Tratado de análisis — Capítulo 5: Cortaduras de Dedekind
Capítulo 5 — Cortaduras de Dedekind
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Parte I — Fundamentos y construcción de los números reales
5.0. Convertir una frontera en un objeto
El capítulo anterior aisló con precisión la deficiencia de \(\mathbb Q\). Los racionales forman un cuerpo ordenado arquimediano y densamente ordenado, pero no son completos: existen subconjuntos no vacíos y acotados superiormente que carecen de supremo racional. El ejemplo conductor fue
\[ S_2=\{q\in\mathbb Q:0_{\mathbb Q}\leq q,\ q^2<2_{\mathbb Q}\}. \]
El problema no es que falten racionales entre racionales. El problema es que ciertas regiones inferiores del orden racional determinan fronteras que no están representadas por ningún racional.
La idea de Dedekind consiste en cambiar el tipo de objeto que representará una posición numérica. En vez de buscar primero un punto nuevo que ocupe una frontera, tomaremos como objeto todo el lado inferior de la frontera. Así, una nueva posición quedará codificada por los racionales que se encuentran estrictamente por debajo de ella.
Esta estrategia tiene una ventaja fundacional decisiva: no presupone la existencia de números reales para construirlos. Los únicos objetos de partida serán racionales, subconjuntos de \(\mathbb Q\) y relaciones ya construidas sobre \(\mathbb Q\).
Para evitar objetos patológicos exigiremos cuatro condiciones. El lado inferior deberá ser no vacío y propio, deberá contener todo racional situado por debajo de cualquiera de sus elementos y no deberá poseer un elemento máximo.
La construcción de este capítulo seguirá la cadena
\[ \mathbb Q \longrightarrow \text{cortaduras} \longrightarrow \mathbb R_D \longrightarrow \text{orden por inclusión} \longrightarrow \iota_D:\mathbb Q\to\mathbb R_D. \]
No adoptaremos en ningún momento, antes de demostrar la correspondiente incrustación, una identificación conjuntista de la forma
\[ \mathbb Q\subseteq\mathbb R_D. \]
Los racionales y las cortaduras son objetos construidos de manera diferente. Su relación será establecida mediante una función canónica.
Tampoco definiremos todavía suma ni producto de cortaduras. Al terminar este capítulo, \(\mathbb R_D\) será un conjunto totalmente ordenado que contiene una copia ordenada propia de \(\mathbb Q\), pero aún no habremos demostrado que sea un cuerpo ordenado ni que sea completo.
5.1. Definición y existencia de las cortaduras
Definición 5.1.1 — Cortadura de Dedekind
Una cortadura de Dedekind es un subconjunto \(\alpha\subseteq\mathbb Q\) que satisface las cuatro condiciones siguientes:
- no vaciedad: \[ \alpha\neq\varnothing; \]
- propiedad: \[ \alpha\neq\mathbb Q; \]
- clausura inferior: si \(r\in\alpha\) y \(s<r\), entonces \(s\in\alpha\);
- ausencia de máximo: para todo \(r\in\alpha\) existe \(s\in\alpha\) tal que \[ r<s. \]
La primera condición es necesaria porque el conjunto vacío satisfaría vacuamente la clausura inferior y la ausencia de máximo. La segunda excluye a \(\mathbb Q\) mismo, que también es cerrado hacia abajo y, por densidad, carece de máximo.
La tercera condición expresa que una cortadura contiene con cada racional todos los racionales situados por debajo de él. La cuarta garantiza que el lado inferior no posee un último racional.
Conviene distinguir esta última propiedad de la ausencia de cota superior. Una cortadura puede estar acotada superiormente en \(\mathbb Q\) y, sin embargo, no poseer máximo. Lo que excluimos es un último elemento del propio lado inferior.
Finalmente, la condición
\[ \forall r\in\alpha\;\exists s\in\alpha\;(r<s) \]
no exige escoger simultáneamente un \(s\) para cada \(r\). Es una afirmación puramente existencial y no utiliza el axioma de elección.
Nota fundacional. La definición anterior es la definición clásica que utilizaremos en el tratado. Sus dos primeras condiciones están formuladas negativamente: \[ \alpha\neq\varnothing, \qquad \alpha\neq\mathbb Q. \] En lógica clásica permiten obtener, cuando una demostración lo necesita, un testigo interior \(a\in\alpha\) y un testigo exterior \(u\in\mathbb Q\setminus\alpha\). Constructivamente deben distinguirse: \[ \boxed{ \alpha\neq\varnothing\;\not\equiv\;\exists a\in\alpha, \qquad \alpha\neq\mathbb Q\;\not\equiv\;\exists u\notin\alpha. } \] No modificaremos aquí la noción clásica de cortadura. Más adelante, en la capa constructiva/efectiva, se aislarán datos positivos como habitabilidad interior/exterior y localización (locatedness).
Proposición 5.1.2 — Existencia del conjunto de todas las cortaduras
Existe un conjunto cuyos elementos son exactamente las cortaduras de Dedekind de \(\mathbb Q\).
Demostración.
Como \(\mathbb Q\) es un conjunto, el axioma del conjunto potencia proporciona \(\mathcal P(\mathbb Q)\).
Para \(\alpha\in\mathcal P(\mathbb Q)\), sea \(\Phi(\alpha)\) la fórmula
\[ \begin{aligned} \Phi(\alpha)\iff{}& \alpha\neq\varnothing \ \land\\ \alpha\neq\mathbb Q\\ &\land\\ \forall r\in\alpha\;\forall s\in\mathbb Q\,(s<r\Rightarrow s\in\alpha)\\ &\land\\ \forall r\in\alpha\;\exists s\in\alpha\,(r<s). \end{aligned} \]
Por Separación existe entonces
\[ \mathcal D := \{\alpha\in\mathcal P(\mathbb Q):\Phi(\alpha)\}. \]
Por construcción, los elementos de \(\mathcal D\) son exactamente las cortaduras de Dedekind.
Es importante que la definición se realice dentro del conjunto ambiente \(\mathcal P(\mathbb Q)\). No hemos apelado a una colección irrestricta de todos los objetos que satisfacen cierta propiedad. ∎
Nota fundacional. La construcción de \(\mathbb R_D\) es extensional y perfectamente determinada en ZF: \[ \mathbb R_D=\{\alpha\in\mathcal P(\mathbb Q):\Phi(\alpha)\}. \] Pero conjunto potencia + Separación producen la totalidad clásica de todas las cortaduras; no proporcionan una codificación finita, una enumeración efectiva ni un procedimiento uniforme para decidir, dada una cortadura arbitraria \(\alpha\) y un racional \(q\), si \(q\in\alpha\).
Definición 5.1.3 — Conjunto subyacente del modelo de Dedekind
Definimos
\[ \boxed{ \mathbb R_D:=\mathcal D. } \]
Equivalentemente,
\[ \mathbb R_D = \{\alpha\subseteq\mathbb Q:\alpha\text{ es una cortadura de Dedekind}\}. \]
Un elemento de \(\mathbb R_D\) será llamado real de Dedekind o, cuando queramos recordar su representación concreta, simplemente cortadura.
Esta terminología no anticipa todavía estructura algebraica ni completitud. En esta etapa sólo hemos construido el conjunto subyacente del modelo.
5.2. Cortaduras determinadas por racionales
Hemos construido \(\mathbb R_D\) como un conjunto de ciertos subconjuntos de \(\mathbb Q\), pero todavía no hemos establecido ninguna relación formal entre los racionales y los elementos de este nuevo conjunto.
Si \(q\in\mathbb Q\), el candidato natural es el conjunto formado por todos los racionales estrictamente menores que \(q\). Ese conjunto representa, dentro del orden racional, todo el lado situado por debajo de la posición de \(q\).
Es importante mantener separados los dos objetos. El racional \(q\) y el conjunto de racionales menores que \(q\) no son el mismo objeto. El segundo será una cortadura que representará posteriormente a \(q\) dentro del modelo de Dedekind.
Definición 5.2.1 — Sección inferior determinada por un racional
Sea \(q\in\mathbb Q\). Definimos la sección inferior determinada por \(q\) mediante
\[ \boxed{ \delta_q := \{r\in\mathbb Q:r<q\}. } \]
Este conjunto existe por Separación aplicada a \(\mathbb Q\), pues la condición \(r<q\) se expresa mediante el orden racional ya construido.
La definición no afirma todavía que \(\delta_q\in\mathbb R_D\). Para ello debemos verificar las cuatro condiciones de Definición 5.1.1 — Cortadura de Dedekind.
Obsérvese además que
\[ q\notin\delta_q, \]
pues \(q<q\) es falso por irreflexividad del orden estricto.
Como la comparación racional es decidible (Proposición 3.7.6 — Tricotomía decidible de los racionales), para \(q\) fijo también lo es la membresía: \[ \boxed{ r\in\delta_q\iff r<q. } \] Así, las cortaduras racionales poseen una presentación efectiva particularmente simple; esto no se extiende automáticamente a una cortadura arbitraria de \(\mathbb R_D\).
Proposición 5.2.2 — Toda sección racional es una cortadura
Para todo \(q\in\mathbb Q\),
\[ \boxed{ \delta_q\in\mathbb R_D. } \]
Demostración.
Sea \(q\in\mathbb Q\). Verificamos las cuatro condiciones de Definición 5.1.1 — Cortadura de Dedekind.
No vaciedad. Como \(\mathbb Q\) es un cuerpo ordenado por Proposición 4.1.4 — \(\mathbb Q\) es un cuerpo ordenado, Lema 4.1.3 — Cálculo elemental de signos en un cuerpo ordenado proporciona
\[ 0_{\mathbb Q}<1_{\mathbb Q}. \]
Invirtiendo el signo obtenemos
\[ -1_{\mathbb Q}<0_{\mathbb Q}, \]
y trasladando por \(q\),
\[ q-1_{\mathbb Q}<q. \]
Por tanto
\[ q-1_{\mathbb Q}\in\delta_q, \]
y \(\delta_q\neq\varnothing\).
Propiedad. Por irreflexividad,
\[ q\not<q. \]
Así
\[ q\notin\delta_q. \]
Como \(q\in\mathbb Q\), se sigue que
\[ \delta_q\neq\mathbb Q. \]
Clausura inferior. Si \(r\in\delta_q\) y \(s<r\), entonces \(r<q\), de modo que
\[ s<r<q. \]
Por transitividad,
\[ s<q, \]
y por tanto \(s\in\delta_q\).
Ausencia de máximo. Sea \(r\in\delta_q\). Entonces \(r<q\). Como todo cuerpo ordenado es densamente ordenado, Teorema 4.1.11 — Todo cuerpo ordenado es densamente ordenado proporciona \(s\in\mathbb Q\) tal que
\[ r<s<q. \]
Entonces \(s\in\delta_q\) y \(r<s\). Por tanto \(\delta_q\) no posee máximo.
Se cumplen las cuatro condiciones de Definición 5.1.1 — Cortadura de Dedekind. Por Definición 5.1.3 — Conjunto subyacente del modelo de Dedekind,
\[ \boxed{ \delta_q\in\mathbb R_D. } \]
∎
La proposición anterior proporciona para cada racional \(q\) un elemento bien determinado de \(\mathbb R_D\). Pero todavía debemos resistir una abreviatura tentadora:
\[ q\neq\delta_q \]
como objetos de nuestra construcción. El miembro izquierdo es un racional construido como clase de equivalencia; el miembro derecho es un subconjunto de \(\mathbb Q\).
Lo que hemos establecido es la asignación
\[ q\longmapsto\delta_q. \]
Más adelante demostraremos que esta asignación es una función inyectiva que preserva y refleja el orden. Antes conviene responder una cuestión aún más fundamental: ¿toda cortadura es alguna \(\delta_q\)?
5.3. Una cortadura que no proviene de ningún racional
Las secciones \(\delta_q\) muestran que todo racional determina una cortadura. Pero eso no demuestra todavía que \(\mathbb R_D\) sea una ampliación genuina de \(\mathbb Q\). Podría ocurrir, en principio, que toda cortadura fuera de la forma
\[ \delta_q=\{r\in\mathbb Q:r<q\}. \]
El conjunto \(S_2\) construido en el Capítulo 3 proporciona precisamente el contraejemplo que necesitamos:
\[ S_2 = \{q\in\mathbb Q:0_{\mathbb Q}\leq q\ \text{y}\ q^2<2_{\mathbb Q}\}. \]
Sabemos que \(S_2\) es no vacío y está acotado superiormente, pero no posee supremo en \(\mathbb Q\). Sin embargo, \(S_2\) por sí solo no es la forma adecuada de una cortadura: sólo contiene racionales no negativos. Una sección inferior asociada a una frontera positiva debe contener también todos los racionales negativos.
Esto sugiere completar \(S_2\) hacia abajo.
Definición 5.3.1 — Cortadura cuadrática asociada a \(2\)
Definimos
\[ \boxed{ \alpha_2 := \{q\in\mathbb Q:q<0_{\mathbb Q}\ \text{o}\ q\in S_2\}. } \]
El conjunto existe por Separación sobre \(\mathbb Q\).
Utilizando la definición de \(S_2\), podemos escribir equivalentemente
\[ \alpha_2 = \left\{ q\in\mathbb Q: q<0_{\mathbb Q} \ \text{o}\\ \bigl(0_{\mathbb Q}\leq q\ \text{y}\ q^2<2_{\mathbb Q}\bigr) \right\}. \]
No hemos introducido ningún número llamado \(\sqrt2\). El objeto \(\alpha_2\) está definido enteramente mediante racionales y relaciones ya construidas.
Además, la pertenencia a \(\alpha_2\) es decidible sobre nombres racionales. En efecto, Proposición 3.7.6 — Tricotomía decidible de los racionales permite decidir el signo de \(q\), y la aritmética y el orden de \(\mathbb Q\) permiten decidir \(q^2<2\). Por tanto \[ \boxed{ q\in\alpha_2 } \] es un predicado decidible para cada \(q\in\mathbb Q\). La futura dificultad efectiva de la construcción de Dedekind no reside en esta cortadura concreta, sino en la totalidad de todas las cortaduras.
Proposición 5.3.2 — \(\alpha_2\) es una cortadura de Dedekind
Se tiene
\[ \boxed{ \alpha_2\in\mathbb R_D. } \]
Demostración.
Verificaremos directamente las cuatro condiciones de Definición 5.1.1 — Cortadura de Dedekind.
Habitabilidad. Se tiene \(0_{\mathbb Q}\in\alpha_2\), pues
\[ 0_{\mathbb Q}\leq0_{\mathbb Q}, \qquad 0_{\mathbb Q}^2=0_{\mathbb Q}<2_{\mathbb Q}. \]
En particular, \(\alpha_2\neq\varnothing\).
Propiedad. El racional \(2_{\mathbb Q}\) no pertenece a \(\alpha_2\): es positivo y
\[ 2_{\mathbb Q}^2=4_{\mathbb Q}\not<2_{\mathbb Q}. \]
Por tanto \(\alpha_2\neq\mathbb Q\).
Clausura inferior. Sean \(q\in\alpha_2\) y \(r<q\). Si \(q<0_{\mathbb Q}\), entonces \(r<0_{\mathbb Q}\) y \(r\in\alpha_2\). Supongamos ahora
\[ 0_{\mathbb Q}\leq q, \qquad q^2<2_{\mathbb Q}. \]
La comparación racional decidible Proposición 3.7.6 — Tricotomía decidible de los racionales permite separar \(r<0\) de \(0\leq r\). En el primer caso \(r\in\alpha_2\). En el segundo,
\[ 0\leq r<q, \]
y la estricta monotonía del cuadrado sobre los racionales no negativos (Lema 3.9.6 — Estricta monotonía del cuadrado en los racionales no negativos) da
\[ r^2<q^2<2. \]
Luego \(r\in\alpha_2\).
Ausencia de máximo. Sea \(q\in\alpha_2\). Si \(q<0\), la densidad racional proporciona \(r\) con
\[ q<r<0, \]
y entonces \(r\in\alpha_2\).
Supongamos ahora \(0\leq q\) y \(q^2<2\). Definimos
\[ d:=2-q^2>0, \qquad h:=\frac{d}{2(2q+1)}>0, \qquad r:=q+h. \]
Como \(q\geq0\), tenemos \(2(2q+1)\geq2\) y, puesto que \(0<d\leq2\), resulta \(0<h\leq1\). En particular,
\[ h^2\leq h. \]
Por tanto
\[ 2qh+h^2 \leq (2q+1)h = \frac d2 <d. \]
Así,
\[ r^2 =(q+h)^2 =q^2+2qh+h^2 <q^2+d =2. \]
Además \(q<r\) y \(0<r\), de modo que \(r\in\alpha_2\). Por consiguiente \(\alpha_2\) no posee máximo.
Se cumplen las cuatro condiciones de Definición 5.1.1 — Cortadura de Dedekind; por Definición 5.1.3 — Conjunto subyacente del modelo de Dedekind,
\[ \boxed{\alpha_2\in\mathbb R_D.} \]
∎
La demostración es completamente local: ya no depende de la inexistencia de un supremo racional para \(S_2\).
Proposición 5.3.3 — \(\alpha_2\) no es una cortadura racional
No existe \(a\in\mathbb Q\) tal que
\[ \boxed{ \alpha_2=\delta_a. } \]
Demostración.
Sea \(a\in\mathbb Q\). Demostraremos directamente que \(\alpha_2\neq\delta_a\).
Si \(a\leq0\), entonces \(0\in\alpha_2\), mientras que
\[ 0\notin\delta_a, \]
pues \(0<a\) es falso.
Supongamos ahora \(0<a\). Por la decidibilidad del orden racional aplicada a \(a^2\) y \(2\), y por Teorema 3.9.5 — No existe una raíz cuadrada racional de \(2\), que excluye \(a^2=2\), quedan exactamente dos posibilidades.
Caso 1: \(a^2<2\). Entonces \(a\in\alpha_2\), pero por irreflexividad
\[ a\notin\delta_a. \]
Caso 2: \(2<a^2\). Pongamos
\[ d:=a^2-2>0, \qquad h:=\frac{d}{2(2a+1)}>0, \qquad b:=a-h. \]
Como
\[ d=a^2-2<a^2<a(2a+1), \]
obtenemos \(h<a/2<a\), de modo que
\[ 0<b<a. \]
Además
\[ 2ah=\frac{ad}{2a+1}<d. \]
Por tanto
\[ b^2 =(a-h)^2 =a^2-2ah+h^2 >a^2-d =2. \]
Así \(b<a\), luego \(b\in\delta_a\), pero \(b>0\) y \(b^2>2\), por lo que \(b\notin\alpha_2\).
En todos los casos existe un racional que distingue \(\alpha_2\) de \(\delta_a\). Como \(a\) era arbitrario,
\[ \boxed{ \forall a\in\mathbb Q,\qquad \alpha_2\neq\delta_a. } \]
∎
La no racionalidad de \(\alpha_2\) queda así reducida a la irracionalidad racional de \(\sqrt2\) y a perturbaciones racionales explícitas; no utiliza teoría de supremos.
5.4. El orden de Dedekind
Hasta ahora hemos tratado las cortaduras principalmente como subconjuntos de \(\mathbb Q\). Si han de desempeñar el papel de números, necesitamos poder compararlas.
La propia forma de la construcción sugiere cómo hacerlo. Una cortadura registra todos los racionales situados por debajo de cierta frontera. Si otra cortadura alcanza más lejos hacia la derecha, entonces todo racional que pertenece a la primera deberá pertenecer también a la segunda.
La comparación natural es, por tanto, la inclusión.
Definición 5.4.1 — Orden de Dedekind
Sean \(\alpha,\beta\in\mathbb R_D\). Definimos
\[ \boxed{ \alpha\leq_D\beta \quad\Longleftrightarrow\quad \alpha\subseteq\beta. } \]
La relación \(\leq_D\) se denominará orden de Dedekind.
La inclusión ordena parcialmente cualquier familia de conjuntos, pero en general no la ordena totalmente. Dos subconjuntos arbitrarios pueden ser incomparables. Lo especial de las cortaduras es que su clausura hacia abajo, combinada con la totalidad del orden racional, impide que se crucen.
Teorema 5.4.2 — La inclusión ordena totalmente las cortaduras
La relación \(\leq_D\) es un orden total sobre \(\mathbb R_D\).
Demostración.
La reflexividad y la transitividad proceden directamente de las correspondientes propiedades de la inclusión. La antisimetría se sigue del criterio extensional por doble inclusión Teorema 0.2.4 — Criterio extensional por doble inclusión.
Queda demostrar la totalidad.
Sean \(\alpha,\beta\in\mathbb R_D\). Por lógica clásica, o bien
\[ \alpha\subseteq\beta, \]
o bien
\[ \alpha\not\subseteq\beta. \]
En el primer caso, \(\alpha\leq_D\beta\).
Supongamos entonces \(\alpha\not\subseteq\beta\). Existe \(a\in\alpha\) tal que
\[ a\notin\beta. \]
Demostraremos que \(\beta\subseteq\alpha\).
Sea \(b\in\beta\). Como el orden racional es total, tenemos
\[ b\leq a \qquad\text{o}\qquad a\leq b. \]
Si \(a\leq b\), no puede ser \(a=b\), pues \(b\in\beta\) y \(a\notin\beta\). Por tanto \(a<b\). Como \(b\in\beta\) y \(\beta\) es cerrada hacia abajo, se seguiría \(a\in\beta\), contradicción.
Debe cumplirse entonces
\[ b\leq a. \]
Tampoco puede ser \(b=a\), por la misma razón. Luego
\[ b<a. \]
Como \(a\in\alpha\) y \(\alpha\) es cerrada hacia abajo,
\[ b\in\alpha. \]
El elemento \(b\in\beta\) era arbitrario, de modo que
\[ \beta\subseteq\alpha. \]
Por tanto
\[ \beta\leq_D\alpha. \]
Hemos probado que para cualesquiera \(\alpha,\beta\in\mathbb R_D\),
\[ \boxed{ \alpha\leq_D\beta \quad\text{o}\quad \beta\leq_D\alpha. } \]
Así \(\leq_D\) es un orden total. ∎
La totalidad no es una propiedad automática de la inclusión. Es consecuencia de la forma especial de los elementos de \(\mathbb R_D\). Dos subconjuntos arbitrarios de \(\mathbb Q\) pueden cruzarse; dos cortaduras no.
En particular, un único testigo \(a\in\alpha\setminus\beta\) fuerza ya
\[ \beta\subseteq\alpha. \]
Obsérvese también que la comparabilidad utiliza únicamente la clausura inferior de las cortaduras y la totalidad del orden racional. La condición de ausencia de máximo no interviene en esta parte.
Nota fundacional. El resultado establece comparabilidad clásica de cualesquiera dos cortaduras. La prueba usa LEM sobre \(\alpha\subseteq\beta\) y, desde \(\alpha\not\subseteq\beta\), extrae clásicamente un testigo \(a\in\alpha\setminus\beta\). Por tanto \[ \boxed{ \text{comparabilidad clásica} \neq \text{procedimiento de comparación decidible}. } \] Del mismo modo, la igualdad \(\alpha=\beta\) está definida extensionalmente, pero no es decidible en general para cortaduras arbitrarias.
Corolario 5.4.3 — El orden estricto es inclusión propia
Para \(\alpha,\beta\in\mathbb R_D\),
\[ \boxed{ \alpha<_D\beta \quad\Longleftrightarrow\quad \alpha\subsetneq\beta. } \]
Demostración.
Por Teorema 5.4.2 — La inclusión ordena totalmente las cortaduras, \(\leq_D\) es un orden total. Su orden estricto asociado está definido por
\[ \alpha<_D\beta \quad\Longleftrightarrow\quad \alpha\leq_D\beta \ \land\\ \alpha\neq\beta. \]
Usando Definición 5.4.1 — Orden de Dedekind, esto equivale a
\[ \alpha\subseteq\beta \ \land\\ \alpha\neq\beta, \]
es decir,
\[ \alpha\subsetneq\beta. \]
∎
Hemos conseguido así algo conceptualmente decisivo. El conjunto \(\mathbb R_D\) ya no es simplemente una colección de subconjuntos racionales: posee un orden total, y ese orden surge directamente de la manera en que una cortadura registra un segmento inferior de \(\mathbb Q\).
5.5. La copia racional en el modelo de Dedekind
Ya sabemos que cada racional \(q\in\mathbb Q\) determina una cortadura \(\delta_q\), y que \(\mathbb R_D\) posee un orden total por inclusión. Ha llegado el momento de unir ambas construcciones.
La idea es sencilla:
\[ q\longmapsto\delta_q. \]
Pero no basta con una flecha informal. Debemos construir una función con dominio, codominio y grafo determinados, y después demostrar qué estructura conserva.
Definición 5.5.1 — Aplicación canónica de \(\mathbb Q\) en \(\mathbb R_D\)
Consideremos el subconjunto
\[ G_D\subseteq\mathbb Q\times\mathbb R_D \]
definido por
\[ \boxed{ G_D := \{\langle q,\alpha\rangle\in\mathbb Q\times\mathbb R_D:\alpha=\delta_q\}. } \]
Este conjunto existe por Separación, una vez construido el producto cartesiano \(\mathbb Q\times\mathbb R_D\).
Para cada \(q\in\mathbb Q\), Proposición 5.2.2 — Toda sección racional es una cortadura garantiza que \(\delta_q\in\mathbb R_D\), de modo que existe al menos un \(\alpha\in\mathbb R_D\) con
\[ \langle q,\alpha\rangle\in G_D. \]
Ese valor es único: si
\[ \langle q,\alpha\rangle\in G_D \qquad\text{y}\qquad \langle q,\beta\rangle\in G_D, \]
entonces
\[ \alpha=\delta_q=\beta. \]
Por tanto \(G_D\) es el grafo de una función con dominio \(\mathbb Q\) y codominio \(\mathbb R_D\).
Definimos la aplicación canónica de Dedekind
\[ \boxed{ \iota_D:\mathbb Q\longrightarrow\mathbb R_D } \]
mediante
\[ \boxed{ \iota_D(q):=\delta_q. } \]
No hemos utilizado el axioma de elección: para cada \(q\), el valor \(\delta_q\) está determinado de manera única por una fórmula.
Tampoco estamos identificando \(q\) con \(\delta_q\). Tenemos
\[ q\in\mathbb Q, \]
mientras que
\[ \iota_D(q)=\delta_q\in\mathbb R_D. \]
La relación entre ambos sistemas está mediada por \(\iota_D\).
Proposición 5.5.2 — Caracterización del orden mediante la aplicación canónica
Para cualesquiera \(p,q\in\mathbb Q\),
\[ \boxed{ p\leq_{\mathbb Q}q \quad\Longleftrightarrow\quad \iota_D(p)\leq_D\iota_D(q). } \]
Equivalentemente,
\[ \boxed{ p\leq_{\mathbb Q}q \quad\Longleftrightarrow\quad \delta_p\subseteq\delta_q. } \]
Demostración.
Supongamos \(p\leq q\). Si \(r\in\delta_p\), entonces \(r<p\leq q\) y, por transitividad entre \(<\) y \(\leq\),
\[ r<q. \]
Así \(r\in\delta_q\), luego \(\delta_p\subseteq\delta_q\).
Recíprocamente, supongamos \(\delta_p\subseteq\delta_q\). La comparación racional decidible Proposición 3.7.6 — Tricotomía decidible de los racionales da \(q<p\) o \(p\leq q\). Si ocurriera \(q<p\), entonces
\[ q\in\delta_p \qquad\text{pero}\qquad q\notin\delta_q, \]
contradiciendo la inclusión. Por tanto \(p\leq q\).
Así,
\[ \boxed{ p\leq_{\mathbb Q}q \iff \iota_D(p)\leq_D\iota_D(q). } \]
∎
La recíproca utiliza únicamente la comparación decidible de los racionales, no la totalidad clásica de las cortaduras.
Corolario 5.5.3 — \(\iota_D\) es inyectiva y preserva y refleja el orden estricto
La función
\[ \iota_D:\mathbb Q\to\mathbb R_D \]
es inyectiva. Además, para cualesquiera \(p,q\in\mathbb Q\),
\[ \boxed{ p<_{\mathbb Q}q \quad\Longleftrightarrow\quad \iota_D(p)<_D\iota_D(q). } \]
Demostración.
Supongamos primero
\[ \iota_D(p)=\iota_D(q). \]
Entonces
\[ \iota_D(p)\leq_D\iota_D(q) \qquad\text{y}\qquad \iota_D(q)\leq_D\iota_D(p). \]
Por Proposición 5.5.2 — Caracterización del orden mediante la aplicación canónica,
\[ p\leq q \qquad\text{y}\qquad q\leq p. \]
La antisimetría del orden racional da \(p=q\). Luego \(\iota_D\) es inyectiva.
Ahora, si \(p<q\), entonces \(p\leq q\) y \(p\neq q\). Por Proposición 5.5.2 — Caracterización del orden mediante la aplicación canónica,
\[ \iota_D(p)\leq_D\iota_D(q), \]
y por inyectividad
\[ \iota_D(p)\neq\iota_D(q). \]
Por tanto
\[ \iota_D(p)<_D\iota_D(q). \]
Recíprocamente, si
\[ \iota_D(p)<_D\iota_D(q), \]
entonces \(\iota_D(p)\leq_D\iota_D(q)\) y \(\iota_D(p)\neq\iota_D(q)\). La primera condición da \(p\leq q\) por Proposición 5.5.2 — Caracterización del orden mediante la aplicación canónica; la segunda implica \(p\neq q\). Por definición del orden estricto asociado,
\[ p<q. \]
∎
Sólo ahora podemos llamar rigurosamente a \(\iota_D\) una incrustación de órdenes. No es todavía una incrustación de cuerpos ordenados, porque aún no hemos construido suma ni producto sobre \(\mathbb R_D\).
Corolario 5.5.4 — La copia racional no agota \(\mathbb R_D\)
La aplicación
\[ \iota_D:\mathbb Q\to\mathbb R_D \]
no es sobreyectiva. En particular,
\[ \boxed{ \iota_D[\mathbb Q]\subsetneq\mathbb R_D. } \]
Demostración.
Por Proposición 5.3.2 — \(\alpha_2\) es una cortadura de Dedekind,
\[ \alpha_2\in\mathbb R_D. \]
Si \(\iota_D\) fuera sobreyectiva, existiría \(q\in\mathbb Q\) tal que
\[ \iota_D(q)=\alpha_2. \]
Pero \(\iota_D(q)=\delta_q\), de modo que
\[ \alpha_2=\delta_q, \]
contradiciendo Proposición 5.3.3 — \(\alpha_2\) no es una cortadura racional.
Luego \(\iota_D\) no es sobreyectiva. Como \(\iota_D[\mathbb Q]\subseteq\mathbb R_D\) y \(\alpha_2\) pertenece al segundo conjunto pero no al primero,
\[ \boxed{ \iota_D[\mathbb Q]\subsetneq\mathbb R_D. } \]
∎
Ésta es la forma rigurosa en que la construcción de Dedekind amplía el sistema racional. La afirmación correcta no es una identidad conjuntista \(\mathbb Q\subsetneq\mathbb R_D\), sino la existencia de una incrustación ordenada cuya imagen es un subconjunto propio de \(\mathbb R_D\).
5.6. Qué hemos construido
Podemos ahora precisar exactamente qué se ha obtenido y, con igual importancia, qué falta todavía por construir.
Partimos únicamente del cuerpo ordenado racional y consideramos ciertos subconjuntos de \(\mathbb Q\): los lados inferiores no vacíos, propios, cerrados hacia abajo y sin elemento máximo.
El conjunto de todos ellos fue definido como
\[ \boxed{ \mathbb R_D = \{\alpha\subseteq\mathbb Q:\alpha\text{ es una cortadura de Dedekind}\}. } \]
Su existencia se obtuvo enteramente dentro de ZF mediante conjunto potencia y Separación. No fue necesario escoger representantes ni utilizar el axioma de elección.
Después vimos que cada racional \(q\) determina una cortadura
\[ \delta_q=\{r\in\mathbb Q:r<q\}. \]
Las cortaduras racionales no agotan el nuevo conjunto. A partir de \(S_2\) construimos
\[ \alpha_2\in\mathbb R_D \]
y demostramos
\[ \forall q\in\mathbb Q, \qquad \alpha_2\neq\delta_q. \]
Ordenamos luego las cortaduras mediante inclusión:
\[ \boxed{ \alpha\leq_D\beta \iff \alpha\subseteq\beta. } \]
La clausura inferior y la totalidad del orden racional fuerzan que este orden sea total.
Finalmente construimos
\[ \iota_D:\mathbb Q\longrightarrow\mathbb R_D, \qquad \iota_D(q)=\delta_q, \]
y demostramos que preserva y refleja el orden:
\[ \boxed{ p\leq_{\mathbb Q}q \iff \iota_D(p)\leq_D\iota_D(q). } \]
En particular, \(\iota_D\) es inyectiva y
\[ p<_{\mathbb Q}q \iff \iota_D(p)<_D\iota_D(q). \]
Además,
\[ \boxed{ \iota_D[\mathbb Q]\subsetneq\mathbb R_D. } \]
Hasta este punto hemos obtenido una extensión ordenada de \(\mathbb Q\):
\[ \boxed{ (\mathbb Q,\leq_{\mathbb Q}) \hookrightarrow (\mathbb R_D,\leq_D). } \]
Todavía no hemos construido sobre \(\mathbb R_D\) el cero, el uno, la suma, los opuestos, el producto ni los inversos. Por ello no podemos afirmar que \(\mathbb R_D\) sea un cuerpo ordenado.
Tampoco hemos demostrado todavía la propiedad del supremo. En consecuencia, no podemos afirmar aún que \(\mathbb R_D\) sea completo.
La construcción del número real de Dedekind continúa.
5.7. Notas bibliográficas
La idea histórica que da origen a esta construcción pertenece a Richard Dedekind: representar una nueva posición del continuo mediante una partición del orden racional.
Nuestra formulación adopta como objeto únicamente el lado inferior de la partición y exige que éste carezca de elemento máximo. Esta convención permite expresar toda la construcción mediante subconjuntos de \(\mathbb Q\).
La exposición del presente tratado es deductivamente propia. Las fuentes históricas y modernas se utilizan para orientación, contraste y control arquitectónico, no como sustitutos de las demostraciones internas.
- Dedekind constituye la fuente histórica fundamental para la concepción de las cortaduras.
- Conway ofrece un punto de comparación especialmente útil para la organización moderna de la construcción de los reales mediante cortaduras.
- Landau proporciona un modelo de disciplina deductiva y economía estructural.
- Tao sirve como referencia para la explicitud de hipótesis, dominios y dependencias en la construcción progresiva de los sistemas numéricos.
- Garling proporciona un contraste amplio para la transición desde fundamentos y cuerpos ordenados hacia el análisis real.
Las decisiones específicas de este tratado —en particular el tipado explícito de las incrustaciones, la separación entre los diferentes sistemas numéricos construidos y el control del uso de elección— pertenecen a nuestra arquitectura fundacional.
5.8. Hacia la aritmética de las cortaduras
Hemos construido un conjunto totalmente ordenado que contiene una copia ordenada propia de \(\mathbb Q\). Pero un sistema numérico requiere más que orden.
El problema del próximo capítulo será dotar a las cortaduras de operaciones algebraicas.
No diremos simplemente que debemos “transportar” la suma y el producto racionales. Los elementos de
\[ \mathbb R_D\setminus\iota_D[\mathbb Q] \]
no proceden de racionales. Debemos construir operaciones directamente sobre las cortaduras y demostrar después que, cuando se restringen a la copia racional, coinciden con las operaciones ya conocidas.
Para la suma, la intuición procede de los racionales
\[ a+b, \qquad a\in\alpha, \quad b\in\beta. \]
Pero una fórmula sugerente no será suficiente. Habrá que demostrar que el conjunto obtenido es nuevamente una cortadura: no vacío, propio, cerrado hacia abajo y sin máximo.
Después habrá que identificar el elemento que desempeña el papel de cero y construir, para cada cortadura \(\alpha\), una cortadura opuesta. Este último paso requerirá especial cuidado: invertir simplemente el signo de todos los elementos de una cortadura no produce automáticamente un lado inferior sin máximo.
Una vez construida la estructura aditiva, abordaremos la multiplicación. También allí será necesario controlar los signos y probar que la operación permanece dentro de \(\mathbb R_D\). Posteriormente construiremos los inversos multiplicativos de las cortaduras no nulas.
El objetivo no será solamente obtener las leyes abstractas de cuerpo. Deberemos comprobar que las nuevas operaciones prolongan exactamente las racionales:
\[ \boxed{ \iota_D(p+q) = \iota_D(p)+_D\iota_D(q), } \]
\[ \boxed{ \iota_D(pq) = \iota_D(p)\cdot_D\iota_D(q), } \]
así como
\[ \iota_D(0_{\mathbb Q})=0_D, \qquad \iota_D(1_{\mathbb Q})=1_D. \]
Sólo entonces podremos promover \(\iota_D\) desde una incrustación de órdenes a una incrustación de cuerpos ordenados.
La siguiente etapa será, por tanto,
\[ \boxed{ \text{Capítulo 6 — Aritmética de las cortaduras}. } \]
Su programa será
\[ \mathbb R_D \longrightarrow \text{suma} \longrightarrow \text{opuestos} \longrightarrow \text{grupo aditivo} \longrightarrow \text{producto} \longrightarrow \text{inversos} \longrightarrow \text{cuerpo ordenado}. \]
Sólo después de completar esa estructura volveremos al problema que originó toda la construcción:
\[ \boxed{ \text{¿posee }\mathbb R_D\text{ la propiedad del supremo?} } \]
Esa pregunta será la prueba definitiva de que la construcción de Dedekind ha reparado la deficiencia que encontramos en \(\mathbb Q\).