Tratado de análisis — Capítulo 6 — Aritmética de las cortaduras
Capítulo 6 — Aritmética de las cortaduras
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Parte I — Fundamentos y construcción de los números reales
6.0. Del orden a la aritmética
El capítulo anterior construyó el conjunto \(\mathbb R_D\) de todas las cortaduras de Dedekind de \(\mathbb Q\), lo ordenó mediante inclusión y estableció una incrustación de órdenes
\[ \iota_D:\mathbb Q\longrightarrow\mathbb R_D. \]
Sabemos además que
\[ \iota_D[\mathbb Q]\subsetneq\mathbb R_D. \]
Hemos obtenido, por tanto, nuevas posiciones en el orden; todavía debemos convertirlas en un sistema numérico. Para ello construiremos directamente sobre \(\mathbb R_D\) las operaciones algebraicas. No supondremos números reales previamente existentes para transportar su aritmética a las cortaduras. La dirección lógica será
\[ \boxed{ \text{definir candidatos} \longrightarrow \text{probar clausura} \longrightarrow \text{definir operaciones} \longrightarrow \text{probar las leyes algebraicas}. } \]
Sólo después comprobaremos que las operaciones así construidas prolongan exactamente las de \(\mathbb Q\) mediante \(\iota_D\).
La suma es el primer caso y el más transparente: si \(\alpha\) y \(\beta\) representan dos fronteras, la frontera suma debe estar determinada por las sumas racionales \(a+b\) con \(a\in\alpha\) y \(b\in\beta\).
6.1. Suma de cortaduras
Lema 6.1.1 — Todo punto exterior domina una cortadura
Sean \(\alpha\in\mathbb R_D\) y \(u\in\mathbb Q\) tales que \(u\notin\alpha\). Entonces, para todo \(a\in\alpha\),
\[ \boxed{a<u.} \]
Demostración.
Sea \(a\in\alpha\). La tricotomía decidible de los racionales (Proposición 3.7.6 — Tricotomía decidible de los racionales) separa los casos \(a<u\), \(a=u\) y \(u<a\).
La igualdad \(a=u\) implicaría \(u\in\alpha\). Si \(u<a\), la clausura inferior de \(\alpha\) aplicada a \(a\in\alpha\) daría igualmente \(u\in\alpha\). Ambos casos contradicen la hipótesis. Luego necesariamente
\[ a<u. \]
∎
La fuerza constructiva del lema procede de que la comparación se realiza en \(\mathbb Q\). La dificultad posterior no será comparar \(a\) y \(u\), sino obtener un testigo exterior \(u\notin\alpha\) a partir de la condición negativa \(\alpha\neq\mathbb Q\).
Definición 6.1.2 — Conjunto suma de dos cortaduras
Para \(\alpha,\beta\in\mathbb R_D\) definimos
\[ \boxed{ \Sigma_D(\alpha,\beta) := \{q\in\mathbb Q:\exists a\in\alpha\;\exists b\in\beta\;(q=a+b)\}. } \]
Equivalentemente escribiremos \(\Sigma_D(\alpha,\beta)=\{a+b:a\in\alpha,\ b\in\beta\}\), entendiendo esta notación como abreviatura de la fórmula acotada anterior. El conjunto existe por Separación sobre \(\mathbb Q\).
Proposición 6.1.3 — La suma de dos cortaduras es una cortadura
Para cualesquiera \(\alpha,\beta\in\mathbb R_D\),
\[ \boxed{\Sigma_D(\alpha,\beta)\in\mathbb R_D.} \]
Demostración.
Verificamos las cuatro condiciones de una cortadura.
No vaciedad. Como \(\alpha\) y \(\beta\) son no vacías, existen \(a\in\alpha\) y \(b\in\beta\). Entonces \(a+b\in\Sigma_D(\alpha,\beta)\).
Propiedad. Como \(\alpha\neq\mathbb Q\) y \(\beta\neq\mathbb Q\), existen \(u\notin\alpha\) y \(v\notin\beta\). Por Lema 6.1.1 — Todo punto exterior domina una cortadura, todo \(a\in\alpha\) satisface \(a<u\) y todo \(b\in\beta\) satisface \(b<v\). La compatibilidad del orden racional con la suma da
\[ a+b<u+b<u+v. \]
Por tanto \(u+v\) no puede ser de la forma \(a+b\) con \(a\in\alpha\) y \(b\in\beta\). Así \(u+v\notin\Sigma_D(\alpha,\beta)\) y el conjunto es propio.
Clausura inferior. Sea \(x=a+b\in\Sigma_D(\alpha,\beta)\) y sea \(r<x\). Trasladando por \(-b\) obtenemos
\[ r-b<a. \]
Como \(a\in\alpha\), la clausura inferior da \(r-b\in\alpha\). Además \(b\in\beta\) y
\[ r=(r-b)+b. \]
Luego \(r\in\Sigma_D(\alpha,\beta)\).
Ausencia de máximo. Sea \(x=a+b\in\Sigma_D(\alpha,\beta)\). Como \(\alpha\) no tiene máximo, existe \(a'\in\alpha\) tal que \(a<a'\). Por compatibilidad con la suma,
\[ x=a+b<a'+b, \]
y \(a'+b\in\Sigma_D(\alpha,\beta)\). Así el conjunto no posee máximo.
Por Definición 5.1.1 — Cortadura de Dedekind y Definición 5.1.3 — Conjunto subyacente del modelo de Dedekind, \(\Sigma_D(\alpha,\beta)\in\mathbb R_D\). Las elecciones efectuadas son finitas y locales; no interviene Choice. ∎
Definición 6.1.4 — Adición de Dedekind
Sea
\[ G_{+_D} := \{\langle\langle\alpha,\beta\rangle,\gamma\rangle\in(\mathbb R_D\times\mathbb R_D)\times\mathbb R_D: \gamma=\Sigma_D(\alpha,\beta)\}. \]
Por Separación existe \(G_{+_D}\), y Proposición 6.1.3 — La suma de dos cortaduras es una cortadura garantiza para cada par \((\alpha,\beta)\) un único valor en \(\mathbb R_D\). Definimos así
\[ \boxed{ +_D:\mathbb R_D\times\mathbb R_D\longrightarrow\mathbb R_D, \qquad \alpha+_D\beta:=\Sigma_D(\alpha,\beta). } \]
Proposición 6.1.5 — La adición de Dedekind prolonga la suma racional
Para \(p,q\in\mathbb Q\),
\[ \boxed{ \iota_D(p+q)=\iota_D(p)+_D\iota_D(q). } \]
Equivalentemente,
\[ \delta_{p+q}=\delta_p+_D\delta_q. \]
Demostración.
Si \(x\in\delta_p+_D\delta_q\), existen \(a<p\) y \(b<q\) tales que \(x=a+b\). Entonces
\[ x=a+b<p+b<p+q, \]
de modo que \(x\in\delta_{p+q}\). Así
\[ \delta_p+_D\delta_q\subseteq\delta_{p+q}. \]
Recíprocamente, sea \(x<p+q\). Entonces \(x-q<p\). Por densidad de \(\mathbb Q\) existe \(a\) con
\[ x-q<a<p. \]
Pongamos \(b:=x-a\). De \(x-q<a\) se sigue \(b<q\), y por construcción \(x=a+b\). Por tanto \(a\in\delta_p\), \(b\in\delta_q\) y \(x\in\delta_p+_D\delta_q\). Así
\[ \delta_{p+q}\subseteq\delta_p+_D\delta_q. \]
La extensionalidad proporciona la igualdad. ∎
6.2. El cero de Dedekind
Definición 6.2.1 — Cero de Dedekind
Definimos
\[ \boxed{ 0_D:=\iota_D(0_{\mathbb Q})=\delta_{0_{\mathbb Q}} =\{q\in\mathbb Q:q<0_{\mathbb Q}\}. } \]
El racional \(0_{\mathbb Q}\) y la cortadura \(0_D\) siguen siendo objetos distintos; la igualdad relevante es \(\iota_D(0_{\mathbb Q})=0_D\).
Proposición 6.2.2 — El cero de Dedekind es neutro para la suma
Para toda \(\alpha\in\mathbb R_D\),
\[ \boxed{ \alpha+_D0_D=\alpha=0_D+_D\alpha. } \]
Demostración.
Demostremos primero \(\alpha+_D0_D=\alpha\).
Si \(x\in\alpha+_D0_D\), existen \(a\in\alpha\) y \(b<0\) tales que \(x=a+b\). Entonces \(x<a\), de modo que la clausura inferior de \(\alpha\) da \(x\in\alpha\). Así \(\alpha+_D0_D\subseteq\alpha\).
Recíprocamente, sea \(x\in\alpha\). Como \(\alpha\) no tiene máximo, existe \(a\in\alpha\) con \(x<a\). Pongamos \(b:=x-a\). Entonces \(b<0\), por lo que \(b\in0_D\), y \(x=a+b\). Así \(x\in\alpha+_D0_D\).
La igualdad \(0_D+_D\alpha=\alpha\) se prueba del mismo modo, pero sin invocar conmutatividad: si \(x=b+a\) con \(b<0\) y \(a\in\alpha\), entonces \(x<a\); para la inclusión inversa, dado \(x\in\alpha\) elegimos \(a\in\alpha\) con \(x<a\) y escribimos \(x=(x-a)+a\) con \(x-a\in0_D\).
Por doble inclusión obtenemos ambas identidades. ∎
Corolario 6.2.3 — Compatibilidad del cero con la copia racional
Se tiene
\[ \boxed{\iota_D(0_{\mathbb Q})=0_D.} \]
Demostración.
Es exactamente la definición de \(0_D\). ∎
6.3. Opuestos de Dedekind
Negar directamente los elementos de una cortadura produce esencialmente un lado superior, no otra cortadura inferior. Tampoco basta negar el complemento: para \(\delta_p\) se obtendría un conjunto con frontera incluida. El opuesto correcto deberá excluir nuevamente la frontera.
Lema 6.3.1 — Aproximación racional de la frontera
Sean \(\alpha\in\mathbb R_D\) y \(h\in\mathbb Q\) con \(0<h\). Entonces existe \(a\in\alpha\) tal que
\[ \boxed{a+h\notin\alpha.} \]
Demostración.
Supongamos, por contradicción, que
\[ \forall a\in\alpha\;(a+h\in\alpha). \]
Como \(\alpha\) es no vacía y propia, existen \(a_0\in\alpha\) y \(u\notin\alpha\). Afirmamos por inducción que
\[ a_0+\widehat n h\in\alpha \qquad(n\in\mathbb N), \]
donde \(\widehat n\) es la imagen canónica de \(n\) en \(\mathbb Q\). Para \(n=0\) es inmediato. Si vale para \(n\), la hipótesis de contradicción da
\[ a_0+\widehat n h+h\in\alpha, \]
y las propiedades de la incrustación natural identifican este racional con \(a_0+\widehat{n+1}h\).
Por la arquimedianidad de \(\mathbb Q\) existe \(n\in\mathbb N\) tal que
\[ \frac{u-a_0}{h}<\widehat n. \]
Como \(h>0\),
\[ u<a_0+\widehat n h. \]
Pero el miembro derecho pertenece a \(\alpha\); por clausura inferior se seguiría \(u\in\alpha\), contradicción. Luego existe \(a\in\alpha\) con \(a+h\notin\alpha\). ∎
Ninguna cortadura puede permanecer cerrada bajo traslaciones indefinidas por un paso racional positivo. En particular, su frontera puede aproximarse desde dentro y desde fuera con precisión racional arbitraria.
Definición 6.3.2 — Candidato a opuesto de una cortadura
Para \(\alpha\in\mathbb R_D\) definimos
\[ \boxed{ \Omega_D(\alpha) := \{q\in\mathbb Q:\exists s\in\mathbb Q\;(s\notin\alpha\land q<-s)\}. } \]
El conjunto existe por Separación. La desigualdad estricta \(q<-s\) es esencial: evita incorporar la frontera.
Proposición 6.3.3 — El candidato a opuesto es una cortadura
Para toda \(\alpha\in\mathbb R_D\),
\[ \boxed{\Omega_D(\alpha)\in\mathbb R_D.} \]
Demostración.
No vaciedad. Como \(\alpha\) es propia, existe \(s\notin\alpha\). Entonces \(-s-1<-s\), por lo que \(-s-1\in\Omega_D(\alpha)\).
Propiedad. Como \(\alpha\) es no vacía, existe \(a\in\alpha\). Afirmamos que \(-a\notin\Omega_D(\alpha)\). Si no, existiría \(s\notin\alpha\) con \(-a<-s\), es decir, \(s<a\). La clausura inferior daría \(s\in\alpha\), contradicción.
Clausura inferior. Si \(q\in\Omega_D(\alpha)\) mediante un testigo \(s\notin\alpha\) con \(q<-s\) y \(r<q\), entonces \(r<-s\); el mismo \(s\) demuestra \(r\in\Omega_D(\alpha)\).
Ausencia de máximo. Si \(q<-s\) con \(s\notin\alpha\), la densidad racional proporciona \(r\) con
\[ q<r<-s. \]
El mismo testigo \(s\) da \(r\in\Omega_D(\alpha)\). ∎
Definición 6.3.4 — Opuesto de Dedekind
La asignación anterior determina una función
\[ \boxed{ -_D:\mathbb R_D\longrightarrow\mathbb R_D, \qquad -_D\alpha:=\Omega_D(\alpha). } \]
Por tanto,
\[ q\in-_D\alpha \iff \exists s\in\mathbb Q\;(s\notin\alpha\land q<-s). \]
Proposición 6.3.5 — Ley del opuesto aditivo
Para toda \(\alpha\in\mathbb R_D\),
\[ \boxed{\alpha+_D(-_D\alpha)=0_D.} \]
Demostración.
Sea \(x\in\alpha+_D(-_D\alpha)\). Existen \(a\in\alpha\) y \(b\in-_D\alpha\) con \(x=a+b\). Existe a su vez \(s\notin\alpha\) tal que \(b<-s\). Por Lema 6.1.1 — Todo punto exterior domina una cortadura, \(a<s\). Así
\[ x=a+b<a-s<0, \]
y \(x\in0_D\). Luego
\[ \alpha+_D(-_D\alpha)\subseteq0_D. \]
Recíprocamente, sea \(x\in0_D\), de modo que \(x<0\). Por densidad elegimos \(h\) con
\[ 0<h<-x. \]
Lema 6.3.1 — Aproximación racional de la frontera proporciona \(a\in\alpha\) tal que \(s:=a+h\notin\alpha\). Pongamos \(b:=x-a\). Como \(x<-h\),
\[ b=x-a<-a-h=-s. \]
Por tanto \(b\in-_D\alpha\), y \(x=a+b\). Así \(x\in\alpha+_D(-_D\alpha)\). La doble inclusión da la igualdad. ∎
Corolario 6.3.6 — El opuesto prolonga el opuesto racional
Para todo \(p\in\mathbb Q\),
\[ \boxed{-_D\iota_D(p)=\iota_D(-p).} \]
Equivalentemente, \(-_D\delta_p=\delta_{-p}\).
Demostración.
Si \(q\in-_D\delta_p\), existe \(s\notin\delta_p\) con \(q<-s\). La primera condición equivale a \(p\le s\); al cambiar signos, \(-s\le-p\), y por tanto \(q<-p\). Así \(q\in\delta_{-p}\).
Recíprocamente, si \(q<-p\), tomamos \(s=p\). Como \(p\notin\delta_p\) y \(q<-s\), la definición da \(q\in-_D\delta_p\). Por extensionalidad, \(-_D\delta_p=\delta_{-p}\). ∎
Teorema 6.3.7 — Asociatividad de la suma de Dedekind
Para \(\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb R_D\),
\[ \boxed{(\alpha+_D\beta)+_D\gamma=\alpha+_D(\beta+_D\gamma).} \]
Demostración.
Si \(x\in(\alpha+_D\beta)+_D\gamma\), existen \(a\in\alpha\), \(b\in\beta\) y \(c\in\gamma\) tales que
\[ x=(a+b)+c=a+(b+c), \]
por asociatividad racional. Como \(b+c\in\beta+_D\gamma\), se sigue \(x\in\alpha+_D(\beta+_D\gamma)\). La inclusión inversa se obtiene leyendo el mismo argumento desde una representación \(x=a+(b+c)\) y usando la asociatividad racional en sentido inverso. ∎
Teorema 6.3.8 — Conmutatividad de la suma de Dedekind
Para \(\alpha,\beta\in\mathbb R_D\),
\[ \boxed{\alpha+_D\beta=\beta+_D\alpha.} \]
Demostración.
Si \(x=a+b\) con \(a\in\alpha\) y \(b\in\beta\), la conmutatividad racional da \(x=b+a\), por lo que \(x\in\beta+_D\alpha\). La inclusión contraria es idéntica. ∎
Corolario 6.3.9 — Ley bilateral del opuesto
Para toda \(\alpha\in\mathbb R_D\),
\[ \boxed{\alpha+_D(-_D\alpha)=0_D=(-_D\alpha)+_D\alpha.} \]
Demostración.
La primera igualdad es Proposición 6.3.5 — Ley del opuesto aditivo; la segunda se obtiene por conmutatividad. ∎
Teorema 6.3.10 — Estructura de grupo abeliano aditivo
La estructura
\[ \boxed{(\mathbb R_D,+_D,0_D)} \]
es un grupo abeliano, y el inverso aditivo de \(\alpha\) es \(-_D\alpha\).
Demostración.
La clausura es Proposición 6.1.3 — La suma de dos cortaduras es una cortadura, la asociatividad Teorema 6.3.7 — Asociatividad de la suma de Dedekind, el neutro Proposición 6.2.2 — El cero de Dedekind es neutro para la suma, los inversos Corolario 6.3.9 — Ley bilateral del opuesto y la conmutatividad Teorema 6.3.8 — Conmutatividad de la suma de Dedekind. Son exactamente las leyes de un grupo abeliano. ∎
Proposición 6.3.11 — Cancelación aditiva en \(\mathbb R_D\)
Si
\[ \alpha+_D\gamma=\beta+_D\gamma, \]
entonces \(\alpha=\beta\). Análogamente vale la cancelación por la izquierda.
Demostración.
Sumamos \(-_D\gamma\) a ambos miembros y usamos asociatividad, la ley del opuesto y el neutro:
\[ \alpha =(\alpha+_D\gamma)+_D(-_D\gamma) =(\beta+_D\gamma)+_D(-_D\gamma) =\beta. \]
La cancelación por la izquierda es análoga. ∎
En particular, el inverso aditivo es único.
Definición 6.3.12 — Sustracción de Dedekind
Para \(\alpha,\beta\in\mathbb R_D\) definimos
\[ \boxed{\alpha-_D\beta:=\alpha+_D(-_D\beta).} \]
Corolario 6.3.13 — La sustracción prolonga la sustracción racional
Para \(p,q\in\mathbb Q\),
\[ \boxed{\iota_D(p-q)=\iota_D(p)-_D\iota_D(q).} \]
Demostración.
Como \(p-q=p+(-q)\),
\[ \iota_D(p-q) =\iota_D(p)+_D\iota_D(-q) =\iota_D(p)+_D(-_D\iota_D(q)) =\iota_D(p)-_D\iota_D(q). \]
∎
6.4. Producto de cortaduras positivas
El conjunto \(\{ab:a\in\alpha,b\in\beta\}\) no puede utilizarse para cortaduras arbitrarias: toda cortadura contiene racionales negativos arbitrariamente pequeños y los productos de dos de ellos pueden ser positivos arbitrariamente grandes. Comenzaremos en el cono estrictamente positivo y multiplicaremos únicamente racionales positivos situados bajo las fronteras.
Definición 6.4.1 — Cortaduras estrictamente positivas
Definimos
\[ \boxed{\mathbb R_D^{>0}:=\{\alpha\in\mathbb R_D:0_D<_D\alpha\}.} \]
Lema 6.4.2 — Caracterizaciones de la positividad
Para \(\alpha\in\mathbb R_D\) son equivalentes:
- \(0_D<_D\alpha\);
- \(0_{\mathbb Q}\in\alpha\);
- existe \(a\in\alpha\) con \(0<a\).
Demostración.
Si \(0_D<_D\alpha\), entonces \(0_D\subsetneq\alpha\). Existe \(x\in\alpha\setminus0_D\), de modo que \(0\le x\). Si \(x=0\), ya tenemos \(0\in\alpha\); si \(x>0\), la clausura inferior da también \(0\in\alpha\).
Si \(0\in\alpha\), la ausencia de máximo proporciona \(a\in\alpha\) con \(0<a\).
Finalmente, si \(a\in\alpha\) y \(a>0\), todo \(q\in0_D\) satisface \(q<0<a\), por lo que \(q\in\alpha\). Así \(0_D\subseteq\alpha\), y la inclusión es propia porque \(a\in\alpha\setminus0_D\). Luego \(0_D<_D\alpha\). ∎
Definición 6.4.3 — Parte positiva de una cortadura
Para \(\alpha\in\mathbb R_D\) definimos
\[ \boxed{\alpha_{>0}:=\{a\in\alpha:0<a\}.} \]
Si \(\alpha\in\mathbb R_D^{>0}\), Lema 6.4.2 — Caracterizaciones de la positividad garantiza \(\alpha_{>0}\neq\varnothing\).
Definición 6.4.4 — Candidato a producto positivo
Para \(\alpha,\beta\in\mathbb R_D^{>0}\) definimos
\[ \boxed{ \Pi_D^+(\alpha,\beta) := \{q\in\mathbb Q:\exists a\in\alpha_{>0}\;\exists b\in\beta_{>0}\;(q<ab)\}. } \]
La desigualdad estricta hace que el conjunto sea desde el inicio el lado inferior generado por los productos positivos.
Proposición 6.4.5 — El producto positivo es una cortadura positiva
Si \(\alpha,\beta\in\mathbb R_D^{>0}\), entonces
\[ \boxed{\Pi_D^+(\alpha,\beta)\in\mathbb R_D^{>0}.} \]
Demostración.
Por positividad existen \(a\in\alpha\) y \(b\in\beta\) con \(a,b>0\). Entonces \(0<ab\), de modo que \(0\in\Pi_D^+(\alpha,\beta)\); el conjunto es no vacío y, una vez probada su condición de cortadura, será positivo.
Para demostrar que es propio, elegimos \(u\notin\alpha\) y \(v\notin\beta\). Como \(\alpha\) y \(\beta\) contienen elementos positivos, Lema 6.1.1 — Todo punto exterior domina una cortadura muestra que \(u,v>0\). Para cualesquiera \(a\in\alpha_{>0}\) y \(b\in\beta_{>0}\),
\[ a<u, \qquad b<v, \]
y por compatibilidad del orden con el producto positivo,
\[ ab<ub<uv. \]
Así \(uv\notin\Pi_D^+(\alpha,\beta)\).
La clausura inferior es inmediata: si \(r<x<ab\), entonces \(r<ab\) con los mismos testigos. Para la ausencia de máximo, dado \(x<ab\), la densidad racional proporciona \(y\) con \(x<y<ab\), y el mismo par \((a,b)\) muestra \(y\in\Pi_D^+(\alpha,\beta)\).
Se trata, por tanto, de una cortadura. Como contiene \(0\), Lema 6.4.2 — Caracterizaciones de la positividad da
\[ 0_D<_D\Pi_D^+(\alpha,\beta). \]
∎
Definición 6.4.6 — Multiplicación positiva de Dedekind
La construcción anterior determina
\[ \boxed{ \cdot_D^+:\mathbb R_D^{>0}\times\mathbb R_D^{>0}\longrightarrow\mathbb R_D^{>0}, \qquad \alpha\cdot_D^+\beta:=\Pi_D^+(\alpha,\beta). } \]
Reservaremos \(\cdot_D\) para la multiplicación definida sobre todos los signos.
Proposición 6.4.7 — Las imágenes de racionales positivos son positivas
Si \(p\in\mathbb Q\) y \(0<p\), entonces
\[ \boxed{\iota_D(p)\in\mathbb R_D^{>0}.} \]
Demostración.
\(\iota_D(p)=\delta_p\), y \(0<p\) implica \(0\in\delta_p\). Lema 6.4.2 — Caracterizaciones de la positividad proporciona la conclusión. ∎
Proposición 6.4.8 — El producto positivo prolonga el producto racional positivo
Si \(p,q\in\mathbb Q\) son positivos, entonces
\[ \boxed{\iota_D(pq)=\iota_D(p)\cdot_D^+\iota_D(q).} \]
Demostración.
Si \(x\in\delta_p\cdot_D^+\delta_q\), existen \(0<a<p\) y \(0<b<q\) con \(x<ab\). Entonces \(ab<pb<pq\), luego \(x<pq\) y \(x\in\delta_{pq}\).
Recíprocamente, sea \(x<pq\). Si \(x\le0\), la densidad proporciona \(0<a<p\) y \(0<b<q\), de modo que \(x\le0<ab\) y \(x\) pertenece al producto positivo.
Supongamos \(0<x<pq\). Como \(q>0\),
\[ \frac{x}{q}<p. \]
Por densidad escogemos \(a\) con
\[ \frac{x}{q}<a<p. \]
Entonces \(a>0\) y \(x<aq\), por lo que \(x/a<q\). Otra aplicación de la densidad proporciona \(b\) con
\[ \frac{x}{a}<b<q. \]
Así \(a\in\delta_p\), \(b\in\delta_q\), ambos son positivos y \(x<ab\). Por doble inclusión,
\[ \delta_{pq}=\delta_p\cdot_D^+\delta_q. \]
∎
6.5. Extensión del producto a todos los signos
Definición 6.5.1 — Cortaduras estrictamente negativas
Definimos
\[ \boxed{\mathbb R_D^{<0}:=\{\alpha\in\mathbb R_D:\alpha<_D0_D\}.} \]
Proposición 6.5.2 — Tricotomía respecto del cero
Para toda \(\alpha\in\mathbb R_D\) ocurre exactamente una de las tres posibilidades
\[ \boxed{ \alpha<_D0_D, \qquad \alpha=0_D, \qquad 0_D<_D\alpha. } \]
Demostración.
Es la tricotomía del orden estricto asociado al orden total \(\le_D\) de Teorema 5.4.2 — La inclusión ordena totalmente las cortaduras. ∎
Lema 6.5.3 — El opuesto intercambia los signos
Para toda \(\alpha\in\mathbb R_D\),
\[ \boxed{ \alpha<_D0_D\iff0_D<_D(-_D\alpha), } \]
\[ \boxed{ 0_D<_D\alpha\iff-_D\alpha<_D0_D, } \]
y
\[ \boxed{-_D0_D=0_D.} \]
Demostración.
Supongamos primero \(\alpha<_D0_D\), es decir, \(\alpha\subsetneq0_D\). Existe entonces \(s\in0_D\setminus\alpha\). Como \(s<0\), tenemos \(0<-s\). El mismo \(s\) muestra, por la definición del opuesto, que \(0\in-_D\alpha\). Por Lema 6.4.2 — Caracterizaciones de la positividad, \(-_D\alpha>_D0_D\).
Supongamos ahora \(\alpha>_D0_D\). Entonces \(0\in\alpha\), y existe \(a\in\alpha\) con \(a>0\). Si \(q\in-_D\alpha\), existe \(s\notin\alpha\) con \(q<-s\). Como \(0\in\alpha\) y \(\alpha\) es inferior, un \(s\le0\) pertenecería a \(\alpha\); por tanto \(s>0\). Así \(q<-s<0\) y \(-_D\alpha\subseteq0_D\). La inclusión es propia: \(-a\in0_D\), pero \(-a\notin-_D\alpha\), pues de \(-a<-s\) se seguiría \(s<a\) y luego \(s\in\alpha\). Por tanto \(-_D\alpha<_D0_D\).
Para las recíprocas no usamos ningún resultado posterior. Supongamos \(-_D\alpha>_D0_D\). Por tricotomía de \(\alpha\) respecto de \(0_D\), si \(\alpha=0_D\), Corolario 6.3.6 — El opuesto prolonga el opuesto racional da \(-_D\alpha=0_D\), contradicción; si \(\alpha>_D0_D\), la implicación ya demostrada daría \(-_D\alpha<_D0_D\), también contradicción. Luego \(\alpha<_D0_D\). El razonamiento para \(-_D\alpha<_D0_D\Rightarrow\alpha>_D0_D\) es idéntico, descartando los otros dos casos por las implicaciones ya probadas.
Finalmente, Corolario 6.3.6 — El opuesto prolonga el opuesto racional aplicado a \(p=0_{\mathbb Q}\) da \(-_D0_D=0_D\). ∎
Definición 6.5.4 — Producto signado candidato
Para \(\alpha,\beta\in\mathbb R_D\) definimos
\[ \boxed{ M_D(\alpha,\beta) = \begin{cases} 0_D,&\alpha=0_D\text{ o }\beta=0_D,\\[1ex] \alpha\cdot_D^+\beta,&\alpha>_D0_D,\ \beta>_D0_D,\\[1ex] (-_D\alpha)\cdot_D^+(-_D\beta),&\alpha<_D0_D,\ \beta<_D0_D,\\[1ex] -_D\bigl(\alpha\cdot_D^+(-_D\beta)\bigr),&\alpha>_D0_D>_D\beta,\\[1ex] -_D\bigl((-_D\alpha)\cdot_D^+\beta\bigr),&\beta>_D0_D>_D\alpha. \end{cases} } \]
Proposición 6.5.2 — Tricotomía respecto del cero hace los casos exhaustivos y disjuntos; Lema 6.5.3 — El opuesto intercambia los signos garantiza que cada aparición de \(\cdot_D^+\) recibe argumentos positivos.
Proposición 6.5.5 — Clausura y regla de signos del producto candidato
Para todos \(\alpha,\beta\in\mathbb R_D\),
\[ \boxed{M_D(\alpha,\beta)\in\mathbb R_D.} \]
Además, el producto es cero si alguno de los factores es cero, positivo si los dos factores no nulos tienen el mismo signo y negativo si tienen signos opuestos.
Demostración.
En el caso cero el resultado es \(0_D\). Si ambos factores son positivos, Proposición 6.4.5 — El producto positivo es una cortadura positiva da un resultado positivo. Si ambos son negativos, sus opuestos son positivos por Lema 6.5.3 — El opuesto intercambia los signos, y el tercer caso de la definición vuelve a dar una cortadura positiva. Si los signos son opuestos, el producto positivo interno es positivo y su opuesto es negativo por Lema 6.5.3 — El opuesto intercambia los signos. ∎
Definición 6.5.6 — Multiplicación de Dedekind
La construcción anterior determina una función
\[ \boxed{ \cdot_D:\mathbb R_D\times\mathbb R_D\longrightarrow\mathbb R_D, \qquad \alpha\cdot_D\beta:=M_D(\alpha,\beta). } \]
Si \(\alpha,\beta>_D0_D\), entonces \(\alpha\cdot_D\beta=\alpha\cdot_D^+\beta\).
Nota fundacional. La operación \(\cdot_D\) está perfectamente definida como función extensional en el marco clásico. Su definición por casos no es, sin información adicional, un algoritmo de signo sobre cortaduras arbitrarias: \[ \boxed{ \text{operación extensional} \neq \text{algoritmo sobre nombres efectivos}. } \]
Proposición 6.5.7 — La multiplicación de Dedekind prolonga la multiplicación racional
Para \(p,q\in\mathbb Q\),
\[ \boxed{\iota_D(pq)=\iota_D(p)\cdot_D\iota_D(q).} \]
Demostración.
Si alguno de \(p,q\) es cero, ambos miembros son \(0_D\). Si ambos son positivos, la afirmación es Proposición 6.4.8 — El producto positivo prolonga el producto racional positivo.
Si \(p,q<0\), entonces \(-p,-q>0\) y
\[ \begin{aligned} \iota_D(p)\cdot_D\iota_D(q) &=(-_D\iota_D(p))\cdot_D^+(-_D\iota_D(q))\\ &=\iota_D(-p)\cdot_D^+\iota_D(-q)\\ &=\iota_D((-p)(-q))\\ &=\iota_D(pq). \end{aligned} \]
Si \(p>0>q\), entonces
\[ \begin{aligned} \iota_D(p)\cdot_D\iota_D(q) &=-_D\bigl(\iota_D(p)\cdot_D^+\iota_D(-q)\bigr)\\ &=-_D\iota_D(p(-q))\\ &=\iota_D(-p(-q))\\ &=\iota_D(pq). \end{aligned} \]
El caso \(q>0>p\) es simétrico por la propia definición signada. ∎
6.6. La unidad multiplicativa
Definición 6.6.1 — Unidad de Dedekind
Definimos
\[ \boxed{1_D:=\iota_D(1_{\mathbb Q})=\delta_{1_{\mathbb Q}}.} \]
Proposición 6.6.2 — La unidad de Dedekind es estrictamente positiva
Se tiene
\[ \boxed{0_D<_D1_D.} \]
En particular, \(0_D\neq1_D\) y \(1_D\in\mathbb R_D^{>0}\).
Demostración.
En \(\mathbb Q\), \(0<1\). Corolario 5.5.3 — \(\iota_D\) es inyectiva y preserva y refleja el orden estricto muestra que \(\iota_D\) preserva el orden estricto, luego \(0_D<_D1_D\). ∎
Lema 6.6.3 — Involutividad del opuesto
Para toda \(\alpha\in\mathbb R_D\),
\[ \boxed{-_D(-_D\alpha)=\alpha.} \]
Demostración.
Tanto \(\alpha\) como \(-_D(-_D\alpha)\) son inversos aditivos de \(-_D\alpha\). Por unicidad del inverso, obtenida de la cancelación aditiva, son iguales. ∎
Proposición 6.6.4 — La unidad actúa como neutro sobre cortaduras positivas
Si \(\alpha>_D0_D\), entonces
\[ \boxed{\alpha\cdot_D^+1_D=\alpha=1_D\cdot_D^+\alpha.} \]
Demostración.
Sea \(x\in\alpha\cdot_D^+1_D\). Existen \(a\in\alpha\), \(0<a\), y \(b\) con \(0<b<1\) tales que \(x<ab\). Como \(ab<a\), la clausura inferior da \(x\in\alpha\). Así \(\alpha\cdot_D^+1_D\subseteq\alpha\).
Para la inclusión inversa, sea \(x\in\alpha\). Si \(x\le0\), elegimos cualquier \(a\in\alpha\) positivo y, por densidad, \(0<b<1\); entonces \(x<ab\). Si \(x>0\), la ausencia de máximo da \(a\in\alpha\) con \(x<a\). Así \(0<x/a<1\), y por densidad existe \(b\) con
\[ \frac{x}{a}<b<1. \]
Entonces \(b\in1_D\) y \(x<ab\), por lo que \(x\in\alpha\cdot_D^+1_D\).
La identidad \(1_D\cdot_D^+\alpha=\alpha\) se demuestra del mismo modo con el orden de los dos testigos intercambiado: si \(x<ba\) con \(0<b<1\) y \(a\in\alpha_{>0}\), entonces \(x<a\); en la inclusión inversa se utilizan exactamente los mismos \(a\) y \(b\). ∎
Teorema 6.6.5 — Leyes de la unidad multiplicativa
Para toda \(\alpha\in\mathbb R_D\),
\[ \boxed{\alpha\cdot_D1_D=\alpha=1_D\cdot_D\alpha.} \]
Demostración.
Si \(\alpha=0_D\), es inmediato. Si \(\alpha>_D0_D\), la multiplicación general coincide con \(\cdot_D^+\) y la afirmación es Proposición 6.6.4 — La unidad actúa como neutro sobre cortaduras positivas.
Supongamos \(\alpha<_D0_D\). Entonces \(-_D\alpha>_D0_D\). Por definición signada,
\[ \alpha\cdot_D1_D =-_D\bigl((-_D\alpha)\cdot_D^+1_D\bigr) =-_D(-_D\alpha) =\alpha. \]
La identidad por la izquierda es igual. ∎
6.7. Inversos multiplicativos
Sea \(\alpha>_D0_D\). Los racionales positivos exteriores \(s\notin\alpha\) están por encima de la frontera; sus recíprocos sugieren cotas superiores para la frontera recíproca. Esto conduce a la siguiente construcción interna.
Definición 6.7.1 — Candidato a recíproco de una cortadura positiva
Para \(\alpha\in\mathbb R_D^{>0}\) definimos
\[ \boxed{ I_D^+(\alpha) := \{q\in\mathbb Q: q\le0 \ \text{o}\\ \exists s\in\mathbb Q\;(0<s\land s\notin\alpha\land q<s^{-1}) \}. } \]
Proposición 6.7.2 — El candidato a recíproco es una cortadura positiva
Para toda \(\alpha\in\mathbb R_D^{>0}\),
\[ \boxed{I_D^+(\alpha)\in\mathbb R_D^{>0}.} \]
Demostración.
\(0\in I_D^+(\alpha)\), luego el conjunto es no vacío. Como \(\alpha\) es positiva, existe \(a\in\alpha\) con \(a>0\). Afirmamos que \(a^{-1}\notin I_D^+(\alpha)\). Si perteneciera mediante la segunda cláusula, existiría \(s>0\), \(s\notin\alpha\), con \(a^{-1}<s^{-1}\). La inversión del orden para positivos daría \(s<a\), y la clausura inferior implicaría \(s\in\alpha\), contradicción. Así el conjunto es propio.
La clausura inferior es inmediata en cada cláusula de la definición. Para la ausencia de máximo: si \(q<0\), entonces \(q<0\in I_D^+(\alpha)\); si \(q=0\), elegimos \(s\notin\alpha\), que necesariamente es positivo porque \(0\in\alpha\), y luego por densidad \(0<r<s^{-1}\); si \(q>0\) y \(q<s^{-1}\) para un testigo exterior positivo \(s\), elegimos por densidad \(q<r<s^{-1}\). En todos los casos aparece un elemento mayor del mismo conjunto.
Finalmente \(0\in I_D^+(\alpha)\), de modo que Lema 6.4.2 — Caracterizaciones de la positividad lo hace estrictamente positivo. ∎
Definición 6.7.3 — Recíproco positivo de Dedekind
Definimos
\[ \boxed{ \operatorname{inv}_D^+:\mathbb R_D^{>0}\longrightarrow\mathbb R_D^{>0}, \qquad \operatorname{inv}_D^+(\alpha):=I_D^+(\alpha). } \]
Teorema 6.7.4 — Ley del inverso para cortaduras positivas
Para toda \(\alpha>_D0_D\),
\[ \boxed{ \alpha\cdot_D^+\operatorname{inv}_D^+(\alpha) =1_D =\operatorname{inv}_D^+(\alpha)\cdot_D^+\alpha. } \]
Demostración.
Probemos primero la igualdad de la izquierda. Si
\[ x\in\alpha\cdot_D^+\operatorname{inv}_D^+(\alpha), \]
existen \(a\in\alpha\), \(a>0\), y \(b>0\) en el recíproco con \(x<ab\). La positividad de \(b\) obliga a la segunda cláusula de la definición: existe \(s>0\), \(s\notin\alpha\), con \(b<s^{-1}\). Por Lema 6.1.1 — Todo punto exterior domina una cortadura, \(a<s\). Así
\[ x<ab<a/s<1, \]
de modo que \(x\in1_D\).
Recíprocamente, sea \(x<1\). Si \(x\le0\), elegimos elementos positivos \(a\in\alpha\) y \(b\in\operatorname{inv}_D^+(\alpha)\); entonces \(x<ab\).
Supongamos \(0<x<1\). Elijamos \(c\in\alpha\) con \(c>0\). Como \((1-x)c>0\), por densidad escogemos
\[ 0<h<(1-x)c. \]
Lema 6.3.1 — Aproximación racional de la frontera proporciona \(a\in\alpha\) tal que \(s:=a+h\notin\alpha\). Puesto que \(c\in\alpha\) y \(s\notin\alpha\), Lema 6.1.1 — Todo punto exterior domina una cortadura da \(c<s=a+h\), por lo que \(a>c-h>0\) y también \(s>0\).
Además,
\[ (1-x)(c-h)-xh=(1-x)c-h>0. \]
Como \(a>c-h\) y \(1-x>0\),
\[ (1-x)a>xh, \]
o equivalentemente
\[ a>x(a+h)=xs. \]
Así
\[ \frac{x}{a}<\frac1s. \]
Por densidad elegimos \(b\) con
\[ \frac{x}{a}<b<\frac1s. \]
Entonces \(b>0\), \(b\in\operatorname{inv}_D^+(\alpha)\) y \(x<ab\). Por tanto \(1_D\subseteq\alpha\cdot_D^+\operatorname{inv}_D^+(\alpha)\).
La igualdad con los factores invertidos se prueba sin usar conmutatividad posterior: en la primera inclusión los mismos testigos dan \(x<ba<1\); en la segunda, los \(a,b\) recién construidos satisfacen también \(x<ba\) por conmutatividad de la multiplicación racional. ∎
Proposición 6.7.5 — Compatibilidad con los recíprocos racionales positivos
Si \(p>0\) es racional, entonces
\[ \boxed{\operatorname{inv}_D^+(\iota_D(p))=\iota_D(p^{-1}).} \]
Demostración.
Sea \(q\in\operatorname{inv}_D^+(\delta_p)\). Si \(q\le0\), entonces \(q<p^{-1}\). Si \(q>0\), existe \(s>0\), \(s\notin\delta_p\), con \(q<s^{-1}\). De \(s\notin\delta_p\) se sigue \(p\le s\), y por inversión del orden \(s^{-1}\le p^{-1}\); luego \(q<p^{-1}\). Así el recíproco está contenido en \(\delta_{p^{-1}}\).
Recíprocamente, si \(q<p^{-1}\) y \(q\le0\), pertenece por la primera cláusula. Si \(q>0\), tomamos \(s=p\): \(p\notin\delta_p\) y \(q<p^{-1}=s^{-1}\). Por tanto \(q\) pertenece al recíproco. ∎
Definición 6.7.6 — Cortaduras no nulas
Definimos
\[ \boxed{\mathbb R_D^\times:=\{\alpha\in\mathbb R_D:\alpha\neq0_D\}.} \]
Nota fundacional. La condición \(\alpha\neq0_D\) es negativa. Para una cortadura arbitraria no proporciona constructivamente el signo de \(\alpha\) ni una separación positiva respecto de \(0_D\). La definición clásica del inverso general utilizará la tricotomía heredada de Proposición 6.5.2 — Tricotomía respecto del cero; una futura capa efectiva empleará datos positivos de apartness.
Definición 6.7.7 — Candidato a inverso general
Para \(\alpha\in\mathbb R_D^\times\) definimos
\[ \boxed{ J_D(\alpha) := \begin{cases} \operatorname{inv}_D^+(\alpha),&\alpha>_D0_D,\\[1ex] -_D\operatorname{inv}_D^+(-_D\alpha),&\alpha<_D0_D. \end{cases} } \]
Proposición 6.7.8 — El candidato general es no nulo
Para todo \(\alpha\in\mathbb R_D^\times\),
\[ \boxed{J_D(\alpha)\in\mathbb R_D^\times.} \]
Además conserva el signo de \(\alpha\).
Demostración.
Si \(\alpha>0_D\), Proposición 6.7.2 — El candidato a recíproco es una cortadura positiva hace \(J_D(\alpha)\) positivo. Si \(\alpha<0_D\), entonces \(-_D\alpha>0_D\); su recíproco positivo es positivo y su opuesto es negativo por Lema 6.5.3 — El opuesto intercambia los signos. En ambos casos el resultado es no nulo. ∎
Definición 6.7.9 — Inverso multiplicativo de Dedekind
La asignación anterior determina
\[ \boxed{ \operatorname{inv}_D:\mathbb R_D^\times\longrightarrow\mathbb R_D^\times, \qquad \alpha^{-1_D}:=\operatorname{inv}_D(\alpha). } \]
Teorema 6.7.10 — Ley del inverso multiplicativo
Para toda \(\alpha\in\mathbb R_D^\times\),
\[ \boxed{\alpha\cdot_D\alpha^{-1_D}=1_D=\alpha^{-1_D}\cdot_D\alpha.} \]
Demostración.
Si \(\alpha>0_D\), es Teorema 6.7.4 — Ley del inverso para cortaduras positivas, pues el producto general coincide con el positivo.
Si \(\alpha<0_D\), pongamos \(\beta:=-_D\alpha>0_D\). Entonces
\[ \alpha^{-1_D}=-_D\operatorname{inv}_D^+(\beta). \]
Ambos factores son negativos, de modo que
\[ \alpha\cdot_D\alpha^{-1_D} =(-_D\alpha)\cdot_D^+(-_D\alpha^{-1_D}) =\beta\cdot_D^+\operatorname{inv}_D^+(\beta) =1_D, \]
usando la involutividad del opuesto. El producto en el orden inverso se trata del mismo modo. ∎
Definición 6.7.11 — División de Dedekind (operación derivada)
Sean \(\alpha\in\mathbb R_D\) y \(\beta\in\mathbb R_D^\times\), es decir, \(\beta\neq0_D\). Definimos la división de Dedekind por
\[ \boxed{ \alpha\div_D\beta :=\alpha\cdot_D\beta^{-1_D}. } \]
Esta definición determina una operación con dominio y codominio explícitos:
\[ \boxed{ \div_D:\mathbb R_D\times\mathbb R_D^\times\longrightarrow\mathbb R_D. } \]
La operación está bien definida: Definición 6.7.9 — Inverso multiplicativo de Dedekind asigna a cada \(\beta\neq0_D\) un inverso multiplicativo único \(\beta^{-1_D}\in\mathbb R_D\), y Definición 6.5.6 — Multiplicación de Dedekind proporciona el producto único \(\alpha\cdot_D\beta^{-1_D}\in\mathbb R_D\); su clausura procede de Proposición 6.5.5 — Clausura y regla de signos del producto candidato. No se define \(\alpha\div_D0_D\). En un contexto donde los operandos estén tipados como cortaduras, también escribiremos \(\alpha/\beta\).
La división no es una nueva operación primitiva ni requiere axiomas adicionales: se obtiene de la multiplicación y la función inversa ya construidas. Su definición es extensional dentro de la base clásica del tratado y no afirma un algoritmo efectivo para cortaduras arbitrarias.
6.8. Leyes de cuerpo
La estructura aditiva está cerrada. Para promover \(\mathbb R_D\) a cuerpo debemos demostrar las leyes globales de la multiplicación y su interacción con la suma. Conviene comenzar registrando la compatibilidad aditiva del orden y, después, demostrar conmutatividad, asociatividad y distributividad primero en el cono positivo.
Proposición 6.8.1 — Invariancia del orden por traslación
Para \(\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb R_D\),
\[ \boxed{ \alpha\leq_D\beta \iff \alpha+_D\gamma\leq_D\beta+_D\gamma, } \]
y
\[ \boxed{ \alpha<_D\beta \iff \alpha+_D\gamma<_D\beta+_D\gamma. } \]
Demostración.
Si \(\alpha\leq_D\beta\), entonces \(\alpha\subseteq\beta\). Todo elemento \(x=a+c\) de \(\alpha+_D\gamma\) tiene \(a\in\alpha\subseteq\beta\) y \(c\in\gamma\), de modo que \(x\in\beta+_D\gamma\). Así la suma preserva \(\leq_D\).
Recíprocamente, si \(\alpha+_D\gamma\leq_D\beta+_D\gamma\), aplicamos la implicación ya probada sumando \(-_D\gamma\) a ambos miembros. La asociatividad, la ley del opuesto y el neutro reducen la desigualdad resultante a \(\alpha\leq_D\beta\).
Para el orden estricto, si \(\alpha<_D\beta\), la parte no estricta ya probada da \(\alpha+_D\gamma\leq_D\beta+_D\gamma\). La igualdad de estos dos miembros implicaría \(\alpha=\beta\) por cancelación, contradicción. La recíproca se obtiene trasladando por \(-_D\gamma\). ∎
Corolario 6.8.2 — Signo de una diferencia
Para \(\alpha,\beta\in\mathbb R_D\),
\[ \boxed{ \alpha<_D\beta \iff 0_D<_D\beta-_D\alpha. } \]
Demostración.
Trasladamos \(\alpha<_D\beta\) por \(-_D\alpha\) y usamos \(\alpha-_D\alpha=0_D\). La recíproca es la misma equivalencia leída en sentido inverso. ∎
Teorema 6.8.3 — Conmutatividad del producto positivo
Si \(\alpha,\beta\in\mathbb R_D^{>0}\), entonces
\[ \boxed{\alpha\cdot_D^+\beta=\beta\cdot_D^+\alpha.} \]
Demostración.
\(x\in\alpha\cdot_D^+\beta\) significa que existen \(a\in\alpha_{>0}\) y \(b\in\beta_{>0}\) con \(x<ab\). La conmutatividad del producto racional da \(ab=ba\), y los mismos testigos intercambiados muestran \(x\in\beta\cdot_D^+\alpha\). La recíproca es idéntica. ∎
Teorema 6.8.4 — Asociatividad del producto positivo
Para \(\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb R_D^{>0}\),
\[ \boxed{ (\alpha\cdot_D^+\beta)\cdot_D^+\gamma = \alpha\cdot_D^+(\beta\cdot_D^+\gamma). } \]
Demostración.
Sea \(x\in(\alpha\cdot_D^+\beta)\cdot_D^+\gamma\). Existen \(u>0\) y \(c\in\gamma_{>0}\) tales que
\[ u\in\alpha\cdot_D^+\beta, \qquad x<uc. \]
Existen \(a\in\alpha_{>0}\) y \(b\in\beta_{>0}\) con \(u<ab\). Como \(c>0\),
\[ x<uc<abc. \]
Si \(x\le0\), elegimos por densidad cualquier \(v\) con \(0<v<bc\). Entonces \(v\in\beta\cdot_D^+\gamma\) y \(x<0<av\), por lo que \(x\in\alpha\cdot_D^+(\beta\cdot_D^+\gamma)\).
Si \(x>0\), de \(x<abc\) y \(a>0\) se sigue \(x/a<bc\). Por densidad elegimos
\[ \frac xa<v<bc. \]
Entonces \(v>0\), \(v\in\beta\cdot_D^+\gamma\) y \(x<av\). Así obtenemos la primera inclusión.
Para la inclusión inversa, sea \(x\in\alpha\cdot_D^+(\beta\cdot_D^+\gamma)\). Existen \(a\in\alpha_{>0}\) y \(v>0\) con
\[ v\in\beta\cdot_D^+\gamma, \qquad x<av. \]
Existen \(b\in\beta_{>0}\) y \(c\in\gamma_{>0}\) con \(v<bc\). Por tanto
\[ x<av<abc. \]
Si \(x\le0\), por densidad elegimos \(0<u<ab\). Entonces \(u\in\alpha\cdot_D^+\beta\) y \(x<0<uc\), de modo que \(x\) pertenece al miembro izquierdo.
Si \(x>0\), de \(x<abc\) y \(c>0\) se obtiene \(x/c<ab\). Por densidad elegimos
\[ \frac xc<u<ab. \]
Entonces \(u>0\), \(u\in\alpha\cdot_D^+\beta\) y \(x<uc\). Así \(x\in(\alpha\cdot_D^+\beta)\cdot_D^+\gamma\).
Las dos inclusiones prueban la igualdad. ∎
Teorema 6.8.5 — Distributividad positiva
Si \(\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb R_D^{>0}\), entonces
\[ \boxed{ \alpha\cdot_D^+(\beta+_D\gamma) = (\alpha\cdot_D^+\beta)+_D(\alpha\cdot_D^+\gamma). } \]
Demostración.
Como \(0\in\beta\) y \(0\in\gamma\), tenemos \(0=0+0\in\beta+_D\gamma\); por Lema 6.4.2 — Caracterizaciones de la positividad, esta suma es positiva.
Sea
\[ x\in\alpha\cdot_D^+(\beta+_D\gamma). \]
Existen \(a\in\alpha_{>0}\) y \(u\in(\beta+_D\gamma)_{>0}\) con
\[ x<au. \]
Por definición de la suma existe una representación \(u=b_0+c_0\) con \(b_0\in\beta\) y \(c_0\in\gamma\). Como \(u>0\), no pueden ser ambos no positivos. Queremos una representación con ambos términos positivos.
Si \(b_0>0\) y \(c_0>0\), tomamos \(b=b_0\), \(c=c_0\). Supongamos \(b_0\le0\); entonces necesariamente \(c_0>0\). Como \(\beta\) es positiva, existe \(d\in\beta\) con \(d>0\). Elegimos \(b\in\mathbb Q\) con
\[ 0<b<\min\{u,d\}. \]
Esta elección puede hacerse por densidad, considerando primero el menor de los dos racionales positivos \(u,d\). Como \(b<d\) y \(d\in\beta\), la clausura inferior da \(b\in\beta\). Definimos \(c:=u-b\). Entonces \(c>0\). Además \(b>b_0\), por lo que
\[ c=u-b<u-b_0=c_0. \]
Como \(c_0\in\gamma\), se sigue \(c\in\gamma\). El caso \(c_0\le0\) es simétrico. Hemos obtenido siempre
\[ u=b+c, \qquad b\in\beta_{>0}, \quad c\in\gamma_{>0}. \]
Así
\[ x<a(b+c)=ab+ac. \]
De \(x-ac<ab\), la densidad proporciona \(y\) con
\[ x-ac<y<ab. \]
Pongamos \(z:=x-y\). Entonces \(y\in\alpha\cdot_D^+\beta\), mientras que \(z<ac\) implica \(z\in\alpha\cdot_D^+\gamma\). Como \(x=y+z\),
\[ x\in(\alpha\cdot_D^+\beta)+_D(\alpha\cdot_D^+\gamma). \]
Esto prueba la primera inclusión.
Recíprocamente, sea
\[ x\in(\alpha\cdot_D^+\beta)+_D(\alpha\cdot_D^+\gamma). \]
Existen \(y,z\) tales que
\[ x=y+z, \qquad y\in\alpha\cdot_D^+\beta, \qquad z\in\alpha\cdot_D^+\gamma. \]
Por definición del producto positivo existen
\[ a_1,a_2\in\alpha_{>0}, \qquad b\in\beta_{>0}, \qquad c\in\gamma_{>0} \]
con
\[ y<a_1b, \qquad z<a_2c. \]
Entre \(a_1\) y \(a_2\), sea \(m\) el mayor. Como \(m\) es uno de ellos, \(m\in\alpha\). La ausencia de máximo proporciona \(a\in\alpha\) con \(m<a\); en particular \(a>0\), \(a_1<a\) y \(a_2<a\). Como \(b,c>0\),
\[ x=y+z<a_1b+a_2c<ab+ac=a(b+c). \]
Además \(b+c\in\beta+_D\gamma\) y \(b+c>0\). Por tanto
\[ x\in\alpha\cdot_D^+(\beta+_D\gamma). \]
La doble inclusión prueba la identidad distributiva. ∎
Lema 6.8.6 — Opuesto de una suma
Para \(\alpha,\beta\in\mathbb R_D\),
\[ \boxed{ -_D(\alpha+_D\beta) = (-_D\alpha)+_D(-_D\beta). } \]
Demostración.
Por asociatividad y conmutatividad,
\[ (\alpha+_D\beta)+_D\bigl((-_D\alpha)+_D(-_D\beta)\bigr) = (\alpha+_D(-_D\alpha))+_D(\beta+_D(-_D\beta)) =0_D. \]
La unicidad del inverso aditivo da la igualdad. ∎
Lema 6.8.7 — Reglas de signo para el producto
Para \(\alpha,\beta\in\mathbb R_D\),
\[ \boxed{(-_D\alpha)\cdot_D\beta=-_D(\alpha\cdot_D\beta),} \]
\[ \boxed{\alpha\cdot_D(-_D\beta)=-_D(\alpha\cdot_D\beta),} \]
y
\[ \boxed{(-_D\alpha)\cdot_D(-_D\beta)=\alpha\cdot_D\beta.} \]
Demostración.
Si alguno de los factores es \(0_D\), las identidades se reducen a \(-_D0_D=0_D\). Supongamos ambos no nulos. Por tricotomía hay cuatro combinaciones de signos. En cada una, la definición Definición 6.5.4 — Producto signado candidato reduce ambos miembros al mismo producto positivo, con o sin un único opuesto exterior.
Por ejemplo, si \(\alpha,\beta>_D0_D\),
\[ (-_D\alpha)\cdot_D\beta =-_D(\alpha\cdot_D^+\beta) =-_D(\alpha\cdot_D\beta). \]
Si \(\alpha>_D0_D>_D\beta\),
\[ (-_D\alpha)\cdot_D\beta =\alpha\cdot_D^+(-_D\beta), \]
mientras
\[ -_D(\alpha\cdot_D\beta) =-_D\bigl(-_D(\alpha\cdot_D^+(-_D\beta))\bigr) =\alpha\cdot_D^+(-_D\beta) \]
por involutividad. Los otros signos se verifican del mismo modo y las otras dos fórmulas son las mismas verificaciones con el factor negado correspondiente. ∎
Proposición 6.8.8 — Distributividad para un factor positivo
Si \(\alpha>_D0_D\), entonces, para \(\beta,\gamma\in\mathbb R_D\),
\[ \boxed{ \alpha\cdot_D(\beta+_D\gamma) = \alpha\cdot_D\beta+_D\alpha\cdot_D\gamma. } \]
Demostración.
Si alguno de \(\beta,\gamma\) es cero, la identidad es inmediata. Si ambos son positivos, es Teorema 6.8.5 — Distributividad positiva.
Si ambos son negativos, escribimos \(\beta=-_DB\) y \(\gamma=-_DC\) con \(B,C>_D0_D\). Por Lema 6.8.6 — Opuesto de una suma,
\[ \beta+_D\gamma=-_D(B+_DC). \]
Las reglas de signo y la distributividad positiva dan
\[ \begin{aligned} \alpha(\beta+\gamma) &=-_D\bigl(\alpha(B+C)\bigr)\\ &=-_D(\alpha B+\alpha C)\\ &=(-_D\alpha B)+(-_D\alpha C)\\ &=\alpha\beta+\alpha\gamma. \end{aligned} \]
Supongamos ahora \(\beta>_D0_D>_D\gamma\) y pongamos \(C:=-_D\gamma>_D0_D\).
Si \(\beta=C\), entonces \(\beta+\gamma=0_D\) y ambos miembros son cero.
Si \(C<_D\beta\), definimos \(D:=\beta-_DC\). Por Corolario 6.8.2 — Signo de una diferencia, \(D>_D0_D\), y \(C+_DD=\beta\). La distributividad positiva da
\[ \alpha\beta=\alpha C+_D\alpha D. \]
Por cancelación aditiva,
\[ \alpha D=\alpha\beta-_D\alpha C. \]
Pero \(\beta+\gamma=D\) y \(\alpha\gamma=-_D(\alpha C)\) por las reglas de signo; por tanto la identidad requerida vale.
Si \(\beta<_DC\), definimos \(D:=C-_D\beta>_D0_D\). Entonces \(C=\beta+_DD\) y \(\beta+\gamma=-_DD\). La distributividad positiva produce
\[ \alpha C=\alpha\beta+_D\alpha D. \]
Por cancelación,
\[ \alpha\beta-_D\alpha C=-_D(\alpha D), \]
que es precisamente
\[ \alpha\beta+_D\alpha\gamma = \alpha(\beta+\gamma). \]
El caso \(\beta<_D0_D<_D\gamma\) se obtiene intercambiando \(\beta\) y \(\gamma\) y usando la conmutatividad de la suma. ∎
Teorema 6.8.9 — Conmutatividad de la multiplicación
Para \(\alpha,\beta\in\mathbb R_D\),
\[ \boxed{\alpha\cdot_D\beta=\beta\cdot_D\alpha.} \]
Demostración.
Si alguno es cero, es inmediato. Si ambos son positivos, es Teorema 6.8.3 — Conmutatividad del producto positivo. Si ambos son negativos, la definición reduce ambos miembros a
\[ (-_D\alpha)\cdot_D^+(-_D\beta) \]
y su versión con factores intercambiados, iguales por Teorema 6.8.3 — Conmutatividad del producto positivo. Si tienen signos opuestos, ambos productos son el opuesto del mismo producto positivo, nuevamente por Teorema 6.8.3 — Conmutatividad del producto positivo. ∎
Teorema 6.8.10 — Asociatividad de la multiplicación
Para \(\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb R_D\),
\[ \boxed{(\alpha\cdot_D\beta)\cdot_D\gamma =\alpha\cdot_D(\beta\cdot_D\gamma).} \]
Demostración.
Si alguno de los tres factores es cero, ambos miembros son cero. Supongamos los tres no nulos. A cada uno asociamos su parte positiva: si es positivo, lo dejamos igual; si es negativo, tomamos su opuesto. Obtenemos \(A,B,C>_D0_D\).
La definición signada y Lema 6.8.7 — Reglas de signo para el producto muestran que ambos miembros tienen el mismo signo: positivo si hay un número par de factores negativos y negativo si hay un número impar. Su núcleo positivo es, respectivamente,
\[ (A\cdot_D^+B)\cdot_D^+C \]
y
\[ A\cdot_D^+(B\cdot_D^+C). \]
Estos núcleos son iguales por Teorema 6.8.4 — Asociatividad del producto positivo. Con el mismo signo exterior, los productos generales son iguales. ∎
Teorema 6.8.11 — Distributividad general
Para \(\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb R_D\),
\[ \boxed{ \alpha\cdot_D(\beta+_D\gamma) = \alpha\cdot_D\beta+_D\alpha\cdot_D\gamma. } \]
También
\[ \boxed{ (\beta+_D\gamma)\cdot_D\alpha = \beta\cdot_D\alpha+_D\gamma\cdot_D\alpha. } \]
Demostración.
Si \(\alpha=0_D\), es inmediato. Si \(\alpha>_D0_D\), la primera igualdad es Proposición 6.8.8 — Distributividad para un factor positivo.
Si \(\alpha<_D0_D\), pongamos \(A:=-_D\alpha>_D0_D\). Entonces \(\alpha=-_DA\), y
\[ \begin{aligned} \alpha(\beta+\gamma) &=-_D\bigl(A(\beta+\gamma)\bigr)\\ &=-_D(A\beta+A\gamma)\\ &=(-_DA\beta)+(-_DA\gamma)\\ &=\alpha\beta+\alpha\gamma, \end{aligned} \]
usando Proposición 6.8.8 — Distributividad para un factor positivo, Lema 6.8.6 — Opuesto de una suma y las reglas de signo. La distributividad por la derecha se sigue de Teorema 6.8.9 — Conmutatividad de la multiplicación. ∎
Teorema 6.8.12 — \(\mathbb R_D\) es un cuerpo
La estructura
\[ \boxed{(\mathbb R_D,+_D,\cdot_D,0_D,1_D)} \]
es un cuerpo.
Demostración.
La estructura aditiva es un grupo abeliano por Teorema 6.3.10 — Estructura de grupo abeliano aditivo. La multiplicación es conmutativa y asociativa por Teorema 6.8.9 — Conmutatividad de la multiplicación y Teorema 6.8.10 — Asociatividad de la multiplicación; \(1_D\) es neutro por Teorema 6.6.5 — Leyes de la unidad multiplicativa; la distributividad es Teorema 6.8.11 — Distributividad general; \(0_D\neq1_D\) por Proposición 6.6.2 — La unidad de Dedekind es estrictamente positiva; y todo elemento no nulo posee inverso multiplicativo por Teorema 6.7.10 — Ley del inverso multiplicativo. Son exactamente las leyes de cuerpo fijadas por Convención 3.6.7 — Terminología de cuerpo. ∎
Proposición 6.8.13 — Compatibilidad del orden de Dedekind con las operaciones
El orden \(\le_D\) satisface:
- si \(\alpha\le_D\beta\), entonces \[ \alpha+_D\gamma\le_D\beta+_D\gamma; \]
- si \(0_D\le_D\alpha\) y \(0_D\le_D\beta\), entonces \[ \boxed{0_D\le_D\alpha\cdot_D\beta.} \]
Demostración.
La primera afirmación está contenida en Proposición 6.8.1 — Invariancia del orden por traslación. Para la segunda, por tricotomía cada factor no negativo es cero o estrictamente positivo. Si alguno es cero, el producto es \(0_D\). Si ambos son positivos, Proposición 6.5.5 — Clausura y regla de signos del producto candidato da un producto estrictamente positivo. En ambos casos \(0_D\le_D\alpha\beta\). ∎
Teorema 6.8.14 — El modelo de Dedekind es un cuerpo ordenado
La estructura
\[ \boxed{(\mathbb R_D,+_D,\cdot_D,\le_D)} \]
es un cuerpo ordenado.
Demostración.
Teorema 6.8.12 — \(\mathbb R_D\) es un cuerpo da la estructura de cuerpo, Teorema 5.4.2 — La inclusión ordena totalmente las cortaduras el orden total y Proposición 6.8.13 — Compatibilidad del orden de Dedekind con las operaciones la compatibilidad del orden con las operaciones. Son exactamente las condiciones de Definición 4.1.1 — Cuerpo ordenado. ∎
Corolario 6.8.15 — La aplicación canónica es una incrustación de cuerpos ordenados
La aplicación
\[ \boxed{\iota_D:\mathbb Q\hookrightarrow\mathbb R_D} \]
es una incrustación de cuerpos ordenados. En particular,
\[ \begin{aligned} \iota_D(p+q)&=\iota_D(p)+_D\iota_D(q),\\ \iota_D(pq)&=\iota_D(p)\cdot_D\iota_D(q),\\ \iota_D(0_{\mathbb Q})&=0_D,\\ \iota_D(1_{\mathbb Q})&=1_D,\\ p\le q&\iff\iota_D(p)\le_D\iota_D(q). \end{aligned} \]
Demostración.
La suma se preserva por Proposición 6.1.5 — La adición de Dedekind prolonga la suma racional, el producto por Proposición 6.5.7 — La multiplicación de Dedekind prolonga la multiplicación racional, las constantes por Definición 6.2.1 — Cero de Dedekind y Definición 6.6.1 — Unidad de Dedekind, el orden se preserva y refleja por Proposición 5.5.2 — Caracterización del orden mediante la aplicación canónica, y la inyectividad es Corolario 5.5.3 — \(\iota_D\) es inyectiva y preserva y refleja el orden estricto. Como ambos lados son cuerpos ordenados, se cumplen las condiciones de Definición 4.8.1 — Incrustación de cuerpos ordenados. ∎
Corolario 6.8.16 — Compatibilidad con los inversos racionales
Si \(p\in\mathbb Q\) y \(p\neq0_{\mathbb Q}\), entonces
\[ \boxed{ \iota_D(p^{-1})=\iota_D(p)^{-1_D}. } \]
Demostración.
Por Proposición 3.6.5 — Ley del inverso multiplicativo, \(pp^{-1}=1_{\mathbb Q}\). Como \(\iota_D\) preserva producto y unidad,
\[ \iota_D(p)\cdot_D\iota_D(p^{-1})=1_D. \]
La inyectividad y \(p\neq0\) implican \(\iota_D(p)\neq0_D\), de modo que Teorema 6.7.10 — Ley del inverso multiplicativo da
\[ \iota_D(p)\cdot_D\iota_D(p)^{-1_D}=1_D. \]
Multiplicamos la primera igualdad por \(\iota_D(p)^{-1_D}\) y usamos asociatividad, conmutatividad, la ley del inverso y la unidad:
\[ \begin{aligned} \iota_D(p^{-1}) &=1_D\cdot_D\iota_D(p^{-1})\\ &=(\iota_D(p)^{-1_D}\cdot_D\iota_D(p))\cdot_D\iota_D(p^{-1})\\ &=\iota_D(p)^{-1_D}\cdot_D(\iota_D(p)\cdot_D\iota_D(p^{-1}))\\ &=\iota_D(p)^{-1_D}\cdot_D1_D\\ &=\iota_D(p)^{-1_D}. \end{aligned} \]
∎
Compatibilidad con la división racional. Si \(p,q\in\mathbb Q\) y \(q\neq0_{\mathbb Q}\), las propiedades de la incrustación y el corolario anterior dan
\[ \begin{aligned} \iota_D(p/q) &=\iota_D(pq^{-1})\\ &=\iota_D(p)\cdot_D\iota_D(q^{-1})\\ &=\iota_D(p)\cdot_D\iota_D(q)^{-1_D}\\ &=\iota_D(p)\div_D\iota_D(q). \end{aligned} \]
El denominador de la última expresión es no nulo por la inyectividad de \(\iota_D\). Así, la división derivada prolonga exactamente la división ya definida sobre \(\mathbb Q\).
6.9. Qué hemos construido
En el Capítulo 5 obtuvimos únicamente una ampliación ordenada. En este capítulo construimos directamente sobre las cortaduras
\[ +_D, \qquad -_D, \qquad \cdot_D, \qquad (\cdot)^{-1_D}, \qquad \div_D, \qquad 0_D, \qquad 1_D, \]
y demostramos
\[ \boxed{(\mathbb R_D,+_D,\cdot_D,\le_D)\text{ es un cuerpo ordenado}.} \]
La aplicación canónica es ahora, en sentido pleno,
\[ \boxed{\iota_D:\mathbb Q\hookrightarrow\mathbb R_D} \]
como incrustación de cuerpos ordenados, y satisface
\[ \begin{aligned} \iota_D(p+q)&=\iota_D(p)+_D\iota_D(q),\\ \iota_D(p-q)&=\iota_D(p)-_D\iota_D(q),\\ \iota_D(pq)&=\iota_D(p)\cdot_D\iota_D(q),\\ \iota_D(p^{-1})&=\iota_D(p)^{-1_D}\qquad(p\neq0),\\ \iota_D(p/q)&=\iota_D(p)\div_D\iota_D(q)\qquad(q\neq0),\\ \iota_D(0_{\mathbb Q})&=0_D,\\ \iota_D(1_{\mathbb Q})&=1_D. \end{aligned} \]
Hasta este punto no hemos utilizado completitud de \(\mathbb R_D\); todavía no ha sido demostrada. La propiedad que motivó la construcción será el objeto del capítulo siguiente.
Si \(\mathcal A\subseteq\mathbb R_D\) es no vacía y está acotada superiormente, el candidato natural a supremo es
\[ \boxed{\bigcup\mathcal A.} \]
Habrá que demostrar que esta unión es una cortadura, que contiene a cada miembro de \(\mathcal A\) y que está contenida en toda cota superior. Sólo entonces podremos concluir que \(\mathbb R_D\) es un cuerpo ordenado completo.
6.10. Notas de cierre y control fundacional
Toda la aritmética del capítulo se construyó dentro de ZF. Los usos conjuntistas nuevos se reducen a productos cartesianos y Separación para formar los grafos y subconjuntos definidos. Las elecciones de testigos en las demostraciones son siempre finitas o locales; no se ha utilizado el axioma de elección.
Las propiedades fuertes de \(\mathbb Q\) utilizadas en puntos específicos fueron:
- densidad del orden racional;
- propiedad arquimediana, exclusivamente en el lema de aproximación de frontera;
- estructura de cuerpo ordenado ya construida.
No se ha utilizado la propiedad del supremo ni ninguna forma de completitud. Por tanto, el próximo capítulo podrá demostrar la completitud de \(\mathbb R_D\) sin circularidad.
La auditoría fundacional distingue además dos capas. Las operaciones anteriores existen extensionalmente sobre todas las cortaduras clásicas, pero varias construcciones —opuesto, producto signado e inverso— heredan pasos clásicos de obtención de testigos o tricotomía de signo. En particular, \[ \boxed{ \text{aritmética bien definida en }\mathbb R_D \not\Rightarrow \text{aritmética computable sobre una presentación arbitraria de cortaduras}. } \] No se ha introducido en este capítulo una noción de “cortadura computable”; esa cuestión requerirá una representación intensional estable bajo las operaciones.