Tratado de análisis — Capítulo 18 — Compacidad y conexidad en la recta

Capítulo 18 — Compacidad y conexidad en la recta en el desarrollo progresivo del Tratado de análisis.

Capítulo 18 — Compacidad y conexidad en la recta

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Parte II — Núcleo del análisis real

18.0. De la continuidad local a los teoremas globales

En el capítulo anterior definimos la continuidad de una función \(f:D\to\mathbb R\) mediante el comportamiento de sus valores cerca de cada punto del dominio. Incluso la continuidad uniforme, aunque utiliza un único radio para todos los pares de argumentos, es una condición cuantificada sobre distancias. Nada de ello demuestra todavía que una función continua alcance sus cotas, que adopte todos los valores intermedios o que sobre un conjunto determinado la continuidad puntual implique uniformidad.

Para obtener esas conclusiones necesitamos propiedades del conjunto de partida. La primera es la compacidad: si un conjunto está contenido en una reunión de abiertos, ¿podemos conservar sólo una cantidad finita de ellos y seguir cubriéndolo? La segunda, que estudiaremos después, es la conexidad: ¿puede el conjunto separarse en dos partes relativamente abiertas, disjuntas y no vacías? Los intervalos relacionarán ambos problemas con el orden y la completitud de la recta.

El itinerario deductivo será: cubiertas abiertas y subcubiertas finitas; compacidad de intervalos cerrados y acotados; caracterización de Heine–Borel; relación con sucesiones y Bolzano–Weierstrass; imágenes continuas, extremos y Heine–Cantor; conexidad de los intervalos, preservación por continuidad y teorema del valor intermedio. No invocaremos ninguno de esos resultados antes de demostrarlo. Las definiciones se limitan a subconjuntos de \(\mathbb R\), sin importar prematuramente teoría topológica abstracta.

Trabajamos sobre el cuerpo ordenado completo \(\mathbb R\) fijado estructuralmente en §12.9. La noción de abierto corresponde a Definición §15.2.4 — Conjunto abierto de la recta, la de abierto relativo a un dominio a Definición §17.3.1 — Abiertos y cerrados relativos a un subconjunto de la recta, y la continuidad relativa a Definición §17.1.1 — Continuidad relativa al dominio en un punto. No se identifica literalmente \(\mathbb Q\) con un subconjunto de \(\mathbb R\) y no se presupone ninguna forma de elección.

18.1. Cubiertas abiertas y subcubiertas finitas

El adjetivo «finita» afecta al número de miembros que se conservan, no al número de puntos cubiertos. Un conjunto infinito puede quedar cubierto por un solo abierto; por otra parte, una cubierta cuyos miembros son todos abiertos puede no admitir una reducción finita. Comenzaremos haciendo explícitos los objetos y sus tipos.

Definición 18.1.1 — Conjunto finito

Diremos que un conjunto \(F\) es finito si existen \(n\in\mathbb N\) y una biyección tipada \(e:n\to F\), donde \(n\) es el ordinal natural de von Neumann ya construido. En símbolos,

\[ \boxed{F\text{ es finito}\iff\exists n\in\mathbb N\ \exists e:n\overset{\sim}{\longrightarrow}F.} \]

Aquí la flecha adornada indica, únicamente en esta fórmula, que \(e\) es biyectiva en el sentido de Definición §0.6.6 — Inyectividad, sobreyectividad y biyectividad; no se introduce una nueva operación. El ordinal \(0=\varnothing\) se admite: la función vacía \(0\to\varnothing\) es biyectiva y acredita que el vacío es finito. Esta formulación hace preciso el uso de «finito» empleado en los capítulos previos; no altera sus resultados. La biyección es un testigo de finitud, no una enumeración que debamos elegir simultáneamente para todos los conjuntos finitos.

Lema 18.1.2 — Herencia, adjunción y unión de conjuntos finitos

Sean \(F,G\) conjuntos finitos, \(H\subseteq F\) y \(z\) un conjunto cualquiera. Entonces \(H\), \(F\cup\{z\}\) y \(F\cup G\) son finitos.

Demostración. Adjunción de un punto. Sea \(e:n\to F\) una biyección, cuya existencia constituye un único dato fijado. Si \(z\in F\), entonces \(F\cup\{z\}=F\). Si \(z\notin F\), definimos \(e':n+1\to F\cup\{z\}\) conservando \(e'(k)=e(k)\) para \(k\in n\) y poniendo \(e'(n)=z\). El grafo se obtiene añadiendo a \(G_e\) el par \(\langle n,z\rangle\); es funcional, inyectivo y sobreyectivo porque \(n\notin n\) y \(z\notin F\). En ambos casos el conjunto resultante es finito.

Herencia. Probemos por inducción en \(n\) que, para toda biyección \(e:n\to F\) y todo \(H\subseteq F\), el conjunto \(H\) es finito. Si \(n=0\), también \(F=H=\varnothing\), y sirve la biyección vacía. Para el paso, dada \(e:n+1\to F\), su restricción a \(n\) es una biyección sobre \(F':=e[n]\). Por la hipótesis inductiva, \(H':=H\cap F'\) es finito. Si \(e(n)\in H\), entonces \(H=H'\cup\{e(n)\}\), finito por la adjunción ya probada; si \(e(n)\notin H\), entonces \(H=H'\). La inducción de Teorema §1.1.10 — Principio de inducción concluye el resultado para todo \(n\) y, por tanto, para todo \(F\) finito.

Unión. Fijemos una biyección \(g:m\to G\) y, para cada \(k\le m\), formemos \(H_k:=F\cup g[k]\). Se trata de conjuntos existentes por imagen y unión, y \(H_0=F\). Si \(k<m\) y \(H_k\) es finito, la igualdad \(H_{k+1}=H_k\cup\{g(k)\}\) y la adjunción demuestran que \(H_{k+1}\) es finito. Una inducción finita sobre los índices hasta \(m\) prueba que \(H_m=F\cup G\) es finito. Se utilizaron las dos biyecciones fijadas para un par dado de conjuntos; no se seleccionó una biyección para cada miembro de una familia arbitraria. ∎

Definición 18.1.3 — Cubierta abierta y subcubierta finita

Sean \(K\subseteq\mathbb R\), \(I\) un conjunto y \(U:I\to\mathcal P(\mathbb R)\) una función dada. Diremos que \(U=(U_i)_{i\in I}\) es una cubierta abierta de \(K\) si se cumplen las dos condiciones

\[ \boxed{\left(\forall i\in I:\ U_i\text{ es abierto en }\mathbb R\right) \quad\land\quad K\subseteq\bigcup_{i\in I}U_i.} \]

Un subconjunto \(J\subseteq I\) determina la familia restringida \(U\upharpoonright J:J\to\mathcal P(\mathbb R)\). Lo llamaremos subcubierta finita si \(J\) es finito y

\[ \boxed{K\subseteq\bigcup_{i\in J}U_i.} \]

La condición de cobertura puede leerse sin abreviar:

\[ \forall x\in K\ \exists i\in I:\ x\in U_i. \]

Esto no significa que ya se haya construido una función que elija un índice \(i\) para cada \(x\in K\). La familia \(U\) está dada y su grafo tiene dominio y codominio explícitos. Se admiten índices repetidos en el sentido de que \(U_i=U_j\) puede ocurrir con \(i\ne j\); los índices no se identifican con los propios abiertos. Si \(I=\varnothing\), la unión es vacía y la familia sólo cubre \(K=\varnothing\). Si \(J=\varnothing\), su unión es también vacía y sólo puede ser subcubierta de un conjunto vacío.

Definición 18.1.4 — Compacidad por cubiertas abiertas

Un conjunto \(K\subseteq\mathbb R\) se denomina compacto si toda cubierta abierta indexada de \(K\) admite una subcubierta finita. La formulación completa es

\[ \boxed{\begin{gathered} \forall I\ \forall U:I\to\mathcal P(\mathbb R),\\ \left[\bigl(\forall i\in I:\ U_i\text{ abierto}\bigr) \land K\subseteq\bigcup_{i\in I}U_i\right]\\ \Longrightarrow\exists J\subseteq I:\left[J\text{ finito}\land K\subseteq\bigcup_{i\in J}U_i\right]. \end{gathered}} \]

Los cuantificadores sobre \(I\) y \(U\) expresan un esquema de propiedades de conjuntos y funciones dados, no una comprensión irrestricta que pretenda formar «el conjunto de todas las familias». El subconjunto \(J\) puede depender de la cubierta completa, pero una vez fijado debe cubrir todos los puntos de \(K\). Esta es la definición primaria; todavía no se han demostrado sus posibles caracterizaciones mediante sucesiones, cerradura y acotación. En particular, no llamaremos compacto a un conjunto por definición sólo porque sea cerrado y acotado.

Proposición 18.1.5 — El vacío y los singletons son compactos

El conjunto vacío es compacto. Para todo \(a\in\mathbb R\), el conjunto \(\{a\}\) es compacto.

Demostración. Fijemos una cubierta abierta \(U:I\to\mathcal P(\mathbb R)\) de \(\varnothing\). El subconjunto \(J=\varnothing\subseteq I\) es finito por Definición §18.1.1 — Conjunto finito y cumple \(\varnothing\subseteq\bigcup_{i\in J}U_i=\varnothing\). Así, \(\varnothing\) es compacto, también cuando la cubierta tiene índice vacío.

Fijemos ahora \(a\in\mathbb R\) y una cubierta abierta \(U\) de \(\{a\}\). La inclusión \(a\in\bigcup_{i\in I}U_i\) suministra un índice \(i_0\in I\) con \(a\in U_{i_0}\). El conjunto \(J=\{i_0\}\) es finito porque la función de dominio \(1\) que envía \(0\) a \(i_0\) es biyectiva sobre él; además \(\{a\}\subseteq U_{i_0}=\bigcup_{i\in J}U_i\). Como la cubierta inicial era arbitraria, el singleton es compacto. Se eligió un índice para una única cubierta de un único punto, no una familia simultánea de índices. ∎

Proposición 18.1.6 — La unión de dos compactos es compacta

Si \(K,L\subseteq\mathbb R\) son compactos, entonces \(K\cup L\) es compacto.

Demostración. Sea \(U:I\to\mathcal P(\mathbb R)\) una cubierta abierta de \(K\cup L\). Como \(K\subseteq K\cup L\) y \(L\subseteq K\cup L\), la misma familia cubre por separado a \(K\) y a \(L\). La compacidad proporciona un conjunto finito de índices \(J_K\subseteq I\) que cubre \(K\), y otro conjunto finito \(J_L\subseteq I\) que cubre \(L\). Pongamos \(J:=J_K\cup J_L\). Es finito por Lema §18.1.2 — Herencia, adjunción y unión de conjuntos finitos y está contenido en \(I\). Todo \(x\in K\cup L\) pertenece a uno de los dos conjuntos y, en consecuencia, a algún \(U_i\) con \(i\in J_K\) o \(i\in J_L\); por ello \(K\cup L\subseteq\bigcup_{i\in J}U_i\). Esta es una subcubierta finita de la familia original. Sólo se combinaron dos testigos existenciales de una cubierta fijada: no se utilizó elección infinita. ∎

Corolario 18.1.7 — Todo conjunto finito de reales es compacto

Todo subconjunto finito \(F\subseteq\mathbb R\) es compacto. En particular, una unión finita de compactos es compacta.

Demostración. Fijemos una biyección \(e:n\to F\). Para cada \(k\le n\), definamos \(F_k:=e[k]\subseteq\mathbb R\). Mostremos por inducción sobre \(k\) hasta \(n\) que \(F_k\) es compacto. El caso inicial es \(F_0=\varnothing\), compacto por Proposición §18.1.5 — El vacío y los singletons son compactos. Si \(k<n\) y \(F_k\) es compacto, entonces \(F_{k+1}=F_k\cup\{e(k)\}\); el singleton es compacto por Proposición §18.1.5 — El vacío y los singletons son compactos y la unión por Proposición §18.1.6 — La unión de dos compactos es compacta. Al finalizar, \(F_n=F\) es compacto.

Para la afirmación adicional, dada una familia \(C:n\to\mathcal P(\mathbb R)\) de conjuntos compactos, el mismo argumento parte de la unión vacía y añade sucesivamente el conjunto \(C(k)\); cada paso aplica Proposición §18.1.6 — La unión de dos compactos es compacta. El resultado es \(\bigcup_{k\in n}C(k)\), incluso si \(n=0\). Una familia finita dada con cualquier conjunto de índices finito se reindexa mediante una de sus biyecciones testigo. No se escogen cubiertas ni subcubiertas para infinitos índices. ∎

Proposición 18.1.8 — La recta real no es compacta

La familia de intervalos abiertos

\[ U_n:=\bigl(-\nu_{\mathbb R}(n+1),\nu_{\mathbb R}(n+1)\bigr), \qquad n\in\mathbb N, \]

es una cubierta abierta de \(\mathbb R\) que no admite subcubierta finita. En consecuencia, \(\mathbb R\) no es compacto.

Demostración. La aplicación \(n\mapsto U_n\) determina una función \(U:\mathbb N\to\mathcal P(\mathbb R)\): el intervalo de extremos determinados existe y su grafo se forma por Separación en \(\mathbb N\times\mathcal P(\mathbb R)\). Cada \(U_n\) es abierto por Proposición §15.2.9 — Ejemplos: intervalos abiertos y singletons. Dado \(x\in\mathbb R\), la propiedad arquimediana (Teorema §4.6.3 — Todo cuerpo ordenado completo es arquimediano, aplicada a \(\mathbb R\) por Teorema §12.8.1 — Existencia y caracterización única de la completación ordenada de \(\mathbb Q\)) proporciona un natural \(n\) con \(\nu_{\mathbb R}(n+1)>|x|\). Entonces \(x\in U_n\). Por tanto, \(\mathbb R=\bigcup_{n\in\mathbb N}U_n\).

Supongamos que un conjunto finito \(J\subseteq\mathbb N\) diese una subcubierta. No puede ser vacío porque \(0\in\mathbb R\) y la unión vacía no contiene puntos. Un subconjunto finito no vacío de \(\mathbb N\) tiene un máximo \(m\in J\): fijada una biyección \(e:k\to J\), necesariamente \(k\ne0\); al recorrer sus \(k\) valores, la inducción finita conserva el mayor de los ya examinados tomando, en cada paso, el mayor de dos naturales según el orden total Teorema §1.6.5 — Orden total. Esto prueba la existencia del máximo sin escoger elementos de una familia arbitraria.

Para cada \(j\in J\) tenemos \(j\le m\), de donde \(U_j\subseteq U_m\) por el orden de los numerales (Proposición §4.1.6 — Aritmética y orden de los numerales naturales). El punto real \(x:=\nu_{\mathbb R}(m+2)\) pertenece a \(\mathbb R\) pero no a \(U_m\), pues es mayor que el extremo derecho \(\nu_{\mathbb R}(m+1)\). En consecuencia, no pertenece a ninguno de los \(U_j\) con \(j\in J\), contradicción con que \(J\) cubra la recta. Esta cubierta concreta demuestra la falta de compacidad de \(\mathbb R\), sin recurrir a Heine–Borel ni al concepto todavía no definido de compacidad secuencial. ∎

Lectura conceptual. La apertura de los miembros sólo garantiza que cada punto posee un pequeño margen dentro de algún abierto. La compacidad exige algo global y mucho más fuerte: reducir cualquier cubierta a una subfamilia finita. Los conjuntos finitos poseen esa propiedad; la recta entera no la posee, aunque cada uno de sus puntos pertenezca a muchos intervalos abiertos. La sección §18.2 demostrará que los intervalos cerrados y acotados sí tienen la propiedad de reducción finita, utilizando la completitud del orden real y no una caracterización de compacidad aún no probada.

18.2. Compacidad de los intervalos cerrados y acotados

La definición anterior exige una reducción finita de cualquier cubierta abierta. No basta exhibir una cubierta particularmente sencilla. Demostraremos la propiedad para \([a,b]\) sin emplear todavía Heine–Borel ni equivalencias secuenciales: el argumento sólo necesita la propiedad del supremo, la apertura de los miembros de una cubierta dada y las operaciones finitas ya legitimadas en §18.1.

Teorema 18.2.1 — Todo intervalo cerrado y acotado es compacto

Para cualesquiera \(a,b\in\mathbb R\) tales que \(a\le b\), el intervalo \([a,b]\) es compacto: toda cubierta abierta indexada del intervalo posee una subcubierta finita.

Demostración. 1. La cubierta y los segmentos ya cubiertos finitamente. Fijemos un conjunto de índices \(I\) y una familia dada \(U:I\to\mathcal P(\mathbb R)\) de abiertos tal que

\[ [a,b]\subseteq\bigcup_{i\in I}U_i. \]

Queremos encontrar un solo conjunto finito \(J\subseteq I\) con \([a,b]\subseteq\bigcup_{i\in J}U_i\). Definamos por Separación dentro del conjunto \([a,b]\):

\[ S:=\left\{x\in[a,b]:\ \exists J\subseteq I\ \bigl(J\text{ finito}\ \land\ [a,x]\subseteq\bigcup_{i\in J}U_i\bigr)\right\}. \]

La condición es una fórmula conjuntista: \(J\) varía dentro de \(\mathcal P(I)\), la finitud tiene la definición Definición §18.1.1 — Conjunto finito y las uniones están determinadas por la familia ya dada. No estamos formando una colección irrestricta ni escogiendo un \(J_x\) para todos los \(x\in S\).

El conjunto \(S\) es no vacío. En efecto, \(a\in[a,b]\), así que la cubierta proporciona un índice \(i_a\in I\) con \(a\in U_{i_a}\). Como \([a,a]=\{a\}\), el singleton de índices \(\{i_a\}\) cubre \([a,a]\), y es finito. Por consiguiente \(a\in S\). Además \(S\subseteq[a,b]\), de modo que \(b\) es una cota superior suya.

2. Un supremo que no puede detener el avance. La completitud de \(\mathbb R\) garantiza

\[ c:=\sup S,\qquad a\le c\le b. \]

Como \(c\in[a,b]\), existe un índice \(i_c\in I\) con \(c\in U_{i_c}\). La apertura de \(U_{i_c}\) proporciona \(r>0\) tal que

\[ B_r(c)=(c-r,c+r)\subseteq U_{i_c}. \]

Afirmamos que existe \(t\in S\) con \(c-r/2<t\le c\). Si no existiera, \(c-r/2\) sería una cota superior de \(S\), estrictamente menor que \(c\), contradiciendo la definición de supremo. Fijemos un tal \(t\). Por pertenecer a \(S\), existe un conjunto finito de índices \(J_t\subseteq I\) que cubre \([a,t]\). Sólo se han fijado dos testigos asociados a esta cubierta: el índice \(i_c\) y una subcubierta para este \(t\) particular.

Sea

\[ d:=\min\{b,c+r/2\}, \]

entendiendo el mínimo de estos dos reales por comparación en el orden total. Como \(c\le b\) y \(r>0\), tenemos \(c\le d\le b\); si \(c<b\), entonces \(c<d\). Para todo \(y\in[t,d]\) se verifica

\[ c-r<c-r/2<t\le y\le d\le c+r/2<c+r. \]

Así, \([t,d]\subseteq B_r(c)\subseteq U_{i_c}\). Como \([a,d]=[a,t]\cup[t,d]\), la familia de índices

\[ J':=J_t\cup\{i_c\} \]

cubre \([a,d]\). Es finita por Lema §18.1.2 — Herencia, adjunción y unión de conjuntos finitos y está contenida en \(I\); por tanto, \(d\in S\).

Al ser \(c\) cota superior de \(S\), obtenemos \(d\le c\). Junto con \(c\le d\), resulta \(d=c\). Pero, si \(c<b\), la construcción de \(d\) daría \(c<d\): contradicción. Necesariamente \(c=b\). Y como \(d=c=b\in S\), la propia definición de \(S\) suministra una subcubierta finita de \([a,b]\), que era exactamente lo exigido.

3. Control fundacional. La cubierta \(U\) se mantuvo arbitraria durante toda la demostración. El supremo existe por completitud; la obtención de un índice que cubre un punto y de una subcubierta para un único \(t\) utiliza sólo instanciación existencial finita. En ningún momento se construye una función \(x\mapsto i_x\) ni una elección simultánea de subcubiertas \(x\mapsto J_x\). Tampoco se ha invocado un resultado posterior. \(\square\)

Lectura de la prueba. La completitud convierte una colección de segmentos que ya podemos cubrir finitamente en un punto extremo \(c\). La apertura de un único miembro que contiene a \(c\) impide que la cobertura finita se interrumpa allí. El argumento también comprende \(a=b\): en ese caso el supremo es el único punto del intervalo y la construcción produce directamente su subcubierta finita.

Proposición 18.2.2 — Un cerrado relativo de un compacto es compacto

Sea \(K\subseteq\mathbb R\) compacto y sea \(A\subseteq K\) cerrado relativo a \(K\). Entonces \(A\) es compacto. En particular, la intersección de un compacto de la recta con un cerrado de la recta es compacta.

Demostración. Por la representación de cerrados relativos Proposición §17.3.2 — Criterio por bolas y representación de los cerrados relativos, existe un cerrado \(F\subseteq\mathbb R\) con \(A=K\cap F\). Fijemos una cubierta abierta arbitraria \(U:I\to\mathcal P(\mathbb R)\) de \(A\). Su cobertura no tiene por qué alcanzar a los puntos de \(K\setminus A\); añadiremos un único abierto, el complemento \(V:=\mathbb R\setminus F\), abierto por Definición §15.3.5 — Conjunto cerrado de la recta.

Para conservar el tipado incluso si algún miembro original coincide con \(V\), definamos el conjunto de índices etiquetados

\[ I^*:=(I\times\{0\})\cup\{\langle\varnothing,1\rangle\}. \]

Los números naturales \(0\) y \(1\) son distintos; por la propiedad característica de los pares ordenados, el índice excepcional \(\langle\varnothing,1\rangle\) no coincide con ninguno de los \(\langle i,0\rangle\). La fórmula

\[ W_{\langle i,0\rangle}:=U_i\quad(i\in I), \qquad W_{\langle\varnothing,1\rangle}:=V \]

construye, mediante Separación en \(I^*\times\mathcal P(\mathbb R)\), una función tipada \(W:I^*\to\mathcal P(\mathbb R)\). Todos sus valores son abiertos. Si \(x\in K\), o bien \(x\in F\), y entonces \(x\in A\) está cubierto por algún \(U_i\), o bien \(x\in\mathbb R\setminus F=V\). Por tanto \(W\) cubre \(K\).

La compacidad de \(K\) proporciona un conjunto finito \(J^*\subseteq I^*\) tal que \(K\subseteq\bigcup_{j\in J^*}W_j\). Retengamos sólo los índices originales que aparecen etiquetados:

\[ J:=\{i\in I:\ \langle i,0\rangle\in J^*\}. \]

La intersección \(H:=J^*\cap(I\times\{0\})\) es finita, al ser subconjunto de \(J^*\) (Lema §18.1.2 — Herencia, adjunción y unión de conjuntos finitos). La proyección tipada \(\langle i,0\rangle\mapsto i\) es una biyección \(H\to J\), cuyo grafo es definible por Separación; una biyección testigo de la finitud de \(H\) compuesta con esta proyección acredita que \(J\) es finito. No se eligió un representante de cada abierto: el primer componente del índice etiquetado está unívocamente determinado.

Por último, sea \(x\in A\). Algún \(j\in J^*\) satisface \(x\in W_j\); ese índice no puede ser el excepcional porque \(x\in F\) y \(W_{\langle\varnothing,1\rangle}=\mathbb R\setminus F\). Por tanto \(j=\langle i,0\rangle\) para cierto \(i\in J\) y \(x\in U_i\). Así \(A\subseteq\bigcup_{i\in J}U_i\). Como la cubierta inicial era arbitraria, \(A\) es compacto.

Para la última afirmación, si \(F\) es cerrado en \(\mathbb R\), el conjunto \(K\cap F\) es cerrado relativo a \(K\) por Definición §17.3.1 — Abiertos y cerrados relativos a un subconjunto de la recta y Proposición §17.3.2 — Criterio por bolas y representación de los cerrados relativos; aplicamos lo demostrado. \(\square\)

Corolario 18.2.3 — Casos degenerados y uniones finitas de intervalos

Para cualquier par \(a,b\in\mathbb R\), el conjunto definido por la notación de intervalo cerrado \([a,b]\) es compacto, incluido el caso \(a>b\), en el que es vacío. Toda unión finita de intervalos cerrados y acotados de la recta es compacta.

Demostración. Si \(a\le b\), aplicamos Teorema §18.2.1 — Todo intervalo cerrado y acotado es compacto. Si \(a>b\), la definición de intervalo da \([a,b]=\varnothing\), compacto por Proposición §18.1.5 — El vacío y los singletons son compactos. No existe un tercer caso por el orden total real. Sea ahora una familia de intervalos cerrados y acotados \(C:I\to\mathcal P(\mathbb R)\) cuyo conjunto de índices \(I\) sea finito. Cada \(C_i\) es compacto por la primera afirmación. La unión es compacta por la afirmación de unión finita de Corolario §18.1.7 — Todo conjunto finito de reales es compacto, reindexando si es necesario mediante una biyección testigo de la finitud de \(I\). El caso \(I=\varnothing\) vuelve a dar el conjunto vacío. \(\square\)

Transición. Hemos obtenido la dirección de suficiencia más importante para Heine–Borel: todos los intervalos \([a,b]\) son compactos, y todo cerrado que se encuentre dentro de uno de ellos hereda la compacidad. Aún no hemos demostrado que todo compacto real deba ser cerrado y acotado. Ése será el siguiente problema y permitirá reconocer la equivalencia exacta, sin convertirla retrospectivamente en una definición.

18.3. Teorema de Heine–Borel: equivalencia entre compacidad, cerradura y acotación

Hemos demostrado la compacidad de \([a,b]\) a partir del supremo (§18.2.1) y su transmisión a los cerrados relativos (§18.2.2). La recíproca exige trabajo: que un conjunto resista todas las cubiertas abiertas debe obligarlo, simultáneamente, a no escapar hacia infinito y a contener todos sus puntos de adherencia. Probaremos ambas necesidades sin recurrir a sucesiones ni a las equivalencias que todavía están pendientes. Aquí, «acotado» significa que el conjunto posee una cota inferior y una cota superior reales, conforme a la terminología de Definición §0.7.4 — Cotas superiores e inferiores.

Lema 18.3.1 — Mínimo positivo de una familia finita no vacía

Sean \(J\) un conjunto finito no vacío y \(r:J\to\mathbb R\) una función dada tal que \(r(j)>0\) para todo \(j\in J\). Entonces existe \(j_*\in J\) tal que

\[ \boxed{0<r(j_*)\le r(j)\quad\text{para todo }j\in J.} \]

En particular, el real \(\delta:=r(j_*)\) es positivo y sirve simultáneamente como cota inferior de los valores de la familia.

Demostración. Por finitud, fijemos una biyección \(e:n\to J\) para algún \(n\in\mathbb N\). La no vaciedad de \(J\) impide \(n=0\); el teorema del predecesor permite escribir \(n=k+1\). El elemento \(j_0:=e(0)\) pertenece a \(J\) y \(r(j_0)>0\).

Recorramos, mediante inducción finita, los prefijos no vacíos \(e[\{0,\ldots,h\}]\) de la enumeración, para \(0\le h<n\). La propiedad inductiva afirma que existe un elemento \(j_h\) de ese prefijo cuyo valor es menor o igual que el de todos sus miembros. El caso \(h=0\) queda acreditado por \(e(0)\). Si existe tal \(j_h\) y \(h+1<n\), comparamos los dos reales \(r(j_h)\) y \(r(e(h+1))\). Cuando el segundo es menor, el mínimo del prefijo ampliado lo alcanza \(e(h+1)\); en caso contrario lo sigue alcanzando \(j_h\). Se obtiene así el paso inductivo, sin escoger elementos de ninguna familia de conjuntos: sólo se compara un par de valores de una función ya dada. En el último prefijo, que es todo \(J\), existe un minimizador \(j_*\). Como \(j_*\in J\), la hipótesis da \(r(j_*)>0\). Las desigualdades restantes se obtienen de su minimalidad. \(\square\)

Observación. La finitud es esencial. Una familia infinita de reales positivos puede tener ínfimo cero y no proporcionar un radio común positivo. El lema únicamente afirma la existencia de un mínimo para una familia finita dada; no construye una selección simultánea de mínimos para una colección arbitraria de familias.

Proposición 18.3.2 — Todo compacto de la recta es acotado

Si \(K\subseteq\mathbb R\) es compacto, entonces existen \(a,b\in\mathbb R\) tales que

\[ \boxed{K\subseteq[a,b].} \]

En particular, \(K\) está acotado inferior y superiormente.

Demostración. Si \(K=\varnothing\), bastan \(a=b=0_{\mathbb R}\): el vacío está contenido en cualquier intervalo. Supongamos \(K\ne\varnothing\).

Reutilicemos la familia explícita de §18.1.8,

\[ U_n=\bigl(-\nu_{\mathbb R}(n+1),\nu_{\mathbb R}(n+1)\bigr), \qquad n\in\mathbb N. \]

Proposición §18.1.8 — La recta real no es compacta ya establece que todos sus miembros son abiertos y que su unión es \(\mathbb R\). Por tanto, esta misma familia es una cubierta abierta de \(K\). Su compacidad proporciona un subconjunto finito \(J\subseteq\mathbb N\) tal que

\[ K\subseteq\bigcup_{j\in J}U_j. \]

El conjunto \(J\) no puede ser vacío, ya que su unión sería vacía y \(K\) no lo es. El argumento de máximo de índices finitos desarrollado en la prueba de Proposición §18.1.8 — La recta real no es compacta proporciona \(m=\max J\). Para cada \(j\in J\), el orden de los numerales implica \(U_j\subseteq U_m\); así,

\[ K\subseteq U_m\subseteq \left[-\nu_{\mathbb R}(m+1),\nu_{\mathbb R}(m+1)\right]. \]

Los dos extremos son reales y constituyen las cotas requeridas. La elección de \(J\) es precisamente el testigo existencial de la compacidad para una sola cubierta fijada; ni se escoge un miembro para cada punto de \(K\) ni se emplea elección numerable. \(\square\)

Proposición 18.3.3 — Todo compacto de la recta es cerrado

Si \(K\subseteq\mathbb R\) es compacto, entonces \(K\) es cerrado en la recta; equivalentemente, \(\mathbb R\setminus K\) es abierto.

Demostración. Si \(K=\varnothing\), su complemento es toda \(\mathbb R\), abierto porque para cada \(x\in\mathbb R\) la bola \(B_1(x)\) está contenida en él. En adelante supongamos \(K\ne\varnothing\) y fijemos un punto arbitrario \(x\in\mathbb R\setminus K\). Demostraremos que existe \(\delta>0\) con \(B_\delta(x)\cap K=\varnothing\); ése es el criterio de cerrado de Proposición §15.3.6 — Criterio de cerradura mediante puntos exteriores.

1. Cubierta canónica de \(K\). Para cada \(y\in K\) se tiene \(y\ne x\), luego \(|x-y|>0\). Definamos de manera unívoca

\[ r_y:=\frac{|x-y|}{3}>0, \qquad U_y:=B_{r_y}(y). \]

El número \(3\) designa aquí el numeral real positivo \(\nu_{\mathbb R}(3)\). Las fórmulas determinan, por Separación en \(K\times\mathbb R\) y \(K\times\mathcal P(\mathbb R)\), funciones tipadas \(r:K\to\mathbb R\) y \(U:K\to\mathcal P(\mathbb R)\). No hemos elegido un radio para cada \(y\): cada radio es una expresión funcional de \(x\) e \(y\).

Todas las bolas \(U_y\) son abiertas por Teorema §15.2.5 — Toda bola abierta es un conjunto abierto; además \(y\in U_y\), por lo que

\[ K\subseteq\bigcup_{y\in K}U_y. \]

La compacidad de \(K\) da un conjunto finito \(J\subseteq K\) con \(K\subseteq\bigcup_{y\in J}U_y\). Como \(K\) es no vacío, necesariamente \(J\) también lo es.

2. Un radio común obtenido por finitud. Apliquemos Lema §18.3.1 — Mínimo positivo de una familia finita no vacía a la restricción \(r\upharpoonright J:J\to\mathbb R\). Existe \(y_*\in J\) tal que, con

\[ \delta:=r_{y_*}>0, \qquad \delta\le r_y\quad(y\in J), \]

la bola \(B_\delta(x)\) resulta disjunta de todos los miembros \(U_y\) que forman la subcubierta finita. En efecto, si existieran \(z\in B_\delta(x)\cap U_y\) para algún \(y\in J\), la desigualdad triangular daría

\[ |x-y|\le|x-z|+|z-y| <\delta+r_y\le2r_y<3r_y=|x-y|, \]

una contradicción. Como \(K\subseteq\bigcup_{y\in J}U_y\), obtenemos

\[ \boxed{B_\delta(x)\cap K=\varnothing.} \]

El punto \(x\) era arbitrario en el complemento; éste es abierto y \(K\) es cerrado. Se ha utilizado una única subcubierta finita para cada \(x\) fijado, dentro de una demostración existencial; no se ha formado una función que elija subcubiertas o radios para todos los puntos exteriores. \(\square\)

Sentido geométrico. Fuera de un compacto, cada punto está separado de él por una bola entera. La distancia al conjunto no se ha definido ni se ha supuesto que alcance un mínimo; el margen positivo resulta sólo de una cubierta canónica y de la finitud de una subcubierta.

Teorema 18.3.4 — Heine–Borel en la recta real

Para todo subconjunto \(K\subseteq\mathbb R\) son equivalentes:

1. \(K\) es compacto según la definición por cubiertas abiertas Definición §18.1.4 — Compacidad por cubiertas abiertas.
2. \(K\) es cerrado en \(\mathbb R\) y acotado inferior y superiormente.

En símbolos,

\[ \boxed{K\text{ compacto}\iff \bigl(K\text{ cerrado en }\mathbb R\bigr) \land\bigl(K\text{ acotado}\bigr).} \]

Demostración. Compacidad \(\Rightarrow\) cerradura y acotación. Si \(K\) es compacto, Proposición §18.3.2 — Todo compacto de la recta es acotado proporciona cotas reales inferior y superior, y Proposición §18.3.3 — Todo compacto de la recta es cerrado demuestra que \(K\) es cerrado en \(\mathbb R\). Ambas propiedades quedan acreditadas sin ninguna equivalencia secuencial.

Cerradura y acotación \(\Rightarrow\) compacidad. Supongamos que \(K\) es cerrado y acotado. Si \(K=\varnothing\), es compacto por Proposición §18.1.5 — El vacío y los singletons son compactos. Si \(K\ne\varnothing\), la acotación proporciona reales \(a,b\) tales que \(a\le x\le b\) para todo \(x\in K\). Fijando un único \(x_0\in K\), se sigue \(a\le x_0\le b\) y, por tanto, \(a\le b\). De aquí,

\[ K\subseteq[a,b],\qquad K=[a,b]\cap K. \]

Por Teorema §18.2.1 — Todo intervalo cerrado y acotado es compacto, el intervalo \([a,b]\) es compacto. Como \(K\) es cerrado en \(\mathbb R\), la igualdad anterior lo presenta como un cerrado relativo de \([a,b]\) conforme a Definición §17.3.1 — Abiertos y cerrados relativos a un subconjunto de la recta y Proposición §17.3.2 — Criterio por bolas y representación de los cerrados relativos. Aplicando Proposición §18.2.2 — Un cerrado relativo de un compacto es compacto, concluimos que \(K\) es compacto.

Se han demostrado ambas direcciones y los casos vacíos. El nombre Heine–Borel designa aquí esta caracterización obtenida como teorema, no una nueva definición de compacidad. \(\square\)

Consecuencias para la lectura. El intervalo abierto \((0,1)\) es acotado pero no cerrado y, por este teorema, no es compacto; \(\mathbb R\) es cerrado pero no acotado y tampoco es compacto. Un conjunto cerrado y acotado de la recta puede estar formado por varias piezas y no necesita ser un intervalo: la compacidad no implica conexidad. Estos contrastes no introducen ningún resultado de conexidad antes de su definición.

Transición. Heine–Borel proporciona una caracterización mediante el orden y la topología. La próxima unidad examinará otra perspectiva: qué puede afirmarse de las sucesiones contenidas en un compacto y cómo se relaciona esa propiedad con Bolzano–Weierstrass, sin convertir un criterio secuencial condicional bajo elección numerable en un resultado incondicional.

18.4. Compacidad secuencial y Bolzano–Weierstrass: alcance fundacional

Heine–Borel caracteriza los compactos de la recta mediante dos propiedades de conjuntos. Las sucesiones ofrecen una tercera perspectiva, pero exigen distinguir dos operaciones lógicas: extraer una subsucesión de una sucesión ya dada y fabricar una sucesión eligiendo un punto de cada uno de infinitos conjuntos no vacíos. La primera operación puede realizarse en nuestro desarrollo sin elección, gracias a la bisección canónica de §13.11. La segunda, para subconjuntos arbitrarios de \(\mathbb R\), no está autorizada por ZF sin hipótesis adicional.

Definición 18.4.1 — Compacidad secuencial de un subconjunto de la recta

Un conjunto \(K\subseteq\mathbb R\) es secuencialmente compacto si para toda función \(s:\mathbb N\to\mathbb R\) cuyos términos pertenecen a \(K\) existen un selector estrictamente creciente \(\varphi:\mathbb N\to\mathbb N\) y un punto \(\ell\in K\) tales que la subsucesión \(s\circ\varphi\) converge a \(\ell\):

\[ \boxed{\begin{gathered} \forall s:\mathbb N\to\mathbb R,\quad \bigl[(\forall n\in\mathbb N)\ s_n\in K\bigr] \Longrightarrow\\ \exists\varphi:\mathbb N\to\mathbb N\ \exists\ell\in K:\quad \bigl[(\forall n)\ \varphi(n)<\varphi(n+1)\bigr] \land s_{\varphi(n)}\longrightarrow\ell. \end{gathered}} \]

La definición reutiliza los selectores y las subsucesiones tipadas de Definición §13.9.1 — Selector de índices de subsucesión–Definición §13.9.3 — Subsucesión de una sucesión real. La flecha de límite es la convergencia real de Definición §13.3.1 — Convergencia de una sucesión real. El límite debe pertenecer a \(K\): obtener sólo una subsucesión convergente en la recta es una afirmación distinta. En particular, para \(K=\varnothing\) no existe ninguna sucesión \(\mathbb N\to\mathbb R\) con todos sus términos en \(K\) (pues \(0\in\mathbb N\)); la condición universal es verdadera, de modo que el vacío es secuencialmente compacto.

Teorema 18.4.2 — Todo compacto real es secuencialmente compacto

Para todo \(K\subseteq\mathbb R\),

\[ \boxed{K\text{ compacto}\Longrightarrow K\text{ secuencialmente compacto}.} \]

Demostración. Sea \(K\) compacto. Por Proposición §18.3.2 — Todo compacto de la recta es acotado, \(K\) es acotado; por Proposición §18.3.3 — Todo compacto de la recta es cerrado, es cerrado. Fijemos una sucesión dada \(s:\mathbb N\to\mathbb R\) con \(s_n\in K\) para todo \(n\). Si \(K=\varnothing\), tal sucesión no existe y no hay nada que demostrar. En el caso no vacío, las cotas de \(K\) son también cotas de \(s\), de manera que \(s\) es una sucesión acotada en el sentido de Definición §13.4.1 — Sucesiones acotadas superiormente, inferiormente y acotadas.

El teorema de Bolzano–Weierstrass ya cerrado, Teorema §13.11.5 — Bolzano–Weierstrass para sucesiones reales, proporciona un selector estrictamente creciente \(\varphi:\mathbb N\to\mathbb N\) y un real \(\ell\) tales que

\[ s_{\varphi(n)}\longrightarrow\ell. \]

Cada término de esta subsucesión pertenece a \(K\), pues \(\varphi(n)\in\mathbb N\) y todos los términos de \(s\) pertenecen a \(K\). La dirección incondicional del criterio de cerradura Teorema §15.8.8 — Criterios secuenciales de cerradura y apertura: alcance exacto afirma que el límite de cualquier sucesión convergente contenida en un cerrado está en dicho cerrado. Por tanto, \(\ell\in K\). El selector y el límite satisfacen exactamente Definición §18.4.1 — Compacidad secuencial de un subconjunto de la recta.

Control de elección. La sucesión \(s\) era un dato, no el producto de una selección. La construcción de la subsucesión se delega a Teorema §13.11.5 — Bolzano–Weierstrass para sucesiones reales, cuya prueba utiliza bisección determinista e índices naturales mínimos. La aplicación de cerradura sólo considera la subsucesión ya obtenida. No se escogieron puntos de una familia numerable de subconjuntos arbitrarios de \(\mathbb R\). \(\square\)

Relación con Bolzano–Weierstrass. Este último teorema garantiza, para toda sucesión acotada, una subsucesión convergente en \(\mathbb R\); la cerradura de \(K\) es el paso adicional que coloca su límite dentro de \(K\). La compacidad por cubiertas proporciona ambas hipótesis mediante §§18.3.2–18.3.3.

Proposición 18.4.3 — Acotación secuencial bajo elección numerable explícita

Bajo la hipótesis adicional \(\mathrm{CC}(\mathbb R)\) formulada en Teorema §15.8.9 — Formulaciones habituales bajo una hipótesis de elección explícita, todo conjunto secuencialmente compacto \(K\subseteq\mathbb R\) es acotado. Esta hipótesis es local al enunciado y no se adopta como axioma del tratado.

Demostración condicional. Supongamos \(K\) secuencialmente compacto y no acotado. Para cada \(n\in\mathbb N\) definamos

\[ E_n:=\{x\in K:|x|>\nu_{\mathbb R}(n)\}. \]

Estos conjuntos existen por Separación, y la dependencia unívoca de \(n\) permite constituir una función \(E:\mathbb N\to\mathcal P(\mathbb R)\) mediante su grafo. Cada \(E_n\) es no vacío: si alguno fuese vacío, tendríamos \(|x|\le\nu_{\mathbb R}(n)\) para todo \(x\in K\), y por las propiedades del valor absoluto \(K\) estaría contenido en el intervalo acotado \([-\nu_{\mathbb R}(n),\nu_{\mathbb R}(n)]\), contra la hipótesis.

Éste es el único paso que requiere elección numerable: por \(\mathrm{CC}(\mathbb R)\) obtenemos una función \(s:\mathbb N\to\mathbb R\) con \(s_n\in E_n\) para cada \(n\); en particular,

\[ s_n\in K,\qquad |s_n|>\nu_{\mathbb R}(n). \]

La compacidad secuencial da una subsucesión \(s_{\varphi(k)}\) convergente. Por Teorema §13.4.5 — Toda sucesión real convergente es acotada, dicha subsucesión es acotada: existe \(M>0\) con \(|s_{\varphi(k)}|\le M\) para todo \(k\). Pero Proposición §13.9.2 — Crecimiento, inyectividad y cofinalidad de los selectores de índices garantiza \(\varphi(k)\ge k\); como los numerales reales preservan el orden,

\[ |s_{\varphi(k)}|>\nu_{\mathbb R}(\varphi(k)) \ge\nu_{\mathbb R}(k). \]

La propiedad arquimediana proporciona un \(k\) con \(\nu_{\mathbb R}(k)>M\), contradicción. Así \(K\) es acotado bajo la hipótesis indicada. \(\square\)

Proposición 18.4.4 — Cerradura secuencial bajo elección numerable explícita

Bajo la misma hipótesis adicional \(\mathrm{CC}(\mathbb R)\), todo conjunto secuencialmente compacto \(K\subseteq\mathbb R\) es cerrado en \(\mathbb R\). Tampoco aquí se adopta la hipótesis globalmente.

Demostración condicional. Supongamos que \(K\) es secuencialmente compacto, pero no cerrado. Por el criterio de cerrado Proposición §15.3.6 — Criterio de cerradura mediante puntos exteriores existe un \(x\in\mathbb R\setminus K\) tal que toda bola \(B_r(x)\) de radio positivo corta a \(K\): de lo contrario el complemento sería abierto en cada uno de sus puntos.

Para \(n\in\mathbb N\), sea \(\rho_n:=(\nu_{\mathbb R}(n+1))^{-1}>0\) y definamos el conjunto no vacío

\[ E_n:=K\cap B_{\rho_n}(x). \]

El grafo de \(E:\mathbb N\to\mathcal P(\mathbb R)\) se obtiene por Separación y los radios están determinados por una fórmula, sin selección. Aplicamos explícitamente \(\mathrm{CC}(\mathbb R)\) a esta familia: existe una sucesión \(s:\mathbb N\to\mathbb R\) con \(s_n\in E_n\) para todo \(n\). Se cumple entonces

\[ s_n\in K,\qquad |s_n-x|<\rho_n. \]

Como \(\rho_n\to0\) por Lema §13.10.2 — Los recíprocos de los numerales positivos tienden a cero aplicada al cuerpo real, se sigue directamente de la definición \(\varepsilon\)–\(N\) que \(s_n\to x\). La compacidad secuencial proporciona un selector creciente \(\varphi\) y un límite \(\ell\in K\) con \(s_{\varphi(n)}\to\ell\). Por Teorema §13.9.5 — Toda subsucesión de una sucesión convergente converge al mismo límite, también \(s_{\varphi(n)}\to x\). La unicidad del límite Teorema §13.3.5 — Unicidad del límite real implica \(\ell=x\), contradictorio con \(\ell\in K\) y \(x\notin K\). Concluimos que \(K\) es cerrado bajo \(\mathrm{CC}(\mathbb R)\). \(\square\)

Teorema 18.4.5 — Equivalencia secuencial de Heine–Borel, formulación condicional

Si se supone \(\mathrm{CC}(\mathbb R)\), para todo \(K\subseteq\mathbb R\) son equivalentes las tres propiedades:

1. \(K\) es compacto por cubiertas abiertas.
2. \(K\) es cerrado y acotado.
3. \(K\) es secuencialmente compacto.

Demostración condicional. La equivalencia entre (1) y (2) es el teorema de Heine–Borel Teorema §18.3.4 — Heine–Borel en la recta real, demostrado sin elección. La implicación (1) \(\Rightarrow\) (3) es Teorema §18.4.2 — Todo compacto real es secuencialmente compacto, también incondicional. Para (3) \(\Rightarrow\) (2) se utilizan Proposición §18.4.3 — Acotación secuencial bajo elección numerable explícita y Proposición §18.4.4 — Cerradura secuencial bajo elección numerable explícita, ambas exclusivamente bajo la hipótesis adicional indicada. Finalmente, (2) \(\Rightarrow\) (1) es de nuevo Heine–Borel. Esto cierra las tres equivalencias bajo \(\mathrm{CC}(\mathbb R)\), sin cambiar el fundamento general del tratado. \(\square\)

Alcance exacto. En ZF con lógica clásica, el tratado dispone ya de \(K\) compacto \(\Rightarrow\) \(K\) secuencialmente compacto y de cerrado y acotado \(\Leftrightarrow\) compacto. La recíproca secuencial establecida en esta sección tiene una hipótesis explícita adicional. No es correcto omitirla al citar el teorema ni trasladar sin prueba una equivalencia topológica familiar a nuestro marco fundacional. La diferencia aparece al intentar construir, a partir de una condición existencial en cada vecindad o en cada región lejana, una sola sucesión de testigos.

Transición. Regresamos ahora a las cubiertas abiertas: la siguiente unidad demostrará que la imagen de un compacto bajo una función continua vuelve a ser compacta. Esta prueba utilizará preimágenes de abiertos y una subcubierta finita; no necesitará ninguna equivalencia secuencial ni \(\mathrm{CC}(\mathbb R)\).

18.5. Imágenes continuas de compactos y valores extremos

Una función continua transforma información local sobre abiertos del codominio en información local sobre su dominio. La compacidad convierte esa correspondencia en un principio global: si una cubierta cubre los valores de la función, sus preimágenes cubren los argumentos, y bastan finalmente los mismos índices finitos para cubrir unos y otros. Debemos respetar que las preimágenes son abiertas relativas al dominio, mientras que nuestra definición de compacidad utiliza abiertos de toda la recta.

Teorema 18.5.1 — La imagen continua de un compacto es compacta

Sea \(f:D\to\mathbb R\) una función continua en todos los puntos de \(D\subseteq\mathbb R\). Si \(K\subseteq D\) es compacto, su imagen \(f[K]\subseteq\mathbb R\) es compacta. La afirmación comprende \(K=\varnothing\) y no exige que \(D\) sea abierto, cerrado o compacto.

Demostración. 1. Una cubierta de la imagen. Fijemos una cubierta abierta arbitraria \(U:I\to\mathcal P(\mathbb R)\) de \(f[K]\). Así, todos los \(U_i\) son abiertos en \(\mathbb R\) y

\[ f[K]\subseteq\bigcup_{i\in I}U_i. \]

La imagen existe por Definición §0.6.9 — Imagen y preimagen: concretamente, \(f[K]=\{y\in\mathbb R:\exists x\in K,\ f(x)=y\}\). No hemos sustituido el codominio de \(f\) por su imagen: \(f\) sigue siendo la función tipada \(D\to\mathbb R\).

2. Preimágenes relativas y levantamiento canónico. Sea \(h:=f\upharpoonright K:K\to\mathbb R\), la restricción en el sentido de Definición §1.3.1 — Restricción de una función. Es continua por Corolario §17.4.6 — Clausura global, restricciones y cocientes. Para cada \(i\in I\) definamos

\[ A_i:=h^{-1}[U_i]=\{x\in K:f(x)\in U_i\}. \]

Por Teorema §17.3.4 — Caracterización global por preimágenes de abiertos, \(A_i\) es abierto relativo a \(K\). La compacidad de \(K\) implica que \(K\) es cerrado en \(\mathbb R\) (Proposición §18.3.3 — Todo compacto de la recta es cerrado). En consecuencia, el conjunto determinado sin ninguna selección

\[ \boxed{W_i:=(\mathbb R\setminus K)\cup A_i} \]

es abierto en \(\mathbb R\). En efecto, un punto de \(\mathbb R\setminus K\) dispone de una bola contenida en ese complemento. Si \(x\in A_i\), la apertura relativa proporciona, para este índice fijo, un abierto ambiente \(O\) con \(A_i=K\cap O\); por tanto, \(x\in O\) y \(O\subseteq(\mathbb R\setminus K)\cup A_i=W_i\). De esta manera cada punto de \(W_i\) tiene un entorno abierto contenido en \(W_i\), sin haber seleccionado simultáneamente un abierto \(O_i\) para todos los índices. Además,

\[ K\cap W_i=A_i. \]

Los \(A_i\) y \(W_i\) son subconjuntos únicos de \(\mathbb R\) dados por fórmulas con parámetros \(h,U,i,K\). Por Separación en \(I\times\mathcal P(\mathbb R)\) sus pares de valores constituyen funciones tipadas \(A,W:I\to\mathcal P(\mathbb R)\). No se aplica un principio de elección para construir estas familias.

3. Aplicación de la compacidad y devolución de los índices. Sea \(x\in K\). Como \(f(x)\in f[K]\), la cubierta inicial suministra un índice \(i\in I\) con \(f(x)\in U_i\); luego \(x\in A_i\subseteq W_i\). Por ello

\[ K\subseteq\bigcup_{i\in I}W_i. \]

La compacidad de \(K\) entrega un único conjunto finito \(J\subseteq I\) tal que \(K\subseteq\bigcup_{j\in J}W_j\). Tomemos ahora un \(y\in f[K]\) arbitrario. Por definición de imagen existe \(x\in K\) con \(y=f(x)\); la cobertura finita de \(K\) proporciona algún \(j\in J\) con \(x\in W_j\). Como \(x\in K\), la identidad \(K\cap W_j=A_j\) implica \(x\in A_j\), es decir, \(y=f(x)\in U_j\). Hemos demostrado

\[ \boxed{f[K]\subseteq\bigcup_{j\in J}U_j,\qquad J\subseteq I\text{ finito}.} \]

La familia restringida \(U\upharpoonright J\) es por tanto una subcubierta finita de la cubierta inicial. Como ésta era arbitraria, \(f[K]\) es compacto. Si \(K=\varnothing\), también \(f[K]=\varnothing\) y sirve \(J=\varnothing\); el argumento general sigue siendo válido, incluso cuando \(I=\varnothing\). La prueba no usa la compacidad secuencial ni ninguna forma de elección. \(\square\)

Lectura de la prueba. No basta declarar que las preimágenes de los abiertos son abiertas: sólo sabemos que son abiertas respecto de \(K\). El complemento abierto del compacto permite convertirlas mediante una fórmula en abiertos ambientales, sin cambiar el conjunto de índices. La subcubierta finita de los argumentos se convierte así en una subcubierta finita de los valores.

Corolario 18.5.2 — La imagen continua es cerrada y acotada

Bajo las hipótesis del teorema anterior, \(f[K]\) es cerrado en \(\mathbb R\) y acotado inferior y superiormente. En particular, si \(K\ne\varnothing\), existen \(L,H\in\mathbb R\) tales que

\[ \forall x\in K:\quad L\le f(x)\le H. \]

Demostración. Por Teorema §18.5.1 — La imagen continua de un compacto es compacta, \(f[K]\) es compacto. Sus propiedades de cerradura y acotación son, respectivamente, Proposición §18.3.3 — Todo compacto de la recta es cerrado y Proposición §18.3.2 — Todo compacto de la recta es acotado, o conjuntamente la dirección pertinente de Heine–Borel Teorema §18.3.4 — Heine–Borel en la recta real. Las cotas obtenidas se aplican a \(f(x)\) porque \(f(x)\in f[K]\) para cada \(x\in K\). La imagen vacía también es cerrada y acotada, pero no se le atribuye punto de máximo o mínimo. \(\square\)

Lema 18.5.3 — Los extremos de un compacto no vacío le pertenecen

Si \(S\subseteq\mathbb R\) es compacto y no vacío, existen \(m,M\in S\) tales que

\[ \boxed{m=\inf S=\min S,\qquad M=\sup S=\max S.} \]

Demostración. Por Proposición §18.3.2 — Todo compacto de la recta es acotado, \(S\) tiene cotas inferior y superior. Como es no vacío y \(\mathbb R\) es un cuerpo ordenado completo (Teorema §12.8.1 — Existencia y caracterización única de la completación ordenada de \(\mathbb Q\)), la propiedad del supremo (Definición §4.6.1 — Propiedad del supremo y cuerpo ordenado completo) proporciona \(M=\sup S\), y la propiedad del ínfimo (Proposición §4.6.2 — La propiedad del supremo implica la propiedad del ínfimo) proporciona \(m=\inf S\). Se cumplen \(m\le y\le M\) para todo \(y\in S\). Falta probar que ambos extremos pertenecen al conjunto.

Supongamos \(M\notin S\). El conjunto \(S\) es cerrado por Proposición §18.3.3 — Todo compacto de la recta es cerrado; el criterio exterior Proposición §15.3.6 — Criterio de cerradura mediante puntos exteriores proporciona \(r>0\) tal que

\[ B_r(M)\cap S=\varnothing. \]

Como \(M-r/2<M\), ese número no puede ser cota superior de \(S\): si lo fuese, contradiría la minimalidad de \(M\). Por tanto existe \(y\in S\) con \(y>M-r/2\). A la vez \(y\le M\), de donde

\[ |y-M|=M-y<r/2<r. \]

Esto coloca \(y\) en \(B_r(M)\cap S\), contradicción. Luego \(M\in S\) y, siendo cota superior, \(M=\max S\).

Si \(m\notin S\), existe de modo análogo un radio \(s>0\) con \(B_s(m)\cap S=\varnothing\). La desigualdad \(m+s/2>m\) impide que \(m+s/2\) sea cota inferior, pues \(m\) es la mayor de ellas. Existe entonces \(z\in S\) con \(z<m+s/2\); como \(m\le z\), tenemos \(|z-m|=z-m<s/2<s\), contradicción. En consecuencia \(m\in S\) y \(m=\min S\). Sólo se han usado dos argumentos existenciales independientes y ningún selector para una colección de conjuntos. \(\square\)

Teorema 18.5.4 — Teorema del valor extremo: Weierstrass

Sea \(f:D\to\mathbb R\) continua en \(D\) y sea \(K\subseteq D\) compacto y no vacío. Entonces existen \(x_-,x_+\in K\) tales que

\[ \boxed{\forall x\in K:\quad f(x_-)\le f(x)\le f(x_+).} \]

Equivalentemente, la restricción \(f\upharpoonright K:K\to\mathbb R\) alcanza sus valores mínimo y máximo sobre \(K\). No se afirma que los puntos \(x_-\) y \(x_+\) sean únicos ni que sean distintos.

Demostración. Al ser \(K\ne\varnothing\), fijar un punto \(a\in K\) muestra que \(f(a)\in f[K]\), de modo que la imagen tampoco es vacía. Es compacta por Teorema §18.5.1 — La imagen continua de un compacto es compacta. El lema anterior proporciona valores \(m,M\in f[K]\) con

\[ m\le y\le M\qquad(y\in f[K]). \]

Por la definición de imagen, \(m\in f[K]\) significa que existe un punto \(x_-\in K\) tal que \(f(x_-)=m\); análogamente, \(M\in f[K]\) proporciona \(x_+\in K\) con \(f(x_+)=M\). Para todo \(x\in K\), el valor \(f(x)\) pertenece a \(f[K]\), luego

\[ f(x_-)=m\le f(x)\le M=f(x_+). \]

La prueba extrae dos testigos de dos afirmaciones existenciales concretas; no selecciona una preimagen para cada valor de \(f[K]\). Si \(K\) fuese vacío no existirían \(x_-,x_+\): por eso la no vaciedad es una hipótesis esencial, no una convención. \(\square\)

Caso fundamental. Cuando \(a\le b\), el intervalo \([a,b]\) es compacto por Teorema §18.2.1 — Todo intervalo cerrado y acotado es compacto. Si además \(a\le b\) garantiza que contiene al menos \(a\), toda función continua \(f:[a,b]\to\mathbb R\) alcanza máximo y mínimo. No se exige continuidad fuera del intervalo ni se atribuyen necesariamente esos extremos a los puntos \(a,b\).

Corolario 18.5.5 — Separación uniforme respecto del cero

Sea \(K\subseteq\mathbb R\) compacto no vacío, y sean \(f,g:K\to\mathbb R\) continuas. Si \(f(x)\ne0\) para todo \(x\in K\), existe un real \(m>0\) tal que

\[ \boxed{\forall x\in K:\quad |f(x)|\ge m>0.} \]

En consecuencia, \(1/f:K\to\mathbb R\) es una función bien definida y acotada por \(|(1/f)(x)|\le1/m\). Además, \(g/f:K\to\mathbb R\) es continua y acotada. Cuando \(f(x)>0\) en todo \(K\), la primera desigualdad puede escribirse \(f(x)\ge m\).

Demostración. La operación puntual de valor absoluto, existente en Proposición §16.3.2 — Existencia y tipado de las operaciones puntuales, da \(|f|:K\to\mathbb R\), continua por Teorema §17.4.3 — Estabilidad de la continuidad bajo operaciones algebraicas y valor absoluto. Apliquemos el teorema del valor extremo a esta función: existe \(x_0\in K\) tal que

\[ m:=|f(x_0)|=\min\{|f(x)|:x\in K\}. \]

La hipótesis \(f(x_0)\ne0\) implica \(m>0\). Por minimalidad, \(|f(x)|\ge m\) para todo \(x\in K\). Como no hay ceros en \(K\), el dominio efectivo de \(1/f\) y de \(g/f\) definido en §16.3.2 es exactamente \(K\), no un subconjunto propio que deba ser identificado con él. La continuidad de ambos cocientes resulta de Teorema §17.4.4 — Continuidad del recíproco y del cociente en sus dominios efectivos. Por las reglas de valor absoluto y el orden de inversos positivos,

\[ \left|\frac1{f(x)}\right|=\frac1{|f(x)|}\le\frac1m. \]

Finalmente, Corolario §18.5.2 — La imagen continua es cerrada y acotada aplicado a \(g\) proporciona una cota \(H>0\) con \(|g(x)|\le H\) para todo \(x\in K\) (si las dos cotas de la imagen son \(L_0,H_0\), basta tomar \(H=|L_0|+|H_0|+1\)). Entonces \(|g(x)/f(x)|\le H/m\) para todo \(x\in K\), y el cociente es acotado. Si \(f>0\), su valor absoluto coincide con \(f\), lo que da la formulación final. \(\square\)

Transición. La imagen continua de un compacto es compacta; por ello hay cotas y, si no está vacía, valores extremos alcanzados. El siguiente resultado global relacionará otra vez continuidad y compacidad, pero ya no buscará un valor extremo: demostrará que, sobre un compacto, los radios de continuidad puntual se pueden reemplazar por un radio que funciona simultáneamente para todos sus puntos (teorema de Heine–Cantor).

18.6. Heine–Cantor: la compacidad uniformiza la continuidad

En §17.6 distinguimos dos órdenes de cuantificadores: la continuidad puntual permite un radio diferente en cada centro, mientras que la continuidad uniforme exige un único radio para todos los pares de puntos del dominio. La compacidad permite pasar de la primera condición a la segunda. La dificultad fundacional consiste en que no podemos escoger sin más un radio para cada punto de un conjunto arbitrario. En lugar de postular una función de radios, reuniremos todos los pares centro-radio que satisfacen la condición local; esa familia existe mediante Separación y será una cubierta abierta indexada. La compacidad reducirá la familia a una cantidad finita de pares, cuyos radios sí tienen un mínimo positivo.

Teorema 18.6.1 — Heine–Cantor en la recta

Sean \(D\subseteq\mathbb R\), \(f:D\to\mathbb R\) y \(K\subseteq D\) un conjunto compacto. Si \(f\) es continua en cada punto de \(K\) relativamente al dominio \(D\), entonces la restricción tipada \(h:=f\upharpoonright K:K\to\mathbb R\) es uniformemente continua en \(K\). En particular, si \(f:K\to\mathbb R\) es continua en todo \(K\) compacto, entonces es uniformemente continua:

\[ \boxed{\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0\ \forall x,y\in K:\quad |x-y|<\delta\Longrightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon.} \]

No se exige que \(D\) sea compacto ni que \(K\) sea un intervalo. La afirmación incluye el compacto vacío.

Demostración. 1. Reducción al dominio compacto y caso vacío. La restricción \(h=f\upharpoonright K\) existe como función \(K\to\mathbb R\) por Definición §1.3.1 — Restricción de una función. La continuidad de \(f\) en cada punto de \(K\), con argumentos permitidos en \(D\), implica la de \(h\) en cada punto de \(K\) porque todo \(z\in K\) pertenece a \(D\) y \(h(z)=f(z)\). Fijemos \(\varepsilon>0\). Si \(K=\varnothing\), el número \(\delta=1\) verifica la definición Definición §17.6.1 — Continuidad uniforme relativa a un dominio por vacuidad; no hacen falta cubiertas ni mínimos. En adelante supongamos \(K\ne\varnothing\).

2. La familia canónica de todos los radios admisibles. Sea \(\mathbb R_{>0}:=\{r\in\mathbb R:r>0\}\), subconjunto existente por Separación. Construyamos el siguiente conjunto de índices sin escoger una aplicación \(a\mapsto r_a\):

\[ \begin{aligned} I_{\varepsilon}:=\bigl\{\langle a,r\rangle\in K\times\mathbb R_{>0}:\quad &\forall z\in K,\\[-2pt] & |z-a|<2r\Longrightarrow |h(z)-h(a)|<\varepsilon/2\bigr\}. \end{aligned} \]

El producto \(K\times\mathbb R_{>0}\) es un conjunto; su subconjunto \(I_\varepsilon\) existe por Separación, pues la condición escrita es una fórmula cuyos cuantificadores sobre puntos están acotados por \(K\). Para cada índice \(i=\langle a,r\rangle\in I_\varepsilon\), definamos el abierto ambiente

\[ U_i:=B_r(a)=\{z\in\mathbb R:|z-a|<r\}. \]

La unicidad de las componentes del par ordenado hace que la regla \(i\mapsto U_i\) sea funcional. Su grafo se obtiene por Separación en \(I_\varepsilon\times\mathcal P(\mathbb R)\): queda construida una función tipada \(U:I_\varepsilon\to\mathcal P(\mathbb R)\). Cada miembro es abierto por la definición de bola y de abierto, ya cerradas en el capítulo 15.

3. Verificación de la cobertura, punto por punto pero sin elección simultánea. Sea \(a\in K\) arbitrario. Por la continuidad de \(h\) en \(a\) aplicada a la tolerancia positiva \(\varepsilon/2\), existe \(\eta>0\) tal que

\[ \forall z\in K:\quad |z-a|<\eta\Longrightarrow |h(z)-h(a)|<\varepsilon/2. \]

Para este punto fijo, el radio \(r:=\eta/2>0\) satisface \(2r=\eta\), de modo que \(\langle a,r\rangle\in I_\varepsilon\) y \(a\in U_{\langle a,r\rangle}\). Como \(a\) era arbitrario, hemos probado la cobertura

\[ K\subseteq\bigcup_{i\in I_\varepsilon}U_i. \]

Se ha demostrado \(\forall a\in K\ \exists r>0\) en una relación ya definida; no se ha convertido esta afirmación en una función global que seleccione radios. Además, como \(K\ne\varnothing\), toda subcubierta de \(K\) debe tener algún índice.

4. Finitud y mínimo positivo. Por compacidad (Definición §18.1.4 — Compacidad por cubiertas abiertas), existe un solo subconjunto finito \(J\subseteq I_\varepsilon\) tal que

\[ K\subseteq\bigcup_{i\in J}U_i. \]

Como \(K\ne\varnothing\), \(J\ne\varnothing\). Para \(i=\langle a,r\rangle\in J\) definamos \(\rho(i):=r\). La regla de segunda proyección, restringida a \(J\), constituye una función tipada \(\rho:J\to\mathbb R_{>0}\) mediante su grafo; sus valores son estrictamente positivos. El lema finito Lema §18.3.1 — Mínimo positivo de una familia finita no vacía proporciona un mínimo alcanzado de estos radios:

\[ \delta:=\min\{\rho(i):i\in J\}>0, \qquad\delta\le\rho(i)\quad(i\in J). \]

Se toma el mínimo de la familia finita concreta entregada por una sola aplicación de compacidad; no se infiere que el ínfimo de una familia infinita de radios positivos sea positivo.

5. Un mismo radio para todos los pares. Sean \(x,y\in K\) tales que \(|x-y|<\delta\). La cobertura finita proporciona, para este \(x\), un índice \(i=\langle a,r\rangle\in J\) con \(x\in U_i\), es decir, \(|x-a|<r\). Puesto que \(r=\rho(i)\ge\delta\), la desigualdad triangular da

\[ |y-a|\le |y-x|+|x-a|<\delta+r\le 2r. \]

La propiedad que define \(i\in I_\varepsilon\) puede aplicarse tanto a \(x\) (porque \(|x-a|<r<2r\)) como a \(y\) (porque \(|y-a|<2r\)). Por consiguiente,

\[ |h(x)-h(a)|<\varepsilon/2, \qquad |h(y)-h(a)|<\varepsilon/2. \]

Una segunda aplicación de la desigualdad triangular concluye

\[ |h(x)-h(y)|\le|h(x)-h(a)|+|h(a)-h(y)| <\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon. \]

El número \(\delta\) se fijó antes de considerar los puntos \(x,y\) y sólo depende de \(\varepsilon\), la función y el compacto fijados. Es exactamente el orden de cuantificadores de Definición §17.6.1 — Continuidad uniforme relativa a un dominio. El argumento no utiliza compacidad secuencial ni \mathrm{CC}(\mathbb R) y no supone ningún principio de elección. \(\square\)

Lectura de la demostración. La cubierta está formada por bolas pequeñas \(B_r(a)\), pero cada índice conserva información adicional: la estimación de continuidad vale en la bola dos veces mayor \(B_{2r}(a)\cap K\). El mínimo de los radios de una subcubierta finita asegura que dos puntos suficientemente próximos, aunque su centro varíe, se comparan con un mismo \(a\). Indexar por todos los pares admisibles, y no por una elección de un radio por punto, es lo que mantiene válida la prueba en ZF.

Corolario 18.6.2 — Funciones continuas sobre cerrados acotados e intervalos cerrados

Si \(K\subseteq\mathbb R\) es cerrado y acotado, toda función continua \(f:K\to\mathbb R\) es uniformemente continua. En particular, si \(a\le b\), toda función continua \(f:[a,b]\to\mathbb R\) es uniformemente continua en \([a,b]\). Lo mismo vale para la restricción a \(K\) de una función continua en un dominio \(D\) que contiene a \(K\).

Demostración. Heine–Borel Teorema §18.3.4 — Heine–Borel en la recta real convierte la cerradura y acotación de \(K\) en compacidad. Apliquemos Teorema §18.6.1 — Heine–Cantor en la recta a \(f\) (o a su restricción tipada, si \(f\) está definida sobre un dominio mayor). Si \(a\le b\), el teorema Teorema §18.2.1 — Todo intervalo cerrado y acotado es compacto aporta directamente la compacidad de \([a,b]\) y de nuevo se aplica Heine–Cantor. El conjunto vacío no requiere excepción: la continuidad uniforme es vacía en ese caso. \(\square\)

La acotación sola no basta. El recíproco \(x\mapsto1/x\) es continuo pero no uniformemente continuo en \((0,1]\), según Proposición §17.6.7 — Dos funciones continuas que no son uniformemente continuas: este dominio está acotado pero no es cerrado. La cerradura sola tampoco basta: \(x\mapsto x^2\) es continuo pero no uniformemente continuo en \(\mathbb R\), también por Proposición §17.6.7 — Dos funciones continuas que no son uniformemente continuas. El teorema garantiza un radio uniforme mediante ambas condiciones, sin afirmar que sean necesarias para cada función; por ejemplo, la identidad es uniformemente continua en toda la recta.

Corolario 18.6.3 — Uniformidad de los cocientes sin ceros en un compacto

Sean \(D\subseteq\mathbb R\), \(f,g:D\to\mathbb R\) continuas y \(K\subseteq D\) compacto no vacío. Supongamos que \(g(x)\ne0\) para todo \(x\in K\). Entonces existe \(m>0\) tal que \(|g(x)|\ge m\) en \(K\) y las funciones tipadas

\[ \left(\frac1g\right)\!\upharpoonright K:K\to\mathbb R, \qquad \left(\frac fg\right)\!\upharpoonright K:K\to\mathbb R \]

son uniformemente continuas. Las restricciones aquí se toman de las funciones recíproca y cociente cuyos dominios efectivos en \(D\) son los puntos donde \(g\ne0\); ambas restricciones tienen exactamente el dominio \(K\).

Demostración. Las restricciones \(f_K:=f\upharpoonright K\) y \(g_K:=g\upharpoonright K\), ambas funciones \(K\to\mathbb R\), son continuas por herencia de continuidad. El corolario Corolario §18.5.5 — Separación uniforme respecto del cero, aplicado con denominador \(g_K\) y numerador \(f_K\), proporciona \(m>0\) con \(|g_K(x)|\ge m\) para todo \(x\in K\). Heine–Cantor Teorema §18.6.1 — Heine–Cantor en la recta muestra que \(f_K\) y \(g_K\) son uniformemente continuas. Asimismo, Corolario §18.5.2 — La imagen continua es cerrada y acotada asegura que \(f_K\) está acotada en \(K\). Se cumplen, por tanto, las hipótesis exactas del apartado de cocientes de Teorema §17.6.4 — Operaciones algebraicas uniformes: hipótesis globales exactas: sobre el conjunto efectivo \(\{x\in K:g_K(x)\ne0\}=K\), tanto \(1/g_K\) como \(f_K/g_K\) son uniformemente continuas. Sus valores, dominios y codominios coinciden con los de las restricciones enunciadas, de modo que coinciden como funciones tipadas, no sólo punto a punto. \(\square\)

Transición. La compacidad ya proporciona tres resultados globales distintos: imágenes compactas, extremos alcanzados y continuidad uniforme. Ninguno afirma todavía que el conjunto de partida sea indivisible. Para llegar al teorema del valor intermedio habrá que introducir la conexidad de un subconjunto de la recta y demostrar que sus conjuntos conexos son precisamente los intervalos.

18.7. Conexidad de los subconjuntos de la recta

La compacidad controla cubiertas y produce consecuencias cuantitativas; la conexidad responde a una pregunta de otra índole. Un subconjunto \(E\) de la recta es conexo cuando no puede repartirse en dos partes no vacías que sean abiertas dentro del propio \(E\). La precisión «dentro de» es indispensable: por ejemplo, un intervalo cerrado no es abierto en la recta, pero puede contener subconjuntos relativamente abiertos. Primero fijaremos la separación relativa y su expresión mediante conjuntos simultáneamente abiertos y cerrados; después probaremos, sin utilizar el teorema del valor intermedio, que la conexidad equivale exactamente a no omitir ningún punto situado entre dos puntos del conjunto.

Definición 18.7.1 — Separación relativa y conjunto conexo

Sea \(E\subseteq\mathbb R\). Una separación de \(E\) es un par de subconjuntos \(A,B\subseteq E\) tal que:

\[ \boxed{\begin{gathered} A\ne\varnothing,\quad B\ne\varnothing,\quad A\cap B=\varnothing,\quad E=A\cup B,\\ A\text{ y }B\text{ son abiertos relativos a }E. \end{gathered}} \]

Diremos que \(E\) es conexo si no existe ninguna separación de \(E\). Formalmente, negamos la existencia de dos miembros de \(\mathcal P(E)\) que satisfagan simultáneamente las condiciones escritas. No se introduce una topología abstracta: «abierto relativo» conserva exactamente el significado de §17.3.1. En particular, las partes de una separación no tienen por qué ser abiertas en toda \(\mathbb R\). El vacío se considera conexo, pues no admite dos partes no vacías; también lo será cualquier singleton, como se comprobará mediante el criterio siguiente.

Proposición 18.7.2 — Criterio mediante subconjuntos abiertos y cerrados relativos

Para \(E\subseteq\mathbb R\) son equivalentes:

1. \(E\) es conexo.
2. Si \(A\subseteq E\) es a la vez abierto y cerrado relativo a \(E\), entonces \(A=\varnothing\) o \(A=E\).

Demostración. Supongamos que \(E\) es conexo y que \(A\subseteq E\) es abierto y cerrado relativo a \(E\). Pongamos \(B:=E\setminus A\), conjunto existente por Separación. Como \(A\) es cerrado relativo, \(B\) es abierto relativo por definición; además \(A\cup B=E\) y \(A\cap B=\varnothing\). Si \(A\) fuese distinto tanto de \(\varnothing\) como de \(E\), ambos \(A\) y \(B\) serían no vacíos, y formarían una separación, contradicción. Por tanto, \(A=\varnothing\) o \(A=E\).

Recíprocamente, supongamos que los únicos subconjuntos simultáneamente abiertos y cerrados relativos a \(E\) son \(\varnothing\) y \(E\). Si existiese una separación \(E=A\cup B\), su disjunción y su cobertura darían \(B=E\setminus A\). La apertura relativa de \(A\) y de \(B\) implicaría, por la definición de cerrado relativo, que \(A\) es también cerrado relativo. Pero la separación exige \(A\ne\varnothing\) y \(B\ne\varnothing\), de donde \(A\ne E\): contradicción. Así, \(E\) es conexo. \(\square\)

Casos límite. Si \(E=\varnothing\), su único subconjunto es el vacío. Si \(E=\{a\}\), sus únicos subconjuntos son \(\varnothing\) y \(E\). El criterio demuestra la conexidad de ambos sin declarar que un singleton sea abierto en la recta.

Definición 18.7.3 — Intervalo como subconjunto convexo para el orden

Un conjunto \(E\subseteq\mathbb R\) se denomina intervalo cuando, dados dos puntos cualesquiera \(a,b\in E\) con \(a\le b\), contiene todo el segmento comprendido entre ellos:

\[ \boxed{E\text{ es intervalo}\iff \forall a,b\in E\;(a\le b\Longrightarrow[a,b]\subseteq E).} \]

La notación \([a,b]\) conserva la definición de §4.3.1. Equivalentemente, para cualesquiera \(a,b\in E\) con \(a<b\) y cualquier \(t\in\mathbb R\) tal que \(a<t<b\), debe cumplirse \(t\in E\): los extremos ya pertenecen a \(E\) por hipótesis. No se impone que un intervalo sea abierto, cerrado, acotado o no vacío. El vacío y los singletons satisfacen esta definición; también \(\mathbb R\), los intervalos acotados con cualquier modalidad de extremos y las semirrectas determinadas por desigualdades. Aquí «intervalo» es un predicado sobre conjuntos, no una nueva codificación conjuntista ni un símbolo para el infinito.

Teorema 18.7.4 — Todo intervalo de la recta es conexo

Si \(E\subseteq\mathbb R\) es un intervalo, entonces \(E\) es conexo. Se incluyen \(E=\varnothing\), los singletons, los intervalos no acotados y todos los casos de extremos abiertos, cerrados o semiabiertos.

Demostración. 1. Supongamos que existe una separación. Razonemos por contradicción. Sean \(A,B\) subconjuntos no vacíos, disjuntos, abiertos relativos a \(E\), con \(E=A\cup B\). Fijemos un punto de \(A\) y uno de \(B\). Son distintos; por totalidad del orden, intercambiando los nombres de las dos partes si es necesario, podemos fijar

\[ a\in A,\qquad b\in B,\qquad a<b. \]

Ésta es una decisión sobre dos testigos concretos, no una función de elección. Como \(E\) es intervalo, \([a,b]\subseteq E\).

2. La frontera dada por un supremo. Formemos, por Separación dentro del segmento existente,

\[ S:=A\cap[a,b]. \]

Tenemos \(a\in S\), luego \(S\ne\varnothing\); asimismo \(b\) es cota superior de \(S\). La propiedad del supremo de \(\mathbb R\) suministra un real único

\[ c:=\sup S,\qquad a\le c\le b. \]

Así \(c\in[a,b]\subseteq E\), de modo que exactamente una de las posibilidades \(c\in A\) y \(c\in B\) es verdadera.

3. Si \(c\in A\), se puede avanzar más allá del supremo. Como \(b\in B\) y las partes son disjuntas, \(c\ne b\), luego \(c<b\). La apertura relativa de \(A\) y el criterio por bolas de §17.3.2 proporcionan un único radio testigo \(r>0\) tal que

\[ E\cap B_r(c)\subseteq A. \]

Definamos, comparando solamente dos números,

\[ d:=\min\{b,c+r/2\}. \]

De \(c<b\) y \(r>0\) resulta \(c<d\le b\), mientras que \(d-c\le r/2<r\). Por ello \(d\in[a,b]\subseteq E\) y \(d\in B_r(c)\); la apertura relativa da \(d\in A\). Se deduce \(d\in S\) y \(d>c\), contradiciendo que \(c\) sea cota superior de \(S\).

4. Si \(c\in B\), encontramos un punto de \(A\) demasiado próximo. La apertura relativa de \(B\) proporciona, para este punto concreto \(c\), un radio \(s>0\) tal que

\[ E\cap B_s(c)\subseteq B. \]

El número \(c-s/2<c\) no puede ser cota superior de \(S\), pues \(c\) es la menor de ellas. En consecuencia existe un \(t\in S\) con

\[ c-s/2<t\le c. \]

Como \(t\in S\subseteq A\) y \(c\in B\), tenemos \(t\ne c\); entonces \(|t-c|=c-t<s/2<s\). Así \(t\in E\cap B_s(c)\subseteq B\), incompatible con \(t\in A\).

Los dos casos posibles para \(c\in E=A\cup B\) conducen a contradicción. No existe separación y \(E\) es conexo. Si \(E\) es vacío o singleton, ni siquiera puede iniciarse el paso 1, pues no existen las dos partes no vacías y disjuntas requeridas. \(\square\)

Lectura conceptual. El supremo localiza la presunta frontera entre las dos partes. Si pertenece a la parte de la izquierda, la apertura permite avanzar; si pertenece a la otra, la propiedad aproximante del supremo fuerza un punto de la izquierda a entrar en su vecindad. La demostración no utiliza el teorema del valor intermedio ni construye sucesiones seleccionando puntos cercanos a la frontera.

Teorema 18.7.5 — Todo conexo de la recta es un intervalo

Si \(E\subseteq\mathbb R\) es conexo, entonces para cualesquiera \(a,b\in E\) con \(a<b\) se cumple \([a,b]\subseteq E\). Por tanto, \(E\) es un intervalo.

Demostración. Demostremos la contraposición. Si \(E\) no es intervalo, la negación de Definición §18.7.3 — Intervalo como subconjunto convexo para el orden proporciona \(a,b\in E\) con \(a\le b\) y un \(c\in[a,b]\) que no pertenece a \(E\). Como \(a,b\in E\), necesariamente

\[ a<c<b,\qquad c\notin E. \]

Fijado ese único punto omitido, consideremos los conjuntos existentes por Separación

\[ L_c:=\{x\in\mathbb R:x<c\},\qquad R_c:=\{x\in\mathbb R:c<x\}, \]

abiertos en \(\mathbb R\) por Proposición §15.3.8 — Las dos semirrectas estrictas son abiertas. Definamos

\[ A:=E\cap L_c,\qquad B:=E\cap R_c. \]

Son abiertos relativos a \(E\) por Definición §17.3.1 — Abiertos y cerrados relativos a un subconjunto de la recta; ambos son no vacíos, pues \(a\in A\) y \(b\in B\). Son disjuntos por incompatibilidad de \(x<c\) y \(c<x\). Finalmente, para cualquier \(x\in E\) se tiene \(x\ne c\), porque \(c\notin E\), y la tricotomía del orden asegura \(x<c\) o \(c<x\). Por consiguiente, \(E=A\cup B\). Hemos construido explícitamente una separación de \(E\), que no es conexo. Por contraposición, todo conexo es intervalo. No se han escogido abiertos o testigos para una familia de cortes: una sola omisión de un punto intermedio determina las dos partes por fórmulas únicas. \(\square\)

Corolario 18.7.6 — Caracterización exacta de los conexos reales

Para todo \(E\subseteq\mathbb R\),

\[ \boxed{E\text{ es conexo}\quad\Longleftrightarrow\quad E\text{ es intervalo}\quad\Longleftrightarrow\quad \forall a,b\in E\;(a\le b\Rightarrow[a,b]\subseteq E).} \]

Demostración. La primera implicación es el Teorema 18.7.5; la recíproca es el Teorema 18.7.4. La segunda equivalencia es exactamente la definición de intervalo, incluidos los casos vacíos. \(\square\)

Ejemplos y no-ejemplos. Son conexos \(\varnothing\), los singletons, \(\mathbb R\) y cada intervalo abierto, cerrado, semiabierto o no acotado, porque contienen todos los puntos situados entre dos de sus elementos. El conjunto \(\{a,b\}\) con \(a<b\) no es conexo: su punto medio \((a+b)/2\) está estrictamente entre ambos y no pertenece al conjunto. Tampoco es conexo \(\mathbb R\setminus\{c\}\): contiene \(c-1\) y \(c+1\) pero omite el punto intermedio \(c\). Estos ejemplos no requieren invocar continuidad.

Proposición 18.7.7 — Unión de dos conexos con intersección no vacía

Sean \(E,F\subseteq\mathbb R\) conexos y supongamos \(E\cap F\ne\varnothing\). Entonces \(E\cup F\) es conexo. En particular, la unión de dos intervalos reales que tengan un punto común es también un intervalo.

Demostración. Pongamos \(H:=E\cup F\) y fijemos un único \(p\in E\cap F\). Si \(H\) no fuera conexo, existiría una separación \(H=A\cup B\) con \(A,B\ne\varnothing\), abiertos relativos a \(H\) y disjuntos. Las intersecciones \(E\cap A\) y \(E\cap B\) son abiertas relativas a \(E\): en efecto, si \(A=H\cap U\) con \(U\) abierto en la recta, entonces \(E\cap A=E\cap U\) porque \(E\subseteq H\), y análogamente para \(B\). Son disjuntas y su unión es \(E\). Dado que \(E\) es conexo, no pueden ser ambas no vacías. Lo mismo se verifica con \(F\cap A\) y \(F\cap B\).

Como \(p\in H=A\cup B\) y \(A\cap B=\varnothing\), exactamente una de las dos partes contiene \(p\). Supongamos \(p\in A\); el caso \(p\in B\) es simétrico. Entonces \(E\cap A\) y \(F\cap A\) son no vacíos. Por la conexidad de \(E\) y de \(F\), necesariamente \(E\cap B=F\cap B=\varnothing\). Se sigue

\[ B=H\cap B=(E\cap B)\cup(F\cap B)=\varnothing, \]

contra la definición de separación. Por tanto \(H\) es conexo. Si \(E\) y \(F\) eran intervalos, son conexos por el Teorema 18.7.4; su unión es conexa y, por el Teorema 18.7.5, vuelve a ser intervalo. Ningún paso exige elección para una familia de componentes. \(\square\)

Transición. Ya sabemos que la imposibilidad de separar un conjunto real es equivalente a que no tenga huecos entre sus puntos. En §18.8 estudiaremos cómo transporta esta propiedad una función continua. Sólo después, en §18.9, deduciremos el teorema del valor intermedio como consecuencia, no como premisa de las pruebas actuales.

18.8. Preservación de la conexidad por aplicaciones continuas

El criterio anterior identifica los conjuntos conexos de la recta por su ausencia de huecos. Ahora estableceremos una propiedad de transporte: una función continua no puede producir una separación de su imagen cuando el conjunto de partida carece de separaciones. La demostración debe distinguir cuidadosamente los abiertos relativos a la imagen de los abiertos relativos al dominio: la continuidad proporciona estos últimos mediante preimágenes, no mediante una identificación de los dos ambientes.

Teorema 18.8.1 — La imagen continua de un conexo es conexa

Sean \(D\subseteq\mathbb R\), \(f:D\to\mathbb R\) una función continua en todos los puntos de \(D\) y \(E\subseteq D\) un conjunto conexo. Entonces su imagen directa

\[ \boxed{H:=f[E]=\{y\in\mathbb R:\exists x\in E,\ f(x)=y\}\quad\text{es conexa}.} \]

El conjunto \(E\) puede ser vacío y no se exige que sea compacto, cerrado ni acotado. La función \(f\) conserva el codominio \(\mathbb R\); \(H\) es su imagen de \(E\), no un cambio tácito de codominio.

Demostración. 1. Restricción y supuesta separación de la imagen. Por Definición §1.3.1 — Restricción de una función existe la restricción tipada \(h:=f\upharpoonright E:E\to\mathbb R\). Es continua en todos los puntos de \(E\) por Corolario §17.4.6 — Clausura global, restricciones y cocientes y satisface \(h[E]=f[E]=H\). Si \(E=\varnothing\), entonces \(H=\varnothing\), conexo por Definición §18.7.1 — Separación relativa y conjunto conexo; en adelante también podemos proceder por contradicción sin excluir ese caso.

Supongamos que \(H\) no es conexo. Por Definición §18.7.1 — Separación relativa y conjunto conexo, existen \(A,B\subseteq H\) tales que

\[ A\ne\varnothing,\quad B\ne\varnothing,\quad A\cap B=\varnothing, \quad H=A\cup B, \]

siendo ambos abiertos relativos a \(H\). La definición Definición §17.3.1 — Abiertos y cerrados relativos a un subconjunto de la recta suministra dos abiertos \(V,W\subseteq\mathbb R\) con

\[ A=H\cap V,\qquad B=H\cap W. \]

No se escogió un abierto para cada punto ni para una familia arbitraria: sólo se instanciaron dos existencias.

2. Transportamos la separación por preimagen. Definamos mediante Separación los subconjuntos determinados de \(E\)

\[ P:=\{x\in E:h(x)\in A\},\qquad Q:=\{x\in E:h(x)\in B\}. \]

Dado que \(h(x)\in H\) para todo \(x\in E\), las igualdades \(A=H\cap V\) y \(B=H\cap W\) implican exactamente

\[ P=h^{-1}[V],\qquad Q=h^{-1}[W]. \]

Aquí las preimágenes se calculan respecto de la función \(h:E\to\mathbb R\). Por el criterio global de continuidad Teorema §17.3.4 — Caracterización global por preimágenes de abiertos, \(P\) y \(Q\) son abiertos relativos a \(E\). No afirmamos que sean abiertos de toda la recta.

Son disjuntos: un \(x\) común produciría \(h(x)\in A\cap B=\varnothing\). Cubren \(E\): para cualquier \(x\in E\) tenemos \(h(x)\in H=A\cup B\), luego \(x\in P\cup Q\). Finalmente, ambos son no vacíos. En efecto, \(A\ne\varnothing\) proporciona un único \(y_A\in A\subseteq H\) y, por la definición de imagen, un \(x_A\in E\) con \(h(x_A)=y_A\), por lo que \(x_A\in P\). Del mismo modo, \(B\ne\varnothing\) proporciona un \(x_B\in Q\). Sólo se necesitan dos testigos concretos de fibras, no una función \(y\mapsto x_y\) definida sobre \(H\).

Así \(P,Q\) satisfacen todas las condiciones de una separación de \(E\), contradiciendo su conexidad. La supuesta separación de \(H\) es imposible; \(f[E]\) es conexo. \(\square\)

Lectura de la demostración. Una separación de valores produciría una separación de argumentos. La continuidad garantiza que las dos partes inversas son relativamente abiertas; la sobreyectividad de \(h\) sobre su imagen como relación de valores, que se usa sólo elemento a elemento, asegura que ambas partes tienen puntos. No es necesario construir una nueva función \(E\to H\) ni seleccionar simultáneamente preimágenes de todos los valores.

Corolario 18.8.2 — La imagen continua de un intervalo es un intervalo

Sea \(f:D\to\mathbb R\) continua en \(D\) y sea \(I\subseteq D\) un intervalo, en el sentido de Definición §18.7.3 — Intervalo como subconjunto convexo para el orden. Entonces \(f[I]\) es un intervalo de la recta, incluso si \(I\) es vacío o consta de un único punto.

Demostración. Por Corolario §18.7.6 — Caracterización exacta de los conexos reales, el intervalo \(I\) es conexo. El Teorema 18.8.1, aplicado a \(f\) e \(I\subseteq D\), afirma que \(f[I]\) es conexo. La otra dirección de Corolario §18.7.6 — Caracterización exacta de los conexos reales establece que \(f[I]\) es intervalo. La imagen existe por Definición §0.6.9 — Imagen y preimagen y se entiende como subconjunto de \(\mathbb R\); no se modifican los tipos de \(f\). Si \(I=\varnothing\), su imagen es vacía; si \(I\) es singleton, su imagen es singleton, y ambos satisfacen la definición de intervalo. \(\square\)

Precisión sobre la dirección de la implicación. La preimagen de un conjunto conexo no tiene por qué ser conexa, aunque la función y su dominio lo sean. Por ejemplo, sea \(p:[-2,2]\to\mathbb R\), \(p(x)=x^2\), restricción de una función polinomial continua por §17.5. Entonces \(\{1\}\) es conexo, mientras que

\[ p^{-1}[\{1\}]=\{-1,1\} \]

no es intervalo y, por Corolario §18.7.6 — Caracterización exacta de los conexos reales, no es conexo. No invertiremos indebidamente el teorema de preservación.

Transición. El corolario prueba que la imagen de un intervalo no omite ningún valor comprendido entre dos de sus valores. En §18.9 formularemos esa consecuencia cuantificada como teorema del valor intermedio, distinguiendo el caso general de intervalos y la formulación habitual para \([a,b]\). El resultado de §18.8 será su premisa y no su conclusión anticipada.

18.9. Teorema del valor intermedio y recorrido de una función continua

La sección anterior establece una propiedad estructural de la imagen: si el dominio considerado es un intervalo y la función es continua, el conjunto de sus valores también es un intervalo. Traduciremos ahora esa afirmación sobre conjuntos a su forma cuantificada: entre dos valores alcanzados no puede faltar ninguno de los valores intermedios. El punto donde se alcanza el valor buscado podrá localizarse dentro del segmento que une los dos argumentos originales; no necesitamos suponer que todo el dominio sea cerrado, acotado o compacto.

Teorema 18.9.1 — Teorema del valor intermedio en un intervalo

Sea \(D\subseteq\mathbb R\), sea \(f:D\to\mathbb R\) continua en \(D\) y sea \(I\subseteq D\) un intervalo. Para cualesquiera \(u,v\in I\) y cualquier \(y\in\mathbb R\) que satisfaga

\[ \min\{f(u),f(v)\}\le y\le\max\{f(u),f(v)\}, \]

existe \(c\in I\) tal que \(f(c)=y\). Más precisamente, poniendo \(a:=\min\{u,v\}\) y \(b:=\max\{u,v\}\), se puede exigir

\[ \boxed{\exists c\in[a,b]\subseteq I:\quad f(c)=y.} \]

Los mínimos y máximos de estas fórmulas corresponden a pares concretos de reales, definidos por comparación en el orden total; no se invoca un teorema de existencia de extremos sobre conjuntos arbitrarios. No se presupone que \(u\le v\) ni que los valores de \(f\) estén ordenados de la misma manera que sus argumentos.

Demostración. 1. Reducimos el problema a un segmento existente. Por la totalidad del orden real, uno de los puntos \(u,v\) es el menor y el otro el mayor. Los reales \(a\) y \(b\) definidos en el enunciado satisfacen \(a\le b\) y \(\{a,b\}=\{u,v\}\). Como \(u,v\in I\), también \(a,b\in I\). La definición de intervalo Definición §18.7.3 — Intervalo como subconjunto convexo para el orden da

\[ J:=[a,b]\subseteq I\subseteq D. \]

El segmento \(J\) es asimismo un intervalo: si \(s,t\in J\) y \(s\le t\), todo \(z\in[s,t]\) cumple \(a\le s\le z\le t\le b\), y pertenece a \(J\). Por tanto, el corolario Corolario §18.8.2 — La imagen continua de un intervalo es un intervalo, aplicado a la función dada \(f:D\to\mathbb R\) y al intervalo \(J\), afirma que \(f[J]\) es un intervalo de \(\mathbb R\). No hemos cambiado el codominio de \(f\); su imagen se entiende en el sentido de Definición §0.6.9 — Imagen y preimagen.

2. El valor intermedio pertenece a la imagen. Puesto que \(u,v\in J\), los dos reales \(f(u),f(v)\) pertenecen a \(f[J]\). Sean

\[ m:=\min\{f(u),f(v)\},\qquad M:=\max\{f(u),f(v)\}. \]

De nuevo \(m,M\in f[J]\) y \(m\le M\). Al ser \(f[J]\) un intervalo, su definición implica \([m,M]\subseteq f[J]\). La hipótesis \(m\le y\le M\) muestra que \(y\in f[J]\).

Por la definición de imagen directa, esta última pertenencia equivale a que exista un \(c\in J\) con \(f(c)=y\). Fijamos ese único testigo existencial y obtenemos \(c\in[a,b]\subseteq I\), como se quería. Si \(u=v\), entonces \(a=b=u\), \(m=M=f(u)\) y necesariamente \(y=f(u)\); sirve \(c=u\). Si \(I=\varnothing\), no pueden darse las hipótesis \(u,v\in I\) y el enunciado universal es vacuo. No se ha elegido un punto para cada \(y\) ni se ha supuesto una función inversa. \(\square\)

Interpretación. El teorema afirma existencia, no unicidad: una función puede alcanzar el mismo valor varias veces, y no se presupone monotonía. La fortaleza de la conclusión \(c\in[a,b]\) procede de aplicar la preservación de intervalos al segmento comprendido entre los argumentos, en lugar de aplicarla sólo al intervalo posiblemente mayor \(I\).

Corolario 18.9.2 — Formulación clásica sobre un intervalo cerrado

Sean \(a,b\in\mathbb R\) con \(a\le b\) y \(f:[a,b]\to\mathbb R\) continua en su dominio. Para todo \(y\in\mathbb R\) comprendido entre \(f(a)\) y \(f(b)\), incluidos ambos extremos, existe \(c\in[a,b]\) tal que \(f(c)=y\). Si \(a<b\) y la desigualdad entre \(y\) y ambos valores extremos es estricta, puede exigirse \(c\in(a,b)\).

Demostración. Apliquemos Teorema §18.9.1 — Teorema del valor intermedio en un intervalo con \(D=I=[a,b]\), \(u=a\) y \(v=b\). Como \(a\le b\), el segmento entre ambos argumentos es exactamente el dominio y obtenemos \(c\in[a,b]\) con \(f(c)=y\). Si además \(a<b\) y

\[ \min\{f(a),f(b)\}<y<\max\{f(a),f(b)\}, \]

entonces \(y\ne f(a)\) y \(y\ne f(b)\), de modo que el punto obtenido no puede ser ni \(a\) ni \(b\). Resulta \(a<c<b\). Para \(a=b\), las dos cotas coinciden y la única posibilidad es \(y=f(a)\), alcanzado en \(c=a\); no afirmamos existencia de un punto en el intervalo abierto vacío. \(\square\)

La compacidad de \([a,b]\) no es necesaria para este corolario: la hipótesis de cerrado y acotado facilita la formulación habitual, pero el argumento usa únicamente continuidad y carácter intervalar del dominio. La compacidad sí entrará cuando queramos garantizar la existencia de valores mínimo y máximo sin conocer de antemano los valores que alcanza la función.

Corolario 18.9.3 — Existencia de un cero cuando hay cambio estricto de signo

Sean \(a,b\in\mathbb R\) con \(a<b\) y \(f:[a,b]\to\mathbb R\) continua. Si

\[ f(a)<0<f(b)\qquad\text{o bien}\qquad f(b)<0<f(a), \]

entonces existe \(c\in(a,b)\) tal que \(f(c)=0\).

Demostración. En cualquiera de los dos casos, el cero real se encuentra estrictamente entre \(f(a)\) y \(f(b)\). El apartado estricto de Corolario §18.9.2 — Formulación clásica sobre un intervalo cerrado, aplicado a \(y=0\), proporciona \(c\in(a,b)\) con \(f(c)=0\). El punto es interior porque ninguno de los valores extremos es cero. Si sólo se conoce \(f(a)\le0\le f(b)\), o la desigualdad invertida, el mismo corolario asegura un cero en \([a,b]\), pero éste puede ser un extremo: no se debe fortalecer ilegítimamente la conclusión. \(\square\)

Corolario 18.9.4 — El recorrido sobre un intervalo cerrado es un intervalo cerrado alcanzado

Si \(a\le b\) y \(f:[a,b]\to\mathbb R\) es continua, existen reales \(m\le M\) y puntos \(x_-,x_+\in[a,b]\) tales que \(f(x_-)=m\), \(f(x_+)=M\) y

\[ \boxed{fa,b=[m,M].} \]

La expresión \(fa,b\) significa la imagen directa del conjunto \([a,b]\) por \(f\), con los corchetes exteriores de Definición §0.6.9 — Imagen y preimagen; no es evaluación de \(f\) sobre un par de argumentos. En particular, \(m\) y \(M\) son el mínimo y máximo efectivamente alcanzados de la función sobre el segmento, no necesariamente \(f(a)\) y \(f(b)\).

Demostración. El intervalo \(K:=[a,b]\) es compacto por Teorema §18.2.1 — Todo intervalo cerrado y acotado es compacto y no vacío porque \(a\in K\). El teorema de Weierstrass Teorema §18.5.4 — Teorema del valor extremo: Weierstrass, aplicado a la función tipada \(f:K\to\mathbb R\), proporciona dos puntos \(x_-,x_+\in K\) tales que

\[ \forall x\in K:\qquad f(x_-)\le f(x)\le f(x_+). \]

Pongamos \(m:=f(x_-)\) y \(M:=f(x_+)\). Como \(x_+\in K\), la desigualdad con \(x=x_+\) prueba \(m\le M\). Para cualquier \(z\in f[K]\) existe un \(x\in K\) con \(z=f(x)\), y las desigualdades obtenidas dan \(m\le z\le M\). Por tanto,

\[ f[K]\subseteq[m,M]. \]

Para la inclusión contraria fijemos un \(y\in[m,M]\). Los puntos \(x_-,x_+\) pertenecen al intervalo \(K\), y \(y\) está entre sus imágenes. Aplicando Teorema §18.9.1 — Teorema del valor intermedio en un intervalo a esos dos argumentos, sin presuponer cuál de ellos es menor, obtenemos \(c\in K\) con \(f(c)=y\). Luego \(y\in f[K]\) y \([m,M]\subseteq f[K]\). Las dos inclusiones demuestran la igualdad. Si \(a=b\) o \(f\) es constante, puede ocurrir \(m=M\); entonces ambos conjuntos son el singleton \(\{m\}\), sin ninguna excepción. Sólo se fijan los dos testigos de extremos y un testigo para el valor \(y\) considerado, sin elección simultánea de preimágenes. \(\square\)

Por qué importan las hipótesis. La continuidad es indispensable para garantizar que no haya saltos de valores: en \([-1,1]\), la función que vale \(-1\) para \(x<0\) y \(1\) para \(x\ge0\) toma valores de ambos signos pero no toma el valor cero; no es continua en \(0\). También importa el carácter intervalar del dominio: la restricción de la identidad al conjunto \(\{-1,1\}\) es continua en su dominio relativo y alcanza \(-1\) y \(1\), pero no alcanza \(0\), porque el dominio no contiene los puntos intermedios. Estos casos delimitan el teorema sin imponer hipótesis de monotonía.

Transición. La compacidad y la conexidad producen consecuencias globales distintas y complementarias: la primera garantiza extremos alcanzados y uniformidad; la segunda garantiza ausencia de huecos en las imágenes continuas. Juntas, sobre \([a,b]\), identifican exactamente la imagen como \([m,M]\). Con este resultado concluye el capítulo. Sus demostraciones han sido auditadas integralmente bajo ZF y lógica clásica; la equivalencia secuencial recíproca de §18.4 permanece condicionada a \(\mathrm{CC}(\mathbb R)\), no adoptada. El Capítulo 19 iniciará la diferenciación desde el cociente incremental y la aproximación lineal local, sin anticipar los teoremas del valor medio reservados al Capítulo 20.