desigualdades definitorias son perforadas y, por Proposición §16.1.5 — Carácter local del límite y libertad en el valor puntual, un cambio exclusivamente en \(f(a)\) no altera la conclusión. ∎

Ejemplo: dos ramas incompatibles. En \(D=\mathbb R\), definamos

\[ f(x)=\begin{cases} 0,&x<0,\\ 2,&x\ge0. \end{cases} \]

El punto \(0\) es de acumulación de \(D_0^-\) y \(D_0^+\): dado \(r>0\), los puntos \(-r/2\) y \(r/2\), considerados cada uno para ese radio concreto, son testigos. Para toda tolerancia \(\varepsilon>0\), el lado izquierdo satisface \(|f(x)-0|=0<\varepsilon\) y el derecho \(|f(x)-2|=0<\varepsilon\); puede tomarse \(\delta=1\) en cada caso. Así,

\[ \lim_{x\to0^-}f(x)=0, \qquad \lim_{x\to0^+}f(x)=2. \]

Como \(0\ne2\), el límite bilateral no existe. Modificar \(f(0)\) no puede resolverlo: el obstáculo está en las dos ramas perforadas y no en el valor central. No hemos definido todavía «continuidad» ni una clasificación general de sus discontinuidades; esas nociones quedan para el Capítulo 17.

Hemos distinguido formalmente las dos direcciones del orden, exigido acumulación antes de definir cada límite lateral y determinado cómo recomponer el límite sobre cualquier dominio. La siguiente sección, §16.6, tratará límites infinitos y límites cuando el argumento crece sin cota, mediante relaciones cuantificadas y conjuntos de aproximación explícitos, sin añadir \(+\infty\) ni \(-\infty\) como elementos ordinarios de \(\mathbb R\) ni anticipar continuidad.

16.6. Límites infinitos y límites en infinito

En un límite finito se fija un número real \(L\) y se exige que las imágenes permanezcan arbitrariamente próximas a él. Existen otros dos comportamientos que conviene distinguir. Primero, al aproximarse el argumento a un punto real \(a\), los valores pueden superar cualquier cota real o descender por debajo de cualquiera de ellas. Segundo, podemos preguntar qué ocurre con los valores cuando el argumento mismo supera todas las cotas o desciende por debajo de todas ellas. No se trata de insertar dos números nuevos en el cuerpo \(\mathbb R\): expresaremos cada fenómeno por una relación cuantificada entre una función y su dominio.

Una vez más, la disponibilidad de argumentos importa. Para evitar afirmaciones verdaderas por vacuidad, exigiremos acumulación del dominio en los puntos finitos y ausencia de cota en la dirección de aproximación cuando el argumento se aleja indefinidamente. La palabra «infinito» tendrá dos funciones sintácticas distintas: describir la dirección del argumento o describir que los valores no tienen cota en un sentido. Ninguna es una operación aritmética con \(\infty\).

Definición 16.6.1 — Dominios no acotados en una dirección

Sea \(D\subseteq\mathbb R\). Diremos que \(D\) es no acotado superiormente si

\[ \boxed{\forall R\in\mathbb R\ \exists x\in D:\ x>R.} \]

Diremos que es no acotado inferiormente si

\[ \boxed{\forall R\in\mathbb R\ \exists x\in D:\ x<R.} \]

Estas condiciones están formuladas en términos del orden real y coinciden con negar la existencia de una cota superior o inferior, respectivamente. No afirman que un elemento \(x=+\infty\) o \(x=-\infty\) pertenezca a \(D\). Para cada umbral \(R\) proporcionan un punto real del dominio; no proporcionan una sucesión de puntos simultáneamente seleccionados. Si \(D\) no es acotado superiormente, toda cola \(\{x\in D:x>R\}\) es no vacía; la afirmación inferior es simétrica. Dichas colas se obtienen por Separación sobre \(D\), sin introducir una topología nueva.

Distinción con la acumulación. El conjunto \((0,1)\) acumula en \(0\) pero está acotado superior e inferiormente. El conjunto de números naturales reales \(\nu_{\mathbb R}[\mathbb N]\) no es acotado superiormente, pero no tiene por ello un punto real de acumulación dado. Acercarse a un punto y abandonar toda región acotada son condiciones diferentes.

Definición 16.6.2 — Límite infinito en un punto real

Sean \(D\subseteq\mathbb R\), \(f:D\to\mathbb R\) y \(a\in\operatorname{Acc}(D)\). Diremos que \(f\) crece sin cota al aproximarse \(x\) a \(a\) a través de \(D\) si

\[ \boxed{\forall M\in\mathbb R\ \exists\delta>0\ \forall x\in D:\quad 0<|x-a|<\delta\ \Longrightarrow\ f(x)>M.} \tag{16.6+} \]

Diremos que \(f\) decrece sin cota en ese régimen si

\[ \boxed{\forall M\in\mathbb R\ \exists\delta>0\ \forall x\in D:\quad 0<|x-a|<\delta\ \Longrightarrow\ f(x)<M.} \tag{16.6-} \]

En las dos relaciones, \(M\) es una cota real arbitraria, y \(\delta\) puede depender de ella pero no del argumento \(x\). El centro se excluye incluso si \(a\in D\). La condición \(a\in\operatorname{Acc}(D)\) garantiza que cada vecindad perforada contiene argumentos del dominio: las desigualdades no son universalmente verdaderas por ausencia de puntos. Cuando se desea estudiar un solo lado, se aplica la misma definición a \(f\upharpoonright D_a^-\) o \(f\upharpoonright D_a^+\), sólo si dicho lado acumula, conforme a §16.5.

Estas relaciones no tienen «valor» en \(\mathbb R\). No se introduce la expresión \(|f(x)-\infty|\) ni una supuesta distancia a infinito; la definición utiliza exclusivamente las desigualdades reales \(f(x)>M\) o \(f(x)<M\).

Definición 16.6.3 — Límite finito cuando el argumento tiende a infinito

Sean \(f:D\to\mathbb R\) y \(L\in\mathbb R\). Si \(D\) es no acotado superiormente, diremos que \(f\) tiene límite finito \(L\) cuando el argumento tiende a infinito positivo si

\[ \boxed{\forall\varepsilon>0\ \exists R\in\mathbb R\ \forall x\in D:\quad x>R\ \Longrightarrow\ |f(x)-L|<\varepsilon.} \tag{16.6F+} \]

Si \(D\) es no acotado inferiormente, diremos que \(f\) tiene límite finito \(L\) cuando el argumento tiende a infinito negativo si

\[ \boxed{\forall\varepsilon>0\ \exists R\in\mathbb R\ \forall x\in D:\quad x<R\ \Longrightarrow\ |f(x)-L|<\varepsilon.} \tag{16.6F-} \]

El umbral \(R\) es un número real que depende de la precisión \(\varepsilon\). No representa un índice natural y no ha de ser positivo: si conviene imponer además \(R>0\) para el primer caso o \(R<0\) para el segundo, podemos sustituirlo por un umbral más extremo sin perder la propiedad. La no acotación del dominio es una hipótesis previa indispensable: una función sobre un conjunto acotado superiormente satisfaría la implicación de (16.6F+) para todo \(L\) eligiendo un umbral por encima del dominio, lo que destruye la unicidad.

Definición 16.6.4 — Límite infinito cuando el argumento tiende a infinito

Sea \(f:D\to\mathbb R\). Si \(D\) no es acotado superiormente, distinguimos las dos afirmaciones

\[ \boxed{\forall M\in\mathbb R\ \exists R\in\mathbb R\ \forall x\in D: \quad x>R\Longrightarrow f(x)>M,} \tag{16.6I++} \]

\[ \boxed{\forall M\in\mathbb R\ \exists R\in\mathbb R\ \forall x\in D: \quad x>R\Longrightarrow f(x)<M.} \tag{16.6I+-} \]

La primera afirma que los valores crecen sin cota cuando el argumento crece sin cota; la segunda, que decrecen sin cota cuando el argumento crece sin cota. Si \(D\) no es acotado inferiormente, se definen análogamente

\[ \boxed{\forall M\in\mathbb R\ \exists R\in\mathbb R\ \forall x\in D: \quad x<R\Longrightarrow f(x)>M,} \tag{16.6I-+} \]

\[ \boxed{\forall M\in\mathbb R\ \exists R\in\mathbb R\ \forall x\in D: \quad x<R\Longrightarrow f(x)<M.} \tag{16.6I--} \]

Los signos asociados al argumento y a la salida son independientes. Por ejemplo, una función puede tener valores cada vez más negativos cuando su argumento crece positivamente. En cada fórmula todos los objetos cuantificados son números reales; no se ha formado un cuerpo ampliado ni se han definido operaciones de suma, resta, producto o cociente con símbolos infinitos.

Notación 16.6.5 — Escrituras de los límites en infinito

Activamos, exclusivamente como abreviaturas de afirmaciones, las siguientes escrituras:

\[ \lim_{\substack{x\to a\\x\in D}}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{\substack{x\to a\\x\in D}}f(x)=-\infty, \]

que significan, respectivamente, (16.6+) y (16.6-), siempre bajo \(a\in\operatorname{Acc}(D)\); y

\[ \lim_{\substack{x\to+\infty\\x\in D}}f(x)=L, \qquad \lim_{\substack{x\to-\infty\\x\in D}}f(x)=L, \]

que significan (16.6F+) y (16.6F-), con la correspondiente no acotación de \(D\). Finalmente, las cuatro escrituras obtenidas al sustituir \(L\) por \(+\infty\) o \(-\infty\) en estas últimas expresiones corresponden, en orden, a (16.6I++), (16.6I+-), (16.6I-+) y (16.6I–). Los límites infinitos laterales \(x\to a^-\) o \(x\to a^+\) se interpretan aplicando (16.6+) o (16.6-) al dominio lateral activo.

En estas expresiones, el signo «\(=\)» forma parte de una notación proposicional convencional: la fórmula entera afirma una propiedad cuantificada y no representa la igualdad entre un número real y un objeto \(+\infty\) o \(-\infty\). Cuando escribimos \(\lim f=L\) con \(L\in\mathbb R\), en cambio, invocamos las definiciones de límite finito. No admitiremos a partir de aquí operaciones formales como \(+\infty-(+\infty)\), ni límites obtenidos aplicando reglas algebraicas de §16.3 a expresiones que no tienen límites reales.

Teorema 16.6.6 — Unicidad e incompatibilidad de los regímenes de límite

Fijemos \(f:D\to\mathbb R\) y uno de estos regímenes admisibles: \(x\to a\) con \(a\in\operatorname{Acc}(D)\); \(x\to+\infty\) con \(D\) no acotado superiormente; o \(x\to-\infty\) con \(D\) no acotado inferiormente. Entonces:

1. En ese régimen puede existir a lo sumo un límite finito \(L\in\mathbb R\).
2. Un límite finito es incompatible tanto con la afirmación de límite \(+\infty\) como con la de límite \(-\infty\).
3. Las afirmaciones de límite \(+\infty\) y de límite \(-\infty\) son incompatibles entre sí.

Estos enunciados comparan afirmaciones, no elementos de un supuesto conjunto de valores extendidos.

Demostración. Unicidad finita. Para \(x\to a\), es Teorema §16.1.4 — Unicidad del límite finito. Si el argumento tiende a \(+\infty\) y suponemos dos límites finitos distintos \(L,N\), definamos \(d:=|L-N|>0\) y \(\varepsilon:=d/3\). Cada límite proporciona un umbral, \(R_L\) y \(R_N\). Como \(D\) no es acotado superiormente, existe un \(x\in D\) con \(x>\max\{R_L,R_N\}\). Aplicando las dos desigualdades a ese punto y usando la triangular,

\[ d=|L-N|\le |L-f(x)|+|f(x)-N|<2d/3<d, \]

contradicción. Si \(x\to-\infty\), elegimos en cambio un solo \(x<\min\{R_L,R_N\}\); el resto es idéntico.

Incompatibilidad con un límite finito. Supongamos que el límite finito es \(L\). Tomando \(\varepsilon=1\), obtenemos, en la zona suficientemente próxima o en la cola suficientemente extrema, las dos cotas \(L-1<f(x)<L+1\). Si además se afirmara límite \(+\infty\), el umbral de salida \(M=L+2\) proporcionaría en otra zona del mismo régimen la cota \(f(x)>L+2\). Intersecamos las dos zonas tomando el mínimo de sus radios cuando \(x\to a\), el máximo de sus umbrales cuando \(x\to+\infty\), o el mínimo de sus umbrales cuando \(x\to-\infty\). La acumulación o no acotación correspondiente proporciona un punto perteneciente a esa zona común. En él tendríamos simultáneamente \(f(x)<L+1\) y \(f(x)>L+2\), imposible. Para un supuesto límite \(-\infty\) elegimos \(M=L-2\) y obtenemos \(f(x)>L-1\) y \(f(x)<L-2\), igualmente imposible.

Incompatibilidad de los dos signos infinitos. Instanciemos las dos afirmaciones con el mismo umbral de salida \(M=0\). Después de combinar las dos zonas como antes y elegir un único punto del dominio dentro de la zona común, deduciríamos a la vez \(f(x)>0\) y \(f(x)<0\). La contradicción concluye la prueba. Sólo se extrae un número finito de testigos para cada comparación; no hay selección numerable. ∎

Alcance exacto. Dos límites tomados en regímenes distintos no tienen por qué coincidir. Por ejemplo, una función puede crecer sin cota por un lado y decrecer sin cota por el otro; el teorema no compara relaciones con dominios de aproximación diferentes.

Proposición 16.6.7 — Localidad perforada y estabilidad en las colas

Sean \(f,g:D\to\mathbb R\). Si existe \(r>0\) tal que \(f(x)=g(x)\) para cada \(x\in D\) con \(0<|x-a|<r\), entonces, siempre que \(a\in\operatorname{Acc}(D)\), \(f\) y \(g\) satisfacen exactamente las mismas relaciones de límite finito y de límite \(\pm\infty\) en \(a\). Si \(a\in D\), modificar sólo \(f(a)\) no altera ninguna de esas afirmaciones.

Si \(D\) no es acotado superiormente y existe \(R_0\in\mathbb R\) tal que \(f(x)=g(x)\) para cada \(x\in D\) con \(x>R_0\), ambas funciones satisfacen exactamente las mismas afirmaciones de límite finito y de límite \(\pm\infty\) cuando \(x\to+\infty\). Para el sentido negativo basta sustituir \(x>R_0\) por \(x<R_0\) y exigir que \(D\) no sea acotado inferiormente.

Demostración. Para límites finitos en el punto \(a\), la primera conclusión es Proposición §16.1.5 — Carácter local del límite y libertad en el valor puntual. Para límite \(+\infty\) o \(-\infty\) en \(a\), fijemos un umbral real \(M\). Supongamos que \(f\) satisface la relación y tomemos un radio \(\delta_f>0\) que funciona para \(M\). Si \(x\in D\) cumple \(0<|x-a|<\min\{\delta_f,r\}\), entonces \(g(x)=f(x)\), de modo que se transfiere la desigualdad \(>M\) o \(<M\). La implicación inversa intercambia los papeles de \(f\) y \(g\).

Para \(x\to+\infty\), fijemos una precisión \(\varepsilon>0\) si la salida prevista es finita, o una cota \(M\in\mathbb R\) si es infinita. La relación válida para \(f\) proporciona un umbral \(R_f\). Si \(x\in D\) y \(x>\max\{R_f,R_0\}\), se aplica la estimación para \(f\) y, por la igualdad de las dos funciones en esa cola, también para \(g\). El argumento es simétrico y sirve para las tres clases de salida. En el régimen \(x\to-\infty\) se utiliza \(\min\{R_f,R_0\}\), obteniendo idéntica conclusión. Ningún paso exige que el centro pertenezca al dominio ni que la coincidencia valga en todo \(D\). ∎

Teorema 16.6.8 — Reducir un límite en infinito a un límite unilateral en cero

Caso positivo. Sea \(D\subseteq\mathbb R\) no acotado superiormente y \(f:D\to\mathbb R\). Definamos por Separación

\[ D_+:=\{x\in D:x>0\},\qquad E_+:=\{t\in\mathbb R:t>0\ \land\ \exists x\in D_+\ (tx=1)\}, \]

y la función bien tipada \(h_+:E_+\to\mathbb R\) dada por \(h_+(t):=f(t^{-1})\). Entonces \(0\in\operatorname{Acc}(E_+)\) y cada una de las tres equivalencias siguientes vale por separado:

\[ \boxed{\lim_{\substack{x\to+\infty\\x\in D}}f(x)=L \iff \lim_{\substack{t\to0^+\\t\in E_+}}h_+(t)=L\quad(L\in\mathbb R),} \]

\[ \boxed{\lim_{\substack{x\to+\infty\\x\in D}}f(x)=+\infty \iff \lim_{\substack{t\to0^+\\t\in E_+}}h_+(t)=+\infty,} \]

\[ \boxed{\lim_{\substack{x\to+\infty\\x\in D}}f(x)=-\infty \iff \lim_{\substack{t\to0^+\\t\in E_+}}h_+(t)=-\infty.} \]

Caso negativo. Si \(D\) no es acotado inferiormente, definamos \(D_-:=\{x\in D:x<0\}\),

\[ E_-:=\{t\in\mathbb R:t>0\ \land\ \exists x\in D_-\ (tx=-1)\}, \qquad h_-(t):=f(-t^{-1})\quad(t\in E_-). \]

Entonces \(0\in\operatorname{Acc}(E_-)\) y las mismas tres equivalencias valen sustituyendo, en los miembros izquierdos, \(x\to+\infty\) por \(x\to-\infty\) y, en los derechos, \(E_+,h_+\) por \(E_-,h_-\). Todos los límites de la derecha son límites laterales sobre dominios que efectivamente acumulan en cero.

Demostración. Los conjuntos \(D_+,E_+,D_-,E_-\) existen por Separación sobre \(D\) o \(\mathbb R\). Cada \(t\in E_+\) es no nulo y tiene algún \(x\in D_+\) con \(tx=1\); por unicidad del inverso del cuerpo, \(x=t^{-1}\in D_+\). De modo análogo, \(t\in E_-\) implica \(-t^{-1}\in D_-\). Así, \(h_+\) está definida exactamente sobre \(E_+\) y tiene codominio real; el grafo \(\{\langle t,f(t^{-1})\rangle:t\in E_+\}\) existe como subconjunto funcional de \(E_+\times\mathbb R\). Para el caso negativo se sustituye \(t^{-1}\) por \(-t^{-1}\); tampoco se divide por cero.

Acumulación en cero. Dado \(r>0\), el carácter no acotado superior de \(D\) permite tomar un \(x\in D\) con \(x>\max\{1,r^{-1}\}\). En particular, \(x\in D_+\) y \(t:=x^{-1}\in E_+\) cumple \(0<t<r\); por Lema §16.1.1 — Acumulación y aproximación perforada, \(0\in\operatorname{Acc}(E_+)\). Para el caso negativo, la no acotación inferior permite un \(x\in D\) con \(x< -\max\{1,r^{-1}\}\); entonces \(t:=-x^{-1}>0\), \(-t^{-1}=x\in D_-\) y \(0<t<r\). Concluimos asimismo \(0\in\operatorname{Acc}(E_-)\), sin formar ninguna sucesión de testigos.

Conversión para \(+\infty\) en el argumento. El esquema de condición sobre la salida es \(P(y,\theta)\), donde, según el caso, \(P(y,\varepsilon)\) significa \(|y-L|<\varepsilon\), \(P(y,M)\) significa \(y>M\), o \(P(y,M)\) significa \(y<M\). Las tres afirmaciones comparten exactamente el orden \(\forall\theta\ \exists\text{umbral}\ \forall\text{argumento}\); los parámetros son reales y cada cuantificador conserva las restricciones de su definición.

Supongamos que la correspondiente afirmación se verifica para \(f\) en \(x\to+\infty\). Fijado su parámetro de salida, obtenemos \(R\in\mathbb R\). Tomemos \(\delta:=(|R|+1)^{-1}>0\). Si \(t\in E_+\) y \(0<t<\delta\), entonces \(x=t^{-1}\in D_+\) y \(x>|R|+1>R\), por lo que \(P(f(x),\theta)\), es decir \(P(h_+(t),\theta)\). Esto prueba el límite derecho en cero. Recíprocamente, si su afirmación en cero proporciona \(\delta>0\), fijemos \(R:=\delta^{-1}>0\). Para cada \(x\in D\) con \(x>R\), se tiene \(x>0\) y \(t:=x^{-1}\in E_+\) con \(0<t<\delta\), luego \(P(f(x),\theta)\): queda probado el límite al crecer el argumento.

Conversión para \(-\infty\). Supongamos que la afirmación para \(f\) entrega \(R\in\mathbb R\) y tomemos \(\delta:=(|R|+1)^{-1}\). Si \(0<t<\delta\) y \(t\in E_-\), entonces \(x=-t^{-1}\in D_-\) cumple \(x<-(|R|+1)<R\) y \(P(h_-(t),\theta)\). Para la implicación inversa, dado \(\delta>0\) pongamos \(R:=-\delta^{-1}\). Si \(x\in D\) y \(x<R\), entonces \(t:=-x^{-1}\in E_-\) satisface \(0<t<\delta\), con lo que \(P(f(x),\theta)\). Las transformaciones son recíprocas punto por punto; no requieren elección, ni una continuidad previamente definida, ni reglas algebraicas con infinitos. ∎

Interpretación. El cambio \(t=1/x\) para \(x>0\) y \(t=-1/x\) para \(x<0\) transforma un extremo no acotado de la recta en un acercamiento por la derecha a cero. Se trata de una equivalencia entre relaciones con dominios precisos, no de asignar al «punto infinito» una coordenada real.

Corolario 16.6.9 — Los dos comportamientos elementales del recíproco

Definamos \(D_+:=\{x\in\mathbb R:x>0\}\) y \(D_-:=\{x\in\mathbb R:x<0\}\), y consideremos las funciones \(p:D_+\to\mathbb R\) y \(n:D_-\to\mathbb R\) dadas por \(p(x)=x^{-1}\) y \(n(x)=x^{-1}\). Sus dominios son semirrectas definidas por desigualdades reales; no se construyen intervalos con un extremo infinito añadido al cuerpo. Entonces

\[ \boxed{\lim_{x\to0^+}p(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to+\infty}p(x)=0,} \]

\[ \boxed{\lim_{x\to0^-}n(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to-\infty}n(x)=0.} \]

Demostración. Ambas semirrectas son subconjuntos de \(\mathbb R\) por Separación. Dado \(r>0\), los puntos \(r/2\) y \(-r/2\) prueban, respectivamente, acumulación por la derecha y por la izquierda en cero. Dado cualquier umbral real \(R\), el punto \(|R|+1\) pertenece a la semirrecta positiva y supera \(R\), mientras que \(-(|R|+1)\) pertenece a la negativa y es menor que \(R\); por tanto sus dominios cumplen las respectivas condiciones de no acotación.

Fijemos \(M\in\mathbb R\) y tomemos \(\delta:=(|M|+1)^{-1}>0\). Para \(x>0\) con \(x<\delta\), la compatibilidad del orden con los recíprocos positivos da \(p(x)=x^{-1}>|M|+1>M\). Para \(x<0\) con \(-\delta<x<0\), tenemos \(0<-x<\delta\), de donde \((-x)^{-1}>|M|+1\) y \(n(x)=-(-x)^{-1}<-(|M|+1)<M\). Quedan demostrados los dos límites infinitos en cero.

Finalmente, dada \(\varepsilon>0\), tomemos \(R:=\varepsilon^{-1}>0\). Si \(x>R\), entonces \(|p(x)-0|=x^{-1}<\varepsilon\). Si \(x<-R\), entonces \(|n(x)-0|=(-x)^{-1}<\varepsilon\). Son las dos relaciones definitorias de límite finito con argumentos no acotados. En todas estas expresiones se divide exclusivamente por reales no nulos. ∎

Los límites finitos, laterales e infinitos quedan ahora caracterizados por condiciones sobre argumentos del dominio, con sus hipótesis de acumulación o no acotación. La comparación de límites, sus operaciones algebraicas y la composición se justificaron sin identificar los símbolos de infinito con números reales. El Capítulo 17 estudiará la continuidad, que vincula estas nociones de límite con el valor de una función en el punto cuando éste pertenece a su dominio.