Tratado de análisis — Capítulo 8 — Sucesiones racionales y aproximación
Capítulo 8 — Sucesiones racionales y aproximación
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Parte I — Fundamentos y construcción de los números reales
8.0. De las fronteras a los procesos de aproximación
La primera construcción de los números reales partió de una insuficiencia del orden racional. El cuerpo \(\mathbb Q\) contiene subconjuntos no vacíos y acotados superiormente que carecen de supremo racional; las cortaduras de Dedekind convierten esos huecos en objetos matemáticos mediante una frontera en el orden.
La segunda construcción partirá de una insuficiencia distinta.
Un número puede ser buscado mediante aproximaciones racionales cada vez más precisas aun cuando el objeto al que parecen aproximarse no pertenezca a \(\mathbb Q\). En ese caso, el dato fundamental ya no es una frontera que separe racionales, sino un proceso ordenado de aproximación racional.
La transición conceptual puede resumirse así:
\[ \boxed{ \text{Dedekind: una frontera en el orden} \qquad\longrightarrow\qquad \text{Cauchy: un proceso de aproximación}. } \]
La palabra proceso debe entenderse aquí de manera estrictamente matemática. No introduciremos todavía límites, convergencia ni números reales nuevos. Nuestro primer objeto será únicamente una sucesión de racionales,
\[ q_0,q_1,q_2,\ldots, \]
entendida no como una colección informal de valores, sino como una función cuyo dominio es \(\mathbb N\).
Esta precisión importa. Una sucesión no queda determinada por el conjunto de valores que aparecen en ella. Por ejemplo, dos procesos pueden recorrer exactamente los mismos racionales y hacerlo en distinto orden, repetirlos con distinta frecuencia o asignarlos a índices diferentes. El índice pertenece a la estructura del objeto.
La construcción que comienza aquí será independiente de la construcción de Dedekind. Aunque ya disponemos del cuerpo completo \(\mathbb R_D\), no utilizaremos su completitud, sus cortaduras ni su noción de número real para justificar ningún paso de la construcción por Cauchy.
El punto de partida de este segundo camino será exclusivamente la infraestructura construida antes de Dedekind:
\[ \mathbb N, \qquad \mathbb Q, \qquad \text{funciones}, \qquad \text{familias indexadas}, \]
junto con la aritmética y el orden racionales ya demostrados.
En particular, no diremos todavía que una sucesión “se aproxima a un número”. Esa frase sólo adquirirá significado matemático después de definir una noción cuantitativa de cercanía y, posteriormente, los conceptos de convergencia y sucesión de Cauchy.
Nuestro primer objetivo es más elemental: construir rigurosamente el espacio de todos los procesos racionales indexados por los naturales y dotarlo de las operaciones algebraicas que actúan término a término.
8.1. Sucesiones en \(\mathbb Q\)
Definición 8.1.1 — Sucesión racional
Una sucesión racional es una función
\[ q:\mathbb N\longrightarrow\mathbb Q. \]
El conjunto de todas las sucesiones racionales es, por tanto,
\[ \boxed{\mathbb Q^{\mathbb N}}. \]
Su existencia como conjunto es una instancia de Proposición 0.6.12 — Existencia de \(B^A\).
Como una sucesión es en particular una familia indexada, la notación general ya establecida en Definición 0.6.16 — Familia indexada se especializa a
\[ q=(q_n)_{n\in\mathbb N}, \qquad q_n:=q(n). \]
No introducimos aquí una nueva convención notacional.
Conviene distinguir tres objetos diferentes:
\[ q, \qquad q_n, \qquad \{q_n:n\in\mathbb N\}. \]
El primero es una función; el segundo es un racional; el tercero es el conjunto de valores recorridos por la sucesión. En general, ninguno de estos objetos debe confundirse con los otros.
Nota fundacional. Una sucesión es aquí un objeto extensional, esto es, una función \[ \mathbb N\to\mathbb Q. \] Esta definición no afirma que exista un algoritmo que, dado \(n\), calcule \(q_n\): \[ \boxed{\text{sucesión}\neq\text{algoritmo}.} \] La noción de nombre efectivo se introducirá sólo cuando la función venga acompañada de un procedimiento computable para sus términos.
Proposición 8.1.2 — Criterio término a término para la igualdad de sucesiones
Sean
\[ a=(a_n)_{n\in\mathbb N}, \qquad b=(b_n)_{n\in\mathbb N} \]
sucesiones racionales. Entonces
\[ \boxed{ a=b \iff \forall n\in\mathbb N,\;a_n=b_n. } \]
Demostración.
Supongamos primero que \(a=b\). Para todo \(n\in\mathbb N\), la sustitución de iguales da
\[ a(n)=b(n), \]
es decir,
\[ a_n=b_n. \]
Recíprocamente, supongamos que
\[ \forall n\in\mathbb N,\qquad a_n=b_n. \]
Denotemos por \(G_a\) y \(G_b\) los grafos de \(a\) y \(b\).
Mostraremos primero
\[ G_a\subseteq G_b. \]
Sea \(p\in G_a\). Como \(a:\mathbb N\to\mathbb Q\), su grafo está contenido en \(\mathbb N\times\mathbb Q\); por tanto existen \(n\in\mathbb N\) y \(r\in\mathbb Q\) tales que
\[ p=\langle n,r\rangle. \]
De
\[ \langle n,r\rangle\in G_a \]
y de la definición de evaluación se sigue
\[ r=a(n)=a_n. \]
Por hipótesis,
\[ a_n=b_n=b(n), \]
de modo que
\[ r=b(n). \]
Por la definición de evaluación de \(b\),
\[ \langle n,r\rangle\in G_b. \]
Así,
\[ G_a\subseteq G_b. \]
El mismo argumento, intercambiando \(a\) y \(b\), da
\[ G_b\subseteq G_a. \]
Por el criterio extensional de Teorema 0.2.4 — Criterio extensional por doble inclusión,
\[ G_a=G_b. \]
Además, \(a\) y \(b\) poseen por definición el mismo dominio \(\mathbb N\) y el mismo codominio \(\mathbb Q\). El criterio de igualdad de funciones Proposición 0.6.3 — Criterio de igualdad de funciones produce entonces
\[ a=b. \]
Esto demuestra la equivalencia. ∎
Definición 8.1.3 — Operaciones puntuales sobre sucesiones racionales
Sean
\[ a=(a_n)_{n\in\mathbb N}, \qquad b=(b_n)_{n\in\mathbb N} \]
sucesiones racionales.
Definiremos su suma término a término mediante
\[ \boxed{ (a+b)_n:=a_n+b_n } \qquad(n\in\mathbb N). \]
Esta escritura debe ser legitimada conjuntistamente.
Para \(a,b\in\mathbb Q^{\mathbb N}\), consideremos
\[ G_{a+b} := \left\{ \langle n,r\rangle\in\mathbb N\times\mathbb Q: r=a_n+b_n \right\}. \]
El conjunto \(G_{a+b}\) existe por separación. Para cada \(n\in\mathbb N\), los términos \(a_n,b_n\) pertenecen a \(\mathbb Q\), y como la suma racional ya es una función
\[ +_{\mathbb Q}: \mathbb Q\times\mathbb Q \longrightarrow \mathbb Q, \]
existe un único \(r\in\mathbb Q\) tal que
\[ r=a_n+b_n. \]
Por Definición 0.6.1 — Función como dominio, codominio y grafo, \(G_{a+b}\) es por tanto el grafo de una función
\[ a+b:\mathbb N\longrightarrow\mathbb Q. \]
Así \(a+b\in\mathbb Q^{\mathbb N}\).
El mismo procedimiento define el opuesto y el producto:
\[ \boxed{ (-a)_n:=-a_n, } \]
\[ \boxed{ (ab)_n:=a_nb_n. } \]
La sustracción se define por
\[ \boxed{ a-b:=a+(-b), } \]
y satisface
\[ \boxed{ (a-b)_n=a_n-b_n. } \]
No sólo hemos construido una sucesión para cada par de entradas. Estas asignaciones determinan genuinas operaciones sobre \(\mathbb Q^{\mathbb N}\).
En efecto, para la suma consideremos
\[ \mathcal G_+ := \left\{ \left\langle \langle a,b\rangle,c \right\rangle \in \bigl( \mathbb Q^{\mathbb N}\times\mathbb Q^{\mathbb N} \bigr) \times \mathbb Q^{\mathbb N} : \forall n\in\mathbb N,\; c_n=a_n+b_n \right\}. \]
Este conjunto existe por separación. La construcción anterior garantiza la existencia de \(c\) para cada par \((a,b)\), y Proposición 8.1.2 — Criterio término a término para la igualdad de sucesiones garantiza su unicidad. Por consiguiente, \(\mathcal G_+\) es el grafo de una función
\[ +_{\mathrm{seq}}: \mathbb Q^{\mathbb N}\times\mathbb Q^{\mathbb N} \longrightarrow \mathbb Q^{\mathbb N}. \]
De manera idéntica obtenemos
\[ -_{\mathrm{seq}}: \mathbb Q^{\mathbb N} \longrightarrow \mathbb Q^{\mathbb N} \]
y
\[ \cdot_{\mathrm{seq}}: \mathbb Q^{\mathbb N}\times\mathbb Q^{\mathbb N} \longrightarrow \mathbb Q^{\mathbb N}. \]
La sustracción queda determinada por las dos primeras operaciones.
Cuando no haya riesgo de confusión tipológica omitiremos los subíndices seq y escribiremos simplemente
\[ a+b, \qquad -a, \qquad a-b, \qquad ab. \]
Nota fundacional. Ninguna de estas construcciones utiliza el axioma de elección. Para cada índice, el valor correspondiente está determinado de manera única por una operación racional ya construida; los grafos se obtienen por separación dentro de conjuntos ambientes previamente existentes.
Definición 8.1.4 — Sucesiones constantes
Sea \(c\in\mathbb Q\). Definimos la sucesión constante de valor \(c\) por
\[ \boxed{ \underline c:\mathbb N\longrightarrow\mathbb Q, \qquad \underline c_n:=c \quad \text{para todo }n\in\mathbb N. } \]
Concretamente, su grafo es
\[ G_{\underline c} := \{ \langle n,r\rangle\in \mathbb N\times\mathbb Q: r=c \}. \]
Este conjunto existe por separación y contiene para cada \(n\in\mathbb N\) exactamente un par cuyo primer componente es \(n\). Por tanto determina una función \(\mathbb N\to\mathbb Q\).
La asignación
\[ \kappa:\mathbb Q\longrightarrow\mathbb Q^{\mathbb N}, \qquad \kappa(c):=\underline c, \]
es igualmente una función: su grafo puede obtenerse por separación dentro de
\[ \mathbb Q\times\mathbb Q^{\mathbb N}, \]
y la unicidad de la sucesión cuyos términos son todos iguales a \(c\) se sigue de Proposición 8.1.2 — Criterio término a término para la igualdad de sucesiones.
Debe mantenerse estrictamente la distinción de tipos:
\[ \boxed{ c\in\mathbb Q, \qquad \underline c\in\mathbb Q^{\mathbb N}. } \]
El racional \(c\) y la sucesión constante \(\underline c\) no son el mismo objeto. No identificaremos \(\mathbb Q\) con un subconjunto de \(\mathbb Q^{\mathbb N}\).
Proposición 8.1.5 — Compatibilidad de las sucesiones constantes con las operaciones puntuales
Para cualesquiera \(c,d\in\mathbb Q\),
\[ \boxed{ \underline c+\underline d = \underline{c+d}, } \]
\[ \boxed{ -\underline c = \underline{-c}, } \]
\[ \boxed{ \underline c-\underline d = \underline{c-d}, } \]
y
\[ \boxed{ \underline c\,\underline d = \underline{cd}. } \]
Demostración.
Por Proposición 8.1.2 — Criterio término a término para la igualdad de sucesiones basta verificar cada igualdad término a término.
Para todo \(n\in\mathbb N\),
\[ (\underline c+\underline d)_n = \underline c_n+\underline d_n = c+d = \underline{c+d}_n. \]
Por tanto,
\[ \underline c+\underline d = \underline{c+d}. \]
Análogamente,
\[ (-\underline c)_n = -\underline c_n = -c = \underline{-c}_n, \]
de donde
\[ -\underline c=\underline{-c}. \]
La sustracción satisface
\[ (\underline c-\underline d)_n = \underline c_n-\underline d_n = c-d = \underline{c-d}_n, \]
y por ello
\[ \underline c-\underline d = \underline{c-d}. \]
Finalmente,
\[ (\underline c\,\underline d)_n = \underline c_n\underline d_n = cd = \underline{cd}_n, \]
por lo que
\[ \underline c\,\underline d = \underline{cd}. \]
Quedan demostradas las cuatro identidades. ∎
Lo que hemos ganado
El objeto
\[ \mathbb Q^{\mathbb N} \]
ya no es sólo un conjunto de funciones. Disponemos en él de suma, opuesto, sustracción y producto definidos término a término, y de una aplicación
\[ \kappa:\mathbb Q\to\mathbb Q^{\mathbb N} \]
que transforma cada racional en su sucesión constante y respeta esas operaciones.
Todavía no hemos definido ninguna noción de proximidad entre dos términos racionales ni entre dos sucesiones. Tampoco hemos hablado de convergencia, de la condición de Cauchy, de equivalencia de sucesiones ni de números reales construidos a partir de ellas.
Ésa es precisamente la siguiente dificultad.
Para expresar que dos términos de una sucesión están “cerca” necesitamos convertir su diferencia en una cantidad racional no negativa que mida separación sin depender del orden de los términos. El siguiente paso será, por tanto, construir la distancia racional que servirá de lenguaje cuantitativo para las aproximaciones.
8.2. Distancia racional y valor absoluto
La noción de aproximación exige poder expresar cuantitativamente que dos racionales están próximos. No necesitamos introducir una nueva teoría del tamaño: el valor absoluto ya fue construido en Definición 4.2.1 — Valor absoluto para todo cuerpo ordenado, y Proposición 4.1.4 — \(\mathbb Q\) es un cuerpo ordenado demuestra que \(\mathbb Q\) es un cuerpo ordenado. Por tanto, para todo \(q\in\mathbb Q\), la expresión
\[ |q| \]
está ya legitimada y conserva todas las propiedades demostradas en §4.2.
Lo que necesitamos ahora es convertir ese tamaño de una diferencia en una medida de separación entre dos racionales.
Definición 8.2.1 — Distancia racional
Definimos la distancia racional como la función
\[ \boxed{ d_{\mathbb Q}:\mathbb Q\times\mathbb Q\longrightarrow\mathbb Q } \]
dada por
\[ \boxed{ d_{\mathbb Q}(x,y):=|x-y|. } \]
La existencia de esta función no se presupone. Su grafo puede escribirse como
\[ G_{d_{\mathbb Q}} := \left\{ \left\langle\langle x,y\rangle,r\right\rangle \in(\mathbb Q\times\mathbb Q)\times\mathbb Q: r=|x-y| \right\}. \]
El conjunto ambiente existe por Proposición 0.3.7 — Existencia del producto cartesiano, y el subconjunto indicado existe por separación. Para cada \((x,y)\in\mathbb Q\times\mathbb Q\), la sustracción racional determina un único \(x-y\in\mathbb Q\), y el valor absoluto determina un único \(|x-y|\in\mathbb Q\). Por Definición 0.6.1 — Función como dominio, codominio y grafo, el grafo anterior determina una función con dominio \(\mathbb Q\times\mathbb Q\) y codominio \(\mathbb Q\).
Aunque el codominio declarado sea \(\mathbb Q\), veremos inmediatamente que sus valores son siempre no negativos.
Proposición 8.2.2 — Propiedades fundamentales de la distancia racional
Para cualesquiera \(x,y,z\in\mathbb Q\):
- no negatividad: \[ 0\leq d_{\mathbb Q}(x,y); \]
- separación de puntos: \[ d_{\mathbb Q}(x,y)=0 \iff x=y; \]
- simetría: \[ d_{\mathbb Q}(x,y)=d_{\mathbb Q}(y,x); \]
- desigualdad triangular: \[ d_{\mathbb Q}(x,z) \leq d_{\mathbb Q}(x,y)+d_{\mathbb Q}(y,z); \]
- invariancia por traslación: \[ d_{\mathbb Q}(x+z,y+z) = d_{\mathbb Q}(x,y). \]
Demostración.
La no negatividad es Proposición 4.2.2 — Propiedades elementales del valor absoluto (1) aplicada a \(x-y\):
\[ d_{\mathbb Q}(x,y)=|x-y|\geq0. \]
Para la separación de puntos, Proposición 4.2.2 — Propiedades elementales del valor absoluto (2) da
\[ |x-y|=0 \iff x-y=0. \]
Por las leyes del grupo aditivo racional (Proposición 3.3.8 — Leyes del grupo aditivo racional),
\[ x-y=0 \iff x=y. \]
Luego
\[ d_{\mathbb Q}(x,y)=0 \iff x=y. \]
Para la simetría, las leyes aditivas dan
\[ x-y=-(y-x), \]
y Proposición 4.2.2 — Propiedades elementales del valor absoluto (3) implica
\[ |x-y| = |-(y-x)| = |y-x|. \]
Por tanto
\[ d_{\mathbb Q}(x,y)=d_{\mathbb Q}(y,x). \]
Para la desigualdad triangular, observamos que
\[ x-z=(x-y)+(y-z). \]
Aplicando Teorema 4.2.3 — Desigualdad triangular,
\[ |x-z| \leq |x-y|+|y-z|, \]
es decir,
\[ d_{\mathbb Q}(x,z) \leq d_{\mathbb Q}(x,y)+d_{\mathbb Q}(y,z). \]
Finalmente,
\[ (x+z)-(y+z)=x-y \]
por las leyes del grupo aditivo. En consecuencia,
\[ d_{\mathbb Q}(x+z,y+z) = |(x+z)-(y+z)| = |x-y| = d_{\mathbb Q}(x,y). \]
Quedan demostradas las cinco propiedades. ∎
Nota conceptual. Las cuatro primeras propiedades son precisamente las que más adelante permitirían reconocer a \(d_{\mathbb Q}\) como una métrica. No necesitamos todavía desarrollar la teoría abstracta de espacios métricos; para la construcción de Cauchy basta trabajar directamente con estas propiedades racionales.
Proposición 8.2.3 — Caracterización \(\varepsilon\)-local de la distancia racional
Sean \(x,y,\varepsilon\in\mathbb Q\) con
\[ 0<\varepsilon. \]
Entonces son equivalentes las condiciones
\[ \boxed{ d_{\mathbb Q}(x,y)<\varepsilon, } \]
\[ \boxed{ -\varepsilon<x-y<\varepsilon, } \]
y
\[ \boxed{ y-\varepsilon<x<y+\varepsilon. } \]
Demostración.
Escribamos
\[ t:=x-y. \]
Supongamos primero
\[ |t|<\varepsilon. \]
Por Proposición 4.2.2 — Propiedades elementales del valor absoluto (4),
\[ -|t|\leq t\leq|t|. \]
De \(|t|<\varepsilon\), al invertir el orden mediante opuestos, obtenemos
\[ -\varepsilon<-|t|. \]
Por transitividad,
\[ -\varepsilon<t<\varepsilon. \]
Recíprocamente, supongamos
\[ -\varepsilon<t<\varepsilon. \]
Por totalidad del orden, \(0\leq t\) o \(t<0\).
Si \(0\leq t\), la definición de valor absoluto da \(|t|=t\), y por hipótesis
\[ |t|=t<\varepsilon. \]
Si \(t<0\), entonces \(|t|=-t\). De
\[ -\varepsilon<t \]
sumamos \(\varepsilon-t\) a ambos lados, usando la invariancia estricta por traslación de Lema 4.1.3 — Cálculo elemental de signos en un cuerpo ordenado (8), y obtenemos
\[ -t<\varepsilon. \]
Por tanto también en este caso
\[ |t|<\varepsilon. \]
Hemos demostrado
\[ |x-y|<\varepsilon \iff -\varepsilon<x-y<\varepsilon. \]
Finalmente, por Lema 4.1.3 — Cálculo elemental de signos en un cuerpo ordenado (8), sumar \(y\) en cada desigualdad produce
\[ -\varepsilon<x-y \iff y-\varepsilon<x, \]
y
\[ x-y<\varepsilon \iff x<y+\varepsilon. \]
Así
\[ -\varepsilon<x-y<\varepsilon \iff y-\varepsilon<x<y+\varepsilon. \]
Las tres condiciones son equivalentes. ∎
Lo que hemos ganado
La frase informal “\(x\) está cerca de \(y\)” dispone ahora de una formulación enteramente racional:
\[ d_{\mathbb Q}(x,y)<\varepsilon. \]
Además, esta condición puede leerse de dos maneras equivalentes:
\[ |x-y|<\varepsilon \]
como control de una diferencia, o
\[ y-\varepsilon<x<y+\varepsilon \]
como pertenencia a una ventana racional centrada en \(y\).
Con esto ya tenemos el lenguaje necesario para formular rigurosamente qué significa que los términos de una sucesión se acerquen a un racional.
8.3. Convergencia racional
La distancia racional permite sustituir la expresión informal «los términos se acercan a un racional» por una condición cuantificada. La dificultad conceptual está en el orden de los cuantificadores.
No basta exigir que algún término de la sucesión quede cerca del candidato a límite, ni que ocurra esto para una precisión fija. Debemos poder imponer cualquier precisión racional positiva y encontrar, a partir de ella, una etapa después de la cual todos los términos permanezcan dentro de esa precisión.
La forma lógica será
\[ \forall\varepsilon>0\;\exists N\;\forall n\geq N. \]
Pero cada cuantificador debe conservar su tipo. En esta etapa, tanto la precisión como el posible límite son racionales. No interviene ningún elemento de \(\mathbb R_D\).
Definición 8.3.1 — Convergencia racional
Sea
\[ q=(q_n)_{n\in\mathbb N}\in\mathbb Q^{\mathbb N} \]
y sea \(\ell\in\mathbb Q\).
Diremos que \(q\) converge racionalmente a \(\ell\) si
\[ \boxed{ \forall\varepsilon\in\mathbb Q\; \Bigl( 0<\varepsilon \Longrightarrow \exists N\in\mathbb N\; \forall n\in\mathbb N\; \bigl( N\leq n \Longrightarrow d_{\mathbb Q}(q_n,\ell)<\varepsilon \bigr) \Bigr). } \]
El racional \(\ell\) se llama entonces un límite racional de la sucesión \(q\).
Diremos que \(q\) es convergente en \(\mathbb Q\) si existe algún \(\ell\in\mathbb Q\) al cual converge racionalmente.
Hay tres aspectos de la definición que conviene fijar desde ahora.
Primero, \(N\) puede depender de \(\varepsilon\). Cuanto menor sea la precisión exigida, más lejos puede ser necesario avanzar en la sucesión.
Segundo, una vez elegido \(N\), la condición debe valer para todo índice posterior: no basta con encontrar términos aislados cercanos a \(\ell\).
Tercero, el cuantificador de precisión recorre sólo los racionales positivos. No estamos utilizando una noción previa de distancia real ni la completitud de \(\mathbb R_D\).
Llamaremos módulo de convergencia para \(q_n\to_{\mathbb Q}\ell\) a una función \[ \mu:\mathbb Q_{>0}\to\mathbb N \] tal que, para todo \(\varepsilon>0\), \[ n\geq\mu(\varepsilon)\Longrightarrow d_{\mathbb Q}(q_n,\ell)<\varepsilon. \] Si \(\mu\) es computable respecto de las representaciones racionales y naturales fijadas, hablaremos de módulo efectivo de convergencia.
Clásicamente, cuando la sucesión converge, para cada precisión existe un menor índice que funciona. Esa mínima elección está unívocamente determinada por el buen orden de \(\mathbb N\), pero: \[ \boxed{\text{módulo mínimo canónico}\neq\text{módulo computable}.} \]
Nota fundacional. La definición no usa Choice. Para cada \(\varepsilon\) se afirma la existencia de algún índice \(N\); no se forma ni se presupone una función global \(\varepsilon\mapsto N\).
Notación 8.3.2 — Flecha de convergencia racional
Cuando \(q=(q_n)_{n\in\mathbb N}\) converge racionalmente a \(\ell\), escribiremos
\[ \boxed{ q_n\to_{\mathbb Q}\ell. } \]
Equivalentemente puede escribirse
\[ (q_n)_{n\in\mathbb N}\to_{\mathbb Q}\ell. \]
El subíndice \(\mathbb Q\) recuerda que tanto la sucesión como el límite pertenecen al sistema racional. No se omitirá mientras la construcción de Cauchy siga siendo independiente de \(\mathbb R_D\).
Proposición 8.3.3 — Formulaciones equivalentes de la convergencia racional
Sea \(q=(q_n)_{n\in\mathbb N}\) una sucesión racional y sea \(\ell\in\mathbb Q\). Son equivalentes:
- \(q_n\to_{\mathbb Q}\ell\);
- para todo \(\varepsilon\in\mathbb Q\) con \(0<\varepsilon\), existe \(N\in\mathbb N\) tal que, para todo \(n\in\mathbb N\), \[ N\leq n \Longrightarrow |q_n-\ell|<\varepsilon; \]
- para todo \(\varepsilon\in\mathbb Q\) con \(0<\varepsilon\), existe \(N\in\mathbb N\) tal que, para todo \(n\in\mathbb N\), \[ N\leq n \Longrightarrow \ell-\varepsilon<q_n<\ell+\varepsilon. \]
Demostración.
La definición Definición 8.3.1 — Convergencia racional afirma que, para cada \(\varepsilon>0\), existe un mismo índice \(N\) a partir del cual
\[ d_{\mathbb Q}(q_n,\ell)<\varepsilon. \]
Pero Proposición 8.2.3 — Caracterización \(\varepsilon\)-local de la distancia racional, aplicada a \(x=q_n\) y \(y=\ell\), establece término a término las equivalencias
\[ d_{\mathbb Q}(q_n,\ell)<\varepsilon \iff |q_n-\ell|<\varepsilon \]
y
\[ |q_n-\ell|<\varepsilon \iff \ell-\varepsilon<q_n<\ell+\varepsilon. \]
Por tanto, para cada \(\varepsilon>0\), cualquiera de las tres condiciones vale a partir de un índice \(N\) si y sólo si valen las otras dos a partir del mismo índice. Los cuantificadores exteriores son idénticos, de modo que las tres formulaciones son equivalentes. ∎
La segunda forma mide el error mediante una diferencia absoluta; la tercera dice que todos los términos suficientemente tardíos quedan atrapados en cualquier ventana racional centrada en \(\ell\).
Proposición 8.3.4 — Las sucesiones constantes convergen a su valor
Para todo \(c\in\mathbb Q\),
\[ \boxed{ \underline c_n\to_{\mathbb Q}c. } \]
Demostración.
Sea \(\varepsilon\in\mathbb Q\) con \(0<\varepsilon\). Tomemos
\[ N:=0\in\mathbb N. \]
Si \(n\in\mathbb N\) y \(N\leq n\), entonces, por definición de sucesión constante,
\[ \underline c_n=c. \]
Por la definitud de la distancia racional (Proposición 8.2.2 — Propiedades fundamentales de la distancia racional),
\[ d_{\mathbb Q}(\underline c_n,c) = d_{\mathbb Q}(c,c) = 0. \]
Como \(0<\varepsilon\),
\[ d_{\mathbb Q}(\underline c_n,c)<\varepsilon. \]
El mismo índice \(N=0\) sirve para la precisión racional positiva arbitraria \(\varepsilon\). Por Definición 8.3.1 — Convergencia racional,
\[ \underline c_n\to_{\mathbb Q}c. \]
∎
Esta proposición no identifica el racional \(c\) con la sucesión \(\underline c\). Afirma únicamente que el proceso constante asociado a \(c\) tiene a \(c\) como límite racional.
Teorema 8.3.5 — Unicidad del límite racional
Sea \(q=(q_n)_{n\in\mathbb N}\) una sucesión racional. Si
\[ q_n\to_{\mathbb Q}\ell \]
y
\[ q_n\to_{\mathbb Q}m, \]
con \(\ell,m\in\mathbb Q\), entonces
\[ \boxed{\ell=m.} \]
Demostración.
Por la tricotomía decidible de los racionales (Proposición 3.7.6 — Tricotomía decidible de los racionales), podemos decidir si \(\ell=m\). En ese caso la conclusión ya está demostrada. Supongamos, pues, la rama decidida \(\ell\neq m\) y definamos
\[ \delta:=d_{\mathbb Q}(\ell,m). \]
Por Proposición 8.2.2 — Propiedades fundamentales de la distancia racional,
\[ 0\leq\delta, \qquad \delta=0 \iff \ell=m. \]
La rama \(\ell\neq m\) implica \(\delta\neq0\). Aplicando nuevamente la tricotomía decidible en \(\mathbb Q\) a \(0\) y \(\delta\), y usando \(0\leq\delta\), obtenemos
\[ 0<\delta. \]
Para obtener una precisión suficientemente pequeña sin introducir ningún real, trabajamos sólo dentro de \(\mathbb Q\). Pongamos
\[ s:=1_{\mathbb Q}+1_{\mathbb Q}. \]
Como \(\mathbb Q\) es un cuerpo ordenado, Lema 4.1.3 — Cálculo elemental de signos en un cuerpo ordenado (3) da
\[ 0<1_{\mathbb Q}. \]
Sumando \(1_{\mathbb Q}\) mediante Lema 4.1.3 — Cálculo elemental de signos en un cuerpo ordenado (8),
\[ 1_{\mathbb Q}<s, \]
y por transitividad
\[ 0<s. \]
En particular \(s\neq0\), por lo que está definida la división por \(s\). Sea
\[ \varepsilon:=\frac{\delta}{s}. \]
La positividad del inverso y del producto en un cuerpo ordenado (Lema 4.1.3 — Cálculo elemental de signos en un cuerpo ordenado (5),(6)) da
\[ 0<\varepsilon. \]
Además, usando la definición de división y la ley del inverso Proposición 3.6.5 — Ley del inverso multiplicativo,
\[ \begin{aligned} \varepsilon+\varepsilon &=\delta s^{-1}+\delta s^{-1}\\ &=\delta(1_{\mathbb Q}+1_{\mathbb Q})s^{-1}\\ &=\delta ss^{-1}\\ &=\delta. \end{aligned} \]
Aplicamos ahora las dos hipótesis de convergencia a esta misma precisión \(\varepsilon\). Existen \(N_\ell,N_m\in\mathbb N\) tales que
\[ N_\ell\leq n \Longrightarrow d_{\mathbb Q}(q_n,\ell)<\varepsilon \]
para todo \(n\in\mathbb N\), y
\[ N_m\leq n \Longrightarrow d_{\mathbb Q}(q_n,m)<\varepsilon \]
para todo \(n\in\mathbb N\).
El orden de \(\mathbb N\) es total por Teorema 1.6.5 — Orden total. Por tanto ocurre uno de los dos casos
\[ N_\ell\leq N_m \]
o
\[ N_m\leq N_\ell. \]
Supongamos primero \(N_\ell\leq N_m\) y tomemos \(n:=N_m\). Entonces
\[ d_{\mathbb Q}(q_n,\ell)<\varepsilon, \qquad d_{\mathbb Q}(q_n,m)<\varepsilon. \]
Por simetría y desigualdad triangular de Proposición 8.2.2 — Propiedades fundamentales de la distancia racional,
\[ \begin{aligned} \delta &=d_{\mathbb Q}(\ell,m)\\ &\leq d_{\mathbb Q}(\ell,q_n)+d_{\mathbb Q}(q_n,m)\\ &=d_{\mathbb Q}(q_n,\ell)+d_{\mathbb Q}(q_n,m). \end{aligned} \]
De las dos desigualdades estrictas anteriores y la invariancia estricta por traslación (Lema 4.1.3 — Cálculo elemental de signos en un cuerpo ordenado (8)) se obtiene
\[ d_{\mathbb Q}(q_n,\ell)+d_{\mathbb Q}(q_n,m) < \varepsilon+\varepsilon = \delta. \]
Así tendríamos
\[ \delta<\delta, \]
contradicción con la irreflexividad del orden estricto.
El caso \(N_m\leq N_\ell\) es idéntico, tomando \(n:=N_\ell\).
Por tanto la rama decidida \(\ell\neq m\) es imposible. La única alternativa restante de la tricotomía racional es
\[ \ell=m. \]
∎
Lo que hemos ganado
La noción de aproximación posee ya una forma rigurosa dentro de \(\mathbb Q\):
\[ q_n\to_{\mathbb Q}\ell \]
significa que cualquier ventana racional positiva alrededor de \(\ell\) termina conteniendo todos los términos suficientemente tardíos de la sucesión.
Además, si tal racional \(\ell\) existe, es único. Por ello tiene sentido hablar de el límite racional de una sucesión convergente.
Pero la definición contiene una limitación decisiva: para afirmar convergencia debemos conocer de antemano un candidato \(\ell\in\mathbb Q\). Precisamente las aproximaciones que deberían representar los racionales ausentes —como las que se organizan alrededor de la ecuación \(x^2=2\)— pueden no disponer de tal límite dentro de \(\mathbb Q\).
Necesitamos, por tanto, una condición que mida si los términos de una sucesión se estabilizan entre sí, sin mencionar todavía ningún objeto exterior a la sucesión. Ése será el papel de §8.4 — Sucesiones de Cauchy.
8.4. Sucesiones de Cauchy
La convergencia racional de §8.3 compara los términos tardíos de una sucesión con un racional fijo \(\ell\). Esa definición es adecuada cuando tal racional existe, pero no puede servir todavía para detectar procesos que se estabilizan sin converger dentro de \(\mathbb Q\).
La idea de Cauchy elimina precisamente esa referencia externa. En lugar de preguntar si \(q_n\) está cerca de un candidato a límite, preguntaremos si dos términos suficientemente tardíos cualesquiera están cerca entre sí.
El cambio lógico es pequeño en apariencia, pero decisivo:
\[ \boxed{ \text{convergencia racional: }d_{\mathbb Q}(q_n,\ell)<\varepsilon \qquad\longrightarrow\qquad \text{Cauchy: }d_{\mathbb Q}(q_m,q_n)<\varepsilon. } \]
En la condición de la derecha ya no aparece ningún objeto que deba ser el límite. La sucesión se examina desde dentro de \(\mathbb Q\).
Definición 8.4.1 — Sucesión racional de Cauchy
Sea \(q=(q_n)_{n\in\mathbb N}\) una sucesión racional. Diremos que \(q\) es una sucesión de Cauchy si
\[ \boxed{ \forall\varepsilon\in\mathbb Q, \quad 0_{\mathbb Q}<\varepsilon \Longrightarrow \exists N\in\mathbb N\; \forall m,n\in\mathbb N, \quad \bigl(N\leq m\land N\leq n\bigr) \Longrightarrow d_{\mathbb Q}(q_m,q_n)<\varepsilon. } \]
El orden de los cuantificadores forma parte esencial de la definición. Para cada precisión racional positiva \(\varepsilon\) puede elegirse una etapa \(N\) dependiente de \(\varepsilon\); una vez fijada esa etapa, todo par de términos con índices posteriores a \(N\) debe encontrarse a distancia menor que \(\varepsilon\).
No se exige que exista un racional \(\ell\) al cual se aproximen los términos. Tampoco se menciona \(\mathbb R_D\) ni ningún otro sistema de números reales.
Un módulo de Cauchy para \(q\) es una función \[ \mu_C:\mathbb Q_{>0}\to\mathbb N \] tal que \[ m,n\geq\mu_C(\varepsilon) \Longrightarrow d_{\mathbb Q}(q_m,q_n)<\varepsilon. \] Cuando tanto \(n\mapsto q_n\) como \(\mu_C\) son computables, diremos que \(q\) está dada por un nombre efectivo de Cauchy con módulo.
La existencia clásica de algún índice para cada precisión no suministra automáticamente un módulo computable. Incluso el módulo mínimo obtenido por buen orden puede ser canónico sin ser efectivo.
Definición 8.4.2 — Conjunto de las sucesiones racionales de Cauchy
Definimos
\[ \boxed{ \mathcal C_{\mathbb Q} := \{q\in\mathbb Q^{\mathbb N}:q\text{ es de Cauchy}\}. } \]
De manera completamente expandida,
\[ \mathcal C_{\mathbb Q} = \left\{ q\in\mathbb Q^{\mathbb N}: \forall\varepsilon\in\mathbb Q, \ 0_{\mathbb Q}<\varepsilon \Rightarrow \exists N\in\mathbb N\; \forall m,n\in\mathbb N, \ (N\leq m\land N\leq n) \Rightarrow d_{\mathbb Q}(q_m,q_n)<\varepsilon \right\}. \]
Como \(\mathbb Q^{\mathbb N}\) ya existe y la condición anterior es una propiedad definible, \(\mathcal C_{\mathbb Q}\) existe por separación.
Nota fundacional. La definición forma un subconjunto de un conjunto previamente construido. No selecciona límites, índices simultáneos ni representantes; no utiliza Choice.
Además, la pertenencia \(q\in\mathcal C_{\mathbb Q}\) contiene una alternancia \(\forall\varepsilon\,\exists N\,\forall m,n\). Para una sucesión arbitraria, esa propiedad no es decidible en general.
Proposición 8.4.3 — Formulaciones equivalentes de la condición de Cauchy
Sea \(q=(q_n)_{n\in\mathbb N}\) una sucesión racional. Son equivalentes:
- \(q\) es de Cauchy;
- para todo \(\varepsilon\in\mathbb Q\) con \(0_{\mathbb Q}<\varepsilon\), existe \(N\in\mathbb N\) tal que, para cualesquiera \(m,n\in\mathbb N\) con \(N\leq m\) y \(N\leq n\), \[ |q_m-q_n|<\varepsilon; \]
- para todo \(\varepsilon\in\mathbb Q\) con \(0_{\mathbb Q}<\varepsilon\), existe \(N\in\mathbb N\) tal que, para cualesquiera \(m,n\in\mathbb N\) con \(N\leq m\) y \(N\leq n\), \[ q_n-\varepsilon<q_m<q_n+\varepsilon. \]
Demostración.
Por Definición 8.4.1 — Sucesión racional de Cauchy, la primera condición exige exactamente que, para cada \(\varepsilon>0\) racional, exista \(N\) tal que todo par de índices \(m,n\geq N\) satisfaga
\[ d_{\mathbb Q}(q_m,q_n)<\varepsilon. \]
Para cada par fijo \((m,n)\), la definición de la distancia y Proposición 8.2.3 — Caracterización \(\varepsilon\)-local de la distancia racional proporcionan las equivalencias
\[ d_{\mathbb Q}(q_m,q_n)<\varepsilon \iff |q_m-q_n|<\varepsilon \]
y
\[ |q_m-q_n|<\varepsilon \iff q_n-\varepsilon<q_m<q_n+\varepsilon. \]
Como estas equivalencias no alteran ninguno de los cuantificadores exteriores, las tres formulaciones son equivalentes. ∎
Proposición 8.4.4 — Las sucesiones constantes son de Cauchy
Para todo \(c\in\mathbb Q\),
\[ \boxed{ \underline c\in\mathcal C_{\mathbb Q}. } \]
En particular,
\[ \mathcal C_{\mathbb Q}\neq\varnothing. \]
Demostración.
Sea \(\varepsilon\in\mathbb Q\) con \(0_{\mathbb Q}<\varepsilon\). Tomemos \(N:=0\). Si \(m,n\in\mathbb N\) satisfacen \(N\leq m\) y \(N\leq n\), entonces
\[ \underline c_m=c=\underline c_n. \]
Por la definitud de la distancia racional (Proposición 8.2.2 — Propiedades fundamentales de la distancia racional),
\[ d_{\mathbb Q}(\underline c_m,\underline c_n)=0_{\mathbb Q}. \]
Como \(0_{\mathbb Q}<\varepsilon\),
\[ d_{\mathbb Q}(\underline c_m,\underline c_n)<\varepsilon. \]
Por Definición 8.4.1 — Sucesión racional de Cauchy, \(\underline c\) es de Cauchy; por Definición 8.4.2 — Conjunto de las sucesiones racionales de Cauchy,
\[ \underline c\in\mathcal C_{\mathbb Q}. \]
Así \(\mathcal C_{\mathbb Q}\) contiene, por ejemplo, la sucesión constante \(\underline{0_{\mathbb Q}}\), y por tanto no es vacío. ∎
Lo que hemos ganado
La condición de Cauchy permite reconocer una forma de estabilización racional que no menciona ningún límite:
\[ q\in\mathcal C_{\mathbb Q} \]
significa que los términos tardíos de \(q\) pueden hacerse mutuamente tan próximos como se quiera, con precisión medida enteramente dentro de \(\mathbb Q\).
Éste es el cambio conceptual que necesitábamos para la segunda construcción de los reales. Una sucesión puede ser de Cauchy aun cuando todavía no hayamos demostrado que posea un límite racional; de hecho, esa posibilidad será precisamente la que permitirá superar la insuficiencia de \(\mathbb Q\).
Antes de usar las sucesiones de Cauchy como representaciones de nuevos números debemos establecer el puente mínimo con la noción anterior de convergencia: todo proceso que ya converge racionalmente debe satisfacer necesariamente la condición de Cauchy. Ése será el contenido de §8.5.
8.5. Toda sucesión convergente es de Cauchy
La convergencia racional y la condición de Cauchy expresan dos formas distintas de control asintótico. En la primera, los términos tardíos se comparan con un racional fijo \(\ell\); en la segunda, se comparan entre sí.
La relación entre ambas nociones debe demostrarse. Si todos los términos suficientemente tardíos están muy próximos a un mismo racional, entonces dos cualesquiera de esos términos deberán estar próximos entre sí. La desigualdad triangular convierte esta intuición en una estimación precisa.
El único cuidado cuantitativo consiste en no gastar toda la tolerancia \(\varepsilon\) en cada uno de los dos tramos
\[ q_m\longrightarrow \ell \qquad\text{y}\qquad \ell\longrightarrow q_n. \]
Por ello aplicaremos la convergencia con la mitad racional de la precisión requerida.
Teorema 8.5.1 — Toda sucesión racionalmente convergente es de Cauchy
Sea \(q=(q_n)_{n\in\mathbb N}\) una sucesión racional y sea \(\ell\in\mathbb Q\). Si
\[ q_n\to_{\mathbb Q}\ell, \]
entonces \(q\) es de Cauchy. Equivalentemente,
\[ \boxed{ q_n\to_{\mathbb Q}\ell \Longrightarrow q\in\mathcal C_{\mathbb Q}. } \]
Demostración.
Supongamos
\[ q_n\to_{\mathbb Q}\ell. \]
Sea \(\varepsilon\in\mathbb Q\) con
\[ 0<\varepsilon. \]
Debemos encontrar un índice \(N\in\mathbb N\) a partir del cual cualesquiera dos términos de la sucesión estén a distancia menor que \(\varepsilon\).
Trabajaremos enteramente dentro de \(\mathbb Q\). Pongamos
\[ s:=1_{\mathbb Q}+1_{\mathbb Q}. \]
Como \(\mathbb Q\) es un cuerpo ordenado, Lema 4.1.3 — Cálculo elemental de signos en un cuerpo ordenado (3) da
\[ 0<1_{\mathbb Q}. \]
Sumando \(1_{\mathbb Q}\) a la desigualdad anterior mediante Lema 4.1.3 — Cálculo elemental de signos en un cuerpo ordenado (8),
\[ 1_{\mathbb Q}<s. \]
Por transitividad,
\[ 0<s. \]
En particular \(s\neq0\), de modo que está definida la división por \(s\). Definamos
\[ \eta:=\frac{\varepsilon}{s}. \]
La positividad del inverso y del producto en un cuerpo ordenado (Lema 4.1.3 — Cálculo elemental de signos en un cuerpo ordenado (5),(6)) implica
\[ 0<\eta. \]
Además, por la definición de división y la ley del inverso Proposición 3.6.5 — Ley del inverso multiplicativo,
\[ \begin{aligned} \eta+\eta &=\varepsilon s^{-1}+\varepsilon s^{-1}\\ &=\varepsilon(1_{\mathbb Q}+1_{\mathbb Q})s^{-1}\\ &=\varepsilon ss^{-1}\\ &=\varepsilon. \end{aligned} \]
Así, \(\eta\) es precisamente la mitad racional de la tolerancia \(\varepsilon\).
Aplicamos ahora la convergencia de \(q\) a la precisión racional positiva \(\eta\). Por Definición 8.3.1 — Convergencia racional, existe \(N\in\mathbb N\) tal que, para todo \(k\in\mathbb N\),
\[ N\leq k \Longrightarrow d_{\mathbb Q}(q_k,\ell)<\eta. \]
Sean \(m,n\in\mathbb N\) con
\[ N\leq m, \qquad N\leq n. \]
Entonces
\[ d_{\mathbb Q}(q_m,\ell)<\eta \]
y
\[ d_{\mathbb Q}(q_n,\ell)<\eta. \]
Por simetría de la distancia racional,
\[ d_{\mathbb Q}(\ell,q_n) = d_{\mathbb Q}(q_n,\ell) < \eta. \]
La desigualdad triangular de Proposición 8.2.2 — Propiedades fundamentales de la distancia racional da
\[ d_{\mathbb Q}(q_m,q_n) \leq d_{\mathbb Q}(q_m,\ell) + d_{\mathbb Q}(\ell,q_n). \]
Como ambos sumandos del miembro derecho son estrictamente menores que \(\eta\), la compatibilidad del orden con la suma produce
\[ d_{\mathbb Q}(q_m,\ell) + d_{\mathbb Q}(\ell,q_n) < \eta+\eta = \varepsilon. \]
Por transitividad,
\[ d_{\mathbb Q}(q_m,q_n)<\varepsilon. \]
Hemos probado que para la precisión racional positiva arbitraria \(\varepsilon\) existe \(N\in\mathbb N\) tal que todos los índices \(m,n\geq N\) satisfacen la condición requerida. Por Definición 8.4.1 — Sucesión racional de Cauchy, \(q\) es de Cauchy; por Definición 8.4.2 — Conjunto de las sucesiones racionales de Cauchy,
\[ q\in\mathcal C_{\mathbb Q}. \]
Esto demuestra la afirmación. ∎
Contenido efectivo. Si la convergencia viene acompañada de un módulo \(\mu\), la prueba produce explícitamente un módulo de Cauchy: \[ \boxed{\mu_C(\varepsilon)=\mu(\varepsilon/2_{\mathbb Q}).} \] Por tanto un módulo computable de convergencia induce un módulo computable de Cauchy.
Lo que hemos ganado
La convergencia racional implica necesariamente estabilización interna:
\[ \boxed{ q_n\to_{\mathbb Q}\ell \Longrightarrow q\in\mathcal C_{\mathbb Q}. } \]
Por tanto, la condición de Cauchy es una condición necesaria para que una sucesión racional posea un límite racional.
La recíproca no ha sido demostrada y no debe suponerse. Precisamente porque la definición de Cauchy no menciona un límite, puede detectar procesos racionales coherentes cuya eventual “posición” todavía no sabemos representar dentro de \(\mathbb Q\).
Antes de exhibir esa insuficiencia secuencial debemos establecer una propiedad estructural básica de estos procesos: toda sucesión racional de Cauchy es acotada. Ése será el contenido de §8.6.
8.6. Una sucesión de Cauchy es acotada
La condición de Cauchy controla directamente sólo una cola de la sucesión. Si fijamos una tolerancia racional positiva, obtenemos un índice a partir del cual todos los términos están próximos entre sí. Esto basta para acotar la cola alrededor de uno de sus términos.
Queda, sin embargo, un problema que no debe ocultarse bajo la frase “los términos anteriores son finitos”: debemos demostrar dentro de la infraestructura ya construida que todo segmento inicial
\[ q_0,q_1,\ldots,q_{N-1} \]
admite una cota racional común.
Primero fijaremos qué significa que una sucesión racional sea acotada y después resolveremos por inducción el segmento inicial.
Definición 8.6.1 — Sucesión racional acotada
Sea \(q=(q_n)_{n\in\mathbb N}\) una sucesión racional. Diremos que \(q\) es acotada si existe \(M\in\mathbb Q\) tal que
\[ 0_{\mathbb Q}\leq M \]
y
\[ \forall n\in\mathbb N,\qquad |q_n|\leq M. \]
Equivalentemente, todos los términos de la sucesión quedan contenidos en el intervalo racional simétrico determinado por \(M\).
La exigencia \(0_{\mathbb Q}\leq M\) no es una restricción artificial: el valor absoluto de cada término es ya no negativo.
Lema 8.6.2 — Acotación de todo segmento inicial
Sea \(q=(q_n)_{n\in\mathbb N}\) una sucesión racional. Para todo \(N\in\mathbb N\) existe \(M\in\mathbb Q\) tal que
\[ 0_{\mathbb Q}\leq M \]
y
\[ \forall n\in\mathbb N,\qquad n<N\Longrightarrow |q_n|\leq M. \]
Demostración.
Demostraremos la afirmación por inducción sobre \(N\).
Caso base. Sea \(N=0\). Tomamos
\[ M:=0_{\mathbb Q}. \]
Se cumple \(0_{\mathbb Q}\leq M\). Además no existe \(n\in\mathbb N\) con \(n<0\): por Teorema 1.6.12 — Orden estricto y pertenencia, \(n<0\) equivaldría a \(n\in0\), pero \(0=\varnothing\). Por tanto
\[ n<0\Longrightarrow |q_n|\leq M \]
es vacuamente verdadera para todo \(n\in\mathbb N\).
Paso inductivo. Supongamos que para cierto \(N\in\mathbb N\) existe \(M\in\mathbb Q\) tal que
\[ 0_{\mathbb Q}\leq M \]
y
\[ n<N\Longrightarrow |q_n|\leq M. \]
Definimos
\[ M':=M+|q_N|. \]
Por Proposición 4.2.2 — Propiedades elementales del valor absoluto, \(0_{\mathbb Q}\leq |q_N|\). La compatibilidad del orden racional con la suma y las leyes del grupo aditivo implican
\[ 0_{\mathbb Q}\leq M', \qquad M\leq M', \qquad |q_N|\leq M'. \]
Sea ahora \(n\in\mathbb N\) con
\[ n<S(N). \]
Por Teorema 1.6.12 — Orden estricto y pertenencia,
\[ n\in S(N). \]
Como
\[ S(N)=N\cup\{N\}, \]
las leyes de pertenencia de la unión dan dos posibilidades:
- \(n\in N\);
- \(n=N\).
En el primer caso, Teorema 1.6.12 — Orden estricto y pertenencia da \(n<N\), y por la hipótesis inductiva
\[ |q_n|\leq M\leq M'. \]
En el segundo caso,
\[ |q_n|=|q_N|\leq M'. \]
Así, en ambos casos,
\[ n<S(N)\Longrightarrow |q_n|\leq M'. \]
Hemos construido una cota racional no negativa para el segmento inicial de longitud \(S(N)\). El principio de inducción Teorema 1.1.10 — Principio de inducción concluye el resultado para todo \(N\in\mathbb N\). ∎
Teorema 8.6.3 — Toda sucesión racional de Cauchy es acotada
Sea \(q=(q_n)_{n\in\mathbb N}\) una sucesión racional de Cauchy. Entonces \(q\) es acotada.
Demostración.
Como \(\mathbb Q\) es un cuerpo ordenado, Lema 4.1.3 — Cálculo elemental de signos en un cuerpo ordenado (3) da
\[ 0_{\mathbb Q}<1_{\mathbb Q}. \]
Aplicamos la condición de Cauchy con la tolerancia racional positiva
\[ \varepsilon:=1_{\mathbb Q}. \]
Por Definición 8.4.1 — Sucesión racional de Cauchy, existe \(N\in\mathbb N\) tal que, para cualesquiera \(m,n\in\mathbb N\),
\[ N\leq m \quad\text{y}\quad N\leq n \]
implican
\[ d_{\mathbb Q}(q_m,q_n)<1_{\mathbb Q}. \]
En particular, como \(N\leq N\), para todo \(n\in\mathbb N\) con \(N\leq n\) tenemos
\[ d_{\mathbb Q}(q_n,q_N)<1_{\mathbb Q}. \]
Por el lema anterior aplicado al mismo \(N\), existe \(M\in\mathbb Q\) tal que
\[ 0_{\mathbb Q}\leq M \]
y
\[ n<N\Longrightarrow |q_n|\leq M. \]
Definamos ahora
\[ T:=1_{\mathbb Q}+|q_N| \]
y
\[ B:=M+T. \]
Por la no negatividad del valor absoluto y la positividad de \(1_{\mathbb Q}\),
\[ 0_{\mathbb Q}\leq T. \]
Como también \(0_{\mathbb Q}\leq M\), la compatibilidad del orden con la suma da
\[ 0_{\mathbb Q}\leq B, \qquad M\leq B, \qquad T\leq B. \]
Mostremos que \(B\) acota todos los términos de \(q\).
Sea \(n\in\mathbb N\). Como el orden natural es total, se cumple \(n\leq N\) o \(N\leq n\).
Si \(N\leq n\), la desigualdad triangular para \(d_{\mathbb Q}\) produce
\[ d_{\mathbb Q}(q_n,0_{\mathbb Q}) \leq d_{\mathbb Q}(q_n,q_N) + d_{\mathbb Q}(q_N,0_{\mathbb Q}). \]
Por la definición de la distancia racional,
\[ d_{\mathbb Q}(q_n,0_{\mathbb Q})=|q_n| \]
y
\[ d_{\mathbb Q}(q_N,0_{\mathbb Q})=|q_N|. \]
Por tanto,
\[ |q_n| < 1_{\mathbb Q}+|q_N| = T \leq B. \]
En particular,
\[ |q_n|\leq B. \]
Supongamos ahora \(n\leq N\). Si \(n=N\), entonces también \(N\leq n\) y el caso anterior se aplica. Si \(n\neq N\), por la definición del orden estricto asociado,
\[ n<N. \]
El lema de acotación del segmento inicial da entonces
\[ |q_n|\leq M\leq B. \]
Hemos probado
\[ \forall n\in\mathbb N,\qquad |q_n|\leq B, \]
con \(B\in\mathbb Q\) y \(0_{\mathbb Q}\leq B\). Por Definición 8.6.1 — Sucesión racional acotada, la sucesión \(q\) es acotada. ∎
Contenido efectivo. Si \(q\) viene con un módulo computable de Cauchy, podemos tomar \(N=\mu_C(1_{\mathbb Q})\). El segmento inicial \(q_0,\ldots,q_{N-1}\) es finito y sus valores racionales pueden compararse efectivamente; junto con \(1+|q_N|\) obtenemos una cota global computable. La acotación abstracta de una sucesión de Cauchy y la computación de una cota a partir de datos efectivos son, por tanto, dos niveles distintos.
Lo que hemos ganado
Toda sucesión racional de Cauchy posee una cota racional global:
\[ \boxed{ q\in\mathcal C_{\mathbb Q} \Longrightarrow \exists B\in\mathbb Q\; \left( 0_{\mathbb Q}\leq B \land \forall n\in\mathbb N,\ |q_n|\leq B \right). } \]
La demostración separa dos mecanismos distintos: la condición de Cauchy controla la cola, mientras la inducción controla el segmento inicial.
Esta propiedad será necesaria para analizar la incompletitud secuencial de \(\mathbb Q\). En §8.7 construiremos un proceso racional de Cauchy que no converge racionalmente, sin apelar a la construcción de Dedekind.
8.7. Incompletitud secuencial de \(\mathbb Q\)
La condición de Cauchy fue diseñada precisamente para describir procesos racionales que se estabilizan internamente sin mencionar de antemano un límite. Hasta ahora hemos probado una sola dirección:
\[ q_n\to_{\mathbb Q}\ell \Longrightarrow q\in\mathcal C_{\mathbb Q}. \]
La pregunta decisiva es si la recíproca vale en \(\mathbb Q\).
Si toda sucesión racional de Cauchy poseyera un límite racional, el sistema racional sería suficiente para absorber todos sus procesos de aproximación coherentes. Si, por el contrario, podemos construir una sucesión de Cauchy sin límite en \(\mathbb Q\), aparecerá una nueva forma de incompletitud: no un hueco descrito directamente por un conjunto ordenado, sino un proceso racional que exige un punto que \(\mathbb Q\) no contiene.
Definición 8.7.1 — Completitud secuencial de \(\mathbb Q\)
Diremos que \(\mathbb Q\) es secuencialmente completo si toda sucesión racional de Cauchy converge racionalmente a algún elemento de \(\mathbb Q\); es decir, si
\[ \boxed{ \forall q\in\mathcal C_{\mathbb Q}\; \exists \ell\in\mathbb Q \quad q_n\to_{\mathbb Q}\ell. } \]
La completitud secuencial es aquí una afirmación existencial sobre límites: \[ \boxed{\text{completitud secuencial}\neq\text{algoritmo que calcule el límite}.} \] Para una lectura efectiva habrá que exigir nombres computables y módulos adecuados.
Negar esta propiedad significa exhibir una sucesión concreta
\[ q\in\mathcal C_{\mathbb Q} \]
tal que
\[ \forall \ell\in\mathbb Q, \qquad q_n\not\to_{\mathbb Q}\ell. \]
Construiremos una de ellas mediante una bisección enteramente racional asociada a la ecuación \(x^2=2_{\mathbb Q}\).
Definición 8.7.2 — Operador racional de bisección para \(x^2=2\)
Para \(x,y\in\mathbb Q\) definimos su punto medio racional
\[ \mu(x,y) := \frac{x+y}{2_{\mathbb Q}}. \]
Como \(2_{\mathbb Q}\neq0_{\mathbb Q}\), esta división está definida.
Definimos el operador racional de bisección
\[ \Phi_2: \mathbb Q\times\mathbb Q \longrightarrow \mathbb Q\times\mathbb Q \]
por
\[ \boxed{ \Phi_2(x,y) = \begin{cases} (\mu(x,y),y), & \text{si }\mu(x,y)^2<2_{\mathbb Q}, \\[1mm] (x,\mu(x,y)), & \text{si }\neg\bigl(\mu(x,y)^2<2_{\mathbb Q}\bigr). \end{cases} } \]
La definición es total y efectiva sobre entradas racionales. La comparación
\[ \mu(x,y)^2<2_{\mathbb Q} \]
es decidible por Proposición 3.7.6 — Tricotomía decidible de los racionales; por tanto podemos determinar cuál de las dos cláusulas corresponde sin apelar a una instancia no efectiva del tercero excluido. Su grafo se obtiene por separación dentro de
\[ (\mathbb Q\times\mathbb Q)\times(\mathbb Q\times\mathbb Q), \]
y cada entrada determina un único valor.
Nota fundacional. La definición no efectúa una elección entre múltiples testigos: el nuevo par queda determinado por una condición decidida sobre un único punto medio racional. No interviene Choice.
classical-use: none;constructive-status: constructive-compatible;effective-status: effective.
Proposición 8.7.3 — Existencia y unicidad de las sucesiones de bisección
Existen únicas sucesiones racionales
\[ a=(a_n)_{n\in\mathbb N}, \qquad b=(b_n)_{n\in\mathbb N} \]
tales que
\[ a_0=1_{\mathbb Q}, \qquad b_0=2_{\mathbb Q}, \]
y, si
\[ m_n:=\frac{a_n+b_n}{2_{\mathbb Q}}, \]
entonces para todo \(n\in\mathbb N\),
\[ \boxed{ (a_{S(n)},b_{S(n)}) = \begin{cases} (m_n,b_n), & \text{si }m_n^2<2_{\mathbb Q}, \\[1mm] (a_n,m_n), & \text{si }\neg(m_n^2<2_{\mathbb Q}). \end{cases} } \]
Demostración.
Consideremos el conjunto de estados
\[ X:=\mathbb Q\times\mathbb Q \]
y el estado inicial
\[ p_0:=(1_{\mathbb Q},2_{\mathbb Q})\in X. \]
El operador \(\Phi_2\) de Definición 8.7.2 — Operador racional de bisección para \(x^2=2\) es una función \(X\to X\). El teorema de recursión sobre \(\mathbb N\), Teorema 1.3.7 — Teorema de recursión sobre \(\mathbb N\), produce una única función
\[ p:\mathbb N\longrightarrow X \]
tal que
\[ p(0)=p_0 \]
y
\[ p(S(n))=\Phi_2(p(n)) \]
para todo \(n\in\mathbb N\).
Para cada \(n\), como \(p(n)\in\mathbb Q\times\mathbb Q\), existen \(a_n,b_n\in\mathbb Q\) con
\[ p(n)=\langle a_n,b_n\rangle. \]
La unicidad de las coordenadas se sigue del teorema característico del par ordenado Teorema 0.3.4 — Teorema característico del par ordenado. Los grafos
\[ G_a = \{\langle n,x\rangle\in\mathbb N\times\mathbb Q: \exists y\in\mathbb Q,\ p(n)=\langle x,y\rangle\} \]
y
\[ G_b = \{\langle n,y\rangle\in\mathbb N\times\mathbb Q: \exists x\in\mathbb Q,\ p(n)=\langle x,y\rangle\} \]
determinan por tanto funciones únicas
\[ a,b:\mathbb N\to\mathbb Q. \]
La ecuación recursiva de \(p\) se traduce exactamente en las fórmulas afirmadas para \(a\) y \(b\). La unicidad de \(p\) implica la unicidad del par \((a,b)\). ∎
Contenido efectivo. Como la rama de \(\Phi_2\) se decide racionalmente en cada etapa, la recursión produce sucesiones computables \(n\mapsto a_n\) y \(n\mapsto b_n\).
Lema 8.7.4 — Invariantes de la bisección racional
Para todo \(n\in\mathbb N\) se cumplen:
- \[ 0_{\mathbb Q}<a_n<b_n; \]
- \[ a_n^2<2_{\mathbb Q}<b_n^2; \]
- \[ a_n\leq a_{S(n)}<b_{S(n)}\leq b_n; \]
- \[ b_{S(n)}-a_{S(n)} = \frac{b_n-a_n}{2_{\mathbb Q}}. \]
Además, si \(n,r\in\mathbb N\) y \(n\leq r\), entonces
\[ \boxed{ a_n\leq a_r<b_r\leq b_n. } \]
Demostración.
Procedemos por inducción sobre \(n\).
Para \(n=0\),
\[ a_0=1_{\mathbb Q}, \qquad b_0=2_{\mathbb Q}. \]
Las propiedades de la incrustación natural Corolario 3.8.2 — Propiedades de la incrustación natural dan
\[ 0_{\mathbb Q}<1_{\mathbb Q}<2_{\mathbb Q}. \]
Además,
\[ 1_{\mathbb Q}^2=1_{\mathbb Q}<2_{\mathbb Q}. \]
Como \(0_{\mathbb Q}<2_{\mathbb Q}\), la invariancia estricta por traslación da
\[ 2_{\mathbb Q} < 2_{\mathbb Q}+2_{\mathbb Q} = 2_{\mathbb Q}^2. \]
Por tanto,
\[ a_0^2<2_{\mathbb Q}<b_0^2, \]
y las dos primeras propiedades valen en el estado inicial.
Supongamos ahora que
\[ 0<a_n<b_n \]
y
\[ a_n^2<2_{\mathbb Q}<b_n^2. \]
Sea
\[ m_n=\frac{a_n+b_n}{2_{\mathbb Q}}. \]
Como \(0<2_{\mathbb Q}\), también \(0<2_{\mathbb Q}^{-1}\). De \(a_n<b_n\) obtenemos
\[ 0<b_n-a_n. \]
Multiplicando por el inverso positivo de \(2_{\mathbb Q}\),
\[ 0< \frac{b_n-a_n}{2_{\mathbb Q}}. \]
Las leyes del cuerpo reducen
\[ m_n-a_n = \frac{b_n-a_n}{2_{\mathbb Q}} \]
y
\[ b_n-m_n = \frac{b_n-a_n}{2_{\mathbb Q}}, \]
por lo que
\[ a_n<m_n<b_n. \]
Por Teorema 3.9.5 — No existe una raíz cuadrada racional de \(2\), ningún racional tiene cuadrado igual a \(2_{\mathbb Q}\); en particular,
\[ m_n^2\neq2_{\mathbb Q}. \]
La totalidad del orden racional deja entonces exactamente dos posibilidades:
\[ m_n^2<2_{\mathbb Q} \qquad\text{o}\qquad 2_{\mathbb Q}<m_n^2. \]
Si \(m_n^2<2_{\mathbb Q}\), la recurrencia da
\[ a_{S(n)}=m_n, \qquad b_{S(n)}=b_n. \]
Entonces
\[ a_n<a_{S(n)}<b_{S(n)}=b_n \]
y
\[ a_{S(n)}^2<2_{\mathbb Q}<b_{S(n)}^2. \]
Si \(2_{\mathbb Q}<m_n^2\), la recurrencia da
\[ a_{S(n)}=a_n, \qquad b_{S(n)}=m_n, \]
por lo que
\[ a_n=a_{S(n)}<b_{S(n)}<b_n \]
y nuevamente
\[ a_{S(n)}^2<2_{\mathbb Q}<b_{S(n)}^2. \]
En ambos casos se preservan las propiedades \(1\), \(2\) y \(3\).
Para la anchura, en la primera rama,
\[ b_{S(n)}-a_{S(n)} = b_n-m_n = \frac{b_n-a_n}{2_{\mathbb Q}}, \]
mientras que en la segunda,
\[ b_{S(n)}-a_{S(n)} = m_n-a_n = \frac{b_n-a_n}{2_{\mathbb Q}}. \]
Así vale \(4\) en todos los casos.
El principio de inducción Teorema 1.1.10 — Principio de inducción prueba las cuatro afirmaciones para todo \(n\).
Queda la propiedad de anidamiento para índices arbitrarios. Si \(n\leq r\), por la definición aritmética del orden natural existe \(k\in\mathbb N\) tal que
\[ n+k=r. \]
Induciendo sobre \(k\) y aplicando en cada paso la propiedad \(3\), obtenemos
\[ a_n\leq a_r \]
y
\[ b_r\leq b_n. \]
Junto con \(a_r<b_r\), resulta
\[ a_n\leq a_r<b_r\leq b_n. \]
Esto completa la demostración. ∎
Nota fundacional. La dicotomía usada en cada etapa no es una apelación a LEM sobre una proposición arbitraria: \(m_n^2<2_{\mathbb Q}\) es una comparación racional decidible por P0-B.
Lema 8.7.5 — Las anchuras se hacen arbitrariamente pequeñas
Para todo \(\varepsilon\in\mathbb Q\) con \(0<\varepsilon\), existe \(N\in\mathbb N\) tal que, para todo \(n\in\mathbb N\),
\[ N\leq n \Longrightarrow 0<b_n-a_n<\varepsilon. \]
Demostración.
Escribamos
\[ \delta_n:=b_n-a_n. \]
Por Lema 8.7.4 — Invariantes de la bisección racional,
\[ 0<\delta_n \]
y
\[ \delta_{S(n)} = \frac{\delta_n}{2_{\mathbb Q}}. \]
Como \(\delta_0=1_{\mathbb Q}\), una inducción inmediata da además la fórmula exacta
\[ \boxed{ \delta_n = \left(2_{\mathbb Q}^{-1}\right)^n = 2_{\mathbb Q}^{-n}. } \]
Primero estableceremos la estimación
\[ \boxed{ n\neq0 \Longrightarrow \nu(n)\delta_n\leq1_{\mathbb Q}. } \]
La probaremos por inducción, en la forma equivalente
\[ \nu(S(k))\delta_{S(k)} \leq 1_{\mathbb Q} \qquad(k\in\mathbb N). \]
Para \(k=0\), tenemos
\[ \delta_0=b_0-a_0 = 2_{\mathbb Q}-1_{\mathbb Q} = 1_{\mathbb Q}, \]
y por la fórmula de reducción de la anchura,
\[ \delta_1 = \frac{1_{\mathbb Q}}{2_{\mathbb Q}}. \]
Como \(\nu(1)=1_{\mathbb Q}\) y \(1_{\mathbb Q}<2_{\mathbb Q}\), la inversión del orden para positivos (Lema 4.1.3 — Cálculo elemental de signos en un cuerpo ordenado (7)) da
\[ 0_{\mathbb Q} < 2_{\mathbb Q}^{-1} < 1_{\mathbb Q}^{-1} = 1_{\mathbb Q}. \]
Por consiguiente,
\[ \nu(1)\delta_1 = \frac{1_{\mathbb Q}}{2_{\mathbb Q}} \leq 1_{\mathbb Q}. \]
Supongamos ahora
\[ \nu(S(k))\delta_{S(k)} \leq 1_{\mathbb Q}. \]
Pongamos \(r:=S(k)\). En \(\mathbb N\) se tiene \(1\leq r\). La compatibilidad del orden natural con la suma implica
\[ S(r)=r+1\leq r+r. \]
Aplicando la incrustación \(\nu\) y sus propiedades,
\[ \nu(S(r)) \leq \nu(r+r) = \nu(r)+\nu(r) = 2_{\mathbb Q}\nu(r). \]
Como \(\delta_r>0\), la compatibilidad del orden con el producto da
\[ \nu(S(r))\delta_r \leq 2_{\mathbb Q}\nu(r)\delta_r \leq 2_{\mathbb Q}. \]
Multiplicando por el inverso positivo de \(2_{\mathbb Q}\),
\[ \nu(S(r)) \frac{\delta_r}{2_{\mathbb Q}} \leq 1_{\mathbb Q}. \]
Pero
\[ \delta_{S(r)} = \frac{\delta_r}{2_{\mathbb Q}}, \]
y por tanto
\[ \nu(S(r))\delta_{S(r)} \leq1_{\mathbb Q}. \]
La inducción queda cerrada. Como Teorema 1.2.7 — Predecesor de todo natural no nulo establece que todo natural no nulo es sucesor de algún natural, la estimación vale para todo \(n\neq0\).
Sea ahora \(\varepsilon\in\mathbb Q\) con \(0<\varepsilon\). Por la positividad del inverso,
\[ 0<\varepsilon^{-1}. \]
La propiedad arquimediana de \(\mathbb Q\), Teorema 3.8.5 — \(\mathbb Q\) es arquimediano, proporciona \(N\in\mathbb N\) tal que
\[ \varepsilon^{-1}<\nu(N). \]
Como el miembro izquierdo es positivo,
\[ 0<\nu(N), \]
de modo que \(N\neq0\). Por la estimación anterior,
\[ \nu(N)\delta_N\leq1_{\mathbb Q}. \]
Multiplicando
\[ \varepsilon^{-1}<\nu(N) \]
por el racional positivo \(\varepsilon\) obtenemos
\[ 1_{\mathbb Q}<\varepsilon\nu(N). \]
Por tanto,
\[ \nu(N)\delta_N < \varepsilon\nu(N). \]
Como \(\nu(N)>0\), el escalamiento estricto por un factor positivo permite cancelar \(\nu(N)\) y concluir
\[ \delta_N<\varepsilon. \]
Finalmente, si \(N\leq n\), el anidamiento de Lema 8.7.4 — Invariantes de la bisección racional da
\[ a_N\leq a_n<b_n\leq b_N, \]
y por compatibilidad del orden con la suma y la sustracción,
\[ 0<\delta_n=b_n-a_n\leq b_N-a_N=\delta_N<\varepsilon. \]
Esto prueba la afirmación. ∎
Módulo efectivo de anchura. Puesto que \(N\mapsto2_{\mathbb Q}^{-N}\) es computable y la comparación racional es decidible, podemos buscar sucesivamente el primer \(N\) con \[ 2_{\mathbb Q}^{-N}<\varepsilon. \] La prueba garantiza que la búsqueda termina. Así se obtiene un módulo computable de estrechamiento y, usando el anidamiento, un módulo computable de Cauchy para la sucesión inferior.
Teorema 8.7.6 — Una sucesión de Cauchy racional sin límite racional
Sea \(a=(a_n)_{n\in\mathbb N}\) la sucesión inferior de la bisección de Proposición 8.7.3 — Existencia y unicidad de las sucesiones de bisección. Entonces
\[ \boxed{ a\in\mathcal C_{\mathbb Q} } \]
pero
\[ \boxed{ \forall \ell\in\mathbb Q, \qquad a_n\not\to_{\mathbb Q}\ell. } \]
Demostración.
1. La sucesión \(a\) es de Cauchy
Sea \(\varepsilon\in\mathbb Q\) con \(0<\varepsilon\). Por Lema 8.7.5 — Las anchuras se hacen arbitrariamente pequeñas, existe \(N\in\mathbb N\) tal que
\[ b_N-a_N<\varepsilon. \]
Si \(m,n\geq N\), el anidamiento de Lema 8.7.4 — Invariantes de la bisección racional da
\[ a_N\leq a_m,a_n<b_m,b_n\leq b_N. \]
La tricotomía decidible de \(\mathbb Q\) permite comparar \(a_m\) y \(a_n\). En cualquiera de las dos orientaciones,
\[ |a_m-a_n| \leq b_N-a_N <\varepsilon. \]
Luego \(a\) es de Cauchy y
\[ a\in\mathcal C_{\mathbb Q}. \]
2. La sucesión \(a\) no posee límite racional
Supongamos que existe \(\ell\in\mathbb Q\) tal que
\[ a_n\to_{\mathbb Q}\ell. \]
Por el anidamiento,
\[ 1_{\mathbb Q}=a_0\leq a_n \]
para todo \(n\). Si \(\ell<1_{\mathbb Q}\), tomando
\[ \eta:=\frac{1_{\mathbb Q}-\ell}{2_{\mathbb Q}}>0 \]
la convergencia daría, para \(n\) suficientemente grande,
\[ a_n<\ell+\eta=\frac{\ell+1_{\mathbb Q}}{2_{\mathbb Q}}<1_{\mathbb Q}, \]
contradicción. Por la tricotomía racional,
\[ 1_{\mathbb Q}\leq\ell, \]
y en particular \(0_{\mathbb Q}<\ell\).
Aplicamos ahora Proposición 3.7.6 — Tricotomía decidible de los racionales a \(\ell^2\) y \(2_{\mathbb Q}\).
Caso 1: \(\ell^2=2_{\mathbb Q}\). Esto contradice Teorema 3.9.5 — No existe una raíz cuadrada racional de \(2\).
Caso 2: \(\ell^2<2_{\mathbb Q}\). Pongamos
\[ d:=2_{\mathbb Q}-\ell^2>0, \qquad h:=\frac{d}{2_{\mathbb Q}(2_{\mathbb Q}\ell+1_{\mathbb Q})}>0, \qquad r:=\ell+h. \]
Como \(\ell\geq1_{\mathbb Q}\) y \(\ell^2<2_{\mathbb Q}\), tenemos \(0<d\leq1_{\mathbb Q}\) y \(2(2\ell+1)\geq6\). En particular \(0<h<1_{\mathbb Q}\), luego \(h^2<h\). Así
\[ 2\ell h+h^2 < (2\ell+1)h = \frac d2 < d, \]
y por tanto
\[ r^2=(\ell+h)^2<2_{\mathbb Q}. \]
Aplicamos la convergencia con precisión \(h/2_{\mathbb Q}\) y el estrechamiento de Lema 8.7.5 — Las anchuras se hacen arbitrariamente pequeñas con la misma precisión. Para algún \(N\),
\[ |a_N-\ell|<\frac h2, \qquad b_N-a_N<\frac h2. \]
Entonces
\[ b_N =a_N+(b_N-a_N) <\ell+\frac h2+\frac h2 =r. \]
Pero Lema 8.7.4 — Invariantes de la bisección racional da \(0<b_N\) y \(2_{\mathbb Q}<b_N^2\). Como \(0<b_N<r\), Lema 3.9.6 — Estricta monotonía del cuadrado en los racionales no negativos implica
\[ b_N^2<r^2<2_{\mathbb Q}, \]
contradicción.
Caso 3: \(2_{\mathbb Q}<\ell^2\). Pongamos
\[ d:=\ell^2-2_{\mathbb Q}>0, \qquad h:=\frac{d}{2_{\mathbb Q}(2_{\mathbb Q}\ell+1_{\mathbb Q})}>0. \]
Como \(d=\ell^2-2_{\mathbb Q}<\ell^2\) y \(\ell\geq1_{\mathbb Q}\),
\[ 0<h < \frac{\ell^2}{2(2\ell+1)} < \ell. \]
Además,
\[ 2\ell h-h^2 < 2\ell h < (2\ell+1)h = \frac d2 < d. \]
Por tanto
\[ (\ell-h)^2 =\ell^2-(2\ell h-h^2) >2_{\mathbb Q}. \]
Por la convergencia, para algún \(N\),
\[ |a_N-\ell|<h. \]
La caracterización local de la distancia (Proposición 8.2.3 — Caracterización \(\varepsilon\)-local de la distancia racional) da
\[ \ell-h<a_N. \]
Como \(0<\ell-h<a_N\), Lema 3.9.6 — Estricta monotonía del cuadrado en los racionales no negativos implica
\[ 2_{\mathbb Q} <(\ell-h)^2 <a_N^2, \]
contradiciendo \(a_N^2<2_{\mathbb Q}\) de Lema 8.7.4 — Invariantes de la bisección racional.
Las tres posibilidades de la tricotomía racional son imposibles. Por tanto no existe \(\ell\in\mathbb Q\) con \(a_n\to_{\mathbb Q}\ell\). ∎
Nota conceptual. No hemos construido ni utilizado la raíz real de \(2\). La contradicción final es completamente local: si existiera un límite racional \(\ell\), los intervalos encajados forzarían \(\ell^2=2_{\mathbb Q}\), contra Teorema 3.9.5 — No existe una raíz cuadrada racional de \(2\). La prueba ya no depende de reconstruir un supremo racional de \(S_2\).
Corolario 8.7.7 — \(\mathbb Q\) no es secuencialmente completo
El cuerpo ordenado \(\mathbb Q\) no es secuencialmente completo.
Demostración.
Por Teorema 8.7.6 — Una sucesión de Cauchy racional sin límite racional existe una sucesión
\[ a\in\mathcal C_{\mathbb Q} \]
que no converge racionalmente a ningún elemento de \(\mathbb Q\). Esto niega exactamente la condición de Definición 8.7.1 — Completitud secuencial de \(\mathbb Q\). ∎
Cierre del capítulo
El capítulo comenzó con procesos racionales y terminó demostrando que algunos de esos procesos desbordan el propio sistema racional.
La cadena obtenida es ahora:
\[ \boxed{ \text{convergencia racional} \Longrightarrow \text{Cauchy} \Longrightarrow \text{acotación}, } \]
pero la primera implicación no puede invertirse en \(\mathbb Q\):
\[ \boxed{ \exists q\in\mathcal C_{\mathbb Q} \quad \forall\ell\in\mathbb Q, \quad q_n\not\to_{\mathbb Q}\ell. } \]
La insuficiencia que en el capítulo 3 apareció como ausencia de un supremo racional reaparece ahora como ausencia de un límite racional. Hemos conectado, sin recurrir a \(\mathbb R_D\), dos manifestaciones de un mismo defecto estructural de \(\mathbb Q\).
El siguiente paso no será asignar arbitrariamente un nuevo número a cada sucesión de Cauchy. Distintas sucesiones pueden describir la misma posición asintótica. Antes de formar un nuevo sistema numérico debemos determinar cuándo dos procesos de Cauchy deben considerarse equivalentes y demostrar que las operaciones término a término respetan esa identificación.
Ése será el problema del Capítulo 9 — El cuerpo de Cauchy.