Capítulo 16. Categoría de elementos y densidad de Yoneda
El capítulo 15 recuperó una flecha a partir de una transformación entre representables. ¿Se puede recuperar ahora cualquier prehaz a partir de los representables? ¿Qué información adicional exige el ensamblaje de sus elementos?
La respuesta no consiste en escoger una «base» ni en afirmar que todos los funtores son representables. Consiste en un diagrama determinado por los elementos del prehaz y en una propiedad universal de su cocono. Fijaremos cuidadosamente las direcciones de las flechas: una inversión inadvertida destruye la construcción.
16.1. El marco y su control de tamaño
Definición 16.1.1 — Categoría de prehaces
Sea \(\mathcal C\) una categoría pequeña: sus objetos y todas sus flechas forman conjuntos, sus hom-conjuntos están dados y las operaciones categóricas son funciones. Un prehaz conjuntista es un funtor \(F:\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}\). Escribimos \(\widehat{\mathcal C}=[\mathcal C^{\mathrm{op}},\mathbf{Set}]\) para la categoría cuyos objetos son prehaces y cuyas flechas son transformaciones naturales. En este contexto \(y c=\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(-,c)\) es el representable del capítulo 15. Como \(\mathcal C\) es pequeña, las colecciones de transformaciones entre dos prehaces dados son conjuntos. Para tratar \(\mathbf{Set}\) y toda la categoría de prehaces como objetos de una sola teoría de conjuntos, se trabaja con la convención usual de clases metateóricas o con universos apropiados; no se supone que la clase de todos los conjuntos sea un conjunto de ZF.
Teorema 16.1.2 — Los colímites pequeños de prehaces se calculan por componentes
Sea \(I\) una categoría pequeña y \(D:I\to\widehat{\mathcal C}\) un diagrama. Existe su colímite \(L\) y, para cada \(c\in\mathcal C\), se cumple canónicamente
\[L(c)\cong\operatorname*{colim}_{i\in I}D(i)(c).\tag{16.1}\]
Demostración. Para cada \(c\), construyamos el colímite conjuntista mediante la unión disjunta \(S_c=\coprod_{i\in\operatorname{Ob}I}D(i)(c)\) y el cociente por la menor relación de equivalencia que identifica \((i,z)\) con \((j,D(a)_c(z))\) para cada flecha \(a:i\to j\). Se trata de conjuntos: unión disjunta, relación y cociente se forman por los axiomas de ZF, sin elegir representantes. Denotemos su clase por \([i,z]\).
Para \(u:d\to c\) en \(\mathcal C\), pongamos \(L(u)([i,z])=[i,D(i)(u)(z)]\). Si \(a:i\to j\), la naturalidad de \(D(a)\) asegura \(D(j)(u)D(a)_c=D(a)_dD(i)(u)\); por tanto la regla respeta los generadores de la equivalencia y desciende al cociente. Las identidades y la composición se preservan por las leyes de cada \(D(i)\). Los mapas \(\iota_i:D(i)\Rightarrow L\), \(z\mapsto[i,z]\), son naturales y forman un cocono. Dado otro cocono \(\beta_i:D(i)\Rightarrow G\), la regla \([i,z]\mapsto\beta_{i,c}(z)\) es independiente de la clase, natural en \(c\), y es la única transformación \(L\Rightarrow G\) que factoriza los \(\beta_i\). Queda probada la universalidad y (16.1). El argumento cubre también \(I\) vacío. \(\square\)
Definición 16.1.3 — Categoría de elementos de un prehaz
Para \(F:\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}\) definimos \(\operatorname{El}(F)\) así:
- los objetos son pares \((c,x)\) con \(c\in\mathcal C\) y \(x\in F(c)\);
- una flecha \((c,x)\xrightarrow{u}(c',x')\) es una flecha \(u:c\to c'\) de \(\mathcal C\) tal que \(F(u)(x')=x\).
La igualdad anterior tiene el sentido de tipos correcto: \(F(u):F(c')\to F(c)\). Llamamos \(\pi_F:\operatorname{El}(F)\to\mathcal C\) a la proyección \((c,x)\mapsto c\), \(u\mapsto u\). No confundimos esta categoría con la de elementos de un funtor covariante, donde se invierte la condición de los valores.
Teorema 16.1.4 — Categoría bien definida, pequeña y proyectada
\(\operatorname{El}(F)\) es una categoría pequeña y \(\pi_F\) es un funtor.
Demostración. La identidad de \((c,x)\) satisface \(F(1_c)(x)=x\). Si \(u:(c,x)\to(c',x')\) y \(v:(c',x')\to(c'',x'')\), entonces \(F(vu)(x'')=F(u)F(v)(x'')=F(u)(x')=x\), de modo que la composición está definida. Sus leyes se heredan de \(\mathcal C\) y la proyección las conserva. El conjunto de objetos es la unión disjunta \(\coprod_cF(c)\); las flechas son un subconjunto de \(\coprod_{c,c'}F(c)\times\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(c,c')\times F(c')\), definido por separación. Pequeñez y ausencia de selección son explícitas. \(\square\)
TF-CAT-013 recupera flechas entre representables (TF-THM-00105), y TF-CAT-015 prueba Yoneda (TF-THM-00117, TF-THM-00120). El paso presente ensambla un prehaz arbitrario mediante su categoría de elementos y un colímite de representables (TF-DEF-00071, TF-THM-00127): no afirma que el prehaz mismo sea representable, como muestra TF-CEX-00022. La construcción es matemática, no una codificación efectiva. Mapa del recorrido.
16.2. El cocono canónico y el teorema de densidad
Definición 16.2.1 — Diagrama de representables y cocono elemental
El diagrama \(D_F=y\circ\pi_F:\operatorname{El}(F)\to\widehat{\mathcal C}\) envía \((c,x)\) al representable \(yc\) y una flecha \(u:(c,x)\to(c',x')\) a \(yu:yc\Rightarrow yc'\). A cada elemento \((c,x)\) le corresponde una transformación natural
\[\lambda_{(c,x)}:yc\Rightarrow F,\qquad (\lambda_{(c,x)})_d(f:d\to c)=F(f)(x).\tag{16.2}\]
Es precisamente la correspondencia de Yoneda \(\operatorname{Nat}(yc,F)\cong F(c)\), no un principio adicional de elección.
Teorema 16.2.2 — Compatibilidad del cocono
Las transformaciones \((\lambda_{(c,x)})\) forman un cocono de \(D_F\) con vértice \(F\): si \(u:(c,x)\to(c',x')\), entonces \(\lambda_{(c',x')}\circ yu=\lambda_{(c,x)}\).
Demostración. Para \(f:d\to c\), la componente izquierda devuelve \(F(uf)(x')=F(f)F(u)(x')=F(f)(x)\), que es (16.2). La igualdad es válida para todos \(d\) y \(f\), por lo cual las transformaciones son iguales. En particular, la igualdad es una condición natural concreta, no mera igualdad de cardinalidades. \(\square\)
Teorema 16.2.3 — Densidad de Yoneda: todo prehaz es un colímite canónico de representables
Para cada prehaz \(F\) de una categoría pequeña \(\mathcal C\), el cocono (16.2) es colimitante. Por consiguiente,
\[F\ \cong\ \operatorname*{colim}_{(c,x)\in\operatorname{El}(F)}yc.\tag{16.3}\]
Demostración. Sea \(G\) otro prehaz y \(\beta_{(c,x)}:yc\Rightarrow G\) un cocono cualquiera sobre \(D_F\). Construiremos la única transformación \(\eta:F\Rightarrow G\) compatible. Para cada \(c\) y \(x\in F(c)\), definamos
\[\eta_c(x)=(\beta_{(c,x)})_c(1_c).\tag{16.4}\]
Sea \(u:d\to c\) y \(x\in F(c)\). Existe en la categoría de elementos la flecha \(u:(d,F(u)x)\to(c,x)\). La condición de cocono impone \(\beta_{(d,F(u)x)}=\beta_{(c,x)}\circ yu\). Aplicada al mapa identidad de \(d\) da
\[\eta_d(F(u)x)=(\beta_{(c,x)})_d(u)=G(u)((\beta_{(c,x)})_c(1_c))=G(u)(\eta_c(x)),\]
siendo la segunda igualdad Yoneda/naturalidad de \(\beta_{(c,x)}\). Esto demuestra que \(\eta\) es natural. La misma identidad de Yoneda, ahora para \(f:d\to c\), produce
\[(\eta\lambda_{(c,x)})_d(f)=\eta_d(F(f)x)=G(f)(\eta_c(x))=(\beta_{(c,x)})_d(f),\]
por lo que \(\eta\lambda_{(c,x)}=\beta_{(c,x)}\). Finalmente, si \(\theta:F\Rightarrow G\) también factoriza el cocono, entonces \(\theta_c(x)=(\theta\lambda_{(c,x)})_c(1_c)=(\beta_{(c,x)})_c(1_c)=\eta_c(x)\) para todo \(c,x\). Por extensionalidad \(\theta=\eta\). Se ha probado la propiedad universal sin seleccionar elementos de fibras ni representantes de clases. \(\square\)
Teorema 16.2.4 — Fórmula puntual, clases y forma normal de cada elemento
Para \(d\in\mathcal C\), el conjunto \(F(d)\) se identifica con el cociente de
\[S_d=\coprod_{(c,x)\in\operatorname{El}(F)}\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(d,c)\]
por la equivalencia generada por \(((c,x),f)\sim((c',x'),uf)\) siempre que \(u:(c,x)\to(c',x')\) y \(f:d\to c\). La biyección canónica viene dada por
\[[((c,x),f)]\longmapsto F(f)(x).\tag{16.5}\]
Todo elemento \(z\in F(d)\) tiene una presentación canónica \(((d,z),1_d)\); no se afirma que sea la única presentación.
Demostración. La regla (16.5) es constante en los generadores, porque \(F(uf)(x')=F(f)F(u)(x')=F(f)(x)\); desciende por tanto al cociente. Es sobreyectiva: \(z\) procede de \(((d,z),1_d)\). Para verificar la inyectividad sin elegir representantes globales, consideremos una pareja específica \(((c,x),f)\) y escribamos \(z=F(f)(x)\). La propia flecha \(f:(d,z)\to(c,x)\) en \(\operatorname{El}(F)\) identifica \(((d,z),1_d)\) con \(((c,x),f)\). Así cada clase es igual a la clase de su presentación canónica determinada por el valor de (16.5). Dos clases con el mismo valor son iguales. El argumento coincide con el colímite puntual de (16.3). \(\square\)
16.3. Co-Yoneda: la misma construcción como cociente explícito
Definición 16.3.1 — Presentación por coextremo conjuntista
Para un prehaz \(F\) y un objeto \(d\) definimos el conjunto
\[Q_F(d)=\left(\coprod_{c\in\mathcal C}F(c)\times\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(d,c)\right)\big/\approx,\]
donde \(\approx\) es la equivalencia generada por
\[(F(u)(x'),f)\approx(x',uf),\qquad u:c\to c',\ x'\in F(c'),\ f:d\to c.\tag{16.6}\]
El índice \(c\) de cada par se conserva en la notación de la unión disjunta. Esta es una presentación concreta del coextremo \(\int^{c\in\mathcal C}F(c)\times\mathcal C(d,c)\) en \(\mathbf{Set}\). No se usa un cociente de una clase propia: \(\mathcal C\) es pequeña.
Teorema 16.3.2 — Fórmula co-Yoneda sin elección
La fórmula \([x,f]\mapsto F(f)(x)\) induce un isomorfismo natural de prehaces
\[\int^{c\in\mathcal C}F(c)\times\mathcal C(-,c)\ \cong\ F.\tag{16.7}\]
Demostración. Si \((F(u)x',f)\approx(x',uf)\), entonces \(F(f)F(u)x'=F(uf)x'\); la aplicación está bien definida. Para \(z\in F(d)\) su inversa manda \(z\) a \([z,1_d]\). Componer primero inversa y luego evaluación da \(F(1_d)z=z\). Para cualquier \([x,f]\), la relación (16.6) aplicada a \(u=f:d\to c\), \(x'=x\) y \(1_d:d\to d\) identifica \([F(f)x,1_d]=[x,f]\). Si \(v:e\to d\), la acción contravariante de \(Q_F\) es \([x,f]\mapsto[x,fv]\); la evaluación satisface \(F(fv)x=F(v)F(f)x\). La inversa también es natural porque \([z,v]=[F(v)z,1_e]\). La correspondencia es un isomorfismo natural explícito. Su presentación (16.6) reorganiza la del teorema anterior; no reemplaza los coconos universales por una elección de representantes. \(\square\)
16.4. Reconstrucción de flechas y representabilidad
Teorema 16.4.1 — La reconstrucción es natural respecto del prehaz
Una transformación natural \(\varphi:F\Rightarrow G\) induce un funtor \(\operatorname{El}(\varphi):\operatorname{El}(F)\to\operatorname{El}(G)\), que envía \((c,x)\) a \((c,\varphi_c(x))\) y deja la flecha subyacente \(u\) sin cambiar. Los coconos canónicos son compatibles con \(\varphi\) y la flecha que inducen entre los dos colímites de (16.3) corresponde exactamente a \(\varphi\).
Demostración. Para \(u:(c,x)\to(c',x')\), la naturalidad de \(\varphi\) da \(G(u)(\varphi_{c'}x')=\varphi_c(F(u)x')=\varphi_c x\), así que \(u\) también es flecha entre sus imágenes. Identidades y composición se preservan porque no se modifica \(u\). En cada \((c,x)\), la igualdad \(\varphi\lambda^F_{(c,x)}=\lambda^G_{(c,\varphi_c x)}\) se comprueba en \(f:d\to c\): ambos lados valen \(G(f)(\varphi_c x)\). Por la unicidad universal del teorema 16.2.3, la aplicación inducida por los coconos no puede ser distinta de \(\varphi\). \(\square\)
Teorema 16.4.2 — Los representables detectan conjuntamente transformaciones
Si \(\varphi,\psi:F\Rightarrow G\) satisfacen \(\varphi\lambda_{(c,x)}=\psi\lambda_{(c,x)}\) para todo \((c,x)\in\operatorname{El}(F)\), entonces \(\varphi=\psi\). Equivalentemente, basta comprobar \(\varphi_c(x)=\psi_c(x)\) para todos los elementos \(x\) de todos los componentes.
Demostración. Evaluando ambas igualdades en \(c\) y en \(1_c\), la fórmula (16.2) entrega \(\varphi_c(x)=\psi_c(x)\). Como \(c\) y \(x\) eran arbitrarios, las componentes coinciden por extensionalidad; las transformaciones son iguales. También es la unicidad de la propiedad universal (16.3). Este criterio cuantifica sobre todos los elementos de los conjuntos dados: no produce un algoritmo que recorra un conjunto infinito ni decide igualdad de programas del capítulo 10. \(\square\)
Teorema 16.4.3 — Criterio exacto de representabilidad por objeto terminal de elementos
Un prehaz \(F\) es representable (es decir, \(F\cong yc\) para algún \(c\)) si y sólo si \(\operatorname{El}(F)\) posee un objeto terminal.
Demostración. Supongamos terminal \((c,x)\). Para cada \(d\) definamos \(\Phi_d:\mathcal C(d,c)\to F(d)\) por \(f\mapsto F(f)x\). Dado \(z\in F(d)\), la terminalidad proporciona una única flecha \((d,z)\to(c,x)\); su flecha subyacente es precisamente el único \(f:d\to c\) que satisface \(F(f)x=z\). Luego \(\Phi_d\) es biyectiva. Para \(v:e\to d\), \(\Phi_e(fv)=F(v)F(f)x=F(v)\Phi_d(f)\), así que las biyecciones son naturales: \(yc\cong F\).
Recíprocamente, para \(F=yc\) la categoría de elementos tiene objetos \((d,f:d\to c)\) y flechas \(u:(d,f)\to(d',f')\) con \(f'u=f\): es la categoría de objetos sobre \(c\). El objeto \((c,1_c)\) es terminal, pues la única flecha desde \((d,f)\) hacia él es \(f\). Si \(F\cong yc\), una isomorfía natural transporta esta construcción a \(\operatorname{El}(F)\); concretamente, si \(\alpha:yc\cong F\), el objeto \((c,\alpha_c(1_c))\) es terminal por naturalidad y biyectividad de cada \(\alpha_d\). No se elige un representante para cada \(z\): la única flecha terminal lo determina. \(\square\)
Teorema 16.4.4 — Correspondencia entre transformaciones y familias compatibles
Para prehaces \(F,G\) hay una biyección natural
\[\operatorname{Nat}(F,G)\cong\left\{(b_{(c,x)})\in\prod_{(c,x)\in\operatorname{El}(F)}G(c):\ G(u)(b_{(c',x')})=b_{(c,x)}\ \text{para cada }u:(c,x)\to(c',x')\right\}.\tag{16.8}\]
Demostración. Enviemos \(\eta:F\Rightarrow G\) a la familia \(b_{(c,x)}=\eta_c(x)\). Si \(u\) es flecha de elementos, \(G(u)\eta_{c'}(x')=\eta_c F(u)(x')=\eta_c(x)\), luego la familia es compatible. Para una familia compatible dada definamos \(\eta_c(x)=b_{(c,x)}\). La flecha \(u:(d,F(u)x)\to(c,x)\) impone \(\eta_d(F(u)x)=G(u)\eta_c(x)\), que es exactamente la naturalidad de \(\eta\). Ambas operaciones son inversas por definición, y su naturalidad en el codominio \(G\) consiste en componer cada componente con una transformación \(G\Rightarrow H\). Esta prueba es también la propiedad universal (16.3) traducida por Yoneda; adviértase que una familia sin la condición escrita en (16.8) no define una transformación natural. \(\square\)
16.5. Ejemplos y fronteras del resultado
Contraejemplo 16.5.1 — Densidad no significa que cada prehaz sea representable
Tomemos la categoría terminal \(\mathcal C=\{*\}\), con una sola identidad. Un prehaz es simplemente un conjunto \(S=F(*)\) y todo representable \(y*\) tiene un único elemento. Para \(S=\{0,1\}\) no existe isomorfismo \(y*\cong F\), por desigualdad de cardinalidades. Sin embargo, \(\operatorname{El}(F)\) es discreta con dos objetos \((*,0)\) y \((*,1)\); el diagrama \(D_F\) son dos copias del representable unitario y su coproducto tiene dos elementos, luego es \(F\). La categoría de elementos no tiene terminal (no hay flechas entre los dos objetos). Densidad proporciona colímites, no representabilidad individual.
Ejemplo 16.5.2 — Una flecha basta para ensamblar un representable
Sea \(\mathcal C\) la categoría \(0\xrightarrow{u}1\) con identidades y sin flecha \(1\to0\). Para \(F=y1\) se tienen \(F(0)=\{u\}\) y \(F(1)=\{1_1\}\). La categoría de elementos tiene dos objetos \((0,u)\) y \((1,1_1)\), y una flecha no identidad \((0,u)\xrightarrow{u}(1,1_1)\). El diagrama representable es \(y0\xrightarrow{yu}y1\): su colímite es \(y1\), porque el objeto \((1,1_1)\) es terminal en el índice. Los valores son explícitos y muestran la dirección correcta de la flecha de elementos.
Ejemplo 16.5.3 — Prehaz vacío y diagrama de índices vacío
Si \(F(c)=\varnothing\) para todo \(c\), la categoría \(\operatorname{El}(F)\) no tiene objetos; su diagrama de representables es vacío. El colímite de un diagrama vacío en \(\widehat{\mathcal C}\) es el prehaz inicial, cuyos valores son vacíos en todos los componentes, por el teorema 16.1.2. Esto también verifica (16.3) sin postular un elemento del dominio ni fabricar una elección imposible.
16.6. Auditoría fundacional, lectura guiada y continuidad
Lectura de la prueba principal. El paso decisivo en 16.2.3 no es calcular un colímite «por analogía»: dados coconos \(\beta\), construimos \(\eta_c(x)\) evaluando en \(1_c\) y probamos que la condición sobre todas las flechas de \(\operatorname{El}(F)\) equivale a la naturalidad de \(\eta\). La misma igualdad se hace visible como relación generadora en (16.6). Las fórmulas (16.4), (16.5) y (16.7) permiten recorrer ambas direcciones: universalidad \(\leftrightarrow\) presentación por clases.
Preguntas para verificar comprensión. ¿Por qué en \(F(u)(x')=x\) el elemento \(x'\) pertenece a \(F(c')\) y no a \(F(c)\)? ¿Cuál es la flecha que compara \(((d,z),1_d)\) con cualquier presentación de \(z\)? ¿Por qué la categoría terminal con un prehaz de dos elementos refuta «todo prehaz es representable» pero no la densidad? ¿En qué paso haría falta una hipótesis de pequeñez si \(\mathcal C\) fuese una clase propia?
Hipótesis y límites. (i) Pequeñez de \(\mathcal C\) y de los diagramas garantiza que coproductos, productos y relaciones usados en las pruebas se formen a partir de conjuntos, no de clases propias. (ii) Los colímites de conjuntos y los cocientes se construyen en ZF; no se introdujo AC ni se escogieron simultáneamente representantes. (iii) Las pruebas se formulan mediante transformaciones suministradas y muestran existencia y unicidad estructurales. (iv) Ninguna fórmula presupone que exista una codificación finita de \(\mathcal C\) o un procedimiento que decida la equivalencia (16.6), la naturalidad (16.8) o la igualdad extensional. (v) El teorema no afirma que la categoría \(\mathcal C\) tenga por sí misma todos los colímites: los construimos en la categoría de prehaces.
Nota bibliográfica de control externo. La formulación de densidad/co-Yoneda puede cotejarse con nLab, co-Yoneda lemma y la biblioteca Mathlib, colímites de prehaces. Los argumentos y la distribución de dependencias anteriores están desarrollados aquí, no se atribuyen a una formalización Lean del capítulo completo.