Nota al lector
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Medir una diagonal, comparar dos longitudes o estudiar una aproximación nos lleva a utilizar números reales. Cada una de esas acciones descansa sobre una estructura: podemos sumar y multiplicar, comparar resultados y encontrar una menor cota superior cuando el conjunto considerado tiene elementos y está acotado. Construir los reales significa producir un objeto en el que esas operaciones y propiedades queden justificadas. Al recorrer esa construcción, las reglas familiares de cálculo adquieren una razón que podemos examinar y demostrar.
Este libro nació de la lectura y el estudio de cuatro clases del curso Real Analysis, publicado en YouTube por el canal Divergence is Divergence. Su hilo conductor procede de esas lecciones: primero caracterizamos un sistema de números reales mediante los axiomas de cuerpo ordenado y la propiedad del supremo; después construimos efectivamente un modelo a partir de los racionales; probamos la unicidad de la estructura hasta isomorfismo; y, finalmente, estudiamos el valor absoluto, la desigualdad triangular y sus primeras consecuencias analíticas.
La exposición es una elaboración matemática autónoma en español, organizada a partir de esa secuencia de ideas. Desarrollamos las comprobaciones anunciadas en las clases y explicitamos las obligaciones que acompañan a una definición: representantes, signos, cuantificadores y dominios de validez. Las demostraciones, ejemplos, contraejemplos y ejercicios resueltos amplían el recorrido; las formulaciones que exigieron corrección se reconstruyen con sus hipótesis precisas. La responsabilidad de estas intervenciones corresponde a esta edición.
Cada propiedad se presenta cerca de la definición y de los argumentos que la fundamentan. Los pasos difíciles reciben el espacio necesario para mostrar qué hay que construir y qué resultados permiten hacerlo; las construcciones alternativas se reúnen en los apéndices. Al final de cada capítulo, los ejercicios y sus resoluciones prolongan la investigación: conviene intentar cada problema antes de estudiar la solución y volver después sobre la elección que hizo funcionar su argumento.
La precisión empieza por declarar qué suponemos, qué queremos demostrar y qué permite pasar de una afirmación a la siguiente. Una desigualdad estricta o el orden de dos cuantificadores puede decidir la validez de toda una construcción. Nos detendremos en esas elecciones cuando permitan entender el mecanismo de una prueba, y recurriremos a ellas de nuevo cuando aparezcan en un problema más general.
Esta edición de estudio incorpora revisiones propias de la prosa, la pedagogía, la matemática intervenida y los formatos de lectura, realizadas en pasadas separadas. El cotejo audiovisual integral de las cuatro clases permanece abierto. Las ampliaciones se presentan con responsabilidad editorial propia y el expediente conserva las fuentes, incidencias y decisiones necesarias para continuar esa verificación.
Una vez que hayamos respondido por qué existe un cuerpo ordenado completo y en qué sentido es único, el símbolo \(\mathbb R\) dejará de representar únicamente una recta conocida. Representará una construcción y una estructura demostradas. Ésa es la transición que propone este libro: pasar del uso de los reales a la comprensión de su necesidad matemática.