Tratado de análisis — Capítulo 17 — Continuidad

Capítulo 17 — Continuidad en el desarrollo progresivo del Tratado de análisis.

Capítulo 17 — Continuidad

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Parte II — Núcleo del análisis real

17.0. Del límite de una función a la estabilidad de su valor

En el Capítulo 16 preguntamos qué ocurre con \(f(x)\) cuando \(x\) se acerca a un punto \(a\) sin alcanzarlo. Por eso, para atribuir un límite finito, exigimos \(a\in\operatorname{Acc}(D)\) y excluimos \(x=a\) de las desigualdades. El valor \(f(a)\) podía ser diferente del límite, o ni siquiera estar definido. Ahora examinaremos otra propiedad: que las imágenes de argumentos próximos a un punto del dominio, incluido ese punto, permanezcan próximas a la imagen que la función efectivamente le asigna.

La continuidad es, por tanto, una propiedad de una función tipada \(f:D\to\mathbb R\) en un punto \(a\in D\). Su definición debe funcionar tanto si \(D\) contiene otros puntos arbitrariamente próximos a \(a\) como si \(a\) es un punto aislado de \(D\). Esta segunda posibilidad impide definir toda continuidad únicamente mediante la igualdad \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\): conforme a §16.1, ese límite no está definido cuando \(a\notin\operatorname{Acc}(D)\).

Conservaremos la convención estructural de \(\mathbb R\) establecida en §12.9, sin identificar literalmente las diferentes codificaciones del cuerpo real ni suponer \(\mathbb Q\subseteq\mathbb R\). Usaremos solamente el valor absoluto, las bolas, los puntos de acumulación y los límites finitos ya construidos. El capítulo avanzará después hacia el criterio secuencial, las preimágenes de abiertos, el álgebra y la composición, las funciones elementales y la continuidad uniforme. Los teoremas globales de extremos y valores intermedios pertenecen al Capítulo 18.

17.1. Definición puntual y relación exacta con el límite

Definición 17.1.1 — Continuidad relativa al dominio en un punto

Sean \(D\subseteq\mathbb R\), \(f:D\to\mathbb R\) y \(a\in D\). Diremos que \(f\) es continua en \(a\) (relativamente a \(D\)) si

\[ \boxed{\forall\varepsilon\in\mathbb R\ \bigl(\varepsilon>0\Rightarrow \exists\delta\in\mathbb R\,[\delta>0\ \land \forall x\in D\,(|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon)]\bigr).} \]

Cuando se conoce el dominio escribiremos simplemente «\(f\) es continua en \(a\)». En esta definición no se exige \(a\in\operatorname{Acc}(D)\): sí se exige \(a\in D\) para que \(f(a)\) tenga sentido. Además, no aparece \(0<|x-a|\): el punto central forma parte del cuantificador universal. Para \(x=a\), la desigualdad requerida es \(|f(a)-f(a)|=0<\varepsilon\), que se cumple automáticamente; los restantes puntos del dominio son los que permiten detectar una eventual falta de continuidad.

No basta hallar un \(\delta\) adecuado para un solo argumento. El orden de los cuantificadores exige que, dada cada tolerancia \(\varepsilon>0\), un mismo \(\delta>0\) funcione para todos los \(x\in D\) suficientemente próximos a \(a\). No se ha impuesto que \(D\) sea abierto ni que \(a\) sea interior: un extremo de un intervalo puede ser un punto de continuidad relativo a ese intervalo.

Proposición 17.1.2 — Caracterización mediante imágenes de bolas

Bajo las hipótesis de la definición anterior, \(f\) es continua en \(a\) si y sólo si

\[ \boxed{\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0:\quad f[D\cap B_\delta(a)]\subseteq B_\varepsilon(f(a)).} \]

Demostración. Supongamos continua la función en \(a\) y fijemos \(\varepsilon>0\). Sea \(\delta>0\) el radio de la definición. Si \(y\in f[D\cap B_\delta(a)]\), la definición de imagen proporciona un \(x\in D\cap B_\delta(a)\) con \(y=f(x)\). Por la definición de bola, \(|x-a|<\delta\); la continuidad da \(|y-f(a)|<\varepsilon\), esto es, \(y\in B_\varepsilon(f(a))\). Se obtiene la inclusión.

Recíprocamente, fijemos \(\varepsilon>0\) y tomemos el \(\delta>0\) suministrado por la inclusión. Para cualquier \(x\in D\) con \(|x-a|<\delta\), tenemos \(x\in D\cap B_\delta(a)\) y por tanto \(f(x)\in B_\varepsilon(f(a))\), es decir, \(|f(x)-f(a)|<\varepsilon\). Es exactamente la continuidad definida en §17.1.1. Las dos implicaciones utilizan puntos arbitrarios y un solo radio por tolerancia; no construyen una sucesión de elecciones. ∎

Comparación con §16.1.3. Para el límite se utiliza la bola perforada \(B_\delta(a)\setminus\{a\}\) y un valor candidato \(L\). Para la continuidad se utiliza la bola completa intersectada con \(D\), y la bola de llegada está centrada en el valor efectivo \(f(a)\).

Proposición 17.1.3 — Continuidad automática en un punto aislado

Sean \(f:D\to\mathbb R\) y \(a\in D\). Si \(a\notin\operatorname{Acc}(D)\), entonces \(f\) es continua en \(a\), cualquiera que sea el valor \(f(a)\).

Demostración. La negación clásica del criterio de acumulación Lema §16.1.1 — Acumulación y aproximación perforada afirma que existe \(r>0\) para el cual no hay \(x\in D\) con \(0<|x-a|<r\). Fijemos un \(\varepsilon>0\) cualquiera y pongamos \(\delta:=r\). Si \(x\in D\) y \(|x-a|<\delta\), entonces necesariamente \(x=a\): si fuese distinto, la definitud del valor absoluto produciría \(0<|x-a|<r\), contradicción. En consecuencia,

\[ |f(x)-f(a)|=|f(a)-f(a)|=0<\varepsilon. \]

El mismo radio sirve para toda tolerancia positiva. No se afirma que la función posea un límite en \(a\): el Capítulo 16 reserva esa relación para puntos de acumulación. ∎

Ejemplo. Sea \(D=\{0,1\}\), subconjunto de \(\mathbb R\), y \(f:D\to\mathbb R\) una función cualquiera. El punto \(0\) es aislado: basta \(r=1/2\), pues el único otro elemento del dominio está a distancia \(1\). Por la proposición, \(f\) es continua en \(0\) aunque se asignen valores arbitrarios a \(f(0)\) y \(f(1)\). Lo mismo vale en \(1\). Este ejemplo muestra por qué no conviene introducir un límite vacuo en los puntos aislados para definir la continuidad.

Teorema 17.1.4 — Continuidad y límite en un punto de acumulación

Sean \(f:D\to\mathbb R\) y \(a\in D\cap\operatorname{Acc}(D)\). Entonces

\[ \boxed{f\text{ es continua en }a \iff \lim_{\substack{x\to a\\x\in D}}f(x)=f(a).} \]

La condición \(a\in D\) hace legítimo escribir \(f(a)\); la acumulación hace legítima y no vacua la relación de límite. No basta que el límite finito exista: debe coincidir con el valor efectivo de la función.

Demostración. Continuidad \(\Rightarrow\) límite. Fijemos \(\varepsilon>0\). Por continuidad existe \(\delta>0\) tal que \(x\in D\) y \(|x-a|<\delta\) implican \(|f(x)-f(a)|<\varepsilon\). En particular la desigualdad se cumple para los \(x\in D\) que satisfacen la condición más restrictiva \(0<|x-a|<\delta\). Junto con \(a\in\operatorname{Acc}(D)\), esto prueba la relación definitoria de límite con candidato \(f(a)\).

Límite \(\Rightarrow\) continuidad. Supongamos \(\lim_{\substack{x\to a\\x\in D}}f(x)=f(a)\) y fijemos \(\varepsilon>0\). Por la definición del límite existe \(\delta>0\) tal que, para todo \(x\in D\) con \(0<|x-a|<\delta\), se cumple \(|f(x)-f(a)|<\varepsilon\). Consideremos ahora cualquier \(x\in D\) con \(|x-a|<\delta\). Si \(x\ne a\), la desigualdad anterior se aplica. Si \(x=a\), obtenemos directamente \(|f(a)-f(a)|=0<\varepsilon\). Se han cubierto todos los elementos del dominio comprendidos en la bola completa; la misma \(\delta\) acredita continuidad en \(a\). ∎

Contraejemplo: existencia del límite sin continuidad. Sea \(D=\mathbb R\) y definamos

\[ f(x)=\begin{cases}1,&x=0,\\0,&x\ne0.\end{cases} \]

El origen es punto de acumulación de \(D\), y \(\lim_{x\to0}f(x)=0\): para todo \(\varepsilon>0\) basta \(\delta=1\), ya que en la bola perforada se tiene \(|f(x)-0|=0<\varepsilon\). Sin embargo \(f(0)=1\), y el teorema demuestra que \(f\) no es continua en \(0\). Directamente, para \(\varepsilon=1/2\) y cualquier \(\delta>0\), el punto \(x=\delta/2\ne0\) satisface \(|x|<\delta\) pero \(|f(x)-f(0)|=1\not<1/2\). Sólo se necesita un testigo explícito por radio, no una sucesión de selecciones.

Corolario 17.1.5 — Caracterización completa sobre dominios arbitrarios

Para una función \(f:D\to\mathbb R\) y un punto \(a\in D\), la continuidad en \(a\) se caracteriza por los siguientes casos exhaustivos:

• Si \(a\notin\operatorname{Acc}(D)\), \(f\) es continua en \(a\) sin ninguna condición adicional sobre los valores de \(f\).
• Si \(a\in\operatorname{Acc}(D)\), \(f\) es continua en \(a\) si y sólo si \(\lim_{\substack{x\to a\\x\in D}}f(x)=f(a)\).

Demostración. Por la lógica clásica del contrato fundacional, \(a\) pertenece a \(\operatorname{Acc}(D)\) o no pertenece. En el primer caso aplicamos las dos implicaciones del Teorema 17.1.4; en el segundo, la Proposición 17.1.3. No se escribe ningún límite fuera de la rama en que la acumulación lo hace legítimo. ∎

Síntesis. Continuidad no significa simplemente «existencia de límite» para cualquier dominio. Exige siempre que el valor \(f(a)\) esté definido; en un punto de acumulación, exige además que coincida con el límite perforado. En un punto aislado, en cambio, la propia definición \(\varepsilon\)–\(\delta\) resulta satisfecha sin imponer un supuesto valor límite. La próxima sección estudiará cómo se comporta esta propiedad sobre sucesiones que sí pueden alcanzar \(a\), distinguiendo la dirección incondicional del criterio y la necesidad eventual de hipótesis fundacionales para la recíproca en dominios arbitrarios.

17.2. Criterio secuencial y alcance fundacional

La definición puntual de continuidad cuantifica sobre todos los argumentos suficientemente próximos a \(a\). Una sucesión particular que converge a \(a\) sólo examina una colección numerable de esos argumentos. La primera dirección, de continuidad a convergencia de imágenes, es inmediata una vez respetados los tipos. La dirección inversa exige justificar que, ante una falla de continuidad, podemos construir simultáneamente una sucesión de puntos infractores; no confundiremos su existencia individual con la existencia de una función de selección.

En toda la sección fijamos \(D\subseteq\mathbb R\), \(f:D\to\mathbb R\) y \(a\in D\). Una sucesión admisible para la continuidad es una función \(s:\mathbb N\to D\) tal que, al considerar sus términos como reales, \(s_n\to a\). Se admite \(s_n=a\), incluso para todos los índices: la condición buscada es \(f(s_n)\to f(a)\) y la continuidad, a diferencia del límite del Capítulo 16, incluye el centro. Si inicialmente se da una sucesión \(s:\mathbb N\to\mathbb R\) con \(s_n\in D\), se obtiene la versión con codominio \(D\) conservando su grafo y cambiando expresamente el codominio, no por identificación de funciones de tipos distintos.

Proposición 17.2.1 — La continuidad preserva la convergencia de toda sucesión del dominio

Si \(f\) es continua en \(a\), entonces para toda sucesión \(s:\mathbb N\to D\) que satisface \(s_n\to a\), se tiene

\[ \boxed{f(s_n)\longrightarrow f(a).} \]

Demostración. Fijemos una sucesión admisible \(s\) y una tolerancia \(\varepsilon>0\). Por continuidad en \(a\), existe \(\delta>0\) tal que, para cada \(x\in D\),

\[ |x-a|<\delta\quad\Longrightarrow\quad |f(x)-f(a)|<\varepsilon. \]

La convergencia \(s_n\to a\) aplicada a esta \(\delta\) proporciona \(N\in\mathbb N\) con \(|s_n-a|<\delta\) para todo \(n\ge N\). Como \(s_n\in D\), podemos sustituir \(x=s_n\) y obtener \(|f(s_n)-f(a)|<\varepsilon\) para cada \(n\ge N\). La sucesión de imágenes es la composición bien tipada \(f\circ s:\mathbb N\to\mathbb R\). Ésta es precisamente su convergencia a \(f(a)\). Los términos con \(s_n=a\) satisfacen la estimación porque su error de salida es cero; no requieren una excepción. ∎

Comparación. En §16.2.1 el criterio de límite exige \(s_n\ne a\) para todos los índices, porque el límite perforado ignora \(f(a)\). En continuidad hacemos exactamente lo contrario: permitimos todos los términos en \(a\) y exigimos convergencia al valor \(f(a)\).

Lema 17.2.2 — Una falla de continuidad define una familia de conjuntos infractores

Tomemos la escala de radios \(\eta_n=(\nu_{\mathbb R}(S(n)))^{-1}>0\) de Lema §15.8.1 — Una escala numerable cofinal de radios positivos. Las siguientes proposiciones son equivalentes:

1. \(f\) no es continua en \(a\).

2. Existe \(\varepsilon_0>0\) tal que, para cada \(n\in\mathbb N\), es no vacío el conjunto

   \[ E_n:=\{x\in D:\ |x-a|<\eta_n\ \land\ |f(x)-f(a)|\ge\varepsilon_0\}. \]

Fijado \(\varepsilon_0\), los \(E_n\) forman una función \(E:\mathbb N\to\mathcal P(\mathbb R)\) determinada por su fórmula. Cada infractor satisface automáticamente \(x\ne a\).

Demostración. Negar clásicamente la condición cuantificada de continuidad, conservando los datos fijos \(a\in D\) y \(f:D\to\mathbb R\), equivale a

\[ \exists\varepsilon_0>0\ \forall\delta>0\ \exists x\in D:\quad |x-a|<\delta\ \land\ |f(x)-f(a)|\ge\varepsilon_0. \]

En efecto, el fracaso de una implicación universal proporciona un argumento cercano cuya desigualdad de salida falla; el orden total transforma la negación de \(|f(x)-f(a)|<\varepsilon_0\) en la desigualdad no estricta. Si fijamos ese \(\varepsilon_0\) y ponemos \(\delta=\eta_n\), la fórmula anterior produce al menos un elemento de \(E_n\) para cada \(n\).

Recíprocamente, supongamos no vacíos todos los \(E_n\) para un mismo \(\varepsilon_0>0\). Para cualquier \(\delta>0\), la cofinalidad de Lema §15.8.1 — Una escala numerable cofinal de radios positivos entrega un índice \(n\) tal que \(0<\eta_n<\delta\). De la no vaciedad de ese único \(E_n\) obtenemos un \(x\in D\) con \(|x-a|<\eta_n<\delta\) y \(|f(x)-f(a)|\ge\varepsilon_0\). Ningún \(\delta\) acredita continuidad para \(\varepsilon_0\). Por Separación cada \(E_n\subseteq D\) existe y su grafo funcional queda determinado por Separación en \(\mathbb N\times\mathcal P(\mathbb R)\); no elegimos un elemento de todos ellos simultáneamente. Finalmente, \(x=a\) no puede estar en \(E_n\) porque \(|f(a)-f(a)|=0<\varepsilon_0\). ∎

La distinción lógica es estricta: de \(\forall n\ (E_n\ne\varnothing)\) no se infiere por simple intercambio de cuantificadores que exista \(s:\mathbb N\to\mathbb R\) con \(s_n\in E_n\) para todos los índices. En el próximo teorema construiremos tal sucesión cuando dispongamos de una enumeración del dominio.

Teorema 17.2.3 — Criterio secuencial con enumeración dada del dominio

Supongamos dada una sobreyección \(e:\mathbb N\to D\). Entonces son equivalentes:

\[ \boxed{f\text{ es continua en }a} \]

y

\[ \boxed{\begin{gathered} \text{para toda sucesión }s:\mathbb N\to D\text{ con }s_n\to a,\\ f(s_n)\to f(a). \end{gathered}} \]

La sobreyección es un dato adicional: no se declara enumerable cualquier subconjunto de la recta.

Demostración. La implicación directa está probada en Proposición §17.2.1 — La continuidad preserva la convergencia de toda sucesión del dominio. Para la recíproca supongamos válida la condición sobre todas las sucesiones, pero que \(f\) no es continua en \(a\). Por Lema §17.2.2 — Una falla de continuidad define una familia de conjuntos infractores disponemos de \(\varepsilon_0>0\) y de conjuntos no vacíos \(E_n\subseteq D\), para cada \(n\).

Definamos por Separación

\[ I_n:=\{k\in\mathbb N:e(k)\in E_n\}. \]

La sobreyectividad de \(e\) y la no vaciedad de \(E_n\) garantizan \(I_n\ne\varnothing\). El buen orden de \(\mathbb N\) (Teorema §1.6.13 — Principio de buen orden) proporciona un único \(k_n:=\min I_n\). La condición \(k\in I_n\land\forall j\in I_n\,(k\le j)\) determina de manera funcional \(k_n\) a partir de \(n\), y su grafo existe por Separación en \(\mathbb N\times\mathbb N\). Por tanto, \(s_n:=e(k_n)\) define una función \(s:\mathbb N\to D\) con

\[ |s_n-a|<\eta_n, \qquad |f(s_n)-f(a)|\ge\varepsilon_0 \qquad(n\in\mathbb N). \]

La escala \(\eta_n\) tiende a cero por Lema §15.8.1 — Una escala numerable cofinal de radios positivos, luego \(s_n\to a\). Sin embargo, su sucesión de imágenes no converge a \(f(a)\): para la tolerancia fija \(\varepsilon_0\), ningún término cumple \(|f(s_n)-f(a)|<\varepsilon_0\). Esto contradice la hipótesis secuencial. Concluimos que \(f\) es continua en \(a\). La construcción utiliza la mínima posición en una enumeración dada, no un principio de elección sobre conjuntos arbitrarios. ∎

Este teorema comprende los puntos aislados sin una excepción: allí la continuidad es automática y cualquier sucesión del dominio que converja a \(a\) acaba siendo constantemente \(a\), al quedar confinada en una bola que sólo contiene ese punto del dominio.

Teorema 17.2.4 — Criterio secuencial universal bajo elección numerable explícita

Sólo bajo la hipótesis adicional \(\mathrm{CC}(\mathbb R)\) de Teorema §15.8.9 — Formulaciones habituales bajo una hipótesis de elección explícita —toda familia numerable de subconjuntos no vacíos de \(\mathbb R\) admite una función selectora—, la equivalencia del Teorema 17.2.3 vale para todo \(D\subseteq\mathbb R\), sin necesidad de proporcionar una enumeración de \(D\).

Demostración condicional. La continuidad implica la propiedad secuencial en ZF por Proposición §17.2.1 — La continuidad preserva la convergencia de toda sucesión del dominio. Para la otra dirección, supongamos que todas las sucesiones admisibles tienen imágenes convergentes a \(f(a)\) y que, por contradicción, \(f\) no es continua. Lema §17.2.2 — Una falla de continuidad define una familia de conjuntos infractores suministra \(\varepsilon_0>0\) y la familia funcional \(E:\mathbb N\to\mathcal P(\mathbb R)\) de conjuntos infractores no vacíos. Exactamente aquí aplicamos la premisa adicional \(\mathrm{CC}(\mathbb R)\): existe \(s:\mathbb N\to\mathbb R\) con \(s_n\in E_n\) para todos los índices. Como \(E_n\subseteq D\), reescribimos esta misma función con codominio \(D\). Sus desigualdades definitorias dan \(|s_n-a|<\eta_n\) y \(|f(s_n)-f(a)|\ge\varepsilon_0\) para todo \(n\). Así, \(s_n\to a\) pero \(f(s_n)\not\to f(a)\), contradicción. ∎

Estatuto fundacional. Lo demostrado es la implicación condicional \(\mathrm{CC}(\mathbb R)\Rightarrow\) «criterio universal para dominios arbitrarios». El tratado no adopta esa premisa en ZF ni declara demostrada su recíproca sin hipótesis. La primera implicación, el caso de dominio enumerado y el caso racional canónico permanecen incondicionales.

Corolario 17.2.5 — Criterio incondicional en la copia racional canónica

Sea \(D_{\mathbb Q}:=\jmath_{\mathbb Q}^{\mathbb R}[\mathbb Q]\subseteq\mathbb R\). Para cualquier función \(f:D_{\mathbb Q}\to\mathbb R\) y cualquier \(a\in D_{\mathbb Q}\), la continuidad de \(f\) en \(a\) equivale, en ZF sin elección, a que \(f(s_n)\to f(a)\) para toda sucesión \(s:\mathbb N\to D_{\mathbb Q}\) que tienda a \(a\).

Demostración. Proposición §10.2.6 — Sobreyectividad de la enumeración racional canónica proporciona una sobreyección \(e_{\mathbb Q}:\mathbb N\to\mathbb Q\). La composición \(h=\jmath_{\mathbb Q}^{\mathbb R}\circ e_{\mathbb Q}:\mathbb N\to\mathbb R\) tiene recorrido exactamente \(D_{\mathbb Q}\) por la definición de imagen directa. Conservando el grafo de \(h\) y cambiando expresamente su codominio a \(D_{\mathbb Q}\) obtenemos una sobreyección \(e:\mathbb N\to D_{\mathbb Q}\). Aplicamos Teorema §17.2.3 — Criterio secuencial con enumeración dada del dominio. No hemos identificado \(\mathbb Q\) con un subconjunto literal de \(\mathbb R\) ni elegido representantes globalmente. ∎

Lectura de cierre. Sobre cualquier dominio podemos probar sin elección que continuidad implica preservación de todas las sucesiones convergentes. Para reconocer la continuidad a partir de sucesiones, una enumeración dada permite construir infractores mediante mínimos naturales; una hipótesis de elección numerable proporciona la misma selección sobre dominios arbitrarios, pero sólo de modo condicional. Esta distinción no afecta la definición puntual, que será la base de la caracterización mediante preimágenes de abiertos en §17.3.

17.3. Continuidad y preimágenes de conjuntos abiertos

La continuidad fue definida en §17.1 mediante una condición local, centrada en cada punto del dominio. El Capítulo 15, en cambio, llamó abierto de la recta a un conjunto que contiene una bola alrededor de cada uno de sus puntos. Para relacionar ambos lenguajes debemos recordar que una función puede estar definida sólo sobre \(D\subseteq\mathbb R\). En tal caso, el entorno pertinente es la intersección de una bola con \(D\); no exigiremos que el propio dominio sea abierto en la recta.

Definición 17.3.1 — Abiertos y cerrados relativos a un subconjunto de la recta

Fijemos \(D\subseteq\mathbb R\) y \(A\subseteq D\). Diremos que \(A\) es abierto relativo a \(D\) si existe un abierto \(U\subseteq\mathbb R\) tal que

\[ \boxed{A=D\cap U.} \]

Diremos que \(A\) es cerrado relativo a \(D\) si \(D\setminus A\) es abierto relativo a \(D\). Ambas expresiones son predicados sobre subconjuntos \(A\subseteq D\); el conjunto ambiente forma parte de su significado. En particular, que \(A\) sea abierto relativo a \(D\) no afirma que sea abierto en \(\mathbb R\). Estas definiciones introducen únicamente la noción elemental de subespacio de la recta, sin presuponer la teoría general de espacios topológicos.

Proposición 17.3.2 — Criterio por bolas y representación de los cerrados relativos

Para \(A\subseteq D\subseteq\mathbb R\) se cumplen dos equivalencias:

\[ \boxed{\begin{aligned} A\text{ es abierto relativo a }D &\iff \forall a\in A\ \exists r>0:\ D\cap B_r(a)\subseteq A;\\ A\text{ es cerrado relativo a }D &\iff \exists F\subseteq\mathbb R:\ F\text{ cerrado y }A=D\cap F. \end{aligned}} \]

Demostración. Supongamos \(A=D\cap U\) con \(U\) abierto en \(\mathbb R\). Para cada \(a\in A\), también \(a\in U\), de modo que la apertura de \(U\) proporciona un radio \(r>0\) con \(B_r(a)\subseteq U\). Entonces \(D\cap B_r(a)\subseteq D\cap U=A\).

Recíprocamente, supongamos el criterio de bolas y definamos el conjunto

\[ U:=\bigcup\{B_r(a):a\in A,\ r\in\mathbb R,\ r>0,\ D\cap B_r(a)\subseteq A\}. \]

La familia indicada es un conjunto: el conjunto de pares admisibles se obtiene por Separación en \(A\times\mathbb R\); el grafo de \((a,r)\mapsto B_r(a)\) se obtiene por Separación en \((A\times\mathbb R)\times\mathcal P(\mathbb R)\), y su recorrido es un conjunto. La unión existe por el axioma de Unión. No se requiere Reemplazo ni Elección. Cada bola es abierta por Teorema §15.2.5 — Toda bola abierta es un conjunto abierto; su unión es abierta por Teorema §15.2.7 — Leyes fundamentales de los conjuntos abiertos. Si \(a\in A\), el criterio proporciona un radio que sitúa \(a\in B_r(a)\subseteq U\), y por tanto \(A\subseteq D\cap U\). Si \(x\in D\cap U\), alguna bola de la familia contiene \(x\); la condición que define esa familia implica \(x\in A\). En consecuencia, \(A=D\cap U\). No se escoge un radio para cada punto: se reúnen todas las bolas que cumplen la condición.

Para la segunda equivalencia, si \(A\) es cerrado relativo, existe un abierto \(U\) de \(\mathbb R\) con \(D\setminus A=D\cap U\). Poniendo \(F=\mathbb R\setminus U\), el conjunto \(F\) es cerrado y las identidades de complemento relativo dan

\[ A=D\setminus(D\cap U)=D\cap(\mathbb R\setminus U)=D\cap F. \]

En sentido inverso, si \(A=D\cap F\) con \(F\) cerrado en la recta, entonces \(D\setminus A=D\cap(\mathbb R\setminus F)\) es abierto relativo. Esto concluye ambas caracterizaciones. ∎

La definición y la proposición cubren también \(D=\varnothing\): su único subconjunto es simultáneamente abierto y cerrado relativo. Cuando \(D\) es cualquier conjunto, \(D=D\cap\mathbb R\) es abierto relativo a sí mismo, aunque \(D\) no sea abierto en la recta.

Proposición 17.3.3 — Criterio local de continuidad mediante abiertos de llegada

Sean \(f:D\to\mathbb R\) y \(a\in D\). Las siguientes condiciones son equivalentes:

1. \(f\) es continua en \(a\).

2. Para todo abierto \(V\subseteq\mathbb R\) tal que \(f(a)\in V\), existe un abierto relativo \(W\subseteq D\) con

   \[ \boxed{a\in W\subseteq f^{-1}[V].} \]

La preimagen significa siempre \(f^{-1}[V]=\{x\in D:f(x)\in V\}\); no presupone que \(f\) sea invertible.

Demostración. Supongamos continua \(f\) en \(a\) y fijemos un abierto \(V\) que contenga \(f(a)\). Por apertura existe \(\varepsilon>0\) tal que \(B_\varepsilon(f(a))\subseteq V\). La continuidad para ese \(\varepsilon\) suministra \(\delta>0\) con \(f[D\cap B_\delta(a)]\subseteq B_\varepsilon(f(a))\subseteq V\). Tomemos \(W=D\cap B_\delta(a)\), que es abierto relativo porque la bola es abierta en \(\mathbb R\); como \(a\in D\) y \(\delta>0\), tenemos \(a\in W\) y, por definición de preimagen, \(W\subseteq f^{-1}[V]\).

Para la recíproca, sea \(\varepsilon>0\) y pongamos \(V=B_\varepsilon(f(a))\). Este conjunto es abierto y contiene \(f(a)\). Por la segunda condición existe un abierto relativo \(W\) con \(a\in W\subseteq f^{-1}[V]\). El criterio por bolas de Proposición §17.3.2 — Criterio por bolas y representación de los cerrados relativos produce \(\delta>0\) tal que \(D\cap B_\delta(a)\subseteq W\). De ahí, para todo \(x\in D\) con \(|x-a|<\delta\), tenemos \(f(x)\in V\), es decir, \(|f(x)-f(a)|<\varepsilon\). Como \(\varepsilon\) era arbitrario, \(f\) es continua en \(a\). Ninguna de las dos direcciones selecciona simultáneamente vecindades para distintos valores de \(a\) o \(V\). ∎

Teorema 17.3.4 — Caracterización global por preimágenes de abiertos

Sea \(f:D\to\mathbb R\), con \(D\subseteq\mathbb R\) arbitrario. Son equivalentes:

\[ \boxed{\begin{gathered} \forall a\in D,\quad f\text{ es continua en }a;\\ \text{para todo abierto }V\subseteq\mathbb R,\quad f^{-1}[V]\text{ es abierto relativo a }D. \end{gathered}} \]

En la caja se enuncian dos propiedades equivalentes, no una conjunción que defina «continuidad» de nuevo. Para \(D=\varnothing\) ambas propiedades se satisfacen, pues la primera es universal sobre el vacío y toda preimagen es \(\varnothing\), abierto relativo a \(D\).

Demostración. Supongamos que \(f\) es continua en cada \(a\in D\). Sea \(V\) un abierto de la recta y escribamos \(A=f^{-1}[V]\subseteq D\). Para acreditar que \(A\) es abierto relativo basta, por Proposición §17.3.2 — Criterio por bolas y representación de los cerrados relativos, comprobar el criterio de bolas para cada \(a\in A\). Tomemos uno arbitrario. De \(a\in f^{-1}[V]\) resulta \(f(a)\in V\); la apertura de \(V\) y la continuidad en \(a\), o directamente Proposición §17.3.3 — Criterio local de continuidad mediante abiertos de llegada, proporcionan un abierto relativo \(W_a\) con \(a\in W_a\subseteq A\). Aplicando el criterio por bolas a ese \(W_a\) obtenemos un radio \(r>0\) tal que \(D\cap B_r(a)\subseteq W_a\subseteq A\). Como \(a\) era arbitrario, \(A\) es abierto relativo. El argumento no construye una familia \(a\mapsto W_a\): elimina los testigos sólo para un punto fijado.

Recíprocamente, supongamos que toda preimagen de un abierto es abierta relativa. Fijemos \(a\in D\) y un abierto \(V\) que contenga \(f(a)\). Entonces \(A=f^{-1}[V]\) es abierto relativo y \(a\in A\). Tomando \(W=A\) se verifica la segunda condición de Proposición §17.3.3 — Criterio local de continuidad mediante abiertos de llegada; por dicha proposición, \(f\) es continua en \(a\). La arbitrariedad de \(a\) concluye la continuidad en todo \(D\). No se ha utilizado Teorema §17.2.4 — Criterio secuencial universal bajo elección numerable explícita ni ninguna hipótesis de elección numerable. ∎

Ejemplo que precisa el ambiente. Sea \(D=[0,1]\subseteq\mathbb R\) y \(f:D\to\mathbb R\) la inclusión funcional \(f(x)=x\), con su dominio y codominio tipados. Es continua por la definición \(\varepsilon\)–\(\delta\): para cada \(a\in D\) basta \(\delta=\varepsilon\). Si \(V=(-1,1/2)\), su preimagen es \([0,1/2)\), que no es abierto en la recta porque \(0\) carece de una bola íntegramente incluida en él, pero sí es abierto relativo a \(D\):

\[ f^{-1}[V]=D\cap(-1,1/2). \]

La forma correcta del teorema no puede sustituir «abierto relativo a \(D\)» por «abierto en \(\mathbb R\)» sin añadir otras hipótesis, y ni siquiera se necesita que \(D\) sea abierto para que \(f\) sea continua.

Corolario 17.3.5 — Caracterización equivalente por preimágenes de cerrados

Una función \(f:D\to\mathbb R\) es continua en todo \(D\) si y sólo si, para todo cerrado \(F\subseteq\mathbb R\), la preimagen \(f^{-1}[F]\) es cerrada relativa a \(D\).

Demostración. Para cualquier \(F\subseteq\mathbb R\), la definición de preimagen y el hecho de que \(f\) tenga dominio exactamente \(D\) proporcionan la identidad

\[ \boxed{D\setminus f^{-1}[F]=f^{-1}[\mathbb R\setminus F].} \]

En efecto, para \(x\in D\), no pertenecer a \(f^{-1}[F]\) equivale a que \(f(x)\notin F\), es decir, a \(f(x)\in\mathbb R\setminus F\). Esta comprobación puntual demuestra la igualdad de conjuntos por extensionalidad.

Si \(f\) es continua y \(F\) es cerrado, el complemento \(V=\mathbb R\setminus F\) es abierto. El teorema anterior asegura que \(f^{-1}[V]=D\setminus f^{-1}[F]\) es abierto relativo, de modo que \(f^{-1}[F]\) es cerrado relativo. Inversamente, supongamos que todas las preimágenes de cerrados son cerradas relativas. Para cualquier abierto \(V\), el conjunto \(F=\mathbb R\setminus V\) es cerrado; su preimagen es cerrada relativa, por lo que \(D\setminus f^{-1}[F]=f^{-1}[V]\) es abierta relativa. El Teorema 17.3.4 concluye que \(f\) es continua en todo \(D\). ∎

Síntesis. Las tres descripciones —control \(\varepsilon\)–\(\delta\) en cada punto, transporte local de vecindades y preimágenes globales de abiertos o cerrados— son equivalentes en ZF para dominios arbitrarios. La continuidad es una condición sobre las preimágenes, no sobre la imagen directa de los abiertos: no hemos afirmado que \(f[U]\) sea abierto cuando \(U\) lo es. En §17.4 aprovecharemos el criterio para estudiar álgebra y composición de funciones continuas, conservando siempre sus dominios efectivos.

17.4. Álgebra y composición de funciones continuas

La continuidad de una función expresa que un cambio suficientemente pequeño del argumento, dentro de su dominio, produce un cambio pequeño de su valor. Ya construimos las operaciones puntuales en §16.3.2, con sus dominios efectivos; ahora demostraremos que conservan la continuidad. Es importante no derivar estos resultados de una recíproca secuencial que, para dominios arbitrarios, sólo está disponible bajo una hipótesis adicional: todas las pruebas siguientes son directamente \(\varepsilon\)–\(\delta\) y no utilizan elección.

Proposición 17.4.1 — Funciones constantes e inclusión continua

Sea \(D\subseteq\mathbb R\) arbitrario. Para cada \(c\in\mathbb R\), la función constante \(k_c:D\to\mathbb R\), \(k_c(x)=c\), y la función inclusión \(j_D:D\to\mathbb R\), \(j_D(x)=x\), existen, son únicas con esos datos y son continuas en todos los puntos de \(D\).

Demostración. Los grafos \(\{\langle x,c\rangle:x\in D\}\) y \(\{\langle x,x\rangle:x\in D\}\) se obtienen por Separación dentro de \(D\times\mathbb R\). Sus valores son únicos, y declarar exactamente el dominio \(D\) y el codominio \(\mathbb R\) determina las dos funciones. Si \(D=\varnothing\), no hay puntos en los que comprobar continuidad.

Fijemos \(a\in D\) y \(\varepsilon>0\). Para \(k_c\), tomemos \(\delta=1\): en cualquier \(x\in D\) se tiene \(|k_c(x)-k_c(a)|=0<\varepsilon\). Para \(j_D\), tomemos \(\delta=\varepsilon\): de \(|x-a|<\delta\) resulta \(|j_D(x)-j_D(a)|=|x-a|<\varepsilon\). Ambos argumentos incluyen puntos aislados y no requieren acumulación. Obsérvese que \(j_D:D\to\mathbb R\) no es, como función tipada, la identidad \(\operatorname{id}_D:D\to D\) cuando sus codominios difieren. ∎

Lema 17.4.2 — Acotación local y separación de un valor no nulo

Sea \(g:D\to\mathbb R\) continua en \(a\in D\) y escribamos \(M=g(a)\). Existe \(r>0\) tal que

\[ \forall x\in D:\quad |x-a|<r\Longrightarrow |g(x)|<|M|+1. \]

Si, además, \(M\ne0\), existe \(r_0>0\) tal que

\[ \forall x\in D:\quad |x-a|<r_0\Longrightarrow |g(x)|>\frac{|M|}{2}>0. \]

En particular, \(D_g:=\{x\in D:g(x)\ne0\}\) contiene \(D\cap B_{r_0}(a)\), incluido \(a\), y por tanto \(a\in D_g\).

Demostración. Apliquemos continuidad con tolerancia \(1>0\) y obtengamos \(r>0\) para el cual \(|g(x)-M|<1\) siempre que \(x\in D\) y \(|x-a|<r\). La desigualdad triangular implica

\[ |g(x)|\le |g(x)-M|+|M|<|M|+1. \]

Si \(M\ne0\), entonces \(|M|/2>0\). Apliquemos continuidad ahora con esa tolerancia y obtengamos \(r_0>0\) tal que \(|g(x)-M|<|M|/2\) en \(D\cap B_{r_0}(a)\). La desigualdad triangular inversa da

\[ |g(x)|\ge |M|-|g(x)-M|>\frac{|M|}{2}>0. \]

Por Separación existe \(D_g\) y todos los puntos de la bola relativa indicada pertenecen a él. No hemos perforado la bola ni inferido acumulación del dominio. ∎

Teorema 17.4.3 — Estabilidad de la continuidad bajo operaciones algebraicas y valor absoluto

Sean \(f,g:D\to\mathbb R\) continuas en el mismo punto \(a\in D\), y sea \(c\in\mathbb R\). Entonces son continuas en \(a\) las funciones \(f+g\), \(f-g\), \(cf\), \(fg\) y \(|f|\), todas con dominio \(D\) y codominio \(\mathbb R\) conforme a §16.3.2.

Demostración. Escribamos \(L=f(a)\) y \(M=g(a)\). Fijemos \(\varepsilon>0\).

Suma. La continuidad de \(f\) y \(g\) con tolerancias \(\varepsilon/2\) proporciona radios \(\delta_f,\delta_g>0\). Si \(x\in D\) y \(|x-a|<\min\{\delta_f,\delta_g\}\), la desigualdad triangular da

\[ |(f+g)(x)-(f+g)(a)| \le |f(x)-L|+|g(x)-M|<\varepsilon. \]

Escalares y resta. Si \(c=0\), \(cf\) es constante y es continua por la Proposición 17.4.1. Si \(c\ne0\), el radio correspondiente a \(\varepsilon/|c|\) para \(f\) verifica

\[ |(cf)(x)-(cf)(a)|=|c|\,|f(x)-L|<\varepsilon. \]

La continuidad de \(-g\) se deduce con \(c=-1\) y la de \(f-g=f+(-g)\), mediante la regla ya probada para la suma.

Producto. Por el Lema 17.4.2 existen \(r>0\) y \(K:=|M|+1>0\) tales que \(|g(x)|<K\) para \(x\in D\) con \(|x-a|<r\). Tomemos un radio \(\delta_f>0\) para la tolerancia \(\varepsilon/(2K)\) de \(f\) y otro \(\delta_g>0\) para \(\varepsilon/(2(|L|+1))\) de \(g\). Con \(\delta:=\min\{r,\delta_f,\delta_g\}>0\) obtenemos

\[ \begin{aligned} |f(x)g(x)-LM| &=|(f(x)-L)g(x)+L(g(x)-M)|\\ &\le |f(x)-L|\,|g(x)|+|L|\,|g(x)-M|\\ &<\frac{\varepsilon}{2K}K+ \frac{\varepsilon}{2(|L|+1)}|L|\\ &\le\varepsilon. \end{aligned} \]

La estimación estricta de la línea anterior implica \(|f(x)g(x)-LM|<\varepsilon\); no se usa la desigualdad final no estricta como si fuera estricta.

Valor absoluto. La desigualdad triangular inversa ya probada proporciona

\[ \bigl||f(x)|-|f(a)|\bigr|\le |f(x)-f(a)|. \]

El radio de continuidad de \(f\) para \(\varepsilon\) sirve también para \(|f|\). En todos los casos se eligen solamente un número finito de radios, combinados mediante su mínimo. ∎

Teorema 17.4.4 — Continuidad del recíproco y del cociente en sus dominios efectivos

Sean \(f,g:D\to\mathbb R\) continuas en \(a\in D\), y supongamos \(g(a)\ne0\). Definamos

\[ D_g=\{x\in D:g(x)\ne0\}. \]

Entonces \(a\in D_g\) y las funciones ya construidas

\[ \frac1g:D_g\to\mathbb R, \qquad \frac fg:D_g\to\mathbb R \]

son continuas en \(a\) relativamente a \(D_g\). De hecho, \(D_g\) coincide con \(D\) en alguna bola centrada en \(a\), intersectada con \(D\).

Demostración. Pongamos \(M=g(a)\ne0\). El Lema 17.4.2 proporciona \(r_0>0\) con \(D\cap B_{r_0}(a)\subseteq D_g\); la inclusión contraria \(D_g\subseteq D\) es definitoria. Por tanto \(D_g\cap B_{r_0}(a)=D\cap B_{r_0}(a)\) y \(a\in D_g\).

Fijemos \(\varepsilon>0\). La continuidad de \(g\) en \(a\) suministra \(\delta_g>0\) tal que

\[ |g(x)-M|<\frac{\varepsilon|M|^2}{2} \quad\text{si }x\in D,\ |x-a|<\delta_g. \]

Con \(\delta=\min\{r_0,\delta_g\}\), para todo \(x\in D_g\) con \(|x-a|<\delta\) tenemos \(|g(x)|>|M|/2\) y

\[ \left|\frac1{g(x)}-\frac1M\right| =\frac{|g(x)-M|}{|g(x)|\,|M|} <\frac{2|g(x)-M|}{|M|^2}<\varepsilon. \]

Esto prueba la continuidad de \(1/g\) en \(a\) con el dominio exacto \(D_g\). La restricción \(f\upharpoonright D_g:D_g\to\mathbb R\) es continua en \(a\): todo radio que funciona para \(f\) sobre \(D\) sigue funcionando para el subconjunto \(D_g\) que contiene \(a\). Sobre \(D_g\), la función producto \((f\upharpoonright D_g)(1/g)\) coincide con \(f/g\) en dominio, codominio y valores. Por el Teorema 17.4.3 dicho producto es continuo en \(a\). No se define \(1/g(a)\) si \(g(a)=0\), ni se afirma que \(f/g\) sea una función total sobre \(D\) cuando \(D_g\ne D\). ∎

Ejemplo de la restricción necesaria. Para \(f(x)=1\) y \(g(x)=x\) en \(D=\mathbb R\), el cociente tiene dominio \(D_g=\mathbb R\setminus\{0\}\) y es continuo en todos sus puntos, pero no se le atribuye continuidad en \(0\), donde no tiene valor.

Teorema 17.4.5 — Composición en el dominio efectivo

Sean \(D,E\subseteq\mathbb R\), \(f:D\to\mathbb R\) y \(g:E\to\mathbb R\). Definamos el dominio efectivo de composición

\[ T:=\{x\in D:f(x)\in E\}. \]

La restricción de \(f\) a \(T\), provista del codominio \(E\), es una función \(f_T:T\to E\); por consiguiente \(h:=g\circ f_T:T\to\mathbb R\) está definida sin evaluar \(g\) fuera de \(E\). Si \(a\in T\), \(f\) es continua en \(a\) relativamente a \(D\) y \(g\) es continua en \(b:=f(a)\) relativamente a \(E\), entonces \(h\) es continua en \(a\) relativamente a \(T\).

Demostración. El conjunto \(T\) existe por Separación en \(D\). Por definición, cada \(f(x)\) para \(x\in T\) pertenece a \(E\); la restricción del grafo de \(f\) a \(T\), con dominio \(T\) y codominio expresamente cambiado a \(E\), es una función. La composición funcional de §0.6.4 produce \(h:T\to\mathbb R\) con \(h(x)=g(f(x))\). Como \(a\in T\), también \(b=f(a)\in E\) y \(h(a)=g(b)\).

Fijemos \(\varepsilon>0\). La continuidad de \(g\) en \(b\) proporciona \(\eta>0\) tal que, para todo \(y\in E\),

\[ |y-b|<\eta\Longrightarrow |g(y)-g(b)|<\varepsilon. \]

La continuidad de \(f\) en \(a\) para la tolerancia \(\eta\) proporciona \(\delta>0\) tal que, para todo \(x\in D\),

\[ |x-a|<\delta\Longrightarrow |f(x)-b|<\eta. \]

Si \(x\in T\) y \(|x-a|<\delta\), entonces \(x\in D\) y \(f(x)\in E\). Podemos sustituir \(y=f(x)\) en la primera implicación y obtener

\[ |h(x)-h(a)|=|g(f(x))-g(f(a))|<\varepsilon. \]

Esto es continuidad relativa a \(T\), incluidos sus puntos aislados. No se exige que \(b\) sea punto de acumulación de \(E\), que \(f(x)\ne b\), ni que \(f[T]\) sea abierto. La elección de \(\eta\) y luego de \(\delta\) es finita y dependiente, pero no es un axioma de elección. ∎

Caso total. Si \(f[D]\subseteq E\), se tiene \(T=D\) y la conclusión afirma continuidad de \(g\circ f_D:D\to\mathbb R\) en \(a\), donde \(f_D:D\to E\) indica el re-tipado explícito de \(f\). No identificamos dos funciones con distintos codominios.

Corolario 17.4.6 — Clausura global, restricciones y cocientes

Si \(f,g:D\to\mathbb R\) son continuas en todos los puntos de \(D\), también lo son \(f\pm g\), \(cf\), \(fg\) y \(|f|\). La restricción de cualquier función continua \(f\) a \(A\subseteq D\) es continua en cada punto de \(A\). Si \(g\) es continua en todo \(D\), entonces \(1/g\) y \(f/g\) son continuas en su dominio efectivo \(D_g\), que puede ser vacío. Para funciones \(f:D\to\mathbb R\), \(g:E\to\mathbb R\) globalmente continuas en sus respectivos dominios, su composición tipada es continua en \(T=\{x\in D:f(x)\in E\}\); en particular, si \(f[D]\subseteq E\), es continua en \(D\).

Demostración. Fijado cualquier \(a\in D\), el Teorema 17.4.3 demuestra la primera afirmación, y la arbitrariedad del punto la extiende a \(D\). Si \(a\in A\), entonces \(a\in D\) y cualquier radio de continuidad de \(f\) en \(a\) controla también los argumentos de \(A\); la restricción conserva el valor en \(a\), por lo que es continua allí. Para cada \(a\in D_g\), tenemos \(g(a)\ne0\) y aplicamos el Teorema 17.4.4; si \(D_g\) es vacío, la afirmación universal no exige testigos. Finalmente, fijemos \(a\in T\): la continuidad de \(f\) en \(a\) y la de \(g\) en \(f(a)\in E\) permiten aplicar el Teorema 17.4.5. Otra vez, \(T=\varnothing\) presenta una cuantificación universal vacía y no un límite vacuo. ∎

Síntesis. Las operaciones algebraicas conservan la continuidad donde sus expresiones están definidas; el cociente requiere la exclusión efectiva de los ceros de su denominador, y la composición requiere pertenencia al dominio exterior. Ninguna conclusión identifica dominios o codominios distintos ni necesita convertir un criterio secuencial condicional en un teorema incondicional. En §17.5 aplicaremos estas reglas a funciones elementales cuya definición y legitimidad ya estén establecidas.

17.5. Continuidad de las funciones elementales disponibles

No debemos llamar «elemental» a una fórmula cuya operación todavía no se haya construido. Disponemos de las potencias de exponente natural (§14.3), de sumas finitas (§14.1) y de raíces no negativas de índice natural positivo (§14.9). Las reglas de §17.4 permitirán obtener funciones polinomiales y racionales sin postular su continuidad. Las funciones exponencial, logarítmica y trigonométricas quedan fuera de esta sección: aquí no se les atribuye una definición ni una propiedad de continuidad no demostrada. Toda operación será interpretada en su dominio efectivo.

Definición 17.5.1 — Función polinomial real determinada por una lista finita de coeficientes

Sea \(m\in\mathbb N\), pongamos \(I_m:=\{k\in\mathbb N:k\le m\}\) y fijemos una función dada de coeficientes \(c:I_m\to\mathbb R\). Para cada \(x\in\mathbb R\) definimos la sucesión real \(a^x:\mathbb N\to\mathbb R\) por

\[ a^x_k:=\begin{cases}c(k)x^k,&k\le m,\\0,&k>m.\end{cases} \]

La sucesión existe por Separación en \(\mathbb N\times\mathbb R\); su definición no elige coeficientes, porque \(c\) ya es un dato. La suma finita de §14.1 determina la función polinomial asociada \(P_c:\mathbb R\to\mathbb R\) mediante

\[ \boxed{P_c(x):=\sum_{k=0}^{m}a^x_k =c(0)+c(1)x+\cdots+c(m)x^m.} \]

La primera expresión —la suma inicial previamente definida— es la definición formal; los puntos suspensivos sólo son una presentación convencional. El grafo \(\{\langle x,y\rangle\in\mathbb R\times\mathbb R:y=\sum_{k=0}^m a^x_k\}\) existe por Separación, y la unicidad de cada suma determina exactamente una función con dominio y codominio \(\mathbb R\). Se admite \(m=0\), que produce una constante; no exigimos que \(c(m)\ne0\), por lo que \(m\) es una cota de grado, no necesariamente el grado efectivo del polinomio. La letra \(P_c\) es local a esta construcción y no consume un nuevo identificador de notación.

Proposición 17.5.2 — Continuidad de toda potencia de exponente natural

Para cada \(n\in\mathbb N\), la función \(p_n:\mathbb R\to\mathbb R\), \(p_n(x)=x^n\), es continua en todos los puntos de \(\mathbb R\). La afirmación incluye \(n=0\), con la convención ya fijada \(0^0=1\).

Demostración. Para cada \(n\), \(p_n\) existe como función tipada: la aplicación \(x\mapsto x^n\) es la sección de la operación \(\operatorname{pow}_{\mathbb R}:\mathbb R\times\mathbb N\to\mathbb R\) de Definición §14.3.1 — Potencias naturales de un número real, y su grafo se obtiene por Separación en \(\mathbb R\times\mathbb R\). Procedemos por inducción sobre \(n\). Para \(n=0\), \(p_0\) es la función constante de valor \(1\), continua por Proposición §17.4.1 — Funciones constantes e inclusión continua. Si \(p_n\) es continua en toda la recta, la identidad-inclusión \(j_{\mathbb R}:\mathbb R\to\mathbb R\) también lo es. El producto puntual \(p_nj_{\mathbb R}:\mathbb R\to\mathbb R\) es continuo por Teorema §17.4.3 — Estabilidad de la continuidad bajo operaciones algebraicas y valor absoluto y, por la recursión de potencias, coincide como función tipada con \(p_{n+1}\). El principio de inducción concluye la afirmación para cada exponente natural, sin tomar una familia de radios simultáneamente para todos los exponentes. ∎

Teorema 17.5.3 — Todo polinomio real es continuo en la recta

Para cualquier \(m\in\mathbb N\) y cualquier función de coeficientes \(c:I_m\to\mathbb R\), el polinomio \(P_c:\mathbb R\to\mathbb R\) de la Definición 17.5.1 es continuo en todo \(\mathbb R\).

Demostración. Fijemos \(m\) y \(c\) y, para cada \(j\in I_m\), definamos la función prefijo \(P_j:\mathbb R\to\mathbb R\) tomando la suma inicial de la sucesión \(a^x\) hasta \(j\). Es una función tipada por el mismo argumento de Separación de la definición; las expresiones dependen de modo unívoco de \(j,x,c\), sin seleccionar datos. La recursión de sumas parciales (Definición §14.1.1 — Sucesión de sumas parciales y serie numérica y Notación §14.1.2 — Suma finita de términos consecutivos) proporciona, para \(j<m\),

\[ P_0(x)=c(0)x^0=c(0),\qquad P_{j+1}(x)=P_j(x)+c(j+1)x^{j+1}. \]

\(P_0\) es constante, y por tanto continua. Supongamos continua \(P_j\) para un \(j<m\). Por la Proposición 17.5.2, \(p_{j+1}\) es continua; por la regla escalar y la suma del Teorema 17.4.3, también lo es \(P_j+c(j+1)p_{j+1}=P_{j+1}\). La inducción finita se efectúa exclusivamente sobre el segmento \(I_m\): parte de \(j=0\) y, para cada \(j<m\), establece el paso de \(P_j\) a \(P_{j+1}\). Al llegar a \(j=m\) concluye que \(P_m=P_c\) es continua. No se enuncia ni se evalúa \(P_j\) para \(j\notin I_m\). Si \(m=0\), ya se resolvió el caso en el paso inicial. ∎

Ejemplo. \(P(x)=x^2-2\) es un polinomio real; su continuidad en todo \(\mathbb R\) queda ahora justificada sin límites secuenciales ni derivadas. La constante \(2\) se interpreta en el cuerpo real mediante el numeral correspondiente, no mediante una igualdad literal con el elemento racional \(2_{\mathbb Q}\).

Corolario 17.5.4 — Continuidad de las funciones racionales en su dominio natural

Sean \(P,Q:\mathbb R\to\mathbb R\) dos funciones polinomiales de la Definición 17.5.1, dadas posiblemente por listas de coeficientes de longitudes diferentes. Pongamos

\[ D_Q:=\{x\in\mathbb R:Q(x)\ne0\}. \]

Entonces la expresión \(R(x)=P(x)/Q(x)\) determina una función \(R:D_Q\to\mathbb R\), continua en todos los puntos de \(D_Q\). El conjunto \(D_Q\) puede ser vacío.

Demostración. Por Teorema §17.5.3 — Todo polinomio real es continuo en la recta, \(P\) y \(Q\) son continuos sobre \(\mathbb R\). El conjunto \(D_Q\) existe por Separación; el cociente funcional sobre él existe conforme a Proposición §16.3.2 — Existencia y tipado de las operaciones puntuales. Fijemos \(a\in D_Q\): entonces \(Q(a)\ne0\), y Teorema §17.4.4 — Continuidad del recíproco y del cociente en sus dominios efectivos prueba la continuidad de \(P/Q\) en \(a\) relativamente a \(D_Q\). La arbitrariedad de \(a\) acredita la continuidad global. Si \(D_Q=\varnothing\), la afirmación «continua en cada punto de su dominio» es universalmente verdadera, pero no se declara ningún límite en el vacío. La simplificación algebraica de una expresión no añade por sí sola puntos a este dominio. ∎

Advertencia de dominio. \(R(x)=(x^2-1)/(x-1)\) tiene dominio \(\mathbb R\setminus\{1\}\), aunque allí coincida en valores con \(x+1\). Estas dos funciones no son idénticas como funciones tipadas: tienen dominios distintos. La continuidad de \(x+1\) en \(1\) no define el valor de \(R\) en \(1\).

Lema 17.5.5 — Separación de potencias de argumentos no negativos

Para \(n\in\mathbb N\) con \(n\ge1\) y \(u,v\in\mathbb R_{\ge0}\) se tiene

\[ \boxed{|u-v|^n\le |u^n-v^n|.} \tag{17.5.1} \]

Demostración. Por la totalidad del orden, basta probar la desigualdad cuando \(u\ge v\ge0\); el otro caso se obtiene permutando los argumentos. Fijemos \(d:=u-v\ge0\), de modo que \(u=v+d\ge d\). Probaremos por inducción sobre \(k\in\mathbb N\) que

\[ u^{k+1}-v^{k+1}\ge d^{k+1}. \]

El caso \(k=0\) es la igualdad \(u-v=d\). Supongamos válida la desigualdad para \(k\). Por la recursión de la potencia,

\[ \begin{aligned} u^{k+2}-v^{k+2} &=(u^{k+1}-v^{k+1})u+v^{k+1}(u-v)\\ &\ge d^{k+1}u\\ &\ge d^{k+1}d=d^{k+2}. \end{aligned} \]

Las multiplicaciones preservan el orden porque todos los factores multiplicadores utilizados son no negativos; \(v^{k+1}\ge0\). La inducción da \(u^n-v^n\ge(u-v)^n\). En el caso \(u\ge v\), ambos valores absolutos son las correspondientes diferencias no negativas por la monotonía de Lema §14.9.1 — Monotonía de las potencias positivas y cota de variación finita. Si \(v\ge u\), aplicamos la misma prueba al par \((v,u)\). Así se obtiene (17.5.1) sin fórmula binomial ni raíces aún en uso dentro de la prueba. ∎

Teorema 17.5.6 — Continuidad de todas las raíces reales no negativas disponibles

Para cada índice natural positivo \(n\in\mathbb N_{\ge1}\), la asignación ya construida

\[ r_n:\mathbb R_{\ge0}\to\mathbb R, \qquad r_n(x)=\sqrt[n]{x}, \]

es continua en todos los puntos de su dominio, incluido \(0\). La función está provista explícitamente del codominio \(\mathbb R\); su recorrido está contenido en \(\mathbb R_{\ge0}\).

Demostración. La existencia y unicidad para cada \(x\ge0\) y \(n\ge1\), y el grafo de la función de raíces, están certificados en Teorema §14.9.2 — Existencia y unicidad de la raíz no negativa de índice positivo y Notación §14.9.3 — Raíz enésima real no negativa. Fijemos \(a\ge0\) y \(\varepsilon>0\). La potencia \(\varepsilon^n\) es estrictamente positiva; tomemos

\[ \boxed{\delta:=\varepsilon^n>0.} \]

Si \(x\ge0\) y \(|x-a|<\delta\), escribamos \(u:=\sqrt[n]{x}\ge0\) y \(v:=\sqrt[n]{a}\ge0\). Sus ecuaciones definitorias dan \(u^n=x\) y \(v^n=a\). El lema anterior produce

\[ |u-v|^n\le |x-a|<\varepsilon^n. \]

Por la estricta monotonía de la potencia de exponente positivo entre reales no negativos (Lema §14.9.1 — Monotonía de las potencias positivas y cota de variación finita), la desigualdad implica \(|u-v|<\varepsilon\): de lo contrario, \(|u-v|\ge\varepsilon\) implicaría \(|u-v|^n\ge\varepsilon^n\). Es exactamente la continuidad en \(a\) relativa a \(\mathbb R_{\ge0}\). La prueba sirve sin cambio en \(a=0\), donde no hay valores de raíz definidos para radicandos negativos. La raíz es la solución única de una ecuación ya demostrada, no una elección entre soluciones. ∎

Corolario 17.5.7 — Continuidad de un radical compuesto en su dominio efectivo

Sean \(D\subseteq\mathbb R\), \(g:D\to\mathbb R\) continua en todos los puntos de \(D\), y \(n\in\mathbb N_{\ge1}\). Definamos

\[ T:=\{x\in D:g(x)\ge0\}. \]

Entonces \(h:T\to\mathbb R\), \(h(x)=\sqrt[n]{g(x)}\), es una función bien definida y continua en cada punto de \(T\). Si \(T=D\), la continuidad vale sobre todo el dominio original; si \(T=\varnothing\), no se evalúa el radical en ningún punto.

Demostración. Por Separación existe \(T\). La restricción de \(g\) a \(T\) toma valores en \(E:=\mathbb R_{\ge0}\) y, tras declarar expresamente su codominio \(E\), determina \(g_T:T\to E\). Por Teorema §17.5.6 — Continuidad de todas las raíces reales no negativas disponibles la función exterior \(r_n:E\to\mathbb R\) es continua en cada punto de \(E\). Para cada \(a\in T\), la continuidad de \(g\) en \(a\) relativamente a \(D\) y de \(r_n\) en \(g(a)\in E\) permite aplicar Teorema §17.4.5 — Composición en el dominio efectivo y concluir que \(r_n\circ g_T:T\to\mathbb R\) es continua en \(a\). La composición coincide en dominio, codominio y valores con \(h\). No se extiende el radical a los puntos con \(g(x)<0\). ∎

Ejemplos. \(x\mapsto\sqrt{x}\) es continua en \([0,\infty)\), incluida la frontera \(0\). También \(x\mapsto\sqrt{1-x^2}\) es continua en \([-1,1]\) por continuidad polinomial y composición efectiva; no se le atribuye un valor real fuera de ese intervalo.

Transición. Hemos establecido continuidad para las funciones algebraicas cuyas operaciones y raíces ya tenían una definición legítima. Estas pruebas son puntuales: el radio puede depender del punto considerado. La próxima sección introducirá una condición diferente, con un radio que pueda elegirse independientemente del centro: la continuidad uniforme. Su teorema global sobre compactos permanecerá reservado al Capítulo 18.

17.6. Continuidad uniforme: un radio común para todo el dominio

La continuidad puntual de §17.1 comienza fijando un centro \(a\); sólo después se obtiene un radio, que puede cambiar si se cambia el centro. Para controlar una función sobre todo su dominio necesitaremos invertir ese orden: dada una tolerancia de salida, buscaremos un único radio que sirva para cualquier par de argumentos. No supondremos que el dominio es un intervalo, cerrado, acotado ni siquiera no vacío. El resultado que permite extraer uniformidad de continuidad sobre un compacto —Heine–Cantor— pertenece al Capítulo 18, donde se construirá la compacidad.

Definición 17.6.1 — Continuidad uniforme relativa a un dominio

Sean \(D\subseteq\mathbb R\) y \(f:D\to\mathbb R\). Diremos que \(f\) es uniformemente continua en \(D\) si

\[ \boxed{\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0\ \forall x,y\in D:\quad |x-y|<\delta\Longrightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon.} \]

El orden es esencial: \(\delta\) depende de \(\varepsilon\), pero no de \(x\) ni de \(y\). Se permite \(x=y\) y también \(D=\varnothing\). En este último caso, para cada \(\varepsilon>0\) el radio \(\delta=1\) verifica la implicación universal vacía; no se asignan valores a la función fuera de su dominio.

Dos órdenes de cuantificadores. Continuidad en todos los puntos: \(\forall a\in D\ \forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0\ \forall x\in D\,\cdots\). Continuidad uniforme: \(\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0\ \forall x,y\in D\,\cdots\). La primera formulación no autoriza trasladar el cuantificador \(\exists\delta\) por delante de \(\forall a\).

Proposición 17.6.2 — La uniformidad implica continuidad puntual y pasa a las restricciones

Si \(f:D\to\mathbb R\) es uniformemente continua, entonces es continua en cada \(a\in D\). Además, para todo \(A\subseteq D\), la restricción \(f\upharpoonright A:A\to\mathbb R\) es uniformemente continua en \(A\).

Demostración. Fijemos \(a\in D\) y \(\varepsilon>0\). Sea \(\delta>0\) el radio uniforme. Si \(x\in D\) y \(|x-a|<\delta\), aplicamos la implicación a la pareja \((x,a)\) y obtenemos \(|f(x)-f(a)|<\varepsilon\). Esto es exactamente continuidad en \(a\). Si \(A\subseteq D\), las parejas de \(A\times A\) están también en \(D\times D\), de modo que el mismo radio uniforme acredita la condición para la restricción, cuyo grafo y codominio se conservan conforme a §0.6 y §17.4. Cuando \(D\) o \(A\) es vacío no hay centros ni parejas que verificar. ∎

La recíproca no es válida en dominios arbitrarios, como se demostrará explícitamente en §17.6.7. Tampoco se ha invocado aquí el criterio secuencial condicional de §17.2.

Proposición 17.6.3 — Una cota de tipo Lipschitz proporciona un radio uniforme

Supongamos que existe una constante real \(L\ge0\) tal que

\[ \forall x,y\in D:\qquad |f(x)-f(y)|\le L|x-y|. \]

Entonces \(f:D\to\mathbb R\) es uniformemente continua. En particular, toda función constante y la inclusión \(j_D:D\to\mathbb R\), \(j_D(x)=x\), son uniformemente continuas sobre cualquier \(D\subseteq\mathbb R\).

Demostración. Fijemos \(\varepsilon>0\) y elijamos \(\delta:=\varepsilon/(L+1)>0\). Para \(x,y\in D\) con \(|x-y|<\delta\) obtenemos

\[ |f(x)-f(y)|\le L|x-y|\le (L+1)|x-y|<\varepsilon. \]

La fórmula funciona también cuando \(L=0\), sin división por cero. Las constantes satisfacen la cota con \(L=0\); la inclusión la satisface con \(L=1\). Ambas son funciones tipadas construidas en Proposición §17.4.1 — Funciones constantes e inclusión continua, y no identificamos \(j_D:D\to\mathbb R\) con \(\operatorname{id}_D:D\to D\) cuando los codominios difieren. ∎

El término «cota de tipo Lipschitz» nombra aquí la desigualdad formulada; no constituye un nuevo operador global ni se consume un ID de notación.

Teorema 17.6.4 — Operaciones algebraicas uniformes: hipótesis globales exactas

Sean \(f,g:D\to\mathbb R\) uniformemente continuas y \(c\in\mathbb R\).

1. \(f+g\), \(f-g\), \(cf\) y \(|f|\), todas con dominio \(D\), son uniformemente continuas.
2. Si existen \(A,B\ge0\) con \(|f(x)|\le A\) y \(|g(x)|\le B\) para todo \(x\in D\), entonces \(fg:D\to\mathbb R\) es uniformemente continua.
3. Sea \(D_g:=\{x\in D:g(x)\ne0\}\). Si existe \(m>0\) tal que \(|g(x)|\ge m\) para todo \(x\in D_g\), entonces \(1/g:D_g\to\mathbb R\) es uniformemente continua. Si, además, \(f\) está acotada en \(D\), el cociente \(f/g:D_g\to\mathbb R\) es uniformemente continuo.

La mera condición puntual \(g(x)\ne0\) no sustituye la separación uniforme \(|g(x)|\ge m\); la continuidad uniforme de los factores, sin acotación, tampoco garantiza la del producto.

Demostración. Para el primer punto fijemos \(\varepsilon>0\). La continuidad uniforme de \(f\) y \(g\) para \(\varepsilon/2\) proporciona radios \(r_f,r_g>0\). El mínimo \(\delta=\min\{r_f,r_g\}>0\) funciona simultáneamente y la desigualdad triangular da

\[ |(f+g)(x)-(f+g)(y)| \le |f(x)-f(y)|+|g(x)-g(y)|<\varepsilon. \]

Para el escalar \(c\), tomamos el radio uniforme de \(f\) correspondiente a \(\varepsilon/(|c|+1)\); así,

\[ |(cf)(x)-(cf)(y)|=|c|\,|f(x)-f(y)|<\varepsilon. \]

Esto incluye \(c=0\). La resta resulta de la suma y el caso \(c=-1\). La desigualdad triangular inversa da \(\bigl||f(x)|-|f(y)|\bigr|\le|f(x)-f(y)|\), por lo que sirve el radio uniforme de \(f\) para \(\varepsilon\).

Para el producto, supongamos las dos cotas globales. Obtengamos \(r_f\) para la tolerancia \(\varepsilon/[2(B+1)]\) y \(r_g\) para \(\varepsilon/[2(A+1)]\). Si \(x,y\in D\) y \(|x-y|<\delta:=\min\{r_f,r_g\}\), entonces

\[ \begin{aligned} |f(x)g(x)-f(y)g(y)| &\le |f(x)-f(y)|\,|g(x)|+|f(y)|\,|g(x)-g(y)|\\ &\le (B+1)|f(x)-f(y)|+(A+1)|g(x)-g(y)|\\ &<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon. \end{aligned} \]

Las constantes \(A+1\) y \(B+1\) son estrictamente positivas; por ello el paso estricto es válido incluso si alguna de las cotas \(A,B\) es cero. Hemos utilizado únicamente dos radios y su mínimo, no una familia de elecciones.

Para el recíproco, \(D_g\) existe por Separación y el radio uniforme de \(g\) sobre \(D\) sigue siendo válido sobre \(D_g\). Para cualesquiera \(x,y\in D_g\),

\[ \left|\frac1{g(x)}-\frac1{g(y)}\right| =\frac{|g(x)-g(y)|}{|g(x)|\,|g(y)|} \le\frac{|g(x)-g(y)|}{m^2}. \]

Dada \(\varepsilon>0\), tomemos para \(g\) un radio uniforme con tolerancia \(\varepsilon m^2>0\); la última desigualdad demuestra continuidad uniforme de \(1/g\). Además, \(|1/g(x)|\le1/m\) en \(D_g\). Si \(|f(x)|\le A\) para todo \(x\in D\), su restricción a \(D_g\) es uniformemente continua y está acotada por \(A\). El producto de esta restricción por \(1/g\) es uniformemente continuo por el segundo punto y coincide, como función tipada, con \(f/g\) en \(D_g\). Cuando \(D_g=\varnothing\) las dos conclusiones se verifican por la definición vacía, sin formar cocientes en ningún punto. ∎

Advertencia. Se puede multiplicar \(x\mapsto x\) por sí misma sobre \(\mathbb R\) para obtener una función continua en cada punto, pero no se ha probado uniformidad para ese producto: la hipótesis de acotación global falla. Asimismo, \(x\mapsto1/x\) es continua en \(\mathbb R\setminus\{0\}\) por §17.4, pero eso no le da automáticamente un radio uniforme.

Teorema 17.6.5 — Composición uniformemente continua en el dominio efectivo

Sean \(D,E\subseteq\mathbb R\), \(f:D\to\mathbb R\) uniformemente continua en \(D\) y \(g:E\to\mathbb R\) uniformemente continua en \(E\). Definamos

\[ T:=\{x\in D:f(x)\in E\},\qquad f_T:T\to E, \qquad h:=g\circ f_T:T\to\mathbb R. \]

Entonces \(h\) es uniformemente continua en \(T\). Si \(f[D]\subseteq E\), esta conclusión vale con \(T=D\).

Demostración. La construcción tipada del dominio y del grafo de \(h\) es la de Teorema §17.4.5 — Composición en el dominio efectivo: \(T\) existe por Separación y \(f_T\) conserva el grafo restringido de \(f\), pero declara codominio \(E\). Fijemos \(\varepsilon>0\). La uniformidad de \(g\) proporciona \(\eta>0\) tal que, para todos \(u,v\in E\), \(|u-v|<\eta\) implica \(|g(u)-g(v)|<\varepsilon\). La uniformidad de \(f\) para esa única tolerancia \(\eta\) proporciona \(\delta>0\) con

\[ \forall x,y\in D:\quad |x-y|<\delta\Longrightarrow|f(x)-f(y)|<\eta. \]

Si \(x,y\in T\) y \(|x-y|<\delta\), las dos imágenes \(f(x),f(y)\) pertenecen a \(E\); por ello

\[ |h(x)-h(y)|=|g(f(x))-g(f(y))|<\varepsilon. \]

El radio \(\delta\) no depende de ninguno de los dos argumentos. El razonamiento sigue siendo válido si \(T\) es vacío y no requiere que \(E\) ni \(T\) sean abiertos. Se han escogido dos testigos finitos, uno después del otro, sin ninguna versión de Choice. ∎

Proposición 17.6.6 — Las raíces no negativas son uniformemente continuas

Para cada \(n\in\mathbb N_{\ge1}\), la función \(r_n:\mathbb R_{\ge0}\to\mathbb R\), \(r_n(x)=\sqrt[n]{x}\), es uniformemente continua en todo \(\mathbb R_{\ge0}\).

Demostración. Fijemos \(n\ge1\) y \(\varepsilon>0\) y pongamos \(\delta:=\varepsilon^n>0\). Para cualquier \(x,y\ge0\), las raíces \(u:=\sqrt[n]{x}\) y \(v:=\sqrt[n]{y}\) están bien definidas y son no negativas, con \(u^n=x\) y \(v^n=y\). El Lema Lema §17.5.5 — Separación de potencias de argumentos no negativos entrega

\[ |u-v|^n\le |u^n-v^n|=|x-y|. \]

Cuando \(|x-y|<\delta=\varepsilon^n\), la monotonía de la potencia positiva sobre no negativos implica \(|u-v|<\varepsilon\). Ningún paso ha fijado un centro: el mismo radio sirve a todos los pares y también a los que incluyen \(0\). La prueba depende de la unicidad de la raíz ya construida, no de elecciones de soluciones. ∎

Proposición 17.6.7 — Dos funciones continuas que no son uniformemente continuas

Se cumplen las siguientes afirmaciones:

1. \(p:\mathbb R\to\mathbb R\), \(p(x)=x^2\), es continua en cada punto, pero no es uniformemente continua en \(\mathbb R\). Su restricción a todo subconjunto acotado de la recta sí es uniformemente continua.
2. \(q:(0,1]\to\mathbb R\), \(q(x)=1/x\), es continua en cada punto de su dominio, pero no es uniformemente continua en \((0,1]\).

Demostración. La continuidad puntual de \(p\) se deduce de Teorema §17.5.3 — Todo polinomio real es continuo en la recta. Para refutar su uniformidad fijemos \(\varepsilon_0:=1\). Dado cualquier \(\delta>0\), definamos de modo explícito \(h:=\delta/2>0\), \(x:=1/h\) y \(y:=x+h\). Entonces \(x,y\in\mathbb R\) y

\[ |x-y|=h<\delta, \qquad |p(y)-p(x)|=(x+h)^2-x^2=2xh+h^2=2+h^2>1. \]

Por tanto ningún radio sirve para la tolerancia \(1\) en toda la recta. Si \(A\subseteq\mathbb R\) es acotado, existe \(M\ge0\) con \(|x|\le M\) para todo \(x\in A\). Para cualesquiera \(x,y\in A\),

\[ |x^2-y^2|=|x-y|\,|x+y|\le2M|x-y|. \]

La Proposición Proposición §17.6.3 — Una cota de tipo Lipschitz proporciona un radio uniforme se aplica a \(p\upharpoonright A:A\to\mathbb R\) con constante \(L=2M\), incluso si \(A\) es vacío o \(M=0\).

La continuidad puntual de \(q\) resulta de Corolario §17.5.4 — Continuidad de las funciones racionales en su dominio natural (o del recíproco de §17.4), por restricción al intervalo \((0,1]\). Para refutar uniformidad volvemos a fijar \(\varepsilon_0:=1\). Dado \(\delta>0\), pongamos \(h:=\min\{\delta/2,1/2\}>0\), \(x:=h/2\) y \(y:=h\). Ambos pertenecen a \((0,1]\) y

\[ |x-y|=h/2<\delta, \qquad |q(x)-q(y)|=\frac2h-\frac1h=\frac1h\ge2>1. \]

Así ninguna \(\delta\) funciona para todas las parejas del dominio. En ambos contraejemplos, cada pareja infractora se da mediante una fórmula a partir de un único radio arbitrario: no se selecciona una sucesión de infractores. ∎

Diagnóstico. La función cuadrática falla al alejarse indefinidamente hacia valores grandes de \(|x|\); el recíproco falla cerca de una frontera excluida de su dominio. «Ser continuo en todos los puntos» no contiene un control global uniforme.

Corolario 17.6.8 — Polinomios y racionales sobre conjuntos acotados, con separación del denominador

Sea \(D\subseteq\mathbb R\) acotado. Todo polinomio real \(P:\mathbb R\to\mathbb R\) definido en §17.5 es uniformemente continuo al restringirse a \(D\) y está acotado sobre \(D\). Sean ahora \(P,Q:\mathbb R\to\mathbb R\) polinomios y

\[ T:=\{x\in D:Q(x)\ne0\}. \]

Si se dispone adicionalmente de una constante \(m>0\) que satisface \(|Q(x)|\ge m\) para todo \(x\in T\), la función racional \(P/Q:T\to\mathbb R\) es uniformemente continua en \(T\).

Demostración. Por acotación existe \(M\ge0\) tal que \(|x|\le M\) para todo \(x\in D\). La inclusión \(j_D:D\to\mathbb R\) es uniformemente continua por Proposición §17.6.3 — Una cota de tipo Lipschitz proporciona un radio uniforme y está acotada por \(M\). Las funciones potencia \(p_k:D\to\mathbb R\), \(p_k(x)=x^k\), se obtienen por recursión finita: \(p_0\) es la constante \(1\), y \(p_{k+1}=p_kj_D\). Por inducción, \(p_k\) es uniformemente continua, y está acotada por \((M+1)^k\): el caso \(k=0\) es inmediato; para el paso se aplica el producto de Teorema §17.6.4 — Operaciones algebraicas uniformes: hipótesis globales exactas, puesto que ambos factores son uniformemente continuos y tienen cotas globales, y se usa \(|x|^{k+1}\le(M+1)^{k+1}\). Todas las funciones tienen dominio \(D\).

Si \(c:I_d\to\mathbb R\) es la lista finita de coeficientes de \(P\), cada \(x\mapsto c(k)x^k\) es uniformemente continua y está acotada por \(|c(k)|(M+1)^k\). La recursión de sumas parciales de Definición §14.1.1 — Sucesión de sumas parciales y serie numérica, junto con el primer punto de Teorema §17.6.4 — Operaciones algebraicas uniformes: hipótesis globales exactas, prueba por inducción que los prefijos polinomiales son uniformemente continuos. La desigualdad triangular, aplicada en la misma inducción, proporciona la cota global

\[ |P(x)|\le\sum_{k=0}^{d}|c(k)|(M+1)^k \qquad(x\in D). \]

Esta suma es finita y está definida en §14.1. Se concluye que \(P\upharpoonright D\) y, por el mismo argumento, \(Q\upharpoonright D\) son uniformemente continuas y acotadas en \(D\). El conjunto \(T\) existe por Separación; sobre él se aplica el punto 3 de Teorema §17.6.4 — Operaciones algebraicas uniformes: hipótesis globales exactas a las restricciones de \(P,Q\), utilizando la constante \(m\) expresamente supuesta. Se obtiene uniformidad de \(P/Q:T\to\mathbb R\). Si \(T=\varnothing\), la conclusión sólo cuantifica sobre parejas inexistentes y no evalúa el cociente. ∎

La condición \(|Q|\ge m>0\) no se deduce de que \(Q(x)\ne0\) para cada \(x\in T\); el recíproco del ejemplo anterior muestra por qué hay que distinguir ambos enunciados. Tampoco hemos inferido tal cota mediante existencia de mínimos en compactos, que pertenece al capítulo siguiente.

Síntesis y frontera. La uniformidad exige un radio compartido por todos los puntos: la conservan restricciones, combinaciones aditivas y composiciones, y los productos y cocientes bajo las cotas globales indicadas. Las raíces no negativas admiten un radio explícito \(\delta=\varepsilon^n\). El cuadrado en toda la recta y el recíproco sobre \((0,1]\) prueban que continuidad puntual y uniforme son propiedades distintas. La pregunta pendiente es: ¿qué condiciones geométricas sobre el dominio permiten deducir uniformidad de la mera continuidad? El Capítulo 18 responderá mediante la compacidad y Heine–Cantor; no hemos anticipado esos resultados.