II. Diofanto II.8 y el arte de construir auxiliares
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El problema VIII del libro II de la Arithmetica pide dividir un cuadrado dado en dos cuadrados.1 En la edición de Bachet de 1621 aparece en la página impresa 85. El ejemplo elegido es 16.
En notación moderna, el problema pide encontrar cuadrados racionales \(u^2\) y \(v^2\) tales que
\[ u^2+v^2=16. \]
La solución de Diofanto, expresada por Bachet en su notación de «número» y «cuadrado», no procede mediante una clasificación general de ternas pitagóricas. Hace algo más local y característico. Supone que uno de los cuadrados es el cuadrado de una incógnita \(x\), de modo que el complemento
\[ 16-x^2 \]
debe ser también un cuadrado. A continuación diseña deliberadamente un cuadrado auxiliar:
\[ (2x-4)^2. \]
Iguala ambas expresiones:
\[ 16-x^2=(2x-4)^2, \]
y la elección del auxiliar provoca una cancelación que reduce la ecuación a
\[ 5x^2=16x. \]
Descartada la solución degenerada \(x=0\), resulta
\[ x=\frac{16}{5}. \]
Así se obtiene
\[ 16= \frac{256}{25} + \frac{144}{25}. \]
Mirado desde la matemática moderna, lo importante no es sólo el resultado. Es la forma del movimiento: el problema no se resuelve aplicando una receta universal externa, sino construyendo un auxiliar adaptado precisamente a la ecuación que se quiere dominar. El auxiliar está elegido para hacer que, tras la igualación y la cancelación, la dificultad disminuya.
Éste es el primer punto en que la proximidad material entre Diofanto II.8 y la observación de Fermat resulta sugestiva. Pero hay que precisar con cuidado qué clase de sugestión es.
II.8 no contiene descenso infinito.
No parte de una solución mínima para producir otra menor. No construye una secuencia repetible de objetos de la misma clase. No introduce una medida estrictamente decreciente ni demuestra que la existencia de una solución obligaría a una cadena infinita imposible de enteros positivos. En otras palabras, la operación diofántica reduce una ecuación; no establece un bucle descendente.
Tampoco contiene el aparato aritmético que reaparecerá en reconstrucciones del Último Teorema: no hay aquí análisis de coprimalidad asociado a una suma de potencias, ni primo excepcional, ni extracción de potencias de factores coprimos. Sería históricamente engañoso leer todo eso dentro del problema por el mero hecho de que la nota de Fermat terminó impresa junto a él.
Lo que II.8 sí ofrece es algo más modesto y, acaso por eso, más interesante: un estilo de resolución.
Podemos describirlo así:
\[ \text{problema} \longrightarrow \text{auxiliar diseñado} \longrightarrow \text{reducción de complejidad} \longrightarrow \text{retorno al problema}. \]
No sabemos si Fermat miró II.8 y pensó explícitamente en convertir este patrón en una teoría general de transferencias. No existe un documento que establezca esa cadena causal. Pero sí podemos afirmar que la página junto a la cual se transmitió la Observatio pertenece a una tradición matemática en la que la elección ingeniosa de auxiliares específicos era una práctica central.
Esto cambia sutilmente la pregunta. Quizá la unidad de una eventual «demostración admirable» no deba buscarse desde el comienzo en una fórmula única capaz de actuar sobre todos los exponentes. El precedente inmediato de Diofanto invita, al menos, a considerar otra posibilidad: que problemas diferentes requieran auxiliares diferentes, unidos por una misma intención estratégica.
Esa posibilidad no es todavía una conclusión. Es una hipótesis genealógica local. Para decidir cuánto puede sostenerse hay que mirar más allá de la página de Diofanto y reconstruir el repertorio matemático que el propio Fermat fue documentando a lo largo de su carrera.
Y aquí aparece una dificultad adicional: la cronología del repertorio es mucho más precisa que la cronología de la nota.
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Notas
Bachet 1621, libro II, p. 85, QVIII. En la edición de 1670, QVIII y la Observatio se encuentran en la p. 61.↩︎