Demostraciones de las propiedades

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Una tabla permite encontrar una regla con rapidez. Para saber por qué funciona hay que reconstruir las razones que la sostienen y reconocer dónde intervienen sus hipótesis. Este apéndice reúne esas razones para las propiedades de los capítulos anteriores. Las reglas que se repiten en varias tablas comparten aquí una misma demostración.

El recorrido empieza por las operaciones de los reales y avanza hacia las fracciones, las potencias, las raíces y el control del error. Puede consultarse una sección concreta después de leer el desarrollo del capítulo. Cuando un argumento necesita una propiedad anterior, se indica esa dependencia. Las letras representan números reales, salvo que se especifique otro conjunto; una igualdad de expresiones solo se considera en los valores para los que todas sus operaciones están definidas.

Qué adoptamos y qué demostramos

Trabajamos con los números reales como un cuerpo ordenado completo. Esta expresión reúne los puntos de partida de la obra. La suma y el producto son operaciones cerradas, conmutativas y asociativas; existen el cero y el uno, distintos entre sí, como elementos neutros; todo real tiene opuesto y todo real no nulo tiene inverso multiplicativo. El producto distribuye sobre la suma. El orden es total, es compatible con sumar una misma cantidad y el producto de dos positivos es positivo. Adoptamos además la completitud: todo conjunto no vacío de reales acotado superiormente tiene una menor cota superior en los reales.

Estas reglas son axiomas del sistema con el que trabajamos. Se pueden verificar a partir de una construcción de los reales, que queda fuera del alcance de esta obra. La completitud también se adopta como punto de partida. Las pruebas siguientes deducen consecuencias de estos supuestos.

Algunas filas de las tablas fijan una definición: qué significa una potencia negativa, un error relativo o una proporcionalidad. Una definición no se demuestra como si fuera una conclusión; se explica su elección, se comprueba su coherencia cuando admite distintas representaciones y se deducen sus consecuencias. El desempate del redondeo y la interpretación de ciertas potencias con base negativa son convenciones declaradas. Esta distinción permite seguir el razonamiento sin circularidad.

Usaremos también las propiedades elementales de los enteros y la inducción sobre los naturales: una afirmación que vale en el comienzo y se transmite de cada natural al siguiente vale para todos ellos. La construcción de los sistemas numéricos y el fundamento de ese principio pertenecen a un estudio de fundamentos.

Opuestos, inversos y productos nulos

El opuesto y el inverso son únicos. Si \(b\) y \(c\) son opuestos de \(a\), entonces

\[b=b+0=b+(a+c)=(b+a)+c=0+c=c.\]

Si \(a\ne0\) y \(ab=ac=1\), la misma idea con productos da \(b=b(ac)=(ba)c=c\). Por tanto tiene sentido hablar de el opuesto y el inverso de un número. Como \((-a)+a=0\), el opuesto de \(-a\) es \(a\): queda justificado \(-(-a)=a\). Definimos \(a-b=a+(-b)\) y \(a/b=a\,b^{-1}\) cuando \(b\ne0\).

La distributividad obliga a que multiplicar por cero dé cero. En efecto,

\[a0=a(0+0)=a0+a0.\]

Sumar el opuesto de \(a0\) a ambos miembros deja \(0=a0\). Por ello \(0/b=0\) para \(b\ne0\). Si intentáramos definir \(a/0\) como la única solución de \(0x=a\), para \(a\ne0\) no habría ninguna y para \(a=0\) servirían todas. No se obtiene una división en ninguno de los casos.

De \(b+(-b)=0\) resulta \(ab+a(-b)=a0=0\). La unicidad del opuesto da \(a(-b)=-(ab)\). Conmutando los factores obtenemos también \((-a)b=-(ab)\). Aplicamos la primera regla al producto \((-a)(-b)\):

\[(-a)(-b)=-((-a)b)=-(-(ab))=ab.\]

Los signos no se añaden a las operaciones como instrucciones independientes: estas identidades proceden de conservar la distributividad y los opuestos.

Si \(uv=0\) y \(u\ne0\), multiplicar por \(u^{-1}\) produce \(v=0\). Si \(u=0\), ya se anula el primer factor. Recíprocamente, un producto con un factor cero es cero. Así,

\[uv=0\quad\Longleftrightarrow\quad u=0\text{ o }v=0.\]

De aquí se deduce que el producto de dos no nulos es no nulo. Esta observación garantiza, por ejemplo, que el denominador \(bd\) no se anula cuando \(b\) y \(d\) no se anulan.

Transformaciones que conservan una ecuación

De \(A=B\) se sigue \(A+c=B+c\). Para volver basta sumar \(-c\) a ambos lados. Tenemos una equivalencia, porque los dos recorridos son posibles. Si \(c\ne0\), multiplicar por \(c\) también es reversible: la vuelta consiste en multiplicar por \(c^{-1}\). Dividir por un no nulo es esa misma operación. Si el factor depende de una incógnita, su posible anulación obliga a separar casos antes de dividir.

En cambio, \(A=B\) implica \(A^2=B^2\) sin garantizar la vuelta con el mismo signo. La diferencia de cuadrados, demostrada más adelante mediante distributividad, permite escribir

\[A^2=B^2\quad\Longleftrightarrow\quad(A-B)(A+B)=0.\]

Por el producto nulo, esto equivale a \(A=B\) o \(A=-B\). Elevar al cuadrado puede reunir dos posibilidades que la ecuación original distinguía.

Si \(A\ge0\), la raíz principal es no negativa. Por tanto \(\sqrt A=B\) implica \(B\ge0\) y, al elevar al cuadrado, \(A=B^2\). A la inversa, si \(B\ge0\) y \(B^2=A\), la unicidad de la raíz no negativa, que probaremos en «Existencia y unicidad de las raíces reales», obliga a que \(B=\sqrt A\). Queda la equivalencia

\[\sqrt A=B\quad\Longleftrightarrow\quad A=B^2\text{ y }B\ge0\qquad(A\ge0).\]

La condición de signo participa en la demostración; omitirla cambia el conjunto solución.

Fracciones: representantes y operaciones

Para \(b,d\ne0\), de \(a/b=c/d\) obtenemos \(ad=bc\) al multiplicar por el no nulo \(bd\). Si partimos de \(ad=bc\), multiplicar por \((bd)^{-1}\) devuelve la igualdad de fracciones. Esto demuestra el criterio de los productos cruzados. En particular, si también \(k\ne0\), los productos \(a(kb)\) y \(b(ka)\) coinciden y por tanto \(a/b=(ka)/(kb)\).

El inverso de un producto no nulo satisface \((bd)^{-1}=b^{-1}d^{-1}\): multiplicar ambas expresiones por \(bd\) da uno, y el inverso es único. Usando esta identidad y distributividad,

\[\begin{aligned} \frac ab+\frac cd &=ab^{-1}+cd^{-1}\\ &=(ad)(bd)^{-1}+(bc)(bd)^{-1}\\ &=(ad+bc)(bd)^{-1}=\frac{ad+bc}{bd}. \end{aligned}\]

Cambiar \(c\) por \(-c\) produce la resta. Reagrupar los factores en \((ab^{-1})(cd^{-1})\) da \(ac(bd)^{-1}=ac/(bd)\) y justifica el producto.

Si \(c,d\ne0\), la fracción \(c/d\) tiene inverso \(d/c\), porque su producto vale uno. Entonces

\[\frac ab:\frac cd=\frac ab\frac dc=\frac{ad}{bc},\qquad b,c,d\ne0.\]

Estas operaciones conservan el valor del racional aunque cambien sus representantes, pues se dedujeron de operaciones sobre sus valores reales. Cancelar factores completos es una aplicación del mismo razonamiento: \(ab/(ac)=b/c\) exige \(a,c\ne0\). No hay una regla semejante que permita cancelar un sumando aislado de \(a+b\).

Signos y compatibilidad del orden

Escribimos \(a<b\) cuando \(b-a>0\). Sumar \(c\) deja la diferencia intacta: \((b+c)-(a+c)=b-a\). Esto justifica que el orden se conserve y que la transformación sea reversible. Si \(c>0\), la diferencia de los productos es \(bc-ac=c(b-a)>0\); así \(ac<bc\). Si \(c<0\), el producto \((-c)(b-a)\) es positivo, y su opuesto \(c(b-a)\) es negativo. Por tanto \(ac>bc\). Para \(c=0\), los dos productos son cero y ya no hay desigualdad estricta.

El inverso de un positivo es positivo. No es cero, y si fuera negativo, su producto con el positivo sería negativo, aunque ese producto es uno. Aquí \(1>0\) se deduce del orden del cuerpo: si uno fuera negativo, \(-1\) sería positivo y \((-1)^2=1\) sería positivo, contradicción. Un inverso negativo corresponde de la misma manera a una base negativa. Dividir por un positivo conserva el orden y dividir por un negativo lo invierte, porque equivale a multiplicar por su inverso.

Para \(0<a<b\), el producto \(ab\) es positivo y

\[\frac1a-\frac1b=\frac{b-a}{ab}>0.\]

Por eso \(1/b<1/a\). El mismo cálculo funciona si \(a<b<0\), pues también entonces \(ab>0\). Si los extremos tienen distinto signo, el producto es negativo y no se obtiene esa comparación; el signo del denominador explica la restricción.

Un cuadrado real es no negativo. Para \(x>0\), lo afirma la compatibilidad del producto de positivos; para \(x<0\), usamos \(x^2=(-x)^2>0\); para \(x=0\), el cuadrado vale cero. Queda también \(x^2=0\) si y solo si \(x=0\). Si \(0\le a<b\), la identidad \(b^2-a^2=(b-a)(b+a)\) tiene dos factores positivos, luego \(a^2<b^2\). La restricción a los no negativos permite invertir la comparación de cuadrados.

Valor absoluto, distancia e intervalos

Definimos \(|x|=x\) para \(x\ge0\) y \(|x|=-x\) para \(x<0\). En ambos casos el resultado es no negativo, y solo se anula si \(x=0\). Cambiar \(x\) por \(-x\) intercambia los casos, de modo que \(|-x|=|x|\). Como \(b-a=-(a-b)\), la distancia satisface \(|a-b|=|b-a|\).

Si \(r>0\), estudiamos \(u=x-a\). Cuando \(u\ge0\), la condición \(|u|<r\) equivale a \(u<r\), y ya se cumple \(u>-r\). Cuando \(u<0\), equivale a \(-u<r\), es decir \(u>-r\), y ya se cumple \(u<r\). Recorrer los dos casos en sentido inverso prueba

\[|x-a|<r\quad\Longleftrightarrow\quad a-r<x<a+r.\]

El mismo razonamiento con \(\le\) incluye los dos extremos. Para \(|u|>r\), el caso \(u\ge0\) da \(u>r\) y el caso \(u<0\) da \(u<-r\); por tanto \(|x-a|>r\) equivale a \(x<a-r\) o \(x>a+r\). Con \(\ge\) se incluyen los extremos. Exigir \(r>0\) mantiene el alcance de las tablas; otros radios requieren interpretar sus propios casos.

La intersección y la unión expresan condiciones de pertenencia: \(x\in A\cap B\) significa que \(x\in A\) y \(x\in B\); \(x\in A\cup B\) significa que al menos una de esas pertenencias se cumple. Por ello, al reunir condiciones simultáneas tomamos la intersección de sus conjuntos solución, y al reunir alternativas tomamos su unión. El argumento depende de qué debe cumplir cada elemento y permite interpretar del mismo modo conjuntos de intervalos, puntos aislados o cualquier otra forma de conjunto solución.

Necesitaremos además la desigualdad triangular. La definición da \(-|u|\le u\le|u|\). Sumando las cotas de \(u\) y \(v\) resulta

\[-(|u|+|v|)\le u+v\le |u|+|v|.\]

Si \(|u|+|v|>0\), la caracterización del valor absoluto entre dos cotas implica \(|u+v|\le|u|+|v|\). Si esa suma es cero, ambos números son cero y la desigualdad también se cumple. Aplicada a \(u=(u-v)+v\), da \(|u|-|v|\le|u-v|\). Intercambiando \(u,v\) obtenemos también \(|v|-|u|\le|u-v|\), de donde

\[\bigl||u|-|v|\bigr|\le|u-v|.\]

Estas dos desigualdades permiten trasladar cotas sin suponer independencia estadística. Por casos de signo se comprueba igualmente \(|uv|=|u||v|\); si \(v\ne0\), dividir esta igualdad aplicada a \((u/v)v=u\) da \(|u/v|=|u|/|v|\).

Razones y proporcionalidad

Una proporción es una igualdad de razones, por lo que su criterio de productos cruzados es el ya probado para fracciones, con denominadores no nulos y cantidades expresadas en unidades compatibles.

La proporcionalidad directa se define por \(y=kx\) en el dominio del modelo. Para \(x\ne0\), dividir por \(x\) prueba \(y/x=k\), y multiplicar devuelve la fórmula. Si \(x\) y \(cx\) pertenecen al dominio, el nuevo valor es \(k(cx)=c(kx)=cy\). Para cantidades positivas se toma \(k>0\). Ninguna de estas consecuencias demuestra que un fenómeno real deba obedecer al modelo: esa es una hipótesis adicional.

La proporcionalidad inversa entre positivos se define por \(xy=K>0\). Como \(x>0\), dividir produce \(y=K/x\), y la vuelta es multiplicar por \(x\). Al sustituir \(x\) por \(cx\), con \(c>0\) y entrada admitida, obtenemos \(K/(cx)=(K/x)/c=y/c\). Así se justifica el cambio inverso de escala sin confundirlo con cualquier dependencia decreciente.

Porcentajes y bases de comparación

El símbolo \(p\%\) significa \(p/100\). Si la parte \(A\) es el \(p\%\) de una base positiva \(B\), la definición da \(A=(p/100)B\). Dividir por \(B\) y multiplicar por cien devuelve \(p=100A/B\).

Un aumento añade la parte calculada sobre el inicio:

\[F=B+\frac p{100}B=B\left(1+\frac p{100}\right).\]

Para un descuento se resta esa parte y queda \(F=B(1-p/100)\). La restricción \(0\le p\le100\) garantiza un resultado no negativo en el modelo de descuentos de la tabla. Si el factor aplicado es \(f\ne0\), la equivalencia \(F=Bf\Longleftrightarrow B=F/f\) permite recuperar el inicio. Con \(f=0\), todos los valores de \(B\) producen cero y la información se pierde.

La variación relativa se define como el cambio dividido por el inicio: \(r=(F-B)/B\) para \(B>0\). Despejar da \(F=B(1+r)\) y expresarla en porcentaje da \(100r\). Si luego actúa una variación \(s\), el resultado es \(B(1+r)(1+s)\). La distributividad muestra

\[(1+r)(1+s)=1+r+s+rs,\]

por lo que la variación relativa total es \(r+s+rs\). Se deben respetar las restricciones del contexto en cada factor.

Si una tasa pasa de \(p_1\%\) a \(p_2\%\), los coeficientes porcentuales difieren en \(p_2-p_1\): esa es la diferencia en puntos porcentuales. Si \(p_1>0\), la variación relativa de la tasa es

\[\frac{p_2/100-p_1/100}{p_1/100}=\frac{p_2-p_1}{p_1}.\]

Se comparan dos objetos distintos: una diferencia de tasas expresadas sobre cien y una razón del cambio respecto de la tasa inicial.

Para reunir grupos de bases \(B_1,B_2>0\), las partes son \(r_1B_1\) y \(r_2B_2\). La parte total dividida por la base total da

\[r=\frac{r_1B_1+r_2B_2}{B_1+B_2}.\]

El denominador es positivo. Los pesos \(B_1/(B_1+B_2)\) y \(B_2/(B_1+B_2)\) suman uno. Si las bases son iguales, la expresión se reduce a \((r_1+r_2)/2\); si las proporciones son iguales a \(r_0\), el numerador es \(r_0(B_1+B_2)\) y el resultado es \(r_0\). Esta deducción supone que los grupos se reúnen sumando sus bases y sus partes. Para precisar cuándo coincide esta media con la media simple de las dos proporciones, restamos ambas expresiones y usamos un denominador común:

\[\frac{r_1B_1+r_2B_2}{B_1+B_2}-\frac{r_1+r_2}{2}=\frac{(B_1-B_2)(r_1-r_2)}{2(B_1+B_2)}.\]

Como las bases son positivas, el denominador también lo es. La diferencia vale cero exactamente cuando el producto del numerador es cero. Por la propiedad del producto nulo, esto ocurre cuando las bases son iguales o las proporciones son iguales. Queda demostrado el criterio de coincidencia que acompaña a la proporción conjunta en la tabla del capítulo 2.

Potencias enteras y conteo de factores

Para un entero positivo \(n\), definimos \(a^n\) como el producto de \(n\) factores \(a\). La asociatividad permite agruparlos y obtener \(a^1=a\) y \(a^{n+1}=a^na\). Juntar los factores de \(a^m\) y \(a^n\) prueba \(a^ma^n=a^{m+n}\) cuando \(m,n>0\). Reunir \(n\) grupos de \(m\) factores prueba \((a^m)^n=a^{mn}\). Reordenar el producto de \(n\) factores \(ab\) da \((ab)^n=a^nb^n\); la conmutatividad de los reales permite juntar los factores de cada clase. Si \(b\ne0\), se obtiene de la misma manera \((a/b)^n=a^n/b^n\).

Para \(a\ne0\) definimos \(a^0=1\) y \(a^{-n}=(a^n)^{-1}\) si \(n>0\). Estas definiciones conservan la recurrencia \(a^{k+1}=a^ka\) para todo entero \(k\). En el paso \(k=-1\) da \(a^{-1}a=1=a^0\); si \(k=-n\) con \(n>1\), la igualdad \(a^n=a^{n-1}a\) muestra, tomando inversos, que \(a^{-n}a=a^{-(n-1)}\).

Fijado cualquier entero \(m\), la identidad \(a^ma^0=a^m\) es el comienzo. Si \(a^ma^n=a^{m+n}\), multiplicar por \(a\) y usar la recurrencia prueba el caso \(n+1\). Para bajar del caso \(n\) al \(n-1\), multiplicamos por \(a^{-1}\). Así la inducción hacia arriba y hacia abajo da la ley del producto para todos los enteros \(m,n\). En particular, \(a^na^{-n}=1\), y por tanto

\[a^m/a^n=a^ma^{-n}=a^{m-n}.\]

Para \((a^m)^n\) con \(n\ge0\), la ley del producto cuenta de nuevo los grupos. Si \(n<0\), se toma el inverso del caso positivo y se usa \(a^{-k}=(a^k)^{-1}\): resulta la misma ley. Las potencias de productos y cocientes con exponente negativo se deducen invirtiendo sus igualdades de exponente positivo; esto exige que todas las bases que se invierten sean no nulas. El exponente cero también pide bases no nulas en la convención de la obra.

Para \(n>0\), \(0^n=0\) porque el producto contiene factores cero. La definición anterior no asigna \(0^0\) ni potencias negativas de cero. Si \(a>0\), los factores de \((-a)^n\) se agrupan en parejas de producto \(a^2\): un número par de factores da \(a^n\) y uno impar deja un factor negativo, dando \(-a^n\). La misma paridad determina el signo con exponentes enteros negativos al tomar inversos.

Comparar potencias naturales

Para \(u,v>0\), la distributividad permite verificar, cancelando los términos intermedios,

\[v^n-u^n=(v-u)\sum_{j=0}^{n-1}v^{n-1-j}u^j,\qquad n\ge1.\]

Para \(0<u<v\), el factor \(v-u\) es positivo y la suma también lo es: todos sus términos son positivos, incluido el caso \(n=1\), en que el sumando vale uno. Así \(u^n<v^n\). Si \(u=0<v\), la misma conclusión se obtiene directamente de \(0^n=0<v^n\), sin introducir \(0^0\) en la suma. Dos números no negativos con la misma potencia natural deben ser iguales. Para \(n\) impar, las potencias también conservan el orden entre negativos, porque \((-t)^n=-t^n\), y entre números de distinto signo. Esta monotonía sustentará la unicidad de las raíces.

Existencia y unicidad de las raíces reales

Sea \(a>0\) y \(n\ge2\) entero. Consideremos \(S=\{t\ge0:t^n\le a\}\). No está vacío, pues contiene cero; de hecho contiene un positivo, \(\min(1,a)\). Está acotado por \(M=a+1\): si \(t>M>1\), entonces \(t^n\ge t>a\). Por completitud tiene supremo \(s\), con \(0<s\le M\).

La identidad de diferencia de potencias proporciona una cota que evita suponer continuidad sin demostrarla. Para \(0<h\le1\),

\[0<(s+h)^n-s^n\le nh(M+1)^{n-1}.\]

En efecto, hay \(n\) términos en la suma y cada factor que aparece no supera \(M+1\). Si \(s^n<a\), elegimos además \(h<(a-s^n)/(n(M+1)^{n-1})\). Entonces \((s+h)^n<a\), por lo que \(s+h\in S\), contradiciendo que \(s\) sea cota superior.

Si \(s^n>a\), elegimos \(0<h<s\) tan pequeño que \(nhM^{n-1}<s^n-a\). La misma identidad da \(s^n-(s-h)^n\le nhM^{n-1}\), luego \((s-h)^n>a\). Por monotonía, todo elemento de \(S\) es menor que \(s-h\). Esto convertiría a \(s-h\) en una cota superior menor que el supremo. Las dos alternativas son imposibles: \(s^n=a\). Para \(a=0\) la raíz no negativa es cero.

La monotonía probada antes da unicidad en los no negativos. Si \(n\) es par, ninguna potencia real de índice \(n\) es negativa; por ello la raíz principal real solo se define para \(a\ge0\) y se elige no negativa. Si \(n\) es impar y \(a<0\), el opuesto de la raíz positiva de \(-a\) tiene potencia \(a\). La monotonía impar en toda la recta da unicidad. Esto justifica existencia, dominio y elección de signo, sin confundir una raíz principal con todas las soluciones de una ecuación.

Como \(|u|\ge0\) y \(|u|^2=u^2\), la unicidad demuestra \(\sqrt{u^2}=|u|\) para cualquier real \(u\). Quitar las barras exigiría además \(u\ge0\).

Productos, cocientes y sumas de radicales

Para índice par y \(a,b\ge0\), el número \(\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}\) es no negativo. Su potencia \(n\) vale \(ab\) por la ley de la potencia de un producto. La unicidad obliga a que sea \(\sqrt[n]{ab}\). Si \(b>0\), el cociente de las raíces es no negativo, está definido y su potencia vale \(a/b\); de nuevo es la raíz principal. Si el índice es impar, la raíz es única en toda la recta y los mismos argumentos admiten cualquier signo de los radicandos, exigiendo \(b\ne0\) en el cociente.

Con \(y\ge0\), ambos factores de \(x^2y\) admiten raíz cuadrada real, y las reglas anteriores dan

\[\sqrt{x^2y}=\sqrt{x^2}\sqrt y=|x|\sqrt y.\]

No afirmamos que \(y\ge0\) caracterice por sí sola todo el dominio de la expresión de la izquierda: cuando \(x=0\) pueden aparecer otros casos. Es la hipótesis suficiente que permite separar ambos radicales tal como están escritos.

La distributividad permite reunir radicales iguales: \(u\sqrt a+v\sqrt a=(u+v)\sqrt a\) para \(a\ge0\). No se suman los radicandos. Por otra parte, la diferencia de cuadrados aplicada a \(\sqrt a\) y \(b\) da

\[(\sqrt a-b)(\sqrt a+b)=a-b^2,\qquad a\ge0.\]

Para racionalizar una fracción mediante ese producto, el denominador original y el factor por el que se amplifica deben ser no nulos. La identidad por sí sola no autoriza a multiplicar una fracción por una expresión que no sea una forma válida de uno.

Exponentes racionales sin ambigüedad

Para \(a>0\), \(m\in\mathbb Z\) y \(n\ge1\) entero, definimos \(a^{m/n}=(\sqrt[n]{a})^m\); para \(n=1\) entendemos \(\sqrt[1]{a}=a\). La raíz es positiva, de modo que también admite los exponentes enteros negativos. Hay que comprobar que elegir otro representante del mismo racional no cambia el valor.

Si \(m/n=p/q\), con \(n,q>0\), entonces \(mq=pn\). Los positivos \(u=(\sqrt[n]{a})^m\) y \(v=(\sqrt[q]{a})^p\) satisfacen

\[u^{nq}=a^{mq}=a^{pn}=v^{nq}.\]

Se usaron únicamente leyes de exponentes enteros. La monotonía de la potencia de exponente \(nq\) en los positivos obliga a \(u=v\). La definición depende, por tanto, del racional y no de la fracción elegida.

Para probar el producto escribimos \(r=M/N\), \(s=P/N\) con un denominador común positivo y ponemos \(w=\sqrt[N]{a}\). Entonces

\[a^ra^s=w^Mw^P=w^{M+P}=a^{r+s}.\]

La ley entera vale también si \(M\) o \(P\) es negativo. El caso \(s=-r\) muestra que \(a^{-r}\) es el inverso de \(a^r\), y de ahí \(a^r/a^s=a^{r-s}\).

Para la potencia de una potencia, escribimos \(r=m/n\), \(s=p/q\) con denominadores positivos. El positivo \(z=(a^{m/n})^{p/q}\) satisface \(z^q=(a^{m/n})^p\). Al elevar a \(n\) y usar leyes enteras,

\[z^{nq}=((a^{m/n})^n)^p=(a^m)^p=a^{mp}.\]

El positivo \(a^{mp/(nq)}\) tiene la misma potencia \(nq\); la unicidad demuestra \((a^r)^s=a^{rs}\). No se aplicó la ley que queríamos demostrar a una base negativa.

Si \(a,b>0\) y \(r=m/n\), los positivos \((ab)^r\) y \(a^rb^r\) tienen potencia \(n\) igual a \((ab)^m=a^mb^m\). Son iguales por unicidad. El cociente sigue de \((a/b)^rb^r=a^r\) y de que \(b^r\ne0\).

Añadimos por definición \(0^r=0\) para racionales positivos \(r\). Sus representantes reducidos tienen numerador positivo, por lo que la raíz de cero elevada a ese entero también da cero. Los exponentes cero o negativos permanecen excluidos para esa base.

Para \(a<0\), la obra adopta la siguiente convención: se reduce \(m/n\) con \(n>0\); si \(n\) es impar, se usa \((\sqrt[n]{a})^m\); si \(n\) es par, no se asigna un valor real. La fracción reducida es única. Esta convención define valores, pero no demuestra para ellos todas las leyes anteriores. De hecho, \((({-1})^2)^{1/2}=1\), mientras que \((-1)^{2(1/2)}=-1\). La base positiva es una hipótesis efectiva de la ley general de composición.

Orden al cambiar el exponente

Si \(a>1\) y \(r<s\) son racionales, la ley del cociente da \(a^s/a^r=a^{s-r}\). Escribimos \(s-r=m/n>0\) con \(m,n\) positivos. La raíz \(a^{1/n}\) supera uno, pues un número positivo no mayor que uno tendría potencia \(n\) no mayor que uno. Su potencia \(m\) también supera uno. Por tanto \(a^s/a^r>1\) y, como \(a^r>0\), resulta \(a^s>a^r\).

Si \(0<a<1\), la base \(1/a\) supera uno. Para ella acabamos de probar \((1/a)^r<(1/a)^s\). Estos números son \(1/a^r\) y \(1/a^s\); invertir positivos invierte el orden, por lo que \(a^r>a^s\). Para \(a=1\) las raíces positivas y todas sus potencias racionales valen uno. Por último, las raíces de índice fijo conservan el orden en su dominio: una comparación contraria entre sus valores contradiría la monotonía de sus potencias, ya demostrada.

Escalas decimales y unidades

La existencia de la notación científica usa que las potencias de diez pueden superar cualquier cantidad. Primero, los naturales no están acotados en los reales: si tuvieran supremo \(s\), habría un natural \(n>s-1\), y entonces el natural \(n+1>s\) contradiría esa cota. Por inducción, \(10^n\ge n+1\) para todo natural \(n\). Las potencias de diez tampoco están, pues, acotadas. Sus recíprocos pueden hacerse menores que cualquier positivo: basta superar su inverso con una potencia de diez.

Dado \(x\ne0\), elegimos un natural \(N\) con \(10^{-N}\le|x|<10^N\). En la lista finita de enteros entre \(-N\) y \(N\) hay un mayor \(k\) que cumple \(10^k\le|x|\). Su elección asegura \(|x|<10^{k+1}\). Tomamos \(c=x/10^k\) y obtenemos \(x=c10^k\), con \(1\le|c|<10\).

Si \(c10^k=d10^\ell\) fueran dos formas normalizadas y \(k<\ell\), tendríamos \(|c|=|d|10^{\ell-k}\ge10\), contradicción. Intercambiando los exponentes se excluye \(k>\ell\), de modo que \(k=\ell\) y después \(c=d\). El cero no admite un coeficiente normalizado de magnitud al menos uno; se escribe simplemente cero.

Las reglas de cálculo son consecuencias de las potencias enteras y de la distributividad:

\[\begin{aligned} (c10^k)(d10^\ell)&=cd\,10^{k+\ell},\\ \frac{c10^k}{d10^\ell}&=\frac cd\,10^{k-\ell}\quad(d\ne0),\\ c10^k+d10^k&=(c+d)10^k. \end{aligned}\]

Para sumar escalas distintas se puede sustituir \(d10^\ell\) por \((d10^{\ell-k})10^k\), igualdad que vuelve a usar la ley del producto. La normalización se aplica después y no modifica el valor.

Si una conversión exacta afirma \(1\,U=10^k\,V\), elevar ambos miembros a un entero positivo \(n\) da \((1\,U)^n=10^{kn}\,V^n\). Esto prueba por qué se eleva también el factor de conversión en áreas o volúmenes. La relación inicial entre unidades se adopta por su definición; el álgebra explica su consecuencia para unidades elevadas.

Truncación, redondeo y cifras significativas

Sea \(u>0\) el tamaño de la posición que conservamos. Para \(x\ge0\) existe un entero \(k\ge0\) tal que \(ku\le x<(k+1)u\): se busca el último múltiplo que no supera \(x\), usando que los naturales no están acotados. La truncación hacia cero es \(t=ku\), por lo que \(0\le x-t<u\). Para \(x<0\) truncamos \(|x|\) y restituimos el signo; la distancia es la misma. Así \(|x-t|<u\) en ambos casos.

Entre dos múltiplos consecutivos \(ku\) y \((k+1)u\), el punto medio es \((k+1/2)u\). Si \(x\) está a su izquierda, la distancia al múltiplo izquierdo no supera \(u/2\); si está a su derecha, ocurre lo mismo con el derecho. En el punto medio ambas distancias valen \(u/2\). Por ello todo redondeo al múltiplo más cercano satisface \(|x-r|\le u/2\). Elegir en los empates el que se aleja del cero es la convención de este libro; la cota vale con cualquiera de las dos elecciones.

Para \(x\ne0\), la normalización determina \(k\) por \(10^k\le|x|<10^{k+1}\). La primera cifra significativa ocupa el lugar \(10^k\), la segunda el \(10^{k-1}\) y la cifra \(s\), con \(s\ge1\) entero, el lugar \(u=10^{k-s+1}\). Redondear a ese múltiplo conserva las posiciones deseadas; si hay acarreo, se comunica la cantidad de cifras mediante la escritura final. Esta es una consecuencia del valor posicional decimal. No demuestra por sí sola que un instrumento tenga una incertidumbre de ese tamaño.

Errores y cotas relativas seguras

El error absoluto se define por \(E_{\mathrm{abs}}=|a-x|\), donde \(x\) es el valor exacto y \(a\) la aproximación. Si \(x\ne0\), el relativo se define por \(E_{\mathrm{rel}}=|a-x|/|x|\). El primero conserva unidades y el segundo divide magnitudes de la misma unidad. Expresarlo como porcentaje es multiplicar por cien.

Para \(\delta\ge0\), la definición de valor absoluto da

\[|x-a|\le\delta\quad\Longleftrightarrow\quad a-\delta\le x\le a+\delta.\]

Si \(\delta=0\), ambos miembros de la equivalencia exigen \(x=a\); si \(\delta>0\), es la caracterización de distancia ya demostrada.

Supongamos además que \(|a|>\delta\). La desigualdad triangular aplicada a \(a=(a-x)+x\) da \(|a|\le|a-x|+|x|\), de donde

\[|x|\ge|a|-|a-x|\ge|a|-\delta>0.\]

El numerador del error relativo no supera \(\delta\) y el denominador no baja de \(|a|-\delta\). La comparación de cocientes positivos prueba

\[E_{\mathrm{rel}}\le\frac{\delta}{|a|-\delta}.\]

La separación del cero permite dividir y garantiza una cota finita. Sustituir el denominador por \(|a|\), que puede ser mayor que \(|x|\), no conserva automáticamente esa garantía.

Intervalos bajo las operaciones

Sean \(x\in[a,b]\) e \(y\in[c,d]\), con \(a\le b\) y \(c\le d\). Sumar desigualdades compatibles da \(a+c\le x+y\le b+d\). Multiplicar \(c\le y\le d\) por menos uno produce \(-d\le-y\le-c\); sumando las cotas de \(x\), obtenemos \(a-d\le x-y\le b-c\).

Para el producto fijamos primero \(y\). Si \(y>0\), el valor \(xy\) queda entre \(ay\) y \(by\); si \(y<0\), el orden de esos extremos se invierte; si \(y=0\), los tres son cero. Al variar luego \(y\) entre \(c\) y \(d\), cada expresión \(ay\) y \(by\) queda entre sus valores en los extremos, cualquiera que sea el signo de \(a\) o \(b\). En consecuencia, \(xy\) está entre el menor y el mayor de

\[ac,\quad ad,\quad bc,\quad bd.\]

No se ha supuesto que \(x\) e \(y\) puedan elegirse libremente: la cota es segura incluso si existe una relación entre ellos. Esa relación puede impedir que se alcancen algunos extremos y permitir una cota mejor.

Si el intervalo del denominador no contiene cero, sus extremos tienen el mismo signo. La regla de recíprocos da

\[\frac1d\le\frac1y\le\frac1c\]

tanto para \(0<c\le y\le d\) como para \(c\le y\le d<0\). Si un extremo coincide con el otro no hay dificultad: el intervalo es un punto no nulo. Multiplicar este intervalo recíproco por el del numerador mediante las cuatro esquinas da una cota para el cociente. En particular, si \(0<a\le x\le b\) y \(0<c\le y\le d\), todos los valores son positivos y queda \(a/d\le x/y\le b/c\).

Si el intervalo contiene cero, la inversión completa no está definida. Incluso quitando cero, puede no haber cota finita: en un intervalo con positivos arbitrariamente pequeños, los inversos pueden superar cualquier número dado. Por eso no basta afirmar que el denominador efectivo es distinto de cero; necesitamos una separación positiva del cero para garantizar una envolvente finita.

Propagación determinista de errores

Supongamos \(|x-a|\le\alpha\), \(|y-b|\le\beta\) con \(\alpha,\beta\ge0\). Para la suma,

\[|(x+y)-(a+b)|=|(x-a)+(y-b)|\le\alpha+\beta.\]

Para la resta reemplazamos \(y-b\) por su opuesto, que tiene el mismo valor absoluto, y obtenemos la misma cota. Se usó la desigualdad triangular, sin hipótesis probabilísticas.

Escribimos \(x=a+e\), \(y=b+f\), con \(|e|\le\alpha\), \(|f|\le\beta\). La distributividad da exactamente

\[xy-ab=af+be+ef.\]

La desigualdad triangular y la multiplicatividad del valor absoluto permiten acotar cada término:

\[|xy-ab|\le |a|\beta+|b|\alpha+\alpha\beta.\]

El último término procede del producto \(ef\) y no desaparece por el hecho de que las perturbaciones sean pequeñas. Si \(ab\ne0\), dividimos por \(|ab|=|a||b|>0\) y resulta

\[\frac{|xy-ab|}{|ab|}\le\frac{\alpha}{|a|}+\frac{\beta}{|b|}+\frac{\alpha\beta}{|ab|}.\]

El denominador de esta comparación es el producto central. El error relativo respecto del producto exacto usaría \(|xy|\) y exigiría comprobar que \(xy\ne0\) y controlar ese denominador. No son la misma afirmación.

Recíprocos y una aproximación radical

Con \(x\ne0\) y \(x+h\ne0\), llevar las fracciones al denominador común da

\[\frac1{x+h}-\frac1x=\frac{-h}{x(x+h)}.\]

Tomar valores absolutos, usando las propiedades del producto y del cociente, prueba

\[\left|\frac1{x+h}-\frac1x\right|=\frac{|h|}{|x|\,|x+h|}.\]

La identidad muestra cómo intervienen los denominadores en la sensibilidad de un recíproco.

Para \(t\ge0\), ponemos \(z=\sqrt{1+t}\ge1\). De \(z^2=1+t\) se obtiene

\[1+\frac t2-z=\frac{z^2+1-2z}{2}=\frac{(z-1)^2}{2}\ge0.\]

Además, \((z-1)(z+1)=t\) y \(z+1\ge2\), de modo que \(z-1=t/(z+1)\). Sustituir permite expresar y acotar exactamente el error:

\[0\le1+\frac t2-\sqrt{1+t}=\frac{t^2}{2(\sqrt{1+t}+1)^2}\le\frac{t^2}{8}.\]

La última desigualdad usa un denominador al menos igual a ocho. La prueba vale para todo \(t\ge0\); la utilidad numérica se decide comparando \(t^2/8\) con la precisión que necesitamos.

Punto medio y bisección

Si \(a\le x\le b\) y \(m=(a+b)/2\), restar \(m\) deja

\[-\frac{b-a}{2}\le x-m\le\frac{b-a}{2}.\]

Por la caracterización del valor absoluto, \(|x-m|\le(b-a)/2\). En consecuencia, un intervalo de ancho no mayor que \(2\varepsilon\), con \(\varepsilon>0\), garantiza error del punto medio no mayor que \(\varepsilon\).

Para encerrar \(\sqrt A\) con \(A\ge0\), se parte de cotas no negativas \(a,b\) que satisfacen \(a^2\le A\le b^2\). La monotonía del cuadrado permite conservar \([m,b]\) si \(m^2<A\), o \([a,m]\) si \(m^2>A\). Si hay igualdad, se conoce ya la raíz. En cada paso que continúa, el ancho se divide por dos; por inducción, tras \(n\) pasos el ancho inicial \(w\) es \(w/2^n\). Aplicar la cota del punto medio al intervalo final da \(w/2^{n+1}\).

Si se encuentra antes la raíz exacta, se puede detener el procedimiento con error cero; también se puede conservar el intervalo puntual, que cumple una cota aún mejor. La fórmula del ancho describe los pasos de división efectiva y no obliga a seguir calculando después de hallar la raíz.

Distributividad, signos y términos semejantes

La distributividad es uno de los axiomas adoptados al inicio. Sus formas con resta se deducen de la suma y los opuestos:

\[a(b-c)=a(b+(-c))=ab+a(-c)=ab-ac.\]

Con \(a=-1\), obtenemos \(-(b+c)=-b-c\) y \(-(b-c)=-b+c\). La sustitución es válida incluso cuando algún término es cero o negativo.

Reunir términos semejantes recorre la distributividad en sentido inverso: \(au+bu=(a+b)u\). La cantidad \(u\) representa la parte completa que se repite. Lo mismo permite extraer un factor común: \(ab+ac=a(b+c)\). Estas son identidades de expresiones y siguen valiendo cuando el factor común se anula; no se ha dividido por él.

Si la expresión común es un binomio, se trata como un solo factor:

\[u(v+w)+z(v+w)=(u+z)(v+w).\]

Primero se aplica distributividad a \(u\) y \(z\) con el factor \(v+w\); no es necesario desarrollar ese factor para justificar la igualdad.

Productos de binomios, cuadrados y cubos

Aplicar dos veces la distributividad prueba el producto general:

\[\begin{aligned} (a+b)(c+d)&=a(c+d)+b(c+d)\\ &=ac+ad+bc+bd. \end{aligned}\]

Elegir \(c=a\), \(d=b\) y usar \(ab=ba\) produce \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Sustituir \(b\) por \(-b\) da \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\), porque \((-b)^2=b^2\). Para el producto de conjugados,

\[(a+b)(a-b)=a^2-ab+ba-b^2=a^2-b^2.\]

Estos desarrollos sirven para cualesquiera reales \(a,b\), sin depender de una interpretación por áreas positivas.

El cubo se obtiene multiplicando el cuadrado por la misma suma:

\[\begin{aligned} (a+b)^3&=(a^2+2ab+b^2)(a+b)\\ &=a^3+a^2b+2a^2b+2ab^2+ab^2+b^3\\ &=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3. \end{aligned}\]

Cambiar \(b\) por \(-b\) conserva los términos con potencia par de \(b\) y cambia los de potencia impar, de donde

\[(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3.\]

La forma desarrollada y la forma producto son iguales; por eso estas identidades pueden usarse también para factorizar un polinomio que tenga exactamente esos términos.

Sumas de cubos y reconstrucción de factores

Para la diferencia de cubos desarrollamos y cancelamos:

\[\begin{aligned} (a-b)(a^2+ab+b^2) &=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3\\ &=a^3-b^3. \end{aligned}\]

Sustituir \(b\) por \(-b\) en esta igualdad da \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\). Los signos del factor cuadrático proceden de esa sustitución; no se eligen para hacer parecido el resultado.

Si buscamos dos factores lineales mónicos, el producto general proporciona

\[(x+p)(x+q)=x^2+px+qx+pq=x^2+(p+q)x+pq.\]

Para reconstruir un trinomio de esa forma, la suma \(p+q\) debe coincidir con el coeficiente de \(x\) y el producto \(pq\) con el término constante. Encontrar solo uno de los dos datos no verifica una factorización. Esta identidad no asegura que los números \(p,q\) existan en el conjunto de coeficientes que se haya elegido.

Por ejemplo, \(x^2-2=(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)\) es una factorización real porque \(\sqrt2\) existe y tiene cuadrado dos. En cambio, \(x^2+1\ge1\) para todo real \(x\). Un factor lineal real no constante \(ax+b\), con \(a\ne0\), se anularía en \(x=-b/a\) y obligaría al producto a valer cero allí. Esto contradice la positividad. La afirmación depende de que se pidan factores lineales reales no constantes.

Completar cuadrados y localizar extremos

Del cuadrado de una suma, con \(h=b/2\), resulta \((x+b/2)^2=x^2+bx+b^2/4\). Restar la constante añadida y sumar \(c\) prueba

\[x^2+bx+c=(x+b/2)^2+c-b^2/4.\]

Para un coeficiente principal \(a\ne0\), extraemos primero \(a\) de los dos primeros términos y aplicamos la misma identidad dentro del paréntesis:

\[\begin{aligned} ax^2+bx+c &=a\left(x^2+\frac ba x\right)+c\\ &=a\left[\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}\right]+c\\ &=a\left(x+\frac b{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}. \end{aligned}\]

Si \(a>0\), el primer término de la última expresión es no negativo. Por tanto la constante exterior es una cota inferior y se alcanza exactamente cuando el cuadrado se anula, en \(x=-b/(2a)\). Es el mínimo. Si \(a<0\), el término es no positivo: la misma constante es el máximo y se alcanza en el mismo valor de \(x\). Si \(a=0\), las divisiones de la fórmula no existen y se debe volver a la expresión lineal o constante inicial.

Cancelación y dominio de una expresión

La igualdad de cocientes ya probada da \(ab/(ac)=b/c\) cuando \(a,c\ne0\). También puede verse multiplicando la fracción por \(a^{-1}/a^{-1}\), que vale uno. Si \(a\) es una expresión en una variable, los valores que la anulan estaban excluidos del cociente original y siguen excluidos al describirlo mediante la fórmula reducida.

Por ejemplo, \(x^2-9=(x-3)(x+3)\) permite escribir

\[\frac{x^2-9}{x-3}=x+3\qquad(x\ne3).\]

A la derecha podemos sustituir tres, pero esa sustitución no adquiere sentido en el cociente original. Las fórmulas coinciden en el dominio original; prolongar el valor al punto excluido define una función de dominio mayor. Esta distinción explica por qué una simplificación conserva valores sin rellenar automáticamente los huecos del problema.

Ecuaciones lineales y restricciones del dominio

Fijemos un dominio \(D\) en el que las expresiones estén definidas. Si \(F(x)=G(x)\), sumar \(H(x)\) conserva la igualdad; restarlo recupera la condición inicial. Si además \(H(x)\ne0\) para todo \(x\in D\), multiplicar por \(H(x)\) tiene como operación inversa multiplicar por \(1/H(x)\). Esto demuestra la equivalencia en todo \(D\). Cuando \(H\) puede anularse, la equivalencia solo queda establecida en el subconjunto donde no se anula. En los otros puntos hay que examinar la condición original.

Para \(ax=b\), con \(a\ne0\), multiplicar por \(1/a\) produce \(x=b/a\). Sustituir ese valor da \(a(b/a)=b\), y cualquier solución debe tener ese mismo valor. Si \(a=0\), el miembro izquierdo vale cero para todo real: cuando \(b=0\) todos sirven y cuando \(b\ne0\) ninguno sirve. Si \(a\) y \(b\) dependen de un parámetro, aplicamos el razonamiento para cada valor del parámetro donde ambos coeficientes existen. La clasificación es puntual y exhaustiva.

Sea \(S\) el conjunto obtenido al resolver una condición algebraica en un dominio amplio \(D\), y sea \(C\subseteq D\) la restricción del contexto. Un valor es admisible precisamente cuando pertenece a \(S\) y a \(C\). Por definición de intersección, el conjunto solicitado es \(S\cap C\). Una cancelación puede proporcionar una expresión definida en un conjunto más amplio; eso no cambia el dominio de la pregunta inicial.

Inecuaciones, conjuntos y análisis por casos

Para reales definidos \(F,G,H\), la condición \(F<G\) equivale a \(G-F>0\). La diferencia \((G+H)-(F+H)\) es la misma, de modo que sumar \(H\) conserva la condición. Si \(H>0\), el producto \(H(G-F)\) es positivo exactamente cuando \(G-F\) lo es: la implicación inversa se obtiene multiplicando por el positivo \(1/H\). Por tanto, multiplicar por \(H\) conserva el sentido. Si \(H<0\), el producto \(H(G-F)\) es negativo exactamente cuando \(G-F\) es positivo, y el sentido se invierte. Para desigualdades no estrictas añadimos el caso de diferencia cero; como \(H\ne0\), ese caso se conserva en ambos sentidos.

Si \(H\) depende de la incógnita y cambia de signo, particionamos el dominio en \(H>0\), \(H<0\) y \(H=0\). Las dos primeras partes admiten las reglas anteriores. En la tercera no dividimos: comprobamos la condición original. Para \(ax\le b\), esto da \(x\le b/a\) si \(a>0\), \(x\ge b/a\) si \(a<0\), y la condición constante \(0\le b\) si \(a=0\). Cada real del dominio pertenece a exactamente una de esas tres partes, por lo que la unión de las soluciones encontradas es completa.

Sean \(S_P=\{x\in D:P(x)\}\) y \(S_Q=\{x\in D:Q(x)\}\). Un valor satisface «\(P\) y \(Q\)» exactamente cuando pertenece a ambos conjuntos; esa es la definición de \(S_P\cap S_Q\). Satisface «\(P\) o \(Q\)», con disyunción inclusiva, exactamente cuando pertenece por lo menos a uno de los conjuntos; esa es la definición de \(S_P\cup S_Q\). Las bandas compuestas se obtienen aplicando esta interpretación a sus dos desigualdades.

En un cociente \(N(x)/D(x)\) solo consideramos puntos con \(D(x)\ne0\). Dentro de ellos el cociente es cero si y solo si \(N(x)=0\), pues multiplicar por \(D(x)\) es reversible. Por ello, una desigualdad no estricta que admita el valor cero puede incluir los ceros del numerador, pero nunca los del denominador. Los signos de los productos y cocientes se justificaron antes desde el orden. Para factores lineales, \(ax+b=a(x+b/a)\) cuando \(a\ne0\): a cada lado de su raíz, el signo del segundo factor es constante. Así queda justificado el análisis por intervalos empleado en el capítulo.

Distancias y condiciones con valor absoluto

Por definición, \(\lvert u\rvert=u\) cuando \(u\ge0\) y \(\lvert u\rvert=-u\) cuando \(u<0\). En ambos casos es no negativo. Si \(r>0\), pedir \(\lvert u\rvert=r\) conduce a \(u=r\) en la primera rama y a \(u=-r\) en la segunda; ambos valores sirven. Para \(r=0\), las dos ramas se reducen a \(u=0\). Para \(r<0\), ninguna puede alcanzar el radio propuesto.

Si \(r\ge0\), la condición \(\lvert u\rvert\le r\) equivale, en la rama \(u\ge0\), a \(0\le u\le r\), y en la rama \(u<0\), a \(-r\le u<0\). Su unión es \(-r\le u\le r\). Con desigualdad estricta y \(r>0\) obtenemos \(-r<u<r\). Si el umbral es negativo, ni siquiera el valor cero puede cumplir \(\lvert u\rvert\le r\); si es cero, la versión estricta tampoco tiene solución.

Para \(r\ge0\), el complemento en \(\mathbb R\) de la banda cerrada \([-r,r]\) es \((-\infty,-r)\cup(r,\infty)\). Esto prueba la regla de \(\lvert u\rvert>r\). Si \(r>0\), el complemento de la banda abierta \((-r,r)\) prueba \(\lvert u\rvert\ge r\). Cuando \(r=0\), esta última condición es verdadera para todo real, y también lo es la unión \(u\le0\) o \(u\ge0\). Si \(r<0\), tanto \(\lvert u\rvert>r\) como \(\lvert u\rvert\ge r\) se cumplen siempre. Quedan incluidos todos los signos del radio.

De \(ax+b=a(x+b/a)\), con \(a\ne0\), y de la regla ya probada \(\lvert uv\rvert=\lvert u\rvert\lvert v\rvert\), resulta \(\lvert ax+b\rvert=\lvert a\rvert\lvert x+b/a\rvert\). El centro geométrico es \(-b/a\), pues \(x+b/a=x-(-b/a)\).

Finalmente, \(\lvert u\rvert^2=u^2\) y \(\lvert v\rvert^2=v^2\). Si los valores absolutos son iguales, entonces \(u^2-v^2=0\), y factorizar da \((u-v)(u+v)=0\). Por el producto nulo, \(u=v\) o \(u=-v\). Recíprocamente, cualquiera de estas igualdades da valores absolutos iguales, porque \(\lvert-v\rvert=\lvert v\rvert\). La prueba no supone que \(u\) o \(v\) sean constantes; vale en cada punto donde las expresiones son reales.

Transformaciones y candidatos espurios

La igualdad \(u=v\) implica \(u^2=v^2\) al multiplicar iguales por iguales. La condición cuadrada equivale a \((u-v)(u+v)=0\) y, por tanto, a \(u=v\) o \(u=-v\). La rama adicional explica por qué elevar al cuadrado puede agregar candidatos. Si sabemos que \(u,v\ge0\), la rama \(u=-v\) solo es posible cuando ambos son cero, que ya pertenece a \(u=v\). Así, cuadrar es reversible entre dos cantidades no negativas.

Si \(\sqrt{F}=G\), la definición de raíz principal garantiza \(G\ge0\) y, al cuadrar, \(F=G^2\). Recíprocamente, si \(F=G^2\) y \(G\ge0\), entonces \(F\ge0\), la raíz principal existe y su unicidad da \(\sqrt F=G\). Esto prueba la equivalencia completa, sin omitir la condición de signo. Para expresiones \(F(x),G(x)\) la aplicamos en cada punto donde son reales y conservamos cualquier exclusión previa del dominio.

Cuando solo usamos una implicación para transformar una ecuación, toda solución original aparece entre los candidatos de la ecuación transformada. Comprobar cada candidato en la condición original elimina los valores añadidos y conserva todos los verdaderos. El argumento exige haber resuelto completamente la condición transformada; comprobar unos pocos valores elegidos no demuestra que la lista sea exhaustiva.

Equivalencia de sistemas y operaciones de filas

Fijemos un dominio de pares reales en el que todas las expresiones estén definidas. El conjunto solución de un sistema es la intersección de los conjuntos solución de sus ecuaciones: pertenecer a él significa satisfacer cada una. Cambiar el orden de los requisitos conserva esa intersección. Multiplicar una ecuación por un real \(c\ne0\) es reversible al multiplicarla después por \(1/c\); por tanto, conserva las soluciones de esa ecuación y del sistema completo. El argumento se aplica punto a punto si el factor depende de un parámetro, pero solo en la rama donde no se anula.

Escribamos dos ecuaciones como \(F_1=G_1\), \(F_2=G_2\). Conservar la primera y reemplazar la segunda por \(F_2+cF_1=G_2+cG_1\) conserva toda solución inicial, porque sumar igualdades produce una igualdad. Para regresar, restamos \(c\) veces la primera ecuación de la nueva segunda. Recuperamos exactamente \(F_2=G_2\). No hemos dividido por \(c\), de modo que se permite cualquier valor real, incluido cero. Una suma aislada, sin la ecuación conservada, no permite esa recuperación y puede admitir soluciones adicionales.

Si una ecuación equivale en el dominio a \(y=f(x)\), toda solución del sistema cumple esa relación y, al sustituirla, satisface las ecuaciones restantes. Recíprocamente, un par que satisface la relación conservada y las ecuaciones sustituidas satisface las originales, pues allí \(y\) vale precisamente \(f(x)\). Así se prueba la equivalencia de la sustitución. Despejar mediante un coeficiente que puede anularse exige separar sus valores antes de invocar esta prueba.

Una matriz ampliada registra las mismas igualdades con un orden fijo de incógnitas. Intercambiar filas, escalar una fila por un número no nulo y sumar a una fila un múltiplo de otra tienen las operaciones inversas que acabamos de describir. Cada operación debe incluir la columna de constantes. Esta correspondencia demuestra que la reducción de filas conserva el conjunto solución; no presupone que la matriz de coeficientes tenga inversa.

Finalmente, si el contexto exige un dominio \(C\) más pequeño que el dominio algebraico \(D\), un par es admisible exactamente cuando satisface las ecuaciones y pertenece a \(C\). El conjunto buscado es, por definición, la intersección del conjunto solución algebraico con \(C\). Una coordenada negativa o no entera puede fallar esa condición aunque el par satisfaga todas las igualdades.

Determinante, existencia y clasificación de sistemas

Consideremos \(ax+by=e\), \(cx+dy=f\), con coeficientes reales, y escribamos \(D=ad-bc\). Multiplicar la primera igualdad por \(d\) y restar \(b\) veces la segunda da \(Dx=ed-bf\). Multiplicar la segunda por \(a\) y restar \(c\) veces la primera da \(Dy=af-ec\). Si \(D\ne0\), cualquier solución debe ser el par indicado por estas dos divisiones. Para probar que ese par existe, sustituimos: \[a\frac{ed-bf}{D}+b\frac{af-ec}{D} =\frac{aed-abf+abf-bec}{D}=\frac{e(ad-bc)}{D}=e.\] De la misma manera, \[c\frac{ed-bf}{D}+d\frac{af-ec}{D} =\frac{ced-cbf+daf-dec}{D}=\frac{f(ad-bc)}{D}=f.\] El par satisface las dos ecuaciones y es el único posible. La necesidad y la sustitución recíproca establecen existencia y unicidad sin suponer reversibles las combinaciones que pudieran contener multiplicadores cero.

Supongamos ahora \(D=0\) y \((a,b)\ne(0,0)\). Si \(a\ne0\), tomamos \(\lambda=c/a\). De \(ad=bc\) se deduce \(d=bc/a=\lambda b\), por lo que \((c,d)=\lambda(a,b)\). Si \(a=0\), entonces \(b\ne0\) y \(D=-bc=0\) obliga a \(c=0\); tomamos \(\lambda=d/b\) y obtenemos la misma proporcionalidad. Restar \(\lambda\) veces la primera ecuación de la segunda deja \(0=f-\lambda e\). Si \(f\ne\lambda e\), es imposible. Si \(f=\lambda e\), solo queda la primera ecuación. Esta admite una recta completa de soluciones: para \(b\ne0\), son \((t,(e-at)/b)\); para \(b=0\), necesariamente \(a\ne0\) y son \((e/a,t)\), siempre con \(t\in\mathbb R\). En ambas parametrizaciones hay infinitos pares distintos.

Si la primera fila es nula y la segunda no, intercambiarlas nos sitúa en el caso anterior. Si ambas son nulas, cada ecuación se reduce a \(0=e\) o \(0=f\). Cuando ambas constantes son cero, todo el plano satisface el sistema; si alguna no lo es, ningún punto lo satisface. Esto explica por qué la anulación de \(D\), \(ed-bf\) y \(af-ec\) no basta para declarar compatibilidad cuando toda la matriz de coeficientes es nula.

Cuando ambas ecuaciones representan rectas, esta clasificación algebraica describe exactamente su intersección. Un par común es un punto de las dos; una única condición efectiva describe la recta coincidente, y la incompatibilidad significa que no comparten ningún punto. El caso de todo el plano solo aparece al admitir las ecuaciones degeneradas, que no representan rectas.

Rectas, pendientes y relaciones afines

En la representación cartesiana, una recta por dos puntos distintos \(P=(x_1,y_1)\) y \(Q=(x_2,y_2)\) se describe como \[\{(x_1+t(x_2-x_1),\ y_1+t(y_2-y_1)):t\in\mathbb R\}.\] Esta caracterización expresa desplazamientos en una dirección fija. Si \(x_1=x_2\), la recta es vertical. Si \(x_1\ne x_2\), para cada abscisa \(x\) existe un único \(t=(x-x_1)/(x_2-x_1)\); al sustituir obtenemos \(y=y_1+m(x-x_1)\), con \(m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)\). Por tanto, la ecuación es \(y=mx+b\), donde \(b=y_1-mx_1\). Cualquier regla afín que pase por los dos puntos debe tener esa pendiente, pues restar \(y_1=mx_1+b\) a \(y_2=mx_2+b\) da \(m(x_2-x_1)=y_2-y_1\). La regla es única bajo la hipótesis de abscisas distintas.

Para \(ax+by=c\) con fila de coeficientes no nula, si \(b\ne0\) despejamos \(y=-(a/b)x+c/b\), que describe una recta no vertical por la caracterización anterior. Si \(b=0\), tenemos \(a\ne0\) y \(x=c/a\), una recta vertical. Con ambos coeficientes cero, en cambio, el conjunto es todo el plano o el vacío según la constante. Así quedan incluidos los casos que la forma \(y=mx+b\) no representa.

En una relación afín, restar \(y(x)=mx+b\) de \(y(x+h)=m(x+h)+b\) produce exactamente \(mh\). Para \(x_1<x_2\), la diferencia entre las ordenadas es \(m(x_2-x_1)\); el segundo factor es positivo, así que el signo de la diferencia es el signo de \(m\). Quedan demostrados el crecimiento para \(m>0\), el decrecimiento para \(m<0\) y la constancia para \(m=0\).

Al poner \(x=0\) obtenemos \((0,b)\). Si \(m\ne0\), resolver \(0=mx+b\) da el corte horizontal \((-b/m,0)\) y despejar la ecuación general da \(x=(y-b)/m\). Si el dominio original está restringido, solo se admiten los cortes o pares inversos que pertenezcan a él. Para \(m=0\), la relación es constante: tiene todo el eje horizontal como ceros si \(b=0\), y ningún cero si \(b\ne0\).

La gráfica completa pasa por el origen exactamente cuando \(b=0\), ya que sustituir \((0,0)\) da \(0=b\). Bajo esa condición, \(y=mx\) y, para \(x\ne0\), dividir produce \(y/x=m\). Recíprocamente, exigir esa razón constante para todo \(x\ne0\) de la regla afín completa fuerza \(b=0\). Las unidades de \(m\) son las unidades de \(y\) divididas por las de \(x\), y \(b\) conserva las unidades de \(y\), porque cada suma de la fórmula debe comparar cantidades homogéneas.

Parámetros y sensibilidad de un sistema

En el sistema \(x+y=s\), \(2x+(2+\varepsilon)y=2s+\delta\), restar dos veces la primera ecuación de la segunda es reversible y deja \(\varepsilon y=\delta\), conservando \(x+y=s\). Para \(\varepsilon\ne0\) obtenemos \(y=\delta/\varepsilon\) y \(x=s-\delta/\varepsilon\). Sustituir muestra que satisfacen la primera ecuación y que la segunda vale \(2(x+y)+\varepsilon y=2s+\delta\). No puede haber otro par porque cada coordenada ha quedado determinada.

Si \(\varepsilon=0\) y \(\delta=0\), la ecuación reducida es una identidad y queda la recta \((t,s-t)\), con \(t\in\mathbb R\). Si \(\varepsilon=0\) y \(\delta\ne0\), queda la contradicción \(0=\delta\). Estos casos agotan todos los parámetros reales y muestran la diferencia entre singularidad compatible e incompatible.

Con \(s\) y \(\varepsilon\ne0\) fijos, cambiar \(\delta\) por \(\delta+\Delta\delta\) produce \[\Delta y=\frac{\delta+\Delta\delta}{\varepsilon}-\frac{\delta}{\varepsilon}=\frac{\Delta\delta}{\varepsilon}.\] Como \(x=s-y\), resulta \(\Delta x=-\Delta y\). Por tanto, \(\lvert\Delta y\rvert=\lvert\Delta\delta\rvert/\lvert\varepsilon\rvert\): un \(\varepsilon\) pequeño puede amplificar el cambio. Esta identidad corresponde a la familia estudiada. El tamaño absoluto del determinante no mide por sí solo la estabilidad de cualquier sistema: escalar una ecuación modifica ese determinante sin cambiar las soluciones.

Factorización y ecuaciones de un cuadrado

El producto nulo real ya se dedujo de la existencia de inversos. Para un producto finito se aplica repetidamente: si el primer factor es no nulo, multiplicar por su inverso reduce la pregunta al producto de los restantes. Por inducción, el producto es cero si y solo si al menos un factor es cero. Por tanto, una identidad \(P(x)=A(x)B(x)\) permite describir los ceros de \(P\) como la unión de los ceros de sus factores, siempre dentro del dominio original. Un producto que procede de una fracción simplificada no restituye los puntos excluidos de esa fracción.

Si \(r>0\), existe una única raíz principal positiva \(\sqrt r\). La identidad \(u^2-r=(u-\sqrt r)(u+\sqrt r)\) y el producto nulo dan \(u^2=r\) si y solo si \(u=\sqrt r\) o \(u=-\sqrt r\). Para \(r=0\), \(u^2=0\) implica \(u=0\); para \(r<0\), la no negatividad de un cuadrado real impide la igualdad. Esta prueba establece exhaustividad de las ramas y evita confundir una raíz principal con todas las soluciones de una ecuación.

La sustitución \(u=x^2\) conserva la condición de que \(u\ge0\). Si \(x\) resuelve \(A(x^2)=0\), entonces \(u=x^2\) es un cero no negativo de \(A\). Recíprocamente, cada cero no negativo \(u\) de \(A\), junto con todas las soluciones reales de \(x^2=u\), produce soluciones de la ecuación inicial. Ambas implicaciones prueban la completitud del procedimiento. La intersección con las restricciones de un contexto se justifica por la definición de conjunto admisible, ya usada en las ecuaciones lineales.

Fórmula cuadrática y relaciones entre raíces

Para \(a\ne0\), desarrollar el cuadrado demuestra \[a\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}=ax^2+bx+c.\] Los denominadores existen. Multiplicar la ecuación por el número no nulo \(4a\) da la equivalencia con \((2ax+b)^2=\Delta\), donde \(\Delta=b^2-4ac\). Las tres posibilidades del signo de \(\Delta\) se reducen al apartado anterior. Para \(\Delta\ge0\), despejar \(2ax+b=\pm\sqrt\Delta\) da \(x=(-b\pm\sqrt\Delta)/(2a)\). Si \(\Delta>0\), la diferencia entre las dos expresiones es \(\sqrt\Delta/a\), no nula; si \(\Delta=0\), coinciden. Si \(\Delta<0\), no existe solución real.

Llamemos \(r,s\) a los dos valores de la fórmula cuando \(\Delta\ge0\), permitiendo que sean iguales. Sumarlos da \(r+s=-b/a\). Multiplicarlos da \[rs=\frac{b^2-\Delta}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac ca.\] Al desarrollar \(a(x-r)(x-s)\) y sustituir esas dos relaciones se recupera \(ax^2+bx+c\). Queda probada la factorización, incluida la raíz doble. Recíprocamente, cualquier factorización de esa forma obliga, por comparación de coeficientes, a las mismas relaciones de suma y producto. Estas afirmaciones se refieren a raíces reales en este tramo; no suponen raíces reales cuando el discriminante es negativo.

División de polinomios, restos y multiplicidad

El coeficiente de mayor grado de un producto de polinomios no nulos es el producto de sus coeficientes principales. Como los reales no tienen divisores de cero, ese coeficiente no se anula. Así, \(\deg(AB)=\deg A+\deg B\).

Sea \(D\) un divisor no nulo de grado \(m\). Si el polinomio actual tiene grado \(n\ge m\), restamos el múltiplo de \(D\) cuyo término principal coincide con el suyo: el cociente de los coeficientes principales multiplicado por \(x^{n-m}D\). El término de grado \(n\) se cancela y el grado disminuye, o el polinomio se vuelve cero. Sumamos los múltiplos utilizados en \(Q\). Como una sucesión estrictamente decreciente de grados no negativos solo tiene finitos pasos, obtenemos \(P=DQ+R\), con \(R=0\) o grado menor que \(m\). Si \(P=0\), tomamos \(Q=R=0\). El procedimiento también cubre un divisor constante no nulo: el resto final debe ser cero.

Para la unicidad, supongamos \(DQ_1+R_1=DQ_2+R_2\). Entonces \(D(Q_1-Q_2)=R_2-R_1\). Si \(Q_1-Q_2\) fuese no nulo, el miembro izquierdo tendría grado al menos \(m\). El derecho sería cero o tendría grado menor que \(m\), contradicción. Por tanto, \(Q_1=Q_2\) y después \(R_1=R_2\).

Para \(D(x)=x-r\), el resto es una constante \(c\). Sustituir \(x=r\) en la identidad da \(P(r)=c\). En consecuencia, \(P(r)=0\) si y solo si el resto es cero, equivalente a la existencia de un factor \(x-r\). La sustitución se hace en una identidad de polinomios definida para todo real; no requiere dividir por cero.

Un polinomio no nulo de grado cero no tiene ceros. Supongamos probada la cota para el grado \(n-1\). Si un polinomio de grado \(n\) no tiene ceros, la cota es inmediata. Si tiene uno, \(r\), el teorema del factor entrega \(P(x)=(x-r)Q(x)\) con \(\deg Q=n-1\). Todo cero distinto de \(r\) debe ser cero de \(Q\), pues su otro factor es no nulo. Hay a lo sumo \(n-1\) de esos ceros, y a lo sumo \(n\) en total. La inducción demuestra la cota para todos los grados. El polinomio cero se excluye porque se anula en todos los reales.

Para una raíz de un polinomio no nulo podemos dividir sucesivamente por \(x-r\) mientras el cociente se anule en \(r\). El grado disminuye en cada división, así que el proceso se detiene con un cociente \(Q\) tal que \(Q(r)\ne0\). El número de factores extraídos es la multiplicidad. Su unicidad se sigue de que, si dos exponentes distintos sirvieran, el cociente asociado al menor conservaría un factor \(x-r\) y se anularía en \(r\). Esta definición distingue el número de factores repetidos del número de raíces distintas; no afirma que todo polinomio se descomponga por completo en factores lineales reales.

Parámetros y cambios de grado

Fijado un parámetro, los coeficientes de \(a(k)x^2+b(k)x+c(k)=0\) son números reales. En los valores donde \(a(k)\ne0\) se aplica la clasificación cuadrática anterior. Donde \(a(k)=0\), la ecuación es \(b(k)x+c(k)=0\). Si \(b(k)\ne0\), dividir da la raíz única \(-c(k)/b(k)\). Si \(b(k)=0=c(k)\), la condición es una identidad y todo real sirve; si \(b(k)=0\), \(c(k)\ne0\), no sirve ninguno. Esta partición cubre todos los parámetros donde los coeficientes estén definidos.

En \(kx^2-2x+1=0\), para \(k\ne0\) la equivalencia con \((kx-1)^2=1-k\) se obtiene multiplicando por \(k\) y completando el cuadrado. En \(k=0\) esa multiplicación no es reversible, por lo que se conserva la ecuación lineal original. El caso con término \(+2x\) se comprueba mediante \((kx+1)^2=1-k\) en la misma rama regular. Así se justifica la precaución ante fórmulas que contienen el parámetro en un denominador.

Cuando una cuadrática tiene dos raíces reales con producto positivo, ninguna es cero y ambas tienen el mismo signo. La suma distingue cuál: una suma positiva obliga a que ambas sean positivas y una negativa, a que ambas sean negativas. Este argumento utiliza las relaciones entre raíces solo después de haber establecido que existen en los reales.

Los complejos como pares y las leyes de cuerpo

Definimos \(\mathbb C\) como el conjunto de pares reales, con igualdad por coordenadas, suma componente a componente y producto \((a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)\). La escritura \(a+bi\) representa ese par, y \(i=(0,1)\). Estas operaciones son definiciones; las leyes de cuerpo son consecuencias que verificamos a continuación.

La suma es conmutativa y asociativa por las leyes reales en cada coordenada. Su neutro es \((0,0)\) y el opuesto de \((a,b)\) es \((-a,-b)\). La multiplicación es conmutativa porque \(ac-bd=ca-db\) y \(ad+bc=cb+da\). El par \((1,0)\) es neutro multiplicativo. Para la asociatividad, sean \(z=(a,b)\), \(w=(c,d)\) y \(u=(e,f)\). Tanto \((zw)u\) como \(z(wu)\) tienen coordenadas \[ace-bde-adf-bcf,\qquad acf-bdf+ade+bce.\] La igualdad resulta al desarrollar y agrupar términos reales. Para la distributividad, las coordenadas de \(z(w+u)\) son \(a(c+e)-b(d+f)\) y \(a(d+f)+b(c+e)\); distribuir en los reales entrega exactamente las coordenadas de \(zw+zu\).

Si \((a,b)\ne(0,0)\), entonces \(a^2+b^2>0\). Multiplicar \((a,b)\) por \((a,-b)\) produce \((a^2+b^2,0)\). Por tanto, el par \[\left(\frac a{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2}\right)\] es un inverso multiplicativo, con denominador no nulo. Si \(zw=0\) y \(z\ne0\), multiplicar por su inverso da \(w=0\). Recíprocamente, un factor cero hace cero el producto. Queda probado el producto nulo complejo.

Los pares \((a,0)\) conservan la suma y el producto de los reales, por lo que los identificamos con ellos. El par \(i=(0,1)\) tiene cuadrado \((-1,0)\), escrito \(-1\). Si existiera un orden de cuerpo sobre los complejos, el cuadrado de todo número no nulo sería positivo: si el número es positivo, por compatibilidad del producto; si es negativo, aplicando lo mismo a su opuesto. Entonces \(i^2=-1\) sería positivo. Pero \(1\) es positivo en un cuerpo ordenado y su opuesto es negativo. La contradicción impide tal orden. El argumento no prohíbe ordenar pares con algún criterio convencional; demuestra que ese criterio no puede satisfacer las leyes de un cuerpo ordenado.

Fracciones algebraicas y operaciones en su dominio

Fijemos un argumento real en el que todos los denominadores indicados sean no nulos. Los valores de los polinomios son números reales, así que se aplican las reglas de fracciones ya demostradas. En particular, \(A/B=AB^{-1}\). El producto de un número no nulo por su inverso vale uno y permite cancelar un factor \(C\ne0\): \(AC/(BC)=A/B\), siempre con \(B\ne0\). Si \(C\) se anula en un argumento, la fracción inicial no existe allí; ninguna igualdad obtenida en otros argumentos le asigna un valor. Esta es la razón para conservar el dominio original después de cancelar.

El cociente vale cero exactamente cuando \(AB^{-1}=0\). Como \(B^{-1}\ne0\), el producto nulo equivale a \(A=0\). Distribuir \(C^{-1}\) sobre \(A+B\) demuestra \((A+B)/C=A/C+B/C\) para \(C\ne0\). El razonamiento cancela factores de productos completos y no sumandos separados.

Para \(B,D\ne0\), amplificar cada fracción por el otro denominador da \[\frac AB\pm\frac CD=\frac{AD\pm BC}{BD},\qquad \frac AB\frac CD=\frac{AC}{BD}.\] El producto \(BD\) es no nulo. Para dividir por \(C/D\) hace falta además \(C\ne0\); su inverso es \(D/C\) porque el producto vale uno. Se obtiene \((A/B)\div(C/D)=AD/(BC)\) bajo las tres condiciones \(B,D,C\ne0\). Finalmente, amplificar por \(H/H=1\) justifica \(A/B=AH/(BH)\) con \(H\ne0\). Si las letras representan expresiones compuestas, todas deben existir antes de aplicar estas reglas. Un denominador que desaparece de la escritura final sigue registrado en el dominio de la expresión compuesta original.

El dominio natural de \(P/Q\) es una definición de su evaluación como cociente real: comprende exactamente los argumentos con \(Q(x)\ne0\). Una restricción contextual \(C\) produce la intersección de ese dominio con \(C\). Simplificar conserva los valores de esa función en su dominio; extenderla a otros argumentos es una operación adicional.

Ecuaciones y signos de expresiones racionales

Sea \(D\) un dominio común donde \(F,G,H\) estén definidos y \(H(x)\ne0\). Si \(F(x)=G(x)\), multiplicar por \(H(x)\) conserva la igualdad. Recíprocamente, multiplicar \(H(x)F(x)=H(x)G(x)\) por \(1/H(x)\) recupera la primera. La equivalencia vale en cada argumento de \(D\). Si la ecuación resultante tiene conjunto solución \(S\) en un dominio mayor, los argumentos que responden a la pregunta inicial son exactamente \(S\cap D\). Una identidad en \(D\) admite todos sus argumentos y una contradicción no admite ninguno. No se ha afirmado equivalencia fuera de \(D\).

Para \(x\ne r\), cada factor \(x-r\) tiene signo positivo a la derecha de \(r\) y negativo a su izquierda. Un producto de un número par de factores negativos es positivo; uno de un número impar es negativo, por las leyes de signos. Por eso \((x-r)^m\) es positivo si \(m\) es par y conserva el signo de \(x-r\) si \(m\) es impar. Entre dos puntos consecutivos de la lista de raíces de factores lineales, la posición respecto de cada raíz es fija. Cada signo es constante allí y también lo es el signo del producto o cociente, siempre que el denominador sea no nulo. Una constante no nula aporta su propio signo. Un factor cuadrático sin raíces reales tiene signo constante: al completar cuadrados, para coeficiente principal positivo queda una cantidad estrictamente positiva y para coeficiente principal negativo, estrictamente negativa.

Para números no nulos \(a,b\), el inverso de \(b\) tiene el mismo signo que \(b\), como se probó en el apartado sobre orden. El cociente \(a/b=ab^{-1}\) es por tanto positivo exactamente cuando los signos coinciden y negativo cuando difieren. Para combinar estos argumentos no es necesario multiplicar la desigualdad por un factor cuyo signo se desconoce; se decide directamente el signo de la expresión en cada intervalo.

En un cero admisible del numerador, el cociente vale cero, por lo que satisface las desigualdades no estrictas y no satisface las estrictas contra cero. En un cero del denominador original no existe valor y ninguna desigualdad del problema lo admite. Una tabla que estudia solo intervalos abiertos debe completarse con el examen de esos puntos. Así se justifican tanto los extremos cerrados como los ceros aislados que aparecen cuando un factor par se anula.

Huecos y aproximaciones de una fracción

Precisamos el sentido de aproximarse a un número finito \(L\) cerca de \(r\): para cada tolerancia \(\varepsilon>0\) podemos elegir una distancia \(\delta>0\) tal que los argumentos del dominio con \(0<|x-r|<\delta\) cumplan \(|f(x)-L|<\varepsilon\). Si dos expresiones coinciden en todos esos argumentos, cumplen exactamente las mismas desigualdades. Por eso la sustitución por una fórmula equivalente en un entorno perforado conserva ese comportamiento. Asignar el valor \(L\) en el punto ausente construye la extensión que rellena el hueco; no cambia el dominio que tenía la expresión inicial.

Para \(f(x)=x+c\) salvo en \(r\), tomamos \(L=r+c\) y obtenemos \(|f(x)-L|=|x-r|\). Basta elegir \(\delta=\varepsilon\). Esto prueba los huecos de las rectas de los problemas y ejercicios. El argumento de una tabla que supone que otra función \(h\) se aproxima a \(L\) se reduce a transferir las mismas desigualdades donde \(f=h\); no afirma que cualquier función tenga una aproximación finita.

Sean \(A,B,r\) reales y \(B\ne0\). Para \(F(x)=A+B/(x-r)\), la desigualdad triangular implica \[|F(x)|\ge\frac{|B|}{|x-r|}-|A|.\] Dada cualquier cota \(M>0\), si \(0<|x-r|<|B|/(M+|A|)\), el miembro derecho es mayor que \(M\). Queda probado que el valor absoluto no tiene cota al acercarse a \(r\). El signo del término recíproco a cada lado, junto con el hecho de que domina a la constante, determina si la rama crece hacia valores positivos o negativos. Este es el comportamiento de la asíntota vertical usado en el capítulo.

Para la aproximación horizontal, la identidad exacta es \(|F(x)-A|=|B|/|x-r|\). Ante \(\varepsilon>0\), la condición \(|x-r|>|B|/\varepsilon\) hace la diferencia menor que \(\varepsilon\). Se cumple para todo \(|x|>|r|+|B|/\varepsilon\), porque \(|x-r|\ge|x|-|r|\). Así se demuestra la aproximación en ambas direcciones del eje. Si \(B=0\), la función es constante en su dominio y la diferencia ya es cero; no hay el polo demostrado bajo la hipótesis \(B\ne0\). El estudio de una asíntota horizontal no afirma, en general, ausencia de cortes con ella.

Dominio, igualdad de funciones y parámetros

Una función especifica un dominio, un conjunto de llegada o codominio y un único valor de ese codominio para cada argumento del dominio. Adoptamos que dos funciones son iguales cuando coinciden esos tres datos: dominio, codominio y asignación. Si \(g\) tiene un dominio mayor que \(f\), ambas comparten codominio y sus valores coinciden en el dominio de \(f\), la restricción de \(g\) a ese dominio es \(f\). En sentido inverso, \(g\) es una extensión de \(f\). Distinguir las operaciones permite usar una fórmula simplificada conservando el dominio original o declarar expresamente que se está definiendo una extensión.

Para \(r\) fijo, la identidad \((x^2-r^2)/(x-r)=x+r\) vale sobre \(x\ne r\). La ecuación con parámetro \((x^2-r^2)/(x-r)=k\) tiene candidato único \(x=k-r\). Es admisible si y solo si \(k-r\ne r\), equivalente a \(k\ne2r\). Si se cumple, sustituir da \(x+r=k\); si \(k=2r\), el único candidato está excluido y no hay solución. Este razonamiento general cubre los dos problemas de parámetros del capítulo y utiliza una identidad únicamente donde está definida.

Diferencias constantes y sumas aritméticas

Una sucesión asigna un valor a cada índice de su conjunto de posiciones. La recurrencia \(a_{n+1}=a_n+d\), junto con \(a_1\), define una progresión aritmética: determina sucesivamente cada término de manera única. Para probar \(a_n=a_1+(n-1)d\), comenzamos con \(n=1\), donde ambos miembros valen \(a_1\). Si la fórmula vale en \(n\), la recurrencia da \(a_{n+1}=a_1+(n-1)d+d=a_1+nd\). El principio de inducción extiende la fórmula a todos los enteros \(n\ge1\). Al restar las fórmulas de dos posiciones resulta \(a_n-a_m=(n-m)d\).

Sea \(S_n=a_1+\cdots+a_n\). Podemos escribir la misma suma en orden inverso. Al añadir ambas escrituras, cada una de las \(n\) columnas contiene \(a_k+a_{n+1-k}=2a_1+(n-1)d=a_1+a_n\). Por tanto, \(2S_n=n(a_1+a_n)\) y dividir entre dos da la fórmula. El argumento cuenta columnas de dos copias de la suma y vale también para \(n\) impar. Sustituir \(a_n\) da \(S_n=n[2a_1+(n-1)d]/2\).

Para \(a_1=1\) y \(d=2\), el último término es \(2n-1\) y la suma vale \(n^2\). La diferencia \(n^2-(n-1)^2=2n-1\) prueba además la construcción geométrica: una fila nueva de \(n\) casillas y una columna de \(n-1\) amplían el cuadrado de lado \(n-1\) al de lado \(n\).

Productos repetidos y sumas geométricas

La condición \(a_{n+1}=ra_n\) con \(a_1=a\) define una progresión geométrica y determina sus términos uno a uno. Si \(r=0\), el segundo término y todos los siguientes valen cero. Si \(r\ne0\), el caso inicial de \(a_n=ar^{n-1}\) usa \(r^0=1\); multiplicar la fórmula por \(r\) prueba el paso siguiente. Con índice inicial cero, el mismo argumento da \(u_n=u_0r^n\). Dividir la recurrencia entre \(a_n\) permite recuperar \(r\) solamente cuando \(a_n\ne0\). Si \(a=0\), todos los términos son cero y cualquier razón satisface la recurrencia.

Para \(a>0\) y \(r>0\), todos los términos son positivos y \(a_{n+1}-a_n=(r-1)a_n\) tiene el signo de \(r-1\). Así se prueban el crecimiento cuando \(r>1\) y el decrecimiento cuando \(0<r<1\). Una razón negativa invierte el signo de cada término no nulo, por las leyes del producto. La alternancia de signos impide deducir monotonía a partir del crecimiento de los valores absolutos.

Para \(n\ge1\), escribimos \(S_n=a+ar+\cdots+ar^{n-1}\), entendiendo el primer término como \(a\) aun si \(r=0\). Multiplicar por \(r\) y restar cancela todos los términos intermedios y produce \((1-r)S_n=a-ar^n\). Si \(r\ne1\), dividir entre \(1-r\) da \(S_n=a(1-r^n)/(1-r)\). Si \(r=1\), los \(n\) términos son iguales a \(a\) y la suma vale \(na\); no se divide entre cero. Para \(r\ne0\), los exponentes enteros de cero a \(m\) son \(m+1\) posiciones, por lo que la suma que termina en \(r^m\) corresponde a \(n=m+1\).

Capitalización y comparación de tasas

En el modelo simple, cada periodo añade el interés fijo \(Ci\) calculado sobre el capital inicial. La recurrencia \(C_{n+1}=C_n+Ci\), con \(C_0=C\), es aritmética y da \(C_n=C+nCi\). En el modelo compuesto, el interés de cada periodo se calcula sobre su saldo inicial: \(C_{n+1}=C_n+iC_n=(1+i)C_n\). La fórmula geométrica da \(C_n=C(1+i)^n\). Las tasas y las duraciones deben referirse al mismo periodo; movimientos o cargos adicionales cambian la recurrencia.

Con \(1+i>0\), encadenar \(m\) periodos multiplica el saldo por \((1+i)^m\). La definición de una tasa efectiva \(j\) para ese horizonte exige \(1+j=(1+i)^m\), de donde \(j=(1+i)^m-1\). Recíprocamente, dado \(j>-1\), el factor positivo único es \(1+i=\sqrt[m]{1+j}\). La raíz positiva es única porque las potencias de exponente entero positivo conservan estrictamente el orden de los números positivos, como se justifica al factorizar la diferencia de dos potencias. La existencia de esa raíz pertenece a la construcción de las raíces reales. Esta equivalencia supone periodos iguales y un mismo factor en cada uno.

Si un saldo inicial \(C>0\) compra \(C/P\) unidades a precio \(P>0\), después de las variaciones compra \(C(1+i)/[P(1+\pi)]\). Dividir esta cantidad por \(C/P\) da el factor de capacidad de compra \((1+i)/(1+\pi)\). Restar uno da su tasa de variación. Las condiciones \(i,\pi>-1\) conservan positivos el saldo y el precio. La resta \(i-\pi\) puede servir de aproximación para tasas pequeñas, pero la igualdad exacta es el cociente anterior.

Recurrencias de depósitos y deudas

Consideremos depósitos iguales \(A\ge0\), tasa \(i\ge0\) y factor \(q=1+i\). Con saldo inicial cero y depósitos al final de cada periodo, primero se capitaliza el saldo y después se añade el aporte: \(S_{n+1}=qS_n+A\). La fórmula \(S_n=A(1+q+\cdots+q^{n-1})\) vale para \(n=1\). Si vale en \(n\), multiplicarla por \(q\) y añadir \(A\) da exactamente la suma correspondiente a \(n+1\). La inducción prueba la fórmula para todo \(n\ge1\). La suma geométrica permite evaluarla; para \(q=1\), da \(nA\).

Cada depósito final crece durante tantos periodos como separen su fecha de la fecha de observación. Si adelantamos todos los aportes exactamente un periodo y mantenemos esa fecha final, cada contribución adquiere un factor adicional \(q\). Distribuir \(q\) en la suma de contribuciones prueba que el saldo total también se multiplica por \(q\). Esta afirmación compara el mismo número de aportes; contar un aporte adicional cambiaría la comparación.

En una deuda con cuotas finales, la recurrencia es \(D_{n+1}=qD_n-A\), con \(D_0=C\). La fórmula \[D_n=Cq^n-A(1+q+\cdots+q^{n-1})\] se prueba con el mismo paso inductivo: multiplicar por \(q\) añade una potencia a cada término y restar \(A\) completa la nueva suma. Mientras subsista la deuda, el interés del periodo es \(iD_n\); por eso \(D_{n+1}-D_n=iD_n-A\). Comparar \(A\) con ese interés decide si el saldo baja, se mantiene o sube. Si una cuota excede lo adeudado al final del periodo, el modelo de una deuda cancelada exige ajustar ese pago y detener la recurrencia.

Para cancelar exactamente en \(n\ge1\) periodos, imponemos \(D_n=0\). La suma \(1+q+\cdots+q^{n-1}\) es positiva, de modo que hay una única cuota \(A=Cq^n/(1+q+\cdots+q^{n-1})\). Para \(i>0\), usar la suma geométrica y \(q-1=i\) da \(A=Ci q^n/(q^n-1)\); el denominador es positivo. Para \(i=0\), la ecuación es \(C-nA=0\) y \(A=C/n\). Con \(C>0\) y la cuota exacta anterior, los saldos previos al último son positivos: sustituyendo \(C=A\sum_{j=0}^{n-1}q^j/q^n\) en la fórmula de \(D_k\) queda \(D_k=A\sum_{j=0}^{n-k-1}q^j/q^{n-k}>0\) para \(0\le k<n\). Así la cancelación ocurre en la fecha prevista. Redondear las cuotas modifica los saldos; el último pago debe calcularse desde el saldo efectivo, con la regla de redondeo declarada.

Aproximación de sumas geométricas infinitas

Decir que \(S_N\) tiende a \(S\) significa que para cada tolerancia \(\varepsilon>0\) existe un índice a partir del cual \(|S_N-S|<\varepsilon\). Es una afirmación sobre sumas finitas de longitud creciente.

Sea \(0<q<1\) y pongamos \(h=1/q-1>0\). La desigualdad \((1+h)^N\ge1+Nh\) se prueba por inducción: el paso multiplica por \(1+h\) y deja el término adicional \(Nh^2\ge0\). Por tanto, \(q^N\le1/(1+Nh)\). Dada una tolerancia positiva, la propiedad arquimediana permite elegir \(N\) tan grande que el último cociente sea menor que ella. Así \(q^N\) tiende a cero.

Si \(0<|r|<1\), la fórmula finita da \[\frac{a}{1-r}-S_N=\frac{ar^N}{1-r},\qquad \left|\frac{a}{1-r}-S_N\right|=\frac{|a|\,|r|^N}{|1-r|}.\] La cota anterior prueba que esta diferencia tiende a cero. Si \(a=0\), ya es cero; si \(a\ne0\), basta aplicar la cota a la tolerancia \(\varepsilon|1-r|/|a|\). Esto demuestra el límite \(S=a/(1-r)\) y el error exacto. Para \(r=0\), la sucesión de términos es \(a,0,0,\ldots\) y todas las sumas con \(N\ge1\) valen \(a\), sin emplear \(0^0\).

Por último, si las sumas parciales tuvieran límite finito, sus diferencias consecutivas tenderían a cero: \(|S_N-S_{N-1}|\le|S_N-S|+|S_{N-1}-S|\). Para \(a\ne0\) y \(|r|\ge1\), cada diferencia tiene valor absoluto \(|a|\,|r|^{N-1}\ge|a|>0\), contradicción. Si \(a=0\), todos los términos y sumas son cero con cualquier razón. Estas condiciones explican exactamente cuándo puede utilizarse la fórmula infinita.

Medida angular y paralelismo euclidiano

La medida angular aditiva, el ángulo llano de \(180^\circ\) y el giro completo de \(360^\circ\) son reglas de medida del modelo adoptado. La suma de dos ángulos que componen uno llano es, por esa aditividad, \(180^\circ\). El término «suplementarios» define esta relación entre medidas y no exige adyacencia. Para ángulos opuestos por el vértice, si \(\gamma\) es un vecino común, las igualdades \(\alpha+\gamma=180^\circ\) y \(\beta+\gamma=180^\circ\) implican \(\alpha=\beta\) por cancelación.

Usamos la forma angular del postulado de las paralelas: una transversal determina iguales ángulos correspondientes en dos paralelas. La tomamos como regla euclidiana equivalente al postulado de existencia y unicidad de la paralela; no intentamos deducirla de las reglas de incidencia por sí solas. Un alterno interno es opuesto por el vértice al correspondiente pertinente en una de las intersecciones. La igualdad de opuestos y de correspondientes prueba la igualdad de alternos internos. Un interior del mismo lado es suplementario del otro alterno; su suma con el interior de la otra recta es por tanto \(180^\circ\).

Para el recíproco, sea \(P\) la segunda intersección. Trazamos por \(P\) la paralela a la primera recta. El postulado angular le asigna el correspondiente, o alterno interno indicado, con la medida del primer ángulo. Por hipótesis, la recta dada tiene esa misma medida en la misma posición. En el semiplano fijado, un ángulo dado con una semirrecta de origen \(P\) determina una única semirrecta. Ambas rectas coinciden y son paralelas. Este paso justifica el sentido inverso sin tratar la conclusión como un dato previo.

Triángulos, diagonales y sumas angulares

Para un triángulo \(ABC\) no degenerado trazamos por \(C\) la paralela a \(AB\). Los ángulos que forman \(CA\) y \(CB\) con esa paralela, en los lados apropiados, son iguales a los interiores en \(A\) y \(B\) por alternos internos. Junto con el interior en \(C\), componen un ángulo llano, sin solapar interiores. Por aditividad, los tres interiores suman \(180^\circ\). Aquí se utiliza explícitamente el postulado angular euclidiano.

Si prolongamos un lado en \(C\), el ángulo exterior \(\delta\) satisface \(\delta+\gamma=180^\circ\). De la suma interior obtenemos \(\alpha+\beta+\gamma=180^\circ\). Restar \(\gamma\) da \(\delta=\alpha+\beta\). La propiedad se refiere al exterior adyacente producido por esa prolongación.

En un polígono simple convexo de vértices \(V_1,\ldots,V_n\) ordenados sobre su frontera, las diagonales desde \(V_1\) permanecen dentro de la región y no se cruzan entre sí fuera de ese vértice. Forman los triángulos \(V_1V_kV_{k+1}\), con \(k=2,\ldots,n-1\): exactamente \(n-2\). Cada ángulo interior del polígono se reparte entre ángulos de esos triángulos, y ninguno se cuenta dos veces. Sumar sus medidas da \((n-2)180^\circ\).

Cada exterior de un recorrido convexo con giros de un mismo sentido mide \(180^\circ-\alpha_k\). La suma de los \(n\) exteriores es \(n180^\circ-(n-2)180^\circ=360^\circ\). Si el polígono es regular, sus interiores son iguales por definición; dividir su suma entre \(n\) da \((n-2)180^\circ/n\). Sus exteriores también son iguales y miden \(360^\circ/n\). Una suma angular común no prueba la igualdad individual ni la de los lados.

Longitudes, superposición y medida de áreas

El perímetro de un polígono es, por definición, la suma de sus lados. La adición de longitudes sobre un segmento y la desigualdad estricta para un camino quebrado no alineado pertenecen al modelo euclidiano de distancia que adoptamos. Para lados positivos \(a,b,c\), las condiciones \(c<a+b\), \(a<b+c\) y \(b<a+c\) equivalen a \(c<a+b\), \(c>a-b\) y \(c>b-a\). Las dos últimas se reúnen en \(c>|a-b|\). En un extremo admisible de igualdad, los puntos quedan alineados; las circunferencias proporcionan la construcción en el caso estricto, bajo la regla de continuidad que precisamos en el apartado siguiente.

Adoptamos la aditividad del área en piezas de interiores separados, su invariancia bajo movimientos rígidos y la normalización \(A=bh\) para rectángulos de lados positivos. Las fórmulas restantes se obtienen a partir de esas reglas. El cuadrado es el caso \(b=h=l\), por lo que su área es \(l^2\); su perímetro es \(4l\) por suma de cuatro lados. El área rectangular para longitudes reales se incluye en la normalización; no se presenta un conteo finito de cuadrados como demostración suficiente para cualquier longitud irracional.

Una diagonal de un rectángulo lo divide en dos triángulos que se intercambian al girar media vuelta alrededor del centro. Cada uno tiene la mitad del área: el triángulo rectángulo con lados perpendiculares \(b,h\) tiene área \(bh/2\). Para un triángulo general, trazamos la perpendicular desde el vértice a la recta de la base. Si su pie divide la base en longitudes \(u,v\ge0\), el área es \(uh/2+vh/2=(u+v)h/2=bh/2\). Si el pie cae fuera, las dos distancias sobre la recta son \(u\) y \(u+b\); el triángulo pedido es la diferencia de dos triángulos rectángulos y su área es \((u+b)h/2-uh/2=bh/2\). El pie en un extremo es el caso rectángulo. Queda cubierta cualquier posición de una altura positiva.

Para el paralelogramo, una diagonal lo divide en dos triángulos cuyas bases son lados opuestos de longitud \(b\) y cuya altura es la separación \(h\) entre las rectas paralelas de esas bases. La igualdad de lados opuestos se prueba en el apartado sobre cuadriláteros mediante superposición, sin usar áreas. Cada triángulo tiene área \(bh/2\), así que el total es \(bh\). El perímetro suma los dos pares de lados iguales, \(2(a+b)\). Esta derivación vale para cualquier desplazamiento lateral y evita depender de que un único corte triangular quepa en el extremo opuesto.

En un trapecio convexo con bases paralelas de longitudes \(B,b\), una diagonal separa dos triángulos, uno apoyado en cada base. Ambos tienen altura \(h\), la separación perpendicular entre las rectas de las bases. Sus áreas suman \(Bh/2+bh/2=(B+b)h/2\). La duplicación usada en los problemas ofrece otra descomposición de la misma área. Para un recorte contenido, la aditividad \(A_{\rm inicial}=A_{\rm restante}+A_{\rm recorte}\) permite despejar el área restante. Un lado oblicuo solo puede sustituir a la altura si es perpendicular a la base. Sumar longitudes de frontera y medir área son operaciones sobre magnitudes diferentes.

Mediatrices, bisectrices y construcción de triángulos

Precisamos las bases de superposición y existencia. Adoptamos LLL y LAL como reglas métricas del plano: tres lados correspondientes iguales, o dos lados y su ángulo comprendido iguales, permiten superponer triángulos. También usamos la continuidad del compás: dos circunferencias de radios positivos \(a,b\) y centros distintos a distancia \(c\) se cortan en dos puntos, uno a cada lado de la recta de centros, cuando \(|a-b|<c<a+b\). En \(c=a+b\), o en \(c=|a-b|>0\), hay una tangencia. Estas reglas de existencia pertenecen al modelo adoptado. No las presentamos como consecuencias de la adición de ángulos.

La necesidad de las condiciones estrictas ya se dedujo de la desigualdad triangular. Su interpretación al mover un radio aclara la continuidad: al recorrer la circunferencia de centro \(A\) y radio \(a\), la distancia al otro centro \(B\) varía desde \(|c-a|\) hasta \(c+a\). Un radio \(b\) estrictamente entre esos extremos encuentra una posición en cada semiplano. La unicidad en cada uno es la rigidez LLL. Usamos aquí la continuidad de esa variación; este capítulo no reconstruye toda la geometría métrica desde axiomas de los reales. Si los radios no alcanzan la distancia de centros, las circunferencias quedan separadas; si una queda estrictamente dentro de la otra sin tocarla, tampoco se cortan. Con centros coincidentes, radios iguales producen una misma circunferencia y radios distintos, ninguna intersección.

En la mediatriz construida con radios iguales \(r>AB/2\), los puntos \(P,Q\) de intersección están a lados opuestos de \(AB\) y la recta que los une atraviesa el segmento \(AB\) en un punto interior \(M\). Las igualdades de los radios hacen congruentes \(APQ\) y \(BPQ\) por LLL. El segmento \(PQ\) biseca el ángulo \(APB\), por lo que \(APM\) y \(BPM\) tienen \(AP=BP\), lado \(PM\) común y ángulos comprendidos iguales. Por LAL se obtiene \(AM=BM\) y \(\angle AMP=\angle PMB\). Estos dos últimos ángulos son adyacentes y suman \(180^\circ\), de modo que cada uno mide \(90^\circ\). La recta hallada pasa por el punto medio y es perpendicular a \(AB\). La posición interior de \(M\) sigue del orden de las dos intersecciones de circunferencias iguales, simétricas respecto de la recta de centros; es parte de la configuración de intersección utilizada.

Para la bisectriz, sea \(0^\circ<\theta<180^\circ\) y sean \(D,E\) puntos sobre sus lados a distancia común \(R>0\) del vértice \(O\). La desigualdad triangular estricta da \(0<DE<2R\). Las circunferencias de centros \(D,E\) y radio \(R\) se cortan en \(O\) y en otro punto \(P\), situado dentro del ángulo. Los triángulos \(ODP,OEP\) tienen tres lados correspondientes iguales y sus ángulos en \(O\) coinciden por LLL. Ambos juntos forman \(\theta\), de donde cada uno mide \(\theta/2\). Los casos nulo y llano quedan fuera de esta construcción de dos intersecciones distintas.

Para construir desde tres lados, fijamos la base \(c\) y usamos radios \(a,b\). Bajo las condiciones estrictas, la regla del compás produce dos posiciones; la reflexión en la base intercambia las intersecciones, porque fija los centros y conserva los radios. LLL garantiza igualdad de forma y tamaño; fijar el semiplano elige una sola posición. Las tangencias dan puntos alineados y las desigualdades fuera del intervalo cerrado impiden el cierre. Así, ejecución, condiciones de existencia y justificación de la forma quedan diferenciadas.

Movimientos rígidos y argumentos sobre cuadriláteros

La conservación de longitudes y ángulos por traslaciones, giros y reflexiones, y la conservación del área por superposición, son reglas del modelo adoptado. De ellas se deduce que el perímetro se conserva: cada sumando de la frontera mantiene su valor. Si dos movimientos \(f,g\) conservan una medida \(m\), entonces \(m(g(f(F)))=m(f(F))=m(F)\). La misma sustitución prueba la conservación para cualquier composición finita.

En una cuadrícula cartesiana, el punto medio de un segmento tiene las coordenadas medias de sus extremos: la mitad del desplazamiento horizontal y la mitad del vertical sitúan el punto en la mitad del recorrido recto. Esta es una propiedad afín de las coordenadas. La reflexión en el eje vertical de primera coordenada \(c\) conserva la segunda coordenada y lleva la primera \(x\) a \(2c-x\), pues \([x+(2c-x)]/2=c\). Dos ejes verticales \(c_1,c_2\) producen \(x\mapsto2c_1-x\mapsto x+2(c_2-c_1)\), con la otra coordenada fija. Para ejes paralelos en cualquier posición podemos girar el sistema hasta dejarlos verticales; las distancias se conservan y el desplazamiento tiene longitud \(2|c_2-c_1|\), del primer eje hacia el segundo. Esto prueba la propiedad de dos reflexiones con separación \(d>0\).

Para justificar los lados y diagonales del paralelogramo usaremos la superposición por un lado y sus dos ángulos adyacentes, que podemos deducir de LAL. Sean dos triángulos con lados correspondientes \(AB=A'B'\) y ángulos iguales en \(A,A'\) y \(B,B'\). Si \(AC<A'C'\), tomamos \(D\) sobre \(A'C'\) con \(A'D=AC\). Por LAL, \(ABC\) y \(A'B'D\) se superponen; por ello \(\angle A'B'D=\angle ABC=\angle A'B'C'\). La unicidad de la semirrecta en ese semiplano obliga a \(B'D\) y \(B'C'\) a coincidir. Su intersección con la recta \(A'C'\) es única, así que \(D=C'\), contradiciendo la desigualdad supuesta. El caso \(AC>A'C'\) se descarta intercambiando los triángulos. Luego \(AC=A'C'\) y LAL prueba la superposición completa. Este argumento establece el criterio ALA a partir de la base adoptada.

Sea \(ABCD\) un paralelogramo convexo no degenerado. La diagonal \(AC\) determina \(\angle BAC=\angle DCA\) y \(\angle BCA=\angle DAC\) por alternos internos, pues \(AB\parallel CD\) y \(BC\parallel AD\). El lado \(AC\) es común, por lo que ALA superpone \(ABC\) y \(CDA\). Resulta \(AB=CD\) y \(BC=DA\), sin utilizar ninguna fórmula de área. Si las diagonales se cortan en \(O\), los triángulos \(ABO\) y \(CDO\) tienen \(AB=CD\) y los ángulos adyacentes a esos lados iguales, otra vez por paralelismo. ALA da \(AO=CO\) y \(BO=DO\). Queda probada la bisección de ambas diagonales.

Un rectángulo se define por sus cuatro ángulos rectos; sus lados opuestos son paralelos por el criterio angular recíproco. Es por tanto un paralelogramo y hereda la bisección de diagonales. Un cuadrado añade la igualdad de cuatro lados. Los ejemplos oblicuos del capítulo cumplen la bisección y carecen de cuatro ángulos rectos, de modo que refutan el recíproco «diagonales que se bisecan implican rectángulo». Una implicación demostrada y su recíproca son proposiciones distintas; un contraejemplo debe cumplir la hipótesis y fallar la conclusión.

Congruencia, datos suficientes y simetría del isósceles

Continuamos en la base euclidiana explicitada en «Mediatrices, bisectrices y construcción de triángulos». LLL y LAL son reglas de superposición adoptadas, no teoremas que aquí pretendamos deducir de la sola suma angular. Su interpretación permite dar vuelta una figura mediante reflexión; la congruencia se entiende hasta movimientos rígidos, sin fijar una orientación de lectura de sus vértices.

Para ALA, superpongamos los lados iguales de dos triángulos y, mediante una reflexión si hace falta, situemos sus terceros vértices en un mismo semiplano. Cada ángulo adyacente fija una semirrecta desde el extremo correspondiente del lado común. Ambas realizaciones tienen, por tanto, las mismas dos semirrectas; su única intersección es el tercer vértice. Esto prueba la superposición. La existencia se presupone al hablar de dos triángulos; al construir uno desde datos, se exige que los dos ángulos sean positivos y su suma menor que \(180^\circ\). Si se conocen otros dos ángulos y un lado, la suma angular permite recuperar el ángulo que falta y reducir a ALA.

En un isósceles \(AB=AC\) con \(M\) punto medio de \(BC\), los triángulos \(ABM,ACM\) son congruentes por LLL. Sus ángulos en \(A\) son iguales y los de \(M\) son iguales y suplementarios. De aquí se deducen la bisección del ángulo en \(A\) y la perpendicularidad a la base. Si se comienza con la bisectriz interior \(AD\), se aplica LAL a \(ABD,ACD\) y se obtiene \(BD=DC\); los ángulos adyacentes en \(D\) prueban de nuevo la perpendicularidad. La no alineación de los vértices y la posición interior del corte aseguran que esos triángulos existen.

Tales por comparación de áreas y su recíproco

Sean \(ABC\) un triángulo y \(D,E\) puntos interiores a \(AB,AC\), con \(DE\) paralelo a \(BC\). Las áreas \([BDE]\) y \([CDE]\) son iguales porque tienen base común \(DE\) y la misma distancia perpendicular desde sus vértices a esa recta. Al comparar bases sobre \(AB\) con altura común desde \(E\), obtenemos \([ADE]/[BDE]=AD/DB\). Al comparar bases sobre \(AC\) con altura común desde \(D\), obtenemos \([ADE]/[CDE]=AE/EC\). Todas las áreas y las longitudes de los denominadores son positivas. Igualar las razones da \(AD/DB=AE/EC\).

Escribamos \(AD=x\), \(DB=y\), \(AE=z\), \(EC=w\), con los cuatro números positivos. De \(x/y=z/w\) se deduce \(xw=yz\) y, al sumar \(xz\) a ambos miembros, \(x(z+w)=z(x+y)\). Dividir por \((x+y)(z+w)>0\) da \(AD/AB=AE/AC\). La equivalencia también vale en sentido inverso mediante esas operaciones reversibles.

Para el recíproco, supongamos que \(AD/AB=AE/AC=t\), con \(0<t<1\). La paralela a \(BC\) por \(D\) corta \(AC\) en un punto interior \(E_0\). El resultado directo da \(AE_0/AC=t\) y, por tanto, \(AE_0=AE\). La unicidad del punto a una distancia dada desde \(A\) sobre el segmento obliga a \(E_0=E\). Queda probado el paralelismo sin asumirlo en la hipótesis.

Necesitaremos además la razón del segmento paralelo. Por \(E\) trazamos la paralela a \(AB\) hasta cortar \(BC\) en \(F\). El cuadrilátero \(DBFE\) es un paralelogramo, de donde \(DE=BF\). Aplicamos la proporción ya demostrada al triángulo \(CAB\) y su paralela \(EF\): \(CF/CB=CE/CA=1-t\). Luego \(BF/BC=1-CF/CB=t\) y así \(DE/BC=t\). Esta deducción usa las propiedades de los paralelogramos probadas antes y evita apelar a semejanza para demostrar Tales.

En la división de un segmento en razón \(m:n\), la ecuación \(x/(L-x)=m/n\), con \(L>0\) y \(m,n>0\), equivale a \(nx=mL-mx\), de donde \(x=mL/(m+n)\). Se cumple \(0<x<L\), y la otra parte es \(nL/(m+n)\). Si \(m,n\) son enteros positivos, la construcción de \(m+n\) tramos auxiliares iguales y una paralela realiza exactamente ese reparto.

Criterios de semejanza a partir de Tales y congruencia

Consideremos dos triángulos con dos parejas de ángulos iguales. El tercero es igual por la suma angular. Podemos intercambiar los papeles de los triángulos para que \(k=A'B'/AB\le1\). Si \(k=1\), la igualdad del lado y sus ángulos adyacentes da congruencia por ALA. Si \(0<k<1\), marcamos \(D\) en \(AB\) con \(AD=A'B'\) y trazamos \(DE\) paralelo a \(BC\), con \(E\) en \(AC\). Los ángulos de \(ADE\) coinciden con los de \(A'B'C'\) por el paralelismo y la correspondencia supuesta; el lado \(AD=A'B'\) da congruencia por ALA. Por el apartado anterior, \(AD/AB=AE/AC=DE/BC=k\). Sustituir las longitudes del triángulo congruente prueba que los tres lados originales están en razón \(k\). Esto demuestra AA con ambas partes de la definición de semejanza.

Para el criterio de tres lados proporcionales, supongamos \(a'/a=b'/b=c'/c=k>0\) y, si hace falta, intercambiemos los triángulos para obtener \(k\le1\). Con \(k=1\) basta LLL. Para \(k<1\), la sección paralela del triángulo mayor con razón \(k\) tiene, por Tales y la razón del segmento paralelo, lados \(ka,kb,kc\). Esos lados coinciden con los del segundo triángulo; LLL asegura la congruencia entre la sección y él. La sección conserva los ángulos del mayor por paralelismo, lo que completa la semejanza.

Para dos lados proporcionales y su ángulo comprendido igual, construimos de la misma manera la sección de razón \(k\le1\) sobre los lados que forman ese ángulo. Tales proporciona los dos lados requeridos y el vértice conserva el ángulo comprendido. LAL prueba la congruencia de la sección con el segundo triángulo. Las razones de los tres lados y la igualdad de los ángulos siguen de esa congruencia y del paralelismo. La inversión de la comparación reemplaza cada cociente positivo \(k\) por \(1/k\). Con \(k=1\), todos los lados correspondientes son iguales y LLL da congruencia.

Escalas de longitudes, áreas y cajas

En una semejanza de razón \(k>0\), cada longitud de lado se multiplica por \(k\). La suma de los lados de un polígono se transforma en \(\sum kl_i=k\sum l_i\), por distributividad. Su perímetro tiene, por tanto, factor \(k\).

En dos triángulos semejantes, tracemos las alturas a lados correspondientes. Si el pie de una altura está en el extremo de la base, el lado perpendicular es la propia altura y su razón ya es \(k\). En los demás casos, el lado que une el vértice con un extremo de la base y su altura forman un triángulo rectángulo auxiliar en cada figura. Los ángulos agudos entre las rectas de base y de ese lado son iguales: si el ángulo interior es obtuso, se toma su suplemento en ambas figuras. Los auxiliares son semejantes por AA. Sus hipotenusas son lados correspondientes de los triángulos originales, con razón \(k\); por ello, sus catetos perpendiculares, las alturas, también tienen razón \(k\). Este argumento vale con pies interiores o exteriores. La fórmula del área da entonces \(A'=(kb)(kh)/2=k^2A\).

Una región poligonal descompuesta en triángulos conserva esa descomposición al aplicar la misma semejanza a todas sus piezas. La suma de áreas se multiplica por \(k^2\). Para polígonos simples puede obtenerse una descomposición finita trazando paralelas por sus vértices en una dirección que no contenga ningún lado: se forman regiones triangulares o trapezoidales entre cortes consecutivos, que se dividen a su vez en triángulos. En ningún paso se atribuye el factor superficial a una sola longitud.

Adoptamos para una caja rectangular la medida \(V=abc\), con dimensiones positivas en una misma unidad, extendida continuamente desde las subdivisiones en cubos unidad. No reconstruimos aquí la teoría general del volumen. Para cajas semejantes se obtiene \(V'=(ka)(kb)(kc)=k^3V\). De \(A'/A=k^2\) se recupera la única raíz positiva \(k=\sqrt{A'/A}\); del cociente de volúmenes positivos de cajas, \(k=\sqrt[3]{V'/V}\).

Una escala \(1:n\) significa \(L_{\rm dibujo}=L_{\rm real}/n\) en la misma unidad. Si el papel se imprime con factor lineal \(r>0\), la nueva longitud dibujada es \(rL_{\rm real}/n=L_{\rm real}/(n/r)\). La nueva escala es \(1:(n/r)\). Esta afirmación supone un mismo factor en todas las direcciones del dibujo.

Homotecias, vectores y razones con signo

Sea \(O\) un punto fijo y \(k\ne0\). Definimos \(h_{O,k}(P)=O+k(P-O)\) mediante el desplazamiento desde \(O\). Para \(P=O\) se obtiene \(P'=O\). Para \(P\ne O\), multiplicar por un número positivo conserva la semirrecta y multiplica la distancia por ese número; multiplicar por uno negativo invierte la semirrecta y utiliza su valor absoluto para la distancia. Son las reglas de segmentos dirigidos y de multiplicación escalar sobre una recta, aplicadas componente a componente en coordenadas.

Si \(O,A,B\) no están alineados y \(k>0\), Tales y su recíproco, aplicados a la figura interior o a su comparación inversa cuando \(k>1\), muestran que \(A'B'\) es paralelo a \(AB\) y \(A'B'/AB=k\). Con \(k=1\) las imágenes coinciden con sus originales. Si los tres puntos están alineados, una coordenada dirigida sobre esa recta da \(|ks_B-ks_A|=k|s_B-s_A|\); el resultado también vale si alguno coincide con el centro. Para \(k<0\), la homotecia es la composición de la razón positiva \(|k|\) con un giro de media vuelta alrededor de \(O\). El giro conserva longitudes, de donde \(A'B'=|k|AB\). El paralelismo de lados correspondientes asegura la conservación de ángulos; la media vuelta también la conserva.

La resta de las fórmulas de imagen da \(B'-A'=[O+k(B-O)]-[O+k(A-O)]=k(B-A)\). Este es el efecto sobre el vector entre dos puntos. La expresión indica un cambio de sentido para \(k<0\) y un factor positivo \(|k|\) sobre su longitud. En el plano, el giro de media vuelta conserva la orientación cíclica de tres vértices, aunque invierta cada desplazamiento radial; no debe confundirse con una reflexión axial.

Al componer razones \(k,l\ne0\) con un mismo centro, obtenemos \(O+l([O+k(P-O)]-O)=O+lk(P-O)\). Elegir \(l=1/k\) da la identidad, lo que prueba la inversa. Despejar \(P'=kP+(1-k)O\) cuando \(k\ne1\) da \(O=(kP-P')/(k-1)\). Con \(k=1\), la transformación es la identidad para cualquier centro; con \(k=0\), la fórmula envía todos los puntos a \(O\) y carece de inversa, caso excluido por nuestra definición.

Pitágoras por áreas, recíproco y distancia cartesiana

Tomemos un triángulo rectángulo de catetos positivos \(a,b\) e hipotenusa \(c\). En las cuatro esquinas de un cuadrado de lado \(a+b\) colocamos copias congruentes de ese triángulo, alternando los tramos \(a,b\) sobre los bordes. Las cuatro hipotenusas delimitan una región interior de cuatro lados iguales a \(c\). En cada uno de sus vértices, los dos ángulos agudos adyacentes de las copias suman \(90^\circ\) y completan con el interior un ángulo llano. El interior mide \(90^\circ\), de modo que la región es un cuadrado de lado \(c\). Las piezas cubren el cuadrado exterior y tienen interiores separados. La aditividad del área y las fórmulas ya justificadas dan \((a+b)^2=c^2+4ab/2\). La identidad algebraica del cuadrado de una suma reduce esta igualdad a \(a^2+b^2=c^2\). La configuración existe para todos \(a,b>0\); el esquema no exige catetos enteros ni una desigualdad entre ellos.

La hipotenusa cumple \(c^2>a^2\) y \(c^2>b^2\), por lo que \(c>a,b\). La raíz positiva recupera \(c=\sqrt{a^2+b^2}\); al despejar un cateto, \(a=\sqrt{c^2-b^2}\) requiere \(c>b>0\). La raíz negativa de la ecuación cuadrática no representa una longitud.

Para el recíproco, sean \(a,b,c\) los lados de un triángulo con \(a,b>0\) y \(c^2=a^2+b^2\). Construimos otro triángulo con lados perpendiculares de longitudes \(a,b\). Por el resultado directo, su hipotenusa positiva es \(\sqrt{a^2+b^2}=c\). LLL hace congruentes ambos triángulos y transfiere el ángulo recto. Este argumento explica por qué una igualdad entre cuadrados puede probar la perpendicularidad; no supone el ángulo recto del triángulo dado.

En ejes cartesianos perpendiculares con idéntica unidad, dos puntos con cambios de coordenadas no nulos determinan un triángulo rectángulo de catetos \(|x_B-x_A|,|y_B-y_A|\). Pitágoras da \(AB^2=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2\). La distancia es la raíz no negativa. Si uno de los cambios es cero, el segmento es paralelo a un eje y se mide directamente por el otro cambio absoluto; si ambos son cero, \(A=B\) y la distancia es cero. La fórmula reúne los tres casos. La diagonal de un rectángulo es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos sus lados, por lo que satisface la misma relación.

Medida del círculo y aproximación poligonal

Circunferencia y círculo son definiciones de lugares geométricos mediante distancia; diámetro significa cuerda que pasa por el centro. Sus dos radios colineales dan \(d=2r\) por adición de segmentos.

Adoptamos la teoría usual de longitud y área: invariancia bajo movimientos rígidos, aditividad, monotonía y continuidad para aproximaciones poligonales regulares. En particular, los perímetros de polígonos regulares inscritos y circunscritos de una circunferencia convergen a una misma longitud. Bajo semejanza de factor \(k>0\), cada lado y cada perímetro se multiplica por \(k\); por continuidad ocurre lo mismo con la longitud curva. Por tanto \(L/d\) es constante para todas las circunferencias. Se define \(\pi=L/d\), así que \(L=\pi d=2\pi r\). Esta definición no supone de antemano la fórmula del área.

Un polígono regular inscrito de perímetro \(p_n\) y apotema \(a_n\) se divide en triángulos de altura \(a_n\) y bases que suman \(p_n\). Su área es \(p_na_n/2\). Cuando su número de lados aumenta, el lado máximo tiende a cero y Pitágoras, \(a_n^2=r^2-(\ell_n/2)^2\), da \(a_n\to r\). Por la base de longitud adoptada, \(p_n\to2\pi r\). Las áreas inscritas convergen, pues, a \(\pi r^2\). Para el polígono regular circunscrito la apotema es \(r\), su perímetro tiende también a \(2\pi r\) y su área tiende al mismo valor. El círculo está entre ambos polígonos; monotonía y continuidad fijan su área en \(\pi r^2\).

Una corona con radios concéntricos \(R>r\ge0\) se descompone, junto al disco interior, en el disco exterior. Por aditividad, su área es \(\pi R^2-\pi r^2\). El espesor \(R-r\) no basta por sí solo para determinarla. Las fórmulas anteriores son deducciones dentro de las bases de medida declaradas; la existencia de los límites de longitud no se presenta como una demostración puramente finita.

Radianes, sectores y segmentos

La medida en radianes se define como \(\theta=s/r\) para un arco orientado o recorrido; en el capítulo se usan recorridos positivos de hasta una vuelta. Multiplicar por \(r>0\) da \(s=r\theta\). Como la vuelta mide \(2\pi r\), corresponde a \(2\pi\) radianes. La partición en 360 grados lleva a \(\theta=\alpha\pi/180\) para un valor numérico \(\alpha\) en grados. Sustituirlo en \(r\theta\) da la fórmula de longitud en grados.

Dividamos una vuelta en \(n\) sectores congruentes. Invariancia por rotación y aditividad del área dan \(\pi r^2/n\) para cada uno; \(m\) sectores tienen área \((m/n)\pi r^2\). Para una fracción real \(t\) de la vuelta, se eligen fracciones racionales que la acoten por abajo y por arriba con diferencia tan pequeña como se quiera. Las regiones correspondientes contienen o están contenidas en el sector dado. Monotonía fuerza el área \(t\pi r^2\). Como \(t=\theta/(2\pi)\), resulta \(A_s=r^2\theta/2\). Reemplazar \(r\theta\) por \(s\) da \(A_s=rs/2\).

En un sector propio de \(0<\theta<2\pi\), los dos radios y el arco forman todo el contorno y solo se tocan en sus extremos; su longitud es \(2r+s\). Para una vuelta completa los radios son líneas de partición interiores y el contorno es solo \(2\pi r\); la fórmula del sector propio no se extiende allí. Para un segmento menor de ángulo central entre cero y \(180^\circ\), el triángulo de los dos radios está contenido en el sector. Por aditividad, el área del segmento es el área del sector menos la del triángulo. En los ejemplos de \(90^\circ\), esa área triangular es \(r^2/2\) por perpendicularidad.

Ángulos y potencia de un punto

Sean \(A,B,C\) puntos distintos de una circunferencia, con \(C\) vértice del ángulo inscrito, y \(O\) el centro. Primero supongamos que uno de sus lados, \(CA\), pasa por \(O\). En el triángulo isósceles \(OCB\), los ángulos en \(C\) y \(B\) son iguales. Si cada uno vale \(\beta\), el ángulo exterior en \(O\) formado por \(OA\) y \(OB\) vale \(2\beta\); corresponde al arco \(AB\) que no contiene a \(C\). Por tanto, el ángulo inscrito es la mitad del arco interceptado en este caso.

Para el caso general, prolongamos \(CO\) hasta su otro punto de corte \(D\) con la circunferencia. Si el rayo \(CD\) queda dentro de \(\angle ACB\), este se descompone en \(\angle ACD+\angle DCB\); los arcos interceptados \(AD\) y \(DB\) forman el arco \(AB\) que no contiene a \(C\). Sumando las dos igualdades del caso anterior se obtiene la mitad del arco total. Si el rayo \(CD\) queda fuera, el ángulo buscado es la diferencia de los dos ángulos con ese rayo, y el arco interceptado es la diferencia de sus correspondientes arcos; restar da la misma regla. Si \(CD\) coincide con un lado, ya es el primer caso. Estos emplazamientos agotan las posibilidades. Un diámetro intercepta una semicircunferencia de \(180^\circ\), de modo que el ángulo inscrito vale \(90^\circ\).

La perpendicular al radio \(OT\) por \(T\) es tangente: para otro punto \(X\) en ella, \(OX^2=OT^2+TX^2>R^2\). A la inversa, sea una tangente por \(T\) y sea \(H\) el pie de la perpendicular desde \(O\) a esa recta. Si \(H\ne T\), entonces \(OH<R\) y la recta contiene dos puntos a distancia \(R\) de \(O\), a ambos lados de \(H\) por Pitágoras. Eso contradice la tangencia. Así, \(H=T\) y el radio es perpendicular a la tangente.

La potencia puede demostrarse sin excepciones ocultas mediante distancias. Sea una recta secante por un punto \(P\), con vector unitario \(u\) en la dirección elegida. Si \(v\) es el vector desde \(O\) hasta \(P\), sus intersecciones son \(P+tu\) y satisfacen

\[t^2+2(v\cdot u)t+\lVert v\rVert^2-R^2=0.\]

Aquí el producto escalar solo abrevia la suma de productos de coordenadas ortogonales: al desarrollar el cuadrado de la distancia se obtiene esa ecuación. Por la factorización de una cuadrática mónica, el producto de sus dos raíces dirigidas es \(OP^2-R^2\), independiente de la dirección. Si \(P\) está dentro, las raíces tienen signos opuestos y el producto de las longitudes positivas es \(R^2-OP^2\). Si está fuera y la dirección apunta a ambos cortes, las dos raíces son positivas y el producto es \(OP^2-R^2\). Comparando dos secantes se obtienen las igualdades de la tabla con los órdenes indicados. Para una tangente, Pitágoras en \(OPT\) da \(PT^2=OP^2-R^2\), que coincide con el producto de la secante. Esta vía utiliza álgebra ya desarrollada y no presupone una definición vectorial avanzada del ángulo. En el caso interior también puede usarse la semejanza de \(APC\) y \(DPB\): los ángulos en \(P\) son opuestos por el vértice y los de \(A,D\) interceptan el mismo arco \(BC\); de \(AP/DP=PC/PB\) se deduce la igualdad.

Para el ángulo interior, sean \(P\) la intersección y \(A,P,B\), \(C,P,D\) los órdenes de las cuerdas. En el triángulo \(APC\), los ángulos en \(A\) y \(C\) son inscritos y miden la mitad de los arcos \(BC\) y \(AD\), respectivamente. Así \(\angle APC=180^\circ-(\widehat{BC}+\widehat{AD})/2\). Los cuatro arcos suman \(360^\circ\); reemplazando los dos complementarios se obtiene \((\widehat{AC}+\widehat{BD})/2\), que son los arcos interceptados por el ángulo en \(P\) y su opuesto.

Para el caso exterior, los órdenes son \(P,A,B\) y \(P,C,D\). En el triángulo \(PBC\), el ángulo en \(B\) mide \(\widehat{AC}/2\). El ángulo en \(C\) es suplementario del inscrito \(BCD\), que mide \(\widehat{BD}/2\). Por la suma angular, \(\angle BPC=\widehat{BD}/2-\widehat{AC}/2\). Los arcos se eligen en el sector delimitado por las secantes, de modo que el primero es el lejano y el segundo el cercano. Se ha probado la semidiferencia para dos secantes; otras configuraciones tangenciales no se atribuyen a esta fila.

Prismas, conos y Cavalieri

Se adoptan aditividad, monotonía y continuidad de volumen, junto con Cavalieri en su forma habitual para cuerpos de secciones medibles: igual altura y áreas iguales en cada plano paralelo a la base, a la misma distancia de ella, implican igual volumen. Es un principio explícito de esta fundamentación, no un resultado probado por mostrar algunos cortes. Para cajas rectangulares, \(V=abh\) es la normalización de medida cúbica, extendida desde subdivisiones racionales por continuidad.

Un prisma triangular recto se empareja con una copia para formar un prisma de base paralelogramo. El paralelogramo se descompone y recompone en un rectángulo conservando altura y área, y la extrusión conserva esa descomposición. Su volumen es área de base por altura; la mitad da el mismo resultado para el prisma triangular. La triangulación de un polígono extiende \(V=A_bh\) a prismas rectos. Un prisma oblicuo y uno recto de igual base y altura tienen cortes de igual área en cada nivel; Cavalieri da la misma fórmula. Un cilindro de base circular se compara con un prisma de igual área de base y altura: todos sus cortes tienen el área constante de sus bases, de modo que \(V=\pi r^2h\).

Justifiquemos ahora el factor \(1/3\). Las secciones de una pirámide a altura \(z\) desde la base son semejantes a ella con factor \(1-z/h\), por semejanza de los triángulos que pasan por el vértice y una arista de la base. Por el factor cuadrático de áreas, sus áreas son \(A_b(1-z/h)^2\). Cavalieri implica que dos pirámides de igual altura y áreas de base iguales tienen igual volumen; esto no utiliza todavía su valor numérico.

En un prisma triangular \(ABC A'B'C'\), donde las primas son las traslaciones de los vértices, la triangulación espacial lo divide en los tetraedros \(ABCA'\), \(BCA'B'\) y \(CA'B'C'\). Sus interiores son disjuntos y juntos llenan el prisma; se separan por los triángulos \(BCA'\) y \(CA'B'\). El primero y el tercero tienen bases congruentes \(ABC\) y \(A'B'C'\) y la misma altura del prisma; por el resultado de secciones tienen igual volumen. El primero y el segundo comparten base \(BCA'\) y tienen vértices \(A\) y \(B'\) a igual distancia de su plano: los segmentos \(AB'\) y \(BA'\) tienen el mismo punto medio, pues \(ABB'A'\) es un paralelogramo, y el punto medio de \(BA'\) está en ese plano. Por tanto las distancias de \(A\) y \(B'\) son iguales, en lados opuestos. Reflejando una de las pirámides respecto al plano base, Cavalieri prueba su igualdad de volumen. Cada tetraedro ocupa así un tercio del prisma y vale \(A_bh/3\) al considerar el primero con base \(ABC\). Cualquier pirámide triangular se realiza como ese primer tetraedro completando el prisma mediante traslación al vértice. Triangular una base poligonal y sumar demuestra la fórmula para cualquier pirámide de esa base.

En un cono, las secciones paralelas tienen también áreas \(A_b(1-z/h)^2\), por semejanza axial; Cavalieri lo compara con una pirámide de igual altura y área de base. Por tanto \(V=A_bh/3\). La deducción abarca conos oblicuos para volumen; las superficies de la tabla se restringen a los rectos.

Las caras laterales de un prisma recto son rectángulos de altura \(h\); sus anchuras suman el perímetro \(P_b\). Así \(A_L=P_bh\) y al añadir las bases \(A_T=P_bh+2A_b\). El cilindro recto se abre en un rectángulo de anchura \(2\pi r\) y altura \(h\): \(A_L=2\pi rh\). Su superficie total cerrada suma dos discos. Para el cono circular recto, Pitágoras da \(g^2=r^2+h^2\). Su desarrollo es un sector de radio \(g\) y arco \(2\pi r\), por conservación de longitudes al abrirlo. La fórmula \(A_s=rs/2\) da \(A_L=\pi rg\); la base añade \(\pi r^2\).

Volumen y superficie de la esfera

Para una bola de radio \(R>0\) centrada en el origen, el corte por un plano a distancia \(\lvert z\rvert\le R\) tiene radio \(\rho\ge0\). El radio perpendicular al plano y un radio del corte forman un triángulo rectángulo de hipotenusa \(R\); de ahí \(\rho^2=R^2-z^2\). Si \(\lvert z\rvert=R\) el corte degenera en un punto y tiene área cero; si es mayor, no hay corte.

Consideremos \(0\le z\le R\) en la semibola superior. Su sección tiene área \(\pi(R^2-z^2)\). En un cilindro de radio y altura \(R\), retiremos un cono de igual base y altura con vértice en el centro de la base inferior. La semejanza de los perfiles da radio \(z\) al cono en ese nivel, así que la sección restante es una corona de área \(\pi R^2-\pi z^2\). Cavalieri iguala los volúmenes de la semibola y del cilindro sin cono, ambos de altura \(R\). Por las fórmulas ya obtenidas, el volumen de la semibola es \(\pi R^3-\pi R^3/3=2\pi R^3/3\). Al sumar dos semibolas, \(V=4\pi R^3/3\).

Para la superficie declaramos otra base de medida: el área esférica se obtiene como límite de áreas de poliedros convexos circunscritos regulares en el sentido de aproximación, cuyas caras son tangentes y cuyo diámetro máximo de cara tiende a cero. «Regulares» aquí exige una refinación controlada que converge a la esfera; no supone que existan poliedros platónicos con un número arbitrario de caras. Esta definición y la continuidad de volumen para esas aproximaciones se adoptan. No se afirma que cualquier secuencia de superficies trianguladas que se acerque en posición tenga automáticamente áreas convergentes.

Para cada poliedro circunscrito, unir el centro a sus caras lo divide en pirámides disjuntas de altura \(R\), pues cada plano de cara es tangente a la esfera. Si \(A_n\) es su área y \(V_n\) su volumen, la fórmula de pirámides da exactamente \(V_n=RA_n/3\). La aproximación regular hace que \(V_n\to V\) y, por la definición adoptada, \(A_n\to A\). Entonces \(V=RA/3\). Como el volumen ya fue obtenido independientemente, dividir por \(R/3>0\) da \(A=4\pi R^2\). No hay circularidad entre las fórmulas de área y volumen: solo esta última deducción utiliza la base adicional de área curva.

La superficie curva de una semibola es la mitad por simetría; su base es un disco de área \(\pi R^2\), y el total cerrado es \(2\pi R^2+\pi R^2=3\pi R^2\). Las escalas de superficie y volumen provienen de sus dimensiones: cada región plana de una aproximación semejante multiplica el área por \(k^2\), y cada caja de una partición semejante multiplica el volumen por \(k^3\). Aditividad y continuidad extienden esos factores a los cuerpos tratados y sus superficies de medida adoptada. Para la esfera también se comprueban sustituyendo \(kR\) en las dos fórmulas. No se aplica esta comparación a cuerpos de formas diferentes por conocer solo una de sus medidas.

Secciones y distancias en el espacio

En una caja de aristas mutuamente perpendiculares \(a,b,c\), Pitágoras en la base da diagonal \(q\) con \(q^2=a^2+b^2\). La dirección de la tercera arista es perpendicular a todo el plano de la base, en particular a la diagonal \(q\). En el plano determinado por ambas, Pitágoras da \(d^2=q^2+c^2=a^2+b^2+c^2\). La proyección perpendicular de la diagonal espacial sobre la base es precisamente \(q\): conserva sus dos desplazamientos horizontales y elimina la componente vertical. Se toman raíces positivas para longitudes.

En un cono circular recto de altura \(h\) y radio \(r\), un plano paralelo a la base a distancia \(x\) desde el vértice produce en la sección axial un triángulo semejante al completo. Los lados correspondientes dan \(\rho/r=x/h\), con \(0\le x\le h\); al cuadrar y multiplicar por \(\pi\), \(A_x/A_b=(x/h)^2\). En \(x=0\) se obtiene el vértice como sección degenerada; en \(x=h\) la propia base. Este cálculo permite verificar una igualdad de áreas para cada nivel, que es la hipótesis de Cavalieri, y no solo en los niveles que aparecen en una ilustración.

Razones trigonométricas y semejanza

En dos triángulos rectángulos con un mismo ángulo agudo, los otros ángulos agudos también coinciden porque suman \(\pi/2\). El criterio AA prueba semejanza con correspondencia de hipotenusas, catetos opuestos y adyacentes al ángulo elegido. Si cada lado del segundo triángulo es \(k>0\) veces el correspondiente del primero, cada cociente de dos lados conserva su valor al cancelar \(k\). Se definen seno, coseno y tangente mediante esos cocientes. Como las longitudes son positivas y cada cateto es menor que la hipotenusa, para \(0<\alpha<\pi/2\) seno y coseno están entre cero y uno y tangente es positiva.

La igualdad \(\tan\alpha=\sin\alpha/\cos\alpha\) resulta de \((o/h)/(a/h)=o/a\), con \(a,h>0\). Los dos ángulos agudos del mismo triángulo son complementarios; los catetos intercambian su papel y la hipotenusa se conserva. Así se obtienen \(\sin(\pi/2-\alpha)=\cos\alpha\) y \(\cos(\pi/2-\alpha)=\sin\alpha\).

Para \(\alpha=\pi/4\), un triángulo rectángulo isósceles de catetos 1 tiene hipotenusa \(\sqrt2\) por Pitágoras. Por tanto seno y coseno valen \(1/\sqrt2=\sqrt2/2\) y tangente vale 1. La altura de un equilátero de lado 2 también es mediana y bisectriz, por congruencia de sus mitades. Cada mitad tiene hipotenusa 2, cateto corto 1, cateto largo \(\sqrt3\) y ángulos \(\pi/6,\pi/3\). De sus cocientes se obtienen los valores de la tabla: \(\sin(\pi/6)=1/2\), \(\cos(\pi/6)=\sqrt3/2\), \(\tan(\pi/6)=\sqrt3/3\), y para \(\pi/3\) se intercambian seno y coseno, con tangente \(\sqrt3\). No se han deducido estos valores desde una aproximación decimal.

Giros, coordenadas y periodicidad

La medida de radianes y su conversión fueron definidas en el apartado «Radianes, sectores y segmentos». Para giros orientados se adopta el sentido antihorario positivo y el horario negativo. Si el giro no cambia de sentido y su medida dirigida es \(\theta\), el arco total recorrido tiene longitud \(r\lvert\theta\rvert\). Se cuentan las vueltas completas; por ejemplo, un giro de \(4\pi\) vuelve al inicio y recorre dos circunferencias. Si el giro cambia de sentido, su desplazamiento angular neto puede cancelar parte del recorrido; la fórmula con el valor neto deja de medir entonces la longitud total recorrida.

Seno y coseno para cualquier real \(\theta\) se definen como las coordenadas vertical y horizontal del extremo de un radio unitario que parte de \((1,0)\) y gira \(\theta\). La noción euclidiana de giro conserva distancias y orientación; la suma de medidas de giros referidos al mismo centro describe su composición. Esta base geométrica se adopta junto con la medida angular. En el primer cuadrante, el triángulo de proyecciones tiene hipotenusa 1 y las definiciones coinciden con las razones positivas de lados ya introducidas.

Una vuelta completa conserva el extremo. De ahí \(\sin(\theta+2k\pi)=\sin\theta\) y \(\cos(\theta+2k\pi)=\cos\theta\). Media vuelta lleva un punto a su opuesto: ambas coordenadas cambian de signo. La reflexión en el eje horizontal lleva el ángulo a \(-\theta\) y cambia \(y\) por \(-y\), conservando \(x\); esto prueba la imparidad del seno y la paridad del coseno. La reflexión vertical lleva el ángulo a \(\pi-\theta\), conserva \(y\) y cambia el signo de \(x\), dando las otras dos identidades de reflexión. Estas afirmaciones valen también sobre los ejes por la definición mediante coordenadas.

La tangente se extiende mediante \(\tan\theta=\sin\theta/\cos\theta\). El denominador es cero exactamente cuando el extremo unitario está sobre el eje vertical, en los giros \(\pi/2+k\pi\). Son sus únicas exclusiones. Media vuelta cambia de signo numerador y denominador y conserva el cociente, de modo que la tangente tiene período \(\pi\) en su dominio. Los signos de las razones se leen de las coordenadas y no del signo del número que mide el giro.

Identidades por coordenadas y composición de giros

El extremo del radio unitario pertenece al círculo \(x^2+y^2=1\). Sustituir \(x=\cos\theta\) e \(y=\sin\theta\) prueba \(\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\) para todo real \(\theta\). Donde \(\cos\theta\ne0\), dividir por su cuadrado da \(1+\tan^2\theta=1/\cos^2\theta\). La división no produce una afirmación en los ceros del denominador.

Para justificar la adición, describamos un giro \(R_\alpha\) respecto del origen. La dirección horizontal unitaria \(e_1=(1,0)\) pasa a \((\cos\alpha,\sin\alpha)\). La dirección vertical positiva \(e_2=(0,1)\) pasa al vector unitario perpendicular situado a su izquierda: \((-\sin\alpha,\cos\alpha)\). Esa elección se comprueba porque su producto escalar con el primero es cero y su determinante orientado vale \(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1\). El signo del determinante conserva la orientación; la perpendicular opuesta correspondería a una reflexión.

Una suma de desplazamientos se construye como la diagonal de un paralelogramo. Un giro conserva paralelismo, longitudes y el vértice común, así que lleva ese paralelogramo al construido por las imágenes de sus lados; por tanto \(R_\alpha(p+q)=R_\alpha(p)+R_\alpha(q)\). También conserva la multiplicación de un vector por un escalar real: para escala positiva conserva la dirección y la razón de longitudes, para negativa se añade la inversión de dirección y para cero queda el origen. Se sigue que, para \((x,y)=xe_1+ye_2\),

\[R_\alpha(x,y)=(x\cos\alpha-y\sin\alpha,\ x\sin\alpha+y\cos\alpha).\]

Apliquemos esta igualdad a \((\cos\beta,\sin\beta)\). Por composición geométrica de giros, el extremo obtenido es el de \(\alpha+\beta\), cuyas coordenadas son coseno y seno de esa suma. Igualar la primera y la segunda componente prueba, respectivamente,

\[\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta,\] \[\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta.\]

La prueba usa giros de cualquier medida real y no requiere que los ángulos sean agudos. Sustituir \(\beta\) por \(-\beta\) y usar las reflexiones ya probadas da las dos fórmulas de diferencia. Sustituir \(\beta=\alpha=\theta\) da \(\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta\) y \(\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta\). Al reemplazar uno u otro cuadrado mediante la identidad fundamental resultan \(1-2\sin^2\theta\) y \(2\cos^2\theta-1\). No se introduce ninguna división en estas fórmulas y sus dominios son todos los reales.

Inversas y soluciones trigonométricas

Para \(u\in[-1,1]\), la recta horizontal \(y=u\) corta el círculo unitario en \((\sqrt{1-u^2},u)\) dentro del semiplano derecho. Este punto es único, incluso cuando degenera en uno de los extremos verticales. Su dirección determina un único ángulo en \([-\pi/2,\pi/2]\), que define \(\arcsin u\). Una coordenada vertical mayor recorre esa semicircunferencia en orden creciente; esta observación geométrica también expresa la monotonía que permite hablar de inversa. Para el coseno elegimos la semicircunferencia superior: el punto único es \((u,\sqrt{1-u^2})\) y su ángulo en \([0,\pi]\) define \(\arccos u\). Allí la coordenada horizontal decrece al avanzar el ángulo.

Para cualquier \(u\in\mathbb R\), la dirección del vector \((1,u)\) está en el semiplano derecho y forma un ángulo único en \((-\pi/2,\pi/2)\). Su punto unitario es \((1,u)/\sqrt{1+u^2}\) y su tangente vale \(u\). Así se define \(\arctan u\) para todo real, con un único valor principal. Este argumento prueba existencia y unicidad sin presuponer una calculadora ni confundir la inversa funcional con un recíproco.

Para \(\sin x=u\), los puntos unitarios son \((\pm\sqrt{1-u^2},u)\). Si \(a=\arcsin u\), sus direcciones son \(a\) y \(\pi-a\), módulo vueltas completas. Se obtienen las familias \(x=a+2k\pi\) o \(x=\pi-a+2k\pi\). Cuando \(u=\pm1\), ambas familias describen el mismo conjunto; no se cuenta dos veces una solución repetida. Si \(\lvert u\rvert>1\), no existen puntos del círculo con esa altura y la ecuación carece de soluciones.

Para \(\cos x=u\), los puntos son \((u,\pm\sqrt{1-u^2})\). Si \(b=\arccos u\), sus direcciones son \(b\) y \(-b\) módulo \(2\pi\), lo que da \(x=\pm b+2k\pi\). En \(u=\pm1\) se repiten familias; fuera de \([-1,1]\) no hay solución. Para tangente, una pendiente \(u\) determina una recta por el origen. Sus dos puntos unitarios son opuestos, separados por \(\pi\), y están fuera del eje vertical porque \(u\) es real finito. Las soluciones son \(x=\arctan u+k\pi\), todas dentro del dominio de tangente.

En todos los casos \(k\in\mathbb Z\). Resolver en un intervalo equivale a intersectar esas familias con él y con el dominio original. Esta intersección conserva exactamente los extremos incluidos por corchetes y elimina los excluidos por paréntesis. Factorizar un producto y usar el producto nulo conserva todas las ramas; dividir por un factor que puede ser cero requiere analizar aparte sus ceros. Un cociente definido vale cero exactamente cuando su numerador es cero, conservando la condición de denominador no nulo.

Área trigonométrica y leyes de senos y cosenos

Sea un triángulo no degenerado de lados positivos \(a,b,c\) y ángulos opuestos \(A,B,C\in(0,\pi)\). Con base \(c\), el área es \(\Delta=ch/2\). La distancia perpendicular desde el extremo del lado \(b\) a la recta base vale \(h=b\sin A\). Para \(A\) agudo proviene del triángulo rectángulo interior; para \(A\) obtuso proviene del triángulo exterior con ángulo suplementario \(\pi-A\), de igual seno; para \(A=\pi/2\) la altura es \(b\). Por tanto \(\Delta=bc\sin A/2\) en todos los casos. Las otras bases producen \(\Delta=ca\sin B/2=ab\sin C/2\).

Dividir estas tres expresiones por \(abc/2>0\) da \(\sin A/a=\sin B/b=\sin C/c\). Sus cantidades son positivas; invertirlas prueba la ley de senos \(a/\sin A=b/\sin B=c/\sin C\). No se aplica a figuras degeneradas, donde algún seno podría ser cero.

Para la ley de cosenos, situamos un vértice en \((0,0)\), otro en \((c,0)\) y el tercero en \((b\cos A,b\sin A)\). El tercer lado es la distancia entre los dos últimos puntos. Por Pitágoras cartesiano,

\[\begin{aligned} a^2&=(b\cos A-c)^2+(b\sin A)^2\\ &=b^2(\cos^2A+\sin^2A)+c^2-2bc\cos A\\ &=b^2+c^2-2bc\cos A. \end{aligned}\]

La igualdad vale con coordenada horizontal positiva, cero o negativa y cubre ángulos agudos, rectos y obtusos. Dos lados positivos y su ángulo comprendido en \((0,\pi)\) construyen un triángulo único hasta movimientos y reflexión por LAL. Su tercer lado es la raíz positiva de la expresión obtenida; está estrictamente entre la diferencia absoluta y la suma de los lados porque \(-1<\cos A<1\).

Si se dan \(A,a,b\) con \(A\) opuesto a \(a\), la ley de senos impone \(\sin B=b\sin A/a\). Un valor mayor que uno impide la existencia. Un valor en \((0,1]\) produce un ángulo principal agudo o recto y, cuando es distinto de uno, su suplementario. Solo se conservan candidatos con \(A+B<\pi\), pues \(C=\pi-A-B\) debe ser positivo. Cada candidato válido completa el triángulo mediante dos ángulos y el lado dado; la ley de senos obtiene su lado restante. Esto explica por qué no se afirma unicidad desde dos lados y un ángulo no comprendido.

En los ejemplos con \(A=30^\circ\), el vértice al final del lado \(b\) tiene proyección \(b\cos A\) y altura \(b\sin A\) sobre la semirrecta del lado \(c\). La circunferencia de radio \(a\) centrada en ese vértice corta la recta base, si alcanza, en coordenadas \(c=b\cos A\pm\sqrt{a^2-b^2\sin^2 A}\). Solo los cortes con \(c>0\) generan triángulos. La fórmula explica los dos valores exactos de los problemas y sus inexistencias; no convierte todos los casos de datos semejantes en casos de dos soluciones.

Parametrización de una circunferencia y giro uniforme

Para \(R>0\), el punto \(p(\theta)=(u+R\cos\theta,v+R\sin\theta)\) cumple \((x-u)^2+(y-v)^2=R^2\) por la identidad fundamental. Recíprocamente, restar el centro y dividir por \(R\) lleva cualquier punto de esa circunferencia a un punto unitario. La dirección de este proporciona un ángulo \(\theta\), por lo que todos los puntos quedan representados.

Si dos parámetros dan el mismo punto, al restar el centro y dividir por \(R\) sus radios unitarios coinciden. Esto ocurre exactamente cuando los giros difieren en vueltas completas: \(p(\theta)=p(\varphi)\) equivale a \(\theta-\varphi=2k\pi\), con \(k\in\mathbb Z\). Por ello, cualquier intervalo de longitud \(2\pi\) cerrado por un extremo y abierto por el otro representa cada punto una sola vez.

En un giro uniforme la razón entre cambio angular y tiempo es constante. Una vuelta en \(T>0\) da \(\omega=\pm2\pi/T\), según el sentido, y por proporcionalidad \(\theta(t)=\theta_0+\omega t\). Durante \(\Delta t\ge0\) recorre \(\lvert\omega\rvert\Delta t\) radianes y, por la fórmula del arco, longitud \(R\lvert\omega\rvert\Delta t\). La uniformidad es una hipótesis; el período por sí solo no la demuestra.

Distancias y reparto en coordenadas

Fijamos ejes cartesianos perpendiculares con una unidad común. Para \(A=(a,b)\) y \(B=(c,d)\), los catetos del triángulo de proyecciones tienen longitudes \(|c-a|\) y \(|d-b|\). Pitágoras proporciona \(d(A,B)^2=(c-a)^2+(d-b)^2\); tomar la raíz no negativa da la distancia. La fórmula incluye segmentos horizontales, verticales y el caso \(A=B\), donde vale cero.

El punto \(P=A+t(B-A)\) tiene variaciones \(t(c-a)\) y \(t(d-b)\) desde \(A\). Todos esos desplazamientos son paralelos a \(B-A\); cuando \(A\ne B\), describen su recta. Para \(0\le t\le1\), las longitudes son \(AP=t\,AB\) y \(PB=(1-t)AB\), pues la distancia entre cada par de puntos es el valor absoluto del factor que multiplica a \(B-A\) por \(AB\). En \(t=1/2\) resultan iguales y se obtiene \(M=((a+c)/2,(b+d)/2)\). La razón interior \(m:n\), con \(m,n>0\), exige \(t/(1-t)=m/n\); despejar da \(t=m/(m+n)\) y demuestra tanto la fórmula como su unicidad. Con \(A=B\), la parametrización representa un único punto y las razones interiores de longitudes positivas requieren elegir extremos distintos.

Por definición, una circunferencia de centro \((h,k)\) y radio \(r>0\) reúne los puntos a distancia \(r\) del centro. Aplicar la distancia cartesiana y elevar al cuadrado da \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\). La recíproca se obtiene tomando la raíz positiva \(r\), así que la ecuación caracteriza exactamente la circunferencia.

Operaciones con vectores y homotecias en coordenadas

Un vector libre del plano representa los desplazamientos de iguales componentes respecto de los ejes fijados. El desplazamiento de \(A\) a \(B\) tiene componentes \(B-A\). Su módulo es la longitud de cualquiera de sus representantes, obtenida por Pitágoras. Las definiciones \(u+v=(u_x+v_x,u_y+v_y)\) y \(ku=(ku_x,ku_y)\) se justifican al acumular variaciones sobre cada eje y al escalar ambas variaciones por el mismo real.

La conmutatividad y asociatividad se comprueban en cada coordenada mediante las correspondientes propiedades reales. Por ejemplo, la primera componente de \((u+v)+w\) es \((u_x+v_x)+w_x=u_x+(v_x+w_x)\) y la segunda satisface la igualdad análoga. El vector \((0,0)\) es neutro, y \((-u_x,-u_y)\) es el opuesto porque su suma con \(u\) tiene ambas componentes cero. Las dos distributividades se verifican escribiendo \(k(u_x+v_x)=ku_x+kv_x\) y \((k+l)u_x=ku_x+lu_x\), junto con las igualdades de la segunda coordenada. Asimismo \(k(lu_x)=(kl)u_x\) y \(1u_x=u_x\), y lo mismo para \(y\), prueban compatibilidad y unidad escalar.

Al calcular módulos, \(\|ku\|^2=k^2(u_x^2+u_y^2)\). La raíz no negativa da \(\|ku\|=|k|\|u\|\). Para \(u\ne0\), dividir por el número positivo \(\|u\|\) produce un vector de módulo uno que conserva el sentido. Con \(u=0\), la suma y la escala siguen definidas; el unitario requiere módulo positivo.

Una homotecia de centro \(O\) y razón \(k\ne0\) se caracteriza por \(\overrightarrow{OA'}=k\overrightarrow{OA}\). Reemplazar ambos vectores por diferencias y despejar da \(A'=O+k(A-O)\). Si \(A,B\) tienen imágenes \(A',B'\), al restar obtenemos \(B'-A'=k(B-A)\) y, por tanto, \(A'B'=|k|AB\). La inversa tiene el mismo centro y razón \(1/k\). La fórmula para \(k=0\) describe el colapso de todos los puntos en el centro; las homotecias invertibles corresponden a \(k\ne0\).

Producto escalar, ángulos y proyecciones ortogonales

Para un vector no nulo de módulo \(r\) y ángulo orientado \(\theta\) desde el eje horizontal positivo, la semejanza con el radio unitario da \(u=(r\cos\theta,r\sin\theta)\). Así se deduce la fórmula de componentes, con sus signos y referencia angular.

Definimos \(u\cdot v=u_xv_x+u_yv_y\). Intercambiar los factores de cada producto real prueba la simetría. Distribuir los productos reales prueba la aditividad en cada argumento y la compatibilidad con la escala. Sustituir \(v=u\) da \(u\cdot u=u_x^2+u_y^2=\|u\|^2\).

Sean \(u,v\ne0\) y \(\phi\in[0,\pi]\) su ángulo. Desarrollar los cuadrados por coordenadas da

\[\|u-v\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2-2(u\cdot v).\]

La ley de cosenos da la misma igualdad con \(\|u\|\|v\|\cos\phi\) en el último término. Para \(0<\phi<\pi\), la comparación prueba \(u\cdot v=\|u\|\|v\|\cos\phi\). En los casos alineados, \(v=ku\) para algún \(k\ne0\), y el cálculo \(u\cdot v=k\|u\|^2\) prueba la misma identidad con coseno \(1\) o \(-1\) según el signo de \(k\). Dividir por los módulos positivos da la fórmula del ángulo. En particular, los factores no nulos son perpendiculares exactamente cuando su producto escalar es cero. La convención algebraica de ortogonalidad incluye el vector cero, cuyo producto escalar con cualquier vector es cero.

Para un unitario \(e\), la proyección con signo sobre su eje es \(\|u\|\cos\phi=u\cdot e\), con el caso \(u=0\) verificado directamente. Multiplicarla por \(e\) produce la proyección vectorial. Para \(v\ne0\), sustituir \(e=v/\|v\|\) da \(\operatorname{proj}_v u=((u\cdot v)/(v\cdot v))v\). Definiendo \(w=u-\operatorname{proj}_v u\), la linealidad proporciona \(w\cdot v=u\cdot v-(u\cdot v)(v\cdot v)/(v\cdot v)=0\). Además, cualquier descomposición \(u=sv+w\) con \(w\cdot v=0\) debe satisfacer \(u\cdot v=s(v\cdot v)\); esto fija \(s\) y prueba la unicidad de las partes paralela y perpendicular.

Rectas, normales y distancia mínima

Fijados un punto \(A\) y un vector \(d\ne0\), los puntos \(A+td\), \(t\in\mathbb R\), forman la recta de dirección \(d\) por \(A\). En coordenadas, con \(A=(a,b)\) y \(d=(p,q)\), tenemos \(x=a+tp\), \(y=b+tq\). Para \(p\ne0\), despejar \(t\) da \(y-b=(q/p)(x-a)\); la pendiente es \(m=q/p\). Para \(p=0\), necesariamente \(q\ne0\) y la parametrización recorre todos los puntos de \(x=a\).

La ecuación \(ax+by+c=0\), con \((a,b)\ne(0,0)\), tiene puntos: si \(a\ne0\) podemos tomar \((-c/a,0)\); si \(a=0\), podemos tomar \((0,-c/b)\). Fijado uno de ellos, \(P_0\), la ecuación equivale a \((a,b)\cdot(P-P_0)=0\). El vector \((-b,a)\) es perpendicular a \((a,b)\). Todos los vectores ortogonales a \((a,b)\) son múltiplos de \((-b,a)\): si \(a\ne0\) se despeja la primera componente de \(ax+by=0\), y si \(a=0\) queda \(y=0\). Esto prueba que la ecuación representa precisamente una recta con el normal y director indicados.

Para directores no nulos \(u,v\), la proporcionalidad implica \(u_xv_y-u_yv_x=0\) al sustituir \(v=ku\). Recíprocamente, si esa diferencia es cero y \(u_x\ne0\), tomar \(k=v_x/u_x\) fuerza \(v_y=ku_y\); si \(u_x=0\), entonces \(u_y\ne0\) y la igualdad obliga a \(v_x=0\), permitiendo \(k=v_y/u_y\). Como \(v\ne0\), el factor es no nulo. Esto prueba el criterio de paralelismo de direcciones. El criterio de perpendicularidad procede del producto escalar. Si existen ambas pendientes, podemos usar los directores \((1,m_1)\) y \((1,m_2)\): su producto es \(1+m_1m_2\), que vale cero exactamente cuando \(m_1m_2=-1\).

Para el ángulo menor entre rectas, cambiar el sentido de un director sustituye el coseno por su opuesto y el ángulo por su suplementario. El valor absoluto de \(u\cdot v\) selecciona el coseno no negativo y, por tanto, \(0\le\phi\le\pi/2\); la fórmula incluye paralelismo y perpendicularidad.

Sean \(P=(x_0,y_0)\) y \(r:ax+by+c=0\). Escribimos \(f=ax_0+by_0+c\). El punto \(H=P-f(a,b)/(a^2+b^2)\) pertenece a \(r\), porque sustituir da \(f-f=0\). El desplazamiento \(P-H\) es paralelo al normal, y su módulo es \(|f|/\sqrt{a^2+b^2}\). Para cualquier \(Q\in r\), los segmentos \(PH\) y \(HQ\) son perpendiculares; Pitágoras proporciona \(PQ^2=PH^2+HQ^2\). Así \(PH\) es la distancia mínima y solo \(Q=H\) la alcanza. Si \(f=0\), el punto ya está en la recta y el mínimo es cero. Quedan probadas la fórmula del pie y la de distancia con todos sus casos.

Movimientos del plano y elección del origen

La traslación \(T_v(P)=P+v\) satisface \(T_v(Q)-T_v(P)=Q-P\), por lo que conserva distancias. Las reflexiones en los ejes se expresan como \((x,y)\mapsto(x,-y)\) y \((x,y)\mapsto(-x,y)\). Las diferencias entre imágenes cambian el signo de una componente y conservan la suma de sus cuadrados; por ello también conservan distancias.

Para girar un punto no nulo escribimos \((x,y)=(r\cos\alpha,r\sin\alpha)\). Las fórmulas de adición dan

\[\begin{aligned}x'&=x\cos\theta-y\sin\theta,\\y'&=x\sin\theta+y\cos\theta.\end{aligned}\]

En el origen, las mismas expresiones dan \((0,0)\), así que la fórmula incluye todos los puntos. Si \(c=\cos\theta\) y \(s=\sin\theta\), un cálculo directo produce \((cx-sy)^2+(sx+cy)^2=(c^2+s^2)(x^2+y^2)=x^2+y^2\). La fórmula es lineal y lleva diferencias a diferencias; aplicar esa igualdad a \(Q-P\) prueba la conservación de distancias. El giro de centro \(C\) se obtiene llevando primero ese centro al origen, aplicando el giro y restituyéndolo: \(P'=C+R_\theta(P-C)\).

Con ejes paralelos de igual orientación y unidad, elegir el origen \(O'\) asigna a \(P\) las coordenadas de \(P-O'\). Las diferencias de coordenadas entre dos puntos permanecen iguales. Se trata de otra referencia para los mismos puntos, y esa identidad de diferencias verifica la igualdad de distancias.

Una transformación afín tiene fórmulas \(x'=ax+by+e\), \(y'=cx+dy+f\), con coeficientes reales fijos. Sustituir estas dos expresiones en otras del mismo tipo vuelve a producir combinaciones lineales de \(x,y\) más constantes; así la composición es afín. Las fórmulas de traslación, reflexión, giro y homotecia tienen esta forma. La conservación de distancias se ha demostrado para las tres primeras; la homotecia escala las distancias por \(|k|\).

Vectores espaciales, orientación y áreas

En tres ejes perpendiculares de unidad común, Pitágoras en el plano horizontal da \(u_x^2+u_y^2\) como cuadrado de la proyección de un desplazamiento; aplicarlo con su componente vertical da \(\|u\|^2=u_x^2+u_y^2+u_z^2\). En consecuencia, \(d(A,B)=\|B-A\|\). Suma y escala se definen por componentes. Las pruebas reales de conmutatividad, asociatividad, neutro, opuesto, distributividades, compatibilidad y escala del módulo se repiten en las tres coordenadas. El producto escalar \(u\cdot v=u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z\) hereda simetría y linealidad; \(u\cdot u=\|u\|^2\). Los dos vectores están contenidos en algún plano por el origen y el desarrollo de \(\|u-v\|^2\), comparado con la ley de cosenos en ese plano, prueba su interpretación angular. La deducción algebraica de proyecciones es idéntica, pues usa solo estas igualdades.

Fijamos una base ortonormal de mano derecha y definimos \(w=u\times v\) mediante

\[\begin{aligned}w_x&=u_yv_z-u_zv_y,\\w_y&=u_zv_x-u_xv_z,\\w_z&=u_xv_y-u_yv_x.\end{aligned}\]

Intercambiar \(u\) y \(v\) cambia el signo de cada componente y prueba \(v\times u=-u\times v\). Distribuir cada producto real prueba \(u\times(v+z)=u\times v+u\times z\) y \((ku)\times v=k(u\times v)\); la antisimetría proporciona también la aditividad en el primer argumento. Al formar \(w\cdot u\) aparecen seis términos que se cancelan por parejas: \(u_xu_yv_z\) con \(-u_yu_xv_z\), \(-u_xu_zv_y\) con \(u_zu_xv_y\), y \(u_yu_zv_x\) con \(-u_zu_yv_x\). Así \(w\cdot u=0\). Intercambiar los factores prueba igualmente \(w\cdot v=0\).

Para comprobar su módulo expandimos la suma

\[\begin{aligned}\|w\|^2={}&(u_yv_z-u_zv_y)^2\\&+(u_zv_x-u_xv_z)^2\\&+(u_xv_y-u_yv_x)^2.\end{aligned}\]

Por otra parte, al desarrollar \(\|u\|^2\|v\|^2-(u\cdot v)^2\), los tres términos \(u_x^2v_x^2,u_y^2v_y^2,u_z^2v_z^2\) se cancelan. Quedan los seis términos cuadrados cruzados \(u_i^2v_j^2\), con \(i\ne j\), y los tres términos dobles negativos \(-2u_xu_yv_xv_y\), \(-2u_xu_zv_xv_z\) y \(-2u_yu_zv_yv_z\). Son exactamente los de la expansión anterior. Esto demuestra

\[\|u\times v\|^2=\|u\|^2\|v\|^2-(u\cdot v)^2.\]

Para factores no nulos, sustituir la identidad angular da \(\|u\times v\|=\|u\|\|v\|\sin\phi\), con \(0\le\phi\le\pi\) y seno no negativo. El área base por altura del paralelogramo es la misma expresión, pues la altura respecto de \(u\) mide \(\|v\|\sin\phi\). Si algún factor es cero, ambas áreas y el producto son cero directamente. El triángulo ocupa la mitad del paralelogramo, lo que prueba la fórmula de área triangular.

La orientación se fija por \(e_x\times e_y=e_z\) en la base de mano derecha elegida. La definición por componentes mantiene esa elección para cada par independiente: produce la normal que apunta según el giro de \(u\) hacia \(v\) por el ángulo menor y la regla de la mano derecha. Esta convención permite elegir uno de los dos sentidos perpendiculares al plano; el módulo y el área quedan determinados por la identidad probada.

Funciones, imágenes y sustitución

Adoptamos la definición de función \(f:A\to B\) como una asignación que da a cada \(x\in A\) un único elemento \(f(x)\in B\). Dominio, codominio y asignación forman los datos de la función. El recorrido se define como el conjunto de imágenes \(f(A)=\{f(x):x\in A\}\). Cada uno de sus elementos pertenece a \(B\) por la condición de llegada de la asignación; así \(f(A)\subseteq B\). Las imágenes de entradas distintas pueden coincidir porque la unicidad requerida se formula para cada entrada fija.

Cuando una fórmula expresa la asignación, sustituir un argumento admisible \(u\) en cada aparición de la variable obtiene precisamente la imagen asignada a ese elemento. Los paréntesis mantienen el argumento completo en cada operación. El cambio \(f(a+h)-f(a)\) es una resta de dos imágenes reales y exige que \(a\) y \(a+h\) pertenezcan al dominio. Con \(h=0\) ambas imágenes coinciden y la diferencia es cero. Las formas \(mx+b\) y \(mx\) son las definiciones de regla afín y lineal adoptadas; sustituir cero da \(f(0)=b\) cuando esa entrada pertenece al dominio. La igualdad de funciones con idénticos dominio, codominio y asignación es la convención explícita adoptada en el cuerpo; el nombre de la variable de escritura conserva esos tres datos.

Dominios y valores alcanzados

La división real \(p/q\) usa el inverso multiplicativo de \(q\), que existe para \(q\ne0\). Por eso una expresión \(p(x)/q(x)\) exige que numerador y denominador estén definidos y que el segundo sea distinto de cero. La raíz real de índice par se define como la solución no negativa de \(z^{2n}=u\) para \(u\ge0\). La potencia par es no negativa para todo real \(z\); la raíz así definida exige radicando no negativo. Estas condiciones proceden de las operaciones numéricas estudiadas anteriormente.

Si una expresión contiene varias operaciones, un valor es admisible cuando cumple cada una de sus condiciones. Decir que pertenece a todos los conjuntos permitidos equivale a pertenecer a su intersección. Si un problema añade condiciones contextuales, se intersecta también con sus valores admitidos. Este procedimiento determina el dominio de la función declarada a partir del dominio natural y el contexto.

Una simplificación algebraica demuestra igualdad de valores en las entradas donde sus operaciones son válidas. En una cancelación, \(r(x)s(x)/r(x)=s(x)\) se deduce multiplicando por el inverso de \(r(x)\), así que mantiene la condición \(r(x)\ne0\) y las restantes restricciones de las expresiones. La simplificación conserva la asignación en ese dominio; extender la regla a entradas nuevas requiere declarar otra función.

Por definición de recorrido, \(y\in f(A)\) equivale a que exista una entrada \(x\in A\) con \(f(x)=y\). Por tanto, para proponer un conjunto \(S\) como recorrido se requieren dos comprobaciones: que todas las imágenes pertenezcan a \(S\) y que cada elemento de \(S\) se obtenga con alguna entrada admisible. Las soluciones explícitas para \(x\) usadas en los problemas de área, rectas y parábolas verifican la segunda comprobación y evitan confundir una cota con una descripción completa de los valores alcanzados.

Gráficas, restricciones y lectura de valores

Para \(A\subseteq\mathbb R\) y \(f:A\to\mathbb R\), la gráfica se define por \(G_f=\{(x,f(x)):x\in A\}\). Fijado \(x\in A\), el punto \((x,f(x))\) existe y es el único de la gráfica con esa abscisa, por existencia y unicidad de la imagen. Recíprocamente, si un conjunto de pares de \(A\times\mathbb R\) contiene exactamente uno con cada primera coordenada \(x\in A\), asignar a \(x\) su segunda coordenada define una función y recupera ese conjunto como gráfica. Esto prueba el criterio de lectura vertical con su dominio declarado.

Un punto de la gráfica está en el eje horizontal precisamente cuando su segunda coordenada es cero; así sus abscisas son las soluciones de \(f(x)=0\) en \(A\). Para el eje vertical se requiere primera coordenada cero. Cuando \(0\in A\), la unicidad proporciona el punto \((0,f(0))\). Las primeras coordenadas de todos los pares de \(G_f\) forman exactamente \(A\), y las segundas forman exactamente \(f(A)\); esto justifica la lectura de dominio y recorrido mediante proyecciones.

Sea \(D\subseteq A\). La restricción \(f|_D:D\to B\) asigna a cada entrada de \(D\) su imagen mediante \(f\). Hereda existencia, unicidad y pertenencia al codominio. Su gráfica conserva exactamente los pares de \(G_f\) con primera coordenada en \(D\). Cada imagen de \(f|_D\) es también imagen de \(f\), de donde \(f(D)\subseteq f(A)\).

Orden, extremos y simetrías de funciones

Las condiciones \(a<b\Rightarrow f(a)<f(b)\) y \(a<b\Rightarrow f(a)>f(b)\) para todas las entradas de un intervalo son las definiciones de crecimiento y decrecimiento estrictos adoptadas. Las versiones con desigualdad no estricta definen las variantes no decreciente y no creciente. El signo de una imagen compara \(f(x)\) con cero y la variación compara imágenes entre sí, por lo que ambas condiciones pueden coexistir como muestran los ejemplos afines de imágenes negativas.

Un máximo absoluto en \(c\) se define por \(f(x)\le f(c)\) para toda entrada; un mínimo por \(f(x)\ge f(c)\). Si sabemos que \(L\le f(x)\le U\) para todo \(x\), y existe \(c\) con \(f(c)=L\), sustituir muestra \(f(x)\ge f(c)\) y prueba que \(L\) es mínimo. Si existe \(d\) con \(f(d)=U\), resulta \(f(x)\le f(d)\) y \(U\) es máximo. Una cota que queda fuera del recorrido carece de una entrada que satisfaga esa igualdad y debe conservarse como cota. En los intervalos abiertos de los problemas, construir para cada candidato otra imagen menor o mayor demuestra directamente la ausencia del extremo correspondiente.

Supongamos que \(A\) es simétrico respecto de cero. Si \(f(-x)=f(x)\), el reflejo de cada punto \((x,f(x))\) en el eje vertical es \((-x,f(x))=(-x,f(-x))\), otro punto de la gráfica. La reflexión aplicada dos veces devuelve el punto inicial, de modo que conserva toda la gráfica. Recíprocamente, si la gráfica es simétrica en ese eje, el punto reflejado tiene que poseer la única imagen de \(-x\), lo que obliga a \(f(-x)=f(x)\). Esto prueba la equivalencia entre paridad y simetría vertical.

Para la imparidad, el giro de media vuelta lleva \((x,f(x))\) a \((-x,-f(x))\). Este punto pertenece a la gráfica exactamente cuando \(f(-x)=-f(x)\). El mismo argumento con la transformación aplicada dos veces prueba la equivalencia. La simetría del dominio garantiza en ambos casos que las dos entradas comparadas estén admitidas. Si cero pertenece al dominio de una función impar real, \(f(0)=-f(0)\) implica además \(f(0)=0\).

Reglas por tramos y fronteras

Sean \(A_1,\ldots,A_n\) los dominios de las reglas que se desean unir y sea \(A\) su unión. Para cada \(x\in A\) hay al menos una regla aplicable porque pertenece a alguno de esos conjuntos. Si los conjuntos son disjuntos, la regla aplicable es única y determina la imagen. Si se superponen, la asignación es funcional exactamente cuando todas las reglas aplicables a una misma entrada le asignan el mismo valor: en ese caso se conserva la unicidad; si dos valores difieren, esa entrada tiene dos salidas.

Evaluar una función por tramos consiste por ello en comprobar primero las condiciones de pertenencia y después calcular la imagen mediante una regla válida. El uso de extremos abiertos y cerrados expresa esas pertenencias y decide la asignación en las fronteras. La unión de los recorridos de las reglas sobre sus tramos es el recorrido completo, pues cada entrada pertenece a algún tramo y cada imagen de una regla forma parte de la asignación común.

Para reglas afines \(mx+b\) y \(nx+c\) a ambos lados de una frontera \(a\), sus alturas de frontera son \(ma+b\) y \(na+c\). Coinciden exactamente cuando \(ma+b=na+c\). Además, al sustituir \(a+h\) en la primera regla, su diferencia respecto de la altura \(ma+b\) es \(mh\), cuyo valor absoluto \(|m||h|\) puede hacerse tan pequeño como se quiera tomando \(|h|\) pequeño; para la segunda ocurre lo mismo con \(|n||h|\). Por ello la coincidencia de las alturas y del valor asignado en \(a\) permite un enlace sin salto. Este argumento se limita a las reglas afines declaradas y mantiene separada la condición de enlace de la unicidad de una función por tramos.

Inyectividad e inversión de funciones

La inyectividad se define por \(f(a)=f(b)\Rightarrow a=b\). La sobreyectividad sobre \(B\) exige que para todo \(y\in B\) exista \(x\in A\) con \(f(x)=y\). Si ambas se cumplen, cada \(y\in B\) tiene una preimagen existente y única: la primera condición fija la unicidad y la segunda la existencia. Asignarle esa preimagen define \(f^{-1}:B\to A\). Su construcción da inmediatamente \(f^{-1}(f(x))=x\) y \(f(f^{-1}(y))=y\) en los respectivos dominios.

Para demostrar la unicidad de la inversa, si otra regla \(g:B\to A\) cumple la recuperación \(f(g(y))=y\), entonces \(g(y)\) debe ser la única preimagen de \(y\) y coincide con \(f^{-1}(y)\) para cada \(y\). Recíprocamente, si existe \(g\) con las dos recuperaciones, la igualdad \(f(a)=f(b)\) permite aplicar \(g\) a ambos lados y obtener \(a=b\); así \(f\) es inyectiva. Para cada \(y\in B\), la entrada \(g(y)\) satisface \(f(g(y))=y\), así que \(f\) es sobreyectiva. Queda probada la equivalencia entre biyectividad y existencia de inversa con ambas recuperaciones.

Una función estrictamente creciente en un intervalo es inyectiva: si \(a\ne b\), uno es menor que el otro y sus imágenes quedan estrictamente ordenadas. El caso decreciente proporciona la misma conclusión con el orden invertido. Al adoptar como codominio el recorrido, la sobreyectividad se cumple por definición y la inversa queda definida en él. Este argumento permite recorridos que tengan huecos; la existencia de la inversa depende de la correspondencia única de valores.

Para la gráfica de una función biyectiva real, \((x,y)\in G_f\) equivale a \(y=f(x)\). Por las recuperaciones, esto equivale a \(x=f^{-1}(y)\) y, por tanto, a \((y,x)\in G_{f^{-1}}\). El intercambio de coordenadas es la reflexión en la recta \(y=x\): el punto medio de \((x,y)\) y \((y,x)\) pertenece a esa recta y su diferencia es perpendicular a su director \((1,1)\). Así se justifica la representación gráfica de la inversión.

Datos finitos y alcance de un modelo

Para un dato \((x_i,y_i)\) y un modelo \(m\) definido en esa entrada, el residuo se define como \(r_i=y_i-m(x_i)\). Se cumple \(r_i=0\) exactamente cuando el modelo reproduce el dato. Reproducir toda la muestra equivale a que esa igualdad se cumpla en cada una de sus entradas. La definición del residuo, por sí sola, describe una diferencia de valores y conserva las unidades de la magnitud de salida.

Si una regla \(p\) reproduce los datos en \(x_1,\ldots,x_n\), consideremos \(q(x)=p(x)+k\prod_{i=1}^n(x-x_i)\) en un dominio común que contenga esas entradas. Para cada entrada observada \(x_j\), el producto contiene el factor \(x_j-x_j=0\) y por tanto \(q(x_j)=p(x_j)=y_j\), cualquiera sea el real \(k\). En otras entradas el producto puede ser distinto de cero y las predicciones pueden diferir. Esta construcción prueba que una muestra finita compatible con una regla deja libertad para otras reglas en un dominio más amplio. Una hipótesis adicional sobre la familia de modelos puede reducir esa libertad; su justificación forma parte de la interpretación del fenómeno.

Tasa constante y reconstrucción afín

La regla afín \(f(x)=mx+b\) es una definición de familia funcional, con parámetros fijos y conjuntos declarados. Sustituir \(v\) y \(u\) y restar da \(f(v)-f(u)=mv+b-mu-b=m(v-u)\). Para \(v\ne u\), dividir por \(v-u\) proporciona la pendiente. Recíprocamente, si una asignación tiene cociente de cambio \(m\) entre cualquier par de entradas distintas, fijar una entrada \(u\) produce \(f(x)=mx+f(u)-mu\) para las demás entradas y también para \(u\). Esta afirmación supone un dominio con al menos dos entradas para determinar la pendiente de manera única.

Dos pares \((x_1,y_1),(x_2,y_2)\) con \(x_1\ne x_2\) obligan a \(m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)\) y \(b=y_1-mx_1\). Esos valores, al sustituirse, reproducen ambos pares, lo que prueba existencia y unicidad dentro de la familia afín. Una tabla adicional se contrasta sustituyendo sus entradas. La compatibilidad de una tabla finita deja abierta la elección de otras familias fuera de esas entradas, como se demostró en «Datos finitos y alcance de un modelo».

Si \(u<v\), el factor \(v-u\) es positivo. La identidad de cambios da crecimiento para \(m>0\), decrecimiento para \(m<0\) y constancia para \(m=0\). Sustituir cero produce \(b\) cuando la entrada está admitida. Resolver \(mx+b=0\), para \(m\ne0\), da \(x=-b/m\) por operaciones reversibles. En un dominio restringido, esa entrada pertenece a los ceros precisamente cuando está admitida. De igual modo, \(y=mx+b\) equivale a \(x=(y-b)/m\); las dos sustituciones verifican la recuperación en los conjuntos correspondientes. Las unidades de \(m\) provienen del cociente entre las unidades de salida y de entrada.

Diferencias afines e intersecciones

Sean \(f(x)=m_1x+b_1\) y \(g(x)=m_2x+b_2\) en un dominio común. Por distributividad, \(f(x)-g(x)=(m_1-m_2)x+b_1-b_2\). Si \(m_1\ne m_2\), la igualdad de imágenes exige y admite la única abscisa \((b_2-b_1)/(m_1-m_2)\) en las rectas completas. Sustituirla en cualquiera de las reglas da la ordenada común. Para gráficas restringidas, la intersección existe exactamente cuando esa abscisa pertenece a ambos dominios.

Si \(m_1=m_2\), la diferencia es la constante \(b_1-b_2\). Cuando también \(b_1=b_2\), coinciden las asignaciones en cada entrada común; la igualdad de funciones requiere además los conjuntos declarados según la convención de la obra. Cuando \(b_1\ne b_2\), las imágenes difieren en todas las entradas. El orden se expresa por el signo de la diferencia porque el orden real es compatible con sumar el mismo número. Una comparación sobre enteros se obtiene intersectando su conjunto solución real con los enteros del dominio: esta es la definición del problema restringido y justifica los umbrales entre pedidos consecutivos.

Cuadrados completos y parámetros de parábolas

La función cuadrática se define mediante \(q(x)=ax^2+bx+c\), con \(a\ne0\). La identidad

\[a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}=ax^2+bx+c\]

se verifica expandiendo el cuadrado; los denominadores existen por la hipótesis sobre \(a\). Escribir \(h=-b/(2a)\) y \(k=c-b^2/(4a)\) produce \(q(x)=a(x-h)^2+k\). Sustituir \(h+d\) y \(h-d\) da en ambos casos \(ad^2+k\), lo que demuestra la simetría. La identidad \(q(h+d)-k=ad^2\) expresa la separación vertical y explica el efecto del factor \(a\) manteniendo fijos \(h,k\).

El cuadrado real es no negativo y se anula exactamente en cero. Por tanto, con dominio real completo, \(a>0\) da mínimo \(k\) y \(a<0\) da máximo \(k\), ambos alcanzados en \(h\). Cada \(y\ge k\) en el primer caso se alcanza con \(x=h+\sqrt{(y-k)/a}\); en el segundo, cada \(y\le k\) se alcanza con la misma fórmula, cuyo radicando vuelve a ser no negativo. Estas sustituciones demuestran los recorridos completos.

Para justificar la variación, sean \(u<v\). Restar imágenes da

\[q(v)-q(u)=a(v-u)(u+v-2h).\]

Si \(u<v\le h\), el último factor es estrictamente negativo. Si \(h\le u<v\), es estrictamente positivo. El signo de \(a\) proporciona las cuatro afirmaciones de variación de la tabla. Las conclusiones se restringen a las entradas del dominio cuando este es menor que \(\mathbb R\). En una familia donde se mantienen \(b,c\) y cambia \(a\), también cambian \(h,k\) según sus fórmulas; el caso \(a=0\) se estudia directamente como regla afín.

Raíces, signos y contacto de una parábola

De la forma canónica y \(k=-(b^2-4ac)/(4a)\) se obtiene que \(q(x)=0\) equivale a \((2ax+b)^2=\Delta\), donde \(\Delta=b^2-4ac\). Para \(\Delta>0\), la raíz principal positiva da dos valores distintos de \(2ax+b\) y, por \(a\ne0\), dos entradas distintas. Para \(\Delta=0\), ambas coinciden. Para \(\Delta<0\), la positividad de los cuadrados excluye una solución real. Despejar proporciona las raíces de la tabla.

Con raíces reales, la suma es \(r_1+r_2=-b/a\) y el producto \(r_1r_2=c/a\), como se comprueba con las fórmulas. Expandir \(a(x-r_1)(x-r_2)\) recupera entonces \(ax^2+bx+c\), incluida la raíz repetida. Si \(r_1<r_2\), fuera del intervalo ambos factores tienen el mismo signo y dentro tienen signos opuestos. Multiplicar por \(a\) prueba la regla de signos. Con raíz doble, la expresión es \(a(x-r)^2\) y conserva el signo de \(a\) en las entradas distintas de \(r\).

Para una recta \(\ell(x)=mx+n\), la diferencia \(q-\ell=ax^2+(b-m)x+c-n\) conserva coeficiente principal \(a\ne0\). Sus ceros son exactamente las abscisas donde coinciden las alturas y su signo compara las imágenes, por compatibilidad del orden. Si tiene una raíz doble \(r\), su factorización es \(a(x-r)^2\): hay un único encuentro y la diferencia conserva el signo a ambos lados.

La relación con las secantes permite justificar el contacto. De \(q(x)=a(x-h)^2+k\), el cociente \((q(r+s)-q(r))/s\), para \(s\ne0\), vale \(2a(r-h)+as\). Al aproximarse \(s\) a cero, su diferencia respecto de \(2a(r-h)\) tiene valor absoluto \(|a||s|\), que se hace tan pequeño como se quiera. La recta por \((r,q(r))\) con esa pendiente satisface exactamente \(q(x)-\ell(x)=a(x-r)^2\). Así se justifica el término tangente mediante el contacto y la aproximación de secantes, sin presuponer un curso de derivadas.

Distancia al eje y optimización restringida

En \(q(x)=a(x-h)^2+k\), comparar imágenes equivale a comparar distancias al eje, conservando el orden si \(a>0\) e invirtiéndolo si \(a<0\). En un intervalo cerrado \([L,U]\), la menor distancia a \(h\) se alcanza en \(h\) si \(L\le h\le U\), en \(L\) si \(h<L\) y en \(U\) si \(h>U\). La mayor distancia se alcanza en algún extremo: para \(x\in[L,U]\), se tiene \(|x-h|\le\max(|L-h|,|U-h|)\), como se verifica separando las posiciones relativas a \(h\). De estas dos comparaciones resulta la lista de candidatos de la tabla.

En un intervalo de enteros, los candidatos de menor distancia son el mayor entero situado por debajo de \(h\) y el menor situado por encima, cuando están admitidos. Si el intervalo queda por completo a un lado, el extremo entero más cercano minimiza la distancia. Cuando ambos candidatos están a la misma distancia, producen la misma imagen. El extremo opuesto de la función en un conjunto finito se encuentra entre los enteros de mayor distancia, situados en los límites del conjunto. Estos argumentos justifican la comparación discreta y sus restricciones.

Máximo y mínimo se definen por una imagen alcanzada que domina a las demás en el orden correspondiente. Una cota situada en un extremo excluido puede no alcanzarse. Para demostrar la falta de extremo basta construir para cada entrada otra admisible con imagen mayor o menor, como se hace en los problemas. El hecho de que el dominio sea abierto, por sí solo, no decide la existencia de extremos: el vértice puede estar en su interior y alcanzar uno de ellos.

Reconstrucción cuadrática y diferencias regulares

Dados un vértice \((h,k)\) y un punto \((x_0,y_0)\) con \(x_0\ne h\), sustituir en \(a(x-h)^2+k\) determina el único coeficiente \(a=(y_0-k)/(x_0-h)^2\). Se comprueba la condición cuadrática \(a\ne0\). Con dos raíces declaradas, la forma \(a(x-r_1)(x-r_2)\) determina del mismo modo el factor a partir de un punto cuyo producto de factores sea distinto de cero. Si se repite el vértice o una raíz como condición adicional, esa sustitución puede ser redundante o incompatible; la división solo se realiza con denominador distinto de cero.

Para tres pares \((x_i,y_i)\) con abscisas distintas, la existencia de un polinomio de grado a lo sumo dos queda demostrada por

\[p(x)=\sum_{i=1}^{3}y_i\prod_{\substack{1\le j\le3\\j\ne i}}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.\]

Los denominadores existen. En \(x=x_i\), el término correspondiente vale \(y_i\) y los otros contienen un factor cero, por lo que la regla reproduce las tres condiciones. Cada sumando tiene grado a lo sumo dos. Si otra regla de ese grado reprodujera los datos, la diferencia tendría tres raíces distintas. Un polinomio de grado a lo sumo dos con tres raíces distintas es el polinomio cero, por el teorema de raíces demostrado en «División de polinomios, restos y multiplicidad». Así se obtiene unicidad; el coeficiente de \(x^2\) puede ser cero.

Expandir \(q(x+d)-q(x)\) da \(2adx+ad^2+bd\). Restar esa expresión de la misma primera diferencia iniciada en \(x+d\) da \(2ad^2\). Se requiere un paso común para interpretar la segunda diferencia de esta forma; con \(d\ne0\) se recupera \(a\) dividiendo por \(2d^2\). Recíprocamente, en una tabla finita equiespaciada con segunda diferencia constante, el polinomio ajustado a las primeras tres entradas reproduce las siguientes por la recurrencia \(y_{i+2}=2y_{i+1}-y_i+K\), donde \(K\) es esa constante. La prueba avanza por inducción. La compatibilidad se afirma en las entradas de la tabla; la extensión del modelo requiere una hipótesis sobre la regla, como se explica en «Datos finitos y alcance de un modelo».

Coordenadas temporales y eliminación de un parámetro

Una gráfica temporal de altura es por definición el conjunto de pares \((t,y(t))\). Una trayectoria paramétrica es el conjunto de pares \((x(t),y(t))\) para los instantes admitidos. Los nombres de las variables y sus unidades especifican las cantidades representadas. El mismo instante determina simultáneamente ambas coordenadas de una posición.

Si \(x(t)=ut+x_0\) con \(u\ne0\), la recuperación afín da \(t=(x-x_0)/u\). Para cada instante admisible, sustituir esta expresión en \(y(t)\) conserva la posición; recíprocamente, para cada \(x\) de la imagen del dominio temporal, esa fórmula recupera un instante admisible y la misma altura. Las dos inclusiones prueban la igualdad entre la trayectoria paramétrica y la gráfica espacial obtenida. En un intervalo temporal cerrado, sus abscisas quedan entre los valores de \(x\) en los extremos, con orden determinado por el signo de \(u\). Para \(u=0\), la coordenada horizontal es constante y se mantiene la representación paramétrica. En los ejemplos del capítulo, sustituir una función afín invertible en una expresión cuadrática produce la trayectoria espacial y transporta exactamente el intervalo de observación.

Ceros polinómicos, multiplicidad y signo

Un polinomio real es una suma finita de potencias enteras no negativas con coeficientes reales; las operaciones que lo forman están definidas en toda la recta. La multiplicidad de un cero \(r\) es el entero \(m\ge1\) de la factorización \(P(x)=(x-r)^mS(x)\) con \(S(r)\ne0\). Es una definición; su existencia para un cero de un polinomio distinto de cero procede de dividir repetidamente por \(x-r\). Cada división exacta disminuye el grado y el proceso termina.

Para justificar la conservación local del signo de \(S\), escribimos \(S(x)-S(r)=(x-r)T(x)\). En \(|x-r|\le1\), se tiene \(|x|\le |r|+1\). Si \(T(x)=\sum b_kx^k\), entonces \(|T(x)|\le C=\sum |b_k|(|r|+1)^k\). Cuando \(C>0\), basta imponer \(|x-r|<\min(1,|S(r)|/(2C))\) para obtener \(|S(x)-S(r)|<|S(r)|/2\). Cuando \(C=0\), \(S\) es constante. En ambos casos \(S\) conserva el signo de \(S(r)\) en un entorno. El factor \((x-r)^m\) tiene signo positivo a ambos lados si \(m\) es par y cambia de signo si es impar. Multiplicar ambos signos prueba la regla de contacto o cruce.

En un intervalo sin ceros de los factores, los signos de estos determinan el signo del producto por las reglas del orden. Para polinomios factorizados en factores lineales y cuadráticos positivos, estas reglas dan directamente las tablas de signos usadas en el capítulo. La cota general de ceros se obtiene por división: cada cero distinto permite extraer un factor lineal, y cada multiplicidad consume ese número de grados. Si se extrajeran más de \(n\) factores de un polinomio de grado \(n\), la igualdad de grados sería imposible. Esta afirmación se refiere a polinomios distintos del polinomio cero.

Dominancia polinómica y transformación de gráficas

Sea \(P(x)=a_nx^n+\sum_{k<n}a_kx^k\), \(n\ge1\), \(a_n\ne0\). Para \(|x|\ge1\), la desigualdad triangular da

\[\left|\frac{P(x)}{x^n}-a_n\right|\le\sum_{k<n}\frac{|a_k|}{|x|^{n-k}}\le\frac S{|x|},\qquad S=\sum_{k<n}|a_k|.\]

Si \(|x|>\max(1,2S/|a_n|)\), el error es menor que \(|a_n|/2\). Por ello el cociente \(P(x)/x^n\) tiene el signo de \(a_n\) y magnitud mayor que \(|a_n|/2\). Multiplicar por \(x^n\) demuestra la afirmación sobre signo y magnitud. Para cualquier altura \(M>0\), añadir la condición \(|x|>(2M/|a_n|)^{1/n}\) garantiza \(|P(x)|>M\). La paridad de \(n\) y el signo del coeficiente principal fijan las dos colas.

Para \(g(x)=Af(B(x-h))+k\), con \(A,B\ne0\), resolver \(u=B(x-h)\) da \(x=h+u/B\). La altura correspondiente es \(k+Af(u)\): se prueba así la transformación de cada punto. El dominio es exactamente el conjunto de entradas para las que \(B(x-h)\in D_f\), porque esa condición permite evaluar cada operación de la regla. Cuando \(A=0\) y se conserva la expresión como evaluación compuesta, se conserva también esa condición de dominio; una extensión constante requiere declarar su propio dominio. Estos hechos dependen de sustitución y de la definición de función, con las convenciones explícitas del capítulo 16.

Cancelación, extensión y polos racionales

El cociente racional se define en las entradas donde su denominador tiene valor distinto de cero. En ese dominio, \(P(x)/Q(x)=0\) equivale a \(P(x)=0\). Para \(A(x)Q(x)\ne0\), multiplicar por el inverso de \(A(x)\) prueba \(A(x)P(x)/[A(x)Q(x)]=P(x)/Q(x)\). La identidad se afirma sobre el dominio original.

Sea \(a\) una exclusión original y \(R/S\) la regla reducida, con \(S(a)\ne0\). Los polinomios cumplen \(R(x)-R(a)=(x-a)U(x)\) y \(S(x)-S(a)=(x-a)V(x)\). En un entorno de \(a\), \(U,V\) están acotados por sumas de los valores absolutos de sus coeficientes y potencias de \(|a|+1\). Reduciendo el entorno se garantiza \(|S(x)|\ge|S(a)|/2\). Además,

\[\frac{R(x)}{S(x)}-\frac{R(a)}{S(a)}=(x-a)\frac{U(x)S(a)-R(a)V(x)}{S(x)S(a)}.\]

La fracción final tiene una cota finita \(K\) en ese entorno, de modo que la diferencia es a lo sumo \(K|x-a|\). Por tanto puede hacerse menor que cualquier tolerancia. Esta desigualdad justifica la extensión con valor \(R(a)/S(a)\) y el punto abierto de la gráfica original, incluso cuando el valor extendido es cero.

Para un polo reducido \(R(x)/[(x-a)^mS(x)]\) con \(R(a)S(a)\ne0\), las mismas cotas aseguran en un entorno \(|R(x)|\ge|R(a)|/2\) y \(0<|S(x)|\le C\) para algún \(C>0\). Así,

\[\left|\frac{R(x)}{(x-a)^mS(x)}\right|\ge\frac{|R(a)|}{2C|x-a|^m}.\]

Para superar una altura \(M>0\), basta \(0<|x-a|<(|R(a)|/(2CM))^{1/m}\) dentro de ese entorno. Los signos de \(R,S\) permanecen fijos y el factor de potencia par o impar decide los signos laterales. Estas condiciones constituyen la afirmación precisa de asíntota vertical usada en el capítulo. El signo de un cociente definido coincide con el producto de los signos de numerador y denominador, porque un real y su inverso tienen el mismo signo.

Asíntotas racionales y cotas del resto

Una asíntota horizontal u oblicua en una cola se define por el error vertical respecto de la recta: para cada \(\varepsilon>0\) existe un umbral que garantiza error menor que \(\varepsilon\) en todas las entradas de esa cola pertenecientes al dominio. La división polinómica, cuyo algoritmo fue justificado en el apéndice algebraico, da \(P=QS+R\) con resto de grado menor que el de \(Q\) o resto cero. Dividir en \(Q(x)\ne0\) prueba \(P/Q-S=R/Q\).

Sea \(Q\) de grado \(d\ge1\) y coeficiente principal \(b\). Por dominancia, para \(|x|\) suficientemente grande, \(|Q(x)|\ge |b||x|^d/2\). Si \(R\) tiene grado \(r<d\) y \(C\) es la suma de los valores absolutos de sus coeficientes, para \(|x|\ge1\) se cumple \(|R(x)|\le C|x|^r\). Por tanto

\[\left|\frac{R(x)}{Q(x)}\right|\le\frac{2C}{|b||x|^{d-r}}\le\frac{2C}{|b||x|}.\]

Además del umbral de dominancia, tomar \(|x|>2C/(|b|\varepsilon)\) garantiza la tolerancia. Si \(R=0\), el error es idénticamente cero en el dominio. Si \(Q\) es constante, la división tiene resto cero y el cociente coincide exactamente con el polinomio \(S\).

Cuando el numerador tiene menor grado, \(S=0\); para igual grado, \(S\) es el cociente de los coeficientes principales; para diferencia de grado uno, \(S\) es afín de pendiente distinta de cero. Estos casos prueban las tres reglas de asíntotas del capítulo. Para diferencia mayor, la misma cota demuestra aproximación al cociente polinómico. El error puede anularse en entradas finitas y satisfacer a la vez la condición en las colas; el ejemplo \(x/(x^2+1)\) lo comprueba.

Raíces, dominios y orden funcional

Se adoptan las definiciones de raíz principal par y raíz impar construidas en el capítulo de potencias. La existencia y unicidad fueron justificadas mediante orden y completitud. Si \(u<v\) son no negativos y sus raíces pares fueran iguales o estuvieran en el orden opuesto, elevarlas a la potencia correspondiente daría \(u\ge v\), contradicción. El mismo argumento se aplica en toda la recta para potencias impares, que son estrictamente crecientes. Se prueba así la monotonía de las raíces.

La equivalencia \(y=\sqrt[n]{u}\Longleftrightarrow y\ge0,\ y^n=u\) para \(n\) par expresa la definición con su dominio \(u\ge0\). Para \(n\) impar basta \(y^n=u\), con \(u,y\) reales. Una raíz par tiene valor positivo exactamente cuando su argumento es positivo, de modo que su recíproca exige argumento positivo; una raíz impar se anula exactamente cuando se anula el argumento. Estas observaciones prueban las restricciones de denominadores.

Para todo real \(u\), el número \(|u|\) es no negativo y satisface \(|u|^2=u^2\). La unicidad de la raíz no negativa prueba \(\sqrt{u^2}=|u|\). Todas estas afirmaciones se aplican a los argumentos efectivamente definidos de una expresión compuesta.

Equivalencias radicales y evaluación compuesta

Si \(\sqrt{A(x)}=B(x)\), se tiene \(A(x)\ge0\), \(B(x)\ge0\) y al cuadrar resulta \(A(x)=B(x)^2\). Recíprocamente, si estas tres condiciones valen en una entrada donde se evalúan las expresiones, \(B(x)\) es el número no negativo cuyo cuadrado es \(A(x)\); por unicidad, coincide con su raíz principal. Esta equivalencia prueba el procedimiento de aislar raíces y conservar signos.

Para \(u,v\ge0\), \(u^2=v^2\) da \((u-v)(u+v)=0\). Si \(u+v>0\) resulta \(u=v\); si \(u+v=0\), la no negatividad obliga a \(u=v=0\). La implicación inversa procede de elevar una igualdad al cuadrado. Para racionalizar, multiplicar \((\sqrt u-\sqrt v)(\sqrt u+\sqrt v)\) da \(u-v\). Bajo \(u,v\ge0\) y \(u+v>0\), el segundo factor es positivo y se puede dividir por él.

La composición \(f\circ g\) asigna a cada entrada admisible la imagen por \(f\) de su imagen por \(g\). Precisamente las condiciones \(x\in D_g\) y \(g(x)\in D_f\) hacen posibles las dos evaluaciones, y cada una tiene salida única. Así se demuestra la fórmula del dominio compuesto. El orden de las condiciones conserva la procedencia de cada restricción, incluida la de una fórmula intermedia que se simplifique después.

Modelos radicales y aproximación afín con error

Para un cuadrado de lado \(l\ge0\), la relación de medida es \(A=l^2\). La raíz principal proporciona \(l=\sqrt A\); la elección de signo procede de la longitud. Las condiciones algebraicas de una regla y las condiciones de las magnitudes se satisfacen simultáneamente, por lo que el dominio del modelo es su intersección.

Si \(u,v\ge c>0\), racionalizar y usar la monotonía de la raíz produce

\[|\sqrt u-\sqrt v|=\frac{|u-v|}{\sqrt u+\sqrt v}\le\frac{|u-v|}{2\sqrt c}.\]

Para aproximar en torno de \(a^2\) con \(a>0\), ponemos \(s=\sqrt{a^2+h}\) en el dominio \(a^2+h\ge0\). La identidad \(s-a=h/(s+a)\) es válida porque \(s+a>0\). Restar \(h/(2a)\) y sustituir de nuevo la diferencia \(s-a\) da

\[s-a-\frac h{2a}=-\frac{h^2}{2a(s+a)^2}.\]

La aproximación afín \(a+h/(2a)\) queda por encima de la raíz y la identidad expresa su error exacto. Para \(a=2\), \(|h|\le1\) implica \(s\ge\sqrt3>1\), de modo que el error es a lo sumo \(h^2/36\). Para \(a=3\), \(|h|\le1\) implica \(s\ge\sqrt8>2\), y el error es a lo sumo \(h^2/150\). Ambas cotas conservan los extremos del intervalo y se obtienen con álgebra y orden.

Construcción de las potencias reales

Si \(A_{n+1}=qA_n\) para \(n\ge0\), la inducción prueba \(A_n=A_0q^n\): vale en cero, y multiplicar la fórmula del paso \(n\) por \(q\) produce la del paso siguiente. Para \(A_0,q>0\), el cociente consecutivo es \(q\) y la tasa relativa es \((A_{n+1}-A_n)/A_n=q-1\). Esto prueba las fórmulas del factor y la tasa. La extensión a tiempo real exige la ley multiplicativa también entre períodos; la construcción siguiente proporciona esa extensión matemática.

Para \(b>1\), partimos de las potencias racionales ya justificadas. Escribimos \(d_n=b^{1/n}-1>0\). Para \(d\ge0\), la desigualdad \((1+d)^n\ge1+nd\) se prueba por inducción: multiplicar \(1+nd\) por \(1+d\) da \(1+(n+1)d+nd^2\ge1+(n+1)d\). Aplicada a \(d=d_n\), da \(b=(1+d_n)^n\ge1+nd_n\), así que \(0<d_n\le(b-1)/n\). En particular, \(b^{1/n}\) se acerca a uno. Definimos \(F(x)=\sup\{b^r:r\in\mathbb Q,r\le x\}\). El conjunto es no vacío y acotado por potencias enteras que encierran \(x\), y \(F(x)>0\). Para \(k\) entero tal que \(k\le nx<k+1\), el orden racional da

\[b^{k/n}\le F(x)\le b^{(k+1)/n}.\]

Si \(x\) es racional, el propio \(b^x\) está en el conjunto y es cota superior, por lo que \(F(x)=b^x\). Para \(x,y\) reales, escogemos \(r=k/n\le x<r+1/n\) y \(s=l/n\le y<s+1/n\). Tanto \(F(x)F(y)\) como \(F(x+y)\) pertenecen al intervalo \([b^{r+s},b^{r+s+2/n}]\). El cociente de cualesquiera dos números positivos de ese intervalo está entre \(b^{-2/n}\) y \(b^{2/n}\). Como \(b^{2/n}=(1+d_n)^2\) se acerca a uno, las dos cantidades fijas deben coincidir. Se obtiene \(F(x+y)=F(x)F(y)\). En adelante escribimos \(b^x=F(x)\).

La igualdad \(b^0=1\) procede de la concordancia racional. Al poner \(y=-x\) en la ley de suma obtenemos \(b^{-x}=1/b^x\) y, por sustitución, la ley del cociente. Si \(h>0\), existe un racional \(r\) con \(0<r<h\), y \(b^h\ge b^r>1\). Por tanto \(b^{x+h}=b^xb^h>b^x\), lo que prueba crecimiento estricto.

Para \(|h|\le1/n\), el orden y el recíproco dan \(|b^h-1|\le b^{1/n}-1\le(b-1)/n\). Así,

\[|b^{x+h}-b^x|\le b^x\frac{b-1}{n}.\]

Dado \(\varepsilon>0\), escogemos un entero \(n>b^x(b-1)/\varepsilon\) y tomamos \(\delta=1/n\). Esto prueba continuidad en cada real \(x\) mediante una cota explícita. Para \(0<b<1\), definimos \(b^x=c^{-x}\) con \(c=1/b>1\). La sustitución prueba las mismas leyes y continuidad, y convierte crecimiento estricto de \(c^x\) en decrecimiento estricto de \(b^x\). Para \(b=1\), la regla constante satisface las leyes y es continua.

Para completar el recorrido de una base \(b>1\), Bernoulli da \(b^N\ge1+N(b-1)\) para enteros positivos \(N\). Por tanto las potencias positivas superan cualquier cota, y sus recíprocos se acercan a cero. Dado \(y>0\), el conjunto \(S=\{x\in\mathbb R:b^x\le y\}\) es no vacío y acotado superiormente. Sea \(a=\sup S\). Si \(b^a<y\), la continuidad permite elegir \(h>0\) con \(b^{a+h}<y\), contradiciendo la cota superior \(a\). Si \(b^a>y\), permite elegir \(h>0\) con \(b^{a-h}>y\); la monotonía haría de \(a-h\) una cota superior de \(S\), contradiciendo que \(a\) es su supremo. Luego \(b^a=y\). La monotonía estricta asegura unicidad. Para \(0<b<1\), la sustitución \(c^{-x}\) conserva el recorrido \((0,\infty)\) y la unicidad.

Finalmente, para \(b>0\) y \(u\) real, la ley de suma y la unicidad de raíces positivas prueban \((b^u)^v=b^{uv}\) cuando \(v\) es racional. Si \(v\) es real, tomamos racionales \(v_n\) que se acercan a \(v\). La continuidad de la exponencial de base \(b^u\) y de la regla \(t\mapsto b^{ut}\) hace coincidir sus valores en \(v\), pues coinciden en cada \(v_n\). Cuando \(b^u=1\), la regla constante verifica también la identidad. Quedan así demostradas las leyes para exponentes reales y las condiciones de orden y recorrido usadas en el capítulo.

Logaritmos, inversión y gráficas

Para base \(b>0\), \(b\ne1\), la exponencial es una biyección de \(\mathbb R\) sobre \((0,\infty)\). Su inversa se define por \(\log_b y=x\) exactamente cuando \(b^x=y\). Existencia, unicidad, dominio positivo y recorrido real proceden de esa biyección. Las identidades \(\log_b(b^x)=x\) y \(b^{\log_b y}=y\) expresan las dos composiciones inversas, en sus respectivos dominios. De \(b^0=1\) y \(b^1=b\) se obtienen \(\log_b1=0\) y \(\log_b b=1\).

Un punto \((x,b^x)\) de la exponencial produce el punto \((b^x,x)\) de la inversa. Intercambiar las coordenadas es la reflexión geométrica respecto de \(y=x\). Si \(b>1\) y \(0<u<v\), los exponentes \(p=\log_bu\), \(q=\log_bv\) satisfacen \(b^p<b^q\) y, por crecimiento estricto, \(p<q\). Para \(0<b<1\) la misma comparación produce \(p>q\). Se prueban así los dos sentidos de monotonía.

Para \(b>1\), dado \(M>0\), si \(0<y<b^{-M}\) entonces \(\log_b y<-M\). Esto justifica la asíntota vertical del logaritmo hacia el extremo positivo del dominio en cero. Si \(y>b^M\), se cumple \(\log_b y>M\). Para base entre cero y uno, el cambio \(\log_b y=-\log_{1/b}y\) invierte estos comportamientos. Los desplazamientos y cambios de escala de una gráfica se obtienen por sustitución de coordenadas, como en el capítulo de funciones.

Para precisar la base natural, escribimos \(0!=1\) y \(k!=1\cdot2\cdots k\) para un entero \(k\ge1\). Sean \(E_n=\sum_{k=0}^n1/k!\). Las sumas crecen estrictamente porque cada término añadido es positivo. Para \(k\ge2\), \(k!\ge2^{k-1}\); por comparación con la suma geométrica, \(E_n<3\). La completitud proporciona \(e=\sup\{E_n:n\ge1\}\). Como \(E_2=5/2\), se tiene \(e>2\). Para \(n\ge1\) y \(j\ge1\),

\[\frac1{(n+j)!}\le\frac1{n!(n+1)^j}.\]

La suma geométrica de las cotas da \(0<e-E_n\le1/(n!n)\). Esta desigualdad prueba que \(E_n\) tiende a \(e\). Con \(n=2\) ya da \(e\le11/4<3\). Con \(n=9\), las fracciones exactas \(E_9\) y \(E_9+1/(9!\,9)\) están entre \(2{,}718275\) y \(2{,}718285\), lo que justifica el redondeo a cinco decimales del capítulo. Puesto que \(e>1\), la construcción anterior proporciona \(e^x\) y su inversa \(\ln y=\log_e y\) con todas las propiedades de una base válida. Esta construcción fija la base y la notación; las propiedades diferenciales de la exponencial natural pertenecen al desarrollo posterior del cálculo.

Leyes logarítmicas y conservación del dominio

Sean \(b>0\), \(b\ne1\), y \(u,v>0\). Ponemos \(p=\log_bu\), \(q=\log_bv\). Entonces \(u=b^p\), \(v=b^q\) y \(uv=b^{p+q}\). La definición inversa da \(\log_b(uv)=p+q\). El cociente satisface \(u/v=b^{p-q}\) y por ello \(\log_b(u/v)=p-q\). Para \(r\) real, la ley de potencia de potencia da \(u^r=b^{pr}\) y \(\log_b(u^r)=rp\). Estos argumentos prueban las tres propiedades en los dominios declarados.

Si \(z\ne0\), su valor absoluto es positivo y \(z^2=|z|^2\). La propiedad de potencia aplicada a \(|z|\) prueba \(\log_b(z^2)=2\log_b|z|\). Cada expansión conserva así el dominio \(z\ne0\) de la expresión original.

Para otra base válida \(c\) y \(y>0\), la igualdad \(y=b^{\log_by}\) da \(\log_c y=(\log_b y)(\log_c b)\). El denominador \(\log_c b\) tiene valor distinto de cero: de ser cero, la inversa daría \(b=c^0=1\). Dividir produce la fórmula de cambio de base. Las leyes se refieren a productos, cocientes y potencias de argumentos positivos; los ejemplos de sumas del capítulo establecen su valor directamente y permiten comprobar el alcance de cada fórmula.

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Para una base válida, la monotonía estricta implica inyectividad de la exponencial y del logaritmo. Por ello \(b^U=b^V\) equivale a \(U=V\) cuando los exponentes son reales definidos. También \(\log_bU=\log_bV\) equivale a \(U=V\) en \(U,V>0\). La restricción de dominio precede a la aplicación de estas equivalencias.

La sustitución \(u=b^x\) recorre exactamente todos los reales positivos y asigna a cada uno un único exponente \(x=\log_bu\). Por tanto resolver una ecuación algebraica en \(u\) y seleccionar sus raíces positivas produce exactamente las soluciones de la ecuación exponencial que se transformó mediante identidades. Las condiciones intermedias conservan su papel al recuperar la variable original.

Si \(A_0,K,T>0\) y \(q>0\), \(q\ne1\), dividir \(A_0q^{t/T}=K\) por \(A_0\) da \(q^{t/T}=K/A_0>0\). Aplicar la inversa produce \(t/T=\log_q(K/A_0)\), y multiplicar por \(T\) da la fórmula del tiempo. Si el contexto exige \(t\ge0\) o tiempos enteros, se intersecta la respuesta con ese dominio. Para desigualdades estrictas en tiempos enteros, el primer entero admisible es el menor entero estrictamente mayor que el umbral real; cuando el umbral es entero, el paso siguiente es necesario.

Orden exponencial y logarítmico

Si \(b>1\), el crecimiento estricto de \(b^x\) y de su inversa conserva todas las comparaciones: \(u<v\) equivale a \(b^u<b^v\), y para \(u,v>0\) equivale a \(\log_bu<\log_bv\). Si \(0<b<1\), las dos reglas son estrictamente decrecientes y cambian el sentido de las comparaciones. La equivalencia inversa se justifica por la misma monotonía: un orden opuesto o una igualdad de entradas produciría el orden opuesto o una igualdad de salidas.

Puesto que \(\log_b(b^c)=c\), comparar \(\log_bU\) con \(c\) equivale a compararlo con \(\log_b(b^c)\). Para \(U>0\) resulta \(\log_bU\le c\Longleftrightarrow U\le b^c\) si \(b>1\) y \(\log_bU\le c\Longleftrightarrow U\ge b^c\) si \(0<b<1\). Se incluyen las igualdades gracias a la inyectividad. Las condiciones de argumento y las restricciones contextuales se conservan al resolver cada desigualdad.

Modelos multiplicativos y escalas logarítmicas

Si \(A(t)=Cq^t\) con \(C,q>0\), el cociente de dos mediciones en tiempos distintos satisface \(A(t_2)/A(t_1)=q^{t_2-t_1}\). Para \(t_2>t_1\), elevar a \(1/(t_2-t_1)\) recupera el único factor positivo \(q\). Después, \(C=A(t_1)q^{-t_1}\) determina la cantidad inicial del modelo. Dos datos positivos fijan esos parámetros dentro de la familia elegida. La valoración de la familia exige el contraste con la situación y con datos adicionales.

Para \(A(t)=A_0q^{t/T}\) con \(A_0,T>0\), la duplicación pide \(q^{t/T}=2\) y da \(T_2=T\log_q2\), positivo si \(q>1\). La semirreducción pide \(q^{t/T}=1/2\) y da \(T_{1/2}=T\log_q(1/2)\), positivo si \(0<q<1\). La ley de suma muestra además que el factor de cambio durante cualquier intervalo de duración \(s\) es \(A(t+s)/A(t)=q^{s/T}\); depende de la duración, mientras el modelo sea aplicable.

Con referencia fija \(I_0>0\), base válida y cantidades \(I_1,I_2>0\) expresadas en la misma unidad, la diferencia de niveles cumple

\[k\log_b(I_2/I_0)-k\log_b(I_1/I_0)=k\log_b(I_2/I_1).\]

La fórmula procede de la ley del cociente. La razón dentro del logaritmo es adimensional. Un factor fijo entre intensidades corresponde así a una diferencia fija de niveles. El signo de esa diferencia depende de \(k\), de la base y del factor, conforme a la monotonía ya probada.

Continuidad y aproximación exponencial

Para cualquier \(b>0\), la ley de suma da \(b^{x+h}/b^x=b^h\) y \(b^{x+h}-b^x=b^x(b^h-1)\). La construcción de las potencias reales ya demostró continuidad mediante una cota para base \(b>1\); el recíproco y el caso constante completan todas las bases positivas. Se conserva así un argumento de continuidad que usa orden, completitud y Bernoulli.

En base dos y para entero \(n\ge2\), el desarrollo binomial da \((1+1/n)^n>1+n/n=2\): hay al menos un término adicional positivo. Por monotonía de la raíz, \(2^{1/n}<1+1/n\). Si \(0\le h\le1/n\), entonces \(0\le2^h-1\le2^{1/n}-1<1/n\). Si \(-1/n\le h<0\), escribimos \(u=2^{-h}\ge1\) y obtenemos \(|2^h-1|=(u-1)/u\le u-1<1/n\). La misma prueba con \((1+2/n)^n>3\) produce \(|3^h-1|<2/n\).

Para \(b>1\) y \(y>0\), el crecimiento estricto da \(b^r<y<b^s\) exactamente cuando \(r<\log_b y<s\). Si \(r=m/N\) y \(s=k/N\) con entero \(N>0\), comparar \(b^m<y^N<b^k\) es equivalente a la comparación original de cantidades positivas. En los ejemplos del capítulo, todos los términos de esta última comparación son enteros y se pueden contrastar sin redondeo. El punto medio de un intervalo abierto \((r,s)\) tiene error menor que \((s-r)/2\) para cualquier número de ese intervalo.

Círculo, gráficas y periodicidad

La parametrización del círculo unitario asigna a cada giro real \(x\) el punto \((\cos x,\sin x)\). Sus coordenadas pertenecen a \([-1,1]\) y cada altura o abscisa de ese intervalo aparece en el círculo. Esto prueba dominio real y recorrido de ambas funciones. La reflexión respecto del eje horizontal conserva la abscisa y cambia el signo de la ordenada, de donde \(\cos(-x)=\cos x\) y \(\sin(-x)=-\sin x\). Las vueltas enteras conservan el punto y prueban la repetición al sumar \(2k\pi\). La media vuelta cambia ambas coordenadas de signo.

Para probar el período fundamental del seno, supongamos que \(T>0\) es un período. Al evaluar en cero resulta \(\sin T=0\); al evaluar en \(\pi/2\) resulta \(\sin(\pi/2+T)=1\), es decir, \(\cos T=1\). El punto del círculo es entonces \((1,0)\), de modo que \(T=2k\pi\) con \(k\) entero positivo. El menor candidato, \(2\pi\), es efectivamente un período. Para el coseno, evaluar en cero ya da \(\cos T=1\) y conduce a la misma conclusión.

El cuadrado del seno conserva su valor bajo una media vuelta. Cualquier período positivo del cuadrado debe llevar el cero de la entrada cero a otro cero, así que debe ser \(k\pi\); se prueba el período fundamental \(\pi\). Para el cuadrado del coseno, evaluar en cero exige \(\cos^2T=1\) y da también \(T=k\pi\). Los extremos del diámetro horizontal prueban la caracterización de esas entradas.

La variación de las coordenadas se lee sobre las semicircunferencias: el seno crece estrictamente de \(-\pi/2\) a \(\pi/2\) y decrece de \(\pi/2\) a \(3\pi/2\); el coseno decrece de cero a \(\pi\) y crece de \(\pi\) a \(2\pi\). El giro recorre cada uno de esos arcos en orden. La proyección horizontal o vertical ordena sus puntos de manera estricta en los tramos indicados. Los extremos y ceros proceden de las intersecciones con los diámetros.

Parámetros de una oscilación

Sea \(f(t)=d+a\sin(bt+c)\) con \(a,b\ne0\). El argumento afín recorre todos los reales cuando \(t\) recorre la recta, y el seno recorre \([-1,1]\). Multiplicar ese intervalo por \(a\) y trasladarlo por \(d\) da \([d-|a|,d+|a|]\). El punto medio de los extremos es \(d\) y la distancia desde él a cualquiera de los extremos es \(|a|\). Se prueban eje medio, amplitud y recorrido. El mismo argumento vale para coseno.

Si \(T=2\pi/|b|\), el incremento del argumento al sumar \(T\) es \(bT=2\pi\) o \(-2\pi\). La periodicidad prueba que \(T\) es un período. Si \(S>0\) es cualquier período, restar \(d\) y dividir por \(a\) muestra que \(bS\) es un desplazamiento que conserva el seno para todos sus argumentos. El valor absoluto de ese desplazamiento debe ser un múltiplo positivo de \(2\pi\), por la prueba del período fundamental. Luego \(S\ge2\pi/|b|\) y la fórmula da el menor período. Para coseno se aplica su misma propiedad fundamental.

La factorización \(bt+c=b(t+c/b)\) identifica \(t_0=-c/b\). El valor \(t_0\) localiza argumento cero; el signo del coeficiente y la elección seno o coseno determinan la altura y el sentido de paso en esa entrada. Agregar \(2k\pi\) a la fase conserva todos los valores por la identidad de vuelta completa. Las identidades de adición prueban además \(\sin(\theta+\pi/2)=\cos\theta\) y \(\cos(\theta-\pi/2)=\sin\theta\).

Una oscilación de período temporal \(T\) completa un ciclo durante \(T\) unidades de tiempo, por lo que realiza \(1/T\) ciclos por unidad. Cada ciclo recorre \(2\pi\) radianes. Multiplicar estas dos razones da \(\nu=1/T\) y \(\omega=2\pi\nu\). La cancelación de la unidad ciclo justifica la conversión. Para coeficiente temporal negativo, el valor absoluto mide la rapidez angular y su signo indica el sentido del giro.

Si \(a=0\) o \(b=0\), la regla es constante y todo \(T>0\) cumple \(f(t+T)=f(t)\). Dado uno de esos períodos, su mitad es otro menor; por tanto el conjunto carece de mínimo. Este caso explica las condiciones de la fórmula para el período fundamental.

Datos y modelos periódicos

Para una sinusoide simple con extremos \(m<M\), las igualdades \(m=d-A\) y \(M=d+A\), con \(A>0\), dan al sumar y restar \(d=(M+m)/2\) y \(A=(M-m)/2\). Un giro de media vuelta lleva un extremo al siguiente extremo opuesto; una vuelta completa lleva un máximo al máximo siguiente. Bajo la hipótesis de una sinusoide simple y extremos consecutivos, esos tiempos son \(T/2\) y \(T\), respectivamente.

En una rueda de radio \(R>0\) y centro de altura \(d\), el vector vertical desde el centro al punto inferior es inicialmente \(-R\) en la coordenada de altura. Después de un giro \(\theta\), esa coordenada relativa es \(-R\cos\theta\). Si el giro es uniforme con período \(T>0\), \(\theta=2\pi t/T\) hasta un signo de sentido, que el coseno conserva por paridad. Al añadir la altura del centro se obtiene \(h(t)=d-R\cos(2\pi t/T)\). El supuesto de giro uniforme fija la relación entre tiempo y ángulo.

Para cada observación \((t_i,y_i)\), el residuo definido como \(r_i=y_i-f(t_i)\) es la diferencia de dos cantidades de la misma unidad. El residuo cero expresa coincidencia en esa muestra; su valor absoluto mide allí la discrepancia. Una regla matemática de período \(T\) cumple la igualdad exacta \(f(t+T)=f(t)\) en todo su dominio. El ajuste a un conjunto de muestras verifica igualdades o tolerancias únicamente en esas muestras. Las parejas de funciones del capítulo dan una prueba constructiva de esa limitación: tienen períodos diferentes y valores idénticos en cada tiempo entero, pero una entrada intermedia distingue sus valores.

Ecuaciones trigonométricas por intervalos

Una recta horizontal de altura \(s\in[-1,1]\) corta el círculo en los puntos con seno \(s\). Si \(\alpha=\arcsin s\in[-\pi/2,\pi/2]\), el otro punto corresponde a \(\pi-\alpha\), por reflexión respecto del eje vertical. Las vueltas completas producen todas las entradas \(\alpha+2k\pi\) y \(\pi-\alpha+2k\pi\). En las alturas extremas los dos puntos coinciden y las dos familias describen los mismos ángulos. Una recta vertical de abscisa \(c\in[-1,1]\) produce, con \(\beta=\arccos c\in[0,\pi]\), las familias \(\beta+2k\pi\) y \(-\beta+2k\pi\). La descripción completa de los puntos del círculo prueba que ambas enumeraciones agotan las soluciones.

Para la tangente, \(\tan\theta=q\) equivale, en \(\cos\theta\ne0\), a \(\sin\theta=q\cos\theta\). La recta por el origen de pendiente \(q\) corta el círculo en dos puntos opuestos. Uno de ellos tiene abscisa positiva y corresponde al único ángulo \(\gamma=\arctan q\) de \((-\pi/2,\pi/2)\). Las medias vueltas producen exactamente la familia \(\gamma+k\pi\), con coseno distinto de cero. El caso \(q=1\) incluye \(\gamma=\pi/4\), y el caso \(q=-1\) incluye \(\gamma=-\pi/4\).

La media vuelta cambia de signo seno y coseno y conserva su cociente y su dominio, así que \(\pi\) es un período de la tangente. Si \(T>0\) es cualquier período, evaluar en cero da \(\tan T=0\), luego \(T=k\pi\). Esto prueba que \(\pi\) es su período fundamental.

La sustitución \(u=\sin\theta\) o \(u=\cos\theta\) conserva la ecuación algebraica obtenida mediante identidades y exige además \(u\in[-1,1]\). Para cada raíz admisible se recuperan todas las preimágenes mediante las familias anteriores. La intersección con el intervalo original, con sus extremos incluidos o excluidos, completa la selección. En un argumento afín con coeficiente distinto de cero, transformar también el intervalo es una equivalencia que controla la enumeración de enteros.

Orden y ramas inversas trigonométricas

La proyección vertical recorre de manera estrictamente creciente todas las alturas de \([-1,1]\) en el arco de \(-\pi/2\) a \(\pi/2\). La proyección horizontal recorre de manera estrictamente decreciente todas las abscisas de \([-1,1]\) en el arco de cero a \(\pi\). Se obtienen dos biyecciones y sus inversas \(\arcsin\) y \(\arccos\) con los dominios y recorridos declarados.

En la rama central de la tangente, si \(-\pi/2<u<v<\pi/2\), las identidades de diferencia dan

\[\tan v-\tan u=\frac{\sin(v-u)}{\cos u\cos v}>0.\]

El denominador es positivo y \(0<v-u<\pi\) hace positivo el numerador. Además, para cualquier \(q\in\mathbb R\), consideramos el punto

\[P_q=\left(\frac{1}{\sqrt{1+q^2}},\frac{q}{\sqrt{1+q^2}}\right).\]

Pertenece a la semicircunferencia derecha y tiene pendiente \(q\). Corresponde a un único ángulo de la rama central, lo que prueba recorrido real y biyección. Su inversa es \(\arctan\).

Las composiciones de una biyección con su inversa son identidades en los respectivos dominios. Esto prueba \(\arcsin(\sin x)=x\) sobre su rama principal y las afirmaciones análogas de coseno y tangente. En otras entradas, las funciones trigonométricas llevan al mismo valor que algún representante de la rama, que la inversa devuelve de manera única.

Una desigualdad de alturas selecciona los puntos del círculo situados en el semiplano correspondiente. Sus arcos se ordenan mediante las ramas monótonas. Las fronteras se obtienen de la ecuación de igualdad y se incluyen cuando el signo la permite y la regla está definida allí. Para tangente, los puntos de coseno cero permanecen excluidos. La intersección con el intervalo de entrada conserva sus extremos de manera independiente. Estos hechos prueban el procedimiento de selección de arcos usado en las soluciones.

Superposición de oscilaciones

Dados \(a,b\) reales con \(a^2+b^2>0\), ponemos \(R=\sqrt{a^2+b^2}\). El par \((a/R,b/R)\) pertenece al círculo unitario y determina un ángulo \(\varphi\) hasta vueltas completas. Entonces la identidad de adición produce

\[R\sin(\theta+\varphi)=R\cos\varphi\sin\theta+R\sin\varphi\cos\theta=a\sin\theta+b\cos\theta.\]

Al recorrer todos los ángulos, el miembro izquierdo tiene recorrido \([-R,R]\). Si \(a=b=0\), la suma es la función constante cero. La fórmula se aplica a contribuciones con un mismo argumento angular y unidades compatibles.

Para la suma de senos, escribimos \(u=p+q\) y \(v=p-q\), donde \(p=(u+v)/2\) y \(q=(u-v)/2\). Al sumar las dos fórmulas de adición, los términos con \(\cos p\sin q\) se cancelan y queda \(\sin u+\sin v=2\sin p\cos q\). La cota \(|\sin p|\le1\) da la envolvente \(|2\sin(\alpha t)\cos(\beta t)|\le2|\cos(\beta t)|\).

Si \(T>0\) es período de \(f\) y \(g\), entonces \((f+g)(t+T)=f(t+T)+g(t+T)=f(t)+g(t)\). La suma conserva ese período. La cancelación puede producir un período fundamental menor o una función constante; por ejemplo, \(\sin t-\sin t=0\). Para las señales de frecuencias enteras del capítulo, la sustitución directa comprueba cada período anunciado. La interpretación como suma de desplazamientos exige la hipótesis contextual de superposición; las identidades establecen la igualdad matemática una vez fijadas las contribuciones.

Tasas de cambio del seno

Trabajamos en radianes y adoptamos las reglas de medida de áreas y sectores ya declaradas en los capítulos geométricos. Para \(0<h<\pi/2\), en el círculo unitario se comparan el triángulo con lados radiales, el sector de ángulo \(h\) y el triángulo delimitado por la tangente en \((1,0)\) y el radio de dirección \(h\). Sus áreas son, respectivamente, \(\sin h/2\), \(h/2\) y \(\tan h/2\). La inclusión de las regiones da \(\sin h\le h\le\tan h\). Dividir por cantidades positivas produce \(\cos h\le\sin h/h\le1\). La paridad del coseno y del cociente seno/entrada extiende esta desigualdad a \(0<|h|<\pi/2\).

Se obtiene \(|\sin u|\le|u|\) para \(|u|<\pi/2\) mediante esa comparación y simetría. Para \(|u|\ge\pi/2\), la cota \(|\sin u|\le1\le|u|\) completa todos los reales; se usa aquí \(\pi/2>1\). La identidad de ángulo doble prueba

\[0\le1-\cos u=2\sin^2(u/2)\le u^2/2.\]

En consecuencia, para \(0<|h|<\pi/2\),

\[0\le1-\frac{\sin h}{h}\le1-\cos h\le h^2/2.\]

La fórmula de adición permite escribir el cociente de cambio como

\[D_h(x)=\sin x\,\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\,\frac{\sin h}{h}.\]

Al restar \(\cos x\) y aplicar las dos cotas anteriores resulta

\[|D_h(x)-\cos x|\le |\sin x|\frac{|h|}{2}+|\cos x|\frac{h^2}{2}.\]

Esta cota prueba el límite para ambos signos de \(h\). De forma explícita, si \(0<|h|<1\), el miembro derecho es a lo sumo \(|h|\), porque \(|\sin x|,|\cos x|\le1\). Para cualquier tolerancia \(\varepsilon>0\), basta exigir \(0<|h|<\min(1,\varepsilon)\); además \(1<\pi/2\) garantiza la condición angular. Así queda justificada la tasa instantánea \(\cos x\) mediante una desigualdad y una elección de incremento.

Finalmente, sea \(y(t)=d+A\sin(\omega(t-t_0))\) con parámetros reales fijos. Si \(\omega\ne0\), ponemos \(x=\omega(t-t_0)\) y \(h=\omega\Delta t\) en el cociente temporal. Entonces

\[\frac{y(t+\Delta t)-y(t)}{\Delta t}=A\omega\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}.\]

La cota demostrada hace tender el último cociente a \(\cos x\) cuando \(\Delta t\) tiende a cero. La tasa temporal es por tanto \(A\omega\cos(\omega(t-t_0))\). Si \(A=0\) o \(\omega=0\), la función es constante y sus cocientes de cambio valen cero, en concordancia con la misma expresión. Las unidades de la tasa proceden de dividir la unidad de altura por la unidad temporal; el uso de radianes fija la normalización angular de la fórmula.

Encadenamiento, dominio y asociatividad

Sean \(g:D_g\to B\) y \(f:D_f\to C\). Evaluar la expresión \(f(g(x))\) requiere primero que \(g(x)\) exista, es decir, \(x\in D_g\), y luego que ese valor pertenezca a \(D_f\). Estas dos condiciones son necesarias y suficientes para evaluar la cadena. Por tanto, su dominio natural es \(\{x\in D_g:g(x)\in D_f\}\). Si se exige una composición definida en todo \(D_g\), la condición correspondiente es \(g(D_g)\subseteq D_f\).

La función identidad de un conjunto \(S\) asigna a cada \(x\in S\) ese mismo elemento. Para \(f:D\to C\), evaluar \(f(\operatorname{id}_D(x))\) da \(f(x)\) en todo \(D\). Evaluar \(\operatorname{id}_C(f(x))\) también da \(f(x)\), puesto que \(f(x)\in C\). Ambas composiciones conservan el dominio y los valores de \(f\).

Para una tercera función \(h:D_h\to E\), las dos expresiones \(h\circ(f\circ g)\) y \((h\circ f)\circ g\) requieren exactamente \(x\in D_g\), \(g(x)\in D_f\) y \(f(g(x))\in D_h\). En ese dominio común ambas dan el valor \(h(f(g(x)))\). Esto demuestra la asociatividad incluyendo sus restricciones, incluso cuando cada cadena se define en el dominio natural reducido.

El orden de las etapas es una cuestión distinta de su agrupación. Si \(f(u)=u+1\) y \(g(x)=2x\) sobre \(\mathbb R\), las composiciones son \(2x+1\) y \(2x+2\). Sus valores difieren en toda entrada, así que la conmutatividad falla en general. Para verificarla en un caso particular deben coincidir las reglas y los dominios como funciones. Las identidades anteriores son algebraicas y valen para funciones entre conjuntos, sin presuponer continuidad.

Restricciones de una composición

Para una función \(g:D_g\to B\) y un conjunto de posibles salidas \(T\), se define la preimagen \(g^{-1}(T)=\{x\in D_g:g(x)\in T\}\). Esta definición existe con independencia de la inyectividad. Aplicada a \(T=D_f\), reproduce exactamente las dos condiciones del dominio de \(f\circ g\) demostradas en «Encadenamiento, dominio y asociatividad».

El logaritmo real \(\log_a u\), para \(a>0\) y \(a\ne1\), tiene dominio \((0,\infty)\), según la construcción y el orden de las potencias reales del apéndice. Por tanto, \(\log_a(g(x))\) está definido exactamente en los \(x\in D_g\) con \(g(x)>0\). Para la raíz real principal de índice par \(2n\), \(n\geq1\), el dominio exterior es \([0,\infty)\), y la condición transportada es \(g(x)\geq0\). La exigencia previa \(x\in D_g\) conserva, por ejemplo, los denominadores de la regla interior.

Supóngase que una expresión \(q(x)\) coincide algebraicamente con \(f(g(x))\) para todo \(x\) del dominio compuesto \(D\). La igualdad de valores prueba que la composición es \(q\) restringida a \(D\). Si la expresión \(q\) tiene un dominio natural mayor \(E\), la función \(q:E\to C\) es una extensión, y sus nuevos valores requieren declararse. Por ejemplo, para \(g(x)=1/(x+2)\) y \(f(u)=1/u\), la composición es \(x+2\) sólo en \(D=\mathbb R\setminus\{-2\}\). La afín de dominio \(\mathbb R\) agrega una entrada que la primera etapa de la cadena excluye. La cancelación es válida donde sus divisores existen y son distintos de cero; de ella no se deduce una modificación automática de \(D\).

Inyectividad, inversa y orden de recuperación

Sea \(f:D\to C\) e \(I=f(D)\). Si \(f\) es inyectiva, para cada \(y\in I\) existe al menos un \(x\in D\) con \(f(x)=y\), por definición de imagen, y existe a lo sumo uno, por inyectividad. Asignar ese único \(x\) a \(y\) construye \(f^{-1}:I\to D\). La construcción da directamente \(f^{-1}(f(x))=x\) para \(x\in D\) y \(f(f^{-1}(y))=y\) para \(y\in I\).

Recíprocamente, si una función \(u:I\to D\) satisface \(u(f(x))=x\) para todo \(x\in D\), entonces \(f(x_1)=f(x_2)\) implica \(u(f(x_1))=u(f(x_2))\) y, por tanto, \(x_1=x_2\). Así, la existencia de una inversa bilateral implica inyectividad. Para que la inversa esté definida en todo \(C\), cada elemento de \(C\) debe además pertenecer a la imagen, lo que equivale a sobreyectividad. Si dos funciones \(u,v\) fueran inversas sobre \(I\), para cada \(y=f(x)\) ambas deberían dar \(x\); por ello la inversa es única.

Si \(D\) es un subconjunto ordenado de los reales y \(f\) es estrictamente creciente, de \(x_1<x_2\) se sigue \(f(x_1)<f(x_2)\). La igualdad de imágenes descarta ambas desigualdades estrictas entre entradas y obliga a su igualdad. El argumento es análogo para una función estrictamente decreciente, usando \(f(x_1)>f(x_2)\). El criterio prueba inyectividad sin exigir continuidad. Para identificar la imagen como un intervalo usando sólo valores extremos hace falta justificar que se alcanzan las salidas intermedias; las funciones afines y las ramas elementales usadas en el capítulo cumplen esa propiedad mediante sus fórmulas o los resultados de continuidad previamente establecidos.

Sean ahora biyecciones \(g:A\to B\) y \(f:B\to C\). La función \(v=g^{-1}\circ f^{-1}:C\to A\) está definida en todo \(C\). Por asociatividad,

\[v(f(g(x)))=g^{-1}(f^{-1}(f(g(x))))=x\]

para \(x\in A\), y de igual modo \(f(g(v(y)))=y\) para \(y\in C\). Luego \(v=(f\circ g)^{-1}\). El orden inverso es necesario porque la primera operación de recuperación recibe una salida de \(f\).

Finalmente, \((x,y)\) pertenece a la gráfica de \(f\) exactamente cuando \(y=f(x)\), lo que equivale a \(x=f^{-1}(y)\). Esto equivale a que \((y,x)\) pertenezca a la gráfica inversa. Intercambiar coordenadas es la reflexión en \(y=x\); la nueva primera coordenada recorre \(I\) y la segunda recorre \(D\). Quedan demostradas la correspondencia gráfica y sus restricciones.

Preimágenes, candidatos y ramas exhaustivas

Sea \(f:D\to C\) y \(b\in C\). Por definición, \(f^{-1}(\{b\})=\{x\in D:f(x)=b\}\). La igualdad describe exactamente el conjunto de soluciones de la ecuación. Puede ser vacío si \(b\notin f(D)\), unitario o múltiple si varias entradas comparten esa salida. Esta notación de preimagen de un conjunto conserva su significado para funciones que repiten valores.

Sean además \(g:D_g\to B\) y la composición con su dominio natural. Para un conjunto \(S\) de salidas de \(f\), una entrada \(x\) pertenece a \((f\circ g)^{-1}(S)\) exactamente cuando \(x\in D_g\), \(g(x)\in D_f\) y \(f(g(x))\in S\). Las últimas dos condiciones dicen \(g(x)\in f^{-1}(S)\), y las tres juntas dicen \(x\in g^{-1}(f^{-1}(S))\). Así se prueba la igualdad de preimágenes, con todas las condiciones de existencia incorporadas.

Si la restricción de \(f\) a \(I\subseteq D\) es inyectiva, dos soluciones en \(I\) tendrían la misma imagen \(b\) y serían iguales. Por tanto hay a lo sumo una solución en cada rama inyectiva. Si \(D=\bigcup_j I_j\), toda solución pertenece al menos a una de esas ramas y aparece al resolver allí la ecuación. Recíprocamente, cada solución encontrada en una rama pertenece a \(D\) y satisface la ecuación original. La unión de los conjuntos obtenidos es exactamente el conjunto global de soluciones; los puntos compartidos por ramas se cuentan una sola vez en esa unión.

Por ejemplo, para \(f(x)=x^2\) sobre \(\mathbb R\), las ramas \((-\infty,0]\) y \([0,\infty)\) cubren el dominio. Para \(b>0\) producen \(-\sqrt b\) y \(\sqrt b\); para \(b=0\) ambas producen el mismo cero; para \(b<0\) ninguna produce una solución real. La exhaustividad depende de cubrir el dominio declarado y de resolver cada rama sin perder sus extremos.

Escalas, normalización e identificabilidad

Sea \(y=f(t)\) sobre \(D\) y efectúese el cambio \(t=a\tau+b\), con \(a\ne0\). La regla de composición da \(\widetilde f(\tau)=f(a\tau+b)\) en \(\widetilde D=\{\tau:a\tau+b\in D\}\). La transformación afín es biyectiva entre \(\widetilde D\) y \(D\), con inversa \(\tau=(t-b)/a\). Por ello cada predicción original se recupera al transformar su entrada, y ninguna entrada original queda sin representante. Si \(a<0\), se invierte el orden de los extremos de un intervalo; la descripción mediante pertenencia sigue siendo válida.

Un cambio de salida \(z=(y-c)/d\), \(d\ne0\), produce \(z=(f(t)-c)/d\). La recuperación \(y=c+dz\) demuestra equivalencia de las representaciones. Ambas transformaciones pueden combinarse. Si \(t_0\) y \(T\) tienen la misma unidad de \(t\), con \(T\ne0\), la razón \(\tau=(t-t_0)/T\) carece de unidad. Lo mismo vale para \(z=(y-y_0)/Y\) cuando \(Y\ne0\) tiene la unidad de \(y\). La normalización conserva la información porque sus cambios son invertibles.

La coherencia dimensional usa el principio de homogeneidad adoptado para la representación de magnitudes: una suma combina cantidades de la misma dimensión. Las razones entre magnitudes de igual dimensión son números sin unidad. El argumento de \(e^u\) o \(\log_a u\) en estos modelos es un número adimensional; por ejemplo \(kt\) exige dimensiones recíprocas de \(k\) y \(t\). Esta convención expresa cómo se vinculan las operaciones sobre números con las magnitudes modeladas; su alcance pertenece a la construcción del modelo y se comprueba junto a sus supuestos físicos.

Para una familia \(M_\theta\) y datos exactos \((t_i,y_i)\), sea \(\Theta_* =\{\theta:M_\theta(t_i)=y_i\text{ para todo }i\}\) dentro de los parámetros admisibles. Cuando \(\Theta_*\) es no vacío, una componente o combinación \(H(\theta)\) es identificable respecto de esos datos si es constante en \(\Theta_*\). Esta es la definición empleada en el capítulo. En \(M_{a,b}(t)=ab\,t\), las lecturas \(M(1)=6\) y \(M(2)=12\) dejan exactamente \(\Theta_*=\{(u,6/u):u>0\}\). El producto vale siempre \(6\) y cada factor cambia con \(u\). La prueba exhibe tanto la combinación identificada como la familia completa de ambigüedad. Datos incompatibles darían \(\Theta_*=\varnothing\) y exigirían revisar el modelo o el tratamiento de los errores de medición.

Interpolación, residuos y alcance de un ajuste

Sean dos puntos \((t_1,y_1)\) y \((t_2,y_2)\) con \(t_1\ne t_2\). Si una función afín \(L(t)=mt+b\) pasa por ellos, restar las dos igualdades da \(m(t_2-t_1)=y_2-y_1\), por lo que \(m=(y_2-y_1)/(t_2-t_1)\) y \(b=y_1-mt_1\). Estos valores construyen la función y la sustitución comprueba ambos puntos. Quedan probadas existencia y unicidad dentro de la familia afín.

Si \(p\) pasa por datos de nodos distintos \(t_1,\ldots,t_n\) y \(q\) está definida en esos nodos, entonces \(q(t)\prod_{i=1}^n(t-t_i)\) vale cero en cada nodo. Así, \(p(t)+q(t)\prod_i(t-t_i)\) conserva todas las observaciones. Tomando \(q\) constante se obtienen infinitos polinomios distintos cuando \(p\) es un polinomio y el conjunto de nodos es finito. Esto demuestra que la coincidencia en datos finitos, sin restricciones de familia, permite múltiples extensiones; entre nodos también pueden diferir. La prueba identifica exactamente lo que esos datos certifican y justifica la necesidad de supuestos o contrastes adicionales para adoptar una ley.

Para \(n\geq1\) mediciones \(y_i\) en una misma escala, sea \(\bar y=\frac1n\sum_i y_i\). Como \(\sum_i(y_i-\bar y)=0\), expandir cuadrados da

\[\sum_i(y_i-c)^2=\sum_i(y_i-\bar y)^2+n(c-\bar y)^2.\]

El segundo término es no negativo y sólo se anula en \(c=\bar y\). Por ello la media es el único ajuste constante que minimiza la suma de cuadrados. La conclusión vale para cualquier colección finita real y para el criterio especificado, sin supuestos probabilísticos. Si se cambia la unidad de salida mediante \(z_i=(y_i-c_0)/d\), \(d\ne0\), y se transforman de igual modo las predicciones, los residuos se dividen por \(d\) y sus cuadrados por \(d^2\). Comparar dos modelos en una misma escala conserva el orden de sus sumas; mezclar escalas produciría una comparación sin la misma base.

La distinción entre interpolación y extrapolación se establece por pertenencia de la entrada al intervalo observado. Esa clasificación localiza el uso de la regla; la exactitud futura depende de la adecuación del modelo y de evidencia adicional. Las pruebas anteriores son algebraicas y no asignan por sí mismas una probabilidad de acierto a una predicción.

Relaciones implícitas y reparametrización de curvas

Sea \(R\) un conjunto de pares \((x,y)\). Sobre un conjunto de entradas \(D\), la condición de que cada \(x\in D\) tenga exactamente un \(y\) admitido permite definir \(f(x)\) como ese único valor. Recíprocamente, la gráfica de una función tiene por definición una salida única por entrada. Esta equivalencia demuestra el criterio empleado para distinguir una relación general de una gráfica funcional.

Para \(r>0\), la ecuación \(x^2+y^2=r^2\) equivale a \(y^2=r^2-x^2\). Existen soluciones reales exactamente cuando \(|x|\leq r\). Para esas entradas, las soluciones son \(y=\sqrt{r^2-x^2}\) e \(y=-\sqrt{r^2-x^2}\). Sustituirlas recupera la ecuación y el carácter no negativo de la raíz principal muestra que ambas ramas contienen todas las soluciones. En \(|x|<r\) son distintas; en los extremos coinciden en cero. La unión da la circunferencia y cada rama define una función sobre \([-r,r]\).

Una parametrización \(\gamma:I\to\mathbb R^2\) asigna un par a cada \(t\in I\). Si una deducción demuestra \(F(\gamma(t))=0\) para todo \(t\in I\), entonces \(\gamma(I)\subseteq\{(x,y):F(x,y)=0\}\). Para la igualdad de conjuntos hace falta que cada punto del conjunto candidato se recupere mediante algún \(t\in I\). Por ejemplo, para \(\gamma(t)=(t^2,t^3)\) en \([-1,2]\), la eliminación produce \(y^2=x^3\), pero la recuperación exige separar \(y=x^{3/2}\) con \(x\in[0,4]\) y \(y=-x^{3/2}\) con \(x\in[0,1]\). Elegir \(t=\sqrt x\) o \(t=-\sqrt x\) demuestra el recíproco sobre esas ramas y revela los límites que la ecuación sola omitiría.

Sea \(\phi:J\to I\) biyectiva. Cada punto \(\gamma(\phi(s))\) pertenece a \(\gamma(I)\); recíprocamente, cada \(\gamma(t)\) se recupera con \(s=\phi^{-1}(t)\). Esto prueba la igualdad de imágenes. Recuperar el parámetro desde la posición exige además inyectividad de \(\gamma\): el recorrido \((\cos t,\sin t)\) sobre \([0,2\pi]\) repite su posición en los extremos, aunque \(t=2s\) sea una biyección desde \([0,\pi]\). La imagen describe la trayectoria y la parametrización fija su reloj.

Partición de registros y frecuencias

Sea una lista de \(n\geq1\) registros, asignados a clases exhaustivas y disjuntas \(C_1,\ldots,C_r\). Exhaustividad significa que cada registro pertenece a alguna clase y disjunción significa que pertenece a una sola. La frecuencia absoluta \(f_j\) cuenta los registros de \(C_j\). Al sumar los recuentos, cada registro aporta exactamente una unidad; por tanto \(\sum_jf_j=n\). Las frecuencias relativas \(h_j=f_j/n\) son no negativas y su suma vale \((\sum_jf_j)/n=1\). Multiplicarlas por cien da porcentajes exactos de suma cien. Los porcentajes redondeados pueden acumular un error de redondeo y deben conservar esa precisión declarada.

Cuando las clases están ordenadas, \(F_j=\sum_{i=1}^jf_i\) cuenta la unión de las primeras \(j\) clases. Se cumple \(F_{j+1}=F_j+f_{j+1}\geq F_j\) y \(F_r=n\). La resta \(F_j-F_{j-1}=f_j\) recupera cada frecuencia simple para \(j\geq2\); la primera es \(F_1=f_1\). Las diferencias no negativas y el total ofrecen comprobaciones de consistencia. Para intervalos adyacentes, declarar extremos incluidos y excluidos determina la pertenencia de cada dato y permite aplicar esta partición también a los valores de frontera.

Las nociones de población, unidad, muestra y variable fijan qué entidades corresponden a esos registros. Si hay mediciones repetidas, la unidad de recuento debe establecerse antes de aplicar el total. Dos registros de una persona pueden representar dos mediciones y una sola persona; la frecuencia conserva la unidad que se haya declarado.

Escalas gráficas y áreas de histogramas

Si la altura de la barra de una categoría es \(kf_j\), con una misma constante \(k>0\) y una escala que parte de cero, las alturas guardan la misma proporción que las frecuencias: para \(f_i>0\), \(kf_j/(kf_i)=f_j/f_i\). Esto justifica representar recuentos mediante longitudes con escala común. El tipo de categoría determina el significado de su orden; una secuencia temporal aporta una relación adicional entre observaciones que puede expresarse con líneas.

En un histograma, la clase \(j\) tiene amplitud \(a_j>0\). El área del rectángulo de base \(a_j\) y altura \(f_j/a_j\) es exactamente \(a_j(f_j/a_j)=f_j\). Por ello las áreas suman \(\sum_j f_j=n\). Con altura relativa \(h_j/a_j\), el área es \(h_j\) y la suma es uno, usando «Partición de registros y frecuencias». Las alturas se expresan en frecuencia por unidad de la variable. Si todas las bases tienen amplitud común \(a\), ordenar por altura equivale a ordenar por frecuencia, pues dividir por \(a>0\) conserva el orden. Si las amplitudes cambian, la razón entre alturas incorpora el cociente de esas amplitudes y debe interpretarse como densidad.

La inclusión o exclusión de un extremo del intervalo determina a qué clase pertenece una observación, mientras que la amplitud usada para el área sigue siendo la diferencia entre extremos. Este convenio permite conservar las frecuencias de frontera y la lectura geométrica del histograma.

Media, ponderaciones y posiciones centrales

Para \(n\geq1\) números reales, \(\bar x=\frac1n\sum_i x_i\). Entonces

\[\sum_i(x_i-\bar x)=\sum_i x_i-n\bar x=0.\]

Agrupar los términos iguales de la suma da \(\sum_i x_i=\sum_j f_jv_j\), donde \(v_j\) son los valores distintos y \(f_j\) sus frecuencias. Esta igualdad demuestra la fórmula de la media desde una tabla de valores exactos.

La media ponderada con \(w_j\geq0\) y \(W=\sum_jw_j>0\) se define como \(\bar x_w=\sum_jw_jx_j/W\). Si \(m\leq x_j\leq M\), multiplicar cada desigualdad por \(w_j\), sumar y dividir por \(W>0\) da \(m\leq\bar x_w\leq M\). Si los datos se reparten en grupos disjuntos de tamaños \(n_j>0\) y medias \(m_j\), cada grupo tiene suma \(n_jm_j\). La suma conjunta es \(\sum_jn_jm_j\) y el tamaño conjunto es \(\sum_jn_j\); dividir demuestra la fórmula de reunión de grupos.

Sean \(x_{(1)}\leq\cdots\leq x_{(n)}\) los datos ordenados. Si \(n=2r+1\), la mediana es \(x_{(r+1)}\), con al menos \(r+1\) datos a cada lado contando igualdades. Si \(n=2r\), se toma \(m=(x_{(r)}+x_{(r+1)})/2\). Como \(x_{(r)}\leq m\leq x_{(r+1)}\), los primeros \(r\) datos son menores o iguales que \(m\) y los últimos \(r\) son mayores o iguales. Así se prueba la propiedad de posición para ambas paridades, incluidos empates. La elección del promedio en el caso par fija un valor único dentro del intervalo de posiciones centrales.

La moda se define por frecuencia máxima. En una lista finita no vacía de categorías observadas, el conjunto finito de frecuencias tiene un máximo y puede alcanzarse en una o varias categorías. Para clases agrupadas, la clase de mayor frecuencia depende de la partición elegida. Si las amplitudes son distintas, la clase de mayor frecuencia y la de mayor densidad pueden diferir; el criterio debe declararse. Esta precisión conserva el significado del resumen modal.

Cuantiles interpolados y convención de caja

Sean \(n\geq1\) datos ordenados y \(0\leq p\leq1\). La posición \(h=1+(n-1)p\) pertenece a \([1,n]\). Si es entera se define \(Q(p)=x_{(h)}\); si \(h=j+d\) con \(0<d<1\), se define \(Q(p)=(1-d)x_{(j)}+dx_{(j+1)}\). Los pesos son positivos y suman uno; la propiedad de media ponderada de «Media, ponderaciones y posiciones centrales» da \(x_{(j)}\leq Q(p)\leq x_{(j+1)}\). Para \(n=1\), la posición vale siempre uno y todos los cuantiles son el único dato.

Dentro de un tramo \(j\leq h\leq j+1\), el valor interpolado es \(x_{(j)}+(h-j)(x_{(j+1)}-x_{(j)})\). El coeficiente de \(h\) es no negativo, por lo que el valor aumenta en sentido amplio con \(h\). Los extremos de tramos consecutivos coinciden en el dato compartido. Como \(h\) también aumenta con \(p\), se concluye que \(p\leq q\) implica \(Q(p)\leq Q(q)\), tanto dentro de un tramo como al recorrer varios. Así, \(Q_3-Q_1\geq0\).

Para \(p=1/2\), la posición es \((n+1)/2\). Si \(n=2r+1\), es la posición entera \(r+1\). Si \(n=2r\), es \(r+1/2\) y la interpolación da \((x_{(r)}+x_{(r+1)})/2\). En ambos casos coincide con la mediana declarada en el capítulo.

La regla de caja adoptada define las cercas \(L=Q_1-1{,}5(Q_3-Q_1)\) y \(U=Q_3+1{,}5(Q_3-Q_1)\). Como el recorrido intercuartílico es no negativo, \(L\leq Q_1\leq Q_3\leq U\). Los bigotes se sitúan en las observaciones extremas de la lista incluidas en \([L,U]\) y los demás datos se dibujan aparte. Existe al menos una observación dentro de las cercas. Para \(n=1\) es el único dato. Para \(n=2\), sean \(a\leq b\) los datos: los cuartiles son \(a+(b-a)/4\) y \(a+3(b-a)/4\), y las cercas valen \(a-(b-a)/2\) y \(b+(b-a)/2\), que incluyen ambos. Para \(n\geq3\), la separación entre las posiciones de los cuartiles es \((n-1)/2\geq1\), así que contiene alguna posición entera. El dato de esa posición pertenece a \([Q_1,Q_3]\) y, por tanto, a las cercas. Queda justificada la existencia de bigotes también en listas pequeñas.

La convención de rango próximo superior usa \(x_{(\lceil np\rceil)}\) para \(0<p\leq1\); al menos \(\lceil np\rceil\) observaciones quedan por debajo o igual a ese valor. Los cuantiles interpolados se definen por su posición lineal y su frecuencia empírica se calcula contando. El ejemplo \(0,10,20,100\) con \(p=0{,}9\) da 76 y sólo tres observaciones menores o iguales; muestra por qué la propiedad del rango próximo superior exige su propia convención.

Dispersión, divisores y cambios de escala

Sea una lista de \(n\geq1\) números reales, con media \(\bar x\) y varianza descriptiva \(v=\frac1n\sum_i(x_i-\bar x)^2\). Cada sumando es no negativo, así que \(v\geq0\). La suma vale cero exactamente cuando cada cuadrado vale cero, lo que equivale a \(x_i=\bar x\) para todo \(i\). Esto demuestra la caracterización de dispersión nula.

Expandir los cuadrados y usar \(\sum_i x_i=n\bar x\) produce

\[\sum_i(x_i-\bar x)^2=\sum_i x_i^2-2\bar x\sum_i x_i+n\bar x^2=\sum_i x_i^2-n\bar x^2.\]

Al dividir por \(n\) se obtiene \(v=\frac1n\sum_i x_i^2-\bar x^2\). La igualdad es exacta; con números redondeados, restar cantidades grandes y próximas puede amplificar el error relativo. La forma de diferencias cuadradas conserva una interpretación directa de cada contribución y permite comprobar el cálculo.

Para \(y_i=ax_i+b\), con \(a,b\) reales, la linealidad de sumas da \(\bar y=a\bar x+b\). Luego \(y_i-\bar y=a(x_i-\bar x)\), de donde \(v_y=a^2v_x\). Tomar raíces no negativas produce \(\sigma_y=|a|\sigma_x\), incluso para \(a=0\). Esta demostración incluye traslaciones, inversiones de orden y cambios de unidad.

Para \(n\geq2\), la definición muestral con divisor \(n-1\) da \(s^2=\sum_i(x_i-\bar x)^2/(n-1)=nv/(n-1)\). Para \(n=1\), el numerador es cero, \(v=0\) y la expresión de \(s^2\) tiene denominador cero, por lo que queda fuera de su dominio declarado. La transformación afín también multiplica \(s^2\) por \(a^2\), por la misma igualdad de diferencias. El capítulo establece estas relaciones algebraicas; la motivación probabilística del divisor requiere un modelo de muestreo que se estudiará posteriormente.

Si cada \(x_i\) tiene unidad \(U\), cada diferencia respecto de la media tiene unidad \(U\), su cuadrado tiene unidad \(U^2\) y dividir por un recuento adimensional conserva esa unidad. La raíz cuadrada recupera \(U\). Así se justifican las unidades de varianzas y desviaciones.

Suma, producto y orden en el conteo

Para conjuntos finitos disjuntos \(A\) y \(B\), cada elemento de su unión aparece en uno de los dos recuentos exactamente una vez. Por ello \(|A\cup B|=|A|+|B|\). Si tienen intersección, sumar sus tamaños cuenta los elementos de \(A\cap B\) dos veces, y se obtiene \(|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|\). La regla disjunta se extiende a cualquier familia finita de clases disjuntas.

Si hay \(a\) primeras elecciones y cada una admite \(b\) continuaciones, los resultados se particionan en \(a\) clases de tamaño \(b\), una por primera elección. Sumar da \(ab\). Si la elección inicial \(i\) tiene \(b_i\) continuaciones, el total es \(\sum_i b_i\). Aplicar el producto sucesivamente a etapas de tamaños constantes \(n_1,\ldots,n_k\) da \(n_1\cdots n_k\) resultados completos.

Para un alfabeto de \(n\geq1\) elementos y \(k\geq0\) posiciones con repetición, cada etapa admite \(n\) elecciones y existen \(n^k\) secuencias. Con \(k=0\) hay una secuencia vacía, en acuerdo con \(n^0=1\). Para \(n=0\), la longitud cero también tiene una secuencia vacía y cada longitud positiva tiene cero secuencias; se declaran estos casos por separado para evitar ambigüedad de notación.

Sin repetición y para \(0\leq k\leq n\), las sucesivas cantidades disponibles son \(n,n-1,\ldots,n-k+1\). Su producto es \(n!/(n-k)!\), con el convenio \(0!=1\). Para \(k=0\) el producto vacío vale uno. Para \(k=n\) se obtienen \(n!\) permutaciones. Cada subconjunto de \(k\) elementos admite exactamente \(k!\) ordenaciones, por lo que dividir las variaciones ordenadas por esa multiplicidad constante da \(\binom nk=n!/[k!(n-k)!]\). El caso \(k=0\) corresponde al subconjunto vacío y el caso \(k=n\) al conjunto completo, ambos de cuenta uno.

Para multiplicidades \(m_1,\ldots,m_r\) de objetos indistinguibles, cuya suma es \(n\), etiquétese primero cada copia. Existen \(n!\) órdenes etiquetados. Fijado un arreglo visible, sus posiciones de tipo \(j\) admiten \(m_j!\) asignaciones de etiquetas. El producto \(\prod_jm_j!\) es el mismo para todo arreglo visible. Dividir por él cuenta una vez cada resultado y demuestra la fórmula de permutaciones con repeticiones indistinguibles.

Finalmente, la aplicación que asocia a un subconjunto su complemento es una biyección entre los subconjuntos de tamaño \(k\) y los de tamaño \(n-k\). Aplicarla dos veces recupera el subconjunto inicial. Así se prueba \(\binom nk=\binom n{n-k}\) mediante una correspondencia de elecciones.

Marcos, estratos y datos agrupados

Una muestra sin orden de tamaño fijo \(k\) en una población finita de \(N\) unidades distintas es un subconjunto de ese tamaño. El resultado de «Suma, producto y orden en el conteo» da exactamente \(\binom Nk\) muestras, para \(0\leq k\leq N\). El muestreo aleatorio simple adopta un mecanismo que da la misma oportunidad a cada uno de esos subconjuntos. Otros mecanismos pueden tener otro conjunto de resultados accesibles, como las cuatro parejas cíclicas entre cuatro unidades del capítulo. La condición de igualdad de oportunidades de unidades individuales por sí sola permite esos diseños distintos.

El marco vincula los registros accesibles con las unidades de la población objetivo. Una omisión deja a una unidad fuera del acceso previsto; una duplicación puede ofrecer varias vías de selección a una misma unidad. Estos efectos se comprueban comparando marco y población antes de interpretar los resultados. Son condiciones del diseño y del alcance de la observación. Un recuento grande de respuestas conserva el marco y el mecanismo que las generaron.

Sean estratos disjuntos que cubren la población, con tamaños \(N_j>0\) y medias reales \(\mu_j\). Cada estrato tiene suma \(N_j\mu_j\) y el total poblacional es la suma de esas cantidades. Por «Media, ponderaciones y posiciones centrales», la media poblacional es \(\mu=\sum_jN_j\mu_j/\sum_jN_j\). Sustituir \(\mu_j\) por medias de muestras define una estimación ponderada. La igualdad con la media verdadera exige información adicional sobre esas medias; el cálculo de los pesos establece la agregación y su precisión requiere estudiar la obtención de los datos.

Para clases de límites \(a_j,b_j\) y frecuencias \(f_j\), cada dato de la clase satisface \(a_j\leq x_i\leq b_j\), con desigualdad estricta en cualquier extremo abierto. Al sumar dentro de cada clase y luego entre clases se obtiene

\[\frac{\sum_jf_ja_j}{n}\leq\bar x\leq\frac{\sum_jf_jb_j}{n}.\]

Si una clase de frecuencia positiva tiene extremo superior abierto, la desigualdad superior es estricta; el argumento es análogo para la inferior. Reemplazar cada dato por su punto medio \(m_j=(a_j+b_j)/2\) define la estimación \(\widehat x=\sum_jf_jm_j/n\). Como \(|x_i-m_j|\leq(b_j-a_j)/2\), la desigualdad triangular da la cota

\[|\bar x-\widehat x|\leq\frac1{2n}\sum_jf_j(b_j-a_j).\]

Las frecuencias acumuladas localizan las posiciones centrales. Si ambas pertenecen a una misma clase, su promedio permanece en ella, como corresponde a una media de valores del intervalo. Recuperar los resúmenes exactos requiere los datos individuales. El alcance poblacional depende del diseño de observación.

Pesos y sucesos en espacios finitos

Sea \(\Omega\) un conjunto finito no vacío y sean pesos \(p_\omega\geq0\) de suma uno. Se define \(P(A)=\sum_{\omega\in A}p_\omega\) para cada subconjunto A. El espacio completo tiene probabilidad uno por la suma adoptada; el vacío tiene probabilidad cero por el convenio de suma vacía. Para sucesos disjuntos, sumar sus probabilidades reúne términos diferentes de la misma suma y da la probabilidad de su unión.

Todo suceso tiene probabilidad no negativa. Como su complemento aporta los demás términos de una suma de valor uno, su probabilidad también es a lo sumo uno. Si \(A\subseteq B\), la descomposición disjunta \(B=A\cup(B\setminus A)\) da \(P(B)=P(A)+P(B\setminus A)\geq P(A)\). Queda probada la monotonía por inclusión.

Si los N resultados tienen un peso común p, la normalización da \(Np=1\) y p=\(1/N\). Sumar los pesos de los \(|A|\) resultados de A produce \(P(A)=|A|/N\). La demostración identifica la equiprobabilidad como hipótesis necesaria para ese procedimiento de recuento. Una frecuencia relativa de observaciones se define por otra suma: cuenta ocurrencias reales en una lista finita. Vincular sus valores con un parámetro de probabilidad requiere un modelo de repetición y resultados adicionales sobre su variación.

Uniones, complementos y diferencias de sucesos

La partición disjunta \(\Omega=A\cup A^c\) da \(1=P(A)+P(A^c)\) y demuestra la fórmula de complemento. La descomposición \(A=(A\setminus B)\cup(A\cap B)\) prueba \(P(A\setminus B)=P(A)-P(A\cap B)\). A su vez, \(A\cup B\) es la unión disjunta de A y \(B\setminus A\), por lo que

\[P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).\]

Si la intersección es vacía, su probabilidad cero deja la regla aditiva simple. La exclusión mutua se define mediante esa intersección vacía. Para pesos finitos, una intersección de probabilidad cero también puede contener resultados de peso cero; distinguir ambas afirmaciones conserva el significado de la definición. Las fórmulas se apoyan en particiones y aditividad y mantienen su validez para probabilidades por áreas con esas mismas propiedades.

Condición, producto, probabilidad total y Bayes

Para \(P(B)>0\), se define \(P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)\). En un modelo finito, puede asignarse a cada resultado de B el peso condicional \(p_\omega/P(B)\). Los pesos son no negativos y su suma es uno. La suma sobre los resultados que también pertenecen a A da exactamente el cociente definido. Así, condicionar construye un nuevo modelo sobre la información disponible. En modelos de áreas, restringir el área a B y dividir por su área positiva produce la misma renormalización.

Multiplicar la definición por \(P(B)\) demuestra \(P(A\cap B)=P(B)P(A\mid B)\). Intercambiar A y B da la otra forma cuando \(P(A)>0\). Para tres etapas con denominadores positivos, repetir la descomposición produce \(P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B\mid A)P(C\mid A\cap B)\). Si una rama inicial tiene probabilidad cero, el evento conjunto de esa rama tiene probabilidad cero y su contribución se trata directamente, conservando el dominio de los cocientes.

Sea \(B_1,\ldots,B_r\) una partición de \(\Omega\), con todas sus probabilidades positivas. Los sucesos \(A\cap B_j\) son disjuntos y su unión es A. Por aditividad y producto,

\[P(A)=\sum_jP(A\cap B_j)=\sum_jP(B_j)P(A\mid B_j).\]

Si \(P(A)>0\), dividir cada término conjunto por \(P(A)\) da

\[P(B_j\mid A)=\frac{P(B_j)P(A\mid B_j)}{\sum_iP(B_i)P(A\mid B_i)}.\]

Es la fórmula de Bayes con sus condiciones de existencia. Las expresiones \(P(A\mid B)\) y \(P(B\mid A)\) tienen el mismo numerador conjunto y denominadores diferentes; por ello cada inversión conserva expresamente su base.

Independencia, exclusión y familias de ensayos

La independencia de A y B se define por \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\). Si \(P(B)>0\), dividir por \(P(B)\) demuestra la equivalencia con \(P(A\mid B)=P(A)\). Recíprocamente, multiplicar esa igualdad condicional recupera la definición.

Usando la diferencia de sucesos,

\[P(A^c\cap B)=P(B)-P(A\cap B)=(1-P(A))P(B)=P(A^c)P(B).\]

Esto prueba independencia de \(A^c\) y B. Intercambiar los papeles prueba la de A y \(B^c\), y aplicar la misma propiedad una vez más prueba la de los dos complementos. Estas igualdades también valen cuando alguna probabilidad es cero; la forma condicional se usa sólo para denominadores positivos.

Si A y B son excluyentes y tienen probabilidades positivas, la probabilidad conjunta es cero y \(P(A)P(B)>0\). Así, la igualdad de independencia falla. Si alguno tiene probabilidad cero, el producto también vale cero; ese caso de frontera muestra el papel de la hipótesis de positividad.

La independencia mutua de una familia finita exige que la probabilidad de la intersección de cada subfamilia sea el producto de sus marginales. Las parejas forman sólo parte de esas condiciones. Los sucesos del ejemplo de bits tienen marginales \(1/2\), intersecciones por pares \(1/4\) e intersección triple \(1/4\); esta última difiere de \(1/8\) y demuestra que las comprobaciones por parejas dejan condiciones adicionales.

Un modelo producto de ensayos finitos asigna a cada cadena completa el producto de los pesos de sus coordenadas. Es un modelo normalizado: sumar sucesivamente sobre cada coordenada multiplica sumas de valor uno. Al fijar sucesos en algunas coordenadas y sumar las restantes, se obtiene el producto de los pesos de los sucesos fijados. Así se demuestra la independencia mutua de coordenadas de ese modelo. Para ensayos binarios también puede partirse de sucesos de éxito mutuamente independientes: reemplazar uno por su complemento mediante la diferencia de intersecciones conserva el producto; repetir el argumento produce los pesos de cualquier cadena de éxitos y fracasos.

Distribuciones finitas, esperanza y varianza

Una variable real X asigna un número a cada resultado de un espacio finito. Los conjuntos \(\{\omega:X(\omega)=x\}\), para valores distintos de X, son una partición. Sus probabilidades son no negativas y suman uno, por «Pesos y sucesos en espacios finitos». Agrupar los términos iguales permite escribir

\[E(X)=\sum_xxP(X=x)=\sum_{\omega\in\Omega}X(\omega)p_\omega.\]

La segunda expresión usa un único espacio para varias variables. Distribuir las sumas prueba \(E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c\), pues \(\sum p_\omega=1\). La demostración vale con cualquier relación entre las variables.

Al expandir \((X-E(X))^2\) y usar linealidad se obtiene

\[\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-E(X)^2.\]

La forma inicial es una suma de cuadrados con pesos no negativos, de modo que la varianza es no negativa. Para \(aX+b\), la diferencia respecto de su esperanza es \(a(X-E(X))\) y su cuadrado multiplica la varianza por \(a^2\).

Las variables finitas X e Y son independientes cuando \(P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)\) para cada pareja de valores. Entonces

\[E(XY)=\sum_{x,y}xyP(X=x)P(Y=y)=E(X)E(Y).\]

Expandir el cuadrado de la suma da, en general,

\[\operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)+2\bigl(E(XY)-E(X)E(Y)\bigr).\]

Para variables independientes se anula el término entre paréntesis y se obtiene la propiedad del cuadro. El ejemplo Y=\(1-X\) produce una suma constante y conserva un término cruzado que compensa las varianzas individuales. Para una familia mutuamente independiente se aplica la misma expansión: todos los términos cruzados se anulan y las varianzas de la suma se suman.

Ensayos de Bernoulli y conteos binomiales

Un indicador de éxito I vale uno con probabilidad p y cero con \(1-p\). Por la suma finita, \(E(I)=p\) y \(E(I^2)=p\), de donde \(\operatorname{Var}(I)=p(1-p)\). Para n ensayos mutuamente independientes con el mismo p, el recuento es \(X=I_1+\cdots+I_n\).

Para \(0<p<1\), cada cadena concreta con k éxitos tiene peso \(p^k(1-p)^{n-k}\) por el modelo producto de «Independencia, exclusión y familias de ensayos». Las posiciones de los éxitos forman un subconjunto de tamaño k de las n posiciones. Hay \(\binom nk\) elecciones por «Suma, producto y orden en el conteo». Las cadenas son disjuntas, por lo que sumar sus pesos da la masa binomial.

Las cadenas completas particionan el espacio y sus probabilidades suman uno. Algebraicamente, expandir el producto de n factores \(p+(1-p)\) y agrupar por número de elecciones de p da

\[\sum_{k=0}^n\binom nkp^k(1-p)^{n-k}=1.\]

Para p=0, todos los indicadores valen cero con probabilidad uno; para p=1, todos valen uno con probabilidad uno. Para n=0 hay una cadena vacía y el recuento es cero. Estos casos se definen directamente y conservan las fórmulas de momentos.

La linealidad de esperanza prueba \(E(X)=np\). La independencia de indicadores y la suma de varianzas dan \(\operatorname{Var}(X)=np(1-p)\). La probabilidad de cero éxitos es \((1-p)^n\) para \(n\geq1\), incluidos los extremos de p. Tomar el complemento prueba la fórmula de al menos uno. Si un mecanismo cambia la probabilidad después de una selección, se conservan sus condicionales y se estudia su distribución propia, como en las urnas sin devolución.

Áreas normales y estandarización

Se adopta la medida geométrica de áreas para regiones bajo curvas continuas no negativas: es aditiva sobre intervalos disjuntos, conserva inclusiones, multiplica por el factor de un cambio vertical y por el factor positivo de una escala horizontal. En un intervalo compacto, las sumas de rectángulos inferiores y superiores encierran el área y convergen a ella para funciones continuas. Este es el significado de área usado aquí; su construcción general por integración se desarrollará en el capítulo de cálculo.

Sea \(k(z)=e^{-z^2/2}\). Es continua, positiva y par, y decrece en \([0,\infty)\) por el orden de la exponencial. Para \(m\geq1\) y \(z\in[m,m+1]\), \(k(z)\leq e^{-m^2/2}\leq e^{-m/2}\). Las áreas de esas franjas están acotadas por una serie geométrica convergente. Por tanto, las áreas sobre intervalos crecientes son crecientes y acotadas y tienen un límite finito por completitud de los reales. El área total J del núcleo es positiva y finita. Fijar c=\(1/J\) da una curva \(\varphi=ck\) de área total uno. Así se construye la normalización sin presuponer una expresión cerrada para J.

La probabilidad de un intervalo se define como el área bajo la densidad entre sus límites. La aditividad y positividad dan las propiedades de probabilidad usadas en el capítulo. Un punto puede encerrarse en intervalos de ancho arbitrariamente pequeño; la continuidad acota la altura cerca de ese punto, así que sus áreas se hacen arbitrariamente pequeñas y su probabilidad es cero. Por ello incluir o excluir un extremo aislado conserva la probabilidad de un intervalo. En modelos discretos, cada punto mantiene el peso que le asigne su masa y debe conservarse la distinción.

Como el núcleo es par, cada mitad de la curva normalizada tiene área \(1/2\). La reflexión \(z\mapsto-z\) conserva áreas y transforma la región a la izquierda de -z en la región a la derecha de z. De ahí \(\Phi(-z)=1-\Phi(z)\) y \(\Phi(0)=1/2\).

Sea \(X=\mu+\sigma Z\) con \(\sigma>0\). El suceso \(a\leq X\leq b\) equivale exactamente a \((a-\mu)/\sigma\leq Z\leq(b-\mu)/\sigma\). La resta de áreas acumuladas prueba la fórmula de intervalo normal. Una escala horizontal de factor \(\sigma\) multiplica las áreas por \(\sigma\); dividir las alturas por ese factor conserva las áreas. Así se obtiene \(f_X(x)=\varphi((x-\mu)/\sigma)/\sigma\) y se demuestra que su área total vuelve a ser uno. La presente construcción trata \(\mu\) como centro y \(\sigma\) como escala. La identificación mediante momentos continuos y la evaluación cerrada de J requieren herramientas analíticas adicionales; esas afirmaciones no se usan para las probabilidades demostradas aquí.

Para justificar los encierros numéricos, basta trabajar con el núcleo y dividir áreas. Para \(z\geq0\), si \(A(z)\) es el área del núcleo en \([0,z]\) y H su área en \([0,\infty)\), entonces \(\Phi(z)=1/2+A(z)/(2H)\). En una malla de paso h sobre \([0,R]\), la monotonía da

\[h\sum_{j=1}^{N}k(jh)\leq H_R\leq h\sum_{j=0}^{N-1}k(jh),\qquad R=Nh.\]

La diferencia entre ambas sumas es \(h(1-k(R))\leq h\). Para controlar la cola, sea \(R\geq1\) entero. En \([m,m+1]\), \(m\geq R\), se cumple \(k(z)\leq e^{-Rm/2}\). Sumando una geométrica,

\[0\leq H-H_R\leq\frac{e^{-R^2/2}}{1-e^{-R/2}}.\]

El cálculo de control usa R=10 y h=\(10^{-5}\). Las sumas inferiores, superiores y la cota de cola proporcionan un intervalo \([L_H,U_H]\) con \(L_H>0\). Para cada numerador se calculan límites \(L_A,U_A\) sobre su propio intervalo y se obtiene

\[\frac12+\frac{L_A}{2U_H}\leq\Phi(z)\leq\frac12+\frac{U_A}{2L_H}.\]

Las evaluaciones exponenciales se realizan con aritmética decimal de cuarenta cifras y redondeo controlado; se amplía cada área en \(10^{-20}\) para cubrir el error acumulado de las operaciones. Los valores del núcleo pertenecen a [0,1], se realizan menos de diez millones de operaciones y las sumas parciales son menores que un millón: con esa precisión, el presupuesto adoptado excede la suma de las cotas de redondeo de evaluaciones y sumas. En los límites con raíces se encierran primero las raíces entre decimales consecutivos y se usan inclusiones de intervalos. El registro numérico conserva todos los límites utilizados y comprueba los encierros del capítulo. Las propiedades de áreas y las cotas generales anteriores son las justificaciones matemáticas del método; el registro de ejecución documenta su aplicación.

Si una cantidad queda estrictamente entre l y u, su punto medio tiene error menor que \((u-l)/2\). Sumar o restar dos cantidades suma sus cotas absolutas de error, y multiplicar por un factor a multiplica la cota por \(|a|\). Esto prueba las garantías de aproximación que acompañan los ejercicios normales. Al reemplazar una distribución discreta por una continua aparece además una diferencia entre modelos, que se calcula por comparación con el resultado exacto en P24 y E24.

Incrementos, tasas y unidades

Para valores reales f(a), f(b) y f(c), insertar y cancelar f(b) da \(f(c)-f(a)=[f(b)-f(a)]+[f(c)-f(b)]\). Cuando a<b, dividir el incremento por la duración b-a define la tasa media. Multiplicarla por b-a recupera el incremento. La regla de unidades se deduce del cociente: si el valor se expresa en una unidad U y el argumento en una unidad T, la tasa se expresa en U/T.

Para a<b<c, escribir los incrementos como \(m_1(b-a)\) y \(m_2(c-b)\) y dividir su suma por c-a da la media ponderada de las tasas. Los pesos \((b-a)/(c-a)\) y \((c-b)/(c-a)\) son positivos y suman uno. La ecuación de la recta por dos puntos, \(y=f(a)+m(x-a)\), exige \(f(b)=f(a)+m(b-a)\); como b-a es distinto de cero, su pendiente queda determinada por el mismo cociente. Los desplazamientos conservan signos; en un movimiento monótono por tramos, las distancias de los tramos son las magnitudes de sus desplazamientos y se suman para obtener la distancia total.

Límites, continuidad y operaciones

Se adopta la completitud del cuerpo ordenado de los reales, como en la apertura de este apéndice. El dominio de un límite debe tener puntos arbitrariamente próximos al punto considerado y distintos de él. Para h tendiendo a cero, el límite L se define por el control: para cada \(\varepsilon>0\) existe \(\delta>0\) tal que \(0<|h|<\delta\) dentro del dominio implica \(|q(h)-L|<\varepsilon\). El límite de f en a se obtiene reemplazando h por x-a. La continuidad exige que el valor del punto exista y coincida con ese límite; en extremos de intervalos se usa el acercamiento relativo al intervalo.

Si L y M fueran dos límites distintos, tomar \(\varepsilon=|L-M|/3\) y un punto admisible dentro de ambas distancias daría, por desigualdad triangular, \(|L-M|\leq|L-q|+|q-M|<2|L-M|/3\), una contradicción. El punto existe por la condición de acumulación del dominio. Esto prueba unicidad.

Para una combinación lineal, basta la desigualdad

\[|\alpha u+\beta v-(\alpha L+\beta M)|\leq|\alpha|\,|u-L|+|\beta|\,|v-M|.\]

Si ambos coeficientes son cero, la expresión es constante. En general, exigir que cada error sea menor que \(\varepsilon/[2(1+|\alpha|+|\beta|)]\) y elegir la menor distancia proporcionada por los dos límites prueba la afirmación.

Un límite finito de u da una cota local: exigir \(|u-L|<1\) asegura \(|u|<|L|+1\). Para el producto usamos

\[|uv-LM|\leq|u|\,|v-M|+|M|\,|u-L|.\]

Dentro de la distancia que da la cota local de u, pedir a ambos errores una tolerancia menor que \(\varepsilon/[2(1+|L|+|M|)]\) hace que la suma sea menor que \(\varepsilon\). Si \(v\to M\ne0\), exigir \(|v-M|<|M|/2\) da \(|v|>|M|/2\) y

\[\left|\frac1v-\frac1M\right|=\frac{|v-M|}{|v||M|}\leq\frac{2|v-M|}{|M|^2}.\]

Esto prueba el límite del recíproco; el producto con u prueba el del cociente. Las distancias se eligen conjuntamente con la que separa el denominador de cero.

La función identidad es continua porque \(|x-a|\) controla exactamente su cambio. Las constantes son continuas. Productos y combinaciones lineales finitas de funciones continuas conservan la continuidad por las reglas anteriores. Cada monomio de exponente entero no negativo y todo polinomio son de esa forma. El valor asignado en un punto aislado de una fórmula cercana entra en la condición de continuidad mediante la igualdad entre límite y valor del punto.

Cocientes incrementales y derivadas de polinomios

En un punto interior a, la derivada se define como límite real del cociente incremental con h distinto de cero. Para una constante, el numerador es cero y el cociente vale cero. Para \(mx+b\), el numerador es mh y el cociente vale m. Por unicidad, sus derivadas son las indicadas.

Al multiplicar n factores a+h, el término que usa h en k posiciones aparece tantas veces como subconjuntos de k posiciones, según «Suma, producto y orden en el conteo». Esto justifica la expansión por distributividad.

Para n entero positivo, la identidad binomial da

\[\frac{(a+h)^n-a^n}{h}=na^{n-1}+\sum_{k=2}^n\binom nk a^{n-k}h^{k-1},\qquad h\ne0.\]

La suma es vacía para n=1. Todos los exponentes de h de la suma son positivos, de modo que sus términos tienden a cero por las reglas de productos y sumas. El primer término es constante. Así, la derivada de \(x^n\) es \(na^{n-1}\) en a. Para n=1, el factor \(a^0\) representa la constante uno también en a=0, como corresponde al polinomio identidad. El polinomio constante se trata con su cociente cero.

El cociente de \(\alpha f+\beta g\) es la misma combinación de los cocientes de f y g. La regla de límites prueba la regla de combinación lineal. Se obtienen así las derivadas de todos los polinomios mediante un número finito de operaciones. Para demostrar continuidad a partir de derivabilidad, usamos \(f(a+h)-f(a)=hq(h)\) para h distinto de cero. El cociente q tiene límite finito y está acotado cerca de cero; multiplicarlo por h hace tender el cambio a cero. El valor en h=0 ya coincide con f(a), de modo que queda probada la continuidad en a.

Aproximación local, extremos y valor medio

Definir \(r(h)=f(a+h)-f(a)-f'(a)h\) da, para h distinto de cero, \(r(h)/h=q(h)-f'(a)\). Su límite es cero por definición de derivada. Esta identidad justifica la aproximación de primer orden y señala exactamente el resto que debe controlarse. En el cuadrado, el resto es h²; en el cubo alrededor de a, es \(3ah^2+h^3\). Estas identidades dan cotas concretas para los ejemplos del capítulo.

Si a es un máximo local interior y la derivada existe, para h positivo suficientemente pequeño el cociente es no positivo y para h negativo es no negativo. El límite debe ser a la vez no positivo y no negativo: si fuera positivo, una tolerancia de la mitad de su valor obligaría a los cocientes con h positivo a ser positivos, contra su signo no positivo; si fuera negativo, el argumento con h negativo daría la contradicción correspondiente. Por tanto, la derivada es cero. En un mínimo se invierten las desigualdades y la misma conclusión se conserva. La implicación tiene la dirección indicada: \(x^3\) tiene derivada cero en el origen y valores de ambos signos arbitrariamente cerca.

Para fundamentar la existencia de extremos de una función continua en un intervalo cerrado, probamos primero una consecuencia de completitud. Toda sucesión de puntos de \([a,b]\) tiene una subsucesión convergente a un punto del intervalo. Si a=b es inmediato. Para a<b, dividimos el intervalo en dos mitades cerradas y conservamos una que contenga infinitos términos de la sucesión. Repetimos el proceso dentro de la mitad conservada. Los extremos izquierdos son crecientes y acotados; su supremo c pertenece a todos los intervalos cerrados, porque sus extremos derechos los acotan superiormente. Las longitudes son \((b-a)/2^n\) y tienden a cero. En cada intervalo elegimos un término con índice mayor que el anterior; su distancia a c es como máximo esa longitud. La subsucesión converge a c.

Una función continua f en \([a,b]\) está acotada. Si sus valores absolutos fueran ilimitados, podríamos elegir \(x_n\) con \(|f(x_n)|>n\). La subsucesión anterior tendría límite c. La continuidad hace que los valores de esa subsucesión tiendan a f(c): para cada tolerancia, la distancia dada por continuidad contiene todos los términos de la subsucesión suficientemente avanzados. Por ello sus valores quedan acotados, en contradicción con \(|f(x_{n_k})|>n_k\). Sea M el supremo de f. Elegir \(x_n\) con \(M-1/n<f(x_n)\leq M\) y extraer una subsucesión convergente da f(c)=M por continuidad y unicidad del límite. Aplicar el mismo argumento a -f demuestra que también se alcanza el mínimo.

Si \(a<b\) y f es continua en \([a,b]\), derivable en \((a,b)\) y f(a)=f(b), o es constante, en cuyo caso su derivada es cero en todo punto interior, o alguno de sus extremos globales tiene valor diferente del de los extremos del intervalo. Ese extremo se alcanza en un punto interior y allí la derivada es cero. Esta es la afirmación de Rolle, obtenida con las condiciones indicadas.

La secante tiene una pendiente que podemos calcular usando los extremos del intervalo. Para encontrar un punto donde la derivada tenga esa misma pendiente, podemos restar la secante a la función: así la diferencia valdrá cero en ambos extremos y podremos aplicar Rolle. Definimos por ello

\[g(x)=f(x)-\left[f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\right].\]

La función g es continua en el intervalo cerrado, derivable en el abierto y vale cero en ambos extremos. Rolle da un punto c interior con \(g'(c)=0\), es decir, \(f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)\). Esto prueba el teorema del valor medio.

Si \(|f'|\leq L\) en el interior, aplicarlo entre cualesquiera s<t del intervalo da \(|f(t)-f(s)|=|f'(c)||t-s|\leq L|t-s|\). El caso s=t es inmediato y el intercambio de s y t conserva la desigualdad. Si la derivada es positiva en el interior, el cambio es positivo para s<t y f es estrictamente creciente. Si la derivada es cero en todo el interior, cualesquiera dos valores coinciden. La continuidad en los extremos permite aplicar también estas conclusiones al intervalo cerrado.

Particiones, áreas orientadas e integrabilidad

Para una tasa constante c durante una duración positiva d, cd define la contribución orientada. La aditividad de incrementos justifica sumar las contribuciones de tramos. Subdividir un tramo conserva la suma porque \(c(d_1+d_2)=cd_1+cd_2\). En un movimiento monótono por tramos, la distancia de cada tramo es la magnitud de su desplazamiento. De ahí la suma de magnitudes que aparece en los ejemplos.

Para una función acotada v en \([a,b]\), con a<b, sea P una partición. Cada subintervalo tiene ínfimo \(m_i\) y supremo \(M_i\) por completitud. Se definen \(L(v,P)=\sum_i m_i\Delta x_i\) y \(U(v,P)=\sum_i M_i\Delta x_i\). Toda suma que use una altura de v elegida en cada pieza queda entre L y U. Al dividir una pieza, cada ínfimo nuevo es mayor o igual que el anterior y cada supremo nuevo menor o igual. Distribuir el ancho prueba que un refinamiento aumenta L y disminuye U.

Dos particiones tienen un refinamiento común formado por la unión de sus puntos. Por ello toda suma inferior de cualquier partición es menor o igual que toda suma superior de cualquier otra. Las sumas están acotadas por las cotas globales de v multiplicadas por b-a. Sus supremos e ínfimos existen y cumplen \(\sup_P L(v,P)\leq\inf_P U(v,P)\). Se define integrabilidad de Darboux por la igualdad de esos números, cuyo valor común es la integral I. Equivale a que para cada \(\varepsilon>0\) haya una partición con \(U-L<\varepsilon\): una partición así encierra ambos números en un intervalo de longitud menor que cualquier tolerancia; recíprocamente, si ambos coinciden en I, se eligen una suma inferior mayor que \(I-\varepsilon/2\) y una superior menor que \(I+\varepsilon/2\) y se toma un refinamiento común.

Si v es Lipschitz con constante L, está acotada por \(|v(a)|+L(b-a)\). En una pieza de ancho d, cualesquiera dos valores difieren en a lo sumo Ld. Tomando supremos e ínfimos se obtiene \(M_i-m_i\leq L\Delta x_i\). Para una malla h,

\[U-L\leq L\sum_i(\Delta x_i)^2\leq Lh\sum_i\Delta x_i=L(b-a)h.\]

Las particiones uniformes hacen tender h a cero. El criterio anterior prueba integrabilidad. Como I y cualquier suma de alturas elegidas están entre L y U, su diferencia tiene magnitud a lo sumo \(L(b-a)h\). Esto demuestra tanto la existencia como la garantía de aproximación usada en el capítulo.

Para justificar las operaciones de integrales, observemos que la oscilación de \(\alpha u+\beta v\) en una pieza es a lo sumo \(|\alpha|\) veces la oscilación de u más \(|\beta|\) veces la de v. Si ambas funciones son integrables, elegir particiones con separaciones arbitrariamente pequeñas y refinarlas conjuntamente prueba integrabilidad de la combinación lineal. En esas particiones, una suma de alturas de la combinación es exactamente la combinación de las sumas respectivas; cada suma está a distancia arbitrariamente pequeña de su integral. Por unicidad del límite, la integral es la combinación de las integrales.

Para un punto c entre a y b, refinar una partición incluyendo c separa sus sumas en dos sumas sobre \([a,c]\) y \([c,b]\). Una función integrable en \([a,b]\) lo es en cada parte, porque las separaciones de sumas son no negativas y cada una queda acotada por la separación total. Recíprocamente, si es integrable en ambas partes, unir particiones de separación pequeña prueba integrabilidad en todo el intervalo. Sumar las cotas y hacerlas arbitrariamente próximas a sus valores comunes prueba aditividad. Si \(u\leq v\), para una misma selección de puntos cada suma de u es menor o igual que la de v. Usar particiones que aproximen ambas integrales prueba conservación del orden. Estas demostraciones tratan funciones acotadas e integrables; la condición Lipschitz es una hipótesis suficiente que ya las proporciona en nuestros ejemplos continuos.

Las funciones constantes por un número finito de tramos también son integrables. Si su magnitud está acotada por B, la oscilación es cero en las piezas que quedan dentro de un tramo constante. Sólo contribuyen a U-L las piezas que contienen puntos de salto o valores excepcionales de frontera. Con una cantidad finita k de tales puntos y malla h, esas piezas tienen longitud total a lo sumo 2kh; su contribución a U-L es a lo sumo 4Bkh. Hacer tender h a cero prueba el criterio. Las sumas restantes son los valores constantes multiplicados por sus duraciones, y las piezas excepcionales aportan una cantidad que tiende a cero. La integral es la suma de las contribuciones de los tramos. Cambiar un número finito de valores conserva el mismo argumento y la misma integral.

Para una función lineal \(v(t)=\alpha t+\beta\) en \([a,b]\), una partición uniforme de n piezas tiene ancho \(d=(b-a)/n\). La suma izquierda es

\[d\sum_{j=0}^{n-1}[\alpha(a+jd)+\beta]=(b-a)(\alpha a+\beta)+\frac\alpha2(b-a)^2\frac{n-1}{n}.\]

La función es Lipschitz con constante \(|\alpha|\), así que la suma converge a su integral. Su límite es \((b-a)[v(a)+v(b)]/2\). Esta es la fórmula del trapecio orientado. Si la recta cambia de signo, la aditividad en su cero separa los dos triángulos. La suma orientada da el desplazamiento y la integral de su valor absoluto suma las magnitudes que dan la distancia.

Primitivas polinómicas y condiciones iniciales

Una primitiva de v en un intervalo es una función continua en ese intervalo y derivable en su interior, con derivada v allí. En un intervalo abierto, los puntos del intervalo son interiores; en uno cerrado se exige además continuidad en sus extremos. Si F y G son primitivas de v, su diferencia tiene derivada cero en el interior. El teorema del valor medio entre cualesquiera dos puntos demuestra que esa diferencia es constante. Las hipótesis de intervalo y continuidad conservan la posibilidad de comparar todos sus puntos.

La derivación polinómica comprueba directamente que \(kt+C\) tiene derivada k y que \(\alpha t^2/2+\beta t+C\) tiene derivada \(\alpha t+\beta\). Cualquier otra primitiva difiere de ellas por una constante, por el argumento anterior. Prescribir \(F(t_0)=y_0\) en la segunda familia da \(C=y_0-\alpha t_0^2/2-\beta t_0\). Sustituir este valor verifica el dato inicial; la constancia de la diferencia asegura unicidad en el intervalo.

También la derivación de potencias demuestra que \(t^{n+1}/(n+1)\) tiene derivada \(t^n\) para n entero no negativo. Dividir por n+1 es válido porque ese entero es positivo. Las combinaciones lineales permiten construir primitivas de polinomios. Los ejemplos \(t^3/3\) y \(t^3-2t\) se comprueban mediante esa regla. Su utilización para evaluar integrales requiere además la conexión de la sección siguiente.

Acumulación y teorema fundamental elemental

Para una función integrable en un intervalo, se define la integral de a a a como cero y la integral de b a a como la opuesta de la de a a b. Esta convención extiende la aditividad a extremos en cualquier orden. La integral sobre un intervalo con orientación positiva de la constante c es c multiplicado por su longitud, como se probó mediante sumas; con orientación inversa, la misma identidad conserva el signo.

Sea v Lipschitz en \([a,b]\) con constante L. Sus restricciones a subintervalos también lo son y sus integrales existen. Definimos \(F(x)=\int_a^xv(t)\,dt\). La cota global B de \(|v|\) y la conservación del orden dan \(|F(y)-F(x)|\leq B|y-x|\), por lo que F es continua también en los extremos. Para x interior y h distinto de cero suficientemente pequeño, la aditividad da

\[F(x+h)-F(x)=\int_x^{x+h}v(t)\,dt.\]

En el intervalo entre x y x+h, \(|v(t)-v(x)|\leq L|h|\). La linealidad, el orden y la orientación dan

\[\left|\frac{F(x+h)-F(x)}h-v(x)\right|\leq L|h|.\]

La desigualdad vale para h de ambos signos: la magnitud de la integral del error está acotada por \(L|h|^2\), y dividir por \(|h|\) da la expresión anterior. Para L>0 se elige \(\delta=\min(d,\varepsilon/L)\), donde d es una distancia positiva que mantiene x+h dentro del intervalo. Si L=0, el error es cero y basta esa distancia d. Así queda demostrado \(F'(x)=v(x)\) en el interior con un control explícito.

Si G es una primitiva continua en \([a,b]\), entonces G-F es continua en el intervalo cerrado y tiene derivada cero en su interior. Valor medio prueba que es constante. Como F(a)=0, evaluar la diferencia en los extremos da

\[\int_a^bv(t)\,dt=F(b)=G(b)-G(a).\]

Los polinomios cumplen las hipótesis sobre cualquier intervalo cerrado: su derivada es continua y alcanza una cota finita por el teorema de extremos demostrado en «Aproximación local, extremos y valor medio». La cota de la derivada proporciona una constante Lipschitz por valor medio. Así quedan justificadas las evaluaciones polinómicas de este capítulo. El teorema se ha probado bajo las hipótesis aquí enunciadas; las extensiones a clases más generales de funciones e integrales forman parte del desarrollo posterior del cálculo.

La cota de error de una suma de alturas elegidas se demostró en «Particiones, áreas orientadas e integrabilidad». Para n piezas iguales de \([a,b]\), la malla es \((b-a)/n\) y la garantía queda en \(L(b-a)^2/n\). Elegir n para que esta expresión sea menor o igual que el margen pedido produce las garantías de los problemas finales. Las sumas de cuadrados empleadas allí pueden comprobarse por inducción: \(\sum_{j=0}^{n-1}j^2=n(n-1)(2n-1)/6\) es cierta para n=1 y la diferencia entre las expresiones consecutivas es n². Las fracciones exactas del texto contrastan el error efectivo con esa garantía general.

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