Tratado de análisis — Capítulo 4: Cuerpos ordenados y el problema de la completitud
Capítulo 4 — Cuerpos ordenados y el problema de la completitud
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Parte I — Fundamentos y construcción de los reales
4.0. Del caso racional al problema estructural
El capítulo anterior terminó con una situación que conviene separar cuidadosamente en dos partes.
Por una parte, hemos construido en \(\mathbb Q\) una estructura algebraica y de orden extraordinariamente rica: es un cuerpo, su orden es total y compatible con las operaciones, entre dos racionales distintos existe siempre otro racional y la copia canónica de \(\mathbb N\) no está acotada superiormente. Por otra parte, el conjunto
\[ S_2 = \{q\in\mathbb Q:0\leq q,\ q^2<2\} \]
es no vacío y está acotado superiormente, pero no posee supremo racional.
La dificultad que obliga a pasar de \(\mathbb Q\) a \(\mathbb R\) no es, por tanto, una deficiencia de las operaciones ni una falta de densidad del orden. Es un defecto global: ciertas familias ordenadas determinan fronteras que el propio sistema no contiene.
Antes de construir esas fronteras por cortaduras o por sucesiones de Cauchy, abstraeremos la estructura que ya conocemos en \(\mathbb Q\). Esto permitirá distinguir con precisión qué propiedades pertenecen a todo cuerpo ordenado, cuáles dependen de la arquimedianidad y cuál es la propiedad adicional de completitud que los racionales no poseen.
La secuencia conceptual del capítulo será
\[ \text{cuerpo ordenado} \longrightarrow |\cdot| \longrightarrow \text{intervalos} \longrightarrow \text{arquimedianidad} \longrightarrow \text{densidad racional} \longrightarrow \text{completitud}. \]
No construiremos todavía ningún número real.
4.1. Cuerpos ordenados
Definición 4.1.1 — Cuerpo ordenado
Glosario: cuerpo ordenado
Un cuerpo ordenado es un cuerpo
\[ (F,+,\cdot,0_F,1_F) \]
provisto de un orden total \(\leq_F\) tal que, para todos \(x,y,z\in F\):
- si \(x\leq_F y\), entonces \[ x+z\leq_F y+z; \]
- si \(0_F\leq_F x\) y \(0_F\leq_F y\), entonces \[ 0_F\leq_F xy. \]
Cuando no exista riesgo de confusión omitiremos los subíndices de \(0\), \(1\), \(\leq\) y \(<\).
La primera compatibilidad expresa invariancia del orden por traslación. La segunda conecta el orden con la multiplicación. Las reglas habituales de signos no se incorporan como axiomas adicionales: serán consecuencias de estas dos condiciones y de las leyes de cuerpo.
Lema 4.1.2 — Identidades algebraicas elementales en un cuerpo
Sea \(F\) un cuerpo y sean \(x,y,r\in F\). Entonces:
- \(x0_F=0_F=0_Fx\);
- \((-x)y=-(xy)=x(-y)\) y \((-x)(-y)=xy\);
- si \(r\neq0_F\) y \(rx=ry\), entonces \(x=y\);
- si \(xy=0_F\), entonces \(x=0_F\) o \(y=0_F\).
Además, sin utilizar la disyunción del punto 4, se tiene la forma negativa constructivamente más fuerte:
\[ \boxed{ x\neq0_F\ \text{y}\ y\neq0_F \quad\Longrightarrow\quad xy\neq0_F. } \]
Demostración.
Por distributividad,
\[ x0_F=x(0_F+0_F)=x0_F+x0_F. \]
Sumando \(-(x0_F)\) a ambos miembros obtenemos \(x0_F=0_F\). La igualdad \(0_Fx=0_F\) se sigue de la conmutatividad del producto.
Además,
\[ (-x)y+xy=((-x)+x)y=0_Fy=0_F. \]
Por unicidad del opuesto aditivo, \((-x)y=-(xy)\). La identidad \(x(-y)=-(xy)\) se obtiene de manera análoga —o por conmutatividad— y, aplicándola dos veces,
\[ (-x)(-y)=-((-x)y)=-(-(xy))=xy. \]
Para la cancelación multiplicativa, supongamos \(r\neq0_F\) y \(rx=ry\). Multiplicando ambos miembros por \(r^{-1}\) y usando asociatividad,
\[ x=(r^{-1}r)x=(r^{-1}r)y=y. \]
La forma negativa del producto nulo es directa. Si \(x\neq0_F\), \(y\neq0_F\) y \(xy=0_F\), entonces
\[ y=x^{-1}(xy)=x^{-1}0_F=0_F, \]
contradicción. Por tanto \(xy\neq0_F\).
Para obtener la formulación disyuntiva 4 desde \(xy=0_F\), usamos aquí la lógica clásica ambiente: por tercero excluido, \(x=0_F\) o \(x\neq0_F\); en el segundo caso la misma multiplicación por \(x^{-1}\) da \(y=0_F\). Así
\[ xy=0_F\Longrightarrow x=0_F\lor y=0_F. \]
La dependencia clásica se concentra únicamente en esta conversión disyuntiva. La forma negativa anterior coincide con la interfaz constructivamente más robusta que emplearemos cuando no sea necesaria la disyunción. ∎
Lema 4.1.3 — Cálculo elemental de signos en un cuerpo ordenado
Sea \(F\) un cuerpo ordenado. Para \(x,y,z,r\in F\) se tienen las siguientes propiedades:
- \(x\leq y\) si y sólo si \(0\leq y-x\);
- \(x\leq y\) si y sólo si \(-y\leq -x\);
- \(0<1\);
- \(x^2\geq0\);
- si \(x>0\) y \(y>0\), entonces \(xy>0\);
- si \(x>0\), entonces \(x^{-1}>0\);
- si \(0<x<y\), entonces \[ 0<y^{-1}<x^{-1}; \]
- \(x<y\) si y sólo si \(x+z<y+z\);
- si \(r>0\), entonces \[ x<y\iff xr<yr. \]
Demostración.
Para (1), si \(x\leq y\), sumamos \(-x\) y obtenemos \(0\leq y-x\). Recíprocamente, de \(0\leq y-x\) sumamos \(x\) y obtenemos \(x\leq y\).
Para (2), de \(x\leq y\) sumamos \(-x-y\) y resulta \(-y\leq -x\); la recíproca se obtiene aplicando el mismo argumento a \(-y\leq -x\).
Probemos (3). Por totalidad, \(0\leq1\) o \(1\leq0\). Si \(1\leq0\), entonces por (2) se tiene \(0\leq-1\). La compatibilidad multiplicativa da
\[ 0\leq(-1)(-1)=1. \]
Junto con \(1\leq0\), la antisimetría produciría \(1=0\), contradiciendo la definición de cuerpo. Por tanto queda la alternativa \(0\leq1\), y como \(0\neq1\), resulta \(0<1\).
Para (4), por totalidad, \(0\leq x\) o \(x\leq0\). En el primer caso \(0\leq x^2\) por compatibilidad multiplicativa. En el segundo, (2) da \(0\leq -x\) y
\[ (-x)^2=x^2, \]
de modo que nuevamente \(0\leq x^2\).
Para (5), las hipótesis implican \(0\leq x\) y \(0\leq y\), luego \(0\leq xy\). Además \(x\neq0\) y \(y\neq0\). Si \(xy=0\), como \(x\neq0\) podemos multiplicar por \(x^{-1}\) y obtener \(y=0\), contradicción. Por tanto \(xy\neq0\) y, por definición del orden estricto, \(0<xy\). No se ha usado la disyunción clásica del Lema 4.1.2(4).
Para (6), sea \(x>0\). Por (4),
\[ 0\leq (x^{-1})^2. \]
Como \(0\leq x\) y el producto de no negativos es no negativo,
\[ 0\leq x(x^{-1})^2=x^{-1}. \]
Además \(x^{-1}\neq0\), pues de \(x^{-1}=0\) seguiría \(1=xx^{-1}=0\). Por tanto \(0<x^{-1}\).
Para (8), si \(x<y\), la compatibilidad aditiva da \(x+z\leq y+z\). La igualdad \(x+z=y+z\) implicaría \(x=y\) al sumar \(-z\), contradicción; luego \(x+z<y+z\). La recíproca se obtiene sumando \(-z\).
Para (9), sea \(r>0\). Si \(x<y\), la compatibilidad multiplicativa da \(xr\leq yr\). Si hubiera igualdad, al multiplicar por \(r^{-1}\) obtendríamos \(x=y\); luego \(xr<yr\). Recíprocamente, si \(xr<yr\), por (6) tenemos \(r^{-1}>0\). Aplicando la implicación ya demostrada al factor positivo \(r^{-1}\),
\[ (xr)r^{-1}<(yr)r^{-1}, \]
y por las leyes del cuerpo obtenemos \(x<y\).
Finalmente, si \(0<x<y\), por (6) los inversos son positivos. Aplicando (9) a \(x<y\) con el factor positivo \(x^{-1}y^{-1}\) obtenemos
\[ y^{-1}<x^{-1}. \]
La positividad de ambos inversos completa (7). ∎
Nota fundacional. La totalidad del orden se usa aquí sólo en su forma positiva \(a\leq b\lor b\leq a\). No se ha supuesto que el orden o la igualdad de un cuerpo ordenado abstracto sean decidibles.
El lema anterior es la caja de herramientas mínima para trabajar abstractamente con orden y operaciones. En particular, la positividad de \(1\) no se ha añadido a la definición: está forzada por los axiomas de cuerpo ordenado.
Proposición 4.1.4 — \(\mathbb Q\) es un cuerpo ordenado
Con la suma, el producto y el orden construidos en el capítulo anterior,
\[ (\mathbb Q,+,\cdot,0_{\mathbb Q},1_{\mathbb Q},\leq_{\mathbb Q}) \]
es un cuerpo ordenado en el sentido de la Definición 4.1.1.
Demostración.
El Teorema 3.6.8 demuestra que \((\mathbb Q,+,\cdot,0_{\mathbb Q},1_{\mathbb Q})\) es un cuerpo, y el Teorema 3.7.5 demuestra que \(\leq_{\mathbb Q}\) es un orden total.
La primera compatibilidad exigida por la Definición 4.1.1,
\[ x\leq y\Longrightarrow x+z\leq y+z, \]
es la primera parte de la Proposición 3.7.8.
Supongamos ahora \(0\leq x\) y \(0\leq y\). La segunda parte de esa misma proposición, aplicada a \(0\leq x\) con el factor no negativo \(y\), da
\[ 0\cdot y\leq xy. \]
Como el Lema 4.1.2(1) aplicado al cuerpo \(\mathbb Q\) da \(0\cdot y=0\), resulta
\[ 0\leq xy. \]
Se satisfacen exactamente las dos compatibilidades de la Definición 4.1.1. ∎
Definición 4.1.5 — Aplicación de numerales naturales en un cuerpo ordenado
Glosario: aplicación canónica de numerales naturales
Sea \(F\) un cuerpo ordenado. Por el teorema de recursión sobre \(\mathbb N\) existe una única función
\[ \nu_F:\mathbb N\to F \]
tal que
\[ \boxed{ \nu_F(0)=0_F, \qquad \nu_F(S(n))=\nu_F(n)+1_F. } \]
La llamaremos aplicación canónica de numerales naturales de \(F\).
No se está identificando \(n\in\mathbb N\) con un elemento de \(F\). La función \(\nu_F\) es precisamente el puente que permite comparar ambos sistemas.
Proposición 4.1.6 — Aritmética y orden de los numerales naturales
Para \(m,n\in\mathbb N\):
- \(\nu_F(1)=1_F\);
- \(\nu_F(m+n)=\nu_F(m)+\nu_F(n)\);
- \(\nu_F(mn)=\nu_F(m)\nu_F(n)\);
- si \(m<n\), entonces \(\nu_F(m)<\nu_F(n)\);
- \(\nu_F\) es inyectiva y preserva y refleja el orden natural.
Demostración.
La primera igualdad es
\[ \nu_F(1)=\nu_F(S(0))=\nu_F(0)+1_F=1_F. \]
Fijemos \(m\) y demostremos (2) por inducción en \(n\). Para \(n=0\),
\[ \nu_F(m+0)=\nu_F(m)=\nu_F(m)+0_F. \]
Si vale para \(n\), entonces
\[ \begin{aligned} \nu_F(m+S(n)) &=\nu_F(S(m+n))\\ &=\nu_F(m+n)+1_F\\ &=\nu_F(m)+\nu_F(n)+1_F\\ &=\nu_F(m)+\nu_F(S(n)). \end{aligned} \]
Así se obtiene (2).
Para (3), nuevamente fijamos \(m\) e inducimos sobre \(n\). En el caso base,
\[ \nu_F(m\cdot0)=0_F=\nu_F(m)0_F. \]
Si la igualdad vale para \(n\), usando la definición recursiva del producto natural y (2),
\[ \begin{aligned} \nu_F(m\cdot S(n)) &=\nu_F(mn+m)\\ &=\nu_F(mn)+\nu_F(m)\\ &=\nu_F(m)\nu_F(n)+\nu_F(m)\\ &=\nu_F(m)(\nu_F(n)+1_F)\\ &=\nu_F(m)\nu_F(S(n)). \end{aligned} \]
Prepararemos ahora la positividad de los numerales. Por inducción, \(0\leq\nu_F(r)\) para todo \(r\in\mathbb N\): el caso \(r=0\) es reflexividad. Si \(0\leq\nu_F(r)\), de \(0<1_F\) y la invariancia estricta bajo traslación se obtiene
\[ \nu_F(r)<\nu_F(r)+1_F=\nu_F(S(r)). \]
Por transitividad con \(0\leq\nu_F(r)\), resulta \(0<\nu_F(S(r))\), y en particular \(0\leq\nu_F(S(r))\).
Si \(k\neq0\), el teorema de predecesor da \(r\in\mathbb N\) con \(k=S(r)\). Por lo anterior,
\[ 0<\nu_F(k). \]
Probemos (4). Si \(m<n\), entonces por la definición del orden natural existe \(k\in\mathbb N\) tal que \(n=m+k\). Necesariamente \(k\neq0\), pues \(k=0\) daría \(n=m\). Por (2),
\[ \nu_F(n)=\nu_F(m)+\nu_F(k), \]
con \(0<\nu_F(k)\). La invariancia estricta por traslación produce
\[ \nu_F(m)<\nu_F(n). \]
Para la inyectividad, la tricotomía decidible de los naturales decide exactamente uno de los casos \(m<n\), \(m=n\), \(n<m\). Si \(\nu_F(m)=\nu_F(n)\), los dos casos estrictos contradicen (4), de modo que necesariamente \(m=n\).
La preservación de \(\leq\) se obtiene de \(n=m+k\) y (2), usando \(0\leq\nu_F(k)\). Para la reflexión, supongamos \(\nu_F(m)\leq\nu_F(n)\). La tricotomía decidible descarta \(n<m\), pues (4) produciría \(\nu_F(n)<\nu_F(m)\); por tanto \(m=n\) o \(m<n\), y en ambos casos \(m\leq n\). ∎
Definición 4.1.7 — Subcuerpo
Glosario: subcuerpo
Sea \(F\) un cuerpo. Un subconjunto \(K\subseteq F\) es un subcuerpo de \(F\) si:
- \(0_F,1_F\in K\);
- si \(x,y\in K\), entonces \(x+y\in K\) y \(xy\in K\);
- si \(x\in K\), entonces \(-x\in K\);
- si \(x\in K\) y \(x\neq0_F\), entonces \(x^{-1}\in K\).
Con las operaciones restringidas, \(K\) es entonces un cuerpo.
Definición 4.1.8 — Subcuerpo primo
Glosario: subcuerpo primo
Sea \(F\) un cuerpo. Por separación en \(\mathcal P(F)\) existe el conjunto
\[ \mathcal S_F := \{K\in\mathcal P(F):K\text{ es un subcuerpo de }F\}. \]
Como \(F\) mismo es un subcuerpo, \(\mathcal S_F\) es no vacío. Definimos
\[ \boxed{ P_F:=\bigcap_{K\in\mathcal S_F}K. } \]
Llamaremos \(P_F\) subcuerpo primo de \(F\).
Proposición 4.1.9 — Minimalidad del subcuerpo primo
\(P_F\) es un subcuerpo de \(F\) y está contenido en todo subcuerpo de \(F\).
Demostración.
Por definición, \(P_F\) es la intersección de todos los subcuerpos. Cada uno contiene \(0_F\) y \(1_F\), por lo que ambos pertenecen a \(P_F\).
Si \(x,y\in P_F\), entonces \(x,y\) pertenecen a todo \(K\in\mathcal S_F\). Como cada \(K\) es subcuerpo, \(x+y\), \(xy\) y \(-x\) pertenecen a todo \(K\), y por tanto a su intersección. Si además \(x\neq0_F\), entonces \(x^{-1}\) pertenece a todo \(K\) y también a \(P_F\). Así \(P_F\) satisface las condiciones de la Definición 4.1.7.
La inclusión \(P_F\subseteq K\) para cada subcuerpo \(K\) es inmediata de la definición de intersección. ∎
Corolario 4.1.10 — Los numerales naturales pertenecen al subcuerpo primo
Si \(F\) es un cuerpo ordenado, entonces
\[ \nu_F(n)\in P_F \]
para todo \(n\in\mathbb N\).
Demostración.
Como \(P_F\) es subcuerpo, contiene \(0_F\) y \(1_F\) y es cerrado bajo suma. La afirmación se sigue por inducción de
\[ \nu_F(0)=0_F, \qquad \nu_F(S(n))=\nu_F(n)+1_F. \]
∎
Teorema 4.1.11 — Todo cuerpo ordenado es densamente ordenado
Si \(x<y\) en un cuerpo ordenado \(F\), existe \(m\in F\) tal que
\[ x<m<y. \]
Demostración.
Como \(0<1\), al sumar \(1\) obtenemos \(1<1+1\); por tanto \(1+1>0\) y su inverso es positivo. Definimos
\[ m:=(x+y)(1+1)^{-1}. \]
La desigualdad \(x<y\) equivale, sumando \(x\), a
\[ (1+1)x<x+y. \]
Multiplicando por \((1+1)^{-1}>0\) obtenemos \(x<m\). De modo análogo,
\[ x+y<(1+1)y \]
y por tanto \(m<y\). ∎
Este teorema separa desde ahora dos ideas que a menudo se confunden: densidad del orden y completitud. Todo cuerpo ordenado es denso en sí mismo; \(\mathbb Q\) falla por una razón diferente.
4.2. Valor absoluto
El orden permite medir algebraicamente la magnitud de un elemento sin distinguir de manera permanente entre los dos signos.
Definición 4.2.1 — Valor absoluto
Glosario: valor absoluto
Sea \(F\) un cuerpo ordenado y \(x\in F\). Por totalidad,
\[ x\leq -x \qquad\text{o}\qquad -x\leq x. \]
Por tanto el conjunto finito \(\{x,-x\}\) posee un máximo; por la unicidad del máximo ese elemento es único. Definimos
\[ \boxed{ |x|:=\max\{x,-x\}. } \]
Así, por definición de máximo,
\[ \boxed{ x\leq |x| \qquad\text{y}\qquad -x\leq |x|. } \]
Nota fundacional. Esta definición usa únicamente la comparabilidad positiva del orden total. No requiere decidir entre \(x=0\), \(x>0\) y \(x<0\). Si además \(0\leq x\), entonces \(|x|=x\); si \(x\leq0\), entonces \(|x|=-x\). Las dos conclusiones coinciden cuando \(x=0\).
Proposición 4.2.2 — Propiedades elementales del valor absoluto
Para \(x,y\in F\):
- \(|x|\geq0\);
- \(|x|=0\) si y sólo si \(x=0\);
- \(|-x|=|x|\);
- \(-|x|\leq x\leq|x|\);
- \(|xy|=|x||y|\);
- para \(r\geq0\), \[ |x|\leq r \iff -r\leq x\leq r. \]
Demostración.
Por la Definición 4.2.1, \(|x|\) es el máximo de \(\{x,-x\}\).
Para (1), la totalidad da \(0\leq x\) o \(x\leq0\). En el primer caso \(0\leq x\leq|x|\). En el segundo, el Lema 4.1.3 da \(0\leq -x\leq|x|\). Luego siempre \(0\leq|x|\).
Para (4), la propiedad de máximo da directamente \(x\leq|x|\) y \(-x\leq|x|\). Invirtiendo la segunda desigualdad mediante el Lema 4.1.3 obtenemos \(-|x|\leq x\). Por tanto
\[ -|x|\leq x\leq|x|. \]
Para (2), si \(x=0\), entonces \(\{x,-x\}=\{0\}\) y \(|x|=0\). Recíprocamente, si \(|x|=0\), (4) da
\[ 0=-|x|\leq x\leq|x|=0, \]
y la antisimetría implica \(x=0\).
Para (3), los conjuntos cuyos máximos se toman son idénticos:
\[ \{-x,-(-x)\}=\{-x,x\}=\{x,-x\}. \]
Por unicidad del máximo, \(|-x|=|x|\).
Para (5), usamos sólo la comparabilidad positiva \(0\leq x\lor x\leq0\) y \(0\leq y\lor y\leq0\). Si \(0\leq x\), entonces \(|x|=x\); si \(x\leq0\), entonces \(|x|=-x\), y análogamente para \(y\).
- Si \(0\leq x\) y \(0\leq y\), entonces \(0\leq xy\) y \[ |xy|=xy=|x||y|. \]
- Si \(x\leq0\) y \(y\leq0\), entonces \(0\leq -x\) y \(0\leq -y\), y \[ xy=(-x)(-y)\geq0, \] de modo que $|xy|=xy=(-x)(-y)=|x||y|. $$
- Si \(x\leq0\leq y\), entonces \((-x)y\geq0\) y \(xy=-((-x)y)\leq0\), de modo que \[ |xy|=-xy=(-x)y=|x||y|. \]
- El caso \(y\leq0\leq x\) es simétrico.
Para (6), supongamos primero \(|x|\leq r\). Por (4),
\[ -|x|\leq x\leq|x|. \]
De \(|x|\leq r\) y la inversión del orden al tomar opuestos obtenemos \(-r\leq-|x|\), luego
\[ -r\leq x\leq r. \]
Recíprocamente, si \(-r\leq x\leq r\), entonces \(x\leq r\) y, al invertir \(-r\leq x\), también \(-x\leq r\). Como \(|x|\) es el máximo de \(x\) y \(-x\), se sigue \(|x|\leq r\). ∎
Teorema 4.2.3 — Desigualdad triangular
Glosario: desigualdad triangular
Referencia transversal: demostraciones, variantes y aplicaciones de la desigualdad triangular (MA-ART-0003).
Para \(x,y\in F\),
\[ \boxed{ |x+y|\leq|x|+|y|. } \]
Demostración.
Por la Proposición 4.2.2,
\[ -|x|\leq x\leq|x|, \qquad -|y|\leq y\leq|y|. \]
Sumando las desigualdades correspondientes,
\[ -(|x|+|y|) \leq x+y \leq |x|+|y|. \]
Como \(|x|+|y|\geq0\), el criterio de la Proposición 4.2.2(6) da
\[ |x+y|\leq|x|+|y|. \]
∎
Corolario 4.2.4 — Desigualdad triangular inversa
Glosario: desigualdad triangular inversa
Referencia transversal: desigualdad triangular inversa y su demostración.
Para \(x,y\in F\),
\[ \boxed{ \bigl||x|-|y|\bigr| \leq |x-y|. } \]
Demostración.
Por la desigualdad triangular,
\[ |x| =|(x-y)+y| \leq|x-y|+|y|, \]
luego
\[ |x|-|y|\leq|x-y|. \]
Intercambiando \(x\) e \(y\) y usando \(|y-x|=|x-y|\),
\[ |y|-|x|\leq|x-y|. \]
Por la caracterización del valor absoluto mediante dos desigualdades, se sigue el resultado. ∎
4.3. Intervalos
La notación de intervalos fue reservada desde la construcción de los enteros precisamente para este momento.
Definición 4.3.1 — Intervalos acotados
Glosario: intervalos acotados
Sean \(a,b\in F\). Definimos
\[ [a,b] := \{x\in F:a\leq x\leq b\}, \]
\[ (a,b) := \{x\in F:a<x<b\}, \]
\[ [a,b) := \{x\in F:a\leq x<b\}, \]
y
\[ (a,b] := \{x\in F:a<x\leq b\}. \]
No se impone \(a\leq b\) en la definición. Si los extremos están invertidos, las condiciones de pertenencia determinan automáticamente el conjunto correspondiente.
Proposición 4.3.2 — Habitabilidad y no vaciedad de intervalos
Para \(a,b\in F\) se tienen las equivalencias positivas
\[ \boxed{ a\leq b \iff \exists x\in F\;(x\in[a,b]), } \]
y
\[ \boxed{ a<b \iff \exists x\in F\;(x\in(a,b)). } \]
En la lógica clásica del tratado esto equivale a escribir, respectivamente,
\[ [a,b]\neq\varnothing \iff a\leq b, \]
\[ (a,b)\neq\varnothing \iff a<b. \]
Demostración.
Si \(a\leq b\), el testigo explícito \(a\) pertenece a \([a,b]\). Recíprocamente, dado un testigo \(x\in[a,b]\), tenemos \(a\leq x\leq b\), y la transitividad da \(a\leq b\).
Si \(a<b\), el Teorema 4.1.11 proporciona explícitamente un \(m\) con \(a<m<b\), luego \(m\in(a,b)\). Recíprocamente, dado \(x\in(a,b)\), la transitividad da \(a<b\). ∎
Nota fundacional. La prueba trabaja con testigos de habitabilidad. La formulación por mera desigualdad \(S\neq\varnothing\) es su envolvente clásica y no debe confundirse con la disponibilidad efectiva de un elemento de \(S\).
Proposición 4.3.3 — Intervalos centrados y valor absoluto
Glosario: intervalos centrados
Si \(a\in F\) y \(r\geq0\), entonces
\[ \boxed{ x\in[a-r,a+r] \iff |x-a|\leq r. } \]
Demostración.
Por definición,
\[ x\in[a-r,a+r] \]
si y sólo si
\[ a-r\leq x\leq a+r. \]
Sumando \(-a\) en ambas desigualdades obtenemos
\[ -r\leq x-a\leq r. \]
Como \(r\geq0\), la Proposición 4.2.2(6) equivale esta condición a \(|x-a|\leq r\). ∎
4.4. Propiedad arquimediana
En \(\mathbb Q\) demostramos que los naturales canónicos alcanzan por encima de cualquier racional. La formulación abstracta requiere primero la aplicación canónica de numerales naturales construida en §4.1.
Definición 4.4.1 — Cuerpo ordenado arquimediano
Glosario: propiedad arquimediana
Un cuerpo ordenado \(F\) es arquimediano si para todo \(x\in F\) existe \(n\in\mathbb N\) tal que
\[ \boxed{ x<\nu_F(n). } \]
Ésta es la formulación primaria y positiva de la propiedad.
En la lógica clásica del tratado equivale a afirmar que la imagen \(\nu_F[\mathbb N]\) no está acotada superiormente en \(F\). Esta equivalencia utiliza negación de cuantificadores y no se tomará como identidad constructiva entre ambas formulaciones.
Proposición 4.4.2 — Caracterización por recíprocos pequeños
Un cuerpo ordenado \(F\) es arquimediano si y sólo si para todo \(\varepsilon>0\) existe \(n\in\mathbb N\), \(n\neq0\), tal que
\[ \boxed{ 0<\nu_F(n)^{-1}<\varepsilon. } \]
Demostración.
Supongamos primero que \(F\) es arquimediano y sea \(\varepsilon>0\). Por el Lema 4.1.3, \(\varepsilon^{-1}>0\). Existe \(n\) con
\[ \varepsilon^{-1}<\nu_F(n). \]
El miembro derecho es positivo, de modo que \(n\neq0\). Al invertir la desigualdad entre positivos,
\[ 0<\nu_F(n)^{-1}<\varepsilon. \]
Recíprocamente, supongamos la propiedad de recíprocos pequeños y sea \(x\in F\). Por totalidad positiva del orden,
\[ x\leq1_F \qquad\text{o}\qquad 1_F\leq x. \]
En el primer caso, la Proposición 4.1.6 aplicada a \(1<2\) da
\[ 1_F=\nu_F(1)<\nu_F(2), \]
y por transitividad
\[ x<\nu_F(2). \]
En el segundo caso, \(0<1_F\leq x\), luego \(x>0\) y el Lema 4.1.3 da \(x^{-1}>0\). Aplicamos la hipótesis a \(\varepsilon=x^{-1}\) y obtenemos \(n\neq0\) con
\[ 0<\nu_F(n)^{-1}<x^{-1}. \]
Como ambos inversos son positivos, la inversión del orden entre positivos, demostrada en el Lema 4.1.3, produce
\[ x=(x^{-1})^{-1} < (\nu_F(n)^{-1})^{-1} = \nu_F(n). \]
En ambos casos existe un numeral estrictamente mayor que \(x\). Por tanto \(F\) es arquimediano. ∎
Proposición 4.4.3 — La formulación abstracta coincide con la arquimedianidad ya probada en \(\mathbb Q\)
Para \(F=\mathbb Q\), la aplicación \(\nu_F\) de la Definición 4.1.5 coincide con la incrustación canónica \(\nu_{\mathbb N}^{\mathbb Q}\) construida en el Capítulo 3. En consecuencia, \(\mathbb Q\) es arquimediano en el sentido de la Definición 4.4.1.
Demostración.
Ambas funciones toman \(0\) en \(0_{\mathbb Q}\). Además, para \(n\in\mathbb N\),
\[ S(n)=n+1 \]
por la definición recursiva de la suma natural. Como el Corolario 3.8.2 afirma que \(\nu_{\mathbb N}^{\mathbb Q}\) preserva suma y unidad,
\[ \begin{aligned} \nu_{\mathbb N}^{\mathbb Q}(S(n)) &=\nu_{\mathbb N}^{\mathbb Q}(n+1)\\ &=\nu_{\mathbb N}^{\mathbb Q}(n)+\nu_{\mathbb N}^{\mathbb Q}(1)\\ &=\nu_{\mathbb N}^{\mathbb Q}(n)+1_{\mathbb Q}. \end{aligned} \]
Por la unicidad del Teorema 1.3.7 — Teorema de recursión sobre \(\mathbb N\), esta función coincide con \(\nu_F\).
Finalmente, el Teorema 3.8.5 — \(\mathbb Q\) es arquimediano afirma que para todo \(q\in\mathbb Q\) existe \(n\in\mathbb N\) con
\[ q<\nu_{\mathbb N}^{\mathbb Q}(n)=\nu_F(n), \]
que es exactamente la condición de la Definición 4.4.1. ∎
4.5. Densidad de un subcuerpo
Todo cuerpo ordenado es denso en sí mismo, pero eso no dice que un subcuerpo dado sea denso en el cuerpo mayor. La arquimedianidad es justamente lo que permite demostrar que el subcuerpo generado por \(1\) penetra arbitrariamente entre dos elementos.
Teorema 4.5.1 — Densidad del subcuerpo primo en un cuerpo arquimediano
Sea \(F\) un cuerpo ordenado arquimediano. Si \(x<y\), existe \(q\in P_F\) tal que
\[ \boxed{x<q<y.} \]
Demostración.
Sea
\[ \delta:=y-x>0. \]
Como \(0<1_F+1_F\), el Lema 4.1.3 da \((1_F+1_F)^{-1}>0\). Definimos
\[ \varepsilon:=\delta(1_F+1_F)^{-1}>0. \]
Por la Proposición 4.4.2, existe \(n\in\mathbb N\), \(n\neq0\), tal que
\[ 0<\nu_F(n)^{-1}<\varepsilon. \]
Escribiremos \(N:=\nu_F(n)>0\). La desigualdad elegida implica
\[ (1_F+1_F)N^{-1}<\delta. \]
Por arquimedianidad aplicada a \(-x\), existe \(p\in\mathbb N\) con
\[ -x<\nu_F(p). \]
Por invariancia estricta bajo traslación,
\[ u:=x+\nu_F(p)>0. \]
Como \(N>0\) y \(u>0\), el Lema 4.1.3 da \(Nu>0\). Aplicando arquimedianidad a \(Nu\), existe \(k\in\mathbb N\) con
\[ Nu<\nu_F(k), \]
y en particular \(Nu\leq\nu_F(k)\). Por tanto el conjunto
\[ A:=\{k\in\mathbb N:Nu\leq\nu_F(k)\} \]
está habitado. Aplicamos ahora el Teorema 1.6.13 — Principio de buen orden: éste es el único paso esencialmente clásico de la prueba, pues la membresía de \(A\) no se ha demostrado decidible para un cuerpo ordenado abstracto. Sea \(k\) el mínimo de \(A\).
Como \(Nu>0=\nu_F(0)\), no puede ser \(k=0\). Por el Teorema 1.2.7 — Predecesor de todo natural no nulo, existe \(j\in\mathbb N\) con \(k=S(j)\). Entonces \(j<k\), de modo que la minimalidad de \(k\) implica \(j\notin A\), es decir,
\[ \neg\bigl(Nu\leq\nu_F(j)\bigr). \]
La totalidad positiva del orden da
\[ \nu_F(j)\leq Nu \qquad\text{o}\qquad Nu\leq\nu_F(j). \]
La segunda alternativa contradice \(j\notin A\), por lo que
\[ \nu_F(j)\leq Nu. \]
Como \(k=S(j)\),
\[ \nu_F(k)=\nu_F(j)+1_F, \]
y por tanto, multiplicando por \(N^{-1}>0\),
\[ \nu_F(k)N^{-1} \leq u+N^{-1}. \]
Además \(k\in A\) da
\[ u\leq\nu_F(k)N^{-1}. \]
Tomamos un sucesor adicional y definimos
\[ q:=\nu_F(S(k))N^{-1}-\nu_F(p). \]
Como \(N^{-1}>0\),
\[ u \leq \nu_F(k)N^{-1} < \nu_F(S(k))N^{-1}, \]
de modo que, restando \(\nu_F(p)\),
\[ x<q. \]
Por otra parte,
\[ \begin{aligned} \nu_F(S(k))N^{-1} &=\nu_F(k)N^{-1}+N^{-1}\\ &\leq u+(1_F+1_F)N^{-1}\\ &<u+\delta. \end{aligned} \]
Restando \(\nu_F(p)\) obtenemos
\[ q<x+\delta=y. \]
Finalmente, el Corolario 4.1.10 da \(\nu_F(S(k)),N,\nu_F(p)\in P_F\); como \(P_F\) es subcuerpo y \(N\neq0\), también \(N^{-1}\in P_F\), y por clausura bajo las operaciones \(q\in P_F\). Así \(x<q<y\). ∎
Nota fundacional. El mínimo de \(A\) es único y, por tanto, canónico una vez demostrada su existencia; esto no utiliza Choice. Sin embargo, como no disponemos de un procedimiento de decisión para \(Nu\leq\nu_F(k)\) en un cuerpo ordenado abstracto, el buen orden aplicado a \(A\) no proporciona aquí un algoritmo uniforme para localizar \(k\).
Corolario 4.5.2 — Todo subcuerpo de un cuerpo arquimediano es denso
Sea \(K\) un subcuerpo de un cuerpo ordenado arquimediano \(F\). Para cualesquiera \(x<y\) en \(F\) existe \(q\in K\) con
\[ x<q<y. \]
Demostración.
Por la Proposición 4.1.9, \(P_F\subseteq K\). El elemento \(q\in P_F\) proporcionado por el Teorema 4.5.1 pertenece entonces a \(K\). ∎
La conclusión explica una característica decisiva de los cuerpos arquimedianos: el subcuerpo primo ya es suficientemente fino para aproximar por orden a cualquier elemento del cuerpo. Esto anticipa la futura densidad de la copia de \(\mathbb Q\) en \(\mathbb R\).
4.6. Propiedad del supremo
La arquimedianidad controla el tamaño relativo de los elementos, pero no obliga a que existan fronteras internas para todos los conjuntos acotados. La propiedad que falta en \(\mathbb Q\) es más fuerte.
Definición 4.6.1 — Propiedad del supremo y cuerpo ordenado completo
Glosario: propiedad del supremo · cuerpo ordenado completo
Un cuerpo ordenado \(F\) tiene la propiedad del supremo si todo subconjunto \(A\subseteq F\) que sea
- no vacío, y
- acotado superiormente,
posee un supremo en \(F\).
Un cuerpo ordenado con esta propiedad se llamará cuerpo ordenado completo.
La palabra «completo» tendrá en esta parte del tratado este significado de orden. La definición cuantifica sobre subconjuntos arbitrarios de \(F\); en el marco ZF del tratado, esto es una condición extensional sobre la totalidad \(\mathcal P(F)\).
Nota fundacional. La afirmación \[ \forall A\subseteq F\;\exists!\sup A \] bajo las hipótesis correspondientes no proporciona por sí sola un algoritmo \(A\mapsto\sup A\). Existencia y unicidad del supremo no equivalen a computabilidad del supremo. Cuando se requiera una lectura positiva/constructiva, sustituiremos el simple predicado \(A\neq\varnothing\) por datos explícitos de habitabilidad.
Más adelante demostraremos la relación de esta completitud de orden con otras nociones de completitud cuando los conceptos necesarios hayan sido construidos.
Proposición 4.6.2 — La propiedad del supremo implica la propiedad del ínfimo
Sea \(F\) un cuerpo ordenado completo. Todo subconjunto no vacío \(A\subseteq F\) acotado inferiormente posee ínfimo.
Demostración.
Definimos, por separación dentro de \(F\),
\[ -A:=\{y\in F:\exists a\in A\;(y=-a)\}. \]
En la lectura positiva, fijado un testigo \(a_0\in A\), el elemento \(-a_0\) muestra directamente que \(-A\) está habitado. En la formulación clásica actual, esta disponibilidad de un testigo se obtiene de la no vaciedad de \(A\).
Si \(\ell\) es una cota inferior de \(A\), entonces \(\ell\leq a\) para todo \(a\in A\), y por inversión del orden,
\[ -a\leq-\ell. \]
Así \(-\ell\) es cota superior de \(-A\). Por completitud existe
\[ s:=\sup(-A). \]
Afirmamos que \(-s=\inf A\). Para todo \(a\in A\), \(-a\leq s\), luego \(-s\leq a\); por tanto \(-s\) es cota inferior de \(A\).
Sea \(c\) cualquier cota inferior de \(A\). Entonces \(-c\) es cota superior de \(-A\), de modo que
\[ s\leq-c. \]
Invirtiendo signos,
\[ c\leq-s. \]
Así \(-s\) es la mayor cota inferior de \(A\). ∎
Versión positiva. Si la hipótesis se formula directamente para un subconjunto habitado \(A\) y se proporciona un testigo \(a_0\in A\), el argumento anterior —incluida la habitabilidad de \(-A\)— es constructivamente compatible.
Teorema 4.6.3 — Todo cuerpo ordenado completo es arquimediano
Todo cuerpo ordenado completo \(F\) es arquimediano.
Demostración.
Supongamos, por contradicción, que \(F\) no es arquimediano. Negando clásicamente la condición positiva de Definición 4.4.1, obtenemos un elemento \(u\in F\) tal que para todo \(n\in\mathbb N\) no se cumple
\[ u<\nu_F(n). \]
Usando la totalidad del orden y eliminación clásica de la doble negación, esto implica
\[ \nu_F(n)\leq u \]
para todo \(n\). Por tanto la imagen
\[ N_F:=\nu_F[\mathbb N] \]
—que existe por separación como imagen directa dentro de \(F\)— está acotada superiormente. Está habitada porque contiene \(0_F\). Por completitud existe
\[ s:=\sup N_F. \]
Por el Lema 4.1.3, \(0_F<1_F\) y, al sumar \(s-1_F\), se obtiene \(s-1_F<s\). El elemento \(s-1_F\) no puede ser una cota superior de \(N_F\), pues de lo contrario sería una cota superior estrictamente menor que el supremo \(s\).
Decir que \(s-1_F\) no es cota superior es negar un universal. Por negación clásica de cuantificadores existe, por tanto, \(n\in\mathbb N\) tal que
\[ \neg\bigl(\nu_F(n)\leq s-1_F\bigr). \]
La totalidad del orden fuerza entonces
\[ s-1_F\leq\nu_F(n), \]
y la igualdad también queda excluida por la negación anterior; así
\[ s-1_F<\nu_F(n). \]
Sumando \(1_F\),
\[ s<\nu_F(n)+1_F =\nu_F(S(n)). \]
Pero \(\nu_F(S(n))\in N_F\), contradiciendo que \(s\) sea cota superior de \(N_F\). Luego \(F\) es arquimediano. ∎
Nota fundacional. La clasicidad de este teorema es esencial bajo la interfaz actual de completitud: aparece tanto al convertir la negación de arquimedianidad en una cota superior como al extraer un elemento que viola la condición de ser cota superior. No interviene ninguna forma del axioma de elección.
Corolario 4.6.4 — El subcuerpo primo es denso en todo cuerpo ordenado completo
Si \(F\) es un cuerpo ordenado completo y \(x<y\), existe \(q\in P_F\) tal que
\[ x<q<y. \]
Demostración.
El Teorema 4.6.3 da arquimedianidad y el Teorema 4.5.1 da la densidad de \(P_F\). ∎
Proposición 4.6.5 — \(\mathbb Q\) no es un cuerpo ordenado completo
El cuerpo ordenado \(\mathbb Q\) no tiene la propiedad del supremo.
Demostración.
La Proposición 3.9.8 demuestra que
\[ S_2=\{q\in\mathbb Q:0\leq q,\ q^2<2\} \]
es no vacío y está acotado superiormente. El Teorema 3.9.9 demuestra que \(S_2\) no posee supremo racional. Esto contradice exactamente la condición de la Definición 4.6.1. ∎
Tenemos ahora una formulación abstracta del defecto detectado al final del capítulo anterior: \(\mathbb Q\) es arquimediano, pero no completo.
4.7. Formulaciones equivalentes de completitud
La propiedad del supremo no es la única manera puramente ordenada de expresar que no existen huecos. En este punto ya disponemos de suficiente teoría para demostrar dos equivalencias que no requieren todavía sucesiones ni límites.
Definición 4.7.1 — Propiedad de separación
Diremos que un cuerpo ordenado \(F\) tiene la propiedad de separación si, siempre que \(A,B\subseteq F\) sean no vacíos y satisfagan
\[ a\leq b \qquad \text{para todo }a\in A,\ b\in B, \]
existe \(c\in F\) tal que
\[ a\leq c\leq b \qquad \text{para todo }a\in A,\ b\in B. \]
No llamamos todavía a \((A,B)\) una cortadura. La definición formal de cortadura de Dedekind se reservará para el capítulo siguiente.
Forma positiva auditada. Si, además de las condiciones anteriores, se suministran testigos \(a_0\in A\) y \(b_0\in B\), la propiedad se lee como una afirmación completamente positiva sobre dos conjuntos habitados. Ésta es la interfaz que utilizaremos cuando importe distinguir constructividad de mera no vaciedad clásica.
Teorema 4.7.2 — Equivalencia entre propiedad del supremo y separación
Para un cuerpo ordenado \(F\), son equivalentes:
- \(F\) tiene la propiedad del supremo;
- \(F\) tiene la propiedad de separación.
Demostración.
Supongamos primero la propiedad del supremo. Sean \(A,B\) no vacíos con \(a\leq b\) para todo \(a\in A\) y \(b\in B\). En la formulación positiva, fijemos un testigo \(b_0\in B\); en la base clásica actual este testigo se obtiene de la no vaciedad. Entonces \(b_0\) es una cota superior de \(A\), de modo que existe
\[ c:=\sup A. \]
Por definición de supremo, \(a\leq c\) para todo \(a\in A\). Además cada \(b\in B\) es cota superior de \(A\), por lo que \(c\leq b\). Así \(c\) separa \(A\) y \(B\).
Recíprocamente, supongamos la propiedad de separación. Sea \(A\subseteq F\) no vacío y acotado superiormente. Sea
\[ U:=\{u\in F:\forall a\in A\;(a\leq u)\} \]
el conjunto de cotas superiores de \(A\). La hipótesis «acotado superiormente» proporciona positivamente al menos una cota, de modo que \(U\) está habitado. Por definición,
\[ a\leq u \]
para todo \(a\in A\) y \(u\in U\). La propiedad de separación proporciona \(c\in F\) tal que
\[ a\leq c\leq u \]
para todo \(a\in A\) y \(u\in U\).
La primera desigualdad dice que \(c\) es cota superior de \(A\); la segunda, que \(c\) es menor o igual que cualquier cota superior. Por tanto
\[ c=\sup A. \]
Así \(F\) tiene la propiedad del supremo. ∎
Nota fundacional. Una vez suministrados testigos de habitabilidad para los conjuntos que el enunciado clásico llama «no vacíos», el mecanismo matemático de la equivalencia es constructivamente compatible. La única clasicidad aquí registrada procede de convertir no vaciedad negativa en datos positivos.
Definición 4.7.3 — Principio de intersección de intervalos cerrados
Diremos que un cuerpo ordenado \(F\) satisface el principio de intersección de intervalos cerrados si para todo conjunto no vacío \(I\) y toda pareja de familias
\[ (a_i)_{i\in I}, \qquad (b_i)_{i\in I} \]
de elementos de \(F\) tales que
\[ a_i\leq b_j \qquad \text{para todos }i,j\in I, \]
se tiene
\[ \boxed{ \bigcap_{i\in I}[a_i,b_i]\neq\varnothing. } \]
La hipótesis cruzada \(a_i\leq b_j\) es deliberadamente más fuerte que exigir únicamente \(a_i\leq b_i\): garantiza que todos los extremos izquierdos quedan a la izquierda de todos los extremos derechos.
Forma positiva auditada. La conclusión anterior puede expresarse sin negación como \[ \boxed{ \exists c\in F\;\forall i\in I, \quad a_i\leq c\leq b_i. } \] Si además \(I\) viene con un testigo \(i_0\in I\), esta formulación evita convertir una mera no vaciedad en un índice concreto.
Teorema 4.7.4 — Equivalencia con el principio de intersección de intervalos
Para un cuerpo ordenado \(F\), son equivalentes:
- \(F\) es completo;
- \(F\) satisface el principio de intersección de intervalos cerrados.
Demostración.
Supongamos que \(F\) es completo. Sean \(I\), \((a_i)\) y \((b_i)\) como en la Definición 4.7.3. Las imágenes
\[ A:=\{a_i:i\in I\}, \qquad B:=\{b_i:i\in I\} \]
existen por separación dentro de \(F\). En la forma positiva, un testigo \(i_0\in I\) produce directamente \(a_{i_0}\in A\) y \(b_{i_0}\in B\). La hipótesis cruzada implica \(a\leq b\) para todo \(a\in A\) y \(b\in B\). Por el Teorema 4.7.2 existe \(c\in F\) con
\[ a_i\leq c\leq b_i \]
para todo \(i\in I\). Por tanto
\[ c\in\bigcap_{i\in I}[a_i,b_i]. \]
Recíprocamente, supongamos el principio de intersección. Para demostrar completitud basta, por el Teorema 4.7.2, demostrar la propiedad de separación. Sean \(A,B\subseteq F\) no vacíos con \(a\leq b\) para todos \(a\in A\) y \(b\in B\).
En la forma positiva, fijemos testigos \(a_0\in A\) y \(b_0\in B\). Entonces
\[ I:=A\times B \]
está habitado por \((a_0,b_0)\). Para \(i=(a,b)\in I\) definimos
\[ \alpha_i:=a, \qquad \beta_i:=b. \]
Si \(i=(a,b)\) y \(j=(a',b')\), la hipótesis de separación da
\[ \alpha_i=a\leq b'=\beta_j. \]
Por el principio de intersección existe
\[ c\in\bigcap_{i\in I}[\alpha_i,\beta_i]. \]
Para cada \(a\in A\), el índice \((a,b_0)\in I\) da \(a\leq c\); para cada \(b\in B\), el índice \((a_0,b)\in I\) da \(c\leq b\). Así \(c\) separa \(A\) y \(B\).
Por el Teorema 4.7.2, \(F\) es completo. ∎
Nota fundacional. La prueba no construye una función de elección sobre una familia. Sólo utiliza los testigos globales de habitabilidad de \(I\) o de \(A,B\). En la formulación original por «no vacío», la obtención de esos testigos pertenece a la lógica clásica ambiente.
Corolario 4.7.5 — Cuatro formulaciones de completitud disponibles en esta etapa
Para un cuerpo ordenado \(F\), son equivalentes en el desarrollo actual:
- todo subconjunto no vacío y acotado superiormente posee supremo;
- todo subconjunto no vacío y acotado inferiormente posee ínfimo;
- \(F\) tiene la propiedad de separación;
- \(F\) satisface el principio de intersección de intervalos cerrados de la Definición 4.7.3.
Demostración.
Las equivalencias entre \(1\), \(3\) y \(4\) son los Teoremas 4.7.2 y 4.7.4. La Proposición 4.6.2 da \((1)\Rightarrow(2)\).
Para probar \((2)\Rightarrow(1)\), supongamos que todo subconjunto no vacío y acotado inferiormente posee ínfimo. Sea \(A\subseteq F\) no vacío y acotado superiormente. Entonces
\[ -A=\{-a:a\in A\} \]
es no vacío y está acotado inferiormente: si \(u\) es una cota superior de \(A\), entonces \(-u\leq-a\) para todo \(a\in A\). Existe, pues,
\[ t:=\inf(-A). \]
Para todo \(a\in A\), \(t\leq-a\), luego \(a\leq-t\); así \(-t\) es cota superior de \(A\). Si \(v\) es otra cota superior de \(A\), entonces \(-v\) es cota inferior de \(-A\), por lo que \(-v\leq t\), y al invertir signos obtenemos \(-t\leq v\). Por tanto
\[ -t=\sup A. \]
Así \(2\) implica \(1\), y las cuatro condiciones son equivalentes. ∎
No incluimos todavía equivalencias formuladas mediante sucesiones monótonas, sucesiones de Cauchy o convergencia de intervalos encajados con longitudes tendiendo a cero. Esas formulaciones exigen conceptos que aún no han sido construidos y serán incorporadas en el momento deductivamente correcto.
4.8. Programa de completación de \(\mathbb Q\)
Ya podemos expresar con precisión el objetivo de las dos construcciones siguientes.
Definición 4.8.1 — Incrustación de cuerpos ordenados
Sean \(F\) y \(E\) cuerpos ordenados. Una función
\[ \iota:F\to E \]
es una incrustación de cuerpos ordenados si es inyectiva y, para todos \(x,y\in F\),
\[ \iota(0_F)=0_E, \qquad \iota(1_F)=1_E, \]
\[ \iota(x+y)=\iota(x)+\iota(y), \]
\[ \iota(xy)=\iota(x)\iota(y), \]
y
\[ x\leq_F y \iff \iota(x)\leq_E\iota(y). \]
Definición 4.8.2 — Completación ordenada de \(\mathbb Q\)
Una completación ordenada de \(\mathbb Q\) es un par \((E,\iota)\) tal que:
- \(E\) es un cuerpo ordenado completo;
- \(\iota:\mathbb Q\to E\) es una incrustación de cuerpos ordenados.
No exigimos separadamente que \(\iota[\mathbb Q]\) sea denso: demostraremos que esa propiedad se sigue de las condiciones anteriores.
Proposición 4.8.3 — La imagen racional de una completación es densa
Sea \((E,\iota)\) una completación ordenada de \(\mathbb Q\). Entonces, para cualesquiera \(x<y\) en \(E\), existe \(q\in\mathbb Q\) tal que
\[ \boxed{ x<\iota(q)<y. } \]
Demostración.
Como \(E\) es completo, el Teorema 4.6.3 implica —clásicamente bajo la interfaz actual— que es arquimediano. La imagen
\[ K:=\iota[\mathbb Q] \]
es un subcuerpo de \(E\). Contiene \(0_E\) y \(1_E\) y es cerrado bajo suma y producto por la Definición 4.8.1. Si \(z=\iota(q)\in K\), entonces
\[ \iota(q)+\iota(-q)=\iota(q-q)=\iota(0)=0_E, \]
de modo que, por unicidad del opuesto aditivo, \(\iota(-q)=-\iota(q)\) y \(K\) es cerrado bajo opuestos.
Para la clausura bajo inversos, sea ahora \(z=\iota(q)\in K\) con \(z\neq0_E\). Entonces \(q\neq0_{\mathbb Q}\), pues \(q=0_{\mathbb Q}\) implicaría \(z=\iota(0_{\mathbb Q})=0_E\). Por tanto \(q^{-1}\) existe y
\[ \iota(q)\iota(q^{-1}) = \iota(qq^{-1}) =1_E. \]
Por unicidad del inverso multiplicativo, \(\iota(q^{-1})=\iota(q)^{-1}\). Así \(K\) satisface todas las condiciones de subcuerpo. Por el Corolario 4.5.2, todo subcuerpo de un cuerpo arquimediano es denso. Por tanto existe \(z\in K\) con
\[ x<z<y. \]
Como \(z\in\iota[\mathbb Q]\), existe \(q\in\mathbb Q\) con \(z=\iota(q)\). ∎
Nota fundacional. La densidad racional de una completación es un teorema válido del tratado clásico, no una consecuencia constructiva de la mera definición actual de completitud. Tampoco se afirma aquí un procedimiento efectivo para calcular, a partir de \(x<y\), un racional intermedio.
La definición anterior fija el blanco estructural. Los capítulos siguientes producirán dos objetos concretos distintos:
\[ (\mathbb R_D,\iota_D) \]
mediante cortaduras de Dedekind, y
\[ (\mathbb R_C,\iota_C) \]
mediante clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy racionales.
Cada construcción deberá demostrar, sin importar resultados de la otra:
- existencia del conjunto subyacente;
- operaciones bien definidas;
- estructura de cuerpo ordenado;
- existencia de supremos para todos los subconjuntos no vacíos y acotados superiormente;
- incrustación canónica de \(\mathbb Q\).
Sólo después compararemos ambos modelos y demostraremos que representan la misma estructura pertinente hasta isomorfismo ordenado de cuerpos que fija la copia racional.
La diferencia entre las dos estrategias puede resumirse así:
\[ \boxed{ \begin{aligned} \text{Dedekind:}&\quad \text{añadir fronteras de orden},\\ \text{Cauchy:}&\quad \text{añadir límites de aproximaciones racionales}. \end{aligned} } \]
4.9. Qué hemos establecido
En este capítulo no hemos construido todavía \(\mathbb R\). Hemos aislado la estructura que una construcción de los reales deberá satisfacer.
Partiendo de la noción de cuerpo ordenado, construimos la aplicación canónica
\[ \nu_F:\mathbb N\to F \]
y demostramos que preserva la aritmética y el orden de los naturales. Introdujimos el subcuerpo primo \(P_F\) y demostramos que todo cuerpo ordenado es denso en sí mismo.
El valor absoluto quedó definido y satisface las desigualdades fundamentales, incluida
\[ |x+y|\leq|x|+|y|. \]
La notación de intervalos quedó activada formalmente, después de haber sido reservada desde capítulos anteriores.
La propiedad arquimediana se formuló primariamente mediante la condición positiva \(\forall x\,\exists n\;(x<\nu_F(n))\); en lógica clásica se identificó además con la no acotación superior de los numerales. Se caracterizó por la existencia de recíprocos positivos arbitrariamente pequeños. En un cuerpo arquimediano, el subcuerpo primo es denso, aunque la prueba abstracta de esta densidad conserva una dependencia clásica en el buen orden de un subconjunto arbitrario de \(\mathbb N\).
La completitud quedó definida por la propiedad del supremo y se demostraron tres hechos estructurales decisivos:
\[ \text{completo} \Longrightarrow \text{arquimediano} \Longrightarrow \text{subcuerpo primo denso}, \]
mientras que
\[ \mathbb Q \]
es arquimediano pero no completo.
Finalmente, la propiedad del supremo quedó caracterizada, en la base clásica del tratado, mediante separación e intersección de intervalos cerrados; se registraron también sus formas positivas con datos de habitabilidad. Se fijó formalmente qué entenderemos por una completación ordenada de \(\mathbb Q\), distinguiendo completitud extensional de cualquier pretensión algorítmica de calcular supremos.
4.10. Notas bibliográficas
Este capítulo no importa ningún teorema externo. Las demostraciones son internas al desarrollo del tratado.
- Landau permanece como contraste para la disciplina axiomática de los sistemas numéricos y la transición hacia los reales.
- Tao sirve como contraste para la estructura de cuerpos ordenados, arquimedianidad y propiedad del supremo.
- Garling orienta especialmente la continuidad entre cuerpos ordenados completos y el análisis real posterior.
- Conway será la referencia arquitectónica principal para la construcción de Dedekind que comienza en el capítulo siguiente.
4.11. Hacia las cortaduras de Dedekind
El problema queda ahora formulado con precisión. Sabemos qué significa que un cuerpo ordenado sea completo, sabemos que la completitud fuerza la arquimedianidad y sabemos que \(\mathbb Q\), aun siendo arquimediano y denso, no satisface la propiedad del supremo.
El paso siguiente no consistirá en suponer un cuerpo ordenado completo que contenga a \(\mathbb Q\), sino en construirlo. La primera construcción realizará literalmente la intuición que dejó abierta el conjunto \(S_2\): cuando una frontera racional no pertenece a \(\mathbb Q\), tomaremos como nuevo objeto la totalidad de los racionales que quedan a uno de sus lados.
Esto conduce a las cortaduras de Dedekind. Cada real será construido como cierto subconjunto de \(\mathbb Q\), y las operaciones, el orden y la completitud deberán obtenerse a partir de esa representación, sin presuponer en ningún punto la existencia previa de \(\mathbb R\).
El objetivo del capítulo siguiente será, por tanto,
\[ \boxed{ \mathbb Q \longrightarrow \text{cortaduras de Dedekind} \longrightarrow \mathbb R_D \longrightarrow \text{cuerpo ordenado completo}. } \]
Sólo una vez concluida esta construcción emprenderemos, de manera independiente, la vía de las sucesiones de Cauchy y compararemos ambos modelos.