Tratado de análisis — Capítulo 4: Cuerpos ordenados y el problema de la completitud
Capítulo 4 — Cuerpos ordenados y el problema de la completitud
← Volver al Tratado de análisis
Parte I — Fundamentos y construcción de los números reales
4.0. Del caso racional al problema estructural
El capítulo anterior terminó con una situación que conviene separar cuidadosamente en dos partes.
Por una parte, hemos construido en \(\mathbb Q\) una estructura algebraica y de orden extraordinariamente rica: es un cuerpo, su orden es total y compatible con las operaciones, entre dos racionales distintos existe siempre otro racional y la copia canónica de \(\mathbb N\) no está acotada superiormente. Por otra parte, el conjunto
\[ S_2 = \{q\in\mathbb Q:0\leq q,\ q^2<2\} \]
es no vacío y está acotado superiormente, pero no posee supremo racional.
La dificultad que obliga a pasar de \(\mathbb Q\) a \(\mathbb R\) no es, por tanto, una deficiencia de las operaciones ni una falta de densidad del orden. Es un defecto global: ciertas familias ordenadas determinan fronteras que el propio sistema no contiene.
Antes de construir esas fronteras por cortaduras o por sucesiones de Cauchy, abstraeremos la estructura que ya conocemos en \(\mathbb Q\). Esto permitirá distinguir con precisión qué propiedades pertenecen a todo cuerpo ordenado, cuáles dependen de la arquimedianidad y cuál es la propiedad adicional de completitud que los racionales no poseen.
La secuencia conceptual del capítulo será
\[ \text{cuerpo ordenado} \longrightarrow |\cdot| \longrightarrow \text{intervalos} \longrightarrow \text{arquimedianidad} \longrightarrow \text{densidad racional} \longrightarrow \text{completitud}. \]
No construiremos todavía ningún número real.
4.1. Cuerpos ordenados
Definición 4.1.1 — Cuerpo ordenado
Glosario: cuerpo ordenado
Un cuerpo ordenado es un cuerpo
\[ (F,+,\cdot,0_F,1_F) \]
provisto de un orden total \(\leq_F\) tal que, para todos \(x,y,z\in F\):
- si \(x\leq_F y\), entonces \[ x+z\leq_F y+z; \]
- si \(0_F\leq_F x\) y \(0_F\leq_F y\), entonces \[ 0_F\leq_F xy. \]
Cuando no exista riesgo de confusión omitiremos los subíndices de \(0\), \(1\), \(\leq\) y \(<\).
La primera compatibilidad expresa invariancia del orden por traslación. La segunda conecta el orden con la multiplicación. Las reglas habituales de signos no se incorporan como axiomas adicionales: serán consecuencias de estas dos condiciones y de las leyes de cuerpo.
Lema 4.1.2 — Identidades algebraicas elementales en un cuerpo
Sea \(F\) un cuerpo y sean \(x,y,r\in F\). Entonces:
- \(x0_F=0_F=0_Fx\);
- \((-x)y=-(xy)=x(-y)\) y \((-x)(-y)=xy\);
- si \(r\neq0_F\) y \(rx=ry\), entonces \(x=y\);
- si \(xy=0_F\), entonces \(x=0_F\) o \(y=0_F\).
Demostración.
Por distributividad,
\[ x0_F=x(0_F+0_F)=x0_F+x0_F. \]
Sumando \(-(x0_F)\) a ambos miembros obtenemos \(x0_F=0_F\). La igualdad \(0_Fx=0_F\) se sigue de la conmutatividad del producto.
Además,
\[ (-x)y+xy=((-x)+x)y=0_Fy=0_F. \]
Por unicidad del opuesto aditivo, \((-x)y=-(xy)\). La identidad \(x(-y)=-(xy)\) se obtiene de manera análoga —o por conmutatividad— y, aplicándola dos veces,
\[ (-x)(-y)=-((-x)y)=-(-(xy))=xy. \]
Para la cancelación multiplicativa, supongamos \(r\neq0_F\) y \(rx=ry\). Multiplicando ambos miembros por \(r^{-1}\) y usando asociatividad,
\[ x=(r^{-1}r)x=(r^{-1}r)y=y. \]
Finalmente, si \(xy=0_F\) y \(x\neq0_F\), multiplicar por \(x^{-1}\) da
\[ y=x^{-1}(xy)=x^{-1}0_F=0_F. \]
Así \(xy=0_F\) implica \(x=0_F\) o \(y=0_F\). ∎
Lema 4.1.3 — Cálculo elemental de signos en un cuerpo ordenado
Sea \(F\) un cuerpo ordenado. Para \(x,y,z,r\in F\) se tienen las siguientes propiedades:
- \(x\leq y\) si y sólo si \(0\leq y-x\);
- \(x\leq y\) si y sólo si \(-y\leq -x\);
- \(0<1\);
- \(x^2\geq0\);
- si \(x>0\) y \(y>0\), entonces \(xy>0\);
- si \(x>0\), entonces \(x^{-1}>0\);
- si \(0<x<y\), entonces \[ 0<y^{-1}<x^{-1}; \]
- \(x<y\) si y sólo si \(x+z<y+z\);
- si \(r>0\), entonces \[ x<y\iff xr<yr. \]
Demostración.
Para (1), si \(x\leq y\), sumamos \(-x\) y obtenemos \(0\leq y-x\). Recíprocamente, de \(0\leq y-x\) sumamos \(x\) y obtenemos \(x\leq y\).
Para (2), de \(x\leq y\) sumamos \(-x-y\) y resulta \(-y\leq -x\); la recíproca se obtiene aplicando el mismo argumento a \(-y\leq -x\).
Probemos (3). Por totalidad, \(0\leq1\) o \(1\leq0\). Si \(1\leq0\), entonces por (2) se tiene \(0\leq-1\). La compatibilidad multiplicativa da
\[ 0\leq(-1)(-1)=1. \]
Junto con \(1\leq0\), la antisimetría produciría \(1=0\), contradiciendo la definición de cuerpo. Por tanto \(1\leq0\) es imposible. Debe cumplirse \(0\leq1\), y como \(0\neq1\), resulta \(0<1\).
Para (4), por totalidad, \(0\leq x\) o \(x\leq0\). En el primer caso \(0\leq x^2\) por compatibilidad multiplicativa. En el segundo, (2) da \(0\leq -x\) y
\[ (-x)^2=x^2, \]
de modo que nuevamente \(0\leq x^2\).
Para (5), las hipótesis implican \(0\leq x\) y \(0\leq y\), luego \(0\leq xy\). Además \(x\) y \(y\) son no nulos. Si \(xy=0\), el Lema 4.1.2(4) daría \(x=0\) o \(y=0\), contradicción. Por tanto \(xy\neq0\) y, por definición del orden estricto, \(0<xy\).
Para (6), sea \(x>0\). Como \(x^{-1}\neq0\), por totalidad exactamente uno de \(x^{-1}>0\) y \(x^{-1}<0\) puede ocurrir. Si \(x^{-1}<0\), entonces (2) implica \(0<-x^{-1}\); por (5),
\[ 0<x(-x^{-1})=-1. \]
Aplicando (2) a \(0<-1\) obtenemos \(1<0\), contradicción con (3). Luego \(x^{-1}>0\).
Antes de (7) registramos las dos reglas estrictas que también utilizaremos después. Para (8), si \(x<y\), la compatibilidad aditiva da \(x+z\leq y+z\). La igualdad \(x+z=y+z\) implicaría \(x=y\) al sumar \(-z\), contradicción; luego \(x+z<y+z\). La recíproca se obtiene sumando \(-z\).
Para (9), sea \(r>0\). Si \(x<y\), la compatibilidad multiplicativa da \(xr\leq yr\). Si hubiera igualdad, al multiplicar por \(r^{-1}\) —que existe porque \(r\neq0\)— obtendríamos \(x=y\); luego \(xr<yr\). Recíprocamente, si \(xr<yr\) y no fuera \(x<y\), la totalidad daría \(y\leq x\). Como \(0<r\), la compatibilidad multiplicativa produciría \(yr\leq xr\), contradicción. Por tanto \(x<y\).
Finalmente, si \(0<x<y\), por (6) los inversos son positivos. Aplicando (9) a \(x<y\) con el factor positivo \(x^{-1}y^{-1}\) obtenemos
\[ y^{-1}<x^{-1}. \]
La positividad de ambos inversos completa (7). ∎
El lema anterior es la caja de herramientas mínima para trabajar abstractamente con orden y operaciones. En particular, la positividad de \(1\) no se ha añadido a la definición: está forzada por los axiomas de cuerpo ordenado.
Proposición 4.1.4 — \(\mathbb Q\) es un cuerpo ordenado
Con la suma, el producto y el orden construidos en el capítulo anterior,
\[ (\mathbb Q,+,\cdot,0_{\mathbb Q},1_{\mathbb Q},\leq_{\mathbb Q}) \]
es un cuerpo ordenado en el sentido de la Definición 4.1.1.
Demostración.
El Teorema 3.6.8 demuestra que \((\mathbb Q,+,\cdot,0_{\mathbb Q},1_{\mathbb Q})\) es un cuerpo, y el Teorema 3.7.5 demuestra que \(\leq_{\mathbb Q}\) es un orden total.
La primera compatibilidad exigida por la Definición 4.1.1,
\[ x\leq y\Longrightarrow x+z\leq y+z, \]
es la primera parte de la Proposición 3.7.7.
Supongamos ahora \(0\leq x\) y \(0\leq y\). La segunda parte de esa misma proposición, aplicada a \(0\leq x\) con el factor no negativo \(y\), da
\[ 0\cdot y\leq xy. \]
Como el Lema 4.1.2(1) aplicado al cuerpo \(\mathbb Q\) da \(0\cdot y=0\), resulta
\[ 0\leq xy. \]
Se satisfacen exactamente las dos compatibilidades de la Definición 4.1.1. ∎
Definición 4.1.5 — Aplicación de numerales naturales en un cuerpo ordenado
Sea \(F\) un cuerpo ordenado. Por el teorema de recursión sobre \(\mathbb N\) existe una única función
\[ \nu_F:\mathbb N\to F \]
tal que
\[ \boxed{ \nu_F(0)=0_F, \qquad \nu_F(S(n))=\nu_F(n)+1_F. } \]
La llamaremos aplicación canónica de numerales naturales de \(F\).
Glosario: aplicación canónica de numerales naturales
No se está identificando \(n\in\mathbb N\) con un elemento de \(F\). La función \(\nu_F\) es precisamente el puente que permite comparar ambos sistemas.
Proposición 4.1.6 — Aritmética y orden de los numerales naturales
Para \(m,n\in\mathbb N\):
- \(\nu_F(1)=1_F\);
- \(\nu_F(m+n)=\nu_F(m)+\nu_F(n)\);
- \(\nu_F(mn)=\nu_F(m)\nu_F(n)\);
- si \(m<n\), entonces \(\nu_F(m)<\nu_F(n)\);
- \(\nu_F\) es inyectiva y preserva y refleja el orden natural.
Demostración.
La primera igualdad es
\[ \nu_F(1)=\nu_F(S(0))=\nu_F(0)+1_F=1_F. \]
Fijemos \(m\) y demostremos (2) por inducción en \(n\). Para \(n=0\),
\[ \nu_F(m+0)=\nu_F(m)=\nu_F(m)+0_F. \]
Si vale para \(n\), entonces
\[ \begin{aligned} \nu_F(m+S(n)) &=\nu_F(S(m+n))\\ &=\nu_F(m+n)+1_F\\ &=\nu_F(m)+\nu_F(n)+1_F\\ &=\nu_F(m)+\nu_F(S(n)). \end{aligned} \]
Así se obtiene (2).
Para (3), nuevamente fijamos \(m\) e inducimos sobre \(n\). En el caso base,
\[ \nu_F(m\cdot0)=0_F=\nu_F(m)0_F. \]
Si la igualdad vale para \(n\), usando la definición recursiva del producto natural y (2),
\[ \begin{aligned} \nu_F(m\cdot S(n)) &=\nu_F(mn+m)\\ &=\nu_F(mn)+\nu_F(m)\\ &=\nu_F(m)\nu_F(n)+\nu_F(m)\\ &=\nu_F(m)(\nu_F(n)+1_F)\\ &=\nu_F(m)\nu_F(S(n)). \end{aligned} \]
Prepararemos ahora la positividad de los numerales. Por inducción, \(0\leq\nu_F(r)\) para todo \(r\in\mathbb N\): el caso \(r=0\) es reflexividad. Si \(0\leq\nu_F(r)\), de \(0<1_F\) y la invariancia estricta bajo traslación se obtiene
\[ \nu_F(r)<\nu_F(r)+1_F=\nu_F(S(r)). \]
Por transitividad con \(0\leq\nu_F(r)\), resulta \(0<\nu_F(S(r))\), y en particular \(0\leq\nu_F(S(r))\).
Si \(k\neq0\), el resultado del Capítulo 1 según el cual todo natural no nulo es sucesor da \(r\in\mathbb N\) con \(k=S(r)\). Por lo anterior,
\[ 0<\nu_F(k). \]
Probemos (4). Si \(m<n\), entonces \(m\leq n\) y \(m\neq n\). Por la definición del orden natural existe \(k\in\mathbb N\) tal que
\[ n=m+k. \]
Necesariamente \(k\neq0\), pues \(k=0\) daría \(n=m\). Por (2),
\[ \nu_F(n)=\nu_F(m)+\nu_F(k), \]
con \(0<\nu_F(k)\). La invariancia estricta por traslación produce
\[ \nu_F(m)<\nu_F(n). \]
Si \(\nu_F(m)=\nu_F(n)\) y \(m\neq n\), la totalidad del orden natural da \(m<n\) o \(n<m\), contradiciendo (4). Luego \(\nu_F\) es inyectiva.
La preservación de \(\leq\) se obtiene de \(n=m+k\) y (2), usando \(0\leq\nu_F(k)\). Para la reflexión, si \(\nu_F(m)\leq\nu_F(n)\) pero \(n<m\), (4) daría \(\nu_F(n)<\nu_F(m)\), contradicción. Por totalidad natural, debe ser \(m\leq n\). ∎
Definición 4.1.7 — Subcuerpo
Glosario: subcuerpo
Sea \(F\) un cuerpo. Un subconjunto \(K\subseteq F\) es un subcuerpo de \(F\) si:
- \(0_F,1_F\in K\);
- si \(x,y\in K\), entonces \(x+y\in K\) y \(xy\in K\);
- si \(x\in K\), entonces \(-x\in K\);
- si \(x\in K\) y \(x\neq0_F\), entonces \(x^{-1}\in K\).
Con las operaciones restringidas, \(K\) es entonces un cuerpo.
Definición 4.1.8 — Subcuerpo primo
Sea \(F\) un cuerpo. Por separación en \(\mathcal P(F)\) existe el conjunto
\[ \mathcal S_F := \{K\in\mathcal P(F):K\text{ es un subcuerpo de }F\}. \]
Como \(F\) mismo es un subcuerpo, \(\mathcal S_F\) es no vacío. Definimos
\[ \boxed{ P_F:=\bigcap_{K\in\mathcal S_F}K. } \]
Llamaremos \(P_F\) subcuerpo primo de \(F\).
Glosario: subcuerpo primo
Proposición 4.1.9 — Minimalidad del subcuerpo primo
\(P_F\) es un subcuerpo de \(F\) y está contenido en todo subcuerpo de \(F\).
Demostración.
Por definición, \(P_F\) es la intersección de todos los subcuerpos. Cada uno contiene \(0_F\) y \(1_F\), por lo que ambos pertenecen a \(P_F\).
Si \(x,y\in P_F\), entonces \(x,y\) pertenecen a todo \(K\in\mathcal S_F\). Como cada \(K\) es subcuerpo, \(x+y\), \(xy\) y \(-x\) pertenecen a todo \(K\), y por tanto a su intersección. Si además \(x\neq0_F\), entonces \(x^{-1}\) pertenece a todo \(K\) y también a \(P_F\). Así \(P_F\) satisface las condiciones de la Definición 4.1.7.
La inclusión \(P_F\subseteq K\) para cada subcuerpo \(K\) es inmediata de la definición de intersección. ∎
Corolario 4.1.10 — Los numerales naturales pertenecen al subcuerpo primo
Si \(F\) es un cuerpo ordenado, entonces
\[ \nu_F(n)\in P_F \]
para todo \(n\in\mathbb N\).
Demostración.
Como \(P_F\) es subcuerpo, contiene \(0_F\) y \(1_F\) y es cerrado bajo suma. La afirmación se sigue por inducción de
\[ \nu_F(0)=0_F, \qquad \nu_F(S(n))=\nu_F(n)+1_F. \]
∎
Teorema 4.1.11 — Todo cuerpo ordenado es densamente ordenado
Si \(x<y\) en un cuerpo ordenado \(F\), existe \(m\in F\) tal que
\[ x<m<y. \]
Demostración.
Como \(0<1\), al sumar \(1\) obtenemos \(1<1+1\); por tanto \(1+1>0\) y su inverso es positivo. Definimos
\[ m:=(x+y)(1+1)^{-1}. \]
La desigualdad \(x<y\) equivale, sumando \(x\), a
\[ (1+1)x<x+y. \]
Multiplicando por \((1+1)^{-1}>0\) obtenemos \(x<m\). De modo análogo,
\[ x+y<(1+1)y \]
y por tanto \(m<y\). ∎
Este teorema separa desde ahora dos ideas que a menudo se confunden: densidad del orden y completitud. Todo cuerpo ordenado es denso en sí mismo; \(\mathbb Q\) falla por una razón diferente.
Con §4.1 queda establecida la teoría básica de los cuerpos ordenados, sus numerales naturales, sus subcuerpos y la densidad intrínseca de su orden. La siguiente entrega será §4.2 — Valor absoluto.