Tratado de análisis — Capítulo 19 — Diferenciación

Capítulo 19 — Diferenciación en el desarrollo progresivo del Tratado de análisis.

Capítulo 19 — Diferenciación

← Volver al Tratado de análisis · Capítulo anterior · Capítulo siguiente

Parte II — Núcleo del análisis real

19.0. De la variación entre dos puntos a la variación en uno

La continuidad describe la proximidad de \(f(x)\) a \(f(a)\) cuando \(x\) se aproxima a \(a\). No distingue, sin embargo, la rapidez con que varían esos valores: las funciones \(x\mapsto x\) y \(x\mapsto x^2\) son continuas, pero sus cambios locales responden a expresiones distintas. Para medir esa variación compararemos el incremento de la función con el incremento de su argumento y estudiaremos el límite del cociente.

La operación es local y exige precisar el dominio. Trabajaremos con \(D\subseteq\mathbb R\), una función tipada \(f:D\to\mathbb R\) y un punto \(a\in D\). El cociente sólo existe para argumentos \(x\in D\) distintos de \(a\); para exigirle un límite no vacuo, \(a\) deberá ser además punto de acumulación de \(D\). Un punto aislado del dominio admite continuidad automática (§17.1), pero no recibirá una derivada por vacuidad.

Las operaciones pertenecen al cuerpo ordenado completo \(\mathbb R\) fijado estructuralmente en §12.9. Reutilizaremos los límites finitos del capítulo 16 y la continuidad del capítulo 17, sin confundir la copia racional con una inclusión literal \(\mathbb Q\subseteq\mathbb R\). Primero definiremos y legitimaremos el cociente incremental y la derivada; después vendrán la continuidad de las funciones derivables, la aproximación lineal y las reglas algebraicas y de composición. Los resultados globales de Fermat, Rolle, valor medio y Taylor se reservan al capítulo 20: ninguno de ellos fundamentará nuestras definiciones locales.

19.1. Cociente incremental y definición de derivada

Para \(x\ne a\), los puntos \((a,f(a))\) y \((x,f(x))\) determinan una pendiente secante. Su expresión algebraica tiene sentido sin suponer previamente que exista una tangente. La derivada, si existe, será el límite de esas pendientes; no se asignará valor al cociente en \(x=a\) para fabricar artificialmente ese límite.

Definición 19.1.1 — Cociente incremental en un punto

Sean \(D\subseteq\mathbb R\), \(f:D\to\mathbb R\) y \(a\in D\). Pongamos \(D_a:=D\setminus\{a\}\). El cociente incremental de \(f\) en \(a\) es la función tipada

\[ \boxed{q_{f,a}:D_a\longrightarrow\mathbb R,\qquad q_{f,a}(x):=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\quad(x\in D_a).} \]

Su grafo es el subconjunto de \(D_a\times\mathbb R\) de los pares \(\langle x,y\rangle\) que cumplen \((x-a)y=f(x)-f(a)\); existe por Separación. Como \(x\ne a\), tenemos \(x-a\ne0\) y los axiomas del cuerpo proporcionan un único \(y\), luego el grafo define efectivamente una función de dominio \(D_a\) y codominio \(\mathbb R\). También cuando \(D_a=\varnothing\) existe la función vacía con esos tipos; en tal caso no se le atribuirá límite en \(a\).

La abreviatura \(D_a\) y el nombre \(q_{f,a}\) se emplean únicamente respecto de los datos \(D,f,a\) fijados. La igualdad del cociente exige \(x\ne a\); escribir \(q_{f,a}(a)\) sería una evaluación fuera del dominio, no un cociente igual a cero.

Lema 19.1.2 — Perforar el dominio preserva la acumulación en el centro

Con las hipótesis de la definición anterior, se cumple

\[ \boxed{a\in\operatorname{Acc}(D)\quad\Longleftrightarrow\quad a\in\operatorname{Acc}(D_a).} \]

Demostración. Por Lema §16.1.1 — Acumulación y aproximación perforada, la primera pertenencia equivale a que, para todo \(r>0\), exista \(x\in D\) tal que \(0<|x-a|<r\). La desigualdad estricta \(0<|x-a|\) equivale a \(x\ne a\) por Proposición §4.2.2 — Propiedades elementales del valor absoluto. Por tanto, esos mismos testigos pertenecen exactamente a \(D\setminus\{a\}=D_a\). Aplicando de nuevo Lema §16.1.1 — Acumulación y aproximación perforada, ahora a \(D_a\), se obtiene la segunda pertenencia. La equivalencia no selecciona una sucesión de testigos: compara dos condiciones existenciales para cada radio considerado. \(\square\)

Definición 19.1.3 — Derivabilidad en un punto

Sean \(f:D\to\mathbb R\) y \(a\in D\cap\operatorname{Acc}(D)\). Diremos que \(f\) es derivable en \(a\), relativamente al dominio \(D\), si existe \(L\in\mathbb R\) tal que

\[ \boxed{\lim_{\substack{x\to a\\x\in D_a}}q_{f,a}(x)=L.} \]

En forma completamente desarrollada, la condición equivale a

\[ \exists L\in\mathbb R\ \forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0\ \forall x\in D:\quad 0<|x-a|<\delta\ \Longrightarrow\quad \left|\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-L\right|<\varepsilon. \]

El lema anterior garantiza que \(a\) es punto de acumulación de \(D_a\), requisito de la definición de límite del capítulo 16. La función ha de estar definida en \(a\) para calcular \(f(a)\) y debe admitir otros puntos del dominio arbitrariamente próximos: ambas condiciones son necesarias. La definición no exige que \(D\) sea abierto ni que existan puntos a ambos lados de \(a\). En un extremo de intervalo puede estudiarse esta derivada relativa al dominio; las derivadas laterales recibirán tratamiento explícito más adelante.

Proposición 19.1.4 — Unicidad y criterio cuantificado de la derivada

Sean \(f:D\to\mathbb R\) y \(a\in D\cap\operatorname{Acc}(D)\). Existe a lo sumo un \(L\in\mathbb R\) que satisface la condición de derivabilidad. Para un \(L\) dado, dicha condición equivale a

\[ \boxed{\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0\ \forall x\in D:\quad 0<|x-a|<\delta\Longrightarrow |f(x)-f(a)-L(x-a)|<\varepsilon|x-a|.} \]

Demostración. Por Lema §19.1.2 — Perforar el dominio preserva la acumulación en el centro, \(a\in\operatorname{Acc}(D_a)\); el cociente \(q_{f,a}\) tiene el tipo requerido por Definición §16.1.2 — Límite real finito de una función relativo a su dominio. Si dos números \(L,M\) cumplen la relación de límite para esa misma función y ese mismo dominio, el teorema de unicidad Teorema §16.1.4 — Unicidad del límite finito impone \(L=M\).

Para demostrar el criterio, fijemos \(x\in D\) con \(0<|x-a|<\delta\). Entonces \(x-a\ne0\) y \(|x-a|>0\). Las propiedades del valor absoluto y las identidades del cuerpo permiten multiplicar una desigualdad estricta por este número positivo sin cambiar su sentido:

\[ \begin{aligned} \left|\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-L\right|<\varepsilon &\iff \left|\frac{f(x)-f(a)-L(x-a)}{x-a}\right|<\varepsilon\\ &\iff |f(x)-f(a)-L(x-a)|<\varepsilon|x-a|. \end{aligned} \]

Cada equivalencia vale para todo argumento admisible y los mismos \(\varepsilon,\delta\). Al anteponer los cuantificadores del límite se obtiene la equivalencia afirmada. No se ha definido ni evaluado el cociente en \(a\). \(\square\)

Notación 19.1.5 — Valor de la derivada

Cuando \(f\) sea derivable en \(a\), designaremos por \(f'(a)\) el único número \(L\) de la definición:

\[ \boxed{f'(a):=\lim_{\substack{x\to a\\x\in D_a}} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}.} \]

Esta notación no declara todavía una función derivada \(f'\) sobre todo \(D\): el valor \(f'(a)\) sólo está definido en puntos donde hemos comprobado la derivabilidad. Más adelante podremos formar, por Separación, el conjunto de esos puntos y construir una función con ese dominio y codominio \(\mathbb R\). La prima en \(f'(a)\) se refiere a la función; el conjunto derivado de §15.5 continúa escrito \(\operatorname{Acc}(A)\) y nunca se denotará \(A'\) en este tratado.

Proposición 19.1.6 — Primeros cálculos: funciones afines y función cuadrática

Si \(m,b\in\mathbb R\) y \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) está dada por \(f(x)=mx+b\), entonces \(f\) es derivable en cada \(a\in\mathbb R\) y \(f'(a)=m\). Si \(g:\mathbb R\to\mathbb R\) está dada por \(g(x)=x^2\), entonces \(g\) es derivable en cada \(a\in\mathbb R\) y \(g'(a)=2a\), donde \(2=1+1\) es el numeral real.

Demostración. Las expresiones algebraicas determinan funciones \(\mathbb R\to\mathbb R\) mediante grafos funcionales obtenidos por Separación dentro de \(\mathbb R\times\mathbb R\). Fijemos \(a\in\mathbb R\). La propiedad arquimediana de la recta, o simplemente la posibilidad de tomar \(a+r/2\) con \(r>0\), demuestra que \(a\in\operatorname{Acc}(\mathbb R)\): para cada \(r>0\), el punto \(x=a+r/2\) satisface \(0<|x-a|<r\). No hace falta elegir tales puntos para todos los radios simultáneamente.

Caso afín. Para todo \(x\ne a\), la distributividad y la cancelación en el cuerpo real dan

\[ q_{f,a}(x)=\frac{mx+b-(ma+b)}{x-a}=m. \]

Para cualquier \(\varepsilon>0\) sirve \(\delta=1\): si \(0<|x-a|<\delta\), entonces \(|q_{f,a}(x)-m|=0<\varepsilon\). De esta manera el límite del cociente es \(m\), y su unicidad legitima \(f'(a)=m\). La función constante es el caso particular \(m=0\); la identidad, el caso \(m=1,b=0\).

Caso cuadrático. Si \(x\ne a\), la factorización algebraica legítima en \(\mathbb R\) da

\[ q_{g,a}(x)=\frac{x^2-a^2}{x-a}=x+a. \]

Para \(\varepsilon>0\) elegimos \(\delta=\varepsilon\). Entonces \(0<|x-a|<\delta\) implica

\[ |q_{g,a}(x)-2a|=|x+a-(a+a)|=|x-a|<\varepsilon. \]

Luego el límite existe y vale \(2a\), como se afirma. La cancelación \(x-a\) se efectuó antes de tomar el límite y sólo para \(x\ne a\); no se definió una división por cero en el centro. \(\square\)

Lectura conceptual. El límite de pendientes secantes aporta un número —cuando existe— que resume el comportamiento de primer orden de la función alrededor de \(a\). En el caso afín no cambia con el punto; para \(x^2\) depende de \(a\). La caracterización mediante el error \(f(x)-f(a)-L(x-a)\) anuncia la aproximación lineal que estudiaremos después, pero todavía no la empleamos como definición alternativa sin prueba.

Transición. La siguiente cuestión es si la existencia de esta pendiente límite obliga a la función a ser continua en el punto. Demostraremos esa implicación en §19.2 directamente a partir del cociente incremental, sin usar Rolle ni los teoremas del valor medio.

19.2. La derivabilidad implica continuidad

La derivada mide un cociente de incrementos. La continuidad sólo exige que el incremento de la función se haga pequeño. El puente entre ambas propiedades será la identidad

\[ f(x)-f(a)=q_{f,a}(x)(x-a),\qquad x\in D_a. \]

La igualdad no se utilizará en \(x=a\), donde el cociente no está definido. En el centro, la continuidad se comprobará separadamente mediante \(f(a)-f(a)=0\). Además de demostrar la implicación, identificaremos una estimación cuantitativa y mostraremos que su recíproca es falsa.

Teorema 19.2.1 — Toda función derivable en un punto es continua en él

Sean \(D\subseteq\mathbb R\), \(f:D\to\mathbb R\) y \(a\in D\cap\operatorname{Acc}(D)\). Si \(f\) es derivable en \(a\) relativamente a \(D\), entonces es continua en \(a\) relativamente al mismo dominio:

\[ \boxed{f\text{ derivable en }a\quad\Longrightarrow\quad f\text{ continua en }a.} \]

Demostración. Sea \(L:=f'(a)\). Por la definición de derivada, \(q_{f,a}:D_a\to\mathbb R\) converge a \(L\) cuando \(x\to a\) por \(D_a\). Apliquemos la definición del límite a la única tolerancia \(1>0\). Existe \(r>0\) tal que, para todo \(x\in D\),

\[ 0<|x-a|<r\quad\Longrightarrow\quad |q_{f,a}(x)-L|<1. \]

Por la desigualdad triangular, en esos mismos argumentos

\[ |q_{f,a}(x)|\le |q_{f,a}(x)-L|+|L|<|L|+1. \]

Pongamos \(C:=|L|+1>0\). Para todo \(x\in D\) con \(0<|x-a|<r\), la identidad del cociente incremental, válida porque \(x-a\ne0\), da

\[ \begin{aligned} |f(x)-f(a)| &=|q_{f,a}(x)(x-a)|\\ &=|q_{f,a}(x)|\,|x-a|\\ &<C|x-a|. \end{aligned} \]

Fijemos ahora una tolerancia arbitraria \(\varepsilon>0\). Los números \(r\) y \(\varepsilon/C\) son positivos, por lo que podemos definir \(\delta:=\min\{r,\varepsilon/C\}>0\) (mínimo de dos números determinados). Sea \(x\in D\) tal que \(|x-a|<\delta\). Si \(x\ne a\), entonces \(0<|x-a|<r\) y

\[ |f(x)-f(a)|<C|x-a|<C\delta\le\varepsilon. \]

Si \(x=a\), se tiene directamente \(|f(a)-f(a)|=0<\varepsilon\). Por tanto, el mismo \(\delta\) sirve para todos los puntos de \(D\) comprendidos en la bola de radio \(\delta\). Ésta es exactamente la continuidad relativa de Definición §17.1.1 — Continuidad relativa al dominio en un punto. La prueba no escoge puntos del dominio, no invoca teoremas globales y no altera el codominio de \(f\). \(\square\)

Lectura de la prueba. La existencia de un límite finito para las pendientes obliga a que éstas estén acotadas cerca del punto. Multiplicar esa cota por el incremento \(|x-a|\), que puede hacerse arbitrariamente pequeño, controla el cambio de los valores de \(f\). El carácter perforado del cociente y el carácter no perforado de la continuidad quedan conciliados al verificar aparte \(x=a\).

Corolario 19.2.2 — Control lineal local respecto del centro

Bajo las hipótesis del teorema, existen números \(r>0\) y \(C>0\) tales que

\[ \boxed{\forall x\in D:\quad |x-a|<r\ \Longrightarrow\ |f(x)-f(a)|\le C|x-a|.} \]

En particular, puede tomarse \(C=|f'(a)|+1\). Esta desigualdad controla la variación respecto del punto fijo \(a\); no afirma todavía que \(|f(x)-f(y)|\le C|x-y|\) para cualesquiera dos puntos próximos \(x,y\).

Demostración. Tomemos \(L=f'(a)\) y apliquemos la condición de derivabilidad con tolerancia \(1\). Existe \(r>0\) tal que \(0<|x-a|<r\) implica \(|q_{f,a}(x)-L|<1\). La desigualdad triangular proporciona \(|q_{f,a}(x)|<|L|+1=C\), de modo que \(|f(x)-f(a)|<C|x-a|\) cuando \(x\ne a\). Para \(x=a\), ambos miembros de la desigualdad no estricta son cero. Así, un mismo \(r\) y un mismo \(C\) funcionan para todos los puntos indicados, sin seleccionar radios para una familia de centros. \(\square\)

Proposición 19.2.3 — La continuidad no implica derivabilidad

La función \(g:\mathbb R\to\mathbb R\) definida por \(g(x)=|x|\) es continua en todo punto de \(\mathbb R\), pero no es derivable en \(0\).

Demostración. El valor absoluto determina una función tipada \(g:\mathbb R\to\mathbb R\) por Separación en \(\mathbb R\times\mathbb R\). Para cualesquiera \(x,y\in\mathbb R\), la desigualdad triangular inversa Corolario §4.2.4 — Desigualdad triangular inversa da

\[ \bigl||x|-|y|\bigr|\le |x-y|. \]

Dado \(a\in\mathbb R\) y \(\varepsilon>0\), el radio \(\delta=\varepsilon\) prueba que \(|x-a|<\delta\) implica \(|g(x)-g(a)|\le|x-a|<\varepsilon\). Luego \(g\) es continua en todos los puntos, en particular en \(0\).

Además, \(0\in\operatorname{Acc}(\mathbb R)\): para cada \(r>0\), \(r/2\in\mathbb R\) cumple \(0<|r/2|<r\). Supongamos, para obtener una contradicción, que \(g\) fuera derivable en \(0\), con derivada \(L\in\mathbb R\). Al aplicar Definición §19.1.3 — Derivabilidad en un punto con \(\varepsilon=1/2\), habría un \(\delta>0\) tal que

\[ 0<|x|<\delta\quad\Longrightarrow\quad \left|\frac{|x|-|0|}{x}-L\right|<\frac12. \]

Tomemos los dos puntos explícitos \(x_+:=\delta/2>0\) y \(x_-:=-\delta/2<0\). Ambos pertenecen al dominio perforado y satisfacen \(0<|x_\pm|<\delta\); sus pendientes secantes valen, respectivamente,

\[ q_{g,0}(x_+)=1,\qquad q_{g,0}(x_-)=-1. \]

Por tanto \(|1-L|<1/2\) y \(|-1-L|<1/2\). La desigualdad triangular produciría

\[ 2=|1-(-1)|\le|1-L|+|L-(-1)|<1, \]

contradicción. Así, \(g'(0)\) no está definido. Se han construido dos testigos a partir de un solo radio; no se han escogido sucesiones de aproximantes ni se han presupuestado derivadas laterales todavía no definidas. \(\square\)

Interpretación. La continuidad permite cambios que se anulan al acercarnos al punto, pero no impone una única pendiente límite. En \(g(x)=|x|\), las pendientes secantes calculadas desde argumentos positivos y negativos son incompatibles. La implicación demostrada en el teorema es estricta.

Transición. La estimación del error de §19.1.4 permite ahora una descripción más precisa: una derivada existente es el coeficiente de una aproximación afín cuyo error es pequeño en comparación con \(|x-a|\). Éste será el contenido de §19.3, antes de formular las reglas de derivación.

19.3. La derivada como coeficiente de la aproximación lineal local

El control lineal de §19.2 garantiza que una función derivable cambia, cerca de un punto fijo, a lo sumo proporcionalmente a la distancia al centro. La derivada proporciona una afirmación más precisa: después de sustraer el incremento lineal adecuado, el error puede hacerse menor que cualquier múltiplo positivo de esa distancia. Éste es el significado de primer orden de la derivación; no se trata de minimizar una distancia global entre funciones ni de seleccionar una recta entre infinitas candidatas.

Definición 19.3.1 — Aproximación afín local y error de primer orden

Sean \(D\subseteq\mathbb R\), \(f:D\to\mathbb R\), \(a\in D\) y \(L\in\mathbb R\). La aproximación afín de coeficiente \(L\) centrada en \(a\) y su error son las funciones, ambas con dominio \(D\) y codominio \(\mathbb R\),

\[ \ell_{f,a,L}(x):=f(a)+L(x-a),\qquad e_{f,a,L}(x):=f(x)-\ell_{f,a,L}(x)\quad(x\in D). \]

Sus grafos existen por Separación en \(D\times\mathbb R\): para cada \(x\in D\), las operaciones del cuerpo determinan un único valor en cada caso. En particular, \(\ell_{f,a,L}(a)=f(a)\) y \(e_{f,a,L}(a)=0\), independientemente de \(L\).

Si además \(a\in\operatorname{Acc}(D)\), diremos que el error es despreciable respecto de la distancia al centro cuando

\[ \boxed{\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0\ \forall x\in D:\quad 0<|x-a|<\delta\ \Longrightarrow\ |e_{f,a,L}(x)|<\varepsilon|x-a|.} \]

La definición es enteramente cuantificada: no presupone ni define un símbolo \(o(\cdot)\), ni requiere que \(D\) contenga un intervalo. En el centro, el error es exactamente cero, pero el factor \(|x-a|\) impide dividir allí; la condición compara sólo los demás puntos del dominio.

Proposición 19.3.2 — Unicidad del coeficiente de primer orden

Sean \(a\in D\cap\operatorname{Acc}(D)\) y \(f:D\to\mathbb R\). Existe a lo sumo un coeficiente \(L\in\mathbb R\) para el cual el error de \(\ell_{f,a,L}\) es despreciable respecto de \(|x-a|\).

Demostración. Supongamos que dos coeficientes \(L,M\in\mathbb R\) cumplen la condición. Si \(L\ne M\), pongamos \(d:=|L-M|>0\) y fijemos la tolerancia concreta \(\varepsilon:=d/3>0\). Para \(L\) existe un radio \(\delta_L>0\) con \(|e_{f,a,L}(x)|<\varepsilon|x-a|\) siempre que \(x\in D\) y \(0<|x-a|<\delta_L\); análogamente obtenemos \(\delta_M>0\). El mínimo \(\delta:=\min\{\delta_L,\delta_M\}>0\) está determinado por dos números, sin elección para una familia infinita.

Como \(a\in\operatorname{Acc}(D)\), por el criterio de bolas perforadas Lema §16.1.1 — Acumulación y aproximación perforada existe un punto \(x\in D\) tal que \(0<|x-a|<\delta\). Las definiciones proporcionan la identidad algebraica

\[ e_{f,a,M}(x)-e_{f,a,L}(x)=(L-M)(x-a). \]

En consecuencia, por la desigualdad triangular,

\[ \begin{aligned} d|x-a|&=|e_{f,a,M}(x)-e_{f,a,L}(x)|\\ &\le |e_{f,a,M}(x)|+|e_{f,a,L}(x)|\\ &<2\varepsilon|x-a|. \end{aligned} \]

Dividimos por \(|x-a|>0\) y obtenemos \(d<2d/3<d\), contradicción. Por tanto \(L=M\). La acumulación resulta indispensable: sin otros puntos arbitrariamente próximos, la condición sobre el error podría ser vacua para cualquier coeficiente. \(\square\)

Teorema 19.3.3 — Caracterización de la derivabilidad por aproximación lineal

Sean \(D\subseteq\mathbb R\), \(f:D\to\mathbb R\) y \(a\in D\cap\operatorname{Acc}(D)\). Son equivalentes:

1. \(f\) es derivable en \(a\), relativamente a \(D\).
2. Existe \(L\in\mathbb R\) tal que \(f(x)=f(a)+L(x-a)+e_{f,a,L}(x)\) para todo \(x\in D\), y su error es despreciable respecto de \(|x-a|\) en el sentido de la definición anterior.

Cuando estas condiciones se cumplen, el coeficiente es único y coincide con la derivada:

\[ \boxed{L=f'(a),\qquad f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+e_{f,a,f'(a)}(x),\qquad \frac{|e_{f,a,f'(a)}(x)|}{|x-a|}\xrightarrow[\substack{x\to a\\x\in D_a}]{}0.} \]

La última expresión sólo se evalúa para \(x\ne a\); es una abreviatura del criterio cuantificado precedente, no una definición adicional del cociente en \(a\).

Demostración. La igualdad de (2) es la identidad algebraica que define \(e_{f,a,L}\); la condición sustantiva es el control del error. Para \(x\in D_a\), la definición del cociente incremental y el hecho de que \(x-a\ne0\) dan

\[ \frac{f(x)-f(a)}{x-a}-L =\frac{f(x)-f(a)-L(x-a)}{x-a} =\frac{e_{f,a,L}(x)}{x-a}. \]

Por las propiedades del valor absoluto, para cada \(\varepsilon>0\) y cada \(x\in D_a\),

\[ \left|q_{f,a}(x)-L\right|<\varepsilon \quad\Longleftrightarrow\quad |e_{f,a,L}(x)|<\varepsilon|x-a|. \]

Esta equivalencia conserva el mismo radio \(\delta\) y los mismos cuantificadores. Por el lema Lema §19.1.2 — Perforar el dominio preserva la acumulación en el centro, \(a\) es punto de acumulación de \(D_a\). Por ello, la condición de error equivale exactamente a que \(q_{f,a}\) tenga límite \(L\) cuando \(x\to a\) a través de \(D_a\), esto es, a la derivabilidad conforme a Definición §19.1.3 — Derivabilidad en un punto. Si \(f\) es derivable, Proposición §19.1.4 — Unicidad y criterio cuantificado de la derivada identifica ese límite con \(f'(a)\); alternativamente, la proposición anterior establece directamente la unicidad de cualquier coeficiente admisible.

Dividiendo la desigualdad del error por \(|x-a|>0\) se obtiene la relación de límite indicada en el recuadro. No se ha supuesto continuidad como hipótesis independiente, ni se ha definido una función derivada global, ni se han utilizado resultados del capítulo 20. \(\square\)

Lectura conceptual. La recta \(y=f(a)+L(x-a)\) pasa por \((a,f(a))\) para cualquier \(L\). Sólo una pendiente, cuando existe, produce un error cuyo cociente con la distancia al centro tiende a cero. En este sentido preciso se habla de la aproximación lineal de primer orden: la unicidad procede de la condición asintótica, no de una minimización de distancias.

Proposición 19.3.4 — Exactitud afín y error cuadrático

Sean \(m,b,a\in\mathbb R\). Para la función afín \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), \(f(x)=mx+b\), la aproximación en \(a\) de coeficiente \(m\) es exacta: \(e_{f,a,m}(x)=0\) para todo \(x\). Para \(g:\mathbb R\to\mathbb R\), \(g(x)=x^2\), la aproximación de coeficiente \(2a\) satisface la identidad exacta

\[ \boxed{g(x)=a^2+2a(x-a)+(x-a)^2,\qquad e_{g,a,2a}(x)=(x-a)^2.} \]

Demostración. En el caso afín, la distributividad da \(f(x)-f(a)=m(x-a)\) y el error es nulo en todo el dominio. En el caso cuadrático, expandir el miembro derecho del recuadro mediante las leyes del cuerpo conduce a \(x^2\). Para \(x\ne a\),

\[ \frac{|e_{g,a,2a}(x)|}{|x-a|} =\frac{|x-a|^2}{|x-a|}=|x-a|. \]

Dada una tolerancia \(\varepsilon>0\), el radio \(\delta=\varepsilon\) hace que este cociente sea menor que \(\varepsilon\) para todo \(0<|x-a|<\delta\); en \(x=a\) el error es cero. Así, la caracterización anterior vuelve a dar \(g'(a)=2a\), en concordancia con el cálculo directo de Proposición §19.1.6 — Primeros cálculos: funciones afines y función cuadrática. El término \((x-a)^2\) es un error exactamente identificado: no se infiere de aquí ninguna fórmula general de Taylor. \(\square\)

Transición. Hemos definido la derivada mediante un límite, comprobado que garantiza continuidad y demostrado que equivale a una aproximación afín única de primer orden. Podemos ahora deducir las reglas de derivación para suma, múltiplos escalares y producto mediante operaciones locales sobre cocientes y errores, sin recurrir al teorema del valor medio.

19.4. Reglas algebraicas de derivación

En §§19.1–19.3 hemos establecido qué significa derivar en un punto, sin exigir que la función esté definida en un intervalo abierto. Esta generalidad se conserva en las reglas algebraicas: todas las funciones consideradas tendrán el mismo dominio \(D\subseteq\mathbb R\), y su derivabilidad se exigirá en un punto \(a\in D\cap\operatorname{Acc}(D)\). Las operaciones puntuales \(f+g\), \(cf\), \(f-g\) y \(fg\) ya fueron construidas como funciones tipadas \(D\to\mathbb R\) en Proposición §16.3.2 — Existencia y tipado de las operaciones puntuales. No confundiremos la derivada en \(a\) con una función derivada definida automáticamente sobre todo \(D\).

La estrategia es comparar los cocientes incrementales en el dominio perforado \(D_a\). Para la suma y los escalares, su álgebra es inmediata. En el producto aparece un factor que depende del argumento; su límite existe gracias a la continuidad que ya hemos deducido de la derivabilidad. Así evitaremos utilizar el teorema del valor medio o las propiedades secuenciales cuya recíproca pueda requerir elección.

Teorema 19.4.1 — Regla de derivación de la suma

Sean \(f,g:D\to\mathbb R\) derivables en \(a\in D\cap\operatorname{Acc}(D)\), con derivadas \(L:=f'(a)\) y \(M:=g'(a)\). Entonces la función puntual \(f+g:D\to\mathbb R\) es derivable en \(a\) y

\[ \boxed{(f+g)'(a)=f'(a)+g'(a).} \]

Demostración. La operación puntual existe y conserva dominio y codominio por Proposición §16.3.2 — Existencia y tipado de las operaciones puntuales. Como \(a\) acumula \(D\), el lema Lema §19.1.2 — Perforar el dominio preserva la acumulación en el centro asegura que acumula asimismo \(D_a\). Para \(x\in D_a\) tenemos \(x-a\ne0\) y, por distributividad en el cuerpo real,

\[ \begin{aligned} q_{f+g,a}(x) &=\frac{[f(x)+g(x)]-[f(a)+g(a)]}{x-a}\\ &=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}+\frac{g(x)-g(a)}{x-a}\\ &=q_{f,a}(x)+q_{g,a}(x). \end{aligned} \]

Por derivabilidad, las dos funciones \(q_{f,a},q_{g,a}:D_a\to\mathbb R\) tienen límites respectivos \(L\) y \(M\) en \(a\). El teorema de suma de límites Teorema §16.3.3 — Suma, resta y multiplicación por escalares, aplicado a ese mismo dominio \(D_a\), da \(\lim_{x\to a}q_{f+g,a}(x)=L+M\). La definición Definición §19.1.3 — Derivabilidad en un punto demuestra la derivabilidad de \(f+g\) y la unicidad establecida en Proposición §19.1.4 — Unicidad y criterio cuantificado de la derivada identifica su derivada con \(L+M\). La identidad nunca evalúa los cocientes en \(a\). \(\square\)

Corolario 19.4.2 — Multiplicación por escalares, opuestos y diferencias

Sean \(f,g:D\to\mathbb R\) derivables en \(a\in D\cap\operatorname{Acc}(D)\) y sea \(c\in\mathbb R\) un escalar fijo. Entonces \(cf\), \(-f\) y \(f-g\), consideradas como funciones \(D\to\mathbb R\), son derivables en \(a\), con

\[ \boxed{(cf)'(a)=cf'(a),\qquad (-f)'(a)=-f'(a),\qquad (f-g)'(a)=f'(a)-g'(a).} \]

Demostración. Por el tipado de Proposición §16.3.2 — Existencia y tipado de las operaciones puntuales, \(cf:D\to\mathbb R\) está definida para todo \(c\), incluso \(c=0\). Si \(x\in D_a\), la aritmética del cuerpo da la identidad exacta

\[ q_{cf,a}(x)=\frac{cf(x)-cf(a)}{x-a}=c\,q_{f,a}(x). \]

Como \(q_{f,a}\) tiende a \(f'(a)\) en el dominio \(D_a\), la regla escalar de límites Teorema §16.3.3 — Suma, resta y multiplicación por escalares demuestra que \(q_{cf,a}\) tiende a \(cf'(a)\); este resultado incluye \(c=0\), donde el cociente es constantemente cero. La definición de derivada y su unicidad prueban la primera fórmula.

Con \(c=-1\) obtenemos \((-f)'(a)=-f'(a)\). Aplicamos este mismo caso a \(g\), y después el teorema de la suma a las dos funciones derivables \(f\) y \(-g\). Puesto que \(f-g=f+(-g)\) como funciones tipadas sobre \(D\), resulta

\[ (f-g)'(a)=(f+(-g))'(a)=f'(a)+(-g)'(a)=f'(a)-g'(a). \]

No se necesita ninguna decisión sobre el signo de \(c\), ni se eligen testigos para una familia infinita de funciones. \(\square\)

Teorema 19.4.3 — Regla de derivación del producto

Sean \(f,g:D\to\mathbb R\) derivables en \(a\in D\cap\operatorname{Acc}(D)\). Entonces el producto puntual \(fg:D\to\mathbb R\) es derivable en \(a\) y

\[ \boxed{(fg)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a).} \]

Demostración. El producto \(fg:D\to\mathbb R\) existe por Proposición §16.3.2 — Existencia y tipado de las operaciones puntuales. Para cada \(x\in D_a\), sumemos y restemos el término \(f(x)g(a)\) en el numerador; esta manipulación es válida independientemente de que \(f(a)\) o \(g(a)\) sean nulos:

\[ \begin{aligned} q_{fg,a}(x) &=\frac{f(x)g(x)-f(a)g(a)}{x-a}\\ &=\frac{f(x)[g(x)-g(a)]+g(a)[f(x)-f(a)]}{x-a}\\ &=f(x)q_{g,a}(x)+g(a)q_{f,a}(x). \end{aligned} \]

Control del factor variable. La derivabilidad de \(f\) implica su continuidad en \(a\) por Teorema §19.2.1 — Toda función derivable en un punto es continua en él. Es decir, dado \(\varepsilon>0\), existe \(r>0\) tal que \(x\in D\) y \(|x-a|<r\) implican \(|f(x)-f(a)|<\varepsilon\). Esa misma desigualdad, aplicada sólo a \(x\in D_a\), demuestra directamente por Definición §16.1.2 — Límite real finito de una función relativo a su dominio que la restricción de \(f\) al dominio perforado tiene límite \(f(a)\) en \(a\); el punto \(a\) acumula \(D_a\) por Lema §19.1.2 — Perforar el dominio preserva la acumulación en el centro. No se utiliza un valor ficticio de \(q_{f,a}(a)\).

Por definición de derivada, \(q_{g,a}\) tiende a \(g'(a)\) y \(q_{f,a}\) tiende a \(f'(a)\), ambos sobre \(D_a\). En ese dominio común, el teorema del producto de límites Teorema §16.3.4 — Producto y valor absoluto da

\[ \lim_{\substack{x\to a\\x\in D_a}}f(x)q_{g,a}(x)=f(a)g'(a), \]

y la regla escalar Teorema §16.3.3 — Suma, resta y multiplicación por escalares da el límite \(g(a)f'(a)\) para el segundo término. La regla de suma de ese mismo teorema y la identidad exacta del cociente prueban

\[ \lim_{\substack{x\to a\\x\in D_a}}q_{fg,a}(x) =f(a)g'(a)+g(a)f'(a). \]

En consecuencia, \(fg\) es derivable en \(a\), y la unicidad de su derivada establece la fórmula anunciada. Los límites invocados son los límites de funciones del capítulo 16, no los de sucesiones ni ningún resultado global de diferenciación. \(\square\)

Lectura de la regla. No es correcto escribir \((fg)'(a)=f'(a)g'(a)\). El incremento de un producto distribuye la variación entre sus dos factores; uno de ellos se conserva con su valor en el centro mientras el otro aporta su derivada. La continuidad del factor variable es exactamente lo que permite reemplazar \(f(x)\) por \(f(a)\) en el límite.

Corolario 19.4.4 — Derivada del cuadrado de una función

Si \(f:D\to\mathbb R\) es derivable en \(a\in D\cap\operatorname{Acc}(D)\), la función \(h:D\to\mathbb R\) definida por \(h(x)=f(x)^2\) es derivable en \(a\) y

\[ \boxed{h'(a)=2f(a)f'(a),\qquad 2:=1+1\ \text{en }\mathbb R.} \]

Demostración. Por la notación de cuadrado Notación §3.1.7 — Cuadrado, \(h=ff\) es el producto puntual ya construido de \(f\) consigo misma. Aplicando Teorema §19.4.3 — Regla de derivación del producto con ambos factores iguales, obtenemos

\[ h'(a)=f'(a)f(a)+f(a)f'(a)=(1+1)f(a)f'(a)=2f(a)f'(a). \]

La constante \(2\) es aquí la suma de dos unidades reales. No hemos supuesto ni construido una regla para potencias arbitrarias a partir de este caso particular. \(\square\)

Transición. Las operaciones sin división conservan el dominio \(D\) de los factores. Para un cociente, en cambio, habrá que restringirlo explícitamente al conjunto donde el denominador no se anula y comprobar que el punto sigue siendo de acumulación de ese dominio. En §19.5 desarrollaremos el recíproco y la regla del cociente con esa precaución, sin adelantar la regla de la cadena.

19.5. Derivación del recíproco y del cociente

La división introduce una diferencia respecto de §19.4: aunque \(f,g:D\to\mathbb R\) tengan el mismo dominio, la función \(f/g\) sólo está definida en \(D_g:=\{x\in D:g(x)\ne0\}\). Antes de escribir una derivada debemos comprobar tanto que \(a\in D_g\) como que \(a\) es punto de acumulación de ese dominio, no únicamente de \(D\). La continuidad de \(g\) y la condición \(g(a)\ne0\) resolverán simultáneamente ambas cuestiones.

Partiremos de un principio sobre restricciones que también será útil para la regla de la cadena: una derivada relativa a un dominio mayor se conserva al restringirlo, siempre que el punto siga siendo de acumulación. Para el recíproco calcularemos directamente el cociente incremental; la regla del cociente se deducirá entonces de la del producto. Todos los límites y derivadas se entenderán relativamente a los dominios expresamente indicados.

Lema 19.5.1 — La coincidencia local conserva la acumulación

Sean \(E\subseteq D\subseteq\mathbb R\) y \(a\in E\cap\operatorname{Acc}(D)\). Supongamos que existe \(r>0\) tal que

\[ D\cap B_r(a)\subseteq E. \]

Entonces \(a\in\operatorname{Acc}(E)\); en particular, los dominios perforados de \(E\) y \(D\) coinciden dentro de esa bola:

\[ \boxed{E\cap(B_r(a)\setminus\{a\})=D\cap(B_r(a)\setminus\{a\}).} \]

Demostración. La inclusión \(E\subseteq D\) y la hipótesis local prueban por doble inclusión la igualdad del recuadro. Para demostrar la acumulación, fijemos cualquier \(\rho>0\). El número \(\eta:=\min\{r,\rho\}>0\) está determinado por dos valores positivos. Como \(a\in\operatorname{Acc}(D)\), el criterio de bolas perforadas Lema §16.1.1 — Acumulación y aproximación perforada proporciona un \(x\in D\) con \(0<|x-a|<\eta\). En particular, \(x\in B_r(a)\), de donde \(x\in E\), y \(0<|x-a|<\rho\). Por el mismo criterio, \(a\in\operatorname{Acc}(E)\). La prueba toma un testigo sólo después de fijar \(\rho\); no construye ninguna elección simultánea. \(\square\)

Proposición 19.5.2 — Restricción de una función derivable

Sean \(f:D\to\mathbb R\) derivable en \(a\in D\cap\operatorname{Acc}(D)\) y \(E\subseteq D\) tal que \(a\in E\cap\operatorname{Acc}(E)\). La restricción tipada \(f\upharpoonright E:E\to\mathbb R\) es derivable en \(a\) y

\[ \boxed{(f\upharpoonright E)'(a)=f'(a).} \]

No se requiere que \(E\) coincida localmente con \(D\): basta que contenga \(a\) y conserve la acumulación. Si \(E\) sí coincide localmente con \(D\), el lema anterior garantiza esta última hipótesis.

Demostración. La restricción existe con dominio exactamente \(E\) y codominio \(\mathbb R\) por Definición §1.3.1 — Restricción de una función y Proposición §1.3.2 — Existencia y unicidad de la restricción; además, \((f\upharpoonright E)(a)=f(a)\). Fijemos \(L:=f'(a)\) y \(\varepsilon>0\). La derivabilidad de \(f\) sobre \(D\) proporciona \(\delta>0\) tal que, para todo \(x\in D\) con \(0<|x-a|<\delta\),

\[ \left|\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-L\right|<\varepsilon. \]

La misma desigualdad y el mismo radio valen para cada \(x\in E\setminus\{a\}\), porque \(E\subseteq D\) y los valores de la restricción coinciden. Como \(a\in\operatorname{Acc}(E)\), su dominio perforado acumula en \(a\) por Lema §19.1.2 — Perforar el dominio preserva la acumulación en el centro; por la definición de derivada, \(f\upharpoonright E\) es derivable allí. La unicidad Proposición §19.1.4 — Unicidad y criterio cuantificado de la derivada identifica su derivada con \(L\). No se extiende una derivada definida solamente en un subconjunto a uno mayor: la afirmación tiene exclusivamente la dirección indicada. \(\square\)

Teorema 19.5.3 — Regla de derivación del recíproco

Sea \(g:D\to\mathbb R\) derivable en \(a\in D\cap\operatorname{Acc}(D)\) y supongamos \(g(a)\ne0\). Formemos, por Separación, el dominio efectivo

\[ D_g:=\{x\in D:g(x)\ne0\} \]

y la función ya legitimada en Proposición §16.3.2 — Existencia y tipado de las operaciones puntuales, \(u:=1/g:D_g\to\mathbb R\). Entonces \(a\in D_g\cap\operatorname{Acc}(D_g)\), \(u\) es derivable en \(a\) relativamente a \(D_g\) y

\[ \boxed{\left(\frac1g\right)'(a)=-\frac{g'(a)}{g(a)^2}.} \]

Demostración. Pongamos \(M:=g(a)\ne0\) y \(L:=g'(a)\). Por Teorema §19.2.1 — Toda función derivable en un punto es continua en él, \(g\) es continua en \(a\) relativamente a \(D\). El lema de separación Lema §17.4.2 — Acotación local y separación de un valor no nulo proporciona \(r>0\) tal que

\[ \forall x\in D:\quad |x-a|<r\Longrightarrow |g(x)|>\frac{|M|}{2}>0. \]

Así, \(D\cap B_r(a)\subseteq D_g\) y \(a\in D_g\). El lema anterior Lema §19.5.1 — La coincidencia local conserva la acumulación, aplicado a \(E=D_g\), asegura \(a\in\operatorname{Acc}(D_g)\). Por ello el cociente incremental de \(u:D_g\to\mathbb R\) tiene un dominio perforado que acumula en \(a\); todas las derivadas que aparecerán están correctamente tipadas.

Para \(x\in D_g\setminus\{a\}\), las operaciones del cuerpo, con \(g(x)M(x-a)\ne0\), dan la identidad exacta

\[ \begin{aligned} q_{u,a}(x) &=\frac{g(x)^{-1}-M^{-1}}{x-a} =\frac{M-g(x)}{M g(x)(x-a)} =-\frac{q_{g,a}(x)}{M g(x)}. \end{aligned} \]

Restando el valor candidato \(-L/M^2\), se obtiene, otra vez sólo para los puntos perforados del dominio efectivo,

\[ \left|q_{u,a}(x)+\frac{L}{M^2}\right| =\frac{|L(g(x)-M)-M(q_{g,a}(x)-L)|}{|M|^2|g(x)|} \le\frac{2|L|}{|M|^3}|g(x)-M| +\frac{2}{|M|^2}|q_{g,a}(x)-L|, \]

donde la última estimación utiliza \(|g(x)|>|M|/2\) si \(|x-a|<r\). Fijemos \(\varepsilon>0\). Por continuidad de \(g\) existe \(\delta_g>0\) tal que \(|g(x)-M|<\varepsilon |M|^3/[4(|L|+1)]\) en \(D\cap B_{\delta_g}(a)\). Por derivabilidad, existe \(\delta_q>0\) tal que \(|q_{g,a}(x)-L|<\varepsilon|M|^2/4\) en el dominio perforado dentro de \(B_{\delta_q}(a)\). Con el mínimo finito

\[ \delta:=\min\{r,\delta_g,\delta_q\}>0, \]

para todo \(x\in D_g\) con \(0<|x-a|<\delta\) obtenemos

\[ \left|q_{u,a}(x)+\frac{L}{M^2}\right| <\frac{\varepsilon |L|}{2(|L|+1)}+\frac\varepsilon2<\varepsilon. \]

Si \(L=0\), el primer sumando es nulo y la última desigualdad sigue siendo estricta gracias al segundo; si \(L\ne0\), ambas cotas son estrictas. En todos los casos el argumento prueba el límite del cociente incremental, y su unicidad establece \(u'(a)=-L/M^2\). Sólo se han elegido tres radios para la tolerancia fijada, sin selección de una familia infinita. \(\square\)

Interpretación. El signo negativo procede de intercambiar \(g(x)-g(a)\) por \(g(a)-g(x)\) en la diferencia de los recíprocos. La hipótesis \(g(a)\ne0\) es indispensable: garantiza el valor central, la separación local y el denominador \(g(a)^2\) de la fórmula. Ni la continuidad ni la derivabilidad autorizan evaluar un recíproco en un cero.

Teorema 19.5.4 — Regla de derivación del cociente

Sean \(f,g:D\to\mathbb R\) derivables en \(a\in D\cap\operatorname{Acc}(D)\) y supongamos \(g(a)\ne0\). Con \(D_g:=\{x\in D:g(x)\ne0\}\), la función \(h:=f/g:D_g\to\mathbb R\) es derivable en \(a\) relativamente a \(D_g\) y

\[ \boxed{\left(\frac fg\right)'(a) =\frac{f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{g(a)^2}.} \]

Demostración. La derivabilidad de \(g\) implica su continuidad en \(a\), y la condición \(g(a)\ne0\) da \(D\cap B_r(a)\subseteq D_g\) para algún \(r>0\) por Lema §17.4.2 — Acotación local y separación de un valor no nulo. En consecuencia, el lema Lema §19.5.1 — La coincidencia local conserva la acumulación garantiza \(a\in D_g\cap\operatorname{Acc}(D_g)\). La proposición Proposición §19.5.2 — Restricción de una función derivable permite restringir \(f\) a este dominio y asegura

\[ F:=f\upharpoonright D_g:D_g\to\mathbb R, \qquad F(a)=f(a),\quad F'(a)=f'(a). \]

Por el teorema anterior, \(u:=1/g:D_g\to\mathbb R\) es derivable en \(a\), con \(u(a)=1/g(a)\) y \(u'(a)=-g'(a)/g(a)^2\). Como las dos funciones \(F,u\) comparten exactamente el dominio \(D_g\) y el codominio \(\mathbb R\), la regla del producto Teorema §19.4.3 — Regla de derivación del producto es aplicable. Además, \(h=Fu\) como funciones tipadas: tienen el mismo dominio, codominio y valores. Por ello

\[ \begin{aligned} h'(a)&=F'(a)u(a)+F(a)u'(a)\\ &=\frac{f'(a)}{g(a)}-\frac{f(a)g'(a)}{g(a)^2}\\ &=\frac{f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{g(a)^2}. \end{aligned} \]

Cada división está legitimada por \(g(a)\ne0\), que también implica \(g(a)^2\ne0\). No se han identificado \(f\) y \(F\), cuyos dominios son distintos cuando \(D_g\ne D\); se utilizan únicamente sus valores y derivadas coincidentes en \(a\). No hemos empleado la regla de la cadena ni el teorema del valor medio. \(\square\)

Corolario 19.5.5 — Funciones fraccionarias afines y ceros excluidos

Sean \(m,b,c,d\in\mathbb R\) y definamos \(f,g:\mathbb R\to\mathbb R\) por \(f(x)=mx+b\) y \(g(x)=cx+d\). En el dominio efectivo \(D_g:=\{x\in\mathbb R:cx+d\ne0\}\), la función \(h=f/g:D_g\to\mathbb R\) es derivable en cada punto \(a\in D_g\) y

\[ \boxed{h'(a)=\frac{md-bc}{(ca+d)^2}.} \]

En particular, \(x\mapsto 1/x\) es una función \(\mathbb R\setminus\{0\}\to\mathbb R\) derivable en cada \(a\ne0\), con derivada \(-1/a^2\). Una cancelación algebraica en una expresión, como \(x/x=1\) para \(x\ne0\), no añade automáticamente el punto \(0\) al dominio de la función original ni le atribuye derivada allí.

Demostración. Por Proposición §19.1.6 — Primeros cálculos: funciones afines y función cuadrática, las funciones afines \(f\) y \(g\) son derivables sobre \(\mathbb R\) con \(f'(a)=m\) y \(g'(a)=c\). Fijemos \(a\in D_g\); entonces \(ca+d\ne0\) y \(a\in\operatorname{Acc}(\mathbb R)\). La regla del cociente prueba la derivabilidad de \(h\) en \(a\) relativamente a \(D_g\) y da

\[ h'(a)=\frac{m(ca+d)-(ma+b)c}{(ca+d)^2} =\frac{md-bc}{(ca+d)^2}. \]

La arbitrariedad de \(a\) establece la afirmación en todo el dominio, incluido el caso \(D_g=\varnothing\), para el cual no se asevera derivada en ningún punto. Tomar \(m=0,b=1,c=1,d=0\) da la fórmula de \(1/x\) sobre \(\mathbb R\setminus\{0\}\); tomar \(m=c=1,b=d=0\) muestra que \(x/x\) coincide punto a punto con la función constante \(1\) restringida al mismo dominio perforado, pero difiere de la constante \(1:\mathbb R\to\mathbb R\) como función tipada. En particular, \(0\notin D_g\) y \(h'(0)\) carece de significado. \(\square\)

Transición. Las reglas anteriores combinan funciones reales con valores y derivadas calculados en un punto, siempre dentro de un dominio efectivo comprobado. En §19.6 estudiaremos la composición: su dominio será también un subconjunto explícito, y la regla de la cadena se demostrará sin suponer que las pendientes secantes puedan evaluarse en puntos donde el incremento interior se anula.

19.6. La regla de la cadena: composición y anulación de incrementos interiores

Las reglas precedentes operan con funciones que comparten argumento. En una composición, la variación pasa por un valor intermedio: primero cambia \(g(x)\) y después cambia \(f(g(x))\). La expresión habitual

\[ \frac{f(g(x))-f(g(a))}{x-a} =\frac{f(g(x))-f(g(a))}{g(x)-g(a)} \frac{g(x)-g(a)}{x-a} \]

no es una identidad universal: el primer factor no está definido si \(g(x)=g(a)\), aunque \(x\ne a\). El problema puede aparecer en puntos arbitrariamente próximos a \(a\), incluso cuando ambas funciones son derivables. Construiremos un factor exterior con valor definido en el centro para demostrar una identidad legítima en todo el dominio perforado.

La composición conserva además un dominio efectivo, ya construido en Proposición §16.4.1 — Dominio efectivo y tipado de la composición y reutilizado en Teorema §17.4.5 — Composición en el dominio efectivo. Para \(g:D\to\mathbb R\) y \(f:E\to\mathbb R\), con \(D,E\subseteq\mathbb R\), dicho dominio es

\[ T:=g^{-1}[E]=\{x\in D:g(x)\in E\}. \]

El cambio explícito de codominio de \(g\upharpoonright T\) a \(E\) produce \(g_T:T\to E\); la composición tipada es \(h:=f\circ g_T:T\to\mathbb R\). En general, \(a\in\operatorname{Acc}(D)\) y \(g(a)\in\operatorname{Acc}(E)\) no implican \(a\in\operatorname{Acc}(T)\), de modo que esta última condición deberá constar en el teorema.

Lema 19.6.1 — Extensión continua del cociente incremental exterior

Sean \(E\subseteq\mathbb R\), \(f:E\to\mathbb R\) y \(b\in E\cap\operatorname{Acc}(E)\). Si \(f\) es derivable en \(b\), existe una función \(A_{f,b}:E\to\mathbb R\), determinada de manera única por

\[ \boxed{A_{f,b}(y):= \begin{cases} \dfrac{f(y)-f(b)}{y-b},&y\ne b,\\[5pt] f'(b),&y=b, \end{cases}} \]

que es continua en \(b\) relativamente a \(E\) y satisface, para todo \(y\in E\),

\[ \boxed{f(y)-f(b)=A_{f,b}(y)(y-b),\qquad A_{f,b}(b)=f'(b).} \]

Demostración. Fijemos \(L:=f'(b)\). El grafo de \(A_{f,b}\) se obtiene por Separación en \(E\times\mathbb R\): un par \(\langle y,z\rangle\) pertenece a él cuando \((y\ne b\land (y-b)z=f(y)-f(b))\) o \((y=b\land z=L)\). Para \(y\ne b\) existe exactamente un \(z\), porque \(y-b\) es invertible; para \(y=b\) existe exactamente \(z=L\). Las alternativas son disjuntas y cubren \(E\), luego el grafo determina una función con los tipos indicados. No se selecciona ningún representante ni se asigna un cociente a una división por cero.

Para \(y\ne b\), la identidad del recuadro sigue multiplicando la definición por \(y-b\). En \(y=b\), ambos lados son cero; por tanto, la identidad vale también allí sin realizar esa división.

Resta comprobar continuidad. Fijemos \(\varepsilon>0\). Por la definición de \(f'(b)\) existe \(\eta>0\) tal que, para todo \(y\in E\) con \(0<|y-b|<\eta\),

\[ \left|\frac{f(y)-f(b)}{y-b}-L\right|<\varepsilon. \]

Si \(y\in E\) y \(|y-b|<\eta\), cuando \(y\ne b\) esta desigualdad es precisamente \(|A_{f,b}(y)-A_{f,b}(b)|<\varepsilon\); cuando \(y=b\), la diferencia vale cero y también es menor que \(\varepsilon\). El mismo radio sirve en ambos casos, de modo que \(A_{f,b}\) es continua en \(b\) relativamente a \(E\). Sólo se ha usado una instancia de la condición de derivabilidad para cada tolerancia, sin ningún axioma de elección. \(\square\)

Lectura de la construcción. \(A_{f,b}\) no es una nueva derivada ni convierte automáticamente al cociente incremental original en una función definida en \(b\). Es otra función, cuyo valor central se ha establecido mediante la derivada ya existente. La igualdad de incrementos es válida aun cuando el incremento \(y-b\) sea nulo.

Teorema 19.6.2 — Regla de la cadena en el dominio efectivo

Sean \(D,E\subseteq\mathbb R\), \(g:D\to\mathbb R\) y \(f:E\to\mathbb R\). Fijemos

\[ T:=\{x\in D:g(x)\in E\},\qquad g_T:T\to E,\qquad h:=f\circ g_T:T\to\mathbb R, \]

con el cambio de codominio y la composición exactamente como en Proposición §16.4.1 — Dominio efectivo y tipado de la composición. Supongamos que

1. \(a\in T\cap\operatorname{Acc}(T)\) y \(g\) es derivable en \(a\) relativamente a \(D\);
2. \(b:=g(a)\in E\cap\operatorname{Acc}(E)\) y \(f\) es derivable en \(b\) relativamente a \(E\).

Entonces \(h\) es derivable en \(a\) relativamente a \(T\) y

\[ \boxed{h'(a)=f'(g(a))\,g'(a).} \]

No se supone que \(g(x)\ne g(a)\) para \(x\ne a\), que \(g'(a)\) sea distinto de cero, que \(T\) sea abierto, ni que \(g[T]\) contenga una vecindad de \(b\).

Demostración. 1. Existencia y dominios. Por Proposición §16.4.1 — Dominio efectivo y tipado de la composición, \(T\) es un conjunto, \(g_T:T\to E\) es una función y \(h=f\circ g_T:T\to\mathbb R\) está bien definida, con \(h(x)=f(g(x))\) para todo \(x\in T\). La hipótesis \(a\in T\cap\operatorname{Acc}(T)\) garantiza que existe el dominio perforado necesario para el límite de \(h\); como \(T\subseteq D\), también \(a\in\operatorname{Acc}(D)\). La proposición Proposición §19.5.2 — Restricción de una función derivable conserva, al restringir \(g\) a \(T\) con codominio \(\mathbb R\), la derivada \(g'(a)\). El mero cambio posterior del codominio a \(E\) no altera ninguno de sus valores.

2. Identidad que no divide por el incremento interior. Sean \(L:=f'(b)\) y \(M:=g'(a)\). El lema anterior proporciona \(A:=A_{f,b}:E\to\mathbb R\), continua en \(b\), tal que \(f(y)-f(b)=A(y)(y-b)\) para todo \(y\in E\). Por consiguiente, para cada \(x\in T\setminus\{a\}\),

\[ \begin{aligned} q_{h,a}(x) &=\frac{f(g(x))-f(b)}{x-a}\\ &=A(g(x))\frac{g(x)-g(a)}{x-a}\\ &=A(g(x))q_{g,a}(x). \end{aligned} \]

Sólo se divide por \(x-a\ne0\). Si \(g(x)=g(a)=b\), el incremento de \(h\) es cero, \(A(g(x))=L\) y \(q_{g,a}(x)=0\); la identidad sigue siendo verdadera. En ningún momento se introduce el cociente \([f(g(x))-f(b)]/[g(x)-b]\) en tales puntos.

3. Paso al límite con radios explícitos. La derivabilidad de \(g\) implica su continuidad en \(a\) (Teorema §19.2.1 — Toda función derivable en un punto es continua en él). Fijemos \(\varepsilon>0\) y pongamos \(C:=|M|+1>0\). Como \(A\) es continua en \(b\), existe \(\eta>0\) tal que

\[ \forall y\in E:\quad |y-b|<\eta\Longrightarrow |A(y)-L|<\frac{\varepsilon}{2C}. \]

Por continuidad de \(g\) en \(a\), existe \(\delta_g>0\) tal que \(x\in D\) y \(|x-a|<\delta_g\) implican \(|g(x)-b|<\eta\). Por derivabilidad de \(g\), apliquemos la condición del cociente incremental a la tolerancia positiva

\[ \theta:=\min\left\{1,\frac{\varepsilon}{2(|L|+1)}\right\}>0. \]

Obtenemos \(\delta_q>0\) tal que \(x\in D\) y \(0<|x-a|<\delta_q\) implican \(|q_{g,a}(x)-M|<\theta\). El número \(\delta:=\min\{\delta_g,\delta_q\}\) es positivo y requiere únicamente un mínimo finito.

Para todo \(x\in T\) con \(0<|x-a|<\delta\) tenemos \(g(x)\in E\), \(|g(x)-b|<\eta\), \(|q_{g,a}(x)-M|<1\) y, por desigualdad triangular, \(|q_{g,a}(x)|<C\). Utilizando la identidad del paso 2,

\[ \begin{aligned} |q_{h,a}(x)-LM| &=|[A(g(x))-L]q_{g,a}(x)+L[q_{g,a}(x)-M]|\\ &\le |A(g(x))-L|\,|q_{g,a}(x)| +|L|\,|q_{g,a}(x)-M|\\ &<\frac{\varepsilon}{2C}C +\frac{|L|\varepsilon}{2(|L|+1)} <\varepsilon. \end{aligned} \]

La última desigualdad incluye \(L=0\). Hemos demostrado que \(q_{h,a}\) tiende a \(LM\) sobre \(T\setminus\{a\}\); la hipótesis de acumulación hace que este límite no sea vacuo, y Proposición §19.1.4 — Unicidad y criterio cuantificado de la derivada identifica su único valor con \(h'(a)\). Los radios \(\eta,\delta_g,\delta_q\) se obtienen mediante una cadena finita de instancias existenciales, no mediante una función de elección. No se usan límites secuenciales ni teoremas del valor medio. \(\square\)

Alcance exacto. El resultado no pretende que la función \(g_T:T\to E\) sea literalmente la misma función que \(g:D\to\mathbb R\): sus dominios o codominios pueden diferir. La derivada de \(g\) aparece legítimamente porque restringimos sus valores a un dominio donde la acumulación está garantizada y empleamos esos mismos valores en la identidad anterior.

Corolario 19.6.3 — Composición con imagen interior contenida en el dominio exterior

Sean \(g:D\to\mathbb R\) y \(f:E\to\mathbb R\), con \(g[D]\subseteq E\). Si \(a\in D\cap\operatorname{Acc}(D)\), \(g\) es derivable en \(a\) y \(f\) es derivable en \(b=g(a)\) relativamente a \(E\), entonces la composición tipada \(h:D\to\mathbb R\), obtenida cambiando el codominio de \(g\) a \(E\) antes de componer, es derivable en \(a\) y

\[ \boxed{(f\circ g_E)'(a)=f'(g(a))g'(a),\qquad g_E:D\to E.} \]

Demostración. Por \(g[D]\subseteq E\), todo \(x\in D\) pertenece al conjunto efectivo \(T=\{x\in D:g(x)\in E\}\) y la inclusión opuesta es inmediata: \(T=D\). En particular, \(a\in T\cap\operatorname{Acc}(T)\). La función \(g_T\) de Proposición §16.4.1 — Dominio efectivo y tipado de la composición tiene ahora dominio \(D\), codominio \(E\) y los valores de \(g\); llamémosla \(g_E\). Las demás hipótesis son exactamente las del teorema anterior, cuya aplicación da la afirmación. No se ha identificado \(g_E\) con \(g\) como objetos tipados. \(\square\)

Proposición 19.6.4 — La acumulación del dominio efectivo no se hereda automáticamente

Es posible que \(g:D\to\mathbb R\) sea derivable en \(a\), que \(f:E\to\mathbb R\) sea derivable en \(g(a)\) y que ambos centros sean puntos de acumulación de sus dominios, pero que la composición efectiva tenga un punto aislado en \(a\) y, por definición, no sea derivable allí.

Demostración. Tomemos \(D=\mathbb R\), \(E=\{y\in\mathbb R:y\le0\}\), \(a=0\), y las funciones \(g:D\to\mathbb R\), \(g(x)=x^2\), y \(f:E\to\mathbb R\), \(f(y)=y\). El punto \(0\) acumula \(D\), pues \(r/2\in D\setminus\{0\}\) pertenece a toda bola de radio \(r>0\) suficientemente indicada por esa fórmula. También acumula \(E\): el punto \(-r/2\in E\setminus\{0\}\) cumple \(|-r/2|<r\). Por Proposición §19.1.6 — Primeros cálculos: funciones afines y función cuadrática, \(g\) es derivable en \(0\), con \(g'(0)=0\). La identidad \(\mathbb R\to\mathbb R\) es derivable en \(0\) con derivada \(1\) y, por Proposición §19.5.2 — Restricción de una función derivable, también lo es su restricción \(f:E\to\mathbb R\), con \(f'(0)=1\).

Sin embargo, \(g(x)=x^2\ge0\) para todo real \(x\), y \(x^2=0\) equivale a \(x=0\) por las propiedades del cuerpo ordenado. En consecuencia,

\[ T=\{x\in\mathbb R:g(x)\in E\} =\{x\in\mathbb R:x^2\le0\}=\{0\}. \]

La composición \(h:T\to\mathbb R\) existe y satisface \(h(0)=0\), pero \(0\notin\operatorname{Acc}(T)\): ninguna bola perforada contiene puntos del singleton. Por Definición §19.1.3 — Derivabilidad en un punto, \(h'(0)\) no está definida, aunque las dos derivadas de entrada existan. La condición de acumulación efectiva del teorema no puede suprimirse sin modificar nuestra definición de derivada. \(\square\)

Corolario 19.6.5 — Derivada de una composición racional cuadrática

La función \(h:\mathbb R\to\mathbb R\) definida por

\[ \boxed{h(x)=\frac{1}{x^2+1}} \]

está bien definida y es derivable en todo \(a\in\mathbb R\), con

\[ \boxed{h'(a)=-\frac{2a}{(a^2+1)^2}.} \]

Demostración. La función interior \(g:\mathbb R\to\mathbb R\), \(g(x)=x^2+1\), se obtiene sumando las funciones cuadrática y constante sobre \(\mathbb R\); por Proposición §19.1.6 — Primeros cálculos: funciones afines y función cuadrática y Teorema §19.4.1 — Regla de derivación de la suma es derivable en cada \(a\), con \(g'(a)=2a+0=2a\). Como \(x^2\ge0\) en un cuerpo ordenado, \(g(x)\ge1>0\) para todo \(x\), y por tanto \(g[\mathbb R]\subseteq E:=\mathbb R\setminus\{0\}\).

Tomemos la función exterior \(f:E\to\mathbb R\), \(f(y)=1/y\). Su derivabilidad en cada \(y\in E\) y la fórmula \(f'(y)=-1/y^2\) se demostraron en Corolario §19.5.5 — Funciones fraccionarias afines y ceros excluidos. Además, cada \(b\in E\) es de acumulación de \(E\): tomando \(r>0\), sirve \(b+\min\{r/2,|b|/2\}\) si \(b>0\), y \(b-\min\{r/2,|b|/2\}\) si \(b<0\); ambos son distintos de \(b\), están en \(E\) y distan de \(b\) menos que \(r\). Por la inclusión de imágenes, el dominio efectivo de la composición es toda \(\mathbb R\); aplicamos Corolario §19.6.3 — Composición con imagen interior contenida en el dominio exterior y obtenemos

\[ h'(a)=f'(g(a))g'(a) =-\frac{1}{(a^2+1)^2}\,(2a) =-\frac{2a}{(a^2+1)^2}. \]

No se ha usado una regla genérica de potencias negativas ni una extensión de \(1/y\) al cero; la prueba combina dos derivadas ya justificadas con una composición tipada. \(\square\)

Transición. La regla de la cadena permite relacionar una derivada con la de otra función mediante una composición. En §19.7 estudiaremos el problema inverso: si una función posee una inversa local bien definida, ¿cuándo puede derivarse ésta? Antes de dividir por \(f'(a)\) comprobaremos su no nulidad y la acumulación del dominio de la inversa; no invocaremos Rolle ni el teorema del valor medio.

19.7. La derivada de la función inversa

La regla de la cadena relaciona la derivada de una composición con las de sus factores. Si una función inyectiva admite inversa, cabría esperar que la derivada de esta última fuera el recíproco de la derivada original. Pero la identidad formal \(f(g(y))=y\) no autoriza, por sí sola, a derivar \(g\): primero debemos justificar que la inversa existe con tipos precisos, que su dominio acumula en el punto de interés y que es continua allí. Una derivada no nula controla las pendientes cerca de su propio centro; en dominios arbitrarios no impide que puntos muy alejados tengan imágenes próximas al valor central.

Presentaremos primero el teorema local con la continuidad de la inversa como hipótesis explícita. Después demostraremos que dicha hipótesis se obtiene automáticamente para una función continua e inyectiva definida en un compacto, y delimitaremos con contraejemplos las condiciones empleadas. Todo el razonamiento es anterior a Rolle y al teorema del valor medio.

Proposición 19.7.1 — Construcción tipada de la inversa y acumulación de la imagen

Sean \(D\subseteq\mathbb R\) y \(f:D\to\mathbb R\) inyectiva. Su imagen \(E:=f[D]\) es un subconjunto de \(\mathbb R\). Existe una única función \(g:E\to\mathbb R\) con \(g[E]\subseteq D\) y

\[ \boxed{g(f(x))=x\quad(x\in D),\qquad f(g(y))=y\quad(y\in E).} \]

Si, además, \(a\in D\cap\operatorname{Acc}(D)\) y \(f\) es continua en \(a\) relativamente a \(D\), entonces

\[ \boxed{b:=f(a)\in E\cap\operatorname{Acc}(E).} \]

Demostración. El conjunto \(E=f[D]\) existe mediante la operación de imagen ya construida. El mismo grafo de \(f\), considerado con codominio \(E\), determina una función \(f_E:D\to E\): todo valor de \(f\) pertenece a \(E\) y cada \(y\in E\) es imagen de algún \(x\in D\). Por inyectividad, este último \(x\) es único. Así, \(f_E\) es biyectiva y Teorema §0.6.7 — Caracterización de las funciones invertibles proporciona una función inversa tipada \(j:E\to D\).

Puesto que \(D\subseteq\mathbb R\), el grafo de \(j\) es también un subconjunto de \(E\times\mathbb R\). Con él construimos \(g:E\to\mathbb R\), que satisface \(g(y)=j(y)\in D\). Por las identidades de inversa de \(f_E\) obtenemos las dos igualdades del recuadro. Si \(\widetilde g:E\to\mathbb R\) también toma valores en \(D\) y satisface \(f(\widetilde g(y))=y\), entonces, para cada \(y\in E\), la inyectividad de \(f\) obliga a \(\widetilde g(y)=g(y)\); la igualdad de dominio, codominio y valores da \(\widetilde g=g\). Es importante que \(j:E\to D\) y \(g:E\to\mathbb R\) no son literalmente la misma función tipada cuando \(D\ne\mathbb R\), aunque sus grafos y valores coincidan.

Para la acumulación fijemos \(\rho>0\). Por continuidad de \(f\) en \(a\) existe \(\delta>0\) tal que, si \(x\in D\) y \(|x-a|<\delta\), entonces \(|f(x)-b|<\rho\). Como \(a\in\operatorname{Acc}(D)\), el criterio Lema §16.1.1 — Acumulación y aproximación perforada proporciona un \(x\in D\) con \(0<|x-a|<\delta\). Su imagen \(y=f(x)\) pertenece a \(E\), satisface \(|y-b|<\rho\) y es distinta de \(b=f(a)\) por inyectividad. Así \(0<|y-b|<\rho\). Dado que \(\rho\) era arbitrario, \(b\in\operatorname{Acc}(E)\). No se ha seleccionado simultáneamente un testigo para todos los radios. \(\square\)

Precisión de tipos. En el resto de la sección, «la inversa real» designa \(g:E\to\mathbb R\), mientras que \(f_E^{-1}:E\to D\) es la inversa propiamente dicha de la biyección \(f_E:D\to E\). Sólo la primera tiene automáticamente el codominio exigido por nuestra definición de derivada real.

Teorema 19.7.2 — Derivación de la inversa bajo continuidad y derivada no nula

Sea \(f:D\to\mathbb R\) inyectiva, con \(D\subseteq\mathbb R\), y fijemos \(a\in D\cap\operatorname{Acc}(D)\). Supongamos que \(f\) es derivable en \(a\) y que \(L:=f'(a)\ne0\). Pongamos \(E:=f[D]\), \(b:=f(a)\) y sea \(g:E\to\mathbb R\) la inversa real de la proposición anterior. Si \(g\) es continua en \(b\) relativamente a \(E\), entonces \(g\) es derivable en \(b\) respecto de \(E\) y

\[ \boxed{g'(b)=\frac{1}{f'(a)}.} \]

La continuidad de \(g\) es una hipótesis auténtica; no queda incorporada implícitamente en la palabra «inversa».

Demostración. 1. Acumulación y valores. Por Teorema §19.2.1 — Toda función derivable en un punto es continua en él, la derivabilidad de \(f\) implica continuidad en \(a\). La proposición anterior garantiza \(b\in E\cap\operatorname{Acc}(E)\) y construye \(g\) con \(g(b)=a\) y \(f(g(y))=y\) para todo \(y\in E\). Por tanto el cociente incremental de \(g\) está legítimamente definido en \(E\setminus\{b\}\) y la derivabilidad en \(b\) no será vacua.

2. Denominador separado de cero. Como \(L\ne0\), la derivabilidad de \(f\) aplicada a la tolerancia \(|L|/2>0\) da \(r>0\) tal que

\[ x\in D,\quad 0<|x-a|<r \quad\Longrightarrow\quad |q_{f,a}(x)-L|<|L|/2. \]

La desigualdad triangular inversa implica, en esta vecindad perforada,

\[ |q_{f,a}(x)|\ge |L|-|q_{f,a}(x)-L|>|L|/2>0. \]

3. Aproximación de la pendiente inversa. Fijemos \(\varepsilon>0\). Apliquemos nuevamente la derivabilidad de \(f\), ahora a la tolerancia positiva \(\varepsilon |L|^2/2\), y obtengamos \(s>0\) tal que

\[ x\in D,\quad 0<|x-a|<s \quad\Longrightarrow\quad |q_{f,a}(x)-L|<\varepsilon|L|^2/2. \]

Definamos \(t:=\min\{r,s\}>0\). La continuidad supuesta de \(g\) en \(b\) permite hallar \(\eta>0\) tal que

\[ y\in E,\quad |y-b|<\eta\quad\Longrightarrow\quad |g(y)-a|<t. \]

Sea \(y\in E\) con \(0<|y-b|<\eta\), y pongamos \(x:=g(y)\). Por construcción \(x\in D\) y \(f(x)=y\). Además, \(x\ne a\): de lo contrario \(y=f(x)=f(a)=b\). Luego \(0<|x-a|<t\), de modo que las dos estimaciones anteriores se aplican a \(q_{f,a}(x)\).

La identidad de las pendientes, válida porque ambos incrementos son ahora distintos de cero, es

\[ q_{g,b}(y)=\frac{g(y)-g(b)}{y-b} =\frac{x-a}{f(x)-f(a)} =\frac1{q_{f,a}(x)}. \]

Por consiguiente,

\[ \begin{aligned} \left|q_{g,b}(y)-\frac1L\right| &=\frac{|q_{f,a}(x)-L|}{|L|\,|q_{f,a}(x)|}\\ &<\frac{2}{|L|^2}\,\frac{\varepsilon|L|^2}{2} =\varepsilon. \end{aligned} \]

Hemos encontrado un único \(\eta>0\) para todos los \(y\in E\) con \(0<|y-b|<\eta\); así \(q_{g,b}\) tiene límite \(1/L\) y la definición Definición §19.1.3 — Derivabilidad en un punto, junto con la unicidad, concluye \(g'(b)=1/L\). La prueba emplea dos radios de derivabilidad y uno de continuidad para una tolerancia fijada; no requiere elección ni teoremas globales del capítulo 20. \(\square\)

Interpretación. La pendiente de una secante inversa es el recíproco de la pendiente original sólo cuando ambos incrementos son no nulos. La inyectividad asegura esta condición para argumentos distintos del centro; la continuidad de la inversa aproxima el argumento recuperado \(g(y)\) al punto \(a\), y \(f'(a)\ne0\) permite mantener las pendientes originales alejadas de cero.

Proposición 19.7.3 — Una biyección continua desde un compacto tiene inversa continua

Sea \(K\subseteq\mathbb R\) compacto y \(f:K\to\mathbb R\) continua en todos los puntos de \(K\) e inyectiva. Con \(E:=f[K]\), la inversa real \(g:E\to\mathbb R\) construida en §19.7.1 es continua en todos los puntos de \(E\), con independencia de que \(K\) sea o no un intervalo.

Demostración. Si \(K=\varnothing\), entonces \(E=\varnothing\) y la afirmación universal sobre sus puntos es vacua. Consideremos \(b\in E\). Por §19.7.1 existe un único \(a:=g(b)\in K\) con \(f(a)=b\). Fijemos \(\varepsilon>0\) y formemos, por Separación, el conjunto

\[ F:=\{x\in K:|x-a|\ge\varepsilon\} =K\setminus B_{\varepsilon}(a). \]

Es cerrado relativo en \(K\) porque \(B_{\varepsilon}(a)\cap K\) es abierto relativo. Como \(K\) es compacto, Proposición §18.2.2 — Un cerrado relativo de un compacto es compacto prueba que \(F\) es compacto. La restricción de \(f\) a \(F\) es continua; Teorema §18.5.1 — La imagen continua de un compacto es compacta demuestra que \(f[F]\) es compacto en \(\mathbb R\), y Proposición §18.3.3 — Todo compacto de la recta es cerrado, que es cerrado. La inyectividad de \(f\) y \(a\notin F\) implican \(b=f(a)\notin f[F]\), aun cuando \(F\) sea vacío.

Por tanto, el complemento abierto \(\mathbb R\setminus f[F]\) contiene \(b\). Existe \(\eta>0\) tal que

\[ B_{\eta}(b)\cap f[F]=\varnothing. \]

Si \(y\in E\) satisface \(|y-b|<\eta\), entonces \(x:=g(y)\in K\) y \(f(x)=y\). No puede ocurrir \(x\in F\), pues ello implicaría \(y\in f[F]\cap B_{\eta}(b)\). En consecuencia \(|g(y)-g(b)|=|x-a|<\varepsilon\), que es la continuidad de \(g\) en \(b\) relativamente a \(E\). Se utiliza un solo conjunto \(F\) asociado a la tolerancia y no se eligen preimágenes: la inyectividad ya determina cada una de ellas de forma única. \(\square\)

Corolario 19.7.4 — Derivada de la inversa sobre un compacto

Sea \(K\subseteq\mathbb R\) compacto y \(f:K\to\mathbb R\) continua e inyectiva. Si \(a\in K\cap\operatorname{Acc}(K)\), \(f\) es derivable en \(a\) relativamente a \(K\) y \(f'(a)\ne0\), entonces la inversa real \(g:f[K]\to\mathbb R\) es derivable en \(b=f(a)\) y

\[ \boxed{g'(f(a))=\frac1{f'(a)}.} \]

Demostración. La proposición §19.7.1 construye \(g\) y demuestra que \(b\) acumula \(f[K]\), utilizando la continuidad de \(f\), su inyectividad y la acumulación de \(K\) en \(a\). La proposición anterior asegura que \(g\) es continua en \(b\). Todas las hipótesis de Teorema §19.7.2 — Derivación de la inversa bajo continuidad y derivada no nula están satisfechas, incluida \(f'(a)\ne0\); aplicar ese teorema produce la fórmula. No se supone que \(K\) sea un intervalo ni que el teorema del valor medio esté disponible. \(\square\)

Proposición 19.7.5 — Necesidad de las hipótesis: dos contraejemplos

Las siguientes afirmaciones son falsas si se omiten sus respectivas hipótesis: (i) una función inyectiva y derivable con derivada no nula tiene necesariamente inversa continua en el valor correspondiente, cuando su dominio es arbitrario; (ii) la inversa continua de una función derivable sobre un compacto es necesariamente derivable si se permite \(f'(a)=0\).

Demostración. (i) Derivada no nula sin continuidad de la inversa. Para \(n\in\mathbb N\) escribamos \(m_n:=\nu_{\mathbb R}(n+2_{\mathbb N})\ge2\); el símbolo \(\nu_{\mathbb R}\) es la aplicación canónica de numerales, no una identificación conjuntista de naturales y reales. Formemos los conjuntos

\[ A:=\{x\in\mathbb R:\exists n\in\mathbb N,\ x=m_n^{-1}\},\qquad B:=\{x\in\mathbb R:\exists n\in\mathbb N,\ x=m_n\},\qquad D:=\{0\}\cup A\cup B. \]

Se tiene \(A\subset(0,1)\) y \(B\subset[2,\infty)\), de modo que estas partes y \(\{0\}\) son disjuntas. Construyamos por Separación la función \(f:D\to\mathbb R\) con valores

\[ f(0)=0,\qquad f(x)=x\ (x\in A),\qquad f(x)=-x^{-1}\ (x\in B). \]

Las aplicaciones \(n\mapsto m_n\) y \(n\mapsto m_n^{-1}\) son inyectivas por la inyectividad de los numerales y del recíproco en números no nulos. Los valores de las tres ramas son respectivamente cero, positivos y negativos; por tanto \(f\) es inyectiva. La propiedad arquimediana Teorema §4.6.3 — Todo cuerpo ordenado completo es arquimediano asegura que los recíprocos \(m_n^{-1}\) pueden hacerse menores que cualquier radio positivo: para cada \(r>0\) existe \(n\) con \(0<m_n^{-1}<r\). Así \(0\in\operatorname{Acc}(D)\).

Cuando \(x\in D\) y \(0<|x|<1\), necesariamente \(x\in A\) y \(f(x)=x\); en consecuencia \(q_{f,0}(x)=1\) para esos argumentos. El radio \(\delta=1\) sirve para toda tolerancia, luego \(f'(0)=1\ne0\). Sin embargo, \(E=f[D]\) contiene \(-m_n^{-1}\) para todos los \(n\), y su inversa real satisface

\[ g(-m_n^{-1})=m_n\ge2, \qquad g(0)=0. \]

Para cualquier \(\eta>0\) existe \(n\) con \(|-m_n^{-1}|<\eta\), mientras \(|g(-m_n^{-1})-g(0)|\ge2>1\). La condición de continuidad de \(g\) en \(0\) falla ya para \(\varepsilon=1\). En particular, \(g\) tampoco es derivable allí por Teorema §19.2.1 — Toda función derivable en un punto es continua en él. La continuidad de la inversa no puede deducirse de la derivabilidad local de \(f\) en un dominio no compacto y desconectado.

(ii) Inversa continua con derivada original nula. Tomemos \(K=[0,1]\) y \(f:K\to\mathbb R\), \(f(x)=x^2\). El intervalo es compacto por Teorema §18.2.1 — Todo intervalo cerrado y acotado es compacto, y \(f\) es continua por Teorema §17.5.3 — Todo polinomio real es continuo en la recta. Si \(0\le x<z\le1\), entonces \(z^2-x^2=(z-x)(z+x)>0\), por lo que \(f\) es inyectiva. Además \(0\in\operatorname{Acc}(K)\); por Proposición §19.1.6 — Primeros cálculos: funciones afines y función cuadrática y restricción Proposición §19.5.2 — Restricción de una función derivable, \(f'(0)=0\). La inversa real \(g:E=f[K]\to\mathbb R\) es continua por §19.7.3 y satisface \(g(0)=0\), \(g(t^2)=t\) para todo \(0\le t\le1\).

Si \(g'(0)=M\) existiera, su definición con \(\varepsilon=1\) proporcionaría \(\delta>0\) tal que

\[ y\in E,\quad 0<y<\delta \quad\Longrightarrow\quad |q_{g,0}(y)-M|<1. \]

Escojamos explícitamente un real \(t\) con

\[ 0<t<\min\{1/2,\delta/2,1/(|M|+2)\}. \]

Por ejemplo, sirve la mitad de ese mínimo positivo. Entonces \(0<t<1\), \(y:=t^2\in E\) satisface \(0<y<t<\delta\) y

\[ q_{g,0}(t^2)=\frac{g(t^2)-g(0)}{t^2} =\frac t{t^2}=\frac1t>|M|+2. \]

De aquí \(|q_{g,0}(t^2)-M|\ge1/t-|M|>2\), contradicción. Luego \(g\) es continua pero no derivable en \(0\). La no nulidad de \(f'(a)\) no es sólo una precaución para escribir el recíproco: constituye una condición sustantiva del teorema. \(\square\)

Transición. Hemos probado la fórmula de la derivada inversa y aislado dos obstáculos independientes: la continuidad de la inversa y la anulación de la derivada original. La siguiente unidad, §19.8, distinguirá derivadas laterales de derivadas relativas a un dominio y cerrará las herramientas locales antes de los teoremas globales del capítulo 20.

19.8. Derivadas laterales y dependencia del dominio

La definición de §19.1 permite derivar en el extremo de un intervalo: exige un límite de pendientes sobre todos los puntos disponibles del dominio, aunque sólo se aproximen por un lado. Para distinguir esa situación de un punto interior, reutilizaremos los dominios laterales y sus límites, ya construidos en §16.5. Una derivada lateral no será una derivada definida por una condición vacía: exigiremos acumulación desde el lado correspondiente. Esta distinción prepara los extremos locales y los teoremas del valor medio, cuyo estudio pertenece al capítulo siguiente.

Definición 19.8.1 — Derivabilidad por la izquierda y por la derecha

Sean \(D\subseteq\mathbb R\), \(f:D\to\mathbb R\) y \(a\in D\). Escribimos, conforme a Definición §16.5.1 — Dominios laterales de aproximación,

\[ D_a^-:=\{x\in D:x<a\},\qquad D_a^+:=\{x\in D:a<x\}, \qquad D_a=D\setminus\{a\}=D_a^-\cup D_a^+. \]

Si \(a\in\operatorname{Acc}(D_a^-)\), diremos que \(f\) es derivable por la izquierda en \(a\) cuando existe \(L_-\in\mathbb R\) tal que

\[ \lim_{\substack{x\to a^-\\x\in D}}q_{f,a}(x) =\lim_{\substack{x\to a\\x\in D_a^-}} (q_{f,a}\upharpoonright D_a^-)(x)=L_-. \]

Si \(a\in\operatorname{Acc}(D_a^+)\), diremos que \(f\) es derivable por la derecha en \(a\) cuando existe \(L_+\in\mathbb R\) tal que

\[ \lim_{\substack{x\to a^+\\x\in D}}q_{f,a}(x) =\lim_{\substack{x\to a\\x\in D_a^+}} (q_{f,a}\upharpoonright D_a^+)(x)=L_+. \]

El cociente \(q_{f,a}:D_a\to\mathbb R\) está definido en §19.1; sus restricciones laterales son funciones tipadas a \(\mathbb R\). Las igualdades anteriores son instancias del límite finito de Definición §16.5.3 — Límites finitos por la izquierda y por la derecha, cuya notación sólo se activa si el lado acumula. Ni \(q_{f,a}(a)\) ni una derivada lateral del lado vacío tienen significado. El valor central \(f(a)\) sí es imprescindible en el numerador.

Proposición 19.8.2 — Criterios cuantificados y unicidad lateral

Cuando \(a\in\operatorname{Acc}(D_a^-)\), la derivada izquierda existe y vale \(L_-\) si y sólo si

\[ \boxed{\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0\ \forall x\in D:\quad 0<a-x<\delta\ \Longrightarrow\quad \left|\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-L_-\right|<\varepsilon.} \]

Cuando \(a\in\operatorname{Acc}(D_a^+)\), la derivada derecha existe y vale \(L_+\) si y sólo si

\[ \boxed{\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0\ \forall x\in D:\quad 0<x-a<\delta\ \Longrightarrow\quad \left|\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-L_+\right|<\varepsilon.} \]

El número de cada lado, cuando existe, es único; los dos valores no tienen por qué coincidir.

Demostración. Apliquemos Proposición §16.5.4 — Caracterizaciones unilaterales \(\varepsilon\)–\(\delta\) a la función \(q_{f,a}:D_a\to\mathbb R\). Sus dominios laterales relativos a \(a\) son exactamente \(D_a^-\) y \(D_a^+\), pues \(a\) ya está excluido. En el lado izquierdo, \(0<a-x<\delta\) equivale a \(x\in D_a^-\) y \(0<|x-a|<\delta\); la equivalencia derecha se obtiene sustituyendo \(a-x\) por \(x-a\). La caracterización de límites laterales da las dos condiciones anunciadas, sin evaluar el cociente en \(a\). Para cada lado activo, Teorema §16.1.4 — Unicidad del límite finito aplicado a la correspondiente restricción del cociente garantiza que dos valores de límite necesariamente coinciden. No existe razón para identificar entre sí los límites de dos funciones restringidas a dominios distintos. \(\square\)

Notación 19.8.3 — Derivadas laterales

Si existe la derivada del lado indicado, la designamos por \(f'_-(a)\) o \(f'_+(a)\), respectivamente. Los subíndices \(-\) y \(+\) describen la dirección de aproximación, no el signo del número obtenido: ambas derivadas pueden ser positivas, negativas o nulas. Si un lado no acumula, no se le asigna derivada ni un símbolo con valor ficticio. Esas notaciones se refieren siempre al dominio de la función \(f:D\to\mathbb R\) en cuestión.

Teorema 19.8.4 — Reconstrucción de la derivada desde los lados activos

Sean \(f:D\to\mathbb R\) y \(a\in D\cap\operatorname{Acc}(D)\). Entonces \(f\) es derivable en \(a\) si y sólo si existen todas las derivadas laterales correspondientes a los lados que acumulan en \(a\), y tienen un valor común \(L\). Precisamente:

1. Si ambos lados acumulan, \(f'(a)\) existe si y sólo si existen \(f'_-(a)\) y \(f'_+(a)\) y son iguales; entonces \(f'(a)=f'_-(a)=f'_+(a)\).
2. Si sólo acumula el izquierdo, \(f'(a)\) existe si y sólo si existe \(f'_-(a)\), y ambos valores coinciden.
3. Si sólo acumula el derecho, \(f'(a)\) existe si y sólo si existe \(f'_+(a)\), y ambos valores coinciden.

No aparece un cuarto caso, pues Lema §16.5.2 — La acumulación procede de al menos un lado descarta que ambos lados carezcan de acumulación cuando \(a\in\operatorname{Acc}(D)\).

Demostración. La función \(q_{f,a}\) tiene dominio \(D_a\) y, por Lema §19.1.2 — Perforar el dominio preserva la acumulación en el centro, \(a\in\operatorname{Acc}(D_a)\). La identidad conjuntista de Definición §16.5.1 — Dominios laterales de aproximación muestra que los dominios laterales de \(D_a\) en \(a\) son exactamente \(D_a^-\) y \(D_a^+\). Para un \(L\in\mathbb R\) fijado, el criterio completo de límites Teorema §16.5.6 — Criterio completo para dominios de uno o dos lados, aplicado a esta función \(q_{f,a}\), afirma que

\[ \lim_{\substack{x\to a\\x\in D_a}}q_{f,a}(x)=L \]

si y sólo si cada lado activo tiene límite lateral igual a \(L\). La definición Definición §19.1.3 — Derivabilidad en un punto identifica la existencia del límite de la izquierda con la derivabilidad de \(f\), mientras que Definición §19.8.1 — Derivabilidad por la izquierda y por la derecha y la notación anterior identifican los límites laterales con las derivadas laterales. La unicidad bilateral Proposición §19.1.4 — Unicidad y criterio cuantificado de la derivada y la unicidad lateral Proposición §19.8.2 — Criterios cuantificados y unicidad lateral permiten escribir sus igualdades numéricas.

En el caso de dos lados activos, Teorema §16.5.5 — Reconstrucción bilateral cuando ambos lados acumulan reconstruye el límite a partir de los dos valores coincidentes. Si sólo uno acumula, Teorema §16.5.6 — Criterio completo para dominios de uno o dos lados combina el radio correspondiente con un radio que excluye los puntos del lado inactivo; éste existe por la negación clásica del criterio de acumulación y se toma un mínimo de dos números, no una elección de infinitos testigos. Lema §16.5.2 — La acumulación procede de al menos un lado asegura que los tres casos expuestos son exhaustivos. \(\square\)

Interpretación. La palabra «bilateral», aplicada al límite que define \(f'(a)\), significa «respecto de todo \(D_a\)». No impone la existencia de puntos a ambos lados. Por ello la derivada relativa en un extremo legítimo coincide con su única derivada lateral, mientras que en un punto interior es imprescindible la concordancia de ambas.

Corolario 19.8.5 — Extremos e interior de un intervalo cerrado no degenerado

Sean \(a<b\) y \(f:[a,b]\to\mathbb R\). La derivada relativa a \([a,b]\) en \(a\) existe si y sólo si existe \(f'_+(a)\); cuando existen, son iguales. En \(b\) existe si y sólo si existe \(f'_-(b)\), y entonces coinciden. Para cada \(c\in(a,b)\), \(f\) es derivable en \(c\) si y sólo si las derivadas izquierda y derecha existen y son iguales.

Demostración. En \(a\), el dominio izquierdo está vacío porque todos los puntos de \([a,b]\) son mayores o iguales que \(a\). Para un radio arbitrario \(r>0\), el punto

\[ x:=a+\tfrac12\min\{r,b-a\} \]

pertenece a \((a,b)\) y satisface \(0<x-a<r\); el lado derecho acumula. En \(b\) ocurre simétricamente: \(b-\tfrac12\min\{r,b-a\}\) es un testigo izquierdo para cada radio \(r>0\), y el dominio derecho está vacío. Si \(a<c<b\), los dos puntos

\[ c-\tfrac12\min\{r,c-a,b-c\},\qquad c+\tfrac12\min\{r,c-a,b-c\} \]

pertenecen a \([a,b]\) y acreditan acumulación en ambos lados de \(c\). Aplicar los tres casos de Teorema §19.8.4 — Reconstrucción de la derivada desde los lados activos a esos dominios demuestra todas las equivalencias. Las fórmulas proporcionan un testigo para el radio fijado; no construyen una selección infinita. \(\square\)

Proposición 19.8.6 — Una derivada lateral implica continuidad desde ese lado

Si \(f:D\to\mathbb R\) posee derivada derecha en \(a\in D\), entonces la restricción de \(f\) al conjunto \(E_+:=\{a\}\cup D_a^+\) es continua en \(a\) y, en particular,

\[ \forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0\ \forall x\in D:\quad 0<x-a<\delta\Longrightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon. \]

La afirmación simétrica vale para la derivada izquierda y \(E_-:=\{a\}\cup D_a^-\). No se deduce continuidad de \(f\) en \(a\) relativamente a todo \(D\) cuando el lado opuesto también acumula pero no está controlado.

Demostración. Consideremos el lado derecho; el otro es simétrico. La definición de derivada lateral incluye \(a\in\operatorname{Acc}(D_a^+)\). Por inclusión, \(a\in\operatorname{Acc}(E_+)\) y \(a\in E_+\). La restricción \(F:=f\upharpoonright E_+:E_+\to\mathbb R\) existe con ese dominio y codominio. Para \(x\in E_+\setminus\{a\}=D_a^+\) se tiene \(F(x)=f(x)\) y \(F(a)=f(a)\), de modo que \(q_{F,a}(x)=q_{f,a}(x)\). El límite lateral que define la derivada derecha es, por tanto, exactamente el límite del cociente incremental de \(F\) sobre todo su dominio perforado. Definición §19.1.3 — Derivabilidad en un punto afirma que \(F\) es derivable en \(a\); Teorema §19.2.1 — Toda función derivable en un punto es continua en él da su continuidad relativa a \(E_+\). Desarrollar la definición de continuidad para \(x>a\) produce la desigualdad del enunciado. No se ha restringido una derivada bilateral supuesta: la derivabilidad de \(F\) procede únicamente del límite lateral disponible. \(\square\)

Proposición 19.8.7 — Dos pendientes laterales distintas y efecto de la restricción

Para \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), \(f(x)=|x|\), las derivadas laterales en cero existen, pero

\[ \boxed{f'_-(0)=-1,\qquad f'_+(0)=1,\qquad f'(0)\text{ no existe}.} \]

En cambio, si \(E:=[0,1]\) y \(F:=f\upharpoonright E:E\to\mathbb R\), entonces \(F\) es derivable en \(0\) relativamente a \(E\) y \(F'(0)=1\). La existencia de esa derivada no proporciona una derivada de la función original sobre \(\mathbb R\).

Demostración. El cero acumula en ambos lados de \(\mathbb R\): para todo \(r>0\) sirven, separadamente, \(-r/2\) y \(r/2\). Como \(f(0)=0\), los cocientes incrementales satisfacen exactamente

\[ q_{f,0}(x)=\frac{|x|}{x} =\begin{cases}-1,&x<0,\\ 1,&x>0.\end{cases} \]

Para cada \(\varepsilon>0\), el radio \(\delta=1\) comprueba ambas condiciones de Proposición §19.8.2 — Criterios cuantificados y unicidad lateral, con errores nulos; las derivadas laterales son \(-1\) y \(1\). Puesto que ambos lados acumulan y los valores difieren, Teorema §19.8.4 — Reconstrucción de la derivada desde los lados activos niega la existencia de \(f'(0)\), de acuerdo con Proposición §19.2.3 — La continuidad no implica derivabilidad.

Sobre \(E=[0,1]\) la misma función satisface \(F(x)=x\) para todo \(x\in E\). La función identidad \(i:\mathbb R\to\mathbb R\) es derivable en cero y \(i'(0)=1\) por Proposición §19.1.6 — Primeros cálculos: funciones afines y función cuadrática. Como \(0\in\operatorname{Acc}(E)\) (testigos \(\min\{r,1\}/2\)), Proposición §19.5.2 — Restricción de una función derivable establece que \(i\upharpoonright E\) es derivable en cero y conserva la derivada \(1\). Las funciones \(F\) e \(i\upharpoonright E\) tienen dominio, codominio y valores idénticos: son iguales como funciones tipadas por Proposición §0.6.3 — Criterio de igualdad de funciones. Así \(F'(0)=1\). Pero \(F:E\to\mathbb R\) y \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) tienen dominios distintos; la derivabilidad de la primera no se transmite a la segunda. \(\square\)

Transición. Quedan articuladas las nociones locales de derivada, aproximación lineal, reglas algebraicas, composición, inversión y derivadas laterales. Con estos resultados concluye el capítulo 19, auditado y cerrado canónicamente en el manuscrito humano bajo ZF y lógica clásica. El capítulo 20 comenzará con extremos locales y el teorema de Fermat, para desarrollar después Rolle y los teoremas del valor medio; ninguno de esos resultados intervino en las demostraciones anteriores. La formalización Lean seguirá siendo un proceso de certificación distinto.