I. El problema detrás de la leyenda
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La formulación moderna del teorema es conocida:
\[ x^n+y^n=z^n \]
no tiene soluciones enteras positivas cuando \(n>2\).
Pero ésta es ya una traducción conceptual. La observación de 1670 no está escrita en lenguaje algebraico moderno ni presenta una cadena demostrativa. Enumera primero dos imposibilidades —el cubo y el biquadrado— y luego las extiende «en general» a las potencias más allá del cuadrado. Finalmente afirma la existencia de una demostración, sin mostrarla.
Esa combinación de generalidad y ausencia ha producido dos tentaciones opuestas.
La primera es la tentación de reconstruir demasiado. Si conocemos hoy muchas demostraciones parciales, técnicas de teoría algebraica de números y, finalmente, la prueba moderna del teorema, resulta fácil mirar hacia atrás y atribuir a Fermat una versión embrionaria de mecanismos que sólo aparecieron mucho después. Una reconstrucción puede ser matemáticamente impecable y, sin embargo, históricamente anacrónica.
La segunda es la tentación de concluir demasiado poco. Del hecho de que no conservemos una demostración general no se sigue que Fermat nunca la escribiera, del mismo modo que la ausencia del ejemplar anotado no demuestra que Samuel inventara las notas que atribuyó a su padre. En historia de las matemáticas, el silencio documental debe seguir siendo silencio documental: no es prueba automática de inexistencia.
Entre ambas tentaciones hay una vía más estrecha. Consiste en separar, para cada pieza del argumento, cuatro preguntas diferentes.
La primera es matemática: ¿el paso es correcto?
La segunda es histórica: ¿está documentado en Fermat?
La tercera es cronológica: ¿podemos mostrar que la técnica estaba disponible —y, mejor aún, que Fermat la conocía— en el período que estamos considerando?
La cuarta es reconstructiva: aun cuando el paso no esté documentado, ¿es razonable incluirlo en una hipótesis de trabajo o exige ya una maquinaria que no pertenece al horizonte histórico estudiado?
La distinción importa porque los mismos objetos pueden ocupar posiciones muy diferentes en esas cuatro escalas. El máximo común divisor, la paridad o ciertas factorizaciones elementales pertenecen al repertorio matemático disponible para un aritmético del siglo XVII. Otra cosa es demostrar que Fermat utilizó exactamente esas operaciones, en ese orden, para atacar el enunciado general. Y otra aún más exigente sería afirmar que poseía una teoría uniforme capaz de repetir la misma construcción para todos los exponentes.
Por eso la pregunta histórica no puede reducirse a «¿qué prueba elemental del teorema podemos imaginar?». Una prueba fabricada hoy con herramientas antiguas no se convierte por ello en una prueba de Fermat. Lo que buscamos es una arquitectura que satisfaga simultáneamente dos condiciones: que sea matemáticamente inteligible y que no exceda silenciosamente lo que el corpus permite atribuir o considerar plausible.
Esta diferencia también explica por qué la demostración de Andrew Wiles, aunque resolvió definitivamente el teorema, no resuelve la pregunta de este libro. La prueba moderna pertenece a otro mundo conceptual. Su importancia para la historia del problema es inmensa, pero no nos dice qué pudo tener Fermat en mente al escribir una observación marginal en una edición de Diofanto.
La investigación debe proceder, entonces, desde el documento hacia la matemática, y no desde la matemática moderna hacia el documento.
Ese principio vuelve especialmente importante el lugar exacto donde aparece la nota: Diofanto, libro II, problema 8.
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