Tratado de análisis — Capítulo 21 — Integral de Riemann

Capítulo 21 — Integral de Riemann en el desarrollo progresivo del Tratado de análisis.

Capítulo 21 — Integral de Riemann

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Parte II — Núcleo del análisis real

21.0. De los intervalos a la acumulación de cantidades

La diferenciación proporciona información local a partir de incrementos de una función. La integración planteará un problema diferente: asociar un número a una función definida en un intervalo mediante aproximaciones finitas compatibles. No comenzaremos dando por conocida el área bajo una curva ni invirtiendo la derivación. La arquitectura adoptada define primero la integral de Darboux–Riemann: particiones, cotas locales, sumas inferiores y superiores, supremo e ínfimo de esas sumas y, finalmente, igualdad de ambos números.

Una partición no es simplemente un dibujo de líneas verticales. Es un objeto finito ordenado, con puntos extremos especificados y subintervalos de anchura estrictamente positiva. El refinamiento será una relación entre tales objetos; sus propiedades deberán demostrarse antes de comparar las sumas que aún no hemos definido. Toda la construcción inicial se efectuará sobre un intervalo real cerrado no degenerado \([a,b]\), con \(a<b\). Los intervalos degenerados y la orientación inversa requerirán una convención posterior, no una división por una longitud nula.

21.1. Particiones y refinamientos

Fijemos \(a,b\in\mathbb R\) con \(a<b\) y escribamos \(I:=[a,b]\). Los índices serán naturales; los extremos y las anchuras serán reales. La distinción impide tratar un número natural como si fuese literalmente un elemento de \(\mathbb R\).

Definición 21.1.1 — Partición estricta de un intervalo cerrado

Una partición de \(I\) es el par ordenado \(P:=\langle n,p\rangle\) formado por un natural \(n\ge1_{\mathbb N}\) y una función dada

\[ J_n:=\{k\in\mathbb N:k\le n\},\qquad p:J_n\longrightarrow I, \]

que satisface

\[ \boxed{p(0)=a,\quad p(n)=b,\quad (\forall k\in\mathbb N)(k<n\Longrightarrow p(k)<p(S(k))).} \tag{21.1.1} \]

Escribimos \(x_k:=p(k)\) cuando \(k\in J_n\); entonces \(P\) se representa, sin cambiar su identidad como par, por

\[ a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b. \]

Llamaremos conjunto de nodos al subconjunto bien determinado de \(I\)

\[ V(P):=\{t\in I:(\exists k\in J_n)\ t=p(k)\}. \tag{21.1.2} \]

Para cada \(k<n\) definimos el subintervalo \(I_k(P):=[x_k,x_{S(k)}]\) y su anchura \(\Delta_k(P):=x_{S(k)}-x_k\). Todos son objetos reales o conjuntos reales: el subíndice natural no se convierte en real. El par \(P\) retiene el orden y el número de subintervalos; no se identifica por definición con \(V(P)\). Reservamos \(\operatorname{Part}[a,b]\) para la colección de estos pares y demostraremos ahora que es un conjunto no vacío.

Proposición 21.1.2 — Existencia, anchuras positivas y suma de longitudes

La colección \(\operatorname{Part}[a,b]\) es un conjunto no vacío. Para toda partición \(P=\langle n,p\rangle\) se cumplen:

\[ \boxed{\Delta_k(P)>0\ (k<n),\qquad \sum_{k=0}^{n-1}\Delta_k(P)=b-a.} \tag{21.1.3} \]

Además, \(I=\bigcup_{k<n}I_k(P)\); cada subintervalo es no degenerado y dos subintervalos no consecutivos carecen de puntos interiores comunes. La unión indicada es finita y se interpreta mediante la familia dada, no mediante una elección de intervalos.

Demostración. Existencia del conjunto. Por Definición §0.6.1 — Función como dominio, codominio y grafo, una función \(p:J_n\to I\) conserva los datos de dominio, codominio y grafo. Como \(J_n\subseteq\mathbb N\) y \(G_p\subseteq\mathbb N\times I\), sus tres componentes están en el conjunto ambiente

\[ U_I:=\mathcal P(\mathbb N)\times\{I\}\times\mathcal P(\mathbb N\times I), \]

entendiendo la triple codificación según Convención §0.3.5 — Tuplas finitas. Este conjunto existe por producto cartesiano y conjunto potencia. Por consiguiente, todos los pares candidatos \(\langle n,p\rangle\) pertenecen a \(\mathbb N\times U_I\). Separar de este último exactamente los pares que satisfacen (21.1.1), con el codominio fijo \(I\), produce \(\operatorname{Part}[a,b]\) como conjunto. La fórmula no requiere decidir algorítmicamente las desigualdades reales.

Para probar habitabilidad, tomemos \(n=1_{\mathbb N}\), \(J_n=\{0,1_{\mathbb N}\}\) y la función tipada \(p:J_n\to I\) dada por \(p(0)=a\), \(p(1_{\mathbb N})=b\). Su grafo consta de los dos pares indicados y existe por la teoría de funciones; como \(a<b\), satisface todas las condiciones. Esta es la partición trivial \(P_0=\langle1_{\mathbb N},p\rangle\).

Anchuras y suma. La condición de crecimiento estricto da \(x_{S(k)}-x_k>0\) para cada \(k<n\). Probamos por inducción en la longitud \(r\ge1_{\mathbb N}\) la identidad para cualquier lista real estrictamente creciente \(z_0<\cdots<z_r\). Para \(r=1_{\mathbb N}\) hay un único término \(z_1-z_0\). Suponiendo la identidad para una lista de \(r+1\) nodos, al añadir cualquier último nodo \(z_{S(r)}>z_r\) se obtiene

\[ \sum_{k=0}^{r}(z_{S(k)}-z_k) =(z_r-z_0)+(z_{S(r)}-z_r)=z_{S(r)}-z_0. \]

La inducción natural (Teorema §1.1.10 — Principio de inducción) establece así la identidad para toda lista finita estrictamente creciente de longitud positiva. Aplicarla a los nodos de \(P\) da (21.1.3), con \(z_0=a\) y \(z_n=b\). Se usa la suma finita ya definida (Notación §14.1.2 — Suma finita de términos consecutivos), nunca una suma infinita.

Cobertura. Cada \(I_k(P)\subseteq[a,b]\) porque los nodos están ordenados entre los extremos. Recíprocamente, dado \(t\in[a,b]\), si \(t=b\) pertenece a \(I_{n-1}(P)\), cuyo índice predecesor existe porque \(n\ge1\). Si \(t<b\), el conjunto finito no vacío \(\{j\in J_n:t<x_j\}\) contiene \(n\) y no contiene \(0\) salvo que \(t<a\), caso excluido. Su mínimo \(j\) existe por el buen orden de \(\mathbb N\) (Teorema §1.6.13 — Principio de buen orden). Tenemos \(j=S(k)\) para un único \(k<n\). La minimalidad impide \(t<x_k\) y la definición del conjunto da \(t<x_j\), luego \(x_k\le t<x_j\) y \(t\in I_k(P)\). Por último, si \(k+1<\ell\), entonces \(x_{k+1}\le x_\ell\); los interiores de \([x_k,x_{k+1}]\) y \([x_\ell,x_{\ell+1}]\) son disjuntos. Incluso los consecutivos comparten sólo el nodo común, no un punto interior. \(\square\)

Lectura. La positividad de las anchuras no es una hipótesis adicional: resulta del crecimiento estricto. La suma de anchuras recupera \(b-a\) porque los puntos intermedios aparecen una vez con signo positivo y otra con signo negativo. Todavía no hay función integranda ni sumas superiores o inferiores.

Definición 21.1.3 — Refinamiento

Sean \(P,Q\in\operatorname{Part}[a,b]\). Diremos que \(Q\) refina a \(P\) y escribiremos

\[ \boxed{P\preccurlyeq Q\quad\Longleftrightarrow\quad V(P)\subseteq V(Q).} \tag{21.1.4} \]

Se trata de conservar todos los puntos de corte de \(P\), admitiendo otros nuevos. Esta orientación de \(\preccurlyeq\) será fija: el miembro de la derecha es el más fino. Un refinamiento es propio si la inclusión de nodos es propia. Por definición, \(P\preccurlyeq P\) y, si \(P\preccurlyeq Q\preccurlyeq R\), entonces \(P\preccurlyeq R\); estas dos afirmaciones son reflexividad y transitividad de la inclusión ya demostradas en §0.2. No se presupone una regla que produzca un refinamiento: la probaremos construyendo una inserción.

Lema 21.1.4 — Inserción de un único punto interior

Sean \(P=\langle n,p\rangle\in\operatorname{Part}[a,b]\) y \(t\in(a,b)\) con \(t\notin V(P)\). Existe una partición \(Q\) tal que

\[ \boxed{V(Q)=V(P)\cup\{t\}.} \tag{21.1.5} \]

En particular, \(P\preccurlyeq Q\) es propio y \(Q\) tiene exactamente \(n+1_{\mathbb N}\) subintervalos. El punto nuevo se introduce una sola vez, en su lugar de orden.

Demostración. Como \(t<b=x_n\), el conjunto de índices \(E:=\{j\in J_n:t<x_j\}\) es no vacío. El buen orden natural (Teorema §1.6.13 — Principio de buen orden) le da un mínimo \(j\). No puede ser \(0\), pues \(x_0=a<t\), y por ello existe un único \(r\in\mathbb N\) con \(j=S(r)\) (Teorema §1.2.7 — Predecesor de todo natural no nulo). Por minimalidad, \(t\not<x_r\); como \(t\ne x_r\) por hipótesis y el orden real es total, \(x_r<t\). Tenemos así

\[ x_r<t<x_j,\qquad j=S(r),\quad 1\le j\le n. \tag{21.1.6} \]

Formemos \(m:=S(n)\) y la función \(q:J_m\to I\) por su grafo explícito:

\[ q(k):=\begin{cases} x_k,&k<j,\\ t,&k=j,\\ x_s,&j<k\le m\text{ y }k=S(s). \end{cases} \tag{21.1.7} \]

En el último caso \(k>j\ge1\), por lo que el predecesor \(s\) existe y es único; además \(s\le n\), de modo que \(x_s\) está definido. Las tres ramas son disjuntas y cubren \(J_m\). Cada valor pertenece a \(I\), así que la función tipada existe mediante Separación en el producto finito apropiado, sin seleccionar representantes ni índices adicionales.

Las comparaciones consecutivas de \(q\) coinciden con las de \(p\) salvo en las dos nuevas junturas: \(q(r)=x_r<t=q(j)\) y \(q(j)=t<x_j=q(S(j))\), donde \(S(j)\le S(n)=m\). Los extremos siguen siendo \(q(0)=a\) y \(q(m)=x_n=b\). En consecuencia \(Q:=\langle m,q\rangle\) es una partición. La inspección de (21.1.7) muestra que sus nodos son exactamente los antiguos junto con \(t\) y que este último no estaba antes. No hay elección: \(j\) es el único mínimo de un subconjunto natural especificado. \(\square\)

Interpretación. Insertar un punto divide un subintervalo \([x_r,x_j]\) en dos, sin alterar ninguno de los demás. Sus anchuras satisfacen la identidad aritmética

\[ (t-x_r)+(x_j-t)=x_j-x_r, \]

cuya legitimidad no depende de integrales ni de áreas geométricas.

Teorema 21.1.5 — Existencia de un refinamiento común

Para cualesquiera \(P,Q\in\operatorname{Part}[a,b]\) existe \(R\in\operatorname{Part}[a,b]\) tal que

\[ \boxed{V(R)=V(P)\cup V(Q),\qquad P\preccurlyeq R,\quad Q\preccurlyeq R.} \tag{21.1.8} \]

Además, si \(S\) es otra partición que refina a la vez a \(P\) y a \(Q\), entonces \(R\preccurlyeq S\). Así, el refinamiento común es el mínimo respecto de la inclusión de nodos; no se ha afirmado que exista antes de construirlo.

Demostración. Escribamos \(Q=\langle m,q\rangle\) y \(y_i:=q(i)\) para \(i\in J_m\). Probaremos por inducción finita en \(i\le m\) que existe una partición \(R_i\) con

\[ V(R_i)=V(P)\cup\{y_j:j\le i\}. \tag{21.1.9} \]

Para \(i=0\), \(y_0=a\in V(P)\); basta tomar \(R_0=P\). Supongamos obtenida una partición \(R_i\) para un índice \(i<m\). El siguiente nodo \(y_{S(i)}\) está en \([a,b]\). Si ya pertenece a \(V(R_i)\), conservamos \(R_{S(i)}:=R_i\). Si no pertenece, no puede ser \(a\) ni \(b\), pues ambos son nodos de toda partición; por tanto está en \((a,b)\) y aplicamos Lema §21.1.4 — Inserción de un único punto interior una sola vez para insertarlo. En ambos casos existe una partición que satisface (21.1.9) para \(S(i)\). La inducción Teorema §1.1.10 — Principio de inducción, restringida a los \(m+1\) índices correspondientes, da una partición \(R:=R_m\) con

\[ V(R)=V(P)\cup\{y_j:j\le m\}=V(P)\cup V(Q). \]

El procedimiento no escoge simultáneamente una partición para cada miembro de una familia infinita: \(Q\) es fija, \(m\) es finito y cada nuevo conjunto de nodos queda determinado por la igualdad. Las dos relaciones de refinamiento se deducen de las inclusiones de conjuntos. Si \(P\preccurlyeq S\) y \(Q\preccurlyeq S\), entonces \(V(P)\cup V(Q)\subseteq V(S)\) por las reglas de inclusión, y (21.1.4) implica \(R\preccurlyeq S\). \(\square\)

Cierre de la unidad. Para comparar sumas construidas sobre particiones distintas ya existe un modo demostrado de llevarlas a una misma partición sin introducir ningún punto de corte ajeno a las dos listas. En §21.2 definiremos primero las cotas de una función acotada sobre cada subintervalo y, sólo después, las sumas inferiores y superiores. Todavía no declaramos que una función sea integrable ni identificamos una suma etiquetada con su integral.

21.2. Cotas locales, oscilación y sumas de Darboux

Una partición establece dónde dividimos el intervalo, pero no dice todavía qué altura asociar a cada parte. Para que las aproximaciones sean números reales finitos, comenzaremos con funciones acotadas. Sobre cada subintervalo habrá un ínfimo y un supremo de los valores efectivos de la función, aunque ésta no sea continua y ninguno de los dos extremos de valores tenga que alcanzarse. Las sumas inferiores y superiores utilizarán esas cotas, no puntos escogidos arbitrariamente.

Definición 21.2.1 — Función acotada en el intervalo

Fijados \(a<b\) e \(I=[a,b]\), una función \(f:I\to\mathbb R\) se llama acotada si existen números reales \(A,B\) tales que

\[ \boxed{A\le f(t)\le B\qquad(t\in I).} \tag{21.2.1} \]

Las cotas pertenecen a \(\mathbb R\) y pueden depender de \(f\); no se les asigna una elección canónica. La condición equivale a que el conjunto no vacío \(f[I]\) esté acotado por ambos lados. No exigimos continuidad ni que \(f\) alcance \(A\) o \(B\).

Lema 21.2.2 — Existencia de las cotas extremas locales y comparación por inclusión

Sea \(f:I\to\mathbb R\) acotada y sean \(J,K\subseteq I\) conjuntos no vacíos. Existen en \(\mathbb R\) los números \(\inf f[J],\sup f[J],\inf f[K]\) y \(\sup f[K]\). Si \(J\subseteq K\), entonces

\[ \boxed{A\le\inf f[K]\le\inf f[J]\le\sup f[J]\le\sup f[K]\le B,} \tag{21.2.2} \]

para cualesquiera cotas globales \(A,B\) que satisfagan (21.2.1). En particular, para cada partición \(P\) y cada \(k<n\), el conjunto \(f[I_k(P)]\) posee ínfimo y supremo reales.

Demostración. Como \(J\ne\varnothing\), hay un \(t\in J\) y \(f(t)\in f[J]\); la imagen existe por la definición de función e imagen. Por (21.2.1), \(f[J]\subseteq[A,B]\), así que es no vacía y acotada superior e inferiormente. La propiedad del supremo de \(\mathbb R\) (Teorema §12.8.1 — Existencia y caracterización única de la completación ordenada de \(\mathbb Q\) y Definición §4.6.1 — Propiedad del supremo y cuerpo ordenado completo) da \(\sup f[J]\); la propiedad del ínfimo ya deducida de ella (Proposición §4.6.2 — La propiedad del supremo implica la propiedad del ínfimo) da \(\inf f[J]\). Lo mismo vale para \(K\). Todo elemento de \(f[J]\) queda entre su ínfimo y supremo, de donde \(\inf f[J]\le\sup f[J]\) usando el testigo \(f(t)\); las cotas globales implican \(A\le\inf f[J]\) y \(\sup f[J]\le B\), y análogamente para \(K\).

Si \(J\subseteq K\), entonces \(f[J]\subseteq f[K]\). Toda cota inferior de \(f[K]\) es también cota inferior de \(f[J]\); por la propiedad de mayor cota inferior, \(\inf f[K]\le\inf f[J]\). La inclusión de las cotas superiores da simétricamente \(\sup f[J]\le\sup f[K]\). Combinamos estas desigualdades para obtener (21.2.2). Por §21.1, \(I_k(P)\) contiene \(x_k\) y está incluido en \(I\), luego se aplica el caso \(J=I_k(P)\). No se elige una cota o un extremo para cada subintervalo: cada ínfimo y supremo está determinado unívocamente por el conjunto de valores. \(\square\)

Definición 21.2.3 — Ínfimo, supremo y oscilación de un conjunto de valores

Para una función acotada \(f:I\to\mathbb R\) y un conjunto no vacío \(J\subseteq I\), definimos

\[ m(f,J):=\inf f[J],\qquad M(f,J):=\sup f[J],\qquad \omega(f,J):=M(f,J)-m(f,J). \tag{21.2.3} \]

La oscilación \(\omega(f,J)\) es un real no negativo. Para una partición \(P=\langle n,p\rangle\) abreviamos, sólo si \(k<n\),

\[ m_k(P):=m(f,I_k(P)),\quad M_k(P):=M(f,I_k(P)),\quad \omega_k(P):=\omega(f,I_k(P)). \tag{21.2.4} \]

Cuando \(f\) está fija, también omitiremos \(f\) de las abreviaturas. En general, \(m(f,J)\) y \(M(f,J)\) no son valores \(f(t)\) para algún \(t\in J\). Son extremos del conjunto de valores, cuya existencia está justificada por el lema anterior.

Definición 21.2.4 — Sumas inferior y superior de Darboux

Sea \(f:[a,b]\to\mathbb R\) acotada y \(P=\langle n,p\rangle\in\operatorname{Part}[a,b]\). Definimos la suma inferior y la suma superior de \(f\) respecto de \(P\) por

\[ \boxed{L(f,P):=\sum_{k=0}^{n-1}m_k(P)\Delta_k(P),\qquad U(f,P):=\sum_{k=0}^{n-1}M_k(P)\Delta_k(P).} \tag{21.2.5} \]

Estas son sumas de exactamente \(n\) términos reales: \(n\ge1\), los factores \(m_k,M_k,\Delta_k\) existen para todo \(k<n\) y la suma finita fue construida en el capítulo 14. El uso de \(\inf\) y \(\sup\) no es una prescripción algorítmica para calcularlos. Aún no se ha definido integral alguna.

Proposición 21.2.5 — Encierro global e identidad de la brecha

Para toda \(f:[a,b]\to\mathbb R\) acotada, toda partición \(P\) y cualesquiera cotas \(A,B\) de (21.2.1),

\[ \boxed{A(b-a)\le L(f,P)\le U(f,P)\le B(b-a).} \tag{21.2.6} \]

Además,

\[ \boxed{U(f,P)-L(f,P)=\sum_{k=0}^{n-1}\omega_k(P)\Delta_k(P)\ge0.} \tag{21.2.7} \]

La brecha es nula si y sólo si \(\omega_k(P)=0\) para todo \(k<n\).

Demostración. Por (21.2.2), \(A\le m_k(P)\le M_k(P)\le B\). Cada anchura \(\Delta_k(P)>0\) por Proposición §21.1.2 — Existencia, anchuras positivas y suma de longitudes. La compatibilidad del orden real con la multiplicación por un número positivo proporciona

\[ A\Delta_k(P)\le m_k(P)\Delta_k(P)\le M_k(P)\Delta_k(P)\le B\Delta_k(P). \]

Sumar término a término preserva las desigualdades por la comparación de sumas finitas (Proposición §14.5.1 — Comparación de sumas finitas y de bloques); la distributividad finita y la identidad de longitudes Proposición §21.1.2 — Existencia, anchuras positivas y suma de longitudes dan, por ejemplo, \(\sum_{k<n}A\Delta_k=A(b-a)\), y de igual manera para \(B\). Esto demuestra (21.2.6). Restar las dos sumas mediante la aritmética finita y distribuir cada anchura produce

\[ U(f,P)-L(f,P) =\sum_{k<n}(M_k(P)-m_k(P))\Delta_k(P) =\sum_{k<n}\omega_k(P)\Delta_k(P). \]

Todos los sumandos son no negativos. Si cada oscilación es nula, la suma lo es. Recíprocamente, si la suma es cero, para un índice fijo \(j<n\) tenemos \(0\le\omega_j(P)\Delta_j(P)\le\sum_{k<n}\omega_k(P)\Delta_k(P)=0\), por comparación finita con los otros términos no negativos. Puesto que \(\Delta_j(P)>0\), se concluye \(\omega_j(P)=0\); \(j\) era arbitrario. No se ha supuesto que \(f\) sea continua ni se han escogido extremos de su imagen. \(\square\)

Lema 21.2.6 — Una inserción mejora ambas sumas

Sea \(f:[a,b]\to\mathbb R\) una función acotada, sea \(P\in\operatorname{Part}[a,b]\) y sea \(t\in(a,b)\setminus V(P)\). Sea \(Q\) la partición obtenida insertando \(t\) como en Lema §21.1.4 — Inserción de un único punto interior. Entonces

\[ \boxed{L(f,P)\le L(f,Q),\qquad U(f,Q)\le U(f,P).} \tag{21.2.8} \]

Demostración. El lema de inserción sitúa \(t\) en un único intervalo original \(J=[x_r,x_{r+1}]\), con \(x_r<t<x_{r+1}\). Sean \(J_-=[x_r,t]\) y \(J_+=[t,x_{r+1}]\), y escribamos \(d_-=t-x_r>0\), \(d_+=x_{r+1}-t>0\). Por inclusión \(J_-,J_+\subseteq J\) y Lema §21.2.2 — Existencia de las cotas extremas locales y comparación por inclusión,

\[ m(f,J)\le m(f,J_-),m(f,J_+),\qquad M(f,J_-),M(f,J_+)\le M(f,J). \]

Multiplicando por las anchuras positivas y sumando obtenemos

\[ m(f,J)(d_-+d_+)\le m(f,J_-)d_-+m(f,J_+)d_+, \] \[ M(f,J_-)d_-+M(f,J_+)d_+\le M(f,J)(d_-+d_+). \]

Como \(d_-+d_+=x_{r+1}-x_r=\Delta_r(P)\), éstas comparan el sumando antiguo con los dos sumandos que lo sustituyen. Todos los demás subintervalos y sus cotas son idénticos, aunque sus índices posteriores se desplacen una posición. La identidad de sumas por bloques Proposición §14.2.2 — Identidades de los bloques de sumación agrupa el prefijo, el bloque sustituido y el sufijo; si el prefijo o el sufijo carece de términos, simplemente se omite ese bloque. Los términos restantes son idénticos y se cancelan exactamente. Quedan ambas desigualdades de (21.2.8). La inserción usa el único índice mínimo construido en §21.1, no una elección. \(\square\)

Lema 21.2.7 — Una lista estricta queda determinada por sus nodos

Si \(P,Q\in\operatorname{Part}[a,b]\) y \(V(P)=V(Q)\), entonces \(P=Q\) como pares de un natural y una función tipada. Por tanto, \(P\preccurlyeq Q\) y \(Q\preccurlyeq P\) implican \(P=Q\).

Demostración. Escribamos \(P=(x_0<\cdots<x_n)\) y \(Q=(y_0<\cdots<y_m)\), abreviando las funciones del par original. Sus primeros nodos son \(a\), y ambos conjuntos de nodos coinciden. Supongamos que los primeros \(j\) nodos coinciden, con \(j<n\) y \(j<m\). El nodo \(x_{j+1}\) es el menor elemento de \(V(P)\setminus\{x_0,\dots,x_j\}\): todos los nodos posteriores son estrictamente mayores y no hay nodos de \(P\) entre dos consecutivos. Idénticamente, \(y_{j+1}\) es el menor elemento del mismo conjunto, pues \(V(Q)=V(P)\) y el prefijo es común. La unicidad del mínimo en un orden total da \(x_{j+1}=y_{j+1}\). Por inducción, ambas enumeraciones coinciden hasta el menor de \(n,m\). Si \(n<m\), en ese índice \(x_n=b\), mientras que la estricta lista \(Q\) aún tiene \(y_{n+1}>y_n=b\), contradicción con \(y_{n+1}\in[a,b]\). El caso \(m<n\) es simétrico. Luego \(n=m\), todos los valores de los grafos son iguales y los dominios y codominios también; la igualdad de funciones Proposición §0.6.3 — Criterio de igualdad de funciones proporciona \(P=Q\). La segunda afirmación es doble inclusión de los conjuntos de nodos seguida del resultado recién demostrado. \(\square\)

Teorema 21.2.8 — Monotonía de las sumas bajo refinamiento

Para toda función acotada \(f:[a,b]\to\mathbb R\) y todas las particiones \(P,Q\), si \(P\preccurlyeq Q\), entonces

\[ \boxed{L(f,P)\le L(f,Q)\le U(f,Q)\le U(f,P).} \tag{21.2.9} \]

Demostración. Escribamos \(Q=(y_0<\cdots<y_m)\). Partimos de \(P\) e incorporamos sucesivamente \(y_0,\ldots,y_m\): si el nodo ya está, conservamos la partición actual; si falta, insertamos ese único nodo mediante Lema §21.1.4 — Inserción de un único punto interior. Es la misma inducción finita empleada para construir el refinamiento común Teorema §21.1.5 — Existencia de un refinamiento común. Como \(V(P)\subseteq V(Q)\), la partición final \(R\) satisface \(V(R)=V(P)\cup V(Q)=V(Q)\). Por Lema §21.2.7 — Una lista estricta queda determinada por sus nodos, \(R=Q\).

En cada paso sin inserción las sumas permanecen idénticas. En cada paso con inserción, Lema §21.2.6 — Una inserción mejora ambas sumas muestra que la suma inferior no disminuye y la superior no aumenta. La transitividad de \(\le\) aplicada al número finito de pasos da \(L(f,P)\le L(f,R)\) y \(U(f,R)\le U(f,P)\); sustituyendo \(R=Q\) y usando \(L(f,Q)\le U(f,Q)\) de Proposición §21.2.5 — Encierro global e identidad de la brecha, obtenemos (21.2.9). No se forma una sucesión infinita de particiones ni se aplica ningún principio de elección: los \(m+1\) pasos están fijados por la lista ya dada. \(\square\)

Corolario 21.2.9 — Toda suma inferior queda por debajo de toda suma superior

Para cualesquiera particiones \(P,Q\in\operatorname{Part}[a,b]\) de una función acotada fija,

\[ \boxed{L(f,P)\le U(f,Q).} \tag{21.2.10} \]

Demostración. El teorema Teorema §21.1.5 — Existencia de un refinamiento común proporciona una partición \(R\) que refina simultáneamente a \(P\) y a \(Q\). Aplicando Teorema §21.2.8 — Monotonía de las sumas bajo refinamiento en cada una de las dos comparaciones,

\[ L(f,P)\le L(f,R)\le U(f,R)\le U(f,Q). \]

La transitividad del orden real da (21.2.10). El punto importante es que no comparamos directamente sumandos cuyos intervalos sean diferentes: primero pasamos a una partición común cuya existencia ya fue probada. \(\square\)

Ejemplo de control. Si \(f(t)=c\) para todo \(t\in[a,b]\), su imagen sobre cada subintervalo es el singleton \(\{c\}\). En consecuencia, \(m_k(P)=M_k(P)=c\) y ambas sumas valen \(c\sum_{k<n}\Delta_k(P)=c(b-a)\). Para una función no constante, en cambio, la igualdad entre las dos sumas no se presume: su brecha está determinada por (21.2.7).

Transición. La comparación universal (21.2.10) es la pieza indispensable para el siguiente paso. En §21.3 consideraremos los conjuntos de todas las sumas inferiores y superiores; sólo tras probar que son no vacíos y acotados introduciremos su supremo e ínfimo como integral inferior e integral superior. La integrabilidad exigirá después demostrar la igualdad de esos dos reales; no se anticipa aquí.

21.3. Integral inferior e integral superior

Las sumas de Darboux son números asociados a una partición particular. Para obtener cantidades que dependan solamente de la función y del intervalo, consideraremos todas las particiones admisibles. El paso exige dos verificaciones separadas: que las colecciones de sumas sean conjuntos genuinos, no clases indefinidas, y que sus extremos existan como números reales. La comparación de §21.2 proporcionará las cotas necesarias; sólo después aplicaremos la completitud.

Definición 21.3.1 — Conjuntos de sumas inferiores y superiores

Sean \(a,b\in\mathbb R\) con \(a<b\), sea \(f:[a,b]\to\mathbb R\) acotada y escribamos \(\mathcal P_{a,b}:=\operatorname{Part}[a,b]\). Definimos

\[ \boxed{\mathcal L_f:=\{L(f,P):P\in\mathcal P_{a,b}\},\qquad \mathcal U_f:=\{U(f,P):P\in\mathcal P_{a,b}\}.} \tag{21.3.1} \]

La notación de llaves en (21.3.1) significa imagen de funciones, no comprensión irrestricta. En efecto, \(P\mapsto L(f,P)\) y \(P\mapsto U(f,P)\) son reglas unívocas con dominio el conjunto \(\mathcal P_{a,b}\) construido en Proposición §21.1.2 — Existencia, anchuras positivas y suma de longitudes; sus grafos se obtienen por Separación dentro de \(\mathcal P_{a,b}\times\mathbb R\) y sus imágenes son subconjuntos de \(\mathbb R\). El parámetro \(f\) está fijado y no se seleccionan particiones simultáneamente.

Proposición 21.3.2 — Los conjuntos de sumas son no vacíos y están acotados

Para toda función acotada \(f:[a,b]\to\mathbb R\), con \(a<b\), los conjuntos \(\mathcal L_f\) y \(\mathcal U_f\) de (21.3.1) son no vacíos y están acotados superior e inferiormente en \(\mathbb R\). Más precisamente, para cualesquiera cotas globales \(A\le f(t)\le B\) y para la partición trivial \(P_0\) de §21.1, se tiene

\[ \boxed{ A(b-a)\le L(f,P)\le U(f,P_0),\qquad L(f,P_0)\le U(f,Q)\le B(b-a) \quad(P,Q\in\mathcal P_{a,b}).} \tag{21.3.2} \]

Demostración. La partición trivial \(P_0\in\mathcal P_{a,b}\) fue construida explícitamente en Proposición §21.1.2 — Existencia, anchuras positivas y suma de longitudes. Por la definición de los conjuntos, \(L(f,P_0)\in\mathcal L_f\) y \(U(f,P_0)\in\mathcal U_f\). Por tanto, ninguno de ellos es vacío.

Fijemos una pareja \(A,B\) que satisfaga la acotación global; existe por hipótesis de acotación, y no se necesita definir una elección de cotas para distintas funciones o particiones. La desigualdad (21.2.6) de Proposición §21.2.5 — Encierro global e identidad de la brecha da

\[ A(b-a)\le L(f,P),\qquad U(f,Q)\le B(b-a). \]

La comparación cruzada Corolario §21.2.9 — Toda suma inferior queda por debajo de toda suma superior, aplicada primero a \(P,P_0\) y después a \(P_0,Q\), da \(L(f,P)\le U(f,P_0)\) y \(L(f,P_0)\le U(f,Q)\). De aquí se obtiene exactamente (21.3.2). El primer par de extremos acota toda \(\mathcal L_f\) y el segundo toda \(\mathcal U_f\), en ambos sentidos. No se ha aplicado todavía la propiedad del supremo o del ínfimo. \(\square\)

Definición 21.3.3 — Integrales inferior y superior de Darboux

Sean \(f:[a,b]\to\mathbb R\) acotada y \(a<b\). La proposición anterior garantiza que los dos conjuntos de (21.3.1) son no vacíos y están acotados. Por la propiedad del supremo del cuerpo ordenado completo \(\mathbb R\) (Definición §4.6.1 — Propiedad del supremo y cuerpo ordenado completo, Teorema §12.8.1 — Existencia y caracterización única de la completación ordenada de \(\mathbb Q\)) y por la propiedad del ínfimo deducida en Proposición §4.6.2 — La propiedad del supremo implica la propiedad del ínfimo, existen únicos números reales que definimos como

\[ \boxed{ \underline{\int_a^b} f :=\sup\mathcal L_f=\sup_{P\in\mathcal P_{a,b}}L(f,P), \qquad \overline{\int_a^b} f :=\inf\mathcal U_f=\inf_{P\in\mathcal P_{a,b}}U(f,P).} \tag{21.3.3} \]

La notación \(\underline{\int_a^b}f\) designa la integral inferior y \(\overline{\int_a^b}f\) la integral superior. Son reales definidos para toda función acotada en el intervalo no degenerado. Las barras no denotan límites de sucesiones ni suponen que alguna partición alcance estos extremos. Tampoco se ha definido aún un símbolo de integral sin barra: tal símbolo exigirá primero probar que ambas cantidades coinciden.

Proposición 21.3.4 — Orden y encierro de las integrales extremas

Para toda función acotada \(f:[a,b]\to\mathbb R\) y cualesquiera cotas \(A,B\) de (21.2.1) se tiene

\[ \boxed{ A(b-a)\le L(f,P)\le\underline{\int_a^b}f \le\overline{\int_a^b}f\le U(f,Q)\le B(b-a)} \quad(P,Q\in\mathcal P_{a,b}). \tag{21.3.4} \]

En particular, la integral inferior nunca supera la superior; ambos números son finitos y ninguna integral extrema necesita coincidir con una suma particular.

Demostración. La condición \(A\le f(t)\le B\), junto con Proposición §21.2.5 — Encierro global e identidad de la brecha, proporciona \(A(b-a)\le L(f,P)\) y \(U(f,Q)\le B(b-a)\) para todas las particiones. Por definición de supremo, \(L(f,P)\le\sup\mathcal L_f\); por definición de ínfimo, \(\inf\mathcal U_f\le U(f,Q)\).

La desigualdad central requiere comparar las dos colecciones completas. Fijemos una partición \(Q\). Para toda partición \(P\), Corolario §21.2.9 — Toda suma inferior queda por debajo de toda suma superior da \(L(f,P)\le U(f,Q)\). Por tanto, \(U(f,Q)\) es cota superior del conjunto entero \(\mathcal L_f\), y la minimalidad del supremo implica

\[ \underline{\int_a^b}f=\sup\mathcal L_f\le U(f,Q). \]

Como \(Q\) era arbitraria, la integral inferior es cota inferior de \(\mathcal U_f\); por maximalidad del ínfimo,

\[ \underline{\int_a^b}f\le\inf\mathcal U_f =\overline{\int_a^b}f. \]

Finalmente, \(A(b-a)\) es cota inferior de \(\mathcal L_f\); al ser ésta no vacía, no puede exceder su supremo. Análogamente, \(B(b-a)\) es cota superior de \(\mathcal U_f\), cuyo ínfimo no puede excederla. Con estas observaciones se reúnen todas las desigualdades de (21.3.4). La prueba no usa una partición óptima ni un extremo alcanzado. \(\square\)

Corolario 21.3.5 — Aproximación simultánea por una sola partición

Para toda función acotada \(f:[a,b]\to\mathbb R\) y todo \(\varepsilon>0\) existe una misma partición \(R\in\mathcal P_{a,b}\) tal que

\[ \boxed{ \underline{\int_a^b}f-\varepsilon<L(f,R) \le\underline{\int_a^b}f \le\overline{\int_a^b}f \le U(f,R)<\overline{\int_a^b}f+\varepsilon.} \tag{21.3.5} \]

Más precisamente, si \(D_f:=\overline{\int_a^b}f-\underline{\int_a^b}f\ge0\), para todo \(\varepsilon>0\) existe una partición \(R\) con

\[ \boxed{D_f\le U(f,R)-L(f,R)<D_f+\varepsilon.} \tag{21.3.6} \]

Demostración. Por (21.3.3), el real \(\ell:=\underline{\int_a^b}f\) es supremo de \(\mathcal L_f\). Dado \(\eta>0\), existe una partición \(P\) tal que \(\ell-\eta<L(f,P)\le\ell\). Si no existiera, \(\ell-\eta\) sería cota superior de \(\mathcal L_f\), estrictamente menor que su supremo, contradicción. La pertenencia de una suma a \(\mathcal L_f\) suministra un testigo \(P\) por la definición de imagen; la prueba no elige una familia de testigos para todos los \(\eta\).

De manera dual, \(u:=\overline{\int_a^b}f\) es ínfimo de \(\mathcal U_f\). Existe una partición \(Q\) con \(u\le U(f,Q)<u+\eta\): en caso contrario \(u+\eta\) sería cota inferior estrictamente mayor que el ínfimo.

Tomemos ahora \(\eta=\varepsilon/2>0\) e instanciemos esos dos testigos \(P,Q\). El refinamiento común Teorema §21.1.5 — Existencia de un refinamiento común proporciona una partición \(R\) que refina simultáneamente a ambas. La monotonía Teorema §21.2.8 — Monotonía de las sumas bajo refinamiento y las propiedades extremales de (21.3.3) implican

\[ \ell-\eta<L(f,P)\le L(f,R)\le\ell \le u\le U(f,R)\le U(f,Q)<u+\eta. \]

Como \(\eta<\varepsilon\), esto demuestra (21.3.5). Restando los extremos correspondientes obtenemos

\[ 0\le (U(f,R)-L(f,R))-(u-\ell)<2\eta=\varepsilon, \]

de donde se sigue (21.3.6). La existencia de \(P\) y \(Q\) para una precisión fijada y la construcción de un refinamiento finito no constituyen una instancia de elección numerable. No se afirma que \(D_f=0\): esa cuestión pertenece a la sección siguiente. \(\square\)

Ejemplo de control. Si \(f(t)=c\) en todo \([a,b]\), §21.2 mostró que \(L(f,P)=U(f,P)=c(b-a)\) para cada partición. Ambos conjuntos de (21.3.1) son entonces el singleton \(\{c(b-a)\}\) y, por (21.3.3), las dos integrales extremas valen \(c(b-a)\). Esto sólo utiliza las definiciones disponibles; la futura expresión de integral sin barras todavía no está habilitada.

Transición. §21.3 ha asociado dos números reales a toda función acotada y ha demostrado que su diferencia no negativa es la menor brecha que las sumas de una partición pueden aproximar. La próxima sección, §21.4, definirá integrabilidad mediante la igualdad de las dos integrales y demostrará el criterio de Darboux en términos de \(U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon\).

21.4. Integrabilidad y criterio de Darboux

Las dos integrales extremas ya existen para cualquier función acotada, pero su desigualdad \(\underline{\int_a^b}f\le\overline{\int_a^b}f\) puede ser estricta. La definición de integral propiamente dicha debe distinguir ambos casos. El criterio que demostraremos sustituye la igualdad entre dos extremos de conjuntos posiblemente infinitos por una condición sobre una partición finita para cada precisión prescrita. No afirma la existencia de una partición que alcance los extremos ni la posibilidad de escoger de una vez particiones para todas las precisiones.

Definición 21.4.1 — Integrabilidad de Darboux

Sean \(a,b\in\mathbb R\), \(a<b\), y \(f:[a,b]\to\mathbb R\) una función acotada. Diremos que \(f\) es integrable de Darboux (o, en el presente capítulo, integrable de Riemann) en \([a,b]\) si

\[ \boxed{\underline{\int_a^b}f=\overline{\int_a^b}f.} \tag{21.4.1} \]

La condición está bien tipada porque ambos miembros son reales ya construidos en Definición §21.3.3 — Integrales inferior y superior de Darboux. Si

\[ D_f:=\overline{\int_a^b}f-\underline{\int_a^b}f, \]

entonces \(D_f\ge0\) por Proposición §21.3.4 — Orden y encierro de las integrales extremas y la integrabilidad equivale a \(D_f=0\). Por ahora, la palabra «integrable» se refiere a funciones acotadas en el intervalo no degenerado; no se asigna una integral a una función no acotada ni se define el caso \(a=b\).

Teorema 21.4.2 — Criterio de Darboux y persistencia bajo refinamiento

Sea \(f:[a,b]\to\mathbb R\) acotada, con \(a<b\). Son equivalentes:

1. \(f\) es integrable en \([a,b]\).
2. Para todo \(\varepsilon>0\) existe una partición \(P\in\operatorname{Part}[a,b]\) tal que \[ \boxed{U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon.} \tag{21.4.2} \]
3. Para todo \(\varepsilon>0\) existe una partición \(P\in\operatorname{Part}[a,b]\) tal que toda partición \(Q\) con \(P\preccurlyeq Q\) satisface \[ U(f,Q)-L(f,Q)<\varepsilon. \tag{21.4.3} \]

Demostración. (1 \(\Rightarrow\) 2). Fijemos \(\varepsilon>0\). Por integrabilidad, \(D_f=0\). La aproximación simultánea Corolario §21.3.5 — Aproximación simultánea mediante una partición, en su fórmula (21.3.6), proporciona una partición \(P\) tal que

\[ 0=D_f\le U(f,P)-L(f,P)<D_f+\varepsilon=\varepsilon. \]

La partición obtenida es un testigo para este \(\varepsilon\) fijo; la demostración no construye una función que asigne testigos a todas las tolerancias.

(2 \(\Rightarrow\) 1). Para toda partición \(P\), las desigualdades de Proposición §21.3.4 — Orden y encierro de las integrales extremas implican

\[ 0\le D_f =\overline{\int_a^b}f-\underline{\int_a^b}f \le U(f,P)-L(f,P). \tag{21.4.4} \]

Si \(D_f>0\), podemos elegir una tolerancia determinada \(\varepsilon:=D_f/2>0\). La condición (2) produce una partición \(P\) con

\[ D_f\le U(f,P)-L(f,P)<D_f/2<D_f, \]

contradicción. Como \(D_f\ge0\) y el orden real es total, necesariamente \(D_f=0\), que es precisamente (21.4.1). No hemos utilizado una sucesión de particiones, un límite de sumas ni el axioma de elección.

(2 \(\Rightarrow\) 3). Dado \(\varepsilon>0\), tomemos el testigo \(P\) de (2). Si \(P\preccurlyeq Q\), la monotonía bajo refinamiento (Teorema §21.2.8 — Monotonía de las sumas bajo refinamiento) proporciona

\[ 0\le U(f,Q)-L(f,Q)\le U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon. \]

(3 \(\Rightarrow\) 2). Basta tomar \(Q=P\), pues la relación de refinamiento es reflexiva (Definición §21.1.3 — Refinamiento). Quedan demostradas las tres equivalencias. \(\square\)

Lectura de los cuantificadores. El criterio no dice que toda partición tenga brecha pequeña. Afirma que, para cada precisión, se puede encontrar una partición suficientemente adecuada; a partir de ella, ninguna inserción ulterior de nodos empeora la estimación. La condición de acotación de \(f\) forma parte de la hipótesis de todo el teorema.

Definición 21.4.3 — Valor de la integral de Riemann–Darboux

Si \(f:[a,b]\to\mathbb R\) es acotada e integrable, sus integrales extremas son, por (21.4.1), el mismo número real. Definimos entonces

\[ \boxed{\int_a^b f :=\underline{\int_a^b}f =\overline{\int_a^b}f.} \tag{21.4.5} \]

La expresión \(\int_a^b f\) se introduce aquí, y únicamente aquí, para funciones cuya integrabilidad esté establecida; es un número real unívocamente determinado por los dos extremos, que a su vez son únicos por completitud. Cuando la variable de evaluación de \(f\) sea \(t\), podremos escribir \(\int_a^b f(t)\,dt\) como una abreviatura tipada de este mismo valor; el símbolo \(dt\) no introduce todavía diferenciales ni una operación nueva. Una función no integrable conserva sus integrales inferior y superior, pero no recibe el valor (21.4.5).

Proposición 21.4.4 — Encierro y error controlado por la brecha

Sea \(f:[a,b]\to\mathbb R\) integrable y escribamos \(I_f:=\int_a^b f\). Para cada partición \(P\) se cumplen

\[ \boxed{L(f,P)\le I_f\le U(f,P),} \tag{21.4.6} \]

\[ \boxed{ 0\le I_f-L(f,P)\le U(f,P)-L(f,P),\qquad 0\le U(f,P)-I_f\le U(f,P)-L(f,P).} \tag{21.4.7} \]

Si \(P\preccurlyeq Q\), ambos errores extremos son no crecientes:

\[ 0\le I_f-L(f,Q)\le I_f-L(f,P),\qquad 0\le U(f,Q)-I_f\le U(f,P)-I_f. \tag{21.4.8} \]

En particular, una partición con \(U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon\) determina un intervalo numérico \([L(f,P),U(f,P)]\) de anchura menor que \(\varepsilon\) que contiene el valor integral; sus dos sumas lo aproximan con error estrictamente menor que \(\varepsilon\).

Demostración. Por Proposición §21.3.4 — Orden y encierro de las integrales extremas, para cada \(P\),

\[ L(f,P)\le\underline{\int_a^b}f =I_f =\overline{\int_a^b}f\le U(f,P), \]

donde las igualdades proceden de la integrabilidad y de la definición (21.4.5). Ésta es (21.4.6). Restando \(L(f,P)\) o \(I_f\) en las desigualdades correspondientes, y usando que \(I_f\) permanece dentro del mismo intervalo, se obtienen las dos cotas de (21.4.7).

Si \(P\preccurlyeq Q\), el teorema Teorema §21.2.8 — Monotonía de las sumas bajo refinamiento da

\[ L(f,P)\le L(f,Q)\le I_f\le U(f,Q)\le U(f,P). \]

Restar las cantidades fijas pertinentes demuestra (21.4.8). La última afirmación se deduce directamente de (21.4.6)–(21.4.7) y de la definición de longitud del intervalo real. No se presupone que el valor \(I_f\) sea una suma inferior o superior alcanzada. \(\square\)

Corolario 21.4.5 — Aproximación bilateral y unicidad del número aproximado

Sea \(f:[a,b]\to\mathbb R\) acotada, con \(a<b\). Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. \(f\) es integrable en \([a,b]\).
2. Existe un número real \(J\) tal que, para todo \(\varepsilon>0\), existe una partición \(P\) que satisface simultáneamente \[ \boxed{J-\varepsilon<L(f,P)\le U(f,P)<J+\varepsilon.} \tag{21.4.9} \]

Si se cumple (2), ese \(J\) es único y coincide con \(\int_a^b f\). En consecuencia, el valor integral también puede caracterizarse como el único real que admite aproximación bilateral mediante las sumas de una misma partición, aunque su definición primaria continúa siendo (21.4.5).

Demostración. (1 \(\Rightarrow\) 2). Definamos \(J:=\int_a^b f\). Por Corolario §21.3.5 — Aproximación simultánea mediante una partición, para un \(\varepsilon>0\) fijado existe una partición \(P\) para la cual

\[ J-\varepsilon<L(f,P)\le J\le U(f,P)<J+\varepsilon. \]

En particular, cumple (21.4.9).

(2 \(\Rightarrow\) 1). Supongamos que existe \(J\) con (21.4.9). Dado \(\delta>0\), apliquemos la propiedad a \(\varepsilon:=\delta/2>0\). La partición obtenida satisface

\[ 0\le U(f,P)-L(f,P) <(J+\delta/2)-(J-\delta/2)=\delta. \]

El criterio de Darboux Teorema §21.4.2 — Criterio de Darboux y estabilidad por refinamiento demuestra que \(f\) es integrable.

Identificación y unicidad de \(J\). Ya justificada la integrabilidad, pongamos \(I_f:=\int_a^b f\). Para cualquier \(\varepsilon>0\) tomemos el testigo de (21.4.9). Por (21.4.6),

\[ J-\varepsilon<L(f,P)\le I_f\le U(f,P)<J+\varepsilon, \]

de modo que \(|I_f-J|<\varepsilon\). Si \(I_f\ne J\), la tolerancia positiva \(\varepsilon:=|I_f-J|/2\) contradice esta última desigualdad. Luego \(J=I_f\). Cualquier otro real con la misma propiedad coincide igualmente con \(I_f\) y, por consiguiente, con \(J\). No fue necesaria una selección simultánea de particiones para todos los valores de \(\varepsilon\). \(\square\)

Primer ejemplo, ahora legítimamente integral. Para la función constante \(f(t)=c\), §21.2 probó que toda partición verifica \(L(f,P)=U(f,P)=c(b-a)\). Por el criterio de Darboux, \(f\) es integrable y

\[ \int_a^b c\,dt=c(b-a). \tag{21.4.10} \]

Ésta es una consecuencia de las sumas de Darboux y la telescopía de las anchuras; no se ha utilizado una regla de primitivas ni el teorema fundamental del cálculo.

Proposición 21.4.6 — Una función acotada que no es integrable

La acotación, por sí sola, no garantiza integrabilidad. Sea \(j:\mathbb Q\to\mathbb R\) la incrustación canónica de Definición §12.2.3 — Copia canónica de los racionales en un cuerpo ordenado y sea \(D:=j[\mathbb Q]\subseteq\mathbb R\). En \(I=[a,b]\), con \(a<b\), definamos una función de dominio exactamente \(I\) y codominio \(\mathbb R\) mediante

\[ \chi_D(t):=\begin{cases} 1_{\mathbb R},&t\in D,\\ 0_{\mathbb R},&t\notin D. \end{cases} \tag{21.4.11} \]

Entonces \(\chi_D\) está acotada, pero sus integrales extremas son distintas:

\[ \boxed{\underline{\int_a^b}\chi_D=0_{\mathbb R},\qquad \overline{\int_a^b}\chi_D=b-a>0_{\mathbb R}.} \tag{21.4.12} \]

Por tanto, \(\chi_D\) no es integrable en \([a,b]\).

Demostración. La pertenencia \(t\in D\) o su negación produce dos ramas disjuntas y exhaustivas. Separar dentro de \(I\times\mathbb R\) los pares determinados por (21.4.11) da el grafo de una función tipada. Se verifica \(0_{\mathbb R}\le\chi_D(t)\le1_{\mathbb R}\) para todo \(t\in I\), por lo que la función está acotada.

Fijemos una partición arbitraria \(P=\langle n,p\rangle\). Cada celda \(I_k(P)=[x_k,x_{S(k)}]\) tiene interior no vacío, pues \(x_k<x_{S(k)}\). Proposición §15.9.9 — Dos subconjuntos densos disjuntos demuestra que tanto \(D=j[\mathbb Q]\) como su complemento \(\mathbb R\setminus D\) son densos; en particular, cada intervalo abierto no vacío \((x_k,x_{S(k)})\) contiene algún punto de cada conjunto. La imagen de \(I_k(P)\) por \(\chi_D\) es, por ello, exactamente \(\{0_{\mathbb R},1_{\mathbb R}\}\), de donde

\[ m(\chi_D,I_k(P))=0_{\mathbb R},\qquad M(\chi_D,I_k(P))=1_{\mathbb R}. \]

No hemos seleccionado simultáneamente puntos testigo para las diferentes celdas: se utiliza directamente, para cada índice, la propiedad universal de densidad. Las definiciones de Darboux y la identidad de anchuras Proposición §21.1.2 — Existencia, anchuras positivas y suma de longitudes proporcionan, para toda partición \(P\),

\[ L(\chi_D,P)=0_{\mathbb R},\qquad U(\chi_D,P)=\sum_{k<n}\Delta_k(P)=b-a. \]

Así, los conjuntos de sumas de Definición §21.3.1 — Conjuntos de sumas inferiores y superiores son los respectivos singletons \(\{0_{\mathbb R}\}\) y \(\{b-a\}\). Su supremo y su ínfimo, definidos antes de utilizarlos en Definición §21.3.3 — Integrales inferior y superior de Darboux, son los dos números de (21.4.12). Como \(a<b\), son diferentes; falla la igualdad de Definición §21.4.1 — Integrabilidad de Darboux por igualdad de integrales extremas. \(\square\)

Interpretación. Los dos conjuntos densos obligan a que cada subintervalo de anchura positiva contenga las dos alturas. Ningún refinamiento reduce la brecha: \(U(\chi_D,P)-L(\chi_D,P)=b-a\) para todas las particiones. El ejemplo muestra que la hipótesis «acotada» es necesaria para construir las sumas finitas, pero insuficiente para garantizar su convergencia al mismo valor.

Transición. Hemos definido el valor integral sin circularidad, demostrado su unicidad y establecido un criterio finito de integrabilidad y control de errores. §21.5 desarrollará las primeras propiedades algebraicas y de orden de la integral, distinguiendo siempre entre las desigualdades de las sumas y la preservación de la integrabilidad. Las secciones siguientes demostrarán la estructura algebraica de la integral, su aditividad por intervalos y la integrabilidad de funciones continuas y monótonas; finalmente, las sumas etiquetadas permitirán caracterizar el mismo valor.

21.5. Propiedades algebraicas y de orden de la integral

Ya sabemos reconocer cuándo una función acotada es integrable y encerrar su integral entre dos sumas finitas. Ahora estudiaremos qué sucede al comparar dos funciones, sumarlas o multiplicarlas por un escalar. El orden deductivo importa: una fórmula como \(\int_a^b(f+g)=\int_a^b f+\int_a^b g\) sólo tiene significado después de probar que \(f+g\) es integrable. Las operaciones puntuales y su tipado están disponibles desde Proposición §16.3.2 — Existencia y tipado de las operaciones puntuales; las cotas extremas locales y las sumas de Darboux, desde §21.2.

En toda la sección fijamos \(a,b\in\mathbb R\) con \(a<b\), escribimos \(I=[a,b]\), y entendemos que las funciones consideradas tienen dominio exactamente \(I\) y codominio \(\mathbb R\). El número de subintervalos de una partición es natural; los escalares, las anchuras y los valores integrales pertenecen a \(\mathbb R\).

Proposición 21.5.1 — Acotación de las operaciones y cálculo de las constantes

Si \(f,g:I\to\mathbb R\) son acotadas y \(\lambda,c\in\mathbb R\), entonces \(f+g\), \(\lambda f\) y la función constante \(\mathbf c:I\to\mathbb R\), \(\mathbf c(t)=c\), son funciones acotadas con el mismo dominio y codominio. Además, para toda partición \(P\),

\[ \boxed{L(\mathbf c,P)=U(\mathbf c,P)=c(b-a).} \tag{21.5.1} \]

En consecuencia, \(\mathbf c\) es integrable y

\[ \boxed{\int_a^b\mathbf c=c(b-a).} \tag{21.5.2} \]

Demostración. Por acotación existen \(A_f,B_f,A_g,B_g\in\mathbb R\) tales que \(A_f\le f(t)\le B_f\) y \(A_g\le g(t)\le B_g\) para cada \(t\in I\). Fijamos esos cuatro testigos, sin elegir cotas para una familia de funciones: la suma puntual satisface

\[ A_f+A_g\le(f+g)(t)\le B_f+B_g. \]

Si \(\lambda>0\), las cotas de \(\lambda f\) son \(\lambda A_f\) y \(\lambda B_f\); si \(\lambda<0\), son \(\lambda B_f\) y \(\lambda A_f\); si \(\lambda=0\), ambos valores son cero. Las operaciones puntuales dan funciones tipadas según Proposición §16.3.2 — Existencia y tipado de las operaciones puntuales; el grafo de \(\mathbf c\) es el conjunto explícito \(\{\langle t,c\rangle:t\in I\}\subseteq I\times\mathbb R\). Sus dos cotas pueden tomarse iguales a \(c\).

Para cada subintervalo no vacío \(I_k(P)\), la imagen de \(\mathbf c\) es exactamente el singleton \(\{c\}\); sus ínfimo y supremo son \(c\). La definición de las sumas y la identidad finita de anchuras Proposición §21.1.2 — Existencia, anchuras positivas y suma de longitudes dan

\[ L(\mathbf c,P)=\sum_{k<n}c\Delta_k(P) =c\sum_{k<n}\Delta_k(P)=c(b-a)=U(\mathbf c,P). \]

La brecha es cero; el criterio de Darboux Teorema §21.4.2 — Criterio de Darboux y estabilidad por refinamiento establece integrabilidad. El encierro Proposición §21.4.4 — Encierro del valor integral y control por la brecha identifica su integral con el valor común de (21.5.1). No se ha inferido integrabilidad de ninguna función arbitraria a partir de su mera acotación. \(\square\)

Proposición 21.5.2 — Orden puntual, sumas e integral

Sean \(f,g:I\to\mathbb R\) acotadas y supongamos \(f(t)\le g(t)\) para todo \(t\in I\). Para cada conjunto no vacío \(J\subseteq I\) y toda partición \(P\),

\[ \boxed{m(f,J)\le m(g,J),\quad M(f,J)\le M(g,J),} \tag{21.5.3} \]

\[ \boxed{L(f,P)\le L(g,P),\qquad U(f,P)\le U(g,P).} \tag{21.5.4} \]

Si, además, ambas funciones son integrables, entonces

\[ \boxed{\int_a^b f\le\int_a^b g.} \tag{21.5.5} \]

Demostración. Para todo \(t\in J\), \(m(f,J)\le f(t)\le g(t)\). Por ello \(m(f,J)\) es una cota inferior de \(g[J]\) y no excede su mayor cota inferior: \(m(f,J)\le m(g,J)\). Asimismo, \(f(t)\le g(t)\le M(g,J)\): el número \(M(g,J)\) es cota superior de \(f[J]\) y \(M(f,J)\le M(g,J)\). Los extremos existen por Lema §21.2.2 — Existencia de las cotas extremas locales y comparación por inclusión, sin estar necesariamente alcanzados.

Aplicamos estas desigualdades a cada \(J=I_k(P)\), multiplicamos por \(\Delta_k(P)>0\) y sumamos: la comparación finita Proposición §14.5.1 — Comparación de sumas finitas y de bloques demuestra (21.5.4). Si \(f\) y \(g\) son integrables, para toda partición \(P\) obtenemos

\[ L(f,P)\le L(g,P)\le\int_a^b g. \]

Así \(\int_a^b g\) es cota superior de \(\mathcal L_f\). Su supremo es \(\int_a^b f\) por §§21.3–21.4; se deduce (21.5.5). Obsérvese que la comparación de las sumas no exigió integrabilidad, mientras que la comparación de los valores integrales sí la exige en ambos miembros. \(\square\)

Lema 21.5.3 — Estimaciones de Darboux para una suma puntual

Para funciones acotadas \(f,g:I\to\mathbb R\), todo conjunto no vacío \(J\subseteq I\) y toda partición \(P\),

\[ \boxed{m(f,J)+m(g,J)\le m(f+g,J),} \tag{21.5.6} \]

\[ \boxed{M(f+g,J)\le M(f,J)+M(g,J),} \tag{21.5.7} \]

\[ \boxed{L(f,P)+L(g,P)\le L(f+g,P)\le U(f+g,P) \le U(f,P)+U(g,P).} \tag{21.5.8} \]

Por tanto, la brecha de la suma está controlada por las de los sumandos:

\[ \boxed{0\le U(f+g,P)-L(f+g,P) \le [U(f,P)-L(f,P)]+[U(g,P)-L(g,P)].} \tag{21.5.9} \]

No afirmamos que los ínfimos o supremos locales sean aditivos: las desigualdades (21.5.6)–(21.5.7) pueden ser estrictas.

Demostración. Para cada \(t\in J\) se cumple \(m(f,J)+m(g,J)\le f(t)+g(t)\). El miembro izquierdo es, pues, cota inferior del conjunto no vacío \((f+g)[J]\); la propiedad del ínfimo establece (21.5.6). Igualmente, \(f(t)+g(t)\le M(f,J)+M(g,J)\) para todo \(t\), y la propiedad del supremo demuestra (21.5.7).

Apliquemos ambas a cada \(I_k(P)\) y multipliquemos por las anchuras positivas. Al sumar, la distributividad y aditividad de sumas finitas dan

\[ \sum_{k<n}[m_k(f,P)+m_k(g,P)]\Delta_k(P) =L(f,P)+L(g,P)\le L(f+g,P), \]

\[ U(f+g,P)\le\sum_{k<n}[M_k(f,P)+M_k(g,P)]\Delta_k(P) =U(f,P)+U(g,P). \]

La desigualdad central \(L(f+g,P)\le U(f+g,P)\) ya se demostró en Proposición §21.2.5 — Encierro global e identidad de la brecha. Restar la primera desigualdad extrema de la última produce (21.5.9); su no negatividad procede del mismo resultado. No hemos usado un punto que maximice \(f\) o \(g\): el razonamiento se hace enteramente con cotas extremales. \(\square\)

Teorema 21.5.4 — La suma de funciones integrables es integrable y su integral es aditiva

Si \(f,g:I\to\mathbb R\) son integrables, entonces \(f+g\) es integrable y

\[ \boxed{\int_a^b(f+g)=\int_a^b f+\int_a^b g.} \tag{21.5.10} \]

Demostración. La función \(f+g\) está acotada por Proposición §21.5.1 — Acotación de las operaciones y cálculo de las constantes. Fijemos \(\varepsilon>0\). El criterio Teorema §21.4.2 — Criterio de Darboux y estabilidad por refinamiento, aplicado una vez a cada sumando con tolerancia \(\varepsilon/2\), entrega particiones \(P_f,P_g\) tales que

\[ U(f,P_f)-L(f,P_f)<\varepsilon/2,\qquad U(g,P_g)-L(g,P_g)<\varepsilon/2. \]

El teorema del refinamiento común Teorema §21.1.5 — Existencia de un refinamiento común proporciona \(R\) que refina ambas particiones. Sus brechas no crecen (Teorema §21.2.8 — Monotonía de las sumas bajo refinamiento), por lo que

\[ U(f,R)-L(f,R)<\varepsilon/2,\qquad U(g,R)-L(g,R)<\varepsilon/2. \]

Aplicamos (21.5.9) a esta misma partición:

\[ 0\le U(f+g,R)-L(f+g,R)<\varepsilon. \]

El criterio de Darboux concluye que \(f+g\) es integrable. No se ha escogido una sucesión de particiones; para cada precisión se usan dos testigos y un refinamiento finito.

Identifiquemos ahora la integral. Escribamos \(F:=\int_a^b f\), \(G:=\int_a^b g\) y \(H:=\int_a^b(f+g)\), valores bien definidos en este punto. Por el encierro Proposición §21.4.4 — Encierro del valor integral y control por la brecha,

\[ L(f,R)+L(g,R)\le F+G\le U(f,R)+U(g,R). \]

La desigualdad (21.5.8), unida al encierro de \(H\), proporciona sobre la misma partición

\[ L(f,R)+L(g,R)\le L(f+g,R)\le H \le U(f+g,R)\le U(f,R)+U(g,R). \]

Ambos reales \(H\) y \(F+G\) pertenecen, por tanto, al intervalo cuyos extremos son \(L(f,R)+L(g,R)\) y \(U(f,R)+U(g,R)\). Su distancia satisface

\[ |H-(F+G)|\le[U(f,R)-L(f,R)]+[U(g,R)-L(g,R)]<\varepsilon. \]

Esto vale para cualquier \(\varepsilon>0\). Si \(H\ne F+G\), tomar \(\varepsilon=|H-(F+G)|/2>0\) da una contradicción. Queda probada (21.5.10). La igualdad integral es una conclusión, no una hipótesis introducida al construir la suma. \(\square\)

Lema 21.5.5 — Efecto exacto de un escalar sobre las cotas y las sumas

Sean \(f:I\to\mathbb R\) acotada, \(\lambda\in\mathbb R\), \(J\subseteq I\) no vacío y \(P\) una partición. Si \(\lambda\ge0\), entonces

\[ \boxed{m(\lambda f,J)=\lambda m(f,J),\quad M(\lambda f,J)=\lambda M(f,J),} \tag{21.5.11} \]

\[ \boxed{L(\lambda f,P)=\lambda L(f,P),\quad U(\lambda f,P)=\lambda U(f,P).} \tag{21.5.12} \]

Si \(\lambda<0\), se intercambian el mínimo y el máximo:

\[ \boxed{m(\lambda f,J)=\lambda M(f,J),\quad M(\lambda f,J)=\lambda m(f,J),} \tag{21.5.13} \]

\[ \boxed{L(\lambda f,P)=\lambda U(f,P),\quad U(\lambda f,P)=\lambda L(f,P).} \tag{21.5.14} \]

En todos los casos,

\[ \boxed{U(\lambda f,P)-L(\lambda f,P) =|\lambda|\,[U(f,P)-L(f,P)].} \tag{21.5.15} \]

Demostración. Si \(\lambda=0\), \((\lambda f)[J]=\{0\}\) y las cuatro cotas de (21.5.11) son cero. Si \(\lambda>0\), \(\lambda m(f,J)\) es cota inferior de \((\lambda f)[J]\). Cualquier otra cota inferior \(d\) satisface \(d/\lambda\le f(t)\) para todo \(t\in J\); por maximalidad del ínfimo, \(d/\lambda\le m(f,J)\), es decir, \(d\le\lambda m(f,J)\). Así se obtiene el primer caso del ínfimo. La prueba para el supremo es dual.

Si \(\lambda<0\), multiplicar \(f(t)\le M(f,J)\) invierte la desigualdad: \(\lambda M(f,J)\le\lambda f(t)\). Si \(d\) es cualquier cota inferior de \((\lambda f)[J]\), al dividir \(d\le\lambda f(t)\) por \(\lambda<0\) resulta \(f(t)\le d/\lambda\); como \(M(f,J)\) es la menor cota superior, \(M(f,J)\le d/\lambda\), y multiplicar por \(\lambda\) muestra \(d\le\lambda M(f,J)\). Ésta es la primera identidad de (21.5.13); la segunda se obtiene intercambiando cotas inferiores y superiores. La división sólo se efectuó en las ramas \(\lambda\ne0\).

Sustituimos estas identidades locales en las definiciones de las sumas. Las propiedades de las sumas finitas permiten sacar el escalar real fijo fuera de la suma; si es negativo, además se invierten los papeles de las sumas extrema inferior y superior. Se obtienen (21.5.12) y (21.5.14). Restarlas en los dos casos, y recordar que \(|\lambda|=\lambda\) para \(\lambda\ge0\) y \(|\lambda|=-\lambda\) para \(\lambda<0\), produce (21.5.15). \(\square\)

Teorema 21.5.6 — Homogeneidad y conservación de la integrabilidad

Si \(f:I\to\mathbb R\) es integrable y \(\lambda\in\mathbb R\), entonces \(\lambda f\) es integrable y

\[ \boxed{\int_a^b(\lambda f)=\lambda\int_a^b f.} \tag{21.5.16} \]

Demostración. La acotación de \(\lambda f\) ya está demostrada. Si \(\lambda=0\), la función es la constante nula y la proposición 21.5.1 determina tanto su integrabilidad como el valor cero de la integral. Supongamos \(\lambda\ne0\) y fijemos \(\varepsilon>0\). Como \(|\lambda|>0\), podemos aplicar el criterio de Darboux a \(f\) con la tolerancia positiva \(\varepsilon/|\lambda|\). La partición testigo \(P\) cumple

\[ U(\lambda f,P)-L(\lambda f,P) =|\lambda|[U(f,P)-L(f,P)]<\varepsilon \]

por (21.5.15). El criterio establece que \(\lambda f\) es integrable.

Pongamos \(F:=\int_a^b f\) y \(H:=\int_a^b(\lambda f)\). Si \(\lambda>0\), multiplicar \(L(f,P)\le F\le U(f,P)\) por \(\lambda\) y aplicar (21.5.12) sitúa \(\lambda F\) entre \(L(\lambda f,P)\) y \(U(\lambda f,P)\). Si \(\lambda<0\), el orden se invierte, y (21.5.14) da el mismo encierro. También \(H\) pertenece a ese intervalo por Proposición §21.4.4 — Encierro del valor integral y control por la brecha. Para cada \(\varepsilon>0\) disponemos, como acaba de demostrarse, de una partición cuya brecha para \(\lambda f\) es menor que \(\varepsilon\); luego

\[ |H-\lambda F|\le U(\lambda f,P)-L(\lambda f,P)<\varepsilon. \]

La elección puntual \(\varepsilon:=|H-\lambda F|/2\) contradice esta desigualdad si \(H\ne\lambda F\). Así \(H=\lambda F\) también para escalares negativos. \(\square\)

Corolario 21.5.7 — Linealidad para combinaciones finitas de dos funciones

Si \(f,g:I\to\mathbb R\) son integrables y \(\alpha,\beta\in\mathbb R\), entonces la combinación puntual \(\alpha f+\beta g\) es integrable y

\[ \boxed{\int_a^b(\alpha f+\beta g) =\alpha\int_a^b f+\beta\int_a^b g.} \tag{21.5.17} \]

Demostración. Por Teorema §21.5.6 — Homogeneidad y conservación de la integrabilidad, las funciones \(\alpha f\) y \(\beta g\) son integrables y sus integrales valen \(\alpha\int_a^b f\) y \(\beta\int_a^b g\). Aplicamos Teorema §21.5.4 — La suma de funciones integrables es integrable y su integral es aditiva a su suma. El tipado de la combinación puntual procede de Proposición §16.3.2 — Existencia y tipado de las operaciones puntuales; no hay una suma formal de funciones con dominios diferentes. La sustitución de las dos identidades demuestra (21.5.17). \(\square\)

Corolario 21.5.8 — Positividad y estimaciones por cotas constantes

Si \(f:I\to\mathbb R\) es integrable y \(A,B\in\mathbb R\) satisfacen \(A\le f(t)\le B\) para todo \(t\in I\), entonces

\[ \boxed{A(b-a)\le\int_a^b f\le B(b-a).} \tag{21.5.18} \]

En particular, \(f(t)\ge0\) para todo \(t\) implica \(\int_a^b f\ge0\); y si \(f(t)=g(t)\) para todo \(t\in I\) y ambas son integrables, sus integrales coinciden.

Demostración. Las funciones constantes \(\mathbf A\) y \(\mathbf B\) son integrables y sus integrales son \(A(b-a)\) y \(B(b-a)\) por Proposición §21.5.1 — Acotación de las operaciones y cálculo de las constantes. Aplicar la comparación integral Proposición §21.5.2 — Orden puntual, sumas e integral a \(\mathbf A\le f\le\mathbf B\) da (21.5.18). La positividad es el caso \(A=0\); la igualdad puntual implica ambas comparaciones \(f\le g\) y \(g\le f\), y la antisimetría del orden real identifica los valores integrales. \(\square\)

Lectura estructural. Las funciones integrables sobre \(I\) están cerradas bajo suma y multiplicación por escalares y, con las operaciones puntuales ya construidas, forman un espacio vectorial real. La integral es un funcional lineal que preserva el orden. Esta conclusión resume los teoremas anteriores; no introduce un nuevo objeto ni importa resultados de teoría funcional. La igualdad de los extremos de Darboux se conserva porque las brechas se controlan cuantitativamente sobre un refinamiento común, no porque los extremos locales sean aditivos.

Transición. Las propiedades establecidas se refieren a un mismo intervalo fijo \([a,b]\) con \(a<b\). La siguiente unidad, §21.6, deberá demostrar la aditividad respecto de la subdivisión del intervalo, cuidando que la restricción de una función integrable a cada subintervalo sea integrable, y fijar separadamente la convención del caso degenerado. No hemos utilizado primitiva, derivada ni el teorema fundamental del cálculo.

21.6. Aditividad por intervalos y extremos coincidentes

La linealidad de §21.5 compara funciones definidas sobre el mismo intervalo. Dividir el intervalo plantea un problema distinto: antes de escribir una igualdad entre tres integrales, debemos demostrar que las restricciones son integrables. El punto de corte será un nodo de la partición, no una operación sobre límites de integración todavía no definidos. Sólo después extenderemos la notación al intervalo formado por un único punto.

Fijemos \(a,b,c\in\mathbb R\) con \(a<c<b\) y una función acotada \(f:[a,b]\to\mathbb R\). Por la restricción tipada de §1.3, escribiremos

\[ f_-:=f\upharpoonright[a,c]:[a,c]\to\mathbb R,\qquad f_+:=f\upharpoonright[c,b]:[c,b]\to\mathbb R. \tag{21.6.1} \]

Ambas funciones son acotadas: cualesquiera dos cotas globales de \(f\) sirven también para cada restricción. En el punto compartido \(c\) sus valores coinciden con \(f(c)\); sin embargo, sus dominios son diferentes y no las identificamos con \(f\).

Lema 21.6.1 — Corte y concatenación de particiones

Si \(P=\langle n,p\rangle\in\operatorname{Part}[a,b]\) tiene \(c\in V(P)\), existen particiones determinadas unívocamente por sus listas de nodos, \(P_-\in\operatorname{Part}[a,c]\) y \(P_+\in\operatorname{Part}[c,b]\), tales que sus listas son respectivamente la porción inicial de \(P\) hasta \(c\) y la porción final desde \(c\). Recíprocamente, cualesquiera particiones \(Q_-\in\operatorname{Part}[a,c]\) y \(Q_+\in\operatorname{Part}[c,b]\) admiten una concatenación \(Q_-\mathbin{\star_c}Q_+\in\operatorname{Part}[a,b]\) que conserva ambas listas, escribiendo el nodo \(c\) una sola vez. Cortar una concatenación devuelve exactamente sus dos componentes, y concatenar las dos partes de \(P\) devuelve \(P\).

Demostración. La lista estricta \(x_i=p(i)\) no repite nodos. Por \(c\in V(P)\) existe un único \(j\in J_n\) con \(x_j=c\). Dado que \(a<c<b\), tenemos \(0<j<n\). Existe un natural único \(s\ge1\) tal que \(j+s=n\): existe por la definición del orden aritmético, y es único por cancelación de la suma natural. Definimos dos funciones tipadas mediante grafos explícitos:

\[ p_-:J_j\to[a,c],\quad p_-(i)=p(i),\qquad p_+:J_s\to[c,b],\quad p_+(i)=p(j+i). \tag{21.6.2} \]

Sus índices permanecen dentro de \(J_n\), los extremos son \(a,c\) y \(c,b\), respectivamente, y el crecimiento estricto se hereda de \(P\). Por tanto, \(P_-:=\langle j,p_-\rangle\) y \(P_+:=\langle s,p_+\rangle\) son particiones de intervalos no degenerados. Cada función tiene como codominio el intervalo correspondiente: \(p_-\) no es simplemente una copia de la función original con un codominio incorrecto.

Para la vuelta, escribamos las particiones dadas como \(Q_-=\langle r,u\rangle\) y \(Q_+=\langle s,v\rangle\), con \(u(r)=v(0)=c\) y \(r,s\ge1\). Formemos \(n:=r+s\) y el grafo de una función \(w:J_n\to[a,b]\) por

\[ w(i)=\begin{cases} u(i),&i\le r,\\ v(t),&r<i\le n\text{ y }i=r+t\ (t\in J_s). \end{cases} \tag{21.6.3} \]

La existencia y unicidad de \(t\) provienen de la aritmética natural; para \(i>r\) se tiene \(t>0\). Las ramas no se solapan y cubren el dominio finito; el conjunto de pares de su grafo existe por separación en \(J_n\times[a,b]\). Todas las desigualdades consecutivas se heredan de \(u\) o de \(v\): la última de la lista izquierda concluye en \(c\) y la primera de la derecha comienza en \(c\). Los extremos son \(a\) y \(b\), de modo que \(Q:=\langle n,w\rangle\) es una partición. Su conjunto de nodos es \(V(Q_-)\cup V(Q_+)\); los únicos nodos compartidos por ambas listas son los \(c\) finales e iniciales. Denotamos \(Q=Q_-\star_c Q_+\).

Las reglas de corte reconstruyen las mismas funciones tipadas \(u\) y \(v\): en la lista concatenada el índice único de \(c\) es \(r\). Recíprocamente, cortar \(P\) y concatenarlo reproduce su lista estricta original, sus extremos, la longitud \(n=j+s\) y su codominio \([a,b]\). Puede concluirse por igualdad de funciones y pares, o por la unicidad de la lista a partir de los nodos (Lema §21.2.7 — Una lista estricta queda determinada por sus nodos). No se eligió ninguna enumeración: las tres listas se especificaron mediante fórmulas únicas. \(\square\)

Lema 21.6.2 — Descomposición exacta de las sumas de Darboux

Para toda partición \(P\in\operatorname{Part}[a,b]\) que contiene \(c\) entre sus nodos y sus dos partes \(P_-,P_+\), se cumplen

\[ \boxed{L(f,P)=L(f_-,P_-)+L(f_+,P_+),} \tag{21.6.4} \]

\[ \boxed{U(f,P)=U(f_-,P_-)+U(f_+,P_+).} \tag{21.6.5} \]

En particular, escribiendo \(G(h,Q):=U(h,Q)-L(h,Q)\) como abreviatura local, tenemos

\[ \boxed{G(f,P)=G(f_-,P_-)+G(f_+,P_+),\qquad G(f_-,P_-),G(f_+,P_+)\ge0.} \tag{21.6.6} \]

Las tres identidades también se aplican a la partición que resulta de concatenar cualesquiera particiones de los dos intervalos.

Demostración. Sea \(j\) el índice único de \(c\) en \(P=\langle n,p\rangle\) y \(j+s=n\) como en el lema anterior. Para \(i<j\), el subintervalo \(I_i(P)\) está contenido en \([a,c]\) y coincide, como conjunto, con \(I_i(P_-)\). Como \(f_-(t)=f(t)\) en ese conjunto, las dos imágenes de valores son iguales, luego coinciden sus ínfimos, sus supremos y su anchura real. Para \(0\le i<s\) sucede exactamente lo mismo entre \(I_{j+i}(P)\) e \(I_i(P_+)\), esta vez utilizando \(f_+\); los índices de la segunda lista se trasladan por \(j\), sin modificar sus valores.

La identidad de suma finita por bloques Proposición §14.2.2 — Identidades de los bloques de sumación permite entonces separar los \(n=j+s\) sumandos de \(L(f,P)\) en los primeros \(j\) y los siguientes \(s\); ambos bloques contienen al menos un término. Esto demuestra (21.6.4), y el mismo cálculo con supremos demuestra (21.6.5). Restar las identidades da (21.6.6). La no negatividad de cada brecha procede de Proposición §21.2.5 — Encierro global e identidad de la brecha, pues las restricciones están acotadas y sus intervalos no son degenerados. Finalmente, toda concatenación contiene \(c\) como nodo y tiene como partes las particiones de partida (Lema §21.6.1 — Corte y concatenación de particiones); por eso las mismas igualdades se aplican a ella. \(\square\)

Punto de control. Un corte que no sea nodo de una partición puede atravesar uno de sus subintervalos; no afirmamos para esa partición las identidades (21.6.4)–(21.6.5). Primero se inserta \(c\), usando Lema §21.1.4 — Inserción de un único punto interior, y la monotonía de las sumas bajo refinamiento controla el cambio. Esta precisión evitará cualquier uso ilegítimo de la aditividad antes de demostrarla.

Teorema 21.6.3 — Integrabilidad y restricciones a los dos lados de un punto interior

Para \(a<c<b\) y \(f:[a,b]\to\mathbb R\) acotada,

\[ \boxed{f\text{ integrable en }[a,b] \iff f_-\text{ integrable en }[a,c] \ \text{y}\ f_+\text{ integrable en }[c,b].} \tag{21.6.7} \]

Demostración. Necesidad. Supongamos integrable \(f\). Sea \(\varepsilon>0\) fijo. Por el criterio de Darboux (Teorema §21.4.2 — Criterio de Darboux y estabilidad por refinamiento) existe \(P\in\operatorname{Part}[a,b]\) con \(G(f,P)<\varepsilon\). Si \(c\in V(P)\), pongamos \(R=P\). Si no, el lema de inserción Lema §21.1.4 — Inserción de un único punto interior produce un refinamiento \(R\) que sí contiene \(c\); por Teorema §21.2.8 — Monotonía de las sumas bajo refinamiento, \(G(f,R)\le G(f,P)<\varepsilon\). El corte de \(R\) entrega particiones \(R_-,R_+\), y la identidad exacta (21.6.6) dice

\[ 0\le G(f_-,R_-)\le G(f,R)<\varepsilon, \qquad 0\le G(f_+,R_+)\le G(f,R)<\varepsilon. \]

Como los dos intervalos son no degenerados y sus restricciones están acotadas, el criterio de Darboux aplicado por separado demuestra la integrabilidad de ambas. La misma prueba vale para cada \(\varepsilon\) sin construir una función que elija todas las particiones.

Suficiencia. Supongamos integrables \(f_-\) y \(f_+\). Fijemos \(\varepsilon>0\). Para la tolerancia \(\varepsilon/2\), obtenemos dos particiones \(Q_-\) y \(Q_+\) tales que \(G(f_-,Q_-)<\varepsilon/2\) y \(G(f_+,Q_+)<\varepsilon/2\). Su concatenación \(Q=Q_-\star_c Q_+\) satisface por (21.6.6)

\[ 0\le G(f,Q)=G(f_-,Q_-)+G(f_+,Q_+)<\varepsilon. \]

La función \(f\) ya era acotada; el criterio de Darboux aplicado al intervalo completo demuestra su integrabilidad. Sólo se utilizaron dos testigos finitos para cada \(\varepsilon\), no una familia numerable de elecciones. \(\square\)

Teorema 21.6.4 — Aditividad de la integral en un punto interior

Si \(f:[a,b]\to\mathbb R\) es integrable y \(a<c<b\), sus restricciones \(f_-\) y \(f_+\) son integrables y

\[ \boxed{\int_a^b f =\int_a^c f_-+\int_c^b f_+.} \tag{21.6.8} \]

Demostración. Las restricciones son integrables por Teorema §21.6.3 — Integrabilidad y restricciones a los dos lados de un punto interior; sólo ahora tienen sentido sus integrales. Denotemos por \(H\), \(H_-\) y \(H_+\) las tres integrales de (21.6.8). Fijemos \(\varepsilon>0\). El criterio de Darboux da una partición \(P\) de \([a,b]\) con brecha menor que \(\varepsilon\). Como en la demostración anterior, conservarla o insertarle el punto \(c\) produce una partición \(R\) con \(c\in V(R)\) y \(G(f,R)<\varepsilon\). Cortémosla en \(R_-,R_+\).

El encierro del valor integral (Proposición §21.4.4 — Encierro del valor integral y control por la brecha) en los tres intervalos, junto con (21.6.4)–(21.6.5), implica simultáneamente

\[ L(f,R)\le H\le U(f,R) \quad\text{y}\quad L(f,R)=L(f_-,R_-)+L(f_+,R_+) \le H_-+H_+ \le U(f_-,R_-)+U(f_+,R_+)=U(f,R). \]

Así, dos reales \(H\) y \(H_-+H_+\) están en un intervalo de longitud estrictamente menor que \(\varepsilon\), de donde

\[ |H-(H_-+H_+)|\le U(f,R)-L(f,R)<\varepsilon. \]

Esto vale para toda tolerancia positiva. Si ambos números fueran distintos, la tolerancia \(|H-(H_-+H_+)|/2\) daría una contradicción. Se demuestra (21.6.8) sin suponer que alguna suma de Darboux alcance el valor integral, sin derivadas y sin elegir una sucesión de particiones. \(\square\)

Lectura. La identidad procede de partir sumas finitas en dos bloques y después controlar una diferencia de números reales. El valor de \(f(c)\) no recibe dos contribuciones: en las sumas, \(c\) es un extremo compartido de subintervalos pero no constituye un término independiente. Esto no implica todavía el teorema fundamental del cálculo.

Definición 21.6.5 — Integración en un intervalo degenerado

Para cada \(d\in\mathbb R\), el intervalo \([d,d]=\{d\}\) contiene exactamente un punto. Toda función tipada \(h:[d,d]\to\mathbb R\) es acotada (por ejemplo, sus cotas inferior y superior pueden tomarse iguales a \(h(d)\)). Extendemos por definición el predicado «integrable» a estas funciones declarándolas integrables y asignándoles

\[ \boxed{\int_d^d h:=0_{\mathbb R}.} \tag{21.6.9} \]

Esta definición no invoca las integrales inferior y superior de §21.3: éstas requieren \(a<b\), y la partición estricta Definición §21.1.1 — Partición estricta de un intervalo cerrado no existe sobre \([d,d]\) porque sus anchuras tendrían que ser positivas. Para funciones \(f:[a,b]\to\mathbb R\) con \(a\le b\), la expresión \(\int_d^d f\) abrevia aquí y en adelante la integral de la restricción tipada \(f\upharpoonright\{d\}:[d,d]\to\mathbb R\) cuando \(d\in[a,b]\); no se identifica silenciosamente el dominio de \(f\) con un singleton. La orientación \(b<a\) continúa sin definición.

Corolario 21.6.6 — Aditividad para todo punto del intervalo cerrado

Sea \(f:[a,b]\to\mathbb R\) integrable, con \(a\le b\), interpretando el caso \(a=b\) según la definición anterior. Para cada \(c\in[a,b]\), ambas restricciones \(f\upharpoonright[a,c]\) y \(f\upharpoonright[c,b]\) son integrables —cada una según la definición pertinente a su intervalo— y

\[ \boxed{\int_a^b f =\int_a^c\bigl(f\upharpoonright[a,c]\bigr) +\int_c^b\bigl(f\upharpoonright[c,b]\bigr).} \tag{21.6.10} \]

Demostración. Si \(a<c<b\), la integrabilidad de las restricciones y la igualdad son los teoremas 21.6.3–21.6.4. Si \(c=a<b\), la restricción a \([a,a]\) tiene integral cero por (21.6.9), mientras que la otra tiene el mismo dominio, codominio y grafo que \(f\) y, por igualdad de funciones tipadas, la misma integral. El caso \(a<c=b\) es simétrico. Finalmente, si \(a=b\), el único punto posible es \(c=a=b\) y las tres integrales de (21.6.10) son cero. No se escriben sumas de Darboux para los casos degenerados. \(\square\)

Corolario 21.6.7 — Aditividad sobre una subdivisión finita

Sea \(f:[a,b]\to\mathbb R\) integrable y \(a<b\). Dada una lista real estrictamente creciente de nodos \(a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b\), con \(n\ge1\), cada restricción \(f_i:=f\upharpoonright[x_i,x_{i+1}]\) está definida e integrable, y

\[ \boxed{\int_a^b f=\sum_{i=0}^{n-1}\int_{x_i}^{x_{i+1}} f_i.} \tag{21.6.11} \]

Demostración. Procedemos por inducción finita en \(n\). Para \(n=1\) hay un solo intervalo \([x_0,x_1]=[a,b]\): la restricción tiene el mismo dominio, codominio y grafo que \(f\), luego es integrable y su integral coincide con la original. Supongamos demostrado el enunciado para una lista de \(n+1\) nodos y consideremos una lista de \(n+2\) nodos \(a=x_0<\cdots<x_n<x_{n+1}=b\). El corte \(c:=x_n\) es interior y Corolario §21.6.6 — Aditividad para todo punto del intervalo cerrado da dos restricciones integrables junto con

\[ \int_a^b f =\int_a^{x_n}\bigl(f\upharpoonright[a,x_n]\bigr) +\int_{x_n}^{x_{n+1}}\bigl(f\upharpoonright[x_n,x_{n+1}]\bigr). \]

Aplicamos la hipótesis inductiva a la primera restricción y a la lista \(x_0<\cdots<x_n\). La restricción de esta función a cada \([x_i,x_{i+1}]\) coincide, por igualdad de grafos y codominio \(\mathbb R\), con la restricción de \(f\) al mismo subintervalo. Sustituimos en la identidad anterior y anexamos el último sumando por la regla recursiva de la suma finita Proposición §14.2.2 — Identidades de los bloques de sumación. Esto prueba la fórmula para \(n+1\). Los extremos \(x_i\) son los de la lista suministrada; no se elige una partición nueva para cada subintervalo. \(\square\)

Transición. Concluimos la aditividad por intervalos en los casos interior, extremo y subdivisión finita, manteniendo la ausencia de definición para límites de integración invertidos. §21.7 demostrará que toda función continua en un intervalo cerrado es integrable, y después se tratarán las funciones monótonas. No se ha supuesto la existencia de primitivas.

21.7. Integrabilidad de las funciones continuas

La continuidad impide cambios bruscos en torno a cada punto, pero las sumas de Darboux exigen controlar todos los subintervalos con una única escala. En un intervalo cerrado, la compacidad permite pasar de continuidad puntual a continuidad uniforme (Corolario §18.6.2 — Funciones continuas sobre cerrados acotados e intervalos cerrados). El teorema del valor extremo (Teorema §18.5.4 — Teorema del valor extremo: Weierstrass) aporta, por separado, la acotación requerida para definir las sumas. Nuestro argumento se organizará en tres pasos: construir particiones de anchura prescrita, trasladar una estimación uniforme de diferencias a la oscilación local y aplicar el criterio de Darboux. Ninguno de estos pasos supone una integral ya existente.

En esta sección, si \(a<b\), \(I=[a,b]\) y \(P=\langle n,p\rangle\in\operatorname{Part}[a,b]\), conservamos las abreviaturas \(I_k(P)\), \(\Delta_k(P)\) y \(\omega_k(P)\) de §§21.1–21.2. Escribimos \(G(f,P):=U(f,P)-L(f,P)\) para la brecha sólo cuando \(f\) es acotada y \(a<b\). Los numerales \(\nu_{\mathbb R}(n)\) son las imágenes de naturales en el cuerpo real; no son identificaciones literales de \(\mathbb N\) con un subconjunto de \(\mathbb R\).

Lema 21.7.1 — Particiones equidistantes de anchura arbitrariamente pequeña

Para \(a<b\) y cada \(\delta>0\) existe una partición \(P=\langle n,p\rangle\) de \([a,b]\) cuyas anchuras satisfacen

\[ \boxed{0<\Delta_k(P)<\delta\qquad(k<n).} \tag{21.7.1} \]

Más precisamente, existe una partición equidistante con nodos

\[ x_k=a+\frac{\nu_{\mathbb R}(k)}{\nu_{\mathbb R}(n)}(b-a) \quad(k\in J_n),\qquad \Delta_k(P)=\frac{b-a}{\nu_{\mathbb R}(n)}. \tag{21.7.2} \]

Demostración. El real \(\delta/(b-a)\) es positivo. La arquimedianidad de \(\mathbb R\), obtenida de su completitud en Teorema §4.6.3 — Todo cuerpo ordenado completo es arquimediano, y su caracterización por recíprocos pequeños (Proposición §4.4.2 — Caracterización por recíprocos pequeños) proporcionan un natural fijo \(n\ge1_{\mathbb N}\) tal que

\[ 0<\frac{1_{\mathbb R}}{\nu_{\mathbb R}(n)} <\frac{\delta}{b-a}. \tag{21.7.3} \]

La imagen \(\nu_{\mathbb R}(n)\) es estrictamente positiva por Proposición §4.1.6 — Aritmética y orden de los numerales naturales, así que las divisiones son legítimas. Para \(k\in J_n\), la fórmula (21.7.2) determina un único real \(x_k\in[a,b]\), pues \(0\le\nu_{\mathbb R}(k)\le\nu_{\mathbb R}(n)\). El grafo \(\{\langle k,x_k\rangle:k\in J_n\}\) se obtiene por Separación dentro de \(J_n\times[a,b]\) y define una función tipada \(p:J_n\to[a,b]\), sin escoger un punto en cada posición. La aritmética de los numerales da

\[ x_0=a,\qquad x_n=b,\qquad x_{S(k)}-x_k=\frac{b-a}{\nu_{\mathbb R}(n)}>0 \quad(k<n). \]

Por tanto, \(P=\langle n,p\rangle\) es una partición estricta. Multiplicar (21.7.3) por \(b-a>0\) demuestra que su anchura común es menor que \(\delta\). \(\square\)

Lectura. El lema no afirma que una partición arbitraria se vuelva «fina» por aumentar simbólicamente un índice. Exhibe, para un \(\delta\) fijo, una familia finita de nodos cuya anchura se calcula exactamente. La propiedad arquimediana es la infraestructura que asegura la existencia de \(n\).

Lema 21.7.2 — Control de la oscilación mediante diferencias de valores

Sea \(f:I\to\mathbb R\) acotada, \(J\subseteq I\) no vacío y \(\eta>0\). Si

\[ (\forall x,y\in J)\quad |f(x)-f(y)|<\eta, \tag{21.7.4} \]

entonces

\[ \boxed{0\le\omega(f,J)\le\eta.} \tag{21.7.5} \]

En particular, si una misma estimación (21.7.4) vale sobre cada \(I_k(P)\), entonces

\[ \boxed{0\le G(f,P)\le\eta(b-a).} \tag{21.7.6} \]

Demostración. El conjunto \(f[J]\) es no vacío y acotado, de modo que \(m:=m(f,J)\) y \(M:=M(f,J)\) existen por Lema §21.2.2 — Existencia de las cotas extremas locales y comparación por inclusión. Fijemos temporalmente un \(y\in J\). Para todo \(x\in J\), (21.7.4) implica \(f(x)<f(y)+\eta\), por lo que \(f(y)+\eta\) es una cota superior de \(f[J]\) y \(M\le f(y)+\eta\). Esta última desigualdad vale para cada \(y\in J\). Por tanto, \(M-\eta\) es una cota inferior de \(f[J]\) y, por maximalidad del ínfimo, \(M-\eta\le m\). Se sigue \(M-m\le\eta\); la no negatividad es parte de Definición §21.2.3 — Ínfimo, supremo y oscilación de un conjunto de valores. No hemos supuesto que \(m\) o \(M\) se alcancen en \(J\), ni hemos escogido un punto para cada subintervalo.

Aplicando (21.7.5) a cada \(I_k(P)\), la identidad de la brecha Proposición §21.2.5 — Encierro global e identidad de la brecha, las anchuras positivas y la comparación de sumas finitas dan

\[ 0\le G(f,P)=\sum_{k<n}\omega_k(P)\Delta_k(P) \le\sum_{k<n}\eta\Delta_k(P) =\eta(b-a), \]

donde el último paso es Proposición §21.1.2 — Existencia, anchuras positivas y suma de longitudes. \(\square\)

Precisión sobre el signo. Aunque en (21.7.4) todas las diferencias son estrictamente menores que \(\eta\), su supremo puede ser igual a \(\eta\). Por eso (21.7.5) lleva \(\le\eta\) y no \(<\eta\); la estricta desigualdad que necesita Darboux se asegurará escogiendo una tolerancia menor que la final.

Teorema 21.7.3 — Una función acotada uniformemente continua es integrable

Si \(a<b\) y \(f:[a,b]\to\mathbb R\) es acotada y uniformemente continua, entonces \(f\) es integrable en \([a,b]\). De hecho, para cada \(\varepsilon>0\) existe un \(\delta>0\) tal que cualquier partición \(P\) cuyas anchuras cumplen \(\Delta_k(P)<\delta\) para todo \(k<n\) verifica

\[ \boxed{0\le U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon.} \tag{21.7.7} \]

Demostración. Fijemos \(\varepsilon>0\) y definamos el real positivo

\[ \eta:=\frac{\varepsilon}{2(b-a)}>0. \tag{21.7.8} \]

Por continuidad uniforme (Definición §17.6.1 — Continuidad uniforme relativa a un dominio), existe \(\delta>0\) tal que, para todos \(x,y\in I\),

\[ |x-y|<\delta\quad\Longrightarrow\quad |f(x)-f(y)|<\eta. \tag{21.7.9} \]

Sea ahora cualquier partición \(P\) cuyas anchuras sean menores que \(\delta\). Si \(x,y\in I_k(P)=[x_k,x_{S(k)}]\), el orden del intervalo proporciona

\[ |x-y|\le x_{S(k)}-x_k=\Delta_k(P)<\delta. \]

La estimación (21.7.9) vale por ello sobre cada subintervalo, con el mismo \(\eta\). El lema Lema §21.7.2 — Control de la oscilación mediante diferencias de valores demuestra

\[ 0\le G(f,P)\le\eta(b-a) =\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon. \tag{21.7.10} \]

El lema Lema §21.7.1 — Particiones equidistantes de anchura arbitrariamente pequeña asegura la existencia de una partición equidistante \(P_\varepsilon\) con todas sus anchuras menores que este \(\delta\). Para esa partición (21.7.10) proporciona el testigo requerido por el criterio de Darboux (Teorema §21.4.2 — Criterio de Darboux y estabilidad por refinamiento); como \(f\) ya es acotada, el criterio concluye que es integrable. La prueba establece incluso (21.7.7) para toda partición suficientemente fina, sin afirmar convergencia de sumas etiquetadas ni elegir una sucesión de particiones. \(\square\)

Corolario 21.7.4 — Toda función continua en un intervalo cerrado es integrable

Sean \(a,b\in\mathbb R\) con \(a\le b\) y \(f:[a,b]\to\mathbb R\) continua en todos los puntos de su dominio, incluidos los extremos con la continuidad relativa de §17. Entonces \(f\) es integrable en \([a,b]\); para \(a<b\) la palabra «integrable» tiene el significado de Darboux de Definición §21.4.1 — Integrabilidad de Darboux por igualdad de integrales extremas y, para \(a=b\), el de la convención Definición §21.6.5 — Integración en un intervalo degenerado.

Demostración. Si \(a=b\), la función tiene por dominio el singleton \([a,a]\) y es integrable por definición (Definición §21.6.5 — Integración en un intervalo degenerado), con integral cero. No hay particiones estrictas que analizar.

Supongamos \(a<b\). El intervalo \([a,b]\) es compacto y no vacío por Teorema §18.2.1 — Todo intervalo cerrado y acotado es compacto. El teorema del valor extremo Teorema §18.5.4 — Teorema del valor extremo: Weierstrass entrega dos puntos particulares \(u,v\in[a,b]\) tales que

\[ f(u)\le f(t)\le f(v)\qquad(t\in[a,b]). \]

Esto demuestra la acotación de \(f\) requerida en §21.2; no basta afirmar que es continua y pasar por alto dicha hipótesis. A su vez, Heine–Cantor para intervalos cerrados (Corolario §18.6.2 — Funciones continuas sobre cerrados acotados e intervalos cerrados) demuestra que \(f\) es uniformemente continua. Ambas premisas están, por tanto, verificadas, y Teorema §21.7.3 — Una función acotada uniformemente continua es integrable establece la integrabilidad de \(f\). No se ha utilizado el teorema fundamental del cálculo, que aún no se ha formulado para la integral construida. \(\square\)

Interpretación deductiva. La compacidad desempeña aquí dos funciones lógicamente distintas: asegura cotas globales y convierte en uniforme la continuidad. Sólo después entran en escena la propiedad arquimediana (particiones suficientemente finas) y la completitud (ínfimos y supremos de Darboux). La continuidad es una condición suficiente, no una parte de la definición de integrabilidad.

Corolario 21.7.5 — Primeras clases de ejemplos integrables

Para todo \(a\le b\), las siguientes funciones son integrables en \([a,b]\):

1. La restricción \(p\upharpoonright[a,b]:[a,b]\to\mathbb R\) de cualquier polinomio real tipado \(p:\mathbb R\to\mathbb R\) construido en §17.5.
2. La restricción \(r\upharpoonright[a,b]:[a,b]\to\mathbb R\) de cualquier función racional \(r:D\to\mathbb R\) de §17.5, siempre que \([a,b]\subseteq D\), es decir, que su denominador no se anule en el intervalo y la función esté allí efectivamente definida.

Demostración. El teorema Teorema §17.5.3 — Todo polinomio real es continuo en la recta demuestra la continuidad de \(p\) sobre \(\mathbb R\), y Corolario §17.5.4 — Continuidad de las funciones racionales en su dominio natural la de \(r\) en su dominio efectivo \(D\). La conservación de la continuidad por restricción (Corolario §17.4.6 — Clausura global, restricciones y cocientes) permite tratarlas como funciones con dominio exactamente \([a,b]\) y codominio \(\mathbb R\), siempre que se cumpla la inclusión exigida para \(r\). Aplicar Corolario §21.7.4 — Toda función continua en un intervalo cerrado es integrable a cada restricción demuestra ambas afirmaciones; si \(a=b\), se utiliza igualmente su rama degenerada. No se ha evaluado ninguna integral ni se ha supuesto existencia de una primitiva. \(\square\)

Transición. La continuidad produce integrabilidad al controlar todas las oscilaciones locales mediante un mismo radio. §21.8 estudiará una condición suficiente independiente —la monotonía—, que admite discontinuidades; así distinguiremos con precisión «continua», «acotada» e «integrable». Las sumas etiquetadas y su equivalencia con el valor de Darboux quedan para una unidad posterior.

21.8. Integrabilidad de las funciones monótonas

La continuidad uniforme permite hacer pequeñas todas las oscilaciones locales. La monotonía ofrece un mecanismo diferente: la oscilación sobre cada subintervalo es exactamente la diferencia entre los valores en sus extremos, y la suma de esas diferencias se telescopa. Las oscilaciones individuales no necesitan ser pequeñas; basta multiplicar su suma total por anchuras suficientemente reducidas. Reutilizaremos la definición de monotonía de §20.5 (Definición §20.5.1 — Monotonía estricta y no estricta sobre un dominio ordenado), sin presuponer una derivada ni continuidad.

Fijemos primero \(a<b\), \(I=[a,b]\), una función tipada \(f:I\to\mathbb R\) y una partición \(P=\langle n,p\rangle\), con nodos \(a=x_0<\cdots<x_n=b\). Todas las diferencias y anchuras siguientes son reales; los índices siguen siendo naturales.

Lema 21.8.1 — Cotas y extremos locales de una función monótona

Si \(f\) es no decreciente, entonces

\[ f(a)\le f(t)\le f(b)\quad(t\in I),\qquad m_k(P)=f(x_k),\quad M_k(P)=f(x_{S(k)}). \tag{21.8.1} \]

Si \(f\) es no creciente, entonces

\[ f(b)\le f(t)\le f(a)\quad(t\in I),\qquad m_k(P)=f(x_{S(k)}),\quad M_k(P)=f(x_k). \tag{21.8.2} \]

En ambos casos \(f\) está acotada y, para cada \(k<n\),

\[ \boxed{\omega_k(P)=|f(x_{S(k)})-f(x_k)|.} \tag{21.8.3} \]

Demostración. Para \(a\le t\le b\), la definición de función no decreciente, aplicada a los pares \(a<t\) y \(t<b\) cuando sean estrictos, da \(f(a)\le f(t)\le f(b)\); en caso de igualdad de argumentos, la correspondiente desigualdad es reflexiva. Así, \(A=f(a)\) y \(B=f(b)\) son dos cotas globales concretas. Sobre \(I_k(P)=[x_k,x_{S(k)}]\) vale \(f(x_k)\le f(t)\le f(x_{S(k)})\) para cada \(t\). Como ambos extremos del subintervalo pertenecen a él, las dos cotas de valores se alcanzan y son respectivamente el ínfimo y el supremo; la existencia y unicidad de estos números están garantizadas por Lema §21.2.2 — Existencia de las cotas extremas locales y comparación por inclusión. Esto demuestra (21.8.1).

Para \(f\) no creciente, las desigualdades se invierten, sus cotas globales pasan a ser \(A=f(b)\) y \(B=f(a)\), y los extremos locales intercambian papeles. La resta \(M_k(P)-m_k(P)\) es en cada caso la diferencia positiva correspondiente, equivalente al valor absoluto de la diferencia de los valores extremos por Definición §4.2.1 — Valor absoluto. No se requiere continuidad en ningún nodo. \(\square\)

Proposición 21.8.2 — Identidad telescópica y estimación de la brecha

Si \(f\) es monótona en \(I\), entonces, para toda partición \(P\),

\[ \boxed{\sum_{k=0}^{n-1}\omega_k(P)=|f(b)-f(a)|.} \tag{21.8.4} \]

En consecuencia, para cada real \(\delta>0\) tal que \(\Delta_k(P)<\delta\) para todos los \(k<n\),

\[ \boxed{0\le G(f,P)=U(f,P)-L(f,P) \le\delta\,|f(b)-f(a)|.} \tag{21.8.5} \]

Para la partición equidistante de (21.7.2), de anchura común \(h=(b-a)/\nu_{\mathbb R}(n)\), se tiene incluso la identidad \(G(f,P)=h\,|f(b)-f(a)|\).

Demostración. Si \(f\) es no decreciente, Lema §21.8.1 — Cotas y extremos locales de una función monótona da \(\omega_k(P)=f(x_{S(k)})-f(x_k)\ge0\). La identidad de suma finita por bloques Proposición §14.2.2 — Identidades de los bloques de sumación, o equivalentemente una inducción en \(n\) como la de §21.1, cancela cada valor interior una vez con cada signo:

\[ \sum_{k<n}\omega_k(P) =\sum_{k<n}\bigl(f(x_{S(k)})-f(x_k)\bigr) =f(x_n)-f(x_0)=f(b)-f(a). \]

Ésta es (21.8.4), pues la última diferencia es no negativa. Para \(f\) no creciente, cada oscilación es \(f(x_k)-f(x_{S(k)})\) y la misma cancelación da \(f(a)-f(b)=|f(b)-f(a)|\). La función constante satisface ambas demostraciones y produce suma cero.

La identidad de Darboux Proposición §21.2.5 — Encierro global e identidad de la brecha y la no negatividad de cada oscilación permiten multiplicar \(\Delta_k(P)<\delta\) por \(\omega_k(P)\ge0\) y sumar:

\[ 0\le G(f,P)=\sum_{k<n}\omega_k(P)\Delta_k(P) \le\sum_{k<n}\omega_k(P)\delta =\delta\sum_{k<n}\omega_k(P) =\delta|f(b)-f(a)|. \]

La comparación de sumas finitas es Proposición §14.5.1 — Comparación de sumas finitas y de bloques. Si todas las anchuras son la misma cantidad \(h\), se obtiene igualdad en la extracción del factor. En esta prueba no se afirma que exista una anchura máxima seleccionada ni se introduce notación de malla. \(\square\)

Lectura de la estimación. No es necesario que \(\omega_k(P)\) tienda a cero en la celda que contiene un salto. Lo que permanece acotado es la suma no ponderada de las oscilaciones: es exactamente la variación neta entre los dos extremos, por monotonía.

Teorema 21.8.3 — Toda función monótona sobre un intervalo cerrado es integrable

Sean \(a,b\in\mathbb R\) con \(a\le b\) y \(f:[a,b]\to\mathbb R\) monótona en el sentido de Definición §20.5.1 — Monotonía estricta y no estricta sobre un dominio ordenado. Entonces \(f\) es integrable en \([a,b]\), aunque no sea continua. Cuando \(a<b\), para cada \(\varepsilon>0\) existe un \(\delta>0\) tal que toda partición con \(\Delta_k(P)<\delta\) verifica \(G(f,P)<\varepsilon\).

Demostración. Si \(a=b\), el dominio es el singleton \([a,a]\) y la integrabilidad, con integral cero, está definida en Definición §21.6.5 — Integración en un intervalo degenerado; no se invoca una partición estricta. Supongamos \(a<b\). El lema Lema §21.8.1 — Cotas y extremos locales de una función monótona demuestra primero que \(f\) está acotada, por lo que las sumas de Darboux y su brecha están definidas. Fijemos \(\varepsilon>0\) y escribamos el real no negativo \(D:=|f(b)-f(a)|\). Elijamos para esta tolerancia

\[ \delta:=\frac{\varepsilon}{D+1_{\mathbb R}}>0. \tag{21.8.6} \]

El denominador es positivo y \(D<D+1_{\mathbb R}\), luego \(\delta D<\varepsilon\); esto sigue siendo cierto cuando \(D=0\). Si \(P\) tiene todas sus anchuras menores que \(\delta\), (21.8.5) da

\[ 0\le G(f,P)\le\delta D<\varepsilon. \tag{21.8.7} \]

El lema Lema §21.7.1 — Particiones equidistantes de anchura arbitrariamente pequeña construye una partición estricta con esas anchuras: para el \(\delta\) ya fijado proporciona un único testigo finito requerido, sin elegir una sucesión de particiones. La brecha correspondiente satisface el criterio de Darboux Teorema §21.4.2 — Criterio de Darboux y estabilidad por refinamiento, que concluye la integrabilidad. No se utilizó el corolario sobre funciones continuas, ninguna derivada ni el teorema fundamental del cálculo. \(\square\)

Proposición 21.8.4 — Ejemplo explícito: una función monótona integrable con un salto

Sean \(a<c<b\). Definamos la función de dominio exactamente \(I=[a,b]\) y codominio \(\mathbb R\) por

\[ s_c(t):=\begin{cases} 0_{\mathbb R},&a\le t<c,\\ 1_{\mathbb R},&c\le t\le b. \end{cases} \tag{21.8.8} \]

Entonces \(s_c\) es no decreciente, acotada e integrable en \([a,b]\), pero no es continua en \(c\) con respecto al dominio \(I\).

Demostración. Las ramas \(a\le t<c\) y \(c\le t\le b\) son disjuntas y cubren \(I\). Separar del producto \(I\times\mathbb R\) los pares determinados por (21.8.8) construye el grafo de una función tipada; cada argumento recibe un solo real. Si \(u<v\) están ambos a la izquierda de \(c\) o ambos a su derecha, \(s_c(u)=s_c(v)\). Si \(u<c\le v\), entonces \(s_c(u)=0_{\mathbb R}<1_{\mathbb R}=s_c(v)\). Se cumple por tanto la definición de no decreciente. Las cotas \(0_{\mathbb R}\le s_c(t)\le1_{\mathbb R}\) son explícitas y la integrabilidad resulta de Teorema §21.8.3 — Toda función monótona sobre un intervalo cerrado es integrable.

Para comprobar que la continuidad falla en \(c\), fijemos \(\varepsilon_0:=1_{\mathbb R}/2_{\mathbb R}>0\). Dado cualquier \(\delta>0\), definamos \(r:=\min\{\delta,c-a\}>0\) por totalidad del orden real y \(x:=c-r/2_{\mathbb R}\). Se verifica \(a<x<c\), \(0<|x-c|=r/2_{\mathbb R}<\delta\), pero

\[ |s_c(x)-s_c(c)|=|0_{\mathbb R}-1_{\mathbb R}| =1_{\mathbb R}>\varepsilon_0. \]

Por la negación de la definición de continuidad relativa de Definición §17.1.1 — Continuidad relativa al dominio en un punto, \(s_c\) no es continua en \(c\). El punto \(x\) se obtiene por fórmula para cada \(\delta\); no hay selección de una familia numerable. \(\square\)

Proposición 21.8.5 — Cálculo directo de la integral de la función escalón

Para la función \(s_c:[a,b]\to\mathbb R\) de (21.8.8),

\[ \boxed{\int_a^b s_c=b-c.} \tag{21.8.9} \]

Demostración. La integral \(J:=\int_a^b s_c\) existe por Proposición §21.8.4 — Ejemplo explícito: una función monótona integrable con un salto. Consideremos primero la partición con nodos \(a<c<b\). En \([a,c]\) la función toma tanto \(0\) como \(1\), de modo que su ínfimo es \(0\) y su supremo es \(1\); en \([c,b]\) es constantemente \(1\). Por definición de la suma inferior,

\[ L(s_c,\{a,c,b\})=0\,(c-a)+1\,(b-c)=b-c. \tag{21.8.10} \]

La escritura abreviada de la lista de nodos representa aquí la partición tipada única que dicha lista determina (Lema §21.2.7 — Una lista estricta queda determinada por sus nodos). Por el encierro Proposición §21.4.4 — Encierro del valor integral y control por la brecha, tenemos \(b-c\le J\).

Ahora, para cualquier \(h\) con \(0<h<c-a\), formemos la partición de nodos \(a<c-h<c<b\). Sus tres subintervalos son \([a,c-h]\), \([c-h,c]\) y \([c,b]\). Sobre el primero \(s_c\) es nula, sobre el tercero es uno y sólo el segundo contiene los dos valores \(0\) y \(1\). Se obtiene exactamente

\[ U(s_c,P_h)=0\,(c-h-a)+1\,h+1\,(b-c)=b-c+h. \tag{21.8.11} \]

El encierro de la integral da \(J\le b-c+h\). Si \(J>b-c\), elijamos el único real explícito \(h:=\frac12\min\{c-a,J-(b-c)\}>0\); entonces \(h<c-a\) y \(h<J-(b-c)\), de modo que \(J\le b-c+h<J\), contradicción. Por totalidad del orden, \(J\le b-c\). Combinando con la cota inferior concluimos (21.8.9), sin recurrir a primitivas, a sumas etiquetadas ni a un teorema de paso al límite. \(\square\)

Cierre de la unidad. Hemos construido una clase de funciones integrables que contiene funciones discontinuas y hemos calculado un ejemplo directamente desde las sumas de Darboux. Continuidad y monotonía son condiciones suficientes alternativas, no condiciones necesarias en la definición. La próxima sección desarrollará las sumas etiquetadas y su relación con la integral de Darboux; hasta entonces no se asumirá su equivalencia.

21.9. Sumas etiquetadas y equivalencia de las definiciones de Riemann y Darboux

Las sumas de Darboux permiten encerrar un valor mediante ínfimos y supremos locales. Hay otra manera de aproximarlo: escoger un punto del subintervalo y usar el valor efectivo de la función en ese punto. Para relacionar ambas construcciones no basta demostrar que una suma escogida pertenece al intervalo de Darboux. Debemos probar que todas las sumas etiquetadas, con independencia de sus etiquetas, se aproximan simultáneamente al mismo número cuando la partición tiene malla suficientemente pequeña.

Durante toda la sección fijamos \(a<b\), \(I=[a,b]\) y una función acotada \(f:I\to\mathbb R\). Para el intervalo degenerado continúa vigente únicamente la convención separada de §21.6; no extenderemos a él las particiones estrictas.

Definición 21.9.1 — Etiquetas admisibles y suma etiquetada

Sea \(P=\langle n,p\rangle\in\operatorname{Part}[a,b]\) y sea \(K_n:=\{k\in\mathbb N:k<n\}\). Una familia de etiquetas admisibles para \(P\) es una función tipada \(\tau:K_n\to I\) que cumple

\[ \tau(k)\in I_k(P)=[x_k,x_{S(k)}]\qquad(k<n). \tag{21.9.1} \]

Por Separación dentro del conjunto de funciones \(I^{K_n}\) definimos el conjunto

\[ \operatorname{Tag}(P):=\{\tau\in I^{K_n}:(\forall k<n)\ \tau(k)\in I_k(P)\}. \tag{21.9.2} \]

Una partición etiquetada es el par \(\langle P,\tau\rangle\), con \(\tau\in\operatorname{Tag}(P)\). La identidad de \(P\) y la función \(\tau\) se conservan: no identificamos una partición etiquetada con una lista informal de puntos. La suma etiquetada de \(f\) es el real

\[ \boxed{S(f;P,\tau):=\sum_{k=0}^{n-1}f(\tau(k))\Delta_k(P).} \tag{21.9.3} \]

La suma tiene exactamente \(n\ge1\) términos y todos sus argumentos pertenecen al dominio de \(f\). La definición no presupone integrabilidad; tampoco prescribe escoger una familia de etiquetas para todas las particiones.

Proposición 21.9.2 — Existencia de etiquetas y encierro de cada suma

Para toda partición \(P\), el conjunto \(\operatorname{Tag}(P)\) es no vacío. Cualesquiera que sean sus etiquetas \(\tau\),

\[ \boxed{L(f,P)\le S(f;P,\tau)\le U(f,P).} \tag{21.9.4} \]

Demostración. La función \(\tau_0:K_n\to I\) definida por el grafo explícito \(\tau_0(k)=x_k\) existe por Separación en \(K_n\times I\). Como \(x_k\in I_k(P)\), pertenece a \(\operatorname{Tag}(P)\); no hemos elegido ningún punto arbitrario. Para una función admisible cualquiera, la definición de extremos locales da

\[ m_k(P)\le f(\tau(k))\le M_k(P). \]

Multiplicamos por \(\Delta_k(P)>0\) y sumamos las \(n\) desigualdades, usando la comparación de sumas finitas Proposición §14.5.1 — Comparación de sumas finitas y de bloques. Las sumas de los extremos son exactamente \(L(f,P)\) y \(U(f,P)\), lo que demuestra (21.9.4). \(\square\)

Lema 21.9.3 — Aproximación finita de ambos extremos por etiquetas

Fijada una partición \(P\), para cada \(\varepsilon>0\) existen \(\tau_-,\tau_+\in\operatorname{Tag}(P)\) tales que

\[ \boxed{L(f,P)\le S(f;P,\tau_-)<L(f,P)+\varepsilon,} \tag{21.9.5} \]

\[ \boxed{U(f,P)-\varepsilon<S(f;P,\tau_+)\le U(f,P).} \tag{21.9.6} \]

En particular, el conjunto real \(\mathcal S(f,P):=\{s\in\mathbb R:\exists\tau\in\operatorname{Tag}(P),\ s=S(f;P,\tau)\}\) existe y es no vacío, y sus extremos satisfacen

\[ \boxed{\inf\mathcal S(f,P)=L(f,P),\qquad \sup\mathcal S(f,P)=U(f,P).} \tag{21.9.7} \]

Demostración. Tomemos \(\eta:=\varepsilon/(b-a)>0\); la división es legítima porque \(a<b\). Para cada índice fijo \(k<n\), el número \(m_k(P)\) es el ínfimo de la imagen no vacía \(f[I_k(P)]\). Por la propiedad característica del ínfimo, existe \(t_k^-\in I_k(P)\) con

\[ m_k(P)\le f(t_k^-)<m_k(P)+\eta. \]

De no existir, \(m_k(P)+\eta\) sería una cota inferior de la imagen estrictamente mayor que su ínfimo. De forma dual, por la propiedad del supremo existe \(t_k^+\in I_k(P)\) tal que

\[ M_k(P)-\eta<f(t_k^+)\le M_k(P). \]

Justificación fundacional de las etiquetas simultáneas. No pasamos de \(\forall k\,\exists t_k\) a una familia infinita por decreto. Aplicamos inducción natural a los segmentos finitos de índices: el grafo vacío es una función parcial admisible; si ya se ha construido un grafo sobre los índices menores que \(j<n\), instanciamos la existencia para ese único índice \(j\) y añadimos el par \(\langle j,t_j^-\rangle\). La unión finita es una función porque \(j\) no figuraba en el dominio anterior. Tras \(n\) pasos obtenemos una función \(\tau_-:K_n\to I\) con todas las desigualdades, y repetimos esta misma inducción para \(\tau_+\). Este argumento prueba por inducción la existencia de dos funciones finitas para el \(P\) y el \(\varepsilon\) dados, sin construir una función de elección sobre un conjunto infinito de particiones o tolerancias.

Multiplicando cada desigualdad por la anchura positiva y sumando, con \(\sum_{k<n}\Delta_k(P)=b-a\), llegamos a

\[ 0\le S(f;P,\tau_-)-L(f,P) <\eta\sum_{k<n}\Delta_k(P)=\varepsilon, \]

\[ 0\le U(f,P)-S(f;P,\tau_+)<\varepsilon. \]

La estricta desigualdad se conserva porque la suma es finita y no vacía y cada diferencia ponderada es estrictamente menor que \(\eta\Delta_k(P)\). El encierro (21.9.4) completa (21.9.5)–(21.9.6).

La fórmula definitoria de \(\mathcal S(f,P)\) permite obtenerla por Separación en \(\mathbb R\); es no vacía por la proposición precedente y está acotada por (21.9.4). Luego tiene supremo e ínfimo reales. Como \(U(f,P)\) es cota superior y (21.9.6) proporciona valores mayores que \(U(f,P)-\varepsilon\) para toda precisión positiva, ningún real menor que \(U(f,P)\) puede ser una cota superior. Así \(\sup\mathcal S(f,P)=U(f,P)\); la prueba dual da el ínfimo. \(\square\)

Lectura. Que \(U(f,P)\) sea supremo de las sumas etiquetadas no implica que alguna etiqueta alcance todos los supremos locales. El lema sólo aproxima simultáneamente un número finito de extremos, y eso basta.

Proposición 21.9.4 — Existencia del máximo de las anchuras y particiones finas

Para cada \(P=\langle n,p\rangle\in\operatorname{Part}[a,b]\) existe un único máximo \(d(P)\) del conjunto no vacío de anchuras

\[ W(P):=\{d\in\mathbb R:(\exists k<n)\ d=\Delta_k(P)\}. \tag{21.9.8} \]

Se cumple \(d(P)>0\). Para cada \(\delta>0\) existe una partición \(P\) con \(d(P)<\delta\).

Demostración. El conjunto \(W(P)\) existe por Separación, ya que sus anchuras son reales definidos a partir de una función finita. Contiene \(\Delta_0(P)\) porque \(n\ge1\). El máximo de la primera anchura es ella misma. Si el máximo de las primeras \(j\ge1\) anchuras es \(d_j\), la totalidad del orden real permite definir de manera única el máximo de \(d_j\) y \(\Delta_j(P)\): es uno de esos dos valores, según su comparación. La inducción finita llega al máximo de las \(n\) anchuras; pertenece a \(W(P)\) y está por encima de todas ellas. Su unicidad resulta de la antisimetría. Como todas las anchuras son positivas, también lo es el máximo.

Dado \(\delta>0\), Lema §21.7.1 — Particiones equidistantes de anchura arbitrariamente pequeña construye una partición equidistante para la cual todas las anchuras son menores que \(\delta\); su máximo es una de ellas, luego también es menor que \(\delta\). No hemos seleccionado una partición simultáneamente para cada radio. \(\square\)

Definición 21.9.5 — Malla de una partición

Definimos la malla de \(P\) como el máximo cuya existencia acabamos de demostrar:

\[ \boxed{\operatorname{mesh}(P):=d(P)=\max_{k<n}\Delta_k(P)>0.} \tag{21.9.9} \]

Así, \(\operatorname{mesh}(P)<\delta\) equivale exactamente a que \(\Delta_k(P)<\delta\) para todo \(k<n\). Usaremos \(\operatorname{mesh}(P)\) en lugar del símbolo alternativo \(\lVert P\rVert\): la malla es una anchura real y no una norma definida sobre un espacio vectorial de particiones.

Lema 21.9.6 — Una partición fina hereda una brecha pequeña de otra partición

Sean \(A,B\in\mathbb R\) cotas globales \(A\le f(t)\le B\) en \(I\), y escribamos \(C:=B-A\ge0\). Sea \(Q=\langle m,q\rangle\) una partición fija. Para toda partición \(P\) se cumple

\[ \boxed{0\le G(f,P)\le G(f,Q)+C\,\nu_{\mathbb R}(m)\operatorname{mesh}(P),} \tag{21.9.10} \]

con \(G(f,T):=U(f,T)-L(f,T)\) y \(\nu_{\mathbb R}(m)\) el numeral real del natural \(m\). En particular, para cada \(\varepsilon>0\) existe un \(\delta>0\) tal que toda partición \(P\) con \(\operatorname{mesh}(P)<\delta\) satisface

\[ G(f,P)<G(f,Q)+\varepsilon. \tag{21.9.11} \]

Demostración. Construyamos el refinamiento común \(R\) de \(P\) y \(Q\) de Teorema §21.1.5 — Existencia de un refinamiento común, de modo que \(V(R)=V(P)\cup V(Q)\) y \(Q\preccurlyeq R\). Llamemos mala a una celda \(I_k(P)\) cuyo interior contiene algún nodo de \(Q\). Si no es mala, ningún nodo adicional del refinamiento cae en su interior y la misma celda figura sin modificación en \(R\); su contribución a la brecha es exactamente la misma en ambas particiones.

Cada celda mala contiene al menos un nodo interior de \(Q\), y los interiores de celdas distintas de \(P\) son disjuntos. Para cada celda mala tomamos el primer índice en la lista dada de \(Q\) cuyo nodo está en ese interior. El mínimo natural es único, así que la aplicación de celdas malas a esos índices es una inyección; ninguna selección arbitraria se requiere. Existen como máximo \(m\) celdas malas, pues \(Q\) tiene \(m\) subintervalos y sólo los índices \(1,\ldots,m-1\) pueden corresponder a nodos interiores de \(I\).

La acotación global implica \(0\le\omega_k(P)\le C\). En una celda mala su contribución original a \(G(f,P)\) es a lo sumo \(C\Delta_k(P)\). Todas las contribuciones de las subceldas de \(R\) son no negativas, gracias a (21.2.7). Como las contribuciones de las celdas buenas coinciden, la descomposición finita de sumas por bloques da

\[ \begin{aligned} G(f,P)&\le G(f,R)+C\sum_{k\text{ malo}}\Delta_k(P)\\ &\le G(f,Q)+C\,\nu_{\mathbb R}(m)\operatorname{mesh}(P). \end{aligned} \tag{21.9.12} \]

En la segunda línea utilizamos la monotonía de la brecha bajo refinamiento \(Q\preccurlyeq R\), y el hecho de que a lo sumo \(m\) sumandos no negativos están acotados por la malla; la multiplicidad natural se traduce a su numeral real antes de multiplicar. La primera desigualdad de (21.9.10) es la no negatividad de la brecha.

Para (21.9.11), dado \(\varepsilon>0\), basta fijar

\[ \delta:=\frac{\varepsilon}{(C+1_{\mathbb R})(\nu_{\mathbb R}(m)+1_{\mathbb R})}>0. \]

Si \(\operatorname{mesh}(P)<\delta\), entonces \(C\nu_{\mathbb R}(m)\operatorname{mesh}(P)<\varepsilon\), incluso si \(C=0\). No se eligió una familia de refinamientos: \(R\) se construyó para el par de particiones dado. \(\square\)

Por qué se necesitaba este lema. El criterio de Darboux de §21.4 asegura una partición con brecha pequeña y todos sus refinamientos. Una partición con malla pequeña, sin embargo, no tiene por qué refinarla: puede omitir todos sus nodos interiores. La estimación (21.9.10) subsana precisamente esta diferencia; el posible error se concentra en las pocas celdas que atraviesan nodos de \(Q\).

Definición 21.9.7 — Criterio de integrabilidad por sumas etiquetadas

Para una función acotada \(f:[a,b]\to\mathbb R\) diremos que satisface el criterio de Riemann por sumas etiquetadas si existe un real \(J\) tal que

\[ \boxed{(\forall\varepsilon>0)(\exists\delta>0) (\forall P\in\operatorname{Part}[a,b]) (\operatorname{mesh}(P)<\delta\Longrightarrow (\forall\tau\in\operatorname{Tag}(P))\, |S(f;P,\tau)-J|<\varepsilon).} \tag{21.9.13} \]

La posición de \(\forall\tau\) después de \(\forall P\) es esencial: las etiquetas son cualesquiera y la misma malla \(\delta\) sirve para todas las particiones. La definición no presupone un límite previamente construido de una sucesión de sumas, ni exige elegir una partición por cada natural. El alcance sigue restringido a funciones acotadas y a \(a<b\); al intervalo singleton le corresponde §21.6.

Teorema 21.9.8 — Equivalencia exacta entre Darboux y las sumas etiquetadas

Para \(a<b\) y una función acotada \(f:[a,b]\to\mathbb R\), las siguientes condiciones son equivalentes:

1. \(f\) es integrable de Darboux en el sentido de Definición §21.4.1 — Integrabilidad de Darboux por igualdad de integrales extremas.
2. \(f\) satisface el criterio de sumas etiquetadas (21.9.13) para algún \(J\in\mathbb R\).

Cuando se verifican, el número \(J\) es único y necesariamente

\[ \boxed{J=\int_a^b f.} \tag{21.9.14} \]

Demostración. Darboux implica Riemann etiquetado. Supongamos que \(f\) es integrable y escribamos \(I_f:=\int_a^b f\). Fijemos \(\varepsilon>0\). El criterio Teorema §21.4.2 — Criterio de Darboux y estabilidad por refinamiento proporciona una partición fija \(Q=\langle m,q\rangle\) con

\[ G(f,Q)<\varepsilon/2. \]

Tomemos cualesquiera cotas globales \(A\le f\le B\) y \(C=B-A\ge0\). Elijamos el real explícito

\[ \delta:=\frac{\varepsilon}{2(C+1_{\mathbb R})(\nu_{\mathbb R}(m)+1_{\mathbb R})}>0. \]

Para toda partición \(P\) con \(\operatorname{mesh}(P)<\delta\), el lema anterior da

\[ 0\le G(f,P)\le G(f,Q)+C\nu_{\mathbb R}(m)\operatorname{mesh}(P)<\varepsilon. \tag{21.9.15} \]

La última desigualdad es estricta porque \(G(f,Q)<\varepsilon/2\) y el segundo término es menor que \(\varepsilon/2\). Por el encierro de las sumas etiquetadas (21.9.4) y el encierro de la integral Proposición §21.4.4 — Encierro del valor integral y control por la brecha, tanto \(S(f;P,\tau)\) como \(I_f\) pertenecen al mismo intervalo \([L(f,P),U(f,P)]\). Por ello, para toda etiqueta admisible,

\[ |S(f;P,\tau)-I_f|\le G(f,P)<\varepsilon. \]

Ésta es exactamente (21.9.13) con \(J=I_f\). No hemos supuesto que \(P\) refine a \(Q\).

Riemann etiquetado implica Darboux. Supongamos que existe un \(J\) con (21.9.13). Para una tolerancia arbitraria \(\varepsilon>0\), apliquemos dicha condición con \(\eta:=\varepsilon/3>0\) y obtengamos \(\delta>0\). Por Proposición §21.9.4 — Existencia del máximo de las anchuras y particiones finas existe una partición \(P\) con \(\operatorname{mesh}(P)<\delta\). Así, todas sus sumas etiquetadas satisfacen

\[ J-\eta<S(f;P,\tau)<J+\eta. \]

El lema Lema §21.9.3 — Aproximación finita de ambos extremos por etiquetas demuestra que las sumas etiquetadas tienen por ínfimo \(L(f,P)\) y por supremo \(U(f,P)\). Por las propiedades extremales, las desigualdades válidas para todas las etiquetas implican las cotas no estrictas

\[ J-\eta\le L(f,P)\le U(f,P)\le J+\eta. \tag{21.9.16} \]

Por consiguiente,

\[ 0\le G(f,P)\le2\eta=2\varepsilon/3<\varepsilon. \]

El criterio de Darboux Teorema §21.4.2 — Criterio de Darboux y estabilidad por refinamiento prueba la integrabilidad de \(f\); ahora, y sólo ahora, la expresión \(I_f:=\int_a^b f\) está definida. Su encierro Proposición §21.4.4 — Encierro del valor integral y control por la brecha y (21.9.16) dan

\[ J-\eta\le I_f\le J+\eta. \tag{21.9.17} \]

La deducción vale para cada \(\varepsilon>0\), y por tanto para todo \(\eta>0\). Si \(I_f\ne J\), tomemos \(\eta=|I_f-J|/2>0\); (21.9.17) implicaría \(|I_f-J|\le\eta<|I_f-J|\), contradicción. Se sigue \(I_f=J\), lo que prueba también la unicidad del número que satisface (21.9.13). \(\square\)

Conclusión conceptual. La integral se define mediante los supremos e ínfimos de Darboux, pero puede caracterizarse como el valor al que se aproximan uniformemente todas las sumas etiquetadas de malla suficientemente pequeña. Una sola selección favorable de etiquetas no reemplaza el cuantificador universal. Ni la existencia de extremos locales ni su aproximación finita requieren que \(f\) sea continua; tampoco intervienen primitivas, medida de Lebesgue o el teorema fundamental del cálculo.

Transición al teorema fundamental del cálculo. La integral ha sido construida mediante supremos e ínfimos de sumas finitas y caracterizada, después, por sumas etiquetadas de malla pequeña. La cuestión siguiente será estudiar la función que asigna a cada extremo variable la integral acumulada y establecer, bajo hipótesis explícitas, su relación con la derivación. Nada de lo probado aquí presupone esa relación: será el objeto del Capítulo 22.