Tratado de análisis — Capítulo 7 — Completitud de los reales de Dedekind
Capítulo 7 — Completitud de los reales de Dedekind
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Parte I — Fundamentos y construcción de los números reales
7.0. El problema que queda
Hemos construido el conjunto de los reales de Dedekind \(\mathbb R_D\) y demostrado que
\[ \boxed{(\mathbb R_D,+_D,\cdot_D,\leq_D)} \]
es un cuerpo ordenado. Además,
\[ \boxed{\iota_D:\mathbb Q\hookrightarrow\mathbb R_D} \]
es una incrustación de cuerpos ordenados.
Pero ésta no era todavía la propiedad que motivó la construcción. La insuficiencia fundamental de \(\mathbb Q\) no consistía en carecer de operaciones algebraicas ni de un orden compatible con ellas: los racionales ya poseían todo eso. Su defecto era que ciertos subconjuntos no vacíos y acotados superiormente carecían de supremo.
Debemos demostrar que esa insuficiencia ha desaparecido.
Sea \(\mathcal A\subseteq\mathbb R_D\) una familia no vacía de cortaduras y supongamos que posee una cota superior. Cada elemento de \(\mathcal A\) es a su vez un subconjunto de \(\mathbb Q\). Por ello existe un candidato extraordinariamente natural a frontera común:
\[ \boxed{\bigcup\mathcal A.} \]
La idea fundamental de la construcción alcanza aquí su forma más simple: el supremo de una familia de lados inferiores debe ser el lado inferior obtenido reuniéndolos todos.
El trabajo del capítulo consistirá en probar que esta intuición conjuntista coincide exactamente con la propiedad de completitud definida en el Capítulo 4.
7.1. Cotas en \(\mathbb R_D\)
Proposición 7.1.1 — Caracterización conjuntista de las cotas superiores
Sean \(\mathcal A\subseteq\mathbb R_D\) y \(\beta\in\mathbb R_D\). Entonces \(\beta\) es una cota superior de \(\mathcal A\) si y sólo si
\[ \boxed{\forall\alpha\in\mathcal A,\quad \alpha\subseteq\beta.} \]
Demostración.
Por definición, \(\beta\) es una cota superior de \(\mathcal A\) precisamente cuando
\[ \forall\alpha\in\mathcal A,\qquad \alpha\leq_D\beta. \]
Pero el orden de Dedekind fue definido por
\[ \alpha\leq_D\beta\iff\alpha\subseteq\beta. \]
Sustituyendo una condición por la otra obtenemos la equivalencia. ∎
En el modelo de Dedekind, por tanto, ser una cota superior significa contener a cada una de las cortaduras de la familia.
7.2. Construcción del candidato a supremo
Definición 7.2.1 — Unión de una familia de cortaduras
Sea \(\mathcal A\subseteq\mathbb R_D\). Definimos
\[ \boxed{U_D(\mathcal A):=\bigcup\mathcal A.} \]
Equivalentemente,
\[ \boxed{q\in U_D(\mathcal A)\iff \exists\alpha\in\mathcal A\;(q\in\alpha).} \]
Como \(\mathcal A\) es un conjunto de conjuntos, el axioma de Unión garantiza la existencia de \(\bigcup\mathcal A\). Puesto que cada \(\alpha\in\mathcal A\) satisface \(\alpha\subseteq\mathbb Q\), también
\[ U_D(\mathcal A)\subseteq\mathbb Q. \]
No afirmamos todavía que \(U_D(\mathcal A)\) sea una cortadura. Si la familia no estuviera acotada superiormente, su unión podría llegar a ser todo \(\mathbb Q\).
7.3. Verificación de que la unión es una cortadura
Proposición 7.3.1 — Unión de una familia no vacía y acotada
Sea \(\mathcal A\subseteq\mathbb R_D\) una familia no vacía y acotada superiormente. Entonces
\[ \boxed{U_D(\mathcal A)=\bigcup\mathcal A\in\mathbb R_D.} \]
Demostración.
Verificamos las cuatro condiciones de una cortadura.
No vaciedad. Como \(\mathcal A\neq\varnothing\), existe \(\alpha_0\in\mathcal A\). Como \(\alpha_0\) es una cortadura, existe \(q\in\alpha_0\). Por definición de unión,
\[ q\in\bigcup\mathcal A. \]
Así, \(\bigcup\mathcal A\neq\varnothing\). Las dos instanciaciones existenciales son locales y finitas; no interviene Choice.
Propiedad. Como \(\mathcal A\) está acotada superiormente, existe una cota superior \(\beta\in\mathbb R_D\). Por Proposición 7.1.1 — Caracterización conjuntista de las cotas superiores,
\[ \alpha\subseteq\beta \qquad(\alpha\in\mathcal A). \]
Si \(q\in\bigcup\mathcal A\), existe \(\alpha\in\mathcal A\) con \(q\in\alpha\), y por tanto \(q\in\beta\). Luego
\[ \bigcup\mathcal A\subseteq\beta. \]
Como \(\beta\) es una cortadura, \(\beta\neq\mathbb Q\). Si \(\bigcup\mathcal A=\mathbb Q\), tendríamos \(\mathbb Q\subseteq\beta\) y, como \(\beta\subseteq\mathbb Q\), la extensionalidad daría \(\beta=\mathbb Q\), contradicción. Por tanto,
\[ \bigcup\mathcal A\neq\mathbb Q. \]
Éste es el único punto en el que se utiliza la hipótesis de acotación superior.
Clausura inferior. Sea \(q\in\bigcup\mathcal A\) y \(r<q\). Existe \(\alpha\in\mathcal A\) tal que \(q\in\alpha\). Como \(\alpha\) es cerrada hacia abajo, \(r\in\alpha\); luego \(r\in\bigcup\mathcal A\).
Ausencia de máximo. Sea \(q\in\bigcup\mathcal A\). Existe \(\alpha\in\mathcal A\) con \(q\in\alpha\). Como \(\alpha\) no posee máximo, existe \(r\in\alpha\) tal que \(q<r\). Entonces \(r\in\bigcup\mathcal A\).
Se cumplen las cuatro condiciones de Definición 5.1.1 — Cortadura de Dedekind; por tanto,
\[ \boxed{\bigcup\mathcal A\in\mathbb R_D.} \]
∎
Tres propiedades —no vaciedad, clausura inferior y ausencia de máximo— pasan localmente de las cortaduras a su unión. Sólo la propiedad \(\bigcup\mathcal A\neq\mathbb Q\) exige información global, y esa información es exactamente la existencia de una cota superior.
Nota fundacional. El primer paso de la prueba convierte clásicamente \(\mathcal A\neq\varnothing\) en un testigo \(\alpha_0\in\mathcal A\) y luego \(\alpha_0\neq\varnothing\) en \(q\in\alpha_0\). Con una familia habitada y cortaduras acompañadas de habitabilidad interior, el núcleo de la prueba es constructivamente robusto y sigue sin requerir Choice.
La situación cambia si fortalecemos las cortaduras con locatedness. Aunque cada \(\alpha\in\mathcal A\) sea localizada, una unión arbitraria \(\bigcup\mathcal A\) no hereda automáticamente locatedness: para decidir positivamente, dados \(p<q\), entre \(p\in\bigcup\mathcal A\) y \(q\notin\bigcup\mathcal A\) hace falta información uniforme adicional sobre la familia. Este hecho no afecta la completitud clásica demostrada aquí.
7.4. Demostración de la propiedad del supremo
Teorema 7.4.1 — El supremo de una familia de cortaduras es su unión
Sea \(\mathcal A\subseteq\mathbb R_D\) una familia no vacía y acotada superiormente. Entonces \(U_D(\mathcal A)\) es el supremo de \(\mathcal A\) y, por la unicidad establecida en Proposición 0.7.8 — Unicidad de supremo e ínfimo, podemos escribir
\[ \boxed{\sup_D\mathcal A=\bigcup\mathcal A.} \]
Demostración.
Por Proposición 7.3.1 — Unión de una familia no vacía y acotada, \(U_D(\mathcal A)=\bigcup\mathcal A\) pertenece a \(\mathbb R_D\).
Primero es una cota superior. Si \(\alpha\in\mathcal A\), entonces
\[ \alpha\subseteq\bigcup\mathcal A, \]
y por la definición del orden de Dedekind,
\[ \alpha\leq_D\bigcup\mathcal A. \]
Ahora sea \(\gamma\in\mathbb R_D\) cualquier cota superior de \(\mathcal A\). Por Proposición 7.1.1 — Caracterización conjuntista de las cotas superiores, toda \(\alpha\in\mathcal A\) satisface \(\alpha\subseteq\gamma\). Si \(q\in\bigcup\mathcal A\), existe \(\alpha\in\mathcal A\) con \(q\in\alpha\), y por ello \(q\in\gamma\). Así,
\[ \bigcup\mathcal A\subseteq\gamma, \]
es decir,
\[ \bigcup\mathcal A\leq_D\gamma. \]
Por tanto la unión es una cota superior menor o igual que cualquier otra cota superior: es el supremo. ∎
La operación que repara la incompletitud racional resulta ser una de las operaciones conjuntistas más elementales:
\[ \boxed{\sup_D\mathcal A=\bigcup\mathcal A.} \]
Para una familia dada que satisface las hipótesis, la fórmula del supremo es literalmente la unión. Esto debe distinguirse de un operador efectivo global. Puede definirse conjuntistamente, sobre el dominio apropiado de subconjuntos no vacíos y acotados de \(\mathbb R_D\), una función canónica \[ \operatorname{Sup}_D(\mathcal A):=\bigcup\mathcal A, \] sin Choice, porque el valor es único. Pero su existencia extensional sobre un dominio construido dentro de \(\mathcal P(\mathbb R_D)\) no suministra por sí sola una representación computable de las familias ni un algoritmo uniforme de supremo.
Teorema 7.4.2 — Completitud del cuerpo de Dedekind
La estructura
\[ \boxed{(\mathbb R_D,+_D,\cdot_D,\leq_D)} \]
es un cuerpo ordenado completo.
Demostración.
Por Teorema 6.8.14 — El modelo de Dedekind es un cuerpo ordenado, \(\mathbb R_D\) es un cuerpo ordenado. Sea \(\mathcal A\subseteq\mathbb R_D\) no vacío y acotado superiormente. Teorema 7.4.1 — El supremo de una familia de cortaduras es su unión demuestra que
\[ \sup_D\mathcal A=\bigcup\mathcal A\in\mathbb R_D. \]
Así, todo subconjunto no vacío y acotado superiormente de \(\mathbb R_D\) posee supremo en \(\mathbb R_D\). Ésta es exactamente la propiedad del supremo de Definición 4.6.1 — Propiedad del supremo y cuerpo ordenado completo. Por tanto,
\[ \boxed{\mathbb R_D\text{ es un cuerpo ordenado completo}.} \]
∎
Nota fundacional. La completitud anterior cuantifica sobre todos los subconjuntos de \(\mathbb R_D\) que satisfacen las hipótesis. Es una propiedad extensional clásica: \[ \boxed{ \text{completitud plena} \neq \text{algoritmo uniforme de supremo}. } \] El resultado no utiliza Choice, pero tampoco afirma que una familia arbitraria venga acompañada de una presentación efectiva.
7.5. Consecuencias inmediatas
Corolario 7.5.1 — Propiedad del ínfimo en \(\mathbb R_D\)
Todo subconjunto no vacío de \(\mathbb R_D\) que esté acotado inferiormente posee ínfimo en \(\mathbb R_D\).
Demostración.
Proposición 4.6.2 — La propiedad del supremo implica la propiedad del ínfimo demuestra que, en un cuerpo ordenado, la propiedad del supremo implica la propiedad del ínfimo. Aplicamos ese resultado a Teorema 7.4.2 — Completitud del cuerpo de Dedekind. ∎
Corolario 7.5.2 — El cuerpo de Dedekind es arquimediano
El cuerpo ordenado \(\mathbb R_D\) es arquimediano.
Demostración.
Teorema 4.6.3 — Todo cuerpo ordenado completo es arquimediano establece que todo cuerpo ordenado completo es arquimediano. La hipótesis se cumple por Teorema 7.4.2 — Completitud del cuerpo de Dedekind. ∎
Proposición 7.5.3 — El modelo de Dedekind es una completación ordenada de \(\mathbb Q\)
El par formado por el cuerpo ordenado completo \(\mathbb R_D\) y la incrustación canónica
\[ \iota_D:\mathbb Q\hookrightarrow\mathbb R_D \]
es una completación ordenada de \(\mathbb Q\) en el sentido de Definición 4.8.2 — Completación ordenada de \(\mathbb Q\).
Demostración.
Corolario 6.8.15 — La aplicación canónica es una incrustación de cuerpos ordenados demuestra que \(\iota_D\) es una incrustación de cuerpos ordenados. Teorema 7.4.2 — Completitud del cuerpo de Dedekind demuestra que su codominio \(\mathbb R_D\) es un cuerpo ordenado completo. Son exactamente los datos exigidos por Definición 4.8.2 — Completación ordenada de \(\mathbb Q\). ∎
Corolario 7.5.4 — Densidad de la copia racional
La imagen
\[ \boxed{\iota_D[\mathbb Q]} \]
es densa en \(\mathbb R_D\). En particular, si
\[ \alpha<_D\beta, \]
existe \(q\in\mathbb Q\) tal que
\[ \boxed{\alpha<_D\iota_D(q)<_D\beta.} \]
Demostración.
Por Proposición 7.5.3 — El modelo de Dedekind es una completación ordenada de \(\mathbb Q\), \((\mathbb R_D,\iota_D)\) es una completación ordenada de \(\mathbb Q\). Proposición 4.8.3 — La imagen racional de una completación es densa establece que la imagen racional de toda completación ordenada de \(\mathbb Q\) es densa. ∎
La copia de los racionales no sólo está contenida estructuralmente en el modelo: continúa pudiendo aproximar desde ambos lados cualquier posición real.
Lema 7.5.5 — Pertenencia a una cortadura y posición de la copia racional
Para toda \(\alpha\in\mathbb R_D\) y todo \(q\in\mathbb Q\),
\[ \boxed{q\in\alpha\iff\iota_D(q)<_D\alpha.} \]
Demostración.
Supongamos primero \(q\in\alpha\). Si \(r\in\delta_q\), entonces \(r<q\) y la clausura inferior de \(\alpha\) da \(r\in\alpha\). Así \(\delta_q\subseteq\alpha\). La inclusión es propia porque \(q\in\alpha\) mientras \(q\notin\delta_q\). Por tanto
\[ \iota_D(q)=\delta_q<_D\alpha. \]
Recíprocamente, supongamos \(\delta_q\subsetneq\alpha\). Existe \(x\in\alpha\setminus\delta_q\). Entonces no se cumple \(x<q\), y por totalidad del orden racional,
\[ q\le x. \]
Si \(q=x\), entonces \(q\in\alpha\). Si \(q<x\), la clausura inferior de \(\alpha\) vuelve a dar \(q\in\alpha\). ∎
Nota fundacional. La dirección \[ q\in\alpha\Longrightarrow\iota_D(q)<_D\alpha \] es positiva. La recíproca, con el orden estricto actual definido mediante desigualdad extensional, extrae de \(\delta_q\subsetneq\alpha\) un testigo \(x\in\alpha\setminus\delta_q\) y utiliza negación clásica de cuantificadores. Por tanto las dos direcciones no tienen la misma fuerza constructiva.
Este lema convierte una afirmación interna sobre los racionales que forman una cortadura en una afirmación externa sobre la posición de la copia racional dentro de \(\mathbb R_D\).
Teorema 7.5.6 — Existencia y unicidad de la raíz cuadrada positiva de \(2\)
Existe un único \(\rho\in\mathbb R_D\) tal que
\[ \boxed{0_D<_D\rho\qquad\text{y}\qquad \rho^2=\iota_D(2_{\mathbb Q}).} \]
Demostración.
Para abreviar escribamos en esta demostración
\[ 2_D:=\iota_D(2_{\mathbb Q}), \qquad 4_D:=\iota_D(4_{\mathbb Q}), \qquad 5_D:=\iota_D(5_{\mathbb Q}). \]
Consideremos
\[ E_2:=\{x\in\mathbb R_D:0_D\leq_Dx\ \land\ x^2<_D2_D\}. \]
El conjunto existe por Separación sobre \(\mathbb R_D\).
No vaciedad. Como \(1_{\mathbb Q}^2<2_{\mathbb Q}\), la preservación de la aritmética y del orden por \(\iota_D\) da
\[ 1_D^2<_D2_D. \]
Así \(1_D\in E_2\).
Acotación superior. Afirmamos que \(2_D\) es cota superior. Si \(x\in E_2\) y \(2_D\leq_Dx\), entonces \(0_D<_D2_D\leq_Dx\). La compatibilidad del orden con el producto da
\[ 4_D=2_D^2\leq_Dx^2<_D2_D, \]
lo cual contradice \(2_D<_D4_D\). Luego \(x<_D2_D\) para todo \(x\in E_2\).
Por completitud existe
\[ s:=\sup_D E_2. \]
Como \(1_D\in E_2\) y \(2_D\) es cota superior,
\[ 1_D\leq_Ds\leq_D2_D. \]
En particular, \(s>_D0_D\).
Demostraremos que \(s^2=2_D\).
Supongamos primero
\[ s^2<_D2_D. \]
Pongamos
\[ d:=2_D-s^2>_D0_D. \]
Como \(d\cdot_D5_D^{-1_D}>_D0_D\), y \(1_D>_D0_D\), por totalidad uno de estos dos elementos es menor o igual que el otro. Llamemos \(m\) al menor. Entonces \(m>_D0_D\). Por la densidad de \(\iota_D[\mathbb Q]\) existe \(\varepsilon\in\iota_D[\mathbb Q]\) tal que
\[ 0_D<_D\varepsilon<_Dm. \]
En particular,
\[ \varepsilon<_D1_D, \qquad 5_D\varepsilon<_Dd. \]
Como \(s\leq_D2_D\),
\[ 2_Ds+_D\varepsilon<_D5_D. \]
Por positividad,
\[ \varepsilon(2_Ds+_D\varepsilon)<_D5_D\varepsilon<_Dd. \]
Usando la identidad cuadrática,
\[ (s+_D\varepsilon)^2 =s^2+_D\varepsilon(2_Ds+_D\varepsilon) <_Ds^2+_Dd =2_D. \]
Además \(s+_D\varepsilon>_Ds>_D0_D\), de modo que \(s+_D\varepsilon\in E_2\). Esto contradice que \(s\) sea una cota superior de \(E_2\).
Por tanto no puede ocurrir \(s^2<_D2_D\).
Supongamos ahora
\[ 2_D<_Ds^2. \]
Pongamos
\[ d:=s^2-_D2_D>_D0_D. \]
Los elementos \(s\) y \(d\cdot_D4_D^{-1_D}\) son positivos. Sea \(m\) el menor de ambos. Por densidad racional existe \(\varepsilon\in\iota_D[\mathbb Q]\) con
\[ 0_D<_D\varepsilon<_Dm. \]
Entonces
\[ \varepsilon<_Ds, \qquad 4_D\varepsilon<_Dd. \]
Como \(s\leq_D2_D\),
\[ 2_Ds\varepsilon\leq_D4_D\varepsilon<_Dd. \]
Por tanto
\[ (s-_D\varepsilon)^2 =s^2-_D2_Ds\varepsilon+_D\varepsilon^2 >_Ds^2-_D2_Ds\varepsilon >_Ds^2-_Dd =2_D. \]
Afirmamos que \(s-_D\varepsilon\) es una cota superior de \(E_2\). En efecto, si existiera \(x\in E_2\) con
\[ s-_D\varepsilon<_Dx, \]
ambos miembros serían no negativos. La identidad
\[ x^2-(s-_D\varepsilon)^2 =(x-(s-_D\varepsilon))(x+(s-_D\varepsilon)) \]
y el cálculo de signos en un cuerpo ordenado darían
\[ x^2>_D(s-_D\varepsilon)^2>_D2_D, \]
contradiciendo \(x\in E_2\).
Así \(s-_D\varepsilon\) es una cota superior. Pero
\[ s-_D\varepsilon<_Ds, \]
lo que contradice que \(s\) sea la menor cota superior.
No puede ocurrir tampoco \(2_D<_Ds^2\). Por tricotomía,
\[ \boxed{s^2=2_D.} \]
Tomamos \(\rho:=s\). Ya sabemos que \(\rho>_D0_D\).
Para la unicidad, sean \(u,v>_D0_D\) con \(u^2=v^2=2_D\). Si \(u<_Dv\), entonces
\[ v^2-u^2=(v-u)(v+u)>_D0_D, \]
contradicción. El caso \(v<_Du\) es análogo. Por tricotomía, \(u=v\).
Existe, por tanto, un único real de Dedekind positivo cuyo cuadrado es \(2_D\). ∎
Nota fundacional. Esta prueba de existencia es clásica: usa la completitud plena, la densidad clásica de la copia racional y tricotomía en \(\mathbb R_D\). Además, \[ s=\sup_D E_2 \] no constituye por sí mismo un algoritmo de aproximación de \(s\). Este caso debe contrastarse con la cortadura explícita \[ \alpha_2=\{q\in\mathbb Q:q<0\ \lor\ (0\leq q\land q^2<2)\}, \] cuya pertenencia racional es decidible. Así, \[ \boxed{ \text{existencia por completitud} \neq \text{construcción explícita / efectiva de }\alpha_2. } \]
La completitud ha convertido en un elemento del cuerpo precisamente el tipo de frontera que faltaba en \(\mathbb Q\).
Corolario 7.5.7 — La cortadura \(\alpha_2\) es la raíz cuadrada positiva de \(2\)
La cortadura introducida en el Capítulo 5 satisface
\[ \boxed{0_D<_D\alpha_2} \]
y
\[ \boxed{\alpha_2^2=\iota_D(2_{\mathbb Q}).} \]
En particular, \(\alpha_2\) es el único elemento positivo de \(\mathbb R_D\) cuyo cuadrado es \(\iota_D(2_{\mathbb Q})\).
Demostración.
Sea \(\rho>_D0_D\) el único elemento proporcionado por Teorema 7.5.6 — Existencia y unicidad de la raíz cuadrada positiva de \(2\). Demostraremos
\[ \rho=\alpha_2 \]
por extensionalidad.
Sea \(q\in\mathbb Q\).
Si \(q<0_{\mathbb Q}\), entonces \(q\in\alpha_2\) por definición. Además
\[ \iota_D(q)<_D0_D<_D\rho, \]
por lo que Lema 7.5.5 — Pertenencia a una cortadura y posición de la copia racional da \(q\in\rho\).
Supongamos ahora \(0_{\mathbb Q}\leq q\).
Si \(q\in\alpha_2\), entonces por Definición 5.3.1 — Cortadura cuadrática asociada a \(2\) y Definición 3.9.7 — El conjunto racional asociado a \(x^2<2\),
\[ q^2<2_{\mathbb Q}. \]
La incrustación preserva producto y orden, así que
\[ \iota_D(q)^2<_D\rho^2. \]
Como ambos elementos son no negativos, no puede cumplirse \(\rho\leq_D\iota_D(q)\), pues la compatibilidad del orden con el producto produciría la desigualdad contraria entre sus cuadrados. Luego
\[ \iota_D(q)<_D\rho. \]
Por Lema 7.5.5 — Pertenencia a una cortadura y posición de la copia racional, \(q\in\rho\).
Recíprocamente, supongamos \(q\in\rho\). Entonces
\[ \iota_D(q)<_D\rho. \]
Como \(q\geq0\), ambos miembros son no negativos. La diferencia de cuadrados factoriza como
\[ \rho^2-\iota_D(q)^2 =(\rho-\iota_D(q))(\rho+\iota_D(q))>_D0_D. \]
Por tanto
\[ \iota_D(q)^2<_D\rho^2=\iota_D(2_{\mathbb Q}). \]
La preservación y reflexión del orden por \(\iota_D\), junto con la preservación del producto, implican
\[ q^2<2_{\mathbb Q}. \]
Así \(q\in S_2\) y, por definición, \(q\in\alpha_2\).
Hemos probado
\[ q\in\rho\iff q\in\alpha_2 \]
para todo racional \(q\). Por extensionalidad,
\[ \rho=\alpha_2. \]
Como \(\rho^2=\iota_D(2_{\mathbb Q})\) y \(\rho>_D0_D\), obtenemos las dos afirmaciones del corolario. La unicidad procede de Teorema 7.5.6 — Existencia y unicidad de la raíz cuadrada positiva de \(2\). ∎
Así se cierra el círculo iniciado en el Capítulo 3:
\[ \boxed{ \text{en }\mathbb Q\text{ no existe }q\text{ con }q^2=2, \qquad \text{en }\mathbb R_D\text{ existe }\alpha_2\text{ con }\alpha_2^2=2_D. } \]
7.6. Qué hemos alcanzado
La primera construcción de los números reales ha quedado completa en su sentido estructural esencial. Hemos demostrado
\[ \boxed{\mathbb R_D\text{ es un cuerpo ordenado completo arquimediano}.} \]
El par \((\mathbb R_D,\iota_D)\) es una completación ordenada de \(\mathbb Q\), y la imagen racional es densa:
\[ \boxed{\iota_D[\mathbb Q]\text{ es densa en }\mathbb R_D.} \]
La cadena construida desde los fundamentos es ya
\[ \boxed{ \text{ZF} \longrightarrow \mathbb N \longrightarrow \mathbb Z \longrightarrow \mathbb Q \overset{\iota_D}{\longrightarrow} \mathbb R_D. } \]
La completitud tiene en esta construcción una forma especialmente transparente:
\[ \boxed{\sup_D\mathcal A=\bigcup\mathcal A.} \]
Y el hueco concreto que motivó la discusión de la incompletitud racional se ha convertido en un objeto del nuevo cuerpo:
\[ \boxed{\alpha_2^2=\iota_D(2_{\mathbb Q}).} \]
No identificaremos, sin embargo, \(\mathbb R_D\) con «los números reales» de manera absoluta. La Parte I exige todavía una segunda construcción independiente.
La siguiente vía partirá no de lados inferiores del orden racional, sino de procesos de aproximación racional:
\[ (q_n)_{n\in\mathbb N}. \]
Construiremos los reales mediante sucesiones de Cauchy racionales, introduciremos la relación que identifica dos sucesiones cuando su diferencia converge a cero, formaremos el cociente correspondiente y reconstruiremos allí operaciones, orden y completitud.
Sólo después compararemos
\[ \mathbb R_D \qquad\text{y}\qquad \mathbb R_C \]
y demostraremos que ambas construcciones representan, mediante el isomorfismo ordenado pertinente, una misma estructura matemática.