Capítulo 3. Relaciones, subobjetos y clasificación
Construimos una gráfica a partir de una flecha en el Capítulo 1 y estudiamos en el Capítulo 2 cuándo las flechas se distinguen por sus puntos o evaluaciones. Ahora invertimos la perspectiva: ¿cómo describir una relación sin asumir de entrada que sea una función y qué hipótesis permiten representar todas las relaciones mediante flechas características?
Contrato fundacional. Conservamos los datos categóricos, los productos, los monomorfismos y las gráficas de Capítulo 1. Las nociones de elemento global y generalizado se toman de Capítulo 2. No inferimos que una categoría cualquiera sea \(\mathbf{Set}\) ni que posea todas las construcciones conjuntistas. Cuando aparece \(\operatorname{Sub}(X)\) como conjunto o \(\operatorname{Hom}(X,Y)\) como conjunto se presupone la hipótesis de tamaño correspondiente; en general son colecciones de la metateoría.
3.1. Un subconjunto sin pertenencia primitiva
Definición 3.1.1 — Subobjeto
Un representante de subobjeto de \(X\) es un monomorfismo \(m:U\rightarrowtail X\). Los representantes \(m:U\to X\) y \(n:V\to X\) se identifican cuando hay un isomorfismo \(i:U\to V\) con \(n\circ i=m\). Denotamos la clase de equivalencia por \([m]\) y la colección de estas clases por \(\operatorname{Sub}(X)\). Escribimos
\[ [m]\le[n]\quad\Longleftrightarrow\quad \exists u:U\to V\ \text{tal que }n\circ u=m. \tag{3.1} \]
La clase de equivalencia no presupone un conjunto de todos los subobjetos. La expresión \(\operatorname{Sub}(X)\) se interpreta con la precaución de tamaño correspondiente.
Teorema 3.1.2 — Orden de los subobjetos
La relación (3.1) está bien definida sobre clases de isomorfismo y es un orden parcial.
Demostración. Cambiar \(m\) y \(n\) por representantes isomorfos sólo compone el factor \(u\) con los isomorfismos y sus inversos, sin alterar la existencia de la factorización. La reflexividad corresponde a \(1_U\), y la transitividad a la composición de los factores. Para la antisimetría, supongamos \(m=n\circ u\) y \(n=m\circ v\). Así,
\[ m=m\circ(v\circ u),\qquad n=n\circ(u\circ v). \]
La monicidad de \(m\) y \(n\) da \(v\circ u=1_U\) y \(u\circ v=1_V\); luego \(u\) es un isomorfismo y \([m]=[n]\). \(\square\)
Definición 3.1.3 — Relación de \(A\) en \(B\)
Cuando existe el producto \(A\times B\), una relación de \(A\) en \(B\) es un subobjeto
\[ r:R\rightarrowtail A\times B. \tag{3.2} \]
Su dominio y codominio relacionales quedan declarados por \(A\) y \(B\). En \(\mathbf{Set}\), (3.2) corresponde a un subconjunto de \(A\times B\), y no se le exige totalidad ni unicidad de segundo componente.
Teorema 3.1.4 — Toda aplicación determina una relación gráfica
Toda flecha \(f:A\to B\) determina la relación \([\gamma_f]\) representada por
\[ \gamma_f=\langle1_A,f\rangle:A\rightarrowtail A\times B. \]
Demostración. El Teorema 1.3.3 establece que \(\gamma_f\) es monomorfismo. Por la Definición 3.1.3 su clase representa una relación. \(\square\)
Para \(A=\{0\}\) y \(B=\{0,1\}\), la relación vacía es un subobjeto de \(A\times B\) y no es la gráfica de una aplicación total \(A\to B\). La relación \(\{(0,0),(0,1)\}\) tampoco es una gráfica, ahora por falta de unicidad. La relación \(\{(0,0)\}\) sí lo es. El criterio exacto para distinguirlas sigue siendo el Teorema 1.3.4: la proyección del representante relacional a \(A\) ha de ser un isomorfismo.
3.2. Límites por cambio de base: preimágenes e intersección
Los productos no garantizan la existencia de preimágenes categóricas de subobjetos. Explicitamos por ello un axioma nuevo.
Axioma 3.2.1 — Existencia de productos fibrados
Para cualquier par \(f:X\to Z\) y \(g:Y\to Z\), existe un objeto \(P\) y flechas \(p:P\to X\), \(q:P\to Y\) con \(f\circ p=g\circ q\) tales que, para cualquier \(a:T\to X\) y \(b:T\to Y\) con \(f\circ a=g\circ b\), hay una única \(w:T\to P\) que cumple \(p\circ w=a\) y \(q\circ w=b\). Llamamos \(P=X\times_ZY\) al producto fibrado (pullback), siempre hasta isomorfismo compatible con las proyecciones.
Definición 3.2.2 — Preimagen de un subobjeto
Para \(m:U\rightarrowtail Y\) y \(f:X\to Y\), construimos un producto fibrado
\[ \begin{array}{ccc} P &\xrightarrow{q}& U\\ \scriptstyle p\downarrow &&\downarrow\scriptstyle m\\ X&\xrightarrow{f}&Y. \end{array} \tag{3.3} \]
Una vez probada la monicidad de \(p\), su clase se denomina \(f^*[m]\), preimagen de \([m]\) por \(f\).
Teorema 3.2.3 — Una preimagen es un subobjeto
La flecha \(p:P\to X\) de (3.3) es monomorfismo; la preimagen es independiente, salvo el isomorfismo pertinente, de las elecciones de representantes y productos fibrados.
Demostración. Sean \(u,v:T\to P\) y supongamos \(p\circ u=p\circ v\). Por conmutatividad,
\[ m\circ q\circ u=f\circ p\circ u=f\circ p\circ v=m\circ q\circ v. \]
La monicidad de \(m\) da \(q\circ u=q\circ v\). Las dos componentes de \(u\) y \(v\) coinciden; por la unicidad del producto fibrado, \(u=v\). La independencia se obtiene usando la propiedad universal para producir flechas entre dos productos fibrados del mismo diagrama; al aplicarla en ambas direcciones, sus composiciones deben ser las identidades. Si se sustituye \(m\) por \(m'\) isomorfo sobre \(Y\), se transporta el mismo argumento por ese isomorfismo. \(\square\)
Teorema 3.2.4 — Leyes de la preimagen
Para \(X\xrightarrow{f}Y\xrightarrow{g}Z\) y \([m]\in\operatorname{Sub}(Z)\),
\[ 1_Z^*[m]=[m],\qquad (g\circ f)^*[m]=f^*(g^*[m]). \tag{3.4} \]
Además, \(f^*\) preserva el orden de los subobjetos.
Demostración. El cuadrado con \(1_Z\) es un producto fibrado con objeto \(U\) y proyección \(m\). Para la segunda igualdad, sea \(m:U\rightarrowtail Z\); construyamos \(Q:=Y\times_ZU\) y \(P:=X\times_YQ\). Dar una flecha \(T\to P\) equivale, por las dos propiedades universales, a dar \(a:T\to X\) y \(b:T\to U\) con \(g\circ f\circ a=m\circ b\). Es exactamente la propiedad universal de \(X\times_ZU\). La unicidad produce un isomorfismo de los representantes sobre \(X\), lo que demuestra (3.4). Finalmente, una factorización \(m=n\circ u\) se transporta mediante la propiedad universal a una flecha entre sus productos fibrados sobre \(X\); por definición del orden, \(f^*[m]\le f^*[n]\). \(\square\)
Teorema 3.2.5 — Intersección como producto fibrado
Si \(m:U\rightarrowtail X\) y \(n:V\rightarrowtail X\), el producto fibrado \(P=U\times_XV\) determina el ínfimo de \([m]\) y \([n]\) en \(\operatorname{Sub}(X)\):
\[ [m]\wedge[n]=[m\circ p]=[n\circ q]. \tag{3.5} \]
Demostración. El cuadrado del producto fibrado da \(m\circ p=n\circ q=:k\). La flecha \(p\) es mono porque es preimagen del mono \(n\); por composición, \(k\) también es mono. Las factorizaciones por \(m\) y \(n\) prueban que \([k]\) es cota inferior. Si \(w:T\rightarrowtail X\) es otra cota inferior, existen \(a:T\to U\) y \(b:T\to V\) con \(m\circ a=w=n\circ b\). El producto fibrado produce \(c:T\to P\) y entonces \(k\circ c=w\), de modo que \([w]\le[k]\). \(\square\)
Lectura pedagógica. En \(\mathbf{Set}\), (3.3) es la preimagen ordinaria y (3.5) recupera la intersección de subconjuntos. No hemos supuesto una operación universal de unión: su existencia necesita un argumento distinto.
3.3. Clasificación: convertir cada subobjeto en una flecha
Axioma 3.3.1 — Clasificador de subobjetos
Postulamos un objeto \(\Omega\) y una flecha \(\mathsf{true}:1\to\Omega\) tales que para cada monomorfismo \(m:U\rightarrowtail X\) existe una única flecha \(\chi_m:X\to\Omega\) para la cual el cuadrado
\[ \begin{array}{ccc} U&\xrightarrow{!_U}&1\\ \scriptstyle m\downarrow&&\downarrow\scriptstyle\mathsf{true}\\ X&\xrightarrow{\chi_m}&\Omega \end{array} \tag{3.6} \]
es un producto fibrado. La flecha \(\chi_m\) se llama característica o clasificadora del subobjeto. La unicidad se refiere a la propiedad completa de producto fibrado, no sólo a la conmutatividad del cuadrado. Este axioma se añade: no se deduce de terminal, productos, exponenciales y productos fibrados.
Teorema 3.3.2 — Representación de los subobjetos
Para cada \(X\), el clasificador determina una correspondencia biyectiva, interpretada en la metateoría,
\[ \operatorname{Sub}(X)\ \cong\ \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,\Omega), \qquad [m]\longmapsto\chi_m. \tag{3.7} \]
Demostración. Si \(m\) y \(m'\) representan el mismo subobjeto, un isomorfismo de dominios conmuta sobre \(X\), por lo que trasladar el cuadrado (3.6) a ese representante conserva su propiedad universal. La unicidad de la clasificadora da \(\chi_m=\chi_{m'}\): la aplicación de (3.7) está bien definida. Dada \(\chi:X\to\Omega\), el producto fibrado de \(\mathsf{true}\) a lo largo de \(\chi\) existe por el Axioma 3.2.1 y su proyección a \(X\) es monomorfismo por el Teorema 3.2.3; el axioma clasificador asegura que su flecha característica es precisamente \(\chi\). Recíprocamente, el producto fibrado obtenido de \(\chi_m\) representa el mismo subobjeto que \(m\) por la unicidad de productos fibrados. Ambas asignaciones son inversas. \(\square\)
La correspondencia (3.7) puede leerse clase a clase sin postular que todos los subobjetos formen inicialmente un conjunto. En una categoría localmente pequeña, \(\operatorname{Hom}(X,\Omega)\) sí es un conjunto; entonces (3.7) muestra que los subobjetos de \(X\) están parametrizados por un conjunto, esto es, que la categoría está bien potenciada (well-powered).
Teorema 3.3.3 — Naturalidad de las características
Para \(f:X\to Y\) y \(m:U\rightarrowtail Y\),
\[ \chi_{f^*[m]}=\chi_m\circ f. \tag{3.8} \]
Demostración. El cuadrado que representa \(f^*[m]\) es el producto fibrado de \(m\) a lo largo de \(f\). El cuadrado clasificador de \(m\) es el producto fibrado de \(\mathsf{true}\) a lo largo de \(\chi_m\). Al componer los dos productos fibrados, la propiedad universal —como en la demostración de (3.4)— muestra que el cuadrado exterior es un producto fibrado de \(\mathsf{true}\) a lo largo de \(\chi_m\circ f\). Por unicidad de la flecha característica, ésta es \(\chi_{f^*[m]}\). \(\square\)
Ejemplo 3.3.4 — El clasificador en \(\mathbf{Set}\)
En la categoría clásica de conjuntos, tomamos \(\Omega=\{0,1\}\) y \(\mathsf{true}:1\to\Omega\) con valor \(1\). Cada subconjunto \(U\subseteq X\) tiene función característica
\[ \chi_U(x)=\begin{cases}1,&x\in U,\\0,&x\notin U.\end{cases} \]
La preimagen de \(\{1\}\) por \(\chi_U\) es exactamente \(U\), de modo que el cuadrado clasificador es un producto fibrado. Toda flecha que produzca ese cuadrado tiene valor \(1\) exactamente en \(U\) y, puesto que \(\Omega\) tiene sólo los dos valores \(0\) y \(1\), coincide con \(\chi_U\). Cada mono conjuntista es isomorfo sobre \(X\) a la inclusión de su imagen, así que quedan clasificados todos los monomorfismos. Auditoría: definir \(\chi_U\) para todo subconjunto arbitrario por esta dicotomía utiliza la lógica clásica en el modelo \(\mathbf{Set}\); para conjuntos constructivos con pertenencia indecidible no debe asumirse automáticamente esa misma fórmula con codominio discreto \(2\).
Contraejemplo 3.3.5 — \(\mathbf{Pos}\) no posee clasificador de todos los monos
Sea \(\mathbf{Pos}\) la categoría de conjuntos parcialmente ordenados y aplicaciones monótonas. Tiene terminal unitario, productos con orden componente a componente y productos fibrados con orden heredado del producto. También tiene exponenciales: \(B^A\) es el conjunto de aplicaciones monótonas \(A\to B\) con orden puntual; la evaluación y la currificación son monótonas y cumplen la propiedad universal.
Sean \(D=\{p,q\}\) con el orden discreto (ningún par distinto es comparable) y \(C=\{p<q\}\) con el orden de dos elementos en cadena. La función subyacente identidad \(i:D\to C\) es monótona e inyectiva, luego es un monomorfismo de \(\mathbf{Pos}\): cualquier par de flechas que coincida tras \(i\) ya coincide punto a punto.
Supongamos que un clasificador \(\mathsf{true}:1\to\Omega\) clasificara a \(i\). La conmutatividad de su cuadrado obligaría a \(\chi_i(i(p))=\mathsf{true}(*)=\chi_i(i(q))\). Como \(i\) es sobreyectiva sobre el conjunto subyacente de \(C\), \(\chi_i\) sería la flecha constante de valor \(\mathsf{true}(*)\). El producto fibrado de \(\mathsf{true}\) a lo largo de esa flecha constante es, por la propiedad universal, la identidad \(1_C:C\to C\) (con el orden completo de \(C\)). Si también \(i\) fuera dicho producto fibrado, la unicidad de productos fibrados forzaría que \(i\) fuera isomorfismo. Pero su inversa conjuntista \(C\to D\) no es monótona, pues \(p<q\) en \(C\) y \(p\not\le q\) en \(D\). Contradicción. \(\square\)
Incluso terminal, productos, exponenciales y productos fibrados no implican la existencia de un clasificador de todos los monomorfismos. La condición es genuinamente adicional. No hay que confundir monomorfismo en \(\mathbf{Pos}\) (inyectivo y monótono) con inclusión que refleja el orden.
3.4. Caracterizar una función por su relación clasificadora
Teorema 3.4.1 — Igualdad de funciones por sus características gráficas
Si la categoría satisface los axiomas anteriores y \(f,g:A\to B\), entonces
\[ f=g\quad\Longleftrightarrow\quad \chi_{\gamma_f}=\chi_{\gamma_g}:A\times B\to\Omega. \tag{3.9} \]
Demostración. Si \(f=g\), sus flechas gráficas coinciden y también sus clasificadoras por unicidad. Supongamos recíprocamente que las clasificadoras coinciden. Por el Teorema 3.3.2, los monos \(\gamma_f\) y \(\gamma_g\) representan el mismo subobjeto de \(A\times B\), por lo que existe un isomorfismo \(u:A\to A\) con \(\gamma_g\circ u=\gamma_f\). Al componer con \(\pi_A\), obtenemos \(u=1_A\), pues \(\pi_A\circ\gamma_f=\pi_A\circ\gamma_g=1_A\). Al componer entonces con \(\pi_B\) resulta \(g=f\). \(\square\)
La implicación no exige que el terminal sea generador: compara flechas características completas, no sus valores sobre puntos globales.
Definición 3.4.2 — Objeto potencia, cuando existe
Si la categoría posee el exponencial \(\Omega^A\), escribimos
\[ \mathcal P(A):=\Omega^A. \]
El nombre objeto potencia alude a su función clasificadora. No se identifica por definición con un conjunto de partes construido mediante pertenencia.
Teorema 3.4.3 — El objeto potencia representa familias de relaciones
Para todo objeto \(X\), hay correspondencias naturales en \(X\):
\[ \operatorname{Sub}(X\times A) \cong\operatorname{Hom}(X\times A,\Omega) \cong\operatorname{Hom}(X,\Omega^A). \tag{3.10} \]
En particular, \(\operatorname{Sub}(A)\cong\operatorname{Hom}(1,\Omega^A)\), usando \(1\times A\cong A\).
Demostración. La primera correspondencia es la clasificación (3.7) aplicada a \(X\times A\); la segunda es la propiedad universal del exponencial del Axioma 1.4.1. Ambas son invertibles por los teoremas y axiomas correspondientes. La naturalidad de la primera frente a \(k:Y\to X\) es (3.8) para \(k\times1_A\); la de la segunda se verifica al transponer: \(\lambda(h\circ(k\times1_A))=(\lambda h)\circ k\), ya que ambas flechas satisfacen la misma ecuación de evaluación y la transpuesta es única. Para \(X=1\) usamos el isomorfismo del producto con el terminal del Teorema 1.4.2. \(\square\)
Interpretación. El objeto \(\Omega^A\) permite tratar subobjetos de \(A\) como sus elementos globales y las familias de subobjetos de \(A\) parametrizadas por \(X\) como flechas \(X\to\Omega^A\). Esta caracterización no suministra por sí misma algoritmos para decidir pertenencia.
3.5. La composición de relaciones exige todavía otra operación
Definición 3.5.1 — Composición de relaciones en \(\mathbf{Set}\)
Para \(R\subseteq A\times B\) y \(S\subseteq B\times C\) definimos
\[ S\circ R:=\{(a,c)\in A\times C:\exists b\in B\ ((a,b)\in R\land(b,c)\in S)\}. \tag{3.11} \]
Esta es una definición en el modelo conjuntista, no una afirmación de que la operación esté disponible en toda categoría con productos fibrados.
Ejemplo 3.5.2 — El producto fibrado solo no da la relación compuesta
Sea \(A=\{a\}\), \(B=\{b_1,b_2\}\), \(C=\{c\}\) y tomemos \(R=\{(a,b_1),(a,b_2)\}\) y \(S=\{(b_1,c),(b_2,c)\}\). El producto fibrado \(P=R\times_BS\) tiene dos elementos distintos, correspondientes a los testigos \(b_1\) y \(b_2\), mientras que la flecha inducida
\[ t:P\longrightarrow A\times C \]
envía ambos al mismo par \((a,c)\). Por tanto \(t\) no es monomorfismo y no representa directamente una relación. En \(\mathbf{Set}\) tomamos su imagen, aquí el subconjunto \(\{(a,c)\}\); se han olvidado los testigos repetidos sin elegir uno de ellos.
Teorema 3.5.3 — Asociatividad de la composición conjuntista
Para \(R\subseteq A\times B\), \(S\subseteq B\times C\) y \(T\subseteq C\times D\),
\[ T\circ(S\circ R)=(T\circ S)\circ R. \]
Demostración. Para todo \((a,d)\in A\times D\),
\[ \begin{aligned} (a,d)\in T\circ(S\circ R) &\Longleftrightarrow \exists c\in C\ \exists b\in B\bigl(R(a,b)\land S(b,c)\land T(c,d)\bigr)\\ &\Longleftrightarrow \exists b\in B\ \exists c\in C\bigl(R(a,b)\land S(b,c)\land T(c,d)\bigr)\\ &\Longleftrightarrow (a,d)\in(T\circ S)\circ R. \end{aligned} \]
La equivalencia se obtiene reordenando testigos existenciales y conjunciones; no se elige una función global de testigos. Por extensionalidad conjuntista de las relaciones, los dos subconjuntos son iguales. \(\square\)
Límite categórico del capítulo. En una categoría con productos y pullbacks podemos formar \(P=R\times_BS\) y \(t:P\to A\times C\); no podemos inferir que \(t\) sea mono ni que exista una imagen apropiada para convertirlo en subobjeto. Un marco estándar que permite efectuar esta construcción de manera estable y demostrar su asociatividad es el de las categorías regulares: disponen de límites finitos y de factorizaciones imagen mediante epimorfismos regulares estables por cambio de base. No asumimos regularidad aquí ni trasladamos sin prueba el Teorema 3.5.3 a categorías arbitrarias.
3.6. Auditoría de fundamentos, dependencias y pedagogía
| Construcción | Hipótesis nuevas | Resultado autorizado | Lo que no autoriza |
|---|---|---|---|
| Relación \(R\rightarrowtail A\times B\) | Ninguna fuera de productos y monos | Representar relaciones hasta isomorfismo | Componerlas automáticamente |
| Preimagen e intersección | Pullbacks, TF-AX-00006 |
Leyes (3.4), ínfimos (3.5) | Todas las uniones o imágenes |
| Clasificación | Clasificador, TF-AX-00007 |
(3.7), (3.8), (3.9) | Decidibilidad de subobjetos |
| Potencias | Clasificador y exponenciales | (3.10) | Algoritmos de pertenencia |
| Composición en \(\mathbf{Set}\) | Semántica conjuntista e imagen | Asociación con testigos existenciales | Composición general sin imágenes estables |
El contraejemplo de \(\mathbf{Pos}\) acredita que los nuevos axiomas no son una consecuencia oculta de los anteriores. Las demostraciones estructurales sólo utilizan propiedades universales y lógica de igualdad; el ejemplo \(\mathbf{Set}\) usa lógica clásica para decidir la dicotomía de una característica hacia \(2\). Ningún teorema afirma computabilidad ni decidibilidad de igualdad o pertenencia. Las hom-colecciones y las subcolecciones se interpretan metateóricamente con precauciones de tamaño; cuando son conjuntos se dice expresamente. Las afirmaciones estándar sobre categorías regulares se registran como referencia para el siguiente tramo, no como teoremas demostrados aquí.
Control de notación: \(\operatorname{Sub}(X)\) son clases de monos sobre \(X\); \(\chi_m\) clasifica un subobjeto; \(\gamma_f\) es la flecha gráfica; \(\Omega\) no es necesariamente \(\{0,1\}\); \(\mathcal P(A)\) sólo denota \(\Omega^A\) bajo la hipótesis de existencia indicada. La palabra «igualdad» no implica decidibilidad. La representación de una relación no debe confundirse con su predicado de pertenencia en una lógica externa.
3.7. Fuentes y cotejo
- F. William Lawvere y Robert Rosebrugh, Sets for Mathematics, Cambridge University Press, 2003, cap. 2 (§§2.2–2.5: monos, partes, aplicaciones características, preimagen), cap. 3 (§§3.3–3.5: gráficas, igualadores y pullbacks) y cap. 8 (objetos potencia). Fuente de referencia en la biblioteca: bibliografía pública El orden de axiomas, las auditorías y la selección de demostraciones constituyen nuestra reconstrucción, no una transcripción del texto.
- nLab, «Subobject classifier»: https://ncatlab.org/nlab/show/subobject+classifier (definición universal; representabilidad y naturalidad de \(\operatorname{Sub}\); advertencias sobre lógica interna). Se cita como recurso de contraste, no como fundamento axiomático oculto.
- Chris Heunen y Sean Tull, Categories of Relations as Models of Quantum Theory (2015, §2; DOI: 10.4204/EPTCS.195.18), explicación de imágenes en composición relacional y estabilidad: https://www.cs.ox.ac.uk/people/chris.heunen/publications/2015/regular/regular.pdf. La teoría completa de relaciones regulares queda aplazada al siguiente nodo.
- Contraejemplo \(\mathbf{Pos}\) construido aquí por cálculo directo; referencia de contraste: https://math.stackexchange.com/questions/1650277/subobject-classifier-for-partial-orders. El argumento completo se ha incluido, de modo que no depende de aceptar sin prueba la respuesta externa.