Capítulo 4. Imágenes y composición categórica de relaciones
Dados dos subobjetos relacionales \(R\rightarrowtail A\times B\) y \(S\rightarrowtail B\times C\), el producto fibrado \(R\times_B S\) reúne testigos de una composición, pero su flecha inducida hacia \(A\times C\) puede no ser monomórfica. ¿Qué axiomas permiten reemplazarla por su imagen y demostrar que esta operación es asociativa, tiene identidades y prolonga la composición de aplicaciones?
Contrato de lectura. Usamos capítulo 1 para productos, gráficas y monomorfismos; capítulo 2 para separar puntos globales de igualdad de flechas; capítulo 3 para subobjetos, relaciones y productos fibrados. No presupongamos el clasificador \(\Omega\) para demostrar la composición: el axioma TF-AX-00007 es innecesario aquí. Los símbolos \(\operatorname{Sub}(X)\) y \(\operatorname{Rel}(A,B)\) pueden denotar colecciones en la metateoría; sólo escribimos hom-conjuntos cuando se ha fijado una hipótesis de tamaño.
4.1. ¿Dónde se detuvo exactamente la construcción anterior?
Sean \(r:R\rightarrowtail A\times B\) y \(s:S\rightarrowtail B\times C\), con componentes \(r_A,r_B\) y \(s_B,s_C\). Formemos \(P=R\times_B S\) usando \(r_B\) y \(s_B\), con proyecciones \(p:P\to R\) y \(q:P\to S\). La flecha
\[ t=\langle r_Ap,s_Cq\rangle:P\longrightarrow A\times C \tag{4.1} \]
no es necesariamente mono. En \(\mathbf{Set}\), si \(A=\{a\}\), \(B=\{b_0,b_1\}\) y \(C=\{c\}\), y \(R=A\times B\), \(S=B\times C\), entonces \(P\) tiene dos elementos, ambos enviados por \(t\) al único par \((a,c)\). La relación compuesta es la imagen \(\{(a,c)\}\), no el conjunto de sus dos testigos. Esta frontera quedó registrada al final del capítulo 3; ahora vamos a cruzarla.
Teorema 4.1.1 — Los axiomas anteriores dan límites finitos
Una categoría con objeto terminal, productos binarios y productos fibrados posee igualadores y, por tanto, todos los límites finitos.
Demostración. Para \(f,g:X\to Y\), sea \(\Delta_Y=\langle1_Y,1_Y\rangle:Y\to Y\times Y\). Formemos el pullback de \(\langle f,g\rangle:X\to Y\times Y\) por \(\Delta_Y\) y llamemos \(e:E\to X\) a su proyección sobre \(X\). La conmutatividad y las proyecciones del producto dan \(fe=ge\). Dada \(h:T\to X\) con \(fh=gh\), el par \((h,fh)\) verifica \(\langle f,g\rangle h=\Delta_Y(fh)\) y determina dicha flecha de manera única. Así \(e\) iguala \(f\) y \(g\). Un objeto terminal, productos e igualadores construyen todos los límites de diagramas finitos: primero se toma el producto de sus objetos y después se igualan las dos aplicaciones inducidas por las flechas del diagrama. \(\square\)
Definición 4.1.2 — Epimorfismo regular
Una flecha \(e:X\to Y\) es epimorfismo regular si es un coigualador de algún par paralelo \(u,v:T\rightrightarrows X\): \(eu=ev\) y, para toda \(h:X\to Z\) con \(hu=hv\), existe una única \(\bar h:Y\to Z\) con \(\bar h e=h\). Un coigualador es epi: si \(ae=be\), las flechas \(a,b\) satisfacen la misma factorización universal de \(ae\), luego coinciden. Denotamos por \(X\twoheadrightarrow Y\) un epimorfismo regular, no un epimorfismo arbitrario.
La definición de epimorfismo (cancelación por la derecha) no garantiza que sea coigualador ni que sobreviva al cambio de base. Tampoco estamos postulando coigualadores de todas las relaciones de equivalencia: esa exigencia es más fuerte que la regularidad.
4.2. Introducción explícita de la regularidad
Axioma 4.2.1 — Paquete de regularidad
Como contrato suficiente de trabajo sobre la base débil de límites finitos, añadimos estas dos exigencias: (i) toda \(f:X\to Y\) admite una factorización \(f=me\) con \(e:X\twoheadrightarrow I\) epimorfismo regular y \(m:I\rightarrowtail Y\) monomorfismo; (ii) todo cambio de base de un epimorfismo regular mediante un producto fibrado vuelve a ser epimorfismo regular. Llamamos categoría regular a una categoría que satisface este paquete y los límites finitos ya demostrados. La composición de epimorfismos regulares y la unicidad de las factorizaciones se demostrarán, no se añaden como axiomas independientes. El rótulo «axioma» en TF-AX-00008 señala una hipótesis explícita para esta vía de demostración, no independencia lógica respecto de todos los axiomas de los capítulos precedentes.
Ruta regular mínima: límites finitos (TF-THM-00023) y el paquete TF-AX-00008; las pruebas de este capítulo sólo usan esta ruta y no recurren a exponenciales ni al clasificador de subobjetos. Ruta acumulada del topos: si también se mantienen los exponenciales (TF-AX-00005) y el clasificador (TF-AX-00007) de los capítulos 1–3, se está en un topos elemental, y todo topos elemental es regular. Esta última implicación es un resultado externo citado, no demostrado ni incorporado como nuevo teorema del tratado; su prueba completa y su eventual formalización quedan fuera del alcance de esta corrección. Véase Todd Trimble, An elementary approach to elementary topos theory, «A topos is a regular category».
Teorema 4.2.2 — Ortogonalidad y composición de cubrimientos
- Todo epimorfismo regular tiene la propiedad de levantamiento único frente a cualquier monomorfismo. (b) La composición de dos epimorfismos regulares es regular. (c) Todo epimorfismo regular que además sea mono es isomorfismo.
Demostración. (a) Sea \(e:X\twoheadrightarrow Y\) el coigualador de \(u,v:T\rightrightarrows X\) y consideremos un cuadrado con \(m:U\rightarrowtail V\), \(a:X\to U\), \(b:Y\to V\) y \(ma=be\). Entonces \(mau=beu\) y, de modo explícito, \(mau=beu=bev=mav\); por monicidad \(au=av\). Existe una única \(d:Y\to U\) tal que \(de=a\). Además \(mde=ma=be\), y, por ser \(e\) epi, \(md=b\). La unicidad de \(d\) resulta de \(e\) epi.
Si \(e_1:X\twoheadrightarrow Y\) y \(e_2:Y\twoheadrightarrow Z\), el procedimiento de (a) resuelve primero un cuadrado frente a \(e_1\) y después otro frente a \(e_2\); por ello \(e_2e_1\) también es ortogonal a todo mono. Factoricemos \(e_2e_1=mq\) según el axioma, con \(q\) regular epi y \(m\) mono. Aplicando la ortogonalidad de \(e_2e_1\) frente a \(m\) al cuadrado con flecha superior \(q:X\to I\) e inferior \(1_Z\), obtenemos \(d:Z\to I\) con \(d(e_2e_1)=q\) y \(md=1_Z\). De \(dmq=q\) y la epimorfía de \(q\) se deduce \(dm=1_I\). Por tanto \(m\) es iso y \(e_2e_1\) es isomorfo a \(q\), luego es regular epi.
Aplicar (a) al cuadrado con izquierda y derecha \(e\), y con horizontales identidades, produce una inversa bilateral. \(\square\)
Teorema 4.2.3 — Unicidad, propiedad de imagen y estabilidad
La parte monomórfica de una factorización regular-epi/mono de \(f:X\to Y\) determina un subobjeto \(\operatorname{Im}(f)\in\operatorname{Sub}(Y)\) único. Es el menor subobjeto de \(Y\) por el cual factoriza \(f\). Si \(q:W\twoheadrightarrow X\) es epi regular, entonces \(\operatorname{Im}(fq)=\operatorname{Im}(f)\). Además, para cualquier \(g:Y'\to Y\), la imagen del cambio de base \(g^*f:X\times_YY'\to Y'\) es \(g^*\operatorname{Im}(f)\).
Demostración. Consideremos dos factorizaciones \(f=me=nd\) con \(e,d\) regulares epi y \(m,n\) monos. La ortogonalidad de \(e\) frente a \(n\), aplicada al cuadrado \(nd=me\), proporciona \(u:I\to J\) con \(ue=d\) y \(nu=m\); invirtiendo los papeles aparece \(v:J\to I\). Como \(vue=e\) y \(uvd=d\), la epimorfía de \(e,d\) implica \(vu=1_I\) y \(uv=1_J\). Por ello \(m\) y \(n\) son isomorfos sobre \(Y\).
Si \(f=nh\) factoriza por cualquier mono \(n:N\rightarrowtail Y\), la misma ortogonalidad, ahora de \(e\) frente a \(n\), produce \(u:I\to N\) con \(nu=m\). Esto prueba \([m]\le[n]\) y su minimalidad. Para \(fq= m(e q)\), el teorema anterior dice que \(eq\) vuelve a ser regular epi; por unicidad, su imagen sigue siendo \([m]\). Finalmente, el pullback de \(f=me\) por \(g\) se descompone, por pegado de cuadrados, como el pullback de \(e\) seguido del de \(m\). La primera flecha sigue siendo regular epi por estabilidad y la segunda sigue siendo mono por el Teorema 3.2.3. Es una factorización imagen de \(g^*f\), que por unicidad coincide con \(g^*[m]\). \(\square\)
El codominio \(Y\) está declarado incluso cuando la imagen es un subobjeto propio. La imagen es una construcción con una propiedad mínima y estabilidad por cambio de base; ninguno de esos rasgos es una consecuencia de la sola declaración del codominio.
4.3. La categoría de relaciones
Definición 4.3.1 — Composición categórica
Para relaciones \(r:R\rightarrowtail A\times B\) y \(s:S\rightarrowtail B\times C\), sea \(P=R\times_B S\) y \(t=\langle r_Ap,s_Cq\rangle:P\to A\times C\) como en (4.1). Definimos
\[ S\mathbin{\circ_{\mathrm{rel}}}R:=\operatorname{Im}(t) \quad\in\operatorname{Sub}(A\times C). \tag{4.2} \]
La notación \(\circ_{\mathrm{rel}}\) diferencia esta composición de la composición primitiva de flechas. El producto fibrado no es la relación compuesta: aporta sus testigos.
Teorema 4.3.2 — Independencia de representantes
La operación (4.2) no depende de los representantes monomórficos ni de la elección de producto fibrado o factorización imagen.
Demostración. Sustituir \(r\) o \(s\) por un mono isomorfo sobre su producto induce, por universalidad, un isomorfismo entre los dos productos fibrados de testigos. Bajo él coinciden las flechas hacia \(A\times C\). Dos flechas cuya fuente difiere por un isomorfismo tienen la misma imagen: el isomorfismo es en particular epi regular y aplicamos el Teorema 4.2.3. La unicidad de la imagen y de los productos fibrados hasta isomorfismo concluye la prueba. \(\square\)
Teorema 4.3.3 — Identidades relacionales
La diagonal \(\Delta_A=\langle1_A,1_A\rangle:A\rightarrowtail A\times A\) es una relación \(1_A^{\mathrm{rel}}\) y, para \(R:A\rightsquigarrow B\),
\[ R\circ_{\mathrm{rel}}1_A^{\mathrm{rel}}=R =1_B^{\mathrm{rel}}\circ_{\mathrm{rel}}R. \tag{4.3} \]
Demostración. La diagonal es mono porque su primera proyección es una retracción. El objeto de testigos \(\Delta_A\times_A R\) del producto de la diagonal por \(R\) es canónicamente isomorfo a \(R\): el punto intermedio queda forzado por la igualdad de las dos proyecciones de la diagonal. La flecha inducida hacia \(A\times B\) coincide bajo ese isomorfismo con el representante monomórfico \(r:R\rightarrowtail A\times B\). La imagen de un mono \(r\) es el mismo subobjeto, pues \(r=r\circ1_R\) es una factorización regular-epi/mono. La unidad derecha se prueba de forma simétrica. \(\square\)
Teorema 4.3.4 — Asociatividad
Para \(R:A\rightsquigarrow B\), \(S:B\rightsquigarrow C\) y \(T:C\rightsquigarrow D\),
\[ T\circ_{\mathrm{rel}}(S\circ_{\mathrm{rel}}R) =(T\circ_{\mathrm{rel}}S)\circ_{\mathrm{rel}}R. \tag{4.4} \]
Demostración. Escribamos \(P=R\times_BS\), \(u:P\to A\times C\) y factoricemos \(u=i e\) con \(e:P\twoheadrightarrow I\) y \(i:I\rightarrowtail A\times C\). Por definición, \(I\) representa \(S\circ_{\mathrm{rel}}R\). Su composición con \(T\) usa \(Q=I\times_C T\) y una flecha \(v:Q\to A\times D\). El pullback de \(e\) por la proyección \(Q\to I\) da un epi regular \(\widetilde e:W=P\times_IQ\twoheadrightarrow Q\). Por pegado de productos fibrados,
\[ W\cong P\times_C T\cong R\times_B S\times_C T. \]
La flecha \(v\widetilde e:W\to A\times D\) es la flecha que conserva el primer componente de \(R\) y el último de \(T\); su imagen coincide con la de \(v\) por el Teorema 4.2.3. Si primero componemos \(T\) y \(S\), el argumento simétrico proporciona otro epi regular desde un objeto canónicamente isomorfo a \(R\times_BS\times_CT\) hacia el objeto de testigos de \((T\circ_{\mathrm{rel}}S)\circ_{\mathrm{rel}}R\). Ambas composiciones son así la imagen de la misma flecha desde el objeto de testigos triples hasta \(A\times D\). Por unicidad de las imágenes coinciden. \(\square\)
Por estos teoremas existe la categoría \(\mathbf{Rel}(\mathcal C)\) cuyos objetos son los de \(\mathcal C\) y cuyas flechas \(A\rightsquigarrow B\) son subobjetos de \(A\times B\), siempre interpretando sus tamaños en la metateoría. La composición es (4.2), y las identidades son las diagonales. Para una categoría localmente pequeña y bien potenciada, las colecciones pertinentes son conjuntos.
Teorema 4.3.5 — Inclusión fiel de aplicaciones como gráficas
La asignación \(f:A\to B\mapsto[\gamma_f]:A\rightsquigarrow B\) preserva identidades y composición y es inyectiva en cada clase de flechas paralelas; define un funtor fiel \(\mathcal C\to\mathbf{Rel}(\mathcal C)\) identidad sobre los objetos.
Demostración. La gráfica de \(1_A\) es la diagonal. Para \(f:A\to B\) y \(g:B\to C\), el producto fibrado de \(\gamma_f:A\rightarrowtail A\times B\) y \(\gamma_g:B\rightarrowtail B\times C\) es canónicamente \(A\), pues un testigo intermedio debe ser \(f(a)\). La flecha inducida a \(A\times C\) es \(\gamma_{gf}\); como es mono, su imagen es ella misma. Por tanto \([\gamma_g]\circ_{\mathrm{rel}}[\gamma_f]=[\gamma_{gf}]\). Si \([\gamma_f]=[\gamma_g]\), el isomorfismo de representantes sobre \(A\times B\) y la primera proyección muestran que el isomorfismo es \(1_A\); componiendo con la segunda proyección se obtiene \(f=g\). No se usan elementos globales ni la hipótesis de que el terminal sea generador. \(\square\)
Teorema 4.3.6 — Totalidad más unicidad sin elección
Sea \(r:R\rightarrowtail A\times B\) una relación y \(p=r_A:R\to A\) su primera proyección. Si \(p\) es mono y epi regular, existe una única flecha \(f:A\to B\) cuya gráfica representa \(r\). Más aún, \(p\) es isomorfismo y \(f=r_Bp^{-1}\).
Demostración. El Teorema 4.2.2(c) hace invertible a \(p\); el Teorema 1.3.4 caracteriza entonces a \(r\) como gráfica y proporciona \(f=r_Bp^{-1}\). Si otra \(g\) tuviese esa misma gráfica, la fidelidad probada en el Teorema 4.3.5 daría \(f=g\). \(\square\)
«\(p\) es epi regular» formaliza una noción de cobertura del dominio; «\(p\) es mono» formaliza la unicidad del testigo relacional sobre cada argumento. Ambas condiciones juntas dan una inversa única sin axioma de elección. Si omitimos la monicidad, una cobertura regular no tiene por qué disponer de sección. No se infiere una elección global de la mera totalidad.
4.4. Imagen directa y cuantificación existencial
Definición 4.4.1 — Imagen directa de subobjetos
Para \(f:X\to Y\) y \(m:U\rightarrowtail X\) definimos \(\exists_f[m]:=\operatorname{Im}(fm)\in\operatorname{Sub}(Y)\). Esta notación indica la interpretación lógica de la imagen, no una afirmación de que el testigo se pueda calcular.
Teorema 4.4.2 — Adjunción imagen/preimagen
Para subobjetos \([m]\in\operatorname{Sub}(X)\) y \([n]\in\operatorname{Sub}(Y)\),
\[ \exists_f[m]\le[n] \quad\Longleftrightarrow\quad [m]\le f^*[n]. \tag{4.5} \]
Demostración. La minimalidad de \(\operatorname{Im}(fm)\) dice que la desigualdad de la izquierda equivale a que \(fm\) factorice por \(n:N\rightarrowtail Y\). Por la propiedad universal del pullback \(X\times_YN\), una factorización \(fm=nu\) equivale a una flecha \(U\to X\times_YN\) cuya composición con la proyección a \(X\) es \(m\). Esta última condición es exactamente \([m]\le f^*[n]\). \(\square\)
Teorema 4.4.3 — Beck–Chevalley para imágenes
Sea un cuadrado de producto fibrado
\[ \begin{array}{ccc} X'&\xrightarrow{g'}&X\\ \scriptstyle f'\downarrow&&\downarrow\scriptstyle f\\ Y'&\xrightarrow{g}&Y. \end{array} \]
Para todo \([m]\in\operatorname{Sub}(X)\),
\[ g^*(\exists_f[m])=\exists_{f'}(g'^*[m]). \tag{4.6} \]
Demostración. El producto fibrado del mono \(m\) por \(g'\) determina \(m':U'\rightarrowtail X'\). Por pegado de productos fibrados, la flecha \(f'm':U'\to Y'\) es el cambio de base por \(g\) de \(fm:U\to Y\). La estabilidad de imágenes del Teorema 4.2.3 da \(\operatorname{Im}(f'm')=g^*\operatorname{Im}(fm)\), exactamente (4.6). \(\square\)
La asociación \(\exists_f\dashv f^*\) expresa categóricamente la cuantificación existencial: en \(\mathbf{Set}\), \(y\) está en \(\exists_f(U)\) cuando existe \(x\in U\) con \(f(x)=y\). La identidad (4.6) muestra que esta existencia es estable por sustitución; no afirma que se haya escogido, ni mucho menos calculado, un testigo uniforme.
Ejemplo 4.4.4 — Control en conjuntos
En \(\mathbf{Set}\) clásico (ZF) los epimorfismos regulares son exactamente las sobreyecciones: toda sobreyección es coigualador de su par núcleo y toda flecha coigualadora es sobreyectiva. Para \(t:P\to A\times C\) de (4.1), \(\operatorname{Im}(t)\) es el subconjunto
\[ \{(a,c):\exists b\in B,\ (a,b)\in R\land(b,c)\in S\}. \]
No se requiere elegir una función \(A\times C\to B\): la imagen registra sólo la existencia de testigos. Cuando éstos no son únicos, el conjunto de testigos y la relación compuesta son objetos diferentes. Así se recupera exactamente la composición del capítulo 3.
4.5. Auditoría fundacional y pedagógica
| Pregunta | Resultado |
|---|---|
| Marco de existencia | En la ruta mínima usada aquí, límites finitos más factorización imagen y estabilidad postuladas explícitamente en TF-AX-00008. Con todos los axiomas acumulados de los capítulos 1–3 (topos elemental), la regularidad sí se deduce por un resultado conocido, citado en §4.2 pero no demostrado en este tratado. |
| Elección | Ninguna: los objetos y sus factorizaciones se caracterizan por universalidad y unicidad salvo isomorfismo; no se seleccionan representantes ni se escogen testigos para cada argumento. |
| Lógica clásica | Ninguna en las pruebas categóricas adoptadas; el ejemplo de correspondencia epi regular/sobreyectividad se declara en Set clásico. |
| Igualdad | Igualdad de subobjetos = isomorfismo sobre un mismo objeto; no se afirma decidibilidad de esta igualdad. |
| Efectividad | Ninguna: una imagen y un epi regular son construcciones formales, no procedimientos computables. |
| Infinito y tamaño | No se requiere objeto de números naturales ni clasificador ni exponenciales; las colecciones de subobjetos pueden requerir precauciones de tamaño. |
| Comprobación | Demostraciones revisadas manualmente; Lean no ejecutado. |
La regularidad no incluye que toda relación de equivalencia interna sea el par núcleo de un cociente (exactitud de Barr); tampoco exige un clasificador de subobjetos, un objeto de números naturales o el axioma de elección. En particular, las nuevas demostraciones no dependen de TF-AX-00005 ni de TF-AX-00007, aunque tales axiomas, si están disponibles junto con los restantes del topos, proporcionen una vía alternativa hacia la regularidad.
En la asociatividad, localice el único paso que fracasa al conservar imágenes sin estabilidad por pullback: la flecha \(\widetilde e:W\twoheadrightarrow Q\) dejaría de estar garantizada como epi regular. ¿Qué igualdad de imágenes perderíamos entonces?
4.6. Fuentes y originalidad de la exposición
La composición por productos fibrados e imágenes y su asociatividad en categorías regulares son resultados clásicos, no nuevos. Esta exposición reconstruye paso a paso su dependencia de los axiomas y los inserta en el proyecto fundacional de las funciones. Controles externos consultados: Daniel Naylor, Regular Categories, §7 (https://danielnaylor.uk/notes/III/Michaelmas/CT/HTML/CTse7.html); Chris Heunen y Sean Tull, Categories of Relations as Models of Quantum Theory (2015, §2, DOI 10.4204/EPTCS.195.18), sobre composición de relaciones; Alexander Kurz, Regular and Exact Categories (https://alexhkurz.github.io/topics-in-category-theory/contents/regular-and-exact-categories.html), notas en construcción: lectura auxiliar, no autoridad única para la definición; W. P. Stekelenburg, Realizability Categories (tesis doctoral, Universidad de Utrecht, 2013, ficha institucional), como contexto para realizabilidad. Para las nociones de gráfica, relación y subobjeto prevalecen los capítulos 1–3 del maestro y el cotejo de Lawvere–Rosebrugh, Sets for Mathematics, §§1.1, 3.3 y 4.
Síntesis. Este capítulo registra el paso de relaciones definidas como subobjetos a una categoría de relaciones.