¿Qué significa que los reales sean únicos?

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La construcción anterior exhibe un cuerpo ordenado completo. Otro modelo podría estar formado por clases de sucesiones o por objetos abstractos con operaciones y orden. La comparación pertinente consiste en construir una correspondencia biyectiva que preserve suma, producto, unidad y orden. El teorema que buscaremos afirma, además, que esa identificación ordenada queda determinada de manera única.

Sean \(F\) y \(G\) dos cuerpos ordenados completos cualesquiera. La unidad de cada uno genera una copia de los racionales, que nos dará un lenguaje común. Para cada \(x\in F\) reuniremos los racionales que quedan por debajo de él, transportaremos sus copias a \(G\) y tomaremos allí el supremo. Construir la función exige comprobar que cada conjunto tiene elementos y una cota; demostrar que es un isomorfismo exigirá después transportar las operaciones y el orden.

El momento más delicado será la multiplicación: necesitaremos distinguir un corte completo, su parte positiva y los productos exactos de testigos racionales. La distinción no es una sutileza verbal: de ella depende que las igualdades de conjuntos sean verdaderas.

Fijamos algunas convenciones antes de comenzar. En las demostraciones de este capítulo escribiremos \(\mathbb N=\{0,1,2,\ldots\}\) y \(\mathbb N_{>0}=\{1,2,\ldots\}\); el denominador natural de una fracción siempre pertenece a este segundo conjunto. Para cualquier cuerpo ordenado \(H\) suponemos \(0_H\ne1_H\). Esta distinción asegura que el cuerpo no se reduce al objeto de un solo elemento y que las copias positivas de los enteros son no nulas.

Qué clase de unicidad buscamos

La unicidad buscada se refiere a una identificación que conserva todas las operaciones y el orden. Empezaremos precisando las propiedades de esa función para reconocer qué debemos demostrar sobre la candidata construida mediante supremos.

Un modelo concreto resuelve la existencia. Compararlo con otro modelo exige seguir sus operaciones y su orden a través de una función: los elementos pueden tener presentaciones distintas y, aun así, corresponderse de una manera que respete toda la estructura.

Consideremos dos cuerpos \(F,G\) con la propiedad del supremo y busquemos un isomorfismo \(\varphi:F\to G\). La analogía con dos tableros de ajedrez expresa la idea: cambiar el material y la apariencia de las piezas no cambia las reglas del juego. La comparación es estructural, aunque una analogía no prueba que dos objetos matemáticos sean isomorfos.

Para precisar la meta hay que demostrar dos cosas. La función será biyectiva, de manera que cada elemento de un modelo tenga exactamente un correspondiente en el otro; y preservará suma, producto, unidad y orden. Una correspondencia que olvide cualquiera de estas condiciones podría conservar sólo una parte de la información. Hay que distinguir la existencia de alguna biyección de la invertibilidad de la función concreta que estamos construyendo. Que dos conjuntos tengan la misma cardinalidad significa que existe al menos una biyección entre ellos, pero no garantiza que nuestra función sea esa biyección. El mapa constante de los naturales en los naturales tiene conjuntos del mismo tamaño y no es invertible. Por eso se comprobará la inyectividad y la sobreyectividad de la aplicación concreta.

Homomorfismo de cuerpos y orden

Las tres condiciones algebraicas que se escriben son

\[\varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b),\qquad \varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b),\qquad \varphi(1_F)=1_G.\]

Las dos primeras deben valer para todos \(a,b\in F\). Conviene explicar por qué la preservación de la unidad figura como requisito separado. Una función que preserve producto sólo obliga a que su valor en \(1_F\) sea idempotente: \(e=e^2\). En un cuerpo eso deja dos alternativas, cero y uno. La condición de unidad excluye el mapa que colapsa todo a cero.

En cambio, preservar suma ya fuerza preservar cero: de \(0_F+0_F=0_F\) se deduce que \(\varphi(0_F)+\varphi(0_F)=\varphi(0_F)\); cancelar en \(G\) da \(\varphi(0_F)=0_G\). Esta consecuencia de la aditividad se obtiene antes de examinar la multiplicación: no constituye una hipótesis adicional.

El orden también se debe respetar:

\[x<y\iff\varphi(x)<\varphi(y).\]

No se mezclan los elementos de \(F\) con los de \(G\) en una misma comparación. Cada lado vive en su propio cuerpo. La función es precisamente el medio para relacionarlos.

La prueba completa de que los idempotentes de un cuerpo son sólo cero y uno utiliza \(e(e-1)=0\) y la inexistencia de divisores de cero. También se demuestra que un homomorfismo unitario de cuerpos es automáticamente inyectivo. Esto no evita comprobar que nuestra candidata realmente sea tal homomorfismo; anticipar esa conclusión para justificar sus propiedades sería circular.

Homomorfismos, cero, signos e idempotentes

Un homomorfismo de cuerpos unitario \(h:F\to G\) cumple, para todos \(a,b\in F\),

\[h(a+b)=h(a)+h(b),\quad h(ab)=h(a)h(b),\quad h(1_F)=1_G.\]

La primera identidad implica \(h(0_F)=h(0_F)+h(0_F)\); cancelar en \(G\) da \(h(0_F)=0_G\). Entonces \(h(a)+h(-a)=h(0_F)=0_G\), así que \(h(-a)=-h(a)\). Si \(a\ne0_F\), \(h(a)h(a^{-1})=1_G\), de donde \(h(a)\ne0_G\) y \(h(a^{-1})=h(a)^{-1}\). Si \(h(a)=h(b)\), la aditividad da \(h(a-b)=0_G\); cuando \(a-b\ne0_F\) la identidad del inverso lo prohíbe. Luego todo homomorfismo unitario entre cuerpos es inyectivo. Esto no necesita completitud ni orden.

Si sólo se suponen suma y producto, \(e=h(1_F)\) satisface \(e=e^2\). En un cuerpo, \(e(e-1_G)=0_G\) implica \(e=0_G\) o \(e=1_G\): si el primer factor no es cero, multiplicar por su inverso fuerza el segundo a cero. Si \(e=0_G\), entonces \(h(a)=h(a1_F)=h(a)e=0_G\) para todo \(a\). La alternativa es, por tanto, el mapa cero. Exigir unidad excluye esa alternativa. La cancelación multiplicativa se usa sólo con factor no nulo.

Una biyección es una función inyectiva y sobreyectiva; equivale a tener una inversa bilateral. Que dos conjuntos tengan la misma cardinalidad garantiza la existencia de alguna biyección, pero no convierte en biyectiva una función dada. Por ejemplo, \(f:\mathbb N\to\mathbb N\), \(f(n)=0\), tiene dominio y codominio del mismo tamaño y no es biyectiva.

Preservar suma y producto no basta si una aplicación pudiera enviar la unidad a cero: el mapa nulo también respeta ambas operaciones. El análisis de los idempotentes nos muestra por qué la condición \(\varphi(1)=1\) es parte de la definición de homomorfismo unitario. La función que construiremos deberá satisfacerla mediante una prueba, no porque decidamos imponerla al resultado.

Un lenguaje racional común

El siguiente paso consiste en introducir copias de los naturales, enteros y racionales en ambos cuerpos. En cada \(H\in\{F,G\}\), el natural \(n\) corresponde a sumar \(1_H\) consigo mismo \(n\) veces. El cero corresponde a \(0_H\) y un entero negativo al opuesto del entero positivo correspondiente. Finalmente,

\[\iota_H(m/n)=m_H(n_H)^{-1},\qquad m\in\mathbb Z,\quad n\in\mathbb N_{>0}.\]

El denominador positivo no restringe las fracciones posibles: el signo negativo puede trasladarse al numerador. Pero aún hay una obligación decisiva. Las expresiones \(1/2\) y \(2/4\) representan el mismo racional; la fórmula debe darles el mismo elemento de \(H\). Esa es la buena definición de la aplicación sobre racionales, y comprobarla será esencial para que la aplicación esté bien definida.

Cómo se justifica la copia racional. La demostración siguiente establecerá que el cuerpo tiene característica cero, verificará la independencia de la representación fraccionaria y comprobará la compatibilidad con suma, producto y orden. No basta suponer que la repetición de \(1_H\) nunca se anule: se demuestra que \(1_H>0_H\) y, por tanto, que cada suma positiva lo es.

Además, \(\mathbb N\) y \(\mathbb Z\) no son cuerpos. En esas etapas se habla respectivamente de una inclusión de semianillos y de anillos, con orden; sólo la etapa racional es un homomorfismo de cuerpos. Esta precisión evita exigir a los naturales un inverso aditivo que no tienen o a los enteros un inverso multiplicativo para cualquier no nulo.

Conservar los símbolos \(q\), \(q_F\) y \(q_G\) sirve para pensar con claridad. El primero es una fracción; los otros dos son sus versiones en modelos diferentes. Que representen la misma cantidad racional no significa que sean literalmente el mismo objeto.

Construcción completa de las copias racionales

Para un cuerpo ordenado \(H\), primero \(1_H>0_H\). En efecto, el cuadrado de cualquier elemento no nulo es positivo: si \(a>0\), multiplicar \(a>0\) por \(a\) da \(a^2>0\); si \(a<0\), \(-a>0\) y \(a^2=(-a)^2>0\). Aplicar esto a \(1_H\ne0_H\) da la afirmación.

Definimos \(0_H\) como suma vacía y, para \(n>0\), \(n_H\) como suma de \(n\) copias de \(1_H\). Por asociatividad, concatenar sumas da \((m+n)_H=m_H+n_H\) para naturales. Distributividad repetida da \((mn)_H=m_Hn_H\). Si \(n>0\), sumar positivos muestra \(n_H>0_H\), por lo que no puede anularse. El cuerpo tiene característica cero.

Para un entero negativo \(n=-k\), ponemos \(n_H=-k_H\). La ley aditiva se extiende a todos los enteros: dados \(m,n\in\mathbb Z\), elegir naturales \(u,v\) con \(m+u,n+v\ge0\). La identidad \(m_H+u_H=(m+u)_H\) se obtiene cancelando sumas naturales si \(m<0\), y por concatenación si \(m\ge0\). Para evitar presuponer la identidad que deseamos demostrar, comparamos por separado \((m+n)_H+u_H+v_H\) y \((m_H+n_H)+u_H+v_H\). La primera es \((m+n+u+v)_H\) por la identidad ya establecida entre cualquier entero y un natural que lo deja no negativo; la segunda es \((m+u)_H+(n+v)_H=(m+n+u+v)_H\) por la ley de los naturales. Cancelar \(u_H+v_H\) demuestra \((m+n)_H=m_H+n_H\). Para producto, la fórmula de naturales se extiende con \((-a)b=-(ab)\) y \((-a)(-b)=ab\), deducidas por distributividad en el cuerpo: \(ab+(-a)b=(a-a)b=0\). De ahí \((mn)_H=m_Hn_H\) para todos los enteros.

Si \(m<n\), \((n-m)_H>0\) y \(n_H-m_H=(n-m)_H\); por tanto la inclusión de enteros preserva estrictamente el orden y es inyectiva. Reflexiona el orden porque, si \(m\ge n\), las alternativas igualdad o desigualdad inversa impiden \(m_H<n_H\).

Para \(m\in\mathbb Z\), \(n\in\mathbb N_{>0}\), definimos

\[\iota_H(m/n)=m_H(n_H)^{-1}.\]

El denominador es positivo y no nulo. Si \(m/n=a/b\), con \(n,b>0\), entonces \(mb=an\). La inclusión entera convierte esto en \(m_Hb_H=a_Hn_H\); dividir por \(n_Hb_H\ne0\) da la misma imagen racional. Ésta es la buena definición que no se obtiene únicamente escribiendo una fórmula sobre fracciones.

Las operaciones se preservan explícitamente:

\[\iota_H(m/n)+\iota_H(a/b)=\frac{m_Hb_H+a_Hn_H}{n_Hb_H}=\iota_H\bigl((mb+an)/(nb)\bigr),\] \[\iota_H(m/n)\iota_H(a/b)=\frac{m_Ha_H}{n_Hb_H}=\iota_H(ma/(nb)).\]

La unidad se preserva porque \(\iota_H(1)=1_H\). El orden se preserva y refleja multiplicando por los denominadores positivos: \(m/n<a/b\) equivale a \(mb<an\), que equivale a \(m_Hb_H<a_Hn_H\). Esto prueba también inyectividad. Los naturales forman aquí una copia de semianillo ordenado y los enteros de anillo ordenado; no son cuerpos. Sólo en \(\mathbb Q\) corresponde literalmente hablar de homomorfismo de cuerpos. Escribiremos \(q_H=\iota_H(q)\), manteniendo el tipo: \(q\) es racional, \(q_H\) pertenece a \(H\).

Los racionales aparecen como el esqueleto algebraico común a todos los cuerpos ordenados. Para llegar a ellos fue necesario comprobar que la elección de una fracción no altera la imagen; una mera expresión \(m_H/n_H\) no constituye una función hasta que se demuestra la independencia de representación. Esta buena definición es el fundamento sobre el que podremos comparar racionales situados en dos cuerpos que, de partida, no comparten elementos.

La candidata se obtiene por un supremo

La completitud es decisiva en este punto: primero hace arquimedianos a los dos cuerpos y después permite colocar racionales tan cerca como necesitemos de cualquier elemento.

Para \(x\in F\), definimos

\[A_x=\{q\in\mathbb Q:q_F<x\}.\]

Este conjunto registra qué racionales quedan por debajo de \(x\) en \(F\). Sus elementos siguen siendo racionales, no elementos de \(F\). Después se transportan esos racionales a \(G\) y se toma su supremo:

\[\varphi(x)=\sup_G\{q_G:q\in A_x\}.\]

Aquí están las tres capas del procedimiento: un elemento de \(F\) produce un conjunto racional; el conjunto racional produce un subconjunto de \(G\); el supremo en \(G\) produce un único elemento de llegada. La copia racional funciona como puente entre modelos que inicialmente no tenían ninguna identificación dada.

Para utilizar \(A_x\) necesitamos demostrar sus cuatro propiedades de cortadura. También hemos de comprobar que su imagen en \(G\) es no vacía y está acotada superiormente. La intuición geométrica no sustituye ninguna de estas verificaciones.

La completitud implica primero que los naturales del cuerpo no están acotados: si tuvieran supremo \(u\), alguno superaría \(u-1\), y su sucesor superaría \(u\). De esta propiedad arquimediana se deriva la densidad racional. Sólo entonces se demuestra que \(A_x\) es no vacío, propio, descendente y sin máximo.

Un racional exterior a una cortadura supera a todos sus elementos; su imagen en \(G\) proporciona una cota de la imagen. Esto permite tomar el supremo sin afirmar que el conjunto racional tenga supremo en \(\mathbb Q\). La completitud aplicada es la de \(G\).

Al considerar una expresión como \(x+1_F\), debemos respetar el tipo de objeto: tal elemento pertenece a \(F\), no necesariamente a la copia racional. Se elige una cota racional mediante la propiedad arquimediana; no se llama racional a cualquier expresión de un cuerpo abstracto.

La buena definición incluye existencia para cada entrada, unicidad del supremo y que entradas iguales den salidas iguales. Comprobar sólo esta última condición no bastaría si la expresión no existiera para alguna entrada.

Completitud implica propiedad arquimediana

Sea \(H\) completo. Si \(\{n_H:n\in\mathbb N\}\) estuviera acotado superiormente, tendría un supremo \(u\). Como \(u-1_H<u\), \(u-1_H\) no sería cota superior; existe \(n\) con \(u-1_H<n_H\). Sumar \(1_H\) da \(u<(n+1)_H\), contradiciendo que \(u\) sea cota. Por tanto, para todo \(x\in H\) existe \(n\in\mathbb N\) con \(x<n_H\).

En particular, para todo \(\varepsilon>0_H\) existe \(n>0\) con \(n_H>\varepsilon^{-1}\), y al dividir por positivos se obtiene \(0_H<(1/n)_H<\varepsilon\). Esto usa la completitud del cuerpo considerado; no la atribuye a \(\mathbb Q\).

Densidad de la copia racional

Sean \(x<y\) en \(H\) completo. Por la propiedad arquimediana, existe \(n\in\mathbb N_{>0}\) con \(1_H<n_H(y-x)\). El conjunto de enteros \(m\) tales que \(n_Hx<m_H\) es no vacío y está acotado inferiormente: la propiedad arquimediana aplicada a \(n_Hx\) y a \(-n_Hx\) suministra ambas cotas enteras. Tras trasladarlo por un entero se convierte en un subconjunto no vacío de naturales; el buen orden da un elemento mínimo \(m\).

Su minimalidad significa \((m-1)_H\le n_Hx<m_H\). Dividir por \(n_H>0\) da

\[x<(m/n)_H\le x+(1/n)_H<y.\]

Así hay un racional \(q\) con \(x<q_H<y\). También existen racionales estrictamente menores y mayores que cualquier \(x\), por la propiedad arquimediana; por ejemplo, si \(n_H>|x|+1_H\), sirven \(-n\) y \(n\). El símbolo \(|x|\) significa \(\max(x,-x)\) en el orden de \(H\). No se intercambian \(q\in\mathbb Q\) y \(q_H\in H\).

Cortes y transporte de conjuntos

Para \(x\in F\) definimos

\[A_x=\{q\in\mathbb Q:q_F<x\}.\]

Tiene las cuatro propiedades de cortadura inferior. Hay un racional \(a\) con \(a_F<x\), así que no es vacío; hay un \(b\) con \(x<b_F\), así que es propio. Si \(q\in A_x\) y \(r<q\), el orden de la inclusión racional da \(r_F<q_F<x\), luego \(r\in A_x\). Si \(q\in A_x\), la densidad proporciona \(r\) con \(q_F<r_F<x\); por reflexión del orden \(q<r\), y \(r\in A_x\). No tiene máximo.

Para cualquier cortadura \(A\subseteq\mathbb Q\), si \(a\in A\) y \(b\notin A\), entonces \(a<b\). Igualdad contradice pertenencia; si \(b<a\), descenso obligaría a \(b\in A\). Por tanto \(\iota_G[A]=\{q_G:q\in A\}\) es no vacío y está acotado por \(b_G\). No es necesario que \(A\) tenga supremo en \(\mathbb Q\). Que un subconjunto racional sea propio, sin descenso, no implica que esté acotado: los naturales son un contraejemplo. La conclusión utiliza las propiedades de cortadura.

La imagen tampoco tiene máximo: si \(q_G\) está en ella, tomar \(r>q\) en \(A\) da otro elemento \(r_G>q_G\). En consecuencia cada elemento de la imagen es estrictamente menor que su supremo en \(G\): \(q_G<r_G\le\sup_G\iota_G[A]\). Esta es la justificación que permite fortalecer una comparación con un supremo; no vale para cualquier conjunto arbitrario.

Definición y buena definición de la aplicación

Ponemos

\[\varphi:F\longrightarrow G,\qquad \varphi(x)=\sup_G\iota_G[A_x].\]

La construcción de los perfiles racionales demuestra para todo \(x\in F\) las dos hipótesis que permiten aplicar la completitud de \(G\). El supremo es único: si \(u,v\) son ambos mínimos entre las cotas superiores del mismo conjunto, \(u\le v\) y \(v\le u\), por lo que \(u=v\). Así la expresión da exactamente un elemento de \(G\) por cada entrada.

Si \(x=y\), las condiciones \(q_F<x\) y \(q_F<y\) son idénticas; luego \(A_x=A_y\), sus imágenes coinciden y sus supremos coinciden. Esta comprobación es correcta, pero por sí sola no supliría demostrar existencia del supremo para toda entrada. Se han verificado ambas cosas, sin presuponer que \(\varphi\) sea homomorfismo.

Aproximación al supremo y eliminación de epsilon

Sea \(S\subseteq H\) no vacío, acotado superiormente, con supremo \(s\). Para cada \(\varepsilon>0_H\), \(s-\varepsilon<s\) no es cota superior; existe \(t\in S\) con

\[s-\varepsilon<t\le s.\]

La última desigualdad puede ser igualdad si el supremo pertenece a \(S\). Sólo puede sustituirse por \(t<s\) cuando se ha probado que \(S\) no tiene máximo, como en los perfiles racionales.

Si \(u,v\in H\) satisfacen \(u-\varepsilon<v\) para todo \(\varepsilon>0_H\), entonces \(u\le v\). Si \(u>v\), elegir \(\varepsilon=(u-v)/2>0_H\) daría \(u-\varepsilon=(u+v)/2>v\), contradicción. No se sustituye \(\varepsilon=0\) en una proposición cuyo dominio exige positividad; se demuestra la conclusión por orden y contradicción. Ninguna de estas dos afirmaciones necesita una teoría de límites.

En esta cadena de resultados, la completitud se usa de manera local y precisa: en cada cuerpo por separado se obtiene primero la propiedad arquimediana y luego la densidad racional. Sólo después se forma el perfil \(A_x\) y se transporta a \(G\). El supremo que define \(\varphi(x)\) existe porque su conjunto de entrada es no vacío y posee una cota superior en \(G\); no utilizamos en ningún momento la completitud de \(\mathbb Q\), que sabemos falsa. La distinción entre pertenencia, cota y supremo prepara todos los argumentos siguientes.

El orden identifica posiciones diferentes

Supongamos \(x<y\) en \(F\). La densidad da un racional \(q\) con \(x<q_F<y\). Todo racional \(p\) de \(A_x\) satisface \(p_F<x<q_F\); las inclusiones racionales permiten pasar de esa comparación a \(p<q\) y después a \(p_G<q_G\). Por tanto \(q_G\) es una cota de la imagen que define \(\varphi(x)\), y

\[\varphi(x)\le q_G.\]

Pero \(q\in A_y\). Como \(A_y\) no tiene máximo, existe \(r\in A_y\) con \(q<r\). Al transportarlo,

\[q_G<r_G\le\varphi(y).\]

Combinar las cadenas da \(\varphi(x)<\varphi(y)\). La desigualdad estricta no aparece simplemente por tomar supremos: procede del espacio entre \(q_G\) y \(r_G\). Un elemento de un conjunto puede ser igual a su supremo si es máximo. En los conjuntos transportados de una cortadura no ocurre, por ausencia de máximo, pero esa propiedad debe haberse establecido. El desarrollo utiliza la comparación no estricta final, que ya basta, y demuestra cuándo puede fortalecerse.

La preservación estricta también permite obtener inyectividad y reflexión del orden por tricotomía. Si las imágenes fueran iguales y las entradas diferentes, una de las entradas sería menor y produciría imágenes estrictamente ordenadas. No hace falta esperar a la sobreyectividad para resolver esta parte.

Preservación estricta y reflexión del orden

Sean \(x<y\) en \(F\). Por densidad, elegir \(q\in\mathbb Q\) con \(x<q_F<y\). Todo \(p\in A_x\) cumple \(p_F<x<q_F\), luego \(p<q\) y \(p_G<q_G\). Por tanto \(q_G\) es cota superior de \(\iota_G[A_x]\) y \(\varphi(x)\le q_G\).

Por otro lado, \(q\in A_y\), y la ausencia de máximo da un \(r\in A_y\) con \(q<r\). Entonces

\[\varphi(x)\le q_G<r_G\le\varphi(y),\]

lo que demuestra \(\varphi(x)<\varphi(y)\). La desigualdad final no estricta es suficiente. Incluso podría fortalecerse a \(r_G<\varphi(y)\) porque el conjunto de racionales que define ese supremo carece de máximo.

Si \(\varphi(x)<\varphi(y)\), no puede ser \(x=y\), porque las imágenes serían iguales; tampoco \(y<x\), porque lo demostrado daría la desigualdad inversa. La totalidad del orden obliga a \(x<y\). Así se obtiene ambas direcciones sin esperar a demostrar sobreyectividad. Si \(\varphi(x)=\varphi(y)\), \(x<y\) o \(y<x\) darían imágenes distintas; por tanto \(x=y\) y la función es inyectiva.

Dos posiciones distintas en un cuerpo completo pueden separarse mediante un racional. La función que hemos definido conserva esa separación, de modo que no puede identificar dos entradas diferentes. Ésta es una prueba auténtica de inyectividad, independiente de la sobreyectividad que todavía no conocemos. Además muestra por qué el orden no es un adorno de la estructura: es el mecanismo que impide que dos elementos se confundan bajo la correspondencia.

Primero sumar cortes

Para demostrar aditividad se comienza en el nivel racional. La suma de dos conjuntos se define mediante sumas de sus elementos:

\[A_x+A_y=\{p+r:p\in A_x,r\in A_y\}.\]

El objetivo intermedio es \(A_{x+y}=A_x+A_y\). Una suma \(p+r\) del lado derecho cumple \((p+r)_F=p_F+r_F<x+y\), así que pertenece al lado izquierdo.

Para la dirección difícil, tomar \(q_F<x+y\) y medir la holgura exacta

\[\varepsilon=x+y-q_F>0_F.\]

La densidad permite elegir \(p_F\) entre \(x-\varepsilon/2\) y \(x\), y \(r_F\) entre \(y-\varepsilon/2\) y \(y\). Al sumar se obtiene \(q_F<p_F+r_F\), luego \(q<p+r\). Como la suma se definió por representaciones exactas, falta explicar por qué esa desigualdad incorpora a \(q\). El descenso de \(A_x\) da \(q-r<p\in A_x\), por lo que \(q-r\in A_x\); ahora \(q=(q-r)+r\) es una representación exacta. Esta comprobación hace explícita la equivalencia entre suma de Minkowski y suma por testigos estrictos. Se demuestra también que la suma de dos cortaduras sigue siendo cortadura.

Pensar la estrategia consiste en repartir una holgura, no en adivinar los racionales exactos. Las dos elecciones usan la misma cantidad positiva \(\varepsilon/2\) y cada testigo conserva la condición de pertenencia a su propio corte.

Suma de cortes: igualdad y cierre

Para dos cortaduras \(A,B\) definimos la suma de Minkowski

\[A+B=\{a+b:a\in A,\ b\in B\}.\]

Es no vacía por elegir un elemento de cada conjunto. Si \(u\notin A\), \(v\notin B\), toda suma \(a+b\) es menor que \(u+v\), que por ello no está en la suma; ésta es propia. Si \(t<a+b\), entonces \(t-b<a\), por descenso \(t-b\in A\) y \(t=(t-b)+b\) está en la suma. Si \(a+b\) está en ella, elegir \(a'>a\) en \(A\) proporciona \(a'+b>a+b\) en la misma suma. Se cumplen las cuatro condiciones, incluida la ausencia de máximo.

Además,

\[A+B=\{q\in\mathbb Q:\exists a\in A\ \exists b\in B\quad q<a+b\}.\]

Para \(q<a+b\), el descenso prueba \(q-b\in A\) y da una representación exacta de \(q\). Para \(q=a+b\), aumentar \(a\) dentro de \(A\) proporciona un testigo estricto. Esto explica la equivalencia entre la forma por testigos y la suma de Minkowski. Pasar de una desigualdad estricta a una representación exacta requiere precisamente esa equivalencia; ninguna notación permite omitir la justificación.

Para \(x,y\in F\), cada \(a\in A_x\), \(b\in A_y\) satisface \(a_F+b_F<x+y\), así que \(A_x+A_y\subseteq A_{x+y}\). A la inversa, si \(q\in A_{x+y}\), definir en \(F\) \(\varepsilon=x+y-q_F>0_F\). Por densidad elegir racionales \(a,b\) con

\[x-\varepsilon/2<a_F<x,\qquad y-\varepsilon/2<b_F<y.\]

Sumar da \(q_F<a_F+b_F<x+y\), y reflexión del orden racional da \(q<a+b\). La equivalencia anterior coloca \(q\) en la suma. Se prueba

\[A_{x+y}=A_x+A_y.\]

Las cotas estrictas de cada testigo, no la sola cota de su suma, garantizan pertenencia individual.

La igualdad de los cortes de una suma es una afirmación sobre conjuntos de racionales, no sobre supremos. La hemos justificado repartiendo una holgura positiva entre dos elecciones racionales y corrigiendo después una desigualdad estricta hasta obtener una representación exacta. Se necesitará todavía otra prueba para transportar esa identidad a la suma de sus supremos. Separar ambos pasos impide que un salto notacional esconda la verdadera dificultad.

Después sumar supremos

La identidad racional anterior debe pasar al nivel de \(G\). Para conjuntos no vacíos acotados \(S,T\), se demuestra

\[\sup(S+T)=\sup S+\sup T.\]

La suma de los supremos es cota de todas las sumas de elementos. Para demostrar que es la menor, se buscan elementos a menos de \(\varepsilon/2\) de cada supremo, por debajo. Su suma queda por encima de \(\sup S+\sup T-\varepsilon\). Como esto vale para todo \(\varepsilon>0\), el supremo de las sumas no puede ser menor que la suma de los supremos.

El paso final no consiste en sustituir \(\varepsilon=0\), pues la hipótesis sólo vale para epsilon positivo. Si \(u-\varepsilon<v\) para todo epsilon positivo y fuera \(u>v\), elegir \((u-v)/2\) contradice la desigualdad. Esa prueba es válida en el cuerpo ordenado y no necesita introducir un límite.

Aplicando la identidad a las imágenes de \(A_x,A_y\), y usando que la inclusión racional preserva suma, se concluye

\[\varphi(x+y)=\varphi(x)+\varphi(y).\]

Aquí se distinguen tres identidades: igualdad de cortes, igualdad de imágenes de sumas y fórmula del supremo. Omitir una de ellas puede hacer que una cadena correcta parezca una sustitución meramente simbólica. La aditividad permite ya deducir \(\varphi(0)=0\) y \(\varphi(-x)=-\varphi(x)\), que se necesitarán para tratar los signos del producto.

Supremo de una suma de conjuntos

Sean \(S,T\subseteq H\) no vacíos y acotados superiormente, con \(s=\sup S\), \(t=\sup T\). El conjunto \(S+T=\{a+b:a\in S,b\in T\}\) es no vacío; \(s+t\) es una cota, porque \(a\le s\), \(b\le t\). Su supremo \(u\) existe y \(u\le s+t\).

Para cualquier \(\varepsilon>0_H\), el lema de aproximación al supremo da \(a>s-\varepsilon/2\) y \(b>t-\varepsilon/2\), con \(a\in S,b\in T\). Por tanto \(s+t-\varepsilon<a+b\le u\). La conclusión para toda tolerancia positiva excluye que \(s+t\) supere a \(u\): si así fuera, elegir la mitad de su diferencia positiva contradice la desigualdad anterior. Por tanto \(s+t\le u\). Ambas desigualdades prueban

\[\sup_H(S+T)=\sup_H S+\sup_H T.\]

La existencia de testigos simultáneos se obtiene aplicando por separado el mismo epsilon positivo a ambos conjuntos. No se supone que alguno alcance su supremo, ni se requiere positividad de \(s,t\).

Aditividad, cero y opuestos de phi

La inclusión racional de \(G\) preserva suma, de modo que

\[\iota_G[A_x+A_y]=\iota_G[A_x]+\iota_G[A_y].\]

Esto es igualdad de conjuntos: una representación \(q=a+b\) da \(q_G=a_G+b_G\), y cada suma de dos imágenes procede de esa representación. Aplicando la suma de cortes y la identidad del supremo de una suma,

\[\varphi(x+y)=\sup_G\iota_G[A_{x+y}]=\sup_G\bigl(\iota_G[A_x]+\iota_G[A_y]\bigr)=\varphi(x)+\varphi(y).\]

En particular, \(\varphi(0_F)=\varphi(0_F)+\varphi(0_F)\) y cancelar da \(\varphi(0_F)=0_G\). De \(x+(-x)=0_F\) se deduce \(\varphi(-x)=-\varphi(x)\). Estos hechos se usan luego para extender el producto a otros signos; no dependen de que ya se haya demostrado multiplicatividad.

El supremo de un conjunto de sumas es la suma de los supremos aunque ninguno de los conjuntos alcance su propia cota mínima. El argumento trabaja con dos aproximaciones simultáneas y elimina la tolerancia positiva mediante contradicción; no la sustituye fraudulentamente por cero. La aplicación \(\varphi\) es ya aditiva, lo que nos permite conocer sus valores en cero y en los opuestos antes de abordar el producto con signos arbitrarios.

La parte positiva exige cambiar de dominio

Hemos terminado la prueba de aditividad en dos etapas: primero identificamos el corte de una suma y después transportamos esa identidad mediante el supremo. El producto exige una nueva preparación. Ahora importan los signos de los factores y el dominio de los racionales que utilizaremos como testigos.

Para el producto se empieza con \(x,y>0_F\) y se consideran

\[A_x^+=\{q\in A_x:q>0\},\qquad A_y^+=\{q\in A_y:q>0\}.\]

Eliminar los elementos no positivos no cambia los supremos de sus imágenes: hay elementos positivos en cada conjunto, y cualquier cota de esos elementos positivos también supera a todos los no positivos. La parte positiva simplifica los multiplicadores sin perder la información que se busca. Estas partes positivas no son cortaduras inferiores de todo \(\mathbb Q\): no contienen negativos que están por debajo de cualquiera de sus elementos. Para usar completitud sólo hace falta demostrar que sus imágenes son no vacías y acotadas.

Además deben distinguirse el conjunto \(U\) de todos los racionales menores que algún producto \(pr\) y su parte positiva \(P=U\cap\mathbb Q_{>0}\). Si la fórmula escrita permite \(q\in\mathbb Q\), incluye negativos y cero; no puede ser igual a \(A_{xy}^+\), que contiene sólo positivos. La distinción de dominios evita identificar el corte completo de un producto con su parte estrictamente positiva.

Partes positivas y conservación de las cotas

Para \(x>0_F\), ponemos

\[A_x^+=\{q\in A_x:q>0\},\qquad S_x=\iota_G[A_x^+].\]

La densidad entre \(0_F\) y \(x\) garantiza que \(A_x^+\) y \(S_x\) sean no vacíos. Están acotados porque son subconjuntos de \(A_x\) y de su imagen. Todos los elementos de \(S_x\) son positivos. Si \(u\) es cota superior de \(S_x\), elegir un \(s_0\in S_x\) da \(u\ge s_0>0_G\); así \(u\) también supera a todos los elementos no positivos de \(\iota_G[A_x]\). Por tanto los dos conjuntos tienen exactamente las mismas cotas superiores y

\[\sup_G S_x=\sup_G\iota_G[A_x]=\varphi(x)>0_G.\]

La positividad también puede deducirse del orden estricto ya demostrado y de la aditividad de la aplicación todavía en construcción; la prueba directa mediante un testigo resulta útil porque no necesita invocar esas propiedades para justificar los lemas del producto.

El dominio de la parte positiva. Si \(q>0\) pertenece a \(A_x^+\), entonces \(-1<q\) pero \(-1\notin A_x^+\). Falla el cierre descendente en todo \(\mathbb Q\). Puede ser descendente dentro de los positivos; ése es otro dominio. No hace falta llamarla cortadura para que su imagen tenga supremo: bastan no vacuidad y cota.

La positividad nos da libertad para multiplicar desigualdades sin invertir su sentido, pero exige una precisión sobre el dominio: \(A_x^+\) no es una cortadura descendente de todos los racionales. La construcción no la necesita como tal. Basta que su imagen tenga supremo y comparta sus cotas con el corte completo. Este es el primer puente del producto, y no debemos confundirlo con la multiplicatividad que todavía vamos a demostrar.

Escalar y aplanar supremos

Para relacionar \(S_x=\iota_G[A_x^+]\) y \(S_y=\iota_G[A_y^+]\) con el supremo de sus productos, demostraremos primero el lema

\[c\sup S=\sup(cS),\qquad c>0.\]

La prueba completa del lema aparece a continuación. Su importancia es que permite reescribir \(\varphi(x)\varphi(y)\) como un supremo de productos de elementos de \(S_x,S_y\), sin presuponer la multiplicatividad de la función que buscamos demostrar.

El lema puede leerse examinando una cota superior arbitraria. Si \(u\) acota todos los \(cs\), dividir por \(c>0\) muestra que \(u/c\) acota \(S\); la minimalidad de \(\sup S\) implica \(c\sup S\le u\). Este paso utiliza simultáneamente la existencia del inverso del factor positivo y la conservación del orden; su prueba completa y sistemática se presenta a continuación.

Aplicamos el lema dos veces y obtenemos supremos anidados. Para eliminar la anidación hay otra obligación: la unión de una familia de conjuntos y el conjunto de sus supremos tienen las mismas cotas cuando todos los conjuntos son no vacíos y comparten una cota. Se demuestra ese hecho antes de escribir el supremo del conjunto de todos los productos.

Así se obtiene

\[\varphi(x)\varphi(y)=\sup_G\{p_Gr_G:p\in A_x^+,r\in A_y^+\}.\]

Esta igualdad sólo usa el orden y las operaciones ya existentes en \(G\); no anticipa que phi preserve productos. Los factores de cada aplicación del lema son positivos, porque proceden de las partes positivas o de sus supremos no vacíos.

Escalamiento del supremo

Sean \(c>0_H\) y \(S\subseteq H\) no vacío, acotado superiormente. Si \(s=\sup S\), todo \(a\in S\) satisface \(ca\le cs\), así que \(cs\) es cota de \(cS=\{ca:a\in S\}\). Si \(u\) es cualquier cota de \(cS\), \(ca\le u\) para todo \(a\in S\); dividir por \(c>0\) da \(a\le u/c\). Como \(s\) es mínima cota, \(s\le u/c\) y \(cs\le u\). Esto prueba

\[\sup(cS)=c\sup S.\]

No se supone previamente continuidad de la multiplicación. La división y la conservación del sentido de la desigualdad se justifican por \(c>0\). Para \(c=0\), \(cS=\{0\}\) y la identidad vale por comprobación directa, pero no por la prueba que divide por \(c\). Para \(c<0\), no vale en general: \(S=\{0,1\}\), \(c=-1\) da \(c\sup S=-1\) y \(\sup(cS)=0\). El cambio de signo intercambia cotas superiores e inferiores, no conserva supremos indiscriminadamente.

Supremos anidados y producto de conjuntos positivos

Sea una familia no vacía \((E_t)_{t\in T}\) de subconjuntos no vacíos de \(H\), cuya unión \(E\) tenga una cota común \(M\). Cada \(e_t=\sup E_t\) existe y \(e_t\le M\). Una cantidad \(u\in H\) es cota de \(E\) si y sólo si lo es de todos los \(E_t\), si y sólo si \(e_t\le u\) para todo \(t\). Las cotas de \(E\) coinciden con las del conjunto \(\{e_t:t\in T\}\). Ambos son no vacíos y acotados, de modo que

\[\sup_{t\in T}\sup E_t=\sup\bigcup_{t\in T}E_t.\]

Esto es una prueba de igualdad de supremos, no de igualdad entre la colección de supremos y la unión de todos los conjuntos.

Ahora sean \(S,T\subseteq H_{>0}\) no vacíos, acotados, y \(s=\sup S>0\), \(t=\sup T>0\). Cada producto \(ab\) con \(a\in S,b\in T\) satisface \(0<ab\le st\), por multiplicación de desigualdades por positivos. Por el lema del escalamiento positivo,

\[st=\sup(sT)=\sup_{b\in T}(sb)=\sup_{b\in T}\sup(bS).\]

La unión de \(bS\) está no vacía y acotada por \(st\). El resultado anterior prueba

\[st=\sup\{ab:a\in S,b\in T\}.\]

Cada aplicación de escalamiento tiene coeficiente positivo: primero \(s>0\), después cada \(b>0\). No se utiliza la fórmula del producto de phi para demostrar esta identidad: sólo los axiomas de \(H\) y el lema ya probado.

Al multiplicar supremos no estamos aplicando una presunta continuidad del producto. Hemos probado directamente la compatibilidad de los supremos con el escalamiento por positivos y hemos justificado cómo reunir una familia de supremos anidados. Con esos resultados, el producto de las imágenes queda reducido al supremo de productos racionales positivos. Falta identificar esos productos con el corte que corresponde a \(xy\).

El producto exige dos puentes

Las dos identidades que siguen responden a preguntas distintas. La primera describe qué racionales pertenecen al corte asociado a \(xy\); la segunda demuestra que los racionales estrictamente inferiores a productos y los productos racionales exactos determinan el mismo supremo en \(G\). Una descripción de pertenencia no sustituye automáticamente una igualdad de supremos, por lo que probaremos ambas.

La demostración del producto merece una precaución extra. Los racionales negativos pertenecen al corte completo, pero no a su parte positiva; la distinción cambiará el dominio de algunas igualdades.

Se quiere relacionar las partes positivas de los cortes con el corte de \(xy\). Si \(0<q<pr\), con \(p_F<x\), \(r_F<y\) y ambos testigos positivos, entonces \(0<q_F<xy\). Esta dirección utiliza multiplicación de desigualdades únicamente por positivos.

Para la dirección inversa, de \(0<q_F<xy\) se divide primero por \(x>0\). Entre \(q_F/x\) e \(y\) se elige un racional transportado \(r_F\). Después se divide por \(r_F>0\) y se elige \(p_F\) entre \(q_F/r_F\) y \(x\). El resultado es \(q_F<p_Fr_F\), o \(q<pr\). Los dos denominadores están controlados antes de usarlos; no hace falta suponer \(x<y\).

Esto demuestra, con dominio positivo explícito,

\[A_{xy}^+=\{q\in\mathbb Q_{>0}:\exists p\in A_x^+\ \exists r\in A_y^+\ q<pr\}.\]

Todavía hay un segundo puente. La expresión anterior contiene racionales menores que productos, mientras el supremo obtenido en el tramo previo utiliza los productos mismos. Identificar ambas definiciones sin prueba deja un hueco.

Si una cantidad acota los productos, acota también todos los racionales inferiores transportados. Para la otra dirección, si una cota de esos racionales fuera menor que algún producto positivo, la densidad racional en \(G\) permitiría encontrar un racional positivo entre la cota y el producto. Ese racional pertenece al conjunto de cotas estrictas y contradice que la cantidad lo acote. Por tanto los dos conjuntos tienen las mismas cotas y el mismo supremo.

Combinar los dos puentes da

\[\varphi(xy)=\varphi(x)\varphi(y)\qquad(x,y>0_F).\]

Una vez demostrado el producto para factores positivos, debemos extenderlo a todos los signos, incluido el cero. Un factor cero da cero en ambos lados. Un factor negativo se escribe como opuesto de uno positivo y se usa la preservación del opuesto, deducida de la aditividad. Dos factores negativos dan producto positivo; la regla de signos en los cuerpos reduce el caso al ya demostrado. No se aplica a negativos el lema de escalamiento positivo.

Producto racional: conjunto completo y parte positiva

Para \(x,y>0_F\), conviene distinguir

\[U=\{q\in\mathbb Q:\exists a\in A_x^+\ \exists b\in A_y^+\quad q<ab\},\] \[P=U\cap\mathbb Q_{>0}.\]

El primero contiene todos los negativos y cero; el segundo no contiene ninguno. No pueden confundirse. Probaremos \(U=A_{xy}\) y \(P=A_{xy}^+\).

Si \(q<ab\), las imágenes de los testigos cumplen \(0<a_F<x\) y \(0<b_F<y\). Multiplicar sólo por positivos da \(a_Fb_F<xy\), luego \(q_F<xy\) y \(q\in A_{xy}\). Para \(q\le0\), la pertenencia a \(U\) se obtiene eligiendo cualquier par de testigos positivos, disponible por el análisis de partes positivas; su producto es positivo y supera \(q\).

Si \(0<q_F<xy\), dividir por \(x>0_F\) da \(0<q_F/x<y\). La densidad permite elegir \(b\in\mathbb Q\) con

\[0<q_F/x<b_F<y.\]

Entonces \(b>0\) y \(b\in A_y^+\). De \(q_F<xb_F\), dividir por \(b_F>0\) da \(0<q_F/b_F<x\). Elegir ahora \(a\in\mathbb Q\) con

\[0<q_F/b_F<a_F<x\]

da \(a\in A_x^+\) y \(q_F<a_Fb_F=(ab)_F\). Reflexionar el orden racional da \(q<ab\). Así todos los positivos de \(A_{xy}\) pertenecen a \(P\). Los otros racionales de \(A_{xy}\) son no positivos y ya se trataron; se prueban ambas igualdades.

Por los perfiles racionales, \(U\) es una cortadura, pues es \(A_{xy}\). \(P\) no lo es en todo \(\mathbb Q\), pero su imagen es no vacía y acotada, y tiene el mismo supremo que la de \(U\). La condición \(q>0\) es indispensable cuando el objetivo es \(A_{xy}^+\); sin ella la fórmula representa el corte completo \(A_{xy}\). El argumento anterior obtiene los testigos mediante dos divisiones positivas y justifica cada paso.

Productos exactos y cotas estrictas: multiplicatividad positiva

El conjunto de productos exactos en \(G\) es

\[V=\{a_Gb_G:a\in A_x^+,b\in A_y^+\}.\]

Por el producto de supremos positivos, \(\sup V=\varphi(x)\varphi(y)\). En cambio, \(\iota_G[P]\) está formado por imágenes de racionales estrictamente menores que algún \(ab\). Los conjuntos no son por definición iguales. Demostremos que tienen las mismas cotas.

Si \(u\) es cota de \(V\) y \(q\in P\), hay \(a,b\) con \(q<ab\); entonces \(q_G<a_Gb_G\le u\), por lo que \(u\) es cota de \(\iota_G[P]\).

Si \(u\) es cota de \(\iota_G[P]\) y existiera \(v=a_Gb_G\in V\) con \(u<v\), como \(v>0_G\) tendríamos \(\max(u,0_G)<v\). La densidad en \(G\) daría un racional \(q\) con

\[\max(u,0_G)<q_G<v=(ab)_G.\]

Reflexionar el orden racional prueba \(0<q<ab\), luego \(q\in P\), contradiciendo \(q_G>u\). Por tanto \(u\) es cota de \(V\). Ambos conjuntos son no vacíos y acotados; sus supremos coinciden.

También se puede demostrar la igualdad de conjuntos una vez corregido el dominio positivo. Si \(q\in P\) y \(q<ab\), poner \(a'=q/b\) da un racional positivo menor que \(a\); el descenso de \(A_x\) implica \(a'\in A_x^+\) y \(q=a' b\). Por tanto \(q_G\in V\). Si \(a_Gb_G\in V\), la ausencia de máximo de \(A_x\) permite \(a'>a\) todavía en \(A_x^+\); como \(b>0\), \(ab<a' b\) y \(ab\in P\). Luego \(V=\iota_G[P]\). La igualdad de conjuntos queda ahora justificada por la equivalencia de testigos, no por una identificación intuitiva de expresiones diferentes. La prueba por cotas anterior ofrece otra justificación completa.

El análisis de partes positivas y el corte de productos racionales dan ahora

\[\varphi(xy)=\sup_G\iota_G[A_{xy}^+]=\sup_G\iota_G[P]=\sup_G V=\varphi(x)\varphi(y)\quad(x,y>0_F).\]

El tránsito por supremos queda así completo. La igualdad de supremos entre productos y sus cotas estrictas es un paso adicional indispensable, no una identificación automática de elementos.

Extensión a cero y a todos los signos

La aditividad ya probada da \(\varphi(0_F)=0_G\) y \(\varphi(-x)=-\varphi(x)\). Si uno de \(x,y\) es cero, ambos lados de \(\varphi(xy)=\varphi(x)\varphi(y)\) son cero por los axiomas de cuerpo.

Si \(x<0<y\), poner \(a=-x>0\), \(b=y>0\). Entonces \(xy=-(ab)\) y

\[\varphi(xy)=-\varphi(ab)=-\varphi(a)\varphi(b)=\varphi(x)\varphi(y).\]

Si \(y<0<x\), intercambiar los factores, usando conmutatividad en \(F\) y en \(G\). Si ambos son negativos, poner \(a=-x>0\), \(b=-y>0\); \(xy=ab\) y

\[\varphi(xy)=\varphi(a)\varphi(b)=(-\varphi(x))(-\varphi(y))=\varphi(x)\varphi(y).\]

Si ambos son positivos se aplica la multiplicatividad positiva. La tricotomía de cada factor cubre todos los casos. No se usa preservación del producto con negativos para demostrar previamente preservación del opuesto.

La multiplicación requería dos puentes distintos. El primero identifica cuáles racionales positivos están estrictamente bajo un producto; el segundo compara esos racionales con los productos exactos de testigos, sin tratarlos como iguales por definición. Las dos inclusiones se han demostrado y todas las divisiones tienen denominadores positivos. Solo entonces es legítimo concluir que la función conserva el producto; los casos de cero y signo diferente se reducen, gracias a la aditividad, al positivo.

La unidad y el homomorfismo

La multiplicatividad, que ya incluye el caso \(1_F\cdot1_F\), implica que \(\varphi(1_F)\) es idempotente. Sólo puede ser cero o uno. Como se ha demostrado aditividad, \(\varphi(0_F)=0_G\). La preservación estricta del orden da

\[0_G=\varphi(0_F)<\varphi(1_F).\]

Queda excluido cero y se concluye \(\varphi(1_F)=1_G\). Phi es ahora un homomorfismo unitario que preserva y refleja orden.

La condición de unidad no se impuso arbitrariamente a la fórmula del supremo. Se obtuvo de sus propiedades. El orden de la prueba importa: aditividad permite conocer el cero; producto permite conocer idempotencia; orden permite elegir la alternativa correcta.

Unidad, homomorfismo y racionales fijos

Como \(1_F>0_F\), la multiplicatividad positiva, o la ya extendida, da \(e=\varphi(1_F)=\varphi(1_F)^2\). La caracterización de los idempotentes, demostrada al comienzo del capítulo, muestra que \(e\) es cero o uno en \(G\). La preservación estricta del orden y la aditividad de \(\varphi\), obtenidas antes de tratar la unidad, dan

\[0_G=\varphi(0_F)<\varphi(1_F)=e.\]

La alternativa cero queda excluida, de modo que \(\varphi(1_F)=1_G\). Junto con aditividad y multiplicatividad, \(\varphi\) es un homomorfismo de cuerpos unitario, que además preserva y refleja el orden. La preservación de la unidad queda así deducida, no añadida como requisito arbitrario.

Cualquier homomorfismo unitario \(h:F\to G\) fija las copias racionales: preservar \(1\) y sumar repetidamente da \(h(n_F)=n_G\); preservar cero y opuestos extiende a enteros; preservar inversos no nulos da

\[h((m/n)_F)=m_G(n_G)^{-1}=(m/n)_G.\]

El denominador nunca es cero por característica cero. No se identifica literalmente una fracción con los elementos abstractos de ambos cuerpos.

El valor de la unidad no es un detalle menor. Una aplicación aditiva y multiplicativa podría seguir siendo la aplicación nula; el orden descarta esa posibilidad porque la imagen de uno es estrictamente positiva. Así tenemos un homomorfismo unitario, además de una función inyectiva y estrictamente creciente. Para obtener un isomorfismo todavía debemos probar que todos los elementos de \(G\) se alcanzan.

Cada elemento de G tiene una preimagen

Al conocer la unidad y el orden, queda una última obligación: demostrar que ningún elemento del cuerpo de llegada ha quedado fuera de la imagen.

La inyectividad se deduce de la preservación estricta del orden. Para la sobreyectividad, dado \(y\in G\), se construye el corte inverso

\[B_y=\{q\in\mathbb Q:q_G<y\},\qquad x=\sup_F\{q_F:q\in B_y\}.\]

Las mismas comprobaciones de cortadura y de cota permiten tomar este supremo en \(F\). El objetivo intermedio es \(A_x=B_y\).

Si \(q\in B_y\), escoger \(r>q\) también en \(B_y\) da \(q_F<r_F\le x\), luego \(q\in A_x\). Para la inclusión contraria, usamos la contraposición: si \(q\notin B_y\), todos los racionales \(r\in B_y\) son menores que \(q\), así que \(q_F\) acota sus imágenes y \(x\le q_F\). Por tanto \(q\notin A_x\). Las dos inclusiones prueban igualdad.

Entonces

\[\varphi(x)=\sup_G\iota_G[A_x]=\sup_G\iota_G[B_y]=y.\] La última igualdad requiere densidad. Que todos los elementos de un conjunto estén por debajo de \(y\) sólo muestra que \(y\) es cota, no que sea mínima. Pero cualquier \(z<y\) deja, por densidad, un \(q_G\) entre ambos; ese elemento pertenece a la imagen y supera \(z\). Ningún valor menor que \(y\) puede acotar el conjunto. Por eso \(y\) es el supremo.

Cada \(y\) tiene preimagen, y la inyectividad garantiza que es única. Phi es una biyección y un homomorfismo ordenado: es el isomorfismo buscado.

Sobreyectividad mediante el corte inverso

Dado \(y\in G\), definimos

\[B_y=\{q\in\mathbb Q:q_G<y\},\qquad x=\sup_F\iota_F[B_y].\]

Aplicar los perfiles racionales intercambiando \(F,G\) demuestra que \(B_y\) es cortadura y su imagen en \(F\) es no vacía y acotada; el supremo \(x\) existe. Probaremos \(A_x=B_y\).

Si \(q\in B_y\), la ausencia de máximo permite \(r\in B_y\) con \(q<r\). Entonces \(q_F<r_F\le x\), así que \(q\in A_x\).

Para la otra inclusión usamos la contraposición, con dominio \(q\in\mathbb Q\). Si \(q\notin B_y\), \(q_G\ge y\). Para todo \(r\in B_y\), \(r_G<y\le q_G\), por reflexión del orden \(r<q\). Así \(q_F\) es cota superior de \(\iota_F[B_y]\), y \(x\le q_F\). No se cumple \(q_F<x\), luego \(q\notin A_x\). Esta contraposición prueba \(A_x\subseteq B_y\).

Por tanto

\[\varphi(x)=\sup_G\iota_G[A_x]=\sup_G\iota_G[B_y].\]

El último supremo es \(y\), pero no basta decir que todos sus elementos sean menores que \(y\). \(y\) es cota. Si \(z<y\), la densidad da un racional \(q\) con \(z<q_G<y\), que pertenece a la imagen; luego \(z\) no es cota. Por totalidad del orden, ninguna cota puede ser menor que \(y\), y \(y\) es la mínima. Así \(\varphi(x)=y\).

Hemos producido una preimagen para cada \(y\in G\). La función es sobreyectiva e inyectiva por la preservación del orden, por tanto biyectiva; junto con la conservación de la unidad es un isomorfismo de cuerpos ordenados. Su inversa es el mismo procedimiento en sentido contrario: \(y\mapsto\sup_F\iota_F[B_y]\). Las dos identidades de inversa se deducen de que produce una preimagen y de la inyectividad.

El perfil racional inverso proporciona una entrada para cada elemento del cuerpo de llegada. Para cada \(y\) del cuerpo de llegada producimos una entrada \(x\) tomando ahora un supremo en \(F\); la igualdad de perfiles demuestra que \(\varphi(x)=y\). Esto da sobreyectividad. La función queda caracterizada por la totalidad de sus racionales inferiores; por eso puede demostrarse, como resultado adicional, la unicidad de la identificación ordenada.

Por qué la identificación ordenada es única

Dos cuerpos ordenados completos tienen la misma estructura hasta isomorfismo. Esto se combina con la existencia obtenida al construir las cortaduras para justificar la caracterización axiomática de los números reales. La prueba de unicidad no vuelve a definir las operaciones sobre cortaduras: trabaja directamente con las operaciones ya dadas en \(F\) y \(G\).

Se puede demostrar además que la identificación ordenada es única. Cualquier isomorfismo unitario fija los racionales: preserva uno, sus sumas enteras y sus cocientes no nulos. Si también preserva y refleja orden, un elemento \(x\) y su imagen tienen exactamente los mismos racionales por debajo. La densidad hace que ese conjunto determine un único elemento en \(G\). Por eso cualquier identificación ordenada coincide con la aplicación del supremo construida por supremos.

Ahora podemos distinguir dos afirmaciones. Haber construido un isomorfismo demuestra que los dos cuerpos comparten estructura; demostrar que no existe otro isomorfismo ordenado compatible con las operaciones refuerza esa conclusión. La segunda cuestión se resolverá comparando perfiles racionales inferiores.

El perfil racional determina la identificación

Hemos probado que dos cuerpos ordenados completos son isomorfos. Esto expresa unicidad hasta isomorfismo, no igualdad literal de conjuntos. La existencia de un modelo proviene de la construcción previa; aquí se parte de dos modelos cualesquiera que satisfacen los axiomas y se demuestra que su estructura es la misma.

Podemos demostrar algo más: el isomorfismo ordenado es único. Si \(h:F\to G\) es otro isomorfismo que preserva y refleja orden, la conservación de la unidad demuestra que fija las copias racionales. Para cada \(x\in F\) y cada racional \(q\),

\[q_F<x\iff h(q_F)<h(x)\iff q_G<h(x).\]

Así \(A_x=B_{h(x)}\). Por la caracterización de la sobreyectividad por el corte inverso, \(\sup_G\iota_G[B_{h(x)}]=h(x)\); por definición de \(\varphi\), la misma expresión es \(\varphi(x)\). Luego \(h(x)=\varphi(x)\) para todo \(x\), y \(h=\varphi\).

La demostración no presupuso un isomorfismo para transportar supremos, no usó la multiplicatividad de phi para demostrar la densidad, y no convirtió la completitud de \(F\) o \(G\) en completitud de \(\mathbb Q\). La propiedad arquimediana y la densidad racional se deducen de los axiomas de cada cuerpo completo antes de construir los cortes. El supremo en \(G\) se usa al construir phi; el supremo en \(F\) se usa al construir la preimagen. Esta dependencia explica exactamente por qué se requieren completos ambos cuerpos.

Hay que distinguir dos tesis. Que dos cuerpos completos sean isomorfos garantiza la existencia de una identificación estructural; que el isomorfismo ordenado sea único dice además que no tenemos libertad para emparejar sus elementos de otra manera si queremos conservar las operaciones, la unidad y el orden. El perfil racional inferior fuerza cada correspondencia individual. Esta conclusión cierra el problema abierto por la definición axiomática del primer capítulo.

Problemas y soluciones del capítulo

Ejercicio 1

Sea \(h:F\to G\) una aplicación que preserva suma y producto, pero no suponemos \(h(1_F)=1_G\). Demuestra que \(h\) es la función cero o es un homomorfismo unitario inyectivo. ¿Dónde se utiliza que \(G\) sea un cuerpo?

Solución razonada. La preservación aditiva implica \(h(0_F)=h(0_F)+h(0_F)\); cancelar da \(h(0_F)=0_G\). Poniendo \(e=h(1_F)\), la preservación del producto produce \(e^2=e\), es decir, \(e(e-1_G)=0_G\). Como \(G\) es cuerpo, no tiene divisores de cero: o \(e=0_G\) o \(e=1_G\). Si \(e=0_G\), para todo \(a\in F\) se tiene \(h(a)=h(a1_F)=h(a)e=0_G\); \(h\) es cero. Si \(e=1_G\), \(h\) es unitario. Si \(h(a)=h(b)\), entonces \(h(a-b)=0_G\). Para \(a\ne b\), el elemento \(a-b\) es no nulo, y la igualdad \(h(a-b)h((a-b)^{-1})=1_G\) contradice \(h(a-b)=0_G\). Luego \(a=b\). Mecanismo: la cancelación descarta la imagen nula de un invertible. No utilizamos orden ni completitud.

Ejercicio 2

Explica por qué la igualdad de cardinalidad de \(F\) y \(G\) no demuestra que una aplicación propuesta \(h:F\to G\) sea biyectiva. Produce un ejemplo entre dos conjuntos infinitos del mismo tamaño que falle tanto en inyectividad como en sobreyectividad.

Solución razonada. Los conjuntos \(\mathbb N\) y \(\mathbb N\) son ciertamente equipotentes: la identidad es biyectiva. Sin embargo, la aplicación \(f:\mathbb N\to\mathbb N\) definida por \(f(n)=0\) tiene \(f(0)=f(1)\) y no alcanza \(1\), de modo que no es ni inyectiva ni sobreyectiva. La frase «existe alguna biyección entre dominio y codominio» tiene un cuantificador existencial sobre funciones, mientras «\(f\) es biyectiva» predica una propiedad de esta función. En el teorema de unicidad se verifica la aplicación \(\varphi\) particular; no es suficiente comparar tamaños de cuerpos.

Ejercicio 3

En un cuerpo ordenado \(H\), explica cómo se construye \(q_H\) cuando \(q=m/n\), con \(m\in\mathbb Z\) y \(n>0\). Prueba que las fracciones \(m/n\) y \(km/kn\), con \(k>0\) entero, tienen la misma imagen. Demuestra además la identidad general para cualesquiera dos representaciones de un mismo racional.

Solución razonada. Primero \(1_H>0_H\), luego \(n_H>0_H\) para todo natural positivo \(n\) por suma repetida. Ningún denominador \(n_H\) se anula. Definimos \(m_H\) para los enteros mediante sumas de \(1_H\) y opuestos, y \(\iota_H(m/n)=m_H(n_H)^{-1}\). Si \(k>0\), las leyes de suma y producto enteros en \(H\) dan \((km)_H=k_Hm_H\), \((kn)_H=k_Hn_H\) y \(k_H\ne0_H\), por lo cual \((km)_H/(kn)_H=m_H/n_H\). Para dos fracciones generales \(m/n=a/b\), con \(n,b>0\), se cumple \(mb=an\) en los enteros. Transportar esta identidad da \(m_Hb_H=a_Hn_H\). Como \(n_Hb_H>0_H\), dividir por él demuestra \(m_H/n_H=a_H/b_H\). Ésta es la independencia de representación; la igualdad de símbolos fraccionarios por sí sola no bastaría para definir una función.

Ejercicio 4

Deriva la propiedad arquimediana de un cuerpo ordenado completo usando la propiedad del supremo. Indica en qué punto el argumento dejaría de ser válido para un cuerpo ordenado no necesariamente completo.

Solución razonada. Los naturales insertados \(n_H\) crecen estrictamente porque \(1_H>0_H\). Supongamos que el conjunto \(N_H=\{n_H:n\in\mathbb N\}\) tiene una cota. Si \(H\) es completo, posee \(u=\sup_H N_H\). El elemento \(u-1_H<u\) no es cota superior; algún \(n_H\) satisface \(u-1_H<n_H\). Sumar \(1_H\) produce \(u<(n+1)_H\), en contradicción con que \(u\) acote todos los naturales. Por tanto \(N_H\) no está acotado. En un cuerpo no completo, aunque estuviese acotado el conjunto de naturales, puede no existir el supremo requerido para hacer el argumento; ése es el paso exacto donde se usa completitud.

Ejercicio 5

Demuestra que, en un cuerpo ordenado completo \(H\), dados \(x<y\) existe \(q\in\mathbb Q\) con \(x<q_H<y\). No utilices una función piso no construida ni presupongas densidad.

Solución razonada. Sea \(d=y-x>0_H\). Por arquimedianidad elige \(n\ge1\) con \(n_H>1_H/d\), de donde \(n_Hd>1_H\). Entre los enteros insertados hay uno estrictamente mayor que \(n_Hx\); por arquimedianidad también los hay estrictamente menores. Elige el menor entero \(m\) que supera \(n_Hx\), usando buen orden después de trasladar a los naturales. La minimalidad da \((m-1)_H\le n_Hx<m_H\). De ahí \(n_Hx<m_H\le n_Hx+1_H<n_Hy\). Dividir por \(n_H>0_H\) produce \(x<(m/n)_H<y\). El uso de un entero mínimo ha sido justificado; no se supuso previamente un operador piso ni densidad racional.

Ejercicio 6

El conjunto \(\mathbb N\subset\mathbb Q\) es no vacío y propio. ¿Por qué no puede utilizarse sólo esa información para asegurar que \(\{q_G:q\in\mathbb N\}\) está acotado superiormente en un cuerpo completo \(G\)? Explica el papel adicional del cierre descendente cuando \(A\) es una cortadura.

Solución razonada. El conjunto \(\mathbb N\) no es todo \(\mathbb Q\) y contiene racionales; pese a ello no está acotado superiormente en ningún cuerpo ordenado completo, por el ejercicio 4. En cambio, si \(A\) es una cortadura, existe un racional exterior \(b\notin A\) porque \(A\ne\mathbb Q\). Para todo \(a\in A\), necesariamente \(a<b\): si \(b<a\), el cierre descendente obligaría \(b\in A\), y la igualdad contradice la pertenencia. Entonces \(b_G\) acota \(\{a_G:a\in A\}\). El par «propio + descenso» es la razón de la acotación; la propiedad de no tener máximo interviene luego al fortalecer desigualdades estrictas bajo supremos.

Ejercicio 7

Para un \(x\in F\) demuestra las cuatro condiciones de cortadura del conjunto \(A_x=\{q\in\mathbb Q:q_F<x\}\). Explica por qué \(\{q_G:q\in A_x\}\) posee supremo en \(G\) sin suponer un supremo de \(A_x\) en \(\mathbb Q\).

Solución razonada. La propiedad arquimediana proporciona racionales \(a,b\) con \(a_F<x<b_F\). Así \(a\in A_x\) y \(b\notin A_x\). Si \(r<q\) en \(\mathbb Q\) y \(q\in A_x\), entonces \(r_F<q_F<x\), por lo que \(r\in A_x\). Si \(q\in A_x\), la densidad proporciona \(r\in\mathbb Q\) con \(q_F<r_F<x\), y \(q<r\), \(r\in A_x\). Por tanto \(A_x\) es no vacío, propio, descendente y sin máximo. Como en el ejercicio 6, cualquier exterior racional \(b\) acota su imagen en \(G\). Es no vacía por \(a_G\). La completitud de \(G\) permite definir \(\varphi(x)\) como su supremo. No se tomó un supremo de \(A_x\) en \(\mathbb Q\), donde la propiedad del supremo no vale en general.

Ejercicio 8

Prueba, para todo \(x\in F\) y \(q\in\mathbb Q\), la equivalencia

\[q_G<\varphi(x)\iff q_F<x.\]

¿Por qué el carácter sin máximo de \(A_x\) es decisivo para la dirección directa desde \(q_F<x\)?

Solución razonada. Supongamos \(q_F<x\). Entonces \(q\in A_x\). Como la cortadura no tiene máximo, hay \(r\in A_x\) con \(q<r\). Se sigue \(q_G<r_G\le\varphi(x)\), luego \(q_G<\varphi(x)\). Inversamente, si \(q_F\ge x\), todo \(r\in A_x\) satisface \(r_F<x\le q_F\), así \(r<q\) y \(r_G<q_G\). Por tanto \(q_G\) es cota superior de la imagen, y \(\varphi(x)\le q_G\), negando la desigualdad estricta. Ambas direcciones están probadas. El argumento ilustra por qué «elemento de un conjunto menor o igual que su supremo» no puede fortalecerse siempre a una desigualdad estricta: aquí funciona porque podemos encontrar un miembro aún mayor del mismo corte.

Ejercicio 9

Usando densidad, demuestra \(x<y\Rightarrow\varphi(x)<\varphi(y)\). Demuestra después la recíproca y la inyectividad por tricotomía, sin invocar la sobreyectividad.

Solución razonada. Sean \(x<y\) en \(F\). Por densidad elige \(q\) con \(x<q_F<y\). Para todo \(p\in A_x\), tenemos \(p_F<x<q_F\), luego \(p_G<q_G\), por lo que \(\varphi(x)\le q_G\). Como \(q\in A_y\) y \(A_y\) no tiene máximo, hay \(r\in A_y\) con \(q<r\), y así \(q_G<r_G\le\varphi(y)\). En conjunto \(\varphi(x)<\varphi(y)\). Si \(\varphi(x)<\varphi(y)\), la tricotomía impide \(x=y\) y \(y<x\) (esta última daría \(\varphi(y)<\varphi(x)\)). Luego \(x<y\). Finalmente, si \(\varphi(x)=\varphi(y)\) y \(x\ne y\), una de las dos desigualdades estrictas entre entradas conduciría a desigualdad estricta entre imágenes: contradicción. Por tanto \(\varphi\) es inyectiva.

Ejercicio 10

Prueba \(A_{x+y}=A_x+A_y\), donde la suma del lado derecho es el conjunto de sumas exactas \(a+b\) con \(a\in A_x,b\in A_y\). Localiza y repara el error en el intento: «de \(q<a+b\) se deduce inmediatamente que \(q=a+b\)».

Solución razonada. Si \(a\in A_x\) y \(b\in A_y\), entonces \(a_F+b_F<x+y\); así \(A_x+A_y\subseteq A_{x+y}\). Para la inclusión recíproca, fija \(q\in A_{x+y}\) y \(\varepsilon=x+y-q_F>0_F\). La densidad proporciona \(a,b\in\mathbb Q\) con \(x-\varepsilon/2<a_F<x\) y \(y-\varepsilon/2<b_F<y\). Entonces \(q_F<a_F+b_F\), por lo que \(q<a+b\). No es correcto afirmar que esto significa \(q=a+b\). Hay que reajustar el testigo: como \(q-b<a\) y \(a\in A_x\), el descenso da \(q-b\in A_x\); ya sabemos \(b\in A_y\), y por tanto \(q=(q-b)+b\) es una suma exacta. Esto prueba \(A_{x+y}\subseteq A_x+A_y\). La técnica transferible consiste en distribuir la holgura primero y usar la propiedad descendente después.

Ejercicio 11

Sean \(S,T\subseteq H\) no vacíos y acotados superiormente. Demuestra

\[\sup_H(S+T)=\sup_H S+\sup_H T.\]

En el paso final, no sustituir \(\varepsilon=0\) en una hipótesis formulada solamente para \(\varepsilon>0\).

Solución razonada. Pongamos \(s=\sup S\), \(t=\sup T\) y \(u=\sup(S+T)\). Este último existe: la suma no es vacía y \(s+t\) la acota. Todo \(a+b\) cumple \(a+b\le s+t\), así que \(u\le s+t\). Para \(\varepsilon>0_H\), como \(s-\varepsilon/2\) no es cota de \(S\), existe \(a\in S\) con \(s-\varepsilon/2<a\le s\). Análogamente \(b\in T\) satisface \(t-\varepsilon/2<b\le t\). Sumando, \(s+t-\varepsilon<a+b\le u\). Si fuese \(s+t>u\), escoger \(\varepsilon=(s+t-u)/2\) contradiría esta desigualdad universal. Por tanto \(s+t\le u\) y hay igualdad. No se evaluó el caso \(\varepsilon=0\), prohibido por la hipótesis de aproximación.

Ejercicio 12

Si \(x>0_F\), demuestra que \(A_x^+=A_x\cap\mathbb Q_{>0}\) no es una cortadura inferior de \(\mathbb Q\), pero que su imagen en \(G\) y la imagen de \(A_x\) tienen el mismo supremo.

Solución razonada. Como \(0_F<x\), por densidad hay un racional \(q\) con \(0_F<q_F<x\); entonces \(q\in A_x^+\). Pero para cualquier \(q>0\) en \(A_x^+\) el racional \(-1\) es menor que \(q\) y no pertenece a \(A_x^+\). Falla el cierre descendente en todo \(\mathbb Q\). El conjunto imagen \(S=\{q_G:q\in A_x^+\}\) sigue siendo no vacío y acotado superiormente. Si \(u\) acota \(S\), debe superar un elemento positivo \(s_0\in S\), luego \(u>0_G\), y por ello también supera todos los racionales no positivos de la imagen total \(\{q_G:q\in A_x\}\). Como los racionales positivos restantes ya están en \(S\), \(u\) acota la imagen total. La recíproca es inmediata por inclusión. Los conjuntos tienen exactamente las mismas cotas superiores y el mismo supremo, pese a no ser ambos cortaduras.

Ejercicio 13

Demuestra que, una vez establecida la aditividad de \(\varphi\), necesariamente \(\varphi(0_F)=0_G\) y \(\varphi(-x)=-\varphi(x)\) para cualquier \(x\in F\). No utilices multiplicatividad.

Solución razonada. Aplicando la aditividad a \(0_F=0_F+0_F\) resulta \(\varphi(0_F)=\varphi(0_F)+\varphi(0_F)\); cancelar en el grupo aditivo de \(G\) da \(\varphi(0_F)=0_G\). Para cualquier \(x\), tenemos \(0_F=x+(-x)\), así que \(0_G=\varphi(x)+\varphi(-x)\). Por unicidad del inverso aditivo, \(\varphi(-x)=-\varphi(x)\). No se usó producto. Esta separación es necesaria cuando posteriormente se desea derivar la multiplicatividad con factores negativos a partir de la ya probada con factores positivos.

Ejercicio 14

Sea \(S\subseteq H\) no vacío y acotado superiormente. Demuestra \(\sup(cS)=c\sup S\) para \(c>0\). Analiza separadamente \(c=0\) y \(c<0\); en el segundo caso formula una identidad correcta bajo las hipótesis de existencia pertinentes.

Solución razonada. Si \(c>0_H\) y \(s=\sup S\), entonces \(cs\) acota \(cS\). Si \(u\) es cualquier otra cota de \(cS\), cada \(ca\le u\) permite dividir por \(c>0_H\) y concluir \(a\le u/c\); la minimalidad de \(s\) implica \(s\le u/c\), luego \(cs\le u\). Así \(\sup(cS)=cs\). Si \(c=0\), \(cS=\{0_H\}\) porque \(S\) es no vacío, y ambas expresiones son cero. Si \(c<0\), el producto invierte el orden: cuando \(S\) también está acotado inferiormente, su ínfimo \(m\) existe y \(cm\) acota superiormente \(cS\). Si \(u\) acota \(cS\), de \(ca\le u\) se obtiene \(u/c\le a\) para todos los \(a\in S\); por maximalidad de \(m\), \(u/c\le m\). Multiplicar por \(c<0\) invierte el sentido y da \(cm\le u\). Por tanto \(\sup(cS)=c\inf S\) para \(c<0\) y \(S\) acotado inferiormente. Sin esa segunda acotación \(cS\) puede carecer de cota superior.

Ejercicio 15

Sean \(x,y>0_F\) y \(U=\{q\in\mathbb Q:\exists a\in A_x^+,b\in A_y^+,\ q<ab\}\). Demuestra \(U=A_{xy}\), con una secuencia explícita de elecciones racionales y sin usar previamente que \(\varphi\) preserve el producto.

Solución razonada. Si \(q\in U\), hay \(a\in A_x^+\) y \(b\in A_y^+\) con \(q<ab\). Por positividad \(a_Fb_F<xy\), luego \(q_F<xy\) y \(q\in A_{xy}\). Para la otra inclusión, como \(x,y>0_F\), también \(xy>0_F\). Si \(q\le0\) es racional, cualquier par de racionales positivos \(a\in A_x^+\) y \(b\in A_y^+\) cumple \(q<ab\), por lo que \(q\in U\). Si \(q>0\) y \(q_F<xy\), dividir por \(x>0_F\) da \(0<q_F/x<y\). Por densidad elige \(b\in\mathbb Q\) con \(q_F/x<b_F<y\) (es automáticamente positivo). Así \(q_F<xb_F\), y dividir ahora por \(b_F>0_F\) da \(0<q_F/b_F<x\). Elige \(a\in\mathbb Q\) con \(q_F/b_F<a_F<x\). Ambos testigos son positivos, están en sus cortes respectivos y cumplen \(q<ab\) por reflexión de la inclusión racional. Por tanto \(A_{xy}\subseteq U\). Las dos divisiones se efectuaron sólo después de justificar la positividad de sus denominadores.

Ejercicio 16

Sea \(P=U\cap\mathbb Q_{>0}\), con \(U\) como en el ejercicio 15, y \(V=\{a_Gb_G:a\in A_x^+,b\in A_y^+\}\). ¿Son iguales \(\{q_G:q\in P\}\) y \(V\)? Demuéstralo verificando las dos inclusiones. Explica por qué la igualdad falla si se reemplaza \(P\) por el conjunto completo \(U\).

Solución razonada. Como \(q\in P\) equivale a \(q>0\) y \(q<ab\) para ciertos racionales positivos \(a\in A_x^+\) y \(b\in A_y^+\), elegimos \(a'=q/b\). Es racional, positivo y cumple \(a'<a\), de modo que \(a'\in A_x^+\) por descenso. Además, \(q=a'b\) y por tanto \(q_G=a'_Gb_G\in V\). Recíprocamente, si \(a_Gb_G\in V\), la ausencia de máximo de \(A_x\) proporciona \(a'>a\) en \(A_x\) (también positivo); de \(ab<a'b\) resulta \(ab\in P\), y su imagen es \(a_Gb_G\). Las dos inclusiones prueban \(\iota_G[P]=V\). Si se usa el conjunto completo \(U\), éste contiene racionales negativos, mientras \(V\) contiene sólo productos positivos; las imágenes no pueden ser iguales. Ésta es la razón precisa por la cual corregir el dominio de \(q\) evita un fallo de tipo en la prueba multiplicativa.

Ejercicio 17

Supón que \(\varphi\) es aditiva, multiplicativa y preserva estrictamente el orden. Deduce \(\varphi(1_F)=1_G\) a partir de un idempotente. Explica cómo se deduce luego \(\varphi(q_F)=q_G\) para cada racional \(q\).

Solución razonada. La multiplicatividad da \(e=\varphi(1_F)=\varphi(1_F1_F)=e^2\). De \(e(e-1_G)=0_G\) se sigue \(e\in\{0_G,1_G\}\). La aditividad da \(\varphi(0_F)=0_G\) (el ejercicio 13) y, como \(0_F<1_F\), el orden estricto produce \(0_G<e\). Por tanto \(e=1_G\). Como \(\varphi\) conserva \(1\), suma y opuestos, preserva los enteros: \(\varphi(m_F)=m_G\). Si \(n>0\), su imagen es no nula; de \(\varphi(n_F)\varphi(n_F^{-1})=\varphi(1_F)=1_G\) se deduce \(\varphi(n_F^{-1})=n_G^{-1}\). Para cada fracción \(m/n\) obtenemos \(\varphi((m/n)_F)=m_Gn_G^{-1}=(m/n)_G\). La buena definición de estas copias se fundamentó previamente; no son elementos literalmente iguales de distintos cuerpos.

Ejercicio 18

Demuestra la sobreyectividad de \(\varphi\) construyendo para cada \(y\in G\) la cortadura \(B_y=\{q\in\mathbb Q:q_G<y\}\) y el elemento \(x=\sup_F\{q_F:q\in B_y\}\). Después prueba que cualquier isomorfismo de cuerpos ordenados \(h:F\to G\) es igual a \(\varphi\). Distingue la existencia de un isomorfismo de la unicidad de esa función.

Solución razonada. Fijado \(y\in G\), sea \(B_y=\{q\in\mathbb Q:q_G<y\}\). Por las mismas propiedades de la imagen racional inferior que en el ejercicio 7, \(B_y\) es cortadura y su imagen en \(F\) es no vacía y acotada. Sea \(x=\sup_F\{q_F:q\in B_y\}\). Si \(q\in B_y\), hay \(r\in B_y\) con \(q<r\), y \(q_F<r_F\le x\); luego \(q\in A_x\). Para la otra dirección, si \(q\notin B_y\), entonces \(q_G\ge y\); todo \(r\in B_y\) cumple \(r<q\), de modo que \(q_F\) es cota de los racionales transportados y \(x\le q_F\). Por tanto \(q\notin A_x\). Queda \(A_x=B_y\). Por definición \(\varphi(x)=\sup_G\{q_G:q_G<y\}\). El elemento \(y\) es cota, y si \(z<y\), la densidad racional en \(G\) proporciona \(q_G\) con \(z<q_G<y\), por lo que \(z\) no es cota; luego \(\varphi(x)=y\). Así \(\varphi\) es sobreyectiva.

Para la unicidad, sea \(h:F\to G\) otro isomorfismo de cuerpos ordenados. Como preserva unidad y operaciones, fija cada copia racional (el ejercicio 17). Por reflexión de orden, para todo \(q\in\mathbb Q\) tenemos \(q_F<x\iff q_G<h(x)\). Es decir, \(A_x=B_{h(x)}\). Aplicando la caracterización del supremo racional recién probada, \(\varphi(x)=\sup_G\iota_G[A_x]=h(x)\). Como vale para todo \(x\), \(h=\varphi\). Hemos demostrado primero la existencia de un isomorfismo y después, como ampliación, la unicidad del isomorfismo ordenado; ninguna afirmación identifica literalmente a \(F\) con \(G\) como conjuntos.

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