III. El horizonte matemático de Fermat, 1621–1659
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1. Dos cronologías que no deben confundirse
Podemos fechar muchos documentos de la vida matemática de Fermat. Podemos seguir la aparición, en su correspondencia, de problemas, resultados y métodos. Podemos ver cómo se amplía el repertorio que el archivo conserva.
Lo que no podemos hacer es colocar con seguridad la Observatio general dentro de esa secuencia.
Ésta es la asimetría central de la cronología.
Una carta de 1640 puede demostrar que Fermat conocía cierto resultado a más tardar en 1640. No demuestra que lo descubriera ese año. Una técnica que sólo aparece documentada en 1654 pudo haber sido conocida antes; lo único que no podemos hacer es retroproyectarla como hecho sin marcar la inferencia. Y, como la fecha de la anotación es desconocida, tampoco podemos declarar que una técnica de 1654 sea necesariamente posterior a ella.
Conviene, por tanto, leer la cronología que sigue como historia del corpus documentado, no como biografía segura de la demostración perdida.
2. 1621: el soporte y el mundo de Diofanto
La edición de Bachet fija el punto de partida material. En ella Fermat encontró una Arithmetica transmitida mediante lenguaje y técnicas algebraicas que dialogaban con la matemática de comienzos del siglo XVII. El propio trabajo temprano de Fermat muestra pronto familiaridad con el análisis diofántico y con formas elementales de álgebra heredadas de Viète.
Este horizonte temprano permite distinguir dos cosas.
Por una parte, existen técnicas que podemos documentar personalmente en Fermat: análisis de problemas diofánticos, manipulación algebraica, trabajo con divisores, construcción concreta de cuadrados y uso creativo de ecuaciones auxiliares.
Por otra, hay técnicas elementales disponibles en su entorno matemático aunque no tengamos un documento temprano que muestre a Fermat utilizándolas exactamente en la cadena que hoy nos interesaría: máximo común divisor, coprimalidad, paridad, factorizaciones elementales, extracción de potencias cuando factores coprimos forman una potencia, reducción al absurdo y disminución de enteros positivos.
La diferencia entre «disponible» y «personalmente documentado» parece pequeña; historiográficamente es enorme.
Gracias a ese instrumental, buena parte de las operaciones aritméticas que una reconstrucción del Último Teorema necesitaría no son anacrónicas. Pero de ello no se sigue que Fermat hubiera organizado ya esas operaciones como un procedimiento general.
3. Los desafíos cúbico y biquadrático y el problema de «1637»
Durante mucho tiempo, la cronología temprana pareció apoyarse en una carta sin fecha a Mersenne destinada a Sainte-Croix. En ella aparecen desafíos que piden encontrar dos cubos cuya suma sea un cubo y dos biquadrados cuya suma sea un biquadrado. Estos casos particulares están, desde luego, estrechamente relacionados con el enunciado general transmitido en 1670.
El problema está en la fecha.
Paul Tannery había situado provisionalmente la carta hacia 1637. La edición de Tannery y Henry la colocó después bajo septiembre u octubre de 1636. Sin embargo, Jean Itard reexaminó la datación y la excluyó del conjunto de cartas de 1636, proponiendo mayo o junio de 1638; Cornelis de Waard propuso, independientemente, comienzos de junio de ese mismo año.
La consecuencia no es que debamos reemplazar dogmáticamente «1637» por «1638». La consecuencia es más importante: la carta no puede funcionar como ancla segura para fechar la Observatio.
Aun aceptando la datación de 1638, el documento muestra que Fermat trabajaba entonces con imposibilidades de grados tres y cuatro. No conserva una demostración del caso cúbico, no conserva allí la demostración biquadrática y no formula una teoría general del descenso.
La tradición de fechar la nota hacia 1637 debe entenderse, pues, como una reconstrucción historiográfica del período temprano de Fermat, no como lectura de una fecha escrita por él.
4. 1640–1641: potencias, divisibilidad y suma de dos cuadrados
A partir de 1640 el archivo muestra un repertorio aritmético más articulado.
En una carta a Frenicle del 18 de octubre de 1640, Fermat discute el primer exponente para el que un primo divide una expresión de la forma \(a^m-1\)1, y relaciona ese exponente con divisores de \(q-1\). Traducir este episodio directamente al lenguaje moderno de órdenes multiplicativos sería excesivo; lo históricamente seguro es que Fermat trabaja ya de manera explícita con potencias, divisibilidad y exponentes mínimos.
Poco después, el 25 de diciembre de 1640, afirma que todo primo de la forma \(4k+1\) puede representarse como suma de dos cuadrados2 y presenta esta materia como uno de los fundamentos de su aritmética. En este período encontramos también un contexto más fuerte para la composición de representaciones por dos cuadrados.
La ampliación es significativa. Un Fermat que trabaja con potencias, divisibilidad y representaciones cuadráticas posee un vocabulario matemático más cercano al que muchas reconstrucciones modernas del descenso necesitan.
Pero aquí aparece una distinción que acompañará toda la investigación: componer representaciones no es lo mismo que extraerlas.
La identidad
\[ (a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac-bd)^2+(ad+bc)^2 \]
permite construir una representación del producto a partir de representaciones de los factores. No autoriza, en sentido inverso, a concluir que si una potencia tiene cierta representación entonces su raíz posee automáticamente una representación compatible. Ese tipo de inversión es precisamente uno de los puntos donde las reconstrucciones demasiado rápidas pueden introducir, sin advertirlo, una teoría posterior.
Así, el período 1640–1641 fortalece el entorno conceptual, pero no entrega por sí mismo el mecanismo general que buscamos.
5. 1642–1653: el valor histórico de una ausencia acotada
En el corpus dirigido que hemos auditado no aparece, durante estos años, un principio general que resuelva los pasos inversos de representación requeridos por algunas reconstrucciones.
Esta frase debe ser leída con precisión. No significa que Fermat no desarrollara nada relevante en ese intervalo. No significa que no pudiera conocer técnicas de las que no conservamos testimonio. Significa únicamente que no hemos localizado, en el corpus estudiado, un puente general capaz de transformar una representación de una potencia en una representación apropiada de su raíz con todo el control necesario para cerrar un descenso.
Un negativo documental sólo es útil cuando se conserva su alcance.
6. 1654: varias formas cuadráticas entran en escena
La carta a Pascal del 25 de septiembre de 1654 marca un nuevo punto de inflexión.3 Fermat afirma resultados de representación de primos por formas que, en notación moderna, escribimos
\[ x^2+y^2,\qquad x^2+2y^2,\qquad x^2+3y^2. \]
También afirma disponer de una manera de demostrar esta clase de proposiciones.
Para nuestra historia esto importa por dos motivos.
El primero es documental. Ya no estamos simplemente ante la disponibilidad cultural de ciertas identidades: el propio Fermat se presenta trabajando sistemáticamente con varias formas aritméticas.
El segundo es estructural. El caso cúbico, cuyo mecanismo de descenso no conservamos, tiene una relación natural con la forma \(x^2+3y^2\). La carta de 1654 hace históricamente más plausible que una forma de ese tipo perteneciera al repertorio de Fermat maduro.
Pero plausible no significa demostrado. La carta no nos entrega el converso exacto que permitiría parametrizar todas las soluciones relevantes de una ecuación del tipo
\[ X^2+3Y^2=Z^3, \]
ni nos da una teoría general de las formas \(x^2+my^2\). El contexto se vuelve más rico; el mecanismo perdido sigue perdido.
7. 1657–1658: descenso, desafíos y límites reconocidos
En 1657 Fermat lanza desafíos generales de teoría de números, entre ellos el problema hoy escrito
\[ X^2-DY^2=1 \]
para \(D\) no cuadrado. En torno a este período el corpus permite situar ya prácticas de descenso asociadas personalmente a Fermat, aunque algunos fragmentos nos lleguen de manera indirecta y requieran cautela textual.
Más reveladora todavía es una carta a Digby de 1658.4 Allí Fermat distingue entre proposiciones cuya demostración afirma poseer y otras que considera verdaderas pero cuya demostración todavía espera encontrar. Entre los ejemplos aparece una cuestión relacionada con la forma
\[ x^2+5y^2. \]
Esta distinción tiene un valor historiográfico excepcional. Muestra a un Fermat que no confunde automáticamente convicción matemática y prueba poseída. También muestra que las distintas formas cuadráticas no están, para él, absorbidas sin fricción por una teoría uniforme y transparente.
La imagen del Fermat maduro que emerge de estos documentos no es la de un calculista que aplica mecánicamente una única receta. Es la de un aritmético que trabaja con familias de problemas, reconoce diferencias estructurales entre ellas y distingue con claridad entre lo que cree verdadero y lo que considera demostrado.
Esa imagen prepara el documento decisivo de 1659.
8. 1659: el descenso como método y como pluralidad
La Relation des nouvelles découvertes en la science des nombres, dirigida a Carcavi en 1659, contiene la exposición conservada más clara del método que Fermat llama descenso infinito.5
Su lógica puede formularse sin modernizar excesivamente el argumento: se supone que existe un objeto con cierta propiedad; a partir de él se construye otro objeto menor que conserva la propiedad relevante; el proceso podría repetirse indefinidamente, lo que es imposible en los enteros positivos. La existencia inicial queda así contradicha.
Ésta es la unidad del descenso.
Pero la misma Relation impide identificar esa unidad con una fórmula algebraica única. Fermat escribe que ciertos problemas requieren «principios nuevos» y, al referirse al caso cúbico, afirma que la manera de practicar allí el descenso es tout à fait diverse des précédentes: completamente distinta de las anteriores.
Las dos afirmaciones deben leerse juntas.
Por un lado, Fermat presenta el descenso como una estrategia general.
Por otro, declara que su realización concreta puede variar radicalmente de un problema a otro.
Esta combinación es una de las claves históricas de todo el dossier. La generalidad que Fermat atribuye al método no parece exigir uniformidad de mecanismo. Un mismo principio de reducción puede encarnarse en construcciones distintas.
En 1659 sabemos, además, dos cosas particularmente relevantes para el Último Teorema. Conservamos un descenso fermatiano ligado al caso biquadrático, aunque su fecha de composición sea incierta, y Fermat afirma que el caso cúbico también se resuelve por descenso, con una práctica diferente. Lo que no conservamos es el mecanismo de ese descenso cúbico.
La situación documental es, por tanto, asimétrica: tenemos un caso con mecanismo y otro con testimonio de existencia pero sin mecanismo.
Ésta será la base de la reconstrucción matemática de los capítulos siguientes.
9. 1670: cuando la afirmación general entra en el registro conservado
Cinco años después de la muerte de Fermat, Samuel publica la edición de 1670. Allí aparece por primera vez, entre los testimonios supervivientes que hemos localizado, la afirmación general asociada a Diofanto II.8.
La fecha de impresión es firme. La fecha de redacción de la nota no lo es.
Tampoco hemos localizado, en el corpus dirigido anterior a 1670, una referencia independiente que reproduzca el enunciado general en toda su extensión. Sí encontramos los casos particulares, los desafíos, el descenso, las formas y una aritmética cada vez más rica. Pero el salto desde esos documentos al texto general de la Observatio no puede fecharse con seguridad.
Por eso la cronología produce un resultado que puede parecer paradójico.
Cuanto más avanzamos hacia 1659, más comprensible se vuelve el lenguaje matemático de una estrategia plural de descenso. El Fermat maduro posee un repertorio documentado mucho más compatible con una familia de argumentos heterogéneos que el Fermat de comienzos de los años treinta.
Sin embargo, esa mayor compatibilidad no fecha la nota.
La Observatio pudo haber sido temprana, tardía o haber sido retocada en un proceso que ya no podemos reconstruir. El archivo actual no decide entre esas posibilidades.
10. Lo que la cronología permite afirmar
Al terminar este recorrido podemos separar con bastante precisión tres niveles.
Primero, hay una secuencia documental real. Fermat pasa, en los testimonios conservados, de un horizonte diofántico y algebraico temprano a una aritmética en la que aparecen divisibilidad de potencias, varias formas cuadráticas, desafíos generales y una formulación explícita del descenso infinito.
Segundo, ese enriquecimiento hace cada vez más natural la idea de que la unidad de sus argumentos aritméticos pueda ser metodológica y no algebraicamente uniforme. La declaración de 1659 sobre la diversidad del descenso cúbico es especialmente importante en este punto.
Tercero, ninguno de esos hechos permite reconstruir automáticamente la historia de la demonstratio mirabilis. La cronología del corpus y la cronología de la nota siguen siendo dos objetos diferentes.
Podemos decir que la historia documentada explica cada vez mejor cómo Fermat pudo concebir un método de descenso flexible.
No podemos decir, sólo por eso, cuándo escribió la observación ni qué demostración concreta pretendía resumir.
Este límite no es una debilidad del análisis. Es uno de sus resultados.
A partir de aquí la pregunta cambia. Ya no basta seguir acumulando fechas. Debemos examinar qué significa matemáticamente un descenso fermatiano, qué estructura conserva el caso biquadrático y hasta dónde puede extenderse esa estructura sin confundir reconstrucción moderna con evidencia histórica.
Ese será el paso siguiente.
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Notas
Fermat a Frenicle, 18 de octubre de 1640, en Pierre de Fermat, Œuvres, eds. Paul Tannery y Charles Henry, t. II, correspondencia.↩︎
Fermat a Mersenne, 25 de diciembre de 1640, en Tannery–Henry, Œuvres de Fermat, t. II.↩︎
Fermat a Pascal, 25 de septiembre de 1654, en Tannery–Henry, Œuvres de Fermat, t. II.↩︎
Fermat a Digby, junio de 1658, en el corpus epistolar editado por Tannery y Henry. El pasaje es relevante porque distingue proposiciones que Fermat afirma haber demostrado de otras cuya demostración declara no poseer.↩︎
Pierre de Fermat, Relation des nouvelles découvertes en la science des nombres, a Carcavi, agosto de 1659; véase la edición crítica en Œuvres de Fermat. Para el análisis historiográfico del descenso como programa de transformación de problemas, véase Catherine Goldstein, “Descente infinie et analyse diophantienne : programmes de travail et mises en œuvre chez Fermat, Levi, Mordell et Weil”, Cahiers du séminaire d’histoire des mathématiques, 2e série, 3 (1993), 25–49.↩︎