Capítulo 15. Familias naturales de funciones y reconstrucción mediante sondas
¿Cuándo una familia de funciones descrita para cada objeto constituye una transformación coherente? ¿Cómo recuperamos una flecha examinando su comportamiento ante todas las sondas, y por qué esa recuperación no es automáticamente un algoritmo?
En TF-CAT-013 se obtuvo la recuperación elemental de una flecha mediante la identidad (Yoneda). TF-CAT-014 distinguió equivalencia semántica, representaciones computables y separación por observadores. Aquí convertimos esas intuiciones en una arquitectura: funtores, naturalidad, objetos representables y sondas. No postulamos que una categoría sea pequeña cuando no lo es, ni que observar todos los componentes de una transformación suministre un decisor de igualdad.
15.1. De funciones aisladas a transformaciones coherentes
Definición 15.1.1 — Funtor covariante y contravariante
Para categorías \(\mathcal J,\mathcal C\), un funtor covariante \(F:\mathcal J\to\mathcal C\) asigna objetos \(j\mapsto Fj\) y flechas \(u:j\to k\) a flechas \(Fu:Fj\to Fk\), conservando \(F1_j=1_{Fj}\) y \(F(vu)=Fv\,Fu\). Un funtor contravariante \(H:\mathcal J^{\mathrm{op}}\to\mathcal C\) invierte la dirección: a \(u:j\to k\) corresponde \(H(u):Hk\to Hj\) y \(H(vu)=H(u)H(v)\). No identificamos las categorías opuesta y original; la inversión es parte de los tipos de las flechas.
Definición 15.1.2 — Transformación natural
Dados funtores \(F,G:\mathcal J\to\mathcal C\), una transformación natural \(\alpha:F\Rightarrow G\) es una familia especificada \(\alpha_j:Fj\to Gj\) tal que para toda flecha \(u:j\to k\),
\[G(u)\circ\alpha_j=\alpha_k\circ F(u).\tag{15.1}\]
Su componente está definida para cada objeto, pero la condición (15.1) no se deduce de esa definición individual. Para dos funtores contravariantes se invierten apropiadamente las direcciones; la igualdad natural conserva su significado de conmutación de cuadrados.
Teorema 15.1.3 — Categoría de funtores y transformaciones naturales
Si \(\mathcal J\) es pequeña y \(\mathcal C\) localmente pequeña, los funtores \(\mathcal J\to\mathcal C\) y sus transformaciones naturales forman una categoría localmente pequeña \([\mathcal J,\mathcal C]\). La identidad tiene componentes \((1_F)_j=1_{Fj}\) y la composición vertical viene dada por \((\beta\alpha)_j=\beta_j\alpha_j\).
Demostración. Para cada \(u:j\to k\), la naturalidad de \(\alpha:F\Rightarrow G\) y \(\beta:G\Rightarrow H\) da
\[H(u)\beta_j\alpha_j=\beta_kG(u)\alpha_j=\beta_k\alpha_kF(u),\]
que es (15.1) para \(\beta\alpha\). Las identidades son naturales porque \(F(u)1_{Fj}=1_{Fk}F(u)\). Asociatividad e identidades de transformaciones se verifican en cada componente y siguen de las leyes de \(\mathcal C\). Finalmente, las familias de componentes están contenidas en el producto conjuntista \(\prod_{j\in\mathrm{Ob}\mathcal J}\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(Fj,Gj)\); como \(\mathcal J\) es pequeña y los hom son conjuntos, este producto es un conjunto. La naturalidad define un subconjunto por separación. Que el producto pudiera ser vacío no afecta al argumento; no se eligió un componente por objeto a partir de existencias individuales. \(\square\)
Teorema 15.1.4 — Invertibilidad componente a componente
Una transformación natural \(\alpha:F\Rightarrow G\) es un isomorfismo de funtores si y sólo si cada \(\alpha_j\) es un isomorfismo en \(\mathcal C\).
Demostración. Si \(\beta\) es inversa natural, \(\beta_j\alpha_j=1_{Fj}\) y \(\alpha_j\beta_j=1_{Gj}\), de modo que \(\alpha_j\) es invertible. Recíprocamente, sea \(\beta_j=\alpha_j^{-1}\) la única inversa de cada componente. No hay elección arbitraria. De (15.1), \(G(u)\alpha_j=\alpha_kF(u)\), componiendo por \(\alpha_k^{-1}\) a izquierda y \(\alpha_j^{-1}\) a derecha resulta
\[F(u)\beta_j=\beta_kG(u),\]
la naturalidad de \(\beta:G\Rightarrow F\). Las composiciones componente a componente son identidades y \(\beta\) es la inversa natural. \(\square\)
Contraejemplo 15.1.5 — Biyectividad componente a componente sin naturalidad
Sea \(\mathcal J\) la categoría con objetos \(0,1\), identidades y una flecha adicional \(u:0\to1\). Sean \(F=G\) el funtor constante sobre \(B=\{a,b\}\), que envía \(u\) a \(1_B\). Pongamos \(\alpha_0=1_B\) y \(\alpha_1\) igual a la transposición \(a\leftrightarrow b\). Ambas son biyecciones, pero \(G(u)\alpha_0=1_B\ne\alpha_1=\alpha_1F(u)\). Esta familia no es una transformación natural, y el teorema anterior no puede aplicarse. Una colección de biyecciones no constituye por sí misma un cambio de coordenadas coherente.
TF-CAT-002 establece la separación por etapas (TF-THM-00009), y TF-CAT-013 recupera una flecha de la acción natural sobre representables (TF-THM-00105). Aquí se demuestra la biyección natural para un prehaz y el encaje pleno y fiel de Yoneda (TF-THM-00117–00120); TF-CAT-016 usará esos resultados para un colímite de representables, que no implica representabilidad individual. Mapa del recorrido.
15.2. Representables: la identidad como dato universal de recuperación
Definición 15.2.1 — Funtores Hom representables
Sea \(\mathcal C\) localmente pequeña. Para \(A\in\mathcal C\) definimos el funtor contravariante \(yA=\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(-,A):\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}\), que envía \(u:Y\to X\) a la función \(f:X\to A\mapsto f\circ u:Y\to A\). Su versión covariante es \(h_A=\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(A,-):\mathcal C\to\mathbf{Set}\), con \(h_A(u)(f)=u\circ f\). Ambas cumplen las leyes de funtor por asociatividad y unidad. Para hablar de la categoría \([\mathcal C^{\mathrm{op}},\mathbf{Set}]\) como localmente pequeña exigimos en lo sucesivo que \(\mathcal C\) sea pequeña; los argumentos de recuperación para un objeto fijo también son válidos en una categoría localmente pequeña grande cuando se interpretan las familias como datos de clase adecuados.
Teorema 15.2.2 — Lema de Yoneda contravariante con reconstrucción explícita
Para un funtor contravariante \(H:\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}\) y \(A\in\mathcal C\), existe una biyección canónica
\[\operatorname{Nat}(yA,H)\longrightarrow H(A),\qquad\alpha\longmapsto\alpha_A(1_A).\tag{15.2}\]
Su inversa envía \(x\in H(A)\) a la familia \((\alpha^x)_X(f)=H(f)(x)\), para \(f:X\to A\).
Demostración. La fórmula de la inversa está correctamente tipada: \(H(f):H(A)\to H(X)\). Si \(u:Y\to X\), la ley contravariante produce
\[H(u)((\alpha^x)_X(f))=H(u)H(f)(x)=H(fu)(x)=(\alpha^x)_Y(fu),\]
la naturalidad de \(\alpha^x\). En \(A\), \((\alpha^x)_A(1_A)=H(1_A)(x)=x\). En el otro sentido, sea \(\alpha:yA\Rightarrow H\), \(x=\alpha_A(1_A)\) y \(f:X\to A\). La naturalidad de \(\alpha\) aplicada a \(f\) e identidad \(1_A\) obliga a
\[\alpha_X(f)=H(f)(\alpha_A(1_A))=H(f)(x)=(\alpha^x)_X(f).\]
La igualdad de componentes y de sus valores implica \(\alpha=\alpha^x\). Las dos correspondencias son mutuamente inversas sin elegir representantes. Esta prueba precisa y refina la recuperación elemental establecida en TF-THM-00105. \(\square\)
Teorema 15.2.3 — Yoneda covariante
Para \(K:\mathcal C\to\mathbf{Set}\) y \(A\in\mathcal C\) hay una biyección
\[\operatorname{Nat}(h_A,K)\cong K(A),\qquad\alpha\longmapsto\alpha_A(1_A),\]
con inversa \(x\mapsto\bigl(\alpha^x_X(f)=K(f)(x)\bigr)\), para \(f:A\to X\).
Demostración. Para \(u:X\to Y\), \(K(u)\alpha^x_X(f)=K(u)K(f)(x)=K(uf)(x)=\alpha^x_Y(uf)\), así la familia es natural. El componente \(A\) en \(1_A\) recupera \(x\) por preservación de identidades. Si \(\alpha\) es natural, aplicar el cuadrado de \(f:A\to X\) a \(1_A\) da \(\alpha_X(f)=K(f)(\alpha_A(1_A))\); por extensionalidad de funciones, las correspondencias son inversas. No se está usando la versión contravariante sin cambiar tipos: se ha repetido el argumento con el orden correcto de composición. \(\square\)
Teorema 15.2.4 — Naturalidad de la biyección de Yoneda
La correspondencia (15.2) es natural tanto en \(H\) como, contravariantemente, en \(A\): para \(\tau:H\Rightarrow K\) se cumple \(\tau_A(\alpha_A(1_A))=(\tau\alpha)_A(1_A)\); y para \(f:A\to B\), la precomposición de \(\beta:yB\Rightarrow H\) con \(yf:yA\Rightarrow yB\) corresponde exactamente a \(H(f)(\beta_B(1_B))\).
Demostración. La primera igualdad es la definición de composición vertical y evaluación de componentes. Para la segunda, \((yf)_X(g)=fg\); en particular, \((yf)_A(1_A)=f\). Por tanto,
\[(\beta\circ yf)_A(1_A)=\beta_A(f)=H(f)(\beta_B(1_B)),\]
aplicando la naturalidad de \(\beta\) al mapa \(f\). Se obtiene un cuadrado conmutativo de biyecciones, no simplemente una coincidencia numérica para un objeto. \(\square\)
Teorema 15.2.5 — El encaje de Yoneda es pleno y fiel
Para \(A,B\in\mathcal C\), todo \(f:A\to B\) determina \(yf:yA\Rightarrow yB\) con \((yf)_X(g)=f\circ g\), y la aplicación
\[\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(A,B)\longrightarrow\operatorname{Nat}(yA,yB),\quad f\longmapsto yf\tag{15.3}\]
es biyectiva. Preserva identidades y composición. En particular, el funtor \(y:\mathcal C\to[\mathcal C^{\mathrm{op}},\mathbf{Set}]\) es pleno y fiel cuando la categoría de funtores se forma bajo las hipótesis de tamaño ya fijadas.
Demostración. Por TF-THM-00117 con \(H=yB\), \(\operatorname{Nat}(yA,yB)\cong(yB)(A)=\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(A,B)\). La transformación asociada al elemento \(f\) tiene componente \(g\mapsto(yB)(g)(f)=fg\), que es exactamente \(yf\); la evaluación inversa envía \(\alpha\) a \(\alpha_A(1_A)\). Para identidades, \((y1_A)_X(g)=g\), y para \(f:A\to B\), \(q:B\to C\), \((yq\,yf)_X(g)=q(fg)=(qf)g=(y(qf))_X(g)\). Por tanto (15.3) es biyectiva y funtorial. A diferencia de la plenitud de una traducción computable, esta conclusión es estructural, no efectiva. \(\square\)
La condición de esta sección es la separación mediante precomposición \(f x=g x\) (TF-DEF-00069, TF-THM-00121); difiere de la separación mediante postcomposición \(t_i f=t_i g\) estudiada en TF-CAT-014 (TF-DEF-00065, TF-THM-00113). La comparación no autoriza atribuir un algoritmo a ninguna de las dos familias. Mapa del recorrido.
15.3. Sondas suficientes y observadores insuficientes
Definición 15.3.1 — Familia generadora de sondas
Una familia suministrada de objetos \((P_i)_{i\in I}\) es generadora si, para todo par \(f,g:A\rightrightarrows B\), de
\[f\circ x=g\circ x\qquad\text{para todo }i\in I\text{ y todo }x:P_i\to A\tag{15.4}\]
se sigue \(f=g\). Aquí las sondas se precomponen con las flechas comparadas, a diferencia de los observadores \(B\to C_i\) postcompuestos del capítulo 14. La familia de todas las identidades \(1_A:A\to A\) separa tautológicamente, pero no es en general una familia pequeña y fijada de antemano.
Teorema 15.3.2 — Criterio de fidelidad por sondas
La familia \((P_i)\) es generadora si y sólo si el sistema de funtores \(\operatorname{Hom}(P_i,-)\) distingue conjuntamente todas las flechas. En particular, \(\{1\}\) es generadora si y sólo si el terminal es generador, no por el mero hecho de que exista un terminal.
Demostración. Para \(f:A\to B\), la acción de \(h_{P_i}(f)\) en \(x:P_i\to A\) es \(f\circ x\). Igualdad de funciones \(h_{P_i}(f)=h_{P_i}(g)\) equivale, por extensionalidad en Set, a la igualdad \(fx=gx\) para todo \(x\). Por tanto la implicación conjunta es literalmente (15.4). Para \(P=1\), los mapas \(1\to A\) son los elementos globales del capítulo 2 y la condición coincide con TF-DEF-00005; el resultado TF-THM-00007 proporciona la misma separación. La familia de todos los representables distingue flechas por (15.3), aunque un único terminal puede no hacerlo. \(\square\)
Contraejemplo 15.3.3 — En acciones de \(C_2\), el terminal no basta, pero una órbita libre sí
En la categoría \(C_2\text{-}\mathbf{Set}\), sea \(P=C_2=\{e,s\}\) con acción izquierda regular (\(s\) intercambia \(e,s\)). Una flecha \(1\to P\) equivaldría a un punto fijo de \(s\), que no existe. Las flechas equivariantes \(1_P\) y \(\sigma:P\to P\), \(\sigma(e)=s\), \(\sigma(s)=e\), son distintas; \(\sigma\) es equivariante porque \(C_2\) es abeliano, pero ninguna sonda \(1\to P\) las distingue. En cambio, para cualquier \(C_2\)-conjunto \(A\) y cada elemento dado \(a\in A\), la fórmula \(x_a(g)=g\cdot a\) define un mapa equivariante \(P\to A\), único con \(x_a(e)=a\). Si \(f,g:A\to B\) satisfacen \(fx=gx\) para toda \(x:P\to A\), entonces \(f(a)=(fx_a)(e)=(gx_a)(e)=g(a)\) para todo \(a\); por extensionalidad \(f=g\). Así la sonda fija \(P\) genera esta categoría mientras \(1\) no la genera. No se escogió simultáneamente un elemento de cada órbita: cada \(a\) aparece como variable ligada en una prueba universal.
Teorema 15.3.4 — Monomorfismos de diagramas conjuntistas detectados por componentes
Sea \(\mathcal J\) pequeña y \(\alpha:F\Rightarrow G\) una transformación de funtores \(\mathcal J\to\mathbf{Set}\). Entonces \(\alpha\) es monomorfismo en \([\mathcal J,\mathbf{Set}]\) si y sólo si cada \(\alpha_j:Fj\to Gj\) es inyectiva.
Demostración. Si cada \(\alpha_j\) es inyectiva y \(\alpha\beta=\alpha\gamma\) para \(\beta,\gamma:H\Rightarrow F\), entonces \(\alpha_j\beta_j=\alpha_j\gamma_j\) implica \(\beta_j=\gamma_j\) para cada \(j\); por igualdad componente a componente, \(\beta=\gamma\).
Recíprocamente, supongamos \(\alpha\) mono y \(\alpha_j(x)=\alpha_j(y)\) para \(x,y\in Fj\). Consideremos el funtor covariante \(h_j=\operatorname{Hom}_{\mathcal J}(j,-)\). Por Yoneda covariante, \(x,y\) corresponden a transformaciones \(\bar x,\bar y:h_j\Rightarrow F\), definidas en \(k\) por \(\bar x_k(u)=F(u)(x)\) y análogamente para \(y\). Para \(u:j\to k\), la naturalidad de \(\alpha\) produce
\[\alpha_k\bar x_k(u)=\alpha_kF(u)(x)=G(u)\alpha_j(x)=G(u)\alpha_j(y)=\alpha_k\bar y_k(u).\]
Luego \(\alpha\bar x=\alpha\bar y\); la monomorfía obliga \(\bar x=\bar y\). Evaluando el componente \(j\) en \(1_j\), obtenemos \(x=y\). Así cada componente es inyectiva. No extendemos esta implicación a cualquier categoría de valores sin disponer de las sondas representables y su codominio en Set. \(\square\)
15.4. Parametrización natural: una función escondida en toda una familia
Teorema 15.4.1 — Las transformaciones naturales entre productos son funciones
En el modelo conjuntista, sean \(A,B\) conjuntos y los endofuntores \(P_A(X)=X\times A\), \(P_B(X)=X\times B\), con \(P_A(u)=u\times1_A\). Toda transformación natural \(\alpha:P_A\Rightarrow P_B\) está determinada de manera única por una función \(h:A\to B\):
\[\alpha_X(x,a)=(x,h(a))\qquad(X\text{ conjunto},\ x\in X,\ a\in A).\tag{15.5}\]
Recíprocamente cada \(h\) define esa transformación. La correspondencia entre familias naturales y funciones \(h:A\to B\) no usa AC. Si se trabaja con la clase de todos los conjuntos, «familia natural» se entiende en el nivel metateórico de clases o en un universo escogido, no como una colección que ZF declare conjunto sin más.
Demostración. Evaluemos el componente \(\alpha_1:1\times A\to1\times B\), donde \(1=\{*\}\). El único primer valor posible es \(*\); por tanto existe una única función \(h:A\to B\) dada por \(\alpha_1(*,a)=(*,h(a))\). Para un conjunto \(X\) y un elemento específico \(x\in X\), sea \(\widehat x:1\to X\) la flecha \(*\mapsto x\). La naturalidad para \(\widehat x\) dice
\[\alpha_X(\widehat x(*),a)=(\widehat x\times1_B)(\alpha_1(*,a))=(x,h(a)).\]
Esto es (15.5). En caso \(X=\varnothing\), no existen parejas \((x,a)\) y la igualdad funcional es vacua; no se requiere un punto de \(X\). En sentido inverso, dada \(h\), definamos \(\alpha^h_X(x,a)=(x,h(a))\). Para cualquier \(u:X\to Y\),
\[(u\times1_B)\alpha^h_X(x,a)=(u(x),h(a))=\alpha^h_Y(u(x),a)\]
verifica (15.1). Evaluar en \(1\) recupera \(h\) y reconstruir mediante (15.5) recupera \(\alpha\); son inversas. No afirmamos que computar \(h\) sea posible sin una representación efectiva de sus valores ni que la igualdad de dos tales familias sea decidible. \(\square\)
Ejemplo 15.4.2 — Un cuadrado conmutativo calculado
Tomemos \(A=\{0,1\}\), \(B=\{p,q\}\) y \(h(0)=p\), \(h(1)=q\). Sean \(X=\{x_0,x_1\}\), \(Y=\{y\}\) y \(u(x_0)=u(x_1)=y\). Para cada \(i,j\in\{0,1\}\), los dos recorridos del cuadrado dan \(((u\times1_B)\alpha_X)(x_i,j)=(y,h(j))=(\alpha_Y(u\times1_A))(x_i,j)\). La comprobación finita hace visible el papel de la naturalidad, pero el argumento del teorema 15.4.1 funciona para todo conjunto y toda flecha, no sólo para esta tabla.
15.5. Contrato fundacional y frontera de formalización
La reconstrucción por Yoneda es una identidad entre datos matemáticos: transformar naturalmente una función representable equivale a especificar su valor en la identidad. La distinción se mantiene incluso si cada conjunto Hom es infinito. No se ha producido un programa que enumere todas las transformaciones ni se ha demostrado decidible su igualdad. El teorema 15.4.1 reconstruye una función a partir de una familia natural suministrada, no a partir de la mera existencia de componentes sueltos.
Auditoría. Base categórica: identidades, composición, categorías pequeñas y hom-conjuntos; la hipótesis de pequeñez se utiliza para que \(\operatorname{Nat}\) sea un conjunto en la categoría de diagramas, no para los cálculos de composición. Elección: ninguna, porque las inversiones son únicas y las familias de las fórmulas se definen uniformemente. Lógica clásica: no requerida en las demostraciones categóricas. Computabilidad y decisión: no se infieren de ninguna biyección estructural. Tamaño: el endofuntor sobre toda \(\mathbf{Set}\) de §15.4 se trata como clase metateórica, o se restringe a un universo que contenga los conjuntos y productos pertinentes; no se trata a toda \(\mathbf{Set}\) como categoría pequeña.
15.6. Fuentes de cotejo
Para el lema de Yoneda, el encaje y los funtores de conjuntos puede cotejarse Steve Awodey, Category Theory (Oxford University Press, 2006), capítulo 8, «Categories of Diagrams», pp. 159–178 (ficha editorial y localizador). La referencia identifica una exposición externa; las correspondencias y demostraciones del capítulo se encuentran en el manuscrito. Esta nota no añade teoremas, no declara verificación Lean general y no altera los resultados registrados.