Tratado de análisis — Capítulo 20 — Teoremas fundamentales del cálculo diferencial

Capítulo 20 — Teoremas fundamentales del cálculo diferencial en el desarrollo progresivo del Tratado de análisis.

Capítulo 20 — Teoremas fundamentales del cálculo diferencial

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Parte II — Núcleo del análisis real

20.0. De la información local a las consecuencias globales

La derivada se definió en el capítulo anterior mediante un límite de cocientes incrementales, relativo al dominio efectivo de cada función. Sabemos calcularla en casos elementales, combinar derivadas, reconstruirla desde los lados activos y reconocerla como coeficiente de una aproximación lineal. Ninguno de estos resultados afirma por sí solo que una función alcance un extremo ni compara directamente sus valores en dos puntos lejanos.

El capítulo 18 estableció, en cambio, que una función real continua sobre un compacto no vacío alcanza máximo y mínimo (Teorema §18.5.4 — Teorema del valor extremo: Weierstrass). Comenzaremos por establecer qué puede decir la derivada en un punto donde se alcanza un extremo local. Esa afirmación —el teorema de Fermat— será el puente lógico hacia Rolle y los teoremas del valor medio. Los desarrollos posteriores de monotonía, Darboux y Taylor se apoyarán en este orden deductivo, no a la inversa.

Una distinción será decisiva: la derivada del capítulo 19 es relativa al dominio y puede existir en el extremo de un intervalo, donde sólo hay aproximación por un lado. Fermat exige, además, que el punto de extremo sea interior al dominio. Tampoco se confundirá un extremo global con uno local, ni una condición necesaria con una caracterización suficiente.

20.1. Extremos locales y teorema de Fermat

Definición 20.1.1 — Máximo y mínimo locales relativos al dominio

Sean \(D\subseteq\mathbb R\), \(f:D\to\mathbb R\) y \(a\in D\). Diremos que \(f\) tiene un máximo local en \(a\), relativamente a \(D\), si existe \(r>0\) tal que

\[ \boxed{\forall x\in D:\ |x-a|<r\Longrightarrow f(x)\le f(a).} \]

Diremos que tiene un mínimo local en \(a\), relativamente a \(D\), si existe \(r>0\) tal que

\[ \boxed{\forall x\in D:\ |x-a|<r\Longrightarrow f(a)\le f(x).} \]

Un extremo local es cualquiera de esas dos posibilidades. Si, además, la desigualdad correspondiente es estricta para todo \(x\in D\) con \(0<|x-a|<r\), diremos que el extremo es estricto. El radio \(r\) puede depender de \(a\); las comparaciones se hacen sólo con argumentos del dominio original y no presuponen que \(D\) contenga una vecindad completa de \(a\).

Estos extremos son propiedades de \(f\) en el punto: no crean una función derivada ni un nuevo objeto de elección. Un máximo o mínimo global de \(f\) es un extremo local, pues su desigualdad vale para todo \(x\in D\) y podemos tomar cualquier radio positivo. En un punto aislado del dominio, las dos condiciones locales pueden valer a la vez por vacuidad; ello no hace que exista una derivada allí, conforme a Definición §19.1.3 — Derivabilidad en un punto. El extremo estricto exige comparar sólo con argumentos distintos del centro, sin hacer imposible una igualdad necesaria \(f(a)=f(a)\).

Lema 20.1.2 — Un punto interior acumula desde ambos lados

Si \(D\subseteq\mathbb R\) y \(a\) es interior a \(D\), entonces

\[ \boxed{a\in\operatorname{Acc}(D_a^-)\cap\operatorname{Acc}(D_a^+).} \]

En particular, \(a\in D\cap\operatorname{Acc}(D)\), de manera que la definición de derivada relativa puede aplicarse en \(a\) si existe el límite pertinente.

Demostración. Por interioridad (Definición §15.2.1 — Punto interior de un conjunto), existe \(\rho>0\) tal que \(B_\rho(a)\subseteq D\). Fijemos un radio arbitrario \(s>0\) y pongamos \(t:=\frac12\min\{\rho,s\}>0\). Los puntos explícitos \(x_-:=a-t\) y \(x_+:=a+t\) cumplen

\[ 0<a-x_-=t<s,\qquad 0<x_+-a=t<s, \]

y \(|x_\pm-a|=t<\rho\), por lo que pertenecen a \(D\). El primero está en \(D_a^-\) y el segundo en \(D_a^+\). El criterio de acumulación Lema §16.1.1 — Acumulación y aproximación perforada, aplicado a cada lado, prueba ambas pertenencias. La pertenencia \(a\in D\) se deduce de que el centro pertenece a la bola \(B_\rho(a)\); la acumulación de \(D\) sigue por inclusión de cualquiera de sus lados. Para cada \(s\) usamos fórmulas determinadas, no una selección simultánea de testigos. \(\square\)

Proposición 20.1.3 — Restricciones de signo para las derivadas laterales en un extremo

Sean \(f:D\to\mathbb R\) y \(a\in D\). Las afirmaciones siguientes se entienden únicamente cuando la derivada lateral indicada existe, con su hipótesis de acumulación ya incluida en Definición §19.8.1 — Derivabilidad por la izquierda y por la derecha:

• Si \(f\) tiene un mínimo local en \(a\), entonces \(f'_-(a)\le0\) si existe la derivada izquierda, y \(f'_+(a)\ge0\) si existe la derecha.
• Si \(f\) tiene un máximo local en \(a\), entonces \(f'_-(a)\ge0\) si existe la derivada izquierda, y \(f'_+(a)\le0\) si existe la derecha.

No se afirma la existencia de ninguna derivada lateral a partir del solo extremo local.

Demostración. Supongamos primero que \(a\) es un mínimo local y fijemos \(r>0\) para el cual \(f(x)-f(a)\ge0\) si \(x\in D\) y \(|x-a|<r\). Para tales \(x\ne a\), el cociente incremental \(q_{f,a}(x)\) es no positivo a la izquierda, pues \(x-a<0\), y no negativo a la derecha, pues \(x-a>0\).

Si existe la derivada izquierda \(L_-:=f'_-(a)\) y fuera \(L_->0\), el criterio cuantificado de Proposición §19.8.2 — Criterios cuantificados y unicidad lateral, con \(\varepsilon=L_-/2\), proporcionaría \(\delta_->0\) tal que

\[ 0<a-x<\delta_-\Longrightarrow q_{f,a}(x)>L_-/2>0. \]

Como la definición de derivada izquierda exige \(a\in\operatorname{Acc}(D_a^-)\), existe un único testigo local \(x\in D_a^-\) con \(0<a-x<\min\{r,\delta_-\}\). Para él, el mínimo local da \(q_{f,a}(x)\le0\), contradicción. Por tanto \(L_-\le0\).

Si existe la derivada derecha \(L_+:=f'_+(a)\) y fuera \(L_+<0\), el mismo razonamiento con \(\varepsilon=-L_+/2\) y un testigo \(x\in D_a^+\) suficientemente próximo daría \(q_{f,a}(x)<L_+/2<0\), en contradicción con \(q_{f,a}(x)\ge0\). Por consiguiente \(L_+\ge0\).

Para un máximo local las diferencias \(f(x)-f(a)\) son no positivas. Sus cocientes son, respectivamente, no negativos a la izquierda y no positivos a la derecha. Si \(f'_-(a)<0\), una tolerancia \(-f'_-(a)/2\) y un testigo izquierdo obligarían al cociente a ser negativo, contradicción. Si \(f'_+(a)>0\), la tolerancia \(f'_+(a)/2\) y un testigo derecho lo obligarían a ser positivo, también contradicción. Quedan probadas las dos desigualdades restantes. Sólo se instancian finitamente radios y testigos en cada argumento; no se construye una sucesión de elecciones. \(\square\)

Interpretación. En un mínimo, la pendiente secante que llega desde la izquierda no puede tener límite positivo y la que sale por la derecha no puede tener límite negativo. Las condiciones se invierten para un máximo. Esta descripción conserva el sentido de la derivada relativa en los extremos del dominio: allí puede existir un solo lado activo y nada obliga a que su pendiente sea nula.

Teorema 20.1.4 — Fermat: derivada nula en un extremo local interior

Sean \(D\subseteq\mathbb R\), \(f:D\to\mathbb R\) y \(a\in D\). Supongamos que:

1. \(a\) es un punto interior de \(D\);
2. \(f\) es derivable en \(a\) relativamente a \(D\);
3. \(f\) tiene un máximo local o un mínimo local en \(a\), relativamente a \(D\).

Entonces

\[ \boxed{f'(a)=0.} \]

La afirmación es una condición necesaria para un extremo local interior en un punto derivable; no afirma que la anulación de la derivada sea suficiente para tener un extremo.

Demostración. Por Lema §20.1.2 — Un punto interior acumula desde ambos lados, ambos lados \(D_a^-\) y \(D_a^+\) acumulan en \(a\); además, \(a\in D\cap\operatorname{Acc}(D)\), por lo que la derivada de la hipótesis está bien tipada. El teorema Teorema §19.8.4 — Reconstrucción de la derivada desde los lados activos, aplicado a la función original \(f:D\to\mathbb R\), garantiza que existen sus dos derivadas laterales y que

\[ f'_-(a)=f'(a)=f'_+(a). \]

Si \(a\) es un mínimo local, Proposición §20.1.3 — Restricciones de signo para las derivadas laterales en un extremo proporciona \(f'_-(a)\le0\le f'_+(a)\). La igualdad común anterior implica a la vez \(f'(a)\le0\) y \(0\le f'(a)\); por antisimetría del orden real, \(f'(a)=0\).

Si \(a\) es un máximo local, las desigualdades de la misma proposición se invierten: \(f'_-(a)\ge0\ge f'_+(a)\). La igualdad común vuelve a dar \(f'(a)=0\). La prueba sólo utiliza el criterio bilateral-lateral cerrado en el capítulo 19 y las desigualdades locales anteriores: no invoca el teorema del valor extremo, Rolle, valor medio ni Taylor. \(\square\)

Lectura deductiva. La interioridad garantiza dos direcciones disponibles; la derivabilidad exige que las dos pendientes límite coincidan; la condición de extremo obliga a esas pendientes a quedar en lados opuestos de cero. El único valor compatible con las tres afirmaciones es cero. Sin interioridad desaparece una de las restricciones de signo y el argumento deja de imponer la conclusión.

Corolario 20.1.5 — Fermat en puntos interiores de un intervalo cerrado

Sean \(a,b\in\mathbb R\) con \(a<b\) y \(f:[a,b]\to\mathbb R\). Si \(c\in(a,b)\) es un punto de máximo o mínimo de \(f\) sobre todo \([a,b]\) y \(f\) es derivable en \(c\) relativamente a ese intervalo, entonces \(f'(c)=0\).

Demostración. Como \(a<c<b\), el número \(\rho:=\frac12\min\{c-a,b-c\}\) es positivo y satisface \(B_\rho(c)\subseteq[a,b]\) por las desigualdades que definen el intervalo. En consecuencia, \(c\) es interior al dominio \([a,b]\). La desigualdad de máximo o mínimo global vale para todos los puntos del intervalo, de modo que también vale en esa bola y constituye un extremo local conforme a Definición §20.1.1 — Máximo y mínimo locales relativos al dominio. La derivabilidad está dada. Aplicamos Teorema §20.1.4 — Fermat: derivada nula en un extremo local interior a la función tipada \(f:[a,b]\to\mathbb R\) y obtenemos \(f'(c)=0\). No se necesita continuidad sobre todo \([a,b]\) para este corolario: sólo se han utilizado las hipótesis declaradas en el punto \(c\). \(\square\)

Proposición 20.1.6 — Dos límites de alcance: frontera y recíproca falsa

La interioridad y la dirección de la implicación en Fermat no pueden omitirse:

1. La función \(u:[0,1]\to\mathbb R\) dada por \(u(x)=x\) tiene un mínimo global en \(0\), un máximo global en \(1\) y derivadas relativas \(u'(0)=u'(1)=1\ne0\).
2. Existe una función derivable \(v:\mathbb R\to\mathbb R\) con \(v'(0)=0\) que no tiene ni máximo ni mínimo local en \(0\).

Demostración. Primera afirmación. Sea \(i:\mathbb R\to\mathbb R\) la identidad e \(I:=[0,1]\). El intervalo está contenido en \(\mathbb R\) y la restricción \(u:=i\upharpoonright I:I\to\mathbb R\) existe; tiene los valores \(u(x)=x\). Para todo \(x\in I\), \(0\le u(x)\le1\), así que \(0\) es un mínimo y \(1\) un máximo globales, luego locales. Ambos extremos son puntos de acumulación de \(I\): para cada radio \(s>0\), los puntos \(\frac12\min\{s,1\}\) y \(1-\frac12\min\{s,1\}\) proporcionan testigos, respectivamente. La identidad tiene derivada \(1\) en todo punto por Proposición §19.1.6 — Primeros cálculos: funciones afines y función cuadrática; su restricción conserva ese valor donde el dominio acumula por Proposición §19.5.2 — Restricción de una función derivable. Por tanto \(u'(0)=u'(1)=1\). Ni \(0\) ni \(1\) son interiores a \(I\), pues cualquier bola centrada en uno de ellos contiene puntos exteriores a \(I\).

Segunda afirmación. Formemos por Separación en \(\mathbb R\times\mathbb R\) la función \(v:\mathbb R\to\mathbb R\) definida por \(v(x)=x\cdot x\cdot x\). No introducimos una notación global de potencias generales. En \(0\) se tiene \(v(0)=0\) y, para \(x\ne0\),

\[ q_{v,0}(x)=\frac{x\cdot x\cdot x}{x}=x\cdot x. \]

Dado \(\varepsilon>0\), tomemos \(\delta:=\min\{1,\varepsilon\}>0\). Si \(0<|x|<\delta\), entonces \(|x\cdot x|=|x|^2<|x|<\varepsilon\). Dado que \(0\in\operatorname{Acc}(\mathbb R)\), la definición de derivada permite concluir \(v'(0)=0\). Para cada \(r>0\), los puntos explícitos \(x_-=-r/2\) y \(x_+=r/2\) están a distancia estrictamente menor que \(r\) de cero y satisfacen

\[ v(x_-)<v(0)=0<v(x_+), \]

por las reglas de signo del cuerpo ordenado. Ningún radio puede entonces justificar un máximo o mínimo local en \(0\). Así, \(f'(a)=0\) es necesaria bajo las hipótesis de Fermat, pero no suficiente por sí sola. \(\square\)

Transición. El teorema de Weierstrass asegura la existencia de máximos y mínimos para funciones continuas en un compacto. Fermat convierte un extremo interior y derivable en un punto de derivada nula. Para obtener Rolle en §20.2 habrá que combinar ambas piezas y atender separadamente la posibilidad de que los extremos globales estén en los bordes del intervalo. La presente sección está cerrada como unidad humana; el capítulo completo sigue abierto. No se abre un nuevo checkpoint Lean.

20.2. Teorema de Rolle

El teorema de Fermat convierte un extremo local interior en una derivada nula, pero no garantiza que exista ese extremo. El teorema de Weierstrass garantiza extremos globales sobre un compacto no vacío, aunque podría situarlos en los extremos del intervalo, donde Fermat no es aplicable. La igualdad de los valores en los extremos resolverá esta dificultad: o bien la función es constante, o bien alguno de sus extremos globales debe alcanzarse en el interior.

Lema 20.2.1 — Valores extremos iguales y función no constante: existe un extremo global interior

Sean \(a,b\in\mathbb R\) con \(a<b\) y \(f:[a,b]\to\mathbb R\) continua en todo su dominio. Supongamos que \(f(a)=f(b)=k\) y que existe \(y\in[a,b]\) con \(f(y)\ne k\). Entonces existe \(c\in(a,b)\) en el cual \(f\) alcanza un máximo global o un mínimo global sobre \([a,b]\).

Demostración. Por \(a<b\), el conjunto \(I:=[a,b]\) contiene a \(a\) y es compacto por Teorema §18.2.1 — Todo intervalo cerrado y acotado es compacto. Aplicamos Teorema §18.5.4 — Teorema del valor extremo: Weierstrass a la función con dominio exactamente \(I\). Existen puntos \(x_-,x_+\in I\) tales que, para todo \(x\in I\),

\[ f(x_-)\le f(x)\le f(x_+). \]

Fijemos el testigo \(y\in I\) de la hipótesis. La tricotomía del orden real y \(f(y)\ne k\) permiten distinguir dos casos.

Si \(f(y)>k\), entonces \(f(x_+)\ge f(y)>k=f(a)=f(b)\). Por ello \(x_+\) no puede ser ni \(a\) ni \(b\). Como pertenece a \([a,b]\), necesariamente \(a<x_+<b\): es un punto interior en que se alcanza el máximo global.

Si \(f(y)<k\), se tiene \(f(x_-)\le f(y)<k=f(a)=f(b)\). El mismo argumento sitúa \(x_-\) en \((a,b)\), donde se alcanza el mínimo global.

La demostración sólo obtiene los dos puntos cuya existencia afirma Weierstrass y fija el único testigo de desviación dado; no construye una selección de extremos para una familia de funciones. \(\square\)

Interpretación. La coincidencia de los valores de borde no asegura por sí sola que ambos extremos globales estén en el interior. Asegura algo más preciso y suficiente: si aparece un valor superior al común de los bordes, el máximo se desplaza al interior; si aparece uno inferior, lo hace el mínimo.

Teorema 20.2.2 — Teorema de Rolle

Sean \(a,b\in\mathbb R\) con \(a<b\) y \(f:[a,b]\to\mathbb R\). Supongamos que:

1. \(f\) es continua en todo \([a,b]\), con continuidad relativa en los extremos;
2. \(f\) es derivable en cada \(x\in(a,b)\), relativamente al dominio \([a,b]\);
3. \(f(a)=f(b)\).

Entonces existe al menos un punto \(c\in(a,b)\) tal que

\[ \boxed{f'(c)=0.} \]

La derivada indicada es la de la función tipada \(f:[a,b]\to\mathbb R\). La conclusión es existencial: no asegura unicidad ni selecciona un punto distinguido entre todos los posibles.

Demostración. Escribamos \(k:=f(a)=f(b)\) y distingamos si \(f(x)=k\) para todos los \(x\in[a,b]\).

Caso constante. Pongamos \(c:=(a+b)/2\). Puesto que \(a<b\), las operaciones y el orden del cuerpo real dan \(a<c<b\). Como todos los valores de \(f\) son \(k\), el punto \(c\) es simultáneamente máximo y mínimo global. Por hipótesis, \(f\) es derivable en \(c\); Corolario §20.1.5 — Fermat en puntos interiores de un intervalo cerrado (Fermat sobre un intervalo cerrado) proporciona \(f'(c)=0\).

Caso no constante. Existe un \(y\in[a,b]\) tal que \(f(y)\ne k\). Por la continuidad en el intervalo completo, las hipótesis de Lema §20.2.1 — Valores extremos iguales y función no constante: existe un extremo global interior están satisfechas. El lema aporta un punto \(c\in(a,b)\) donde \(f\) alcanza un máximo o un mínimo global. La derivabilidad en \(c\) es una de las hipótesis del presente teorema. Aplicamos de nuevo Corolario §20.1.5 — Fermat en puntos interiores de un intervalo cerrado y obtenemos \(f'(c)=0\).

En ambos casos se ha producido un punto interior con derivada nula. Weierstrass aparece únicamente en la prueba anterior del lema; el paso del extremo a la derivada nula es Fermat. No se ha supuesto ningún teorema del valor medio ni se ha hecho una elección simultánea de puntos. \(\square\)

Lectura de la prueba. La continuidad en el intervalo cerrado garantiza extremos alcanzados; la igualdad de los valores de borde y la distinción entre constancia y no constancia garantizan un extremo interior; la derivabilidad allí permite usar Fermat. Cada hipótesis cumple una función diferente, y no es legítimo sustituir continuidad en \([a,b]\) por continuidad sólo en \((a,b)\).

Corolario 20.2.3 — Entre dos ceros existe un punto de derivada nula

Sean \(a<b\) y \(f:[a,b]\to\mathbb R\) continua en \([a,b]\) y derivable en cada punto de \((a,b)\). Si \(f(a)=f(b)=0\), entonces existe \(c\in(a,b)\) con \(f'(c)=0\).

Demostración. La igualdad \(f(a)=f(b)=0\) implica la tercera hipótesis de Teorema §20.2.2 — Teorema de Rolle; las otras dos están expresamente supuestas y el dominio es exactamente \([a,b]\). Aplicar Rolle proporciona el punto interior requerido. No se afirma que ese punto sea un cero de la función. \(\square\)

Proposición 20.2.4 — Las tres hipótesis de Rolle no son prescindibles

En cada ejemplo el dominio y codominio son \([0,1]\) y \(\mathbb R\), respectivamente. Si se suprime una sola de las tres hipótesis del teorema, las otras dos pueden cumplirse sin que exista un punto interior de derivada nula.

Demostración. 1. Sin continuidad en el intervalo cerrado. Definamos, mediante el grafo funcional obtenido por Separación en \([0,1]\times\mathbb R\),

\[ u(x)=\begin{cases}x,&0\le x<1,\\0,&x=1.\end{cases} \]

Se tiene \(u(0)=u(1)=0\). Para todo \(c\in(0,1)\) tomemos \(r:=\frac12\min\{c,1-c\}>0\). Cuando \(x\in[0,1]\) y \(0<|x-c|<r\), ambos puntos están en \((0,1)\), donde \(u(x)=x\) y \(u(c)=c\); por tanto, el cociente incremental vale exactamente \(1\). De la definición de derivada resulta \(u'(c)=1\) para todo \(c\in(0,1)\).

Sin embargo, \(u\) no es continua en \(1\). Dado cualquier \(\delta>0\), el argumento explícito \(x:=1-\frac12\min\{\delta,1\}\) pertenece a \((0,1)\) y satisface \(|x-1|<\delta\), mientras que \(|u(x)-u(1)|=x\ge\frac12>\frac14\). La tolerancia \(\varepsilon=\frac14\) refuta la continuidad relativa en \(1\). Se mantienen la igualdad de valores extremos y la derivabilidad interior, pero falla la conclusión.

2. Sin derivabilidad en todo el interior. Definamos \(v:[0,1]\to\mathbb R\) por

\[ v(x):=\left|x-\tfrac12\right|. \]

La desigualdad triangular inversa Corolario §4.2.4 — Desigualdad triangular inversa da \(|v(x)-v(z)|\le|x-z|\) para \(x,z\in[0,1]\), de modo que \(v\) es continua también en los extremos. Además \(v(0)=v(1)=1/2\). En cualquier \(c\in(0,1/2)\), una bola suficientemente pequeña conserva \(x<1/2\), y allí \(v(x)=1/2-x\); los cocientes incrementales son \(-1\), luego \(v'(c)=-1\). Análogamente, para \(c\in(1/2,1)\), \(v(x)=x-1/2\) localmente y \(v'(c)=1\).

En el punto \(m:=1/2\), los cocientes de \(v\) respecto del dominio \([0,1]\) son exactamente \(-1\) a la izquierda y \(1\) a la derecha. Ambos lados acumulan en \(m\), por lo que el criterio Teorema §19.8.4 — Reconstrucción de la derivada desde los lados activos impide que exista \(v'(m)\). Así no hay ningún \(c\in(0,1)\) con derivada nula, a pesar de la continuidad y la igualdad de los valores extremos.

3. Sin igualdad de los valores extremos. La identidad restringida \(w:[0,1]\to\mathbb R\), \(w(x)=x\), es continua, derivable en todos los puntos interiores e incluso en los extremos relativamente a su dominio, con \(w'(c)=1\) en todo punto de acumulación por Proposición §20.1.6 — Dos límites de alcance: frontera y recíproca falsa. Pero \(w(0)=0\ne1=w(1)\); no existe derivada nula interior.

En los tres casos los grafos están determinados unívocamente por las fórmulas indicadas; las pruebas usan radios explícitos y ninguna selección infinita. La independencia de las hipótesis significa que ninguna de las tres puede eliminarse sin sustitución alguna del enunciado general; no excluye que puedan encontrarse otras condiciones suficientes. \(\square\)

Transición. Rolle obtiene una pendiente nula cuando los valores de dos extremos coinciden. Para comparar valores extremos distintos se introducirá en §20.3 una función auxiliar que sustraiga la recta secante. Aplicaremos Rolle a esa función y deduciremos el teorema del valor medio de Lagrange sin emplearlo retroactivamente en ninguna prueba de este tramo. La sección §20.2 queda estabilizada como unidad humana; el capítulo continúa en borrador y no se abre un checkpoint Lean.

20.3. Teorema del valor medio de Lagrange

Rolle resuelve el caso de una función cuyos valores en los dos extremos coinciden. Para una función general no podemos exigir esa igualdad, pero sí podemos fabricarla: sustraeremos a la función la recta afín que pasa por los dos puntos extremos de su gráfica. La diferencia tendrá valores nulos en ambos extremos. Una vez aplicado Rolle, la regla de derivación de una diferencia recuperará la pendiente de aquella recta.

La construcción no postula una «recta tangente» como objeto geométrico independiente. Se trabaja sólo con funciones tipadas, sus valores y sus derivadas previamente definidos.

Lema 20.3.1 — Sustracción tipada de la secante y reducción a Rolle

Sean \(a,b\in\mathbb R\) con \(a<b\), \(I:=[a,b]\) y \(f:I\to\mathbb R\) una función cualquiera. Definamos el número real

\[ m:=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}, \]

la función afín \(A:\mathbb R\to\mathbb R\), \(A(x):=mx+[f(a)-ma]\), su restricción \(\ell:=A\upharpoonright I:I\to\mathbb R\) y la función \(h:=f-\ell:I\to\mathbb R\). Entonces:

1. \(\ell(x)=f(a)+m(x-a)\) para todo \(x\in I\) y \(h(a)=h(b)=0\).
2. Si \(f\) es continua en cada punto de \(I\), \(h\) es continua en cada punto de \(I\).
3. Si \(c\in(a,b)\) y \(f\) es derivable en \(c\) relativamente a \(I\), entonces \(h\) es derivable en \(c\) relativamente a \(I\) y

\[ \boxed{h'(c)=f'(c)-m.} \]

Demostración. Como \(a<b\), tenemos \(b-a>0\) y, por tanto, \(b-a\ne0\): la división que define \(m\) es legítima. La función \(A\) existe como grafo funcional por Separación en \(\mathbb R\times\mathbb R\); su restricción a \(I\) existe por Definición §1.3.1 — Restricción de una función y Proposición §1.3.2 — Existencia y unicidad de la restricción, incorporados en la regla de restricciones utilizada aquí. La resta puntual de dos funciones con el mismo dominio \(I\) y el mismo codominio \(\mathbb R\) existe por Proposición §16.3.2 — Existencia y tipado de las operaciones puntuales. En particular, \(h\) no se ha definido en una recta mayor que \(I\).

La distributividad del cuerpo real da, para \(x\in I\),

\[ A(x)=mx+f(a)-ma=f(a)+m(x-a). \]

Por consiguiente, \(\ell(a)=f(a)\) y

\[ \ell(b)=f(a)+m(b-a)=f(a)+f(b)-f(a)=f(b). \]

Al restar los valores correspondientes se obtiene \(h(a)=h(b)=0\).

Por Proposición §19.1.6 — Primeros cálculos: funciones afines y función cuadrática, la función afín \(A\) es derivable en cada punto de \(\mathbb R\) y \(A'(x)=m\). Todo punto real acumula en la recta, hecho comprobado en la demostración de ese resultado. La implicación derivabilidad \(\Rightarrow\) continuidad (Teorema §19.2.1 — Toda función derivable en un punto es continua en él) prueba que \(A\) es continua en toda la recta. El corolario de restricciones Corolario §17.4.6 — Clausura global, restricciones y cocientes hace continua a \(\ell=A\upharpoonright I\) en todo \(I\), incluidos \(a\) y \(b\). Si \(f\) es continua en \(I\), la estabilidad de la continuidad bajo diferencias, recogida también en Corolario §17.4.6 — Clausura global, restricciones y cocientes, hace continua a \(h=f-\ell\) allí.

Finalmente, si \(c\in(a,b)\), el intervalo \(I\) acumula en \(c\) por Corolario §19.8.5 — Extremos e interior de un intervalo cerrado no degenerado. La regla de restricción de derivadas Proposición §19.5.2 — Restricción de una función derivable se aplica a \(A\) y a \(I\) y da \(\ell'(c)=A'(c)=m\). Puesto que \(f\) es derivable en \(c\) por hipótesis, Corolario §19.4.2 — Multiplicación por escalares, opuestos y diferencias, aplicado a dos funciones de dominio exactamente \(I\), demuestra que \(h\) es derivable allí y que \(h'(c)=f'(c)-\ell'(c)=f'(c)-m\). No se ha usado Rolle ni se han elegido representantes o argumentos para una familia infinita. \(\square\)

Lectura de la construcción. La constante \(f(a)-ma\) sitúa correctamente la recta; el cociente que define \(m\) fija su pendiente. La función \(h\) mide la diferencia vertical entre \(f\) y esa recta. Lo que se anula en los extremos son los valores de \(h\), no los de \(f\).

Teorema 20.3.2 — Teorema del valor medio de Lagrange

Sean \(a,b\in\mathbb R\) con \(a<b\) y \(f:[a,b]\to\mathbb R\). Supongamos que \(f\) es continua en todo \([a,b]\), relativamente a ese dominio, y derivable en cada punto de \((a,b)\), también relativamente a \([a,b]\). Entonces existe al menos un \(c\in(a,b)\) tal que

\[ \boxed{f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.} \tag{20.3.1} \]

Equivalentemente, para ese mismo punto \(c\),

\[ \boxed{f(b)-f(a)=f'(c)(b-a).} \tag{20.3.2} \]

El punto \(c\) depende, en general, de la función y del intervalo, y no se afirma que sea único. El denominador \(b-a\) es positivo; la hipótesis \(a<b\) no se sustituye por \(a\le b\).

Demostración. Sea \(I=[a,b]\) y fijemos el número \(m=[f(b)-f(a)]/(b-a)\) y la función auxiliar \(h:I\to\mathbb R\) construidos en Lema §20.3.1 — Sustracción tipada de la secante y reducción a Rolle. Este lema prueba, primero, que \(h(a)=h(b)=0\) y, segundo, que \(h\) es continua en todo \(I\), pues \(f\) lo es. Para cada \(x\in(a,b)\) la hipótesis de derivabilidad de \(f\) y la tercera parte del lema prueban que \(h\) es derivable en \(x\).

Así quedan verificadas, una por una, las tres hipótesis de Rolle Teorema §20.2.2 — Teorema de Rolle para la función \(h:I\to\mathbb R\). Existe por tanto \(c\in(a,b)\) con \(h'(c)=0\). La fórmula para su derivada, obtenida antes de aplicar Rolle, proporciona

\[ 0=h'(c)=f'(c)-m. \]

Por cancelación aditiva, \(f'(c)=m=[f(b)-f(a)]/(b-a)\), que es (20.3.1). Multiplicar por el real positivo \(b-a\) da (20.3.2). Sólo se obtuvo un testigo existencial de Rolle para una función determinada; no se define una selección \(f\mapsto c\), ni se adopta Choice. \(\square\)

Interpretación. El cociente \([f(b)-f(a)]/(b-a)\) es la pendiente de la secante entre los extremos. El teorema asegura que al menos una pendiente derivada interior toma exactamente ese valor. No dice que todas las derivadas interiores sean iguales a la pendiente secante, ni que la igualdad se alcance en un punto predeterminado.

Corolario 20.3.3 — Valor medio en un subintervalo del dominio original

Sean \(D\subseteq\mathbb R\), \(f:D\to\mathbb R\) y \(u,v\in D\) con \(u<v\) y \([u,v]\subseteq D\). Supongamos que \(f\) es continua en cada punto de \([u,v]\) relativamente a \(D\) y que es derivable en cada punto de \((u,v)\) relativamente a \(D\). Entonces existe \(c\in(u,v)\) para el cual la derivada de la función original satisface

\[ \boxed{f(v)-f(u)=f'(c)(v-u).} \]

Demostración. Pongamos \(I:=[u,v]\) y formemos la restricción tipada \(g:=f\upharpoonright I:I\to\mathbb R\). Sus valores en cada punto de \(I\) coinciden con los de \(f\). Como \(f\) es continua en cada punto de \(I\) respecto de \(D\), todo radio de continuidad allí sirve para los argumentos del subconjunto \(I\); formalmente, Corolario §17.4.6 — Clausura global, restricciones y cocientes garantiza la continuidad de \(g\) en \(I\).

Para cada \(x\in(u,v)\), Corolario §19.8.5 — Extremos e interior de un intervalo cerrado no degenerado asegura \(x\in\operatorname{Acc}(I)\). Por derivabilidad de \(f\) en \(x\) relativa a \(D\) y por el teorema de restricciones Proposición §19.5.2 — Restricción de una función derivable, la función \(g\) es derivable en \(x\) y \(g'(x)=f'(x)\). Aplicamos Teorema §20.3.2 — Teorema del valor medio de Lagrange a \(g:I\to\mathbb R\). Obtenemos algún \(c\in(u,v)\) con \(g(v)-g(u)=g'(c)(v-u)\). Las tres igualdades de valores y derivada justificadas anteriormente convierten esto en la fórmula enunciada para \(f\). Se restringió una función ya dada; no se reconstruyó su codominio ni se extendió indebidamente una derivada. \(\square\)

Dos comprobaciones concretas. Para la función \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) dada por \(f(x)=x^2\), Proposición §19.1.6 — Primeros cálculos: funciones afines y función cuadrática da \(f'(x)=2x\). En \([a,b]\), con \(a<b\), la pendiente secante es

\[ \frac{b^2-a^2}{b-a}=a+b=2\,\frac{a+b}{2}. \]

El punto \(c=(a+b)/2\) pertenece a \((a,b)\) y verifica el teorema; en este ejemplo es el único, porque \(2c=a+b\) determina un solo real. Por contraste, para una función constante todos los puntos interiores cumplen la igualdad, de modo que el teorema no puede prometer unicidad en general.

Alcance de las hipótesis. Los contraejemplos ya construidos en Proposición §20.2.4 — Las tres hipótesis de Rolle no son prescindibles sirven también para comprobar que continuidad en todo el intervalo y derivabilidad en todo su interior no pueden omitirse del enunciado universal de Lagrange. En ambos, los valores extremos coinciden y la pendiente secante es cero, pero no aparece ninguna derivada interior nula. No se exige, en cambio, que los valores de borde coincidan: ésa era la condición especial de Rolle y precisamente la hemos eliminado mediante la función auxiliar. La desigualdad estricta \(a<b\) evita una división por cero y asegura un intervalo interior no degenerado.

Transición. La identidad de valor medio relaciona el incremento global con una derivada en algún punto interior. El siguiente paso, §20.4, estudiará el teorema del valor medio de Cauchy para dos funciones. Más adelante se podrán deducir los criterios de monotonía y las cotas de incrementos sin introducirlos retroactivamente aquí. La presente sección está estabilizada como unidad humana; el capítulo 20 permanece abierto. No se abre un nuevo checkpoint Lean.

20.4. Teorema del valor medio de Cauchy

Lagrange relaciona el incremento de una función con el incremento del argumento. Ahora compararemos dos funciones que comparten intervalo de definición. El resultado no debe introducir un cociente de derivadas antes de saber que su denominador es distinto de cero. Por eso comenzaremos con una igualdad de productos cruzados, válida incluso cuando alguna función es constante.

La estrategia es formar una combinación lineal de las dos funciones cuyos valores en los extremos coincidan. Los coeficientes serán sus incrementos sobre el intervalo; éstos son números reales determinados por los datos y no requieren ninguna división. Rolle proporcionará entonces la identidad buscada.

Lema 20.4.1 — Combinación auxiliar con incrementos cruzados

Sean \(a,b\in\mathbb R\), \(a<b\), \(I:=[a,b]\) y \(f,g:I\to\mathbb R\) dos funciones. Denotemos, sólo dentro de esta construcción,

\[ \Delta_f:=f(b)-f(a),\qquad \Delta_g:=g(b)-g(a), \]

y formemos la función \(H:I\to\mathbb R\) mediante operaciones puntuales:

\[ \boxed{H(x):=\Delta_g f(x)-\Delta_f g(x)\qquad(x\in I).} \]

Entonces:

1. \(H(a)=H(b)\), sin suponer que \(\Delta_f\) o \(\Delta_g\) sean no nulos.
2. Si \(f\) y \(g\) son continuas en todo \(I\), también lo es \(H\).
3. Si \(c\in(a,b)\) y ambas funciones son derivables en \(c\) relativamente a \(I\), entonces \(H\) es derivable allí y

\[ \boxed{H'(c)=\Delta_g f'(c)-\Delta_f g'(c).} \]

Demostración. Los valores extremos están definidos porque \(a,b\in I\) y las dos funciones tienen codominio \(\mathbb R\). Sus diferencias \(\Delta_f,\Delta_g\) son reales, incluidos los casos en que valen cero. Por Proposición §16.3.2 — Existencia y tipado de las operaciones puntuales existen las funciones tipadas \(\Delta_g f:I\to\mathbb R\) y \(\Delta_f g:I\to\mathbb R\), así como su diferencia \(H:I\to\mathbb R\). Concretamente, el grafo de \(H\) es el subconjunto de \(I\times\mathbb R\) determinado por la igualdad funcional del enunciado; existe por Separación y asigna un único valor real a cada \(x\in I\). No ampliamos ni cambiamos el dominio de ninguna función.

Por distributividad y conmutatividad del cuerpo real,

\[ \begin{aligned} H(b)-H(a) &=\Delta_g\,[f(b)-f(a)]-\Delta_f\,[g(b)-g(a)]\\ &=\Delta_g\Delta_f-\Delta_f\Delta_g=0. \end{aligned} \]

Por cancelación aditiva, \(H(a)=H(b)\). No hemos afirmado que cada uno de esos dos valores sea cero: sólo necesitamos su igualdad para Rolle.

Si \(f\) y \(g\) son continuas en todos los puntos de \(I\), Corolario §17.4.6 — Clausura global, restricciones y cocientes conserva la continuidad bajo multiplicación por escalares reales fijos y bajo diferencia de funciones con igual dominio y codominio. Aplicándolo dos veces a los coeficientes \(\Delta_g\) y \(\Delta_f\), obtenemos continuidad de \(H\) en todo \(I\), incluidos ambos extremos.

Sea finalmente \(c\in(a,b)\) un punto donde ambas funciones sean derivables. El corolario Corolario §19.8.5 — Extremos e interior de un intervalo cerrado no degenerado garantiza \(c\in\operatorname{Acc}(I)\) y legitima las derivadas relativas. La regla Corolario §19.4.2 — Multiplicación por escalares, opuestos y diferencias, aplicada primero a cada múltiplo escalar y después a la diferencia, da

\[ H'(c)=(\Delta_g f)'(c)-(\Delta_f g)'(c) =\Delta_g f'(c)-\Delta_f g'(c). \]

Los coeficientes se fijaron antes de derivar: dependen de los valores de borde, no del argumento variable \(x\). Se han definido objetos mediante fórmulas unívocas, sin escoger testigos de una familia. \(\square\)

Lectura de la construcción. Los dos incrementos cumplen el papel de coeficientes cruzados: al evaluar la diferencia de los valores de \(H\) en los extremos, los productos se cancelan exactamente. Esta es la reducción a Rolle que se necesita, sin dividir por un incremento ni por una derivada.

Teorema 20.4.2 — Teorema del valor medio de Cauchy, forma sin cocientes

Sean \(a,b\in\mathbb R\) con \(a<b\) y dos funciones \(f,g:[a,b]\to\mathbb R\). Supongamos que ambas son continuas en cada punto de \([a,b]\) y derivables en cada punto de \((a,b)\), siempre relativamente a su dominio \([a,b]\). Entonces existe al menos un \(c\in(a,b)\) tal que

\[ \boxed{[f(b)-f(a)]\,g'(c)=[g(b)-g(a)]\,f'(c).} \tag{20.4.1} \]

No se exige \(g(b)\ne g(a)\) ni \(g'(x)\ne0\). Si esos números se anulan, la expresión (20.4.1) sigue estando definida y el enunciado continúa siendo verdadero.

Demostración. Pongamos \(I=[a,b]\) y tomemos los dos incrementos \(\Delta_f,\Delta_g\) y la función tipada \(H:I\to\mathbb R\) del lema Lema §20.4.1 — Combinación auxiliar con incrementos cruzados. La primera conclusión de ese lema da \(H(a)=H(b)\). Por continuidad de \(f\) y \(g\) en todo \(I\), la segunda prueba que \(H\) también es continua allí. Para cada \(x\in(a,b)\), la derivabilidad de ambas funciones y la tercera conclusión del lema garantizan que \(H\) es derivable en \(x\) relativamente a \(I\).

Quedan verificadas las tres hipótesis de Rolle Teorema §20.2.2 — Teorema de Rolle para la función \(H:I\to\mathbb R\), no para \(f\) ni para \(g\) por separado. Existe entonces un \(c\in(a,b)\) con \(H'(c)=0\). La fórmula de derivación ya demostrada proporciona

\[ 0=H'(c)=\Delta_g f'(c)-\Delta_f g'(c). \]

Tras sumar \(\Delta_f g'(c)\) a ambos miembros,

\[ \Delta_g f'(c)=\Delta_f g'(c), \]

que es precisamente (20.4.1), por simetría de la igualdad. En ningún paso se ha dividido por alguno de los incrementos o de las derivadas. Se ha instanciado una única existencia de Rolle para una función explícitamente determinada; no se define una selección de puntos \(c\) dependiente de todos los pares de funciones. \(\square\)

Interpretación y recuperación de Lagrange. Cauchy compara dos variaciones sobre un mismo intervalo. Si tomamos \(g:[a,b]\to\mathbb R\) como la restricción de la identidad real, entonces \(g(b)-g(a)=b-a\) y \(g'(c)=1\) por Proposición §19.1.6 — Primeros cálculos: funciones afines y función cuadrática y la regla de restricción Proposición §19.5.2 — Restricción de una función derivable. La igualdad (20.4.1) se convierte exactamente en \(f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)\), forma ya demostrada de Lagrange. Esta observación no se utiliza para probar Cauchy y no reabre aquel resultado.

Corolario 20.4.3 — Forma de cocientes bajo denominadores demostrablemente no nulos

Bajo las hipótesis de Teorema §20.4.2 — Teorema del valor medio de Cauchy, forma sin cocientes, supongamos además que

\[ \forall x\in(a,b),\qquad g'(x)\ne0. \tag{20.4.2} \]

Entonces \(g(b)\ne g(a)\) y existe un \(c\in(a,b)\) con \(g'(c)\ne0\) para el cual todos los cocientes siguientes están definidos y

\[ \boxed{\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}.} \tag{20.4.3} \]

Demostración. Primero verificamos el incremento del denominador. Supongamos, buscando contradicción, que \(g(b)=g(a)\). Como \(g:[a,b]\to\mathbb R\) es continua en todo el intervalo y derivable en su interior, Rolle Teorema §20.2.2 — Teorema de Rolle daría un punto \(d\in(a,b)\) con \(g'(d)=0\). Pero (20.4.2) aplicado a ese \(d\) afirma \(g'(d)\ne0\). La contradicción demuestra

\[ \Delta_g:=g(b)-g(a)\ne0. \]

Ahora obtenemos el punto común. El teorema de Cauchy Teorema §20.4.2 — Teorema del valor medio de Cauchy, forma sin cocientes proporciona un \(c\in(a,b)\) tal que, escribiendo \(\Delta_f:=f(b)-f(a)\),

\[ \Delta_f g'(c)=\Delta_g f'(c). \]

La hipótesis (20.4.2) implica \(g'(c)\ne0\). Así, ambos denominadores de (20.4.3) son no nulos. Podemos dividir la igualdad anterior por el producto real no nulo \(\Delta_g g'(c)\) y obtenemos exactamente

\[ \frac{\Delta_f}{\Delta_g}=\frac{f'(c)}{g'(c)}. \]

La prueba emplea una instancia de Rolle para excluir un incremento nulo y una instancia de Cauchy para obtener el punto requerido. Son dos testigos existenciales para un par de funciones ya fijado; no aparece Choice ni se atribuye al teorema principal una condición adicional que no necesita. \(\square\)

Por qué no debe confundirse el corolario con el teorema. Si \(g\) es constante, entonces \(g(b)-g(a)=0\) y \(g'(x)=0\) en los puntos interiores. La igualdad (20.4.1) conserva sentido y se cumple, pero ambos cocientes de (20.4.3) quedan sin definir. El requisito de no anulación de \(g'\) pertenece únicamente a esta forma dividida.

Transición. El teorema de Cauchy ha quedado demostrado en su forma general y en su forma de cocientes bajo hipótesis explícitas. En §20.5 comenzarán las consecuencias de signo: aplicaremos el valor medio de Lagrange a subintervalos para relacionar el signo de la derivada con la monotonía. Ni esos criterios ni las futuras estimaciones Lipschitz se han utilizado para justificar las demostraciones anteriores. La sección §20.4 queda estabilizada como unidad humana; el capítulo continúa abierto y no se abre un nuevo checkpoint Lean.

20.5. Monotonía y signo de la derivada

El teorema de Lagrange transforma la información local de una derivada en una comparación entre dos valores de una función. Para aprovecharlo correctamente, distinguiremos las desigualdades estrictas de las no estrictas y conservaremos la condición de que el segmento entre los argumentos esté dentro del dominio. La derivada no necesita existir en los extremos de ese segmento.

Definición 20.5.1 — Monotonía estricta y no estricta sobre un dominio ordenado

Sean \(D\subseteq\mathbb R\) y \(f:D\to\mathbb R\). Para todo par de argumentos \(u,v\in D\) con \(u<v\) definimos las siguientes propiedades:

• \(f\) es no decreciente en \(D\) si \(f(u)\le f(v)\) para todos esos pares.
• \(f\) es no creciente en \(D\) si \(f(u)\ge f(v)\) para todos esos pares.
• \(f\) es estrictamente creciente en \(D\) si \(f(u)<f(v)\) para todos esos pares.
• \(f\) es estrictamente decreciente en \(D\) si \(f(u)>f(v)\) para todos esos pares.

Llamaremos monótona a una función no decreciente o no creciente, y estrictamente monótona a una estrictamente creciente o estrictamente decreciente. En lo sucesivo no emplearemos «creciente» o «decreciente» a secas cuando su sentido estricto o amplio pueda causar ambigüedad.

La definición sólo compara argumentos que pertenecen a \(D\): tiene sentido incluso si \(D\) no es un intervalo. Una función constante es simultáneamente no decreciente y no creciente; en un dominio con dos puntos distintos no es estrictamente monótona. Ninguna de estas propiedades presupone continuidad ni derivabilidad, y no se introduce una nueva función «derivada global».

Teorema 20.5.2 — Criterios suficientes de monotonía por el signo de la derivada

Sean \(a,b\in\mathbb R\) con \(a<b\), \(I:=[a,b]\) y \(f:I\to\mathbb R\). Supongamos que \(f\) es continua en todos los puntos de \(I\) y derivable en cada punto de \((a,b)\), en ambos casos relativamente al dominio \(I\). Entonces se verifican las cuatro implicaciones siguientes:

\[ \begin{array}{rcl} \bigl[\forall x\in(a,b),\ f'(x)\ge0\bigr]&\Longrightarrow&f\text{ es no decreciente en }I;\\ \bigl[\forall x\in(a,b),\ f'(x)\le0\bigr]&\Longrightarrow&f\text{ es no creciente en }I;\\ \bigl[\forall x\in(a,b),\ f'(x)>0\bigr]&\Longrightarrow&f\text{ es estrictamente creciente en }I;\\ \bigl[\forall x\in(a,b),\ f'(x)<0\bigr]&\Longrightarrow&f\text{ es estrictamente decreciente en }I. \end{array} \tag{20.5.1} \]

La cuantificación sobre el signo se refiere al intervalo abierto completo: conocer el signo de la derivada en un solo punto no permite concluir monotonía en \(I\). No se supone derivabilidad en \(a\) ni en \(b\).

Demostración. Fijemos arbitrariamente \(u,v\in I\) con \(u<v\). Puesto que \(I=[a,b]\), se tiene \([u,v]\subseteq I\) y \((u,v)\subseteq(a,b)\). La continuidad de \(f\) en cada punto de \([u,v]\) relativa a \(I\), y la derivabilidad de \(f\) en cada punto de \((u,v)\) también relativa a \(I\), son restricciones de las hipótesis generales. Aplicamos, por tanto, el corolario de Lagrange sobre el dominio original Corolario §20.3.3 — Valor medio en un subintervalo del dominio original: existe \(c\in(u,v)\) tal que

\[ f(v)-f(u)=f'(c)(v-u). \tag{20.5.2} \]

Como \(u<v\), el factor \(v-u\) es estrictamente positivo. Si \(f'(x)\ge0\) para todo \(x\in(a,b)\), entonces \(f'(c)\ge0\) y (20.5.2) implica \(f(v)-f(u)\ge0\), es decir, \(f(u)\le f(v)\). Si todas las derivadas interiores son no positivas, el mismo producto es no positivo y \(f(u)\ge f(v)\). Si son estrictamente positivas, el producto de dos reales positivos es positivo y \(f(u)<f(v)\); si son estrictamente negativas, es negativo y \(f(u)>f(v)\).

El par \(u<v\) fue arbitrario, así que cada conclusión rige para todos los pares ordenados del intervalo. Para cada par se aplica Lagrange una sola vez: el razonamiento por instanciación existencial no define ni necesita una función que elija simultáneamente un punto \(c\) para cada par. No se invocan Darboux ni Taylor. \(\square\)

Por qué importa el intervalo. Consideremos \(D:=(-1,0)\cup(0,1)\) y \(F:D\to\mathbb R\), dada por \(F(x)=x\) si \(x<0\) y \(F(x)=x-1\) si \(x>0\). En cada punto de \(D\), una bola suficientemente pequeña queda en una sola componente; allí \(F\) es afín de pendiente \(1\), por lo que \(F'(x)=1\). Sin embargo \(-\tfrac14<\tfrac14\) y \(F(-\tfrac14)=-\tfrac14>-\tfrac34=F(\tfrac14)\): \(F\) no es no decreciente en \(D\). El segmento que une esos argumentos atraviesa el punto excluido \(0\); por eso no podemos aplicar Lagrange al par. Tener derivada positiva en todas las componentes no basta para compararlas sin una hipótesis adicional.

Proposición 20.5.3 — Signos necesarios de la derivada para la monotonía

Sean \(a<b\) y \(f:[a,b]\to\mathbb R\). Si \(f\) es no decreciente en \([a,b]\) y es derivable en un punto \(c\in(a,b)\), entonces \(f'(c)\ge0\). Si \(f\) es no creciente y derivable en ese punto, entonces \(f'(c)\le0\). Estas conclusiones también se aplican, respectivamente, a las funciones estrictamente crecientes y estrictamente decrecientes. No se concluye \(f'(c)>0\) a partir de crecimiento estricto, ni \(f'(c)<0\) a partir de decrecimiento estricto.

Demostración. Pongamos \(I=[a,b]\) y fijemos el punto interior \(c\) donde la derivada existe. Por Corolario §19.8.5 — Extremos e interior de un intervalo cerrado no degenerado, \(c\in\operatorname{Acc}(I)\) y el cociente incremental \(q_{f,c}:I\setminus\{c\}\to\mathbb R\) de Definición §19.1.1 — Cociente incremental en un punto está bien tipado. Supongamos primero que \(f\) es no decreciente. Para cada \(x\in I\) con \(x\ne c\):

• si \(x>c\), tanto \(f(x)-f(c)\) como \(x-c\) son no negativos y el denominador es positivo;
• si \(x<c\), el numerador y el denominador son no positivos y el segundo es estrictamente negativo.

En los dos casos,

\[ q_{f,c}(x)=\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\ge0. \tag{20.5.3} \]

Supongamos por contradicción que el límite existente \(L:=f'(c)\) fuese negativo. Por la definición cuantificada de derivada, con \(\varepsilon:=-L/2>0\), existe \(\delta>0\) tal que \(x\in I\) y \(0<|x-c|<\delta\) implican \(|q_{f,c}(x)-L|<\varepsilon\). En particular,

\[ q_{f,c}(x)<L+\varepsilon=L/2<0. \]

Elijamos el punto explícito \(x:=c+t\) con \(t=\frac12\min\{\delta,b-c\}>0\). Entonces \(x\in I\), \(0<|x-c|=t<\delta\), y las dos desigualdades para \(q_{f,c}(x)\) se contradicen. Así \(f'(c)\ge0\).

Si \(f\) es no creciente, el mismo análisis de los dos signos de numerador y denominador proporciona \(q_{f,c}(x)\le0\) para todo \(x\ne c\) en \(I\). Si fuera \(L=f'(c)>0\), la tolerancia \(L/2\) y el mismo testigo explícito obligarían a \(q_{f,c}(x)>L/2>0\), contradicción. Resulta \(f'(c)\le0\). Las propiedades estrictas implican las no estrictas por el orden real, de modo que sus conclusiones necesarias son exactamente las mismas desigualdades débiles. Ningún argumento ha supuesto continuidad global ni ha aplicado Lagrange. \(\square\)

Dirección lógica. Bajo las hipótesis de continuidad y derivabilidad del teorema anterior, \(f'\ge0\) en el interior es equivalente a que \(f\) sea no decreciente en el intervalo cerrado; análogamente, \(f'\le0\) es equivalente a que sea no creciente. Para la monotonía estricta, en cambio, \(f'>0\) es una condición suficiente pero no necesaria.

Corolario 20.5.4 — Derivada idénticamente nula si y sólo si la función es constante

Sean \(a<b\) y \(f:[a,b]\to\mathbb R\) continua en todo \([a,b]\) y derivable en cada punto de \((a,b)\). Entonces

\[ \boxed{\bigl[\forall x\in(a,b),\ f'(x)=0\bigr] \iff \bigl[\forall u,v\in[a,b],\ f(u)=f(v)\bigr].} \tag{20.5.4} \]

Demostración. Si todas las derivadas interiores son cero, satisfacen simultáneamente las desigualdades \(f'(x)\ge0\) y \(f'(x)\le0\). Por las dos primeras implicaciones de Teorema §20.5.2 — Criterios suficientes de monotonía por el signo de la derivada, \(f\) es no decreciente y no creciente en el intervalo completo. Para cualesquiera \(u<v\) se obtiene \(f(u)\le f(v)\le f(u)\), luego igualdad por antisimetría; si \(u=v\) la igualdad es inmediata y si \(v<u\) intercambiamos los argumentos. Por tanto \(f\) es constante en \([a,b]\).

Recíprocamente, una función constante es no decreciente y no creciente por Definición §20.5.1 — Monotonía estricta y no estricta sobre un dominio ordenado. Como la derivabilidad interior está supuesta, Proposición §20.5.3 — Signos necesarios de la derivada para la monotonía proporciona \(f'(x)\ge0\) y \(f'(x)\le0\) en cada punto interior; por antisimetría, \(f'(x)=0\). Equivalentemente, sus cocientes incrementales son exactamente cero. La continuidad de la hipótesis es necesaria para el primer sentido a través de Lagrange, no para este segundo sentido por sí solo. \(\square\)

Corolario 20.5.5 — Caracterización de monotonía estricta sin exigir derivada siempre estricta

Bajo las hipótesis de continuidad y derivabilidad de Teorema §20.5.2 — Criterios suficientes de monotonía por el signo de la derivada, la función \(f:[a,b]\to\mathbb R\) es estrictamente creciente si y sólo si se cumplen ambas condiciones:

\[ \forall x\in(a,b),\quad f'(x)\ge0, \tag{20.5.5} \]

\[ \forall u,v\in[a,b],\quad u<v\ \Longrightarrow\ \exists c\in(u,v):\ f'(c)>0. \tag{20.5.6} \]

Análogamente, \(f\) es estrictamente decreciente si y sólo si \(f'(x)\le0\) para todos los \(x\in(a,b)\) y, para cada \(u<v\) del intervalo, existe algún \(c\in(u,v)\) con \(f'(c)<0\).

Demostración. Necesidad en el caso creciente. Si \(f\) es estrictamente creciente, también es no decreciente. Proposición §20.5.3 — Signos necesarios de la derivada para la monotonía, aplicado a cada punto interior, demuestra (20.5.5). Fijemos ahora \(u<v\) cualesquiera en \([a,b]\). La monotonía estricta da \(f(v)-f(u)>0\). El valor medio sobre el dominio original Corolario §20.3.3 — Valor medio en un subintervalo del dominio original proporciona un \(c\in(u,v)\) con

\[ f'(c)=\frac{f(v)-f(u)}{v-u}>0, \]

pues ambos números del cociente son positivos. Queda probada (20.5.6).

Suficiencia en el caso creciente. Supongamos (20.5.5)–(20.5.6). El primer criterio de Teorema §20.5.2 — Criterios suficientes de monotonía por el signo de la derivada prueba que \(f\) es no decreciente. Para \(u<v\) arbitrarios, sabemos entonces que \(f(u)\le f(v)\). Si hubiera igualdad, para cualquier \(z\in[u,v]\) tendríamos

\[ f(u)\le f(z)\le f(v)=f(u), \]

luego \(f\) sería constante en ese subintervalo. Por (20.5.6), sin embargo, existe \(c\in(u,v)\) con \(f'(c)>0\). El radio \(r:=\frac12\min\{c-u,v-c\}>0\) verifica \(B_r(c)\subseteq[u,v]\). Para \(x\in[a,b]\) con \(0<|x-c|<r\), la constancia obliga a que \([f(x)-f(c)]/(x-c)=0\). El límite de estos cocientes —que existe por la derivabilidad ya supuesta— es por tanto \(0\), de modo que \(f'(c)=0\), contradicción. Así \(f(u)<f(v)\) para cualquier \(u<v\) y \(f\) es estrictamente creciente.

Para el caso decreciente se invierten las desigualdades: la monotonía estricta decreciente da un cociente secante negativo en Lagrange y Proposición §20.5.3 — Signos necesarios de la derivada para la monotonía implica \(f'\le0\); recíprocamente, el criterio no creciente y la existencia de un punto con derivada negativa dentro de cada subintervalo excluyen la igualdad de valores extremos por el mismo argumento de constancia local. No se ha supuesto que exista una elección simultánea de los puntos \(c\): sólo se usa el testigo correspondiente a cada par fijado. \(\square\)

Contraejemplo a la necesidad de \(f'(x)>0\) en todos los puntos. En Proposición §20.1.6 — Dos límites de alcance: frontera y recíproca falsa ya construimos la función tipada \(p:\mathbb R\to\mathbb R\), \(p(x)=x\cdot x\cdot x\), y demostramos \(p'(0)=0\). No obstante, para cualesquiera \(u<v\), la factorización algebraica da

\[ p(v)-p(u)=(v-u)(u^2+uv+v^2),\qquad u^2+uv+v^2=\frac{(v-u)^2+3(u+v)^2}{4}>0. \]

El último numerador es positivo porque \((v-u)^2>0\) y los otros sumandos son no negativos; el denominador \(4\) es positivo en el cuerpo real. Se deduce \(p(u)<p(v)\) para todo \(u<v\), aunque la derivada se anule en \(0\). Esto separa una condición suficiente de una caracterización necesaria y suficiente.

Transición. Los resultados anteriores transforman signos locales en comparaciones globales, con hipótesis de dominio precisas, y muestran cómo detectar los casos de igualdad. La siguiente unidad, §20.6, deducirá cotas de incrementos y estimaciones Lipschitz a partir de una cota uniforme de \(|f'|\) y del valor medio de Lagrange. La sección §20.5 queda estabilizada como unidad humana; el capítulo permanece abierto y no se abre un nuevo checkpoint Lean.

20.6. Cotas de incrementos y estimaciones Lipschitz

Hasta ahora hemos empleado el signo de la derivada para comparar el orden de los valores de una función. Podemos hacer una pregunta cuantitativa: si conocemos una cota de la derivada, ¿cuánto puede variar la función entre dos argumentos? Lagrange proporciona la respuesta porque identifica cada pendiente secante con una derivada en algún punto interior del segmento.

En §17.6 se demostró ya que una desigualdad de tipo Lipschitz implica continuidad uniforme (Proposición §17.6.3 — Una cota de tipo Lipschitz proporciona un radio uniforme), sin atribuirla entonces a una derivada. Fijaremos aquí la terminología para esa desigualdad, obtendremos su origen diferencial y delimitaremos con precisión la afirmación recíproca.

Definición 20.6.1 — Condición Lipschitz relativa al dominio

Sean \(D\subseteq\mathbb R\), \(f:D\to\mathbb R\) y un número real \(L\ge0\). Diremos que \(f\) satisface la condición Lipschitz con constante \(L\) en \(D\) si

\[ \boxed{\forall x,y\in D:\quad |f(x)-f(y)|\le L|x-y|.} \tag{20.6.1} \]

Diremos que \(f\) es Lipschitz en \(D\) si existe al menos una constante real \(L\ge0\) que satisface (20.6.1). No se asigna una constante privilegiada ni se define por ahora una «mejor constante» mediante un supremo. La condición tiene sentido para cualquier dominio, incluso vacío; con \(L=0\) fuerza igualdad de los valores de \(f\) para cada par de argumentos y, por ello, constancia sobre \(D\) (vacuamente si éste es vacío).

La expresión «Lipschitz con constante \(L\)» sigue designando una propiedad de la función ya tipada, no un operador nuevo ni una función derivada global \(f'\).

Lema 20.6.2 — Dos cotas de la derivada encierran todos los incrementos

Sean \(a,b\in\mathbb R\) con \(a<b\) y \(f:[a,b]\to\mathbb R\) continua en todo \([a,b]\) y derivable en todos los puntos de \((a,b)\), relativamente a su dominio declarado. Si existen números reales \(m,M\) tales que

\[ \forall c\in(a,b),\qquad m\le f'(c)\le M, \]

entonces, para todos \(u,v\in[a,b]\) con \(u<v\),

\[ \boxed{m(v-u)\le f(v)-f(u)\le M(v-u).} \tag{20.6.2} \]

Demostración. Fijemos un par arbitrario \(u<v\) del intervalo. Por ser \([a,b]\) un intervalo cerrado, \([u,v]\subseteq[a,b]\) y \((u,v)\subseteq(a,b)\). En consecuencia, las hipótesis de continuidad y derivabilidad del corolario Corolario §20.3.3 — Valor medio en un subintervalo del dominio original se verifican para ese subintervalo sin cambiar el dominio de la derivada: existe \(c\in(u,v)\) tal que

\[ f(v)-f(u)=f'(c)(v-u). \]

El punto \(c\) pertenece a \((a,b)\), así que \(m\le f'(c)\le M\). Como \(v-u>0\), multiplicar las dos desigualdades por \(v-u\) preserva sus sentidos y sustituir el producto central por \(f(v)-f(u)\) da (20.6.2). La pareja fue arbitraria. Hemos utilizado un testigo para cada instancia fijada de Lagrange, no una selección simultánea \(c=c(u,v)\). \(\square\)

Lectura de la desigualdad. Los números \(m\) y \(M\) encierran las pendientes de todas las secantes, pues al dividir (20.6.2) por \(v-u>0\) obtenemos

\[ m\le\frac{f(v)-f(u)}{v-u}\le M. \tag{20.6.3} \]

Se trata de una conclusión sobre todas las parejas de argumentos, aunque el punto intermedio suministrado por Lagrange puede cambiar de una pareja a otra.

Teorema 20.6.3 — Una derivada uniformemente acotada implica la condición Lipschitz

Sean \(a<b\), \(I:=[a,b]\) y \(f:I\to\mathbb R\) continua en todo \(I\) y derivable en cada punto de \((a,b)\), relativamente a \(I\). Si existe un número real \(L\ge0\) tal que

\[ \forall c\in(a,b),\qquad |f'(c)|\le L, \tag{20.6.4} \]

entonces \(f\) es Lipschitz con esa misma constante \(L\) sobre todo \(I\):

\[ \boxed{\forall u,v\in I:\quad |f(v)-f(u)|\le L|v-u|.} \tag{20.6.5} \]

No se exige que \(f'\) exista en los extremos, sea continua o alcance un máximo. «Uniformemente acotada» significa aquí que un mismo número real finito \(L\) acota los valores absolutos de todas las derivadas interiores.

Demostración. La condición \(|f'(c)|\le L\) equivale, por la definición de valor absoluto y las reglas de orden real, a \(-L\le f'(c)\le L\). Aplicamos Lema §20.6.2 — Dos cotas de la derivada encierran todos los incrementos con los valores determinados \(m:=-L\) y \(M:=L\). Para \(u<v\) en \(I\) resulta

\[ -L(v-u)\le f(v)-f(u)\le L(v-u). \]

Como \(v-u>0\) y \(L\ge0\), estas desigualdades son equivalentes a \(|f(v)-f(u)|\le L(v-u)=L|v-u|\). Si \(u=v\), los dos miembros de (20.6.5) valen cero. Si \(v<u\), intercambiamos los argumentos y empleamos las simetrías del valor absoluto \(|f(v)-f(u)|=|f(u)-f(v)|\) y \(|v-u|=|u-v|\). Así se verifican todos los pares de \(I\times I\), exactamente como exige Definición §20.6.1 — Condición Lipschitz relativa al dominio.

La constante final es el \(L\) de la hipótesis, sin incrementarlo ni extraer el supremo de los valores de \(|f'|\). Si \(L=0\), (20.6.5) da \(f(u)=f(v)\) para cualquier pareja: este caso concuerda con Corolario §20.5.4 — Derivada idénticamente nula si y sólo si la función es constante y no requiere dividir por \(L\). \(\square\)

Hipótesis de borde. La continuidad en \(a\) y en \(b\) no es superflua. La función de Proposición §20.2.4 — Las tres hipótesis de Rolle no son prescindibles definida en \([0,1]\) por \(g(x)=x\) cuando \(x<1\) y \(g(1)=0\) satisface \(g'(x)=1\) para todo \(x\in(0,1)\), pero \(|g(1)-g(u)|=u\) no puede ser menor o igual que \(L(1-u)\) con un \(L\) fijo y todos los \(u<1\): para cada \(L\ge0\), tomando \(u=(L+1)/(L+2)\in(0,1)\), se tiene \(u>L(1-u)\). En particular falla la conclusión con \(L=1\). La discontinuidad de borde impide aplicar Lagrange a los subintervalos que lo contienen.

Corolario 20.6.4 — Continuidad uniforme y oscilación controlada

En las hipótesis de Teorema §20.6.3 — Una derivada uniformemente acotada implica la condición Lipschitz, \(f:[a,b]\to\mathbb R\) es uniformemente continua en \([a,b]\). Además, para cualesquiera \(u,v\in[a,b]\),

\[ \boxed{|f(v)-f(u)|\le L(b-a).} \tag{20.6.6} \]

En particular, \(f(a)-L(b-a)\le f(x)\le f(a)+L(b-a)\) para todo \(x\in[a,b]\).

Demostración. Por Teorema §20.6.3 — Una derivada uniformemente acotada implica la condición Lipschitz existe la cota Lipschitz sobre \(I=[a,b]\) con constante \(L\ge0\). La proposición cerrada Proposición §17.6.3 — Una cota de tipo Lipschitz proporciona un radio uniforme proporciona directamente continuidad uniforme, con el radio explícito \(\delta=\varepsilon/(L+1)>0\) para cada \(\varepsilon>0\); no se necesita invocar Heine–Cantor de nuevo. Para \(u,v\in I\), las desigualdades de pertenencia al intervalo dan \(|v-u|\le b-a\). Como \(L\ge0\), la cota Lipschitz implica \(|f(v)-f(u)|\le L|v-u|\le L(b-a)\). Finalmente, para \(u=a\) y \(v=x\), la definición del valor absoluto permite escribir \(-L(b-a)\le f(x)-f(a)\le L(b-a)\); sumar \(f(a)\) da la última afirmación. No se ha definido «oscilación» mediante un supremo no demostrado ni se ha escogido un argumento maximizante. \(\square\)

Proposición 20.6.5 — Cota necesaria de la derivada y alcance exacto de la recíproca

Sean \(D\subseteq\mathbb R\), \(f:D\to\mathbb R\) y \(L\ge0\). Si \(f\) satisface la condición Lipschitz con constante \(L\) y es derivable en algún punto \(c\in D\) relativamente a \(D\), entonces

\[ \boxed{|f'(c)|\le L.} \tag{20.6.7} \]

Por consiguiente, bajo las hipótesis de continuidad en \([a,b]\) y derivabilidad en \((a,b)\) del teorema anterior, para cualquier \(L\ge0\) se tiene la equivalencia

\[ \boxed{\bigl[f\text{ es Lipschitz con constante }L\text{ en }[a,b]\bigr] \iff\bigl[\forall c\in(a,b),\ |f'(c)|\le L\bigr].} \tag{20.6.8} \]

Sin la hipótesis previa de derivabilidad, una función Lipschitz no tiene por qué ser derivable en todos los puntos interiores.

Demostración. Por definición de derivada (Definición §19.1.3 — Derivabilidad en un punto), el punto \(c\) pertenece a \(D\cap\operatorname{Acc}(D)\) y existe el límite real \(d:=f'(c)\) del cociente incremental \(q_{f,c}\) de Definición §19.1.1 — Cociente incremental en un punto. Para todo \(x\in D\) distinto de \(c\), la condición Lipschitz da

\[ |q_{f,c}(x)|=\frac{|f(x)-f(c)|}{|x-c|}\le L, \]

pues \(|x-c|>0\). Supongamos que \(|d|>L\) y fijemos \(\varepsilon:=(|d|-L)/2>0\). Del límite existe \(\delta>0\) tal que, si \(x\in D\) y \(0<|x-c|<\delta\), entonces \(|q_{f,c}(x)-d|<\varepsilon\). Como \(c\in\operatorname{Acc}(D)\), el criterio Lema §16.1.1 — Acumulación y aproximación perforada proporciona un solo punto \(x\) con esas condiciones. Por desigualdad triangular y por la cota de los cocientes,

\[ |d|\le|d-q_{f,c}(x)|+|q_{f,c}(x)|<\varepsilon+L<|d|, \]

contradicción. Por tricotomía, \(|d|\le L\).

Para (20.6.8), la implicación de izquierda a derecha es la recién probada aplicada separadamente a cada \(c\in(a,b)\); la de derecha a izquierda es Teorema §20.6.3 — Una derivada uniformemente acotada implica la condición Lipschitz, cuyas condiciones de continuidad y derivabilidad se encuentran expresamente supuestas. No se han invertido esas hipótesis ni inferido continuidad en los extremos a partir de una derivada sólo interior.

Para comprobar la limitación final, reutilicemos \(v:[0,1]\to\mathbb R\) de Proposición §20.2.4 — Las tres hipótesis de Rolle no son prescindibles, dada por \(v(x)=|x-\tfrac12|\). Por la desigualdad triangular inversa Corolario §4.2.4 — Desigualdad triangular inversa, para todos \(x,y\in[0,1]\) se tiene \(|v(x)-v(y)|\le|x-y|\), de modo que \(v\) es Lipschitz con constante \(1\). Sin embargo, la misma proposición previa demuestra que las pendientes izquierda y derecha en \(1/2\) son \(-1\) y \(1\), respectivamente, y por ello \(v'(1/2)\) no existe. En este ejemplo, la condición Lipschitz sí implica continuidad uniforme por Proposición §17.6.3 — Una cota de tipo Lipschitz proporciona un radio uniforme, pero no derivabilidad. \(\square\)

Transición. Una cota sobre una derivada existente controla todos los incrementos entre puntos del intervalo y proporciona continuidad uniforme mediante infraestructura anterior. Lo inverso sólo acota las derivadas allí donde existen. En §20.7 estudiaremos una propiedad distinta: aunque la derivada no necesite ser continua, satisface la propiedad de los valores intermedios de Darboux. §20.6 queda estabilizada como unidad humana; el Capítulo 20 permanece abierto y no se inicia un checkpoint Lean nuevo.

20.7. Propiedad de Darboux de las derivadas

La continuidad de una función, por sí sola, no garantiza su derivabilidad; y la derivabilidad de una función tampoco promete continuidad de sus valores derivados. Aun así, hay una restricción notable: una derivada definida en todos los puntos interiores de un intervalo no puede omitir un valor situado estrictamente entre dos de sus valores. Esta propiedad, conocida como propiedad de Darboux, no es una aplicación del teorema del valor intermedio a una supuesta función derivada continua.

La estrategia será distinta. Para un número real dado \(\lambda\), restaremos la función afín \(x\mapsto\lambda x\) —o invertiremos su diferencia—. Si las derivadas en dos extremos tienen signos opuestos en la orientación adecuada, una cota local excluye que el mínimo de la función auxiliar esté en esos extremos. Weierstrass coloca entonces un mínimo en el interior y Fermat obliga a anular allí la derivada auxiliar.

Lema 20.7.1 — Un cambio orientado de signo fuerza una derivada nula

Sean \(D\subseteq\mathbb R\), \(u,v\in D\) con \(u<v\), \([u,v]\subseteq D\) y \(h:D\to\mathbb R\). Supongamos que \(h\) es derivable, relativamente a \(D\), en todos los puntos de \([u,v]\) y que

\[ h'(u)<0<h'(v). \tag{20.7.1} \]

Entonces existe \(c\in(u,v)\) tal que \(h'(c)=0\).

Demostración. Primero, los bordes no pueden minimizar. Pongamos \(d_u:=h'(u)<0\). El criterio cuantificado de derivada Proposición §19.1.4 — Unicidad y criterio cuantificado de la derivada, con \(\varepsilon_u:=-d_u/2>0\), proporciona \(\delta_u>0\) tal que para \(x\in D\),

\[ 0<|x-u|<\delta_u\quad\Longrightarrow\quad \frac{h(x)-h(u)}{x-u}<\frac{d_u}{2}<0. \]

Elijamos el punto determinado \(t:=u+\frac12\min\{\delta_u,v-u\}\). Se tiene \(u<t<v\) y \(t\in D\), porque \([u,v]\subseteq D\). Puesto que \(t-u>0\), la desigualdad del cociente implica \(h(t)<h(u)\).

Análogamente, sea \(d_v:=h'(v)>0\). Para \(\varepsilon_v:=d_v/2\), la definición de derivada ofrece \(\delta_v>0\) de modo que los cocientes correspondientes a argumentos con \(0<|x-v|<\delta_v\) son mayores que \(d_v/2>0\). Tomemos

\[ s:=v-\frac12\min\{\delta_v,v-u\}\in(u,v). \]

Como \(s-v<0\), multiplicar la desigualdad positiva para el cociente por ese denominador negativo produce \(h(s)<h(v)\). En consecuencia, ni \(u\) ni \(v\) puede ser un punto de mínimo sobre \([u,v]\).

Segundo, el mínimo existe y es interior. Por Teorema §19.2.1 — Toda función derivable en un punto es continua en él, la derivabilidad de \(h\) en cada \(x\in[u,v]\) implica su continuidad relativa a \(D\) en cada uno de esos puntos. La restricción \(h\upharpoonright[u,v]:[u,v]\to\mathbb R\) es, pues, continua en todo su dominio por Corolario §17.4.6 — Clausura global, restricciones y cocientes. El intervalo \([u,v]\) es compacto y no vacío por Teorema §18.2.1 — Todo intervalo cerrado y acotado es compacto; Teorema §18.5.4 — Teorema del valor extremo: Weierstrass proporciona \(c\in[u,v]\) tal que \(h(c)\le h(x)\) para todo \(x\in[u,v]\). Las dos desigualdades estrictas recién demostradas excluyen \(c=u\) y \(c=v\), luego \(u<c<v\).

Tomemos \(r:=\frac12\min\{c-u,v-c\}>0\). Si \(x\in D\) y \(|x-c|<r\), entonces \(u<x<v\) y \(h(c)\le h(x)\); por tanto, \(c\) es un mínimo local de la función original \(h:D\to\mathbb R\). Además \(B_r(c)\subseteq D\), por lo que \(c\) es interior a \(D\). Como \(h\) es derivable en \(c\), el teorema de Fermat Teorema §20.1.4 — Fermat: derivada nula en un extremo local interior se aplica sin cambiar el dominio de su derivada y da \(h'(c)=0\). Sólo fijamos dos argumentos explícitos y un mínimo cuya existencia ya estaba demostrada: no se elige una familia de minimizadores. \(\square\)

Teorema 20.7.2 — Darboux: valores intermedios de una derivada

Sean \(D\subseteq\mathbb R\) un intervalo, \(f:D\to\mathbb R\) derivable en cada punto interior de \(D\), y \(u,v\in\operatorname{int}(D)\) con \(u<v\). Si \(\lambda\in\mathbb R\) satisface una de las desigualdades

\[ f'(u)<\lambda<f'(v) \qquad\text{o}\qquad f'(v)<\lambda<f'(u), \]

entonces existe \(c\in(u,v)\) tal que

\[ \boxed{f'(c)=\lambda.} \tag{20.7.2} \]

La derivabilidad se exige sólo en el interior de \(D\): no se postula continuidad ni derivabilidad de \(f\) en los extremos que pudieran pertenecer a \(D\). La conclusión compara valores puntuales de derivadas existentes; no presupone haber construido una función derivada global ni le atribuye continuidad.

Demostración. El carácter intervalar de \(D\) y \(u<v\) implican \([u,v]\subseteq D\). Los extremos \(u,v\) son interiores a \(D\) por hipótesis, y cualquier \(c\in(u,v)\) también lo es, pues la bola de radio \(\frac12\min\{c-u,v-c\}\) queda contenida en \([u,v]\subseteq D\). Así \(f\) es derivable, relativamente a su dominio original, en cada punto de \([u,v]\). En particular, es continua en esos puntos por Teorema §19.2.1 — Toda función derivable en un punto es continua en él.

Sea \(A:\mathbb R\to\mathbb R\) la función afín \(A(x)=\lambda x\) y sea \(A_D:=A\upharpoonright D:D\to\mathbb R\) su restricción. Las construcciones y reglas de §§19.1, 19.4–19.5 (Proposición §19.1.6 — Primeros cálculos: funciones afines y función cuadrática, Proposición §19.5.2 — Restricción de una función derivable, Proposición §16.3.2 — Existencia y tipado de las operaciones puntuales, Corolario §19.4.2 — Multiplicación por escalares, opuestos y diferencias) garantizan que, en cada \(x\in[u,v]\), las diferencias puntuales \(f-A_D\) y \(A_D-f\) son derivables relativamente a \(D\) y que

\[ (f-A_D)'(x)=f'(x)-\lambda, \qquad (A_D-f)'(x)=\lambda-f'(x). \tag{20.7.3} \]

Si \(f'(u)<\lambda<f'(v)\), definimos \(h:=f-A_D\). La fórmula (20.7.3) da \(h'(u)<0<h'(v)\). Aplicamos Lema §20.7.1 — Un cambio orientado de signo fuerza una derivada nula a esa misma función \(h:D\to\mathbb R\) y al segmento \([u,v]\); resulta \(c\in(u,v)\) con \(0=h'(c)=f'(c)-\lambda\), de donde \(f'(c)=\lambda\).

Si \(f'(v)<\lambda<f'(u)\), definimos en cambio \(h:=A_D-f\). Entonces \(h'(u)=\lambda-f'(u)<0\) y \(h'(v)=\lambda-f'(v)>0\). El mismo lema proporciona \(c\in(u,v)\) con \(0=h'(c)=\lambda-f'(c)\), y otra vez \(f'(c)=\lambda\). Los casos agotan la hipótesis. No se aplicó el teorema del valor intermedio a \(f'\) ni se supuso su continuidad. \(\square\)

Lectura deductiva. Los límites de pendientes que definen \(f'(u)\) y \(f'(v)\) excluyen determinados extremos de una función auxiliar. La continuidad necesaria para Weierstrass es la de esa función auxiliar —deducida de su derivabilidad—, no la continuidad de los valores derivados. Darboux es una propiedad de valores intermedios que puede existir sin continuidad.

Corolario 20.7.3 — Si una derivada no se anula, su signo es constante

Sean \(a<b\) y \(f:[a,b]\to\mathbb R\) continua en todo \([a,b]\) y derivable en todos los puntos interiores. Si

\[ \forall x\in(a,b),\qquad f'(x)\ne0, \]

entonces ocurre exactamente una de las dos alternativas siguientes: \(f'(x)>0\) para todo \(x\in(a,b)\) y \(f\) es estrictamente creciente en \([a,b]\); o bien \(f'(x)<0\) para todo \(x\in(a,b)\) y \(f\) es estrictamente decreciente en \([a,b]\).

Demostración. El punto \(x_0:=(a+b)/2\) pertenece a \((a,b)\), de modo que la derivada \(f'(x_0)\) existe y, por hipótesis, es distinta de cero. Por tricotomía, tiene signo positivo o negativo. No pueden existir puntos \(u,v\in(a,b)\) con \(f'(u)>0\) y \(f'(v)<0\): ordenando esos dos puntos como \(p<q\), el número \(0\) queda estrictamente entre \(f'(p)\) y \(f'(q)\), y Teorema §20.7.2 — Darboux: valores intermedios de una derivada obligaría a encontrar \(c\in(p,q)\) con \(f'(c)=0\), contradicción. Por tanto todos los valores interiores de la derivada tienen el mismo signo que \(f'(x_0)\).

Si son positivos, el criterio Teorema §20.5.2 — Criterios suficientes de monotonía por el signo de la derivada establece que \(f\) es estrictamente creciente sobre \([a,b]\); si son negativos, establece que es estrictamente decreciente. Las alternativas son excluyentes porque \((a,b)\) contiene \(x_0\). La continuidad de borde se emplea sólo en el paso final hacia la monotonía global, no en Darboux. \(\square\)

Proposición 20.7.4 — Una derivada puede carecer de continuidad: ejemplo algebraico

Existe una función \(F:[-1,1]\to\mathbb R\) derivable en cada punto de su dominio, incluido el punto interior \(0\), para la cual los valores derivados no son continuos en \(0\). La construiremos sin emplear funciones trigonométricas ni potencias generales no definidas.

Demostración. Para cada natural \(n\ge1\) consideremos su numeral real \(N_n:=\nu_{\mathbb R}(n)\), que es positivo; escribiremos localmente \(x_n:=1/N_n\) y

\[ \Delta_n:=x_n-x_{n+1} =\frac{1}{N_nN_{n+1}}>0, \qquad I_n:=[x_{n+1},x_n]. \tag{20.7.4} \]

La compatibilidad de la aplicación de numerales con la suma permite escribir \(N_{n+1}=N_n+1\) en estas identidades, sin identificar los conjuntos \(\mathbb N\) y \(\mathbb R\). Por arquimedianidad (Teorema §4.6.3 — Todo cuerpo ordenado completo es arquimediano), para cada \(x\in(0,1]\) existe \(k\ge2\) con \(x_k<x\). El buen orden (Teorema §1.6.13 — Principio de buen orden) da el menor índice con esta propiedad; poniéndolo como \(n+1\), se obtiene \(x_{n+1}<x\le x_n\). Por tanto, los intervalos \(I_n\) cubren \((0,1]\) y sólo se solapan, cuando lo hacen, en extremos comunes.

Para \(x\in I_n\) pongamos \(t_n(x):=(x-x_{n+1})/\Delta_n\in[0,1]\) y prescribamos

\[ F(x):=0\quad(-1\le x\le0),\qquad F(x):=\Delta_n\,t_n(x)^2\,[1-t_n(x)]^2 \quad (x\in I_n). \tag{20.7.5} \]

En los extremos de \(I_n\) la expresión vale \(0\), independientemente del índice. Así, cuando dos intervalos comparten un extremo, ambas fórmulas coinciden, y la prescripción determina un único valor para cada \(x\in[-1,1]\). Por Separación del conjunto ambiente \([-1,1]\times\mathbb R\) se obtiene el grafo funcional de \(F:[-1,1]\to\mathbb R\), sin escoger un índice para cada argumento.

En el interior de \(I_n\), las reglas de derivación de funciones afines, productos y composiciones ya demostradas en el Capítulo 19 proporcionan, escribiendo \(t:=t_n(x)\),

\[ F'(x)=2t(1-t)(1-2t). \tag{20.7.6} \]

Las expresiones polinómicas definidas en toda la recta por cada rama tienen derivada \(0\) en sus dos extremos, pues el miembro derecho de (20.7.6) se anula en \(t=0\) y \(t=1\). En cada punto compartido \(x_n\) con \(n\ge2\), las derivadas laterales de \(F\) coinciden en \(0\); el criterio Teorema §19.8.4 — Reconstrucción de la derivada desde los lados activos acredita la derivada relativa \(F'(x_n)=0\). En \(x_1=1\) sólo está activo el lado izquierdo y proporciona también \(F'(1)=0\). Para cada \(x\in[-1,0)\) la función es localmente constante y su derivada es \(0\); en \(-1\) la derivada relativa derecha es también \(0\).

Resta comprobar el origen, donde las ramas se acumulan. En \([0,1]\), \(0\le t(1-t)\le1/4\), de donde \(0\le F(x)\le\Delta_n/16\) para \(x\in I_n\). Si \(x>0\) pertenece a \(I_n\), entonces \(x\ge x_{n+1}=1/N_{n+1}\) y

\[ 0\le\frac{F(x)-F(0)}{x} \le\frac{\Delta_n}{16x} \le\frac{1}{16N_n}. \tag{20.7.7} \]

Dado \(\varepsilon>0\), la arquimedianidad permite fijar \(N\ge1\) con \(1/(16N_N)<\varepsilon\). Si \(0<x<x_N\), el intervalo \(I_n\) que contiene a \(x\) debe tener \(n\ge N\): de lo contrario \(n+1\le N\) y \(x\ge x_{n+1}\ge x_N\), contradicción. La desigualdad (20.7.7) da entonces \(0\le F(x)/x<\varepsilon\). Además, \(0\) acumula por ambos lados en \([-1,1]\): para cada \(r>0\) sirven \(x_+:=\frac12\min\{r,1\}\) y \(x_-:=-x_+\). Para \(x<0\) el cociente de \(F\) respecto de \(0\) es exactamente cero; para \(x>0\) está acotado por (20.7.7). Con el mismo radio \(x_N>0\) todos los cocientes tienen módulo menor que \(\varepsilon\). Por la definición de derivada relativa, \(F'(0)=0\).

Finalmente, para cada \(n\ge1\) el punto explícito

\[ y_n:=x_{n+1}+\frac{\Delta_n}{4}\in(x_{n+1},x_n) \]

satisface \(t_n(y_n)=1/4\) y, por (20.7.6),

\[ \boxed{F'(y_n)=\frac{3}{16}\ne0=F'(0).} \tag{20.7.8} \]

Dado cualquier radio \(r>0\), la propiedad arquimediana permite tomar un índice \(n\) con \(x_n<r\); entonces \(0<y_n<x_n<r\) y \(|F'(y_n)-F'(0)|=3/16>1/8\). La aplicación local \(d:[-1,1]\to\mathbb R\), \(d(x):=F'(x)\), existe como grafo por Separación y unicidad de cada derivada; la desigualdad anterior refuta su continuidad en \(0\) con tolerancia \(1/8\). Sin embargo, Teorema §20.7.2 — Darboux: valores intermedios de una derivada sigue garantizando los valores intermedios de \(d\) entre puntos interiores. No hubo funciones trigonométricas, una serie ni una elección numerable de puntos. \(\square\)

Distinción esencial. La propiedad de Darboux prohíbe los saltos que omiten valores intermedios, pero no fuerza continuidad. El ejemplo exhibe una función derivable en todos los puntos de \([-1,1]\) cuya derivada es discontinua en el punto interior \(0\): por tanto, el teorema no puede ser una aplicación del valor intermedio basada en continuidad de la derivada.

Transición. Fermat y Weierstrass han permitido establecer una propiedad de las derivadas que no se obtiene aplicando continuidad a la propia derivada. El siguiente tramo, §20.8, desarrollará la fórmula de Taylor de orden finito y sus restos, con hipótesis diferenciables explícitas; ninguna igualdad con una serie infinita será presumida. §20.7 queda estabilizada como unidad humana. El capítulo permanece abierto y no se abre un nuevo checkpoint Lean.

20.8. Fórmula de Taylor de orden finito y restos

La aproximación lineal del Capítulo 19 describe el primer incremento de una función. Si disponemos de información diferencial de orden superior, podemos buscar un polinomio que reproduzca sucesivamente esos datos en un centro dado. No basta escribir una suma formal: tendremos que construir sus coeficientes, demostrar las reglas que permiten derivarla y justificar qué queda fuera del polinomio.

El desarrollo será deliberadamente finito. Los índices pertenecen a \(\mathbb N\); la suma de un número finito de términos ya existe por §14.1 y las potencias naturales reales por §14.3. Lo nuevo será el factorial, junto con una familia dada de derivadas sucesivas sobre un intervalo cerrado. No aparecerá una suma infinita, una integral ni un axioma de elección.

Definición 20.8.1 — Factorial natural

El teorema de recursión sobre \(\mathbb N\) (Teorema §1.3.7 — Teorema de recursión sobre \(\mathbb N\)) determina una única función \(\operatorname{fac}:\mathbb N\to\mathbb N\) mediante

\[ \operatorname{fac}(0_{\mathbb N})=1_{\mathbb N},\qquad \operatorname{fac}(S(k))=S(k)\cdot\operatorname{fac}(k). \tag{20.8.1} \]

El producto de la segunda igualdad es el producto natural, y el factor \(S(k)\) está bien definido para cada índice. La existencia procede de recursión, no de una selección de productos para cada \(k\).

Notación 20.8.2 — Factorial y su copia real

Para \(k\in\mathbb N\) escribiremos \(k!:=\operatorname{fac}(k)\in\mathbb N\). Cuando el factorial figure como factor o denominador en una expresión real, escribiremos explícitamente

\[ \eta_k:=\nu_{\mathbb R}(k!)\in\mathbb R. \tag{20.8.2} \]

La letra \(\eta_k\) es una abreviatura local de esta sección; en particular, \(k!\) y \(\eta_k\) no son literalmente el mismo objeto. En adelante todos los cocientes de coeficientes se formarán con \(\eta_k\), no con un natural usado como denominador real por coerción silenciosa.

Proposición 20.8.3 — Positividad y recurrencia de los factoriales

Para todo \(k\in\mathbb N\) se tiene \(k!>0_{\mathbb N}\) y, en consecuencia, \(\eta_k>0\); además,

\[ \eta_0=1,\qquad \eta_{S(k)}=\nu_{\mathbb R}(S(k))\,\eta_k. \tag{20.8.3} \]

En particular, todos los denominadores \(\eta_k\) que utilizaremos son no nulos, incluido \(\eta_0=1\).

Demostración. Procedemos por inducción. En \(k=0\), la definición da \(0!=1_{\mathbb N}>0_{\mathbb N}\). Si \(k!>0_{\mathbb N}\), el sucesor \(S(k)\) es un natural positivo y el producto de dos naturales positivos es positivo por las reglas aritméticas y de orden cerradas. Así, \((S(k))!=S(k)\,k!>0_{\mathbb N}\). La inducción Teorema §1.1.10 — Principio de inducción concluye la primera afirmación para todos los índices. Por Proposición §4.1.6 — Aritmética y orden de los numerales naturales, la incrustación de numerales reales preserva el orden positivo, la unidad y la multiplicación; aplicar \(\nu_{\mathbb R}\) a (20.8.1) obtiene precisamente (20.8.3). No identificamos \(\mathbb N\) y \(\mathbb R\). \(\square\)

Definición 20.8.4 — Cadena diferencial finita sobre un intervalo cerrado

Fijemos \(A<B\), \(I:=[A,B]\) y \(n\in\mathbb N\). Una cadena diferencial finita de orden \(n\) sobre \(I\) es una familia dada \(\mathbf f:J_n\to\mathbb R^I\), donde \(J_n:=\{k\in\mathbb N:k\le n\}\), cuyas funciones \(f_k:=\mathbf f(k):I\to\mathbb R\) cumplen:

1. Cada \(f_k\) es continua en todo \(I\), para \(0\le k\le n\).
2. Para \(0\le k<n\) y cada \(t\in(A,B)\), \(f_k\) es derivable en \(t\), relativamente a \(I\), y \(f_k'(t)=f_{k+1}(t)\).

La función que se quiere aproximar será \(f:=f_0\). La familia es un dato de las hipótesis y no se obtiene eligiendo derivadas: en el interior cada valor \(f_{k+1}(t)\) coincide con la única derivada indicada. En los extremos, \(f_k(A)\) y \(f_k(B)\) son valores de las extensiones continuas suministradas, sin pretender que exista de antemano un operador de derivación sobre todos los extremos. Para \(n=0\) sólo se exige continuidad de \(f_0\).

Definición 20.8.5 — Polinomio de Taylor finito en un centro

Para una cadena de orden \(n\) y un centro \(a\in I\), fijemos la sucesión real de coeficientes determinada por

\[ c_k:=\begin{cases}f_k(a)/\eta_k,&k\le n,\\0,&k>n.\end{cases} \]

Cada cociente existe por la proposición anterior. La secuencia \(k\mapsto c_k\) es una función total \(\mathbb N\to\mathbb R\) por Separación, con una fórmula unívoca. El polinomio de Taylor de orden \(n\), centrado en \(a\), es la función \(P_{n,a}:\mathbb R\to\mathbb R\) definida por la suma finita

\[ \boxed{P_{n,a}(t):=\sum_{k=0}^{n}\frac{f_k(a)}{\eta_k}(t-a)^k.} \tag{20.8.4} \]

La función existe por la construcción de polinomios Definición §17.5.1 — Función polinomial real determinada por una lista finita de coeficientes, aplicada a los coeficientes finitos y a la traslación \(t\mapsto t-a\). La escritura \(\sum_{k=0}^n\) conserva exactamente la suma inicial no vacía de Notación §14.1.2 — Suma finita de términos consecutivos. En \(t=a\) se utiliza \(0^0=1\) de Definición §14.3.1 — Potencias naturales de un número real, de modo que \(P_{n,a}(a)=f_0(a)\). «Orden \(n\)» no significa que el coeficiente de grado \(n\) sea necesariamente distinto de cero.

Lema 20.8.6 — Derivación de las piezas polinómicas finitas

Fijados \(n\), una cadena \(f_0,\ldots,f_n\) y \(a\in I\), para cada \(k\le n\) sea \(m\in\mathbb N\) el único natural con \(n=k+m\), y definamos la función polinómica

\[ Q_k(t):=\sum_{r=0}^{m}\frac{f_{k+r}(a)}{\eta_r}(t-a)^r, \qquad t\in\mathbb R. \tag{20.8.5} \]

Asimismo, para \(k\le n+1\) y el único \(p\in\mathbb N\) con \(n+1=k+p\), pongamos

\[ B_k(t):=\frac{\eta_{n+1}}{\eta_p}(t-a)^p. \tag{20.8.6} \]

Estas funciones satisfacen

\[ \begin{gathered} Q_0=P_{n,a},\quad Q_k(a)=f_k(a)\ (k\le n),\quad Q_k'=Q_{k+1}\ (k<n),\\ B_k(a)=0\ (k\le n),\quad B_k'=B_{k+1}\ (k\le n),\quad B_{n+1}(t)=\eta_{n+1}. \end{gathered} \tag{20.8.7} \]

Las igualdades de derivadas se entienden primero para las funciones polinómicas sobre \(\mathbb R\) y, por restricción, para cualquier punto interior de \(I\). Los polinomios \(Q_k,B_k\) son continuos en la recta.

Demostración. Primero, para cada exponente natural positivo \(j=S(r)\), la potencia \((t-a)^j\) es derivable y

\[ \frac{d}{dt}(t-a)^j=\nu_{\mathbb R}(j)(t-a)^r. \tag{20.8.8} \]

Para \(j=1\), esto es la derivada \(1\) de la función afín \(t-a\) (Proposición §19.1.6 — Primeros cálculos: funciones afines y función cuadrática). Si vale para \(j\), la identidad \((t-a)^{j+1}=(t-a)^j(t-a)\) y la regla del producto Teorema §19.4.3 — Regla de derivación del producto dan \(\nu_{\mathbb R}(j)(t-a)^j+(t-a)^j=\nu_{\mathbb R}(j+1)(t-a)^j\), por la aritmética de los numerales. Inducción ordinaria prueba (20.8.8). La potencia de exponente \(0\) es la función constante \(1\) y su derivada es cero.

Para obtener \(Q_k'\), derivamos la suma finita (20.8.5) por inducción sobre el número de sumandos, mediante Corolario §19.4.2 — Multiplicación por escalares, opuestos y diferencias. Si \(k<n\), entonces \(m\ge1\) y el término \(r=0\) tiene derivada nula; para \(r=S(s)\), (20.8.8) y la recurrencia factorial dan

\[ \frac{f_{k+S(s)}(a)}{\eta_{S(s)}} \nu_{\mathbb R}(S(s))(t-a)^s =\frac{f_{k+1+s}(a)}{\eta_s}(t-a)^s. \]

Reindexar el bloque finito de índices positivos mediante \(r=S(s)\) produce \(Q_{k+1}(t)\) exactamente, sin sumar un conjunto vacío. El mismo cálculo aplicado a \(B_k\), cuyo exponente \(p\) es positivo cuando \(k\le n\), usa \(\eta_p=\nu_{\mathbb R}(p)\eta_{p-1}\) y da \(B_k'=B_{k+1}\). Cuando \(k=n+1\), \(p=0\) y \(B_{n+1}=\eta_{n+1}/\eta_0=\eta_{n+1}\). Finalmente, en \(t=a\) sólo sobrevive el término \(r=0\) de \(Q_k\), pues \(\eta_0=1\); en \(B_k(a)\) la potencia tiene exponente positivo para \(k\le n\), así que vale cero. Para \(k=0\), (20.8.5) es (20.8.4). La continuidad de todas estas expresiones se sigue de Teorema §17.5.3 — Todo polinomio real es continuo en la recta y de la composición con la traslación afín. La restricción conserva derivadas interiores por Proposición §19.5.2 — Restricción de una función derivable. \(\square\)

Teorema 20.8.7 — Taylor finito con resto de Lagrange

Sean \(A<B\), \(I=[A,B]\), \(n\in\mathbb N\) y \(\mathbf f=(f_0,\ldots,f_n)\) una cadena diferencial de orden \(n\) sobre \(I\). Supongamos adicionalmente que \(f_n\) es derivable en todos los puntos de \((A,B)\). Fijemos \(a\in I\) y un \(x\in I\) distinto de \(a\). Entonces existe un punto \(c\) estrictamente comprendido entre \(a\) y \(x\) tal que

\[ \boxed{f(x)=P_{n,a}(x) +\frac{f_n'(c)}{\eta_{n+1}}(x-a)^{n+1}.} \tag{20.8.9} \]

La derivada \(f_n'(c)\) se toma relativamente al dominio \(I\). No se exige continuidad de esta derivada ni que exista en \(A\) o \(B\). Si \(x=a\), se cumple trivialmente \(f(a)=P_{n,a}(a)\), pero no se afirma la existencia de un punto entre dos extremos idénticos. Para \(n=0\) el teorema es exactamente Lagrange.

Demostración. 1. Preparación sin dividir por cero. Sea \(\eta:=\eta_{n+1}>0\) y pongamos

\[ K:=\frac{f(x)-P_{n,a}(x)}{(x-a)^{n+1}}. \tag{20.8.10} \]

El cociente existe porque \(x\ne a\), el exponente es positivo y el cuerpo real no tiene divisores de cero. Para \(0\le k\le n\) formemos las funciones bien tipadas \(H_k:I\to\mathbb R\),

\[ H_k(t):=f_k(t)-Q_k(t)-K B_k(t),\qquad t\in I, \tag{20.8.11} \]

entendiendo \(Q_k\) y \(B_k\) restringidas explícitamente a \(I\). Sólo se construyen las \(n+1\) funciones de esta familia finita, cuyos valores determinan un grafo por Separación. Por continuidad de \(f_k\) en todo \(I\), de los polinomios y de las operaciones algebraicas de funciones continuas, cada \(H_k\) es continua también en los extremos. El lema anterior da

\[ H_k(a)=0\quad(0\le k\le n),\qquad H_0(x)=f(x)-P_{n,a}(x)-K(x-a)^{n+1}=0. \tag{20.8.12} \]

2. Cadena exacta de derivadas. Para \(0\le k<n\) y \(t\in(A,B)\), las hipótesis de la cadena, las reglas del Capítulo 19 y (20.8.7) proporcionan

\[ H_k'(t)=f_{k+1}(t)-Q_{k+1}(t)-KB_{k+1}(t)=H_{k+1}(t). \tag{20.8.13} \]

Para el último miembro, cuya derivada existe por la hipótesis adicional, el mismo cálculo produce

\[ H_n'(t)=f_n'(t)-K\eta. \tag{20.8.14} \]

3. Rolle repetido un número finito de veces. Sean \(u:=\min\{a,x\}\) y \(v:=\max\{a,x\}\), de modo que \(u<v\) y \([u,v]\subseteq I\). Empezamos con \(z_0:=x\). La igualdad \(H_0(a)=H_0(z_0)=0\), la continuidad de \(H_0\) en el segmento y su derivabilidad interior permiten aplicar Rolle a la restricción \(H_0\upharpoonright[u,v]\). Su derivada interior coincide con la de \(H_0\) respecto de \(I\) por Proposición §19.5.2 — Restricción de una función derivable. Existe, por tanto, \(z_1\) estrictamente entre \(a\) y \(z_0\) con \(H_0'(z_1)=0\).

Si \(n=0\), la igualdad (20.8.14) ya convierte esto en \(f_0'(z_1)=K\eta_1\). Para \(n\ge1\), (20.8.13) da \(H_1(z_1)=0\). Como \(H_1(a)=0\), repetimos Rolle sobre el segmento de extremos \(a,z_1\), contenido en \(I\): obtenemos \(z_2\) estrictamente entre ambos con \(H_1'(z_2)=0\) y, si \(1<n\), \(H_2(z_2)=0\). Formalmente, una inducción finita sobre \(k\le n\) mantiene \(H_k(a)=H_k(z_k)=0\) y produce \(z_{k+1}\) estrictamente entre \(a,z_k\) con \(H_k'(z_{k+1})=0\); cuando \(k<n\) se usa (20.8.13) para continuar. En el último paso \(k=n\), (20.8.14) da un punto \(c:=z_{n+1}\) estrictamente entre \(a\) y \(x\) para el que

\[ 0=H_n'(c)=f_n'(c)-K\eta_{n+1}. \]

Cada segmento intermedio tiene extremos distintos y su interior está incluido en \((A,B)\), por lo que Rolle se aplica legítimamente. La inducción produce sólo una cadena de longitud finita fijada por \(n\). No se infiere de \(\forall k\,\exists z_k\) una función de elección infinita ni se utiliza CC(R).

4. Recuperación de la igualdad. La positividad de \(\eta_{n+1}\) permite despejar \(K=f_n'(c)/\eta_{n+1}\). Sustituirlo en (20.8.10) y multiplicar por \((x-a)^{n+1}\) demuestra (20.8.9). No se invocaron integrales, infinitas derivadas ni una serie de Taylor. \(\square\)

Lectura deductiva. El polinomio no aproxima porque sus coeficientes «parezcan adecuados». La identidad \(Q_k'=Q_{k+1}\) hace que los \(n\) primeros errores derivados se anulen en el centro. El coeficiente \(K\) fuerza otra anulación en el extremo \(x\). Rolle, aplicado sólo \(n+1\) veces, transforma esos ceros en la igualdad para el resto.

Corolario 20.8.8 — Cota uniforme para el resto

Bajo las hipótesis de Taylor, supongamos que existe un número real \(M\ge0\) con \(|f_n'(t)|\le M\) para todo \(t\in(A,B)\). Entonces, para todos \(a,x\in I\),

\[ \boxed{|f(x)-P_{n,a}(x)| \le\frac{M}{\eta_{n+1}}|x-a|^{n+1}.} \tag{20.8.15} \]

La estimación incluye el caso \(M=0\) y los extremos del intervalo; no supone existencia de un máximo de \(|f_n'|\) ni deriva la cota de continuidad de \(f_n'\).

Demostración. Para \(x=a\), ambos lados valen cero, pues \(n+1>0\). Para \(x\ne a\), fijemos un punto \(c\) suministrado por (20.8.9). Tomamos valores absolutos y utilizamos \(|f_n'(c)|\le M\), \(\eta_{n+1}>0\) y \(|(x-a)^{n+1}|=|x-a|^{n+1}\) (Lema §14.3.3 — El valor absoluto conmuta con las potencias naturales). Esto da exactamente (20.8.15). No se necesita seleccionar un punto \(c\) para todos los pares \(a,x\) simultáneamente. Si \(M=0\), la desigualdad prueba \(f(x)=P_{n,a}(x)\) en todos los puntos. \(\square\)

Corolario 20.8.9 — Resto de Peano sin derivada de orden \(n+1\)

Sea ahora \(n\ge1\) y demos únicamente una cadena diferencial de orden \(n\) sobre \(I=[A,B]\), con sus \(f_0,\ldots,f_n\) continuas en todo \(I\) y \(f_k'=f_{k+1}\) en el interior para \(k<n\). No se supone que \(f_n'\) exista. Para cada centro \(a\in I\),

\[ \boxed{f(x)-P_{n,a}(x)=o\bigl(|x-a|^n\bigr) \quad\text{cuando }x\to a\text{ dentro de }I.} \tag{20.8.16} \]

El símbolo \(o\) es una abreviatura local de la proposición cuantificada siguiente, no un objeto nuevo cuya definición se presuponga: para todo \(\varepsilon>0\) existe \(\delta>0\) tal que, para cada \(x\in I\),

\[ 0<|x-a|<\delta\quad\Longrightarrow\quad |f(x)-P_{n,a}(x)|<\varepsilon|x-a|^n. \tag{20.8.17} \]

La aproximación vale desde los lados del intervalo que efectivamente acumulan en \(a\); si \(a=A\) o \(a=B\), no se exige un entorno bilateral fuera del dominio.

Demostración. Como \(n\ge1\), hay un único \(m\in\mathbb N\) con \(n=S(m)\); por tanto \(m=n-1\) en la abreviatura aritmética usual. La familia truncada \(f_0,\ldots,f_m\) cumple las hipótesis de Teorema §20.8.7 — Taylor finito con resto de Lagrange a orden \(m\): su último miembro \(f_m\) es derivable en \((A,B)\) y su derivada allí es \(f_n\). Para \(x\ne a\), Taylor de orden \(m\) proporciona \(c\) estrictamente entre \(a\) y \(x\) tal que

\[ f(x)=P_{m,a}(x)+\frac{f_n(c)}{\eta_n}(x-a)^n. \tag{20.8.18} \]

Por definición, \(P_{n,a}(x)=P_{m,a}(x)+[f_n(a)/\eta_n](x-a)^n\), identidad de dos sumas finitas con un término adicional. Restarlas da la igualdad exacta

\[ f(x)-P_{n,a}(x) =\frac{f_n(c)-f_n(a)}{\eta_n}(x-a)^n. \tag{20.8.19} \]

Fijemos \(\varepsilon>0\). La continuidad relativa de \(f_n\) en \(a\) proporciona \(\delta>0\) tal que \(t\in I\) y \(|t-a|<\delta\) implican \(|f_n(t)-f_n(a)|<\varepsilon\eta_n\), porque \(\eta_n>0\). Si \(x\in I\) cumple \(0<|x-a|<\delta\), el punto intermedio \(c\) de (20.8.18) pertenece a \(I\) y satisface \(|c-a|<|x-a|<\delta\). Así, (20.8.19) da

\[ |f(x)-P_{n,a}(x)| <\varepsilon|x-a|^n. \]

Se trata exactamente de (20.8.17). El argumento es puntual en un par \(a,x\) arbitrario: sólo utiliza el testigo existencial de Taylor de orden anterior, no una función que elija todos los \(c\). \(\square\)

Alcance y frontera. La fórmula de Lagrange requiere una derivada adicional interior, aunque no su continuidad; el resto de Peano exige en cambio continuidad de la última función de la cadena, pero ninguna derivada de orden \(n+1\). Los dos enunciados son finitos y no afirman que una serie infinita converja ni que su valor sea \(f(x)\). El ejemplo \(f(t)=(t-a)^{n+1}\), con sus derivadas polinómicas dadas por el lema, tiene \(P_{n,a}=0\) y resto exactamente \((t-a)^{n+1}\): no cabe borrar el término residual en general.

Transición al cálculo integral. Hemos pasado de una condición local sobre cocientes incrementales a resultados globales sobre extremos, incrementos, signos y aproximaciones finitas. El valor medio compara dos valores de una función; Taylor cuantifica el error de reemplazarla por un polinomio. Ninguna de estas afirmaciones requiere identificar una función con su serie infinita.

El siguiente capítulo abordará otro problema: asignar rigurosamente un número a la acumulación de valores de una función sobre un intervalo. Comenzaremos con particiones y refinamientos; después construiremos las sumas inferiores y superiores y definiremos la integral de Darboux–Riemann mediante supremos e ínfimos ya legítimos. Sólo más tarde caracterizaremos esa integral mediante sumas etiquetadas. La definición no presupone el teorema fundamental del cálculo, reservado para el Capítulo 22.